陕西省咸阳市2020-2021学年高一上学期期末数学试题

2020-2021学年度第一学期期末教学质量检测
高一数学试题
注意事项：
1.本试题共4页，满分150分，时间120分钟；
2.答卷前，考生须准确填写自己的姓名、准考证号，并认真核准条形码上的姓名、准号；
3.第Ⅰ卷选择题必须使用2B 铅笔填涂，第Ⅱ卷非选择题必须使用0.5毫米黑色墨水签字笔书写，涂写要工整、清晰；
4.考试结束后，监考员将答题卡按顺序收回，装袋整理；试题卷不回收.
第Ⅰ卷（选择题共60分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1.已知集合{}11A x x =-<<，{}02B x x =<<，则A B ⋂=（ ）
A.()1,2-
B.()1,0-
C.()0,1
D.()1,2 2.已知函数()2123f x x x -=+-，则()f x =（ ）
A.24x x +
B.24x + C .246x x +- D.241x x -- 3.圆()2224x y -+=与圆()()22239x y +++=的位置关系为（ ）
A.内切
B.外切
C.相交
D.相离
4.如图是一个几何体的三视图，则该几何体可能是（ ）
主视图 左视图 俯视图
A.棱台
B.圆台
C.圆柱
D.圆锥
5.如图，在直三棱柱111ABC A B C -的棱所在的直线中，与直线1BC 异面的直线的条数为（ ）
A.1
B.2
C.3
D.4
6.某学校高中部举行秋季田径运动会，甲、乙、丙、丁4位同学代表高一（1）班参加男子组4×100米接力跑比赛，甲同学负责跑第二棒.在比赛中，从甲接到接力棒到甲送出接力棒，甲同学的跑步速率v （单位：m/s ）关于跑步时间t （单位：s ）的函数图像最可能是（ ）
A. B. C. D.
7.德国数学家狄利克雷在1837年提出：“如果对于x 的每一个值，y 总有一个完全确定的值与之对应，则y 是x 的函数，”这个定义较清楚地说明了函数的内涵.只要有一个法则，使得取值范围中的每一个值x ，有一个确定的y 和它对应就行了，不管这个对应的法则是公式、图像、表格还是其它形式.已知函数()f x 由下表给出，则()()
19492020f f 的值为（ ）
A.2
B.3
C.4
D.5
8.已知平面//α平面β，m
α，n β，则下列结论一定正确的是（ ） A.m ，n 是平行直线
B.m ，n 是异面直线
C.m ，n 是共面直线
D.m ，n 是不相交直线 9.已知0.30.2a =，0.3log 2b =，0.20.3c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）
A.a c b <<
B.a b c <<
C.b a c <<
D.b c a <<
10.北京时间2020年12月17日1时59分，嫦娥五号返回器携带月球样品在预定区域安全着陆，嫦娥五号
任务取得圆满成功.这是发挥新型举国体制优势攻坚克难取得的又一重大成就，标志着中国航天向前迈出的一大步，将为深化人类对月球成因和太阳系演化历史的科学认知作出贡献.在所有航天工程中，火箭的作用毋庸置疑，在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度v （km/s ）和燃料的质量M （kg ）、火箭（除燃料外）的质量m （kg ）的函数关系是2000ln 1M v m ⎛
⎫=+ ⎪⎝⎭
.按照这个规律，若火箭的最大速度v 可达到第二宇宙速度11.2km/s ，则火箭的燃料质量M 与火箭质量m 之比
M m 约为（ ） （参考数据：0.0056e 1.0056≈）
A.0.0044
B.2.0056
C.1.0056
D.0.0056
11.设点()1,2A ，()2,1B ，若直线10ax y ++=与线段AB 有交点，则实数a 的取值范围是（ ）
A.[]1,3
B.(][),31,-∞-⋃-+∞
C.[]3,1--
D.(][),13,-∞⋃+∞ 12.在数学课堂上，张老师给出一个定义在R 上的函数()f x ，甲、乙、丙、丁四位同学各说出了这个函数的一条性质：
甲：在(],0-∞上函数()f x 单调递减；
乙：在[)0,+∞上函数()f x 单调递增；
丙：函数()f x 的图像关于直线1x =对称；
丁：()0f 不是函数()f x 的最小值.
