平面向量数量积的运算律
平面向量的数量积与平面向量应用举例_图文_图文
三、向量数量积的性质
1．如果e是单位向量，则a·e＝e·a. 2．a⊥b⇔ a·b＝0 .
|a|2
4．cos θ＝
.(θ为a与b的夹角)
5．|a·b| ≤ |a||b|.
四、数量积的运算律
1．交换律：a·b＝ b·a . 2．分配律：(a＋b)·c＝ a·c＋b·c . 3．对λ∈R，λ(a·b)＝ (λa)·b＝ a·(λb．) 五、数量积的坐标运算
∴a与c的夹角为90°. (2)∵a与b是不共线的单位向量，∴|a|＝|b|＝1. 又ka－b与a＋b垂直，∴(a＋b)·(ka－b)＝0， 即ka2＋ka·b－a·b－b2＝0. ∴k－1＋ka·b－a·b＝0. 即k－1＋kcos θ－cos θ＝0(θ为a与b的夹角)． ∴(k－1)(1＋cos θ)＝0.又a与b不共线， ∴cos θ≠－1.∴k＝1. [答案] (1)B (2)1
解析：(1) a＝(x－1,1)，a－b＝(x－1,1)－(－x＋1,3)＝ (2x－2，－2)，故a⊥(a－b)⇔2(x－1)2－2＝0⇔x＝0或2 ，故x＝2是a⊥(a－b)的一个充分不必要条件．
答案: (1)B (2)D
平面向量的模 [答案] B
[答案] D
[典例总结]
利用数量积求长度问题是数量积的重要应用，要掌 握此类问题的处理方法：
[巩固练习]
2．(1)设向量a＝(x－1,1)，b＝(－x＋1,3)，则a⊥(a－b)
的一个充分不必要条件是
()
A．x＝0或2
B．x＝2
C．x＝1
D．x＝±2
(2)已知向量a＝(1,0)，b＝(0,1)，c＝a＋λb(λ∈R)，
向量d如图所示，则
()
A．存在λ>0，使得向量c与向量d垂直 B．存在λ>0，使得向量c与向量d夹角为60° C．存在λ<0，使得向量c与向量d夹角为30° D．存在λ>0，使得向量c与向量d共线
平面向量的数量积及运算律
平面向量的数量积及运算律学校上南中学 姓名欧阳民教学目的：1.掌握平面向量数量积运算规律；2.能利用数量积的5个重要性质及数量积运算律解决有关问题；3.掌握两个向量共线、垂直的几何判断，会证明两向量垂直，以及能解决一些简单问题.教学重点：平面向量数量积及运算规律.教学难点：平面向量数量积的应用教学过程：一、复习引入：1．复习两个非零向量夹角的概念。
2．问题探索：利用物理学中的做功问题，来引入平面向量数量积（内积）的定义： θcos b a b a =⋅3．“投影”的概念：定义：|b |cos θ叫做向量b 在a 方向上的投影。
4．向量的数量积的几何意义：数量积a ⋅b 等于a 的长度与b 在a 方向上投影|b |cos θ的乘积。
例1．若45==b a ,，当a 与b 的夹角为0120时，求b a ⋅。
变式1 若45==b a ,，当b a ⊥，求b a ⋅；变式2 若45==b a ,，当b a //，求b a ⋅，a a ⋅；变式3 若45==b a ,，当210=⋅b a ，求a 与b 的夹角；变式4 若45==b a ,，当a 与b 的夹角为060时，求b a ⋅。
练一练，比一比：1．已知68==q p ,，p 与q 的夹角为060，求q p ⋅。
2．设912==b a ,，254-=⋅b a ，求a 与b 的夹角。
3．已知ABC ∆中，,,b AC a AB ==当00=⋅<⋅b a b a ,时，ABC ∆各是什么三角形？0>⋅b a 呢？二、平面向量数量积的运算律1．交换律：a ⋅ b = b ⋅ a2．数乘结合律：(λa )⋅b =λ(a ⋅b ) = a ⋅(λb )3．分配律：(a + b )⋅c = a ⋅c + b ⋅c证明（略）三、两个向量的数量积的性质：设a 、b 为两个非零向量，e 是与b 同向的单位向量。
(1) e ⋅a = a ⋅e =|a |cos θ；(2) a ⊥b ⇔ a ⋅b = 0(3) 当a 与b 同向时，a ⋅b = |a ||b |；当a 与b 反向时，a ⋅b = -|a ||b |。
平面向量的运算规则
平面向量的运算规则平面向量是研究平面上有大小和方向的量，常用于解决几何问题和物理问题。
为了对平面向量进行运算，我们需要了解平面向量的运算规则。
本文将介绍平面向量的加法、减法、数乘和数量积的运算规则，以及向量的共线性和平行性。
一、平面向量的加法规则对于平面上的两个向量A和A，它们的加法规则如下：A + A = A + A即向量的加法满足交换律。
二、平面向量的减法规则对于平面上的两个向量A和A，它们的减法规则如下：A - A≠ A - A向量的减法不满足交换律。
减法运算可以通过将减法转化为加法进行计算：A - A = A + (-A)其中，-A表示向量A的反向向量，即大小相等，方向相反。
三、平面向量的数乘规则对于平面上的向量A和一个实数A，它们的数乘规则如下：AA = AA即数乘满足交换律。
数乘后的向量与原向量大小相等，方向与原向量平行或反向。
四、平面向量的数量积规则平面向量的数量积又称为点积或内积。
对于平面上的两个向量A和A，它们的数量积规则如下：A·A = AA cosθ其中，A·A表示向量A和A的数量积，AA为A和A的模的乘积，θ为A和A之间的夹角。
根据数量积的定义，我们可以得到以下结论：1. 若A·A = 0，则A与A垂直，即A和A互相垂直。
2. 若A·A > 0，则A与A夹角为锐角。
3. 若A·A < 0，则A与A夹角为钝角。
五、平面向量的共线性和平行性对于平面上的两个向量A和A，它们的共线性和平行性判断规则如下：1. 共线性判断：若存在一个实数A，使得A = AA，则A与A共线，且方向相同或相反。
2. 平行性判断：若A与A共线且方向相同或相反，则A与A平行。
总结：平面向量的运算规则包括加法、减法、数乘和数量积。
其中，加法满足交换律，减法不满足交换律，数乘满足交换律。
数量积可以判断向量的垂直性和夹角的锐钝性。
同时，共线性和平行性的判断也是平面向量运算中的重要内容。
平面向量数量积的定义
1
A1
c
B1
C
证明： 任取一点 O, 作 OA a , AB b , OC c . 因为 a b (即OB) 在 c 方向上的投影等于 a 、b 在 c 方向上的投影的和. 由此可证，运算律（ 3 ）成立 （以下见黑板） .
