【全程复习方略】2013-2014学年高中数学 1.6三角函数模型的简单应用课时提升卷新人教A版必修4

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高中数学 1.6 三角函数模型的简单应用(1)

福建省泉州市唯思教育高中数学 1.6 三角函数模型的简单应用学案新人教A 版必修4【学习目标】：1.会用三角函数的图象与性质解决一些简单的实际问题，体会三角函数是描述周期现象的重要模型.2.培育学生的逻辑思维能力和运算能力.【重点难点】：成立三角函数的模型一、预习指导一、三角函数能够作为描述现实世界中____________________________现象的一种数学模型.二、利用三角函数解决实际问题的一样步骤：(1)审题，获取有效信息；(2)构建三角函数模型 (即列出三角函数关系式)；(3)求解三角函数关系式，得出结论；(4)给出实际问题的解答。

二、典例分析例一、画出函数1sin +=x y 的图象并写出函数的周期及单调区间。

例二、如下图，o 点为做简谐运动的物体的平稳位置，取向右的方向为物体位移的正方向，假设已知振幅为3cm ，.周期为3s ，且物体向右运动到距平稳位置最远处时开始计时.(1)求物体对平稳位置的位移()x cm 和时刻()t s 之间的函数关系；(2)求该物体在5t s =时的位置。

例3、如图，单摆从某点给一个作使劲后开始来回摆动，离开平稳位置o 的距离()s cm 和时刻()t s 的函数关系为)62sin(6ππ+=s .(1)单摆摆动5s 时，离开平稳位置多少cm ?(2)单摆摆动时，从最右边到最左侧的距离为多少cm ? S o(3)单摆来回摆动 10次所需的时刻为多少s ?三、课堂练习：一、点O 为做简谐运动的物体的平稳位置，取向右的方向为物体位移的正方向. 假设已知振幅为5cm ，周期为4s ，且物体向右运动到平稳位置时开始计时.(1 )求物体对平稳位置的位移x(cm)和时刻t(s)之间的函数关系；( 2 )求该物体在 7.5t s =时的位置. 二、一个悬挂在弹簧上的小球，被从它的静止位置向下拉0.2m 的距离，然后停止，若是此小球在0t =被放开并许诺振动，在1t s =时又第一次回到开始振动的位置，(1)求出此小球运动的一个函数关系式； (2)求当 6.5t s =时小球所在的位置?四、拓展延伸：函数)0(sin >=ωωx y 在区间[]1,0上至少显现50个最大值，试求实数ω的最小值。

人教版高中数学必修4第一章三角函数-《1.6三角函数模型的简单应用》教案(1)

小结：观察几何特征，转化为相应的数量关系.
在一个周
｜的图象，指出它的奇偶性、周期和单调区间.
小结：数形结合思想研究函数性质.
3. 小结：三角函数应用模型的三种模式：一是给定呈周期变化规律的三角函数模型，根据所给模型，结合三角函数的性质，解决一些实际问题；而是给定呈周期变化的图象，利用待定系数法求出函数模型，再解决其他问题；三是搜集一个实际问题的调查数据，根据数据作出散点图，通过拟合函数图象，求出可以近似表示变化规律的函数模型，进一步用函数模型来解决问题.
三、巩固练习：
作业：读《数学周报》第43期第2版文章《三角函数模型应用举例》。

高中数学必修四第一章三角函数1.6三角函数模型的简单应用

阅读材料时要读懂题目所反映的实际问题的背景,领悟其中的数学本质,在此基础上分析出已知什么、求什么,从中提炼出相应的数学问题.
(2)搜集整理数据,建立数学模型. 根据搜集到的数据,找出变化规律,并运用已经掌握的三角知识、物理知识及其他相关知识建立关系式,将实际问题转化为一个三角函数问题,实现问题的数学化,即建立三角函数模型.其中要充分利用数形结合的思想以及图形语言和符号语言并用的思维方式.
综上可得 y=2sin
4��
+
π 6
+ 2.
答案:y=2sin
4��
+
π 6
+2
12
2.三角函数模型的应用 (1)三角函数作为描述现实世界中周期现象的一种数学模型,可以用来研究很多问题,在刻画周期变化的规律、预测其未来等方面都发挥着重要作用.实际问题通常涉及复杂的数据,因此往往需要用到计算器或计算机. (2)实际问题的背景往往比较复杂,而且需要综合应用多门学科的知识才能完成,因此在应用数学知识解决实际问题时,不仅要注意从复杂的实际背景中抽取基本的数学关系,而且还要调动相关学科知识来解决问题.
(3)讨论变量关系. 根据上一步中建立起来的变量关系,结合题目的要求,与已知数学模型的性质对照,转化为讨论y=Asin(ωx+φ)+b的性质,从而得到所求问题的理论参考值. (4)作出结论. 根据上一步得出的理论参考数值按题目要求作出相应的结论.
典型例题
题型一题型二题型三
题型一
在生活中的应用
.
函数 y=40sin
π 5
��-
π 2
+ 40.5 即为所求函数解析式.
(1)图象的画法:“五点法”和变换法.

【高中数学必修四】1.6三角函数模型的简单应用

注意: 一般地，所求出的
的图象.
1 2 2
14 6

8
函数模型只能近似地刻画将x 6, y 10代入上式，解得 3
这天某个时段的温度变化
4
情况，因此要特别注意自综上，所求解析式为
变量的变化范围。
y=10sin

8
x

3
4

20,
x 6,14
1.6 三角函数模型的简单应用
函数模型的应用示例
• 正弦型函数
y Asin( x ) ( A 0, 0)
• 1、物理情景—— • ①简谐振动 • ②星体的环绕运动 • 2、地理情景—— • ①气温变化规律 • ②月圆与月缺 • 3、心理、生理现象—— • ①情绪的波动 • ②智力变化状况 • ③体力变化状况 • 4、日常生活现象—— • ①涨潮与退潮 • ②股票变化
时刻 0:00 3:00 6:00 9:00 12:00 15:00 18:00 21:00 24:00
水深（米）
5.0
7.5
5.0 2.5
5.0
7.5
5.0
2.5
5.0
（3）若某船的吃水深度为4米，安全间隙2.25 米，该船在2：00开始卸货，吃水深度以每小时 0.3米的速度减少，那么该船在什么时候必须停止卸货，将船驶向较深的水域?
作出相应的散点图
进行函数拟合得出函数模型
利用函数模型解决实际问题
水深（米）
5.0
7.5
5.0 2.5
5.0
7.5
5.0
2.5
5.0
（1）选用一个函数来近似描述这个港口的水深与时间的函数关系，并求出解析式

三角函数模型的应用-高中数学知识点讲解

三角函数模型的应用
1．三角函数模型的应用
【知识点的知识】
1．三角函数模型的简单应用：1）在生活中的应用；2）；在建筑学中的应用；3）在航海中的应用；4）在物理学中的应用．
2．解三角函数应用题的一般步骤：
（1）阅读理解材料：将文字语言转化为符号语言；
（2）建立变量关系：抽象成数学问题，建立变量关系；
（3）讨论变量性质：根据函数性质讨论变量性质；
（4）作出结论．
【解题方法点拨】
1、方法与技巧：
（1）在生产生活中，常常有一些与角有关的最值问题，需要确定以角作为变量的三角函数来解决．
（2）理清题意，分清题目中已知和所求，准确解读题目中的术语和有关名词．
（3）要能根据题意，画出符合题意的图形．
（4）对计算结果，可根据实际情况进行处理．
2、注意：
（1）建立三角函数关系式关键是选择适当的角作为变量．
（2）解决应用问题要注重检验．
（3）选择变量后，要根据题中的条件，确定角的范围．
1/ 1。

