初等数论期末复习
初等数论期末复习提纲模板
2012 2013 学年第一学期《教育科研导引n》期末复习提纲10 初教）、多项选择、简答题、论述题四、计算题章教育行动研究法一、教育行动研究法概述教育行动研究是目前国际上流行的一种教师研究和教师校本培训模式。
1.实践性2.参与性3.民主性4.尝试性二、教育行动研究的意义1.消除学校的科研泡沫和教科研的“两张皮”现象，增加学校教科研的实效性。
2.增强教师的专业素质和敬业精神。
3.行动研究使学校教师能够将理论、经验和实际问题的解决有机地结合起来，真正实现“科研兴校”。
4.增强学校和教师的服务意识，提升学校和教师的竞争力。
5.行动研究是一种校本培训的方式，使学校的在职培训结构更加完整。
三、行动研究的一般程序（一）问题的提出（二）问题的归因（三）措施与行动（四）评估与反思四、行动研究的适用范围和可行性（一）行动研究一般地适用于下列研究范围1.在教学过程中将新的改革措施引入固有的体系中，使之得到创新；2. 作为职业训练的手段， 提供新的技术和方法， 提高教师的职业分析能力和自我 意识；3. 在特殊情况下，对已确诊的问题加以补救，或使环境因素得到改善；4. 对课程进行中、小规模的研究与改革。
（二）行动研究的优点和局限1. 行动研究法的优点主要表现为：（1） （2） （3）五、 （一）有效教学与教学行动研究2. 行动研究对有效教学的改善 （1） 利用率。
通过教师教学行动的边际优化，提高教师与学生学习时间的利用率。
改善教育情境，提高教学方法与便宜，发挥教师的教学潜能。
探索适合特定学生的学习方法与学习指导策略 , 提高学生学习潜能使用度。
、研究数据、资料的整理和统计图表 一）数据检查、分类和整理1. 数据审核（1）数据审核指两个方面的内容：研究的总体和个体。
（2）质量审核的方法有两种：计量审核和逻辑审核。
2. 数据的类型 1）数据分类的含义数据的分类，也称统计分类或统计归组，指根据研究的目标、任务，运用统计方 法，将收集的研究材料按照研究对象的不同特点，进行归类分组、整理筛选，并记录 数据形式的过程。
初等数论期末试题及答案
初等数论期末试题及答案1. 选择题1.1 以下哪个数是质数？A. 10B. 17C. 26D. 35答案：B. 171.2 下列哪个数不是完全平方数？A. 16B. 25C. 36D. 49答案：C. 361.3 对于任意正整数n，下列哪个数一定是n的倍数？A. n^2B. n^3C. n+1D. n-1答案：A. n^22. 填空题2.1 求下列数的最大公约数：a) 24和36b) 45和75答案：a) 12b) 152.2 求下列数的最小公倍数：a) 6和9b) 12和18答案：a) 18b) 363. 计算题3.1 求1到100之间所有奇数的和。
解答：观察可知，1到100之间的奇数是等差数列，公差为2。
根据等差数列的求和公式，我们可以得到：(100 - 1) / 2 + 1 = 50 个奇数所以，奇数的和为：50 * (1 + 99) / 2 = 25003.2 求1到100之间所有能被3整除的数的和。
解答：观察可知，1到100之间能被3整除的数是等差数列，首项为3，公差为3。
根据等差数列的求和公式，我们可以得到：(99 - 3) / 3 + 1 = 33 个数所以，能被3整除的数的和为：33 * (3 + 99) / 2 = 16834. 证明题4.1 证明：如果一个数是平方数，那么它一定有奇数个正因数。
证明：设n是一个平方数，即n = m^2，其中m是一个正整数。
我们知道，一个数的因数总是成对出现的，即如果a是n的因数，那么n/a也是n的因数。
对于一个平方数n来说，它的因数可以分成两类：1) 当因数a小于等于m时，对应的商n/a必然大于等于m，因此这样的因数对有m对；2) 当因数a大于m时，对应的商n/a必然小于等于m，因此这样的因数对有(m - 1)对。
所以，在m > 1的情况下，平方数n有2m - 1个正因数，由于m是正整数，因此2m - 1一定是奇数。
而当m = 1时，平方数1只有一个因数，也满足奇数个正因数的条件。
《初等数论》期期末复习资料
《初等数论》期期末复习资料一、单项选择题1、如果n 2，n 15，则30（ ）n .A 整除B 不整除C 等于D 不一定 2、大于10且小于30的素数有（ ）. A 4个 B 5个 C 6个 D 7个 3、模5的最小非负完全剩余系是( ).A -2,-1,0,1,2B -5,-4,-3,-2,-1C 1,2,3,4,5D 0,1,2,3,4 4、整数637693能被( )整除. A 3 B 5 C 7 D 95、不定方程210231525=+y x （ ）.A 有解B 无解C 有正数解D 有负数解 6、 求525与231的最大公因子（ ） A 、63 B 、21 C 、42 D 、12 7、同余式)593(m od 4382≡x （ ）.A 有解B 无解C 无法确定D 有无限个解 8、不定方程210231525=+y x （ ）.A 有解B 无解C 有正数解D 有负数解 9、公因数是最大公因数的（ ）. A 因数 B 倍数 C 相等 D 不确定 10、整数637693能被( )整除. A 3 B 5 C 7 D 911、 求525与231的最大公因子（ ） A 、63 B 、21 C 、42 D 、12 12、同余式)593(m od 4382≡x （ ）.A 有解B 无解C 无法确定D 有无限个解13、不定方程210231525=+y x （ ）.A 有解B 无解C 有正数解D 有负数解 14、公因数是最大公因数的（ ）. A 因数 B 倍数 C 相等 D 不确定 15、整数637693能被( )整除. A 3 B 5 C 7 D 9 16、在整数中正素数的个数（ ）.A 有1个B 有限多C 无限多D 不一定 17、如果)(mod m b a ≡,c 是任意整数,则 A )(mod m bc ac ≡ Bb a =C ac T )(m od m bcD b a ≠19、如果)(mod m b a ≡,c 是任意整数,则 A )(mod m bc ac ≡ B b a =C ac T )(m od m bcD b a ≠20、=),0(b （ ）. A b Bb -C bD 021、如果1),(=b a ，则),(b a ab +=（ ）. A a BbC 1D b a +22、小于30的素数的个数（ ）. A 10 B 9 C 8 D 7 三、计算题1、 求50!