数学问题杂谈 (4)

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数学杂谈-(二元一次联立方程式)

第一章二元一次联立方程式数学杂谈一、教学设计理念1-1 二元一次方程式本节先由二元一次式介绍至二元一次方程式，在式子的化简时，延续七上一元一次式对「项」以「＋」号区隔的概念，让合并化简运算归于较单纯的加法，虽然多了些篇幅，但可避免或减少学生在运算上的错误。

利用直式做式子的加减运算记录，更有助于下一节加减消去法解联立方程式的学习。

1-2 解二元一次联立方程式本节先介绍二元一次联立方程式，接着将目标放在代入消去法与加减消去法的学习，两种方法的初例介绍，都先由简易的题型开始，并刻意将解法以步骤呈现，加强学生的概念。

后续例题的介绍，遵循由浅至深、由易至难的原则逐步渐进，且题型尽量细分，并尽量安插适度的说明与引导，方便学生的学习。

本节另有介绍无限多解与无解的情形。

（例题12和例题13）1-3 应用问题本节主要目标在利用二元一次联立方程式解决生活情境的应用问题，首先让学生了解，在七上学习利用一元一次方程式解应用问题时的解题步骤，也适用于二元，接着先以给定假设的应用问题（例题1），整合§1-1与§1-2的学习，再进行须自行假设的学习，最后并加强解的合理性判别。

例题的安排也是由易入难，所列方程式也尽量设计成不相同的题型。

为加强学生的阅题能力，解说引用题干时，常加入「」来强调，期能对学生在应用问题的分析能力上，能逐步提升。

二、相关教学资源著名的九宫格，是将1～9等九个数字填入3行×3列的方格中，且使各行、各列、各对角线三数的和均相等。

在数字未填入时，可由（1＋……＋9）÷3求得其和为15。

数字1填入时，以格子的方位来看，可分三类不同的位置（如下图着色的格子为同一类）来讨论。

数字1填入第一类的格子是没问题的，如下图为其中一例。

但是否可以填入第二、三类的格子呢？可以利用二元一次方程式来解决这个问题。

P28若1填入第二类格子的○1，并设○2填入x、○4填入y，如下图。

（x、y为2～9不同的正整数）由○1＋○2＋○3＝15，1＋x＋○3＝15，得○3＝14－x由○1＋○4＋○7＝15，1＋y＋○7＝15，得○7＝14－y由○3＋○5＋○7＝15，14－x＋○5＋14－y＝15，得○5＝x＋y－13由○1＋○5＋○9＝15，1＋x＋y－13＋○9＝15，得○9＝27－x－y由○2＋○5＋○8＝15，x＋x＋y－13＋○8＝15，得○8＝28－2x－y由○4＋○5＋○6＝15，y＋x＋y－13＋○6＝15，得○6＝28－x－2y○1 1 ○2x○314－x○4y○5x＋y－13 ○628－x－2y○714－y○828－2x－y○927－x－y最后由○3＋○6＋○9＝15或○7＋○8＋○9＝15均可得x＋y＝18，但因x、y需为2～9不同的正整数，所以无解，也就是数字1不能填入第二类的格子中。

数学问题杂谈 (34)

• 遇到不會的數學問題時，我會先想以前是否有解過類似的題目。 • 我做完一題數學題時，會檢查一下答案是否合理。 • 我學會一種解題方法後，會找其他類似的題目做做看，以了解自己是否真正學會了。
• 我在做數學題時，會先了解題目的意義再想辦法解答。 • 解數學題時，我會先判斷題目的類型再決定用什麼方法來解答。
• 老師和同學所說明過的數學題目，我會以自己的想法再做做看。 • 我在做數學習題時，會應用學過的數學知識。
• 我會把過去所學到的數學知識和現在所學的連貫起來。 • 我會把學校裡所學的數學知識和學校以外所學的數學知識連會運用方法將數字分解或組合以方便計算或思考。 • 我做數學題遇到困難時，會試著畫圖或其他方法來分析題目。
• 上數學課時，如果我可以了解老師和同學講的內容，我才會認真聽講。 • 在做數學問題時，我比較會記得我認真思考過的題目。
• 組織訊息
• 上數學課時，老師和同學所講的內容常讓我想起過去學過的有關的知識。 • 我在做數學問題時，會在腦海中分析和組織學過的關連知識。
• 當我在做數學時，我會回想老師和同學所提過的類似的例子。 • 我常將數學課時老師和同學所講的內容關連起來以方便學習。 • 我會將最近學到的數學作一番整理。
•問題真的很困難,我就放棄因為 •甲生:越逃避就越困難（不是） •乙生：困難的題目我會的就不會放棄（不確定）
• 數學在生活中是有用的因為 •甲生:例如買東西時是用的到的（是） •乙生：要算＋-×÷比較方便（是）
• 我比較喜歡自己做數學（比較不喜歡和同學一起做）因為 •甲生:比較安靜（是） •乙生：我喜歡自己一個人做（不是）
• 數學學習後設認知量表
• 非常符合 • 有點符合 • 有點不符合 • 非常不符合

