为不动点迭代法
picard迭代法原理
picard迭代法原理
Picard迭代法，也称为不动点迭代法，是一种用于求解非线性方程的迭代方法。
其基本思想是将非线性方程转化为一个不动点问题，然后通过迭代逼近不动点来求解方程。
具体来说，设非线性方程为f(x)=0，将其转化为x=g(x)，其中g(x)是一个与f(x)等价的函数。
然后，选取一个初始值x0，通过迭代计算x1=g(x0)，x2=g(x1)，...，xn=g(xn-1)，直到满足一定的收敛条件为止。
最终得到的xn就是方程的解。
Picard迭代法的收敛性与函数g(x)的Lipschitz常数有关。
如果g(x)在某个区间内满足Lipschitz条件，则Picard迭代法是收敛的。
但是，如果Lipschitz常数过大，迭代收敛速度会变慢。
需要注意的是，Picard迭代法并不是一种通用的求解非线性方程的方法，只适用于一些特定的问题。
同时，由于其收敛速度较慢，通常需要结合其他方法来提高求解效率。
非线性方程求跟—不动点迭代法(新)
非线性方程求根——不动点迭代法一、迭代法的基本思想迭代法是一种逐次逼近的方法，用某个固定公式反复校正根的近似值，使之逐步精确化，最后得到满足精度要求的结果。
例：求方程x 3-x -1=0 在x =1.5 附近的一个根。
解：将所给方程改写成31x x =+假设初值x 0=1.5是其根，代入得33101 1.51 1.35721x x =+=+=x 1≠x 0，再将x 1代入得33211 1.357211 1.33086x x =+=+=x 2≠x 1，再将x 2代入得33321 1.330861 1.32588x x =+=+=如此继续下去，结果如下：k x kk x k 01234 1.51.357211.330861.325881.324945678 1.324761.324731.324721.32472仅取六位数字，x 7与x 8相同，即认为x 8是方程的根。
x *≈x 8=1.32472这种逐步校正的过程称为迭代过程。
这里用的公式称为迭代公式，即311k k x x +=+k =0,1,2,……若x *满足f (x*)=0，称x *为ϕ(x )的一个不动点。
将连续函数方程f (x )＝0改写为等价形式：x=ϕ(x )，其中ϕ(x )也是连续函数。
1()k k x x ϕ+=(k =0,1,……)不动点迭代法就是指以迭代格式二、不动点迭代法进行迭代求解的方法。
其中ϕ(x )称为迭代函数。
三、不动点迭代法的实现——MATLAB程序function[root,n]=stablepoint_solver(phai,x0,tol) if(nargin==2)tol=1.0e-5;enderr=1;root=x0;n=0;while(err>tol)n=n+1; %迭代次数r1=root;root=feval(phai,r1); %计算函数值err=abs(root-r1);end程序应用示例：function testmain% x^3-x-1=0% =>x^3=1+x% =>x=(1+x)^(1/3)ph=inline(‘(1+x)^(1/3)’,’x’);[root,n]=stablepoint_solver(ph,1)运行结果：root=1.3247n=8若对任意x 0∈[a , b ]，由不动点迭代格式lim *k k x x →∞=则称迭代过程收敛，且x *=ϕ(x *)即f (x*)=0，x *为不动点。
不动点迭代法及其收敛定理
收敛速度取决于迭代函数在不动点附近的性质，如导数的大 小和符号等。
不动点迭代法的收敛定理
存在唯一不动点的定理
如果迭代函数在某个区间上单 调，那么该区间上存在唯一的
不动点。
收敛定理
对于任意初值$x_0$，迭代序 列$x_{n+1}=f(x_n)$会收敛到
不动点，当且仅当存在常数 $k$使得$|f'(x)| leq k < 1$在 包含不动点的某个区间上成立。
算法的改进和优化
改进现有不动点迭代法
研究现有方法的不足之处，并提出改进方案 ，以提高收敛速度和稳定性。
开发新的不动点迭代法
基于新的数学原理和方法，开发新的不动点迭代法 ，以解决现有方法无法解决的问题。
