高中数学：241 平面向量数量积的物理背景及其含义
241平面向量数量积的物理背景及其含义(用)
复习回顾 注意 : 两向量的夹角定义,两向量必须
是同起点的,范围是0 .
向量的夹角
两个非零向量a 和b ，作OA a ，OB b ，则 AOB
(0 180)叫做向量a 和b 的夹角．
B
a
b
OaA
b
a
B
O
A
若 180，a 与b 反向
练习:
一.辨 析
1．若a =0，则对任一向量b ，有a ·b=0．
√
2．若a ≠0，则对任一非零向量b ,有a ·b≠0．
×
3．若a ≠0，a ·b =0，则b=0.
×
4．若a ·b=0，则a,b中至少有一个为0．
×
５6..若对任a意向0量，aa有ab2 aa2 .(ac·,a则常b记作a2c)
r b
方向上
r
r
向量 b 在方向 a 上的投影是数量,不是向量,
什么时候为正，什么时候为负？ b cos
B
b
O
a B1A
b cos 0
B b
B1 O a A
b cos 0
B b
O(B1 ) a A
b cos 0
a
Ob B
A
b
a
B
O
A
b cos b
b cos b
3. 常用︱a︱＝ a a求向量的模.
常用 cos a b
ab
求向量的夹角.
一、平面向量数量积的定义:
已知两个非零向量
r a
和
r b
，它们的夹角为
rr
,
2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义4
(a b ) c a (b c )
(3)(a b ) c a c b c
b
B
a
A
C1
O
A1
c
B1
C
例 3：求证： （1）(a＋b)2＝a2＋2a· b＋b2； （2）(a＋b)· (a－b)＝a2－b2.
证明：（1）(a＋b)2＝(a＋b)· (a＋b) ＝(a＋b)· a＋(a＋b)· b ＝a· a＋b· a＋a· b＋b· b ＝a2＋2a· b＋b2.
3.向量的数量积（内积） b
θ
a
规定:0 a 0
向量的数量积是一个数量，那么它什 么时候为正，什么时候为负？
a b | a || b | cos (a 0, b 0)
B
b
O
A
a
b B
A
A1
a
aA
大于零
B1 O
O
b
B
等于零
小于零
例1 已知|a|=5,||=4, b a与b 的夹角 =120求a b.
解: a 2b a 3b a a b 6b
6 4 cos 60 12
0 2 2
且a 36, b 16
a 2b a 3b
36 12 6 16 72
例5.已知 | a | 3,| b | 4,当且仅当k为何值时， 向量a kb与a kb 互相垂直？ 解:
a
A
B1
b 在 a 上投影
a 的长度 a
练习2
1.若a =0,则对任一向量b,有a b 0 √ 2.若a 0,则对任一非零向量b,有a b 0 × 3.若a 0, a b 0, 则b 0 × 4.若a b 0, 则a, b中至少有一个为0 × 5.若a 0, a b b c, 则a c 7.对任意向量a有a a
2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义
二、已知 ABC 中， AB a , AC b , 当a b 0 或a b 0时，试判断 ABC 的形状。
2 2 a a b cos 6 b
6 6 4 cos 60 6 4 72
2 2
例已知|a|=3， |b|=4， 且a与b不共线， k为何值时，向量a+kb与a-kb互相 垂直
练习：
一、判断下列各命题是 否正确，并说明理由
1．若a =0，则对任一向量b ，有a · b=0． √
| a || b |
r r r r (2)a b a b 0
检测：1.已知： a与b是非零向量
(1) a b 的结果还是一个向量 2 (√) (2) a a | a | (3) | a b || a || b | (4) a b 0 a b
(5) a b a b 0 (6)a // b a b | a || b |
(× ) (√)
(× )
(√)
(× )
例1.已知 a 5, b 4, a与b的夹角 120 ，求a b.
解： a b a b cos
5 4 cos120 1 5 4 ( ) 10 2
变式一
二、数量积的几何意义：
（1）投影的概念：
| b | cos (或 | a | cos )
叫做向量 b 在 a 方向上
241平面向量数量积的物理背景及其含义--高一数学必修425315
－72
例3 已知︱a︱＝3，︱b︱＝4，且a与b
不共线.求当k为何值时，向量a＋kb与
a－kb互相垂直？
3
4
小结作业
1.向量的数量积是一种向量的乘法运算， 它与向量的加法、减法、数乘运算一样， 也有明显的物理背景和几何意义，同时 还有一系列的运算性质，但与向量的线 性运算不同的是，数量积的运算结果是 数量而不是向量.
241平面向量数量积的物理背景及其含
适用于教师试讲、学校演讲、教学课件、说课大赛
思考6：对于两个非零向
A
量a与b，设其夹角为θ，
a
那么︱a︱cosθ的几何意
义如何？
O
θ |a|cosθ A1
b
B
思考7：对于两个非零向量a与b，设其夹 角为θ，︱a︱cosθ叫做向量a在b方向 上的投影.那么该投影一定是正数吗？向 量b在a方向上的投影是什么？
（成立）证明见书p105例题2
思考6：对于向量a，b，如何求它们的夹
角q？ 如已知︱a︱=12, ︱b︱=9,a.b=-
54√2,求向量a与b的夹角q.
cos
ab
| a || b |
理论迁移
例1 已知︱a︱＝5，︱b︱＝4，a与b的
夹角为120°，求a·b.
