28组李奥典 王泉 林川金融投资

金融投资问题组号： 28组组员：李奥典（0902010523）组员：王泉（0914210113）组员：林川（0902010432）摘要本文针对题目中提出的：（1）估计损失金额超过10万的可能性；（2）95%置信度保证损失不超过多少的问题;（3）要使一周的损失不超过10万元的可能性不大于5%的初始投资最大值。

三个问题分别建立了数理统计概率模型和VaR（Value at Risk）风险分析模型进行建模分析。

并综合比较了两种模型的优缺点，同时对于问题中对于一个周期的预测推广到了任意周期的情况，使模型更具有一般性。

在模型一中，首先为了有效的检验总体的正态性，我们采用了目前较为有效的“偏度，峰值检验法”对于数据的正态性进行假设检验并验证了数据正态性的假设。

而后利用已知的数据样本拟合出样本满足的密度函数，通过对拟合的结果进行分析对所提问题做出了解答。

在模型二中采用了参数法对var进行计算求解。

得出了基于var模型的答案。

并对于var模型的正确性进行了验证。

通过对建立两种模型进行比较，发现两者的吻合程度很高，从而验证了方法和结果的正确性。

随后我们查阅资料，提出了基于ARCH方法来计算V AR模型的改进方案关键词：V AR风险分析模型模型、数理统计概率模型、金融投资、正态分布、预测一、问题重述某公司在金融投资中，需要考虑如下两个问题：1）准备用数额为1000万元的资金投资某种金融资产（如股票，外汇等）。

它必须根据历史数据估计在下一个周期（如1天）内的损失的数额超过10万元的可能性有多大，以及能以95%的置信度保证损失的数额不会超过多少。

2）如果要求在一个周期内的损失超过10万元的可能性不大于5%，那么初始投资额最多应为多少。

下面是该公司在过去一年255个交易日的日收益额（单位为万元）的统计数据, 假定每天结算一次，保持每天在市场上的投资额为1000万元：要求：（1）参考以上数据，建立两种模型来解决前述的两个问题，并对这两个模型加以比较；（2）讨论二周期情形（如今后两天内）上述两个问题的答案。

（3）陈述上述两个问题的一般形式（即初始投资额为M, 限定损失额为L, 置信度为1- , T 个周期）及其解决方案。

二、 模型假设（1) 每个周期的收益额互相独立，不存在关联性；（2) 假设影响收益额的因素在较大的时期内不存在变化；（3) 255 个交易日的收益额为随机取样，基本反映该公司上一年的整体收益情况； （4) 各个周期服从的概率分布均相等，不存在差异性； （5) 各种风险资产之间没有一定关联性。

（6）在置信区间不变的情况下，投资额和最终的收益成正比。

三、 模型建立3-1 模型一：数理统计概率模型3-1-1 模型检验对于题目中所给的数据我们首先通过easyfit 软件画出p-p plot 曲线和q-q plot 曲线（如图 1 p-p plot 图和图 2 q-q plot 图线所示）图 1 p-p plot 图P (M o d e l )图 2 q-q plot 图线由图可知给定数据大致呈线性变化，可以做初步假设该分布服从正态分布。

要进一步确定是否真正服从正态分布，要进行正态检验，在常用的正态分析的方法中，查阅资料【1】得知以“偏度、峰度检验法”与“夏皮罗——威克尔检验法”较为有效。

对于本题所给的样本大于100，对于小样本采用的“夏皮罗——威克尔检验法”将不适用，因此，我们将采用“偏度、峰度检验法”对数据进行检验。

假设H 0：假设样本服从正态分布。

当样本总量较大时（n >100时）则有：样本偏度： g 1~N(0，σ12)样本峰度： g 2~N （μ2，σ22)）σ12=6（n −2）（n +1）（n +3）⁄σ22=24n （n −2）（n −3）(n +1)2(n +3)(n +5)⁄μ2=3-6n+1当样本总量n=255时，求得：{σ12=0.02579=0.15162σ22=0.08876=0.29792μ2=2.9766设样本的k 阶原点矩A k =1n ∑x i kn i=1，则：k=1时：A 1=7.486 k=2时：A 2=152.76Q u a n t i l e (M o d e l )k=3时：A3=2466.66k=4时：A4=62024.49从而得样本的中心矩B k:k=2时：B2=96.72k=3时：B3=-124.99k=4时：B4=30105.51于是可得g1与g2值如下：⁄=-0.1314g1=B3B21.5⁄=3.2182g2=B4B22由于Zα4⁄=Z0.06=1.96，⁄|=0.866|μ1|=|g1α1⁄|=0.8110<1.96|μ2|=|g2−μ2|α2观察值（数据）不落在拒绝域上，故接受假设H0，即认为数据来自正态分布总体。

3-1-2 模型运用由上文的正态检验可知，可以采用正态分布的模型来对给定的数据进行拟合，我们画出了频率分布直方图，并通过正态分布密度函数对频率分布直方图进行了拟合，如下图 3 拟合出的概率密度分布函数图；图4拟合出的概率分布函数。

Array图3 拟合出的概率密度分布函数图图 4拟合出的概率分布函数图中红线所示为正态分布拟合出的结果， 拟合出的概率密度函数为：f (x )=9.8327×√2π×e−1(X−7.4803)2 (1)拟合出的概率分布函数为：F (X )=∫e−t 22d(t)X−7.48039.8327 (2)对于预测收益的可能性及以一定置信度为基础进行的损失分析，由于已知了该收益的近似服从正态分布，可采用对该分布进行分析求解概率的方法来得到题中所问的几个问题。