中2的最高次幂.2、令 =-1859， =1573，求( )=?3、 求525与231的最大公因子?4、解同余式)321(m od 75111≡x .5、求[525,231]=?6、求解不定方程18116=-y x .7、 解不定方程525x+231y=42.8、 求7x+4y=100的一切整数解. 9、 求-15x+25y=-100的一切整数解. 10、 求9x+24y-5z=1000的一切整数解。
（完整版）初等数论练习题二（含答案）
（完整版）初等数论练习题二（含答案）《初等数论》期末练习一、单项选择题1 如果 ba , a b ，则().A a b Bab2、如果 3n , 5n ，贝U 15 (A 整除B 不整除 C3、在整数中正素数的个数（）.A 有1个B 有限多C 无限多D 不一定4、如果a b （modm ） ,c 是任意整数贝UA ac bc(modm)B a bC ac bc(mod m) Dab5、如果(),则不定方程ax by c 有解.A (a,b) cB c(a, b)C a cD (a, b)a6、整数5874192能被()整除.A 3B 3 与 9C 9D 3 或 97、如果 2n , 15n ，贝U 30( ) n . A 整除 B 不整除 C 等于 D 不一定& 大于10且小于30的素数有（). A 4个 B 5个 C 6个 D 7个9、模5的最小非负兀全剩余系是（ ). A -2,-1,0,1,2 B -5,-4,-3,-2,-1 C 1,2,3,4,5 D 0,1,2,3,4 10、整数637693能被（）整除. A 3 B 5C 7D 9二、填空题1、素数写成两个平方数和的方法是（）. 2、同余式ax b O （modm ）有解的充分必要条件是（）.8、如果同余式ax b O （modm ）有解，则解的个数（）. 9、在176与545之间有（）是13的倍数.10、如果 ab 0 则［a,b ］（a,b ）=（）. Cab Dab ）n . 等于 D 不一定 3、如果a,b 是两个正整数，则不大于 4、如果p 是素数，a 是任意一个整数 5、 a,b 的公倍数是它们最小公倍数的6、如果a,b 是两个正整数，则存在a 而为b 的倍数的正整数的个数为（）.，则a 被p 整除或者（）.（）. ）整数 q, r ,使 a bq r, 0 r b. y 2有（）.11、如果（a,b） 1,那么（ab,a b）=（）.二、计算题1、求[136,221,391]=?2、求解不定方程9x 21y 144.3、解同余式12x 15 0(mod45).4294、求——,其中563是素数.(8分)5635、求[24871,3468]=?6、求解不定方程6x 17y 18.7、解同余式111x 75(mod321).8、求17的平方剩余与平方非剩余.四、证明题1、证明对于任意整数2n nn，数3 23—是整数.62、证明相邻两个整数的立方之差不能被5整除.3、证明形如4n 1的整数不能写成两个平方数的和4、如果整数a的个位数是5,则该数是5的倍数.5、证明相邻两个偶数的乘积是8的倍数.初等数论期末练习一答案、单项选择题1、D.2、A3、C4、A5、A6、B7、A8、C9、D 10、C二、填空题1、素数写成两个平方数和的方法是(唯一的)2、同余式ax b 0(modm)有解的充分必要条件是 ((a,m)b ).3、如果a,b 是两个正整数，则不大于a 而为b 的倍数的正整数的个数为 ([-]). b4、如果p 是素数,a 是任意一个整数，则a 被p 整除或者(与p 互素).5、 a,b 的公倍数是它们最小公倍数的(倍数).6、如果a,b 是两个正整数，则存在(唯一)整数q, r ,使a bq r, 0 rb.7、设p 是素数，则不定方程p x 2 y 2有(唯一解 ).8、如果同余式ax b 0(mod m)有解，则解的个数((a, m)).9、在176与545之间有(28 )是13的倍数.10、如果 ab 0 则[a,b](a,b)=( ab ).11、如果(a,b) 1,那么(ab, a b)=(1). 三、计算题1、求[136,221,391]=? （ 8 分）解[136,221,391]=[[136,221],391]=[1768,391] 1768 391 17=104 391 =40664.解：因为(9，21)=3， 3144，所以有解;化简得3x 7y 48 ；考虑 3x 7y 1，有 x 2, y 1，所以原方程的特解为 x 96, y 48，因此，所求的解是 x 96 7t, y 48 3t,t Z 。
初等数论期末复习
2015年5月8日9时1分
性质(9)
若 a ≡b (mod m1), a ≡b (mod m2), m=[ m1, m2 ], 则 a ≡ b (mod m) .
性质(10) 设d ≥1， d | m，若a ≡b (mod m) ，
则 a ≡ b (mod d ) .
性质(11) 若a ≡b (mod m)，则 (a，m) = (b，m).
则一次同余方程ax ≡ b ( mod m )恰有一个解 .
一次同余方程有解的判定
定理3.1.3 设m为正整数， a, b是整数， (a, m)=d，则同
余方程 ax≡b (mod m) 有解的充分必要条件为 d | b.
