2005年高考文科数学试题北京卷

2005年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数 学（文史类）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分，考试时间120分钟.考试结束，将本试卷和答题卡一并交回.第I 卷（选择题 共40分）注意事项： 1．答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。

2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

不能答在试卷上。

一、本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1．设集合}1|{},1|{2>=>=x x P x x M ，则下列关系中正确的是 （ ）A ．M=PB ．P MC ．M PD ．M ∪P=R2．为了得到函数123-=-x y 的图象，只需把函数x y 2=的图象上所有的点（ ）A ．向右科移3个单位长度，再向下平移1个单位长度B ．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度C ．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度D ．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度3．“21=m ”是“直线03)2()2(013)2(=-++-=+++y m x m my x m 与直线相互垂直”的 （ ） A ．充分必要条件 B ．充分而不必要条件 C ．必要而不充分条件 D ．既不充分也不必要条件4．若| a |=1，| b |=2，c = a + b ，且c ⊥a ，则向量a 与b 的夹角为 （ ）A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°5．从原点向圆0271222=+-+y y x 作两条切线，则这两条切线的夹角的大小为（ ）A ．6πB ．3π C ．2π D ．32π 6．对任意的锐角βα,，下列不等关系中正确的是（ ）A ．βαβαsin sin )sin(+>+B ．βαβαcos cos )sin(+>+C ．βαβαsin sin )cos(+<+D ．βαβαcos cos )cos(+<+7．在正四面体P —ABC 中，D ，E ，F 分别是AB ，BC ，CA 的中点，下面四个结论中不成立．．．的是 （ ） A ．BC//平面PDF B ．DF ⊥平面PAE C ．平面PDF ⊥平面ABC D ．平面PAE ⊥平面ABC8．五个工程队承建某项工程的5个不同的子项目，每个工程队承建1项，其中甲工程队不能承建1号子项目，则不同的承建方案共有 （ ） A ．C 14C 44种B ．C 14A 44种C ．C 44种D ．A 44种第Ⅱ卷（共110分）注意事项：1．用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上。