数学问题杂谈 (42)

数学学习与解决问题
主讲：汪纯中
一.解决问题概述二.解决问题的基本过程三.课改为解决问题搭建平台
一.解决问题概述
1.备受关注的解决问题
“初步学会运用数学的思维方式去观察、分析现实社会,去解决日常生活中和其他学科学习中的问题” 具体要求包括: 1. 逐步学会从数学的角度提出问题,理解问题,并能综合运用所学知识和技能解决问题; 2. 形成解决问题的基本策略,体验解决问题策略的多样性,发展实践能力与创新精神; 3. 学会与人合作,并能与他人交流思维的过程和结果,逐步形成评价与反思的意识.
第四步验证所得的解答
二.解决问题的基本过程
1.几种模式 2.解决问题与数学思考
（1）特殊化与一般化
特殊化 —— 考虑特殊情况，取特殊值，简化问题，作图作表格等
例1. 证明:长为4 的闭曲线L,一定可以用一个半径为的圆把它覆盖住,并且该圆是所有能覆盖曲线L的圆中的最小一个圆.
l
例2. 函数
2
2 5
2 某程甲乙队包2 天以成需付工由、两承，可完，支 1800元； 5 3 由、两承，天以成需付乙丙队包3 可完，支 1500元由、；甲 4 6 丙队包2 天以成需付两承，可完，支 1600元在证个。保一 7 星内成项程前下选哪队独包用期完这工的提，择个单承费最？少
定义在整数集上,且满足
求
例3. 设a、b、c、d是四个正实数，且其中有两个小于1. 求证：(1-a)(1-b)(1-c)(1-d)>1-a-b-c-d (1-a)(1-b)(1-c)(1-d)>1-a-b-c-d

小学数学杂谈--因数与倍数-

小学数学杂谈----因数与倍数1.因数和倍数如果整数A能被整数B整除，A就叫做B的倍数，B就叫做A的因数，（在自然数的范围内）。

如：6÷3＝2 6是3和2的倍数：2和3是6的因数必须注意：①、被除数、除数、商都必须是整数如10÷4=2.5 4就不能说是10的因数，也不能说10是4的倍数②、不能把一个数单独的叫做倍数或因数；只能说谁是谁的倍数或因数，如：6÷3=2，不能说6是倍数，2是因数，只能说6是3的倍数，3是6的因数。

③、什么是自然数：自然数是用来表示物体个数的1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11……都是自然数，0也是自然数，最小的自然数是0，自然数的个数是无限的。

2.整除的特征⑴能被2或5整除的数的特征能被整数2正常的数：个位上的数是0、2、4、6、8. 能被5整除的数：个位上的数是0或5.个位上的数是0的数，既能被2整除又能被5整除。

⑵能3或9整除的数的特征一个数各个数位上的数字的和能被3整除这个数就能被3整除。

1一个数各个数位上的数字的和能被9整除这个数就能被整除。

如：9231各个数位上的数字的和是9+2+3+1=15,能被3整除所以9231能被3整除72702各个数位上数字和是：7+2+7+0+2=18能被9整除所以72702能被9整除⑶能被4或25整除的数的特征一个数末两位能被4或25整除，那么这个数就能被4或25整除。

末两位数是0的，即整百数，既能被4整除，又能被25整除。

如：1928、17500能被4整除925、7700能被25整除其中17500和7700既能被4整除又能被25整除⑷能被8或125整除的数的特征一个数的末三位能被8或125整除那么这个数就能被8或125整除。

末三位数是0的，即整千数，既能被8整除，又能被125整除。

如：8712、7000能被8整除；1625、35000能被125整除，其中7000和35000既能被8整除又能被125整除⑸能被7,11,13整除的数的特征一个数字末三位上的数字所组成的数字与末三位以前的数字所组成的数字之差能被7,11,13整除，那么这个数就能被7,11,13整除2如：246288，由于288－246=42.42能被7整除所以246288能被7整除。

数学问题杂谈 (23)