练一练
判断题 (1) (a b)c a(b c)
注： 两个向量的数量积是一个数量，这个数量的大 小与两个向量的长度及其夹角有关. （2）“ a b a b ”能不能写成“ 式？ ”或者 ab “ ” 的形
例题分析： 例1 已知|a|=5，|b|=4，a与b的夹角 θ=120°，求a· b。
解：a· b=|a| |b|cosθ=5×4×cos120°
1、已知a
a 与b 的交角为90 o，则a b 0 2， b 3，
；
（1）a⊥b a · b=0 (判断两向量垂直的依据) 2、若 a
a、b共线，则 a b 3或－ b 3， . 3 1，
（2）当a 与b 同向时，a · b =| a | · | b |，当a 与b 反向 时， a · b = -| a | · | b | ．( a // b 特别地
B
B b
B
b
b
O a
B1
A
B1Biblioteka Oa A O( B1 ) a
A
θ为锐角时， | b | cosθ＞0 a O b B 。 0时，它是 | b |
θ为钝角时， | b | cosθ＜0 b A B O
θ为直角时， | b | cosθ=0 a A
θ为
。 θ为 180时，它是 -| b |
向量数量积的性质
平面向量的数量积与运算律公开课课件
平面向量的数量积及运算律 复习 新课 例题 练习
例、求证：
2 2 2 (1)( a b ) a 2a b b 2 2 2(a b ) (a b ) a b
问:
(a b ) (a b ) ? (a b )
平面向量的数量积及运算律
小 结
总结:
掌握平面向量数量积的运算 律,体会平面向量数量积运算与数 与式运算的区别与联系；
理解利用性质求长度、角度、 证垂直的方法与手段。
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练习2 向量a与b 夹角是3 则 | a 源自 b | | a b | _____
， | a | 2,| b | 1,
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作业：
1、若 | a || b | 1, a b 且2a 3b 与 ka 4b 也互相垂直，求k的值。 2、设a是非零向量，且b c , 求证： a b a c a (b c )
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1、数量积的定义：
a b | a || b | cos
2、数量积的几何意义：
a b 等于 a 的长度 | a |与 b 在a方向上的投影
| b | cos 的乘积。
所以 | a b | cos | a | cos 1 | b | cos 2
0
A
a
1
A1
2 b
B C
c A2
| a b || c | cos | a || c | cos1 | b || c | cos2
新课标人教A版数学必修4全部课件：平面向量的数量积及运算律
(× )
( ×)
(× ) (√ ) (× )
五.小结
(1)向量的数量积的定义及几何意义.
(2)数量积的5条性质. 六.作业
习题5.6 3,6
谢谢莅临指导！
再 见
Байду номын сангаас
四.课堂练习
判断下列各题是否正确
(1)若a=0,则对任意向量b,有a· 0------ (√) b=
(2)若a≠0,则对任意非零向量b,有a· b≠0-(3)若a≠0,且a· b=0,则b=0 ------------------(4)若a· b=0,则a=0或b=0 --------------------(5)对任意向量a有a2=│a│2 ---------------(6)若a≠0且a· c,则b=c ------------------b=a·
三.根据定义思考下列各题:
设a,b是非零向量，e是与b方向相同的 单位向量，θ是 a与 e的夹角，则 （1）a· e与e· a的关系是:__________ （2）命题p：a b,命题q:a· 0则p与q的关 b= 系是:__________ (3)当a与b同向时,a· b=__________ 当a与b反向时,a· b=__________ (4)cosθ=_______ │a·b│___│a│·│b│
平面向量的数量积是一个数量，而差向量、和 向量分别是一个向量。 思考2： 如图，作出│b│cosθ，并说出它的几何 意义；│a│cosθ的几何意义有是什么？
B b θ ┐ O a B1 A
（1）
B b θ B1 O
┐
B b
θ a ┓ a A O(B1)
（3）
A
（2）
│b│cosθ叫做向量b在向量a上的投影， │a│cosθ叫做向量a在向量b上的投影. a· b的几何意义： 向量a与b的数量积a· b等于a的长度│a│ 与b在a的方向上的投影│b│cosθ的积.
