注重变式训练 提升思雏品质
善用变式训练，提升学生思维能力
数学2016·6能力培养［摘要］思维是创新的基础，变式训练是发散学生思维、提升学生思维能力的重要途径。
在数学课堂教学中，教师必须重视学生思维能力的培养，运用变式训练，引导学生从不同角度、不同方面审视、分析和解决问题，帮助学生克服思维定式，增强学生思维的灵活性、深刻性、变通性、求异性以及独特性，提升学生的思维品质。
［关键词］变式训练思维能力提升［中图分类号］G623.5［文献标识码］A［文章编号］1007-9068（201６）17-071教学中，我们常常发现一道习题已经讲了很多遍，仍有部分学生不会做，或者只是把已知条件和结论稍做改变，有些学生就无从下手。
如何才能发亮这种现象呢？一、一题多解，开拓思路，发散学生思维灵活性一题多解，即多角度、多方位、多途径地思考和探求问题的解决方法。
一题多解的训练有助于调动学生思维的灵活性和创造性，培养学生的多向思维能力。
在小学数学教材中，存在很多解法多种多样的习题，教师要认真钻研教材，深入分析，仔细推敲，精心设计，借助一题多解，让学生学会转换思考角度，从不同方面、不同层次去思考、分析和寻求解决问题的方法，从而拓展学生的解题思路，培养学生思维的发散性、灵活性以及创造性。
例1：有两个完全相同的长方体恰好能拼成一个正方体，正方体的表面积为60平方厘米。
如果把这两个长方体拼成一个大长方体，那么大长方体的表面积是多少？解法A ：因为正方体的表面积是6个小正方形（长方体较大的面）面积的和，大长方体的表面积是7个小正方形面积的和，所以可先求出每个小正方形的面积，再求7个小正方形的面积和，即60÷6×（6+1）=60÷6×7=70（平方厘米）。
解法B ：因为正方体有6个相等的面，所以每个面的面积是60÷6=10（平方厘米）。
拼成大长方体会减少一个面的面积，同时增加两个面的面积，所以大长方体的表面积为60-60÷6+60÷6×2=70（平方厘米）。
注重变式教学 培养思维能力
评价研究2014-03许多学生反映物理难学，“题海战术”是一个重要的原因，大量的难题，单一的教学方法，无法让学生在过程与方法上、情感上得到成功的体验，那么知识和技能目标的达成度也是可想而知的。
在我们的物理教学中，有的问题缺乏新的情景，学生不感兴趣；有的问题缺乏阶梯，一开始就太难，许多学生的思维不能被激发。
同样常见一些教师说：“这个题目其实很简单。
”“怎么连这个题目也不会做？”其实，这个教师站在已经掌握了物理学系统知识的高度所产生的想法。
如果你的头脑中还没有这一系统的知识结构，情况就会完全不同。
“稚化教师思维”“备学案”是教师应当掌握的两条有效的教学途径。
“没有教不好的学生，只有不会教的老师”这句话从某种程度上说也有一定的道理，教师的“会教”在于“会激”，而变式教学就是激活学生思维的教学方法。
所谓“变式教学”，是指以培养学生灵活转换、独立思考能力为目的，在教学过程中教师精心设计一些不断变更问题情景或者改变思维角度，由简到繁、由易到难的物理问题，使事物的非本质特征时隐时现，而事物的本质特征却始终保持不变的教学形式。
这是一种把学生的思维逐渐引向新的高度的一种教学方法，它实际上是教师有目的地通过“变式”为学生组织了一个引导思维的活动。
一般来说，当学生面对新的物理情景时，如果旧的思维方式能够解决新的问题，就是迁移学习。
如果新的情景需要学生能从不同角度进行思考和突破原有的思维模式，就是创造学习。
变式教学要求不断变更所提供材料或事物的呈现形式，它能够使学生经常处于新的情景中，所以，变式教学十分有利于激发学生思维的热情，改善学生的思维品质和培养学生的创造性思维能力。
一、实施变式教学有利于培养学生发散思维能力所谓“发散思维”是从一点向四面八方想开去的思维。
运用这种思维方式来考虑问题，会因我们的出发点不同而得到不同的思考途径或得到不同的结果，显然我们得到的思考途径或结果越多，发散思维能力就越强。
物理教学中发散思维体现的是所谓“一题多解”和“一题多变”的变式教学，“一题多解”即对同一个问题应用多种不同的方法去寻求其答案，它追求的是解决问题的多种途径。
在变式教学中促思维提升
在变式教学中促思维提升小学数学高年级阶段，抽象知识增多，思维难度加大，有些学生学起来就显得有些吃力。
针对现状，教师应适时对教材中的例题或习题进行变式，经常进行变式教学，对引导学生主动学习，掌握数学“四基”，领会数学思想，提升学生思维能力具有积极作用。
一、一题多变，培养思维灵活性一题多变，就是题目变式。
从一道例题或练习题出发，运用逆向或横向思维，变换题目的条件或结论，使原来的一道题变成一组变式题。
用这种方式进行教学，能使学生随时根据变化了的情况积极思考，设法想出解决的办法，从而防止思维定势，培养思维的灵活性。
例如：在讲稍复杂的分数实际问题时，复习时先出示：林阳小学去年有24个班级，今年的班级数比去年增加了，增加了多少个班级？变式1：林阳小学去年有24个班级，今年的班级数比去年增加了，今年一共有多少个班级？变式2：林阳小学去年有24个班级，今年的班级数比去年减少了，今年一共有多少个班级？二、一题多编，培养思维的广阔性例如，一位老师在教学完“加法交换律、结合律和乘法交换律、结合律”之后，进行了综合性练习，教师出示了一组变式题：有三种图书，《数学故事》32元，《成语故事》99元，《科幻故事》68元。
（1）三种书各买一本，一共需要多少元？32+99+68=（32+68）+99=100+99=199（元）。
（2）四年级有5个班，每班买4本《科幻故事》，一共用去多少元？4×68×5=（4×5）×68=20×68=1360（元）。
（3）学校买125本《数学故事》，一共用去多少钱？125×32=（125×8）×4=1000×4=4000（元）。
（4）王老师带250元，如果买一本《成语故事》，还剩多少钱？250-99=250-100+1=151（元）。
（5）王老师带200元，如果《数学故事》和《科幻故事》各买一本，还剩多少钱？200-32-68=200-（32+68）=200-100=100（元）。
