平面向量数量积及运算规律
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2 a a | a | 或 | a | a a 特别地
ab （4）cos | a || b |
（5）a · b ≤| a | · |b|
运算律
规定：零向量与任意向量的数量积为0，即 a 0 0． （1）两向量的数量积是一个数量，而不是向量，符号由 夹角决定 （2）一种新的运算法则，以前所学的运算律、性质不适合． （3） a ·b不能写成a×b ，a×b 表示向量的另一种运算．
5.6 平面向量的数量积及运算律
例题讲解
例1．已知向量a与b的夹角为 ，|a |=2，|b |=3，，求a · b.
学与教的目标
1.掌握平面向量的数量积及其几何意义 2.掌握平面向量数量积的重要性质及运算律 3.了解用平面向量的数量积可以处理有关长度， 角度和垂直的问题 4.了解向量垂直的条件
重点和难点 教学重点：平面向量数量积的定义 教学难点：平面数量积的定义及运算律的理解和 平面向量数量积的运用和推广。
问题
(1) 1350
(2)a ∥b
3a b
a· b =|a | |b |cosθ
平面向量的数量积
讨论总结性质：
（1）e · a=a · e=| a | cos
（2）a⊥b a · b=0 (判断两向量垂直的依据) （3）当a 与b 同向时，a · b =| a | · | b |，当a 与b 反向 时， a · b =-| a | · |b| ．
向上的力做功．
作OA a， OB b ，过点B作 BB1 垂直于直线OA，垂足为 B1，则 OB1 | b | cosθ | b | cosθ叫向量b 在a 方向上的投影． B B B
F θ
s
b
b
b
O a
B1
A
B1
O
a A
O( B1 ) a
A
θ为锐角时， | b | cosθ＞0
2 2 7．对任意向量 a 有 a | a | 8. 0 a 0a ×
√ × × × × √
6．若a · b = a · c ,则b≠c,当且仅当a= 0 时成立． ×
例2、如图，等边三角形中，求 （1）AB与AC的数量积； （2）AB与BC的数量积； （3） 的数量积.
AC与BC
C
A
B
Hale Waihona Puke Baidu
平面向量的数量积及运算律
1．a ·b= b ·a 交换律 2. (λ· a) b= a ·(λ b)= λ(a ·b)= λ a ·b 3. (a+b) ·c= a ·c+ b ·c 分配律
思考: 结合律成立吗:
(a ·b) ·c=a ·(b ·c) ?
物理上力所做的功实际上是将力正交分解，只有在位移方
'
C
（1）AB与AC的夹角； （2）AB与BC的夹角。 C
120
A
通过平移 变成共起点！
60
B
5.6 平面向量的数量积及运算律
平面向量的数量积的定义 已知两个非零向量a 和b ，它们的夹角为 ，我们把数量 | a || b | cos 叫做a 与b 的数量积（或内积），记作a ·b ，即
a b | a || b | cos
θ为钝角时， | b | cosθ＜0
θ为直角时， | b | cosθ=0
平面向量的数量积及运算律
b =|a | |b |cosθ 讨论总结性质： a ·
(0 180 )
（1）e · a=a · e=| a | cos
（2）a⊥b a · b=0 (判断两向量垂直的依据) （3）当a 与b 同向时，a · b =| a | · | b |，当a 与b 反向 时， a · b =—| a | · |b| ．
B
则 AOB
(0 180 )
b
O
叫做向量
和 b的夹角． a
b
a
a
A
注意:在两向量的夹角 定义中,两向量必须是 同起点的 B
a
O
a
O A B b 180 A
b
b B
O
a
0
90
A
a 与 b 同向
a 与 b 反向
a 与 b 垂直，
记作
ab
例1、如图，等边三角形中，求
一个物体在力F 的作用下产生的位移 s，且F与s的夹角为θ ,那么力F 所做的功应 当怎样计算？
F θ
s
W | F || s |cos
是F 与s 的夹角，而功是数量. 其中力F 和位移s 是向量，
数量
F s cos 叫做力F 与位移s的数量积
向量的夹角 两个非零向量
a 和 b ，作 OA a, OB b，
2 a a | a | 或 | a | a a 特别地
ab （4）cos | a || b |
（5）a · b ≤| a | · |b|
练习：
1．若a =0，则对任一向量b ，有a · b=0． 2．若a ≠0，则对任一非零向量b ,有a ·b≠0． 3．若a ≠0，a · b =0，则b=0 4．若a · b=0，则a · b中至少有一个为0． 5．若a≠0，a ·b= b ·c，则a=c
ab （4）cos | a || b |
（5）a · b ≤| a | · |b|
运算律
规定：零向量与任意向量的数量积为0，即 a 0 0． （1）两向量的数量积是一个数量，而不是向量，符号由 夹角决定 （2）一种新的运算法则，以前所学的运算律、性质不适合． （3） a ·b不能写成a×b ，a×b 表示向量的另一种运算．
5.6 平面向量的数量积及运算律
例题讲解
例1．已知向量a与b的夹角为 ，|a |=2，|b |=3，，求a · b.
