学生概率认知中的典型错误：潜在原因及教学对策
概率与统计教学中学生存在的问题及原因
概率与统计教学中学生存在的问题及原因、对策
在概率与统计教学中，处理教材的时候安排的时间不多，讲课也显得“粗糙”，不过也发现了一些问题。
问题：
1、学生对概率与统计内容不太感兴趣，总觉枯燥、乏味。
2、用所学内容解决具体生活实际问题时，有时不知是计算概率？还是求平均数？
3、在给定一组数据，分析其中位数，往往不排序就找出
4、不会确定组距或不知分几组更合适
究其原因及对策：
1、兴趣是最好的老师，学生求知欲不浓，导致主动探究的热情不高，主动学习的动力不足，主体作用发挥不出来，内因调动不起、发挥不出，外因作用也无法显示，更不用说教学效果了。
所以，教师应多加收集、筛选现实生活中有关概率与统计的事件，使学生感到概率与统计和生活紧密联系，激发学生参与意识，调动学生学习的积极性。
2、解决实际问题不会用所学知识或不知用那方面的知识，说明学生对概念或定义的理解不透，没有真正理解、掌握乃至消化知识，因而知识转化不为能力。
鉴于此，教师应创设情境，精心设计一些练习，通过做题帮助学生理解有关概念。
3、不排序仅仅是个别学生上课不注意听讲导致的，所以老师只要稍作强调，组织好课堂，提醒学生抓住课堂即可。
当然，教师在讲授时，也应及时给予指出。
4、分组问题，关键在于让学生知道一般情况下分5—12组，具体分几组，视情况而定。
组距的确定也是按数大小和多少来定，而且还得考虑画出的图形是否美观且能反映出分布规律。
此外，还应重视所学内容与日常生活、自然、社会和科学技术领域的联系，使学生体会统计与概率对制定决策的重要作用；应注重使学生从事数据处理的全过程，根据统计结果做出合理的判断；应重视使学生在具体情境中体会概率的意义；应加强统计与概率之间的联系。
小学概率知识的教学误区与思考
小学概率知识的教学误区与思考现代教育的发展需要更多的科学知识，而概率论在科学领域中起着至关重要的作用，尤其是在统计学中。
但是，在小学阶段，概率知识的教学仍然存在误区，这不仅限于存在普遍的误解，而且也存在一定的实践挑战。
本文结合教学实践对这些误区和挑战进行了探讨，提出了一些相应解决思路。
一、小学概率知识在教学中存在的误区1、概率是“0”或“1”的误解概率是一种数字或比例的描述，但在小学阶段，很多学生仍然将概率理解为“0”或“1”，当遇到有大事件发生的可能性时，他们只能说“0”或“1”，对概率概念缺乏认知。
2、概率与偶然事件之间的误解很多学生将概率与偶然事件等同起来，比如说抛硬币，他们会觉得抛硬币落在正反面永远是“偶然”的，因此取消了概率概念，没有对概率做出更深入的思考。
3、数学概念和实际情境之间的断层概率是一种数学描述的方式，但概率的概念应该是会连接实际的情境的。
从学生的角度出发，他们缺乏理解概率论的实用性，所以在解决实际问题的过程中难以运用概率知识。
二、解决误区的思路与方式1、从实际出发，建立学生的认知从实际出发，把概率理解成一种类比比率，比如：抛硬币可以认为两面有百分之五十，帮助学生明确概率的数值，以便更好地理解概率知识。
2、丰富练习，培养学生的根据能力在教学过程中，丰富多样的练习，让学生对概率知识进行深入活用，加深理解，培养学生的分析问题解决问题的能力。
3、拓展实际，让学生用概率知识解决实际问题在教学中，除了练习，一些拓展实战也可以使用概率知识来解决一些实际问题，比如判断摇骰子有没有概率偏差，这样可以让学生明白，概率知识是可以应用到实际中的。
三、小结概率知识在小学阶段的教学中还存在许多的误区，解决这些误区的关键是结合实际来拓展教学，让学生体验到概率知识的实际应用，从而形成自身的观念，拓宽他们的思维，进行有意义的探究。
概率论常见错误
概率论常见错误概率论作为数学的一个分支，在现代社会中具有广泛的应用。