实施变式训练 培养学生思维品质
实施变式训练培养探索能力湖北省潜江市张金中学杨先浩（433140）在中学数学教学中，不少教师在教学过程中只注重于解题，即让学生弄懂或会解某一道题，而忽视对学生思维品质及探索能力的培养。
这样教师对课本中的例题、习题往往就题论题，一带而过，甚至轻描淡写。
于是在复习中东摘西抄，猜题押宝，热衷于搞题海战术，弄得学生头昏眼花，事倍功半，学生甚至产生厌学情绪，有悖于目前的“素质教育”。
我在多年的教学中深深地体会到：培养学生的探索能力是学生学好数学的关键。
我常紧扣课本，注重对课本习题、例题的引伸，挖掘，加工，改造。
对典型的例、习题进行一题多解、一题多变、多题一法等变式训练来培养学生良好的思维品质，从而提高学生思维的准确性、发散性、灵活性和创造性。
这样，能有效地防止学生对数学产生枯燥、厌恶情绪，提高教学效果，真正地实施素质教育。
（一）一题多解,拓宽思路,培养思维的发散性:对课本上的典型的例题、习题，教师应尽可能地多讲几种方法，使学生对所学的知识能融汇贯通，举一反三，培养学生多途径的解决问题的能力。
例：如图：已知AB=AC，E是AC延长线上一点，且有BF=CE，连接FE交BC于D. 求证：FD=DE。
分析：本题有好多种证明方法，新课标主要倡导用对称、旋转方法借助全等来证明，但平行四边形的性质、三角形中位线定理等在证题中都能得到较好的应用，九年级同学面对中考需对平面几何证明题的证明方法有一个系统的复习和提高。
下边我将自己证明这道题的方法给各位同仁作以介绍，希望各位有所收获，仔细体会每种方法的异同和要点，从中能得到提高。
如有错误，请批评指证。
证法一Array证明：过E点作EM ∥AB交DC延长线于M点，则∠M=∠B，又因为∠ACB=∠B∠ACB=∠ECM=∠M，所以CE=EM，又EC=BF 从而EM=BF，∠BFD=∠DEM 则△DBF≌△DME，故FD=DE；证法二证明：过F点作FM∥AE，交BD于点M，则∠1=∠2 = ∠B所以BF=FM，又∠4=∠3 ∠5=∠E所以△DMF≌△DCE，故FD=DE。
运用变式训练 培养学生思维品质
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数学教学中注重变式训练培养学生的思维能力
注重变式训练培养学生的思维能力南马镇中吴颖芳数学教学，使学生理解知识仅仅是一个方面，更主要的是要培养学生的思维能力，掌握数学的思想和方法。
数学变式其实就是创新。
数学变式应抓住问题的本质特征，遵循学生认知心理发展，根据实际需要进行变式。
实施变式训练应抓住思维训练这条主线，恰当的变更问题情境或改变思维角度，培养学生的应变能力，引导学生从不同途径寻求解决问题的方法。
通过多问、多思、多用等激发学生思维的积极性和深刻性。
一、利用变式启发学生积极参与观察、分析、归纳，培养学生正确概括的思维能力。
从培养学生思维能力的要求来看，形成数学概念，提示其内涵与外延，比数学概念的定义本身更重要。
在形成概念的过程中，可以利用变式引导学生积极参与形成概念的全过程，让学生自己去“发现”、去“创造”，通过多样化的变式提高学生学习的积极性，培养学生的观察、分析以及概括能力。
通过对式子的变形，可以对概念的理解逐渐加深，对概念中本质的东西有个非常清晰的认识，因此教师在以后的练习中也明确类似知识点的考查方向，防止教师盲目出题，学生盲目练习，在有限的时间内使得效益最大化。
二、利用变式使学生深刻认知定理和公式中概念间的多种联系，培养学生多向变通的思维能力。
数学思维的发展，还赖于掌握、应用定理和公式，去进行推理、论证和演算。
由于定理和公式的实质，也是人们对于概念之间存在的本质联系的概括，所以掌握定理和公式的关键在于明确理解定理和公式中概念的联系，对于这种联系的任何形式的机械的理解，是不能熟练、灵活应用定理和公式的根源，它是缺乏多向变通思维能力的结果。
通过变式训练，是要防止形式地、机械地背诵、套用公式和定理提高学生变通思考问题和灵活应用概念、公式以及定理的能力。
三、利用变式来改变题目的条件或结论，揭示条件、目标间的联系，解题思路中的方法之间的联系与规律，培养学生联想、转化、推理、归纳、探索的思维能力。
（一）多题一解，适当变式许多数学习题看似不同，但它们的内在本质（或者说是解题的思路、方法是一样的），这就要求教师在教学中重视对这类题目的收集、比较，引导学生寻求通法通解，并让学生自己感悟它们之间的内在联系，形成数学思想方法。
实施变式训练教学培养良好思维品质
◇ 广东 郑 少 敏
数 学 中的公式 、 则 重 在 运 用 ， 仅 要 会顺 用 、 法 不 还
要 会 逆 用 、 用 、 形 用 ． 此 在 公 式 、 则 教 学 中 的 活 变 因 法
变式 训 练要求 教 师引导 学 生 理解 、 握 灵 活多 变 的特 掌 点 ． 在 两 角 和 与 差 的余 弦 公 式 的 学 习 中 可 通 过 以下 如
引 导学生 再 把命题 的条件进 行 改变 ： 命题 １ 平行 于 同一 个平 面 的 ２个平 面互 相平 行． ： 命题 ２ 平 行 于同一 个平 面 的两条 直线互 相平 行． ： 命题 ３ 平 行 于同一 条直 线 的 ２个平 面互 相平 行． ： 然后 对经 过 改变得 出的命 题 进 行 讨论 证 明 ， 以 可 得 出命题 １ 立 ， 成 其余 ２个 都是 不成 立 的．
用． 实施 变式 训 练 能 有 效 帮 助 学 生 克 服 由 于机 械 、 单 调 的重复 练 习 引起 的疲 劳 、 习 兴 趣 的降 低 ， 效 地 学 有 促进 学生 的 思 维 ， 进 学 生 对 数 学 知 识 的掌 握 ． 学 促 数
教 学 中 各 个 环 节 各 种 课 型 都 可 以 进 行 变 式 训 练 ， 人 本 结 合 自己 的 教 学 实 践 探 讨 几 种 基 本 的 变 式 训 练 ．
变式教学——思维品质与思维能力的训练
