高中数学必修系列：10.4《二项式定理·第二课时》教案(旧人教版)
二项式定理的应用教案人教版
针对以上难点，教师应采取以下教学方法：
（1）通过具体实例讲解二项式定理的定义和通项公式，让学生在实际问题中体会二项式定理的应用。
（2）通过 step-by-step 的讲解，让学生理解二项式定理的证明过程，尤其是数学归纳法的证明过程。
4. 数据分析：学生能够从实际问题中收集和处理数据，运用二项式定理对数据进行分析，从而得出结论。
在教学过程中，我将注重引导学生参与课堂讨论，鼓励他们提出自己的观点和思路，培养学生的批判性思维和问题解决能力。同时，通过解决实际问题，提高学生的创新意识和实践能力，使他们在数学学习中获得持续发展的能力。
教学难点与重点
回顾旧知：
简要回顾上节课学习的整式乘法、因式分解等内容，帮助学生建立知识之间的联系。
提出问题，检查学生对旧知的掌握情况，为二项式定理新课学习打下基础。
（三）新课呈现（预计用时：25分钟）
知识讲解：
清晰、准确地讲解二项式定理的定义、通项公式及展开式，结合实例帮助学生理解。
突出二项式定理的重点，强调二项式定理的难点，通过对比、归纳等方法帮助学生加深记忆。
肯定学生的表现，鼓励他们继续努力。
布置作业：
根据本节课学习的二项式定理内容，布置适量的课后作业，巩固学习效果。
提醒学生注意作业要求和时间安排，确保作业质量。
知识点梳理
1. 二项式定理的定义与通项公式
- 二项式定理的定义：$(a+b)^n=\sum\limits_{k=0}^{n}C_{n}^{k}a^{n-k}b^{k}$
当堂检测：
1. 请简述二项式定理的定义和通项公式。
2. 请解释二项式定理的展开式，并给出一个具体的例子。
高中数学教案——二项式定理 第二课时
课 题： 10．4二项式定理(二)教学目的： 12.展开式中的第1+r 项的二项式系数r n C 与第1+r 项的系数是不同的概念教学重点：二项式定理及二项展开式的通项公式的灵活运用教学难点：二项式定理及二项展开式的通项公式的灵活运用授课类型：新授课课时安排：1课时教 具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入：1．二项式定理及其特例：（1）01()()n n n r n r r n n n n n n a b C a C a b C a b C b n N -*+=+++++∈，（2）1(1)1n r r n n n x C x C x x +=+++++.2．二项展开式的通项公式：1r n r r r n T C a b -+=二、讲解范例：例1．（1）求7(12)x +的展开式的第四项的系数；（2）求91()x x -的展开式中3x 的系数及二项式系数解：7(12)x +的展开式的第四项是333317(2)280T C x x +==，∴7(12)x +的展开式的第四项的系数是280．（2）∵91()x x-的展开式的通项是9921991()(1)r r r r r r r T C x C x x --+=-=-， ∴923r -=，3r =，∴3x 的系数339(1)84C -=-，3x 的二项式系数3984C =． 例2．求42)43(-+x x 的展开式中x 的系数分析：要把上式展开，必须先把三项中的某两项结合起来，看成一项，才可以用二项式定理展开，然后再用一次二项式定理，，也可以先把三项式分解成两个二项式的积，再用二项式定理展开解：（法一）42)43(-+x x 42]4)3[(-+=x x02412344(3)(3)4C x x C x x =+-+⋅22224(3)4C x x ++⋅3234444(3)44C x x C -+⋅+⋅， 显然，上式中只有第四项中含x 的项，∴展开式中含x 的项的系数是76843334-=⋅⋅-C（法二）：42)43(-+x x 4)]4)(1[(+-=x x 44)4()1(+-=x x)(4434224314404C x C x C x C x C +-+-=0413222334444444(4444)C x C x C x C x C +⋅+⋅+⋅+⋅ ∴展开式中含x 的项的系数是34C -334444C +768-=．例3．已知()()nm x x x f 4121)(+++= *(,)m n N ∈的展开式中含x 项的系数为36，求展开式中含2x 项的系数最小值分析：展开式中含2x 项的系数是关于n m ,的关系式，由展开式中含x 项的系数为36，可得3642=+n m ，从而转化为关于m 或n 的二次函数求解 解：()()1214m nx x +++展开式中含x 的项为1124m n C x C x ⋅+⋅=11(24)m n C C x +∴11(24)36m n C C +=，即218m n +=， ()()1214m nx x +++展开式中含2x 的项的系数为 t =222224mn C C +222288m m n n =-+-， ∵218m n +=， ∴182m n =-，∴222(182)2(182)88t n n n n =---+-216148612n n =-+ 23715316()44n n =-+，∴当378n =时，t 取最小值，但*n N ∈， ∴ 5n =时，t 即2x 项的系数最小，最小值为272，此时5,8n m ==．例4．已知n 的展开式中，前三项系数的绝对值依次成等差数列，（1）证明展开式中没有常数项；（2）求展开式中所有的有理项 解：由题意：1221121()22n n C C ⋅=+⋅，即0892=+-n n ，∴8(1n n ==舍去）∴818(r rr r T C -+=⋅82481()2r r r r C x x --=-⋅⋅()1638412r r r r C x -=-⋅08r r Z ≤≤⎛⎫ ⎪∈⎝⎭①若1+r T 是常数项，则04316=-r ，即0316=-r ， ∵r Z ∈，这不可能，∴展开式中没有常数项； ②若1+r T 是有理项，当且仅当4316r -为整数，∴08,r r Z ≤≤∈，∴ 0,4,8r =，即 展开式中有三项有理项，分别是：41x T =，x T 8355=，292561-=x T 三、课堂练习：1．6)x 2x (+展开式中常数项是（ ）A.第4项B.464C 2C.46CD.22．(x －1)11展开式中x 的偶次项系数之和是（ ）A.-2048B.-1023C.-1024D.10243．7)21(+展开式中有理项的项数是（ ）A.4B.5C.6D.74．设(2x-3)4=44332210x a x a x a x a a ++++，则a 0+a 1+a 2+a 3的值为（ ） A.1 B.16 C.-15 D.155．113)x1x (-展开式中的中间两项为（ ） A.5125121111,C x C x - B.695101111,C x C x - C. 513591111,C x C x - D.5175131111,C x C x -6．在7)y 31x 2(-展开式中，x 5y 2的系数是 7．=++++n n n 2n 21n 0n C 3C 3C 3C 8. 203)515(+的展开式中的有理项是展开式的第 项 9．(2x-1)5展开式中各项系数绝对值之和是10．1032)x x 3x 31(+++展开式中系数最大的项是 答案：1．通项r r 236r6r r 6r61r 2x C )x 2(x C T --+==，由4r 0r 236=⇒=-，常数项是44652C T =，选（B ）2．设f(x)=(x-1)11, 偶次项系数之和是10242/)2(2)1(f )1(f 11-=-=-+，选C 3．通项2r r 7r r71r 2C )2(C T ==+，当r=0，2，4，6时，均为有理项，故有理项的项数为4个，选（A ）4.C5.C6.3224; 7.4n ; 8.3,9,15,21 9．(2x-1)5展开式中各项系数系数绝对值之和实为(2x+1)5展开式系数之和，故令x=1，则所求和为3510．(1+3x+3x 2+x 3)10=(1+x)30中的系数就是二项式系数，系数最大的项是T 16=151530x C .四、小结 ：1．三项或三项以上的展开问题，应根据式子的特点，转化为二项式来解决，转化的方法通常为集项、配方、因式分解，集项时要注意结合的合理性和简捷性；2．求常数项、有理项和系数最大的项时，要根据通项公式讨论对r 的限制；求有理项时要注意到指数及项数的整数性五、课后作业：六、板书设计（略）七八、课后记：。
高中数学《二项式定理》教案
二项式定理教案
（一）教学目标
1．知识与技能：掌握二项式定理①能根据组合思想及不完全归纳，得出二项式定理和二项展开式的通项。
②能正确区分二项式系数和某一项的系数。
③能正确利用二项式定理对任意给定的一个二项式进行展开，并求出它的特定项。
2．过程与方法：通过定理的发现推导提高学生的观察，比较，分析，概括等能力。
（二）教学重点与难点
重点：二项式定理的发现，理解和初步应用。
难点：二项式定理的发现。
（三）教学方法
启发诱导，师生互动
（四）教学过程。
高二数学二项式定理教学实录 人教版 教案
高二数学二项式定理教学实录1. 教材分析 1.1 教材内容《二项式定理》是高中《代数》下册最后一章（必学）的一个单元. 本课是该单元的第一课，学习该课之前，同学们已基本上学习过高中数学的其它内容，特别是学习了与本课程有关的乘法公式中的平方、立方公式，多项式乘法，数学归纳法，排列组合，组合数公式，组合数性质. 本节课主要通过归纳二次展开式的系数和字母结构的规律猜证二项式定理，并对二项式定理进行初步应用.1.2 地位与作用二项式定理是《二项式定理》这个单元的主要内容. 只有学习二项式定理，才能进而学习二项式系数的性质和应用. 二项式定理的应用主要有：求二项展开式或求某特定项；求组合的和和证明组合恒等式；证明不等式；近似计算. 二项式定理与数列等知识可组成综合性题目. 近年高考试题中，不乏涉及到二项式定理的题目.通过本课的教学，进一步提高学生的归纳演绎能力，进一步掌握数学归纳法，感受体验数学美.1.3 重点、难点重点：猜证二项式定理.难点：求)(4b a +的展开式和归纳二项展开式的系数规律. 2. 教学目标2.1 知识目标 掌握)(b a n+的展开式，知道二项式定理的数学归纳法证明. 在教学过程中，让学生树立和掌握归纳思想和数学归纳法等数学思想和方法.2.2 能力目标 培养学生分析、归纳、演绎能力，猜证能力，发现问题，探求问题的能力，逻辑推理能力，以及由特殊到一般，内一般到特殊的哲学思想.2.3 感情目标 对学生进行爱国主义教育，激发学生奋发图强、振兴中华的爱国热情. 通过对二项展开式的教学，使学生感受和体验公式的简洁美、和谐美和对称美等数学美.3. 教学方法3.1 教法 本课采用“过程教学法”，让学生参与和经历全课的思维过程. 另外，利用计算机辅助教学，便利师生交流，增大师生互动频率密度.3.2 学法 采用“导学法”. 学生在教师的引导下，积极参与，积极思考，发现规律，归纳总结规律.4. 教学过程与自我评述（以下T 为教师，S 为学生，C 为电脑显示） 4.1 复习引入C,T ：4个容器中有红、白玻璃球各一个，每次从4个容器中各取一个球，有什么样的取法？各种取法有多少种？S,C ：取法及取法种数——都不取白球（全取红球）：)(4404C C =；取一个白球（1白3红）：)(3414C C =；取2个白球（2白2红）：)(2424C C =；取3个白球（3白1红）：)(1434C C =；取4个白球（无红球）：)(0444C C =. T ：取法种数再次验证组合数性质：C C mn nm n -=. 顺便问一问，组合数的另一个性质是什么？ S ：+C m n=-C m n 1C m n 1+ T ：不作多项式运算，用组合知识来考察，展开()b a +()b a +()b a +()b a +，展开式中有哪些项？各项系数是什么？S ：都不取)(4a b ；取1个)(3b a b ；取2个)(22b a b ；取3个)(3ab b ；取4个)(4b b ，各项系数分别是C 04，C 14，C24，C 34，C 44. T ：这两个问题的本质是一样的，只是表达形式不同. “取球”问题具体一点，4)(b a +的乘法抽象一点.T,C ：4)(b a +＝+404a C +b a C 314+2224b a C +334ab C 444b C ＝+4a +b a 34+226b a +34ab 4b评述：求4)(b a +的展开式是本课的难点之一. 在二项式教学中，它起到承上启下的作用. 