2018届北京西城13中学高三上学期期中考试数学(理)试题

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北京市第十三中学2018-2019学年高三上学期第三次月考试卷数学含答案

北京市第十三中学2018-2019学年高三上学期第三次月考试卷数学含答案班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．定义运算，例如．若已知，则=（）A ．B ．C ．D ．2．已知命题p ：∃x ∈R ，cosx ≥a ，下列a 的取值能使“￢p ”是真命题的是（） A ．﹣1 B ．0C ．1D ．23．设集合3|01x A x x -⎧⎫=<⎨⎬+⎩⎭,集合(){}2|220B x x a x a =+++>,若 A B ⊆,则的取值范围（）A ．1a ≥B ．12a ≤≤ C.a 2≥ D ．12a ≤< 4．经过点()1,1M 且在两轴上截距相等的直线是（） A ．20x y +-= B ．10x y +-=C ．1x =或1y =D ．20x y +-=或0x y -= 5．《九章算术》是我国古代的数学巨著，其卷第五“商功”有如下的问题：“今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈。

问积几何？”意思为：“今有底面为矩形的屋脊形状的多面体（如图）”，下底面宽AD ＝3丈，长AB ＝4丈，上棱EF ＝2丈，EF ∥平面ABCD .EF 与平面ABCD 的距离为1丈，问它的体积是（） A ．4立方丈B ．5立方丈C ．6立方丈D ．8立方丈6．下列给出的几个关系中：①{}{},a b ∅⊆；②(){}{},,a b a b =；③{}{},,a b b a ⊆；④{}0∅⊆,正确的有（）个A.个B.个C.个D.个 7．等差数列{a n }中，a 1+a 5=10，a 4=7，则数列{a n }的公差为（） A ．1B ．2C ．3D ．48．设集合,,则( )A BCD9．已知α，[,]βππ∈-，则“||||βα>”是“βαβαcos cos ||||->-”的（） A. 充分必要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件【命题意图】本题考查三角函数的性质与充分必要条件等基础知识，意在考查构造函数的思想与运算求解能力. 10．若圆226260x y x y +--+=上有且仅有三个点到直线10(ax y a -+=是实数）的距离为，则a =（）A ． 1±B ． ±C ．D ．11．某几何体的三视图如图所示，则该几何体为（）A ．四棱柱B ．四棱锥C ．三棱台D ．三棱柱 12．sin 3sin1.5cos8.5，，的大小关系为（） A ．sin1.5sin 3cos8.5<< B ．cos8.5sin 3sin1.5<< C.sin1.5cos8.5sin 3<<D ．cos8.5sin1.5sin 3<<二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在横线上）13．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若△ABC 不是直角三角形，则下列命题正确的是（写出所有正确命题的编号）①tanA •tanB •tanC=tanA+tanB+tanC②tanA+tanB+tanC 的最小值为3③tanA ，tanB ，tanC 中存在两个数互为倒数 ④若tanA ：tanB ：tanC=1：2：3，则A=45°⑤当tanB ﹣1=时，则sin 2C ≥sinA •sinB ．14．如果实数,x y 满足等式()2223x y -+=，那么yx的最大值是． 15．已知,0()1,0x e x f x x ì³ï=í<ïî，则不等式2(2)()f x f x ->的解集为________．【命题意图】本题考查分段函数、一元二次不等式等基础知识，意在考查分类讨论思想和基本运算能力． 16．直线l 1和l 2是圆x 2+y 2=2的两条切线，若l 1与l 2的交点为（1，3），则l 1与l 2的夹角的正切值等于 _________ 。

201811西城区北京十三中高一上期中(必修一)

x
C、 f ( x) ln x ； g ( x) 2 ln x
2
3
x3
x 5、在同一直角坐标系中，函数 y 2 与 y ( ) 的图像间的关系是（
x
1 2
）
A、关于 y 轴对称 C、关于原点对称 6、下列大小关系正确的是（ A、 0.4 ＜3 ＜ log 4 0.3 C、 log4 0.3＜0.4 ＜3
2 0.4
2 0.4
B、关于 x 轴对称 D、关于直线 y＝x 对称） B、 0.4 ＜ log 4 0.3＜3
0.4
2 0.4
D、 log4 0.3＜3 ＜0.4
2
7、已知 ln 2 a ， ln3 b ，那么 log3 2 用含 a、b 的代数式表示为（ A、 a b 8、函数 y B、
）
a b
C、 ab ）
D、 a b
1 1 的图像是下列图像中的（ x 1
1
y
y
y
y
O
x
O
x
O
x
O
x
A
2
B
C
D ）
9、函数 f ( x) x 2(a 1) x 2 在 (, 4) 上是增函数，则实数 a 的范围是（ A、a≤－ 3 B 、a ≥ 5 C 、a ＞ 5 D 、a≤5 10、如图所示的是某种浮萍蔓延的面积（ m2）和时间 t （月）的关系： y＝at 有以下叙述，其中正确的是（）
3
19、（本小题满分 10 分）已知函数 f ( x) log a ( x 2) 1 ，其中 a＞1. （Ⅰ）若 f ( x ) 在 [0,1] 上的最大值与最小值互为相反数，求 a 的值；（Ⅱ）若 f ( x ) 的图像不经过第二象限，求 a 的取值范围。

2017-2018北京西城13中高一上学期中(缺小题解析)

北京市第十三中学2017-2018学年第一学期高一数学期中测试（必修1模块测试）本试卷分A 、B 两卷 A 卷（本卷满分100分）第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．集合{}|03P x x =∈<Z ≤，{}2|9M x x =∈Z ≤，则P M =I （）．A ．{}1,2B ．{}0,1,2C ．{}|03x x <≤D ．{}|03x x ≤≤【答案】B【解析】2．下列四个图形中，不是．．以x 为自变量的函数的图象是（）． A． B．C． D．【答案】C【解析】3．已知函数()lg(2)f x x =-，那么()f x 的定义域是（）．A ．RB ．{2|x x >且3}x ≠C ．{}2|x x ≠D ．{}2|x x >【答案】D 【解析】4．给定函数①12y x =，②12log (1)y x =+，③241y x x =-+，④12x y +=，其中在区间(0,1)上单调递减的函数序号是（）．A ．①②B ．③④C ．②③D ．①④【答案】C 【解析】5．已知函数21,0()2,0x x f x x x ⎧+=⎨->⎩≤，若()10f a =，则a 的值是（）．A ．3B ． 3-C ．3±D ．5-【答案】B 【解析】6．已知ln2a =，ln3b =，那么3log 2用含a ，b 的代数式表示为（）．A ．a b -B ．a bC ．abD ．a b +【答案】B 【解析】7．在同一坐标系中，函数2xy =与12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象之间的关系是（）．A ．关于y 轴对称B ．关于x 轴对称C ．关于原点对称D ．关于直线y x =对称【答案】A【解析】8．下列大小关系正确的是（）．A ．20.440.43log 0.3<<B ．20.440.4log 0.33<<C ．20.44log 0.30.43<<D ． 0.424log 0.330.4<< 【答案】C 【解析】9．根据表格中的数据，可以判定函数()e 2x f x x =--的一个零点所在的区间为（）．A ．(1,0)-B D ．(1,2)【答案】D 【解析】10．已知函数()()()f x x a x b =--（其中a b >），若()f x 的图象如图所示，则函数()x g x a b =+的图象是（）．A．B．xC．xD．x【答案】A 【解析】第Ⅱ卷（共60分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上． 11．124936-⎛⎫ ⎪⎝⎭的值是__________．【答案】67【解析】 12．已知幂函数的图象经过点12,8⎛⎫⎪⎝⎭，则函数的解析式()f x =__________．【答案】3x - 【解析】13．已知函数2()24(3)5f x mx m x =+-+是在区间(,3)-∞上的减函数，在区间(3,)+∞上的增函数，则m 的值是__________．【答案】34【解析】14．已知函数1()2x f x a +=-（0a >且1a ≠）恒过定点P ，那么点P 的坐标为__________．【答案】(1,1)-- 【解析】15．已知函数3log y x =的图象上有两点11(,)A x y ，22(,)B x y ，且线段AB 的中点在x 轴上，则12x x ⋅=__________．【答案】1【解析】16．国家规定个人稿费纳税办法为：稿费不超过800元的不纳税；超过800元而不超过4000元的按超过800元那部分的14%纳税；超过4000元的按全稿酬的11%纳税．某人出版了一书共纳税420元，这个人的稿费为__________元．【答案】3800【解析】三、解答题：本大题共3小题，共30分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分10分）设全集为R ，集合{}|17A x x =<≤，{}2|12200B x x x =-+<．（1）求集合A B U ．（2）求()A B R I ð．【答案】见解析．【解析】（1）∵{}{}|(2)(10)0|210B x x x x x =--<=<<， {}|17A x x =<≤，∴{}|110A B x x =<U ≤，（2）∵{|1A x x =<R ð或7}x ≥， ∴{}()|710A B x x =<R I ≤ð． 18．（本小题满分10分）已知函数()1xf x x =+．（1）求((2))f f 的值．（2）判断函数在(1,)-+∞上的单调性，并用定义加以证明．【答案】见解析．【解析】（1）∵()1xf x x =+， ∴2(2)3f =， ∴22[(2)]35f f f ⎛⎫== ⎪⎝⎭．（2）()f x 在(1,)-+∞上单增，证明：任取两个实数值1x 、2(1,)x ∈-+∞且12x x <，则2121212112()()11(1)(1)x x x x f x f x x x x x --=-=++++， ∵121x x -<<，∴210x x ->，110x +>，210x +>， 212112()()0(1)(1)x x f x f x x x --=>++ ，即21()()f x f x >， ∴()f x 在(1,)-+∞上单增． 19．（本小题满分10分）设函数()log (2)1a f x x =+-（0a >且1a ≠）．（1）若(2)1f =，求函数()f x 的零点．（2）若1a >，()f x 在[0,1]上的最大值与最小值互为相反数，求a 的值．【答案】见解析．【解析】解：（Ⅰ）∵(2)1f =， ∴log 42a =得到24a =， ∵0a >， ∴2a =，令2()log (2)10f x x =+-=，即2log (2)1x +=， ∴22x +=即0x =， ∴函数的零点为0x =．（2）∵1a >，∴函数()f x 在区间[0,1]上单调递增， ∴min ()log 21a f x =-，max ()log 31a f x =-， ∴由题意得log 31(log 21)a a -=--， ∴log 3log 2log 62a a a +==， ∴26a =， ∵1a >，∴a =．B 卷（本卷满分50分）一、填空题（共6道小题，每小题4分，共24分） 1．41log 3lg 4lg 254-++=__________．【答案】5【解析】2．已知一次函数()43f x x =+，且()87f ax b x +=+，则a b -=__________．【答案】1 【解析】3．已知()f x 是定义在{}2,1,0,1,2--上的奇函数，且(1)2f -=，(2)0f =，则(0)f =__________；()f x 的值域是__________．【答案】0，{}2,0,2-【解析】4．若函数|2|y x c =+是区间(,1]-∞上的单调函数，则实数c 的取值范围是__________．【答案】2c -≤【解析】5．设a 为常数，函数2()43f x x x =-+．若()f x a +为偶函数，则a =__________．【答案】2 【解析】6．对于函数()f x ，若00()f x x =，则称0x 为()f x 的“不动点”，若00[()]f f x x =，则称0x 为()f x 的“稳定点”，函数()f x 的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为A 和B ，即{}|()A x f x x ==，{}|[()]B x f f x x ==，那么：（1）函数2()2g x x =-的“不动点”为__________．（2）集合A 与集合B 的关系是__________．【答案】（1）2或1-．（2）A B ⊆．【解析】二、解答题（共3道小题，共26分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 7．（本小题满分8分）已知函数31()log 1xf x x+=-．（1）求函数的定义域．（2）判断()f x 的奇偶性．（3）判断()f x 的单调性（只写出结论即可），并求当1425x -≤≤时，函数()f x 的值域．【答案】见解析．【解析】解：（1）由10(1)(1)0111xx x x x+>⇔+->⇔-<<-， ∴此函数定义域为{}|11x x -<<．（2）∵1333111()log log log ()111x x x f x f x x x x --++⎛⎫-===-=- ⎪+--⎝⎭， ∴()f x 为奇函数．（3）∵()f x 在区间14,25⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上为增函数，∴函数的值域为14,25ff ⎡⎤⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，即[1,2]-为所求． 8．（本小题满分10分）已知函数()(2)()f x x x a =-+，其中2a ≤．（1）若()f x 的图象关于直线1x =对称，求a 的值．（2）若()f x 在区间[0,1]上的最小值是2，求a 的值．【答案】见解析．【解析】解：（1）法一因为2()(2)()(2)2f x x x a x a x a =-+=+--，所以，()f x 的图象的对称轴为直线22ax -=．由212a-=，解得0a =，法二因为函数()f x 的图象关于1x =对称，所以必有(0)(2)f f =成立所以有20a -=，解得0a =．（2）函数()f x 的图象的对称轴为直线22ax -=．当2012a-<<，即02a <<时，因为()f x 在区间20,2a -⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在区间2,12a -⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，所以()f x 在区间[0,1]上的最小值为22222a a f -+⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令2222a +⎛⎫-= ⎪⎝⎭，此方程无解；当21122a a-=-≥，即0a ≤时，因为()f x 在区间[0,1]上单调递减，所以在区间[0,1]上的最小值为(1)(1)f a =-+，令(1)2a -+=，解得3a =-．综上，3a =-． 9．（本小题满分8分）对于区间[,]()a b a b <，若函数()y f x =同时满足：①()f x 在[,]a b 上是单调函数；②函数()y f x =，[,]x a b ∈的值域是[,]a b ，则称区间[,]a b 为函数()f x 的“保值”区间．（1）求函数2y x =的所有“保值”区间．（2）函数2(0)y x m m =+≠是否存在“保值”区间？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，说明理由．【答案】见解析．【解析】解：（Ⅰ）因为函数2y x =的值域是[0,)+∞，且2y x =在[,]a b 的值域是[,]a b ，所以[,][0,)a b ⊆+∞，所以0a ≥，从而函数2y x =在区间[,]a b 上单调递增，故有22a a b b ⎧=⎪⎨=⎪⎩解得0,10,1a a b b ==⎧⎨==⎩或或．【注意有文字】又a b <，所以01a b =⎧⎨=⎩．所以函数2y x =的“保值”区间为[0,1]．（2）若函数2(0)y x m m =+≠存在“保值”区间，则有： ①若0a b <≤，此时函数2y x m =+在区间[,]a b 上单调递减，所以 22a m b b m a⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，消去m 得22a b b a -=-，整理得()(1)0a b a b -++=．因为a b <，所以10a b ++=，即1a b =--．又01b b b⎧⎨--<⎩≤，所以102b -<≤．因为22213110242m b a b b b b ⎛⎫⎛⎫=-+=---=-+--< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭≤，所以314m -<-≤．②若0b a >≥，此时函数2y x m =+在区间[,]a b 上单调递增，所以22a m a b m b⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，消去m 得22a b a b -=-，整理得()(1)0a b a b -+-=．因为a b <，所以10a b +-=，即1b a =-．又01a a a⎧⎨<-⎩≥，所以102a <≤．因为221110242m a a a a ⎛⎫⎛⎫=-+=--+< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭≤，所以104m <<．综合①、②得，函数2(0)y x m m =+≠存在“保值”区间，此时m 的取值范围是311,0,44⎡⎫⎛⎫--⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭U ．。

