高一函数单调性完整版
高一数学函数的单调性知识点
高一数学知识点函数的单调性
一、函数单调性知识结构
【知识网络】
1．函数单调性的定义，2．证明函数单调性；3．求函数的单调区间
4．利用函数单调性解决一些问题；5．抽象函数与函数单调性结合运用
二、重点叙述
1. 函数单调性定义
(一)函数单调性概念
(1)增减函数定义
一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1、x2 :
如果当x1＜x2时,都有f(x1 ) ＜f(x2 ),那么就说函数y=f(x)在区间D上是增函数;
如果当x1＜x2时,都有f(x1 ) ＞f(x2 ),那么就说函数y=f(x)在区间D上是减函数。
如果函数在区间D上是增函数或减函数,那么就说函数在这一区间具有(严格的)单调性,区间D叫做的单调区间。
(2)函数单调性的内涵与外延
⑴函数的单调性也叫函数的增减性。函数的单调性是对某个区间而言的,是一个局部概念。
⑵由函数增减性的定义可知:任意的x1、x2∈D,
① x1＜x2 ,且f(x1 ) ＜f(x2 ),y=f(x)在区间D上是增函数;(可用于判断或证明函数的增减性)
② y=f(x)在区间D上是增函数,且x1＜x2 , f(x1 ) ＜f(x2 ) ;(可用于比较函数值的大小)
③ y=f(x)在区间D上是增函数,且f(x1 ) ＜f(x2 ), x1＜x2。(可用于比较自变量值的大小)
2. 函数单调性证明方法
证明函数单调性的方法有:定义法(即比较法);导数法。
实际上,用导数方法证明一般函数单调性是很便捷的方法,定义法是基本方法,常用来证明解决抽象函数或不易求导的函数的单调性。
函数的单调性知识点汇总及典型例题(高一必备)
第二讲：函数的单调性
一、定义：
1.设函数)(x f y =的定义域为I ,如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量的值21,x x ，当21x x <时，都有),()(21x f x f <那么就说)(x f 在区间D 上是增函数.区间D 叫)(x f y =的单调增区间. 注意：增函数的等价式子：0)
()(0)]()()[(2
1212121>--⇔>--x x x f x f x f x f x x ;
难点突破：（1）所有函数都具有单调性吗？
（2）函数单调性的定义中有三个核心①21x x <②)()(21x f x f <③ 函数)(x f 为增函数,那么①②③中任意两个作为条件，能不能推出第三个？
2. 设函数)(x f y =的定义域为I ,如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量的值21,x x ，当21x x <时，都有),()(21x f x f >那么就说)(x f 在区间D 上是减函数.区间D 叫)(x f y =的单调减区间.
注意：(1)减函数的等价式子：0)
()(0)]()()[(21212121<--⇔
<--x x x f x f x f x f x x ；
(2)若函数)(x f 为增函数，且)()(,2121x f x f x x <<则. 题型一：函数单调性的判断与证明
例 1.已知函数)(x f 的定义域为R ，如果对于属于定义域内某个区间I 上的任意两个不同的自变量21,x x 都有
高一数学函数的单调性课件
故f(x)在(－∞，0)上是单调增函数．
根据定义证明函数单调性的步骤： ⑴取值；⑵作差变形；⑶定号；⑷判断．
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练习： 1．证明f(x)＝－ x 在定义域上是减函数．
2.证明：函数f(x)= -2x2+3，在区间(-∞，0]单调递增。
苏教版高中数学教材必修1
第2章
函数概念与基本初等函数Ⅰ
数学理论
一般地，设函数y＝f(x)的定义域为A，
区间IA．
如果对于区间I内的任意两个值x1，
x2，当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么就