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中等职 业教 育
２１ ０ ２年 第 ２ ６期
变式教学—— 思维 品质 一
浙 江省 兰溪市第五 中
［ 要 ］ 文主要 阐述如 何在 课 堂上进 行 变式教 摘 本 多解” 一题 多变” 变式教 学 ， 和“ 的 变式的 内容 与难度 与度” 四个 方 面来论述 。 ［ 键词 ］ 关 变式教 学 一题 多解 一题 多变 梯
学 生 ５ （ 量 法 ） 点 Ｐ（ ， 由 题 设 知 Ｆ ： 向 设 ，， ）
（５ ｏ ， （ ， ）从 而 Ｆ￣ （＋ ，） － ，） ５０ ， － － ５ ｙ ， ｌ （一 ，） 因 ５ｙ ， ０ 即 （＋ ） 一 ） ＝ ． ， ５ （ ５ ０以
的连线互相垂 直。 学生 思考 、 探究后归 纳出如下几种
探究 １是 否对任意椭 圆 ， 存在 椭圆上 的点与 ： 都 焦点 的连线互 相垂 直？
强化变式训练,提升学生思维能力
强化变式训练袁提升学生思维能力江苏省扬州市宝应县曹甸高级中学(225803) 岳立新●摘 要:习题课是高中数学教学的重要环节之一,是学生巩固自身知识、训练数学思维的有效途径.随着新课改的不断深入,高中数学习题课由传统的题海战术教学,逐渐向数学思维培养和解题技巧教学方向转变.因此,强调变式训练、突出学生的思维拓展就成为了我们高中数学教师的当务之急.关键词:高中数学;变式训练;思维中图分类号:G632 文献标识码:B 文章编号:1008-0333(2016)09-0012-01 受到高中传统教学模式的影响,学生的应变能力、创新能力及思维能力都难以应对新课改的要求.对此,我们必须通过变式训练的方式,将习题训练与思维培养融为一体,提高学生数学解题能力.一、高中数学解题困境1.应试教育的束缚.受到应试教育的影响,在传统的高中数学教学中,很多教师在解题训练时不断向学生们灌输成绩的重要性,一味地强调理论知识和解题训练.为了提高学生成绩,很多教师只讲考试大纲所要求的,平时的训练也只是集中在解题步骤的强化训练上,大力推行题海战术.由于数学知识具有综合性、应用性等特点,若不采用变式训练,必然难以调动学生积极性,不利于学生实践能力与综合分析能力的培养.2.教学方法不当.很多时候,我们的选题与讲解缺乏针对性,没有将学生能力、教学内容与教学方法妥善结合.长期以往,导致学生形成被动式的应试学习,阻碍学生理解能力与思维能力的发展.在教学方法选择上,数学课堂还是延续满堂灌的特色,学生们更多扮演观众的角色.二、变式训练实践1.数学概念的变式训练概念是数学解题的根本,是学生数学思维得以形成的基础.高中数学概念具有难度大、复杂性强等特点,我们必须利用变式训练的方式,帮助学生从变式的发展过程上认识与掌握数学概念.例1 平面内与两个定点F1、F2的距离的差的绝对值等于常数(<|F1F2|)的点的轨迹构成什么样的几何图形?变式 平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数(>|F1F2|)的点的轨迹又可以构成怎样的几何图形?分析 首先,在预习教材之后,学生们很容易得到例题与变式的结论,即构成的几何图形分别是双曲线与椭圆.然后,在上述例题与变式的训练下,我们将双曲线与椭圆的概念特征展示出来,有效地帮助学生认识到这两者之间的区别.深化了学生对数学概念的记忆,培养了学生的发散性思维.2.数学公式的变式训练数学学科作为一门综合性学科,离不开公式的使用.但在传统的教学过程中,我们往往忽视对公式的演绎与推理,而仅仅要求学生能够妥善使用即可.这样的训练模式阻碍了学生对数学公式的灵活使用和深刻理解.对此,我们不妨利用变式训练的方式,逐层递进实现公式的深入教学.例2 已知数列{a n}的前n项和S n=3n2-2n,求证数列{a n}为等差数列.变式 已知1/a、1/b、1/c成等差数列,求证(b+c)/a、(c+a)/b、(a+b)/c为等差数列.分析 从题干内容可知,本题及变式是对学生数列知识的考查.首先对于例题,欲证数列{a n}为等差数列,我们只需要验证a n-a n-1为常数即可.于是,利用公式a n =S n-S n-1,当n=1时,a1=S1=1;当n≥2时,a n=S n-Sn-1=(3n2-2n)-[3(n-1)2-2(n-1)]=6n-5.同时,将n=1代入上述满足,即得a n=6n-5(n∈晕∗).再由a n-a n-1=6,我们可知该数列是以1为首项,6为公差的等差数列.对于变式训练的内容,我们使用的公式依然与例题一样,但使用的技巧性和难度有所提高.通过该例题与变式的训练,学生们对等差数列公式的正反使用及理论与实践环节得到更加深刻的理解,拓展了学生的数学思维.3.数学习题的变式训练在高中数学习题课中,针对习题的变式训练是最为常见,也是变式训练的重要方式之一.在新课改背景下,传统的题海战术必然会遭受淘汰.唯有致力于学生数学思维培养,有效训练学生的知识迁移能力,才能不断提高习题训练效率.例3 在椭圆x2/9+y2/4=1上求一点P,使得它与两焦点的连线垂直.如图所示,焦点分别是F1、F2,当∠F1PF2为钝角时,试求P点横坐标的取值范围.变式 设椭圆x2m2+1+y2=1的两个焦点分别是F1、F2,且椭圆上存在点P,使得PF1与PF2垂直,求实数m的取值范围.分析 对于∠F1PF2,我们统一取直角状态作为研究对象.如图所示,我们以原点O为圆心,线段F1F2为直径作圆交椭圆于点A、B、C、D.由圆形的直径定理可知,当P点位于A、B、C、D点时,∠F1PF2为直角.于是,结合几何图形判断,我们可以快速得到:当P点的横坐标位于(时,满足例题要求.对于变式,虽说引入了变量,增加了难度,但解题的基本原理还是一样的.欲使椭圆上存在∠F1PF2为直角,即是以F1F2为直径的圆与椭圆存在交点.从几何图形中可以得到,即是椭圆的焦距大于等于其短轴长,即c ≥b.将参数m代入上式即可得m的取值范围是|m|>1.从解题方法来看,例题与变式的思路一致,仅增加了抽象性与理解性.在日常的数学训练过程中,我们不妨采取类似的手段,逐层深入,提高训练效果.—21—All Rights Reserved.。