定理3. 1. 4 设m为正整数, a为整数, (a, m)=d，
d | b，则同余方程 ax ≡ b (mod m) 恰有 d 个解．
变形(1)：加上或减去模的倍数，推广的加减变形，
即 a≡b+mk (mod m); 变形(2)：移项变形， 由 a≡b+c(mod m) 可得 a－c≡b(mod m); 变形(3)：约去同余式两端的公约数，约简变形，
2015年5月8日9时1分
简化剩余系的充要条件
定理2.2 7 整数集合 {a1 , a2 , , a ( m) }为模m的 简化剩余系的充要条件是： ( i ) (ai, m) =1 ( 1≤i ≤ϕ (m) ); ( ii ) 各数关于模m两两不同余．
2015年5月8日9时1分
定理 2.2.8 若( a，m ) = 1 , x 通过模 m 的简化 剩余系，则 ax 也通过模 m 的简化剩余系。
2015年5月8日9时1分
பைடு நூலகம்
利用同余解答整除问题
初等数论知识点整理
初等数论知识点整理 1. 整数的基本性质：
- 整数的定义与整数集的基本运算
- 整数的大小与比较
- 整数的不同表示形式（十进制、二进制、八进制等） 2. 整除与约数：
- 整除的定义与性质
- 素数的定义与判定方法
- 约数的定义与性质
- 最大公约数与最小公倍数的概念与计算方法
3. 同余与模运算：
- 同余的定义与性质
- 同余的基本运算性质
- 模运算的基本性质
- 剩余类和完全剩余系的概念与性质
4. 质数与素数：
- 质数与素数的定义
- 质数与素数的性质和特性
- 素数的测试方法与算法
- 质因数分解的方法与应用
5. 数论基本定理：
- 唯一分解定理（素因数分解定理）
- 辗转相除法与欧几里得算法
- 欧拉函数与欧拉定理
- 费马小定理与扩展欧几里得算法
6. 数论问题的应用：
- 同余方程与线性同余方程
- 不定方程的整数解与应用
- 素数分布与素数定理
- 模重复性与周期性问题
注意：本整理的所有内容仅供参考，请勿将其作为官方教材或其他正式场合使用。
初等数论 期末复习 整除 精选例题分析
第一章整除例题分析例1.请写出10个连续正整数都是合数.解:11!+2，11!+3，……，11！+11。
例2.证明连续三个整数中，必有一个被3整除。
证：设三个连续正数为a ，a +1，a +2，而a 只有3k ，3k +1，3k +2三种情况，令a =3k ，显然成立，a =3k +1时，a +2=3(k+1)，a =3k +2时，a +1=3(k +1)。
例3.证明lg2是无理数。
证：假设lg2是有理数，则存在二个正整数p ，q ，使得lg2=qp，由对数定义可得10p =2q ，则有2p ·5p =2q ,则同一个数左边含因子5，右边不含因子5，与算术基本定理矛盾。
∴lg2为无理数。
例4.求(21n+4，14n+3)解：原式=(21n+4,14n+3)=(7n+1,14n+3)=(7n+1,7n+2)=(7n+1,1)=1例5.求2004!末尾零的个数。
解：因为10=2×5，而2比5多，所以只要考虑2004！中5的幂指数，即5（2004！）=499520045200412520042520045200454=⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫⎝⎛例6.证明（n !）(n-1)!|(n !)!证：对任意素数p ,设（n !）(n -1)!中素数p 的指数为α，（n !）!中p 的指数β，则∑⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∞=11k k p n n )!(α，∑⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=∞=11k k p n n !)!(β,)()(x n nx ≥ α=∑⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∑⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-≥∑⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∑⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∴∞=∞=∞=∞=1111111k k k k k k k k p n n p n n p n n p n !)!(!)!()!(!即αβ≥，即左边整除右边。
例7.证明2003|（20022002+20042004-2005）证：∵20022002=（2003-1）2002=2003M 1+120042004=（2003+1）2002=2003M 2+1∴20022002+20042004-2005=2003（M 1+M 2-1）由定义2003|（20022002+20042004-2005）例8.设d (n )为n 的正因子的个数，σ(n )为n 的所有正因子之和，求d (1000)，σ(1000)。
初等数论复习资料
初等数论一、计算题求解不定方程9x +21y =144.解：因为（9，21）=3，3，所以有解；化简得3x +7y =48；考虑3x +7y =1，有x =-2, y =1，所以原方程的特解为x =-96, y =48，因此，所求的解是x =-96+7t , y =48-3t , t ∈Z 。
求不定方程x + 2y + 3z = 41的所有正整数解。
解：分别解x + 2y = tt + 3z = 41得x = t - 2uy = u u∈Z，t = 41 - 3vz = v v∈Z，消去t得x = 41 - 3v - 2uy = uz = v u，v∈Z。
由此得原方程的全部正整数解为(x, y, z) = (41 - 3v - 2u, u, v)，u > 0，v > 0，41 - 3v - 2u > 0。
求[136,221,391]=?设n 的十进制表示是z xy 4513，若792∣n ，求x ，y ，z 。
解：因为792 = 8⋅9⋅11，故792∣n ⇔ 8∣n ，9∣n 及11∣n 。
我们有8∣n ⇔ 8∣z 45 ⇒ z = 6，以及9∣n ⇔ 9∣1 + 3 + x + y + 4 + 5 + z = 19 + x + y ⇔ 9∣x + y + 1， (1) 11∣n ⇔ 11∣z - 5 + 4 - y + x - 3 + 1 = 3 - y + x ⇔ 11∣3 - y + x 。
(2) 由于0 ≤ x, y ≤ 9，所以由式(1)与式(2)分别得出x + y + 1 = 9或18，3 - y + x = 0或11。
这样得到四个方程组：⎩⎨⎧=+-=++b x y a y x 31已知两整数相除，得商12，余数26，又知被除数、除数、商及余数之和为454．求被除数.解：a=12b +26, a +b +12+26=454, 12b +26+b +12+26=454,(12+1) b =454-12-26-26=390, b =30, 被除数a =12b +26=360+26=386.从5, 6, 7, 8, 9这五个数字中选出四个不同的数字组成一个四位数，它能同时被3, 5, 7整除，那么这些四位数中最大的一个是多少？解：被5整除，个数必为5，5+6+7+8=26, 5+6+7+9=27 ,5+6+8+9=28,5+7+8+9=29中唯27能被3整除，故选出的四个不同的数字是5, 6, 7,9,但不同排序有9765,9675,7965,7695,6975,6795,在黑板上写出三个整数，然后擦去一个，换成其他两数之和加1，继续这样操作下去，最后得到三个数为35，47，83．问原来所写的三个数能否是2，4，6?解：不能．因为原来所写的三个数若是2，4，6，每次操作后剩下的三个数是两偶一奇．甲物每斤5元，乙物每斤3元，丙物每三斤1元，现在用100元买这三样东西共100斤，问各买几斤?解：设买甲物x 斤，乙物y 斤，丙物z 斤，则5x + 3y +31z = 100， x + y + z = 100。
