高中数学复习提升-高考大题规范练1

高考大题规范练(一) 函数与导数

1．(2015·广东卷)设a >1，函数f (x )＝(1＋x 2)e x －a 。

(1)求f (x )的单调区间；

(2)证明：f (x )在(－∞，＋∞)上仅有一个零点；

(3)若曲线y ＝f (x )在点P 处的切线与x 轴平行，且在点M (m ，n )处的切线与直线OP 平行(O 是坐标原点)，证明：m ≤ 3a －2e －1。

解 (1)由题意可知函数f (x )的定义域为R ，f ′(x )＝(1＋x 2)′e x ＋(1＋x 2)(e x )′＝(1＋x )2e x ≥0，

故函数f (x )的单调递增区间为(－∞，＋∞)，无单调递减区间。

(2)证明：∵a >1，∴f (0)＝1－a <0，且f (a )＝(1＋a 2)e a －a >1＋a 2－a >2a －a ＝a >0。

∴函数f (x )在区间(0，a )上存在零点。

又由(1)知函数f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增，

∴函数f (x )在(－∞，＋∞)上仅有一个零点。

(3)证明：由(1)及f ′(x )＝0，得x ＝－1。

又f (－1)＝2e －a ，即P ⎝ ⎛⎭

⎪⎫－1，2e －a ， ∴k OP ＝2

e －a －0－1－0＝a －2e 。 又

f ′(m )＝(1＋m )2e m ，∴(1＋m )2e m ＝a －2e 。

令g (m )＝e m －m －1，则g ′(m )＝e m －1，

∴由g ′(m )>0，得m >0，由g ′(m )<0，得m <0。

∴函数g (m )在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增。 ∴g (m )min ＝g (0)＝0，即g (m )≥0在R 上恒成立，

即e m ≥m ＋1。

∴a －2e ＝(1＋m )2e m ≥(1＋m )2(1＋m )＝(1＋m )3，

即 3a －2e ≥1＋m 。故m ≤ 3a －2e －1。

2．已知函数f (x )＝(x 2＋bx ＋b )·1－2x (b ∈R )。

(1)当b ＝4时，求f (x )的极值；

(2)若f (x )在区间⎝ ⎛⎭

⎪⎫0，13上单调递增，求b 的取值范围。 解 (1)当b ＝4时，f ′(x )＝－5x (x ＋2)1－2x

，由f ′(x )＝0得x ＝－2或x ＝0。

当x ∈(－∞，－2)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减；

当x ∈(－2,0)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增；

当x ∈⎝ ⎛⎭

⎪⎫0，12时，f ′(x )<0，f (x )单调递减， 故f (x )在x ＝－2处取极小值f (－2)＝0，在x ＝0处取极大值f (0)＝4。

(2)f ′(x )＝－x [5x ＋(3b －2)]1－2x

， 因为当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13时，－x 1－2x <0，

依题意当x ∈⎝ ⎛⎭

⎪⎫0，13时，有5x ＋(3b －2)≤0，从而53＋(3b －2)≤0，所以b 的取值范围为⎝ ⎛⎦

⎥⎤－∞，19。 3．(2015·新课标全国卷Ⅱ)设函数f (x )＝e mx ＋x 2－mx 。

(1)证明：f (x )在(－∞，0)单调递减，在(0，＋∞)单调递增；

(2)若对于任意x 1，x 2∈[－1,1]，都有|f (x 1)－f (x 2)|≤e －1，求m 的取值范围。

解 (1)证明：f ′(x )＝m (e mx －1)＋2x 。

若m ≥0，则当x ∈(－∞，0)时，e mx －1≤0，f ′(x )<0； 当x ∈(0，＋∞)时，e mx －1≥0，f ′(x )>0。

若m <0，则当x ∈(－∞，0)时，e mx －1>0，f ′(x )<0；

当x ∈(0，＋∞)时，e mx －1<0，f ′(x )>0。

所以，f (x )在(－∞，0)单调递减，在(0，＋∞)单调递增。

(2)由(1)知，对任意的m ，f (x )在[－1,0]单调递减，在[0,1]单调递增，故f (x )在x ＝0处取得最小值。

所以对于任意x 1，x 2∈[－1,1]，|f (x 1)－f (x 2)|≤e －1的充要条件是

⎩⎨⎧ f (1)－f (0)≤e －1，f (－1)－f (0)≤e －1，

即⎩⎨⎧ e m －m ≤e －1，e －m ＋m ≤e －1。①

设函数g (t )＝e t －t －e ＋1，则g ′(t )＝e t －1。

当t <0时，g ′(t )<0；

当t >0时，g ′(t )>0。

故g (t )在(－∞，0)单调递减，在(0，＋∞)单调递增。 又g (1)＝0，g (－1)＝e －1＋2－e<0，故当t ∈[－1,1]时， g (t )≤0。

当m ∈[－1,1]时，g (m )≤0，g (－m )≤0，即①式成立； 当m >1时，由g (t )的单调性，g (m )>0，即e m －m >e －1； 当m <－1时，g (－m )>0，即e －m ＋m >e －1。

综上，m 的取值范围是[－1,1]。

4．(2016·河南省八市重点高中高三质量检测)已知函数f (x )＝

x ln x ，g (x )＝18x 2－x 。

(1)求f (x )的单调区间和极值点；

(2)是否存在实数m ，使得函数h (x )＝3f (x )4x ＋m ＋g (x )有三个不同

的零点？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由。

解 (1)f ′(x )＝ln x ＋1，