2019版高考数学文科二轮专题复习课件：第二部分坐标系与参数方程(选修4-4)(共36张PPT)

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2019高考数学(文)精讲二轮专题八选修4系列选讲第一讲选修4-4 坐标系与参数方程

专题八选修4系列选讲第一讲选修4－4 坐标系与参数方程考点一极坐标方程及应用1．直角坐标与极坐标的互化公式把直角坐标系的原点作为极点，x 轴正半轴作为极轴，并在两坐标系中取相同的长度单位．设M 是平面内任意一点，它的直角坐标是(x ，y )，极坐标是(ρ，θ)，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝y x (x ≠0).2．几个特殊位置的圆的极坐标方程 (1)当圆心位于极点，半径为r ：ρ＝r .(2)当圆心位于M (a,0)，半径为a ：ρ＝2a cos θ.(3)当圆心位于M ⎝⎛⎭⎪⎫a ，π2，半径为a ：ρ＝2a sin θ.3．几个特殊位置的直线的极坐标方程(1)直线过极点：θ＝θ0和θ＝π＋θ0. (2)直线过点M (a,0)且垂直于极轴：ρcos θ＝a .(3)直线过M ⎝⎛⎭⎪⎫b ，π2且平行于极轴：ρsin θ＝b .[解题指导](1)设出P 点的极坐标(ρ，θ)→用ρ，θ表示|OM |，|OP |→由|OM |·|OP |＝16得极坐标方程→化直角坐标方程(2)设出B 点极坐标(ρB ，α)→用α表示ρB →用α表示△OAB 的面积→确定结果[解] (1)设P 的极坐标为(ρ，θ)(ρ>0)，M 的极坐标为(ρ1，θ)(ρ1>0)．由题设知|OP |＝ρ，|OM |＝ρ1＝4cos θ.由|OM |·|OP |＝16得C 2的极坐标方程ρ＝4cos θ(ρ>0)．因此C 2的直角坐标方程为(x －2)2＋y 2＝4(x ≠0)． (2)设点B 的极坐标为(ρB ，α)(ρB >0)．由题设知|OA |＝2，ρB ＝4cos α，于是△OAB 面积 S ＝12|OA |·ρB ·sin∠AOB ＝4cos α·⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π3＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π3－32≤2＋ 3. 当α＝－π12时，S 取得最大值2＋ 3.所以△OAB 面积的最大值为2＋ 3.解决极坐标问题应关注的两点(1)用极坐标系解决问题时要注意已知的几何关系，如果几何关系不容易通过极坐标表示时，可以先化为直角坐标，将不熟悉的问题转化为熟悉的问题来解决．(2)在极坐标与直角坐标互化的过程中，需要注意当条件涉及“角度”和“距离”时，利用极坐标将会给问题的解决带来很大的便利．[对点训练](2018·福建福州四校联考)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋cos α，y ＝2＋sin α(α为参数)，直线C 2的方程为y ＝3x .以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系． (1)求曲线C 1和直线C 2的极坐标方程；(2)若直线C 2与曲线C 1交于A ，B 两点，求1|OA |＋1|OB |.[解] (1)由曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋cos α，y ＝2＋sin α(α为参数)，得曲线C 1的普通方程为(x －2)2＋(y －2)2＝1，则C 1的极坐标方程为ρ2－4ρcos θ－4ρsin θ＋7＝0，由于直线C 2过原点，且倾斜角为π3，故其极坐标方程为θ＝π3(ρ∈R )．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧ρ2－4ρcos θ－4ρsin θ＋7＝0，θ＝π3得ρ2－(23＋2)ρ＋7＝0，设A ，B 对应的极径分别为ρ1，ρ2，则ρ1＋ρ2＝23＋2，ρ1ρ2＝7，∴1|OA |＋1|OB |＝|OA |＋|OB ||OA |·|OB |＝ρ1＋ρ2ρ1ρ2＝23＋27. 考点二参数方程及应用1．圆的参数方程以O ′(a ，b )为圆心，r 为半径的圆的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋r cos α，y ＝b ＋r sin α，其中α是参数．2．椭圆的参数方程椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ，其中φ是参数．3．直线的参数方程(1)经过点P 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α，其中t 是参数．(2)若A ，B 为直线l 上两点，其对应的参数分别为t 1，t 2，线段AB 的中点为M ，点M 所对应的参数为t 0，则以下结论在解题中经常用到：①t 0＝t 1＋t 22；②|PM |＝|t 0|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪t 1＋t 22； ③|AB |＝|t 2－t 1|； ④|PA |·|PB |＝|t 1·t 2|.角度1：参数方程与普通方程的互化[解题指导] (1)(2)设出曲线C 上点的坐标→表示出点到直线的距离→对参数a 进行讨论从而确定a 的值[解] (1)曲线C 的普通方程为x 29＋y 2＝1.当a ＝－1时，直线l 的普通方程为x ＋4y －3＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋4y －3＝0，x29＋y 2＝1解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2125，y ＝2425.从而C 与l 的交点坐标为(3,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫－2125，2425.(2)直线l 的普通方程为x ＋4y －a －4＝0，故C 上的点(3cos θ，sin θ)到l 的距离d ＝|3cos θ＋4sin θ－a －4|17.当a ≥－4时，d 的最大值为a ＋917.由题设得a ＋917＝17，所以a＝8；当a <－4时，d 的最大值为－a ＋117.由题设得－a ＋117＝17，所以a ＝－16.综上，a ＝8或a ＝－16.角度2：直线参数方程中参数几何意义的应用[解] (1)曲线C 的普通方程为x 24＋y 216＝1.当cos α≠0时，l 的普通方程为y ＝tan α·x ＋2－tan α，当cos α＝0时，l 的普通方程为x ＝1.(2)将l 的参数方程代入C 的普通方程，整理得关于t 的方程(1＋3cos 2α)t 2＋4(2cos α＋sin α)t －8＝0.①因为曲线C 截直线l 所得线段的中点(1,2)在C 上，所以①有两个解，设为t 1，t 2，则t 1＋t 2＝0. 又由①得t 1＋t 2＝4(2cos α＋sin α)1＋3cos 2α，故2cos α＋sin α＝0，于是直线l 的斜率k ＝tan α＝－2.解决参数方程问题的3个要点(1)把参数方程化为普通方程，需要根据其结构特征，选取适当的消参方法．(2)把普通方程化为参数方程的关键是选准参数，注意参数的几何意义及变化范围．(3)直线参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(α为倾斜角，t 为参数)，其中|t |＝|PM |，P (x ，y )为动点，M (x 0，y 0)为定点，在解决与点P 有关的弦长和距离的乘积问题时广泛应用．[对点训练] 1．[角度1]设直线l的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋t cos α，y ＝4＋t sin α(t 为参数，α为倾斜角)，圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2cos θ，y ＝－1＋2sin θ(θ为参数)．(1)若直线l 经过圆C 的圆心，求直线l 的斜率；(2)若直线l 与圆C 交于两个不同的点，求直线l 的斜率的取值范围．[解] (1)由已知得直线l 经过的定点是P (3,4)，而圆C 的圆心是C (1，－1)，所以，当直线l 经过圆C 的圆心时，直线l 的斜率为k ＝52.(2)解法一：由圆C的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2cos θ，y ＝－1＋2sin θ，得圆C 的圆心是C (1，－1)，半径为2.由直线l的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋t cos α，y ＝4＋t sin α(t 为参数，α为倾斜角)，得直线l 的普通方程为y －4＝k (x －3)(斜率存在)，即kx －y ＋4－3k ＝0.当直线l 与圆C 交于两个不同的点时，圆心到直线的距离小于圆的半径，即|5－2k |k 2＋1<2，解得k >2120. 即直线l 的斜率的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫2120，＋∞.解法二：将圆C 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2cos θ，y ＝－1＋2sin θ化成普通方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝4 ①，将直线l 的参数方程代入①式，得t 2＋2(2cos α＋5sin α)t ＋25＝0. ②.当直线l 与圆C 交于两个不同的点时，方程②有两个不相等的实根，即Δ＝4(2cos α＋5sin α)2－100>0，即20sin αcos α>21cos 2α，两边同除以20cos 2α，得tan α>2120，即直线l 的斜率的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫2120，＋∞.2．[角度2](2018·郑州一模)已知直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5＋32t ，y ＝3＋12t(t 为参数)．以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ.(1)将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程．(2)设点M 的直角坐标为(5，3)，直线l 与曲线C 的交点为A ，B ，求|MA |·|MB |的值．[解] (1)∵ρ＝2cos θ，∴ρ2＝2ρcos θ，∴曲线C 的直线坐标方程为x 2＋y 2＝2x ，即(x －1)2＋y 2＝1.(2)将直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5＋32t ，y ＝3＋12t (t 为参数)代入曲线C 的直角坐标方程中，化简得t 2＋53t ＋18＝0，且Δ>0.∴t 1t 2＝18. ∵点M (5，3)在直线l 上，根据直线参数方程中参数t 的几何意义，得|MA |·|MB |＝|t 1t 2|＝18.考点三极坐标方程与参数方程的综合应用1．对于参数方程或极坐标方程应用不够熟练的情况下，我们可以先化成直角坐标方程，这样思路可能更加清晰．2．对于一些运算比较复杂的问题，用参数方程或极坐标方程计算会比较简捷．[解] (1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－5＋2cos t ，y ＝3＋2sin t消去参数t ，得(x ＋5)2＋(y－3)2＝2，所以圆C 的普通方程为(x ＋5)2＋(y －3)2＝2.由ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝－2，得ρcos θ－ρsin θ＝－2.可得直线l 的直角坐标方程为x －y ＋2＝0.(2)直线l 与x 轴，y 轴的交点分别为A (－2,0)，B (0,2)，化为极坐标为A (2，π)，B ⎝⎛⎭⎪⎫2，π2，设点P 的坐标为(－5＋2cos t,3＋2sin t )，则点P 到直线l 的距离为d ＝|－5＋2cos t －3－2sin t ＋2|2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－6＋2cos ⎝⎛⎭⎪⎫t ＋π42，所以d min ＝42＝22，又|AB |＝22，所以△PAB 面积的最小值＝12×22×22＝4.解决极坐标与参数方程问题的关键(1)会转化：把直线与圆的参数方程转化为普通方程时，要关注参数的取值范围的限定，还需掌握极坐标与直角坐标的互化公式．