切线的判定和性质

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切线的性质与判定

P 图1切线的性质与判定直线与圆相切是直线与圆的特殊位置关系，有关的性质与判定也是圆中重点知识，现举例说明，供大家参考．一、切线性质的应用例1如图1，AB 是⊙O 的直径，PA 切⊙O 于A ，OP 交⊙O 于C ，连BC ．若∠P=30º，求∠B 的度数．分析：要求∠B 周角的2倍”，因此∠AOC=2∠B ，所以只要求出∠AOC 的度数，而PA 是⊙O 切线，根据圆的切线性质知△PAO 是直角三角形，而∠P 知，这样根据“直角三角形两锐角互余”即可求出∠B 的度数．解：因为PA 切⊙O 于A ，AB 是⊙O 的直径，所以OA ⊥PA ，即∠PAO=90º．因为∠P=30º，所以∠AOC =90º－∠P=90º－30º=60º．又因为∠AOC=2∠B ，所以∠B=30º．点评：“圆的切线垂直于经过切点的半径”，这一性质在求角的度数和线段长度中有着广泛的应用．二、切线的判定例2（兴义）如图2，AB 是⊙O 的直径，点P 在BA ∠BPC=30°．求证：PC 是⊙O 的切线．分析：由于题目中没有明确直线PC 与⊙O 因为∠BPC=30°，所以OD=12OP ．因为AP=12AB AP=OA=12OP ．所以OD= OA ，即圆心O 到直线PC O 的切线．点评：圆的切线的判定常见方法有两种类型：一当已知条件中已明确给出直线与圆的公共点时，常采用连接这点和圆心这条辅助线，去证明这个半径垂直于已知直线．这种方法简称“连半径，证垂直”．二当已知条件中没有明确给出直线与圆的公共点时，常采用过圆心作直线的垂线段这条辅助线，去证明垂线段的长度等于圆的半径长．这种方法简称“作垂直，证半径”．本例属于第二种类型．。

切线的判定和性质

情景导入
1、当你在下雨天快速转动雨伞时水飞出的方向是什么方向？ 2、砂轮打磨零件飞出火星的方向是什么方向？
下雨天转动雨伞时飞出的水，以及在砂轮上打磨工件飞出的火星，均沿着圆的切线的方向飞出。
自探1：
请在⊙O上任意取一点A，连接OA，
过点A作直线l⊥OA。思考：
（1）圆心O到直线l的距离和圆的半径有什么数量关系?
∴ l ⊥OA
O
l A
总结:
切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径。
O
l A
比较：
切线判定定理：
①过半径外端; ②垂直于这条半径.
切线性质定理：
①圆的切线; ②过切点的半径.
O
切线
l
A
切线垂直于半径
通过本节课的学习你还有什么疑问，请大胆提出来，我们共同解决。
运用拓展：
1、判断：
(1)过半径的外端的直线是圆的切线（×） (2)与半径垂直的的直线是圆的切线（×）
O
A
B
C
分析：由于AB过⊙O上的点C，所以连接OC，
只要证明AB⊥OC即可。
例2 如图，已知：O为∠BAC平分线上一
点，OD⊥AB于D,以O为圆心，OD为半径作
⊙O。
求证：⊙O与AC相切。
A
B D
O
EC
自探2：
如图，如果直线l是⊙O的切线，切点为A，那么半径OA与直线l是不是一定垂直呢？
∵ l是⊙O的切线，切点为A
辅助线作法：连接圆心与切点可得半径与切线垂直。即 “连半径，得垂直”。
经过圆的半径的外端且垂直于
这条半径的直线是圆的切线。
定理的几何语言表达：
O
∵ OA是半径， l ⊥OA于A