§5.3 平面向量的数量积
§5.3 平面向量的数量积考情考向分析 主要考查利用数量积的定义解决数量积的运算、求模与夹角等问题，考查利用数量积的坐标表示求两个向量的夹角、模以及判断两个平面向量的平行与垂直关系.一般以填空题的形式考查，偶尔会在解答题中出现，属于中档题.1.向量的夹角已知两个非零向量a 和b ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB 就是向量a 与b 的夹角，向量夹角的范围是[0，π]. 2.平面向量的数量积定义：设两个非零向量a ，b 的夹角为θ，则数量|a ||b |·cos θ叫做a 与b 的数量积，记作a ·b .3.平面向量数量积的性质设a ，b 都是非零向量，e 是单位向量，θ为a 与b (或e )的夹角.则 (1)e ·a ＝a ·e ＝|a |cos θ. (2)a ⊥b ⇔a ·b ＝0.(3)当a 与b 同向时，a ·b ＝|a ||b |； 当a 与b 反向时，a ·b ＝－|a ||b |. 特别地，a ·a ＝|a |2或|a |＝a ·a .(4)cos θ＝a ·b|a ||b |.(5)|a ·b |≤|a ||b |.4.平面向量数量积满足的运算律 (1)a ·b ＝b ·a ；(2)(λa )·b ＝λ(a ·b )＝a ·(λb )(λ为实数)； (3)(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c .5.平面向量数量积有关性质的坐标表示设向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2，由此得到 (1)若a ＝(x ，y )，则|a |2＝x 2＋y 2或|a |＝x 2＋y 2.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则A ，B 两点间的距离AB ＝|AB →|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2. (3)设两个非零向量a ，b ，a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.(4)若a ，b 都是非零向量，θ是a 与b 的夹角，则cos θ＝a ·b |a ||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21 x 22＋y 22. 知识拓展1.两个向量a ，b 的夹角为锐角⇔a ·b >0且a ，b 不共线； 两个向量a ，b 的夹角为钝角⇔a ·b <0且a ，b 不共线.2.平面向量数量积运算的常用公式 (1)(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2. (2)(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2. (3)(a －b )2＝a 2－2a ·b ＋b 2.题组一 思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量.( √ ) (2)由a ·b ＝0可得a ＝0或b ＝0.( × ) (3)(a ·b )c ＝a (b ·c ).( × )(4)两个向量的夹角的范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2.( × )(5)若a ·b >0，则a 和b 的夹角为锐角；若a ·b <0，则a 和b 的夹角为钝角.( × ) 题组二 教材改编2.[P90习题T18]已知向量a ＝(2,1)，b ＝(－1，k )，a ·(2a －b )＝0，则k ＝________. 答案 12解析 ∵2a －b ＝(4,2)－(－1，k )＝(5,2－k )， 由a ·(2a －b )＝0，得(2,1)·(5,2－k )＝0， ∴10＋2－k ＝0，解得k ＝12.3.[P90练习T19]设a ＝(1,2)，b ＝(1,1)，c ＝a ＋k b .若b ⊥c ，则实数k 的值为________. 答案 －32解析 由已知得c ＝(1,2)＋k (1,1)＝(k ＋1，k ＋2)， 因为b ⊥c ，所以b ·c ＝0， 因此k ＋1＋k ＋2＝0，解得k ＝－32.题组三 易错自纠4.设向量a ＝(－1,2)，b ＝(m,1)，如果向量a ＋2b 与2a －b 平行，那么a 与b 的数量积是________. 答案 52解析 a ＋2b ＝(－1＋2m,4)，2a －b ＝(－2－m,3)， 由题意得3(－1＋2m )－4(－2－m )＝0，则m ＝－12，所以a ·b ＝－1×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋2×1＝52. 5.已知|a |＝3，|b |＝2，若a ·b ＝－3，则a 与b 的夹角的大小为________. 答案2π3解析 设a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝a ·b |a ||b |＝－33×2＝－12.又0≤θ≤π，所以θ＝2π3.6.已知△ABC 的三边长均为1，且AB →＝c ，BC →＝a ，CA →＝b ，则a ·b ＋b ·c ＋a ·c ＝________. 答案 －32解析 ∵〈a ，b 〉＝〈b ，c 〉＝〈a ，c 〉＝120°，|a |＝|b |＝|c |＝1， ∴a ·b ＝b ·c ＝a ·c ＝1×1×cos 120°＝－12，∴a ·b ＋b ·c ＋a ·c ＝－32.题型一 平面向量数量积的运算1.设四边形ABCD 为平行四边形，|AB →|＝6，|AD →|＝4，若点M ，N 满足BM →＝3MC →，DN →＝2NC →，则AM →·NM →＝________. 答案 9解析 AM →＝AB →＋34AD →，NM →＝CM →－CN →＝－14AD →＋13AB →，∴AM →·NM →＝14(4AB →＋3AD →)·112(4AB →－3AD →)＝148(16AB →2－9AD →2)＝148(16×62－9×42)＝9. 2.在△ABC 中，AB ＝4，BC ＝6，∠ABC ＝π2，D 是AC 的中点，E 在BC 上，且AE ⊥BD ，则AE →·BC→＝________. 答案 16解析 以B 为原点，BA ，BC 所在直线分别为x ，y 轴建立平面直角坐标系(图略)，A (4,0)，B (0,0)，C (0,6)，D (2,3)，设E (0，t )，BD →·AE →＝(2,3)·(－4，t )＝－8＋3t ＝0，t ＝83，即E ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，83，AE →·BC →＝⎝⎛⎭⎪⎫－4，83·(0,6)＝16.