(2)懂技巧：合理选择直角坐标形式运算、极坐标形式运算、参数坐标形式运算，利用参数及其几何意义，结合关系式寻找关于参数的方程或函数．[对点训练]在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r cos θ，y ＝r sin θ(θ为参数，0<r <4)，曲线C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋22cos θ，y ＝2＋22sin θ(θ为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，射线θ＝α⎝⎛⎭⎪⎫0<α<π2与曲线C 1交于点N ，与曲线C 2交于O ，P 两点，且|PN |的最大值为2 2.(1)将曲线C 1与曲线C 2化成极坐标方程，并求r 的值． (2)射线θ＝α＋π4与曲线C 1交于点Q ，与曲线C 2交于O ，M 两点，求四边形MPNQ 面积的最大值．[解] (1)将曲线C 1的参数方程化为普通方程为x 2＋y 2＝r 2. 所以曲线C 1的极坐标方程为ρ＝r .将曲线C 2的参数方程化为普通方程为(x －2)2＋(y －2)2＝8，即x 2＋y 2－4x －4y ＝0.所以曲线C 2的极坐标方程为ρ－4cos θ－4sin θ＝0，即ρ＝42sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4.因为|PN |max ＝|ρP －ρN |max ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪42sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4－r max ＝22，所以r ＝22，所以C 1：ρ＝2 2. (2)S四边形MPNQ ＝S △OPM －S △ONQ＝12OP ·OM sin π4－12ON ·OQ ·sin π4＝12×42sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4×42sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2×22－12×22×22×22＝42sin ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π4＋4－2 2.所以当α＝π8时，四边形MPNQ 面积的最大值为4＋2 2.1．(2018·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的方程为y ＝k |x |＋2.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ2＋2ρcos θ－3＝0.(1)求C 2的直角坐标方程；(2)若C 1与C 2有且仅有三个公共点，求C 1的方程．[解] (1)由x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ得C 2的直角坐标方程为 (x ＋1)2＋y 2＝4.(2)由(1)知C 2是圆心为A (－1,0)，半径为2的圆．由题设知，C 1是过点B (0,2)且关于y 轴对称的两条射线．记y 轴右边的射线为l 1，y 轴左边的射线为l 2.由于B 在圆C 2的外面，故C 1与C 2有且仅有三个公共点等价于l 1与C 2只有一个公共点且l 2与C 2有两个公共点，或l 2与C 2只有一个公共点且l 1与C 2有两个公共点．当l 1与C 2只有一个公共点时，A 到l 1所在直线的距离为2，所以|－k ＋2|k 2＋1＝2，故k ＝－43或k ＝0，经检验，当k ＝0时，l 1与C 2没有公共点；当k ＝－43时，l 1与C 2只有一个公共点，l 2与C 2有两个公共点．当l 2与C 2只有一个公共点时，A 到l 2所在直线的距离为2，所以|k ＋2|k 2＋1＝2，故k ＝0或k ＝43.经检验，当k ＝0时，l 1与C 2没有公共点；当k ＝43时，l 2与C 2没有公共点．综上，所求C 1的方程为y ＝－43|x |＋2.2．(2018·全国卷Ⅲ)在平面直角坐标系xOy 中，⊙O 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)，过点(0，－2)且倾斜角为α的直线l 与⊙O 交于A ，B 两点．(1)求α的取值范围；(2)求AB 中点P 的轨迹的参数方程． [解] (1)⊙O 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝1. 当α＝π2时，l 与⊙O 交于两点．当α≠π2时，记tan α＝k ，则l 的方程为y ＝kx － 2.l 与⊙O交于两点当且仅当⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪21＋k 2<1，解得k <－1或k >1，即α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2或α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π4.综上，α的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4.(2)l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝－2＋t sin α(t 为参数，π4<α<3π4)．设A ，B ，P 对应的参数分别为t A ，t B ，t P ，则t P ＝t A ＋t B2，且t A ，t B 满足t 2－22t sin α＋1＝0.于是t A ＋t B ＝22sin α，t P ＝2sin α.又点P 的坐标(x ，y )满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t P cos α，y ＝－2＋t P sin α.所以点P 的轨迹的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝22sin2α，y ＝－22－22cos2α(α为参数，π4<α<3π4)．1.坐标系与参数方程是高考的选考内容之一，高考考查的重点主要有两个方面：一是简单曲线的极坐标方程；二是参数方程、极坐标方程与曲线的综合应用．2．全国课标卷对此部分内容的考查以解答题形式出现，难度中等，备考此部分内容时应注意转化思想的应用．专题跟踪训练(三十一)1．(2018·湖南长沙联考)在直角坐标系xOy 中，直线C 1：x ＝－2，圆C 2：(x －1)2＋(y －2)2＝1，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．(1)求C 1，C 2的极坐标方程．(2)若直线C 3的极坐标方程为θ＝π4(ρ∈R )，设C 2与C 3的交点分别为M ，N ，求△C 2MN 的面积．[解] (1)∵x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ， ∴C 1：x ＝－2的极坐标方程为ρcos θ＝－2，C 2：(x －1)2＋(y －2)2＝1的极坐标方程为(ρcos θ－1)2＋(ρsin θ－2)2＝1，化简，得ρ2－(2ρcos θ＋4ρsin θ)＋4＝0.(2)把直线C 3的极坐标方程θ＝π4(ρ∈R )代入圆C 2：ρ2－(2ρcos θ＋4ρsin θ)＋4＝0，得ρ2－32ρ＋4＝0，解得ρ1＝22，ρ2＝ 2. ∴|MN |＝|ρ1－ρ2|＝ 2.∵圆C 2的半径为1，∴C 2M 2＋C 2N 2＝MN 2，∴C 2M ⊥C 2N . ∴△C 2MN 的面积为12·C 2M ·C 2N ＝12×1×1＝12.2．(2018·洛阳联考)在极坐标系中，曲线C 的方程为ρ2＝31＋2sin 2θ，已知点R ⎝⎛⎭⎪⎫22，π4.(1)以极点为原点，极轴为x 轴的非负半轴，建立平面直角坐标系，把曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程，R 点的极坐标化为直角坐标．(2)设P 为曲线C 上一动点，以PR 为对角线的矩形PQRS 的一边垂直于极轴，求矩形PQRS 周长的最小值，及此时P 点的直角坐标．[解] (1)∵x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，x 2＋y 2＝ρ2. ∴曲线C 的直角坐标方程为x 23＋y 2＝1.点R 的直角坐标为(2,2)．(2)设点P (3cos θ，sin θ)，根据题意得Q (2，sin θ)，即可得|PQ |＝2－3cos θ，|QR |＝2－sin θ，∴|PQ |＋|QR |＝4－2sin(θ＋60°)． ∴当θ＝30°时，|PQ |＋|QR |取最小值2， ∴矩形PQRS 周长的最小值为4.此时点P 的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12.3．(2018·安徽皖南八校联考)在平面直角坐标系xOy 中，C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－22t ，y ＝1＋22t(t 为参数)，在以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，C 2的极坐标方程为ρ2－2ρcos θ－3＝0.(1)说明C 2是哪种曲线，并将C 2的方程化为直角坐标方程．(2)C 1与C 2有两个公共点A ，B ，定点P 的极坐标⎝⎛⎭⎪⎫2，π4，求线段AB 的长及定点P 到A ，B 两点的距离之积．[解] (1)将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，x 2＋y 2＝ρ2代入C 2的极坐标方程中得C 2的直角坐标方程为(x －1)2＋y 2＝4，所以C 2是圆．(2)将C 1的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－22t ，y ＝1＋22t(t 为参数)，代入(x－1)2＋y 2＝4中得⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－22t 2＋⎝⎛⎭⎪⎪⎫1＋22t 2＝4，化简，得t 2＋2t －3＝0.设两根分别为t 1，t 2，由根与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧t 1＋t 2＝－2，t 1·t 2＝－3.所以|AB |＝|t 1－t 2|＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2＝2＋12＝14，定点P 到A ，B 两点的距离之积|PA |·|PB |＝|t 1t 2|＝3. 4．(2018·河北衡水中学模拟)在极坐标系中，曲线C 1的极坐标方程是ρ＝244cos θ＋3sin θ，在以极点为原点O ，极轴为x 轴正半轴(两坐标系取相同的单位长度)的直角坐标系xOy 中，曲线C 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θy ＝sin θ(θ为参数)．(1)求曲线C 1的直角坐标方程与曲线C 2的普通方程；(2)将曲线C 2经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝22x ，y ′＝2y 后得到曲线C 3，若M 、N 分别是曲线C 1和曲线C 3上的动点，求|MN |的最小值．[解] (1)∵C 1的极坐标方程是ρ＝244cos θ＋3sin θ，∴4ρcos θ＋3ρsin θ＝24， ∴4x ＋3y －24＝0，故C 1的直角坐标方程为4x ＋3y －24＝0.∵曲线C 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ，∴x 2＋y 2＝1，故C 2的普通方程为x 2＋y 2＝1.(2)将曲线C 2经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝22x ，y ′＝2y 后得到曲线C 3，则曲线C 3的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝22cos α，y ′＝2sin α(α为参数)．设N (22cos α，2sin α)，则点N 到曲线C 1的距离d ＝|4×22cos α＋3×2sin α－24|5＝|241sin (α＋φ)－24|5＝24－241sin (α＋φ)5(其中φ满足tan φ＝423)．当sin(α＋φ)＝1时，d 有最小值24－2415，所以|MN |的最小值为24－2415.。