令人担扰的一些现象
• 教师与学生仍然十分辛苦，所取得的成绩与所教师与学生仍然十分辛苦，付出的辛劳不成正比。付出的辛劳不成正比。 • 课堂教学出现有其形，无其神的现象课堂教学出现有其形，无其神的现象——表面表面热热闹闹，热热闹闹，实质效率不高 • 高难度、大题量的操作性、重复性训练高难度、大题量的操作性、
• 合作方式规范：除了知识方面的合作，还有人合作方式规范：除了知识方面的合作，际关系与行为规范方面的要求，包括分工、际关系与行为规范方面的要求，包括分工、倾争论、归纳、总结等要求。听、争论、归纳、总结等要求。
• 合作时机恰当合作时机恰当——是传递接受教学的一是传递接受教学的一种补充，种补充，
• 马斯洛的“需要”理论马斯洛的“需要”
– 人人都有对生理、安全、归属、尊重、自我实现的人人都有对生理、安全、归属、尊重、需要。需要。
• 群体动力理论
– 在一个合作性群体中，具有不同智慧水平、不同知在一个合作性群体中，具有不同智慧水平、识结构、不同思维方式的成员可以互相启发，识结构、不同思维方式的成员可以互相启发，互相补充，在交流的撞击中，产生新的认识，补充，在交流的撞击中，产生新的认识，上升到新的水平。的水平。
• 适宜性：情境问题、例、习题等的难易程度符适宜性：情境问题、合学生的认知水平
二、关于教与学的方式
• 新课程的理念之一新课程的理念之一——提倡积极主动的提倡积极主动的学习方式 • 积极主动的学习方式的内涵
– 自主学习 – 合作学习 – 探究学习
教学实践中的偏差
• 合作学习：重形式，轻实质合作学习：重形式，
自主学习的特征
• 对为什么学习、能否学习、学习什么、如何学习有对为什么学习、能否学习、学习什么、强烈的意识和反应，一般包括以下三方面。强烈的意识和反应，一般包括以下三方面。 • 自我监控自我监控——针对自己的学习过程所进行的一种观针对自己的学习过程所进行的一种观审视与评价；察、审视与评价； • 自我指导 ——采取使学习行为趋向学习结果的行为，自我指导——采取使学习行为趋向学习结果的行为采取使学习行为趋向学习结果的行为，包括制定学习计划、选择适当的学习方法、包括制定学习计划、选择适当的学习方法、组织学习环境等 • 自我强化自我强化——根据自己的学习能力、学习任务的要根据自己的学习能力、根据自己的学习能力积极主动地调整学习策略和努力程度的过程。求，积极主动地调整学习策略和努力程度的过程。 • 自主学习是学习的一种内在品质，贯穿于学习的每自主学习是学习的一种内在品质，一个环节之中，需要在长期的学习过程中培养。一个环节之中，需要在长期的学习过程中培养。

数学课堂教学杂谈

数学课堂教学杂谈摘要:新课程改革是基础教育的核心,集中体现了教育思想和教育观念的转变。

教育内容、教育方法的更新,是落实素质教育目标的重要措施,对数学课堂教学提出了许多新的要求。

关键词:激发兴趣培养探索能力辅导学生感受生活变式练习创新能力新课程改革是基础教育的核心,集中体现了教育思想和教育观念的转变。

教育内容、教育方法的更新,是落实素质教育目标的重要措施,对数学课堂教学提出了许多新的要求。

笔者从近几年的课改教学经历中,深感新课改的重要作用,尝试到素质教育得到的实效。

现谈几点认识。

一、激发学生学习兴趣是搞活课堂教学的关键1、巧设导语,激发兴趣俗话说:“好的开头是成功的一半。

”一个新颖的导语可以活跃课堂气氛,激发学生的学习兴趣。

在讲一元一次方程应用时,我引用这样一段导语:“有一位山区的农民担着空筐,手拉刚会走路的儿子去地里干活。

半路上,儿子走不动了,他就把儿子放在一个框里,另一个框里放几块石头挑起来走,这样逗得他儿子直乐,”我问大家他儿子了什么?他为什么要在另一个框里放石头?这样一来,学生的兴趣一下子被调动起来,争着发言:“他儿子坐着晃悠悠的,很美。

”“我也这样坐过,真舒服。

”“放石头是让两个框里的重量相等。

”“扁担就像方程里的一个等号。

”等等。

从而引出课题——“再探实际问题与一元一次方程。

”2、创设情境,激发兴趣兴趣能激发学生的思维活动,而思维的进一步深化又往往从疑问开始。

课堂上巧妙地推出一系列恰到好处的问题,能诱导学生很快地投入到思维状态之中。

初一的学生对性质定理和判定定理容易混淆。

我采用现实生活中的常见的动物“猫”来启发大家。

当问猫都有哪些习性时,学生的注意力和想象力都集中起来了,通过议论大家把会逮老鼠看做是猫的特性,它酷似一个定理的性质,把“会逮老鼠的动物才是猫”作为对猫这种动物的判定,又恰如是一个定理的判定,这样加深了对定理性质和判定的区分和理解,又引导学生对数学其他问题的探讨。