思维升华 平面向量数量积的三种运算方法(1)当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉. (2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2.(3)利用数量积的几何意义求解.题型二 平面向量数量积的应用命题点1 求向量的模典例 (1)已知向量a ，b 的夹角为60°，|a |＝2，|a －2b |＝2，则|b |＝________. 答案 1解析 由|a －2b |＝2，得(a －2b )2＝|a |2－4a ·b ＋4|b |2＝4， 即|a |2－4|a||b |cos 60°＋4|b |2＝4， 则|b |2－|b |＝0，解得|b |＝0(舍去)或|b |＝1.(2)(2017·江苏沛县中学质检)已知AD 是△ABC 的中线，若∠A ＝120°，AB →·AC →＝－2，则|AD →|的最小值是________. 答案 1解析 ∵AB →·AC →＝－2＝|AB →||AC →|cos A ，∠A ＝120°，∴|AB →||AC →|＝4， ∵|AD →|＝12(AB →＋AC →)，∴|AD →|2＝14(|AB →|2＋|AC →|2＋2AB →·AC →)＝14(|AB →|2＋|AC →|2－4)≥14(2|AB →||AC →|－4)＝1， 当且仅当AB ＝AC ＝2时取等号，∴|AD →|min ＝1. 命题点2 求向量的夹角典例 (1)已知向量a ，b 满足(2a －b )·(a ＋b )＝6，且|a |＝2，|b |＝1，则a 与b 的夹角为______. 答案2π3解析 ∵(2a －b )·(a ＋b )＝6，∴2a 2＋a ·b －b 2＝6， 又|a |＝2，|b |＝1，∴a ·b ＝－1， ∴cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a||b |＝－12，又〈a ，b 〉∈[0，π]，∴a 与b 的夹角为2π3.(2)已知单位向量e 1与e 2的夹角为π3，向量e 1＋2e 2与2e 1＋λe 2的夹角为2π3，则λ＝________.答案 －3 解析 依题意可得|e 1＋2e 2|＝(e 1)2＋4e 1·e 2＋(2e 2)2＝7， 同理，|2e 1＋λe 2|＝4＋2λ＋λ2， 而(e 1＋2e 2)·(2e 1＋λe 2)＝4＋52λ，又向量e 1＋2e 2与2e 1＋λe 2的夹角为2π3，可知(e 1＋2e 2)·(2e 1＋λe 2)|e 1＋2e 2||2e 1＋λe 2|＝4＋52λ7×4＋2λ＋λ2＝－12， 由此解得λ＝－23或－3，又4＋52λ<0，∴λ＝－3.思维升华 (1)求解平面向量模的方法①把几何图形放到适当的坐标系中，写出有关向量的坐标，求向量的长度.如若向量a ＝(x ，y )，求向量a 的模只需利用公式|a |＝x 2＋y 2即可.②当向量坐标无法表示时，利用向量的线性运算和向量的数量积公式进行求解，关键是会把向量a 的模进行如下转化：|a |＝a 2. (2)求平面向量的夹角的方法①定义法：利用向量数量积的定义知，cos θ＝a ·b|a||b |，其中两个向量的夹角θ的取值范围为[0，π]，求解时应求出三个量：a ·b ，|a |，|b |或者找出这三个量之间的关系. ②坐标法：若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21·x 22＋y 22. ③解三角形法：可以把所求两向量的夹角放到三角形中，利用正、余弦定理和三角形的面积公式等进行求解.跟踪训练 (1)(2017·全国Ⅰ)已知向量a ，b 的夹角为60°，|a |＝2，|b |＝1，则|a ＋2b |＝________. 答案 2 3解析 方法一 |a ＋2b |＝(a ＋2b )2＝a 2＋4a ·b ＋4b 2＝22＋4×2×1×cos 60°＋4×12＝12＝2 3. 方法二 (数形结合法)由|a |＝|2b |＝2知，以a 与2b 为邻边可作出边长为2的菱形OACB ，如图，则|a ＋2b |＝|OC →|.又∠AOB ＝60°，所以|a ＋2b |＝2 3.(2)(2017·山东)已知e 1，e 2是互相垂直的单位向量，若3e 1－e 2与e 1＋λe 2的夹角为60°，则实数λ的值是________. 答案33解析 由题意知|e 1|＝|e 2|＝1，e 1·e 2＝0，|3e 1－e 2|＝(3e 1－e 2)2＝3e 21－23e 1·e 2＋e 22＝3－0＋1＝2. 同理|e 1＋λe 2|＝1＋λ2.所以cos 60°＝(3e 1－e 2)·(e 1＋λe 2)|3e 1－e 2||e 1＋λe 2|＝3e 21＋(3λ－1)e 1·e 2－λe 2221＋λ2＝3－λ21＋λ2＝12， 解得λ＝33. 题型三 平面向量与三角函数典例 (2017·江苏三市调研)如图，A 是单位圆与x 轴正半轴的交点，点B ，P 在单位圆上，且B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，45，∠AOB ＝α，∠AOP ＝θ(0<θ<π)，OQ →＝OA →＋OP →，四边形OAQP 的面积为S .(1)求cos α＋sin α；(2)求OA →·OQ →＋S 的最大值及此时θ的值θ0.解 (1)∵B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，45，∠AOB ＝α， ∴cos α＝－35，sin α＝45，∴cos α＋sin α＝15.(2)由已知得，A (1,0)，P (cos θ，sin θ)， ∴OQ →＝(1＋cos θ，sin θ)， OA →·OQ →＝1＋cos θ， 又S ＝sin θ，∴OA →·OQ →＋S ＝sin θ＋cos θ＋1＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＋1， 又0<θ<π，∴π4<θ＋π4<5π4，∴－22<sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4≤1， 则OA →·OQ →＋S 的最大值为2＋1， 此时θ0＝π2－π4＝π4.思维升华 平面向量与三角函数的综合问题的解题思路(1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立等，得到三角函数的关系式，然后求解.