在这里，通过设计学生比较熟悉的“取球”问题，联系、类比到4)(b a +的展开式，既分解了难度，又为二项式定理教学打下基础.4.2 点明课题T ：我们学习过平方公式和立方公式，这两个公式以及4)(b a +的展开式就是今天学习的二项式定理的特殊形式.T,C ：=+2)(b a +2a +ab 22b=+3)(b a +3a +b a 23+23ab 3b=+4)(b a +4a +b a 34+226b a +34ab 4b……?)(=+nba4.3 猜想二项式定理T：二项展开式各项由系数和字母组成，下面分别探究它们的规律.C：1. 系数的规律T：下面是2)(ba+，3)(ba+，4)(ba+各项的系数，试观察分析其规律.C: 1)(ba+ 1 12)(ba+ 1 2 13)(ba+ 1 3 3 14)(ba+ 1 4 6 4 1S1：每行的两端相等，都是1.S2：与首末等距离的两项也相等，中间一项或两项最大.T：上下两行有什么关系？S3：下一行的第二个数等于上行第一、二个数的和，第三个数等于上行第二、三个数的和……T：对. 下一行除1次外的每个数都等于它肩上两个数的和. 根据这两条规律，大家能写出5)(ba+，6)(ba+的系数吗？S： 1 5 10 10 5 11 6 15 20 15 6 1C： 1 11 2 11 3 3 11 4 6 4 11 5 10 10 5 11 6 15 20 15 6 1T：上面这个表称杨辉三角，它是宋朝数学家杨辉的杰作. 杨辉三角是我国数学发展史上的一个成就，它比欧洲人称为帕斯卡三角要早四百多年. 当幂指数较小时，应用杨辉三角非常简便. 但当n较大时，它就表现一定的局限性. 如10=n时，要依赖9)(ba+展开式的各项系数. 而且n ba)(+展开式的系数，也不好用类似的数字表达. 要解决这个问题，同学们从4)(ba+展开式的系数得到什么启示吗？S,C：4)(ba+——C04，C14，C24，C34，C445)(ba+——C05，C15，C25，C35，C45，C55T：你能猜想nba)(+展开式的系数吗？S,C：nba)(+——C n0，C n1，C n2……C n nC： 2. 关于字母及其幂指数的规律T：同学们通过观察4)(ba+展开式，能否发现a、b的结构规律？S：a的指数由4逐一减少到0；而b的指数内0逐一增加到4. 每一项a、b的指数和都是4，即4a，ba3，22ba，3ab，4b.T：据此，请说出5)(ba+的展开式.S,C：=+5)(ba+55aC+b aC415+2325b aC+3235b aC+445abC555bCT：那么在nba)(+的展开式中，大家能猜想出a、b的指数规律吗？S,C：a、b的指数规律——a的指数，从n逐一减少到0，且等于组合数的下标－上标；b的指数，从0逐一增加到n，且等于组合数的上标. 每一项a的指数与b的指数之和等于n.T：牛顿有句名言：“没有大胆的猜想，就不能有伟大的发现和发明. ”请大家大胆地猜想二项式定理.S,C：猜想：=+nba)(+nnaC0+-ba nnC11++-222ba nnC++-vvnvnbaC n n n bC.评述：1.认识事物的规律，遵循由特殊到一般的归纳过程. 在这里，考察二项展开式的系数和字母结构，猜想二项式定理，就是这样的认识过程. 归纳思想是一个重要的数学思想，提高学生的归纳能力，是本课教学的一个重点.2.如何将杨辉三角表示的二项式系数转换到用组合数来表达，课前复习中导出的=+4)(ba+44aC+b aC314+2224b aC+334abC=444bC+4a+b a34+226b a+34ab4b起到了很好的联系作用. 有了这个转化，就可以进而猜想出二项式的系数.3.杨辉三角是我国数学发展史的一个亮点，是中国作为文明古国的一个例证. 以光荣史实作为题材，对学生进行爱国主义教育，也是数学教学的一个任务.4.4 证明二项式定理T：大胆猜想，科学求证. 下面我们用数学归纳法证明二项式定理.T,C：证明：（1）略（2）假设当k n =时等式成立，即=+k b a )(+k k a C 0++- b a k k C 11++- r r k r k b a C k k kb C 则当1+=k n 时=++=++)()()(1b a b a b a k k +k ka C 0(++-b a k k C 11++- r r k r k b a C ))(b a b k kk C + T ： 我们在变换之前，应该先明确证明目标：S,C ：=++1)(k b a +++101k k a C +++ b a k k C 11+++-++ 111r r k r k b a C 1111+++++k k k k k k b ab C C T ： 对，这是我们要证明的目标. 对照这个目标，需要作多项式的乘法. 下面请同学们进行乘法运算. 乘完后，看有什么情况？如何处理才能一步一步向证明目标靠拢？（待学生运算结束后） T ： 大家发现有什么情况？S ： b a k ，21b a k -，……，1+-r r k b a ，……，k ab 各有两项，1+k a ，1+k b 各有一项. T ： 对，如何处理同类项？ S ： 合并同类项.T,C ：=+k b a )(++10k ka C ++b a k k C 1+++-+ 11r r k r k b a C k kk ab C 1110+-+-++++++k kk k k k r r k r k k kb ab b a b a C C C C ++++=- b a a k k k r k kC C C )(010++++-+ 11)(r r k r k r k b a C C 11)(+-++k k k k k k k k b ab C C C T ： 请同学们观察合并的系数与证明目标中的系数有什么关系？ S,C ：理应相等，即应有：C Ck k010+=，C C C k k k 1101+=+，……，C C C r k r k r k 111+++=+，……，C C C kk k k kk 11+-=+，C C k k kk 11++=T ： 上面诸等式成立的依据是什么？ S ： 组合数性质——C C C mn m n mn 11+-=+T,C ：应用组合数性质：C C C m n m n m n11+-=+以及C C k k 001=+，C C k k k k =++11则得到 +=++++1011)(k k k a b a C +++++-+++ 111111r r k k k k k b a b a C C 1111+++++k k k k k k b ab C C （以下证明略） 评述：1.在数学归纳法证明过程中，在证明当1+=k n 时命题成立之前，往往先列出证明目标，这样做，目标明确，少走弯路.2.此处证明应用组合数性质：C C C mn m n m n11+-=+，在复习时已提到过，也算是前呼后应. 4.5 对公式的再认识T,S,C ：1.通项公式：r r n r n r b a C T -+=1 2.规律：（1）项数：1+n 项（2）二项式系数：C r n ，即C n 0，C n 1，……，C n n，与首末等距离的两项的二项式系数相等.（3）a 、b 的指数（略） 4.6 公式的初步应用【学生练习】1. 写出7)1(q +的展开式（解略）2. 写出n x )1(+的展开式（略）3. 写出n b a )(-的展开式（略）4. 求b b a )32(+展开式中的第3项解：2422242632160)9)(16(15)3()2(b a b a b a C T ===5. 求b a b )23(+展开式中的第3项解：424242634860)4)(81(15)2()3(b a a b a b C T ===T ： 比较第3、4题的解法，求二项展开式的某一项时要注意什么？ S ： 公式中的a 、b 不能互换.T ： 对. 求整个展开式，a 、b 可以互换，但求某一项时，a 、b 不能互换. T ： 第4题中第3项的二项式系数是多少？该项的系数是多少？两者相同吗？ S ： 15，2160. 两者不同.T ： 是的. “二项式系数”与“系数”不一定相同，这点要注意区别.4.7 小结T,C ：1.本课我们用由特殊到一般，又由一般到特殊的归纳演绎的方法学习二项式定理. 2.数学思想和方法是数学的灵魂. 本课教学突出归纳思想和数学归纳法. 3.二项式定理的规律突出表现在二项式系数的规律和字母的规律. 4.二项式定理体现了数学美：简洁美、和谐美、对称美.4.8 作业（略）。
人教课标版高中数学选修2-3《二项式定理(第2课时)》教学设计
1.3 二项式定理第二课时一、教学目标 1．核心素养通过二项式定理的推导过程的学习，提高学生的归纳推理能力，树立由特殊到一般的数学思想增强了学生的逻辑推理能力. 2．学习目标二项式展开式的项数、指数、系数特点及其应用. 3．学习重点二项式展开式的项数、指数、系数特点及其应用. 4．学习难点二项式定理和二项式系数性质的应用. 二、教学设计 （一）课前设计 1．预习自测1.21nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，常数项为15，则n =（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6 解：D2.821(12)x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中常数项为 ．（用数字作答）解：-423.若621x ax ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中2x 的系数为52，则a = ．解：2（二）课堂设计 1．知识回顾1．二项式定理及其特例：（1）01()()n n nr n r rn nn n n n a b C a C a b C a b C b n N -*+=+++++∈，（2）1(1)1n r rn n n x C x C x x +=+++++2．二项展开式的通项公式：1r n r rr n T C a b -+=3．求常数项、有理项和系数最大的项时，要根据通项公式讨论对r 的限制；求有理项时要注意到指数及项数的整数性 2．问题探究 问题探究一●活动一 认知杨辉三角在n b a )(+展开式中，当n ＝1，2，3，…时，各项的二项式系数是怎样的？()1b a + ()2b a + ()3b a +()4b a + ()5b a + ()6b a +仔细观察，你能发现什么规律？“杨辉三角”为什么会有这些规律呢？ 二项式系数表（杨辉三角）()n a b +展开式的二项式系数，当n 依次取1,2,3…时，二项式系数表，表中每行两端都是1，除1以外的每一个数都等于它肩上两个数的和 ●活动二 函数观点认知二项式系数设函数()r n C r f =，这个函数的定义域是怎样的？试以n ＝6为例作出()rn C r f =的函数图象，观察函数图像，你能说出它的哪些性质？()n a b +展开式的二项式系数是0nC ，1n C ，2n C ，…，n n C ．r n C 可以看成以r 为自变量的函数()f r 定义域是{0,1,2,,}n ，例当6n =时，其图象是7个孤立的点（如图）（1）对称性．与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等（∵m n mn nC C -=）． 直线2nr =是图象的对称轴．（2）增减性与最大值．∵1(1)(2)(1)1!kk n n n n n n k n k C C k k----+-+==⋅， ∴k n C 相对于1k n C -的增减情况由1n k k -+决定，1112n k n k k -++>⇔<， 当12n k +<时，二项式系数逐渐增大．由对称性知它的后半部分是逐渐减小的，且在中间取得最大值；当n 是偶数时，中间一项2nn C 取得最大值；当n 是奇数时，中间两项12n nC -，12n nC+取得最大值．●活动三 认知二项式系数各二项式系数的和等于多少？为什么？∵1(1)1n r rn n n x C x C x x +=+++++，令1x =，则0122n r nn n n n nC C C C C =++++++ ●活动四 二项式系数、系数的应用 1. 二项式系数的性质例1（1）多项式x 10＝a 0＋a 1 (x －1)＋a 2·(x －1)2＋…＋a 10(x －1)10，则a 8的值为( ) A ．10 B ．45 C ．－9 D ．