－10
例2 已知︱a︱＝6，︱b︱＝量积 a·b=︱a|︱b︱cosθ的几何意义如何？
数量积a·b等于a的模与b在a方向上的 投影︱b︱cosθ的乘积，或等于b的模与 a在b方向上的投影︱a︱cosθ的乘积，
探究（二）：平面向量数量积的运算性质
思考1：设a与b都是非零向量，若a⊥b， 则a·b等于多少？反之成立吗？
高中数学：241 平面向量数量积的物理背景及其含义
答案:1
(2)已知单位向量e1,e2的夹角为60°,求向量a=e1+e2,b=e2-2e1的夹角.
(2)解:因为 e1,e2 为单位向量且夹角为 60°,所以 e1·e2=1×1×cos 60°= 1 . 2
因为 a·b=(e1+e2)·(e2-2e1)=-2-e1·e2+1=-2- 1 +1=- 3 .︱a︱= a2 =
方法技巧 求平面向量数量积的步骤 (1)求a与b的夹角θ,θ∈[0,π]; (2)分别求︱a︱和︱b︱; (3)求数量积,即a·b=︱a︱︱b︱cos θ,要特别注意书写时a与b之间用实心圆 点“·”连接,而不能用“×”连接,也不能省去.
即时训练 1-1:(1)已知︱a︱=4,︱b︱=5,向量 a 与 b 的夹角为 π ,求①(a+b)2; 3
解:(1)a∥b,若a与b同向,则a与b的夹角θ=0°,a·b=︱a︱·︱b︱·cos 0°= 4×5=20;若a与b反向,则θ=180°,所以a·b=︱a︱·︱b︱cos 180°=4× 5×(-1)=-20. (2)当a⊥b时,θ=90°,所以a·b=︱a︱·︱b︱cos 90°=0. (3)当 a 与 b 的夹角为 30°时,所以 a·b=︱a︱·︱b︱cos 30°=4×5× 3 =
2.向量数量积的几何意义
(1)投影的概念 在a·b=︱a︱︱b︱cos θ中,︱a︱cos θ(︱b︱cos θ)叫做向量a在b方向 上(b在a方向上)的投影,如图所示. (2)数量积的几何意义 数量积a·b等于向量a的长度︱a︱与b在a的方向上的投影︱b︱cos θ的乘积. 3.向量数量积的性质 设a与b都是非零向量,θ为a与b的夹角. (1)a⊥b⇔_____a_·_b_=_0____; (2)当a与b同向时,a·b=__︱__a_︱__︱__b_︱______, 当a与b反向时,a·b=___-_︱__a_︱__︱__b_︱_____;
最新-高中数学 241 平面向量数量积的物理背景及其含义课件 新人教A版必修4 精品
(3)(a b) c a c b c.
思考：等式 (a b)c a(b c) 是否成立？
不成立
要注意的是：
1、两个向量的数量积是一个实数，不是向 量，符号由cosθ的符号确定； 2、两个向量的数量积称为内积，写成a·b;与 代数中的数a·b不同，书写时要严格区分；
注：常记 a a 为 a 2 。
(a)2 | a |2
例1.已知 | a | 5,| b | 4 ，a 与 b 的夹角θ=120º， 求 ab 。
解： a b | a || b | cos
=5 4 cos120 5 4( 1)
2 10
数量积的运算规律：
(1)a b b a;
(2)(a) b (a b) a (b);
例3.已知 | a | 6,| b | 4 ，a 与 b 的夹角60º， 求 (a 2b) (a 3b),| a b |。
例4.已知 | a | 3,| b | 4 ，且 a 与 b 不共线，k为何值时， 向量 a kb 与 a kb 互相垂直。
小结
向量数量积计算时, 一要算准向量的模, 二要找准两个向量的夹角。
(3)(a b) c a c b c.
如图可知： (a b) c a c b c
| OB1 || OB | cos | a b | cos
| OA1 || a | cos1 | A1B1 || AB2 || b | cos2
| OB1 || OA1 | | A1B1 |
例2.我们知道，对任意 a,b R ，恒有
(a b)2 a2 2ab b2, (a b)(a b) a2 b2.