实现不动点迭代法的并行 化和分布式化
研究如何利用并行计算和分布式计算技术， 提高不动点迭代法的计算效率和可扩展性。
这种方法是将求解区域划分为粗细不 同的网格，并在每个网格上应用不动 点迭代法，以加速收敛。
改进迭代格式
修正不动点迭代法
通过引入修正项，改进不动点迭 代法的格式，以提高收敛速度和 稳定性。
广义极小残量法
这种方法是在不动点迭代法的基 础上，引入残量概念，并构造出 新的迭代格式，以提高求解非线 性方程组的精度和稳定性。
松弛法
粗细网格结合法
通过选择适当的迭代矩阵，可以加速 不动点迭代法的收敛速度。常用的加 速迭代法包括预条件迭代法和共轭梯 度法等。
松弛法是一种通过引入松弛因子来调整迭代矩 阵的方法，以加快收敛速度。常用的松弛法包 括SOR（Successive Over-Relaxation）方法 和SSOR（Symmetric Successive OverRelaxation）方法等。Part05不动点迭代法的未来研究方向
函数迭代与不动点迭代法
函数迭代与不动点迭代法函数迭代和不动点迭代法是数值分析中常用的数值迭代方法，用于求解方程或优化问题。
它们在不同的应用领域都有广泛的应用，并且具有简单易懂、易于实现等优点。
本文将介绍函数迭代的基本原理和步骤，并详细介绍不动点迭代法的定义、性质以及求解过程。
函数迭代函数迭代是一种基本的数值迭代方法，用于求解非线性方程或优化问题。
它的基本思想是通过多次迭代，使得每次迭代得到的结果趋近于方程的根或优化问题的极值点。
函数迭代的基本步骤如下：1.选择一个初始值x0作为迭代的起点。
2.根据迭代公式x n+1=f(x n)，计算出下一个迭代点x n+1。
3.判断是否达到迭代的停止条件。
如果满足停止条件，则输出近似解x n+1；否则，返回第2步。
函数迭代的收敛性与迭代函数f(x)的选择密切相关。
如果函数迭代收敛，即x n收敛于方程的根或优化问题的极值点，那么我们可以通过多次迭代得到近似解。
反之，如果函数迭代发散或者收敛速度非常慢，那么我们需要考虑其他的数值方法。
不动点迭代法不动点迭代法是函数迭代的一种特殊形式，它通过将方程转化为f(x)=x的形式，求解方程的根或优化问题的极值点。
不动点迭代法的基本思想是选择一个适当的迭代函数g(x)，通过迭代公式x n+1=g(x n)，不断迭代，直到找到满足f(x)=x的不动点。
不动点迭代法的步骤如下：1.将方程f(x)=x转化为g(x)=x的形式，即f(x)=x等价于g(x)−x=0。
2.选择一个初始值x0作为迭代的起点。
3.根据迭代公式x n+1=g(x n)，计算出下一个迭代点x n+1。
4.判断是否达到迭代的停止条件。
如果满足停止条件，则输出近似解x n+1；否则，返回第3步。
不动点迭代法的关键是选择合适的迭代函数g(x)。
迭代函数g(x)应该满足以下条件：1.在方程f(x)=x的根或优化问题的极值点附近，迭代函数g(x)的导数g′(x)存在且连续。
2.在方程f(x)=x的根或优化问题的极值点附近，满足|g′(x)|<1。
浅谈用不动点迭代法求解非线性方程解的教学方法
浅谈用不动点迭代法求解非线性方程解的教学方法
不动点迭代法是求解非线性方程的一种有效的解法，它的核心思想是：通过迭代，使得方程的某个特定解变得更加接近，最终达到收敛的程度，从而得到最终的解。
一、教学目标
1、让学生了解不动点迭代法的基本原理；
2、让学生能够熟练使用不动点迭代法求解非线性方程；
3、让学生能够分析不动点迭代法的收敛性，并能够给出合理的迭代步骤。
二、教学步骤
1、讲解不动点迭代法的基本原理：
首先，教师应给学生讲解不动点迭代法的基本原理，包括它的定义、其基本思想、应用场景等。
2、提供实例：
然后，教师可以提供一些简单的实例，让学生熟悉不动点迭代法的使用，并能够熟练求解。
3、分析收敛性：
最后，教师可以让学生分析不动点迭代法的收敛性，并给出合理的迭代步骤，以便更好地求解非线性方程。
三、教学评价
教学评价主要是通过实例检验学生对不动点迭代法的掌握情况，以及分析收敛性的能力，以便更好地指导学生掌握不动点迭代法。
不动点迭代
不动点迭代
不动点迭代可以求解方程f(x)=0在区间[a,b]内的根。