然而，由于其复杂性和抽象性，人们在学习和应用概率论时常常会犯一些常见的错误。
本文将介绍概率论中的一些常见错误，并提供正确的解释和应对方法，以帮助读者更好地理解和应用概率论。
一、混淆事件和样本空间在概率论中，事件和样本空间是两个基本概念。
事件是指某个结果或一组结果的集合，而样本空间是指所有可能结果的全体。
常见错误之一就是混淆了事件和样本空间，导致计算概率时出现错误。
例如，考虑一个投掷一颗骰子的实验，事件A表示投掷结果是奇数，样本空间Ω表示所有的可能结果（1、2、3、4、5、6）。
有些人会错误地认为事件A的概率等于1/2，因为奇数的结果有3个，除以样本空间的大小6。
然而，这是错误的，因为事件A的定义并不是“出现奇数的概率”，而是“投掷结果是奇数”。
正确的计算方法是将事件A中包含的结果（1、3、5）的数量除以样本空间的大小，即3/6=1/2。
二、错误的使用乘法规则和加法规则乘法规则和加法规则是概率论中重要的计算方法，但常常会被错误地应用。
乘法规则用于计算事件的联合概率，即两个（或多个）事件同时发生的概率。
错误的使用乘法规则通常表现为忽略了两个事件之间的相关性。
例如，考虑两个不公平的硬币，事件A表示第一个硬币正面朝上，事件B表示第二个硬币正面朝上。
有些人在计算事件A和事件B同时发生的概率时，错误地认为概率等于两个事件各自发生的概率的乘积，即P(A∩B)=P(A)×P(B)。
然而，由于两个硬币之间存在相关性，正确的计算方法应该是考虑两个事件之间的关系，并使用条件概率进行计算。
加法规则用于计算事件的并集概率，即两个（或多个）事件中至少发生一个的概率。
错误的使用加法规则通常表现为重复计算了某些事件。
例如，考虑一个生日问题，假设有30个人在同一天内过生日。
有些人错误地使用加法规则计算至少有一个人和自己生日相同的概率时，将相同生日的情况分别计算后相加，导致结果偏大。
概率解题典型错误类型及根源分析
概率解题典型错误类型及根源分析高中数学增加了概率的内容。
笔者结合多年的教学经验试图就学生易犯错误类型作些总结，仅供参考。
类型一：“非等可能”与“等可能”混同例1：掷两枚骰子，求事件A 为出现的点数之和等于3的概率。
错解：掷两枚骰子出现的点数之和的可能数值为{2，3，4，……，12}，有利于事件A 的结果只有3，故111)(=A P 。
分析：公式基本事件的总数的基本事件数有利于事件A A P =)( 仅当所述的试验结果是等可能性时才成立，而取数值2和3不是等可能的，2只有这样情况（1，1）才出，而3有两种情况（1，2），（2，1）可出现，其它的情况可类推。
正确答案 掷两枚骰子可能出现的情况：（1，1），（1，2），…，（1，6），（2，1），（2，2），…，（2，6），…，（6，1），（6，2），…，（6，6），结果总数为6×6=36。
在这些结果中，事件A 的含有两种结果（1，2），（2，1）。
181362)(==∴A P 。
类型二：“有序”与“无序”混同.例2：从10件产品（其中次品3件）中，一件一件地不放回地任意取出4件，求4件中恰有1件次品的概率。
错解：因为第一次有10种取法，第二次有9种取法，第三次有8种取法，第四次有7种取法，由乘法原理可知从10件取4件共有10×9×8×7种取法，故从10件产品（其中次品3件）中，一件一件地不放回地任意取出4件含有10×9×8×7个可能的结果。
设A=“取出的4件中恰有1件次品”，则A 含有3713C C ⨯种结果（先从3件次品中取1件，再从7件正品中取3件），.48178910)(3713=⨯⨯⨯⨯=C C A P 分析：计算所有可能结果个数是用排列的方法，即考虑了抽取的顺序；而计算事件A 所包含结果个数时是用组合的方法，即没有考虑抽取的顺序。