初等数论 期末复习 不定方程精选例题
第二章不定方程例题分析例1：利用整数分离系数法求得不定方程15x +10y +6z =61。
解：注意到z 的系数最小，把原方程化为z =)()(12361102261101561++-++--=+--y x y x y x 令t 1=z y x ∈++-)(12361，即-3x +2y -6t 1+1=0此时y 系数最小，)()(12131632111-++=-++=∴x t x t x y 令t 2=z x ∈-)(121,即122+=t x ,反推依次可解得y =x +3t 1+t 2=2t 2+1+3t 1+t 2=1+3t 1+3t 2z =-2x -2y +10+t 1=6-5t 1+10t 2∴原不定方程解为⎪⎩⎪⎨⎧--=++=+=21212105633121t t z t t y t x t 1t 2∈z.例2:证明2是无理数证：假设2是有理数，则存在自数数a,b 使得满足222y x =即222b a =，容易知道a 是偶数，设a =2a 1，代入得2122a b =,又得到b 为偶数，a b a <<1，设12b b =，则21212b a =,这里12a b <这样可以进一步求得a 2，b 2…且有a>b>a 1>b 1>a 2>b 2>…但是自然数无穷递降是不可能的，于是产生了矛盾，∴2为无理数。
例3：证明：整数勾股形的勾股中至少一个是3的倍数。
证：设N =3m ±1(m 为整数)，∴N 2=9m 2±6m +1=3(3m 2±2m )+1即一个整数若不是3的倍数，则其平方为3k +1,或者说3k +2不可能是平方数，设x,y 为勾股整数，且x,y 都不是3的倍数，则x 2,y 2都是3k +1，但z 2=x 2+y 2=3k +2形，这是不可能，∴勾股数中至少有一个是3的倍数。
例4：求x 2+y 2=328的正整数解解：∵328为偶数，∴x,y 奇偶性相同，即x ±y 为偶数，设x+y =2u ,x -y =2v ，代入原方程即为u 2+v 2=164,同理令u +v =2u 1,u -v =2v 1有21121121212282v v u u v u v u =-=+=+,,,412222=+v u 22v u ,为一偶一奇，且0<u 2<6u 2=1，2，3，4，5代方程，有解（4，5）（5，4）∴原方程解x =18,y =2,或x =2,y =18。
初等数论期末复习
数论教案§1整数的整除 带余除法1 整数的整除设a,b 是整数,且b ≠0,如果有整数q,使得a=bq,则称b 整除a,记为b|a,也称b 是a 的因数,a 是b 的倍数. 如果没有整数q,使得a=bq,则称b 不能整除a,记为b ∤a.例如 2|4, 4|-12, -5|15; 2∤3， -3∤22. 在中小学数学里,整除概念中的整数是正整数,今天讲的整除中的整数可正可负. 判断是否b|a ？当a,b 的数值较大时,可借助计算器判别.如果b 除a 的商数是整数,说明b|a;如果b 除a 的商不是整数,说明b ∤a.例1判断下列各题是否b|a ？(1) 7|127? (2) 11|129? (3) 46|9529? (4) 29|5939? 整除的简单性质(1)如果c|b,b|a,那么c|a;(2)如果d|a,d|b,那么对任意整数m,n,都有d|ma+nb. (3)如果12,,,n a a a L 都是m 的倍数,12,,,n q q q L 是任意整数,那么1122n n q a q a q a +++L 是m 的倍数.(4)如果c|a,d|b,那么cd|ab 。
例如： 2|4,2|(-6),那么2|4+(-6),2|4-(-6). 2|4,3|(-6),那么2×3|4×(-6). 例2证明任意2个连续整数的乘积,一定可被2整除. 练习 证明任意3个连续整数的乘积,一定可被3整除. 2.带余除法设a,b 是整数,且b>0,那么有唯一一对整数q,r 使得 a=bq+r,0≤r ＜ b . (1) 这里q 称为b 除a 的商,r 称为b 除a 的余数.例如-5=3×(-2)+1 5=3×1+2 -5=(-3)×2+1 5=(-3)×(-1)+2 15=(-5)×(-3), -24=(-2)×12. 事实上,以b 除a 的余数也可以是负的.例如 -5=3×(-1)-2=3×(-2)+1.求b 除a 的余数,也称为模运算(取余):mod.可用计算器进行.具体操作:输入a-按mod(取余)键-输入b-按=键得出余数.如果b 除a 的余数=0,则b|a;如果b 除a 的余数≠0,则b ∤a.例3 利用计算器求余数:(1) 7除127;(2)11除-129 ;(3)46除-9529;(4)-29除5939 奇数、偶数及性质能被2整除的整数称为偶数.如,0,4,10,-6,-8都是偶数. 不能被2整除的整数称为奇数.如,-5,-3,1,7,11都是奇数. 偶数的形式为2n(n 是整数);奇数的形式为2n-1(n 是整数).奇数、偶数的性质: 偶数±偶数=偶数,奇数±奇数=偶数,奇数±偶数=奇数,偶数×偶数=偶数,偶数×奇数=偶数,奇数×奇数=奇数.例如 2+4,2-4,3+1,3-1,3+4,6+5设a,b 是任意两个整数,则a+b 与a-b 同奇同偶. 例如3+5,3-5,6+3,6-3,例4设a,b,n 是任意3个整数,而且222a b n -=,证明n 是偶数. 例5设a 是任一奇数,试证明8|21a -. 例6设n 是正整数,证明形如3n-1整数不是完全平方数.证明 对任意整a,设a=3q 或a=3q ±1,于是2a=92q或 2a =92q ±6q+1=3(32q ±2q)+1.即2a ≠3n-1,故3n-1不是完全平方数.练习 设n 是正整数,证明形如4n-1、4n+2的整数都不是完全平方数. 习题:P3-4:1t,2t.§2公因数、最大公因数 1.最大公因数、辗转相除法中小学里的公因数、最大公因数的概念：几个数的公有因数叫做这几个数的公因数.公因数中最大的整数称为这几个数的最大公因数. (1)几个数:不能确定;(2)因数、公因数:都是正整数; 最大公因数:没有专门的符号. 定义设12,,,n a a a L ,d 都是整数,d ≠0,如果i d a ,i=1,2,…,n,称d 是12,,,n a a a L 的公因数,12,,,n a a a L 的公因数中最大的整数称为最大公因数.记为12(,,,)n a a a L .如果12(,,,)n a a a L =1,则称12,,,n a a a L 互质。
初等数论期末复习
2015年5月8日9时1分
二、剩余类与剩余系
定理2.2.1 设m为正整数，则全部整数可分成m个 集合,记作[0]，[1]，…，[m－1]，其中[r] (0 ≤ r ≤m－1)是由一切形如 mq + r (q∈Z) 的整数所组 成的，并且具有下列性质： (1)每一整数必包含在而且仅在上述的一个集合中.