1、不动点（FixedPoint）
首先来看一下什么是不动点【1】：
换句话说，函数φ的不动点是y=φ(x)与y=x的交点，下图画出了函数y=cos(x)与y=x 在区间[0,π/2]的交点，即cos(x)的不动点【2】：
2、不动点迭代（Fixed Point Iteration）
不动点迭代又称为简单迭代（simple iteration）。
下面来看一下不动点迭代【3】：
也就是说，为了求解方程f(x)=0，首先将方程转换为x=g(x)，然后初始化x0，循环迭代xi+1=g(xi)，直到满足收敛收件。
这里将方程f(x)=0转换为x=g(x)是很容易的，比如对于f(x)=x-cos(x)，求解f(x)=0即为求解x-cos(x)=0，即x=cos(x)，因此g(x)=cos(x)；再例如对于方程【4】
可以等价为
还可以等价为
也就是说，将方程f(x)=0转换为x=g(x)有不同的方式，因此对方程f(x)=0来说，g(x)也不是唯一的。
3、不动点迭代的收敛性
这个迭代过程是很简单的，但这里有个关键性的问题：迭代收敛么？即经过N次迭代后是否会收敛于不动点？
3.1 例子
先看两个例子，这里有两个方程【5】：
可以通过其它方法得到方程E1和E2的根：
画出E1和E2曲线：。
§2 不动点迭代
(2.7)
则称该迭代法为Q-超线性收敛．
现在来讨论迭代法(2.5)的收敛性和收敛速度问题． 若存在 x* R n ,使得
x* ( x* ),
n n 则称 x* 为映射 : R R 的一个不动点.例如, : R R 定义为 ( x) x 2 ,
f ( x) 0,
其中
(2.2)
x1 f1 ( x1 , , xn ) 0, f1 ( x) 0, x f ( x , , x ) 0, f ( x) 0, 2 n 2 . x , f ( x) 2 1 x f ( x , , x ) 0 f ( x ) 0 n n n 1 n
0,
从而有
f ( x0 x) f ( x0 ) f ' ( x0 )(x).
* * 设 x 是非线性方程组 f ( x) 0 的一个解,x0 是 x* 的一个近似.令x x x0 ,
则
f ( x0 ) f ' ( x0 )(x* x0 ) 0.
现考虑线性方程组
由于 0 C 1 ,因此 再据不等式
lim xk x* .
k
xk 1 x * C xk x * ,0 C 1,
知,迭代序列 {xk }至少为线性收敛.
关于不动点的存在唯一性以及误差估计,我们有下面的定理． 定理2( 压缩映射原理 ) 射,即它满足条件： 设D为 R n 中的一个闭集 : D D 为压缩映
还有另一个不动点 y* ,则据(2.13)式,必有
x* y * ( x* ) ( y * ) C x* y * .
几种迭代计算方法
几种迭代计算方法迭代计算方法是一种重要的计算技术，它是基于不断逼近的原理，通过多次迭代运算来逼近所要求解的问题的计算结果。
下面将介绍几种常见的迭代计算方法。
1.不动点迭代不动点迭代是指通过选择一个合适的迭代函数来不断逼近一个不动点的过程。
不动点指的是在迭代函数中，当迭代到其中一步时，迭代函数的值等于该迭代的值，即f(x)=x。
常见的不动点迭代有牛顿迭代法和迭代法求解方程。
牛顿迭代法通过选择一个初始值x0，利用迭代函数f(x)=x-f(x)/f'(x)来逼近方程f(x)=0的根。
每次迭代中，通过计算迭代函数的值来更新x的值，直至满足一定的精度要求。
迭代法求解方程是通过将方程f(x) = 0转化为x = g(x)的形式，并选择一个合适的g(x)来进行不断迭代求解的方法。
通过选择不同的g(x)，可以得到不同的迭代方法，如简单迭代法、Jacobi迭代法、Gauss-Seidel迭代法等。
2.逐次平方根法逐次平方根法是一种通过不断迭代计算来求解线性方程组的方法。
该方法通过对原始的线性方程组进行变换，将其转化为对角线元素全为1的上三角矩阵，并将方程组的解表示为逐次迭代的形式。
在每次迭代中，通过求解一个线性方程组来更新解的值，直至满足一定的精度要求。
逐次平方根法是一种迭代计算方法，其主要适用于对称正定矩阵，能够有效地求解大规模线性方程组。