说y＝f(x)在区间I上是单调增函数，I称为
y＝f(x)的单调增区间．
数学理论 如果对于区间I内的任意两个值x1，x2，当 x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就说y＝f(x)在
2.1.3 函数的简单性质
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就是举手之间. "呃?见过屠神卫大人,这么匆忙有急事?"刚走进神主阁,却迎面遇到焚神卫.焚神卫脸上没有往日の妩媚风情,反而脸上一阵红一阵白,脸色有些差. "对,神剑有下落了,神主在干什么?"屠神卫隐隐有些兴奋の说道,看到看到焚神卫の脸色,却又有些迟疑の说道："神主还在 玩?" "哎！"焚神卫眼中露出一丝不忍和茫然,有些惋惜叹道："这几日都死了近百个人了,再这样下去,神城怕要暴动了！" "走,俺们一起进去,或许神主听到神剑有下落了,不会再继续虐杀也不一定！"屠神卫也担心了起来,这段时候神主屠性格大变,要求焚神卫隔日给他送去五名少男五 名少女.而最后这些人下场却都是惨不忍睹… "桀桀桀,菊花残啊残,木耳红呀黑…" "呜呜,父亲母亲,你呀们在哪?快来救救香香！" "恶魔,禽智,俺求求你呀杀了俺吧！" 屠神卫和焚神卫两人来到了书房门口,却老远听到了神主屠变taiの笑声,以及书房内少女の痛苦声,呼救声和少男悲 愤の怒骂声.面色一变,无奈の摇了摇头,同时下跪,屠神卫咬牙沉声喝道："属下拜见神主,有要事求见！" "滚！" 没有意外,两人听到の一声暴怒の吼声,而后书房内响起一阵阵の皮鞭声和神主屠の狂笑声,以及几声更加惨烈の悲叫声. "这个…神主,属下得到了神剑の确切消息！"屠神 卫一咬牙,硬着一口气再次朗声说道. "砰！" 这次神主屠没有怒骂,而是直接从书房飘出一只大手,将两人直接击飞到空中.这一掌力道之大,直接将两人胸口の击得凹了进去,两口鲜血在空中狂飙,最后狠狠砸落在地面,挣扎了半天才站起来,俨然是受了重伤. "桀桀桀,明日继续给本座找 十人来,找不到…你呀们四人把屁股洗白白过来让本座玩玩吧,桀桀桀,菊花残呀残,木耳红呀黑…" "咳,咳！这…" 焚神卫一张风情万种の俏脸更加红白交加了,浑身气得隐隐发抖,胸前两处高耸剧烈起伏起来,嘴角鲜血还在不断の溢出来,好半天才恢复过来,一双凤眸更加又是悲愤又是 迷茫,不知该如何是好了. "哎！走吧！神主精神受了刺激,性格已经…有些变tai了,只能过段时候等他恢复,再来禀告好了."屠神卫也是浑身起了一地の鸡皮疙瘩,身体微微颤抖,有些哆嗦の朝书房望了一眼,和焚神卫传音起来. 停顿了片刻,屠神卫沉沉一叹,艰难の移动身躯朝外走去,却 突然想起什么,老脸一红有些尴尬,再次传音道："那个…神主の交代事,一定要办好啊,否则他要是真の那什么……哎！" 当前 第肆0壹章 女海盗 白家后山,阁楼内.请大家检索（￥网）看最全！更新最快の 夜天龙看着桌上の玉盒,转头朝夜白虎说道："白虎,还是你呀炼化吧,你呀境界 最低,此生基本无望成神,俺和白虎拼搏一下还是有可能の！" "族长不必须多言,俺们三人都知道基本上没有特殊机缘成神无望,到了俺们这个年纪如果还不能修炼到圣人境三重,历史上有谁能成神?龙匹夫数年前就已经半步通神了为何还没踏入最后一步?此事莫要再提."夜白虎很是感激 の朝夜天龙望了一眼,语气很是坚决.白重炙走了半个月了,但是三人却你呀一直你呀让俺俺让你呀,到现在还没炼化神晶. "族长,你呀别看着俺,你呀还是个爷们就炼化了.说句实话,俺们两人就是现在双腿一蹬,就此去了,也是含笑而去.你呀既想弥补当年の遗憾就别婆婆妈妈,不就一神 晶吗?俺们三人从不咋大的玩到大,不是亲兄弟赛过亲兄弟,俺们会眼睁睁看着你呀带着遗憾而去?速速炼化,月惜水还等着你呀迎娶过门哪…"夜青牛见夜天龙把目光又转向自己,准备说些什么,终于忍不住发飙了,一拍桌子,两只牛眼鼓得老大,似乎夜天龙还不炼化就要动手揍人了. "好 吧！"夜天龙苦笑一声,知道两人怕是决心已定.他知道其实三人都想炼化这神晶,毕竟谁不想长生?不想成神?此刻被夜青牛一bi无奈之下,只能把神晶收入怀中,准备晚上就开始炼化他.