二、注意培养学生探索能力1、明确探索目的,让学生带着问题去探索由于初中学生年龄尚小,好奇心强,思维能力有限,不能自主地去发现问题、研究问题。

数学问题杂谈 (41)

数学问题情境教学意义与实施
民一中学
罗良勤
1 、数学问题情境教学能够反映数学与生活的联系

问题源于情境，“情境”是提出数学问题的背景，此背景必须和学生的生活经验和数学经验相关，因此数学问题情境教学能够充分反映数学与生活的联系。在学生原有知识和经验的基础上，有意识地让学生陷入新的困境，引起认知冲突，唤起学生对新知识学习的欲望。
数学问题情境创设的注意点
1 问题情境的创设要注意呈现方式的选择性 2 问题情境的创设要有明确性 3 问题情境的创设要形成系列化
教学中有必要创设那么多的问题情境吗

新课程将“问题情境——数学模型——解释、应用和拓展”作为内容呈现的一个形式，目的是关注数学与现实的联系，另一方面，将这种形式作为教科书体例的一个相对固定的形式，试图以教科书为载体促使教师改进固有的教学喧宾夺主型 2、牵强附会型 3、调控无力型 4、拐弯抹角型
什么才是好的数学问题情境

我们在关注数学问题情境趣味性、现实性的同时，更要关注数学性。 “数学问题情境”，首先情境中要有“问题”，即数学问题，如果情境中没有数学问题，那这样的情境即使再有趣，再现实，也称不上是好的问题情境；其次，问题情境要凸现数学知识的本质属性，要能够从情境中有效地引出数学知识，因此，一个好的数学问题情境应是趣味性、现实性和数学性三方面的统一。
2 数学问题情境教学能够体现数学化的过程

数学活动就是学生学习数学，探索、掌握和应用数学知识的活动。数学活动不是一般的活动，而是让学生经历数学化过程的活动，数学化是指学生者从自己的数学现实出发，经过自己的思考得出有关数学结论的过程
3 数学问题情境教学能够增强学生数学应用的意识

小学应用题教学杂谈

小学应用题教学杂谈现代教育中提倡以培养学生创新精神和实践能力为核心的素质教育。

应用题是小学数学教学中的重要内容，通过对应用题的教学，有助于学生理解数学概念，培养学生解决简单实际问题的能力和逻辑思维能力，让学生形成良好的心理素质和学风。

让学生主体参与学习，活跃课堂氛围就显得尤为重要。

现在小学《新课程标准》不再独立设置“应用题”单元，取消了对应用题人为分类。

而是将分学段目标中“知识与技能”、“数学思考”、“解决问题”、及“情感与态度”并列，分学段提出了具体的要求。

要想实现“解决问题”目标的课程渠道，就要对应用题的教学进行改革。

由于它的内容具有开放性和综合性，解题过程要求学生有较高的思维水平，在教学过程中受传统教育观念的束缚，教学不得法，因此，解答应用题成为数学教学中的一个“老大难”问题。

如何让学生更好的掌握应用题的解题方法，教学时必须遵循儿童的思维特点和规律，结合应用题本身的结构特点，改变教法，化难为易。

教学中，针对应用题的不同结构特点和学生存在的问题我做了如下尝试。

一、创设情景，将日常生活融入应用题题材，帮助学生全面理解题意数学知识来源于生活，所以应该选择与学生生活实际密切相关，具有生活气息的教学内容。

我们在处理教材时，既要尊重教材，有选择的针对教材进行取舍，挖掘教材中的生活素材。

寻找教材中的数学知识与学生熟悉生活情境有机的切入点。

激发学生学习的兴趣，使课堂充满生机、充满活力，使学生真正感受到数学与日常生活的密切联系，也增加了学生对学习数学的亲切感。

事实上，“现实生活就是数学的丰富源泉，也是数学应用的归宿。

任何数学概念都可以在现实中找到它的原形，从而体现出了数学源于生活服务于生活。

只要细心地观察周围的世界，我们就能发现到处都是数学。

”要让学生会做应用题，学生必须对应用题熟悉。

只有让学生有了认真读题的习惯，使题目的情节、数量关系等在解题时自始自终地保持在学生地头脑中，才可能更好的解题。

在学习分数、百分数应用题时，学生只要把部分与整体的关系、具体数量与比率的对应关系表示出来，应用题解答的任务便完成了一半。

数学问题杂谈 (20)