3.迭代加权法迭代加权法是一种通过引入权重来加快迭代收敛速度的方法。
该方法在每次迭代更新解的时候，通过对解的不同分量引入不同的权重来控制更新的幅度。
通过合理选择权重，可以加快迭代收敛速度，提高求解效率。
迭代加权法是一种通用的迭代计算方法，在多个领域中有不同的应用，如求解矩阵特征值问题、求解最优化问题等。
以上介绍的是常见的几种迭代计算方法，它们在不同的问题中有着广泛的应用。
这些方法通过迭代运算不断逼近所要求解的问题的计算结果，具有较好的收敛性和计算效率，是一种重要的计算技术。
6.2不动点迭代法及其收敛定理.docx
第6章方程与方程组的迭代解法§6.2不动点迭代法及其收敛定理将非线性方程/（X）= 0化为一个同解方程X = 0（兀） (2)并且假设旗兀）为连续函数任取一个初值兀。
，代入（2）的右端,得= 0（兀0 ）继续兀2=0（兀1）X* = <p（x k）（k =0,12…•>⑶称0(兀)为迭代函数,称叫为第&步迭代值 如果存在一点兀*,使得迭代序列｛乜｝满足(4)例1 •用迭代法求解方程2x 3-x-l = O 解:(1)将原方程化为等价方程limx^ =兀 *ksx = 2x3— 1如果取初值兀。
=0,由迭代法(3),得(2)如果将原方程化为等价方程V 妙仍取初值兀0=。
書 «0.79371'7^37依此类推，得 x2 = 0.9644x3 = 0.9940x4 = 0.9990 x5 = 0.9998 x6= 1.0000 x7 = 1.0000迭代函数的构造有关 已经收敛，故原方程的解为x —1.0000什么形式的迭代法 能够收敛呢？迭代过程的收敛性定理1设迭代函数卩⑴在SQ上连续，且满足(1)当兀〃耐,a ＜卩(兀)V";(2)存在一正数L,满足Ovtvl,且有I 03 E L------- (5)则1。
・方程r=0(x)在也上呐有唯一解兀*2。
.对于任意初值To e[a,b],迭代法％1 =卩(比)均收敛于**3°. x k—x^ <X, — X *L1-L< ---------一(局部收敛性)--(6)77)设f (x) = x - ^>(x),则/(兀)在⑷勿上连续可导由条件(1) /(a) = a- 0(Q)< 0/(Z?) = b —(p(b) > 0由根的存在定理，方程/(兀)=0在［°力］上至少有一个根证：由| 0‘(x) \< L<1f\x)^l-cp\x) >0贝在［%］上单调递增，/(%) = 0在［%］上仅有一个根所以1°.方程% =(p{x)在［%］内有唯一解X*2°.对于迭代法x k+1 =（p（x k\由微分中值定理| x k+1— X*— 0（耳）—0（h） =（p\^）（x k—x*）兀上+1 —X尸0（耳）—0（忑一1） =0（己）（耳—耳一1）由于|0（兀）\<L耳+1—血I — 4耳—耳一1V丨妙X k+l ~ X k 3 LXk—耳-1-x*< Lx k—x^-LXk+i _ 兀 * 一(忑+1 —<L|x,+1-x*| + L|(x,+1忑+1—兀法X k+1 ~ X k3匸步1-对由于乙 < 1, lim （忑- %*） = 0ks因此对任意初值兀0/迭代法忑+1 = 0（耳）均收敛于兀*Z?< X, — x n 1-L 1°证毕.< ------ 1-LL 21-LXk - X k-1X k-1 ~ Xk-2Xk —X 決L< ------1-LXk - ^-1定理1指出,只要构造的迭代函数满足I 0(%) 乙v 1 迭代法忑+产0(忑)就收敛对于预先给定的误差卩匪即要求I忑-，只要L1-L因此，当丨忑—耳- 迭代就可以终止,忑可以作为方程的近似解x k ~ X k-1,' —L〜< ----------- S〜定义1：如果存在/的某个邻域R.x-x <,5使迭代过程x k+l =（P（"）对于任意初值X。
不动点迭代法例题matlab
不动点迭代法例题matlab1. 什么是不动点迭代法？不动点迭代法是一种数值计算方法，用于求解方程f(x) = x的根。
它的基本思想是，将方程f(x) = x变形为x = g(x)，然后通过不断迭代g(x)来逼近根。
具体地，从一个初始值x0开始，每次迭代都将g(x)作为x的新值，即x_{n+1} = g(x_n)，直到达到收敛条件为止。