初中数学“变式训练”的方法与思维
初中数学“变式训练”的方法与思维初中数学的变式训练旨在培养学生分析和解决问题的能力，提高数学思维的灵活性。
变式训练要求学生通过对不同形式的问题进行变换和转化，掌握不同解题方法和技巧，从而提高解题的速度和准确性。
下面我将介绍一些变式训练的具体方法和思维。
1.规律和特点：变式训练中，学生需要通过分析已知的问题，寻找问题中的规律和特点。
例如，其中一类问题的解法经常采用同一种方法，或者其中一种运算法则在不同题目中都得到了运用。
通过发现问题的规律和特点，学生可以避免重复的计算和推理，提高解题的效率。
2.转换和等价变形：变式训练要求学生将已知的问题转换成其他形式或等价的形式，从而探索不同的解题方法和思路。
例如，将一个复杂的问题分解成若干简单的小问题，或者将两个具有关联的问题合并成一个问题。
转换和等价变形可以帮助学生从不同的角度去思考和理解问题，提高解题的灵活性。
3.探索和猜测：变式训练鼓励学生主动去探索和猜测，不拘泥于固定的解题方法和步骤。
通过试错和反思，学生可以逐步积累解题经验，并培养自主思考和创造性思维。
4.形象化和图像化：变式训练中，学生可以通过构建模型、绘制图像等方式将抽象的问题形象化，从而更加清晰地理解问题的本质和解题方法。
形象化和图像化可以帮助学生走出数学符号和运算，将问题转化成一个具体的实物或几何图形，提高解题的可视化和直观性。
总之，在初中数学的变式训练中，学生需要培养的核心思维是灵活性思维。
灵活性思维是指学生能够根据问题的特点和要求，灵活地选择合适的解题方法和策略。
这需要学生具备扎实的基础知识和技能，同时还需要培养学生发散思维和创新思维的能力。
只有掌握了灵活性思维，学生才能在不同形式的问题中游刃有余地解题，提高数学解题的能力和水平。
在变式训练的过程中，老师和家长可以采用以下方法来指导学生：1.引导学生分析和总结问题的规律和特点。
通过针对性的练习，帮助学生理解同一类问题的解题方法和技巧，培养他们归纳和概括的能力。
在变式训练中培养学生的思维能力
么大的。
师：那怎样防止商漏点小数点呢？生：可以在12后面先点上小数点。
生：商2以后，要先点上小数点再往下除。
师：请同学们集体回答5.7÷6=？交流时，突出商的整数部分为什么要补0；第一次乘的积54，不要写成5.4；余下来的3后面添0后要继续往下除三个问题。
教师结合黑板上的“三个”竖式，引导学生讨论：商的小数点与被除数的小数点位置关系；哪一步计算是与整数除法相同的或不同的；计算小数除法要注意什么。
【反思：在处理12÷5的竖式时，由于学生在解决第一个问题时，已经积累了把“几个1转化成多少个0.1”的经验，在此处，重点让学生体会到被除数是整数，可以看成一个特殊的小数，让被除数“隐藏”的小数点显露出来，为确定商的小数点提供依据。
而在处理5.7÷6时，仅让学生集体交流商的整数部分为什么要补0；第一次乘的积是写54还是5.4；余下来的3该怎样处理这样三个关键性的问题。
而在“三个”竖式完成之后，特意让学生比对“三个”竖式，观察商的小数点与被除数的小数点的位置关系，以及小数除法与整数除法哪些地方是相同的或不同的地方，旨在让学生对除数是整数的小数除法的计算获得一个清晰、完整的表象，让这一计算方法得到了内化。
】（作者单位：安徽蚌埠市禹会区张公山第一小学）责任编辑谷川J iaoyanzha J i 教研札记“变式训练”指教师变换问题中的条件或结论，转换问题的内容和形式，配置实际应用的各种情境，从而使学生从不同的途径去思考问题、去解决问题。
运用变式训练可以有效地培养学生的求异思维与创新意识，使学生不只停留于事物的表象，而能自觉从本质看问题，为学生学好数学、用好数学打下良好的基础，同时也培养了学生的思维能力。
一、一题多问，培养学生的思维变通性一题多问是指确定了已知条件后，有多种情况产生，让学生尽可能多地确定未知结论，并去解决这些未知结论。
这个思维过程有一定的变通性，每个学生可能思考出一种或几种可能。
在变式训练中培养学生的思维能力
在变式训练中培养学生的思维能力作者：***来源：《云南教育·小学教师》2023年第10期在數学教学中，思维的灵活性和批判性是重要的思维品质，其素养的形成，必须通过教师有意识的拓展和引领。
变式就是重要的对策之一，有效的变式是达成梳理知识网络、沟通知识关系、促进深度学习，培养学生的思维能力。
那么，如何利用变式训练，培养学生的思维能力，提高课堂教学质量，这值得教师深入思考与探究。
一、变换表征形式，培养思维的灵活性对于数学问题，其命题的表征形式通常具有多样性。
像文字、图表、符号、图形、对话、操作等各种呈现形式。
在教学中，教师可以采用表征形式的变换来落实数学问题的探究，而不同呈现形式的转换，还能突破思维的模式化，突破惯例，别出心裁，提升数学命题的灵活度，从而让学生理解数学本质，促进他们思维素养的提升。
上面的原题是一道简单的分数计算题，通过表征的变化，可以让学生深刻理解这个算式的意义。
其中，变化1是一个与分数乘法意义的拷问，凸显学生对本质意义的理解。
变式2则采用问题解决的形式，把分数乘整数置身问题之中，增强了数学的运用意识。
变式3则是数形结合的方式，要求学生用形来描述数，沟通了“数”与“形”之间的关系。
计算题的变式教学，对学生在分数乘法研究算法和算理有积极的促进作用，尤其对提升学生深刻理解分数，对量率的转化，对分数乘法与以往运算之间的转化与联系等方面意义重大，多元表征的形态理解和灵活转化能力，也是学生思维灵活性的一项重要指标。
二、变换已知条件，培养思维的深刻性数学在形成人的理性思维、科学精神和促进个人智力发展中发挥着不可替代的作用。
要引导学生会用数学的思维思考现实世界，就要关注以下几个问题，一是能发现问题的本质，找到问题的症结。
二是沟通知识之间的联系，建立数学知识网络。
而数学习题中，通过条件和问题的变换，能让学生对于一些易混淆的知识和不易掌握的方法在系统的变化过程中拓展理解、沟通内化，促进学生数学思维素养的提升。