仙降镇中心小学陈秀道
游戏规则：双方轮流按顺序从1开始报数，每人最
多只能报2个数，谁抢到6，谁就是赢家。
试验要求：
1、同桌合作，一人掷硬币20次，另一人记录正面朝上和反面朝上的次数。 2、试验结束后，前后桌合作，统计共掷硬币40次正面朝上的次数。 3、小组长用计算器计算正面朝上的次数除以40的商（结果保留三位小数），
组总次正面朝比较组别别数上次数值 1组 40 8组 2组 40 9组
3组 4组 5组 40 40 40 10组 11组 12组
总次正面朝比较数上次数值 40 40
40 40 40
6组
7组
40
40
13组
总计
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
40
历史上数学家所做的试验数据
实验者蒲丰德摩根费勒皮尔逊皮尔逊罗曼诺夫斯基投掷次数正面朝上次数 4040 2048 4092 10000 12000 24000 80640 2048 4979 6019 12012 39699 比较值 0.507 0.501 0.498 0.502 0.501 0.492
福利彩票中特等奖的 1 可能性只有。
10000000
9 明天下雨的可能性是 10
。
我种下了100粒种子，他们都能成活吗？
概率小史概率主要研究不确定现象，他起源于博弈问题。 15-16世纪意大利数学家们曾讨论过“如果两人赌博提前结束，该如何分配赌金”等问题，比如，两个人做掷硬币游戏，掷出正面甲得1分，掷出反面乙得1 分，先得到10分的人赢得一个大蛋糕，如果游戏因故中途结束，此时甲得了8分，乙得了7分，那么他们该如何分配这个蛋糕？为了回答类似述问题，人们对不确定现象做了大量研的究，如前面已经例举了历史上一些数学家所做的掷硬币试验的数据。对不确定现象的研究，最终促生了概率论的产生。它字产生之日起，就与人们的实际生活有着密切的联系，并且解决了科技发展中的许多问题，正因为如此，这门学科有着很强的生命了和广阔的发展前景。

数学杂谈-(二次方根与勾股定理)

P80第二章二次方根与勾股定理数学杂谈一、教学设计理念2-1 二次方根的意义在实数系中，无理数是不可或缺的，为了使学生建立无理数的概念，本教材藉由「正方形面积反求边长」的方法，让学生先承认这个数的存在，再引进根号数的符号，接着安排学习根号数的相反数，目的是想使学生对根号数的正负数有所区别，以做为学习平方根意义的先备知识。

教材中也藉由电算器及乘方开方表，让学生更能尽量接近一个根号数的值，使根号数能成为一个确定的「数」，逐步让根号数的观念更趋于完善。

2-2 根式的运算教材中先处理根式的乘除，再做根式的加减，目的是便于判别同类根式，以利根式的化简，进而处理根式的四则运算。

教材中更利用已习的乘法公式做为根式运算的练习，藉此连结，使学生熟练分母根式的有理化。

2-3 勾股定理一般来说，勾股定理有三种表达方式（梁宗巨，民84）：1. 直角三角形斜边上的正方形等于直角边上两个正方形这里的「等于」意指「拼补相等」。

所谓的拼补相等，是将直角边上的两个正方形经过切割，再合并拼凑成斜边上的正方形。

此种作法，完全没有从数的观点出发，只考虑图形经由切割拼凑后的全等问题。

为了区别于别种不同思维下的「勾股定理」，有学者专家称此为「形的勾股定理」。

2. 直角三角形斜边长度的平方等于两个直角边长度平方之和这种「勾股定理」强调长度的平方，并未涉及长度平方所代表的几何意义，较强调数的运算，故有人称其为「数的勾股定理」。

中下程度的学生对此较难理解，然而透过数值的计算，便可让学生了解定理的合理性。

3. 直角三角形直角边上的两个正方形面积和等于斜边上正方形的面积我们常用数量相等来表示面积相等的概念，然而面积是几何概念，不一定要用数的计算才能判定面积是相等的，所以此种「勾股定理」的概念可说是数形关系的连结。

本教材是以数形关系的连结做为教材设计的理念，并在文中介绍有关勾股定理的数学史，以增加学生学习此单元的兴趣，接着再处理勾股定理的应用，最后将它连结到两点距离公式，使勾股定理成为学生了解两点距离公式的基本心像。

赵一平老师—数学教育杂谈

口算
笔算（利用短时记忆）转换（利用已有的知识）
例2 求最大公约数
1。给出两个自然数 a,b; 2。求a除以b 的余数 c; 3。a=b , b=c; 4。如果b≠0 重复2、3; 5。a 即为所求的最大公约数。
例2 求最大公约数
1。没有考虑a或b等于零的情况； 2。没有考虑 a和b都等于零的情况。在手动的时候没有问题，但在计算机实现时会找造成系统崩溃。必须考虑周全。
理解数学
强调合理性强调适应实际的需求例：单位的引入、数对的使用,运算的顺序与括号的引入、中位数、分数的大小比较与通分加减乘除号、除法运算为何从高位算起。如何会想到三角形内角和？角的分类。量角器怎么发明的？比例尺
数学把人教“严密”
——什么事都要问个为什么？
三角形全等判定的本质
1、三边对应相等的三角形全等。 2、两边和夹角对应相等的三角形全等。 3、两角和一边对应相等的三角形全等。
查找假珍珠
有9颗大小、形状、颜色不可区分的珍珠，其中有一颗是假的，它比其他的珍珠略轻，现有一架没有砝码的天平，问最少称多少次可找出假珍珠。
哥尼斯堡桥问题
哥尼斯堡桥问题