2. 不动点迭代法的应用不动点迭代法在实际应用中非常广泛，例如用于求解非线性方程、最优化问题、微分方程等。
其中，求解非线性方程是其最常见的应用场景之一。
在实际工程中，常常需要求解某些复杂方程的根，例如多项式方程、超越方程等。
这时，不动点迭代法就可以派上用场。
3. 不动点迭代法的Matlab实现在Matlab中，可以通过编写函数的方式实现不动点迭代法。
以下是一个简单的例子，用于求解方程x^2-x-1=0的根：```matlabfunction [x, iter] = fixedpoint(g, x0, tol, maxiter)% g: 不动点迭代函数% x0: 初始值% tol: 收敛精度% maxiter: 最大迭代次数% x: 迭代结果% iter: 实际迭代次数x = x0;iter = 0;while iter < maxiterxnew = g(x);if abs(xnew - x) < tolbreak;endx = xnew;iter = iter + 1;end```然后，我们可以定义g函数，例如：最后，调用fixedpoint函数即可：4. 总结本文介绍了不动点迭代法的基本思想、应用场景以及Matlab实现方法。
不动点迭代法是一种简单而有效的数值计算方法，可以用于求解非线性方程等问题。
Matlab作为一种强大的数值计算工具，提供了丰富的函数和工具箱，方便我们实现不动点迭代法及其他数值计算方法。
6.2 不动点迭代法及其收敛定理
L xk x * xk xk 1 1 L 2 L xk 1 xk 2 1 L
Lk x1 x0 1 L 由于L 1, lim( xk x*) 0
k
因此对任意初值x0 , 迭代法xk 1 ( xk )均收敛于x *
L xk xk 1 1 L 1 L xk xk 1 --------(8) L
因此,当
迭代就可以终止, xk 可以作为方程的近似解
定义1：如果存在 x * 的某个邻域 R : x x * ，使迭代过程
xk 1 ( xk ) 对于任意初值 x0 R均收敛，则称迭代过程 xk 1 ( xk ) 在根 x * 邻近具有局部收敛性。
显然, p越大,收敛速度也就越快
那么, 如何确定p , 从而确定收敛阶呢？
如果迭代函数 ( x )在精确解x * 处充分光滑, 即处处可导
将 ( x)在x * 作Taylor展开, 有
( x) ( x*) ( x*)( x x*)
( p 1 )
( x*)
3 2
(2) 如果将原方程化为等价方程
x3
x1 2
仍取初值
x0 0
x1 3
x2
3
x1 1 3 1.7937 0.9644 2 2
x0 1 3 1 2 2
0.7937
同样的方程 不同的迭代格式 有不同的结果
依此类推,得 x2 = 0.9644 x3 = 0.9940 x4 = 0.9990 x5 = 0.9998 x6 = 1.0000 x7 = 1.0000 已经收敛,故原方程的解为
--------(3) xk 1 ( xk ) (k 0,1,2 ,)
不动点迭代格式
不动点迭代格式
不动点迭代格式是将不动点迭代法公式进行变形得到的形式。
具体来说，不动点迭代法是为了求方程组的根，其等价形式为 x=g(x)，迭代形式为
xk+1=g(xk)。
将不动点迭代法应用到求解∇f(x)=0，就是在求极值点。
例如，对于求解∇f(x)=0，将其改造成 x=g(x) 的形式，得到
∇f(x)=0⇒x=x−α(x)∇f(x)，其中α(x):Rd→R。
这个公式可以对应梯度下降法。
此外，不动点迭代格式还可以通过不同的变形适用于不同的问题。
例如，在凸优化问题中采用不同的迭代格式可以得到不同的算法，如共轭梯度法等。
以上内容仅供参考，如需更多信息，建议查阅不动点迭代法的相关书籍或论文。
不动点迭代法matlab程序
不动点迭代法matlab程序
不动点迭代法是一种用于解决函数f(x)=0的方法,在数学上它可以被形象地描述如下：假设已有一个近似解x0，则我们只需将x0代入f(x)=0，然后再求出f(x0)的值，再计算更新的x的值，即
x1=x0-f(x)/f(x0)，然后将x1代入f(x)=0，重复上面的步骤，直到结果达到足够的精确度为止。