(2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求得值域等. 跟踪训练 在平面直角坐标系xOy 中，已知向量m ＝⎝⎛⎭⎪⎫22，－22，n ＝(sin x ，cos x )，x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2.(1)若m ⊥n ，求tan x 的值； (2)若m 与n 的夹角为π3，求x 的值.解 (1)因为m ＝⎝⎛⎭⎪⎫22，－22，n ＝(sin x ，cos x )，m ⊥n .所以m ·n ＝0，即22sin x －22cos x ＝0， 所以sin x ＝cos x ，所以tan x ＝1.(2)因为|m |＝|n |＝1，所以m ·n ＝cos π3＝12，即22sin x －22cos x ＝12，所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4＝12，因为0<x <π2，所以－π4<x －π4<π4，所以x －π4＝π6，即x ＝5π12.利用数量积求向量夹角典例 已知直线y ＝2x 上一点P 的横坐标为a ，直线外有两个点A (－1,1)，B (3,3).求使向量PA →与PB →夹角为钝角的充要条件. 错解展示：现场纠错解 错解中，cos θ<0包含了θ＝π， 即PA →，PB →反向的情况，此时a ＝1，故PA →，PB →夹角为钝角的充要条件是0<a <2且a ≠1.纠错心得 利用数量积的符号判断两向量夹角的范围时，不要忽视两向量共线的情况.1.(2017·江苏天星湖中学月考)设向量a ，b 满足|a ＋b |＝10，|a －b |＝6，则a ·b ＝________. 答案 1解析 由|a ＋b |＝10得a 2＋b 2＋2a ·b ＝10，① 由|a －b |＝6得a 2＋b 2－2a ·b ＝6，② ①－②得4a ·b ＝4，∴a ·b ＝1.2.已知向量a ＝(2,1)，b ＝(1,3)，则向量2a －b 与a 的夹角为________. 答案 45°解析 由题意可得2a －b ＝2(2,1)－(1,3)＝(3，－1)， 则|2a －b |＝32＋(－1)2＝10， |a |＝22＋12＝5，且(2a －b )·a ＝(3，－1)·(2,1)＝6－1＝5， 设所求向量的夹角为θ，由题意可得cos θ＝(2a －b )·a |2a －b ||a |＝510×5＝22，则向量2a －b 与a 的夹角为45°.3.已知向量a ＝(m,2)，b ＝(2，－1)，且a ⊥b ，则|2a －b |a ·(a ＋b )＝________.答案 1解析 ∵a ⊥b ，∴2m －2＝0，∴m ＝1，则2a －b ＝(0,5)，a ＋b ＝(3,1)，∴a ·(a ＋b )＝1×3＋2×1＝5，|2a －b |＝5，∴|2a －b |a ·(a ＋b )＝55＝1.4.在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝2，BC ＝10，则AB →·AC →＝________. 答案 32解析 在△ABC 中，cos ∠BAC ＝AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC ＝9＋4－102×3×2＝14，∴AB →·AC →＝|AB →||AC →|cos ∠BAC ＝3×2×14＝32.5.在△ABC 中，|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|，AB ＝2，AC ＝1，E ，F 为BC 的三等分点，则AE →·AF →＝____. 答案109解析 由|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|，化简得AB →·AC →＝0，又因为AB 和AC 为三角形的两条边，它们的长不可能为0，所以AB 与AC 垂直，所以△ABC 为直角三角形.以A 为原点，以AC 所在直线为x 轴，以AB 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，如图所示，则A (0,0)，B (0,2)，C (1,0).不妨令E 为BC 的靠近C 的三等分点，则E ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，43， 所以AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23，AF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13，43，所以AE →·AF →＝23×13＋23×43＝109.6.若O 为△ABC 所在平面内任一点，且满足(OB →－OC →)·(OB →＋OC →－2OA →)＝0，则△ABC 的形状为________三角形.答案 等腰解析 因为(OB →－OC →)·(OB →＋OC →－2OA →)＝0，即CB →·(AB →＋AC →)＝0，因为AB →－AC →＝CB →，所以(AB →－AC →)·(AB →＋AC →)＝0，即|AB →|＝|AC →|，所以△ABC 是等腰三角形.7.(2017·全国Ⅰ)已知向量a ＝(－1,2)，b ＝(m,1).若向量a ＋b 与a 垂直，则m ＝________. 答案 7解析 ∵a ＝(－1,2)，b ＝(m,1)，∴a ＋b ＝(－1＋m,2＋1)＝(m －1,3).又a ＋b 与a 垂直，∴(a ＋b )·a ＝0，即(m －1)×(－1)＋3×2＝0，解得m ＝7.8.(2017·江苏泰州中学期中)向量a ＝(cos 10°，sin 10°)，b ＝(cos 70°，sin 70°)，则|a －2b |＝________.答案 3解析 a ·b ＝cos 70°cos 10°＋sin 70°sin 10°＝cos 60°＝12，|a |＝|b |＝1，所以|a －2b |＝a 2＋4b 2－4a ·b ＝1＋4－2＝ 3.9.已知平面内三个不共线向量a ，b ，c 两两夹角相等，且|a |＝|b |＝1，|c |＝3，则|a ＋b ＋c |＝________.答案 2解析 因为平面内三个不共线向量a ，b ，c 两两夹角相等，所以由题意可知，a ，b ，c 的夹角为120°，又|a |＝|b |＝1，|c |＝3，所以a ·b ＝－12，a ·c ＝b ·c ＝－32，|a ＋b ＋c |＝ 1＋1＋9＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝2. 