逐次超松弛迭代_SOR迭代_matlab程序

合集下载

sor迭代法matlab

sor迭代法matlabSOR迭代法是一种求解线性方程组的方法，它是Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法的改进。

SOR迭代法通过引入松弛因子来加速收敛速度，从而提高求解效率。

在Matlab中，可以使用sor函数来实现SOR迭代法。

该函数的语法格式如下：x = sor(A, b, omega, tol, maxit)其中，A为系数矩阵，b为常数向量，omega为松弛因子，tol为误差容限，maxit为最大迭代次数。

函数返回值x为方程组的解向量。

下面我们将详细介绍如何使用Matlab中的sor函数进行线性方程组求解。

1. 准备数据首先需要准备系数矩阵A和常数向量b。

例如，我们要求解以下线性方程组：3x1 + 2x2 - x3 = 10-1x1 + 4x2 + x3 = 82x1 - 3x2 + 5x3 = 14则系数矩阵A和常数向量b分别为：A = [3 2 -1; -1 4 1; 2 -3 5]b = [10; 8; 14]2. 调用sor函数接下来，在Matlab中调用sor函数进行求解。

假设松弛因子omega 取0.5，误差容限tol取1e-6，最大迭代次数maxit取1000，则代码如下：x = sor(A, b, 0.5, 1e-6, 1000)函数返回的解向量x为：x = [3.0000; 1.0000; 2.0000]可以通过将解向量代入原方程组验证解的正确性。

3. 调整松弛因子松弛因子omega对SOR迭代法的收敛速度有很大影响。

如果选择不合适的松弛因子，可能会导致收敛速度变慢甚至不收敛。

因此，需要根据实际情况对松弛因子进行调整。

通常情况下，可以通过试验法来确定最佳的松弛因子。

例如，在Matlab中可以编写一个循环来尝试不同的松弛因子，并比较它们的收敛速度。

代码如下：for omega = 0.1:0.1:1x = sor(A, b, omega, 1e-6, 1000);fprintf('omega=%f, iterations=%d\n', omega, length(x)); end该代码将尝试从0.1到1之间以步长为0.1递增的所有松弛因子，并输出它们所需的迭代次数。

逐次超松弛迭代法

(3．7)
图6.1
12
我们在 (x, y) 平面上作两组平行直线
x x0 ih, y y0 jh i, j 0,1,2,
(3.8)
(x0 , y0 ) 是平面 (x, y) 上的任意一点，通常取 (x0 , y0 ) 为坐标原点， h( 0) 称为步长．这样，整
个平面就被这两组平行直线构成的正方形网格所覆盖，所讨论的区域 G+P 可被有限个正
x1(k )
1 (4 5
x (k 1) 2
x (k 1) 3
x4(k 1) )
x2(k )
1 10
(12
x1(k
)
x (k 1) 3
x (k 1) 4
)
x3(k )
1 (8 5
x1(k )
x2(k )
x4(k 1) )
x4(k )
1 (34 10
x1(k )
x2(k )
x3(k ) )
k 1,2,
输出近似解 x1, x2 ,xn 或迭代次数超过 m 的信息．
step 1 对 k 1,, n 做 step2—4．
step 2 对 i 1,2,, n
step 3 step 4
i 1
n
(bi aij x j aij xoj
xi (1 )x0i
j 1
j i 1
若 x x0 TOL ，则输出 (x1,, xn ) ；停机．
图表6.2
5
从表6．2得到
x6x
5.5 61 04
算法6．3 应用SOR方法解方程组 Axb
输人方程组的阶数 n ； A 的元素 aij (i, j 1,, n) ；b 的分量 bi (i 1,, n) ；初始向量 x0 的分量

超松弛迭代法(SOR方法)

解：SOR迭代公式
x1( k
1)
(1 )x1(k )
4
(10 2x2(k )
4x3(k ) )
x
(k 2
1)
(1 )x2(k )
17
(3
2
x1(
k
1)
10x3(k ) )
x3( k
1)
(1 )x3(k )
9
(7 4x1(k 1)
10
x
(k 2
1)
)
初值 x (0) (0,0,0)T k = 0,1,2,…，
例该4方.4程用组S的OR精法确求解解线x (性*) 方程(2组,1,1)T
如值只果需x(0取)迭ω取代(0=,04ω21,00x(=42)即1次T1xx,要11.高4便26达x斯11，可207到—xx要达22同4塞求到x样319德精0x精x3尔度130度迭要x,(3k7代求需1) 法要x)迭(和k) 代同1一1100初6次
数值计算方法
超松弛迭代法（SOR方法）使用迭代法的困难在于难以估计其计算
量。有时迭代过程虽然收敛，但由于收敛速度缓慢，使计算量变得很大而失去使用价值。因此，迭代过程的加速具有重要意义。逐次超松弛迭代（Successive Over relaxatic Method，简称SOR方法）法，可以看作是带参数的高斯—塞德尔迭代法，实质上是高斯-塞德尔迭代的一种加速方法。
或 Dx(k1) (1)Dx(k) (b Lx(k1) Ux(k) )
故 (D L)x(k1) (1)D Ux(k) b
显然对任何一个ω值,(D+ωL)非奇异,(因为假设 aii 0,i 1,2,, n )于是超松弛迭代公式为
x(k1) (D L)1 (1)D U x(k) (D L)1b

