平面向量数量积的运算律

O
A1 c B1
C
பைடு நூலகம்
| a b | cos | a | cos1 | b | cos2 | c || a b | cos | c || a | cos1 | c || b | cos2
c (a b) c a c b (a b) c a c b c .
思考:下列两个运算律成立吗？
平面向量数量积 的运算律
向量数量积满足那些运算律？如何证明？
数量积的运算律：
已知向量 a 、b 、c 和实数 ，则
⑴交换律： a b b a ⑵对数乘的结合律：( a) b (a b) a (b)
⑶分配律： (a b) c a c bc
交换律：
（1）a b a b cos a,b b a cos a,b
（1）(a b) c a (b c);
（2）a c b c a b.(消去律）
（1）a b R, b c R, c与a的方向不定， 故不成立；
(2)c 0时不成立.
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b a；
数乘的结合律： (a)b (ab) a(b)
设 a 与b的夹角为 . （1）当 0 时，等式显然成立 .
（2）当 0 时，a 与b，a 与b的夹角都为 .
(a)b | a || b | cos | a || b | cos (a b)
a(b) | a || b | cos | a || b | cos (a b)
(a)b (a b) a (b) .
数乘的结合律： (a)b (ab) a(b)
（3）当 0 时，a 与b，a 与b的夹角都为180 .
(a)b | a || b | cos(180 ) | || a || b | cos
| a || b | cos (a b)
a(b) | a || b | cos(180 ) | || a || b | cos
| a || b | cos (a b)
(a)b (a b) a (b) .
分配律：(a b)c ac bc
如图，任取一点 O ，作 OA a ，AB b ，OC c .
a b ( 即OB ) 在 c 方向上的 A
投影等于a 、b 在 c 方向上
2
b
B
的投影的和，即
a
1
.