高2021届高2018级北京市第十三中学高三第一学期开学考试数学试题参考答案

北京市第十三中学2020—2021学年第一学期高三年级数学开学测试题2020年8月北京市十三中2020~2021学年第一学期高三数学开学测试答案及评分标准第Ⅰ卷(选择题共40分)一、选择题(本大题共10小题,每小题4分,共40分)第Ⅱ卷(共110分)二、填空题(本大题共6小题,每小题5分,共30分) 11.5 12.19396 13.-540,64 14.34 15.2 16.1e,1三、解答题(本大题共6小题,满分80分) 17.(本题满分13分)解:(Ⅰ)()2321f x x ax '=--………………………………………………………………………………2分 (Ⅱ)()13210f a '-=+-=…………………………………………………………………………………3分 ∴1a =-∴()321f x x x x =+--……………………………………………………………………………4分 ∴()2321f x x x '=+-…………………………………………………………………………………………5分由∴()0f x '=可得13x =或1x =-……………………………………………………………………………6分当x 变化时,()f x ',()f x 变化如下表:……………………………………………………………………………………………………………………9分又∵132327f ⎛⎫=-⎪⎝⎭,()1233f f ⎛⎫-=-< ⎪⎝⎭,()332f =,()10f -=…………………………………12分 ∴()f x 在[]2,3-上的最小值为－3,最大值为32…………………………………………………………13分 18.(本题满分13分)(Ⅰ)设男生、女生支持方案一的事件分别为A 、B ,………………………………………………………1分则()20012004003P A ==+,()30033001004P B ==+…………………………………………………………3分答:估计该校男生支持方案一的概率为13,该校女生支持方案一的概率为34.……………………………4分 (Ⅱ)设从全体男生中取的2人支持方案一分别为事件1C 、2C ,从全体女生中抽取的1人支持方案一为事件D ；这3人中恰有2人支持方案一为事件M ………………………………………………………………5分 ∵事件1C 、2C 、D 相互独立∴121212M C C D C C D C C D =⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅……………………………………………………………………6分 ∴()()()()()121212121212P M P C C D C C D C C D P C C D P C C D P C C D =⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅1131131131311133433433436⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯⨯-+⨯-⨯+-⨯⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭…………………………………………9分答:估计3人中恰有2人支持方案一的概率为1336.…………………………………………………………10分 (Ⅲ)01p p >…………………………………………………………………………………………………13分 19.(本题满分13分)解:(Ⅰ)030305100a ++++=解得35a =,5110020b ==,35710020c ==.………………………………………………………………………………3分 (Ⅱ)记“2人中恰有1人微信群个数超过15个”为事件A ,则()11406021001633C C P A C ==. 所以,2人中恰有1人微信群个数超过15个的概率为1633………………………………………………7分 (Ⅲ)依题意可知,微信群个数超过15个的概率为25P =. X 的所有可能取值0,1,2,3.…………………………………………………………………………………8分则()030322270155125P X C ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝===⎭-,()121322541155125P X C ⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎝⎭⎝===⎭-, ()212322362155125P X C ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎝===⎭-,()3332283155125P X C ⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎭==-=⎝⎭⎝.…………………………10分其分布列如下:……………………………………………………………………………………………………………………11分所以,2754368601231251251251255EX =⨯+⨯+⨯+⨯=.……………………………………………………13分 20.(本题满分13分)解:(1)定义域为()0,+∞,……………………………………………………………………………………1分()1ln f x x '=+.…………………………………………………………………………………………………3分令()0f x '>解得1x e >；令()0f x '<解得10x e<<；……………………………………………………5分所以()f x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭的单调递减,在1,e⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递增.……………………………………………………6分 (Ⅱ)依题意,得()1f x ax ≥-在[)1,+∞上恒成立, 即不等式1ln a x x≤+对于[)1,x ∈+∞恒成立.………………………………………………………………7分令()1ln g x x x=+,即()min a g x ≤…………………………………………………………………………8分()22111x g x x x x-'=-=,………………………………………………………………………………………10分当1x >时,因为()1110g x x x ⎛⎫'=-> ⎪⎝⎭,……………………………………………………………………11分故()g x 是[)1,+∞上的增函数,………………………………………………………………………………12分所以()()min 11g x g ==,所以a 的取值范围是(],1-∞.……………………………………………………13分 21.(本题满分14分)(Ⅰ)解:设乙答题所得分数为X ,则X 的可能取值为－15,0,15,30.………………………………1分()3531011512C P X C =-==；()21553105012C C P X C ===；()125531051512C C P X C ===；()3531013012C P X C ===.………………………………………………………5分乙得分的分布列如下:……………………………………………………………………………………………………………………6分()1551151501530121212122EX =⨯-+⨯+⨯+⨯=.…………………………………………………………8分 (Ⅱ)由己知甲、乙至少答对2题才能入选,记甲入选为事件A ,乙入选为事件B .………………………9分则()232332381555125P A C ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎛⎫=+⎝⎭⎝⎭= ⎪⎝⎭,……………………………………………………………………11分()51112122P B =+=.…………………………………………………………………………………………12分故甲乙两人至少有一人入选的概率()441103111252125P P A B =-⋅=-⨯=.………………………………14分 22.(本题满分14分)(Ⅰ)解:由题意,得()()ln ln 1f x x x x ''==+,其中0x >,…………………………………………2分所以()11f '=,又因为()10f =,所以函数()f x 的图象在点()()1,1f 处的切线方程为1y x =-.…………………………………………4分 (Ⅱ)解:先考察函数()223g x x x =-+-,x ∈R 的图象,配方得()()212g x x =---,…………………………………………………………………………………5分所以函数()g x 在(),1-∞上单调递增,在()1,+∞单调递减,且()()max 12g x g ==-…………………6分因为对于任意12,x x ∈R ,且12x x <,都有()()12f x f x <成立,所以1a ≤.…………………………………………………………………………………………………………8分以下考察函数()ln h x x x =,()0,x ∈+∞的图象, 则()ln 1h x x '=+,令()ln 10h x x '=+=,解得1x e=.…………………………………………………………………………10分随着x 变化时,()h x 和()h x '的变化情况如下:即函数()h x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减,在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增,且()min 11h x h e e⎛⎫==- ⎪⎝⎭.………………12分因为对于任意12,x x ∈R ,且12x x <,都有()()12f x f x <成立, 所以1a e≥.………………………………………………………………………………………………………13分因为12e->-(即()()min max h x g x >), 所以a 的取值范围为1,1e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦.……………………………………………………………………………………14分。

2018届北京西城13中学高三上学期期中考试数学(理)试题(解析版)