选修4-4二轮专题：极坐标与参数方程

A ，当 t ＝－1 时，曲线 C1 上的点为 B .以原点 O 为极点，以 x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 6 C2 的极坐标方程为 ρ＝ 4＋5sin 2θ .
(1) 求 A、B 的极坐标； (2) 设 M 是曲线 C2 上的动点，求|MA | 2＋ |MB | 2 的最大值．
x ＝－1 解：(1)当 t＝1 时，， y＝ 3 即 A 的直角坐标为 A (－1， 3)； x ＝1 当 t＝－ 1 时，， y＝－ 3 即 B 的直角坐标为 B (1，－ 3)．
(2)弦M1M2的中点⇒t1＋t2＝0；
(3)|M0M1||M0M2|＝|t1t2|.
及时练习
5．[2016· 天津卷]
2 x＝2pt ，设抛物线 (t 为参数，p>0)的焦点 y＝2pt
为 F，准线为 l.过抛物线上一点 A 作 l 的垂线，垂足为 B.设 7 C(2p，0)，AF 与 BC 相交于点 E.若|CF|＝2|AF|，且△ACE 的面积为 3 2，则 p 的值为________．测试要点：抛物线的参数方程化为普通方程
说明：一、参数 t 的有关性质
对于上述直线 l 的参数方程，设 l 上两点 A、B 所对应的参数分别为 tA、tB，则 1．A、B 两点之间的距离为 | AB || t A t B | ，特别地，A、B 两点到点 M0 的距离分别为|tA|、|tB|。
t A tB 2．A、B 两点的中点所对应的参数为， 2
若点 M0 是线段 AB 的中点，则 tA+tB=0，反之亦然。
x r cos ( 为参数) y r sin x a r cos 2 2 2 ( 为参数) 3.圆(x-a) +(y-b) =r 的参数方程: y b r sin