正解：（1）都用排列方法所有可能的结果共有410A 个，事件A 包含371314A A A ⋅⋅个结果（4件中要恰有1件次品，可以看成四次抽取中有一次抽到次品，有14A 种方式，对于每一方式，从3件次品中取一件，再从7件正品中一件一件地取3件，共有371314A A A ⋅⋅种取法）21)(410371314=⋅⋅=∴A A A A A P （2）都用组合方法一件一件不放回地抽取4件，可以看成一次抽取4件，故共有410C 个可能的结果，事件A 含有3713C C ⋅种结果。
概率论解题常见错误分析
概率论解题常见错误分析概率论作为数学的一个重要分支，研究的是随机事件的发生规律，具有广泛的应用领域。
然而，在解题过程中，很多人常常会犯一些常见的错误。
本文将分析这些错误，并提供相应的解决方法，帮助读者更好地掌握概率论解题的技巧。
一、未正确理解概率的定义在解决概率问题时，很多人只关注了事件的发生，而忽视了事件的可能性。
概率是对一个事件发生的可能性进行度量，通常用一个介于0到1之间的数值来表示。
因此，正确理解概率的定义是解题的关键。
为了避免这一错误，解决概率问题时需要明确事件的全部可能性，并确保这些可能性是互不相容且能够构成一个完备的事件空间。
只有在事件空间确定的前提下，才能计算事件发生的可能性。
二、概率的加法、乘法规则混淆概率的加法和乘法规则是概率论的基本定理，但很多人容易混淆这两个规则，导致解题错误。
概率的加法规则指出，对于两个互不相容的事件A和B，它们的概率和等于两个事件分别发生的概率之和。
而概率的乘法规则指出，对于两个事件A和B，它们的联合概率等于事件A的概率乘以在事件A 发生的条件下事件B发生的概率。
在解决概率问题时，应清楚地区分加法和乘法规则，并根据问题给出的条件合理运用。
混淆加法与乘法规则通常是由于未仔细审题或计算错误造成的，因此，提高审题和计算的准确性是解决这一问题的关键。
三、未正确应用贝叶斯定理贝叶斯定理是概率论中的重要工具，用于在已知条件概率的基础上求解反条件概率。
然而，很多人对该定理的应用存在误解，导致解题错误。
贝叶斯定理的应用需要明确两个条件概率，即给定事件的概率和条件下事件的概率。
在解题过程中，需要正确区分这两个概念，并确保计算时使用的概率相互对应。
同时，在实际问题中，还需要根据题目所给的条件进行合理的转化，得到所需的概率结果。
为了避免贝叶斯定理的应用错误，解题时应仔细审题，明确给定条件和所求概率，并合理运用贝叶斯定理的公式进行计算。
四、样本空间选择错误样本空间是概率论中表示所有可能结果的集合，其选择对于问题的解答具有重要影响。
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学生概率认知中的典型错误：潜在原因及教学对策1 引言2001年颁布的《义务教育数学课程标准（实验稿）》首次将概率内容纳入中小学数学课程[1]，2012年颁布的《义务教育数学课程标准（2011年版）》则进一步降低了该部分内容的难度[2]。
这样的调整是基本合理的：一线教学实践[3][4]和大量实证研究[5][6][7]都一再表明，学生对概率概念的理解存在诸多误区和局限。
研究甚至表明[8][9][10]，不同年龄层人群对概率的认知均表现出不同程度的错误，且这些错误常常十分顽固而难以消除。
对教师而言，概率作为数学课程新近引入的内容领域，它一方面对教师的知识储备提出了挑战：他们在基础教育阶段一般没有学习过概率知识[11]，对概率的理解也常常出现各类错误[12]。
另一方面，鉴于学生概率学习中的种种困难，它还要求教师在教学中关注他们是如何理解该部分内容的[13]。
那么，教师应该怎样认识学生概率认知中的错误？长期以来，“错误”常常被认为是消极的：它是一种混淆（confusion）或离题（digression）的表现，因而应该被避免[14]。