高中数学学案三角函数模型的简单应用

1.6 三角函数模型的简单应用考试标准课标要点学考要求高考要求三角函数模型的实际应用 c c知识导图学法指导1.应用三角函数模型解决问题,首先要把实际问题抽象为数学问题,通过分析它的变化趋势,确定它的周期,从而建立适当的三角函数模型．2．在建立三角函数模型时,要注意从数据的周而复始的特点以及数据的变化趋势这两个方面来考虑.1.三角函数模型应用的步骤三角函数模型应用即建模问题,根据题意建立三角函数模型,再求出相应的三角函数在某点处的函数值,进而使实际问题得到解决．步骤可记为：审读题意→建立三角函数式→根据题意求出某点的三角函数值→解决实际问题．这里的关键是建立数学模型,一般先根据题意设出代表函数,再利用数据求出待定系数,然后写出具体的三角函数解析式．2．三角函数模型的拟合应用我们可以利用搜集到的数据,做出相应的“散点图”,通过观察散点图并进行数据拟合,从而获得具体的函数模型,最后利用这个函数模型来解决相应的实际问题．状元随笔解答三角函数应用题应注意四点(1)三角函数应用题的语言形式多为“文字语言、图形语言、符号语言”并用,阅读理解中要读懂题目所要反映的实际问题的背景,领悟其中的数学本质,列出等量或不等量的关系．(2)在建立变量关系这一关键步骤上,要充分运用数形结合的思想、图形语言和符号语言并用的思维方式来打开思想解决问题．(3)实际问题的背景往往比较复杂,而且需要综合应用多门学科的知识才能完成,因此,在应用数学知识解决实际问题时,应当注意从复杂的背景中抽取基本的数学关系,还要调动相关学科知识来帮助解决问题．(4)实际问题通常涉及复杂的数据,因此往往需要用到计算机或计算器．4．如图是一向右传播的绳波在某一时刻绳子各点的位置图,经过12周期后,乙的位置将传播至( )A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁解析：相邻的最大值与最小值之间间隔区间长度为半个周期,故选C. 答案：C类型一三角函数在物理中的应用例1 已知弹簧上挂着的小球做上下振动,它离开平衡位置(静止时的位置)的距离h(cm)与时间t(s)的函数关系式为：h ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2t ＋π4. (1)求小球开始振动的位置；(2)求小球第一次上升到最高点和下降到最低点的时间； (3)经过多长时间小球往返振动一次？ (4)每秒内小球能往返振动多少次？【解析】 (1)令t ＝0,得h ＝3sin π4＝322,所以开始振动的位置为平衡位置上方距离平衡位置322 cm处．(2)由题意知,当h ＝3时,t 的最小值为π8,即小球第一次上升到最高点的时间为π8 s.当h ＝－3时,t 的最小值为5π8,即小球第一次下降到最低点的时间为5π8s. (3)T ＝2π2＝π,即经过约π s 小球往返振动一次．(4)f ＝1T ＝1π,即每秒内小球往返振动1π次.令t ＝0解(1)→令h ＝±3解(2)→问题(3)即求周期T→问题(4)即求频率f (T 的倒数) 方法归纳处理物理学问题的策略(1)常涉及的物理学问题有单摆、光波、电流、机械波等,其共同的特点是具有周期性．(2)明确物理概念的意义,此类问题往往涉及诸如频率、振幅等概念,因此要熟知其意义并与对应的三角函数知识结合解题．跟踪训练1 已知弹簧上挂着的小球做上下振动时,小球离开平衡位置的位移s(cm)随时间t(s)的变化规律为s ＝4sin ⎝⎛⎭⎪⎫2t ＋π3,t∈[0,＋∞)．用“五点法”做出这个函数的简图,并回答下列问题： (1)小球在开始振动(t ＝0)时的位移是多少？(2)小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是多少？ (3)经过多长时间小球往复振动一次？解析：列表如下,t －π6π12 π3 7π12 5π6 2t ＋π30 π2 π 3π2 2π sin ⎝⎛⎭⎪⎫2t ＋π3 0 1 0 －1 0 s4－4描点、连线,图象如图所示．(1)将t ＝0代入s ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2t ＋π3,得s ＝4sin π3＝23,所以小球开始振动时的位移是2 3 cm. (2)小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是4 cm 和－4 cm. (3)因为振动的周期是π,所以小球往复振动一次所用的时间是πs.解决此类问题的关键在于明确各个参数的物理意义,易出现的问题是混淆彼此之间的对应关系．类型二三角函数在实际生活中的应用例2 已知某海滨浴场的海浪高度是时间t(h)的函数,记作y ＝f(t)．下表是某日各时的浪高数据.t(h) 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y(m)1.51.00.51.01.51.00.50.991.5经长期观测,y ＝f(t)的曲线可近似地看成是函数y ＝Acos ωt＋b.(1)根据以上数据,求出函数y ＝Acos ωt＋b 的最小正周期T 、振幅A 及函数表达式；(2)依据规定,当海浪高度高于1米时才对冲浪爱好者开放,请依据(1)的结论,判断一天内的上午8时到晚上20时之间,有多长时间可供冲浪者进行运动？【解析】 (1)依题意,得T ＝12,A ＝y max －y min2＝0.5,b ＝y max ＋y min 2＝1,所以ω＝2π12＝π6,故y ＝12cos π6t ＋1.(2)令y ＝12cos π6t ＋1>1,则2kπ－π2<π6t<2kπ＋π2(k∈Z),所以12k －3<t<12k ＋3(k∈Z),又因为8<t<20,所以令k ＝1,可得9<t<15, 所以从9点到15点适合对冲浪爱好者开放,一共有6个小时.根据已知数据,借助散点图草图,确定解析式,利用三角不等式求范围,确定时间．方法归纳解三角函数应用问题的基本步骤跟踪训练2 如图,游乐场中的摩天轮匀速旋转,每转一圈需要12分钟,其中心O 距离地面40.5米,半径40米．如果你从最低处登上摩天轮,那么你与地面的距离将随时间的变化而变化,以你登上摩天轮的时刻开始计时．请解答下列问题：(1)求出你与地面的距离y 与时间t 的函数关系式； (2)当你第四次距离地面60.5米时,用了多少时间？解析：(1)由已知可设y ＝40.5－40cos ωt(t≥0),由已知周期为12分钟,可知ω＝2π12,即ω＝π6.所以y ＝40.5－40cos π6t(t≥0)．(2)令y ＝40.5－40cos π6t ＝60.5,得cos π6t ＝－12,所以π6t ＝23π或π6t ＝43π,解得t ＝4或t ＝8,故第四次距离地面60.5米时,用时为12＋8＝20(分钟)．(1)由已知可得解析式． (2)利用y ＝60.5解t. 类型三根据数据拟合函数例3 某港口水深y(米)是时间t(0≤t≤24,单位：小时)的函数,记作y ＝f(t),下面是某日水深的数据.t/小时 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y/米10.013.09.97.010.013.09.97.010.0经长期观察,y ＝f(t)的曲线可近似地看成是函数y ＝Asin ωt＋b 的图象． (1)试根据以上数据,求出函数y ＝f(t)的近似解析式；(2)一般情况下,船舶航行时,船底高出海底的距离为5米或5米以上时认为是安全的(船舶停靠时,船底只需不碰海底即可)．某船吃水深度(船底离水面的距离)为6.5米,如果该船希望在同一天内安全进出港,那么它至多能在港内停留多长时间(忽略进出港所需的时间)?【解析】 (1)由已知数据,描出曲线如图：易知函数y ＝f(t)的周期T ＝12,振幅A ＝3,b ＝10, ∴ω＝2πT ＝π6,∴y＝3sin π6t ＋10.(0≤t≤24)(2)由题意,该船进出港时,水深应不小于5＋6.5＝11.5米, 由y≥11.5,得3sin π6t ＋10≥11.5,∴sin π6t≥12.①∵0≤t≤24,∴0≤π6t≤4π.②由①②得π6≤π6t≤5π6或13π6≤π6t≤17π6.化简得1≤t≤5或13≤t≤17.∴该船最早能在凌晨1时进港,下午17时出港,在港内最多可停留16小时. 由表格画出曲线图,由图可求A,b,由周期T 可求ω,即求y ＝Asinωt＋b. 方法归纳在处理曲线拟合和预测的问题时,通常需以下几个步骤 (1)根据原始数据,绘出散点图；(2)通过散点图,做出“最贴近”的直线或曲线,即拟合直线或拟合曲线； (3)根据所学函数知识,求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式；(4)利用函数关系式,根据条件对所给问题进行预测和控制,以便为决策和管理提供依据．跟踪训练3 已知某海滨浴场的海浪高度y(米)是时间t(时)的函数,其中0≤t≤24,记y ＝f(t),下表是某日各时的浪高数据：t 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y1.51.00.51.01.51.00.50.991.5经长期观测,y ＝f(x)的图象可近似地看成是函数y ＝Acos ωt＋b 的图象． (1)根据以上数据,求其最小正周期、振幅及函数解析式；(2)根据规定,当海浪高度大于1米时才对冲浪爱好者开放,请依据(1)的结论,判断一天内的8：00到20：00之间,有多少时间可供冲浪者进行活动？解析：(1)由表中数据可知,T ＝12,所以ω＝π6.又t ＝0时,y ＝1.5,所以A ＋b ＝1.5；t ＝3时,y ＝1.0,得b ＝1.0,所以振幅A 为12,函数解析式为y ＝12cos π6t ＋1(0≤t≤24)．(2)因为y>1时,才对冲浪爱好者开放,所以y ＝12cos π6t ＋1>1,cos π6t>0,2kπ－π2<π6t<2kπ＋π2(k∈Z),即12k －3<t<12k ＋3(k∈Z)．又0≤t≤24.所以0≤t<3或9<t<15或21<t≤24,所以在规定时间内只有6个小时可供冲浪爱好者进行活动,即9<t<15.根据表格,确立y ＝A cosωt＋b 的模型,求出A,T,b,推出ω,利用t ＝0时,y 为1.5,t ＝3,y ＝1.0,求出b,即可求出拟合模型的解析式．1.6[基础巩固](25分钟,60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1．电流I(A)随时间t(s)变化的关系是I ＝3sin 100πt ,t∈[0,＋∞),则电流I 变化的周期是( )A.150B ．50 C.1100D ．100 解析：T ＝2π100π＝150.答案：A2．如图,某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x ＋φ＋k.据此函数可知,这段时间水深(单位：m)的最大值为( )A ．5B ．6C ．8D ．