高中总复习二轮文科数学精品课件专题8 选修4系列 8.1 坐标系与参数方程(选修4—4)

(t为参数),
= 3
以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C1的极坐标
方程为ρ=6cos θ.
(1)求直线l的极坐标方程和曲线C1的直角坐标方程;
π
(2)若曲线C2的极坐标方程为θ= (ρ∈R),曲线C2与直线l的交点为A,与曲线
6
C1异于极点的交点为B,求|AB|.
解:(1)因为直线 l 的参数方程为
5
∴- 3 ≤4m≤10,即-12 ≤m≤2.
∴m 的取值范围为
19 5
- ,
12 2
.
题后反思 1.将参数方程化为普通方程的过程就是消去参数的过程,常用的
消参方法有代入消参、加减消参和三角恒等式消参等,往往需要对参数方
程进行变形,为消去参数创造条件.
2.若极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合,极轴与x轴正半轴重合,两
坐标、参数方程与普通方程的互化;
参数方程及其应用;极坐标方程与参
数方程的综合应用.
高频考点•探究突破
命题热点一
求直线或曲线的极坐标方程和参数方程
【思考】如何求直线、曲线的极坐标方程和参数方程?
例1在直角坐标系xOy中,☉C的圆心为C(2,1),半径为1.
(1)写出☉C的一个参数方程;
(2)过点F(4,1)作☉C的两条切线,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立
.
题后反思对于极坐标和参数方程的问题,既可以通过极坐标和参数方程来
解决,也可以通过直角坐标解决,但大多数情况下,把极坐标问题转化为直
角坐标问题,把参数方程转化为普通方程更有利于在一个熟悉的环境下解
决问题.这样可以减少由于对极坐标和参数方程理解不到位造成的错误.
= 2- 3,

2019届高考数学二轮复习坐标系与参数方程(选修4—4)课件(28张)(全国通用)

消元法, 转化思想
专题探究
-8-
1.极坐标系与极坐标 (1)极坐标系:如图所示,在平面内取一个定点O,叫做极点,自极点 O引一条射线Ox,叫做极轴;再选定一个长度单位,一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系.
(2)极坐标:设M是平面内一点,极点O与点M的距离|OM|叫做点M 的极径,记为ρ;以极轴Ox为始边,射线OM为终边的角xOM叫做点M 的极角,记为θ.有序数对(ρ,θ)叫做点M的极坐标,记为M(ρ,θ).
全求曲线的普通方程; 国求曲线与直线交点
Ⅲ 的极径
参数方程,极坐标,双曲线,直线
题目类解题思
型
想方法
消元法, 参数方程思
方程想,转化思想
极坐标
消元法, 代入法, 转化思
想
参数消元法, 方程, 代入法, 极坐方程思
标想
专题探究
-7-
年份
卷别
设问特点
涉及知识点
全极坐标方程化为直
2015 全国
Ⅱ
求两极坐标方程交点的直角坐标;求两点距离的最值
参数方程,极坐标,圆,三角函数化简,最值
参数方程, 极坐标
方程思想,消元法,转化思想
专题探究
-5-
年份
卷别
设问特点
涉及知识点
题目类解题思
型
想方法
全国
Ⅰ
求参数方程的极坐标方程;求半径
参数方程,极坐标,直线,圆,交点
2.若极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合,极轴与x轴正半轴重合,两坐标系的长度单位相同,则极坐标方程与直角坐标方程可以互化.
考向一考向二考向三考向四

2019届二轮复习(文) 坐标系与参数方程(选修4-4) 课件(39张)

考情分析明确方向
年份卷别 Ⅰ卷考查内容及考题位置参数方程与普通方程的互化、点到直线的距离· T22 命题分析 1.坐标系与参数方程是高考的选考内容之一，高考考查
一直角坐标与极坐标的互化、的重点主要有两个方面： Ⅱ卷动点轨迹方程的求法、三角是简单曲线的极坐标方程； 2017 形面积的最值问题· T22 二是参数方程、极坐标方程与曲线的综合应用．直线的参数方程与极坐标 Ⅲ卷方程、动点轨迹方程的求法· T22 2.全国课标卷对此部分内容的考查以解答题形式出现，难度中等，备考此部分内容时应注意转化思想的应用.
考情分析明确方向
年份卷别考查内容及考题位置参数方程与普通方程的 Ⅰ卷命题分析 1. 坐标系与参数方程是高考
互化、极坐标方程与直角的选考内容之一，高考考查的坐标方程的互化及应用· T23 极坐标方程与直角坐标重点主要有两个方面：一是简单曲线的极坐标方程；二是参数方程、极坐标方程与曲线的
考点一考点二考点三课后训练提升能力首页上页下页尾页
考点一极坐标方程及应用
经检验，当 k＝0 时，l1 与 C2 没有公共点； 4 当 k＝时，l2 与 C2 没有公共点． 3 4 综上，所求 C1 的方程为 y＝－ |x|＋2. 3
考点一
考点二
考点三
课后训练提升能力
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考点一极坐标方程及应用
[全练——快速解答 ]
(1)设 P 的极坐标为(ρ，θ)(ρ>0)，M 的极坐标为(ρ1，θ)(ρ1>0)． 4 2 ．(2017· 高考全国卷Ⅱ xOy 中，以坐标原点为由题设知 |OP |＝ρ，|OM|＝ρ1＝ )在直角坐标系 . cos θ 由|OM|· |OP 16 得 C2 的极坐标方程 ρ＝4cos θ(ρ>0)．极点， x |＝轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C1 的极坐标方 2 2 因此 C2 的直角坐标方程为(x－2) ＋y ＝4(x≠0)． (2)设点的极坐标为程为 ρB cos θ＝4. (ρB，α)(ρB>0)，由题设知|OA|＝2，ρB＝4cos α，于是△OAB 面积 1 为曲线 C1 上的动点， (1) M 点 P 在线段 OM 上，且满足|OM|· |OP| S＝ |OA|· ρB · sin∠AOB 2 π 的轨迹 C 的直角坐标方程；＝ 16，求点 P 2 α －＝4cos α· |sin | 3 π 3 π ＝2|sin2α－ 3 － | 2 (2)设点 A 的极坐标为2，3 ，点 B 在曲线 C2 上，求△OAB ≤2＋ 3. π 当 α ＝－时，S 取得最大值 2＋ 3. 面积的最大值． 12 所以△OAB 面积的最大值为 2＋ 3.

高三数学专题复习--极坐标与参数方程

五、考点练习：
1
在极坐标系中，已知
A2，π6
，B2，－π6
，求

A，B
两点
间的距离．
2.将参数方程xy＝＝1－＋24＋co4ssitn，t(t 为参数，0≤t≤π )化为普通方程，并
说明方程表示的曲线．
3
将方程x＝
t＋1， (t 为参数)化为普通方程．
y＝1－2 t
2、高考出现的题型：
（1）、求曲线的极坐标方程、参数方程；（2）、极坐标方程、参数方程与普通方程间的相互转化；（3）、解决与极坐标方程、参数方程研究有关的距离、最值、交点等问题。
三、（1）
x y
= =
x0 y0
+ t cos + t sin
a a
， (t
为参数
)
类似地过原点倾斜角为a的直线l的参数方程为：
解：（1）曲线C化为直角坐标方程为
x1 2 +(y
2
3) =1
，
它表示圆心为C（1， 3 ），半径r=1的圆。
∵ d = co 1（+
3） 2 = 2 ＞1，
∴点O在圆的外部，
当动点与O、C三点在同一直线上时，动点到原点O的距离最小。
d ∴
= d r =2-1=1,
m in
即圆心C上动点到原点O的距离最小值为1。
链接高考2014
以直角坐标系的原点为极点，轴非负半轴为极轴，在两种坐标系
中取相同单位的长度. 已知直线L的方程为
，
曲线C的参数方程为
，点M是曲线C上的一动点.
（Ⅰ)求线段OM的中点P的轨迹方程；
(Ⅱ) 求曲线C上的点到直线L的距离的最小值.