北京市第十三中学2017~2018学年度第一学期高三年级数学期中（理科）测试一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1．设集合{}|(1)(2)0A x x x =+-<，集合{}|13B x x =<<，则AB =（）． A ．{}|13x x -<<B ．{}|11x x -<<C ．{}|12x x <<D ．{}|23x x <<【答案】A【解析】∵{}|12A x x =-<<， {}|13B x x =<<，{}|13A B x x =-<<．故选A ．2．若复数(1i)(i)a -+在复平面内对应的点在第四象限，则实数a 的取值范围是（）．A ．(,1)-∞B ．(,1)-∞-C ．(1,)+∞D ．(1,)-+∞【答案】C【解析】复数(1i)(i)a -+，2i i i a a =-+-， (1)(1)i a a =++-，对应点(1,1)a a +-在第四象限，1010a a +>⎧⎨-<⎩，解出1a >．故选C ．3．已知(0,π)α∈，3cos 5α=-，则tan α=（）． A ．34 B ．34- C ．43D ．43- 【答案】D 【解析】3cos 5α=-且(0,π)α∈，4sin 5α， sin 4tan cos 3ααα==-．故选D ．4．设A 、B 30y -+=与圆221x y +=的两个交点，则||AB =（）．A ．1B C D ．2 【答案】C【解析】圆心(0,0)到直线距离d 12=，||AB =故选C ．5．已知函数1()22xx f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则()f x （）． A ．是奇函数，且在R 上是增函数B ．是奇函数，且在R 上是减函数C ．是偶函数，且在R 上是增函数D ．是偶函数，且在R 上是减函数【答案】B 【解析】1()2()2x f x x x =-∈R ， 1()2()2xx f x f x ⎛⎫-=-=- ⎪⎝⎭， ∴()f x 为奇函数，又∵函数12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭与2x y =-都是减函数，两个减函数之和仍为减函数．故选B ．6．设{}n a 是等差数列，下列结论中正确的是（）．A ．若120a a +>，则230a a +>B ．若130a a +<，则120a a +<C ．若10a <，则2123()()0a a a a -->D ．若120a a <<，则2a > 【答案】D【解析】A 项．∵120a a +>，∴2312()2a a a a d +=++，d 的正负无法判断，23a a +正负无法判断，错误，B 项错误，∵130a a +<，∴12()0a a d ++<，12a a +正负无法判断，C 项错误，22123()()0a a a a d --=-<，D 项正确，∵1210a a a d <<=+，∴0d >，22213111()(2)0a a a a d a a d -=+-+>．∴2a ．7．设a ，b 是非零向量，且a b ≠±．则“||||a b =”是“()()a b a b +⊥-”的（）．A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】充分性：当||||a b =时， 22()()||||0a b a b a b +⋅-=-=，∴()()a b a b +⊥-，必要性：当()()a b a b +⊥-时，22()()||||0a b a b a b +⋅-=-=，∵a b ≠±，∴||||a b =．故选C ．8．某地区在六年内第x 年的生产总值y （单位：亿元）与x 之间的关系如图所示，则下列四个时段中，生产总值的年平均增长率．．．．．．最高的是（）．A ．第一年到第三年B ．第二年到第四年C ．第三年到第五年D ．第四年到第六年【答案】A【解析】设年平均增长率为m ，末年生产总值为P ，起始年生产总值为Q ，则m =（n 为年间隔数）∴两年间的年平均增长率1m =，由图知，第一年到第三年的P Q最大．故选A ．二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9．在5(2)x +的展开式中，3x 的系数为__________．（用数字作答）【答案】40【解析】5(2)x +展开式中含3x 项为32335C 240x x ⨯⨯=．10．已知双曲线2221(0)x y a a-=>0y +=，则a =__________．【解析】2221x y a-=的渐近线为x y a =±=，∴a =11．在极坐标系中，点π2,6⎛⎫ ⎪⎝⎭到直线(cos )ρθθ的距离为__________．【解析】直角坐标系中，直线方程为x =点坐标为ππ2cos ,2sin 66⎛⎫= ⎪⎝⎭，到直线距离d ==． 12．在ABC △中，4a =，5b =，6c =，则sin 2sin A C=__________．【答案】1 【解析】∵2222536163cos 22564b c a A bc +-+-===⨯⨯，且sin sin a c A C =，即sin 2sin 3A a C c ==， ∴sin 22sin cos 2321sin sin 34A A A C C ==⨯⨯=．13．已知点P 在圆221x y +=上，点A 的坐标为(2,0)-，O 为原点，则AO AP ⋅的最大值为__________．【答案】6【解析】设(cos ,sin )P θθ，(2,0)AO =，(cos 2,sin )AP θθ=+，∴2cos 4AO AP θ⋅=+，∵cos [1,1]θ∈-，当cos 1θ=时，∴max 2146AO AP ⋅=⨯+=．14．某科技小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件：（i ）男学生人数多于女学生人数．（ii ）女学生人数多余教师人数．（iii ）教师人数的两倍多余男学生人数．①若教师人数为5，则女学生人数的最大值为__________．②该小组人数的最小值为__________．【答案】8 12【解析】设男学生，女学生，教师人数分别为x ，y ，z ．由题意，建立方程组．2x y y z z x >⎧⎪>⎨⎪>⎩③①②，【注意有文字】 ①当5z =时，由方程组解出510y x <<<，故此时女学生最多有8人．②设小组总人数为M x y z =++，∵由上述方程组可得2z y x z <<<，即z 最小为3才能满足条件，此时min 5x =，min 4y =，故min 54312M =++=，即小组人数最少为12人．三、解答题（本大题共6小题，共80分）15．（本小题满分13分）已知函数2()cos 2cos 222x x x f x =-．（I ）求π3f ⎛⎫ ⎪⎝⎭的值．（II ）求函数()f x 的单调递减区间及对称轴方程．【答案】（I ）π03f ⎛⎫= ⎪⎝⎭ （II ）单调递减区间为25π2π,π2π33k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k ∈Z ，对称轴为2ππ3x k =+，()k ∈Z ．【解析】（I）()1cos f x x x =--，π11032f ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭．（II）∵()cos 1f x x x --，12cos 12x x ⎫=--⎪⎪⎝⎭， π2sin 16x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭， ππ32ππ2k π()262k x k +-+∈Z ≤≤， 25π2ππ2π33k x k ++≤≤， ()f x 单调递减区间为25π2π,π2π33k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦k ∈Z ，对称轴为πππ62x k -=+， 2ππ()3x k k =+∈Z ．16．（本小题满分13分）某花店每天以每枝4元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理．（I ）若花店一天购进16枝玫瑰花，写出当天的利润y （单位：元）关于当天需求量n （单位：枝，n ∈N ）的函数解析式．（II ）花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表：．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（i ）若花店一天购进16枝玫瑰花，X 表示当天的利润（单位：元），求X 的分布列，数学期望．（ii ）若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？只写结论．【答案】（I ）1080(15)80(16)n n y n n -⎧=⎨∈⎩N ≤≥．（II ）（i ）x 的分布列为：（ii ）17支．【解析】（I ）当16x ≥时，16(105)80y =⨯-=，当15n ≤时，55(16)1080y n n n =--=-，故1080(15)80(16)n n y n n -⎧=⎨∈⎩N≤≥．（i ）X 可取60，70，80，(60)0.1P X ==，(70)0.2P X ==，(80)0.7P X ==，故X 的分布列如下：800.7+⨯，6145676=++=．（ii ）购进17枝时，当天利润为(14535)0.1(15525)0.2(16515)0.7y =⨯-⨯⨯+⨯-⨯⨯+⨯-⨯⨯，76.476=>，故应购进17枝．17．（本小题满分14分）如图，在直角梯形ABCD 中，AB CD ∥，90DAB ∠=︒，112AD DC AB ===．直角梯形ABEF 可以通过直角梯形ABCD 以直线AB 为轴旋转得到，且平面ABEF ⊥平面ABCD ．D ABC EF H M N（I ）求证：FA BC ⊥．（II ）求直线BD 和平面BCE 所成角的正弦值．（III ）设H 为BD 的中点，M ，N 分别为线段FD ，AD 上的点（都不与点D 重合）．若直线FD ⊥平面MNH ，求M H 的长．【答案】（I ）略（II（III【解析】（I ）∵90FAB ∠=︒，∴FA AB ⊥，∵平面ABEF ⊥平面ABCD 且平面ABEF 平面ABCD AB =，∴FA ⊥面ABCD ，∵BC ⊂平面ABCD ，∴FA BC ⊥．（II ）由（I ）知，FA ⊥平面ABCD ， ∴FA AB ⊥，FA AD ⊥，∵DA AB ⊥， AD ，AB ，AF 两两垂直，如图，以A 为原点建立空间直角坐标系，∵112AD DC AB ===， (0,2,0)B ，(1,1,0)C ，(1,0,0)D ，(0,1,1)E ， (1,1,0)BC =-，(0,1,1)BE =-．设平面BCE 的一个法向量为(,,)n x y z =， ∴00n BC n BE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩， ∴00x y y z -=⎧⎨-+=⎩，令1x =，(1,1,1)n =，设直线BD 与平面BCE 所成角为θ，∵(1,2,0)BD =-，sin |cos ,|n BD θ=，||||||3n BD n BD ⋅===⋅．（III ）在以A 为原点的空间直角坐标系中， (0,0,0)A ，(1,0,0)D ，(0,0,1)F ，(0,2,0)B ，1,1,02H ⎛⎫ ⎪⎝⎭．设(01)DM k k DF =<≤， DM k DF =，∵(,0,)DM k k =-，∴(1,0,)M k k -，1,1,2MH k k ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭， (1,0,1)FD =-，若FD ⊥平面MNH ，则FD M H ⊥，即0FD MH ⋅=， 102k k -+=，解得14k =， ∴11,1,44MH ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，||MH18．（本小题满分13分）已知函数()ln(1)ln(1)f x x x =+--．（I ）求曲线()y f x =在点(0,())f x 处的切线方程．（II ）求证：当(0,1)x ∈时，3()23x f x x ⎛⎫>+ ⎪⎝⎭．（III ）设实数k 使得3()3x f x k x ⎛⎫>+ ⎪⎝⎭对(0,1)x ∈恒成立，求k 的最大值．【答案】（I ）2y x =（II ）略（III ）k 最大值为2【解析】（I ）∵()ln(1)ln(1)f x x x =+--， 1ln 1x x +⎛⎫= ⎪-⎝⎭， ∴101xx +>-，∴11x -<<． ∵11()11f x x x '=++-，(0)112f '=+=，(0)0f =，∴在(0,0)处切线方程为2y x =．（II ）证明：令3()()23x g x f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，211()2211g x x x x '=+--+-，4220(01)1x x x =><<-，∴()(0)0g x g >=， ∴3()203x f x x ⎛⎫-+> ⎪⎝⎭，即在(0,1)x ∈时，3()23x f x x ⎛⎫>+ ⎪⎝⎭．（III ）由（II ）知，在2k ≤时， 3()3x f x k x ⎛⎫>+ ⎪⎝⎭对(0,1)x ∈恒成立，当2k >时，令3()()3x F x f x k x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，则222()(1)1F x k x x '=-+-，42(2)1kx k x --=-，∴当0x <<()0F x '<，此时在上()F x 单调递减，当0x <<)0x =，即3()3x f x k x ⎛⎫<+ ⎪⎝⎭，∴当2k >时，3()x f x k x x ⎛⎫>+ ⎪⎝⎭，对(0,1)x ∈不恒成立，∴k 最大值为2．19．（本小题满分14分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的两个焦点是1F ，2F，点P 在椭圆C 上，且12||||4PF PF +=．（I ）求椭圆C 的方程．（II ）设点P 关于x 轴的对称点为Q ，M 是椭圆C 上一点，直线MP 和MQ 与x 轴分别相交于点E ，F ，O 为原点．证明：||||OE OF ⋅为定值．【答案】（I ）22142x y += （II ）见解析【解析】（I ）在椭圆中， 12||||24PF PF a +==，∴2a =，代入P 于22214x y b+=中，解出b∴椭圆C 的方程为22142x y +=．（II ）证明：∵P 、Q 关于x 轴对称，∴1)Q -，设00(,)M x y ，则220024x y +=，0x ≠1y ≠±，直线:1MP y x -=，令0y =，则0001x x y -=-，∴||OE =直线:1MQ y x +=，令0y =，0x =∴||OF =， ∴2200202||||1y x OE OF y -=-， 2200202(42)41y y y --==-， ∴||||OE OF ⋅为定值．20．已知{}n a 是由正整数组成的无穷数列，该数列前n 项的最大值记为n A ，第n 项之后各项1n a +，2n a +，的最小值记为n B ，n n n B q A =．（I ）若{}n a 为2，1，4，3，2，1，4，3，，是一个周期为4的数列（即对任意n ∈N *，4n n a a +=），写出1q ，2q ，3q ，4q 的值．（II ）设q 是正整数，证明：(1,2,3,)n q q n ==的充分必要条件为{}n a 是公比为q 的等比数列．（III ）证明：若12a =，1(1,2,3,)2n q n ==，则{}n a 的项只能是1或者2，且有无穷多项为1．【答案】（I ）1212q q ==，3414q q == （II ）（III ）见解析【解析】（I ）由题知，在{}n a 中， 12341B B B B ====， 122A A ==，344A A ==， ∴1212q q ==，3414q q ==，（II ）证明：充分性：∵{}n a 是公比为q 的等比数列且q 为正整数， ∴12n a a a ≤≤≤， ∴n n A a =，1n n B a =+， ∴n n n B q q A ==，（1n =，2，3）．必要性：∵1n q q =≥，（1n =，2，3）， ∴n n n B q A A =⋅≥，又∵n n a A ≤，1n n B a +≤， ∴1n n a a +≤，∴n n A a =，1n n B a +=， ∴19n n n n na B q a A +===， ∴{}n a 为公比为q 的等比数列．（III ）∵12a =，1(1,2,3)2n q n ==， ∴112A a ==，1111B A q ==，∴对任意1n ≥，11n a B =≥，假设{}(2)n a n ≥中存在大于2的项，设m 为满足2m a >的最小正整数，则2m ≥，对任意1k m <≤，2k a ≤，又∵12a =，∴12m A -=且2m m A a =>， ∴212m m m B A q =⨯==， 1min m m B a -=，2m B ≥，故111221m m m B q A ---=÷=≤与112m q -=矛盾，∴对于任意1n ≥，有2n a ≤，即非负整数列{}n a 各项只能为1或2．。