学与教的目标
1.掌握平面向量的数量积及其几何意义 2.掌握平面向量数量积的重要性质及运算律 3.了解用平面向量的数量积可以处理有关长度， 角度和垂直的问题 4.了解向量垂直的条件
重点和难点 教学重点：平面向量数量积的定义 教学难点：平面数量积的定义及运算律的理解和 平面向量数量积的运用和推广。
问题
(1) 1350
(2)a ∥b
3a b
a· b =|a | |b |cosθ
平面向量的数量积
讨论总结性质：
（1）e · a=a · e=| a | cos
（2）a⊥b a · b=0 (判断两向量垂直的依据) （3）当a 与b 同向时，a · b =| a | · | b |，当a 与b 反向 时， a · b =-| a | · |b| ．
向上的力做功．
作OA a， OB b ，过点B作 BB1 垂直于直线OA，垂足为 B1，则 OB1 | b | cosθ | b | cosθ叫向量b 在a 方向上的投影． B B B
F θ
s
b
b
b
O a
B1
A
B1
O
a A
O( B1 ) a
A
θ为锐角时， | b | cosθ＞0
2 2 7．对任意向量 a 有 a | a | 8. 0 a 0a ×
√ × × × × √
6．若a · b = a · c ,则b≠c,当且仅当a= 0 时成立． ×
例2、如图，等边三角形中，求 （1）AB与AC的数量积； （2）AB与BC的数量积； （3） 的数量积.
AC与BC
C
A
B
Hale Waihona Puke Baidu
平面向量的数量积及运算律
1．a ·b= b ·a 交换律 2. (λ· a) b= a ·(λ b)= λ(a ·b)= λ a ·b 3. (a+b) ·c= a ·c+ b ·c 分配律
思考: 结合律成立吗:
(a ·b) ·c=a ·(b ·c) ?
物理上力所做的功实际上是将力正交分解，只有在位移方
'
C
（1）AB与AC的夹角； （2）AB与BC的夹角。 C
120
A
通过平移 变成共起点！
60
B
5.6 平面向量的数量积及运算律
平面向量的数量积的定义 已知两个非零向量a 和b ，它们的夹角为 ，我们把数量 | a || b | cos 叫做a 与b 的数量积（或内积），记作a ·b ，即
a b | a || b | cos
θ为钝角时， | b | cosθ＜0
θ为直角时， | b | cosθ=0
平面向量的数量积及运算律
b =|a | |b |cosθ 讨论总结性质： a ·
(0 180 )
（1）e · a=a · e=| a | cos
（2）a⊥b a · b=0 (判断两向量垂直的依据) （3）当a 与b 同向时，a · b =| a | · | b |，当a 与b 反向 时， a · b =—| a | · |b| ．
B
则 AOB
(0 180 )
b
O
叫做向量
和 b的夹角． a
b
a
a
A
注意:在两向量的夹角 定义中,两向量必须是 同起点的 B
a
O
a
O A B b 180 A
b
b B
O
a
0
90
A
a 与 b 同向
a 与 b 反向
a 与 b 垂直，
记作
ab
例1、如图，等边三角形中，求
一个物体在力F 的作用下产生的位移 s，且F与s的夹角为θ ,那么力F 所做的功应 当怎样计算？
F θ
s
W | F || s |cos
是F 与s 的夹角，而功是数量. 其中力F 和位移s 是向量，
数量
F s cos 叫做力F 与位移s的数量积
向量的夹角 两个非零向量
a 和 b ，作 OA a, OB b，
2 a a | a | 或 | a | a a 特别地
ab （4）cos | a || b |
（5）a · b ≤| a | · |b|
练习：
1．若a =0，则对任一向量b ，有a · b=0． 2．若a ≠0，则对任一非零向量b ,有a ·b≠0． 3．若a ≠0，a · b =0，则b=0 4．若a · b=0，则a · b中至少有一个为0． 5．若a≠0，a ·b= b ·c，则a=c