对任意向量 a, b, 是否也有下面类似的结论？
示范教案(241平面向量数量积的物理背景及其含义)
2.4 平面向量的数量积2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义整体设计教学分析前面已经知道,向量的线性运算有非常明确的几何意义,因此利用向量运算可以讨论一些几何元素的位置关系.既然向量可以进行加减运算,一个自然的想法是两个向量能否做乘法运算呢?如果能,运算结果应该是什么呢?另外,距离和角是刻画几何元素(点、线、面)之间度量关系的基本量.我们需要一个向量运算来反映向量的长度和两个向量间夹角的关系.众所周知,向量概念的引入与物理学的研究密切相关,物理学家很早就知道,如果一个物体在力F的作用下产生位移s(如图1),那么力F所做的功图1W=|F||s|cosθ功W是一个数量,其中既涉及“长度”,也涉及“角”,而且只与向量F,s有关.熟悉的数的运算启发我们把上式解释为两个向量的运算,从而引进向量的数量积的定义a·b=|a||b|cosθ.这是一个好定义,它不仅满足人们熟悉的运算律(如交换律、分配律等),而且还可以用它来更加简洁地表述几何中的许多结果.向量的数量积是一种新的向量运算,与向量的加法、减法、数乘运算一样,它也有明显的物理意义、几何意义.但与向量的线性运算不同的是,它的运算结果不是向量而是数量.三维目标1.通过经历探究过程,掌握平面向量的数量积及其几何意义.掌握平面向量数量积的重要性质及运算律.2.了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题,并掌握向量垂直的条件.3.通过问题的解决,培养学生观察问题、分析问题和解决问题的实际操作能力;培养学生的交流意识、合作精神;培养学生叙述表达自己解题思路和探索问题的能力.重点难点教学重点:平面向量数量积的定义.教学难点:平面向量数量积的定义及其运算律的理解和平面向量数量积的应用.课时安排1课时自主学习①a·b的运算结果是向量还是数量？它的名称是什么?②由所学知识可以知道,任何一种运算都有其相应的运算律,数量积是一种向量的乘法运算,它是否满足实数的乘法运算律？③我们知道,对任意a,b∈R,恒有(a+b)2=a2+2ab+b2,(a+b)(a-b)=a2-b2.对任意向量a、b,是否也有下面类似的结论?(1)(a+b)2=a2+2a·b+b2;(2)(a+b)·(a-b)=a2-b2.活动:已知两个非零向量a与b,我们把数量|a||b|cosθ叫做a与b的数量积(或内积),记作a·b,即a ·b =|a ||b |cosθ(0≤θ≤π).其中θ是a 与b 的夹角,|a |cosθ(|b |cosθ)叫做向量a 在b 方向上(b 在a 方向上)的投影.如图2为两向量数量积的关系,并且可以知道向量夹角的范围是0°≤θ≤180°.图2在教师与学生一起探究的活动中,应特别点拨引导学生注意:(1)两个非零向量的数量积是个数量,而不是向量,它的值为两向量的模与两向量夹角的余弦的乘积;(2)零向量与任一向量的数量积为0,即a ·0=0;(3)符号“·”在向量运算中不是乘号,既不能省略,也不能用“×”代替;(4)当0≤θ<2π时cosθ>0,从而a ·b >0;当2π<θ≤π时,cosθ<0,从而a ·b <0.与学生共同探究并证明数量积的运算律.已知a ,b ,c 和实数λ,则向量的数量积满足下列运算律:①a ·b =b ·a (交换律);②(λa )·b =λ(a ·b )=a ·(λb )(数乘结合律);③(a +b )·c =a ·c +b ·c (分配律).特别是:(1)当a ≠0时,由a ·b =0不能推出b 一定是零向量.这是因为任一与a 垂直的非零向量b ,都有a ·b =0.图3(2)已知实数a 、b 、c(b≠0),则ab=bc ⇒a=c.但对向量的数量积,该推理不正确,即a ·b =b ·c 不能推出a =c .由图3很容易看出,虽然a ·b =b ·c ,但a ≠c .(3)对于实数a 、b 、c 有(a·b)c=a(b·c);但对于向量a 、b 、c ,(a ·b )c =a (b ·c )不成立.这是因为(a ·b )c 表示一个与c 共线的向量,而a (b ·c)表示一个与a 共线的向量,而c 与a 不一定共线,所以(a ·b )c =a (b ·c )不成立.讨论结果:①是数量,叫数量积.②数量积满足a ·b =b ·a (交换律);(λa )·b =λ(a ·b )=a ·(λb )(数乘结合律);(a +b )·c =a ·c +b ·c (分配律).③(1)(a +b )2=(a +b )·(a +b )=a ·b +a ·b +b ·a +b ·b =a 2+2a ·b +b 2;(2)(a +b )·(a -b )=a ·a -a ·b +b ·a -b ·b =a 2-b 2.提合作交流①如何理解向量的投影与数量积？它们与向量之间有什么关系？②能用“投影”来解释数量积的几何意义吗？活动:教师引导学生来总结投影的概念,可以结合“探究”,让学生用平面向量的数量积的定义,从数与形两个角度进行探索研究.教师给出图形并作结论性的总结,提出注意点“投影”的概念,如图4.图4定义:|b |cosθ叫做向量b 在a 方向上的投影.并引导学生思考:1°投影也是一个数量,不是向量;2°当θ为锐角时投影为正值;当θ为钝角时投影为负值;当θ为直角时投影为0;当θ=0°时投影为|b |;当θ=180°时投影为-|b |.教师结合学生对“投影”的理解,让学生总结出向量的数量积的几何意义:数量积a ·b 等于a 的长度与b 在a 方向上投影|b |cosθ的乘积.让学生思考:这个投影值可正、可负,也可为零,所以我们说向量的数量积的结果是一个实数.