考研数学二(二次型)模拟试卷15(题后含答案及解析)

考研数学二（二次型）模拟试卷15(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题
选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．设A，B为n阶可逆矩阵，则( )．
A．存在可逆矩阵P1，P2，使得P1-1AP1，P2-1BP2为对角矩阵
B．存在正交矩阵Q1，Q2，使得Q1TAQ1，Q2TBQ2为对角矩阵
C．存在可逆矩阵P，使得P-1(A＋B)P为对角矩阵
D．存在可逆矩阵P，Q，使得PAQ＝B
正确答案：D
解析：因为A，B都是可逆矩阵，所以A，B等价，即存在可逆矩阵P，Q，使得PAQ＝B，选
D．知识模块：二次型
2．n阶实对称矩阵A正定的充分必要条件是( )．
A．A无负特征值
B．A是满秩矩阵
C．A的每个特征值都是单值
D．A-1是正定矩阵
正确答案：D
解析：A正定的充分必要条件是A的特征值都是正数，选项A不对；若A为正定矩阵，则A一定是满秩矩阵，但A是满秩矩阵只能保证A的特征值都是非零常数，不能保证都是正数，选项B不对；选项C既不是充分条件又不是必要条件；显然选项D既是充分条件又是必要条件．知识模块：二次型
3．下列说法正确的是( )．
A．任一个二次型的标准形是唯一的
B．若两个二次型的标准形相同，则两个二次型对应的矩阵的特征值相同C．若一个二次型的标准形系数中没有负数，则该二次型为正定二次型
D．二次型的标准形不唯一，但规范形是唯一的
正确答案：D
解析：选项A不对，如f＝χ1χ2，令则f＝y12－y22；若令则f ＝y12－9y22；选项B不对，两个二次型标准形相同只能说明两个二次型正、负惯性指数相同，不能得到其对应的矩阵的特征值相同；选项C不对，若一个二次型标准形系数没有负数，只能说明其负惯性指数为0，不能保证其正惯性指数为n；选D，因为二次型的规范形由其正、负惯性指数决定，故其规范形唯一．知识模块：二次型
4．设A为可逆的实对称矩阵，则二次型XTAX与XTA-1X( )．
A．规范形与标准形都不一定相同
B．规范形相同但标准形不一定相同
C．标准形相同但规范形不一定相同
D．规范形和标准形都相同
正确答案：B
解析：因为A与A-1合同，所以XTAX与XTA-1X规范形相同，但标准形不一定相同，即使是同一个二次型也有多种标准形，选
B．知识模块：二次型
5．设n阶矩阵A与对角矩阵合同，则A是( )．
A．可逆矩阵
B．实对称矩阵
C．正定矩阵
D．正交矩阵
正确答案：B
解析：因为A与对角阵A合同，所以存在可逆矩阵P，使得PTAP＝A，从而A＝(PT)-1AP-1＝(P-1)TAP-1，AT＝[(P-1)TAP-1]T＝(P-1)TAP-1＝A，选B．知识模块：二次型
6．设A，B都是n阶矩阵，且存在可逆矩阵P，使得AP＝B，则( )．A．A，B合同
B．A，B相似
C．方程组AX＝0与BX＝0同解
D．r(A)＝r(B)
正确答案：D
解析：因为P逆，所以r(A)＝r(B)，选
D．知识模块：二次型
7．设A，B为n阶实对称矩阵，则A与B合同的充分必要条件是( )．A．r(A)＝r(B)
B．｜A｜＝｜B｜
C．A～B
D．A，B与同一个实对称矩阵合同
正确答案：D
解析：因为A，B与同一个实对称矩阵合同，则A，B合同，反之若A，B 合同，则A，B的正负惯性指数相同，从而A，B与合同，选
D．知识模块：二次型
8．设，则A与B( )．
A．相似且合同
B．相似不合同
C．合同不相似
D．不合同也不相似
正确答案：C
解析：由｜λE－A｜＝0得A的特征值为1，3，－5，由｜λE－B｜＝0得B的特征值为1，1，－1，所以A与B合同但不相似，选
C．知识模块：二次型
9．设A，B为三阶矩阵，且特征值均为－2，1，1，以下命题：(1)A～B；(2)A，B合同；(3)A，B等价；(4)｜A｜＝｜B｜中正确的命题个数为( )．
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
正确答案：B
解析：因为A，B的特征值为－2，1，1，所以｜A｜＝｜B｜＝－2，又因为r(A)＝r(B)＝3，所以A，B等价，但A，B不一定相似或合同，选B．知识模块：二次型
填空题
10．二次型f(χ1，χ2，χ3)＝(χ1－2χ2)2＋4χ2χ3的矩阵为_______．
正确答案：A＝