－45 【知识点：二项式系数的性质】解：B x 10＝[1＋(x －1)]10＝1＋110C (x －1)＋210C (x －1)2＋…＋1010C (x －1)10＝a 0＋a 1(x －1)＋a 2(x －1)2＋…＋a 10(x －1)10对任意实数x 都成立，∴a 8＝810C ＝210C ＝45.(2)二项式(1＋sinx)6的展开式中二项式系数最大的一项的值为52，则x 在[0,2π]内的值为________．【知识点：二项式系数的性质】详解：6π或56π.由题意得T 4＝36C ·sin 3x ＝20sin 3x ＝52，∴sinx ＝12，∵x ∈ [0,2π]，∴x ＝6π或56π.(3)若261()x ax +的二项展开式中，x 3的系数为52，则二项式系数最大的项为________． 【知识点：二项式系数的性质】 解：52x 3.∵261231661()()r r r r r rr T C x C a x ax ---+==，令12－3r ＝3，得r ＝3，∴36C a －3＝52，解得a ＝2.故二项式系数最大的项为T 4＝36C (x 2)331()2x ＝52x 3. 点拨：二项式系数、二项展开式中的项的综合问题，只需运用通项公式和二项式系数的性质对条件进行逐个击破.2.用赋值法求二项式各项系数的和 例2在10)32(y x -的展开式中，求： ①二项式系数的和; ②各项系数的和;③奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和; ④奇数项系数和与偶数项系数和; ⑤x 的奇次项系数和与x 的偶次项系数和. 【知识点：用赋值法求二项式各项系数的和】分析:因为二项式系数特指组合数rn C ,故在①,③中只需求组合数的和,而与二项式y x 32-中的系数无关.详解：设10102829110010)32(y a y x a y x a x a y x ++++=- (*),各项系数和即为1010a a a +++ ,奇数项系数和为0210a a a +++,偶数项系数和为9531a a a a ++++ ,x 的奇次项系数和为9531a a a a ++++ ,x 的偶次项系数和10420a a a a ++++ .由于(*)是恒等式,故可用“赋值法”求出相关的系数和.①二项式系数和为1010101100102=+++C C C .②令1==y x ,各项系数和为1)1()32(1010=-=-.③奇数项的二项式系数和为910102100102=+++C C C , 偶数项的二项式系数和为99103101102=+++C C C .④设10102829110010)32(y a y x a y x a x a y x ++++=- , 令1==y x ,得到110210=++++a a a a …(1),令1=x ,1-=y (或1-=x ,1=y )得101032105=++-+-a a a a a …(2) (1)+(2)得10102051)(2+=+++a a a , ∴奇数项的系数和为25110+;(1)-(2)得1093151)(2-=+++a a a ,∴偶数项的系数和为25110-.⑤x 的奇次项系数和为251109531-=++++a a a a ;x 的偶次项系数和为2511010420+=++++a a a a . 点拨：要把“二项式系数的和”与“各项系数和”,“奇(偶)数项系数和与奇(偶)次项系数和”严格地区别开来,“赋值法”是求系数和的常规方法之一. 3.综合运用例3(1）设a ∈Z ，且0≤a<13，若512012＋a 能被13整除，则a ＝( ) A ．0 B ．B ．1 B ．C ．11 B ．D ．12 【知识点：二项式定理的应用】解：A 本题考查二项展开式的应用．512012＝(52－1)2012＝02012C 522012－12012C 522011＋22012C 522010＋…＋20112012C ×52×(－1)2011＋20122012C ×(－1) 2012，若想被13整除需加12，∴a ＝12.（2）在(1＋x)5＋(1＋x)6＋(1＋x)7的展开式中，含x 4项的系数是首项为－2，公差为3的等差数列的( )A ．第11项B ．第13项C ．第18项D ．第20项 【知识点：二项式定理，数列的应用】解：D. (1＋x)5＋(1＋x)6＋(1＋x)7的展开式中，含x 4项的系数为444567C C C ++＝123567C C C ++＝5＋15＋35＝55，以－2为首项，3为公差的等差数列的通项公式a n ＝－2＋3(n －1)＝3n －5，令a n ＝55，即3n －5＝55，n ＝20，故选D. （3）将21(1)n x-(n ∈N *)的展开式中x －4的系数记为a n ，则232014111a a a +++=…________. 【知识点：二项式定理，不等式的应用】 解：20131007.第r ＋1项2121()(1)rr r r r n T C x x-+=-=-，令－2r ＝－4，∴r ＝2， ∴a n ＝(－1)22n C ＝(1)2n n +, 23201411122212232013201411111120132[(1)()]2(1).2232013201420141007a a a ∴+++=+++⨯⨯⨯=-+-++-=⨯-=………点拨：涉及到二项展开式中的项和系数的综合问题，需要运用通项公式和二项式系数的性质对条件进行逐个击破，同时注意二项式定理和不等式、数列的综合应用. 3．课堂总结【知识梳理】二项式定理体现了二项式的正整数幂的展开式的指数、项数、二项式系数等方面的内在联系，涉及到二项展开式中的项和系数的综合问题，只需运用通项公式和二项式系数的性质对条件进行逐个击破，对于与组合数有关的和的问题，赋值法是常用且重要的方法，同时注意二项式定理的逆用. 【重难点突破】涉及到二项展开式中的项和系数的综合问题，只需运用通项公式和二项式系数的性质对条件进行逐个击破，对于与组合数有关的和的问题，赋值法是常用且重要的方法，同时注意二项式定理的逆用. 4．随堂检测1.()2025x y -的展开式中二项式系数的和为 ，各项系数的和为 ，二项式系数最大的项为第 项.【知识点：二项式定理的应用】 解：112.1)n x+的展开式中只有第六项的二项式系数最大，则第四项为 ．【知识点：二项式定理的应用】解：.展开式中只有第六项的二项式系数最大，10n =，3734101()T C x==3.0n C +12n C +24n C ++2n n n C 729=，则123nn n n n C C C C ++++=（ ）A ．63 B.64 C.31 D.32 【知识点：二项式定理的应用】 解：A（三）课后作业 基础型 自主突破1．)()4511x +-展开式中4x 的系数为 ，各项系数之和为 ．【知识点：二项式定理的应用】 解：45, 0.2．多项式12233()(1)(1)(1)(1)nn n n n n f x C x C x C x C x =-+-+-++-（6n >）的展开式中，6x 的系数为 .【知识点：二项式定理的应用】解：0．提示：()()16n f x x n =-> 3．若二项式231(3)2nx x-（n N *∈）的展开式中含有常数项，则n 的最小值为（ ） A.4 B.5 C.6 D.8 【知识点：二项式定理的应用】 解：B.4．某企业欲实现在今后10年内年产值翻一番的目标，那么该企业年产值的年平均增长率最低应（ ）A.低于5％B.在5％～6％之间C.在6％～8％之间D.在8％以上 【知识点：二项式定理的应用】 解：C.5．在(1)n x +的展开式中，奇数项之和为p ，偶数项之和为q ，则2(1)n x -等于（ ） A.0 B.pq C.22p q + D.22p q - 【知识点：二项式定理的应用】 解：D.6．若(1－2x )2009＝a 0＋a 1x ＋…＋a 2009x 2009(x ∈R)，求20091222009222a a a +++…的值. 【知识点：二项式定理的应用】 解：令x ＝0，则a 0＝1，令x ＝12，则200912022009222a a a a ++++…＝0， ∴20091222009222a a a +++…＝－1. 能力型 师生共研7.n 的展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为64，求(1－x )n的展开式中系数最小的项的系数． 【知识点：二项式定理的应用】解：展开式中，各项系数的和为4n ，各项二项式系数的和为2n ，由已知得2n ＝64，所以n ＝6，(1－x )6的展开式中，第四项的系数最小，为－36C ＝－20.8.若n-的展开式中含有非零常数项，求正整数n 的最小值. 【知识点：二项式定理的应用】解：431)((n rr n r r r n r rr n nT C C x---+==令43n r-＝0，得43n r=.∴n取最小值为4.9．令a n为(1＋x)1n＋的展开式中含x1n－项的系数，求数列1{}na的前n项和.【知识点：二项式定理的应用】解：∵11()r rr nT C x++=，∴1211(1)2nn n nn na C C-+++===，12(1)na n n=+，∴1111111122(1)2(1).223111ni nna n n n n==-+-++-=-=+++∑…10．已知(x cosθ＋1)5的展开式中x2的系数与(x＋54)4的展开式中x3的系数相等，求cosθ. 【知识点：二项式定理的应用】解：(x cosθ＋1)5＝(1＋x cosθ)5，展开式中x2的系数为25C cos2θ.(x＋54)4＝(54＋x)4，展开式中x3的系数为5434C，由题意可知25C cos2θ＝5434C，∴cos2θ＝12，∴cosθ＝2±.探究型多维突破11．若(cosφ＋x)5的展开式中x3的系数为2，则sin(2φ＋2π)＝________.【知识点：二项式定理的应用】解：35-12.已知7270127(12)x a a x a x a x-=++++，求：（1）127a a a+++；（2）1357a a a a+++；（3）017||||||a a a+++.【知识点：二项式定理的应用】解：（1）当1x=时，77(12)(12)1x-=-=-，展开式右边为0127a a a a++++∴0127a a a a++++1=-，当0x =时，01a =，∴127112a a a +++=--=-， （2）令1x =， 0127a a a a ++++1=- ①令1x =-，7012345673a a a a a a a a -+-+-+-= ②①-② 得：713572()13a a a a +++=--，∴1357a a a a +++=7132+-.（3）由展开式知：1357,,,a a a a 均为负，0248,,,a a a a 均为正， ∴由（2）中①+② 得：702462()13a a a a +++=-+，∴ 70246132a a a a -++++=，∴017||||||a a a +++=01234567a a a a a a a a -+-+-+-702461357()()3a a a a a a a a =+++-+++=.自助餐1.在(1-x)5+(1-x)6+(1-x)7+(1-x)8的展开式中,含x 3的项的系数是( )A.74B.121C.-74D.-121 【知识点：二项式定理的应用】解: D (1-x)5+(1-x)6+(1-x)7+(1-x)8＝xx x x x x 9545)1()1()1(1])1(1[)1(---=-----,(1-x)5中x 4的系数为545=C ,-(1-x)9中x 4的系数为12649-=-C ,-126+5＝-121.2.在n x x 2)212(+的展开式中,x 2的系数是224,则21x的系数是( ) A.14 B.28 C.56 D.112 【知识点：二项式定理的应用】解:A r n r n n r rn r n r xC xx C T 222222212)21()2(---+==,令2n-2r ＝2,r ＝n-1,则22421242=-n C ,∴5612=-n n C . ∴n ＝4.再令8-2r ＝-2,∴r ＝5.∴22386144xx C T ==-. 3.在(x+y)n 的展开式中,若第七项系数最大,则n 的值可能等于( )A.13,14B.14,15C.12,13D.11,12,13 【知识点：二项式定理的应用】解:D 分三种情况:(1)若仅T 7系数最大,则共有13项,n ＝12;(2)若T 7与T 6系数相等且最大,则共有12项,n ＝11;(3)若T 7与T 8系数相等且最大,则共有14项,n ＝13,所以n 的值可能等于11,12,13. 