(2) x3 + 2x－12≡0 (mod7)． 0, 1, …, 6逐一代入(2) 求解
定义: 如果 a , b 都是整数， m 是一个正整数，那么 当 a ≡ 0 ( mod m）时，我们把 ax ≡ b ( mod m ) 叫做 模m的一次同余方程（或同余式） . 定理 3.1.1 若设m为正整数, a , b为整数, (a，m)=1，
一次同余方程有解的解法 一、欧拉定理法解一次同余方程
定理 3.1.2 若 m 为正整数, a , b为整数, (a， m)=1，则一次同余方程ax ≡ b ( mod m )的唯 m 1 一解为 x ba mod m .
二．同余变形法（系数消去法）
根据同余性质，施行适当的变形求解a≡b(modm):
第二章
同余
一、同余的概念及基本性质
1、同余的概念:
定义2. 1
设m为正整数，称为模。若用m去除两 个整数 a 和 b 所得的余数相同，则称a 和b 对模 m 同余, 记作 a ≡b (mod m). （ 1） 读作a 同余于b 模m。 若a 和b 除以m 所得余数不同，则称a， b 对模m 不同余，记作 a b (mod m).
2015年5月8日9时1分
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弃九法
正整数四则运算(含乘方) 的快速验算方法
若通过计算，a、b的和与积分别是s与p. 而r1、r2、
初等数论期末复习题
一、填空1. 若b 是任一正整数，则=),0(b 。
2. 若b 是任一整数，则=),0(b 。
3. [5.7]= {5.7}= [ 5.9]-= { 5.8}-=4. [1.2]= =}2.1{ [ 1.2]-= =-}2.1{5. 写出标准分解式(1)!20= .(2)30!=(3)32!= .6. !20中质因数2的指数是 。
在!40的标准分解式中质因数3的指数是 。
7. 同余式(mod )ax b m ≡有解的充要条件是 。
8. 不定方程ax by c +=，其中a,b 都是整数，且都不为零，方程有解的充分必要条件是 。
9. 设模为正整数m ，则整数的同余关系作为等价关系满足的三个基本性质是：(1) (自反性) ；(2) (对称性)若)(mod m b a ≡，则)(mod m a b ≡；(3) （传递性） 。
10. 写出模7的绝对最小完全剩余系： ，写出模7的最小非负完全剩余系： 模7的一组简化剩余系： .11. 欧拉函数2(7)ϕ= ， =)10(ϕ ，=)37(ϕ ，=)120(ϕ 。
12. 求最大公因数 (169, 121)= ，(1859, 1753)= ， (76501, 9719)= ，（48, 72, 108）= 。
13. 求最小公倍数 [21, 35 ]= ，[123, 321]= ，[138, 36]= ，[125, 725, 1125]= [128, 234, 524]= .14. 写出82798848的标准分解式 。
15. 写出51480的标准分解式 。
二、判断1.若)(mod m b a ≡，d 是m b a ,,的任一公因数，则)(mod d md b d a =。
（） 2.模m 的一个简化剩余系中数的个数为1)(-m ϕ。
（ ）3.若)(m od 22m b a ≡成立，则)(mod m b a ≡。
（ ）4.若)2(mod b a ≡，则)2(mod 222b a ≡。
最新福师期末考试《初等数论》复习题及参考答案
福师期末考试《初等数论》复习题及参考答案本复习题页码标注所用教材为：教材名称 单价 作者版本 出版社 初等数论14.20闵嗣鹤，严士健第三版高等教育出版社复习题及参考答案一一、填空(40%)1 、求所有正约数的和等于15的最小正数为 考核知识点：约数，参见P14-19 2、若1211,,,b b b 是模11的一个完全剩余系，则121181,81,,81b b b +++也是模11的 剩余系.考核知识点：完全剩余系，参见P54-573．模13的互素剩余系为考核知识点：互素剩余系，参见P584.自176到545的整数中是13倍数的整数个数为 考核知识点：倍数，参见P11-13 5、如果p 是素数,a 是任意一个整数,则a 被p 整除或者考核知识点：整除，参见P1-46、b a ,的公倍数是它们最小公倍数的 . 考核知识点：最小公倍数，参见P11-137、如果b a ,是两个正整数,则存在 整数r q ,,使r bq a +=,b r ≤0.考核知识点：整除，参见P1-4 8、如果n 3，n 5，则15（ ）n . 考核知识点：整除，参见P1-4二、(10%)试证：6|n(n+1)(2n+1)，这里n 是任意整数。
考核知识点：整除的性质，参见P9-12提示：i)若 则ii)若 则iii)若 则又三、(10%)假定a 是任意整数，求证a a (mod )++≡2103或a a (mod )+≡203考核知识点：二次同余式，参见P88提示:要证明原式成立，只须证明231a a ++，或者23a a +成立即可。
四、（10％）设p 是不小于5的素数，试证明21(mod 24)p ≡ 考核知识点：同余的性质，参见P48-52提示： 且是不小于5的素数．又 且是不小于5的素数．只能是奇数且即即五、(15%)解同余式组 51(mod7)142(mod8)x x ≡⎧⎨≡⎩考核知识点：同余式，参见P74-75 提示∵ (14，8)=2 且 2 | 2 ∴ 14x ≡2(mod8) 有且仅有二个解解7x ≡1(mod4) ⇒ x ≡3 (mod4) ∴ 6x ≡10(mod8)的解为 x ≡3，3+4(mod8) 原同余式组等价于()()3mod 73mod8x x ≡⎧⎪⎨≡⎪⎩ 或()()3mod 77mod8x x ≡⎧⎪⎨≡⎪⎩分别解出两个解即可。
初等数论期末复习分析
利用同余解答整除问题
数 a 能被 m 整除等价于a ≡0 (mod m).