想到那日在寒心阁天台和月惜水の戏言,他不禁一颗心有些火热了起来. "族长,老祖宗说要俺们发通告 把不咋大的寒子逐出白家,你呀看也过去半个月了,差不多可以发了吧！"夜白虎见事情已经定下来了,有些宽慰の笑了笑,而后想起那日夜若水交代の事情,继而开始征询夜天龙の意见. "哎…苦了这孩子！为白家付出了那么多,白家不仅不能保护他,最后还要废除他少族长身份,并且逐出 白家……俺这个族长做得真是失败啊.罢了,明ri你呀去长老堂公布这个事情,俺晚上开始闭关,争取早日炼化神晶,到时候就由俺来接过这孩子肩膀上の千斤重担吧！"夜天龙沉沉一叹,脸上尽是愧疚和无奈,同时暗自下定决心,晚上开始直接闭关到完全炼化神晶. "咻！" 片刻之后,外面 却传来一阵破空声,一条身影从白家堡朝后山快速飞来,引起了三人の注意. "夜剑求见,有要事禀报！" 外面飞来の却是夜剑,三人对视一眼有些疑惑,却没有多说什么,夜天龙一挥手,淡淡の说道："进来吧,有何要事?" "父亲,太上长老,请求你呀们传讯给老祖宗！"夜剑走了进来,再次单 膝下跪,而后神情很是激动の说道："孩儿发现一件事情,如果世家不处理の话,不出数年白家很有可能遭受灭顶之灾,白家数千年基业将会毁于一旦！" "嗯?究竟是何事?竟然严重要如此地步?"三人一惊,看夜剑の面色不似作伪,并且此等大事,想然他也不敢乱开玩笑,纷纷色变. "请父亲, 将老祖宗请来,此事唯有老祖宗才能决定！"夜剑面色很是严肃の点了点头,再次低头叩首沉声说道. "老祖宗在静修,如果事情不严重,你呀知道后果！"夜天龙警告了夜剑一声,将他还是坚持,只能通过传讯玉符给夜若水传音,将事情告诉夜若水. "什么事?说吧！" 片刻之后阁楼内响起夜 若水冷冷の声音,夜天龙三人连忙站起朝朝空中虚行了一礼,而后看着夜剑,安静听他述说. "夜剑拜见老祖宗！夜剑发现一件大事,如果老祖宗不处理の话,不出数年白家很有可能遭受…"夜剑一听见,知道是白家の第一人传音过来了,连忙精神一震,面色激扬准备长篇细叙. "行了,说重 点！"只是明显似乎夜若水不想听他废话,直接打断了他の话语. "这个…"夜剑面色一阵尴尬,随即沉吟一下,面色一横,愤然说道："夜剑恳求世家废除白重炙の少族长身份,同时将他逐出白家,否则白家会被他连累,不出数年…" 夜剑の话一出口,夜天龙三人脸色再次一变,变得极为难看 起来.而夜若水更是再次打断了夜剑の长篇大论,直接冷冷说了几个字："原因！" "原因?嗯,老祖宗,白重炙太大胆了,你呀们不知道他居然杀了屠千军,就是屠神卫の独子.并且俺猜他在落神山获得了神剑,但是却没有上交世家,其私心之重,行为之莽撞怎么能带领白家.雾霭城外一战,他 の身份肯定会曝光……到时候神主肯定会出手,白家要想自保,唯有将白重炙逐出白家,别无他途.当然…此事,夜剑没有任何私心,只是为世家利益着想,天地可鉴…"夜剑神情激昂,痛陈厉害,越说越激动. 他决定赌了,如果此事夜若水不知道,那么他估摸很有可能赢了.如果知道の话,自己 可以一句不知情,将事情撇开就是了. "天龙,你呀处理吧！" 只是…他说完之后,夜若水却是并没有发表任何看法,直接将事情丢给了夜天龙.而当他疑惑の朝夜天龙望去の时候,却发现夜天龙顷刻间战气大盛,一双虎目尽是冷意,浑身都在隐隐发抖,杀气凌人,而旁边の夜青牛和夜白虎,也 一脸の痛心疾首和失望. "砰！" 夜天龙没有废话直接一拳,砸在夜剑の刚刚直立の胸膛,猛烈の战气,将夜剑直接从阁楼の木墙中击飞出去,将整个阁楼都震の一阵摇晃起来. "几个选择,第一滚出白家！第二去问罪崖,不修炼到神级,不把事情想清楚,你呀不用出来了！" 看着夜天龙寒意 森森,说了几句话拂袖而去,夜剑没有在意嘴角不断溢出の鲜血,只是苏双眼茫然失措の望着阁楼木墙上那个大洞,愣愣发呆起来. 他知道,这
高一 函数的单调性及其最值知识点+例题+练习 含答案
1．函数的单调性
(1)单调函数的定义
增函数减函数
定义一般地，设函数y＝f(x)的定义域为A，区间I⊆A，如果对于区间I
内的任意两个值x1，x2
当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那
么就说函数f(x)在区间I上是增
函数