张老师说：你们四位同学中恰好有三个人说的正确，那么，你认为说法错误的同学是（ ）
A.甲 B .乙 C .丙 D .丁
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分}
13.函数()()()1log 20,12
a f x x a a x =++>≠-的定义域为 . 14.已知12l l ⊥，直线1l 的倾斜角为30︒，则直线2l 的倾斜角为 .
15. 张衡（78年~139年）是中国东汉时期杰出的天文学家、数学家、发明家、地理学家、文学家，他的数学著作有《算罔论》.张衡给立方体定名为质，给球体定名为浑.他研究过球的外切立方体体积和内接立方体体积，研究过球的体积，其中还定圆周率值为10的开平方，直到五百多年后，印度和阿拉伯的数学家才得
出这个数值。

现有棱长为的正方体，利用张衡的结论可得该正方体的内切球的体积为 .
16.已知{},,max ,,,
b a b a b a a b ≤⎧=⎨
>⎩设函数(){}2max ,f x x x -=，其定义域为{}00x x x <>或，则函数()f x 的最小值为 .
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17.（本小题满分10分）
已知函数()()()ln 3ln 3f x x x =++-的定义域为()3,3-.
（Ⅰ）证明：函数()f x 是偶函数；
（Ⅱ）求函数()f x 的零点.
18.（本小题满分12分）
在三棱锥A BCD -中，E ，F 分别为AD ，DC 的中点，且BA BD =，平面ABD ⊥平面ADC . （Ⅰ）证明：//EF 平面ABC ；
（Ⅱ）证明：BE CD ⊥.
19.（本小题满分12分）
如图所示，在平面直角坐标系中，已知矩形OABC 的长为3，宽为2，边OA 、OC 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，O 为坐标原点.
（Ⅰ）求OB 所在直线的方程
（Ⅱ）线段AB 上是否存在一点P ，使得CP OP ⊥？若存在，求出线段AP 的长度；若不存在，请说明理由.
20.（本小题满分12分）
将棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -沿平面11A BCD 截去一半（如图1所示）得到如图2所示的几何体，点E ，F 分别是BC ，DC 的中点.
（Ⅰ）征明：EF ⊥平面1A AC ；
（Ⅱ）求三棱锥1A D EF -的体积.
图1 图2
21.（本小题满分12分）
已知二次函数()2
23f x x ax =-+，a ∈R . （Ⅰ）若函数()f x 在(),2-∞-上单调递减，求a 的取值范围；
（Ⅱ）若1a =时，函数()f x 的图像恰好在函数()2g x x b =+的图像上方（()()f x g x ≥且恰好能取到等号），求实数b 的值.
22.（本小题满分12分）
已知圆C 和y 轴相切于点()0,2T ，与x 轴的正半轴交于M 、N 两点（M 在N 的左侧），且3MN =. （Ⅰ）求圆C 的方程；、
（Ⅱ）过点M M 任作一条直线与圆O ：22
4x y +=相交于点A 、B ，连接AN 和BN ，记AN 和BN 的斜率分别为1k ，2k ，求证：12k k +为定值.
2020〜2021学年度第一学期期末教学质量检测
高一数学试题参考答案及评分标准
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1.C
2.A
3.B
4.B
5.C
6.C
7.D
8.D
9.C 10.D 11.C 12.B
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13.()()2,22,-⋃+∞ 14.120︒ 15.3600 16.1
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17.解：（Ⅰ）证明：∵函数()f x 的定义域关于原点对称，
又∵()()()()ln 3ln 3f x x x f x -=-++=，
∴()f x 是偶函数.（5分）
（Ⅱ）()()()()2ln 3ln 3ln 9f x x x x =-++=-.