例1 求7406写成十进制数时的个位数。 72 ≡49 ≡－ 1(mod 10), (72 )203 ≡－1 ≡9 (mod 10),
或 74 ≡ 1(mod 10), 7406 ≡ 7404 ·72≡9 (mod 10).
有两个数对模 m 同余。 （2）存在 m 个数两两对模m不同余。
完全剩余系
定义2. 3 设 m 为正整数，则从模 m 的每个 剩余类中各取一个数所作成的集合，称为 模 m 的一个完全剩余系.
2020年10月22日4时30分
定理2.2.3 设m 为正整数，整数集合{ a1, a2 , … , am}是模 m 的完全剩余系的充分必
要条件是：ai aj (mod m) ( i≠ j ).
定理2.2.4 若 a1, a2，…, am 是模m的完全剩余系， 且(a, m) =1, b 为任意整数，则 aa1 +b, aa2 +b, …,
aam +b 也是模 m 的一个完全剩余系。
2020年10月22日4时30分
注：最常见的完全剩余系是0,1, , m 1,它们 称为模m的非负最小完全剩余系.
2020年10月22日4时30分
三、 欧拉函数和简化剩余系 定义 2.4
设 m 是正整数，用ϕ (m)表示不大于 m 且 与 m 互质的自然数的个数．称 ϕ (m)为欧 拉函数．
m 1 时，1 (m) m 1. m为质数当且仅当 (m) m 1.
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我喜欢数学
性质(6)
性质(7)
若a =a1d, b =b1d, (m, d) =1, a ≡b (mod m)，则 a1 ≡ b1 (mod m) .
《初等数论》复习思考题及参考答案
《初等数论》复习思考题及参考答案一、填空题1、16除-81的商是 -6 ，余数是 15 。
2、{-3.3} = 0.7 ；[-5.68] = -6 。
3、12!的标准分解式为 210⨯35⨯52⨯7⨯11 。
4、（1516，600）= 4 。
5、8270的标准分解式是 2⨯5⨯827 。
6、不定方程ax + by = c (其中a ，b ，c 是整数)有整数解的充要条件是 (a ，b )|c 。
7、模5的最小非负完全剩余系是 0，1，2，3，4 。
8、模6的绝对最小完全剩余系是 -3，-2，-1，0，1，2 。
9、3406的十进位表示中的个位数字是 9 。
10、7100被11除的余数是 1 。
11、ϕ(480) = 128 。
二、选择题1、417被-15除的带余除法表达式是（ D ）。
A 417 = (-15)⨯(-30)-33B 417 = (-15)⨯(-26)+27C 417 = (-15)⨯(-28)+(-3)D 417 = (-15)⨯(-27)+122、设n ，m 为整数，如果n 3，m 3，则9（ A ）nm 。
A 整除B 不整除C 等于D 小于3、整数6的正约数的个数是（ D ）。
A 1B 2C 3D 44、如果)(mod m b a ≡，c 是任意整数，则( A )。
A )(mod m bc ac ≡B bc ac =C ac ≢)(mod m bcD bc ac ≠5、如果( A )，则不定方程c by ax =+有解。
A c b a ),(B ),(b a cC c aD a b a ),(6、整数5874192能被( B )整除。
A 3B 3与9C 9D 3或97、大于20且小于40的素数有（ A ）。
A 4个B 5个C 6个D 7个8、模4的最小非负完全剩余系是( D )。
A -2,-1,0,1B -4,-3,-2,-1C 1,2,3,4D 0,1,2,39、整数637693能被( C )整除。
初等数论 期末复习
题目：一、求同余式的解：111x 75(mod321)≡二、求高次同余式的解：)105(m od 0201132≡-+x x 。
三、求高次同余式的解: 27100x x ++≡(mod 13). 四、计算下列勒让德符号的值:105223-⎛⎫⎪⎝⎭, 91563⎛⎫⎪⎝⎭五、计算下列勒让德符号的值：)593438(，)1847365(六、韩信点兵：有兵一队，若列成五行纵队，则末行一人；成六行纵队，则末行五人；成七行纵队，则末行四人；成十一行纵队，则末行十人。
求兵数。
七、设 b a ,是两个正整数，证明: b a ,的最大公因子00(,)a b ax by =+,其中00ax by +是形如ax by +(,x y 是任意整数)的整数里的最小正数. 八、证明：存在无穷多个自然数n ，使得n 不能表示为p a +2（a > 0是整数，p 为素数）的形式。
九、证明: 若方程 11...0n n n x a x a -+++= (0,i n a > 是整数,1,...,i n =)有有理数解,则此解必为整数.十、证明: 若(,)1a b =， 则(,)12a b a b +-=或十一、证明：设N ∈c b a ,,，c 无平方因子，c b a 22，证明：b a 。
十二、设p 是奇素数,1),(=p n , 证明: ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛≡-p n np 21 (mod p ). 十三、设m > 1，模m 有原根，d 是)(m ϕ的任一个正因数，证明：在模m 的缩系中，恰有)(d ϕ 个指数为d 的整数，并由此推出模m 的缩系中恰有))((m ϕϕ个原根。
十四、设g 是模m 的一个原根，证明：若γ通过模()m ϕ的最小非负完全剩余系, 则g γ通过模m 的一个缩系。
第一题：求同余式的解：111x 75(mod321)≡ 解答：(111,321)3,375=∴同余式有三个解11175321x (m o d )333≡ 即 37x 25(mod107)≡ 4x 75(m o d 10≡ 又x 2775(mod107)99(mod107)≡⨯≡因此同余式的解为x 99,206,313(mod321)≡。