教师和学生共同总结两个向量的数量积的性质:设a 、b 为两个非零向量,e 是与b 同向的单位向量.1°e ·a =a ·e =|a |cosθ.2°a ⊥b ⇔a ·b =0.3°当a 与b 同向时,a ·b =|a ||b |;当a 与b 反向时,a ·b =-|a ||b |.特别地a ·a =|a |2或|a |=a a •. 4°cosθ=||||b a b a •. 5°|a ·b |≤|a ||b |.上述性质要求学生结合数量积的定义自己尝试推证,教师给予必要的补充和提示,在推导过程中理解并记忆这些性质.讨论结果:①略(见活动).②向量的数量积的几何意义为数量积a ·b 等于a 的长度与b 在a 方向上投影|b |cosθ的乘积. 教师精讲例 1 已知平面上三点A 、B 、C 满足|AB |=2,|BC |=1,|CA |=3,求·+·+的值. 活动:教师引导学生利用向量的数量积并结合两向量的夹角来求解,先分析题设然后找到所需条件.因为已知、、的长度,要求得两两之间的数量积,必须先求出两两之间的夹角.结合勾股定理可以注意到△A 是直角三角形,然后可利用数形结合来求解结果. 解:由已知,||2+||2=||2,所以△ABC 是直角三角形.而且∠ACB=90°,从而sin ∠ABC=23,sin ∠BAC=21.∴∠ABC=60°,∠BAC=30°. ∴AB 与BC 的夹角为120°,BC 与CA 的夹角为90°,CA 与AB 的夹角为150°.故AB ·BC +BC ·CA +CA ·AB =2×1×cos120°+1×3cos90°+3×2cos150°=-4.点评:确定两个向量的夹角,应先平移向量,使它们的起点相同,再考察其角的大小,而不是简单地看成两条线段的夹角,如例题中AB 与BC 的夹角是120°,而不是60°.巩固提升已知|a |=6,|b |=4,a 与b 的夹角为60°,求(a +2b )·(a -3b ).解:(a +2b )·(a -3b )=a ·a -a ·b -6b ·b=|a |2-a ·b -6|b |2=|a |2-|a ||b |cosθ-6|b |2=62-6×4×cos60°-6×42=-72.例2 已知|a |=3,|b |=4,且a 与b 不共线,当k 为何值时,向量a +k b 与a -k b 互相垂直? 解:a +k b 与a -k b 互相垂直的条件是(a +k b )·(a -k b )=0,即a 2-k 2b 2=0.∵a 2=32=9,b 2=42=16,∴9-16k 2=0.∴k=±43.也就是说,当k=±43时,a +k b 与a -k b 互相垂直.点评:本题主要考查向量的数量积性质中垂直的充要条件.变式训练已知向量a 、b 满足:a 2=9,a ·b =-12,求|b |的取值范围.解:∵|a |2=a 2=9,∴|a |=3.又∵a ·b =-12,∴|a ·b |=12.∵|a ·b |≤|a ||b |,∴12≤3|b |,|b |≥4.故|b |的取值范围是［4,+∞).课堂小结1.先由学生回顾本节学习的数学知识,数量积的定义、几何意义,数量积的重要性质,数量积的运算律.2.教师与学生总结本节学习的数学方法,归纳类比、定义法、数形结合等.在领悟数学思想方法的同时,鼓励学生多角度、发散性地思考问题,并鼓励学生进行一题多解.作业课本习题2.4 A 组2、3、4.。
§241平面向量数量积的物理背景及其含义
§2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义一、教材分析本节课选自《普通高中课程标准实验教科书·数学必修4》（A版）2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义。
平面向量的数量积是继向量的线性运算之后的又一重要运算，是平面向量的核心内容。
向量的平行、垂直关系是向量间最基本、最重要的位置关系，而向量的夹角、距离又是向量的重要数量特征，向量的数量积恰好是解决问题的一个重要工具。
数量积既是对物理背景的抽象，又是研究性质和运算律的基础。
同时也因为在这个概念中，既有长度又有角度，既有形又有数，是代数、几何与三角的最佳结合点，不仅应用广泛，而且很好的体现了数形结合的数学思想，使得数量积的概念成为本节课的核心概念，自然也是本节课教学的重点之一。
二、教学任务分析前面已学了向量的概念及向量的线性运算，本节课引入向量的数量积。
教科书以物体受力作功为背景引入向量数量积的概念，定义概念之后，进一步探讨了两个向量的夹角对数量积符号的影响；两个向量的位置与数量积之间的关系；并“探究”研究了运算律。
三、学情分析1．有利因素学生在学习本节内容之前，已熟知了实数的运算体系，掌握了向量的概念及其线性运算，具备了功等物理知识，并且初步体会了研究向量运算的一般方法：即先由特殊模型（主要是物理模型）抽象出概念，然后再从概念出发，在与实数运算类比的基础上研究性质和运算律。
这为学生学习数量积做了很好的铺垫，使学生倍感亲切。
2．不利因素一方面，相对于线性运算而言，数量积的结果发生了本质的变化，两个有形有数的向量经过数量积运算后，形却消失了，学生对这一点是很难接受的；另一方面，由于受实数乘法运算的影响，也会造成学生对数量积理解上的偏差，特别是对性质和运算律的理解。
因而本节课教学的难点之一也是数量积的概念。
四、教学三维目标设计课标要求：通过物理中“功”等事例，理解平面向量数量积的含义及其物理意义；体会平面向量的数量积与向量投影的关系。
平面向量数量积的背景及其含义
0
| a | | a |· | cosθ 6 | b | |b
2
2
36 12 96 72
例4、已知 | a | 3, | b | 4, 且a与b不共线.k为 何值时, 向量a k b与a k b垂直.