2018届北京市西城区高三第一次模拟考试卷数学(理)附答案

2018届北京市西城区高三第一次模拟考试卷数学（理）附答案第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．若集合，，则（）A．B．C．D．2．执行如图所示的程序框图，输出的值为（）A．2 B．3 C．4 D．53．已知圆的方程为．以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，该圆的极坐标方程为（）A．B．C．D．4．正三棱柱的三视图如图所示，该正三棱柱的表面积是（）A ．B ．C ．D ．5．已知是正方形的中心．若，其中，，则（）A ．B ．C ．D ．6．设函数．则“有两个不同的零点”是“，使”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件7．函数，则的图象上关于原点对称的点共有（）A ．0对B ．1对C ．2对D ．3对8．某计算机系统在同一时间只能执行一项任务，且该任务完成后才能执行下一项任务．现有三项任务，，，计算机系统执行这三项任务的时间（单位：）依次为，，，其中．一项任务的“相对等待时间”定义为从开始执行第一项任务到完成该任务的时间与计算机系统执行该任务的时间之比．下列四种执行顺序中，使三项任务“相对等待时间”之和最小的是（） A ．B ．C ．D ．U V W s U V W →→V W U →→W U V →→U W V→→第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．若复数的实部与虚部相等，则实数____．10．设等差数列的前项和为，若，，则____；____．11．已知抛物线的焦点与双曲线的一个焦点重合，则____；双曲线的渐近线方程是____________．12．设，若函数的最小正周期为，则____．13．安排甲、乙、丙、丁4人参加3个运动项目，每人只参加一个项目，每个项目都有人参加．若甲、乙2人不能参加同一个项目，则不同的安排方案的种数为____．（用数字作答）14．如图，在长方体中，，，点在侧面上．若点到直线和的距离相等，则的最小值是____．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）在△中，已知．（1）求的大小；（2）若，，求△的面积．16．（13分）某企业2017年招聘员工，其中、、、、五种岗位的应聘人数、录用人数和录用比例（精确到1%）如下：（1 （2）从应聘岗位的6人中随机选择2人．记为这2人中被录用的人数，求的分布列和数学期望；（3）表中、、、、各岗位的男性、女性录用比例都接近（二者之差的绝对值不大于5%），但男性的总录用比例却明显高于女性的总录用比例．研究发现，若只考虑其中某四种岗位，则男性、女性的总录用比例也接近，请写出这四种岗位．（只需写出结论）A B C D E E A B C D E17．（14分）如图1，在△中，，分别为，的中点，为的中点，，．将△沿折起到△的位置，使得平面平面，如图2．（1）求证：；（2）求直线和平面所成角的正弦值；（3）线段上是否存在点，使得直线和所成角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．图1 图218．（13分）已知函数，其中．（1）若曲线在处的切线与直线垂直，求的值；（2）当时，证明：存在极小值．19．（14分）已知圆和椭圆，是椭圆的左焦点．（1）求椭圆的离心率和点的坐标；（2）点在椭圆上，过作轴的垂线，交圆于点（不重合），是过点的圆的切线．圆的圆心为点，半径长为．试判断直线与圆的位置关系，并证明你的结论．20．（13分）数列：满足：．记的前项和为，并规定．定义集合．（1）对数列：，，，，，求集合；（2）若集合，证明：；（3）给定正整数．对所有满足的数列，求集合的元素个数的最小值．2018届北京市西城区高三第一次模拟考试卷数学（理）答案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．1-5．DCBDB 6-8．CCA二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．10．6，11．，12．213．30 14．注：第10，11题第一空3分，第二空2分．三、解答题：本大题共6小题，共80分．其他正确解答过程，请参照评分标准给分．15．【答案】（1）；（2）见解析．【解析】（1）因为，所以．在△中，由正弦定理得，所以．因为，所以．（2）在△中，由余弦定理得，所以，整理得，解得，或，均适合题意．当时，△的面积为．当时，△的面积为．16．【答案】（1）；（2）分布列见解析，；（3）、、、．【解析】（1）因为表中所有应聘人员总数为，被该企业录用的人数为，所以从表中所有应聘人员中随机选择1人，此人被录用的概率约为．（2）X 可能的取值为0，1，2．因为应聘E 岗位的6人中，被录用的有4人，未被录用的有2人，所以；；．所以X 的分布列为：．（3）这四种岗位是：、、、．17．【答案】（1）见解析；（2）；（3）存在，．【解析】（1）因为在△中，，分别为，的中点，()43E X =B C DE B C D E所以，．所以，又为的中点，所以．因为平面平面，且平面，所以平面，所以．（2）取的中点，连接，所以．由（1）得，．如图建立空间直角坐标系．由题意得，，，，．所以，，．设平面的法向量为，则，即，令，则，，所以．设直线和平面所成的角为，则．所以直线和平面所成角的正弦值为．（3）线段上存在点适合题意．设，其中．设，则有，所以，从而，所以，又，所以．令，整理得．解得，舍去．所以线段上存在点适合题意，且．18．【答案】（1）；（2）见解析．【解析】（1）的导函数为．依题意，有，解得．（2）由及知，与同号．令，则．所以对任意，有，故在单调递增．因为，所以，，故存在，使得．与在区间上的情况如下：↘极小值↗所以在区间上单调递减，在区间上单调递增．所以存在极小值．19．【答案】（1），；（2）相切，证明见解析．【解析】（1）由题意，椭圆的标准方程为．所以，，从而．因此，．故椭圆的离心率，椭圆的左焦点的坐标为．（2）直线与圆相切．证明如下：设，其中，则，依题意可设，则．直线的方程为，整理为．所以圆的圆心到直线的距离．因为．所以，e =()F即，所以直线与圆相切．20．【答案】（1）；（2）见解析；（3）．【解析】（1）因为，，，，，，所以．（2）由集合的定义知，且是使得成立的最小的k，所以．又因为，所以，所以．（3）因为，所以非空．设集合，不妨设，则由（2）可知，同理，且．所以．因为，所以的元素个数．取常数数列：，并令，则，适合题意，且，其元素个数恰为．综上，的元素个数的最小值为．。

北京市西城区高三数学上学期期中考试理 (无答案)北师大版

2012-2013学年度理科数学高三（上）期中试题（试卷满分：150分，考试时间：120分钟）一、选择题共8小题,每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1．若全集U =R ，集合{10}A x x =+<，{30}B x x =-<，则集合()U C A ∩B ＝( )A ．{3}x x >B ．{13}x x -<<C ．{1}x x <-D ．{13}x x -≤<2.“2()6k k παπ=+∈Z ”是“1cos 22α=”的 ( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．函数y =的图象是（）4．设323log ,log log a b c π=== ( )A. b c a >>B. a c b >>C. b a c >>D. a b c >>5．将函数sin 2y x =的图象向左平移4π个单位, 再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式是 ( )A.cos 2y x =B.22cos y x =C.)42sin(1π++=x y D.22sin y x =6．已知、a b 均为单位向量，它们的夹角为60，那么||-a b 等于（）A. 127．若偶函数()x f ()x ∈R 满足()()x f x f =+2且[]1,0∈x 时,(),x x f =则方程()x x f 3log =的根的个数是( )A. 2个B. 4个C. 3个D. 多于4个8.对于函数()f x ,若存在区间[,],()M a b a b =<，使得{|(),}y y f x x M M =∈=，则称区间M 为函数()f x 的一个“稳定区间”.给出下列4个函数：①()e x f x =；②3()f x x =；③()cos 2f x x π=；④()ln 1f x x =+.其中存在稳定区间的函数有( )A.①②B.①③C.②③D.②④二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

北京市西城区2018 — 2018学年度第一学期期末试卷高三数学理科试题

北京市西城区2018 — 2018学年度第一学期期末试卷高三数学（理科）2018.1第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合{|02}A x x =<<，2{|10}B x x =-≤，那么A B = （A ）{|01}x x <≤ （B ）{|12}x x -<≤ （C ）{|10}x x -<≤（D ）{|12}x x <≤2．下列函数中，定义域为R 的奇函数是（A ）21y x =+（B ）tan y x =（C ）2x y =（D ）sin y x x =+3．已知双曲线2221(0)y x b b-=>的一个焦点是(2,0)，则其渐近线的方程为（A ）0x = （B 0y ±= （C ）30x y ±=（D ）30x y ±=4．在极坐标系中，过点(2,)6P π且平行于极轴的直线的方程是（A ）sin 1=ρθ （B ）sin =ρθ（C ）cos 1=ρθ（D ）cos =ρθ5．某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的四个侧面的面积中最大的是（A ）3（B ）（C ）6（D ）6．设,a b 是非零向量，且≠±a b ．则“||||=a b ”是“()()+⊥-a b a b ”的（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件7．实数,x y 满足3,0,60.x x y x y ⎧⎪+⎨⎪-+⎩≤≥≥若z ax y =+的最大值为39a +，最小值为33a -，则a的取值范围是（A ）[1,0]- （B ）[0,1]（C ）[1,1]-（D ）(,1][1,)-∞-+∞8．在空间直角坐标系O xyz -中，正四面体P ABC -的顶点A ，B 分别在x 轴，y 轴上移动．若该正四面体的棱长是2，则||OP 的取值范围是（A）11] （B ）[1,3] （C）1,2] （D）[11]第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9．复数1i1i+=-____．10．设等比数列{}n a 的各项均为正数，其前n 项和为n S ．若11a =，34a =，则n a =____；6S =____．11．执行如图所示的程序框图，输出的S 值为____．12．在△ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ．若3c =，3C π=，sin 2sin B A =，则a =____．13．设函数30,()log ,,x a f x x x a =>⎪⎩≤≤其中0a >．① 若3a =，则[(9)]f f =____；② 若函数()2y f x =-有两个零点，则a 的取值范围是____．14．10名象棋选手进行单循环赛（即每两名选手比赛一场）．规定两人对局胜者得2分，平局各得1分，负者得0分，并按总得分由高到低进行排序．比赛结束后，10名选手的得分各不相同，且第二名的得分是最后五名选手得分之和的45．则第二名选手的得分是____．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）已知函数2π()sin(2)2cos 16f x x x ωω=-+-(0)ω>的最小正周期为π．（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）求()f x 在区间7π[0,]12上的最大值和最小值．16．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，//AD BC ，90BAD ︒∠=，PA PD =，AB PA ⊥，2AD =，1AB BC ==．（Ⅰ）求证：平面PAD ⊥平面ABCD ；（Ⅱ）若E 为PD 的中点，求证：//CE 平面PAB ；（Ⅲ）若DC 与平面PAB 所成的角为30︒，求四棱锥P ABCD -的体积．17．（本小题满分13分）手机完全充满电量，在开机不使用的状态下，电池靠自身消耗一直到出现低电量警告之间所能维持的时间称为手机的待机时间．为了解A ，B 两个不同型号手机的待机时间，现从某卖场库存手机中随机抽取A ，B 两个型号的手机各7台，在相同条件下进行测试，统计结果如下：其中，a ，b 是正整数，且a b <．（Ⅰ）该卖场有56台A 型手机，试估计其中待机时间不少于123小时的台数；（Ⅱ）从A 型号被测试的7台手机中随机抽取4台，记待机时间大于123小时的台数为X ，求X 的分布列；（Ⅲ）设A ，B 两个型号被测试手机待机时间的平均值相等，当B 型号被测试手机待机时间的方差最小时，写出a ，b 的值（结论不要求证明）．18．（本小题满分13分）已知函数()ln sin (1)f x x a x =-⋅-，其中a ∈R ．（Ⅰ）如果曲线()y f x =在1x =处的切线的斜率是1-，求a 的值；（Ⅱ）如果()f x 在区间(0,1)上为增函数，求a 的取值范围．19．（本小题满分14分）已知直线:l x t =与椭圆22:142x y C +=相交于A ，B 两点，M 是椭圆C 上一点．（Ⅰ）当1t =时，求△MAB 面积的最大值；（Ⅱ）设直线MA 和MB 与x 轴分别相交于点E ，F ，O 为原点．证明：||||OE OF ⋅为定值．20．（本小题满分13分）数字1,2,3,,(2)n n ≥的任意一个排列记作12(,,,)n a a a ，设n S 为所有这样的排列构成的集合．集合12{(,,,)|n n n A a a a S =∈ 任意整数,,1i j i j n <≤≤，都有}i j a i a j --≤；集合12{(,,,)|n n n B a a a S =∈ 任意整数,,1i j i j n <≤≤，都有}i j a i a j ++≤．（Ⅰ）用列举法表示集合3A ，3B ；（Ⅱ）求集合n n A B 的元素个数；（Ⅲ）记集合n B 的元素个数为n b ．证明：数列{}n b 是等比数列．。