高考二轮数学人教版课件：第2部分专题7 第1讲选修4-4：坐标系与参数方程

第二部分专题七选修部分
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【解析】椭圆 C 的参数方程为xy＝＝2sicnoφs φ (φ 为参数)，转化为直角坐标方程为x42＋y2＝1．
将直线的参数方程x＝m＋ 22t， y＝ 22t
代入x42＋y2＝1 中，
第二部分专题七选修部分
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为直线 l1 与曲线 C 在第二象限的交点，过 O 点的直线 l2 与直线 l1 互相垂
直，点 B 为直线 l2 与曲线 C 在第三象限的交点．
(1)写出曲线 C 的直角坐标方程及直线 l1 的普通方程；
(2)若|OA|＝|OB|，求△OAB 的面积．
第二部分专题七选修部分
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第二部分专题七选修部分
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典例3 (2020·南平三模)在平面直角坐标系 xOy 中，以原点
O 为极点，以 x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为
ρ＝1－c2os
θ，直线
l1
的参数方程为xy＝＝ttcsions
α α
(t 为参数)，π2＜α＜π，点 A
直线 l1 的普通方程为 y＝x·tan α，π2＜α＜π.
第二部分专题七选修部分
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(2)设
OA
的极坐标方程为
θ＝α(π2＜α＜π)，则|OA|＝1－c2os
， α
射线 OB 的极坐标方程为 θ＝α＋π2(π2＜α＜π)，
则|OB|＝1－cos2α＋π2＝1＋2sin α.
第二部分专题七选修部分
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4-29坐标系与参数方程(选修4-4)

π 1 ρρ2sin －θ＝4 2 3 π 1 2 ②×③得 ρ ρ1ρ2sinθsin －θ＝16 4 3
① ② ③ ④
32 由①得 ρ1ρ2＝代入④得 3
数学（理）第30页
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2 3 π 0<θ< ，即为所求极坐标方程． ρ＝ π 3 sinθsin －θ 3
x＝a＋rcosθ 它的参数方程为 y＝b＋rsinθ
(θ 为参数)．
数学（理）第17页
新课标· 高考二轮总复习
6．椭圆的参数方程以坐标原点 O 为中心，焦点在 x 轴上的椭圆的标准
x＝acosφ x2 y2 方程为 2＋ 2＝1(a>b>0)，其参数方程为 (φ 为 a b y＝bsinφ
半径为 r 的圆
过极点，倾斜角为 α 的直线
＝π＋α(ρ∈R) (2)θ＝α(ρ≥0)和 θ＝ π＋α(ρ≥0)
数学（理）第13页
新课标· 高考二轮总复习
过点(a,0)，与极轴垂直的直线
π 过点a，，与极轴 2
ρcosθ＝a
π π － <θ< 2 2
ρsinθ＝a (0<θ<π)
2 3 π N ， . 3 2
数学（理）第25页
新课标· 高考二轮总复习
(2)M 点的直角坐标为 (2,0) ， N 点的直角坐标为
2 3 . 0， 3
所以 P
2 3 π ，， 3 6
点的直角坐标为1，
9．直线的参数方程经过点 M0(x0，y0)，倾斜角为
Hale Waihona Puke π αα≠ 的直线 2 l 的普通