令()()
2ln 90f x x =-=，
∴291x -=，解得x =±（经检验符合题意）.
∴函数()f x 的零点为-.
18.证明：（Ⅰ）∵在ADC △中，E ，F 分别是AD ，DC 的中点，
∴//EF AC .
∵EF 平面ABC ，AC 平面ABC ，
∴//EF 平面ABC .
（Ⅱ）在ABD △中，BA BD =，E 为AD 的中点，
∴BE AD ⊥.
又∵平面ABD ⊥平面ADC ，BE
平面ABD ，平面ABD ⋂平面ADC AD =，
∴BE ⊥平面ADC .
∵CD 平面ADC ，
∴BE CD ⊥.
19.解：（Ⅰ）由题意知()0,0O ，()2,3B ，()0,3C ，
∴OB 所在直线的斜率为
303202
-=-. ∴OB 所在直线的方程为()3002y x -=-，即320x y -=. （Ⅱ）假设线段AB 上存在点()()2,03P a a ≤≤，使得CP OP ⊥. 显然直线CP 与直线OP 都存在斜率，分别记作CP k ，OP k ，
∴1CP OP k k ⋅=-. ∴33202CP a a k --=
=-，0202
OP a a k -==-， ∴3122a a -⋅=-，即2340a a -+=，()2Δ3440=--⨯<，方程无解. ∴线段AB 上不存在点P ，使得CP OP ⊥.
20.解：（Ⅰ）证明：如图，连接BD ，易知BD AC ⊥，
∴1A A ⊥平面ABCD ，BD
平面ABCD ，
∴1A A BD ⊥.
又1A A AC A ⋂=，1A A ，AC
平面1A AC ， ∴BD ⊥平面1A AC .
在CBD △中，点E ，F 分别是BC ，DC 的中点，
∴//BD EF .
∴EF ⊥平面1A AC .
（Ⅱ）∵1D D ⊥平面ABCD ，
∴1D D 是三棱锥1D AEF -在平面AEF 上的高，且12D D =.
∵点E ，F 分别是BC ，DC 的中点，
∴1DF CF CE BE ====. ∴2
111322222AEF S AD DF CF CE AB BE =-
⋅⋅-⋅⋅-⋅⋅=△. ∴11111321332A D EF D AEF AEF V V S D D --==⋅⋅=⨯⨯=△. 21.解：（Ⅰ）∵函数()f x 的图像开口向上，对称轴为x a =，
∴函数()f x 在(],a -∞上单调递减.
又∵函数()f x 在(),2-∞-上单调递减，
∴2a ≥-，即a 的取值范围是[)2,-+∞.
（Ⅱ）当1a =时，()2
23f x x x =-+， ∴2232x x x b -+≥+，即2
43x x b -+≥.
∵2243(2)11x x x -+=--≥-，
∴1b =-.
22.解：（Ⅰ）依题意可设圆心C 的坐标为()(),20m m >，则圆C 的半径为m . 又3MN =， ∴2
22325224m ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，解得52m =. ∴圆C 的方程为()22525224x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝
⎭. （Ⅱ）证明：由（1）易知()1,0M ，()4,0N .
①当直线AB 的斜率为0时，可知120k k ==，即120k k +=；
②当直线AB 的斜率不为0时，设直线AB ：1x ty =+，
将1x ty =+代入224x y +=，整理得()221230t y ty ++-=，()
22Δ41210t t =++>. 设()11,A x y ，()22,B x y ，
∴
1222 1 t
y y
t -
+=
+，
122
3
1 y y
t
-
=
+
.
∴
()
()()()()
22
1212
1212
12
12121212
66
23
0011
0 44333333
t t
ty y y y
y y y y t t
k k
x x ty ty ty ty ty ty
-
+
-+
--++
+=+=+=== --------
.
综上可知，
120
k k
+=为定值.
（注：学生用其他方法作答，只要解答正确，可参照给分）。