解：a+kb与a-kb互相垂直的条件是 （ a+kb）· （a-kb）=0 即a· k· b=0 a-k· b· 9-16 k 2 =0
( 2) | b | cos 叫做b在a方向上的投影 ;
(3)规定 : 0与任一向量的数量积为0.
新课
思考 : (a , b均为非零向量)
(1)a b ____; ( 2) ____ 时, a b 0; ____ 时, a b 0;
( 3)a , b同向时, a b ____; a , b反向时, a b ____;
1 5 8 ( ) 20 2
数量积运算律:
(1)a b b a; ( 2)( a ) b (a b) a ( b); ( 3)( a b) c a c b c .
A
a ab b
B
C
O
A1
c
B1
例2、试证 :
§ 2.4.1 平面向量数量积 的物理背景及其含义
引入
a与b的数量积 (内积) : 已知两个非向量 与b, 把数量 | a || b | cos a
, 称之.记作a b, 即a b | a || b | cos .
说明 :
(1)是a与b的夹角;
数量积a b等于a 的长度与b在a方向 上投影的乘积.
(4)a a a ____;
数学(2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义)
功率等于功与作用时间的比值。平面向量数量积可以用来描述功率，即功率等于功向量与时间向量的 模的比值。
03
平面向量数量积的应用
速度与加速度的研究
速度
速度是描述物体运动快慢的物理量， 等于位移与时间的比值。在平面向量 中，速度可以表示为向量，其模即为 线段长度与时间的比值。
加速度
加速度是描述物体速度变化快慢的物 理量，等于速度的变化量与时间的比 值。在平面向量中，加速度可以表示 为速度向量的变化率，其模即为速度 变化量与时间的比值。
详细描述
根据数乘的定义，实数k与向量a的数乘记作 ka，其模长为|ka|=|k||a|。设向量a与向量b的
夹角为θ，则有k(a·b)=k(|a||b|cosθ)， (ka)·b=|ka||b|cosθ=k(|a||b|cosθ)，
a·(kb)=|a||kb|cosθ=k(|a||b|cosθ)。这说明数 乘律成立，即k(a·b)=(ka)·b=a·(kb)。
几何意义
总结词
平面向量数量积表示两个向量在方向上的相似性和夹角关系。
详细描述
平面向量数量积的几何意义在于表示两个向量在方向上的相似性和夹角关系。当两个向量的夹角为锐角时，数量 积大于0，表示两个向量方向相同；当夹角为钝角时，数量积小于0，表示两个向量方向相反；当夹角为0或180 度时，数量积为0，表示两个向量垂直或反向。
动量与冲量
动量
物体的动量等于物体的质量与速 度的乘积。平面向量数量积可以 用来描述动量，即物体的动量等 于质量与速度向量的模的乘积。
冲量
冲量等于力的作用时间与力的乘 积。平面向量数量积可以用来描 述冲量，即冲量等于力向量与时 间向量的模的乘积。
功与功率
功
最新241平面向量的数量积的物理背景及其含义汇总
241平面向量的数量积的物理背景及其含义§2.4平面向量的数量积第7课时一、平面向量的数量积的物理背景及其含义教学目的：1.掌握平面向量的数量积及其几何意义；2.掌握平面向量数量积的重要性质及运算律；3.了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题；4.掌握向量垂直的条件.教学重点：平面向量的数量积定义教学难点：平面向量数量积的定义及运算律的理解和平面向量数量积的应用授课类型：新授课教具：多媒体、实物投影仪内容分析：本节学习的关键是启发学生理解平面向量数量积的定义，理解定义之后便可引导学生推导数量积的运算律，然后通过概念辨析题加深学生对于平面向量数量积的认识.主要知识点：平面向量数量积的定义及几何意义；平面向量数量积的5个重要性质；平面向量数量积的运算律.教学过程：一、复习引入：1．向量共线定理向量«Skip Record If...»与非零向量«Skip Record If...»共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使«Skip Record If...»=λ«Skip Record If...».仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢22．平面向量基本定理：如果«Skip Record If...»，«Skip Record If...»是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量«Skip Record If...»，有且只有一对实数λ1，λ2使«Skip Record If...»=λ1«Skip Record If...»+λ2«Skip Record If...»3．平面向量的坐标表示分别取与«Skip Record If...»轴、«Skip Record If...»轴方向相同的两个单位向量«Skip Record If...»、«Skip Record If...»作为基底.任作一个向量«Skip Record If...»，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数«Skip Record If...»