4．在(x ＋1)(2x ＋1)(nx ＋1)(n ∈N *)的展开式中一次项系数为( )A ．2n CB ．21nC + C ．1n n C -D ．3112n C +【知识点：二项式定理的应用】 解：B 1＋2＋3＋…＋n ＝(1)2n n +＝21n C +. 5．若(x ＋y )9按x 的降幂排列的展开式中，第二项不大于第三项，且x ＋y ＝1，xy <0，则x 的取值范围是( )A.1(,)5-∞B.4[,)5+∞C.4(,]5-∞ D.(1,)+∞【知识点：二项式定理的应用】解：D 二项式(x ＋y )9的展开式的通项是T r ＋1＝9r C ·x 9－r ·y r 依题意有18272991,0.C x y C x y x y xy ⎧⎪+=⎨⎪⎩≤，＜由此得872(1)4(1)0(1)0x x x x x x ⎧---⎨-⎩≤，＜， 由此解得x >1，即x 的取值范围是(1，＋∞)．6．设a ∈Z ，且0≤a ＜13，若512 012＋a 能被13整除，则a ＝( ) A ．0 B ．1 C ．11 D ．12 【知识点：二项式定理的应用】解：D 512 012＋a ＝(13×4－1)2 012＋a ，被13整除余1＋a ，结合选项可得a ＝12时，512 012＋a 能被13整除．7.在104)1(xx +的展开式中常数项是____________.(用数字作答)【知识点：二项式定理的应用】解:45 rr r r r r xC xx C T 54010104101)1()(--+==T 要求常数项,即40-5r ＝0,可得r ＝8,代入通项公式可得4521081018===+C C T .8.若(x+1)n ＝x n +…+ax 3+bx 2+…+1(n ∈N *),且a ∶b ＝3∶1,那么n ＝_____________. 【知识点：二项式定理的应用】 解:11 33n n nC Ca ==-,22nn nC Cb ==- ,又a ∶b ＝3∶1,∴1323=n n C C .∴3)1(62)2)(1(=-•--n n n n n ,解得n ＝11.9.在(1＋x )3＋(13＋(1)3的展开式中，x 的系数为_______(用数字作答)． 【知识点：二项式定理的应用】11 / 11 解：7 13C ＋23C ＋33C ＝23－1＝7.10．若将函数f (x )＝x 5表示为f (x )＝a 0＋a 1(1＋x )＋a 2(1＋x )2＋…＋a 5(1＋x )5，其中a 0，a 1，a 2，…，a 5为实数，求a 3.【知识点：二项式定理的应用】解：不妨设1＋x ＝t ，则x ＝t －1，因此有(t －1)5＝a 0＋a 1t ＋a 2t 2＋a 3t 3＋a 4t 4＋a 5t 5，则a 3＝25C (－1)2＝10.11.若(1-2x)2004＝a 0+a 1x+a 2x 2+…+a 2004x 2004(x ∈R ),求(a 0+a 1)+(a 0+a 2)+(a 0+a 3)+…+(a 0+a 2004).(用数字作答)【知识点：二项式定理的应用】解:2004令x ＝0,得a 0＝1;令x ＝1,得1＝a 0+a 1+a 2+…+a 2004,故(a 0+a 1)+(a 0+a 2)+(a 0+a 3)+…+(a 0+a 2004)＝2 003a 0+a 0+a 1+a 2+…+a 2004＝2 004.12.已知(1+kx 2)6(k 是正整数)的展开式中,x 8的系数小于120,求k.【知识点：二项式定理的应用】解:(1+kx 2)6按二项式定理展开的通项为r r r r r r x k C kx C T 26261)(==+,∴x 8的系数为444615k k C =.∴15k 4＜120,也即k 4＜8.而k 是正整数,故k 只能取1.。
高中数学_二项式定理教学设计学情分析教材分析课后反思
《二项式定理》的教学设计一、教学目标分析1.知识与技能：(1)能用计数原理推导和证明二项式定理.(2)能够正确地理解二项式定理,准确地写出二项式的展开式(3)掌握二项式展开式的通项公式,并能用它解决简单问题.2.过程与方法：通过探究二项式定理的形成过程,培养学生的分析,观察和归纳问题的能力,提高学生的化归的意识和类比迁移的能力,使学生体会由特殊到一般的思想.3.情感、态度与价值观：培养学生的自主探究意识,合作探究的思想,体验二项式定理的发现历程,体会数学的严谨与简洁。
二、教学重点难点：教学重点：用计数原理分析(a+b)3的展开式;掌握二项展开式以及通项公式;能用通项公式求展开式中的特定项.教学难点：用计数原理证明二项式定理.易错点：二项式系数与项的系数的区分。
三、教学方法与手段:为突破难点,我采用问题串形式,设计问题梯度,层层递进,引导学生由具体(a+b)3的展开式类比得到的(a+b)4展开式,进而得到(a+b)n的展开式. 教学手段采用启发诱导式,合作探究式教学,采用多媒体，实物投影进行辅助教学。
《二项式定理》的学情分析1.学生前面已经学习了计数原理,排列组合的内容,具备学习本节课知识基础;高二学生已经具备对事物的分析归纳和总结和类比等能力,具备了学习本节课的能力。
2.本班的学生属于是理科B层次,普遍没有形成良好在学习习惯;相对数学基础知识较弱;对新知识的理解、运用,知识的迁移等方面略有欠缺;在学习中遇到困难时会有些消极心态,比较被动,但是他们有激情和热情,有学好得强烈愿望,所以教师对所授课内容尽量简洁,易懂;对学生要多鼓励,多启发，使他们不断体验到成功的快乐,感觉数学也不是那么难学。
本节课以有梯度的问题串贯穿课堂的教学,对学生来说顺利推导出定理难度不大。
3.课前已经提前印发学案,学生已提前预习,对学习本节课有心理上准备。
课后有相应的配套练习(有基础夯实题和能力提升题组成),可以对本节课所学知识进行巩固和提高。
高三数学教案《二项式定理》优秀三篇
高三数学教案《二项式定理》优秀三篇回顾小结：篇一通过学生主动探索的学习过程，使学生清晰的掌握二项式定理的内容，更体会到了二项式定理形成的思考方式，为后继课程（n次独立重复实验恰好发生k次）的学习打下了基础。
而二项式定理内容本身对解释二项分布有很直接的功效，因为二项分布中所有概率和恰好是二项式。
课后记：准备这节课，我主要思考了这么几个问题：1）这节课的教学目的“使学生掌握二项式定理”重要，还是“使学生掌握二项式定理的形成过程”重要？我反复斟酌，认为后者重要。
于是，我这节课花了大部分时间是来引导学生探究“为什么可以用组合数来表示二项式定理中各项的二项式系数？”2）学生怎样才能掌握二项式定理？是通过大量的练习来达到目的，还是通过学生对二项式定理的形成过程来记忆？正如前面所说“学问之道，问而得，不如求而得之深固也”。
我还是要求学生自主的去探索二项式定理。
这样也符合以教师为主导、学生为主体、师生互动的新课程教学理念。
3）准备什么样的例题？例题的目的是为了巩固本节课所学，例题1是很直接的二项式定理内容的应用；为了更好的让学生体会到二项式定理形成过程中的思考问题的方式，并培养学生知识的迁移能力，我增多了例题，但难免还有一些有不足之处，希望各位老师能不吝赐教。
谢谢！教材分析：篇21.知识内容：二项式定理及简单应用2.地位及重要性二项式定理是安排在高中数学排列组合内容后的一部分内容，其形成过程是组合知识的应用，同时也是自成体系的知识块，为随后学习的概率知识及高三选修概率与统计，作知识上的铺垫。
二项展开式与多项式乘法有密切的联系，本节知识的学习，必然从更广的视角和更高的层次来审视初中学习的有关多项式变形的知识。
利用二项式定理可以解决一些比较典型的数学问题，例如近似计算、整除问题、不等式的证明等。
3.教学目标A、知识目标：1）使学生参与并探讨二项式定理的形成过程，掌握二项式系数、字母的幂次、展开式项数的规律2）能应用二项式定理对所给出的二项式进行正确的展开B、能力目标：1）在学生对二项式定理形成过程的参与、探讨过程中，培养学生观察、猜想、归纳的能力及分类讨论解决问题的能力2）培养学生的化归意识和知识迁移的能力c、情感目标：1）通过学生自主参与和二项式定理的形成过程培养学生解决数学问题的信心；2）通过学生自主参与和二项式定理的形成过程培养学生体会到数学内在和谐对称美；3）培养学生的民族自豪感，在学习知识的过程中进行爱国主义教育。
高中数学 10.4《二项式定理》备课资料 旧人教版必修
高中数学 10.4《二项式定理》备课资料 旧人教版必修［例1］在(x 2+3x +2)5的展开式中，x 的系数为A.-160B.240C.360D.800 分析：把［(x 2+3x )+2］5直接展开，即[]522)3(++x x =(x 2+3x )5+5(x 2+3x )4·2+ 10(x 2+3x )3·22+10(x 2+3x )2·23+5(x 2+3x )·24+25.注意到x 的指数为1，只有在5(x 2+3x )·24中才出现x 的项，所以x 的系数为5×３× ２4=240. 答案：B但应明确直接展开只适用于n 是较小的自然数. 二、利用二项展开式的通项公式［例2］由(3x +32)100展开所得的x 的多项式中，系数为有理数的共有________项. A.50 B.17 C.16 D.15 分析：考虑(3x +32)100的展开式的通项T r +1=r100C (3x )100-r (32)r=r100C ·21003r -·33r ·x 100-r =r100C ·2503r -·32r ·x 100-r .要使系数为有理数，则r 为6的倍数，令r =6k (k ∈Z )，而且0≤6k ≤100,即r =0,6,12,…,96，因此共有17项.答案：B三、分解因式求特定项系数［例3］求(1+x +x 2)(1-x )10展开式中含x 4项的系数. 分析：原式=(1-x 3)(1-x )9,其中(1-x )9展开式的通项为T r +1=r9C (-x )r . 令r =4,得T 4+1=49C x 4; 令r =1,得T 1+1=-19C x . 故x 4的系数为49C +19C =135.四、利用排列组合原理求系数［例4］求(x 2+3x -1)9(2x +1)4展开式中含x 2的项的系数.分析：为了保证相乘得到x 2的项，则前一式子中的x 2、3x 及后一式子中的2x 取出的个数有以下几种情况：1、0、0；0、2、0；0、1、1；0、0、2.故展开式中含x 2的项为19C x 288C (-1)844C +29C (3x )277C (-1)744C +19C (3x )188C ·(-1)814C ·2x ·33C +99C ·(-1)924C (2x )222C =(9-324+216-24)x 2=-123x 2,故所求系数为-123.五、利用估算公式求系数最大项估算公式：若二项式(ax +by )n (a ,b ∈R +,n ∈N )的展开式的系数最大的项为第r +1项，则有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤⋅+-≥⋅+-.11,11ab r r n abr r n公式证明：设展开式的第r 、r +1、r +2项的系数分别为r T ',1+'r T ,2+'r T . 由展开式相邻两项的系数关系，易知⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⋅+-=''⋅+-=''+++.1,1121ab r r n T T a br r n T T r r rr而由题意，第r +1项的系数最大，所以，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤''≥''+++1,1121r r rr T T T T ,即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤⋅+-≥⋅+-11,11ab r r n abr r n 成立.［例5］问(2+3x )20展开式中系数最大的项是第几项？解：设第r +1项的系数最大，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤⋅+-≥⋅-,123120,12321r r r r解得558≤r ≤563. 由于r 是正整数，所以r =12,即第13项的系数最大. 说明：若在(ax +by )n 中，a 、b 异号，则估算公式改为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤⋅+-≥⋅+-.1||1,1||1ab r r n abr r n由此算出的是展开式中系数的绝对值最大的项. 