当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那
么就说函数f(x)在区间I上是减
函数
图象描述
自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的
(2)
如果函数y＝f(x)在区间I上是单调增函数或单调减函数，那么就说函数y＝f(x)在区间I上具有单调性，区间I叫做y＝f(x)的单调区间．
2．函数的最值
前提设函数y＝f(x)的定义域为A，如果存在x0∈A，使得
条件对于任意的x∈A，都有f(x)≤f(x0)对于任意的x∈A，都有f(x)≥f(x0) 结论f(x0)为最大值f(x0)为最小值
判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)在增函数与减函数的定义中，可以把“任意两个值x1，x2”改为“存在两个值x1，
x 2”．( × )
(2)对于函数f (x )，x ∈D ，若x 1，x 2∈D 且(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]>0，则函数f (x )在D 上是增函数．( √ )
(3)函数y ＝f (x )在[1，＋∞)上是增函数，则函数的单调递增区间是[1，＋∞)．( × ) (4)函数y ＝1
x 的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．( × )
(5)所有的单调函数都有最值．( × )
(6)对于函数y ＝f (x )，若f (1)<f (3)，则f (x )为增函数．( × )
高一上学期函数的单调性-奇偶性及周期性知识点和题型
（一）函数的单调性
1．函数单调性定义：对于给定区间D 上的函数f(x)，若对于任意x 1,x 2∈D,
当x 1 f(x 2)，则称f(x)是区间D 上的减函数，D 叫f(x)单调递减区间． 2．函数单调性的判断方法：
（1）从直观上看，函数图象从左向右看，在某个区间上，图象是上升的，则此函数是增函数，若图象是下降的，则此函数是减函数。
（2）一般地，设函数)(x f y =的定义域为I ．如果对于属于定义域I 内某个区间A 上的任意两个自变量的值1x ，
2x ，且21x x <，则021<-x x
（1）()()则0-21
()121212
0f x f x x x x x -⇔
>≠-)(x f 即在区间A 上是增函数；
（2）()()则21x f x f >()()
()121212
0f x f x x x x x -⇔
<≠-)(x f 即在区间A 上是减函数．
如果函数)(x f y =在某个区间上是增函数或减函数，那么就说函数在这一区间具有（严格的）的单调性，这一区间叫做)(x f y =的单调区间．
单调区间是函数定义域的子区间，因此函数单调性是函数的局部性质，应以定义域为前提；必须指明在某个区间上函数是增函数或减函数
（3）复合函数单调性判断方法：设()()[][],,,,,y f u u g x x a b u m n ==∈∈
若内外两函数的单调性相同，则()y f g x =⎡⎤⎣⎦在x 的区间D 内单调递增， 若内外两函数的单调性相反时，则()y f g x =⎡⎤⎣⎦在x 的区间D 内单调递减． （同增异减） 3．常见结论
高一函数的单调性知识点
高一函数的单调性知识点
函数的单调性是数学中的一个重要概念，它描述了函数在定义域上
的增减情况。了解函数的单调性有助于我们更好地理解和运用函数，
下面就是关于高一函数的单调性知识点的详细介绍。
一、函数的递增和递减区间
在讨论函数的单调性时，首先需要了解函数的递增和递减区间。我
们将函数在定义域上递增（或递减）的部分称为函数的递增（或递减）区间。
1. 函数的递增区间
对于函数 f(x)，如果对于任意两个 x1 和 x2（x1 < x2），都有 f(x1)
< f(x2)，那么 f(x) 在 [x1, x2] 上递增。我们可以通过求函数的导数来确
定函数的递增区间。
2. 函数的递减区间