北京十三中2017-2018学年高三上学期期中数学试卷(理科) Word版含解析

2017-2018学年北京十三中高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题1．设集合A={x|（x+1）（x﹣2）＜0}，集合B={x|1＜x＜3}，则A∪B=（）A．{x|﹣1＜x＜3}B．{x|﹣1＜x＜1}C．{x|1＜x＜2}D．{x|2＜x＜3}2．设a，b为正实数，则“a＞b＞1”是“log2a＞log2b＞0”的（）A．充要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件3．某校从高一年级学生中随机抽取部分学生，将他们的模块测试成绩分成6组：[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．已知高一年级共有学生600名，据此估计，该模块测试成绩不少于60分的学生人数为（）A．588 B．480 C．450 D．1204．设A，B为直线y=x与圆x2+y2=1的两个交点，则|AB|=（）A．1 B．C．D．25．设函数f（x）=ln（1+x）+ln（1﹣x），则f（x）是（）A．奇函数，且在（0，1）上是增函数B．奇函数，且在（0，1）上是减函数C．偶函数，且在（0，1）上是增函数D．偶函数，且在（0，1）上是减函数6．已知函数f（x）=，且f（α）=﹣3，则f（6﹣α）=（）A．﹣B．﹣C．﹣D．﹣7．将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有（）A．12种B．10种C．9种D．8种8．某地区在六年内第x年的生产总值y（单位：亿元）与x之间的关系如图所示，则下列四个时段中，生产总值的年平均增长率最高的是（）A．第一年到第三年B．第二年到第四年C．第三年到第五年D．第四年到第六年二、填空题9．在（2x﹣1）8的展开式中，含x2的项的系数是______（用数字填写答案）10．若x，y满足约束条件，则z=3x+y的最大值为______．11．已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的一个焦点是抛物线y2=8x的焦点，且双曲线C的离心率为2，那么双曲线C的方程为______；渐近线方程是______．12．直线l1：ax+2y﹣1=0与直线l2：x+（a+1）y﹣1=0平行，则a=______．13．在平面直角坐标系xy中，O是坐标原点，设函数f（x）=k（x﹣2）+3的图象为直线l，且l与x轴、y轴分别交于A、B两点，给出下列四个命题：①使△AOB的面积s=6的直线l仅有一条；②使△AOB的面积s=8的直线l仅有两条；③使△AOB的面积s=12的直线l仅有三条；④使△AOB的面积s=20的直线l仅有四条．其中所有真命题的序号是______．14．设点M（x0，1），若在圆O：x2+y2=1上存在点N，使得∠OMN=45°，则x0的取值范围是______．三、解答题15．某超市随机选取1000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理“×”表示未购买．（2）估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率；（3）如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大？16．某中学在高三年级开设大学先修课程（线性代数），共有50名同学选修，其中男同学30名，女同学20名．为了对这门课程的数学效果进行评估，学校按性别分别采用分成抽样的方法抽取5人进行考核．（1）求抽取的5人中男、女同学的人数；（2）考核的第一轮是答辩，顺序由已抽取的甲、乙等5位同学按抽签方式决定．设甲、乙X X（3）考核的第二轮是笔试：5位同学的笔试成绩分别为115，122，105，111，109；结合第一轮的答辩情况，他们的考核成绩分别为125，132，115，121，119．这5位同学笔试成绩与考核成绩的方差分别记为s12，s22，试比较s12与s22的大小．（只需写出结论）17．在平面直角坐标系xOy中，过点C（0，p）作直线l与抛物线x2=2py（p＞0）相交于A，B两点，N点是C点关于原点O的对称点，点P（2，m）是抛物线上一点，F点是抛物线的焦点，|PF|=2．（1）求抛物线的方程；（2）求证：∠ANC=∠BNC．18．已知f（x）=﹣+x﹣ln（1+x），其中a＞0．（Ⅰ）若函数f（x）在点（3，f（3））处切线斜率为0，求a的值；（Ⅱ）求f（x）的单调区间；（Ⅲ）若f（x）在[0，+∞）上的最大值是0，求a的取值范围．19．已知函数f（x）=e x﹣2x．（1）求函数f（x）的极值；（2）证明：当x＞0时，曲线y=x2恒在曲线y=e x的下方；（3）讨论函数g（x）=x2﹣ae x（a∈R）零点的个数．参考公式：a logaN=N（a＞0，a≠1，N＞0）20．设F1（﹣c，0），F2（c，0）分别为椭圆E： +=1的左、右焦点．（1）若椭圆的离心率是，求椭圆的方程，并写出m的取值范围；（2）设P（x0，y0）为椭圆E上一点，且在第一象限内，直线F2P与y轴相交于点Q，若以PQ为直径的圆经过点F1，证明：点P在直线x+y﹣2=0上．2017-2018学年北京十三中高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题1．设集合A={x|（x+1）（x﹣2）＜0}，集合B={x|1＜x＜3}，则A∪B=（）A．{x|﹣1＜x＜3}B．{x|﹣1＜x＜1}C．{x|1＜x＜2}D．{x|2＜x＜3}【考点】并集及其运算．【分析】求解不等式得出集合A={x|﹣1＜x＜2}，根据集合的并集可求解答案．【解答】解：∵集合A={x|（x+1）（x﹣2）＜0}，集合B={x|1＜x＜3}，∴集合A={x|﹣1＜x＜2}，∵A∪B={x|﹣1＜x＜3}，故选：A2．设a，b为正实数，则“a＞b＞1”是“log2a＞log2b＞0”的（）A．充要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件【考点】充要条件．【分析】先求出log2a＞log2b＞0的充要条件，再和a＞b＞1比较，从而求出答案．【解答】解：若log2a＞log2b＞0，则a＞b＞1，故“a＞b＞1”是“log2a＞log2b＞0”的充要条件，故选：A．3．某校从高一年级学生中随机抽取部分学生，将他们的模块测试成绩分成6组：[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．已知高一年级共有学生600名，据此估计，该模块测试成绩不少于60分的学生人数为（）A．588 B．480 C．450 D．120【考点】频率分布直方图．【分析】根据频率分布直方图，成绩不低于60分的频率，然后根据频数=频率×总数可求出所求．【解答】解：根据频率分布直方图，成绩不低于60（分）的频率为1﹣10×（0.005+0.015）=0.8．由于该校高一年级共有学生600人，利用样本估计总体的思想，可估计该校高一年级模块测试成绩不低于60（分）的人数为600×0.8=480人．故选B．4．设A，B为直线y=x与圆x2+y2=1的两个交点，则|AB|=（）A．1 B．C．D．2【考点】直线与圆相交的性质．【分析】由圆的方程找出圆心坐标和半径r，根据圆心在直线y=x上，得到AB为圆的直径，根据直径等于半径的2倍，可得出|AB|的长．【解答】解：由圆x2+y2=1，得到圆心坐标为（0，0），半径r=1，∵圆心（0，0）在直线y=x上，∴弦AB为圆O的直径，则|AB|=2r=2．故选D5．设函数f（x）=ln（1+x）+ln（1﹣x），则f（x）是（）A．奇函数，且在（0，1）上是增函数B．奇函数，且在（0，1）上是减函数C．偶函数，且在（0，1）上是增函数D．偶函数，且在（0，1）上是减函数【考点】函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断．【分析】求出函数f（x）的定义域，判断f（x）的奇偶性，再根据复合函数的单调性判断f （x）在（0，1）上的单调性．【解答】解：∵函数f（x）=ln（1+x）+ln（1﹣x）=ln[（1+x）（1﹣x）]，x∈（﹣1，1）；∴f（﹣x）=ln[（1﹣x）（1+x）]=f（x），∴f（x）是（﹣1，1）上的偶函数；又f（x）=ln[（1+x）（1﹣x）]=ln（1﹣x2），当x∈（0，1）时，二次函数t=1﹣x2是减函数，所以函数f（x）=ln（1﹣x2）也是减函数．故选：D．6．已知函数f（x）=，且f（α）=﹣3，则f（6﹣α）=（）A．﹣B．﹣C．﹣D．﹣【考点】函数的值．【分析】利用分段函数，求出α，再求f（6﹣α）．【解答】解：由题意，α≤1时，2α﹣1﹣2=﹣3，无解；α＞1时，﹣log2（α+1）=﹣3，∴α=7，∴f（6﹣α）=f（﹣1）=2﹣1﹣1﹣2=﹣．故选：A．7．将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有（）A．12种B．10种C．9种D．8种【考点】排列、组合及简单计数问题．【分析】将任务分三步完成，在每步中利用排列和组合的方法计数，最后利用分步计数原理，将各步结果相乘即可得结果【解答】解：第一步，为甲地选一名老师，有=2种选法；第二步，为甲地选两个学生，有=6种选法；第三步，为乙地选1名教师和2名学生，有1种选法故不同的安排方案共有2×6×1=12种故选A8．某地区在六年内第x年的生产总值y（单位：亿元）与x之间的关系如图所示，则下列四个时段中，生产总值的年平均增长率最高的是（）A．第一年到第三年B．第二年到第四年C．第三年到第五年D．第四年到第六年【考点】函数的图象．【分析】由于年平均增长率为，其中，△y 是产值的增加值，y0表示原来的产值，结合图形，从而得出结论．【解答】解：由于年平均增长率为，其中，△y 是产值的增加值，y0表示“原来”的产值，由所给的图象可得，△y最大的是第一年到第三年，第4年到第6年，且第一年到第三年的△y 等于第4年到第6年的△y，但第一年的产值y0较小，生产总值的年平均增长率最高的是第一年到第三年，故选：A．二、填空题9．在（2x﹣1）8的展开式中，含x2的项的系数是112（用数字填写答案）【考点】二项式系数的性质．【分析】利用通项公式即可得出．=（2x）8﹣r（﹣1）r=（﹣1）r28﹣r 【解答】解：（2x﹣1）8的展开式中，通项公式T r+1x8﹣r，令8﹣r=2，解得r=6．∴含x2的项的系数是=112．故答案为：112．10．若x，y满足约束条件，则z=3x+y的最大值为4．【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最大值．【解答】解：作出不等式对应的平面区域如图，由z=3x+y，得y=﹣3x+z，平移直线y=﹣3x+z，由图象可知当直线y=﹣3x+z，经过点A时，直线y=﹣3x+z的截距最大，此时z最大．由得，即A（1，1），此时z的最大值为z=3×1+1=4，故答案为：411．已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的一个焦点是抛物线y2=8x的焦点，且双曲线C的离心率为2，那么双曲线C的方程为x2﹣=1；渐近线方程是y=±．【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据抛物线的焦点（2，0）便得到c=2，而根据双曲线C的离心率即可得到，所以a=1，所以得出b2=3，这样即可得出双曲线C的方程以及渐近线方程．【解答】解：抛物线的焦点为（2，0）；∴c=2；∴根据双曲线的离心率为2得：；∴a=1，b2=3；∴双曲线C的方程为；∴其渐近线方程为y=．