注重变式训练 提升思维品质
提升思维 点
嘉山 沂 西中 （省源 里学 东 县 ）
随着新课程实施的不断深入 ，以传授
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解 得 １ ２ ２ ２ （ ＝１ ， ＝一 不符 合 题 意 ，
舍去 ） ．
故ＡＡ Ｃ的面积可求． Ｂ （ 解法 ３ 在 ＡＡ Ｃ内构 造两个相 似 ） Ｂ 三角形． 如图 ４ ，作 Ｌ３ ２ ４＝ ｌ ＝ ， ，
一
～
一
…
’
…
一
…
…
…
一
～
一
…
…
一
～
… … 一 甄 … 一 … 一８ … ～… 一］［ ０ ￣一 …２ ９ ７ 一 一 ０ 一 － …
７１
４．ＧＣ ＝ 一６ ．
１ ．演 变原题 的 逆命 题
变式 １ 如 图 １ ，将 已知条 件 变换 ０
Ｃ＝ Ｃ Ｄ＝ Ｅ
＝
６、 ・ ２ ／
．
、 ｖ ／
．
解 得 ＝１ ， ： ２ （ ２ ＝一 不符合题 意 ，
舍去 ） ．
创新 思维 的核心 ，它富 于联 想 、思路宽
阔 ，寻求变异 ，善 于分解组 合 和引 申推
广 ，善于运用各种变通方法．在数学教学 过程中，教师要注重引导学生，通过典型
的延 长 线 于 点 Ｅ ．
复习课中巧用“变式”提升学生的思维品质
次从某 一 串 的最下 端摘 下一 个礼
物 ， 样 摘 了五 次 可 将 五 件 礼 物全 这 部摘 下 ， 么 共 多少 种不 同 的摘法 ？ 那 师： 乍一 看 这道题 与 前题 毫不 相干 ， 他们 之 间确
１ 创设情境
提 出问题
没有 联 系 呢？我 们一 起来 分 析． 纳一 下 ， 归 他们 有如 下共 性 ：１ 都 含有 “ （） 阵线分 明” 的两类 元 素． 本题 在
师： 可以发现 以上问题等价于几类相 同元素的
数学教学 ， ０ （ ） ２ ７４． ０
．
４５ ・
（ １０条 Ａ）５ （ ５５条 Ｂ）２
综上所述 ， 复习课教学可以从基本问题人手 ， 通 过变式 ， 将问题逐步引申变化 ， 逐层深人拓展 ， 在探 究过程 中， 提炼数学思想方法 ， 把握知识 的脉络 ， 认 知问题的本质 ， 使学生分析问题 、 解决问题的能力不
（ ）４ 条 ｃ ８０
例 如 图 ， 某 城 市 广— —Ｔ— —－— — 在 － ｒ 中 ， Ｂ两 地 之 间有 整 齐 —— —— ——— 一 Ａ，
中， 两类元素是第一 串礼物（ ， ， ） Ａ 曰 ｃ 和第 二 串礼物 （ Ｅ ， Ｄ， ） 他们各 自串在一起 ； 在前面问题 中两类元素 是横 线 段 和纵线 段． ２ 每 类元 素有 确定 的顺 序． （） 在 本题 中， 摘取礼物之前每串礼物的顺序 已定 ， 每次都 是从 某 串礼 物 的最下 端 摘起 ； 在前 面 问题 中 ， 有 的 所 横线 段 具有 从左 至右 的顺 序 ， 有 纵 线段 具 有 从 下 所
同 走法有 ｃ 种， ； 故从 Ａ不经过 ｃ 到 的最短路 向最短路线共有 ｃ ＋或 ｃ ＋种不伺 的走法． ： 二 线不同走法有 Ｃ 一 ３２ ６ 种． ； ＝ ６ 师 ： 何证 明 这 个 定 理 呢 ？ （ 如 由一 位 学 生 口述
加强变式训练,焕发学生思维
加强变式训练，焕发学生思维摘要：运用变式训练就是在教学中体现运动变化观点，帮助学生从事物的各种表现形式和事物所在的不同情境中认识事物的本质特征，有利于学生对基本概念和原理的正确理解和思维的发展，促进学生智能的提高关键词：小学数学变式训练变式教学是一种科学的数学教学模式，是从诸多常见的习题现象中寻找一般的数学规律，进而总结出一类题型的解答技巧规律。
教师通过灵活地变换数学原理或题目中的非本质要求，变化问题提问方式、问题内容等等来帮助学生从多个层面、多个角度更加深入地领悟问题，加深对知识的全面了解与领悟，最终达到对知识的深入理解与合理运用，从而培养学生的数学创新思维能力。
一、基于概念讲解的变式训练，促进学生掌握基础知识在小学数学知识体系中，涉及到较多的概念内容，在这个时期中，学生接触到的数学知识基本上都属于入门知识，教师需要指引学生对各种数学常识、数学概念、几何图形有一个感性层面上的认识。
概念教学主要在于理解，然而针对较为陌生的数学概念来说，小学生想要准确深入地进行记忆与理解是非常不容易的，因此需要教师在教学模式上进行创新和改革。
在数学概念教学中应用变式教学，可以使概念以多元化的形式呈现出来，并且也可以促进学生加深对相关知识的探究，从而使学生对数学概念有一个更加深刻的理解和记忆。
二、基于规律探究的变式训练，培养学生自主学习能力在小学数学教学中，规律研究是非常具有价值的，并且其也是教学难点内容。
规律探究要求学生进行独立思考，想要使思考过程更加具有效果，教师需要注重对学生的指引，给予学生更多的启发，从而拓宽和延伸学生的数学思维。
而在规律探究中应用变式教学，可以在最大程度上提高学生的独立探究精神与思维水平。
例如，在讲解梯形面积公式时，由于学生已经对长方形、三角形、平行四边形的面积计算公式有所掌握和了解，对图形转换和转换思路也具有一定认识，这些知识点都是在对梯形面积公式进行探究时可以用到的基础。
因此，在实际教学过程中，教师可以指引学生对长方形、三角形、平行四边形的面积计算公式进行复习，并指引学生对面积计算公式的推导过程进行描述，并提出以下问题，指引学生对梯形的面积公式进行探究：如何把梯形转化成为面积公式已知的图形？拼接、割补或者是划分？转化后图形的面积如何计算？尝试总结梯形的面积计算公式。
变式训练激活学生的数学思维
学生的数学思维能力是一个很大的提高，可以培养和发展学生
此变式主要让同学们能够举一反三，通过掌握一道题目的
的求异思维、发散思维、逆向思维，从而培养学生从多角度、全
解答，从而达到通过类似的解题思维来解决这一类问题。
例 3. 某人有 5 把钥匙，只有一把能打开房门锁，但忘记了
开门的是哪一把，于是他逐把不重复试开，求恰好第三次打开
［4］陈阿音 . 基于核心素养的高三历史复习教学探究［J］.