直观的严密 1、矩形的对角线相等 2、统计与概率中抛硬币、掷骰子问题逻辑的严密 1、能被2、3、9、11整除的数的特征 2、内项积等于外项积归纳法
抽象概括能力
1 1+2 1+2+3 …… 1+2+3+…+99 1+2+3+…+99+100
s=1 s=s+2 s=s+3 …… s=s+99 s=s+100

数学问题杂谈 (1)

3
x
3
大-小小 4长方形长方形 4梯形梯形 4正方形正方形
一标志性建筑的底面呈正方形，在其四周铺上花岗石，一标志性建筑的底面呈正方形，在其四周铺上花岗石，形成一个宽为3米的正方形边框（如图）。）。已知铺这个边框恰形成一个宽为3米的正方形边框（如图）。已知铺这个边框恰好用了192块边长为0.75米的正方形花岗石, 192块边长为0.75米的正方形花岗石好用了192块边长为0.75米的正方形花岗石,问标志性建筑底面的边长是多少米? 面的边长是多少米? 分析：分析：用x表示中间空白正方形表示中间空白正方形本题的等量关系是的边长，的边长，
一标志性建筑的底面呈正方形，在其四周铺上花岗石，一标志性建筑的底面呈正方形，在其四周铺上花岗石，形成一个宽为3米的正方形边框（如图）。）。已知铺这个边框恰形成一个宽为3米的正方形边框（如图）。已知铺这个边框恰好用了192块边长为0.75米的正方形花岗石, 192块边长为0.75米的正方形花岗石好用了192块边长为0.75米的正方形花岗石,问标志性建筑底面的边长是多少米? 面的边长是多少米?
23 + 20 − x = 2(17 + x)
希尔伯特说：希尔伯特说： “ 当我听别人讲解某些数学问题时，人讲解某些数学问题时，常觉得很难理解，甚至不可能理解。得很难理解，甚至不可能理解。这时便想，这时便想，是否可以将问题化简些呢﹖ 往往，简些呢 ﹖ 往往，在终于弄清楚之后，实际上，之后，实际上，它只是一个更简单的问题。简单的问题。”
3 x+3 x+3
x
3
4 × 3( x + 3) = 0.75 × 0.75 × 192

数学数学杂谈-(三角形的基本性质)

第三章三角形的基本性质数学杂谈一、教学设计理念3-1 内角与外角首先利用绕公园旋转一圈刚好是一周角360度，导出三角形的内角和为180度，再利用内角和与外角和导出多边形的内角和。

这一节的重点是：(1) 经由了解内角和与外角和的由来，知道多边形的内角和与外角和公式。

(2) 利用内角和与外角和的公式做计算角度的问题。

(3) 了解正多边形的每一个内角与外角的由来与公式3-2 三角形的全等利用标尺作图了解三角形全等的意义，并利用三角形全等的意义作简单的计算与推理。

在做简单的推理时，因为是初学几何证明，不必强调证明的格式—已知、求证与证明，只要懂得其原理即可。

直到九上再正式进入几何证明的世界。

当然，此时不宜出现须使用辅助线的几何证明题。

3-3 垂直平分线与角平分线在第2 章曾经以线对称说明垂直平分线及角平分线性质，这一节将利用三角形全等性质说明垂直平分线、角平分线的性质及垂直平分线、角平分线的判别，也利用三角形全等性质说明等腰三角形的顶角平分线垂直平分底边，并运用这些性质进行相关的计算及应用。

3-4 三角形的边角关系三角形的边角关系是不容易了解与学好的单元，故这一节重点是：(1) 了解三角形两边之和大于第三边，也知道在何种条件下会形成一个三角形。

(2) 了解一个三角形中当有两边不等时，大边对大角，大角对大边。

(3) 利用三角形的不等关系做简单的计算。

(4) 利用三角形的不等关系做简单的推理。

推理训练的题目不宜复杂，以免学生不易思考。

二、注意事项3-1 内角与外角关于几何图形的求角度题目，宜将已知角度画在图形上。

3-2 三角形的全等(1) 利用三角形的全等做简单推理时，不宜要求学生将全部的证明过程撰写出来。

(2) 不宜出现需要增加辅助线或二次全等的题目。

3-3 垂直平分线与角平分线可在垂直平分线及角平分线性质的题目附上几何图形提供学生参考，命题时须注意题目中的条件是否合理。

3-4 三角形的边角关系利用三角形的边角关系做简单的推理，题目尽量简单，不要太复杂。

数学问题杂谈 (8)