故答案为：，．12．直线l1：ax+2y﹣1=0与直线l2：x+（a+1）y﹣1=0平行，则a=﹣2．【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系．【分析】利用平行线与斜率、截距的关系即可得出．【解答】解：∵直线l1：ax+2y﹣1=0与直线l2：x+（a+1）y﹣1=0平行，∴，解得a=﹣2，故答案为：﹣2．13．在平面直角坐标系xy中，O是坐标原点，设函数f（x）=k（x﹣2）+3的图象为直线l，且l与x轴、y轴分别交于A、B两点，给出下列四个命题：①使△AOB的面积s=6的直线l仅有一条；②使△AOB的面积s=8的直线l仅有两条；③使△AOB的面积s=12的直线l仅有三条；④使△AOB的面积s=20的直线l仅有四条．其中所有真命题的序号是②③④．【考点】命题的真假判断与应用．【分析】由已知得出三角形的面积公式，由s的值分别解出k的值即可．【解答】解：由已知条件：函数f（x）=k（x﹣2）+3的图象为直线l，且l与x轴、y轴分别交于A、B两点，作出图形：可知k≠0．==．由图可知：S△OAB①当s=6时，则，解得，故符合条件的直线l有两条，故①不正确；②当s=8时，由8=，解得，故符合条件的直线l有两条，故②正确；③当s=12时，由12=，解得，，故符合条件的直线仅有3条，故③正确；④当s=20时，由20=，解的，k=，故符合条件的直线l共有四条，故④正确．综上可知：正确的命题为②③④．故答案为②③④．14．设点M（x0，1），若在圆O：x2+y2=1上存在点N，使得∠OMN=45°，则x0的取值范围是[﹣1，1] ．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】根据直线和圆的位置关系，画出图形，利用数形结合即可得到结论．【解答】解：由题意画出图形如图：点M（x0，1），要使圆O：x2+y2=1上存在点N，使得∠OMN=45°，则∠OMN的最大值大于或等于45°时一定存在点N，使得∠OMN=45°，而当MN与圆相切时∠OMN取得最大值，此时MN=1，图中只有M′到M″之间的区域满足MN≤1，∴x0的取值范围是[﹣1，1]．三、解答题15．某超市随机选取1000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理“√”“×”表示未购买．（2）估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率；（3）如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大？【考点】相互独立事件的概率乘法公式．【分析】（1）从统计表可得，在这1000名顾客中，同时购买乙和丙的有200人，从而求得顾客同时购买乙和丙的概率．（2）根据在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的有300人，求得顾客顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率．（3）在这1000名顾客中，求出同时购买甲和乙的概率、同时购买甲和丙的概率、同时购买甲和丁的概率，从而得出结论．【解答】解：（1）从统计表可得，在这1000名顾客中，同时购买乙和丙的有200人，故顾客同时购买乙和丙的概率为=0.2．（2）在这1000名顾客中，在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的有100+200=300（人），故顾客顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率为=0.3．（3）在这1000名顾客中，同时购买甲和乙的概率为=0.2，同时购买甲和丙的概率为=0.6，同时购买甲和丁的概率为=0.1，故同时购买甲和丙的概率最大．16．某中学在高三年级开设大学先修课程（线性代数），共有50名同学选修，其中男同学30名，女同学20名．为了对这门课程的数学效果进行评估，学校按性别分别采用分成抽样的方法抽取5人进行考核．（1）求抽取的5人中男、女同学的人数；（2）考核的第一轮是答辩，顺序由已抽取的甲、乙等5位同学按抽签方式决定．设甲、乙求数学期望；（3）考核的第二轮是笔试：5位同学的笔试成绩分别为115，122，105，111，109；结合第一轮的答辩情况，他们的考核成绩分别为125，132，115，121，119．这5位同学笔试成绩与考核成绩的方差分别记为s12，s22，试比较s12与s22的大小．（只需写出结论）【考点】极差、方差与标准差；众数、中位数、平均数．【分析】（1）由分层抽样的性质，能求出抽取的5人中男、女同学的人数．（2）由题意可得a=P（X=3）═，从而b=，由此能求出数学期望EX．（3）由两组数据中相对应的数字之差均为10，得到=．【解答】解：（1）由分层抽样的性质得：抽取的5人中男同学的人数为×30=3，女同学的人数为×20=2．（2）由题意可得：P（X=0）==．即a=，因为a+b++=1，所以b=．所以EX=3×+2×+1×+0×=1．（3）=．17．在平面直角坐标系xOy中，过点C（0，p）作直线l与抛物线x2=2py（p＞0）相交于A，B两点，N点是C点关于原点O的对称点，点P（2，m）是抛物线上一点，F点是抛物线的焦点，|PF|=2．（1）求抛物线的方程；（2）求证：∠ANC=∠BNC．【考点】抛物线的简单性质．【分析】（1）由题意，m+=2，4=2pm，求出p，即可求出抛物线的方程；（2）直线方程为y=kx+2，代入抛物线方程得x2﹣4kx﹣8=0，利用韦达定理证明k AN+k BN=0，即可证明结论．【解答】（1）解：由题意，m+=2，4=2pm，∴p=2，∴抛物线的方程为x2=4y；（2）证明：设直线方程为y=kx+2，代入抛物线方程得x2﹣4kx﹣8=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=4k，x1x2=﹣8，∴k AN+k BN=+==2k+=0，∴∠ANC=∠BNC．18．已知f（x）=﹣+x﹣ln（1+x），其中a＞0．（Ⅰ）若函数f（x）在点（3，f（3））处切线斜率为0，求a的值；（Ⅱ）求f（x）的单调区间；（Ⅲ）若f（x）在[0，+∞）上的最大值是0，求a的取值范围．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）求出导数，直接利用函数f（x）在点（3，f（3））处切线斜率为0，求解即可．（Ⅱ）令f′（x）=0，求出极值点，①当0＜a＜1时，②当a=1时，③当a＞1时，分别判断函数的单调性求解单调区间．（Ⅲ）利用（Ⅱ）当0＜a＜1时，f（x）在（0，+∞）的最大值是f（﹣1），判断0＜a＜1是否满足题意，当a≥1时，f（x）在（0，+∞）上单调递减，推出f（x）在[0，+∞）上的最大值为0时，求解a的取值范围即可．【解答】（本小题共13分）解：（Ⅰ）由题意得f′（x）=，x∈（﹣1，+∞），由f′（3）=0⇒a=．…（Ⅱ）令f′（x）=0⇒x1=0，x2=﹣1，①当0＜a＜1时，x1＜x2，﹣﹣∴f（x）的单调递增区间是（0，﹣1），f（x）的单调递减区间是（﹣1，0）和（﹣1，+∞）；②当a=1时，f（x）的单调递减区间是（﹣1，+∞）；③当a＞1时，﹣1＜x2＜0∴f（x）的单调递增区间是（﹣1，0），f（x）的单调递减区间是（﹣1，﹣1）和（0，+∞）．综上，当0＜a＜1时，f（x）的单调递增区间是（0，﹣1）．f（x）的单调递减区间是（﹣1，0），（﹣1，+∞），当a＞1，f（x）的单调递增区间是（﹣1，0）．f（x）的单调递减区间是（﹣1，﹣1），（0，+∞）．当a=1时，f（x）的单调递减区间为（﹣1，+∞）．…（Ⅲ）由（Ⅱ）可知当0＜a＜1时，f（x）在（0，+∞）的最大值是f（﹣1），但f（﹣1）＞f（0）=0，所以0＜a＜1不合题意，当a≥1时，f（x）在（0，+∞）上单调递减，由f（x）≤f（0）可得f（x）在[0，+∞）上的最大值为f（0）=0，符合题意，∴f（x）在[0，+∞）上的最大值为0时，a的取值范围是a≥1．…19．已知函数f（x）=e x﹣2x．（1）求函数f（x）的极值；（2）证明：当x＞0时，曲线y=x2恒在曲线y=e x的下方；（3）讨论函数g（x）=x2﹣ae x（a∈R）零点的个数．参考公式：a logaN=N（a＞0，a≠1，N＞0）【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（1）利用导数等于0，求出函数的极值；（2）构造函数g（x）=e x﹣x2，求出导数，利用（1）的结论得到导函数的符号，判断g（x）的单调性，从而得出结论；（3）a=0时，显然求出，a≠0时，问题转化为y=e x和y=x2的交点个数，通过讨论a的范围结合（2），求出即可．【解答】解：（1）∵函数f（x）=e x﹣2x（x∈R），∴f′（x）=e x﹣2；令f′（x）=0，即e x﹣2=0，解得x=ln2，∴函数f（x）的极值是f（ln2）=e ln2﹣2ln2=2﹣2ln2；（2）证明：设函数h（x）=e x﹣x2，∴h′（x）=e x﹣2x；由（1）知f（x）=e x﹣2x在x=ln2取得极小值，∴h′（x）≥f（ln2）=e ln2﹣ln2=2﹣ln2＞0，∴h（x）是R上的增函数，∴当x＞0时，h（x）＞h（0）=1＞0，∴e x＞x2，即x2＜e x；∴当x＞0时，曲线y=x2恒在曲线y=e x的下方；（3）a=0时，g（x）=x2，函数g（x）有1个零点，a≠0时，论函数g（x）=x2﹣ae x（a∈R）零点的个数，即讨论y=e x和y=x2的交点个数，①a＜0时，y=x2开口向下，和y=e x无交点，即函数g（x）无零点；②a＞0时，y=x2开口向上，x＜0时与y=e x1个交点，下面讨论x＞0的情况，由（2）得：≤1即a≥1时，x2＜e x；故0＜a＜1时，y=e x和y=x2有3个交点，g（x）有3个零点，a≥1时，y=e x和y=x2有1个交点，g（x）有1个零点，综上：a＜0时，函数g（x）无零点；a=0时，函数g（x）有1个零点，0＜a＜1时，g（x）有3个零点，a≥1时，g（x）有1个零点．20．设F1（﹣c，0），F2（c，0）分别为椭圆E： +=1的左、右焦点．（1）若椭圆的离心率是，求椭圆的方程，并写出m的取值范围；（2）设P（x0，y0）为椭圆E上一点，且在第一象限内，直线F2P与y轴相交于点Q，若以PQ为直径的圆经过点F1，证明：点P在直线x+y﹣2=0上．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）根据椭圆的性质，m＞4﹣m，4﹣m＞0，即可求得m的取值范围，求得a=m，c2=2m﹣4，由离心率公式e=，即可求得m的值，求得椭圆方程；（2）设P（x0，y0），分别求得直线F1P的斜率及直线F1Q的斜率和，由•=﹣1，代入求得，x0＞0，y0＞0，即可求得x0+y0=2，点P在直线x+y﹣2=0上．【解答】解：（1）由+=1焦点在x轴上，∴m＞4﹣m，解得：m＞2，4﹣m＞0，m＜4，∴m的取值范围（2，4）c2=m﹣（4﹣m）=2m﹣4，e====，解得：m=3，∴椭圆方程为：；（2）证明：由题意可知：c2=m﹣（4﹣m）=2m﹣4，设P（x0，y0），由题意可知：x0≠0，则直线F1P的斜率=，直线F2P的斜率=，∴直线F2P的方程为：y=（x﹣c），当x=0时，y=﹣c，即点Q（0，﹣c），∴直线F1Q的斜率=，∵以PQ为直径的圆经过点F1，∴•=•=﹣1，化简得：=﹣（2m2﹣4），∵P为椭圆E上的一点，且在第一象限内，∴，x0＞0，y0＞0，解得：x0=，y0=2﹣a2，∴x0+y0=2，∴即点P直线x+y﹣2=0上．2016年9月30日。