10.已知a ＝(λ，2λ)，b ＝(3λ，2)，如果a 与b 的夹角为锐角，则λ的取值范围是______________.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－43∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13∪⎝ ⎛⎭⎪⎫13，＋∞ 解析 a 与b 的夹角为锐角，则a ·b >0且a 与b 不共线，则⎩⎪⎨⎪⎧ 3λ2＋4λ>0，2λ－6λ2≠0，解得λ<－43或0<λ<13或λ>13，所以λ的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－43∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13∪⎝ ⎛⎭⎪⎫13，＋∞. 11.已知|a |＝4，|b |＝3，(2a －3b )·(2a ＋b )＝61.(1)求a 与b 的夹角θ；(2)求|a ＋b |；(3)若AB →＝a ，BC →＝b ，求△ABC 的面积.解 (1)因为(2a －3b )·(2a ＋b )＝61，所以4|a |2－4a ·b －3|b |2＝61.又|a |＝4，|b |＝3，所以64－4a ·b －27＝61，所以a ·b ＝－6，所以cos θ＝a ·b |a||b |＝－64×3＝－12. 又0≤θ≤π，所以θ＝2π3. (2)|a ＋b |2＝(a ＋b )2＝|a |2＋2a ·b ＋|b |2＝42＋2×(－6)＋32＝13，所以|a ＋b |＝13.(3)因为AB →与BC →的夹角θ＝2π3， 所以∠ABC ＝π－2π3＝π3. 又|AB →|＝|a |＝4，|BC →|＝|b |＝3，所以S △ABC ＝12|AB →||BC →|·sin ∠ABC ＝12×4×3×32＝3 3. 12.(2017·江苏)已知向量a ＝(cos x ，sin x )，b ＝(3，－3)，x ∈[0，π].(1)若a ∥b ，求x 的值；(2)记f (x )＝a ·b ，求f (x )的最大值和最小值以及对应的x 的值.解 (1)因为a ＝(cos x ，sin x )，b ＝(3，－3)，a ∥b ，所以－3cos x ＝3sin x .若cos x ＝0，则sin x ＝0，与sin 2x ＋cos 2x ＝1矛盾，故cos x ≠0.于是tan x ＝－33.又x ∈[0，π]，所以x ＝5π6. (2)f (x )＝a ·b ＝(cos x ，sin x )·(3，－3)＝3cos x －3sin x＝23cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6. 因为x ∈[0，π]，所以x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6， 从而－1≤cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6≤32， 于是，当x ＋π6＝π6，即x ＝0时，f (x )取得最大值3； 当x ＋π6＝π，即x ＝5π6时，f (x )取得最小值－2 3.13.(2016·江苏)如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，E ，F 是AD 上的两个三等分点，BA →·CA→＝4，BF →·CF →＝－1，则BE →·CE →的值是________.答案 78解析 设AB →＝a ，AC →＝b ，则BA →·CA →＝(－a )·(－b )＝a ·b ＝4.又∵D 为BC 中点，E ，F 为AD 的两个三等分点，则AD →＝12(AB →＋AC →)＝12a ＋12b ， AF →＝23AD →＝13a ＋13b . AE →＝13AD →＝16a ＋16b ， BF →＝BA →＋AF →＝－a ＋13a ＋13b ＝－23a ＋13b ， CF →＝CA →＋AF →＝－b ＋13a ＋13b ＝13a －23b ，则BF →·CF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－23a ＋13b ⎝ ⎛⎭⎪⎫13a －23b ＝ －29a 2－29b 2＋59a ·b ＝－29(a 2＋b 2)＋59×4＝－1. 可得a 2＋b 2＝292. 又BE →＝BA →＋AE →＝－a ＋16a ＋16b ＝－56a ＋16b . CE →＝CA →＋AE →＝－b ＋16a ＋16b ＝16a －56b ， 则BE →·CE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－56a ＋16b ⎝ ⎛⎭⎪⎫16a －56b ＝－536(a 2＋b 2)＋2636a ·b ＝－536×292＋2636×4＝78. 14.在等腰直角△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝BC ＝2，M ，N 为AC 边上的两个动点(M ，N 不与A ，C 重合)，且满足|MN →|＝2，则BM →·BN →的取值范围为________. 答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，2 解析 不妨设点M 靠近点A ，点N 靠近点C ，以等腰直角三角形ABC 的直角边所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系，如图所示，则B (0,0)，A (0,2)，C (2,0)，线段AC 的方程为x ＋y －2＝0(0≤x ≤2).设M (a,2－a )，N (a ＋1,1－a )(由题意可知0<a <1)，∴BM →＝(a,2－a )，BN →＝(a ＋1,1－a )，∴BM →·BN →＝a (a ＋1)＋(2－a )(1－a )＝2a 2－2a ＋2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋32， ∵0<a <1，∴由二次函数的知识可得BM →·BN →∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，2.15.设a ，b 为单位向量，且a ⊥b ，若向量c 满足|c －(a ＋b )|＝|a －b |，则|c |的最大值是________.