在matlab中，不动点迭代法实现起来相对简单，只需设置一些基本参数，就可以实现快速准确的求解，具体步骤如下：
1、求解待解函数及其一阶导数；
2、设置精度阈值和最大迭代次数；
3、令x0为初始猜测，计算上述函数及其一阶导数；
4、更新x，即x1=x0-f(x)/f(x0)；
5、重复步骤3和4，直到精度达到要求或最大迭代次数到达；
可以看出，不动点迭代法是数值计算中使用非常普遍的方法。
它不仅具有计算速度快，而且收敛性强，可以很快找到函数f(x)=0的解。
此外，熟悉和掌握不动点迭代法对于熟练掌握matlab程序编写也是很有帮助的。
其原理的掌握能够极大地提高求解精度，而熟练的掌握能够使编写的代码更加简洁，运行效率更高。
总之，不动点迭代法是一种非常有用的方法，它的使用和掌握也是matlab程序设计的一项重要技能。
但是，需要指出的是，在掌握不动点迭代法时，有必要做到理论结合实践，从而更好地学习和使用
该方法。
matlab不动点迭代法
matlab不动点迭代法Matlab是一种广泛应用于数学和科学工程领域的高级编程语言和交互式环境。
其中一个常用的数值方法是迭代法，这种方法可以求解方程的根、求解最优化问题，以及求解微分和积分方程等一系列问题。
本文将以Matlab的不动点迭代法为例，分步骤阐述其基本原理和实现方法。
第一步：简介不动点迭代法不动点迭代法是一种求函数零点的数值方法，其基本思想是将原方程变形成一个不动点方程，即将原方程中的未知量转化为自变量，使得在新的方程中，原未知量的解恰好等于函数的不动点。
若能找到一个连续可导的函数g(x)，使得原方程x=f(x)在某个区间[a,b]内有唯一不动点，那么我们就可以通过不动点迭代法求得其精确或近似解。
具体的，迭代过程可以表示为：x_{n+1}=g(x_n), n=0,1,2,...其中x_0是迭代的初值，x_n是第n次迭代得到的近似解，g(x)是所定义的迭代函数。
当x_n趋近于x时，迭代恒定收敛，即有：\lim_{n \rightarrow \infty} x_n = x第二步：Matlab的实现方法在Matlab中，我们可以通过定义一个函数文件包含上述的迭代公式并编写一个主程序来实现不动点迭代法。
以下是具体的实现步骤：（1）定义一个包含迭代函数g(x)的函数文件，命名为g.m，这个文件应该放在Matlab的当前工作路径下。
以下是一个示例的g.m的代码：function y = g(x)y = (1/3) * (x^3+3);end（2）编写主程序，命名为main.m，用来调用g.m并计算迭代的近似解。
以下是示例的main.m的代码：% 定义初值x0 = -5;% 设置最大迭代次数和误差容限tol = 1e-5;kmax = 100;% 迭代循环x = x0;for k = 1:kmaxxnew = g(x);if abs(xnew-x) < tolfprintf('Solution converged after %d iterations\n', k);break;endx = xnew;end% 打印输出近似解fprintf('The converged solution is x=%f\n', x);在实际使用中，我们可以将上述代码保存为一个名为main.m的文件并在Matlab中运行，即可得到近似解。
不动点迭代法收敛速度判断准则
一、概述不动点迭代法是数值分析中常用的一种数值求解方法，广泛应用于求解方程及优化问题。
而判断不动点迭代法的收敛速度，对于有效地应用该方法具有重要意义。
本文将针对不动点迭代法的收敛速度判断准则展开讨论，以期为相关领域的研究和应用提供一定的参考。
二、不动点迭代法概述不动点迭代法（Fixed-Point Iteration Method）是一种通过不断迭代逼近解的常见求解方法。
其基本思想是利用迭代公式不断更新初始值，直至满足一定的条件为止。
其迭代公式通常具有如下形式：xn+1 = g(xn)其中，xn为第n次迭代的近似解，xn+1为第n+1次迭代的近似解，g(x)为迭代函数。
不动点迭代法的核心在于选择合适的迭代函数g(x)，并通过迭代逼近不动点，即满足x = g(x)的点，从而得到近似解。