2018年高三最新北京市西城区2018学年度第一学期高三

北京市西城区2018—2018学年度第一学期高三年级期末抽样测试数学试题（文科）2018.1一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 .1. 已知集合{,}A a b =，{,,}B a b c =，{,,}C b c d =，那么集合()A B C 等于（） A. {,,}a b c B. {,,}a b d C. {,,}b c d D. {,,,}a b c d2. 已知向量a =(1,2)，向量b =(,2)x -，且a ⊥(a -b )，则实数x 等于（） A. 4- B. 4 C. 0 D. 93. 已知3sin 5α=，且,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，那么2sin2cos αα的值等于（）A. 34-B. 34 C. 32-D.324. 设函数2 0()() 0.x x f x g x x ⎧<=⎨>⎩，，，若()f x 是奇函数，则(2)g 的值是（）A. 14-B. 4-C. 14D. 45. 平面α⊥平面β的一个充分条件是（）A. 存在一条直线l l l αβ⊥⊥，，B. 存在一个平面////γγαγβ，，C. 存在一个平面γγαγβ⊥⊥，，D. 存在一条直线//l l l αβ⊥，， 6. 若直线l ：1y kx =-与直线10x y +-=的交点位于第一象限，则实数k 的取值范围是（） A.(,1)-∞- B. (,1]-∞- C. (1,)+∞ D.[1,)+∞7. 将编号为1，2，3，4，5的五个球放入编号为1，2，3，4，5的五个盒子，每个盒内放一个球，若恰好有三个球的编号与盒子编号相同，则不同的投放方法的种数为（）A. 6种B. 10种C. 20种D. 30种8. 对于任意实数a ，b ，定义, ,min{,}, .a a b a b b a b ≤⎧=⎨>⎩设函数2()3, ()log f x x g x x =-+=，则函数()min{(),()}h x f x g x =的最大值是（）A. 0B. 1C. 2D. 3二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分 . 把答案填在题中横线上 .9. 椭圆22 1 4x y +=的离心率是_______ . 10. 已知(2)n x +的展开式中共有5项，则=n _______，展开式中的常数项为_______（用数字作答）. 11. 已知数列{}n a 的前n 项和21n S n =-，其中1,2,3,,n = 那么5a =______ . 12. 在ABC ∆中，已知2AC =，3BC =，5cos 13A =-，则sin B =_________ . 13. 已知点(,)P x y 的坐标满足条件1,1,10,x y x y ≤⎧⎪≤⎨⎪+-≥⎩点O 为坐标原点，那么||PO 的最大值等于______，最小值等于__________ .14. 已知点(0,0)A，B ，(0,1)C . 设AD BC ⊥于D ，那么有CD CB λ=，其中λ=________ .三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分 . 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 . 15.（本小题满分12分）已知函数()sin cos f x x x ωω=- (0ω>) 的最小正周期是π. （Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）若02x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，且()0f x =，求x 的值.16.（本小题满分13分）设n S 是公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和，且124,,S S S 成等比数列. （Ⅰ）求21a a 的值；（Ⅱ）若59a =，求n a 及n S 的表达式.17.（本小题满分13分）甲、乙两人进行投篮训练，已知甲投球命中的概率是12，乙投球命中的概率是35.假设两人投球命中与否相互之间没有影响.（Ⅰ）如果两人各投球1次，求恰有1人投球命中的概率；（Ⅱ）如果两人各投球2次，求这4次投球中至少有1次命中的概率.18.（本小题满分14分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1AC BC CC ==， AC BC ⊥，点D 是AB 的中点.（Ⅰ）求证：11CD A ABB ⊥平面；（Ⅱ）求证：11//AC CDB 平面；（Ⅲ）求直线1B B 和平面1CDB 所成角的大小.19.（本小题满分14分）已知函数()|2|f x x x =-. （Ⅰ）解不等式()3f x <；（Ⅱ）设02a <<，求()f x 在[0]a ，上的最大值.20.（本小题满分14分）设点30,2F ⎛⎫⎪⎝⎭，动圆P 经过点F 且和直线32y =-相切 .记动圆的圆心P 的轨迹为曲线W . ABCDA 1B 1C 1（Ⅰ）求曲线W的方程；,l l，分别交曲线W于,A B和,C D. 求四边形ACBD面积的最小（Ⅱ）过点F作互相垂直的直线12值 .北京市西城区2018—2018学年度第一学期高三年级期末抽样测试数学试题（文科）参考答案一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.1. D2. D3. C4. A5. D6. C7. B8. B 二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分.10.4 16； 11. 9 12. 813 13.14. 14注：两空的题目，第一个空2分，第二个空3分. 三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分. 15.（本小题满分12分）（Ⅰ）解：()sin cos .4f x x x x πωωω⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭ ………….. 3分0ω> ， ()f x ∴的最小正周期是2πω.依题意得2ππω=， 2.ω∴= …………..6分（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得()2.4f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭依题意得sin 204x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，因为0,2x π≤≤ 所以32444x πππ-≤-≤，所以20.4x π-= 解得.8x π= ………….. 12分16.（本小题满分13分）（Ⅰ）解：设等差数列{}n a 的公差是d .124 ,,S S S 成等比数列， 2214S S S ∴=， ………….. 2分即 2111(2)(46)a d a a d +=+，化简得 212d a d =，注意到0d ≠， 1 2d a ∴=. ………….. 5分21111133.a a d a a a a +∴=== ………….. 7分（Ⅱ）解：511 499a a d a =+== ， 1 1a ∴=， 2.d = ………….. 9分 1 (1)21n a a n d n ∴=+-=-. ………….. 11分 21().2n n n a a S n +== ………….. 13分17.（本小题满分13分）（Ⅰ）解：记 “甲投球1次命中”为事件A ，“乙投球1次命中”为事件B .根据互斥事件的概率加法公式和相互独立事件的概率乘法公式，所求的概率是13131()()()()()()1125252P A B P B A P A P B P A P B ⎛⎫⎛⎫+=+=⨯-+-⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ . ………….. 7分（Ⅱ）解：事件“两人各投球2次均不命中”的概率为11221225525P =⨯⨯⨯=， ………….. 10分∴ 两人各投球2次，这4次投球中至少有1次命中的概率为1241.2525-= ………….. 13分18.（本小题满分14分）解法一：（Ⅰ）证明：111 ABC A B C - 是直三棱柱，∴ 平面11.ABC A ABB ⊥平面AC BC =，点D 是AB 的中点，CD AB ∴⊥，11 CD A ABB ∴⊥平面. ………….. 4分（Ⅱ）证明：ABCDA 1B 1C 1E连结1BC ，设1BC 与1B C 的交点为E ，连结DE .D 是AB 的中点，E 是1BC 的中点，1 //.DE AC ∴ ………….. 7分111 DE CDB AC CDB ⊂⊄ 平面，平面，11 //.AC CDB ∴平面 ………….. 9分（Ⅲ）解：由（Ⅰ）知 11CD A ABB ⊥平面，111 CDB A ABB ∴⊥平面平面，且1111CDB A ABB DB = 平面平面，∴ 直线1B B 和平面1CDB 所成的角就是1B B 和1DB 所成的角，即1BB D ∠是直线1B B 和平面1CDB 所成的角. ………….. 12分在1Rt DBB ∆中，11 t a n DB BB D B B == ，∴ 直线1B B 和平面1CDB所成角的大小是. ………….. 14分解法二：在直三棱柱111ABC A B C -中，1AC BC CC ==， AC BC ⊥， 1 AC BC CC ∴、、两两垂直 .如图，以C 为原点，直线1CA CB CC ，，分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系 . 设12AC BC CC ===.则1(0 0 0)(2 0 0)(0 2 0)(0 0 2)C A B C ，，，，，，，，，，，，1(0 2 2)B ，，， (1 1 0).D ，，（Ⅰ）证明：1 (1 10)(2 20)(0 02)CD AB B B ==-=-，，，，，，，，， 1 00CD AB CD B B ∴==，，1.CD AB CD B B ⊥⊥，又1AB B B B = ， 11 CD A ABB ∴⊥平面. ………….. 4分（Ⅱ）证明：设1BC 与1B C 的交点为E ，则(0 1 1).E ，， 1111 (1 0 1)(2 0 2) //.2DE AC DE AC DE AC =-=-∴=∴，，，，，，， ………….. 7分111 DE CDB AC CDB ⊂⊄ 平面，平面，11 //.AC CDB ∴平面 ………….. 9分（Ⅲ）解：由（Ⅰ）知 11CD A ABB ⊥平面，111 CDB A ABB ∴⊥平面平面，且1111CDB A ABB DB = 平面平面，∴ 直线1B B 和平面1CDB 所成的角就是1B B 和1DB 所成的角，即1BB D ∠是直线1B B 和平面1CDB 所成的角. ………….. 12分1 (1 1 2)B D =--，，，1111 cos B B BD B B B D B B BD∴〈〉==，∴ 直线1B B 和平面1CDB所成角的大小是. ………….. 14分19.（本小题满分14分）（Ⅰ）解：2222 |2| 3 2 3 2230230x x x x x x x x x x ≥<⎧⎧-<⇔⇔≤<<⎨⎨--<-+>⎩⎩ ，，或或，，，∴ 不等式()3f x <的解集为{|3}.x x < ………….. 5分（Ⅱ）解：22222(1)1 2()|2|2(1)1 2.x x x x f x x x x x x x ⎧-=--≥⎪=-=⎨-+=--+<⎪⎩，，，∴ ()f x 的单调递增区间是(1] [2)-∞+∞，和，；单调递减区间是[1 2]，. …………..8分（1）当10≤<a 时，()f x 是[0]a ，上的增函数，此时()f x 在[0]a ，上的最大值是()(2)f a a a =-； ………….. 11分（2）当21<<a 时，()f x 在[0 1]，上是增函数，在[1]a ，上是减函数，此时()f x 在[0]a ，上的最大值是(1)1f =. ………….. 14分20.（本小题满分14分）（Ⅰ）解：过点P 作PN 垂直直线32y =-于点.N 依题意得||||PF PN =，所以动点P 的轨迹为是以30,2F ⎛⎫⎪⎝⎭为焦点，直线32y =-为准线的抛物线， ………….. 4分即曲线W 的方程是26.x y = ………….. 5分（Ⅱ）解：依题意，直线12,l l 的斜率存在且不为0，设直线1l 的方程为32y kx =+，由12l l ⊥ 得2l 的方程为132y x k =-+.将32y kx =+代入26x y =，化简得2690x kx --=. ………….. 8分设1122() () A x y B x y ，，，，则12126 9.x x k x x +==-，2 ||6(1)AB k ∴=+， ………….. 10分同理可得21||61.CD k ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭………….. 11分∴四边形ACBD 的面积2222111||||18(1)1182722S AB CD k k k k ⎛⎫⎛⎫=⋅=++=++≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当 221k k =，即1k =±时，min 72.S = 故四边形ACBD 面积的最小值是72. ………….. 14分。