2．答卷前将密封线内的项目填写清楚。

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 把答案填在题中横线上. 9．抛物线x y 42=的准线方程是 ，焦点坐标是 .10．6)1(xx -的展开式中的常数项是 . （用数字作答） 11．函数xx x f -++=211)(的定义域为 .12．在△ABC 中，AC=3，∠A=45°，∠C=75°，则BC 的长为 . 13．对于函数)(x f 定义域中任意的)(,2121x x x x ≠，有如下结论：①)()()(2121x f x f x x f ⋅=+； ②)()()(2121x f x f x x f +=⋅；③;0)()(2121>--x x x f x f④.2)()()2(2121x f x f x x f +>+x x f lg )(=当时，上述结论中正确结论的序号是 .14．已知n 次式项式n n n n n a x a x a x a x P ++++=--1110)( .如果在一种算法中，计算),,4,3,2(0n k x k=的值需要k －1次乘法，计算P 3（x 0）的值共需要9次运算（6次乘法，3次加法），那么计算P 10（x 0）的值共需要 次运算. 下面给出一种减少运算次数的算法：P 0（x ）=a 0，P k +1（x ）=x P k （x ）+a k +1（k =0，1，2，…，n －1）.利用该算法，计算P 3（x 0）的值共需要6次运算，计算P 10（x 0）的值共需要 次运算.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．（本小题共12分）已知tan22=α，求：（Ⅰ）4tan(πα+）的值；（Ⅱ）ααααcos 2sin 3cos sin 6-+的值.16．（本小题共14分） 如图，在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AC=3，BC=4，AB=5，AA 1=4，点D 是AB 的中点.（Ⅰ）求证AC ⊥BC 1；（Ⅱ）求证AC 1//平面CDB 1；（Ⅲ）求异面直线AC 1与B 1C 所成角的余弦值. 17．（本小题共13分）数列}{n a 的前n 项和为S n ，且 ,3,2,1,31,111===+n S a a n n ，求： （Ⅰ）432,,a a a 的值及数列}{n a 的通项公式；（Ⅱ）n a a a a 2642++++ 的值. 18．（本小题共13分）甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为21，乙每次击中目标的概率为,32求：（Ⅰ）甲恰好击中目标2次的概率； （Ⅱ）乙至少击中目标2次的概率；（Ⅲ）乙恰好比甲多击中目标2次的概率. 19．（本小题共14分）已知函数.93)(23a x x x x f +++-=（Ⅰ）求)(x f 的单调递减区间；（Ⅱ）若)(x f 在区间[－2，2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值.20．（本小题共14分）如图，直线kx y l k kx y l -=>=:)0(:21与直线之间的阴影区域（不含边界）记为W. 其左半部分记为W 1，右半部分记为W 2. （Ⅰ）分别用不等式组表示W 1和W 2；（Ⅱ）若区域W 中的动点P （x ，y ）到l 1，l 2的距离之积等于d 2，求点P 的轨迹C 的方程；（Ⅲ）设不过原点O 的直线l 与（Ⅱ）中的曲线C 相交于M 1，M 2两点，且与l 1，l 2分别交于M 3，M 4两点. 求证△OM 1M 2的重心与△OM 3M 4的重心重合.绝密★启用前2005年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数学（文史类）参考答案一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1．C 2．A 3．B 4．C 5．B 6．D 7．C 8．B 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）l 1l 2xyO9．)0,1(,1-=x 10．－20 11．),2()2,1[+∞- 12．2 13．②③ 14．65 20三、解答题（本大题共6小题，共80分） 15．（共12分）解：（Ⅰ）因为,3441222tan12tan2tan ,22tan-=-⨯=-==ααα所以.71341134tan 11tan 4tantan 14tantan )4tan(-=++-=-+=-+=+ααπαπαπα所以（Ⅱ）由（Ⅰ），,34tan -=α.672)34(31)34(62tan 31tan 6cos 2sin 3cos sin 6=--+-=-+=-+αααααα所以16．（共14分） 解法一：（Ⅰ）∵直三棱柱ABC —A 1B 1C 1底面三边长AC=3，BC=4，AB=5， ∴AC ⊥BC ，且BC 1在平面ABC 内的射影为BC ，∴AC ⊥BC 1.（Ⅱ）设CB 1与C 1B 的交点为E ，连结DE ， ∵D 是AB 的中点，E 是BC 1的中点， ∴DE//AC 1，∵DE ⊂平面CDB 1，AC 1⊄平面CDB 1， ∴AC 1//平面CDB 1.（Ⅲ）∵DE//AC 1，∴∠CED 为AC 1与B 1C 所成的角， 在△CED 中，ED 121AC ==,2221,2521,251====CB CE AB CD .522252228cos =⋅⋅=∴CED ∴异面直线AC 1与B 1C 所成角的余弦值为.522 解法二：∵直三棱柱ABC —A 1B 1C 1底面三边长AC=3，BC=4，AB=5， ∴AC ，BC ，C 1C 两两垂直.