迭代法求解方程matlab

迭代法求解方程的MATLAB实现1.引言迭代法是一种求解方程的常用方法，尤其适用于大规模矩阵和高维问题。

在迭代法中，我们通过不断迭代来逐步逼近方程的解。

本篇文章将介绍如何使用MATLAB实现迭代法求解方程。

2.收敛性判断在使用迭代法求解方程时，我们需要判断迭代是否收敛。

通常，我们使用以下两种方法进行收敛性判断：2.1 判断迭代公式是否收敛对于许多迭代公式，我们可以根据其结构来判断其是否收敛。

例如，Jacobi迭代法和Gauss-Seidel方法通常适用于对角占优的矩阵，而SOR方法适用于对角占优或松弛型的矩阵。

2.2 判断迭代误差是否收敛我们还可以通过判断迭代误差是否收敛来判断迭代是否收敛。

迭代误差通常定义为实际解与迭代解之间的范数。

如果迭代误差逐渐减小并趋于零，则说明迭代收敛。

3.迭代公式下面我们以Jacobi迭代法为例，介绍迭代公式的实现。

Jacobi迭代法的迭代公式如下：x{n+1}=(\frac{1}{a{ii}})(b i-A{ii,1:i-1}x1-A{ii,i+1:n}x_n)其中，A是系数矩阵，b是右侧向量，x是解向量，a_{ii}是矩阵A的主对角线元素。

4.误差计算为了判断迭代是否收敛，我们需要计算迭代误差。

通常，我们使用实际解与迭代解之间的相对误差或范数误差来衡量误差大小。

例如，相对误差可以按下式计算：||x^-x_n||_2/(||x^||_2)其中，x^*是实际解向量，x_n是第n次迭代的解向量。

5.MATLAB实现下面是一个使用MATLAB实现Jacobi迭代法的示例代码：function x = jacobi(A, b, x0, tol, max_iter)% 输入参数：系数矩阵A、右侧向量b、初始解向量x0、容许误差tol和最大迭代次数max_iter% 输出参数：方程的解向量xn = length(b); % 方程的未知数个数x = zeros(n, 1); % 初始化解向量xx(:) = x0; % 将初始解向量赋值给xerr = tol + 1; % 初始化误差大于容许误差，表示未收敛k = 0; % 初始化迭代次数k=0while err > tol && k < max_iterk = k + 1; % 更新迭代次数k=k+1for i = 1:n % 对每个未知数进行更新x(i) = (b(i) - A(i, 1:i-1)*x(1:i-1) - A(i, i+1:n)*x(i+1:n)) / A(i, i); % 更新解向量x的第i个元素x(i)的公式为x(i)=[b(i)-A(i,1:i-1)*x(1:i-1)-A(i,i+1:n)*x(i+1:n)]/A(i,i)endforendwhileif k < max_itererr = norm(x - x_prev, 'fro') / norm(x_prev, 'fro'); % 计算相对误差endendendfunction```。

matlab超松弛迭代法求方程组

一、介绍MATLAB（Matrix Laboratory）是一种用于数值计算和数据可视化的专业软件。

在MATLAB中，超松弛迭代法是解决线性方程组的一种有效算法。

本文将介绍MATLAB中超松弛迭代法的基本原理和实现方法，并给出一个具体的例子进行演示。

二、超松弛迭代法的基本原理超松弛迭代法是一种逐步迭代的算法，用于求解线性方程组。

它的基本原理是通过不断迭代更新方程组的解，直到达到满足精度要求的解。

超松弛迭代法的公式如下：X(k+1) = (1-w)X(k) + w*(D-L)⁻¹*(b+U*X(k))其中，X(k)代表第k次迭代的解向量，X(k+1)代表第k+1次迭代的解向量，D、L和U分别代表方程组的对角线元素、下三角元素和上三角元素构成的矩阵，b代表方程组的右端向量，w代表松弛因子。