解析：因为f(χ1，χ2，χ3)＝χ12＋4χ22－4χ1χ2＋4χ2χ3，所以A＝知识模块：二次型
11．设，则α1，α2，α3经过施密特正交规范化后的向量组为_______．
正确答案：
解析：令β3＝α3，正交规范化的向量组为知识模块：二次型
12．设二次型2χ12＋χ22＋χ32＋2χ1χ2＋aχ2χ3的秩为2，则a＝_______．
正确答案：±
解析：该二次型的矩阵为A＝，因为该二次型的秩为2，所以｜A｜＝0，解得a＝±．知识模块：二次型
13．设5χ12＋χ22＋tχ32＋4χ1χ2－2χ1χ3－2χ2χ3为正定二次型，则t的取值范围是_______．
正确答案：t＞2
解析：二次型的矩阵为A＝，因为二次型为正定二次型，所以有5＞0，＝1＞0，｜A｜＞0，解得t＞2．知识模块：二次型
解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

14．用配方法化二次型f(χ1，χ2，χ3)＝χ12＋χ2χ3为标准二次型．
正确答案：令，即X＝PY，其中则f(χ1，χ2，χ3)＝XTAXYT(PTAP)Y＝y12＋y22－y32．涉及知识点：二次型
15．用配方法化二次型f(χ1，χ2，χ3)＝χ12＋2χ1χ2＋2χ1χ3－4χ32为标准形．
正确答案：f(χ1，χ2，χ3)＝χ12＋2χ1χ2＋2χ1χ3－4χ32＝(χ1＋χ2＋χ3)2－(χ2＋χ3)2－4χ32，即X＝PY，其中P＝，则f(χ1，χ2，χ3)＝XTAXy12－y22－4y32．涉及知识点：二次型
16．设二次型f(χ1，χ2，χ3)＝XTAX，A的主对角线上元素之和为3，又AB＋B＝O，其中B＝(1)求正交变换X＝QY将二次型化为标准形；(2)求矩阵A．
正确答案：(1)由AB＋B＝O得(E＋A)B＝O，从而r(E＋A)＋r(B)≤3，因为r(B)＝2，所以r(E＋A)≤1，从而λ＝－1为A的特征值且不低于2重，显然λ＝－1不可能为三重特征值，则A的特征值为λ1＝λ2＝1，λ3＝5．由(E＋A)B＝O得B的列组为(E＋A)X＝0的解，故α1＝，α2＝＝－1对应的线性无关解．令α3＝为λ3＝5对应的特征向量，因为AT＝A，所以解得α3＝，令规范化得令Q＝(γ1，γ2，γ3)，则f＝XTAX－y12－y22＋5y32．(2)由QTAQ＝得涉及知识点：二次型
17．用正交变换法化二次型f(χ1，χ2，χ3)＝χ12＋χ22＋χ32－4χ1χ2－4χ1χ3－4χ2χ3为标准二次型．
正确答案：f(χ1，χ2，χ3)＝XTAX其中由｜λE－A｜＝＝(λ＋3)(λ－3)2＝0得λ1＝－3，λ2＝λ3＝3．由(－3E－3A)X＝0得λ1＝－3对应的线性无关的特征向量为α1＝；由(3E－A)X＝0得λ2＝λ3＝3对应的线性无关的特征向量为将α2，α3正交化得单位化得则f(χ1，χ2，χ3)＝XTAXYT(QTAQ)Y＝－3y12＋3y22＋3y32．涉及知识点：二次型
18．设二次型f(χ1，χ2，χ3)＝(a－1)χ12＋(a－1)χ22＋2χ32＋2χ1χ2(a＞0)的秩为2．(1)求a；(2)用正交变换法化二次型为标准形．
正确答案：(1)A＝，因为二次型的秩为2，所以r(A)＝2，从而a＝2．(2)A ＝，由｜λE－A｜＝0得λ1＝λ2＝2，λ3＝0．当λ＝2时，由(2E－A)X ＝0得λ＝2对应的线性无关的特征向量为当λ＝0时，由(0E－A)X＝0得λ＝0对应的线性无关的特征向量为α3＝．因为α1，α2两两正交，单位化得则f＝XTAXYT(QTAQ)Y＝2y12＋2y22．涉及知识点：二次型
19．设n阶实对称矩阵A的秩为r，且满足A2＝A(A称为幂等阵)．求：(1)二次型XTAX的标准形；(2)｜E＋A＋A2＋…＋An｜的值．
正确答案：(1)因为A2＝A，所以｜A｜｜E－A｜＝0，即A的特征值为O 或者1，因为A为实对称矩阵，所以A可对角化，由r(A)＝r得A的特征值为λ＝1(r重)，λ＝0(n－r重)，则二次型XTAX的标准形为y12＋y22＋…＋yr2．(2)令B＝E＋A＋A2＋…＋An，则B的特征值为λ＝n＋1(r重)，λ＝1(n－r重)，故｜E＋A＋A2＋…＋An｜＝｜B｜＝(n＋1)r．涉及知识点：二次型
20．设A为n阶实对称可逆矩阵，f(χ1，χ2，…，χn)＝(1)记X＝(χ1，χ2，…，χn)T，把二次型f(χ1，χ2，…，χn)写成矩阵形式；(2)二次型g(X)＝XTAX是否与f(χ1，χ2，…，χn)合同?