考试周刊，2019（99）：126-127.
［5］祁茂俊 . 新高考背景下高中历史有效复习的策略研究
［J］. 考试周刊，2019（89）：132-133.
（作者单位：广东省乐昌市城关中学）
技法点拨
127
这样来审视、覆盖练习题，他们才会有居高临下、得心应手之
一、变题目条件
的思维方式和方法，形成良好的数学思维品质，促使学生的数
改变题目条件，目的是使学生在解题过程中灵活运用题目
学素养得到全面提高。那么如何培养学生良好的数学思维呢?
本身所提供的条件，多方位、多角度地揣摩题目，甚至使学生能
经过教学实践发现，合理利用变式训练能有效激活学生数学
够站在命题人的高度，运用命题人的思路，揣摩命题人的意图，
化的思维方式，探索问题的发展变化，发现问题的本质，并能深
入挖掘出其潜在的数学思想方法，揭示其丰富的内涵。同时在
下的变式训练
3
变式中要能做到恰当合理，做到循序渐进，有的放矢。
变式 1：问展开式中是否含有 x 的项？
总之，在高中数学中，教师若能充分利用好变式训练，那对
变式 2：问展开式中是否含有常数项？
发展、殖民扩张加速；思想文化上，启蒙思想深入传播、自然科
加强数学变式训练,提高学生思维能力
加强数学变式训练，提高学生思维能力数学教学的核心是思维能力的培养，课堂教学要把学生自主学习和积极参与引进教学过程，才能使教学结构发生质的变化，才能使学生成为学习的主人。
而现在数学课堂普遍存在老师是课堂的主角，学生被动接受，严重制约了学生思维能力的发展与培养。
主要表现在老师讲解多，学生思考少；一问一答多，研讨交流少；操练记忆多，鼓励创新少；强求一致多，发展个性少；照本宣科多，智力活动少；为了改变这种状况，需要研究我们的课堂教学，开展变式训练有利于学生克服思维和心理定势，实现创新目标。
探索变式训练在数学课堂中的作用，结合平时教学，谈谈我的几点体会。
一、运用变式教学，确保学生参与教学活动的持续热情。
课堂教学效果很大程度上取决于学生的参与情况，加强学生在课堂教学中参与意识，使学生真正成为课堂教学的主人。
变式教学是对教学中的定理和命题进行不同角度、不同层次、不同情形、不同背景的变式，以暴露问题的本质，揭示不同知识点内在联系的一种教学设计方法。
通过变式教学，使一题多用，多题重组，常给人以新鲜感，能够唤起学生好奇心和求知欲，因而能够产生主动参与的动力，保持其参与教学活动的热情。
例如：青岛版第8章《平面图形的全等与相似》中，题目：如图（1），在△ABC中，DE∥BC，图中的三角形相似吗？解：∵DE∥BC ∴∠ADE＝∠B 又∵∠A=∠A ∴△ADE∽△ABC变换条件：（1）如图（2）若∠AED＝∠B，△ADE和△ACB相似吗？（2）如图（3）若∠AC D＝∠B，△ADE和△ACB相似吗？这样通过不断变换条件和图形，能使学生抓住问题的本质，开拓了学生视野。
使枯燥的数学不再乏味，提高了学生的求知欲。
二、运用变式教学，培养学生思维的广阔性。
思维的广阔性是发散思维的又一特征。
反复进行一题多变的训练，是帮助学生克服思维狭窄性的有效办法。
可通过讨论，启迪学生的思维，开拓解题思路，在此基础上让学生通过多次训练，既增长了知识，又培养了思维能力。
开展变式教学，培养学生良好的思维品质
谈学论教变式教学是指教师有目的、有计划地对问题进行转化、变换，使学生掌握知识的一种教学方法.在变式教学中，教师在保留问题本质的前提下，不断变换问题中的条件、结论，内容、形式，让学生进行思考，能帮助他们快速掌握数学问题及知识的本质，提升其数学思维能力.一、运用变式教学法，引导学生掌握知识的本质相比于其他学科，高中数学知识具有较强的理论性和抽象性，教师可以在变式教学中对某一个概念、公式、定理等进行变式，引导学生对概念、公式、定理等进行拓展、延伸，进行深度学习.这样不仅能引导学生深入挖掘概念、公式、定理等知识的本质，还能帮助他们提升学习的效率.例如，在教学“基本不等式”时，笔者对基本不等式a，b∈R＋,ab≤a+b2当且仅当a=b时取等号，提出了如下的变式问题：变式问题1.为什么a、b必须为正数呢？变式问题2.两个正数的和为定值时，它们的积的最大值是什么？变式问题3.两个正数的积为定值时，它们的和的最小值是什么？变式问题4.基本不等式有哪些变形式？通过对上述变式问题进行思考、分析，学生便能明确应用基本不等式的三个条件：（1）两个数都为正数；（2）当两数的和或积为定值时，它们的积或和可取最值；（3）取等号时不等式取得最值.同时也在自主思考的过程中推导出了常见的基本不等式变形式，如若a，b∈R，则a2+b2≥2ab；若a,b∈R，则ab≤a2+b22（当且仅当a=b时取“=”）；若a,b∈R*，则ab≤(a+b)22(当且仅当a=b时取“=”）；若a,b∈R，则(a+b)22≤a2+b22（当且仅当a=b时取“=”），这样，便挖掘出了基本不等式的本质，快速掌握了基本不等式.