10解析：由图可知－3＋k ＝2,则k ＝5,∴y＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x ＋φ＋5,∴y max ＝3＋5＝8.答案：C3．某市某房地产中介对某楼群在今年的房价作了统计与预测,发现每个季度的平均单价y(每平方米的价格,单位：元)与第x 季度之间近似满足y ＝500sin(ωx＋φ)＋9 500(ω>0),已知第1季度和第2季度的平均单价如下表所示.x 1 2 y10 0009 500则此楼群在第3季度的平均单价大约是( ) A ．10 000元 B ．9 500元 C ．9 000元 D ．8 500元解析：因为y ＝500sin(ωx＋φ)＋9 500(ω>0),所以当x ＝1时,500sin(ω＋φ)＋9 500＝10 000；当x ＝2时,500sin(2ω＋φ)＋9 500＝9 500,即⎩⎪⎨⎪⎧sin (2ω＋φ)＝0，sin (ω＋φ)＝1，所以⎩⎪⎨⎪⎧2ω＋φ＝mπ，m∈Z，ω＋φ＝π2＋2nπ，n∈Z.易得3ω＋φ＝－π2＋2kπ,k∈Z.又当x ＝3时,y ＝500sin(3ω＋φ)＋9 500,所以y ＝9 000. 答案：C4．如图,单摆离开平衡位置O 的位移s(单位：cm)和时间t(单位：s)的函数关系为s ＝6sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2πt＋π6,则单摆在摆动时,从最右边到最左边的时间为( )A ．2 sB ．1 s C.12 s D.14s 解析：由题意,知周期T ＝2π2π＝1(s),从最右边到最左边的时间是半个周期,为12 s.答案：C5．据市场调查,某种商品一年内每件出厂价在7千元的基础上,按月呈f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋b ⎝⎛⎭⎪⎫A>0，ω>0，|φ|<π2的模型波动(x 为月份),已知3月份达到最高价9千元,7月份价格最低为5千元,根据以上条件可确定f(x)的解析式为( )A ．f(x)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x －π4＋7(1≤x≤12,x∈N *)B ．f(x)＝9sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x －π4(1≤x≤12,x∈N *)C ．f(x)＝22sin π4x ＋7(1≤x≤12,x∈N *)D ．f(x)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x ＋π4＋7(1≤x≤12,x∈N *)解析：令x ＝3可排除D,令x ＝7可排除B,由A ＝9－52＝2可排除C ；或由题意,可得A ＝9－52＝2,b ＝7,周期T ＝2πω＝2×(7－3)＝8,∴ω＝π4.∴f(x)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x ＋φ＋7.∵当x ＝3时,y ＝9, ∴2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋φ＋7＝9, 即sin ⎝⎛⎭⎪⎫3π4＋φ＝1.∵|φ|<π2,∴φ＝－π4.∴f(x)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x －π4＋7(1≤x≤12,x∈N *)．答案：A二、填空题(每小题5分,共15分)6．设某人的血压满足函数式p(t)＝115＋25sin(160πt),其中p(t)的血压(mmHg),t 为时间(min),则此人每分钟心跳的次数是________．解析：T ＝2π160π＝180(分),f ＝1T ＝80(次/分)．答案：807．有一小球从某点开始来回摆动,离开平衡位置的距离s(单位：cm)关于时间t(单位：s)的函数解析式是s ＝Asin(ωt＋φ),0<φ<π2,函数图象如图所示,则φ＝________.解析：根据图象,知⎝ ⎛⎭⎪⎫16，0,⎝ ⎛⎭⎪⎫1112，0两点的距离刚好是34个周期,所以34T ＝1112－16＝34. 所以T ＝1,则ω＝2πT ＝2π.因为当t ＝16时,函数取得最大值,所以2π×16＋φ＝π2＋2kπ,k∈Z ,又0<φ<π2,所以φ＝π6.答案：π68．某城市一年中12个月的月平均气温y 与月份x 的关系可近似地用函数y ＝a ＋Acos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6(x －6)(x ＝1,2,3,…,12)来表示．已知6月份的月平均气温最高,为28 °C,12月份的月平均气温最低,为18 °C ,则10月份的月平均气温为________ °C.解析：根据题意得28＝a ＋A,18＝a ＋Acos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6(12－6)＝a －A,解得a ＝23,A ＝5,所以函数y ＝23＋5cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6(x －6),令x ＝10,得y ＝23＋5cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6(10－6)＝23＋5cos 2π3＝20.5.答案：20.5三、解答题(每小题10分,共20分)9．弹簧振子以O 为平衡位置,在B,C 两点间做简谐运动,B,C 相距20 cm,某时刻振子处在B 点,经0.5 s振子首次到达C 点,求：(1)振动的振幅、周期和频率；(2)弹簧振子在5 s 内通过的路程及位移．解析：(1)设振幅为A,则2A ＝20 cm, 所以A ＝10 cm.设周期为T,则T2＝0.5 s,所以T ＝1 s,所以f ＝1 Hz.(2)振子在1 s 内通过的距离为4A,故在5 s 内通过的路程s ＝5×4A＝20A ＝20×10＝200(cm)． 5 s 末物体处在B 点,所以它的位移为0 cm.10．交流电的电压E(单位：V)与时间t(单位：s)的关系可用E ＝2203sin (100πt＋π6)来表示,求：(1)开始时电压；(2)电压值重复出现一次的时间间隔； (3)电压的最大值和第一次获得最大值的时间．解析：(1)当t ＝0时,E ＝1103(V), 即开始时的电压为1103V.(2)T ＝2π100π＝150(s),即时间间隔为0.02 s.(3)电压的最大值为2203V,当100πt＋π6＝π2,即t ＝1300 s 时第一次取得最大值．[能力提升](20分钟,40分)11．为了研究钟表与三角函数的关系,建立如图所示的坐标系,设秒针位置为P(x,y)．若初始位置为P 0⎝⎛⎭⎪⎫32，12,当秒针从P 0(注：此时t ＝0)开始走时,点P 的纵坐标y 与时间t 的函数解析式可以是( ) A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫π30t ＋π6 B ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π60t －π6C ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π30t ＋π6D ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π30t －π3 解析：由题意知,函数的周期为T ＝60,∴|ω|＝2π60＝π30.设函数解析式为y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫±π30t ＋φ. ∵初始位置为P 0⎝⎛⎭⎪⎫32，12,∴t＝0时,y ＝12,∴sinφ＝12,∴φ可取π6,∴函数解析式可以是y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫±π30t ＋π6.又由秒针顺时针转动可知,y 的值从t ＝0开始要先逐渐减小,故y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π30t ＋π6,故选C.答案：C12．一半径为6米的水轮如图,水轮圆心O 距离水面3米,已知水轮每分钟转动4圈,水轮上点P 从水中浮现时开始到其第一次达到最高点的用时为________秒．解析：过O 作水平面的垂线,垂足为Q,如图所示由已知可得OQ ＝3,OP ＝6, 则cos∠POQ＝12,即∠POQ＝60°,则水轮上点P 从水中浮现时开始到其第一次达到最高点要旋转120°,即13个周期,又由水轮每分钟转动4圈,可知周期是15秒,故水轮上点P 从水中浮现时开始到第一次达到最高点的用时为5秒．答案：513．心脏跳动时,血压在增加或减少,血压的最大值、最小值分别称为收缩压、舒张压,血压计上的读数就是收缩压、舒张压,读数120/80 mmHg 为标准值,设某人的血压满足方程式P(t)＝115＋25sin(160πt),其中P(t)为血压(mmHg),t 为时间(min),试回答下列问题：(1)求函数P(t)的周期； (2)求此人每分钟心跳的次数； (3)画出函数P(t)的草图；(4)求出此人的血压在血压计上的读数,并与标准值进行比较．解析：(1)由于ω＝160π代入周期公式T ＝2πω,可得T ＝2π160π＝180(min),所以函数P(t)的周期为180min.(2)函数P(t)的频率f ＝1T ＝80(次/分),即此人每分钟心跳的次数为80.(3)列表：t/min 0 1320 1160 3320 180 P(t)/mmHg11514011590115描点、连线并左右扩展得到函数P(t)的简图如图所示．(4)此人的收缩压为115＋25＝140(mmHg),舒张压为115－25＝90(mmHg),与标准值120/80 mmHg 相比较,此人血压偏高．14．某帆板集训队在一海滨区域进行集训,该海滨区域的海浪高度y(米)随着时间t(0≤t≤24,单位：时)呈周期性变化,每天t 时刻的浪高数据的平均值如下表：t(时) 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y(米)1.01.41.00.61.01.40.90.51.0(1)作散点图；(2)从y ＝at ＋b,y ＝Asin(ωt＋φ)＋b ；y ＝Atan(ωt＋φ)中选一个合适的函数模型,并求出该模型的解析式；(3)如果确定在一天内的7时到19时之间,当浪高不低于0.8米时才进行训练,试安排恰当的训练时间．解析：(1)散点图如图所示,(2)由(1)知,选择y ＝Asin(ωt＋φ)＋b 较合适．令A>0,ω>0,|φ|<π.由图知,A ＝0.4,b ＝1,T ＝12,所以ω＝2πT ＝π6.把t ＝0,y ＝1代入y ＝0.4sin ⎝⎛⎭⎪⎫π6t ＋φ＋1,得φ＝0.。