超松弛迭代法的关键在于选择合适的松弛因子w，一般情况下，可以通过试验选取一个合适的值。

在MATLAB中，可以使用sor函数来实现超松弛迭代法。

三、MATLAB中超松弛迭代法的实现方法在MATLAB中，可以通过调用sor函数来实现超松弛迭代法。

sor 函数的语法格式如下：[X,flag,relres,iter,resvec] = sor(A,b,w,tol,maxit)其中，A代表线性方程组的系数矩阵，b代表右端向量，w代表松弛因子，tol代表迭代的精度要求，maxit代表最大迭代次数，X代表迭代求解得到的解向量，flag代表迭代的结果标志，relres代表相对残差的大小，iter代表迭代次数，resvec代表迭代过程中的残差向量。

以下是一个使用sor函数求解线性方程组的示例：A = [4 -1 0 -1 0 0; -1 4 -1 0 -1 0; 0 -1 4 0 0 -1; -1 0 0 4 -1 0; 0 -1 0 -1 4 -1; 0 0 -1 0 -1 4];b = [1; 0; -1; 0; 1; 0];w = 1.25;tol = 1e-6;maxit = 100;[X,flag,relres,iter,resvec] = sor(A,b,w,tol,maxit);通过调用sor函数，可以得到方程组的解向量X，迭代的结果标志flag，相对残余resrel和迭代次数iter。

matlab迭代函数程序

matlab迭代函数程序Matlab是一种高级的数学软件，其内置了许多迭代函数，可以帮助用户更方便地进行数值计算和数据分析。

本文将介绍一些常用的Matlab迭代函数及其应用，希望能够对读者有所帮助。

一、for循环for循环是Matlab中最基本的迭代函数之一，其语法格式为： for 循环变量=初始值:步长:终止值循环体end其中，循环变量是一个标量或向量，初始值、步长和终止值都是数值。

循环体中的语句将会被重复执行，直到循环变量达到终止值为止。

下面是一个简单的例子，计算1到10的累加和：sum = 0;for i = 1:10sum = sum + i;enddisp(sum);输出结果为55，即1+2+3+...+10的和。

二、while循环while循环是另一种常用的迭代函数，其语法格式为：while 条件循环体end其中，条件可以是任何能够返回逻辑值的表达式，循环体中的语句将会被重复执行，直到条件为假为止。

下面是一个简单的例子，计算1到10的累加和：sum = 0;i = 1;while i <= 10sum = sum + i;i = i + 1;enddisp(sum);输出结果为55，与for循环的结果相同。

三、递归函数递归函数是一种特殊的函数，其定义中包含对自身的调用。

在Matlab中，递归函数的语法与普通函数相同，但需要注意避免死循环。

下面是一个递归函数的例子，计算n的阶乘：function f = factorial(n)if n == 0f = 1;elsef = n * factorial(n-1);endend该函数首先判断n是否为0，若是则返回1；否则返回n乘以n-1的阶乘。