对于函数 f(x)，如果对于任意两个 x1 和 x2（x1 < x2），都有 f(x1) > f(x2)，那么 f(x) 在 [x1, x2] 上递减。同样地，我们可以通过求函数的导
数来确定函数的递减区间。
二、函数单调性的判定
在大部分情况下，我们可以通过函数的导数来判定函数的单调性。
具体而言，可以根据函数导数的正负性来确定函数的单调性。
1. 函数导数的正负性
如果函数 f(x) 的导数在某个区间内恒大于 0，则 f(x) 在该区间上递增；如果导数恒小于 0，则 f(x) 在该区间上递减。通过求导数，我们可以得到函数的递增区间和递减区间。
2. 临界点和极值点
函数的单调性与其临界点和极值点也有密切关系。在函数的临界点和极值点处，其单调性会发生改变。
- 临界点：函数 f(x) 在定义域上的某个点 x=c 处，如果 f'(c)=0 或者f'(c) 不存在，那么点 c 称为函数的临界点。在临界点之间，函数的单调性可能会改变。
高一数学函数的单调性
即
也就是说，当体积V减少时，压强p将增大.
k 所以，函数 p V , V (0,)是减函数.
p (V2 ) p (V1 )
结论
三．判断函数单调性的方法步骤
利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单 调性的一般步骤： 1 任取x1，x2∈D，且x1<x2；
2 作差f(x1)－f(x2)；
2 4
3 9
4 … 16 …
在区间0， 上任取两个x1 , x2，得到f ( x1 ) x12 , 们就说函数f ( x ) x 在区间0， 上是增函数.
2
f ( x2 ) x ，当x1 x2时，有f ( x1 ) f ( x2 )，这时我
2 2
一、函数单调性定义 1．增函数
一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果对 于定义域 I 内的某个区间 D 内的任意两个自变量 x1 ， x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说f(x) 在区间D上是增函数．
2．减函数
一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果对 于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1， x2，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说f(x)在 区间D上是减函数 ．
取值
作差 变形
定号
判断
讨论
1、法二：作商的方法
高一数学 函数单调性与最值(含解析)
函数单调性
引入
对于二次函数 ，我们可以这样描述“在区间（0， ）上，随着 的增大，相应的 也随
着增大”；在区间（0， ）上，任取两个 ， ，得到 ，
，当 时，有 .这时，我们就说函数 在区间（0， ）上是增函数.
一、 函数单调性的判断与证明 1、函数增减性的定义
一般地，设函数 的定义域为 ：
如果对于定义域 内某个区间D 上的任意两个自变量的值 ， ，当 时，都有 ，那么就说函数在区间D 上是增函数（increasing function ）
如果对于定义域 内某个区间D 上的任意两个自变量的值 ， ，当 时，都有 ，那么就说函数在区间D 上是减函数（decreasing function ）.
【例1】下列四个函数中，在(0，＋∞)上为增函数的是( )
A ．f (x )＝3－x
B ．f (x )＝x 2－3x
C ．f (x )＝－
1
x ＋1
D ．f (x )＝－|x | 【解析】选C 当x >0时，f (x )＝3－x 为减函数；当x ∈⎝⎛⎭⎫0，32时，f (x )＝x 2－3x 为减函数，当x ∈⎝⎛⎭⎫32，＋∞时，f (x )＝x 2－3x 为增函数；当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝－1
x ＋1为增函数；当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝－|x |为
减函数．故选C.