六、巧求二项展开式某一特定项求二项展开式中某一特定项是《排列组合二项式定理》中常见题型之一.它的一般解法是应用二项展开式的通项，这已为大家所熟知.本文要介绍的是另一种解法，这种解法能使某些直接应用二项展开式的通项不易解决的问题迎刃而解.［例6］求(a +b +c +d )1995展开式中a 200b 800·c 900d 95项的系数.解：(a +b +c +d )1995=(a +b +c +d )(a +b +c +d )…(a +b +c +d ),一共1995个因式相乘，等号右边的积的展开式的每一项是从1995个因式的每一因式中任取一个字母的乘积.显然a 200b 800c 900d 95项的系数应为2001995C 8001795C 900995C 9595C .［例7］求(|x |+||1x -2)3展开式中的常数项. 解：(|x |+||1x -2)3=(||1||x x -)6. 展开式中第r +1项为T r +1=(-1)r r6C )2()6(21||rr x -+-=(-1)r r6C |x |3-r ,当且仅当r =3时，T r +1为常数，所以，所求常数项为T 4=-20. ［例8］求(1+x -x 2)6展开式中的x 5项.分析：1+x -x 2不是完全平方式，若不用本文所给方法，则要两次应用二项式定理，若用本文所给新解法，则化繁为简.解：(1+x -x 2)6展开式中，x m +2n 项(其中m ,n 都是自然数，且m +2n ≤6)是(-1)n ·m 6C ·nm -6C ·x m +2n .已知m +2n =5,方程的解有以下几种情况：①若n =1,则m =3,得项-36C 13C x 5=-60x 5; ②若n =2，则m =1，得项16C 25C x 5=60x 5;③若n =0,则m =5,得项56C 01C x 5=6x 5. 以上3种合计得项是-60x 5+60x 5+6x 5=6x 5. ●备课资料一、与二项式系数有关的求和问题 (一)赋值法［例1］证明下列等式. (1)0C n +1C n +2C n +…+nn C =2n ;(2)0C n +2C n +4C n +…=1C n +3C n +5C n +…=2n -1. 证明：利用(1+x )n =0C n +1C n x +2C n x 2+…+nn C x n 赋值. 令x =1可得(1+1)n =0C n +1C n +2C n +…+nn C =2n . 令x =-1可得(1-1)n =0C n +1C n +2C n +….可得0C n +2C n +4C n +…=1C n +3C n +5C n +…. 又0C n +1C n +2C n +…+nn C =2n , ∴0C n +2C n +…=1C n +3C n +…=21·2n =2n -1. ［例2］若(2x +3)4=a 0+a 1x +a 2x 2+a 3x 3+a 4x 4,求a 1+a 2+a 3+a 4=________. 分析：令x =1可得 (2+3)4=a 0+a 1+a 2+a 3+a 4. 又a 0=(3)4=9,∴a 1+a 2+a 3+a 4=(2+3)4-9=88+563. (二)公式法 ［例3］求和：0C n +211C n +312C n + (1)1+n n n C . 分析：针对求和问题，抓住变通项思路，灵活运用组合数公式将变量转化为不变量，并结合组合数性质进行化简.解：∵11+k k n C =)!(!!11k n k n k -⋅+ =[])!1()1()!1()!1(11+-+++⋅+k n k n n =11+n 11C ++k n ， ∴0C n +211C n +312C n +…+11+n n n C=11+n 11C +n +11+n 21C +n +11+n 31C +n …+11+n 11C ++n n =11+n (11C +n +22C +n +31C +n +…+11C ++n n ) =11+n (01C +n +11C +n +21C +n +…+11C ++n n -1)=11+n (2n +1-1). (三)裂项求和 ［例4］求和：22C 1+23C 1+24C 1+…+2C 1n. 分析：抓住通项，对通项进行变形，然后寻求求解思路. 解：∵2C n =2)1(-n n , ∴2C 1n =n n n n 212)1(2--=-.∴22C 1+23C 1+…+2C 1n=()3222()2212-+-+…+(12-n -n 2) =2-n2.(四)构造等式［例5］求和：rr C +rr 1C ++r r 2C ++…+rn C (r ＜n ). 解：由等比数列前n 项和公式知(1+x )r+(1+x )r +1+…+(1+x )n=xx x rn )1()1(1+-++.又等式左边的展开式中x r 项的系数和为r r C +r r 1C ++r r 2C ++…+rn C . 等式右边的展开式中x r 项的系数就是 (1+x )n +1-(1+x )r 展开式中x r +1项的系数为11C ++r n . ∴r r C +r r 1C ++r r 2C ++…+r n C =11C ++r n .(五)逆用二项式定理［例6］已知等比数列{a n }的首项为a 1,公比为q . 求和：a 10C n +a 21C n +a 32C n +…+a n +1nn C . 解：a 10C n +a 21C n +a 32C n +…+a n +1nn C =a 10C n +a 1q 1C n +a 1q 22C n +…+a 1q n nn C =a 1(0C n +q 1C n +q 22C n +…+q n nn C ) =a 1(1+q )n .(六)倒序相加法［例7］已知等差数列{a n }的首项为a 1,公差为d , 求和：a 10C n +a 21C n +a 32C n +…+a n +1nn C .解：设S n = a 10C n +a 21C n +a 32C n +…+a n +1nn C , ① 则S n =a n +1nn C +a n 1C -n n +a n -12C -n n +…+a 10C n ,即S n =a n +10C n +a n 1C n +a n -12C n +…+a 10C n . ② ①+②得2S n =(a 1+a n +1)0C n +(a 2+a n )1C n +…+(a 1+a n +1)nn C . 又∵等差数列{a n }的首项为a 1,公差为d , ∴a 1+a n +1=a 2+a n =a 3+a n -1=…=a 1+a n +1=2a 1+nd .∴2S n =(a 1+a n +1)0C n +(a 2+a n )1C n +(a 3+a n -1)2C n +…+(a 1+a n +1)nn C =(2a 1+nd )(0C n +1C n +…+nn C ) =(2a 1+nd )·2n .∴a 10C n +a 21C n +a 32C n +…+a n +1nn C =(2a 1+nd )·2n -1.二、创设问题情境证明组合数等式有关多个组合数之和的等式可以通过创设问题情境，并设计不同的解题方案，寻求其中的等量关系.［例1］求证：0C n +1C n +2C n +…+nn C =2n .创设问题：集合A ={a 1,a 2,…,a n }的所有子集的个数是多少？ 方案一：按A 的子集中元素的个数分类求解0C n +1C n +2C n +…+nn C . 方案二：按a i 是否进入A 的子集分步求解2222个n ⨯⨯⨯=2n . 结论：0C n +1C n +2C n +…+nn C =2n .［例2］求证：(0C n )2+(1C n )2+(2C n )2+…+(nn C )2=nn 2C . 创设问题1：求(1+x )2n 展开式中x n 的系数.方案一：考虑(1+x )2n 展开式中x n 的系数nn 2C .方案二：考虑(1+x )n (1+x )n 展开式中x n 的系数为0C n n n C +1C n 1C -n n +…+n n C 0C n .结论：(0C n )2+(1C n )2+(2C n )2+…+(n n C )2=nn 2C . 创设问题2：一只口袋中有2n 个不同小球，其中有n 个红色的，n 个黄色的，从中任取n 个小球，有多少种方法？方案一：不分红黄，从2n 个小球中任取n 个小球nn 2C . 方案二：按照所取红球的个数分类0C n n n C +1C n 1C -n n +…+n n C 0C n .结论：(0C n )2+(1C n )2+(2C n )2+…+(n n C )2=nn 2C .另外，类似还可设计问题A ={a 1,a 2,…,a n ,b 1,b 2,…,b n }，求A 的含有n 个元素的子集的个数.［例3］求证： 1C n +22C n +33C n +…+n nn C =n ·2n -1.创设问题：求数列{a r },a r =r rn C 的前n 项和S n . 方案一：依次求S n =1C n +22C n +…+n nn C .方案二：颠倒求S n =n nn C +(n -1)1C -n n +…+1C n =n 0C n +(n -1)1C n +…+nn C . 错位相加得2S n =n (0C n +1C n +…+n n C )=n ·2n .结论：1C n +22C n +33C n +…+n nn C =n ·2n -1.创设问题情境证明组合数等式不仅运算量小，生动有趣，而且有利于培养我们的想象力和创造性思维能力，如果我们拥有这方面的意识，就能很快找到创设问题的依据，从而帮助我们巧妙解决难题.●备课资料一、有关二项式定理的高考试题分类解析高考中二项式定理试题几乎年年有，主要是利用二项展开式的通项公式求展开式的某一项的系数，求展开式的常数项；利用二项式系数的性质，求某多项式的系数和，证明组合数恒等式和整除问题，及近似计算问题，考查的题型主要是选择题和填空题，多是容易题和中等难度的试题，但有时综合解答题也涉及到二项式定理的应用.(一)求多个二项式的积(和)的展开式中条件项的系数［例1］(2003年全国高考)(x 2-x21)9展开式中x 9的系数是________. 分析：此题体现抓“通项”的思路. 解：T r +1=r9C (x 2)9-r (-x21)r=(-1)r ·2-r r 9C x 18-2r ·x -r =(-1)r ·2-r r9C ·x 18-3r , 当18-3r =9时,得r =3,所以x 9系数为(-1)32-339C =-221. ［例2］(1998年全国高考题)(x +2)10·(x 2-1)展开式中含x 10的系数为________.(用数字作答) 分析：(x +2)10· (x 2-1)展开式中含x 10的项由(x +2)10展开式中含x 10的项乘以-1再加上(x +2)10展开式中含x 8的项乘以x 2得到，即010C x 10·(-1)+ 210C x 8·22·x 2,故所求的x 10的系数为010C ·(-1)+210C ·22=179.［例3］(1998年上海高考题)在(1+x )5(1-x )4的展开式中，x 3的系数为________. 分析：(1+x )5(1-x )4=(1+x )(1-x 2)4,其中(1-x 2)4展开的通项为r4C ·(-x 2)r ,故展开式中x 3的系数为-14C =-4.［例4］(1990年全国高考题)(x -1)-(x -1)2+(x -1)3-(x -1)4+(x -1)5的展开式中x 2的系数等于________.分析：求较复杂的代数式的展开式中某项的系数，常需对所给代数式进行化简，减小计算量.原式=[])1(1)1(1)1(5-+-+-x x x =xx x 6)1()1(-+-,只需求(x -1)6展开式中x 3的系数即可，T r +1=r6C x 6-r (-1)r , 令r =3得系数为-20.(二)求多项式系数和［例5］(1999年全国高考题)若(2x +3)4=a 0+a 1x +a 2x 2+a 3x 3+a 4x 4,则(a 0+a 2+a 4)2-(a 1+a 3)2的值为A.1B.-1C.0D.2 分析：涉及展开式的系数和的问题，常用赋值法. 解：欲求式可变为(a 0+a 2+a 4)2-(a 1+a 3)2 =(a 0+a 1+a 2+a 3+a 4)(a 0-a 1+a 2-a 3+a 4).实际上，a 0+a 1+a 2+a 3+a 4和a 0-a 1+a 2-a 3+a 4分别为已知式在x =1,x =-1的值. 