高中数学第一章三角函数 1.6 三角函数模型的简单应用(1)练习(含解析)新人教A版必修4(2

高中数学第一章三角函数1.6 三角函数模型的简单应用（1）练习（含解析）新人教A版必修4编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学第一章三角函数1.6 三角函数模型的简单应用（1）练习（含解析）新人教A版必修4）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。

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1.6 三角函数模型的简单应用（一）一、选择题：1。

如图所示的是一质点做简谐运动的图象，则下列结论正确的是（)A．该质点的运动周期为0。

7 sB．该质点的振幅为5 cmC．该质点在0.1 s和0.5 s时运动速度最大D．该质点在0。

3 s和0.7 s时运动速度为零【答案】B【解析】由题图可知,该质点的振幅为5 cm。

故选B.2．与图中曲线对应的函数解析式是（)A．y＝|sin x｜B．y＝sin |x|C．y＝－sin ｜x｜D．y＝－｜sin x｜【答案】C【解析】注意题图所对的函数值正负，因此可排除选项A，D．当x∈（0，π）时，sin |x|>0,而图中显然是小于零，因此排除选项B，故选C．3. (2016·烟台高一检测）车流量被定义为单位时间内通过十字路口的车辆数,单位为辆/分,上班高峰期某十字路口的车流量由函数F(t)＝50＋4sin错误!（0≤t≤20)给出，F（t）的单位是辆/分,t的单位是分,则下列哪个时间段内车流量是增加的( ）A．［0，5] B．［5，10］C．[10，15] D．[15，20]【答案】C【解析】当10≤t≤15时，有错误!π〈5≤错误!≤错误!〈错误!π，此时F（t）＝50＋4sin 错误!是增函数，即车流量在增加．故应选C．4．(2016·杭州二中期末）一种波的波形为函数y＝－sin π2x的图象，若其在区间［0,t]上至少有2个波峰（图象的最高点），则正整数t的最小值是( ）A．5 B．6C．7 D．8【答案】C【解析】函数y＝－sin错误!x的周期T＝4且x＝3时y＝1取得最大值，因此t≥7。

