数值分析2

（六）多项式函数与函数的最佳逼近 1.插值所谓“最接近”或者严格地说最佳逼近，就是从指定的一类简单的函数中寻找一个和给定的函数“最贴近”的函数，从几何（空间）的角度看，函数最佳逼近就是从指定的一类简单的函数（点的集合）中寻找一个和给定的函数（定点）之间距离最短的函数（点）。

函数空间中不同的距离度量确定了不同的逼近准则，不同的逼近准则定义了不同的函数最佳逼近。

在插值问题中，最佳逼近准则是：在已知的全部点处，简单函数（被插值多项式）的函数值与未知函数的函数值相等，即()k k P x y =，0,1,2,,k n = 2.构造插值多项式的方法1）拉格朗日插值法:()()0nkkk L x L x y ==∑简单的证明:因为拉格朗日插值多项式的基函数有如下的性质：()()()010,njkk j j kjj kx x x x L x x x j kx x =≠-=⎧==⎨=≠-⎩∏0,1,2,k n =所以拉格朗日插值多项式()()()0nk jkjk k k k j L x L x yL x y y ====∑ 0,1,2,k n = 满足插值的条件。

拉格朗日插值法的不足:在实际问题中，观测的数据可能会不断增加，如果用拉格朗日插值公式构造插值多项式，那么，每当增加数据就要重新计算多项式的系数，由此增加许多不必要的计算工作量。

2）牛顿插值法将插值多项式()n P x 写成下面的形式()()()()()()()010201011n n n P x a a x x a x x x x a x x x x x x -=+-+--++---其系数的确定有如下的特点：计算第k 个系数只用到前k 对数据，如()000n a P x y ==，()101011010n P x a y y a x x x x --==--，()()()()()()()()()()()()()()20120220212220120202110202020211020102021101211n P x a a x x a x x x x y a y a a x x x x x x y y y y x x x x x x x x y y y y x x x x x x x x =+-+--=⇒=---⎡⎤⎣⎦--⎡⎤-=---⎢⎥---⎣⎦--=+----因此，当数据增加时，不需要重新计算已有的多项式系数，例如，在已得到插值多项式的情况下，当新增加一对数据()11,n n x y ++时，只需要在原有的插值多项式的基础上增加一项()()()101n n a x x x x x x +--- ,因此，对于新的插值多项式()()()()()()()()()()1010201011101n n n n n P x a a x x a x x x x a x x x x x x a x x x x x x +-+=+-+--++---+---只需要计算系数1n a +。

3）三次样条插值条件要求所求的插值多项式()S x （三次样条函数）a .在每个区间[]1,k k x x -，0,1,2,,k n = ，是次数不超过三次的多项式；b .()k k S x y =，0,1,2,,k n = ；c .()S x 在区间..上具有二阶连续导数。

定端点的斜率：()00S x y ''=，()n n S x y ''= (固定边界条件)给定端点的的二阶导数：()00S x y ''''= (自由边界条件) 期性条件：()()()()0m m n S x S x = 附程序5：Interpolation_Spline_01.m（七）数值分析 1.最小二乘法最小二乘逼近多项式()*n P x 必须满足如下条件：220TTf a aϕϕϕ∂Φ=-+=∂即满足法方程组:()1TT TTa fa fϕϕϕϕϕϕ-=⇒=附程序6：附程序1: Polyfit_01.m2.最佳平方逼近设函数()()[],,f xg x C a b ∈，定义函数()f x 与()g x 之间的距离如下：()()122,badf g f g dx ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦⎰，给定函数()[,]f x C a b ∈，若在所有的次数不超过n次的多项式1011()nn n n P x a x a xa x--=+++ 中，多项式1011()nn n n n P x a x a x a x a ***-**-=++++ 满足()()()()122*,m i n n bnn a P x df P fx P x dx ⎡⎤=-⎡⎤⎣⎦⎢⎥⎣⎦⎰，则称()*n P x 是()f x 在区间[],a b 上的（n 次）最佳平方逼近多项式。

（八）数值微积分对于给定的函数()y f x =，如果 1)()y f x =的函数关系式比较复杂；2)()y f x =未知，而仅仅知道该函数在1n +个点k x ，0,1,,k n = 处的函数值k y .则希望能用相对简单的计算方法，求得()y f x =在[,]a b 上的定积分的近似值。

基于上述考虑，选择的方法之一是利用函数()y f x =的插值多项式的积分作为函数()y f x =在[,]a b 上的定积分的近似值，例如，当函数()y f x =在[,]a b 上的定积分不易计算时，利用函数()y f x =的Lagrange 插值多项式()()()0nn kkk L x l x f x ==∑，有()()()()0nb b b n k k aaa k I fx dx L x dx l x dx fx =⎡⎤=≈=⎢⎥⎣⎦∑⎰⎰⎰。

