学生概率认知中的典型错误：潜在原因及教学对策

学生概率认知中的典型错误：潜在原因及教学对策作者：何声清来源：《中学数学杂志(初中版)》2017年第04期【摘要】学生的概率认知常常表现出各种错误，且这些错误常常十分顽固而难以消除。

结合笔者以往的实证研究，以学生概率认知中4类常见的错误（概率不可预知、代表性启发、等可能性偏见、模糊的样本空间）为例，从知识基础、思维水平、直觉经验等视角对上述错误的潜在原因进行分析，并据此对教师的教学改进提出若干建议。

【关键词】概率认知；等可能性偏见；样本空间；代表性启发1 引言2001年颁布的《义务教育数学课程标准（实验稿）》首次将概率内容纳入中小学数学课程[1]，2012年颁布的《义务教育数学课程标准（2011年版）》则进一步降低了该部分内容的难度[2]。

这样的调整是基本合理的：一线教学实践[3][4]和大量实证研究[5][6][7]都一再表明，学生对概率概念的理解存在诸多误区和局限。

研究甚至表明[8][9][10]，不同年龄层人群对概率的认知均表现出不同程度的错误，且这些错误常常十分顽固而难以消除。

对教师而言，概率作为数学课程新近引入的内容领域，它一方面对教师的知识储备提出了挑战：他们在基础教育阶段一般没有学习过概率知识[11]，对概率的理解也常常出现各类错误[12]。

另一方面，鉴于学生概率学习中的种种困难，它还要求教师在教学中关注他们是如何理解该部分内容的[13]。

那么，教师应该怎样认识学生概率认知中的错误？长期以来，“错误”常常被认为是消极的：它是一种混淆（confusion）或离题（digression）的表现，因而应该被避免[14]。

心理学研究扭转了人们对它的认识：错误应该被积极看待，因为它是儿童思考的一部分[15]。

错误是一笔宝贵的教学资源，它直接反映了学生在概念理解过程中的局限，为教师了解学生概念学习的过程提供了诸多有价值的信息。

国际学界对学生概率认知及其错误的研究已然取得了巨大进展。

我国近年来的实证研究则进一步证实[5][16]：国际学界报道的概率认知错误在我国学生中也十分常见。

但总体而言，以往的此类研究大都关注于错误的具体表现（“是什么”），其次是对错误的原因分析（“为什么”），而对于错误的教学干预（“怎么办”）则着墨较少。

研究者近年来对我国中小学生的概率认知水平[17][18]、认知偏见[19]及认知策略[20]等展开了系列实证研究，本文结合上述系列研究的结果，以学生概率认知中4类常见的错误（概率不可预知、代表性启发、等可能性偏见、模糊的样本空间）为例，着力从知识基础、思维水平、直觉经验等视角探讨学生概率认知错误的潜在原因，并从教学层面提出若干建议以供一线教师参考。

2 “概率不可预知”义务教育阶段涉及的概率内容主要是理论概率与实验概率。

前者的一个例子是古典概率，后者的一个例子是频率概率。

古典概率的基本特点是试验的样本空间有限（即，所有可能结果的个数是有限个）且每个结果出现的可能性相同，事件的概率可以通过事前的理论计算而得知，因而它具有先验性。

频率概率是根据大量重复试验的结果而归纳得到的，其依据的原理是大数定律：在进行大量重复试验后，事件发生的频率将无限接近于其概率。

以教材中常见的“摸球”模型为例，一个盒子里有2个黑球和1个白球（它们除颜色外均相同，下同）。

如果我们问“从盒子里摸出1个球，摸出哪种球的概率大”，它属于古典概率问题；如果我们问“从盒子里摸出1个球，记下颜色后放回。

假设如此重复摸球1000次，请你估计摸出哪种颜色球的次数多”，它则属于频率概率问题。

无论哪种情形，总有些学生会认为“这些没有发生的事情不好预测，只有摸了才知道”、“我们不可能预知未来”、“老天爷才知道”、“我们不是球，只有球知道”，等等[20][21][22]。