答案 2 2解析 由题意结合a ⊥b ，可设a ＝(1,0)，b ＝(0,1)，c ＝(x ，y )，则由|c －(a ＋b )|＝|a －b |，得|(x ，y )－(1,1)|＝|(1，－1)|，由此可得(x －1)2＋(y －1)2＝2，即c 对应的点的轨迹在以(1,1)为圆心的圆上，如图所示，∵圆过原点，∴|c |的最大值为圆的直径2 2.16.已知在△ABC 所在平面内有两点P ，Q ，满足PA →＋PC →＝0，QA →＋QB →＋QC →＝BC →，若|AB →|＝4，|AC →|＝2，S △APQ ＝23，则AB →·AC →的值为________. 答案 ±4 3解析 由PA →＋PC →＝0知，P 是AC 的中点，由QA →＋QB →＋QC →＝BC →，可得QA →＋QB →＝BC →－QC →，即QA →＋QB →＝BQ →，即QA →＝2BQ →，∴Q 是AB 边靠近B 的三等分点，∴S △APQ ＝23×12×S △ABC ＝13S △ABC ， ∴S △ABC ＝3S △APQ ＝3×23＝2. ∵S △ABC ＝12|AB →||AC →|sin A ＝12×4×2×sin A ＝2， ∴sin A ＝12，∴cos A ＝±32， ∴AB →·AC →＝|AB →||AC →|·cos A ＝±4 3.。
平面向量的数量积及运算律
平面向量的数量积及运算律【基础知识精讲】1.平面向量的数量积的定义及几何意义(1)两平面向量和的夹角：，是两非零向量，过点O作=、=，则∠AOB=θ(0°≤θ≤180°)就称为向量和的夹角，很显然，当且仅当两非零向量、同方向时θ=0°；当且仅，反方向时，θ=180°，当θ=90°，称与垂直，记作⊥.(2)两平面向是和的数量积：、是两非零向量，它们的夹角为θ，则数量｜｜·｜｜cosθ叫做向量与的数量积(或内积)，记作·，即·=｜｜·｜｜·cosθ.因此当⊥时，θ=90°,cosθ=0，这时·=0特别规定，零向量与任一向量的数量积均为0.综上所述，·=0是⊥或，中至少一个为的充要条件两向量与的数量积是一个实数，不是一个向量，其值可以为正(当≠，≠，0°≤θ＜90°时，也可以为负(当≠，≠，90°＜θ≤180°时，还可以为0(当=或=或θ=90°时).(3)一个向量在另一向量方向上的投影：设θ是向量与的夹角，则｜｜cosθ，称为向量在的方向上的投影：而｜｜cosθ,称为向量在的方向上的投影.一个向量在另一个向量方向上的投影也是一个数，不是向量，当0°≤θ＜90°时，它为正值：当θ=90°时，它为0；当90°＜θ≤180°时，它为负值.特别地，当θ=0°,它就等于｜｜；而当θ=180°时，它等于-｜｜.我们可以将向量与的数量积看成是向量的模｜｜与｜｜在的方向上投影｜｜cosθ的乘积.2.向量数量积的性质：设、是两非零向量，是单位向量，θ是与的夹角，于是我们有下列数量积的性质：(1) ·=·=｜｜cosθ(2) ⊥·=0(3) 、同向·=｜｜·｜｜; ,反向·=-｜｜｜｜;特别地·=2=｜｜2或｜｜=.(4)cosθ= (θ为，的夹角)(5)｜·｜≤｜｜·｜｜3.平面向量的数量积的运算律(1)交换律：·=·(2)数乘向量与数量积的结合律：λ(·)=(λ)·=·(λ);(λ∈R)(3)分配律： (+)· =·+·【重点难点解析】两向量的数量积是两向量之间的一种乘法运算，它与两数之间的乘法有本质的区别：(1)两向量的数量积是个数量，而不是向量，其值为两向量的模与两向量夹角的余弦的乘弦的乘积.(2)当≠时，不能由·=0，推出=，因可能不为，但可能与垂直.(3)非零实数a,b,c满足消去律，即ab=bc a=c，但对向量积则不成立，即·=·=).(4)对实数的积应满足结合律，即a(bc)=(ab)c,但对向量的积则不满足结合律，即·(·)≠(·)·，因·(·)表示一个与共线的向量，而(·)·表示一个与共线的向量，而两向量不一定共线.例1已知、、是三个非零向量，则下列命题中真命题的个数(1)｜·｜＝｜｜·｜｜∥(2) ，反向·=-｜｜·｜｜ (3)⊥｜+｜=｜-｜ (4)｜｜＝｜｜｜·｜＝｜·｜ A.1 B.2 C.3 D.4分析：需对以上四个命题逐一判断，依据有两条，一仍是向量数量积的定义；二是向量加法与减法的平行四边形法则.解：(1)∵·=｜｜·｜｜cosθ∴由｜·｜＝｜｜·｜｜及、为非零向量可得｜cosθ｜=1∴θ=0或π，∴∥且以上各步均可逆，故命题(1)是真命题.(2)若,反向，则、的夹有为π，∴·=｜｜·｜｜cosπ=-｜｜·｜｜且以上各步可逆，故命题（2）是真命题.(3)当⊥时，将向量，的起点确定在同一点，则以向量，为邻边作平行四边形，则该平行四边形必为矩形，于是它的两对角线长相等，即有｜+｜＝｜-｜.反过来，若｜+｜＝｜-｜,则以，为邻边的四边形为矩形，所以有⊥，因此命题(3)是真命题.(4)当｜｜＝｜｜但与的夹角和与的夹角不等时，就有｜·｜≠｜·｜，反过来由｜·｜｜＝｜·｜也推不出｜｜＝｜｜.故命题(4)是假命题.综上所述，在四个命题中，前3个是真命题，而第4个是假命题，应选择(C).说明：(1)两向量同向时，夹角为0(或0°)；而反向时，夹角为π(或180°)；两向量垂直时，夹角为90°，因此当两向量共线时，夹角为0或π，反过来若两向量的夹角为0或π，则两向量共线.(2)对于命题(4)我们可以改进为：｜｜＝｜｜是｜·｜＝｜·｜的既不充分也不必要条件.例2已知向量+3垂直于向量7-5，向量-4垂直于向量7-2，求向量与的夹角.分析：要求与的夹角，首先要求出与的夹角的余弦值，即要求出｜｜及｜｜、·，而本题中很难求出｜｜、｜｜及·，但由公式cosθ=可知，若能把·，｜｜及｜｜中的两个用另一个表示出来，即可求出余弦值，从而可求得与的夹角θ.解：设与的夹角为θ.∵+3垂直于向量7-5，-4垂直于7-2，解之得 2=2·2=2·∴2=2∴｜｜＝｜｜∴cosθ===∴θ=因此，a与b的夹角为.例3已知++=,｜｜=3,｜｜＝1,｜｜＝4，试计算·+·+·.分析：利用｜｜2＝2,｜｜2＝ 2,｜｜2＝2.解：∵++=∴(++)2=0从而｜｜2＋｜｜2＋｜｜2＋2·+2·+2·＝0又｜｜＝3，｜｜＝1，｜｜＝4∴·+·+·=-(｜｜2＋｜｜2＋｜｜2) =-(32+12+42) =-13例4已知：向量=-2-4,其中、、是两两垂直的单位向量，求与同向的单位向量.分析：与同向的单位向量为：·解：∵、、是两两垂直的单位向量∴2＝2＝2＝1, ·=·=·=0∴2=(-2-4)(-2-4)=2+42+162-4· -8·+16·=21从而｜｜=∴与同向的单位向量是·= (-2-4)=--例5求证：直径上的圆周角为直角.已知：如图，AC为⊙O的直径，∠ABC是直径AC上的圆周角.求证：∠ABC=90°分析：欲证∠ABC=90°，须证⊥，因此可用平面向量的数量积证·=0证明：设=,=,有=∵=+, =-且｜｜＝｜｜∴·=(+)( -)=｜｜2-｜｜2=0∴⊥∴∠ABC=90°【难题巧解点拔】例1如图，设四边形P1P2P3P4是圆O的内接正方形，P是圆O上的任意点.