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数论教案§1整数的整除 带余除法1 整数的整除设a,b 是整数,且b ≠0,如果有整数q,使得a=bq,则称b 整除a,记为b|a,也称b 是a 的因数,a 是b 的倍数. 如果没有整数q,使得a=bq,则称b 不能整除a,记为b?a.例如 2|4, 4|-12, -5|15; 2?3， -3?22. 在中小学数学里,整除概念中的整数是正整数,今天讲的整除中的整数可正可负. 判断是否b|a 当a,b 的数值较大时,可借助计算器判别.如果b 除a 的商数是整数,说明b|a;如果b 除a 的商不是整数,说明b?a.例1判断下列各题是否b|a(1) 7|127? (2) 11|129? (3) 46|9529? (4) 29|5939? 整除的简单性质(1)如果c|b,b|a,那么c|a;(2)如果d|a,d|b,那么对任意整数m,n,都有d|ma+nb. (3)如果12,,,n a a a L 都是m 的倍数,12,,,n q q q L 是任意整数,那么1122n n q a q a q a +++L 是m 的倍数.(4)如果c|a,d|b,那么cd|ab 。
例如： 2|4,2|(-6),那么2|4+(-6),2|4-(-6). 2|4,3|(-6),那么2×3|4×(-6). 例2证明任意2个连续整数的乘积,一定可被2整除. 练习 证明任意3个连续整数的乘积,一定可被3整除. 2.带余除法设a,b 是整数,且b>0,那么有唯一一对整数q,r 使得 a=bq+r,0≤r ＜ b . (1) 这里q 称为b 除a 的商,r 称为b 除a 的余数.例如-5=3×(-2)+1 5=3×1+2 -5=(-3)×2+1 5=(-3)×(-1)+2 15=(-5)×(-3), -24=(-2)×12. 事实上,以b 除a 的余数也可以是负的.例如 -5=3×(-1)-2=3×(-2)+1.求b 除a 的余数,也称为模运算(取余):mod.可用计算器进行.具体操作:输入a-按mod(取余)键-输入b-按=键得出余数.如果b 除a 的余数=0,则b|a;如果b 除a 的余数≠0,则b ?a.例3 利用计算器求余数:(1) 7除127;(2)11除-129 ;(3)46除-9529;(4)-29除5939 奇数、偶数及性质能被2整除的整数称为偶数.如,0,4,10,-6,-8都是偶数. 不能被2整除的整数称为奇数.如,-5,-3,1,7,11都是奇数. 偶数的形式为2n(n 是整数);奇数的形式为2n-1(n 是整数).奇数、偶数的性质: 偶数±偶数=偶数,奇数±奇数=偶数,奇数±偶数=奇数,偶数×偶数=偶数,偶数×奇数=偶数,奇数×奇数=奇数.例如 2+4,2-4,3+1,3-1,3+4,6+5设a,b 是任意两个整数,则a+b 与a-b 同奇同偶. 例如3+5,3-5,6+3,6-3,例4设a,b,n 是任意3个整数,而且222a b n -=,证明n 是偶数.例5设a 是任一奇数,试证明8|21a -. 例6设n 是正整数,证明形如3n-1整数不是完全平方数.证明 对任意整a,设a=3q 或a=3q ±1,于是2a =92q 或 2a =92q ±6q+1=3(32q ±2q)+1.即2a ≠3n-1,故3n-1不是完全平方数.练习 设n 是正整数,证明形如4n-1、4n+2的整数都不是完全平方数. 习题:P3-4:1t,2t.§2公因数、最大公因数 1.最大公因数、辗转相除法中小学里的公因数、最大公因数的概念：几个数的公有因数叫做这几个数的公因数.公因数中最大的整数称为这几个数的最大公因数. (1)几个数:不能确定;(2)因数、公因数:都是正整数; 最大公因数:没有专门的符号. 定义设12,,,n a a a L ,d 都是整数,d ≠0,如果i d a ,i=1,2,…,n,称d 是12,,,n a a a L 的公因数,12,,,n a a a L 的公因数中最大的整数称为最大公因数.记为12(,,,)n a a a L .如果12(,,,)n a a a L =1,则称12,,,n a a a L 互质。
例1 (-6,8)=2,(-3,6,-9,15)=3,(1,2,3,-4)=1.在中小学数学里,求正整数a,b 的最大公因数主要有这个样几种方法：(1)观察法；(2)将a,b 的所有公因数都求出来,再从中挑最大的； (3)用短除法.辗转相除法:设a,b 是正整数,而且有…………… （*）(,)n a b r =。
例2用辗转相除法求(123,78), 练习:用辗转相除法求(66,54).下面说明辗转相除法的正确性.先证明性质1设整数a,b,c 不全为0,而且有整数q 使得a=bq+c 则(a,b)=(b,c). 证明 由a,b,c 不全为0知,(a,b)、(b,c)都存在.因(a,b)|a,(a,b)|b,c=a-bq,得(a,b)|c,又得(a,b)≤(b,c); 反之,由(b,c)|b,(b,c)|c,a=bq+c,得(b,c)|a,(b,c)≤(a,b). 所以(a,b)=(b,c). 由(*)式知1210,n n b r r r r ->>>>>>L 而n 是有限正整数,再由性质1得112(,)(,)(,)a b b r r r ===…=211(,)(,)(,0)n n n n n n r r r r r r ---===.2.最大公因数的性质最大公因数的几个性质：性质2 (am,bm)=(a,b)m,m>0.(短除法的根据) 例3求(84,90),(120,36).(84,90)=3(28,30)=6(14,15)=6.(120,36)=12(10,3)=12. 性质3 (a,b)=(|a|,|b|). 性质4 (a,b,c)=((a,b),c).例4求(-84,120),(-120,-72),(24,-60,-96).例5设n 是任意整数,证明3152n n ++是既约分数.证明 设d=(3n+1,5n+2),则d|3(5n+2)-5(3n+1),即d|1,d=1，所以3n+1与5n+2互质.作业 1.利用辗转相除法求(84,90). 2.求(120,36).3.设n 是整数，证明3172n n ++是既约分数。