令x =1，得(2+3)4=a 0+a 1+a 2+a 3+a 4, 令x =-1，得(2-3)4=a 0-a 1+a 2-a 3+a 4, ∴(a 0+a 2+a 4)2-(a 1+a 3)2 =(2+3)4·(2-3)4 =［(2+3)(2-3)］4=(4-3)4 =1.(三)求幂指数n［例6］(1995年上海高考题)若(x +1)n =x n +…+ax 3+bx 2+…+1(n ∈N ),且a ∶b =3∶1,那么n =________.分析：x 3的系数a =3C n ，x 2的系数b =C 2n ,依题意a ∶b =3∶1, 即3C n ∶2C n =3∶1,解得n =11.即n =11满足题意.(四)求二项式中有关元素此类问题一般是根据已知条件列出等式，进而解得所要求的元素. ［例7］(1997年全国高考题)已知(2x x a -)9的展开式中x 3的系数为49,则常数a 的值为________.分析：通项T r +1=r9C ·(xa)9-r ·(-2x )r =r 9C ·a 9-r ·(-22)r ·923-r x ,令23r -9=3, 解得r =8, 故r9C ·a 9-r ·(-22)r =49169=a . 解得a =4.［例8］(1998年上海高考题)设n ∈N ,(1+n x )n 的展开式中x 3的系数为161,则n =________. 分析：T r +1=rn C (n1)r x r, 令x 3的系数为3C n ·16113=n ,展开整理得1616)2)(1(3=--n n n n .解得n =4.(五)三项式转化成二项式问题［例9］(1997年全国高考题)在(x 2+3x +2)5的展开式中，x 的系数为 A.160 B.240 C.360 D.800分析：原式写成二项式［(x 2+2)+3x ］5,设第r +1项为含x 的项. 则T r +1=r5C (x 2+2)5-r ·(3x )r (0≤r ≤5), 要使x 的指数为1，只有r =1才有可能，即T 2=15C (x 2+2)4·3x =15x (x 8+4·2x 6+6·4x 4+4·8x 2+24).∴x 的系数为15·24=240. 答案：B(六)求整除余数［例10］(1992年“三南”高考题)9192除以100的余数是________. 分析：9192=(90+1)92=092C 9092+192C 9091+…+9192C 90+9292C . 由此可见，除后两项外均能被100整除.而9192C ·90+9292C =8281=82×100+81.故9192被100整除余数为81. (七)利用二项展开式证明不等式［例11］(2001年全国高考题)已知i ,m ,n 是正整数，且1＜i ≤m ＜n . (1)证明：n i im A ＜m i in A ; (2)证明：(1+m )n ＞(1+n )m . 证明：(1)略.(2)由二项式定理知 (1+m )n=∑=ni im0i n C ,(1+n )m=∑=ni ini m C由(1)知n i im A ＜m i in A ,又imC =!A i i m ,i n C =!A i i n∴n i i m C ＜m i in C (1＜i ≤m ＜n ). 故∑=mi in2i mC <∑=mi i m 2i n C .又n 00C m =m 00C n ，n 1C m =mn =m 1C n , ∴∑=mi ini mC <∑=ni i m 0i n C ,即(1+n )m ＜(1+m )n . (八)求近似值［例12］某地现有耕地10000公顷，规划10年后粮食单产比现在增加22%，人均粮食占用心 爱心 专心 有量比现在提高10%，如果人口年增长率为1%，那么耕地平均每年至多只能减小多少公顷(精确到1公顷)？(粮食单产=耕地面积总产量，人均粮食占有量=总人口数总产量) 分析：此类试题是利用二项式定理的展开式求近似值，主要考查利用二项式定理进行近似计算的能力.解：设耕地平均每年至多只能减少x 公顷(hm 2),又设该地区现有人口为P 人，粮食单产为M 吨/公顷(t/hm 2),依题意得不等式%)101(10%)11()1010(%)221(4104+⨯⨯≥+⨯-⨯+⨯PM P x M , 化简得x ≤103×［1-22.1)01.01(1.110+⨯］, ∵103×［1-22.1)01.01(1.110+⨯］=103×［1-22.11.1×(1+110C ×0.01+210C ×0.012+…)］ ≈103×［1-22.11.1×1.1045］≈4.1, ∴x ≤4(公顷).。
高中数学必修系列：10.4《二项式定理·第三课时》教案(旧人教版)
二项式定理应用●教学目标(一)教学知识点1.二项式定理及有关概念，公式.2.二项式系数性质.(二)能力训练要求1.了解二项式定理在整除性的判断等方面的应用.2.掌握解决与二项式定理有关的综合问题的思想方法.(三)德育渗透目标1.提高综合素质.2.培养应用能力.●教学重点二项式定理及有关概念、公式的应用.●教学难点二项式定理与其他学科知识综合问题的分析与求解.●教学方法讲练相结合法●教学过程Ⅰ.复习回顾二项式定理：(a +b )n =0C n a n +1C n a n -1b 1+…+r n C a n-r b r +…+n n C b n .通项公式：T r +1=r n C a n-r b r .二项式系数：r n C .二项式系数的性质：m n C =m n n-C ，即对称性. 当n 为偶数时，2C n n 最大.当n 为奇数时，21C-n n =21C +n n 且最大.各项系数之和C n +1C n +…+r n C +…+n n C =2n . Ⅱ.讲授新课［师］请同学们结合例题掌握以上知识.［例1］已知(31xx +)n 展开式的二项式系数之和比(a +b )2n 的展开式的系数之和小240，求(31xx +)n 的展开式中系数最大的项. ［师］请大家结合我们回顾的二项式系数的性质来分析此题.［生甲］我认为，可以先将题意转化为数学表达式，(31x x +)n 的展开式的二项式系数即0C n +1C n +…+n n C ，利用二项式系数的性质可得0C n +1C n +…+n n C =2n .而(a +b )2n 的展开式的系数可由赋值法得到，令a =b =1，可得(a +b )2n 的展开式的系数为22n .由题意可得2n =22n -240，但方程还未解出.［生乙］我的解题思路与甲同学一致，2n =22n -240可化为(2n )2-2n -240=0,这是一个关于2n 的一元二次方程，可以将2n 解出，从而得到n 值,然后写出(31xx +)n 的展开式的通项公式T r +1=r n C ·(31x)r ·(x )n-r ，再考查系数的最大值. ［生丙］乙同学的解法可以改进一下，因为(31x x +)n 中两项的系数均为1，所以展开式中各项的系数即二项式系数，所以二项式系数的最大项即展开式系数的最大项，由二项式系数的性质可知r 4C (r =0,1,2,…,4)中，24C 最大，故所求最大项即第3项.解：由题意，得2n =22n -240,∴22n -2n -240=0,即(2n -16)(2n +15)=0.又∵2n +15>0,∴2n -16=0.∴n =4.∴(31x x +)n =(31xx +)4. 又∵(31x x +)4的展开式中二项式系数的最大的项为第3项，所以，所求(31xx +)4展开式中系数最大的项为第3项，即T 3=24C (x )2(31x )2=63x . ［例2］已知1+21C n +22·2C n +…+2n nn C =2187,求1C n +2C n +…+n n C 的值.［师］此题中涉及到的都是二项式系数，请大家通过思考来寻求已知与所求的内在联系. ［生丁］从所求化简可知1C n +2C n +…+n n C =2n .［生戊］丁同学的叙述有错误，因为0C n +1C n +…+n n C =2n ,故有1C n +2C n +…+n n C =2n -1. ［师］很好，大家也应注意公式或性质的正确应用，请丁同学继续说.［生丁］从所求来看只需通过已知求出n 即可.由于已知等式的左端1+21C n +222C n +…+2n ·n n C 与二项式(1+x )n 的二项展开式1+x ·1C n +x 2·2C n +…+x n ·n n C 的二项展开式1+x ·1C n +x 2·2C n +…+x n ·n n C 的结构一样，若令其中的x =2便可得到已知条件的左端，故可以逆用二项式定理，将已知1+21C n +22·2C n +…+2n ·n n C 转化为(1+2)n =3n ,再由3n =2187=37解得n =7，再代入2n -1便达到求解的目的.解：∵1+21C n +22·2C n +…+2n ·n n C =(1+2)n =3n ,∴3n =2187=37.∴n =7.又∵0C n +1C n +2C n +…+n n C =2n ,∴1C n +2C n +…+n n C =2n -1.∴1C n +2C n +…+n n C =17C +27C +…+77C =27-1=127.［例3］求证：1+2+22+…+25n -1能被31整除.［师］请大家考虑1+2+22+…+25n -1如何化简，并且与二项式定理产生联系.［生己］通过等比数列求和将1+2+22+…+25n -1化简为12125--n =32n -1，然后将32分解为31+1，再利用二项展开式展开，考查每一项都能被31整除，从而达到求证目的.［师］很好，解此类题的关键在于依据除式的形式构造相应的二项式，并在展开式中分解出相应的因数，而且此题顺便考查了等比数列的求和公式，下面请大家完善一下.解：1+2+…+25n -1=12125--n =32n -1=(31+1)n -1=31n +1C n ·31n -1+…+1C -n n ·31+n n C -1=31n +1C n ·31n -1+…+1C -n n ·31=31·(31n -1+1C n ·31n -2+…+1C -n n ),∵31n -1, 1C n ·31n -2,…,1C -n n 都是整数， ∴原式可被31整除.Ⅲ.课堂练习1.求(3x x -)9的展开式中的有理项.分析：因为只需求出展开式中的有理项，所以可运用通项公式求解.解：∵T r +1=r 9C (x )9-r (-3x )r =(-1)r r 9C ·627rx -,其中r =0,1,2,…,9. ∴由题意得627r -应为整数.r=0,1,2, (9)∴经检验，知r=3和r=9.∴展开式中的有理项为C·x4=-84x4,T4=-39C·x3=-x3.T10=-992.已知(1-2x)7=a0+a1x+a2x2+…+a7x7,求(1)a1+a2+…+a7;(2)a1+a3+a5+a7;(3)a0+a2+a4+a6.分析：(1-2x)7=a0+a1x+a2x2+…+a7x7对于x而言是一个恒等式，于是通过x的取值可进行求解.解：(1)∵(1-2x)7=a0+a1x+a2x2+…+a7x7,令x=1,得a0+a1+a2+…+a7=-1.令x=0得a0=1.∴a0+a1+a2+…+a7=-2.(2)令x=-1,得a0-a1+a2-a3+…+a6-a7=37=2187.由上式得a1+a3+a5+a7=1094,a0+a2+a4+a6=1093.评述：在解决与系数有关的问题时，常用“赋值法”，这种方法是一种重要的数学思想方法.Ⅳ.课时小结应熟练掌握二项式定理及有关公式、性质的应用，基本掌握解决与此有关的问题的思想方法.Ⅴ.课后作业课本P110习题10.4 7、9、10.●板书设计。
人教版高中数学二项式定理教学设计
[课题]二项式定理（一）［教学内容解析］在多项式的运算中，二项式定理有着非常重要的地位，它是带领我们进入微积分学领域大门的一把金钥匙，只是在中学阶段还没有显示机会.本小节内容安排在计数原理之后，一方面是因为二项式定理的推导过程及证明要用到计数原理，另一方面二项式系数是一些特殊的组合数，因此本课的学习对排列组合部分知识的深化认识有好处.另外，二项式定理也为学习随机变量及其分布做准备.二项式定理还可以解决近似计算、整除、不等式证明等问题，有着综合性强、联系不同知识点的特点。