切线的性质

复习
切线的判定方法: 1.利用切线的定义:与圆有唯一公共点的直线是圆
的切线。 2.利用d与r的关系作判断:到圆心的距离等于半径（即d＝r）的直线是圆的切线。 3.利用切线的判定定理:经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
A 、经过圆上的一点； B、垂直于半径；
2. 证切线常用的添辅助线方法有哪些？
C
A
O
B
D
4、已知，如图在⊙O中，AB为直径，AD为弦，
过B点的切线与AD的延长线交于点C且 AD=DC，
则
45˚∠ABD= 。
A
O D
C
B
已知：AB是直径，AD是切线，判断弦切角∠DAC与圆周角∠ABC之间的关系
B
C
AD
小结：
1、如何判定一条直线是已知圆的切线？ (1)和圆只有一个公共点的直线是圆的切线；
AD
∵AB=8cm,AC=4cm. ∴∠B=30°
┐
C
B
∴∠A=60°
因此,当半径长为 2 3 cm时,AB与⊙C相切.
切线的性质
圆的切线：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
●O
┐
l
A
切线的性质定理：
圆的切线垂直于经过切点的半径。
几何语言：
已知直线CD和⊙O相切，
●O
点A为切点则OA⊥CD
C
┐
A
D
1、如图，∠MAB=30°，Ｐ为ＡＢ上的点，
且ＡＰ＝６，圆Ｐ与ＡＭ相切，则圆Ｐ的
半径为
。
M
A
P
B
2.如图，已知ＰＡ是⊙O的切线，Ａ是切点，Ｐ
Ｃ是过圆心的一条割线，点Ｂ，Ｃ是它与⊙O的

切线的判定与性质

〖例2〗
已知： BAC平分线上一点，OD⊥AB于D,以为圆心，OD为已知：O为∠BAC平分线上一点，OD⊥AB于D,以O为圆心，OD为平分线上一点 B 半径作⊙ 半径作⊙O。 D 求证： AC相切相切。求证：⊙O与AC相切。 O
A
证明： OE⊥AC于证明：过O作OE⊥AC于E。
E C
∵ ∴ ∵ ∴
改变切线判定定理的题设与结论
如果直线l是如果直线是⊙O的切线，切点为A, 的切线，切点为A, 那么半径OA与直线l是不是一定垂直那么半径OA与直线是不是一定垂直 OA与直线呢？ O ．
l
切线的性质定理：切线的性质定理： A 圆的切线垂直于过切点的半径。圆的切线垂直于过切点的半径。
几何符号表达：几何符号表达：
AO平分∠BAC， AO平分∠BAC，OD⊥AB, OE⊥AC 平分 OE＝ OE＝OD OD是 OD是⊙O的半径 AC是的切线。 AC是⊙O的切线。
小结
与例2的证法有何不同? 例1与例2的证法有何不同?
D O B O
连接OC 连接
A C B
A
已给出）（交点C已给出）交点已给出
过O作OE⊥AC 作 ⊥ 交点E未给出未给出）于E（交点未给出）
垂直于这条半径的直线是圆的切线。垂直于这条半径的直线是圆的切线。的外端点A 的外端点A 条件二：直线l 垂直于半径OA 条件二：直线垂直于半径OA
切线的判定定理经过半径的外端并且
垂直于这条半径的直线是圆的切线。垂直于这条半径的直线是圆的切线。
几何符号表达：几何符号表达：
O
∵ OA是半径， ⊥l 于A OA OA是半径 OA⊥ 是半径，的切线。 ∴ l是⊙O的切线。

切线的判定和性质

切线的判定和性质
切线的性质与判定
1.主要性质
（1）切线和圆只有一个公共点；
（2）切线和圆心的距离等于圆的半径；
（3）切线垂直于经过切点的半径；
（4）经过圆心垂直于切线的直线必过切点；
（5）经过切点垂直于切线的直线必过圆心；
（6）从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。