在他们眼里，概率具有一种神秘色彩，它是不可被预测和量化的。

究其原因，他们对古典概率的理论先验性和频率概率的大数定律缺乏认识。

尽管中小学教材对此没有明确提及，也不适合正式地以文字形式呈现，但这些思想的渗透似乎显得必不可少。

从更一般的角度而言，古典概率的“先验推理”是一种演绎的推理方式，频率概率的“基于数据推理”是一种归纳的推理方式。

这也在一定程度上反映了学生概率思维的缺失。

如何帮助学生摆脱这类错误认识？笔者认为：第一，对古典概率而言，加强学生对概率“可度量性”的认识。

生活中有许多的度量单位和工具，例如一本书的大小可以用“长和宽”、“厚和薄”来衡量，室内的空气可以用“热与冷”、“干与湿”来衡量。

概率则是衡量可能性大小（程度）的“单位”，不过与上述“长度”、“宽度”、“厚度”、“热度”、“湿度”等有所区别的是，它不是那么容易直接感知，它是看不见、摸不着的。

尽管如此，它起码是可以被度量的。

这也正是概率的魅力所在：身处信息纷繁的大数据时代，我们在处理生活中随机事件时可以有据可循，概率就是我们进行决策的有力工具。

在教学中，教师应能帮助学生认识到，概率并非深不可测或充满神秘，我们可以从理论上去度量它并为我们所用。

究竟最终摸出哪种情况的确不得而知，但至少我们可以事先预测哪种情况被摸出的可能性更大。

“最终摸出哪种情况”和“哪种情况更容易被摸出”是两码事，前者“只有摸了才知道”，而后者是“在不摸的情况下进行预测”。

概率知识就是帮助我们对随机事件结果进行合理预测的手段，而至于最终“真正摸出的那种情况”与“理论上更容易被摸出的情况”是否正好一致则无法肯定，因为随机事件中每个结果出现的概率都不是100%，小概率的结果也有可能发生。

第二，对频率概率而言，加强学生的“数据意识”。

在相同条件下的大量重复试验中，一次结果具有随机性但总体结果则具有稳定性和规律性，这里的稳定性和规律性是指各类结果的相对频率渐趋明朗，它们发生的概率可以被大概估计。

显然，从“过往经验”估计“将来结果”的过程是基于数据的统计推理过程。

只要试验次数足够多，我们对某个结果发生概率的估计就越准确。

在教学中，教师应能帮助学生认识到概率和统计的内在联系，培养学生的数据意识，引导其在实际的统计活动中感受概率的相对大小，并发展其统计推理和归纳思维能力。

3 “代表性启发”如前所述，在古典概率问题中概率是可以通过理论被计算出来的。

例如，一个盒子里有2个黑球和2个白球，如果我们问“从盒子里摸出2个球，摸出‘1个黑球和1个白球’与摸出‘2个白球’两种情况哪种概率大”。

很多学生能够断定摸出“1个黑球和1个白球”的概率大，但是他们给出的理由则完全不是依据“计算”得来的：他们倾向于认为这种“混合结果”更具有“代表性”或“一般性”，而“两个都是白球”这种情况太“极端”或“特殊”[23][24]。