例如，计算5的阶乘可以使用以下语句：disp(factorial(5));输出结果为120。

四、向量化运算向量化运算是Matlab的一大特色，可以大大提高计算效率。

其基本思想是将循环语句转化为矩阵运算，避免了循环带来的额外开销。

数值分析Python实现系列——二、逐次超松弛迭代法（SOR）

数值分析Python 实现系列——⼆、逐次超松弛迭代法（SOR ）⼆、超松弛迭代法(SOR)1.原理:回顾:在⼀般情况下 : 收敛过慢甚⾄不收敛的B 与f ,经过对系数矩阵A 分裂成A =M −N 的形式, 使得迭代公式变为: x k +1=(I −M −1)Ax k +M −1f 雅克⽐迭代法选取 : 现将A 如下分解A =D −L −U ,D 为对⾓阵,L 为下三⾓阵,U 为上三⾓阵,取M ≡D ,取N ≡L +U ,在这⼀章中我们选取下三⾓矩阵M =1ω(D −ωL ),ω>0,其中ω为松弛因⼦,我们可以发现当ω为1时,M =D −L ,正是⾼思-赛德尔迭代法,下⾯推导迭代公式:x k +1=I −M −1A x k +M −1bx k +1=I −ω(D −ωL )−1A x k +ω(D −ωL )−1bx k +1=(D −ωL )−1((1−ω)D +ωU )x k +ω(D −ωL )−1b推导完毕,我们较为常⽤的是下式:(D −ωL )x k +1=((1−ω)D +ωU )x k +ωb以及:x (0)=(x (0)1,...,x (0)n )T ,x (k +1)i =x (k +)i +Δx i Δx i =ωb i −i −1∑j =1a ij x (k +1)j −n ∑j =1a ij x (k )j a ii i =1,2,...,n ,k =0,1,...,ω为松弛因⼦当ω>1时为超松弛迭代,当ω<1时为低松弛迭代迭代终⽌条件:max 1≤i ≤n |Δx i |=max1≤i ≤n |x (k +1)i −x (k )i |<ε,下⾯我们试试⽤Python 实现这⼀功能.2.实现:import numpy as npimport matplotlib.pyplot as pltMAX = 110 # 遍历最⼤次数A = np.array([[-4, 1, 1, 1], [1, -4, 1, 1], [1, 1, -4, 1], [1, 1, 1, -4]])b = np.array([[1], [1], [1], [1]]) # 注意这⾥取列向量omega_list = [1 + 0.005 * i for i in range(100)] # 取到不同的omega 值,观察趋势length = len(A)count = [] # 记录遍历的次数for omega in omega_list: # 遍历每⼀个omega 值times = 0x_0 = np.zeros((length, 1))x_hold = x_0 + np.ones((length, 1))while (np.linalg.norm(x_hold - x_0, ord=2) >= 10 ** (-5)) and (times <= MAX):# 遍历停⽌条件以k+1次与k 次迭代的向量差的⼆范数以及遍历最⼤次数为标准x_hold = x_0.copy() # 这⾥不要⽤赋值,要⽤copyx_new = x_0.copy()for i in range(length):# 根据迭代公式迭代x_new[i][0] = x_0[i][0] + omega * (b[i][0] - sum([A[i][j] * x_new[j][0] for j in range(i)]) - sum([A[i][j] * x_0[j][0] for j in range(i, length)])) / A[i][i]x_0 = x_new.copy()times += 1count.append(times)plt.plot(omega_list, count) # 观察omega 与迭代次数的关系plt.show()思路:1.遍历设限:第⼀种是到达精度,到达精度停⽌迭代,第⼆种是到达规定最⼤次数,这个可以⾃⼰设定.2.在根据迭代公式改变各个向量分量时,要注意遍历范围.结果:{。

数值分析第二次大作业SOR最优松弛因子选取方法及SOR迭代法的改进

《数值分析》第二次大作业题目：SOR最优松弛因子选取方法及SOR迭代法的改进内容：1.SOR最优松弛因子选取方法2.SOR迭代法的改进（SSOR迭代法）3.SSOR迭代法的Matlab程序4.举例比较jacobi，Gauss-Seidel，SOR及SSOR 迭代法的收敛速度姓名：合肥工业大学学号：2011班级：信息与计算科学11-1班参考资料：1.《确定SOR最优松弛因子的一个实用算法》李春光等《计算力学学报》2.《数值分析与实验》，薛毅,北京工业大学出版社.3.《数值分析中的迭代法解线性方程组》，马云,科学出版社4.《非线性互补问题的改进超松弛迭代算法》，段班祥等,江西师范大学出版社5.《迭代法解线性方程组的收敛性比较》，郑亚敏,江西科学出版社.一、SOR最优松弛因子选取方法SOR迭代法迭代公式：x(k+1)i=(1-ω)xi+(k) bi-∑aijxjaii⎝j=1ω⎛ i-1(k+1)-j=i+1∑axijn(k)j⎫⎪ (i=1,2,..n.), ⎪⎭1.二分比较法将松弛因子1/2，ω的区间（1,2）进行二分，每个小区间的长度为ω去中间值3/2，按照SOR 迭代法迭代公式，求出跌代次数k,如果k不超过指定的发散常数，则可确定ω的值；否则将（1,2）四等分，每个区间长度为1/4,ω取各分点值，继续迭代，一般地，将1区间（1,2）二分M次，每次二分步长为，ω一次取取各分点值，2M按照SOR迭代法迭代公式，求出跌代次数k,如果k不超过指定的发散常数，则可确定的ω的值，这样总能找到一个不超过指定发散常数ω值。

2.逐步搜索法将1+ω的取值区间（1,2）进行M等分，ω分别取ω的值。

12M-1,1+,...,1+，通过迭代公式依次对同意精度要求求出迭代MMM次数k的值，并从中选出最优松弛因子3.黄金分割法依据黄金分割比的思想，通过计算机主动选取最优松弛因子的近似值，步骤如下a.对（1，2）区间进行第一次0.618的分割，区间边界a1=1,b1=2，在区间(a1,b1)分割出黄金点p1=a1+0.618(b1-a1)，进行SOR迭代法的迭代，求出迭代次数k的值，如果没有超过规定的发散常数，迭代结束，否则做步骤b。

sor迭代法matlab代码

sor迭代法matlab代码标题：SOR迭代法的MATLAB代码实现及应用摘要：本文将深入探讨SOR（逐次超松弛）迭代法的原理、算法实现以及MATLAB代码实现。