其中（1）是由切线的定义得到的，（2）是由直线和圆的位置关系定理得到的，（6）是由相似三角形推得的，也就是切割线定理。

2.判定
切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

圆的切线垂直于这个圆过切点的半径。

切线的性质及判定

B
O
C 断弦切角∠DAC与圆周角∠ABC 之间的关系 B
C A D
已知：AB是直径，AD是切线，判断弦切角∠DAC与圆周角∠ABC 之间的关系 B E
O
C D
A
已知AB是直径，BC是切线，AC交圆 O于点D，点E是BC的中点。 C 求证：DE是圆O 的切线 D E B
A
●
O
拓展应用： 1.在Rt△ABC 中,∠B=90°,∠A的平分线交 BC于D,以D为圆心,DB长为半径作⊙D.试说明:AC是⊙D的切线.
F
2.AB是⊙O的弦,C是 ⊙O外一点,BC是⊙O的切线,AB交过C点的直径于点 D,OA⊥CD,试判断 △BCD的形状,并说明你的理由.
3.AB是⊙O的直径,AE平分 ∠BAC交⊙O于点E,过点E 作⊙O的切线交AC的延长线于点D,试判断△AED的形状,并说明理由.
∴L是⊙ O 的切线
A
切点
1、定义法：和圆有且只有一个公共点的直线是圆的切线。 2、数量法（d=r）：和圆心距离等于半径的直线是圆的切线。
3、判定定理：经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
即：若直线与圆的一个公共点已指明，则连接这点和圆心，说明直线垂直于经过这点的半径；若直线与圆的公共点未指明，则过圆心作直线的垂线段，然后说明这条线段的长等于圆的半径．
.
切点A
l
.O
l
二、用圆心o到直线l的距离d与圆的半径r的关系来区分
．Ｏ r d
1、直线和圆相离
d > r
┐
l
2、直线和圆相切 3、直线和圆相交
d = r
．ｏ d r ┐
l
d < r

切线的判定和性质

（打印3份）圆----切线的性质和判定（11月12）A、知识点、方法归纳总结知能点1：切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

切线的识别方法有三种：（1）和圆只有一个公共点的直线是圆的切线。

（2）和圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线。

（3）切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线辅助线的作法：证明一条直线是圆的切线的常用方法：当直线和圆有一个公共点时，把圆心和这个公共点连接起来,则得到半径，然后证明直线垂直于这条半径，记为“连半径，证垂直。