如图，以C 为坐标原点，直线CA ，CB ，CC 1分别为x 轴， y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系， 则C （0，0，0），A （3，0，0），C 1（0，0，4），B （0，4，0）， B 1（0，4，4），D （23，2，0）. （Ⅰ）),4,4,0(),0,0,3(1-=-=BC AC ..011BC AC BC AC ⊥∴=⋅∴（Ⅱ）设CB 1与C 1B 的交点为E ，则E （0，2，2）. 111//,21),4,0,3(),2,0,23(AC DE AC AC ∴=∴-=-=.//,,11111CDB AC CDB AC CDB DE 平面平面平面∴⊄⊂（Ⅲ）),4,4,0(),4,0,3(11=-=CB AC.522,cos 111111=>=<∴CB AC ∴异面直线AC 1与B 1C 所成角的余弦值为.522 17．（共13分） 解：（Ⅰ）由得,,3,2,1,31,111 ===+n S a a n n.313131112===a S a⎪⎩⎪⎨⎧≥==≥==≥=≥=-=-=++===+==--+-+.2,)34(31,1,1}{,).2()34(31,31),2(,34),2(31)(31.2716)(3131,94)(3131222111321342123n n a a n a a n a a n a S S a a a a a S a a a S a n n n n n n n n n n n 的通项公式为数列所以所以又得由（Ⅱ）由（I ）可知a 2，a 4，…，a 2n ，是首项为,31公比为（34）2，项数为n 的等比数列， 所以].1)34[(73)34(1)34(1312222642-=--⋅=++++n n n a a a a 18．（共13分） 解：（I ）甲恰好击中目标2次的概率为.83)21(323=C （II ）乙至少击中目标2次的概率为.2720)32(31)32(333223=+⋅C C （III ）设乙恰好比甲多击中目标2次为事件A ，乙恰好击中目标2次且甲恰好击中目标0次为事件B 1，乙恰好击中目标3次且甲恰好击中目标1次为事件B 2，则A=B 1+B 2，B 1，B 2为互斥事件.P （A ）=P （B 1）+P （B 2）.6191181)21()32()21(31)32(313333303223=+=⋅+⋅⋅=C C C C 所以，乙恰好比甲多击中目标2次的概率为.6119．（共14分）解：（1）令,963)(2++-='x x x f ,31,0)(>-<<'x x x f 或解得所以函数)(x f 的单调递减区间为).,3(),1,(+∞--∞ （II ）因为,218128)2(a a f +=+-+=-).2()2(,2218128)2(->+=+++-=f f a a f 所以因为（－1，3）上,0)(>'x f 所以)(x f 在[－1，2]上单调递增，又由于)(x f 在 [－2，－1]上单调递减，因此)2(f 和)1(-f 分别是)(x f 在区间[－2，2]上的最大值和最小值..7]2,2[)(,72931)1(,293)(,2,202223---=--+=--++-=-==+上的最小值为在区间即函数因此故解得于是有x f f x x x x f a a20．（共14分）解：（I ）},0,|),{(1<-<<=x kx y kx y x W}.0,|),{(2><<-=x kx y kx y x W （II ）直线.0:,0:21=+=-y kx l y kx l 直线由题意得 .0)1(.0)1(,1,0,),(,1||,1||1||22222222222222222222222222=+--=+--=-->-∈=+-=++++-d k y x k C P d k y x k d k y x k y x k W y x P d k y x k d k y kx k y kx 的方程为的轨迹所以动点所以知由即 （III ）当直线l 与x 轴垂直时，可设直线l 的方程为)0(≠=a a x . 由于直线l ，曲线C关于x 轴对称，且l 1与l 2关于x 轴对称，于是M 1M 2，M 3M 4的中点坐标都为（a ，0），所以△OM 1M 2，△OM 3M 4的重心坐标都为)0,32(a ，即它们的重心重合. 当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为).0(≠+=n n mx y由.02)(,0)1(222222222222=-----⎩⎨⎧+==+--d d k n mnx x m k nmx y d k y x k 得由直线l 与曲线C 有两个不同交点，可知且,022≠-m k ),,(),,(,.2)(,2),,(),,(,,0)()(4)2(443343212122212211212222222y x y x M M n x x m y x mk mn x x y x y x M M d d k n m k mn 的坐标分别为设则的坐标分别为设++=+-=+>++⨯-+=∆ ,3030,3030,2)(2)(,2,,,,432143212121434321224343y y y y x x x x y y n x x m n x x m y y x x mk mn x x m k n x m k n x n mx y kx y n mx y kx y ++=++++=+++=++=++=++=-=++-=-=⎩⎨⎧+=-=⎩⎨⎧+==所以所以从而得及由于是△OM 1M 2的重心与△OM 3M 4的重心也重合.。