数学奥林匹克竞赛轮换与对称

因式分解对称式交代式和轮换式

1、基本概念

(1)对称式：在一个代数式中，如果把它所含的两个字母互换，式子不改变，那么这个代数式就叫做关于这两个字母的对称式。如a b +,22a ab b −+,322333a a b ab b +++等都是关于,a b 的对称式。

一般地，在一个代数式中，无论把其中哪两个字母互换，式子都不变，那么这个代数式就叫做关于这些字母的对称式，如a b c ++，222a b c ab bc ca ++−−−，3333a b c abc ++−等都是关于,,a b c 的对称式。

(2)交代式：在一个代数式中，如果把它所含的两个字母互换，得到的式子和原来的代数式只差一个符号，那么这个代数式就叫做关于这两个字母的交代式。如把a b −，22a b −中的两个字母,a b 互换，分别为()b a a b −=−−，2222()b a a b −=−−则a b −，22a b −就叫做关于,a b 的交代式。

(3)轮换式：在一个代数式中，如果把所含字母顺次替换(即第一个字母换成第二个字母，第二个字母换成第三个字母，以此类推，最后一个字母换成第一个字母)，式子不变，那么这个代数式就叫做关于这些字母的轮换对称式，简称轮换式，如a b c ++，ab bc ca ++，3333a b c abc ++−等都是关于,,a b c 的轮换式。

2、齐次对称式的一般形式

(1)二元齐次对称式

二元一次齐次对称式：)(b a L +；

二元二次齐次对称式：Mab b a L ++)(22；

二元三次齐次对称式：)()(33b a Mab b a L +++。

(2)三元齐次对称式

三元一次齐次对称式：)(c b a L ++；

三元二次齐次对称式：)()(222ca bc ab M c b a L +++++；

三元三次齐次对称式：)()([)(22233a c b c b a M c b a L ++++++Nabc b a c +++)](2。其中L，M，N 都是待定的常数，不含有,,a b c 。

3、基本性质

(1)对称式一定轮换式，但轮换式不一定是对称式。例如a c c b b a 222++是轮换式，但把,a b 互换，得到b c c a a b 222++，显然它不是关于,a b 的对称式。

(2)两对称式的和、差、积、商一定是对称式；两轮换式的和、差、积、商一定是轮换式。

(3)两交代式的积是对称式；一对称式和一交代式的积是交代式。如22))((b a b a b a −=−+(对称式×交代式=交代式)；)()())((222b a b a b a b a +−=−−。(交代式×交代式=对称式)。

(4)有若干个字母的交代式，一定能被其中任意两个字母的差整除，如交代式22b a −能被()a b −整除。

对于轮换式的因式分解，常用的方法是选定一个字母(例如x )作主元，将其余的元看成确定的数，然后用因式定理来确定它的因式，再利用轮换式的特征，定出几个相应的因式。例如，对一个关于z y x ,,的轮换式，如已定出y x −是它的一个因式，则x z z y −−,都是它的因式。

4、对称式、交代式和轮换式的因式分解

例1、分解因式)()()(222b a c a c b c b a −+−+−。

解：由于原式是关于,,a b c 的三次齐次交代式，根据性质(4)，它一定能被a b −，b c −，c a −整除，即能被))()((a c c b b a −−−整除。

但))()((a c c b b a −−−是三次齐次交代式(性质(3))，

∴)()()(222b a c a c b c b a −+−+−)())((a c c b b a L −⋅−−=。

令1,2,1−===c b a ，则3+(－3)+(－1)=L(－1)·3·(－2)。∴L=1。

因此)()()(222b a c a c b c b a −+−+−)())((a c c b b a −⋅−−−=。

例2、分解因式)()()(233y x z x z y z y x −+−+−。

解：由于原式是关于,,x y z 的四次齐次交代式，根据性质(4)，它一定能被x z z y y x −−−,,整除，即能被))()((x z z y y x −−−整除。

但))()((x z z y y x −−−是三次齐次交代式(性质(3))，

∴原式=))()()((x z z y y x z y x L −−−++。其中)(z y x L ++是一次齐次对称式(性质(3))。令0,1,2===z y x ，则L ××−×=+−+1)2(10)2(8∴L=－1

因此))()(()()()()(233x z z y y x z y x y x z x z y z y x −−−⋅++−=−+−+−。

例3、分解因式555)()()(a c c b b a −+−+−。

解：原式是关于,,a b c 的五次齐次交代式，仿上两例知它能被))()((a c c b b a −−−整除，

因此原式还应有一个二次齐次对称式的因式)()(222ca bc ab M c b a L +++++。

∴555)()()(a c c b b a −+−+−＝[)()(222ca bc ab M c b a L +++++])

)()((a c c b b a −−−令1,1,0−===c b a ，则2L－M=15，令2,1,0===c b a ，则5L+2M=15。

解⎩⎨⎧=+=−1525152M L M L 得L=5，M=－5。

∴555)()()(a c c b b a −+−+−))()()((5222a c c b b a ca bc ab c b a −−−−−−++=。

例4、分解因式abc c b a 3333−++。

解：由于原式是关于,,a b c 的三次齐次对称式，如果它能分解，则必有一个一次齐次对称式a b c ++做为因式，而另一个因式应是二次齐次对称式)

()(222ca bc ab M c b a L +++++∴原式=)(c b a ++[)()(222ca bc ab M c b a L +++++]。

令1,0===c b a ，则L=1；

令1,0===c b a ，则2L+M=1，M=－1。

∴abc c b a 3333−++=)(c b a ++)(222ca bc ab c b a −−−++。

例5、分解因式5555)(z y x z y x −−−++。

解：原式是关于,,x y z 的五次齐次对称式，所以它如果能分解，必有一个一次对称式因式。我们判断x y +是否是它的因式：

假设5555)(z y x z y x −−−++=()x y +Q(Q 是整式)，

令x y =−，由05555=−−+z y y z 知原式有因式x y

+同理知y z +，z x +都是原式的因式。

但))()((x z z y y x +++是三次齐次对称式，所以原式应有一个二次齐次对称式的因式：)()(222zx yz xy M z y x L +++++(性质(3))。

∴5555222()()()()[()()]

x y z x y z x y y z z x L x y z M xy yz zx ++−−−=++++++++令1,0===z y x ，则2L+M=15；

令1===z y x ，则L+M=10。