”知能点2：切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径。

辅助线的作法：有圆的切线时，常常连接圆心和切点得切线垂直半径。

记为“见切线，连半径，得垂直。

”中考考点点击：切线的判定和性质在中考中是重点内容，试题题型灵活多样，填空、选择、作图、解答题较多。

B、证明圆的切线方法及例题一、若直线l过⊙O上某一点A，证明l是⊙O的切线，只需连OA，证明OA⊥l就行了，简称“连半径，证垂直”，难点在于如何证明两线垂直.例1 如图，在△ABC 中，AB=AC ，以AB 为直径的⊙O 交BC 于D ，交AC 于E ，B 为切点的切线交OD 延长线于F.求证：EF 与⊙O 相切. 证明：连结OE ，AD. ∵AB 是⊙O 的直径， ∴AD ⊥BC. 又∵AB=BC ， ∴∠3=∠4.∴BD=DE，∠1=∠2. 又∵OB=OE ，OF=OF ， ∴△BOF ≌△EOF （SAS ）. ∴∠OBF=∠OEF. ∵BF 与⊙O 相切， ∴OB ⊥BF. ∴∠OEF=900. ∴EF 与⊙O 相切.说明：此题是通过证明三角形全等证明垂直的例2 如图，AD 是∠BAC 的平分线，P 为BC 延长线上一点，且PA=PD.求证：PA 与⊙O 相切. 证明一：作直径AE ，连结EC. ∵AD 是∠BAC 的平分线，∴∠DAB=∠DAC. ∵PA=PD ， ∴∠2=∠1+∠DAC. ∵∠2=∠B+∠DAB ， ∴∠1=∠B. 又∵∠B=∠E ， ∴∠1=∠E∵AE 是⊙O 的直径， ∴AC ⊥EC ，∠E+∠EAC=900. ∴∠1+∠EAC=900.⌒ ⌒即OA ⊥PA.∴PA 与⊙O 相切.说明：此题是通过证明两角互余，证明垂直的，解题中要注意知识的综合运用. 变式练习：如图，AB=AC ，AB 是⊙O 的直径，⊙O 交BC 于D ，DM ⊥AC 于M 求证：DM 与⊙O 相切.例3 如图，已知：AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，且∠CAB=300，BD=OB ，D 在AB 的延长线上.求证：DC 是⊙O 的切线证明：连结OC 、BC. ∵OA=OC ， ∴∠A=∠1=∠300. ∴∠BOC=∠A+∠1=600. 又∵OC=OB ，∴△OBC 是等边三角形. ∴∠CBO=600. OB=BC. ∵OB=BD ， ∴BC=BD.∴∠CDO=300∴∠OCD=180°-300-600=900. ∴OC ⊥CD.∴DC 是⊙O 的切线.变式练习：如图，ABCD是正方形，G是BC延长线上一点，AG交BD于E，交CD于F.求证：CE与△CFG的外接圆相切.二、若直线l与⊙O没有已知的公共点，又要证明l是⊙O的切线，只需作OA⊥l，A为垂足，证明OA是⊙O的半径就行了，简称：“作垂直；证半径”例4 如图，AB=AC，D为BC中点，⊙D与AB切于E点.求证：AC与⊙D相切.证明一：连结DE，作DF⊥AC，F是垂足.∵AB是⊙D的切线，∴DE⊥AB.∵DF⊥AC，∴∠DEB=∠DFC=900.∵AB=AC，∴∠B=∠C.又∵BD=CD，∴△BDE≌△CDF（AAS）∴DF=DE.∴F在⊙D上.∴AC是⊙D的切线变式练习：已知：如图，AC ，BD 与⊙O 切于A 、B ，且AC ∥BD ，若∠COD=900. 求证：CD 是⊙O 的切线.C 、作业部分1、如图，AB 为⊙O 的直径，PD 切⊙O 于点C ，交AB 的延长线于D ，且CO=CD ，则∠PCA=（）A ．30° B ．45° C ．60° D ．67.5°2、O ，并使较长边与O 相切于点C .假设角尺的较长边足够长，角尺的顶点B ，较短边8cm AB .若读得BC 长为cm a ，则用含a 的代数式表示r 为 .3、如图，已知AB 是⊙O 的一条直径，延长AB 至C 点，使得AC=3BC ，CD 与⊙O 相切，切点为D.若CD=3，则线段BC 的长度等于__________.4、如图，已知AB是⊙O的直径，锐角∠DAB的平分线AC交⊙O于点C，作CD⊥AD，垂足为D，直线CD与AB的延长线交于点E．（1）求证：直线CD为⊙O的切线；（2）当AB＝2BE，且CE＝3时，求AD的长．5如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，O、D分别为AB、BC上的点．经过A、D两点的⊙O分别交AB、AC于点E、F，且D为弧EF的中点．求证：BC与⊙O相切；6、如图，已知AB 是⊙O 的直径，C 是AB 延长线上一点，BC ＝OB ，CE 是⊙O 的切线，切点为D ，过点A 作AE ⊥CE ，垂足为E ，求CD ：DE 的值7、如图，AB 是半圆O 的直径，点C 是⊙O 上一点（不与A ，B 重合），连接AC ，BC ，过点O 作OD ∥AC 交BC 于点D ，在OD 的延长线上取一点E ，连接EB ，使∠OEB=∠ABC ． ⑴求证：BE 是⊙O 的切线；⑵若OA=10，BC=16，求BE 的长．EB8、如图，⊙ O经过点B、D、E，BD是⊙ O的直径，∠C＝90°，BE 平分∠ABC. (1)试说明直线AC是⊙ O的切线；(2)当AE＝4，AD＝2时，求⊙ O的半径及BC的长．9、如图，在⊙O中，AB为直径，AC为弦，过点C作CD⊥AB 与点D，将△ACD沿AC翻折，点D落在点E处，AE交⊙O于点F ,连接OC、(1）求证：CE是⊙O的切线。

初中数学切线的性质和判定

图29－3
线的性质和判定
解析 (1)由切线的性质，即可得OA⊥PA，OB⊥PB，又由圆周角定理，求得∠AOB的度数，继而求得∠APB的大小； (2)由切线长定理，可求得∠APO的度数，继而求得∠AOP的度数，易得 PO是AB的垂直平分线，然后利用三角函数的性质，求得AD与OD的长．
┃ 切线的性质和判定
切线的性质和判定
中考预测
如图 29－6，△ABC 内接于⊙O，∠B＝60°，
CD 是⊙O 的直径，点 P 是 CD 延长线上的一点，
且 AP＝AC.
(1)求证：PA 是⊙O 的切线；
(2)若 PD＝ 3，求⊙O 的直径．
图29－6
切线的性质和判定
解
(1)证明：连接 OA, ∵∠B＝60°，
∴∠AOC＝2∠B＝120°.
切线的性质和判定
[方法点析] 解三角形内切圆问题，主要是切线长定理的运用．解决此类问题，常转化到直角三角形中，利用勾股定理或直角三角形的性质及三角函数等解决．
┃ 切线的性质和判定
回归教材
切线问题中必需的半径
教材母题
如图 29－5，设 AB 是⊙O 的直径，如果圆上点 D 恰使∠ADC＝∠B，那么直线 CD 与⊙O 相切吗？若相切，请给出证明．
∴S△AOB＝12×AB×OD＝12×10 3×5＝25 3(cm2)．
切线的性质和判定
[方法点析] (1)利用过圆外一点作圆的两条切线，这两条切线的长相等，是解题的基本方法．(2)利用方程思想求切线长常与勾股定理，切线长定理，圆的半径相等紧密相连．
切线的性质和判定
探究四三角形的内切圆
命题角度： 1. 三角形的内切圆的定义； 2. 求三角形的内切圆的半径．