§3整除的进一步性质及最小公倍数1.整除的进一步性质推论1设a,b 不全为零,那么有s,t ∈Z 使得as+bt=(a,b). 证明 将(*)中每式中的余数解出得21n n n n r r r q --=-,1321n n n n r r r q ----=-,…,212r b rq =-,11r a bq =-,再将1221,,,,n n r r r r --L 的表达式依次代入到21n n n n r r r q --=-中就得au+bv=nr =(a,b)=d,u,v∈Z.例1用辗转相除法求(120,54),并求整数u,v 使得120u+54v=(120,54).解∵120=2×54+12,54=12×4+6,12=6×2,∴(120,54)=6. 12=120-2×54,6=54-12×4=54-(120-2×54)×4 =120×(-4)+54×9. ∴ u=-4,v=9.练习用辗转相除法求(84,45),并求整数u,v 使得84u+45v=(84,45).设a,b 都是正整数,问a,b 的公因数与最大公因数有什么关系 例2 ①求(12,18)及12与18的所有正的公因数；通过这个例子,请同学们观察最大公因数与公因数有何关系能否提出自己的猜想能否证明自己的猜想性质1 设d 是a,b 的最大公因数,那么,a,b 的任一公因数都是d 的因数.证明 如果d=(a,b),由性质2有u,v ∈Z 使得au+bv=d.设s 是a,b 的任一公因数,则s|au,s|bv,且s|au+bv,即s|d.性质2如果d=(a,b),则(,a b d d)=1.性质3如果(a,c)=1,且c|ab,则c|b. 性质4如果(a,c)=1,则(ab,c)=(b,c). 性质5如果(a,b)=1,且a|c,b|c,则ab|c. 例3证明 三个连续整数的积一定可被6整除. 2最小公倍数定义 如果m 是12,,,n a a a L 中每一个数的倍数,则称m 是整数12,,,n a a a L 的一个公倍数.12,,,n a a a L 的公倍中最小正整数称为12,,,n a a a L 的最小公倍数.用[12,,,n a a a L ]来表示.例如 [2,4,-3]=12,[15,12,20]=60,[6,10,15]=30.定理3 [12,,,n a a a L ]=[|1a |,|2a |,…,|n a |].定理4 设a,b 是两个正整数,则 (i)a,b 的任一公倍数是[a,b]的倍数；(ii)[a,b]=(,)aba b .而且若(a,b)=1,则[a,b]=ab.证明(i)设m 是a,b 的任一公倍数,而且m=t[a,b]+r,0≤r<[a,b],因m,[a,b]都是a,b 的公倍数,由r=m-t[a,b]知r 也是a,b 的公倍数,若0<r<[a,b],则这与[a,b]的最小性矛盾.故r=0,m=t[a,b].(ii)记d=[,]aba b ,则d 是整数,由a|[a,b],a|[a,b]及[,]a a b d b =,[,]b a b d a =知d|a,d|b,即d 是a,b 的公因数.设h 是a,b 的任一公因数,由ab b a a b h h h==是a,b 的公倍数及TH16知[a,b]|abh,即[,]ab d Z a b h h =∈,所以h|d, (a,b)=d,从而(a,b)=[,]aba b .定理5 设12,,,n a a a L 都是正整数,令122[,]a a m =,233[,]m a m =,…,1[,]n n n m a m -=,则12[,,,]n n a a a m =L .定理19设12,,,n a a a L 是n(≥2)个正整数,且两两互素,则例2 求[123,456,-789]例3 求正整数a,b,满足:a+b=120,(a,b)=24,[a,b]=144.例14设a,b,c 是正整数,则[a,b,c]=(,,)abc ab bc ca作业:P14:1.2.求(84,45),并求整数u,v 使得84u+45v=(84,45) .§4质数 算术基本定理1.质数定义设整数a>1,如果a 除了1和a 外再无其它正因数,则称a 为质数,也称为素数.否则,称a 为合数. 2,3,5,7,11都是质数，4,6,8,9,10都是合数.1-100内有素数25个,1-1000内有素数168个,1-10000内有素数1229,10万内有素数9592个,100万之内78498个.定理1设整数a>1,则a 除1外的最小正因数q 是素数,而且当a 是合数时,q ≤.证明 假定q 是合数,设q=bc,1<b,c<q.因b|q,q|a,得b|a,但1<b<q,这与q 是a 的最小正因数矛盾.故q 是素数.若a 是合数,设a=qm,由q 的最小性知a=qm ≥qq,即q ≤.素数判定定理 设整数a>1,不超过所有素数为12,,,k p p p L ,如果i p ?a,i=1,…,k,则a 为素数.例1 以下正整数哪个是素数哪个是合数 231,89,103,169.素数判别威尔逊定理:设整数p>1,那么p 是素数的充分必要条件是 p|(p-1)!+1. 例2 利用威尔逊定理判别3,5,7,11都是素数.当p 较大时,(p-1)!+1的数值非常大,在实际运用时不可行。