二、运用变式教学法，引导学生总结题目的通性通法在进行变式教学时，教师可围绕某一类题型设置一些变式问题，引导学生通过观察、实验、比较、猜想，总结出该类问题的通性通法.这样不仅能培养学生的数学思维能力，还能帮助他们积累解题的经验.例题：若log34<1(a>0,a≠0)，求实数a的取值范围.解析：该题主要考查了含参对数函数的取值范围问题.要解答该题，需要运用对数的运算法则将不等式进行变形，得到log a34<log3434,再根据对数函数的单调性建立关于a的不等式，解得a>34.变式1.若log2a1+a21+a<0，则a的取值范围是.解析：对a进行分类讨论，由2a>1解得a>12，若log2a1+a21+a<0，则0<1+a21+a<1,解得0<a<1,∴12<a<1.当1>2a>0,即0<a<12时，若log2a1+a21+a<0，则1+a21+a>1解得a>1，此时无解.所以答案为(12,1).变式2.设0<a<1，函数f(x)=log a(a2x-2a x-2)，则使f(x)<0的x的取值范围是（）.解析：要使f(x)<0，且0<a<1，所以a2x-2a x-2>1⇒a2x-2a x-3>0⇒(a x-3)(a x+1)>0⇒a x>3,又0<a<1，故x<log a3,故选C.通过上述变式训练，学生便能熟练掌握求含参对数的取值范围的各种题型，并掌握解答此类问题的基本思路：首先运用对数函数的运算法则将不等式进行变形，然后结合对数函数的定义对参数a进行分类讨论，再利用对数函数的单调性建立关于a的不等式，解不等式即可.变式教学法是高中数学教学的重要方法.教师在教学中要善于结合学生的实际情况和教学内容开展变式教学，引导学生对知识点、题目进行分析、对比、推理、概括，总结出规律，挖掘出知识、问题的本质，帮助他们形成良好的思维品质，提升课堂教学的效率.（作者单位：山东省邹平市第一中学）58Copyright©博看网 . All Rights Reserved.。
浅谈初中化学教学中如何运用变式训练提高学生思维能力
172神州教育浅谈初中化学教学中如何运用变式训练提高学生思维能力张村山东省肥城市白云山学校摘要：变式教学是对化学中的问题进行不同角度、不同层次、不同情形、不同背景的变式，以暴露问题的本质特征，揭示不同知识点间的内在联系的一种教学设计方法。
变式教学使一题多用，多题重组，常给人以新鲜感，能唤起学生的好奇心和求知欲。
通过变式训练，教师对学生的思维发展提供一个支架，而这个支架恰好是学生思维发展的一个阶梯，有利于学生构建合理、完整的新知识。
对于每一个变式，通过在师生、学生之间的相互讨论，促进课堂的民主、和谐，真正体现“教师为主导，学生为主体”的思想。
关键词：化学教学；变式训练；策略方法；思维能力一、变式训练的作用变式教学有利于发展学生的创新能力，培养学生的探索精神，发展学生的创新意识。
创新是素质教育的核心，培养学生的创新精神、创新意识、创新思维和创新能力是实施素质教育的关键。
在教学中，变式练习是传统练习和创新的中介，教师通过变式，可以培养学生的探索精神和创新精神。
教师通过改变问题的情景、改变问题的条件、结论，让学生探索，以激发学生的创新思维，培养他们的创新能力。
通过对一个问题多角度的求解，多方向的思维，已获得多种答案，培养学生的发散思维的能力，这种发散思维，就是创新的基础。
二、变式训练的策略和方法下面结合化学课堂教学的实践，谈谈在化学教学中如何进行变式训练培养学生的思维能力。
(一)平行型变式训练在刚学习根据化学方程式计算时，我们会有“在稀硫酸溶液 中加入6.5克锌充分反应后可以得到氢气多少克?”这样的例题，通过该例题的学习可以让学生学会根据化学方程式进行计算的一般解题格式和解题方法。
可以通过下列一些变式进行训练，以巩固这类题的解题格式和解题方法。
“将足量的锌加入到含有 4.9克硫酸的稀硫酸溶液中充分反应后可以得到氢气多少克?“将 2.8克的铁加入到足量的稀盐酸中充分反应后可以得到氢气多少克?”“将锌加入到足量稀硫酸的溶液中，充分反应后无固体剩余，产生了0.6克氢气，则加入的锌的质量为多少克?”等的变式。
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十’敷・ （ｏ年 ８ 初中 ） ？ ７ ２９ 第 期・ 版 ｏ
． 解题研究 ．
注 重 变 式 训 绣 提 升 思 雏 品质
２ ６ ０ 山东省 淄博 市 沂源县 西 里 中学 李德 忠 ５ １８
发散思 维是创新 思维 的核 心 ， 富于联 想 、 路 宽 它 思 阔， 寻求变异 ， 于分解 组合 和 引 申推广 ．在数 学 教 学 善 过程 中， 通过典型问题的解题训 练 ， 其是～ 题多解 、 尤 一 题多变 、 多题归一 等变式 训 练 ， 能使 学生巩 固和深化 所 学知识 ， 增强思 维 的灵活 性 、 变通性 、 择性 和 独创 性 ， 选 本文从 以下三个方面进行 阐述． １ 一题 多解 ， 培养求异思维能力 题多解 即一题 多法 ， 指对一 个问题 ， 多角 度、 从 多