心理学研究扭转了人们对它的认识：错误应该被积极看待，因为它是儿童思考的一部分[15]。
错误是一笔宝贵的教学资源，它直接反映了学生在概念理解过程中的局限，为教师了解学生概念学习的过程提供了诸多有价值的信息。
国际学界对学生概率认知及其错误的研究已然取得了巨大进展。
我国近年来的实证研究则进一步证实[5][16]：国际学界报道的概率认知错误在我国学生中也十分常见。
但总体而言，以往的此类研究大都关注于错误的具体表现（“是什么”），其次是对错误的原因分析（“为什么”），而对于错误的教学干预（“怎么办”）则着墨较少。
研究者近年来对我国中小学生的概率认知水平[17][18]、认知偏见[19]及认知策略[20]等展开了系列实证研究，本文结合上述系列研究的结果，以学生概率认知中4类常见的错误（概率不可预知、代表性启发、等可能性偏见、模糊的样本空间）为例，着力从知识基础、思维水平、直觉经验等视角探讨学生概率认知错误的潜在原因，并从教学层面提出若干建议以供一线教师参考。
浅议高中生概率学习的常见错误及对策
问题研究新课程NEW CURRICULUM浅议高中生概率学习的常见错误及对策甄荣（甘肃省嘉峪关市第一中学）概率知识从20世纪30年代开始在高中数学课程中几进几出，最终于2003年正式成为必修内容，使学生对确定性和随机性的两种现象都能从数学上进行理解，深刻地改变学生的数学观念，是一个未来公民的必备常识。
然而，在概率的学习中，学生经常会出现一些认知错误，影响了其对随机性的理解。
笔者总结了常见的认知错误，分析了成因，进而提出了一些教学策略。
一、高中生在概率学习中常见的认知错误1.古典概型等可能性泛化产生的错误高中必修三“古典概型”的学习过程中，学生常对等可能性产生泛化错误，将原本概率不同的事件误认为等可能。
如，同时抛掷两枚相同的骰子，部分学生会认为事件“一个出现2一个出现4”和事件“两个都出现3”的概率相等。
这是因为，学生觉得每个骰子是相互独立的，对一个骰子而言，出现某个点数的机会是均等的。
学生却忽略了“一个出现2一个出现4”是由两个基本事件组成的。
2.受确定性数学思维影响产生的错误受到确定性数学思维的影响，学生往往会认为概率是一个近似值。
高中数学从统计定义的角度引出概率概念。
以抛硬币出现“正面”朝上的概率为例。
随着抛硬币次数的增加，出现“正面”朝上的频率越来越稳定于0.5附近。
于是，学生就误认为概率0.5是“正面”出现频率的近似值，是通过四舍五入得来的。
3.受生活经验和直觉的影响产生的错误学生概率的学习深受其直觉影响。
其实，在小学正式接触概率知识之前，学生就已经有了对概率的直觉，有可能是对的，也有可能是错误的。
比如，有很多学生认为后抽签比先抽签吃亏。
再如，学生会认为抛掷一颗骰子1000次，出现小于4的点数的次数差不多就是500次。
受生活经验和直觉的影响，学生对随机现象问题经常反应迟钝甚至误解。
4.对几何概型的认知错误在几何概型的学习中，学生会觉得比较简单，这是因为之前已经大量体会了等可能性和随机性。
小学概率知识的教学误区与思考
小学概率知识的教学误区与思考
小学概率知识的教学存在着误区，一般会出现以下形式：
一、概率教学重视事件发生可能性而忽视事实背景。
小学概率知
识教学中，往往会重视事件发生可能性而忽视事实背景，仅仅给出事
件发生可能性，没有紧密地理解背景，这样会限制学生对概率的正确
理解。
二、错误的理解概率的实质。
小学概率知识教学中，也会出现学
生误解概率实质的情况，学生往往把概率理解为明确的几率，把概率
当作某一事件的发生的必然程度或其概率，而不是真正的概率统计概念，所以学生无法灵活使用概率。
三、把概率简单地理解为固定不变的概念。