导学案2：1.6 三角函数模型的简单应用

必修四第一章三角函数1.6三角函数模型的简单应用使用说明：“自主学习”15分钟，发现问题，小组讨论，展示个人成果，教师对重点概念点评．“合作探究”10分钟，小组讨论，互督互评，展示个人成果，教师对重点讲评．“巩固练习”5分钟，组长负责，组内点评．“个人总结”5分钟，根据组内讨论情况，指出对规律，方法理解不到位的问题．“能力展示”5分钟，教师作出总结性点评．通过本节学习应达到如下目标：1．三角函数日常生活、建筑学中的应用2．发展运用数学语言的能力，感受集合语言的意义和作用，学习从数学的角度认识世界．3．通过合作学习培养合作精神．学习重点：三角函数日常生活、建筑学中的应用学习难点：三角函数日常生活、建筑学中的应用学习过程1.掌握三角函数模型应用基本步骤:(1)根据图象建立解析式;(2)根据解析式作出图象;(3)将实际问题抽象为与三角函数有关的简单函数模型.2.利用收集到的数据作出散点图，并根据散点图进行函数拟合，从而得到函数模型.二.合作探讨如何理解五点法作图及根据函数的图象解题巩固练习1.给出四个命题：(1)若sin2A =sin2B ，则△ABC 为等腰三角形；(2)若sin A =cos B ，则△ABC 为直角三角形；(3)若sin 2A +sin 2B +sin 2C ＜2，则△ABC 为钝角三角形；(4)若cos(A －B )cos(B －C )cos(C －A )=1，则△ABC 为正三角形.以上正确命题的个数是( )A.1B.2C.3D.42.在△ABC 中，已知A 、B 、C 成等差数列，则2tan 2tan 32tan 2tanC A C A ++的值为__________. 3.在△ABC 中，A 为最小角，C 为最大角，已知cos(2A +C )=－34，sin B =54，则cos2(B +C )=__________.4.已知圆内接四边形ABCD 的边长分别为AB =2，BC =6，CD =DA =4，求四边形ABCD 的面积.四.个人收获与问题知识：方法：我的问题：五.拓展能力：5.如右图，在半径为R 的圆桌的正中央上空挂一盏电灯，桌子边缘一点处的照度和灯光射到桌子边缘的光线与桌面的夹角θ的正弦成正比，角和这一点到光源的距离 r 的平方成反比，即I =k ·2sin r ，其中 k 是一个和灯光强度有关的常数，那么怎样选择电灯悬挂的高度h ，才能使桌子边缘处最亮？答案：一. 巩固练习一、1.解析：其中(3）(4）正确.答案： B二、2.解析：∵A+B+C =π，A+C=2B ， .32tan 2tan 32tan 2tan )2tan 2tan 1(32tan 2tan ,3)2tan(,32=++-=+=+=+∴C A C A C A C A C A C A 故π 答案：33.解析：∵A 为最小角∴2A +C =A +A +C ＜A+B+C =180°.∵cos(2A +C )=－54，∴sin(2A+C )=53. ∵C 为最大角，∴B 为锐角，又sin B =54.故cos B =53. 即sin(A+C )=54，cos(A +C )=－53. ∵cos(B+C )=－cos A =－cos ［(2A+C )－(A+C )］=－2524， ∴cos2(B+C )=2cos 2(B+C )－1=625527. 答案：625527 三、4.解：如图：连结BD ，则有四边形ABCD 的面积：S =S △ABD +S △CDB =21·AB ·AD sin A +21·BC ·CD ·sin C ∵A+C =180°，∴sin A =sin C故S =21(AB ·AD +BC ·CD )sin A =21(2×4+6×4)sin A =16sin A 由余弦定理，在△ABD 中，BD 2=AB 2+AD 2－2AB ·AD ·cos A =20－16cos A 在△CDB 中，BD 2=CB 2+CD 2－2CB ·CD ·cos C =52－48cos C∴20－16cos A =52－48cos C ，∵cos C =－cos A ，∴64cos A =－32，cos A =－21，又0°＜A ＜180°，∴A =120°故S =16sin120°=83. 五.拓展能力：5.解：R =r cos θ，由此得：20,cos 1π<θ<θ=R r ， R R h Rk I Rk R k I Rk R k r k I 22tan ,33sin ,392)32()()sin 1)(sin 1(sin 2)(2)cos (sin cos sin sin 232222222222222=θ==θ⋅≤⋅≤θ-θ-⋅θ⋅=θ⋅θ⋅=θ⋅θ⋅=θ⋅=此时时成立等号在由此得。

高中数学全程学习方略课时训练三角函数模型的简单应用(人教A版必修)

课时提能演练(十四)/课后巩固作业(十四)（30分钟 50分）一、选择题(每小题4分，共16分)1.(2012·泉州高一检测)函数f(x)的部分图象如图所示，则下列选项正确的是( ) (A)f(x)=x+sinx (B)f(x)=xcosx (C)f(x)=x 3(x )(x )22ππ-- (D)f(x)=cosxx2.如图，某地一天从6时到14时的温度变化曲线近似满足函数y=Asin(ωx+φ)+b(A ＞0,ω＞0)，则A ，ω，b 分别是( )(A)A=10,ω=8π,b=20 (B)A=20,ω=4π,b=10(C)A=30,ω=8π,b=10 (D)A=10,ω=18,b=203.(2012·临沂高一检测)已知函数y=3cos(ωx+6π)(ω>0)的图象与直线y=3相邻的两个公共点之间的距离为23π，则ω的值为( )(A)3 (B)23 (C)13 (D)324.如图，设点A 是单位圆上的一定点，动点P 从A 出发在圆上按逆时针方向旋转一周，点P 所转过的弧的长为l ，弦AP 的长为d ，则d=f(l )的图象大致是( )二、填空题(每小题4分，共8分)5.(易错题)直线y=a 与曲线y=sin(x+3π)在(0,2π)内有两个不同的交点，则实数a 的取值范围是 .6.(2011·安徽高考)已知函数f(x)=sin(2x+φ)(0<φ<2π)，对任意实数x 都有f(x)≤|f(6π)|，则f(x)的单调增区间是 . 三、解答题(每小题8分，共16分)7.已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)，其中ω>0,-π<φ<π，若f(x)的最小正周期为6π，且当x=2π时，f(x)取得最大值，求f(x)的单调增区间.8.(2012·陕西高考)函数f(x)=Asin(ωx-6π)+1(A ＞0,ω＞0)的最大值为3，其图象相邻两条对称轴之间的距离为2π. (1)求函数f(x)的解析式；(2)设α∈(0,2π),若f(2α)=2,求α的值.【挑战能力】(10分)如图所示，某市拟在长为8 km 的道路OP 的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段OSM ，该曲线段为函数y=Asin ωx(A>0,ω>0)，x ∈[0,4]的图象，且图象的最高点为S(3，；赛道的后一部分为折线段MNP.求A ，ω的值和M ，P 两点间的距离.答案解析1.【解析】选B.观察图象知函数为奇函数，排除C ；又在x=0时函数有意义，排除D ；取x=2π，由图象知f(2π)=0，排除A.2.【解析】选A.A=30102-=10,12T=14-6=8,∴ω=8π,所以选A.3.【解题指南】y=3cos(ωx+6π)的最大值为3，公共点处是最大值处，故相邻两公共点之间的距离即为一个周期，进而由T=2πω求出ω.【解析】选A.y=3cos(ωx+6π)的最大值为3，所以与直线y=3相邻的两个公共点之间的距离23π正好为函数y=3cos(ωx+6π)的一个周期，故ω=3.4.【解析】选C.设AP 中点为C,则d=2AC,∠AOC=12∠AOP=2l ,所以d=2sin 2l ,故选C.5.【解析】y=sin(x+3π)的图象是由y=sinx 向左平移3π个单位得到的，结合图象可知a 的取值范围是∪答案：(-1,∪,1)【误区警示】本题易忽视a . 【变式训练】直线y=a 与曲线y=sinx 在(0,2π)内有两个不同的交点，则实数a 的取值范围是 .【解析】由y=sinx,x ∈(0,2π)的图象得，a ∈(-1,0)∪(0,1). 答案：(-1,0)∪(0,1)6.【解析】对任意实数x 都有f(x)≤|f(6π)|，所以x=6π时，f(x)取最值，即2×6π+φ=±2π+2k π(k ∈Z)，又0<φ<2π，所以φ=6π，f(x)=sin(2x+6π).由-2π+2k π≤2x+6π≤2π+2k π(k ∈Z)得，f(x)的单调增区间为［-3π+k π, 6π+k π］(k ∈Z).答案：［-3π+k π,6π+k π］(k ∈Z) 7.【解析】∵T=6π,∴ω=2163π=π.又x=2π时，f(x)取得最大值，故12k 322ππ⨯+ϕ=π+,k ∈Z.又-π<φ＜π,所以φ=3π,∴f(x)=2sin(1x 33π+).令12k x 2k 2332πππ-+π≤+≤+π(k ∈Z)，-52π+6k π≤x ≤2π+6k π(k ∈Z),所以f(x)的单调增区间为［-52π+6k π,2π+6k π］(k ∈Z).8.【解析】(1)∵函数f(x)的最大值为3，∴A+1=3,即A=2.又∵函数图象相邻两条对称轴之间的距离为2π,∴最小正周期为π，∴ω=2.故函数f(x)的解析式为y=2sin(2x-6π)+1.(2)∵f(2α)=2sin(α-6π)+1=2,即sin(α-6π)=12,又∵0＜α＜2π,∴-6π＜α-6π＜3π,∴α-6π=6π,故α=3π. 【挑战能力】【解析】依题意，有A ＝,T4 =3,又T ＝2πω,∴ω=6π,∴sin 6πx, x ∈[0,4],∴当x=4时，sin23π=3,∴M(4,3).又P(8，0)，∴MP==5(km),即M,P 两点间的距离为5km.。