2019届高考数学(文)二轮专题复习：选修4-4-坐标系与参数方程

选修4-4 坐标系与参数方程A 组(供高考题型为选择、填空题的省份使用)1．在直角坐标系xOy 中，已知点C(－3，－3)，若以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，则点C 的极坐标(ρ，θ)(ρ>0，－π<θ<0)可写为________．解析依题意知，ρ＝23，θ＝－5π6. 答案 ⎝⎛⎭⎪⎫23，－5π6 2．在直角坐标系xOy 中，已知曲线C 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin α，y ＝cos α＋1(α为参数)，若以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，则曲线C 的极坐标方程可写为________．解析依题意知，曲线C ：x 2＋(y －1)2＝1，即x 2＋y 2－2y ＝0，所以(ρcos θ)2＋(ρsin θ)2－2ρsin θ＝0. 化简得ρ＝2sin θ. 答案 ρ＝2sin θ3．在极坐标系中，点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－π6到直线l ：ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π6＝1的距离是________．解析依题意知，点P(3，－1)，直线l 为：x －3y ＋2＝0，则点P 到直线l 的距离为3＋1. 答案3＋14．在极坐标系中，已知两点A ，B 的极坐标分别为⎝⎛⎭⎪⎫3，π3，⎝ ⎛⎭⎪⎫4，π6，则△AOB(其中O 为极点)的面积为________．解析由题意得S △AOB ＝12×3×4×sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－π6＝12×3×4×sin π6＝3.答案 35．极坐标方程ρ＝cos θ和参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1－t ，y ＝2＋3t(t 为参数)所表示的图形分别是________．解析由ρ＝cos θ得ρ2＝ρcos θ， ∴x 2＋y 2＝x ，整理得⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋y 2＝14，∴所表示的图形为圆．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1－t ，y ＝2＋3t 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＝－t ，y －2＝3t ，消t 得3x ＋y ＋1＝0， ∴所表示的图形为直线．答案圆，直线6．已知两曲线参数方程分别为⎩⎨⎧x ＝5cos θ，y ＝sin θ(0≤θ<π)和⎩⎪⎨⎪⎧x ＝54t 2，y ＝t (t∈R)，它们的交点坐标为________．解析消去参数θ得曲线方程为x 25＋y 2＝1(0≤y≤1)，表示椭圆的一部分．消去参数t 得曲线方程为y 2＝45x ，表示抛物线，可得两曲线有一个交点，联立两方程，解得交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，255.答案 ⎝⎛⎭⎪⎫1，2557．直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝tcos α，y ＝tsin α(t 为参数)与圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋2cos φ，y ＝2sin φ(φ为参数)相切，则此直线的倾斜角α＝________________．α＝24＝12，解析直线y ＝xtan α，圆：(x －4)2＋y 2＝4，如图，sin ∴α＝π6或5π6.答案π6或5π68．若曲线的极坐标方程为ρ＝2sin θ＋4cos θ，以极点为原点，极轴为x轴正半轴建立直角坐标系，则该曲线的直角坐标方程为________．解析将ρ＝2sin θ＋4cos θ两边同乘以ρ得ρ2＝2ρsin θ＋4ρcos θ， ∴曲线的直角坐标方程为x 2＋y 2＝2y ＋4x ，即x 2＋y 2－4x －2y ＝0. 答案 x 2＋y 2－4x －2y ＝09．已知抛物线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8t 2，y ＝8t (t 为参数)．若斜率为1的直线经过抛物线C 的焦点，且与圆(x －4)2＋y 2＝r 2(r>0)相切，则r ＝________．解析消去参数t 得抛物线C 的标准方程为y 2＝8x ，其焦点为(2，0)，所以过点(2，0)且斜率为1的直线方程为x －y －2＝0，由题意得r ＝|4－2|2＝ 2.答案210．在极坐标系(ρ，θ)(0≤θ＜2π)中，曲线ρ＝2sin θ与ρcos θ＝－1交点的极坐标为________．解析 ∵ρ＝2sin θ，∴x 2＋y 2＝2y.∵ρcos θ＝－1，∴x ＝－1，∴两曲线交点的直角坐标为(－1，1)，∴交点的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，3π4.答案 ⎝⎛⎭⎪⎫2，3π4 11．已知圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α，y ＝1＋sin α(α为参数)，以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρsin θ＝1，则直线l 与圆C 交点的直角坐标为____________．解析圆C 的直角坐标方程为x 2＋(y －1)2＝1，直线l 的直角坐标方程为y ＝1.⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋（y －1）2＝1，y ＝1⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1. ∴l 与⊙C 的交点的直角坐标为(－1，1)，(1，1)．答案 (－1，1)，(1，1)12．在极坐标系(ρ，θ)(0≤θ<2π)中，曲线ρ(cos θ＋sin θ)＝1与ρ(sin θ－cos θ)＝1的交点的极坐标为________．解析曲线ρ(cos θ＋sin θ)＝1化为直角坐标方程为x ＋y ＝1，ρ(sin θ－cos θ)＝1化为直角坐标方程为y －x ＝1.联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1，y －x ＝1得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1，则交点为(0，1)，对应的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π2.答案 ⎝⎛⎭⎪⎫1，π213．以直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位．已知直线的极坐标方程为θ＝π4(ρ∈R)，它与曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2cos α，y ＝2＋2sin α(α为参数)相交于两点A 和B ，则|AB|＝________．解析极坐标方程θ＝π4(ρ∈R)对应的平面直角坐标系中方程为y ＝x ，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2cos α，y ＝2＋2sin α(α为参数)⇒(x－1)2＋(y －2)2＝4，圆心(1，2)，r ＝2.圆心到直线y ＝x 的距离d ＝|1－2|2＝22，|AB|＝2r 2－d 2＝2 4－12＝14. 答案1414．(2018·北京卷)在极坐标系中，点⎝⎛⎭⎪⎫2，π6到直线ρsin θ＝2的距离等于________．解析极坐标系中点⎝⎛⎭⎪⎫2，π6对应直角坐标系中坐标为(3，1)，极坐标系直线ρsin θ＝2对应直角坐标系中直线方程为y ＝2，∴点到直线y ＝2的距离为d ＝1. 答案 115．圆心为C ⎝⎛⎭⎪⎫3，π6，半径为3的圆的极坐标方程为________．解析如图，设圆上任一点为P(ρ，θ)，则|OP|＝ρ，∠POA ＝θ－π6，|OA|＝2×3＝6，在Rt △OAP 中，|OP|＝|OA|×cos ∠POA ， ∴ρ＝6cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π6. ∴圆的极坐标方程为ρ＝6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6.答案 ρ＝6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6B 组(供高考题型为解答题的省份使用)1．在极坐标系中，已知圆C 的圆心坐标为C ⎝⎛⎭⎪⎫2，π3，半径R ＝5，求圆C 的极坐标方程．解将圆心C ⎝⎛⎭⎪⎫2，π3化成直角坐标为(1，3)，半径R ＝5，故圆C 的方程为(x －1)2＋(y －3)2＝5.再将C 化成极坐标方程，得(ρcos θ－1)2＋(ρsin θ－3)2＝5，化简得ρ2－4ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3－1＝0.此即为所求的圆C 的极坐标方程．2．已知曲线C 的极坐标方程是ρ＝4cos θ.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝22t ＋1，y ＝22t ，求直线l 与曲线C 相交所成的弦的弦长．解曲线C 的极坐标方程是ρ＝4cos θ化为直角坐标方程为x 2＋y 2－4x ＝0，即(x －2)2＋y 2＝4.直线l 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝22t ＋1，y ＝22t ，化为普通方程为x －y －1＝0，曲线C 的圆心(2，0)到直线l 的距离为12＝22，所以直线l 与曲线C 相交所成的弦的弦长为2 4－12＝14.3．已知曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4＋cos t ，y ＝3＋sin t (t 为参数)，C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)．(1)化C 1、C 2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；(2)若C 1上的点P 对应的参数为t ＝π2，Q 为C 2上的动点，求PQ 中点M 到直线C 3：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋2t ，y ＝－2＋t (t 为参数)距解 (1)C 1：(x ＋4)2＋(y －3)2＝1，C 2：x 264＋y29＝1.C 1为圆心是(－4，3)，半径是1的圆．C 2为中心是坐标原点，焦点在x 轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆． (2)当t ＝π2时，P(－4，4)，Q(8cos θ，3sin θ)，故M ⎝⎛⎭⎪⎫－2＋4cos θ，2＋32sin θ.C 3为直线x －2y －7＝0，M 到C 3的距离 d ＝55|4cos θ－3sin θ－13|. 从而当cos θ＝45，sin θ＝－35时，d 取得最小值855.4．(2018·新课标全国Ⅰ卷)已知曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋5cos t ，y ＝5＋5sin t ，(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ. (1)把C 1的参数方程化为极坐标方程；(2)求C 1与C 2交点的极坐标(ρ≥0，0≤θ<2π)．解 (1)∵C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋5cos t ，y ＝5＋5sin t ，∴⎩⎪⎨⎪⎧5cos t ＝x －4，5sin t ＝y －5，∴(x －4)2＋(y －5)2＝25(cos 2t ＋sin 2t)＝25，即C 1的直角坐标方程为(x －4)2＋(y －5)2＝25，把x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入(x －4)2＋(y －5)2＝25，化简得：ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0. (2)C 2的直角坐标方程为x 2＋y 2＝2y ，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧（x －4）2＋（y －5）2＝25，x 2＋y 2＝2y ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2. ∴C 1与C 2交点的直角坐标为(1，1)，(0，2)．∴C 1与C 2交点的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，π4，⎝⎛⎭⎪⎫2，π2. 5．(2018·辽宁卷)在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．圆C 1，直线C 2的极坐标方程分别为ρ＝4sin θ，ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2 2. (1)求C 1与C 2交点的极坐标；(2)设P 为C 1的圆心，Q 为C 1与C 2交点连线的中点．已知直线PQ 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 3＋a ，y ＝b 2t 3＋1(t∈R 为参数)，解 (1)圆C 1的直角坐标方程为x 2＋(y －2)2＝4，直线C 2的直角坐标方程为x ＋y －4＝0.解⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋（y －2）2＝4，x ＋y －4＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0，y 1＝4，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2，y 2＝2.所以C 1与C 2交点的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫4，π2，⎝ ⎛⎭⎪⎫22，π4，注：极坐标系下点的表示不唯一．(2)由(1)可得，P 点与Q 点的直角坐标分别为(0，2)，(1，3)．故直线PQ 的直角坐标方程为x －y ＋2＝0，由参数方程可得y ＝b 2x －ab2＋1，所以⎩⎪⎨⎪⎧b2＝1，－ab 2＋1＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝2.6．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3－22t ，y ＝5＋22t(t 为参数)．在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，圆C 的方程为ρ＝25sin θ. (1)求圆C 的直角坐标方程；(2)设圆C 与直线l 交于点A ，B.若点P 的坐标为(3，5)，求|PA|＋|PB|. 解法一 (1)由ρ＝25sin θ，得x 2＋y 2－25y ＝0，即x 2＋(y －5)2＝5.(2)将l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程，得⎝ ⎛⎭⎪⎫3－22t 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫22t 2＝5，即t 2－32t ＋4＝0.由于Δ＝(32)2－4×4＝2>0，故可设t 1，t 2是上述方程的两实根，所以⎩⎨⎧t 1＋t 2＝32，t 1·t 2＝4.又直线l 过点P(3，5)，故由上式及t 的几何意义得|PA|＋|PB|＝|t 1|＋|t 2|＝t 1＋t 2＝3 2. 法二 (1)同法一．(2)因为圆C 的圆心为(0，5)，半径r ＝5，直线l 的普通方程为： y ＝－x ＋3＋ 5.由⎩⎨⎧x 2＋（y －5）2＝5，y ＝－x ＋3＋5得x 2－3x ＋2＝0.解得：⎩⎨⎧x ＝1，y ＝2＋5或⎩⎨⎧x ＝2，y ＝1＋ 5.不妨设A(1，2＋5)，B(2，1＋5)，又点P 的坐标为(3，5)．故|PA|＋|PB|＝8＋2＝3 2.。