小学概率知识教学时，还有学生将概率简单地理解为固定不变的概念，学生不太关注概率变化，更不会去思考概率变化的原因，概率思维也欠缺。
因此，在教学过程中，我们要加强学生对概率知识系统化的认识，让学生充分理解概率的实质，灵活运用概率的思维去解决实际问题，
强化对概率变化的思考，从而提高学生对概率的掌握能力。
通过引导
学生进行实际概率的实验，让学生体验概率的变化，综合运用概率的
概念去分析，把概率运用到实践中，也可以提高学生针对性训练概率
知识的能力。
总之，小学概率知识教学中，要避免以上这类教学误区，从而提高学生对概率知识的正确理解能力。
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学生概率认知中的典型错误：潜在原因及教学对策作者：何声清来源：《中学数学杂志(初中版)》2017年第04期【摘要】学生的概率认知常常表现出各种错误，且这些错误常常十分顽固而难以消除。
结合笔者以往的实证研究，以学生概率认知中4类常见的错误（概率不可预知、代表性启发、等可能性偏见、模糊的样本空间）为例，从知识基础、思维水平、直觉经验等视角对上述错误的潜在原因进行分析，并据此对教师的教学改进提出若干建议。
【关键词】概率认知；等可能性偏见；样本空间；代表性启发1 引言2001年颁布的《义务教育数学课程标准（实验稿）》首次将概率内容纳入中小学数学课程[1]，2012年颁布的《义务教育数学课程标准（2011年版）》则进一步降低了该部分内容的难度[2]。
这样的调整是基本合理的：一线教学实践[3][4]和大量实证研究[5][6][7]都一再表明，学生对概率概念的理解存在诸多误区和局限。
研究甚至表明[8][9][10]，不同年龄层人群对概率的认知均表现出不同程度的错误，且这些错误常常十分顽固而难以消除。
对教师而言，概率作为数学课程新近引入的内容领域，它一方面对教师的知识储备提出了挑战：他们在基础教育阶段一般没有学习过概率知识[11]，对概率的理解也常常出现各类错误[12]。
另一方面，鉴于学生概率学习中的种种困难，它还要求教师在教学中关注他们是如何理解该部分内容的[13]。
那么，教师应该怎样认识学生概率认知中的错误？长期以来，“错误”常常被认为是消极的：它是一种混淆（confusion）或离题（digression）的表现，因而应该被避免[14]。
心理学研究扭转了人们对它的认识：错误应该被积极看待，因为它是儿童思考的一部分[15]。
错误是一笔宝贵的教学资源，它直接反映了学生在概念理解过程中的局限，为教师了解学生概念学习的过程提供了诸多有价值的信息。
国际学界对学生概率认知及其错误的研究已然取得了巨大进展。
我国近年来的实证研究则进一步证实[5][16]：国际学界报道的概率认知错误在我国学生中也十分常见。
但总体而言，以往的此类研究大都关注于错误的具体表现（“是什么”），其次是对错误的原因分析（“为什么”），而对于错误的教学干预（“怎么办”）则着墨较少。
研究者近年来对我国中小学生的概率认知水平[17][18]、认知偏见[19]及认知策略[20]等展开了系列实证研究，本文结合上述系列研究的结果，以学生概率认知中4类常见的错误（概率不可预知、代表性启发、等可能性偏见、模糊的样本空间）为例，着力从知识基础、思维水平、直觉经验等视角探讨学生概率认知错误的潜在原因，并从教学层面提出若干建议以供一线教师参考。
2 “概率不可预知”义务教育阶段涉及的概率内容主要是理论概率与实验概率。
前者的一个例子是古典概率，后者的一个例子是频率概率。
古典概率的基本特点是试验的样本空间有限（即，所有可能结果的个数是有限个）且每个结果出现的可能性相同，事件的概率可以通过事前的理论计算而得知，因而它具有先验性。