2018北京市西城区高三一模理科数学试题(卷)与参考答案解析

西城区高三统一测试数学（理科）2018.4第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．若集合{|320}A x x =∈+>R ，2{|230}B x x x =∈-->R ，则A B =（A ）{|1}x x ∈<-R （B ）2{|1}3x x ∈-<<-R（C ）2{|3}3x x ∈-<<R（D ）{|3}x x ∈>R2．执行如图所示的程序框图，输出的k 值为（A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）53．已知圆的方程为2220x y y +-=．以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，该圆的极坐标方程为（A ）2sin ρθ=- （B ）2sin ρθ= （C ）2cos ρθ=-（D ）2cos ρθ=4．正三棱柱的三视图如图所示，该正三棱柱的表面积是（A ）B（C ）6+D ）6+5．已知O 是正方形ABCD 的中心．若DO AB AC λμ−−→−−→−−→=+，其中λ，μ∈R ，则λμ=（A ）12-（B ）2- （C ）（D6．设函数2()f x x bx c =++．则“()f x 有两个不同的零点”是“0x ∃∈R ，使0()0f x <”的（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件7．函数2241,0,()23,0.xx x x f x x ⎧-+>⎪=⎨⋅⎪⎩≤ 则()y f x =的图象上关于原点O 对称的点共有（A ）0对（B ）1对（C ）2对（D ）3对8．某计算机系统在同一时间只能执行一项任务，且该任务完成后才能执行下一项任务．现有三项任务U ，V ，W ，计算机系统执行这三项任务的时间（单位：s ）依次为a ，b ，c ，其中a b c <<．一项任务的“相对等待时间”定义为从开始执行第一项任务到完成该任务的时间与计算机系统执行该任务的时间之比．下列四种执行顺序中，使三项任务“相对等待时间”之和最小的是（A ）U →V →W （B ）V →W →U（C ）W →U →V（D ）U →W →V第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9．若复数(i)(34i)a ++的实部与虚部相等，则实数a =____．10．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ．若12a =，420S =，则3a =____；n S =____．11．已知抛物线28y x =-的焦点与双曲线2221(0)x y a a-=>的一个焦点重合，则a =____；双曲线的渐近线方程是____．12．设0ω>，若函数2cos y x ω=的最小正周期为π2，则ω=____．13．安排甲、乙、丙、丁4人参加3个运动项目，每人只参加一个项目，每个项目都有人参加．若甲、乙2人不能参加同一个项目，则不同的安排方案的种数为____．（用数字作答）14．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，12AA AB ==，1BC =，点P 在侧面11A ABB 上．若点P 到直线1AA 和CD 的距离相等，则1A P 的最小值是____．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）在△ABC sin sin 2C c A ⋅=⋅．（Ⅰ）求A ∠的大小；（Ⅱ）若a b =ABC 的面积．16．（本小题满分13分）某企业2017年招聘员工，其中A 、B 、C 、D 、E 五种岗位的应聘人数、录用人数和录用比例（精确到1%）如下：（Ⅰ）从表中所有应聘人员中随机选择1人，试估计此人被录用的概率；（Ⅱ）从应聘E 岗位的6人中随机选择2人．记X 为这2人中被录用的人数，求X 的分布列和数学期望；（Ⅲ）表中A 、B 、C 、D 、E 各岗位的男性、女性录用比例都接近（二者之差的绝对值不大于5%），但男性的总录用比例却明显高于女性的总录用比例．研究发现，若只考虑其中某四种岗位，则男性、女性的总录用比例也接近，请写出这四种岗位．（只需写出结论）17．（本小题满分14分）如图1，在△ABC 中，D ，E 分别为AB ，AC 的中点，O 为DE 的中点，AB AC ==，4BC =．将△ADE 沿DE 折起到△1A DE 的位置，使得平面1A DE ⊥平面BCED ，如图2．（Ⅰ）求证：1A O BD⊥；（Ⅱ）求直线1A C 和平面1A BD 所成角的正弦值；（Ⅲ）线段1A C 上是否存在点F ，使得直线DF 和BC ？若存在，求出11A F A C 的值；若不存在，说明理由．图1图218．（本小题满分13分）已知函数1()e (ln )xf x a x x=⋅++，其中a ∈R ．（Ⅰ）若曲线()y f x =在1x =处的切线与直线exy =-垂直，求a 的值；（Ⅱ）当(0,ln 2)a ∈时，证明：()f x 存在极小值．19．（本小题满分14分）已知圆22:4O x y +=和椭圆22:24C x y +=，F 是椭圆C 的左焦点．（Ⅰ）求椭圆C 的离心率和点F 的坐标；（Ⅱ）点P 在椭圆C 上，过P 作x 轴的垂线，交圆O 于点Q （,P Q 不重合），l 是过点Q 的圆O 的切线．圆F 的圆心为点F ，半径长为||PF ．试判断直线l 与圆F 的位置关系，并证明你的结论．20．（本小题满分13分）数列n A ：12,,,(2)n a a a n ≥满足：1(1,2,,)k a k n <=．记n A 的前k 项和为k S ，并规定00S =．定义集合*{n E k =∈N ，|k n ≤k j S S >，0,1,,1}j k =-．（Ⅰ）对数列5A ：0.3-，0.7，0.1-，0.9，0.1，求集合5E ；（Ⅱ）若集合12{,,,}(1n m E k k k m =>，12)m k k k <<<，证明：11(1,2,,1)i ik k S S i m +-<=-；（Ⅲ）给定正整数C ．对所有满足n S C >的数列n A ，求集合n E 的元素个数的最小值．西城区高三统一测试数学（理科）参考答案及评分标准2018.4一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．D 2．C 3．B 4．D 5．B 6．C 7．C8．A二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．7-10．6，2n n +110x ±=12．213．3014注：第10，11题第一空3分，第二空2分.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 15．（本小题满分13分）解：sin sin 2C c A ⋅=⋅，所以 sin 2sin cosC A A =．[ 1分] 在△ABCsin 2sin cos C A A =．[ 3分]所以cos A =．[ 4分] 因为 0πA <<， [ 5分] 所以 π6A =．[ 6分] （Ⅱ）在△ABC 中，由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-，所以222c c =+-⋅[ 8分] 整理得 2650c c -+=，[ 9分]解得 1c =，或5c =，均适合题意．[11分]当1c =时，△ABC的面积为1sin 2S bc A ==[12分]当5c =时，△ABC的面积为1sin 2S bc A ==[13分]16．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为表中所有应聘人员总数为5334671000+=，被该企业录用的人数为264169433+=，所以从表中所有应聘人员中随机选择1人，此人被录用的概率约为4331000P =．[3分] （Ⅱ）X 可能的取值为0,1,2．[4分]因为应聘E 岗位的6人中，被录用的有4人，未被录用的有2人，[5分]所以2226C 1(0)C 15P X ===；112426C C 8(1)C 15P X ===；2426C 2(2)C 5P X ===．[8分] 所以X 的分布列为：()012151553E X =⨯+⨯+⨯=．[10分] （Ⅲ）这四种岗位是：B 、C 、D 、E ．[13分] 17．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）因为在△ABC 中，D ，E 分别为AB ，AC 的中点，所以 //DE BC ，AD AE =．所以11A D A E =，又O 为DE 的中点，所以 1A O DE ⊥．[1分]因为平面1A DE ⊥平面BCED ，且1A O ⊂平面1A DE ，所以 1A O ⊥平面BCED ，[3分] 所以 1A O BD ⊥．[ 4分]（Ⅱ）取BC 的中点G ，连接OG ，所以OE OG ⊥．由（Ⅰ）得1A O OE ⊥，1A O OG ⊥．如图建立空间直角坐标系O xyz -．[5分]由题意得，1(0,0,2)A ，(2,2,0)B -，(2,2,0)C ，(0,1,0)D -．所以1(2,2,2)A B −−→=--，1(0,1,2)A D −−→=--，1(2,2,2)A C −−→=-．设平面1A BD 的法向量为(,,)x y z =n ，则110,0,A B A D −−→−−→⎧⋅=⎪⎨⎪⋅=⎩n n 即2220,20.x y z y z --=⎧⎨--=⎩令1x =，则2y =，1z =-，所以(1,2,1)=-n ．[7分] 设直线1A C 和平面1A BD 所成的角为θ，则111||sin |cos ,|||||A C A C A C θ−−→−−→−−→⋅=〈〉==n n n ．所以直线1A C 和平面1A BD．[9分] （Ⅲ）线段1A C 上存在点F 适合题意．设11A F A C λ−−→−−→=，其中[0,1]λ∈．[10分]设111(,,)F x y z ，则有111(,,2)(2,2,2)x y z λλλ-=-，所以1112,2,22x y z λλλ===-，从而(2,2,22)F λλλ-，所以(2,21,22)DF λλλ−−→=+-，又(0,4,0)BC −−→=，所以|||cos ,|||||DF BC DF BC DF BC −−→−−→−−→−−→−−→−−→⋅〈〉==．[12分]令整理得23720λλ-+=．[13分]解得13λ=，舍去2λ=．所以线段1A C 上存在点F 适合题意，且1113A F A C =．[14分]18．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）()f x 的导函数为2111()e (ln )e ()x x f x a x x x x'=⋅+++⋅-221e (ln )x a x x x =⋅+-+．[ 2分]依题意，有 (1)e (1)e f a '=⋅+=，[4分]解得0a =．[5分] （Ⅱ）由221()e (ln )x f x a x x x '=⋅+-+及e 0x >知，()f x '与221ln a x x x+-+同号．令221()ln g x a x x x=+-+，[6分] 则 223322(1)1()x x x g x x x -+-+'==．[8分] 所以对任意(0,)x ∈+∞，有()0g x '>，故()g x 在(0,)+∞单调递增．[9分] 因为(0,ln 2)a ∈，所以(1)10g a =+>，11()ln 022g a =+<，故存在01(,1)2x ∈，使得0()0g x =．[11分]()f x 与()f x '在区间1(,1)上的情况如下：所以()f x 在区间0(,)2x 上单调递减，在区间0(,1)x 上单调递增．所以()f x 存在极小值0()f x ．[13分]19．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由题意，椭圆C 的标准方程为22142x y +=．[1分]所以24a =，22b =，从而2222c a b =-=．因此2a =，c =故椭圆C 的离心率c e a ==．[3分] 椭圆C 的左焦点F 的坐标为(．[4分] （Ⅱ）直线l 与圆F 相切．证明如下：[5分]设00(,)P x y ，其中022x -<<，则22024x y +=，[6分]依题意可设01(,)Q x y ，则22014x y +=．[7分]直线l 的方程为0101()x y y x x y -=--，整理为 0140x x y y +-=．[9分] 所以圆F 的圆心F 到直线l的距离02|d ==+．[11分]因为22222200000011||(((4)422PF x y x x x =+=+-=++．[13分]所以22||PF d =，即 ||PF d =，所以直线l 与圆F 相切．[14分]20．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为00S =，10.3S =-，20.4S =，30.3S =，4 1.2S =，5 1.3S =，[2分]所以5{2,4,5}E =．[3分]（Ⅱ）由集合n E 的定义知1i i k k S S +>，且1i k +是使得i k k S S >成立的最小的k ，所以11i i k k S S +-≤. [5分]又因为 11i k a +<，所以1111i i i k k k S S a +++-=+[6分] 1.i k S <+所以11i i k k S S +-<．[8分] （Ⅲ）因为0n S S >，所以n E 非空．设集合12{,,,}n m E k k k =，不妨设12m k k k <<<，则由（Ⅱ）可知11(1,2,,1)i i k k S S i m +-<=-，同理101k S S -<，且m n k S S ≤．所以12110()()()()m m m n n k k k k k k S S S S S S S S S -=-+-++-+-101111m m <+++++=个．因为n S C >，所以n E 的元素个数1m C +≥． [11分]取常数数列n A ：1(1,2,,1)2i C a i C C +==++，并令1n C =+，则22(1)2122n C C C S C C C +++==>++，适合题意，且{1,2,,1}n E C =+，其元素个数恰为1C +．综上，n E 的元素个数的最小值为1C +．[13分]。

2018-2019学年北京西城13中学高三上学期期中考试数学(理)试题

北京市第十三中学2018-2019学年度第一学期高三年级数学期中（理科）测试一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）最新试卷十年寒窗苦，踏上高考路，心态放平和，信心要十足，面对考试卷，下笔如有神，短信送祝福，愿你能高中，马到功自成，金榜定题名。

1．设集合|(1)(2)0Ax x x ，集合|13Bx x，则AB （）．A ．|13x xB ．|11x xC ．|12x xD ．|23x x【答案】A 【解析】∵|12A x x，|13B x x ，|13ABx x．故选A ．2．若复数(1i)(i)a在复平面内对应的点在第四象限，则实数a 的取值范围是（）．A ．(,1)B ．(,1)C ．(1,)D ．(1,)【答案】C【解析】复数(1i)(i)a ，2ii i aa ，(1)(1)i a a ，对应点(1,1)a a 在第四象限，1010a a ，解出1a．故选C ．3．已知(0,π)，3cos5，则tan （）．A ．34B ．34C ．43D ．43【答案】D 【解析】3cos 5且(0,π)，24sin 1cos 5，sin 4tancos3．故选D ．4．设A 、B 为直线3330x y与圆221xy的两个交点，则||AB （）．A ．1B ．2C ．3D ．2【答案】C【解析】圆心(0,0)到直线距离d 为22312(3)3，22||23AB r d．故选C ．5．已知函数1()22xxf x ，则()f x （）．A ．是奇函数，且在R 上是增函数B ．是奇函数，且在R 上是减函数C ．是偶函数，且在R 上是增函数D ．是偶函数，且在R 上是减函数【答案】B 【解析】1()2()2xf x x xR ，1()2()2xxf x f x ，∴()f x 为奇函数，又∵函数12xy与2xy都是减函数，两个减函数之和仍为减函数．故选B ．6．设n a 是等差数列，下列结论中正确的是（）．A ．若120a a ，则230a a B ．若130a a ，则120a a C ．若10a ，则2123()()a a a a D ．若120a a ，则213a a a 【答案】D【解析】A 项．∵120a a ，∴2312()2a a a a d ，d 的正负无法判断，23a a 正负无法判断，错误，B 项错误，∵130a a ，∴12()0a a d，12a a 正负无法判断，C 项错误，22123()()0a a a a d，D 项正确，∵1210a a a d ，∴0d ，22213111()(2)0a a a a d a a d ．∴213a a a ．7．设a ，b 是非零向量，且ab ．则“||||a b ”是“()()a b a b ”的（）．A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】 C 【解析】充分性：当||||a b 时，22()()||||0a b a b a b ，∴()()a b ab ，必要性：当()()a b a b 时，22()()||||0ab a b a b ，∵ab ，∴||||a b ．故选C ．8．某地区在六年内第x 年的生产总值y （单位：亿元）与x 之间的关系如图所示，则下列四个时段中，生产总值的年平均增长率．．．．．．最高的是（）．A ．第一年到第三年B ．第二年到第四年C ．第三年到第五年D ．第四年到第六年【答案】 A【解析】设年平均增长率为m ，末年生产总值为P ，起始年生产总值为Q ，则1nP mQ．（n 为年间隔数）∴两年间的年平均增长率1P mQ ，由图知，第一年到第三年的P Q最大．故选A ．二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9．在5(2)x 的展开式中，3x 的系数为__________．（用数字作答）【答案】40【解析】5(2)x 展开式中含3x 项为32335C 240xx ．10．已知双曲线2221(0)x ya a的一条渐近线为30x y，则a__________．【答案】33【解析】2221x ya的渐近线为3x yx a，∴33a．11．在极坐标系中，点π2,6到直线(cos 3sin )3的距离为__________．【答案】32【解析】直角坐标系中，直线方程为33x y，点坐标为ππ2cos,2sin (3,1)66，到直线距离22|333|321(3)d．12．在ABC △中，4a ，5b ，6c ，则sin 2sin A C __________．【答案】1【解析】∵2222536163cos 22564bca A bc ，且sin sin a c A C，即sin 2sin 3A a Cc，∴sin 22sin cos 2321sin sin 34A A ACC．13．已知点P 在圆221x y上，点A 的坐标为(2,0)，O 为原点，则AO AP 的最大值为__________．【答案】6【解析】设(cos ,sin )P ，(2,0)AO ，(cos2,sin )AP，∴2cos4AO AP ，∵cos [1,1]，当cos1时，∴max2146AO AP ．14．某科技小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件：（i ）男学生人数多于女学生人数．（ii ）女学生人数多余教师人数．（iii ）教师人数的两倍多余男学生人数．①若教师人数为5，则女学生人数的最大值为__________．②该小组人数的最小值为__________．【答案】812【解析】设男学生，女学生，教师人数分别为x ，y ，z ．由题意，建立方程组．2x y y z z x ③①②，【注意有文字】①当5z时，由方程组解出510y x，故此时女学生最多有8人．②设小组总人数为Mx y z ，∵由上述方程组可得2zy x z ，即z 最小为3才能满足条件，此时min 5x ，min4y ，故min54312M ，即小组人数最少为12人．三、解答题（本大题共6小题，共80分）15．（本小题满分13分）已知函数2()23sin cos2cos222x x x f x ．（I ）求π3f的值．（II ）求函数()f x 的单调递减区间及对称轴方程．【答案】（I ）π03f （II ）单调递减区间为25π2π,π2π33k k ，kZ ，对称轴为2ππ3xk ，()kZ ．【解析】（I ）()3sin 1cos f x x x ，π31310322f ．（II ）∵()3sin cos 1f x xx ，312sin cos 122xx，π2sin 16x，。