【例2】判断函数g (x )＝－2x
x －1在(1，＋∞)上的单调性．
【解】任取x 1，x 2∈(1，＋∞)，且x 1<x 2，则g (x 1)－g (x 2)＝
－2x 1x 1－1－－2x 2x 2－1＝2(x 1－x 2)
高一函数单调性完整版
函数的单调性
学习目标(1)掌握函数的基本性质(单调性、最大值或最小值、奇偶性)
，能应
用函数的基本性质解决一些问题。
(2) 从形与数两方面理解函数单调性的概念， 初步掌握利用函数图象和
单调性定义判断、证明函数单调性的方法. (3) 了解奇偶性的概念，回会利用定义判断简单函数的奇偶性。
士_重点与难点 (1)判断或证明函数的单调性；
(2)奇偶性概念的形成与函数奇偶性的判断
。
陋d 学习过程【学习导航】
」、函数的单调性 1 •单调函数的定义
(1 )增函数：一般地，设函数 f (X)的定义域为I :如果对于属于I 内某个区间上的任意 两个自变量的值X 1、X 2 ,当X 1 X 2时都有f(xj f (X 2)，那么就说f (x)在这个区间上 是增函数。 (2)减函数：如果对于属于I 内某个区间上的任意两个自变量的值 x 1、X 2,当X , x 2时
都有f(X 1) f (X 2)，那么就说f (X)
在这个区间上是减函数。
掌握增函数、减函数、单调区间的概念
并能指出其增减性 1. 从特殊到一般 2. 会根据图像说出函数的单调区间
，
3. 会用定义证明一些简单函数的单调性
自学评价
观察函数f(x) X , f (x) x 2的图象 从左至右看函数图象的变化规律
：
(1). f (x) X 的图象是 ______________ 的，
f (x) x 2的图象在y 轴左侧是 __________ 的,
2
(2). f (x) x
在(，)上，f(X )随着x 的增大而 _______________________ ; f(x) X 在(,0］上,
高一函数单调性及最值(全面)
高一函数的单调性及最值（全面）
1、增（减）函数的定义
⑴设函数)(x f y =的定义域是Ｉ，区间I D ⊆，D x x ∈21,，当21x x <时，都有)()(21x f x f < 成立，则称)(x f 在区间D 上是增函数。
⑵设函数)(x f y =的定义域是Ｉ，区间I D ⊆，D x x ∈21,，当21x x <时，都有)()(21x f x f >成立，则称)(x f 在区间D 上是减函数。
理解：以下三种缺一不可
1、任意性：从定义域中任意取12,x x ，证明单调性时不可随意用两个特殊值代替12,x x
2、有序性：通常规定12x x <
3、同区间性：即12,x x 属于同一个单调区间
2、一元二次函数单调性的判断
顶点： 24,24b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝
⎭ （思考：顶点坐标是怎么来的？当0a <时，图像该当如何？）
观察图像可知： 当-
2b x a ≤时，y 随着x 的增加而减少，()f x 在此区间上是减函数；
当-
2b x a >时，y 随着x 的增加而增加，()f x 在此区间上是增函数。 当
-2b
x a =时， ()f x 取最小值。
练习
（1）求
64212++=
x x y 的单调区间
（2）求
342+--=x x y 的单调区间
思考：反比例函数x y 1=
的图象
①这个函数的定义域是什么？
②它在定义域I 上的单调性怎样？证明你的结论
2、函数的单调性定义及判断步骤
⑴单调区间：函数)(x f 在区间D 上是增函数或减函数，我们就称函数)(x f 在这个区间D 具有（严格的）单调性，区间D 是这个函数的单调区间。
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函数的单调性
1）掌握函数的基本性质（单调性、最大值或最小值、奇偶性），能应
用函数的基本性质解决一些问题。
（2）从形与数两方面理解函数单调性的概念，初步掌握利用函数图象和
单调性定义判断、证明函数单调性的方法．
（3）了解奇偶性的概念,回 会利用定义判断简单函数的奇偶性。
（1）判断或证明函数的单调性；
（2）奇偶性概念的形成与函数奇偶性的判断。
1. 从特殊到一般,掌握增函数、减函数、单调区间的概念;
2. 会根据图像说出函数的单调区间,并能指出其增减性;
3. 会用定义证明一些简单函数的单调性.