［教学目标设置］依据课程标准，结合学生的认知发展水平和心理特征，确定本节课的教学目标如下：（一）教学目标1、知识与技能：(1)理解二项式定理是代数乘法公式的推广.(2)理解并掌握二项式定理，能利用计数原理证明二项式定理.2.过程与方法：通过学生参与和探究二项式定理的形成过程，培养学生观察、分析、概括的能力，以及化归的意识与方法迁移的能力，体会从特殊到一般的思维方式．3.情感、态度与价值观：培养学生的自主探究意识，合作精神，体验二项式定理的发现和创造历程，体会数学语言的简洁和严谨．（二）重、难点分析重点：用计数原理分析、的展开式，归纳得到二项式定理．难点：用计数原理分析二项式的展开过程，发现二项式展开式各项的形成规律．［学生学情分析］本节课授课的对象是高二年级的学生，他们已掌握了计数原理和排列组合知识，具备一定的分析和解决问题的能力，逻辑思维也初步形成，但要把二项式定理与排列组合问题联系起来，还是比较困难的，因此需要创设一个环境，从语言感知，文字感知及图形感知等各个方面构建学生的思维认知。
［教学策略分析］为了突出重点、突破难点，在教学中采取了以下策略：1．教法分析 新的数学课程标准提出：掌握数学知识只是结果，而掌握知识的活动过程才是途径，通过这个途径，来挖掘人的发展潜能才是目的，结果应让位于过程.因此，在教学中，必须贯彻好过程性原则.也就是说，在教学过程中，充分揭示每一个阶段的思维活动过程，通过思维活动过程的暴露和数学创新活动过程的演变，使教学活动成为思维活动的教学，由此来启发、引导学生直接或间接地感受和体验知识的产生、发展和演变过程. 变传统的“接受性、训练性学习”为新颖的“探究式、发现式的学习”，变教师是传授者为组织者、合作者、指导者，在学习过程中，教师想尽办法激发学生探究式、发现式学习的兴趣，并使其作为一种教学方式应用于概念、定理、公式和解题教学中，让学生在探究、发现中获取知4)1(x +4)(x a +识，发展能力.从而增强学生的主体意识，提高学生学习的效果.2．学法分析 根据学生思维的特点，遵循“教必须以学为主立足点”的教学理念，让每一个学生自主参与整堂课的知识构建。
高三数学教案《二项式定理》优秀3篇
高三数学教案《二项式定理》优秀3篇1. 介绍本文档将介绍三篇优秀的高三数学教案，主题为《二项式定理》。
这些教案从不同的角度和方法讲解了二项式定理，帮助学生更好地理解和应用该定理，提高数学解题能力。
2. 教案一：《二项式定理初步认识》2.1 教学目标•了解二项式的定义和性质•掌握二项式展开的基本方法•能够灵活应用二项式定理解决实际问题2.2 教学内容1.二项式的定义和性质–介绍二项式的概念和表达形式–讲解二项式的性质，如二项式系数的对称性等2.二项式展开的基本方法–介绍二项式在展开时的基本方法–给出一些例题进行演示和练习3.实际问题的应用–利用二项式定理解决实际问题，如排列组合问题等–给出一些实际问题的例题和练习2.3 教学方法•讲授与演示相结合：通过讲解二项式的定义和性质，并用例题演示二项式展开的基本方法，加深学生对二项式定理的理解•提问与讨论：引导学生参与讨论，思考问题的解决方法，培养学生的分析和解决问题的能力•练习与巩固：给学生一定数量的练习题，巩固所学知识，并能够应用到实际问题中2.4 教学评价与反馈•教学评价：通过课堂上教师的观察、学生的表现及课后作业的完成情况，进行教学评价•教学反馈：及时给予学生反馈，并指导学生改正错误，提高学习效果3. 教案二：《二项式定理的证明与应用》3.1 教学目标•掌握二项式定理的证明方法•理解二项式定理的应用领域•提高数学推理和证明能力3.2 教学内容1.二项式定理的证明方法–讲解二项式定理的组合证明方法，如二项式系数的递推关系等–通过数学推理，证明二项式定理的正确性2.二项式定理的应用–介绍二项式定理在组合数学、概率论等领域的应用–给出一些应用题进行练习，提高学生的应用能力3.数学推理与证明–培养学生的数学推理和证明能力，通过解答证明题加深学生对二项式定理的理解3.3 教学方法•讲授与演示相结合：通过讲解二项式定理的证明方法，并演示具体的证明过程，加强学生对二项式定理的理解•课堂讨论：引导学生进行证明题的讨论和分析，提高学生的数学推理能力•练习与应用：给学生一些练习题，加深学生对二项式定理的应用理解3.4 教学评价与反馈•教学评价：通过课堂上的表现、学生的参与情况以及课后作业的完成情况综合评价学生的学习情况•教学反馈：及时给予学生反馈，并指导学生改进学习方法，提高学习效果4. 教案三：《二项式定理与三角恒等式》4.1 教学目标•掌握二项式定理与三角恒等式的联系和应用•理解二项式定理与三角恒等式在数学中的重要性•提高学生的综合应用能力4.2 教学内容1.二项式定理与三角恒等式的联系和应用–介绍二项式定理与三角恒等式之间的联系和应用–分析二项式展开式的三角形式及其与三角恒等式的关系2.二项式定理与三角恒等式的具体应用–给出一些具体的二项式展开题目，引导学生将其化简成三角恒等式形式–通过练习题，锻炼学生的综合应用能力4.3 教学方法•讲授与实例演示：通过讲解二项式定理与三角恒等式的联系，并给出具体的例题进行演示，加深学生对二项式定理和三角恒等式的理解•练习与应用：给学生一些练习题，锻炼学生将二项式展开式化简成三角恒等式形式的能力•问题探究与讨论：引导学生思考和探索二项式定理与三角恒等式之间的更多联系4.4 教学评价与反馈•教学评价：通过观察学生的课堂表现、参与讨论的情况以及课后作业的完成情况综合评价学生的学习情况•教学反馈：及时给予学生反馈，并指导学生改进问题解决的方法，提高学习效果5. 总结本文档介绍了三篇优秀的高三数学教案，主题为《二项式定理》。
人教版高二《二项式定理》数学教案
人教版高二《二项式定理》数学教课设计【小编寄语】查词典数学网小编给大家整理了人教版高二《二项式定理》数学教课设计，希望能给大家带来帮助!1.3 二项式定理学习目标：1掌握二项式定理和二项式系数的性质。
2.能灵巧运用睁开式、通项公式、二项式系数的性质解题学习要点：怎样灵巧运用睁开式、通项公式、二项式系数的性质解题学习难点：怎样灵巧运用睁开式、通项公式、二项式系数的性质解题讲课种类：新讲课课时安排： 1 课时教具：多媒体、实物投影仪教课过程：一、复习引入：1.二项式定理及其特例：(1)，(2).2.二项睁开式的通项公式：3.求常数项、有理项和系数最大的项时，要依据通项公式议论对的限制;求有理项时要注意到指数及项数的整数性第1页/共6页4二式系数表 (三角 )睁开式的二式系数，当挨次取⋯ ，二式系数表，表中每行两头都是，除以外的每一个数都等于它肩上两个数的和5.二式系数的性：睁开式的二式系数是，，，⋯， . 能够当作以自量的函数，定域是，例当，其象是个孤立的点(如 )(1)称性 .与首末两端“等距离”的两个二式系数相等(∵ ).直是象的称.(2)增减性与最大：当是偶数，中一获得最大;当是奇数，中两，获得最大 .(3)各二式系数和：令，二、解典范：例1.，当，求的解：令得：∴ ，点：于，令即可得各系数的和的;令即，可得奇数系数和与偶数和的关系例 2.求证： .证(法一 )倒序相加：设①又∵ ②∵， ∴ ，由① +②得：，∴ ，即.(法二 )：左侧各组合数的通项为∴ .例 3.已知：的睁开式中，各项系数和比它的二项式系数和大 .(1)求睁开式中二项式系数最大的项 ;(2) 求睁开式中系数最大的项解：令，则睁开式中各项系数和为，又睁开式中二项式系数和为，∴ ， .(1)∵，睁开式共项，二项式系数最大的项为第三、四两项，∴ ，，(2)设睁开式中第项系数最大，则，∴ ，∴，即睁开式中第项系数最大，.例 4.已知，求证：当为偶数时，能被整除剖析：由二项式定理的逆用化简，再把变形，化为含有因数的多项式∴ ，∵为偶数，∴设( )，∴当 = 时，明显能被整除，当时， ( )式能被整除，因此，当为偶数时，能被整除三、讲堂练习：1.睁开式中的系数为，各项系数之和为 .2.多项式 ( )的睁开式中，的系数为3.若二项式( )的睁开式中含有常数项，则的最小值为( )A.4B.5C.6D.84.某公司欲实此刻此后10 年内年产值翻一番的目标，那么该公司年产值的年均匀增加率最低应( )A.低于 5%B. 在 5%～ 6%之间C.在 6%～8%之间D.在 8%以上5.在的睁开式中，奇数项之和为，偶数项之和为，则等于( )A.0B.C.D.6.乞降：.7.求证：当且时，.8.求的睁开式中系数最大的项答案： 1. 45, 0 2. 0 .提示：3.B4.C5.D6.7.(略) 8.四、小结：二项式定理表现了二项式的正整数幂的睁开式的指数、项数、二项式系数等方面的内在联系，涉及到二项睁开式中的项和系数的综合问题，只要运用通项公式和二项式系数的性质对条件进行逐一节破，关于与组合数有关的和的问题，赋值法是常用且重要的方法，同时注意二项式定理的逆用五、课后作业：1.已知睁开式中的各项系数的和等于的睁开式的常数项，而睁开式的系数的最大的项等于，求的值答案：2.设求：①②.答案：① ; ②3.求值：.答案：4.设，试求的睁开式中：(1)全部项的系数和;(2)全部偶次项的系数和及全部奇次项的系数和答案： (1) ;(2)全部偶次项的系数和为;全部奇次项的系数和为六、板书设计 (略)其实 ,任何一门学科都离不开照本宣科,要点是记忆有技巧, “死记”以后会“活用”。
高中高三数学《二项式定理》教案、教学设计
（二）讲授新知，500字
在讲授新知环节，我会按照以下步骤进行：
1.详细讲解二项式定理的基本形式，让学生理解二项式定理的构成要素。
2.通过几何图形和具体实例，引导学生探究二项式定理的推导过程，强调组合数公式的运用。
-例如：请简述二项式定理的推导过程，以及你在学习过程中遇到的问题和解决方法。
-要求：学生认真撰写，培养学生的学习反思能力。
5.课外阅读题：推荐学生阅读与二项式定理相关的数学历史资料，了解数学家们在二项式定理研究过程中的贡献。
-例如：阅读《数学家与二项式定理》的相关文章，了解二项式定理的发现和发展过程。
3.二项式定理在解决实际问题中的应用。
4.二项式定理与其他数学知识的联系。
在整个教学内容与过程中，我注重启发式教学，关注学生的主体地位，充分调动学生的积极性，提高学生的数学素养。
五、作业布置
为了巩固学生对二项式定理的理解和应用，确保学生能够熟练掌握本章节的知识点，我设计了以下几类作业：
1.基础知识巩固题：选取一些典型的题目，要求学生运用二项式定理的基本形式进行计算，巩固二项式系数的计算方法。
-例如：计算(x+y)^5展开式中x^3y^2的系数。
-要求：学生独立完成，注重解题过程的规范性和准确性。
2.应用题：设计一些实际问题，让学生运用二项式定理解决，提高学生分析问题和解决问题的能力。
-例如：一个袋子里有5个红球和5个蓝球，随机取出3个球，求取出2个红球和1个蓝球的概率。
-要求：学生通过小组合作完成，培养学生的团队协作能力。
4.教学策略：
高三数学教案《二项式定理》
高三数学教案《二项式定理》教案标题：二项式定理教案目标：1. 了解二项式定理的定义和基本性质2. 能够应用二项式定理计算特定的二项式表达式3. 了解二项式定理在数学和实际生活中的应用教学重点：1. 二项式定理的定义和基本性质2. 二项式定理的应用教学难点：1. 二项式定理的实际应用教学准备：1. 教材：高中数学教材2. 教具：黑板、粉笔教学过程：Step 1：导入通过一个简单的问题引入二项式定理的概念，如：「已知(a+b)^2=a^2+2ab+b^2，求(a+b)^3是多少？」，让学生思考并回答问题。
Step 2：理论讲解1. 引导学生回顾二项式展开式的定义：对于任意非负整数n，二项式展开式的形式为(a+b)^n=a^n+C(n,1)a^(n-1)b+...+C(n,n-1)ab^(n-1)+b^n。
2. 解释二项式展开式中的C(n,k)代表组合数，即从n个元素中取k个元素的组合数。
3. 引导学生理解二项式定理的基本性质：当n为非负整数时，有(a+b)^n=C(n,0)a^n+C(n,1)a^(n-1)b+...+C(n,n-1)ab^(n-1)+C(n,n)b^n。
Step 3：例题演练1. 通过简单的例子演示如何应用二项式定理，如计算(a+b)^4。
2. 给学生提供一些练习题，让他们独立进行计算，如计算(a+b)^5。
Step 4：拓展应用1. 引导学生思考二项式定理在数学中的应用，如求整系数多项式的平方。
2. 引导学生思考二项式定理在实际生活中的应用，如概率论中的二项分布。
Step 5：小结归纳从理论和应用两个方面对二项式定理进行总结归纳，并帮助学生梳理知识点。
Step 6：课堂练习布置一些课堂练习题，鼓励学生独立完成。
Step 7：课堂总结对本节课的重点内容进行总结，并让学生提问和解答疑惑。
教学延伸：1. 鼓励学生进一步探究二项式定理的推广和应用。
2. 提供更多实际生活中的例子，引导学生思考和应用二项式定理。
高二数学二项式定理 人教版 教案
高二数学二项式定理【教学内容】 1、二项式定理； 2、二项式系数的性质。