三、不动点迭代法的收敛速度不动点迭代法的收敛速度是指在迭代过程中，解逼近真实解的速度。
通常情况下，我们希望迭代能够快速收敛，即在迭代次数较少的情况下就能得到满足精度要求的近似解。
判断不动点迭代法的收敛速度是一个至关重要的问题。
四、判断不动点迭代法收敛速度的准则判断不动点迭代法收敛速度的准则有多种，下面将介绍几种常用且较为实用的方法：1. 利普希茨常数条件利普希茨常数条件是判断不动点迭代法收敛速度的重要准则之一。
对于迭代函数g(x)，如果存在一个常数L，满足对于任意x1和x2有： |g(x1) - g(x2)| <= L|x1 - x2|则称L为迭代函数g(x)的利普希茨常数。
此时，如果L < 1，则不动点迭代法收敛速度较快，反之则收敛速度较慢。
2. 收敛域分析收敛域分析是判断不动点迭代法收敛速度的另一种常用准则。
通过对迭代函数的性质进行分析，可以确定不动点迭代法的收敛速度。
对于某些特定的函数形式，可以利用收敛域的性质来判断不动点迭代法的收敛速度。
3. 收敛速度估计收敛速度估计是通过对迭代过程中的误差进行分析，从而估计不动点迭代法的收敛速度。
为不动点迭代法
取 [a, b]的中点 x0 1.25 ，将区间二等分，由于 f ( x0 ) 0， 即 f ( x0 ) 与 f (a) 同号，故所求的根 x * 必在 x0 右侧，这时 应令 a1 x0 1.25, b1 b 1.5 ，而得到新的有根区间 [a1 , b1 ].
如此反复二分下去, 按误差估计（1.3）式, 欲使
第7 章
7.1
7.1.1 引言
非线性方程求根
方程求根与二分法
本章主要讨论单变量非线性方程
f ( x) 0
（1.1）
的求根问题，这里 x R , f ( x) C[a, b]. 一类特殊的问题是多项式方程
f ( x) a0 x n a1 x n 1 an 1 x an (a0 0), （1.2）
图7-1
5
不管出现哪一种情况，新的有根区间 [a1 , b1 ]的长度仅 为 [a, b]的一半. 对压缩了的有根区间 [a1 , b1 ]又可施行同样的手续，即 用中点 x1 (a1 b1 ) / 2 将区间 [a1 , b1 ]再分为两半，然后通 过根的搜索判定所求的根在 x1 的哪一侧，从而又确定一 个新的有根区间 [a2 , b2 ] ，其长度是 [a1 , b1 ]的一半. 如此反复二分下去，即可得出一系列有根区间
f ( x*) f ( x*) f ( m1) ( x*) 0, f ( m) ( x*) 0.
当 f ( x)为代数多项式（1.2）时，根据代数基本定理 可知， n 次方程在复数域有且只有 n个根（含复根， m重 根为 m个根）. n 1,2 时方程的根是大家熟悉的， n 3,4
（1.3）
只要二分足够多次（即 k 充分大），便有
5.2-5.5 不动点迭代法及其收敛定理
O
x3
x1
x * x0 x2
( x ) 在 x * 附近较陡峭
迭代过程的收敛性
定理1. 设 迭 代 函 数 ( x ) 在 [ a , b ]上 连 续 , 且 满 足
(1 ) 当 x [ a , b ]时 , a ( x ) b ;
( 2 ) 存 在 一 正 数 L , 满 足 0 L 1, 且 x [ a , b ], 有
( p)
而
p!
x k 1 ( x k ) ( x *)
xk 1 x *
( p)
( p)
( x *)
p!
p
( x k x *)
p
( x *)
p!
( x k x *)
( p1)
( x *)
( p 1 )!
( x k x *)
p1
f ( xn ) f ( x n )
(1)
从(1)解出x, 记为xn+1 ,则
x n 1 x n (n 0 ,1 , ...) (2 )
它对应的迭代方程为 x
x
f (x) f ( x )
显然是
f(x)=0的同解方程，故其迭代函数为
(x) x f (x) f ( x )
x1 x0
xk x *
L 1 L
xk xk 1
L
k
1 L
x1 x0
证毕.
定理1指出, 只要构造的迭代函数满足
| ( x ) | L 1
迭代法 x k 1 ( x k ) 就收敛
对于预先给定的误差限