SOR迭代法是一种迭代求解线性方程组的方法，广泛应用于科学计算、数值模拟和工程计算等领域。

文章首先简要介绍了SOR迭代法的基本原理，然后详细阐述了算法实现过程，并给出了MATLAB代码示例。

最后，文章探讨了SOR迭代法在不同应用场景下的优缺点及适用性。

关键词：SOR迭代法、MATLAB代码、线性方程组、逐次超松弛、数值计算1. 引言- 线性方程组求解问题的背景和重要性- 迭代法解决线性方程组的优势和挑战2. SOR迭代法的原理- 逐次超松弛的思想和原理- SOR迭代法的收敛性分析3. SOR迭代法算法实现- 迭代过程及更新公式推导- 松弛因子的选择策略- 收敛性判定条件4. MATLAB代码实现- SOR迭代法的基本结构- 实现思路和关键代码解读- 参数调节和优化技巧5. SOR迭代法的应用案例- 流体力学模拟中的应用- 结构力学问题求解- 电磁场计算中的应用6. 优缺点与适用性分析- SOR迭代法的优点与局限性 - 不同应用场景下的适用性分析7. 结论- 对SOR迭代法的总结与回顾 - 对未来研究和应用的展望观点和理解：SOR迭代法作为一种求解线性方程组的常用方法，具有一定的优势和局限性。

在文章的观点和理解部分，我将从以下几个方面展开：- SOR迭代法相比于其他迭代方法的优势和特点- 松弛因子的选择对迭代收敛性的影响- 不同应用场景下使用SOR迭代法的优缺点- SOR迭代法在数值计算中的地位和前景通过详细的算法讲解、MATLAB代码实现和实际应用案例的介绍，本文旨在帮助读者深入理解SOR迭代法的基本原理和实现过程，并对其在不同领域中的应用进行探讨和评估。