高一数学1.6三角函数模型的简单应用(教、学案)

．
设计意图：变式练习，开阔思路，启迪思维，培养能力。数行结合求周期。（四）应用数学知识解决实际问题
例 3．如图，设地球表面某地正午太阳高度角为
，为此时太阳直射纬度，
为该地
的纬度值，那么这三个量之间的关系是
90
．当地夏半年取正值，冬半年
取负值．
如果在北京地区 ( 纬度数约为北纬 40 ) 的一幢高为 h0 的楼房北面盖一新楼，要使新楼一
十、教后反思以问题引导教学，让学生听有所思，思有所获，获有所感。问题串的设计，使学习内容在难度和强度上循序渐进而又螺旋上升，并通过互动逐一达成教学目标，突出重点，突破难点，较好的提高了课堂教学的有效性。
一、预习目标
1.6 三角函数模型的简单应用
课前预习学案
3
预习三角函数模型的简单问题，初步了解三角函数模型的简单应用二、预习内容 1、三角函数可以作为描述现实世界中 _________现象的一种数学模型 .
O 0 ）来刻画，试10求该函数t /表h 达式。
设计意图：教师组织学生反思总结本节课的主要内容，并进行当堂检测。
八、发导学案、布置预习。设计意图：布置下节课的预习作业，并对本节课巩固提高。教师课后及时批阅本节的
延伸拓展训练。九、板书设计
三角函数模型的简单应用
例 1．
例 2. 例 3.
练习：小结：
6
④探究其他解法：
14
6
2或
14
2
2等 0
设计意图：培养学生多角度考虑问题的习惯，培养学生的发散思维，培养学生的学习兴趣。
⑤借助三角函数模型研究的思想方法研究一些较复杂的三角函数。设计意图：升华为思想方法。
（三）由解析式作出图象并研究性质

高中数学必修4三角函数常考题型：三角函数模型的简单应用

三角函数模型的简单应用【知识梳理】1．三角函数模型应用的步骤三角函数模型应用即建模问题，根据题意建立三角函数模型，再求出相应的三角函数在某点处的函数值，进而使实际问题得到解决．步骤可记为：审读题意→建立三角函数式→根据题意求出某点的三角函数值→解决实际问题．这里的关键是建立数学模型，一般先根据题意设出代表函数，再利用数据求出待定系数，然后写出具体的三角函数解析式．2．三角函数模型的拟合应用我们可以利用搜集到的数据，作出相应的“散点图”，通过观察散点图并进行数据拟合，从而获得具体的函数模型，最后利用这个函数模型来解决相应的实际问题．【常考题型】题型一、函数解析式与图像对应问题【例1】函数y＝x＋sin|x|，x∈[－π，π]的大致图像是()[解析]由奇偶性的定义可知函数y＝x＋sin|x|，x∈[－π，π]既不是奇函数也不是偶函数．选项A，D中图像表示的函数为奇函数，B中图像表示的函数为偶函数，C中图像表示的函数既不是奇函数也不是偶函数．[答案] C【类题通法】解决函数图像与解析式对应问题的策略(1)解决此类问题的一般方法是根据图像所反映出的函数性质来解决，如函数的奇偶性、周期性、图像的对称性、单调性、值域，此外零点也可以作为判断的依据．(2)利用图像确定函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式，实质就是确定其中的参数A ，ω，φ.其中A 由最值确定；ω由周期确定，而周期由特殊点求得；φ由点在图像上求得，确定φ时，注意它的不唯一性，一般是求|φ|中最小的φ.【对点训练】函数f (x )＝cos x ·|tan x |在区间⎝⎛⎭⎫π2，3π2上的大致图像为( )解析：选C f (x )＝cos x ·|tan x |⎝⎛⎭⎫π2<x <3π2＝ ⎩⎨⎧－sin x ，π2<x <π，sin x ，π≤x <3π2.题型二、三角函数在物理中的应用【例2】单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置的距离s (单位：cm)和时间t (单位：s)的函数关系式为s ＝6sin ⎝⎛⎭⎫2πt ＋π6. (1)作出函数的图像；(2)当单摆开始摆动(t ＝0)时，离开平衡位置的距离是多少？ (3)当单摆摆动到最右边时，离开平衡位置的距离是多少？ (4)单摆来回摆动一次需多长时间？ [解] (1)利用“五点法”可作出其图像．(2)因为当t ＝0时， s ＝6sin π6＝3，所以此时离开平衡位置3 cm. (3)离开平衡位置6 cm.(4)因为T ＝2π2π＝1，所以单摆来回摆动一次所需的时间为1 s. 【类题通法】三角函数在物理中的应用三角函数模型在物理中的应用主要体现在简谐运动中，其中对弹簧振子和单摆的运动等有关问题考查最多，尤其要弄清振幅、频率、周期、平衡位置等物理概念的意义和表示方法．【对点训练】交流电的电压E (单位：V)与时间t (单位：s)的关系可用E ＝2203sin ⎝⎛⎭⎫100πt ＋π6来表示，求： (1)开始时电压；(2)电压值重复出现一次的时间间隔； (3)电压的最大值和第一次获得最大值的时间．解：(1)当t ＝0时，E ＝1103(V)，即开始时的电压为110 3 V .(2)T ＝2π100π＝150(s)，即时间间隔为0.02 s.(3)电压的最大值为220 3 V ，当100πt ＋π6＝π2，即t ＝1300s 时第一次取得最大值.题型三、三角函数在实际生活中的应用【例3】心脏跳动时，血压在增加或减少．血压的最大值、最小值分别称为收缩压和舒张压，血压计上的读数就是收缩压和舒张压，读数120/80 mmHg 为标准值．设某人的血压满足函数式p (t )＝115＋25sin 160πt ，其中p (t )为血压(mmHg)，t 为时间(min)，试回答下列问题：(1)求函数p (t )的周期； (2)求此人每分钟心跳的次数； (3)画出函数p (t )的草图；(4)求出此人的血压在血压计上的读数．[解] (1)由于ω＝160π，代入周期公式T ＝2π|ω|，可得T ＝2π160π＝180(min)，所以函数p (t )的周期为180min.(2)每分钟心跳的次数即为函数的频率f＝1T＝80(次)．(3)列表：描点、连线并向左右扩展得到函数p(t)的简图如图所示：(4)由图可知此人的收缩压为140 mmHg，舒张压为90 mmHg.【类题通法】解三角函数应用问题的基本步骤【对点训练】如图所示，游乐场中的摩天轮匀速转动，每转动一圈需要12分钟，其中心O距离地面40.5米，半径为40米，如果你从最低处登上摩天轮，那么你与地面的距离将随时间的变化而变化，以你登上摩天轮的时刻开始计时，请回答下列问题：(1)求出你与地面的距离y (米)与时间t (分钟)的函数关系式； (2)当你第4次距离地面60.5米时，用了多长时间？解：(1)可以用余弦函数来表示该函数的关系式，由已知可设y ＝40.5－40cos ωt ，t ≥0，由周期为12分钟可知当t ＝6时，摩天轮第1次到达最高点，即此函数第1次取得最大值，所以6ω＝π，即ω＝π6，所以y ＝40.5－40cos π6t (t ≥0)．(2)设转第1圈时，第t 0分钟时距地面60.5米，由60.5＝40.5－40cos π6t 0，得cos π6t 0＝－12，所以π6t 0＝2π3或π6t 0＝4π3，解得t 0＝4或8，所以t ＝8(分钟)时，第2次距地面60.5米，故第4次距离地面60.5米时，用了12＋8＝20(分钟)．【练习反馈】1.如图是一向右传播的绳波在某一时刻绳子各点的位置图，经过12周期后，乙的位置将移至( )A ．x 轴上B ．最低点C ．最高点D ．不确定解析：选C 相邻的最大值与最小值之间间隔半个周期，故乙移至最高点． 2．如图所示为一简谐运动的图像，则下列判断正确的是( )A ．该质点的振动周期为0.7 sB ．该质点的振幅为－5 cmC ．该质点在0.1 s 和0.5 s 时的振动速度最大D ．该质点在0.3 s 和0.7 s 时的加速度为零解析：选D 该质点的振动周期为T ＝2×(0.7－0.3)＝0.8 s ，故A 是错误的；该质点的振幅为5 cm ，故B 是错误的；该质点在0.1 s 和0.5 s 时的振动速度是零，所以C 是错误的，D 正确.3．某人的血压满足函数关系式f (t )＝24sin 160πt ＋110，其中，f (t )为血压，t 为时间，则此人每分钟心跳的次数是________．解析：∵T ＝2π160π＝180，∴f ＝1T ＝80.答案：804.如图，电流强度I (单位：安)随时间t (单位：秒)变化的函数I ＝A sin ⎝⎛⎭⎫ ωt ＋π6(A >0，ω≠0)的图像，则当t ＝150秒时，电流强度是________安．解析：由图像可知，A ＝10，周期T ＝2×⎝⎛⎭⎫4300－1300＝150，所以ω＝2πT＝100π，所以I ＝10sin ⎝⎛⎭⎫100πt ＋π6. 当t ＝150秒时，I ＝10sin ⎝⎛⎭⎫2π＋π6＝5(安)．答案：55.如图，某动物种群数量1月1日低至700,7月1日高至900，其总量在此两值之间依正弦型曲线变化．(1)求出种群数量y 关于时间t 的函数表达式；(其中t 以年初以来的月为计量单位)(2)估计当年3月1日动物种群数量．解：(1)设种群数量y 关于t 的解析式为 y ＝A sin(ωt ＋φ)＋b (A >0，ω>0)，则⎩⎪⎨⎪⎧－A ＋b ＝700，A ＋b ＝900，解得A ＝100，b ＝800. 又周期T ＝2×(6－0)＝12，∴ω＝2πT ＝π6，∴y ＝100sin ⎝⎛⎭⎫π6t ＋φ＋800.又当t ＝6时，y ＝900， ∴900＝100sin ⎝⎛⎭⎫π6×6＋φ＋800， ∴sin(π＋φ)＝1，∴sin φ＝－1，∴取φ＝－π2，∴y ＝100sin ⎝⎛⎭⎫π6t －π2＋800.(2)当t ＝2时，y ＝100sin ⎝⎛⎭⎫π6×2－π2＋800＝750，即当年3月1日种群数量约是750.。