、«Skip Record If...»，使得«Skip Record If...»把«Skip Record If...»叫做向量«Skip Record If...»的（直角）坐标，记作«Skip Record If...»4．平面向量的坐标运算若«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，则«Skip Record If...»«Skip Record If...»，«Skip Record If...»«Skip Record If...»，«Skip Record If...».若«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，则«Skip Record If...»5．«Skip Record If...»∥«Skip Record If...» («Skip Record If...» «Skip Record If...»)的充要条件是x1y2-x2y1=06．线段的定比分点及λP1， P2是直线l上的两点，P是l上不同于P1， P2的任一点，存在实数λ，仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢3使 «Skip Record If...»=λ«Skip Record If...»，λ叫做点P分«Skip Record If...»所成的比，有三种情况：λ>0(内分) (外分) λ<0 (λ<-1) ( 外分)λ<0 (-1<λ<0)7. 定比分点坐标公式：若点P１(x1，y1) ，Ｐ２(x2，y2)，λ为实数，且«Skip Record If...»＝λ«Skip Record If...»，则点P 的坐标为（«Skip Record If...»），我们称λ为点P分«Skip Record If...»所成的比.8. 点P的位置与λ的范围的关系：①当λ＞０时，«Skip Record If...»与«Skip Record If...»同向共线，这时称点P为«Skip Record If...»的内分点.②当λ＜０(«Skip Record If...»)时，«Skip Record If...»与«Skip Record If...»反向共线，这时称点P为«Skip Record If...»的外分点.9.线段定比分点坐标公式的向量形式：在平面内任取一点O，设«Skip Record If...»＝ａ，«Skip Record If...»＝ｂ，可得«Skip Record If...»=«Skip Record If...».10．力做的功：W = |F|⋅|s|cosθ，θ是F与s的夹角.二、讲解新课：1．两个非零向量夹角的概念已知非零向量ａ与ｂ，作«Skip Record If...»＝ａ，«Skip Record If...»＝ｂ，则∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫ａ与ｂ的夹角.说明：（1）当θ＝０时，ａ与ｂ同向；（2）当θ＝π时，ａ与ｂ反向；（3）当θ＝«Skip Record If...»时，ａ与ｂ垂直，记ａ⊥ｂ；（4）注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的.范围0︒≤θ≤180︒仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢4C2．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量ａ与ｂ，它们的夹角是θ，则数量|a||b|cosθ叫ａ与ｂ的数量积，记作a⋅b，即有a⋅b= |a||b|cosθ，（０≤θ≤π）.并规定0与任何向量的数量积为0.⋅探究：两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别（1）两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cosθ的符号所决定.（2）两个向量的数量积称为内积，写成a⋅b；今后要学到两个向量的外积a×b，而a⋅b是两个向量的数量的积，书写时要严格区分.符号“·”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替.（3）在实数中，若a≠0，且a⋅b=0，则b=0；但是在数量积中，若a≠0，且a⋅b=0，不能推出b=0.因为其中cosθ有可能为0.（4）已知实数a、b、c(b≠0)，则ab=bc ⇒ a=c.但是a⋅b = b⋅ca = c如右图：a⋅b = |a||b|cosβ = |b||OA|，b⋅c = |b||c|cosα = |b||OA|⇒ a⋅b = b⋅c但a≠c(5)在实数中，有(a⋅b)c = a(b⋅c)，但是(a⋅b)c≠a(b⋅c)显然，这是因为左端是与c共线的向量，而右端是与a 共线的向量，而一般a与c不共线.仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢5仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢63．