y x
y 一比较发现 z x
第三，解答之后的检验 “这个问题是否可以推广呢”。实际上，这道题的方法是可以推广的。比如当以后我们看到形如 z x 2 y 2 这样的目标函数时我们也知道怎么做了。因为这个目标函数表示的是圆的半径，圆心在原点
（二）波利亚（G.Polya）的解题框架
已知条件
空隙缩小
缩小
指导策略
背景命题
操作
推理规则
根据奥苏贝尔的模式，问题解决经历了四个阶段：
1、呈现问题情境命题
奥苏贝尔认为问题是由有意义的言语命题构成的，其中包含了目标和已知条件。
2、明确问题目标和已知条件学生将问题情境与自己的认知结构联系起来，从而理解所面临问题的性质与条件。这样既明确了问题的初始状态，又明确了解题的目标。
3、知识迁移因素能否拥有可迁移的知识和技能迷失否能激活与当前问题有关的图式，是否能将当前问题与头脑中已形成的模式匹配等，会对解决数学问题产生直接影响。
4、解题策略因素（1）解题者是否掌握了必须的解题策略。这是有效解决问题的前提。（2）解题者能否根据问题的情形有效地选择解题策略是解决问题的关键。
第五，在数学学习心理学中，问题解决是一系列有目的指向的认知操作过程，是以思考为内涵、以问题为目标定向的心理活动过程。这是把数学问题解决理解为一种操作过程或心理过程。
数学问题解决是指综合地、创造性地运用各种数学知识去解决那种并非单纯练习题式的问题，包括实际问题和源于数学内部的问题。Leabharlann （三）数学问题解决的认知模式
通过以上分析，结合现代认知心理学对问题解决的研究，我们可以将问题解决的认知模式概括为
理解问题选择算子执行方案回顾

数学问题杂谈 (9)

老師自我角色的定位是關鍵
考試時間：從研究的角度
有無較優質的數學線上學習網站可提供給學
生或家長？有無較優質的數學線上學習網站可提供給學生或家長？
診斷測驗網站昌爸數學工作坊
博愛國小網站：學生專區/數學園地
…
考試時間：從研究的角度
學生對分數概念不易理解，部分？整體？單
位的混淆
連續量中基準量「1」的重要離散量中單位容易混淆多透過畫圖來呈現分數的概念
考試時間：從研究的角度
如何提升學生計算能力
四則運算中，所需具備的「基本」能力為何？各類基本事實的熟練估算能力的重要，要有number sense × 10、× 100、÷ 10、÷ 100的能力熟練的歷程中也可以理解和有趣計算熟練可以增進學生學習信心
考試時間：從研究的角度
一個老師的「故事」
Teaching
transformation
Key factors and processes
Dialog with adviser Reflection on teacher’s role and identity
Review and evaluate teaching by theory
Teaching for diversity
意即Math for all
「真實的」情況
Teachers’
resistance
Resistance to pedagogical change, RPC Against the notion that teaching for understanding Resistance to ideological change, RIC Against the notion that all children can learn

数学问题杂谈 (39)

2、教学对策： ⑴教学思维方式 ⑵把握教学呈现方式特点 ⑶重视数学问题建模方法的指导，重视这方面的能力培养 ⑷要面向全体，让人人经历数学问题建模过程，并获得体验。
问题与数学问题
－谈解决问题中的数学问题
台州市教育局教研室王瑞达
一、什么是问题
• 把问题界定为给定的信息和目标之间有某些障碍需要加以克服的情景
二、什么是数学问题
• 可以这样说，研究数量关系和空间位置的相关问题 • 数学问题具有的特征特殊性、障碍性、激励性、题）
1、一个具体的数学问题具有一定的模式 2、在新教材中的呈现方式主要是:图景式或图文对话式数学文字语言表达式 3、新教材这种呈现方式的意图何在 ⑴培养学生数学问题意识 ⑵培养学生数学问题建模能力 ⑶寓思考方法，培养学生思维能力 ⑷培养学生获取信息和处理信息的能力
四、教学中的问题和对策
1、存在问题： ⑴数学问句式 ⑵数学问题建模不到位 ⑶数学问题经历缺失

数学杂谈-(比例)

第三章比例数学杂谈一、教学设计理念3-1 比例式3-1节的出发点是从日常生活中的一些事物含有比例的关系开始，从中抽取数学相关的知识，例如：棒球比赛中的打击率、篮球比赛中的命中率、⋯⋯。