最后，总结性的内容将对读者对SOR迭代法的理解提供全面、深刻和灵活的指导。

matlab的迭代法编程

matlab的迭代法编程迭代法是一种常用的解决数值计算问题的方法, 在MATLAB中也有相应的编程实现。

本文将介绍如何使用MATLAB实现迭代法来解决数值计算问题。

一、迭代法简介迭代法是通过反复迭代计算来逼近问题的解的一种方法。

它适用于无法直接求得解析解的问题，但可以通过一系列近似的计算逐步逼近真实解。

二、基本思想迭代法的基本思想是通过不断迭代，逐步逼近问题的解。

假设我们要求解一个方程 f(x)=0 的根，可以从一个初始值开始，通过迭代计算逐步逼近真实解。

三、MATLAB的迭代法编程实现在MATLAB中，可以使用循环语句结合适当的迭代公式来实现迭代法。

首先，我们需要确定迭代的终止条件。

通常可以使用误差判定条件来进行终止判断，比如当迭代结果的相对误差小于某一阈值时，可以认为迭代已经达到了足够的精度。

然后，我们可以使用循环语句（如for循环或while循环）来进行迭代计算。

在每次迭代中，根据迭代公式更新迭代结果，并进行误差判定。

最后，当满足终止条件时，迭代停止，并返回最终的迭代结果作为近似解。

下面是一个简单的例子，演示了如何使用MATLAB实现牛顿迭代法求解方程的根。

```matlabfunction x = Newton_method(f, df, x0, epsilon, max_iter)for i = 1:max_iterx = x0 - f(x0)/df(x0);if abs(f(x)) < epsilonreturn;endx0 = x;enderror('迭代次数超过上限');end```在上述代码中，函数`Newton_method`用于实现牛顿迭代法。

其中，`f`代表方程函数，`df`代表方程函数的导数，`x0`是初始点的值，`epsilon`是误差判定的阈值，`max_iter`是最大迭代次数。

四、迭代法的应用迭代法在数值计算中有广泛的应用。

它可以用于求解非线性方程的根、线性方程组的解、优化问题的最优解等等。

matlab迭代算法程序

matlab迭代算法程序摘要：一、迭代算法简介二、Matlab迭代算法程序1.牛顿下山法2.进退法三、迭代算法的应用四、总结正文：一、迭代算法简介迭代算法是一种求解方程或优化问题的方法，通过不断迭代更新变量值，逐步逼近最优解。

Matlab提供了丰富的迭代算法工具箱，可以帮助我们方便地实现迭代算法。

二、Matlab迭代算法程序1.牛顿下山法牛顿下山法是一种在局部收敛的迭代算法，适用于求解非线性方程组。

其基本思想是利用函数在当前迭代点的二阶导数来估计下一个迭代点的值。

下面是一个用牛顿下山法求解非线性方程的Matlab程序：```matlabfunction [x, k] = myfunnewton(f, x0, emg)% f表示非线形方程% x0迭代初值，此种方法是局部收敛，初值要选择恰当% emg是精度指标% k,u分别表示迭代次数和下山因子% d1表示非线形方程f在x0处的导数值[f1, d1] = feval(f, x0);k1 = 1;x(1) = x0;x(2) = x(1) - f1 / d1;while abs(f1) > emgu1 = 1;k = k + 1;[f1, d1] = feval(f, x(k));x(k+1) = x(k) - f1 / d1;endend```2.进退法进退法是一种在全局收敛的迭代算法，适用于求解无约束一维极值问题。

其基本思想是每次迭代时，先向前一步，再根据当前步长和目标函数值的变化决定是否需要后退一步。

下面是一个用进退法求解无约束一维极值问题的Matlab程序：```matlabfunction x = myfunbacktracking(f, x0, fprime, emg)% f表示目标函数% x0迭代初值% fprime表示目标函数的一阶导数% emg是精度指标x = x0;while truex1 = x + 0.5 * (x - x0) / (f(x) - f(x0));if abs(f(x1)) < emgx0 = x1;break;elseif fprime(x1) * (x - x0) > 0x = x1;elsex = x0;endendend```三、迭代算法的应用迭代算法广泛应用于数学、物理、工程等领域，可以用于求解非线性方程组、优化问题等。

解线性方程组的SOR迭代法及其MATLAB实现

ｘ＝Ｍ～ｘ＋￣ｒ ‘ ｂ（１．３）科学研究与制造实践中大量问题都可化解为线性方程组的解答，有效求解线性方程组成为了一些科学与工程计假设某一初始向量Ｘ，得到迭代格式：Ｘ＝Ｂｘ（ｘ＋ｆ算的中心，科学与工程计算的一些主要领域，如计算流体力学、材料模拟与设计、电磁场学说、电力系统优化设计、其中Ｂ成为迭代矩阵。假如得到的迭代序列（Ｘ㈩）收敛到一个确定的向量数值天气预报及核爆数值比拟等最终往往化解为解一个或，那么Ｘ就是原方程组的解。些大型稀疏矩阵的方程组的求解问题，解答线性方程组Ｘ成为计算数学中数值代数探讨的中心之一。与直接法比较，设线性方程组为：迭代法仅仅存储原系数矩阵、对应于预处理的某些辅助矩阵与少量几个向量，且迭代中除解答辅助线性方程组外， ∑“ ，＝，ｉｌ，２， … ，，ｚ（１．４）剩下的计算重点是系数矩阵与向量的乘积，可以充分利用其中ａｉｊ ≠０，ｉ＝ｌ，２， … ，ｎ系数矩阵的特性来减少计算量研究这一重要内容需借助由上述推到过程，得到迭代公式Ｍａｔｌａｂ来运行。