“投影”的概念：作图定义：|b |cos θ叫做向量b 在a 方向上的投影. 投影也是一个数量，不是向量；当θ为锐角时投影为正值；当θ为钝角时投影为负值；当θ为直角时投影为0；当θ = 0︒时投影为 |b |；当θ = 180︒时投影为 -|b |.4．向量的数量积的几何意义：数量积a ⋅b 等于a 的长度与b 在a 方向上投影|b |cos θ的乘积.5．两个向量的数量积的性质：设a 、b 为两个非零向量，e 是与b 同向的单位向量.1︒ e ⋅a = a ⋅e =|a |cos θ2︒ a ⊥b ⇔ a ⋅b = 03︒ 当a 与b 同向时，a ⋅b = |a ||b |；当a 与b 反向时，a ⋅b = -|a ||b |. 特别的a ⋅a = |a |2或«Skip Record If...»4︒ cos θ =«Skip Record If...»5︒ |a ⋅b | ≤ |a ||b |三、讲解范例：例1 已知|a |=5， |b |=4， a 与b 的夹角θ=120o ，求a ·b .例2 已知|a |=6， |b |=4， a 与b 的夹角为60o 求(a+2b)·(a-3b).例3 已知|a |=3， |b |=4， 且a 与b 不共线，k 为何值时，向量a+kb 与a-kb 互相垂直.例4 判断正误，并简要说明理由.①ａ·0＝0；②0·ａ＝０；③0－«Skip Record If...»＝«Skip Record If...»；④｜ａ·ｂ｜＝｜ａ｜｜ｂ｜；⑤若ａ≠0，则对任一非零ｂ有ａ·ｂ≠０；⑥ａ·ｂ＝０，则ａ与ｂ中至少有一个为0；⑦对任意向量ａ，ｂ，с都有（ａ·ｂ）с＝ａ（ｂ·с）；⑧ａ与ｂ是两个单位向量，则ａ２＝ｂ２.解：上述8个命题中只有③⑧正确；对于①：两个向量的数量积是一个实数，应有0·ａ＝０；对于②：应有０·ａ＝0；对于④：由数量积定义有｜ａ·ｂ｜＝｜ａ｜·｜ｂ｜·｜cosθ｜≤｜ａ｜｜ｂ｜，这里θ是ａ与ｂ的夹角，只有θ＝０或θ＝π时，才有｜ａ·ｂ｜＝｜ａ｜·｜ｂ｜；对于⑤：若非零向量ａ、ｂ垂直，有ａ·ｂ＝０；对于⑥：由ａ·ｂ＝０可知ａ⊥ｂ可以都非零；对于⑦：若ａ与с共线，记ａ＝λс.则ａ·ｂ＝（λс）·ｂ＝λ（с·ｂ）＝λ（ｂ·с），∴（ａ·ｂ）·с＝λ（ｂ·с）с＝（ｂ·с）λс＝（ｂ·с）ａ若ａ与с不共线，则(ａ·ｂ)с≠（ｂ·с）ａ.评述：这一类型题，要求学生确实把握好数量积的定义、性质、运算律.例 6 已知｜ａ｜＝３，｜ｂ｜＝６，当①ａ∥ｂ，②ａ⊥ｂ，③ａ与ｂ的夹角是60°时，分别求ａ·ｂ.解：①当ａ∥ｂ时，若ａ与ｂ同向，则它们的夹角θ＝０°，∴ａ·ｂ＝｜ａ｜·｜ｂ｜cos0°＝3×6×1＝18；若ａ与ｂ反向，则它们的夹角θ＝180°，∴ａ·ｂ＝｜ａ｜｜ｂ｜cos180°＝3×6×（-1）＝－18；②当ａ⊥ｂ时，它们的夹角θ＝90°，∴ａ·ｂ＝０；③当ａ与ｂ的夹角是60°时，有ａ·ｂ＝｜ａ｜｜ｂ｜cos60°＝3×6׫Skip Record If...»＝9评述：两个向量的数量积与它们的夹角有关，其范围是［0°，180°］，因此，当ａ∥ｂ时，有0°或180°两种可能.四、课堂练习：1.已知|a|=1，|b|=«Skip Record If...»，且(a-b)与a垂直，则a与b的夹角是（）A.60°B.30°C.135°D.４５°仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢72.已知|a|=2，|b|=1，a与b之间的夹角为«Skip Record If...»，那么向量m=a-4b的模为（）A.2B.2«Skip Record If...»C.6D.123.已知a、b是非零向量，则|a|=|b|是(a+b)与(a-b)垂直的（）A.充分但不必要条件B.必要但不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.已知向量a、b的夹角为«Skip Record If...»，|a|=2，|b|=1，则|a+b|·|a-b|= .5.已知a+b=2i-8j，a-b=-8i+16j，其中i、j是直角坐标系中x轴、y轴正方向上的单位向量，那么a·b= .6.已知a⊥b、c与a、b的夹角均为60°，且|a|=1，|b|=2，|c|=3，则(a+2b-c)２＝______.7.已知|a|=1，|b|=«Skip Record If...»，(1)若a∥b，求a·b；(2)若a、b的夹角为６０°，求|a+b|；(3)若a-b与a垂直，求a与b的夹角.8.设m、n是两个单位向量，其夹角为６０°，求向量a=2m+n与b=2n-3m的夹角.9.对于两个非零向量a、b，求使|a+tb|最小时的t值，并求此时b与a+tb的夹角.五、小结（略）六、课后作业（略）七、教学后记：仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢8。
241平面向量的数量积的物理背景及其含义