求得 １９ Ｓ ＾ ＝ × ０ １＝ ０ ＝ ２ｅ △ ｃ ÷ １ ×２ ６． ￣ Ｂ ・
解析 ２ 在 图 １中， Ｃ 设 Ｅ与 Ａ Ｄ交 于 Ｆ， 易证 ｚＡ Ｆ ＸＥ
Ｇ 一６ 在 Ｒ ＡＢ Ｇ中 ， Ｇ ＋Ｃ ２＝Ｂ （ ４ ＋ Ｃ＝ ． ｔ Ｃ Ｂ２ Ｇ Ｃ， 一 ） （ ６ ＝１ 解得 ＝１ ， Ｓ 脚 可求． 一 ） ０， ２故 △ 解 析 ６ 构造 直角三 角形 ， 用角平 分 的性质 及射 利 影定 理． 如图 ５ 作 Ｅ Ａ ， Ａ￣ Ｃ交 Ｃ Ｂ的延 长线 于点 Ｅ 设 Ａ Ｄ
，
Hale Waihona Puke 又 因 ／Ｂ Ｅ＝ Ｃ Ｆ＝ ０ ， ＿ Ｄ Ｄ ９。 所 以 ／Ｅ Ｄ＝／Ｄ Ｆ＝ ５ ． ＿ Ｂ Ｃ ４。
Ｂ
Ｄ
Ｅ … Ｃ
…
…
…
—．
Ｂ
Ｄ
＼
ｃ
于是得 Ｅ ＝Ｂ Ｄ Ｄ＝４ Ｄ ， Ｆ＝Ｃ Ｄ
＝６．
图２
图５
点评 解析 １ 易想 ， 但计算 量大 ， 解析 ２ ３４主要利 、、 用相 似三 角形 ， 建立 比例方程 ， 辅助 线 的作 法各有 特 而 色． 解析 ５巧构 正方形 ， 利用 勾 股定理 建立 方程． 解析 ６ 独具 匠 心构造 直角 三角形 ， 此 法较 难 想到． 但 比较 可知
相似 三角 形． 图 ２ 作 ／３＝／２ 如 ， ＿ ＿ ，
／ １ 则 １＋／３＝ ５ ， ２＋ ＿ ４＝ ， ４。
／ ４ ＝４ ， ５。
／ ／
， ， ， ， ／ ， ，
，
， ／ ，
／
， ， ，
即 Ｂ Ｄ ＝ Ｃ Ｄ ＝４ 。 Ｅ Ｆ ５．
Ｅ Ｃ：
，
Ａ Ａ Ｂ、 Ｃ为对称轴作轴对称 变换 ， △Ａ 、 Ｆ ， 得 肋 ＡＡ Ｃ 延
长Ｅ Ｆ Ｂ、 Ｃ交 于点 Ｇ 易证 ．
Ｃ
Ｄ
、 Ｆ
－ ／ Ｅ． ｔ
、
， ， ， ， ， ，
，
四边 形 Ａ Ｇ 为正 方 形 ， ＥＦ
设 Ａ ＝ ， Ａ ＝Ａ ＝ Ｄ 则 Ｅ Ｆ
求 △Ａ Ｃ的面积． Ｂ
、
、
、
解析 １ 借 助 ＺＢ Ｃ＝ ５ ， ．Ａ ４ 。 构 造 等腰 直角 三角形 ， 用 面积 建立 利 方 程． 过点 Ｃ作 Ｃ Ｌ Ｂ交 Ａ Ｅ＿Ａ Ｂ于 点
Ｅ， ＡＡ Ｃ为等 腰 直角 三角 形． 得 Ｅ 设 Ａ ＝ ， ０Ａ ＝ √ ＋１ Ａ ＝ Ｄ 贝 Ｂ ６， Ｃ
一
赵 同娟
即 ： ６ ＝（ ４ ：／ ， （ － ） － ）ｓｆ 解得 ：１． Ｓ 。 ２故
可求．
解析 ４ 构 造 与 ＡＡ Ｃ Ｂ 相 似 的 △Ａ Ｅ 如 图 ３ 延 长 Ｂ． ，
Ａ
Ｂ 到 Ｅ， Ｄ ＝Ａ 则 Ｃ 使 Ｅ Ｄ， 厶４ ： ５ ． Ａ ， 肋 ４ 设 Ｄ＝ 易得 Ｏ
／Ａ Ｃ＇ ／ Ｅ Ａ， 以 Ａ Ｂ ＸＢ Ｉ ＸＢ 所 ＂ Ｂ： Ｃ
＝Ｂ Ａ 即 ，ｘ Ｅ： Ｂ。 ／ ＋１ １ Ｂ ６： ０＝
方位 ， 综合运用数学知识 ， 多种解 决 问题 的方法． 有 一题 多解主要训练学生思维的深 刻性 和选择性 ， 培养 学生求 异创新的发散思维． Ａ 例 １ 如 图 １ 在 △Ａ Ｃ中 ，Ｄ ， Ｂ Ａ
ＡＡ Ｃ的面积可求． Ｂ 解析 ３ 在 ＡＡ Ｃ内构 造两 个 Ｂ
Ａ
平分线 的性 质及射影定理 ， Ｅ ： Ｃ＝ Ｅ Ａ Ａ Ｅ ） 得 Ｂ Ｂ Ａ ： Ｃ，Ｄ ＝ １
．
Ｄ 即ｙ １ 、 Ｃ， ：０：
， ＝（ ４＋ｙ ）
・
６ 消去 Ｙ ， 得关 于 的方程 ， 得 ＝１ ， Ｓ Ａ 可求． 解 ２ 故 Ｂ ｇＣ ａ
＝ ，
Ｂ ）贝 Ｅ＝ （， ４ ＋ Ａ Ｅ＝， ０ ， Ａ ） ） Ｃ＝￣ ＋ ６ 由角 ＋ ／ ３． ：、 俩
Ａ
△Ｃ Ｂ， Ｅ 于是得 Ａ Ｆ＝Ｂ １ ． Ｃ＝ ０ 又因 △Ｃ Ｆ— ＺＡ Ｂ， 以 Ｄ Ｄ Ｄ ＸＤ 所 Ｆ： Ｂ＝Ｄ Ａ 即 Ｃ： Ｄ， Ｄ ： ６ （ ０＋Ｄ ） 解 得 Ｄ Ｆ ４＝ ： １ Ｆ ， Ｆ＝２ 所 以 Ａ ＝１． ， Ｄ ２ 故
Ｂ ＝ ， Ｃ ＝ ｌ． Ｅ ４ｆ．Ｆ ｓＹ Ｉ
设 Ａ ， Ｄ＝ 由ＡＡ Ｅ－ Ｂ ， ￣ＡＣ Ｆ， Ｂ ： Ｆ＝ Ｅ Ｃ ， Ａ 得 Ｅ Ａ Ａ ： Ｆ
ＥＧ ＝ ＧＦ ＝ ， 雎 ＝ ＢＤ ＝４， Ｃ ＝ ＣＦ ＝ ６． Ｄ ＢＧ ＝ 一 ４，
Ｃ
、 ，
图 １
、、 、
、
， ，
、，
Ｇ
ｃ 由 Ｓ， ：ｌ Ａ ． ｃ：１ Ｂ ． ｊ 脚 Ｂ Ｅ Ｃ
图４
Ａ 得 ｌｘ＝ Ｄ， Ｏ
．
． 这个 方 程 ， 解 最后
上 ＢＣ ， ＢＤ ：４， Ｄ ＝ ６，／ Ｃ ＝ ４ Ｃ ５。
／
… 一
、
Ｄ
Ｃ
（ ） ／ ＋ｌ ， ４＋ ：￣ ６ 解得 ＝
１． ２ 故 可求．
图 ３
Ａ
解析 ５ 利用 轴对 称 变换构 造正 方形． 图 ４ 如 ， 将 △Ａ Ｄ、 Ｃ 分 别 以 Ｂ △Ａ Ｄ