2019高考数学(文)一轮复习课件：选修4-4 坐标系与参数方程第1讲课件

选修44
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知识点
坐标系
考纲下载 1.理解坐标系的作用． 2．了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况． 3．能在极坐标系中用极坐标表示点的位置，理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化． 4．能在极坐标系中给出简单图形的方程，通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程，理解用方程表示平面图形时选择适当坐标系的意义． 5．了解柱坐标系、球坐标系中表示空间中点的位置的方法，并与空间直角坐标系中表示点的位置的方法相比较，了解它们的区别．
π l：ρsinθ－ 4 ＝
2 . 2
(1)求圆 O 和直线 l 的直角坐标方程； (2)当 θ∈(0，π)时，求直线 l 与圆 O 公共点的一个极坐标．
【解】
(1)圆 O：ρ ＝cos θ＋sin θ，即 ρ2＝ρcos θ＋ρsin θ， 2 ，即 ρsin θ－ρcos θ＝1， 2
求经伸缩变换后曲线方程的方法平面上的曲线 y＝f(x)在变换
x′＝λx，λ>0， φ：的作用下的变 y ′ ＝ μy ， μ >0
x′ x＝ λ ， x′ y′ 换方程的求法是将代入 y＝f(x)，得＝fλ ，整理之 μ y＝y′ μ 后得到 y′＝h(x′)，即为所求变换之后的方程．
(3)直线过
π ρsinθ ＝b Mb， 2 且平行于极轴：___________________ ．
4．圆的极坐标方程若圆心为 M(ρ0，θ0)，半径为 r，则该圆的方程为：
2 ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ2 － r ＝0. 0
几个特殊位置的圆的极坐标方程： (1)当圆心位于极点，半径为 r：ρ＝r； ρ＝2acosθ (2)当圆心位于 M(a，0)，半径为 a：_____________________ ； (3)当圆心位于

复习课件：选4-4-2参数方程]

C：(y－2)2－x2＝1 交
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选修4－4
坐标系与参数方程
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( 1 ) 求|AB|的长； ( 2 ) 在以 O 为极点， x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点 P 的极坐标为距离． 3π (2 2， )，求点 P 到线段 AB 中点 M 的 4
(θ 为参数 ) 所表示的曲线为
(
) A．抛物线的一部分 B．一条抛物线 C．双曲线的一部分 D．一条双曲线
答案 A
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坐标系与参数方程
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3．若曲线 C
x＝1＋cos2θ，的参数方程为 2 y＝sin θ
(θ 为参数)，
则曲线 C 上的点的轨迹是( A．直线 x＋2y－2＝0 B．以(2,0)为端点的射线 C．圆(x－1)2＋y2＝1
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思考题1
2 x＝t －1， (1) 2 y ＝ t ＋1
将下列参数方程化成普通方程． (t 为参数)； π (θ 为参数，θ∈[ ，π])． 2
x＝cosθ， (2) y＝sinθ
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2 2
60 1 2 5 ∴t1＋t2＝－，t1t2＝－ . 7 7 10 ∴|AB|＝|t1－t2|＝ t1＋t2 －4t1t2＝ 71. 7
2
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2019年高考数学一轮复习(文理通用) 选修4-4 坐标系与参数方程第2讲

B．一条抛物线 D．一条双曲线
• [解析] y2＋x＝1，∵x∈[0,1]，y∈[－1,1]，∴是抛物线的一部分．
x＝x0＋at， 4．已知直线 y＝y0＋bt，
(t 为参数)上两点 A，B 对应的参数值是 t1，t2，则 ) B．|t1－t2|
|AB|等于导学号 58533670 ( C A．|t1＋t2| C． a ＋b |t1－t2|
π (θ 为参数且 θ∈[0，2])表示的曲线为椭圆． B．1 D．3
A．0 C．2
• [解析] (1)(4)不正确，(2)(3)正确，故选C．
x＝1＋2t 2．若直线的参数方程为 y＝2－4t
(t 为参数 ) ，则直线的斜率为
导学号 58533668 ( D ) 1 A．2 C．2 1 B．－2 D．－2
x＝acosθ， (θ 为参数) x2 y2 y＝bsinθ (2)椭圆 2＋ 2＝1(a＞b＞0)的参数方程为______________________________.
a x＝， cos θ (θ 为参数) 2 2 x y y＝btanθ (3)双曲线a2－b2＝1(a＞0， b＞0)的参数方程为பைடு நூலகம்_________________________.
2 x＝t 数方程为 y＝2
2t
(2，－4) (t 为参数 ) ，则 C1 与 C2 交点的直角坐标为 ___________.
导学号 58533671
[ 解析] 曲线 C1 的直角坐标方程为 x＋y＝－2，曲线 C2 的普通方程为 y2＝8x，
x＝2 得 y＝－4
x＋y＝－2 由 2 y ＝8x
• [解析] 消参，将x＝1＋2t两边同乘以2，与y＝2－4t相加可得，2x＋y－4＝0，则直线的斜率为－2.