由于国小的教材已处理了比与比值（含扩比与约比），因此先复习比与比值的意义及比值的求法，再将比值的计算推广到分数的比与小数的比，这些概念都会运用到之后的单元里。

当学生学会了比值的求法后，接下来介绍比例式的意义，这个单元的学习将衔接九上第2章的相似形。

在比例式的应用中，将介绍数学上一个重要的概念—参数式。

在课文中为了不增加学生学习的负担，这个名称不会出现，但是这个概念希望教师能够多加以介绍。

3-2 连比例以园游会卖的综合果汁为例引出连比例的关系，并且以调配出的口味一样作为连比例相等的引导，同时将连比例的应用与比例分配作结合。

而从连比例可以观察出其中的部分比，相对地，从部分的比如何求出连比，便是希望学生能透过实例观察而发现关键：找出相同的文字，并且其中所对应的数相同，便可以写出连比。

3-3 正比与反比正比与反比是理化课程里与日常生活中经常会碰到的例子，当然也有一些例子既不是正比也不是反比。

在正比的例子中，举出虎克定律，让学生了解弹簧秤的伸长量与所挂物重成正比，事实上，还有很多例子也都是成正比的关系，例如：在速率一定时，时间与距离成正比。

同样地，反比也是如此。

本单元只介绍正反比的概念与应用，至于正比与反比的图形，在本单元则不做介绍。

二、相关教学资源1. 相关属性都有可加性同一件事物可以同时具有数个属性，而且这些属性都可以量化。

例如：一包蔗糖有重量、体积、价钱，粗细均匀的粗铁线有长度、体积、重量、价钱等。

这些属性量化后的数值，具备可加性。

不仅可以2倍、3倍地增加，也可以做等分割（至少在理论上），因此也可以平分成p 份，拿q 份，而得到q p 倍。

当其中一个属性被q p倍，对每一种属性选定一个适当的单位，则该事物可以用（a , b , c , ……, k ）描述之。

难稳控重点学生谈话记录内容

难稳控重点学生谈话记录内容班主任与学生谈话记录之一时间：09年11月12日地点：实习老师办公室对象：0幼师二班柯玉琴主题：近日心态不稳定，研究力不从心的问题近一个月以来，天气逐渐变冷，又因为学校连续放假的原因，学生的研究状态很差，研究情绪不好，一天，有一位学生可能意识到自己不能这样昏昏下去，但又不知道该如何做，就去找了班主任。

班主任让他坐在自己对面，先是问了他一句话：“柯玉琴，怎么了，这一段时间以来，我感觉你的状态不是太稳定啊？”柯玉琴说：“老师，我这一段时间以来，研究、生活状态都不是特别好，感觉整天在班里没有研究动力、没有压力，看到别人说话时就想说话，有时候还很烦，我想我要是一直这样下去就完了，老师，您说该怎么办啊？”班主任：“你能意识到这一点，这说明你对自己还是比较负责任的，这一段时间以来，大部分学生呢个都不能真正坐在那里钻研下去，对研究不执著，并且找不到推动自己研究的力量，这些老师能理解，但是这种状态是极其不健康的。

究竟为什么不能满腔热情的去完成一些我们力所能及的事情呢？我觉得首先是你们的心不静。

其次是心态的问题。

”柯玉琴：“老师，你说的对，就是心静不下来，浮躁。

自己控制不住自己。

该怎么样才能让自己静下来呢？”班主任：“关于这个问题，我有姐主意，说给你听听，你回去之后可以试试，如果有用的话，你可以传给咱班其他同学，如果不行，咱吗再坐一起探讨。

一是练字，当你心烦浮躁的时候，拿出来字帖练练，用心写，知道自己平静下来；三是做自己擅长的学科的题，就当是巩固训练，当你的心静下来时，再做其他难一些的题。

这样的话，生活研究感觉很充实，又没有浪费时间。

这几条你可以试试看。

”柯玉琴：“好的，老师，我回去试试。

”班主任：“其实，作为咱们这一代年龄的人，最缺乏的是吃苦的精神，缺的是执著的精神，很多事情做一个头就没有了尾，缺的是一个健康积极向上的心态！缺的是一种敢做敢当的气魄！在一些成功人士的心里，永远都有一条念支持着他！你是一个聪明的人，并且你的人际关系交往很和谐，如果你能够认真思考自己的未来，给自己定一系列的小目标，立长志！相你的未来一定是分美好的！一定会成功！”柯玉琴：“谢谢老师！”学生姓名：前明（化名）性别：男谈话时间：12:35 谈话时长：20分钟左右谈话要点：1、今天的数学作业怎么回事？2、中学数学与小学的不同？3、学会适应环境4、什么样的老师是好老师5、对他今后的希望谈话过程：为了尽快熟悉学生情况，只要是自己没课，我便会在班里蹲班，看看学生的表现。