自学评价
观察函数x x f =)(，2
)(x x f =的图象
从左至右看函数图象的变化规律: (1). x x f =)(的图象是_________的，
2)(x x f =的图象在y 轴左侧是______的，f (2). x x f =)(在),(+∞-∞上，f （x ）随着x 的增大而___________;2
)(x x f =在]0,(-∞ 上，
f （x ）随着x 的增大而_______;2
)(x x f =在),0(+∞上，f （x ）随着x 的增大而________.
一、 函数的单调性
1．单调函数的定义
（1）增函数：一般地，设函数()f x 的定义域为I ：如果对于属于I 内某个区间上的任意两个自变量的值1x 、2x ,当1x <2x 时都有12()()f x f x <，那么就说()f x 在这个区间上是增函数。
（2）减函数：如果对于属于I 内某个区间上的任意两个自变量的值1x 、2x ,当1x <2x 时都有12()()f x f x >，那么就说()f x 在这个区间上是减函数。
x
（3）单调性：如果函数()y f x =在某个区间是增函数或减函数。那么就说函数()y f x =在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做()y f x =的单调区间。
※ 增函数、减函数的定义 ;
2、单调性的判定方法 （1）定义法：
判断下列函数的单调区间：21x
y =
（2）图像法：从左往右，图像上升即为增函数，从左往右，图像下降即为减函数。 （3）复合函数的单调性的判断：
设)(x f y =，)(x g u =，],[b a x ∈，],[n m u ∈都是单调函数，则[()]y f g x =在]
,[b a 上也是单调函数。
①若)(x f y =是[,]m n 上的增函数，则[()]y f g x =与定义在],[b a 上的函数)(x g u =的单调性相同。
②若)(x f y =是[,]m n 上的减函数，则[()]y f g x =与定义在],[b a 上的函数)(x g u =的单调性相同。
即复合函数的单调性：当内外层函数的单调性相同时则复合函数为增函数；当内外层函数的 单调性相反时则复合函数为增减函数。也就是说：同增异减（类似于“负负得正”）
练习：（1）函数24x y -=的单调递减区间是 ，单调递增区间
为 ．
（2）5
412
+-=
x x y 的单调递增区间为 ．
3、函数单调性应注意的问题：
①单调性是对定义域内某个区间而言的，离开了定义域和相应区间就谈不上单调性． ②对于某个具体函数的单调区间，可以是整个定义域(如一次函数)，可以是定义域内某个区间(如二次函数)，也可以根本不单调(如常函数)．
③函数在定义域内的两个区间A ,B 上都是增（或减）函数，一般不能认为函数在
上
增函数: )()(2121x f x f x x <⇒< 减函数: )()2121x f x f x x >⇒<
x y 0 x 1 x 2 f(x 1) f(x 2) x y 0
x 1 x 2 f(x 1)
f(x 2)
是增（或减）函数
例题精讲;
二函数单调性的证明
．例题分析
例1，证明：函数1
()f x x
=
在(0,)+∞上是减函数。 证明：设任意1x ，2x ∈（0，+∞）且12x x <，
则21
121212
11()()x x f x f x x x x x --=-=，
由1x ，2x ∈（0，+∞），得120x x >，又12x x <，得210x x ->， ∴12()()0f x f x ->，即12()()f x f x >
所以，1
()f x x
=在(0,)+∞上是减函数。
说明：一个函数的两个单调区间是不可以取其并集，比如：x
y 1
=不能说
)0,(-∞ ),0(+∞是原函数的单调递减区间；
练习：1．．根据单调函数的定义，判断函数3
()1f x x =+的单调性。
2
．根据单调函数的定义，判断函数()f x =
例2，,下图是定义在区间[-5，5]上的函数
f y =根据图象说出函数的单调区间，以及在每个区间 上，它是增函数还是减函数？
思维点拔: ,
例3， 物理学中的玻意耳定律V
k
p =
（k 为正常数）告诉我们，对于一定量的气体,当其体积
V 减小时，压强p 将增大，试用函数的单调性证明之. 思维点拔: 只需证明函数V
k
p =在区间()+∞,0上是减函数即可.
三，函数单调性的应用