2.4.1平面向量的数量积的物理背景及其含义教学目的：1.掌握平面向量的数量积及其几何意义；2.掌握平面向量数量积的重要性质及运算律；3.了解用平面向量的数量积可以处理垂直的问题；4.掌握向量垂直的条件.教学重点：平面向量的数量积定义教学难点：平面向量数量积的定义及运算律的理解和平面向量数量积的应用教学过程：一、复习引入：（1）两个非零向量夹角的概念：已知非零向量ａ与ｂ，作＝ａ，＝ｂ，则∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫ａ与ｂ的夹角.说明：（1）当θ＝０时，ａ与ｂ同向；（2）当θ＝π时，ａ与ｂ反向；（3）当θ＝2π时，ａ与ｂ垂直，记ａ⊥ｂ； （4）注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的.范围0︒≤θ≤180︒（2）两向量共线的判定（3）练习1.若a =(2，3)，b =(4，-1+y )，且a ∥b ，则y =（ C ）A.6 B .5 C.7 D.82.若A (x ，-1)，B (1，3)，C (2，5)三点共线，则x 的值为（ B ）A.-3 B .-1 C.1 D.3（4）力做的功：W = |F |⋅|s |cos θ，θ是F 与s 的夹角.二、讲解新课：1．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量ａ与ｂ，它们的夹角是θ，则数量|a ||b |cos θ叫ａ与ｂ的数量积，记作a ⋅b ，即有a ⋅b = |a ||b |cos θ，（０≤θ≤π）.并规定0向量与任何向量的数量积为0.⋅探究：1、向量数量积是一个向量还是一个数量？它的符号什么时候为正？什么时候为负？2、两个向量的数量积与实数乘向量的积有什么区别？（1）两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cos θ的符号所决定.（2）两个向量的数量积称为内积，写成a ⋅b ；今后要学到两个向量的外积a ×b ，而a ⋅b 是两个向量的数量的积，书写时要严格区分.符号“· ”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替.（3）在实数中，若a ≠0，且a ⋅b =0，则b =0；但是在数量积中，若a ≠0，且a ⋅b =0，不能推出b =0.因为其中cos θ有可能为0.（4）已知实数a 、b 、c (b ≠0)，则ab=bc ⇒ a=c .但是a ⋅b = b ⋅ca = c如右图：a ⋅b = |a ||b |cos β = |b ||OA|，b ⋅c = |b ||c |cos α = |b ||OA|⇒ a ⋅b = b ⋅c 但a ≠ c(5)在实数中，有(a ⋅b )c = a (b ⋅c )，但是(a ⋅b )c ≠ a (b ⋅c )显然，这是因为左端是与c 共线的向量，而右端是与a 共线的向量，而一般a 与c 不共线.2．“投影”的概念：作图定义：|b |cos θ叫做向量b 在a 方向上的投影.投影也是一个数量，不是向量；当θ为锐角时投影为正值； 当θ为钝角时投影为负值； 当θ为直角时投影为0；当θ = 0︒时投影为 |b |； 当θ = 180︒时投影为 -|b |.3．向量的数量积的几何意义：数量积a ⋅b 等于a 的长度与b 在a 方向上投影|b |cos θ的乘积.探究：两个向量的数量积的性质：设a 、b 为两个非零向量，1、a ⊥b ⇔ a ⋅b = 02、当a 与b 同向时，a ⋅b = |a ||b |； 当a 与b 反向时，a ⋅b = -|a ||b |.特别的a ⋅a = |a |2或a a a ⋅=|| |a ⋅b | ≤ |a ||b | cos θ =||||b a b a ⋅ 探究：平面向量数量积的运算律1．交换律：a ⋅ b = b ⋅ a证：设a ，b 夹角为θ，则a ⋅ b = |a ||b |cos θ，b ⋅ a = |b ||a |cos θ ∴a ⋅ b = b ⋅ a2．数乘结合律：(λa )⋅b =λ(a ⋅b ) = a ⋅(λb )证：若λ> 0，(λa )⋅b =λ|a ||b |cos θ， λ(a ⋅b ) =λ|a ||b |cos θ，a ⋅(λb ) =λ|a ||b |cos θ，若λ< 0，(λa )⋅b =|λa ||b |cos(π-θ) = -λ|a ||b |(-cos θ) =λ|a ||b |cos θ，λ(a ⋅b ) =λ|a ||b |cos θ，a ⋅(λb ) =|a ||λb |cos(π-θ) = -λ|a ||b |(-cos θ) =λ|a ||b |cos θ.3．分配律：(a + b )⋅c = a ⋅c + b ⋅c在平面内取一点O ，作= a ， AB = b ，= c ， ∵a + b （即）在c 方向上的投影等于a 、b 在c 方向上的投影和，即 |a + b | cos θ = |a | cos θ1 + |b | cos θ2∴| c | |a + b | cos θ =|c | |a | cos θ1 + |c | |b | cos θ2， ∴c ⋅(a + b ) = c ⋅a + c ⋅b 即：(a + b )⋅c = a ⋅c + b ⋅c说明：（1）一般地，(ａ·ｂ)с≠ａ（ｂ·с）（2）ａ·с＝ｂ·с，с≠0ａ＝ｂ（3）有如下常用性质：ａ２＝｜ａ｜２，（ａ＋ｂ）（с＋ｄ）＝ａ·с＋ａ·ｄ＋ｂ·с＋ｂ·ｄ三、讲解范例：例1 已知|a |=5， |b |=4， a 与b 的夹角θ=120o ，求a ·b .例2．证明：(ａ＋ｂ)２＝ａ２＋２ａ·ｂ＋ｂ２例3．已知|a |=12， |b |=9，254-=∙b a ，求a 与b 的夹角。