由于Lagrange 插值多项式()()()0nn kkk L x l x f x ==∑的插值基函数()k l x 只依赖插值节点k x ，0,1,,k n = ，所以当k x ，0,1,,k n = 取定后，()k l x 就是完全确定的多项式函数，令()b k k aA l x dx =⎰， 0,1,,k n =则得Newton-Cotes 求积公式：()()()()()00b bn aab nkkk ank k k fx dx L x dxf x l x dx A fx ==≈==⎰⎰∑⎰∑特别地，当取插值节点为,0,1,,k x a kh k nb a h n=+=-=时有1）两点公式（梯形公式）：01122h b a n A A -=⇒===()()()()()02b bn aank k k fx dx L x dx A fx b a f a f b =≈=-=+⎡⎤⎣⎦⎰⎰∑附程序7：Quad_Example_01.m2）三点公式（Simpson 公式）：()02126646h b a n A A b a A -=⇒===-=()()()()462b bn aafx dx L x dxb a a bf a f f b ≈-⎡+⎤⎛⎫=++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎰⎰利用Lagrange 插值的误差公式：()()()()()()()101!n nn n k k fR x f x L x x x n ξ+==-=-+∏ 得到梯形求积公式的误差估计：()()()()()()313222121232b baaf fx dx L x dx b a M b a b a b a M ξ''-=-≤---⎛⎫=⎪⎝⎭⎰⎰和Simpson 求积公式的误差估计：()()()()()424418021802b baaf b a b a fx dx L x dx b a b a M ξ''--⎛⎫-=⎪⎝⎭--⎛⎫≤ ⎪⎝⎭⎰⎰其中：()(){}[,]maxk k x a b M fx ∈=。

附程序8：Quad_Example_02.m3）复化求积公式 1)复化的梯形求积公式()()()()()111122k kn b x ax k n k k nfx dx fx dxh f a f x f b T +-=-==⎡⎤≈++⎢⎥⎣⎦=∑⎰⎰∑2）复化的Simpson 求积公式()()()()()111112462k kn b x axk n n k k k k nfx dx fx dxh h f a f x f x f b S +-=--===⎡⎤⎛⎫≈++++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦=∑⎰⎰∑∑附程序9：quad_xsinexp02.m（九）微分方程（组）数值解法微分方程（组）是科学研究和工程应用中最常用的数学模型之一。

如揭示质点运动规律的Newton 第二定律：()()()220000d xmF t dt x t x x t x ⎧=⎪⎨⎪''==⎩和刻画回路电流或电压变化规律的基尔霍夫回路定律等，但是，只有一些简单的和特殊的常微分方程及常微分方程组，可以求得用公式给出的所谓解析解或公式解，如一阶线性微分方程的初值问题：()()00dyay f t dty y =+=的解为：()()()00ta t at y t e y ef d τττ-=+⎰。

但是，绝大多数在实际中遇到的常微分方程和常微分方程组得不到“解析解”，因此，基于如下的事实：1）绝大多数的常微分方程和常微分方程组得不到解析解；2）实际应用中往往只需要知道常微分方程（组）的解在（人们所关心的，感兴趣的）某些点处的函数值（可以是满足一定精度要求的近似值）；如果只需要常微分方程（组）的解在某些点处的函数值，则没有必要非得通过求得解的表达式，然后再计算出函数值不可，事实上，我们可以采用下面将介绍的常微分方程（组）的初值问题的数值解法，就可以达到这一目的。

一般的一阶常微分方程初值问题是指如下的一阶常微分方程的定解问题：()()000,,fdy f t y t t t dty t y =≤≤=，微分方程（组）的初值问题通常是对一动态过程演化规律的描述，求解常微分方程（组）的初值问题就是要了解和掌握动态过程演化规律。

解的存在且唯一性条件。

如果函数(),f t y 在区域()0,,f D t t ⎡⎤=⨯-∞+∞⎣⎦上连续，且存在（Lipschitz ）常数0L >，对自变量y 满足不等式（Lipschitz条件）：()()2121,,f t y f t y L y y -≤-，那么初值问题（Cauchy 问题）存在唯一的连续可微解()00,,y y t t y =。

1）最简单的数值解法：Euler 方法假设要求在点（时刻）0k t t kh =+，0f t t h n-=，1,2,,k n = 处初值问题（4）的解()y y t =的近似值。