线性方程组Ａｘ：ｂ是我们在科学和生产应用中不断产生（一 ∑ ．， ” ＋）／，１２一，（１．５）的数学模型，对它的求解我们最常用的就是主元消去法，但Ｊｌ它仅仅适合于Ａ是低价稠密的矩阵，而在生活生产中产生的其中ｋ＝Ｏ，１，２ … （以下ｋ的意义均是如此）。大型稀疏矩阵方程组（即Ａ的阶数ｎ很大，因有大量的零元设初始向量：素，举例求一些偏微分方程数值解所得到的线性方程组，。）Ｘ。＝（ｌ ‘ 。，２‘ 。， … ，ｘ ‘ ｎ≥ １０４），需要应用迭代法求解。由式（１．５），得出：常见的迭代法有Ｊａｃｏｂｉ迭代法Ｇａｕｓｓ、Ｓｅｉｄｅｌ迭代法，为改善迭代法的收敛性和收敛速度，Ｈａｄｊｉｄｉｏｍｓｔｌｌ＝（一 ∑ａ￣ｉＸｊ ‘ “ 一 ∑ ，㈨十）／日ｉ１，２， … ，Ｈ（１．６）于１９７８年提出一种快速超松弛迭代法，以及并行计算机的、Ｉｎ发展，１９８３年ＭｉＳＳｉｒｌｉｓｔｌ１提出一种解线性方程组的方法，再改写公式（１．６）为：称为并行Ｊａｃｏｂｉ型方法，它的突出好处是相称大型并行机的解答。１９９２年胡家赣提出了两参并行的Ｊａｃｏｂｉ型方法， “ ’ ＿一＿ “ ’ Ｚａｑ ’ 十）／（１Ｉ７）使ＭｉＳＳｉｒｌｉＳ得到的方法成为２ＰＰＪ型方法的特殊。而且，根据现实的需要，还得到了一些如ＳＳＯＲ型迭代法、ＳＡＯＲ型迭代法、ＰＳＤ型迭代法等一连串迭代方法，目的都在于佳化公式（１．７）为ＳＯＲ迭代公式，∞ 叫松弛因子。当 ∞＝１时，迭代矩阵的收敛性和收敛的速度。公式（１．７）即为公式（１．６）。迭代法的基本思想二、８０Ｒ迭代法迭代法是根据一些规则创造一个向量序列（ｘ ’），促（一）ＳＯＲ迭代法的基本思想及算法使它的极限向量ｘ是Ａｘ＝ｂ的精确解。因此，对迭代法而言调用分裂矩阵为带参数的下三角矩阵：通常有以下４个问题：Ｍ：ｌｆＤｍＬ）（１）如何构造迭代序列？（ｏ（２）构造的迭代法序列能否收敛？在哪些情况下收敛？其中 ∞＞Ｏ为可挑选的松弛因子。（３）倘若收敛，收敛的速度怎样７解Ａｘ＝ｂ的ＳＯＲ方法为：（４）由于计算只能是有限次的，故经常讨论近似解的误差估计和迭代过程的中断解决问题，这又涉及舍入误差的ｆ，初始变艟（２．１）分析。 “ ，｝＝ ‘ ㈨＋＿／ ’ ，尼＝ｏ，１，

SOR迭代matlab程序

贵州师范大学数学与计算机科学学院
Numerical Analysis
逐次超松弛迭代(SOR迭代)
设已求得 n 元线性代数方程组 Ax = b第k -1次迭
代向量 x(k1) x1(k1) , x2(k1) ,L , xn(k1) T及第k 次迭代向量
x(k的) 分量 x(jk) ( j 1, 2,L ,i 1) ,要计算分量 xi.(k )
xi
GSeaiudsesl迭代值
x(k 1) i
i 1
aijቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
x(k ) j
n
aij
x(k 1) j
bi
aii
j1
j i
(i 1, 2,L , n) (5.10)
SOR迭代法的矩阵表示 (A D L U )
x(k ) (1 ) x(k 1) D1(b Lx(k ) Ux(k 1) )
Step 1 用Gauss-Seidel 迭代求得
xi
1 aii
i 1 j 1
aij x(jk )
n
a x(k 1) ij j
j i 1
bi
Step 2 计算 x与i 第k -1次迭代值 xi(的k1)加权平均作为
第k 次迭代值：
x(k ) i
(1 ) xi(k 1)
xi
贵州师范大学数学与计算机科学学院
Numerical Analysis
x(k ) i
(1 ) xi(k 1)
xi
(1 )xi(k1)
1 aii
i 1 j 1
aij x(jk )
n
a x(k 1) ij j
j i 1
bi
x(k 1) i
i 1
aij x(jk )

迭代运算matlab程序

迭代运算matlab程序[迭代运算matlab程序]，以中括号内的内容为主题，写一篇1500-2000字文章，一步一步回答迭代运算(matlab程序)是一种重要的数值计算方法，它可以通过不断重复执行一系列操作来逼近最终解。

Matlab是一款强大的数学软件，提供了丰富的函数和工具箱，方便用户进行迭代运算。

本文将以迭代运算(matlab 程序)为主题，一步一步回答相关问题，介绍迭代运算的基本原理、实现方法以及常见应用。

首先，我们来了解迭代运算的基本原理。

迭代运算是解决数学问题的一种常用方法，它通过不断迭代计算，将一个问题逐步逼近最优解。

这种方法的基本思想是从一个初始点开始，通过不断调整，使得迭代序列趋于问题的解。

在每次迭代中，根据某种规则或算法，通过计算得到下一个迭代点，然后再次进行计算，直到满足停止准则为止。

接下来，我们将介绍如何使用Matlab实现迭代运算。

Matlab提供了丰富的数值计算函数和工具箱，这使得编写迭代运算程序变得非常简单。

我们可以使用循环结构来实现迭代，最常见的是for循环和while循环。

以for循环为例，我们可以使用一系列语句重复执行特定的操作。

在Matlab中，for循环的基本语法格式如下：matlabfor 变量= 起始值:步长:终止值循环体end在这个循环中，变量将从起始值开始，以给定的步长递增或递减，直到达到终止值为止。

在每个迭代步骤中，我们可以在循环体内进行计算和操作。

以下是一个简单的例子，演示如何使用for循环进行迭代计算一个数的平方根：matlabx = 10; 初始值for k = 1:5x = (x + 10/x)/2; 迭代公式end在这个例子中，我们以10作为初始值，通过迭代运算计算数的平方根。