高中数学必修四学案：1.6三角函数模型的简单应用Word版

1.6 《三角函数模型的简单应用》导学案
【知识链接】 1、三角函数可以作为描述现实世界中
_________现象的一种数学模型 .
2、 y | sin x | 是以 ____________ 为周期的波浪型曲线 .
【学习过程】
自主探究；
问题一、如图，某地一天从 6～14 时的温度变化曲线近似满足函数
2 sin( x 4
3 ) 8,
4
则利润函数为 : y m( y2 y1 )
3
m[ 2 sin( x ) 8 2sin( x
44
4
) 6] 4
m(2 2 2 sin x) 4
所以，当 x=6 时， Y=（ 2+ 2 2 ） m，即 6 月份盈利最大 .
【拓展提升】 1、 A 2、 A
t1
3、解：（ 1）由图知 A＝ 300，
厂价格是在 6 元基础上按月份随正弦曲线波动的，已知 3 月份出厂价格最高为 8 元， 7 月份
出厂价格最低为 4 元，而该商品在商店的销售价格是在 8 元基础上按月随正弦曲线波动的，
并已知 5 月份销售价最高为 10 元， 9 月份销售价最低为 6 元，假设某商店每月购进这种商
Байду номын сангаас品 m件，且当月售完，请估计哪个月盈利最大？并说明理由
俯角为 45 ，则此时两船间的距离为（
）.
A ． 2hm B ． 2hm C． 3hm D． 2 2hm
3、如图表示电流 I 与时间 t 的函数关系式： I = Asin( t ) 在
同一周期内的图象。
（1）根据图象写出 I = Asin( t ) 的解析式；
（2）为了使 I = Asin( t
1 ) 中 t 在任意－段 100 秒的时间内电

高中数学必修四教案：1.6 三角函数模型的简单应用(1)