频率概率是根据大量重复试验的结果而归纳得到的，其依据的原理是大数定律：在进行大量重复试验后，事件发生的频率将无限接近于其概率。
以教材中常见的“摸球”模型为例，一个盒子里有2个黑球和1个白球（它们除颜色外均相同，下同）。
如果我们问“从盒子里摸出1个球，摸出哪种球的概率大”，它属于古典概率问题；如果我们问“从盒子里摸出1个球，记下颜色后放回。
假设如此重复摸球1000次，请你估计摸出哪种颜色球的次数多”，它则属于频率概率问题。
无论哪种情形，总有些学生会认为“这些没有发生的事情不好预测，只有摸了才知道”、“我们不可能预知未来”、“老天爷才知道”、“我们不是球，只有球知道”，等等[20][21][22]。
在他们眼里，概率具有一种神秘色彩，它是不可被预测和量化的。
究其原因，他们对古典概率的理论先验性和频率概率的大数定律缺乏认识。
尽管中小学教材对此没有明确提及，也不适合正式地以文字形式呈现，但这些思想的渗透似乎显得必不可少。
从更一般的角度而言，古典概率的“先验推理”是一种演绎的推理方式，频率概率的“基于数据推理”是一种归纳的推理方式。
这也在一定程度上反映了学生概率思维的缺失。
如何帮助学生摆脱这类错误认识？笔者认为：第一，对古典概率而言，加强学生对概率“可度量性”的认识。
生活中有许多的度量单位和工具，例如一本书的大小可以用“长和宽”、“厚和薄”来衡量，室内的空气可以用“热与冷”、“干与湿”来衡量。
概率则是衡量可能性大小（程度）的“单位”，不过与上述“长度”、“宽度”、“厚度”、“热度”、“湿度”等有所区别的是，它不是那么容易直接感知，它是看不见、摸不着的。
尽管如此，它起码是可以被度量的。
这也正是概率的魅力所在：身处信息纷繁的大数据时代，我们在处理生活中随机事件时可以有据可循，概率就是我们进行决策的有力工具。
在教学中，教师应能帮助学生认识到，概率并非深不可测或充满神秘，我们可以从理论上去度量它并为我们所用。
究竟最终摸出哪种情况的确不得而知，但至少我们可以事先预测哪种情况被摸出的可能性更大。
“最终摸出哪种情况”和“哪种情况更容易被摸出”是两码事，前者“只有摸了才知道”，而后者是“在不摸的情况下进行预测”。
概率知识就是帮助我们对随机事件结果进行合理预测的手段，而至于最终“真正摸出的那种情况”与“理论上更容易被摸出的情况”是否正好一致则无法肯定，因为随机事件中每个结果出现的概率都不是100%，小概率的结果也有可能发生。
第二，对频率概率而言，加强学生的“数据意识”。
在相同条件下的大量重复试验中，一次结果具有随机性但总体结果则具有稳定性和规律性，这里的稳定性和规律性是指各类结果的相对频率渐趋明朗，它们发生的概率可以被大概估计。
显然，从“过往经验”估计“将来结果”的过程是基于数据的统计推理过程。
只要试验次数足够多，我们对某个结果发生概率的估计就越准确。
在教学中，教师应能帮助学生认识到概率和统计的内在联系，培养学生的数据意识，引导其在实际的统计活动中感受概率的相对大小，并发展其统计推理和归纳思维能力。
3 “代表性启发”如前所述，在古典概率问题中概率是可以通过理论被计算出来的。
例如，一个盒子里有2个黑球和2个白球，如果我们问“从盒子里摸出2个球，摸出‘1个黑球和1个白球’与摸出‘2个白球’两种情况哪种概率大”。
很多学生能够断定摸出“1个黑球和1个白球”的概率大，但是他们给出的理由则完全不是依据“计算”得来的：他们倾向于认为这种“混合结果”更具有“代表性”或“一般性”，而“两个都是白球”这种情况太“极端”或“特殊”[23][24]。
例如，有学生认为“1个黑球和1个白球这种黑白搭配比较容易出现，两个都是白的太难了”，“不可能那么巧两个都是白的，1个黑的1个白的比较正常”，等等。
究其原因，他们一方面对概率的“可度量性”认识不足，更不能找到可靠的办法（即，基于列举法求概率）将它计算出来。