切线的判定与性质

E
56°
O
C F
B
2、如图,△ABC中,∠A的平分线 AD交BC于D,⊙O过点A,且和BC切于D,和AB,AC分别交于E,F. 求证:EF∥BC A
1 2 O 4 D
E 3 B
F
C
O r
l
A
1、判断： (1)过半径的外端的直线是圆的切线（×） (2)与半径垂直的的直线是圆的切线（×）
(3)过半径的端点与半径垂直的直线是圆的切线（×）
O l r A O r l O r l
A
A
判定直线与圆相切有哪些方法？
切线的判定方法有三种： •①直线与圆有唯一公共点； •②直线到圆心的距离等于该圆的半径； •③切线的判定定理．即经过半径的外端并且垂直这条半径的直线是圆的切线.
D
A E O C B
例1与例2的证法有何不同?
O A C B D A O B
E
C
(1)如果已知直线经过圆上一点,则连结这点和圆
心,得到辅助半径,再证所作半径与这直线垂直.
简记为：有交点，连半径,证垂直.
(2)如果已知条件中不知直线与圆是否有公共点,
则过圆心作直线的垂线段,再证垂线段长等于半
径长.简记为：无交点,作垂直,证半径.
C
A
B
∠CAB的顶点及两边与圆的位置关系是什么？ C 顶点在圆上，一边与圆相交，另一边与圆相切的角叫做弦切角。 A B AC是弦切角∠CAB所夹的弧。
如图，说出图中所有的弦切角及其所夹的弧。弦切角∠CAD夹 ⌒ 的弧是AD B 弦切角∠CAB夹的弧是ADB · E D O
弦切角∠CAE夹的弧是ADE
点，则连接半径，应用
切线的பைடு நூலகம்质定理得到垂直关系，从而应用勾股定理计算。

切线的性质和判定最新课件

段，再证明这条垂线段等于圆旳半径。（作垂直，证半径）
3. 圆旳切线性质定理：圆旳切线垂直于圆旳半径。
辅助线作法：连接圆心与切点可得半径与切线垂直。即“连半径，得垂直”。
总结：
1.切线和圆只有一种公共点. 2.切线和圆心旳距离等于半径. 3.切线垂直于过切点旳半径. 4.经过圆心垂直于切线旳直线必过切点. 5.经过切点垂直于切线旳直线必过圆心.
∴AC与⊙O相切
课堂小结
1. 鉴定切线旳措施有哪些？
与圆有唯一公共点
l是圆旳切线
直线l 与圆心旳距离等于圆旳半径经过半径外端且垂直这条半径
l是圆旳切线 l是圆旳切线
2. 常用旳添辅助线措施？
⑴直线与圆旳公共点已知时，作出过公共点旳半径，
再证半径垂直于该直线。（连半径，证垂直）
⑵直线与圆旳公共点不拟定时，过圆心作直线旳垂线
A
O
E C
小结
例1与例2旳证法有何不同?
O A
D
B
O
A
C
B
E C
(1)假如已知直线经过圆上一点,则连结这点和圆心,得到辅助半径,再证所作半径与这直线垂直。简记为：连半径,证垂直。
(2)假如已知条件中不知直线与圆是否有公共点, 则过圆心作直线旳垂线段为辅助线,再证垂线段长等于半径长。简记为：作垂直,证半径。
∵ AB为直径
A
∴ OB=OA， ∵BP=PC， ∴OP∥AC。
O
E B PC
又∵ PE⊥AC，
∴PE⊥OP。
∴PE为⊙0旳切线。
例2:已知：O为∠BAC平分线上一点，OD⊥AB于D,以O为圆心，OD为
半径作⊙O。求证：⊙O与AC相切。
D
B