【师说】人教版高考数学(文)二轮专题复习课件：选修4-4

3．参数方程 (1)直线的参数方程过定点 M(x0 ， y0) ，倾斜角为 α 的直线 l 的参数方程为 x＝x0＋tcosα， (t 为参数)． y＝y0＋tsinα (2)圆、椭圆的参数方程 ① 圆心在点 M(x0 ， y0) ，半径为 r 的圆的参数方程为 x＝x0＋rcosθ， (θ 为参数，0≤θ≤2π)． y＝y0＋rsinθ
解：(1)将 y＝ρsinθ，x＝ρcosθ 代入 ρsinθ－4ρcosθ＋2＝0，整理得直线 l 的直角坐标方程为 4x－y－2＝0； x＝t 由 2 (t∈R)消去参数 t 得曲线 C 的普通方程 y＝4t 为 y＝4x2. (2)由题意知|AB|的最小值就是曲线 C 上任意一点 B 到直线 l 的距离 d 的最小值， 12 4x－＋1 2 2 2 |4 x － 4 x － 2| |4 x － 4 x ＋ 2| 2 设 B(x,4x )，则 d＝＝＝， 2 17 17 4 ＋1 1 17 17 当 x＝2时，dmin＝ 17 ，故|AB|的最小值为 17 .
ρ ＝x ＋y ， y tanθ＝xx≠0.
222源自2．直线、圆的极坐标方程 (1)直线的极坐标方程若直线过点 M(ρ0，θ0)，且极轴到此直线的角为 α，则它的方程为： ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)．几个特殊位置直线的极坐标方程 ①直线过极点：θ＝α；②直线过点 M(a,0)且垂直于极轴：ρcosθ＝ π a；③直线过点 Mb，2且平行于极轴：ρsinθ＝b. (2)几个特殊位置圆的极坐标方程 ①圆心位于极点，半径为 r：ρ＝r；②圆心位于 M(r,0)，半径为 r： π ρ＝2rcosθ；③圆心位于 Mr，2，半径为 r：ρ＝2rsinθ.

2019版高考数学二轮复习课件+训练：第一部分第二层级重点增分专题十四坐标系与参数方程讲义理(选修4-4)

tan α·x＋2－tan α，当 cos α＝0 时，l 的直角坐标方程为 x＝1. (2)将 l 的参数方程代入 C 的直角坐标方程，整理得关于 t 的方程(1＋3cos2α)t2＋
4(2cos α＋sin α)t－8＝0.① 因为曲线 C 截直线 l 所得线段的中点(1,2)在 C 内，所以①有两个解，设为 t1，t2，则 t1＋t2＝0.
[解题方略] 极径的几何意义及其应用
(1)几何意义：极径 ρ 表示极坐标平面内点 M 到极点 O 的距离．
(2)应用：一般应用于过极点的直线与曲线相交，所得的弦长问题，需要用极径表示出
弦长，结合根与系数的关系解题．
[多练强化]
1．(2019 届高三·湖北八校联考)在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的参数方程为 Error!(α 为参数)，以原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2 的极坐标
为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
(1)求圆 C 的极坐标方程；
( )π
π
(2)直线 l 的极坐标方程是 2ρsin θ＋＝3 3，射线 OM：θ＝与圆 C 的交点为 O，P，
3
3
与直线 l 的交点为 Q，求线段 PQ 的长．
[解] (1)由圆 C 的参数方程为Error!(φ 为参数)，
(2)全国课标卷对此部分内容的考查以解答题形式出现，难度中等，备考此部分内容时
应注意转化思想的应用．
考点一极坐标保分考点·练后讲评
1.[极坐标方程化直角坐标方程](2018·全国卷Ⅰ)在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的方程为 y＝k|x|＋2.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2 的极坐标方程为 ρ2＋2ρcos θ－3＝0.

第二讲坐标系与参数方程(选修4-4)

π (3)直线过Mb，2且平行于极轴：ρsinθ＝b.
2．圆的极坐标方程若圆心为M(ρ0，θ0)，半径为r的圆方程为：
2 ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ2 0－r ＝0.
几个特殊位置的圆的极坐标方程 (1)当圆心位于极点，半径为r：ρ＝r； (2)当圆心位于M(r,0)，半径为r：ρ＝2rcosθ；
【标准解答】
(1)设(x1，y1)为圆上的点，在已知变换
x＝x1 下变为C上点(x，y)，依题意，得 y＝2y1
2 y y 2 2 2 2 由x 1 ＋y 2 1 ＝1得x ＋( ) ＝1，即曲线C的方程为x ＋＝ 2 4
1.
x＝cost 故C的参数方程为 y＝2sint
π π 3 3 故D的直角坐标为(1＋cos3，sin3)，即(2， 2 )．
类题通法
对于同时含有极坐标方程和参数方程的题可考虑同时化为普通方程再求解.
x＝－2t－1， 5．已知直线l： y＝t－1
(t为参数)与曲线C：ρ＝ )
π 4 2sin(θ＋ )，则直线l和曲线C的位置关系为( 4 A．相交 C．相离 B．相切 D．相交或相切
ห้องสมุดไป่ตู้例3】
(2014· 新课标卷Ⅱ)在直角坐标系xOy中，以
坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C π 的极坐标方程为ρ＝2cosθ，θ∈[0， ]． 2 (1)求C的参数方程； (2)设点D在C上，C在D处的切线与直线l：y＝ 3 x＋2
垂直，根据(1)中你得到的参数方程，确定D的坐标．
解：将曲线C1的参数方程化为普通方程，曲线C2的极坐标方程化为参数方程后求解． (1)由曲线C1的参数方程可得曲线C1的普通方程为y＝ x2(x≠0)，由曲线C2的极坐标方程可得曲线C2的直角坐标方程为x＋y－1＝0，则曲线C2的参数方程为 x＝－1－ 2t， 2 2 y＝2＋ 2 t 得t2＋ 2t－2＝0，

坐标系与参数方程复习课件(北师大版选修4-4)

y=sinθ
3
则x+y= 3 cosθ+sinθ=2sin(θ+ ) 3 当 . ，x+y取得最大值2。
6

练习：
x t 3 1.在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为 y 3 t (参数t∈R)，圆C的参数方程为 x 2cos (参数θ ∈ y 2sin 2 ［0,2π )),则圆C的圆心到直线l的距离为_____. 2 2 2.已知圆C的参数方程为 x cos (α 为参数)，以原点 y 1 sin
则θ =_____. 【解析】直线为y=xtanθ，圆为(x-4)2+y2=4,作出图形, 相切时，易知倾斜角为或 5 .
6 6
2 0
A(4,0)
x2 【例3】.已知点P为椭圆 y 2 1 在第一象限部分上的点， 3
则x+y的最大值等于_____.
x= 3 cosθ
2 解析:设椭圆 x y 2 1在第一象限部分上的点P
为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρ sinθ =1,则直线l与圆C的交点的直角坐标为
(-1，1)，(1，1) ______________________.
• • • • •
1.极坐标的定义及ρ、θ的含义。 2.能写出、认出简单图像的极坐标方程。 3.极坐标与直角坐标的互化（重点是极化直）。 4.参数方程的定义。 5.能写出、认出简单图像的参数方程，及参数的几何意义。 • 6.参数方程化普通方程。
坐标方程是_____. 【审题指导】先求圆的直角坐标方程，再化为极坐标方程. 【自主解答】直线l：ρcosθ-2=0的普通方程为x=2, M(2,0),以OM为直径的圆的普通方程是(x-1)2+y2=1,即 x2+y2=2x，化为极坐标方程为ρ=2cosθ.

2019版高考数学文科二轮专题复习课件：第二部分 坐标系与参数方程(选修4-4)(共36张PPT)

2019高考数学(文)精讲二轮 专题八 选修4系列选讲 第一讲 选修4-4 坐标系与参数方程