例如，有学生认为“1个黑球和1个白球这种黑白搭配比较容易出现，两个都是白的太难了”，“不可能那么巧两个都是白的，1个黑的1个白的比较正常”，等等。

究其原因，他们一方面对概率的“可度量性”认识不足，更不能找到可靠的办法（即，基于列举法求概率）将它计算出来。

这里不再赘述。

另一方面，这也反映了这部分学生习惯从“主观感知”或“直觉认识”的角度看待概率问题。

更具体地说，这在一定程度上反映了他们认识事物时所表现出的“中庸思维”，在决策时常常倾向于“远离极端结果，亲近一般结果”。

如何帮助学生摆脱这类错误认识？笔者认为：第一，如前所述，加强学生对概率“可度量性”的认识，这里不再赘述。

第二，正确看待学生概率认知中的直觉因素。

概率内容具有情境性和直觉性[25]。

学生在正式接触概率之前已然积累了大量与之有关的生活经验，因而他们对概率的理解不可避免地掺杂了直觉的因素[24]。

直觉在儿童的概率认知中扮演着重要角色。

但直觉有两面性，不良的直觉会有害无益。

教师要引导学生：概率研究的虽然是“不确定性”，但是我们在概率推理或决策时实则有据可循，而不能把生活中的经验完全嫁接到概率问题中去。

如果盒子里有10个白球和1个黑球，摸出“1个白球和1个黑球”的概率仍然比摸出“2个白球”的大吗？这时候类似于“两种不同颜色搭配更加容易，而两个都是白的太难了”的解释是否显得苍白无力了呢？事件的概率不以我们的意愿而改变，我们要做的是根据具体情况进行分析，而不能过分地将自己的意识强加在这个过程中，所谓的“更具有代表性的结果”只不过是我们主观的意愿，它无法左右事件的概率，也无法有效解释概率。

4 “等可能性偏见”Lecoutre发现[26]，当我们用外形均匀的物体进行随机试验时，人们常常不顾各类结果概率大小的差异，而一味地认为所有结果的概率相等。

仍以上述“摸球”任务为例，一个盒子里有2个黑球和2个白球，如果我们问“从盒子里摸出2个球，摸出‘1个黑球和1个白球’与摸出‘2个白球’两种情况哪种概率大”。

总有人会认为“两者的可能性一样大”，因为“所有结果的可能性大小相等”。

李俊进一步发现[16]，学生的“等可能性偏见”实际上有两种基本类型：一类认为所有结果发生的机会都是“一半一半”的，它们的概率都是50%；一类则是根据他们能够想到的可能结果进行“计算”而来，假如某学生认为上述试验共有3种可能的结果——“2个都是白球，2个都是黑球，1个黑球和1个白球”，他则断定每个结果的概率都是1/3。

学生的“等可能性偏见”是十分普遍和难以消除的。

研究发现[19]，前一种“等可能性偏见”随年级增长有所消除，后一种“等可能性偏见”则随年级增长不降反升。

两类“等可能性偏见”的原因有同有异。

相同之处在于：第一，它们都是对“等可能性”的曲解。

例如，掷一枚质地均匀的骰子，所有可能结果为{1，2，3，4，5，6}，每个结果是“等可能”的；掷两枚质地均匀的骰子，所有可能结果为{（1，1），（1，2），…（1，6）；（2，1），（2，2），…（2，6）；（3，1），（3，2），…（3，6）；（4，1），（4，2），…（4，6）；（5，1），（5，2），…（5，6）；（6，1），（6，2），…（6，6）}，每个结果也是“等可能”的（它们是基本事件），但掷出“1和2”（它不是基本事件）与“两个1”的概率则是不相等的。

再如上述摸球的例子，所有可能的结果为{白1白2，白1黑2，白2黑2，黑1黑2，黑1白1，黑1白2}，每个结果是“等可能”的，但是“1个黑球和1个白球”与“2个白球”的概率则是不相等的，因为前者包含了结果中的4种情况。

第二，它们都是“等分思维”惹的祸。

等分思维是一种确定性思维，学生在对概率认识不足的情况下，其潜意识里的等分思维往往在其概率计算中扮演着重要的反面角色。

在以往的访谈中常常听到学生这样的观点：“既然这些结果都有可能发生，那么他们的可能性一样大”。

显然，他们认为“都可能发生”就是“发生的机会一样大”，因为“具体是什么结果只有发生了才知道，如果事先要判断哪个结果更大，那只能用平等的眼光看待这些结果”。