求证：｜｜2＋｜｜2＋｜｜＋｜｜2为定值.分析：由于要证：｜｜2＋｜｜2＋｜｜＋｜｜2为定值，所以需将(i=1,2,3,4)代换成已知向量或长为定值的向量的和(或差)，才能使问题证，而这里的半径、、、、等可供我们选择.证明：由于=+=- (i=1,2,3,4).∴有｜｜2=(-)2=()2-2(·)+()2设⊙O的半径为r，则｜｜2=2r2-2(·)∴｜｜2＋｜｜2＋｜｜＋｜｜2＝8r2-2(+++)·=8r2-2··=8r2(定值).例2设AC是□ABCD的长对角线，从C引AB、AD的垂线CE，CF，垂足分别为E，F，如图，试用向量方法求证：AB·AE+AD·AF=AC2分析：由向量的数量积的定义可知：两向量，的数量积·=｜｜·｜｜·cosθ(其中θ是，的夹角)，它可以看成｜｜与｜｜在的方向上的投影｜｜·cosθ之积，因此要证明的等式可转化成：·+·=,而对该等式我们采用向量方法不难得证：证明：在Rt△AEC中｜｜＝｜｜cos∠BAC在Rt△AFC中｜｜＝｜｜cos∠DAC∴｜｜·｜｜=｜｜·｜｜·cos∠BAC=·｜｜·｜｜=｜｜·｜｜cos∠DAC=·∴｜｜·｜｜＋｜｜·｜｜=·+·=(+)·又∵在□ABCD中，+=∴原等式左边=(+)·=·=｜｜2=右边例3在△ABC中，AD是BC边上的中线，采用向量法求证：｜AD｜2= (｜AB｜2+｜AC｜2-｜BC｜2)分析：利用｜a｜2=a·a及=+，=+，通过计算证明证明：依题意及三角形法则，可得：=+=-=+=+则｜｜2=(-)(-)=｜｜2+｜｜2-·｜｜2=(+)(+)=｜｜2+｜｜2+·所以｜｜2＋｜｜2＝2｜｜2＋｜｜2移项得：｜｜2= (｜｜２+｜｜2-｜｜2)例4若(+)⊥(2-),( -2)⊥(2+)，试求，的夹角的余弦值.分析：欲求cosθ的值，根据cosθ=，只须计算即可解：由(+)⊥(2-),( -2)⊥(2+)①×3+②得：2=2∴｜｜2=｜｜2③由①得：·=2-22=｜｜2-2×｜｜2=-｜｜2④由③、④可得：cosθ= ==-∴，的夹角的余弦值为-.【典型热点考题】例1设、、是任意的非零平面向量，且它们相互不共线，下列命题①(·)·-(·)·)=;②｜｜-｜｜＜｜-｜;③(·)·-(·)·不与垂直；④(3+2)·(3-2)=9｜｜2-4｜｜2.其中正确的有( )A.①②B.②③C.③④D.②④解：选D.②正确，因、不共线，在｜｜-｜｜≤｜-｜中不能取等号；④正确是明显的，①错误，因向量的数量积不满足结合律；③错误，因［(·)·-(·)·］·=(·)·(·)-(·)·(·)=0,则(·)·-(·)·与垂直.例2已知+=2-8,-=-8+16,其中,是x轴、y轴方向的单位向量，那么·= .=-3+4, =5-12∴·=(-3+4j)·(5-12)=-152+56·-482∵⊥,｜｜=｜｜=1,∴·=0∴·=-15｜｜2-48｜｜2=-63解法2：· =［(+)2-(-)2］=［4(-4)2-64(-2)2］=2-8·+16j2-16(2-4·+42) =-152+56·-482=-63解法3：在解法1中求得=-3+4，即向量的坐标是(-3，4)，同理=(5,-12).∴·=-3×5+4×(-12)=63例3设、是平面直角坐标系中x轴、y轴方向上的单位向量，且=(m+1) -3,=+(m-1) ，如果(+)⊥(-)，则m= .解法1：∵(+)⊥(-)∴(+)·(-)=0,即2-2=0∴［(m+1) -3］2-［+(m-1) ］2=0∴［(m+1) -3］｜｜2-［6(m+1)+2(m-1)］·+［9-(m-1)2］·2=0∵｜｜＝｜｜=1, ·=0,∴(m+1)2-(m-1)2+8=0，则m=-2.解法2：向量的坐标是(m+1,-3),的坐标是(1，m-1).由(+)·(-)=0,得｜｜2＝｜｜2.解得m=-2评析：向量的运算性质与实数相近，但又有许多差异.尤其是向量的数量积的运算与实数的乘法运算，两者似是而非，极易混淆，是近年来平面向量在高考中考查的重点，应予以重视.例4在△ABC中，若=, =, =，且·=·=·，则△ABC的形状是( )A.等腰三角形B.直角三角形C.等边三角形 D.A、B、C均不正确解：因为++=++=则有+=-,( +)2=2①同理：2+2+2·=2②①-②，有2-2+2(·-·)=2-2由于·=·所以2＝2即是｜｜＝｜｜同理｜｜=｜｜所以｜｜＝｜｜＝｜｜△ABC为正三角形.∴应选C.。
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数乘的结合律： (a)b (ab) a(b)
设 a 与b的夹角为 . （1）当 0 时，等式显然成立 .
（2）当 0 时，a 与b，a 与b的夹角都为 .
(a)b | a || b | cos | a || b | cos (a b)
a(b) | a || b | cos | a || b | cos (a b)
O
A1 c B1
C
| a b | cos | a | cos1 | b | cos2 | c || a b | cos | c || a | cos1 | c || b | cos2
c (a b) c a c b (a b) c a c b c .
思考:下列两个运算律成立吗？
（1）(a b) c a (b c);
（2）a c b c a b.(消去律）
（1）a b R, b c R, c与a的方向不定， 故不成立；
(2)c 0时不成立.
谢谢
谢谢观看！ 2020
平面向量数量积 的运算律
向量数量积满足那些运算律？如何证明？
数量积的运算律：
已知向量 a 、b 、c 和实数 ，则
⑴交换律： a b b a ⑵对数乘的结合律：( a) b (a b) a (b)
⑶分配律： (a b) c a c bc
交换律：
（1）a b a b cos a,b b a cos a,b
(a)b (a b) a (b) .
数乘的结合律： (a)b (ab) a(b)
（3）当 0 时，a 与b，a 与b的夹角都为180 .
(a)b | a || b | cos(180 ) | || a || b | cos
| a || b | cos (a b)
a(b) | a || b | cos(180 ) | || a || b | cos
| a || b | cos (a b)
(a)b (a b) a (b) .
分配律：(a b)c ac bc
如图，任取一点 O ，作 OA a ，AB b ，OC c .
a b ( 即OB ) 在 c 方向上的 A
ห้องสมุดไป่ตู้
投影等于a 、b 在 c 方向上
2
b
B
的投影的和，即
a
1
.