首先，对于问题（1）损失10 万元的可能性，即分布自变量的区间已知，直接利用分布函数即可。

然后，对于问题（2）以95%置信区间的把握去推测损失的金额，可采用将分布函数转化为标准正态分布进行计算或查表得到相应的损失值。

最后，对于问题（3）在要求损失不大于10 万元下如何把握投资总额，我们基于从第（2）问得知的最大损失额与总投资额之间的关系，由上文假设（6）推知投资的总金额。

3-1-2-1 一个周期的情况对于问题（一）：在估计下一个周期损失大于10万元的概率p 可以采用如下表示：P{x<=-10}=1−F(-10)=1−∫e−t 22d(t)−10−7.48030=3.77%对于问题（二）：我们假设以 95%的置信度保证损失的数额不会超X 0 万元，则P{x<=x 0}=1−F(-10)=1−∫e−t 2d(t)x 0−7.48039.8327=5%带入分布函数中求得x0=-8.693 （万元） 对于问题（三）：基于模型假设中的假设（6），在相同条件下初始投资额和收益呈正比例关系。

由第二问可知当初始投资为1000万元时，损失值达到95% 的置信区间时的最大损失额为8.693 万元，则损失10万元时按照正比例关系求得初始投资金额应该为 1150.35万元。

3-1-2-2 两个周期的情况同一个周期的情况类似，将两个周期的情况转换成一个周期的，设第一个周期里的收益为x 1第二个周期为x 2,则由之前假设检验的结果可知x 1、x 2均服从正态分布。

查阅相关资料【1】我们得到如下定理：一般，设X,Y 相互独立且X~N (μ1,σ12)，Y~N(μ2,σ22)，我们有Z=X+Y 仍然服从正态分布，且有Z~N(μ1+μ2, σ12+σ22)。

进而有若XI~N(μi ，σi2)，i=1,2，…，n ，且X 1 ，X 2 ，…，X n 相互独立，则有：∑a i X i ni=1~ N(∑a i ni=1μi ,∑a i 2ni=1σi 2) ………………式 1其中a 1，a 2，…，a n 为n 个不全为0的实数。

由这个定理出发，我们可知Z=X+Y~N(μ1+μ2, σ12+σ22) 即Z 满足的的概率密度函数为：f (x )=13.9112×√2π×e −12(X−14.960613.9112)2满足的概率分布函数为：F (X )=∫e−t 22d(t)X−14.960613.9112与一个周期方法相同 对于问题（一）：下两个周期损失大于10% 的概率p 为：P{Z<=-10}=1−F(-10)=1−∫e−t 2d(t)−10−14.9606=3.63%对于问题（二）：P{Z<=Z 0}=1−F(-10)=1−∫e−t 2d(t)X−14.96060=5%带入分布函数求得z0=-7.912 （万元） 对于问题（三）：按照假设同理可求得初始投资金额应该为 1263.90万元。

3-1-2-3 T 个周期的情况按照………………式 1 可知当为T 个周期的时候满足：Z =∑x i Ni=1~N(7.4803T ，(9.8327√T)2)同理可以求得在T 个周期下的相关情况。

3-2 模型二：VaR 模型3-2-1 模型计算VaR 是现代金融市场风险度量的主要方法之一，【3】V AR 值定义为在一定置信水平和一定持有期内（周期），某一金融工具或其组合在未来资产价格波动下所面临的最大损失额。

假定给定的置信水平为1- ，资产在持有期内的损失为 p ，则V AR 的定义表示为prob ( p>V AR) =var=E(w)-w*= w 0( -R*) ①其中：w 0为初始投资额，w*为最小投资价值，R 为投资收益率， 为预期收益率，R*为最低收益率。

VaR 值计算方法通常分为三种 [2]:1.参数法:参数分析法是最常用的VaR 计算方法,旨在利用证券组合的价值函数与市场因子的近似关系,市场因子统计分布(方差-协方差矩阵)简化VaR 计算。

2.历史模拟法:采用历史模拟的方法(以给定历史时期上所观测到的市场因子的变化来表示市场因子的未来变化)作为市场因子模型,采用全值估计方法(根据市场因子的未来价格水平对头寸进行重新估值计算价值变化)作为估计模型,将组合的损益从小到大排序得到损益分布,通过给定置信度下的分位数求出VaR 。

3.蒙特卡罗模拟法:蒙特卡罗模拟VaR 方法亦称随机模拟方法,是最有前途的VaR 计算方法。

其思想是建立一个概率模型或随机过程,使它的参数等于问题的解,然后通过对模型或过程的观察计算所求参数的统计特征,最后给出所求问题的近似值,解的精度可用估计值的标准误差表示。

在模型一中已经论证收益额大致服从正态分布，所以我们拟采用参数法进行计算。

【2】已知R ~(u∆t,σ2)，则∗σ√∆t~N （0，1），其概率密度函数为p(x) =√2πe−x 22积分求得 =∫p (x )dx −R∗−∞由VaR 的定义知，如果R 服从正态分布，要想求出在置信度C 下的R ，只需在标准正态分布中找到一个临界值整数a ，使得：-a=∗σ√∆taσ√∆t =μ∆t −R ∗ ②联立①、②知VaR = w 0aσ√∆t又 VaR=w 0σZ α [2]带入解的 a=α√∆t其中，p(x)为投资组合的概率密度函数；Z α为正态分布下概率为α的分位数；∆t 为资产的持有期。