正确答案：(1)f(X)＝(χ1，χ2…χn) 因为r(A)＝n，所以｜A｜≠0，于是A*＝A-1，A*，A-1都是实对称矩阵．(2)因为A可逆，所以A的n个特征值都不是零，而A与A-1合同，故二次型f(χ1，χ2，…，χn)与g(X)＝XTAX 规范合同．涉及知识点：二次型
21．设A是三阶实对称矩阵，且A2＋2A＝O，r(A)＝2．(1)求A的全部特征值；(2)当k为何值时，A＋kE为正定矩阵?
正确答案：(1)由A2＋2A＝O得r(A)＋r(A＋2E)≤3，从而A的特征值为0或－2，因为A是实对称矩阵且r(A)＝2，所以λ1＝0，λ2＝λ3＝－2．(2)A ＋kE的特征值为k，k－2，k－2，当k＞2时，A＋kE为正定矩阵．涉及知识点：二次型
22．设二次型f(χ1，χ2，χ3)＝χ12＋4χ22＋2χ32＋2tχ1χ2＋2χ1χ3为正定二次型，求t的范围．
正确答案：二次型的矩阵为A＝，因为该二次型为正定二次型，所以有解得－＜t＜．涉及知识点：二次型
23．设A是n阶正定矩阵，证明：｜E＋A｜＞1．
正确答案：因为A是正定矩阵，所以存在正交阵Q，使得QTAQ＝其中λ1＞0，λ2＞0，…，λn＞0，因此QT(A＋E)Q＝于是｜QT(A＋E)Q｜
＝｜A＋E｜＝(λ1＋1)(λ2＋1)…(λn＋1)＞1．涉及知识点：二次型
24．用配方法化下列二次型为标准形：f(χ1，χ2，χ3)＝χ12＋2χ22－5χ32＋2χ1χ2－2χ1χ3＋2χ2χ3．
正确答案：令则f(χ1，χ2，χ3)＝XTAX，f(χ1，χ2，χ3)＝χ12＋2χ22－5χ32＋2χ1χ2－2χ1χ3＋2χ2χ3 ＝(χ1＋χ2－χ3)2＋(χ2＋2χ3)2－10χ32，设，显然P可逆，且f(χ1，χ2，χ3)YT(PTAP)Y ＝y12＋y22－10y32．涉及知识点：二次型
25．用配方法化下列二次型为标准形：f(χ1，χ2，χ3)＝2χ1χ2＋2χ1χ3＋6χ2χ3．
正确答案：令或X＝P1Y，其中且P1可逆，则f(χ1，χ2，χ3)2y12－2y22＋8y1y3＋4y2y3 ＝2(y1＋2y3)2－2(y2－y3)2－6y32，再令或Y＝P2Z，其中且P1可逆，令P＝P1P2＝，P可逆，且f(χ1，χ2，χ3)＝XTAX＝ZT(PTAP)Z＝2z12－2z22－6z32．涉及知识点：二次型
26．二次型f(χ1，χ2，χ3)＝χ12＋aχ22＋χ32－4χ1χ2－8χ1χ3－4χ2χ3经过正交变换化为标准形5y12＋by22－4y32，求：(1)常数a，b；
(2)正交变换的矩阵Q．
正确答案：(1)令则f(χ1，χ2，χ3)＝XTAX，矩阵A的特征值为λ1＝5，λ2＝b，λ3＝－4，从而A＝，特征值为λ1＝λ2＝5，λ3＝－4．(2)将λ1＝λ2＝5代入(λE－A)X＝0，即(5E－A)X＝0，由5E－A ＝得λ1＝λ2＝5对应的线性无关的特征向量为将λ3＝－4代入(2E－A)X ＝0，即(4E＋A)X＝0，由4E＋A＝得λ3＝－4对应的线性无关的特征向量为α3＝．令单位化得所求的正交变换矩阵为涉及知识点：二次型
27．设C＝为正定矩阵，令P＝，(1)求PTCP；(2)证明：D－BA-1BT 为正定矩阵．
正确答案：(1)因为C＝为正定矩阵，所以AT＝A，DT＝D，(2)因为C 与合同，且C为正定矩阵，所以为正定矩阵，故A与D－BA-1BT都是正定矩阵．涉及知识点：二次型
28．设二次型f(χ1，χ2，χ3)＝XTAX，tr(A)＝1，又B＝且AB＝O．(1)求正交矩阵Q，使得在正交变换X＝QY下二次型化为标准形；(2)求矩阵A．
正确答案：(1)由AB＝O得即为λ＝0的两个线性无关的特征向量，从而λ＝0为至少二重特征值，又由tr(A)＝1得λ3＝1，即λ1＝λ2＝0，λ3＝1．令λ3＝1对应的特征向量为α3＝因为AT＝A，所以解得λ3＝1对应的线性无关的特征向量为α3＝，令所求的正交矩阵为且
XTAXy32 (2)由QTAQ＝得涉及知识点：二次型。