1.6 三角函数模型的简单应用三角函数模型的简单应用（一）一、导入新课思路1.(问题导入)既然大到宇宙天体的运动,小到质点的运动以及现实世界中具有周期性变化的现象无处不在,那么究竟怎样用三角函数解决这些具有周期性变化的问题？它到底能发挥哪些作用呢？由此展开新课.思路2.我们已经学习了三角函数的概念、图象与性质,特别研究了三角函数的周期性.在现实生活中,如果某种变化着的现象具有周期性,那么是否可以借助三角函数来描述呢？回忆必修1第三章第二节“函数模型及其应用”,面临一个实际问题,应当如何选择恰当的函数模型来刻画它呢？以下通过几个具体例子,来研究这种三角函数模型的简单应用.二、推进新课、新知探究、提出问题①回忆从前所学,指数函数、对数函数以及幂函数的模型都是常用来描述现实世界中的哪些规律的?②数学模型是什么,建立数学模型的方法是什么?③上述的数学模型是怎样建立的?④怎样处理搜集到的数据?活动:师生互动,唤起回忆,充分复习前面学习过的建立数学模型的方法与过程.对课前已经做好复习的学生给予表扬,并鼓励他们类比以前所学知识方法,继续探究新的数学模型.对还没有进入状态的学生,教师要帮助回忆并快速激起相应的知识方法.在教师的引导下,学生能够较好地回忆起解决实际问题的基本过程是:收集数据→画散点图→选择函数模型→求解函数模型→检验→用函数模型解释实际问题.这点很重要,学生只要有了这个认知基础,本节的简单应用便可迎刃而解.新课标下的教学要求,不是教师给学生解决问题或带领学生解决问题,而是教师引领学生逐步登高,在合作探究中自己解决问题,探求新知.讨论结果:①描述现实世界中不同增长规律的函数模型.②简单地说,数学模型就是把实际问题用数学语言抽象概括,再从数学角度来反映或近似地反映实际问题时,所得出的关于实际问题的数学描述.数学模型的方法,是把实际问题加以抽象概括,建立相应的数学模型,利用这些模型来研究实际问题的一般数学方法.③解决问题的一般程序是:1°审题:逐字逐句的阅读题意,审清楚题目条件、要求、理解数学关系；2°建模:分析题目变化趋势,选择适当函数模型；3°求解:对所建立的数学模型进行分析研究得到数学结论；4°还原:把数学结论还原为实际问题的解答.④画出散点图,分析它的变化趋势,确定合适的函数模型.三、应用示例例1 如图, 某地一天从6—14时的温度变化曲线近似满足函数y=sin(ωx+φ)+b.(1)求这一天的最大温差;(2)写出这段曲线的函数解析式.活动:这道例题是2002年全国卷的一道高考题,探究时教师与学生一起讨论.本例是研究温度随时间呈周期性变化的问题.教师可引导学生思考,本例给出模型了吗？给出的模型函数是什么？要解决的问题是什么？怎样解决？然后完全放给学生自己讨论解决.题目给出了某个时间段的温度变化曲线这个模型.其中第(1)小题实际上就是求函数图象的解析式,然后再求函数的最值差.教师应引导学生观察思考:“求这一天的最大温差”实际指的是“求6是到14时这段时间的最大温差”,可根据前面所学的三角函数图象直接写出而不必再求解析式.让学生体会不同的函数模型在解决具体问题时的不同作用.第(2)小题只要用待定系数法求出解析式中的未知参数,即可确定其解析式.其中求ω是利用半周期(14-6),通过建立方程得解.解:(1)由图可知,这段时间的最大温差是20 ℃.(2)从图中可以看出,从6—14时的图象是函数y=Asin(ωx+φ)+b 的半个周期的图象,∴A=21(30-10)=10,b=21 (30+10)=20. ∵21·ωπ2=14-6, ∴ω=8π•.将x=6,y=10代入上式,解得φ=43π. 综上,所求解析式为y=10sin(8π•x+43π)+20,x ∈[6,14]. 例2函数y=|sinx|的一个单调增区间是( ) A.(4π-,4π) B.(4π,43π) C.(π,23π) D.(23π,2π)答案:C例3 如图2,设地球表面某地正午太阳高度角为θ,δ为此时太阳直射纬度,φ为该地的纬度值,那么这三个量之间的关系是θ=90°-|φ-δ|.当地夏半年δ取正值,冬半年δ取负值.如果在北京地区(纬度数约为北纬40°)的一幢高为h0的楼房北面盖一新楼,要使新楼一层正午的太阳全年不被前面的楼房遮挡,两楼的距离不应小于多少?活动: 如图2本例所用地理知识、物理知识较多,综合性比较强,需调动相关学科的知识来帮助理解问题,这是本节的一个难点.在探讨时要让学生充分熟悉实际背景,理解各个量的含义以及它们之间的数量关系.首先由题意要知道太阳高度角的定义:设地球表面某地纬度值为φ,正午太阳高度角为θ,此时太阳直射纬度为δ,那么这三个量之间的关系是θ=90°-|φ-δ|.当地夏半年δ取正值,冬半年δ取负值.根据地理知识,能够被太阳直射到的地区为南、北回归线之间的地带,图形如图3,由画图易知太阳高度角θ、楼高h0与此时楼房在地面的投影长h之间有如下关系:h0=htanθ.由地理知识知,在北京地区,太阳直射北回归线时物体的影子最短,直射南回归线时物体的影子最长.因此,为了使新楼一层正午的太阳全年不被遮挡,应当考虑太阳直射南回归线时的情况.图3解:如图3,A、B、C分别为太阳直射北回归线、赤道、南回归线时楼顶在地面上的投影点.要使新楼一层正午的太阳全年不被前面的楼房遮挡,应取太阳直射南回归线的情况考虑,此时的太阳直射纬度－23°26′.依题意两楼的间距应不小于MC.根据太阳高度角的定义,有∠C＝90°－|40°－(－23°26′)|＝26°34′,所以MC ＝C h tan 0='3426tan 0 h ≈2.000h 0, 即在盖楼时,为使后楼不被前楼遮挡,要留出相当于楼高两倍的间距.点评:本例是研究楼高与楼在地面的投影长的关系问题,是将实际问题直接抽象为与三角函数有关的简单函数模型,然后根据所得的函数模型解决问题.要直接根据图2来建立函数模型,学生会有一定困难,而解决这一困难的关键是联系相关知识,画出图3,然后由图形建立函数模型,问题得以求解.这道题的结论有一定的实际应用价值.教学中,教师可以在这道题的基础上再提出一些问题,如下例的变式训练,激发学生进一步探究.变式训练某市的纬度是北纬23°,小王想在某住宅小区买房,该小区的楼高7层,每层3米,楼与楼之间相距15米.要使所买楼层在一年四季正午太阳不被前面的楼房遮挡,他应选择哪几层的房？图4解:如图4,由例3知,北楼被南楼遮挡的高度为h=15tan ［90°-(23°+23°26′)］=15tan43°34′≈14.26,由于每层楼高为3米,根据以上数据,所以他应选3层以上.四、课堂小结1.本节课学习了三个层次的三角函数模型的应用,即根据图象建立解析式,根据解析式作出图象,将实际问题抽象为与三角函数有关的简单函数模型.你能概括出建立三角函数模型解决实际问题的基本步骤吗？2.实际问题的背景往往比较复杂,而且需要综合应用多学科的知识才能解决它.因此,在应用数学知识解决实际问题时,应当注意从复杂的背景中抽取基本的数学关系,还要调动相关学科知识来帮助理解问题.五、作业1.图5表示的是电流I 与时间t 的函数关系图5I=Asin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<2π)在一个周期内的图象. (1)根据图象写出I=Asin(ωx+φ)的解析式; (2)为了使I=Asin(ωx+φ)中的t 在任意一段1001s 的时间内电流I 能同时取得最大值和最小值,那么正整数ω的最小值为多少?解:(1)由图知A=300,第一个零点为(－3001,0),第二个零点为(1501,0), ∴ω·(－3001)+φ=0,ω·1501+φ=π.解得ω=100π,φ=3π,∴I=300sin(100πt+3π). (2)依题意有T ≤1001,即ωπ2≤1001,∴ω≥200π.故ωmin =629.2.搜集、归纳、分类现实生活中周期变化的情境模型.解:如以下两例:①人体内部的周期性节律变化和个人的习惯性的生理变化,如人体脉搏、呼吸、排泄、体温、睡眠节奏、饥饿程度等；②蜕皮(tuipi)昆虫纲和甲壳纲等节肢动物,以及线形动物等的体表具有坚硬的几丁质层,虽有保护身体的作用,但限制动物的生长、发育.因此,在胚后发育过程中,必须进行1次或数次脱去旧表皮,再长出宽大的新表皮后,才变成成虫,这种现象称为蜕皮；蜕下的“旧表皮”称为“蜕”,只有这样,虫体才能得以继续充分生长、发育.蜕皮现象的发生具有周期性,但蜕皮的准备和蜕皮过程是连续进行的.此外,脊椎动物爬行类的蜕皮现象尤为明显,如蜥蜴和蛇具有双层角质层,其外层在定期蜕皮时脱掉,蛇的外层角质层连同眼球外面透明的皮肤,约每2个月为一个周期可完整地脱落1次,称为蛇蜕.。