切线的性质及运用

例1.在Rt△ABC中,∠B=90°,点D为BC上一点,以D 为圆心,DB长为半径作⊙D，AC恰好与⊙D相切. 求证: AD平分∠BAC.
独立作业
挑战自我
驶向胜利的彼岸
• P102:习题24.2 第12题 •祝你成功!
当要证明某直线是圆的切线时：（1）如果已知直线过圆上一点，则作出过这一点的半径，证明直线垂直于半径即可；（2）如果直线与圆的公共点没有确定，则应过圆心作直线的垂线，证明圆心到直线的距离等于半径即可。
二、切线的性质：
O l A
性质1：切线与圆有且只有一个公共点。
性质2：圆心到切线的距离等于圆的半径。
切线的性质
数学组——谭友书
Hale Waihona Puke 一、复习1、切线的判定方法：
判定1：直线和圆有且只有一个公共点时，直线是圆的切线。判定2：圆心到直线的距离等于半径时，直线是圆的切线。判定3：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
2、切线的判定的运用
提示：在运用切线的判定和性质时，往往需要
添加辅助线。
性质3：圆的切线垂直于过切点的半径。性质4: 经过圆心且垂直于切线的直线必过切点。性质5：经过切点且垂直于切线的直线必过圆心。
三、切线的性质的运用
提示：在运用切线性质时，往往需要添加辅助
线。 1、当已知一条直线是某圆的切线时，切点的位置是确定的，辅助线常常是连接圆心和切点，得到半径，那么半径垂直于切线。

切线的判定与性质

B，两切线相交于点P,若∠P=420，求
∠ACB的度数。
A
A
mO
C
C
m
P
O
C
P
B
B
‘
切线的判定与性质
1、如图, ⊙O切PB于点B,PB=4,PA=2,则 ⊙O的半径多少？
注：已知切线、切点，
则连接半径，应用切线
的性质定理得到垂直关
系，从而应用勾股定理
计算。
切线的判定与性质
B OA P
2、如图，AB、AC分别切⊙O于B、C，若
其中(2)和(3)本质相同，只是表达形式不同．解题时，灵活选切用线的其判定中与性质之一．
切线的判定定理：
经过半径的外端并且垂直这条半径
的直线是圆的切线。
O
对定理的理解：
l A
切线必须同时满足两条：①经过半径外
端；②垂直于这条半径．
切线的判定与性质
直线与圆的位置关系
相交
相切
相离
图形
公共点个数公共点名称
直线名称圆心到直线距
离d与半径r的
关系
Or
d
l
A
B
2个交点
割线
Or d
l A
1个切点
切线
d<r d=r 切线的判定与性质
Or d
l
没有
d> r
图中直线l满足什么条件时是⊙O的切线？
方法1：直线与圆有唯一公共点 O
方法2：直线到圆心的距离等于半径
l
注意：实际证明过程中，通常不采用第一种
方法;方法2从“量化”的角度说明圆的切线的判
定方法。
切线的判定与性质
请在⊙O上任意取一点A，连接OA，过点A作直线l⊥OA。思考：

人教版九年级上册切线的判定和性质

分析：由于AB过☉O上的点C，所以连接OC，只要证明AB⊥OC即可.
证明：连接OC ∵ OA＝OB，CA＝CB， ∴ AB⊥OC ∵ OC是☉O的半径 ∴ AB是☉O的切线
O
A
C
B
例2 如图，O为∠BAC平分线上一点，OD⊥AB于D，以 O为圆心，OD为半径作☉O. 求证：☉O与AC相切.
分析：已知条件中没有明确直线与圆是否有公共点，可过圆心作这条直线的垂线段，再证明垂线段的长等于半径.
直线和圆的位置关系第2课时切线的判定与性质
情境引入
生活中常看到切线的实例，转动雨伞时飞出的雨滴，用砂轮磨刀时擦出的火花，都是沿切线方向飞出的.
如何判断一条直线是否为切线呢？
探究新知
连半径，作垂线
问题：已知☉O上一点A，你能过这一点作出☉O的切线吗？
切线的判定定理归纳简记为：有交点，连半径，证垂直.
如图，AB是☉O的直径，直线l1、l2是☉O的切线，A、B是切点，直线l1、l2有怎样的位置关系？如2题图，点B在☉O上，若∠O=68.
∴ 直线l是☉O的切线
O l
A
注意在此定理中，“经过半径的外端”和“垂直于这条半径”，两个条件缺一不可，否则就不是圆的切线.
方法归纳
判断一条直线是一个圆的切线有三个方法：
A
T
小试牛刀
2.如图，点B在☉O上，若OB=5, AO=13, AB=12，则直线AB和☉O 相切吗？
B
O
A
3.如2题图，点B在☉O上，若 ∠O=68.5°,∠A=21°30′，则直线 AB和☉O相切吗？
典例精讲
例1 如图，直线AB经过☉O上的点C，并且OA=OB，CA=CB.
求证：直线AB是☉O的切线，下列选项，能使过