【教学目标】使学生理解并掌握二项式定理，理解二项展开式的通项、二项式系数、项的系数等概念，理解并掌握二项式系数的性质，并能够比较熟练地运用这些基本概念和性质来解决一些常见的题型。
【知识讲解】1、二项式定理的性质nn n n n n r r n r n n n n n n n n b C ab C b a C b a C b a C a C b a +++++++=+-----11222110)(（1）二项展开式共有n+1项。
（2）指数：a 的指数由n 开始按降幂排列到0，b 的指数由0按升幂排列到n ，在每一项中a 与b 的指数之和为n 。
（3）系数：各项的二项式系数依次为：0n C，1n C ，2n C，…，r n C ，…1-n n C，n nC 。
（4）在二项展开式中，要注意区分“二项式系数”与“展开式系数”两个不同的概念。
（5）通项：二项展开式中第r+1项rr n r n r b a C T -+=1（0≤r ≤n ）叫做通项。
通项公式是一个非常重要的公式，常常用它来求二项展开式中某特殊项，例如求指定幂的项，常数项，中间项，有理项，系数最大的项，具有某种性质的连续若干项等等。
因此我们必须清楚地记住通项公式的结构特点，同时还注意：①通项r r n r n r b a C T -+=1是对(a+b)n 形式的展开而言，至于(b+a)n展开式的通项是 rr n r n r a b C T -+=1，两者的通项不相同，不可混淆。
②(a －b)n展开式的通项是r r n r n r r b a C T -+-=)1(1（0≤r ≤n ）。
2、如果a 的绝对值比1小得多，且n 不太大的时候，可以应用公式： (1+a)n=1+na(a ＞0) (1－a)n =1－na(a ＞0)计算(1±a)n的近似值，使它达到预定的精确要求，如果精确的要求很高，还应用这个近似公式来计算，其结果的误差会达不到要求，因此就需要在(1±a)n的展开式中往后继续取一项或几项来计算，结果总会达到要求。
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二项式定理(二)●教学目标(一)教学知识点1.二项式系数的性质：对称性，增减性与最大值，各二项式系数的和.2.“赋值法”.(二)能力训练要求1.掌握二项式系数的性质，并会简单应用.2.学会用“赋值法”解决与二项式系数有关的问题.(三)德育渗透目标1.提高学生的数学素质.2.树立由一般到特殊的意识.●教学重点1.二项式系数的性质(1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等.(2)增减性：∵k n C =k k n 1+-1C -k n , ∴当k ＜21+n 时，二项式系数逐渐增大，由对称性知后半部分是逐渐减小的. (3)最大值：当n 为偶数时，中间一项(第2n +1项)的二项式系数最大，最大值为2C n n . 当n 为奇数时，中间两项(第21+n 项和第21+n +1项)的二项式系数相等，且同时取最大值，最大值为21C -n n 或21C +n n. (4)各二项式系数和0C n +1C n +2C n +…+r n C +…+n n C =2n .2.“赋值法”在解题中的运用.●教学难点与二项展开式中系数最大项有关问题的求解.●教学方法发现法●教具准备投影片一张.内容：课本P 107图10-9.●教学过程Ⅰ.复习回顾［师生共同活动］(a +b )n =0C n a n +1C n a n -1b 1+…+r n C a n-r b r +…nn C b n .T r +1=r n C a n-r b r .Ⅱ.讲授新课［师］通项公式中的r n C ，我们称其为二项式系数，(a +b )n 展开式的二项式系数，当n 依不难发现，它有这样的规律：每行两端都是1，而且除1以外的每一个数都等于它肩上两个数的和.［师］能用我们所学知识解释一下吗？［生］设这一数为r n 1C +,其肩上的数则为1C -r n 和r n C ，由组合数知识可知r n 1C +=1C -r n +r n C . ［师］上表可称为二项式系数表，早在我国南宋数学家1261年所著的《详解九章算术》中就有所记载，又称为杨辉三角.此表将二项式系数的性质表现得淋漓尽致.(打出投影片)［师］下面结合此表，来看一下二项式系数的主要性质.同学们看出哪些性质？［生］对称性.即与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等.［师］为什么呢？［生］因为m n C =m n n -C .［师］还有什么性质？［生］增减性与最大值.当k ＜21+n 时，二项式系数是逐渐增大的； 当k ＞21+n 时，二项式系数是逐渐减小的. 当n 是偶数时，2C n n 最大；当n 是奇数时, 21C -n n ,21C +n n 相等，且最大.［师］上述性质与我们所学二次函数性质有相似之处，因此r n C 可看成是以r 为自变量的函数f (r ),其定义域是{0,1,2,…,n }.［师］可以解释上述性质吗？［生］∵k n C =k k k n n n n ⋅-+---)!1()1()2)(1(Λ=1C -k n ·kk n )1(+-， ∴当k k n 1+-＞1，即k ＜21+n 时,1C C -k nk n ＞1,即k n C ＞1C -k n .当k k n 1+-＜1,即k ＞21+n 时，1C C -k nk n ＜1,即k n C ＜1C -k n . ［师］还有其他性质吗？［生］∵(1+x )n =0C n +1C n x +2C n x 2+…+r n C x r +…+n n C x n ,当x =1时， 2n =0C n +1C n +2C n +…+r n C +…+n n C ，即(a +b )n 的展开式的各个二项式系数的和等于2n .［师］是否还可发现其他性质呢？［生］在(a +b )n 的展开式中，令a =1,b =-1,则可得0=0C n -1C n +2C n -3C n +…=(0C n +2C n +…)-(1C n +3C n +…)，即0C n +2C n +…=1C n +3C n +….也就是说，在(a +b )n 的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的和.［师］下面看怎样应用这些性质.［例1］求(1+2x -3x 2)5的展开式中的x 5项的系数.［师］这是一个关于三项式的展开式的问题，而三项式的展开式对于我们来讲，并无现成的公式可用，那么请大家思考一下如何解决？能否与我们刚学的二项式定理产生联系呢？［生甲］我认为可以将(2x -3x 2)看作一项，用二项式定理展开，再考查各项中x 5项的系数，最后通过求和得到所求.［生乙］我也尝试了甲同学的方法，但感觉各项中x 5项的系数有些烦琐.［师］虽然此种解法较繁，但对于大家来说，能够熟悉二项式定理，熟悉二项式的展开式，熟悉二项式的通项的特点，所以，我还是提倡大家采用这种思路尝试下去，加深自己的体会.［生丙］我注意到括号内的(1+2x -3x 2)恰好可以分解因式为(1-x )(1+3x ),故三项式可转化为两个二项式之积，分别展开后考查得到x 5项的多种情形：x 0·x 5,x 1·x 4,x 2·x 3,x 3·x 2,x 4·x 1,x 5·x 0，然后将两个二项展开式的系数对应相乘相加即可.［师］很好，相对于解法一来讲，丙同学的解法就体现了解题方法的灵活性，即通过因式分解将三项式问题转化为二项式问题，其他同学注意体会.解法一：∵(1+2x -3x 2)5=［1+(2x -3x 2)］5=1+5(2x -3x 2)+10(2x -3x 2)2+10(2x -3x 2)3+5(2x -3x 2)4+(2x -3x 2)5=1+5x (2-3x )+10x 2(2-3x )2+10x 3(2-3x )3+5x 4(2-3x )4+x 5(2-3x )5,∴x 5项的系数为上式各项中含x 5项的系数和，即1023C ·21·(-3)2+514C ·23·(-3)1+25=92.解法二：∵(1+2x -3x 2)5=(1-x )5·(1+3x )5=(1-5x +10x 2-10x 3+5x 4-x 5)·(1+15x +90x 2+270x 3+405x 4+243x 5),∴展开式中x 5项的系数为243-5×405+270×10-10×90+5×15-1=92.［例2］求(1+x )3+(1+x )4+…+(1+x )16的展开式中x 3项的系数.［师］请大家审读题目后，考虑如何获得含x 3项的系数.［生甲］我认为可以求出每一项中含x 3项的系数，并注意发现其变化规律，依次为33C ,34C ,35C ,…,316C ，但是,33C ,34C ,…,316C 各项之和的求解较为复杂. ［师］甲同学的思路完全正确，大家可以一起考虑一下，看能否将甲同学的困惑解决呢？ ［生丁］可以用我们前面所学的组合数性质，将33C +34C =44C +34C =45C ，再将45C +35C =46C ，以此类推，达到求和的目的.［师］很好，乙同学求和的关键是将首项33C 变为44C ，然后多次应用组合数的性质达到化简求和的目的，此解法能使我们得到一个启示，用式子表达，即kk C +k k 1C ++k k 2C ++…+k n C =11C ++k n ，大家在以后碰到相关题目时，可以尝试使用. ［师］下面大家继续思考，看能否想出其他的解决办法.［生戊］我认为，可以将原式化简后再求x 3项的系数，具体做法是：把(1+x )3+(1+x )4+…+(1+x )16看作首项为(1+x )3,公比为(1+x )(当x ≠-1时)，项数为14的等比数列的前n 项和，由等比数列前n 项和公式求和可得原式=xx x 317)1()1(+-+,从上式可以看出只有(1+x )17展开式中含x 4的项与x 相除可得含x 3项，所以只需考查(1+x )17的展开式中含x 4的系数即可.［生己］戊同学在叙述过程中提到x ≠-1时，(1+x )3+(1+x )4+…+(1+x )16可以看作等比数列前n 项和，那么当x =-1时又如何解释呢？［生庚］我认为，由于此题的目的是求x 3项的系数，其中x 是任意的变量，而当x ≠-1时，求出的系数不失一般性，故不必考虑x =-1的情形.［师］大家说得很好.同学们由此题联系到我们所学的数列求和方法，将表面的14个二项式问题转化为一个二项式问题，达到了化繁为简，化不熟悉为熟悉的目的，与第一种解法有异曲同工之妙.［师］下面请大家写出完整的解答过程.解法一：由题意(1+x )3,(1+x )4,…,(1+x )16的展开式中x 3项的系数依次为33C ,34C ，…，316C ，∴所求展开式中含x 3的项的系数为33C +34C +35C +...+316C =(44C +34C )+35C + (316)=(45C +35C )+…+316C =46C +…+316C =…=416C +316C =417C .又417C =2380,∴所求展开式中含x 3的系数为2380.解法二：当x ≠-1时，(1+x )3+(1+x )4+…+(1+x )16可以看作是首项为(1+x )3,公比为(1+x ),项数为14的等比数列的前n 项和，由等比数列前n 项和的求和公式可得 原式=[]1)1(1)1()1(143-+-++x x x =xx x 317)1()1(+-+. 显然只有(1+x )17展开式中x 4项与分母x 相除可得x 3项，∴含x 3项的系数为417C =2380.Ⅲ.课堂练习(学生练习，老师讲评)课本P 109练习1～3.1.(1)1016C =1015C +915C =515C +915C =a +b ;(2)49C =126;(3)111C +311C +…+1111C =210=1024; (4)原式=21221=+n n . 2.证明：∵0C n +1C n +2C n +…+k n C +…+nn C =2n ,C n +2C n +…=1C n +3C n +…, ∴0C n +1C n +2C n +…+k n C +…+n n C =(0C n +2C n +…)+(1C n +3C n +…)=2(0C n +2C n +…)=2n . ∴0C n +2C n +…+n nC =22n=2n -1. 评述：注意灵活利用二项式系数性质.Ⅳ.课时小结通过本节学习，需掌握二项式系数的三大性质：即对称性、增减性和最大值，及二项式系数之和.Ⅴ.课后作业(一)课本P 109习题10.4 4、5.(二)预习提纲如何利用二项式定理、通项公式及二项式系数性质解决相关问题？●板书设计。