这里不再赘述。
另一方面，这也反映了这部分学生习惯从“主观感知”或“直觉认识”的角度看待概率问题。
更具体地说，这在一定程度上反映了他们认识事物时所表现出的“中庸思维”，在决策时常常倾向于“远离极端结果，亲近一般结果”。
如何帮助学生摆脱这类错误认识？笔者认为：第一，如前所述，加强学生对概率“可度量性”的认识，这里不再赘述。
第二，正确看待学生概率认知中的直觉因素。
概率内容具有情境性和直觉性[25]。
学生在正式接触概率之前已然积累了大量与之有关的生活经验，因而他们对概率的理解不可避免地掺杂了直觉的因素[24]。
直觉在儿童的概率认知中扮演着重要角色。
但直觉有两面性，不良的直觉会有害无益。
教师要引导学生：概率研究的虽然是“不确定性”，但是我们在概率推理或决策时实则有据可循，而不能把生活中的经验完全嫁接到概率问题中去。
如果盒子里有10个白球和1个黑球，摸出“1个白球和1个黑球”的概率仍然比摸出“2个白球”的大吗？这时候类似于“两种不同颜色搭配更加容易，而两个都是白的太难了”的解释是否显得苍白无力了呢？事件的概率不以我们的意愿而改变，我们要做的是根据具体情况进行分析，而不能过分地将自己的意识强加在这个过程中，所谓的“更具有代表性的结果”只不过是我们主观的意愿，它无法左右事件的概率，也无法有效解释概率。
4 “等可能性偏见”Lecoutre发现[26]，当我们用外形均匀的物体进行随机试验时，人们常常不顾各类结果概率大小的差异，而一味地认为所有结果的概率相等。
仍以上述“摸球”任务为例，一个盒子里有2个黑球和2个白球，如果我们问“从盒子里摸出2个球，摸出‘1个黑球和1个白球’与摸出‘2个白球’两种情况哪种概率大”。
总有人会认为“两者的可能性一样大”，因为“所有结果的可能性大小相等”。
李俊进一步发现[16]，学生的“等可能性偏见”实际上有两种基本类型：一类认为所有结果发生的机会都是“一半一半”的，它们的概率都是50%；一类则是根据他们能够想到的可能结果进行“计算”而来，假如某学生认为上述试验共有3种可能的结果——“2个都是白球，2个都是黑球，1个黑球和1个白球”，他则断定每个结果的概率都是1/3。
学生的“等可能性偏见”是十分普遍和难以消除的。
研究发现[19]，前一种“等可能性偏见”随年级增长有所消除，后一种“等可能性偏见”则随年级增长不降反升。
两类“等可能性偏见”的原因有同有异。
相同之处在于：第一，它们都是对“等可能性”的曲解。
例如，掷一枚质地均匀的骰子，所有可能结果为{1，2，3，4，5，6}，每个结果是“等可能”的；掷两枚质地均匀的骰子，所有可能结果为{（1，1），（1，2），…（1，6）；（2，1），（2，2），…（2，6）；（3，1），（3，2），…（3，6）；（4，1），（4，2），…（4，6）；（5，1），（5，2），…（5，6）；（6，1），（6，2），…（6，6）}，每个结果也是“等可能”的（它们是基本事件），但掷出“1和2”（它不是基本事件）与“两个1”的概率则是不相等的。
再如上述摸球的例子，所有可能的结果为{白1白2，白1黑2，白2黑2，黑1黑2，黑1白1，黑1白2}，每个结果是“等可能”的，但是“1个黑球和1个白球”与“2个白球”的概率则是不相等的，因为前者包含了结果中的4种情况。
第二，它们都是“等分思维”惹的祸。
等分思维是一种确定性思维，学生在对概率认识不足的情况下，其潜意识里的等分思维往往在其概率计算中扮演着重要的反面角色。
在以往的访谈中常常听到学生这样的观点：“既然这些结果都有可能发生，那么他们的可能性一样大”。
显然，他们认为“都可能发生”就是“发生的机会一样大”，因为“具体是什么结果只有发生了才知道，如果事先要判断哪个结果更大，那只能用平等的眼光看待这些结果”。