切线的性质

（1）若∠CPA=30°，求PC的长。（2）若点P在AB的延长线上运动，∠CPA的平分线交
AC于点M。∠CMP的大小是否发生变化？若变化，请说明理由，若不变化，求∠ CMP的大小。
C
M
A
●
O
B
P
一定垂直
.O
L A
⊙O与直线L相切于A点，则半径OA 与切线L有怎样的位置关系？为什么？垂直
反证法：假设直线l与⊙O相切，
O
OA与直线L不垂直
切线的性质定理:
TA
l
圆的切线垂直于过切点的半径
几何语言：如图， ∵ l 与⊙O相切于点A
∴ OA⊥ l
探索切线性质
C
一条直线满足
②垂直于切线
●O
①过圆心
1、定义法：和圆有且只有一个公共点的直线是圆的切线。
2、数量法（d=r）：和圆心距离等于半径的直线是圆的切线。
3、判定定理：经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
O AT B
这个命题的题设与结论分别是什么？
OT是半径 OT⊥AB于T
∴直线AB是切线
将上页思考中的问题反过来,如果L是⊙O 的切线,切点为A,那么半径OA与直线L是不是一定垂直呢?
●
例1：AB是⊙O的弦,C是⊙O外一点,BC是⊙O的切线,AB交过C点的直径于点D,OA⊥CD,试判断△BCD 的形状,并说明理由.
A
D
C
O
B
例2:AB是⊙O的直径,AE平分∠BAC交⊙O 于点E,过点E作⊙O的切线交AC于点D,求证： ∠ADE=90°.
例3：两个同心圆中，大圆的弦AB、CD相等，且AB与小圆相切于点E，判断CD与小圆的位置关系，并说明理由。

切线的判定与性质课件

学习目标
1.会判定一条直线是否是圆的切线并会过圆上一点作圆的切线. 2.理解并掌握圆的切线的判定定理及性质定理.（重点） 3.能运用圆的切线的判定定理和性质定理解决问题. （难点）
切线的判定与性质
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导入新课
情境引入
生活中常看到切线的实例，如何判断一条直线是否为切线呢？学完这节课，你就都会明白.
可以通过解直角三角形求出半径OA的长.
切线的判定与性质
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(1)求证：△ACB≌△APO；
(1)证明：∵PA为⊙O的切线，A为切点， A
∴∠OAP＝90°.
又∵∠P＝30°，∴∠AOB＝60°，C
O
又OA＝OB，∴△AOB为等边三角形．
B
P
∴AB＝AO，∠ABO＝60°.
又∵BC为⊙O的直径，∴∠BAC＝90°. 在△ACB和△APO中，
则PA与☉O的位置关系是相切 .
A
D C
P
O
PA O
B
第2题
第3题
3.如图，在☉O的内接四边形ABCD中，AB是直径，
∠BCD=120°，过D点的切线PD与直线AB交于点P，
则∠ADP的度数为（ C ）
A．40° B．35° C．30° D．45°
切线的判定与性质
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4.如图, ⊙O切PB于点B,PB=4,PA=2,则⊙O的半径多少？
证明：连接OC(如图).
∵ OA＝OB,CA＝CB,
A
∴ OC是等腰三角形OAB底边AB上的中线.
∴ AB⊥OC.
∵ OC是⊙O的半径,
∴ AB是⊙O的切线.
切线的判定与性质
O
C
B
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例3 如图,△ABC 中，AB ＝AC ，O 是BC的中点， ⊙O 与AB 相切于E.求证：AC 是⊙O 的切线．