当迭代5次后，我们得到了一个逼近的结果。

除了for循环，我们还可以使用while循环来实现迭代运算。

和for循环不同，while循环会在满足指定条件时重复执行。

它的基本语法格式如下：matlabwhile 条件循环体end在这个循环中，条件被定义为一个逻辑表达式。

超松弛迭代法解线性方程组

设计题目：超松弛迭代法解线性方程组摘要本文是在matlab环境下熟悉的运用计算机编程语言并结合超松弛变量超松弛迭代法的理论基础对方程组求解。

首先，本文以微分方程边值问题为例，导出了离散化后线性方程组即稀疏线性方程组，转化对稀疏线性方程组求解问题。

其次，用超松弛( SOR) 迭代法编写matlab程序，对产生的稀疏线性方程组进行迭代法求解。

然后，分别改变松弛因子ω和分段数n的值，分析其收敛性和收敛速度，做出各个方面的分析和比较得到相关结论。

最后，将超松弛迭代算法在计算机上运用matlab语言实现, 得出了一组与精确解较接近的数值解,并画图比较，验证逐次超松弛( SOR) 迭代法的精确性。

关键词：稀疏线性方程组逐次超松弛迭代法松弛因子matlab编程一、问题提出考虑两点边值问题()()⎪⎩⎪⎨⎧==<<=+.11,00,10,22y y a a dxdy dx y d ε 容易知道它的精确解为.1111ax e e a y x +⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=--εε为了把微分方程离散，把[]1,0区间n 等分，令nh 1=，ih x i =，,1,,2,1-=n i 得到差分方程,21211a h y y hy y y i i i i i =-++-++-ε 简化为()(),2211ah y y h y h i i i =++-+-+εεε从而离散后得到的线性方程组的系数矩阵为()()()()⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+-++-++-++-=h h h h h h h A εεεεεεεεεε2222对1=ε，4.0=a ，200=n ，分别用1=ω、5.0=ω和5.1=ω的超松弛迭代法求解线性方程组，要求有4位有效数字，然后比较与精确解的误差，探讨使超松弛迭代法收敛较快的ω取值，对结果进行分析。

改变n ，讨论同样问题。

二、超松弛迭代法产生的背景对从实际问题中得到维数相当大的线性代数方程组的求解仍然十分困难, 以至使人们不能在允许的时间内用直接方法得到解, 因此, 客观上要求用新的方法来解决大维数方程组的求解问题。

jacobi-G-S-超松弛迭代法MATLAB程序

j a c o b i-G-S-超松弛迭代法M A T L A B程序(总2页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--function iterationA=[10,1,2,3,4;1,9,-1,2,-3;2,-1,7,3,-5;3,2,3,12,-1;4,-3,-5,-1,15];b=[12,-27,14,-17,12]';x0=[0,0,0,0,0]';tol=1e-12;disp('jacobi迭代法的结果和次数如下:')[x,k]=Fjacobi(A,b,x0,tol)disp('G-S迭代法的结果和次数如下:':')[x,k]=Fgseid(A,b,x0,tol)disp('超松弛的结果和次数如下:':')[x,k]=Fsor(A,b,x0,,tol)disp('共轭梯度法的结果和次数如下:':')[x,k]=Fcg(A,b,x0,tol)%jacobi迭代法function [x,k]=Fjacobi(A,b,x0,tol)max=300;D=diag(diag(A));L=-tril(A,-1);U=-triu(A,1);B=D\(L+U);f=D\b;x=B*x0+f;k=1;while norm(x-x0)>=tolx0=x;x=B*x0+f;k=k+1;if(k>=max)disp('µü´ú³¬¹ý300´Î£¬·½³Ì×é¿ÉÄÜ²»ÊÕÁ²');return;endend%G-S迭代法function [x,k]=Fgseid(A,b,x0,tol)max=300;D=diag(diag(A));L=-tril(A,-1);U=-triu(A,1);G=(D-L)\U;f=(D-L)\b;x=G*x0+f;k=1;while norm(x-x0)>=tolx0=x;x=G*x0+f;k=k+1;if(k>=max)disp('µü´ú³¬¹ý300´Î£¬·½³Ì×é¿ÉÄÜ²»ÊÕÁ²');return;endend%超松弛迭代法function [x,k]=Fsor(A,b,x0,w,tol)max=300;if(w<=0||w>=2)error;return;endD=diag(diag(A));L=-tril(A,-1);U=-triu(A,1);B=inv(D-L*w)*((1-w)*D+w*U);f=w*inv((D-L*w))*b;x=B*x0+f;k=1;while norm(x-x0)>=tolx0=x;x=B*x0+f;k=k+1;if(k>=max)disp('µü´ú³¬¹ý300´Î£¬·½³Ì×é¿ÉÄÜ²»ÊÕÁ²');return;endend%共轭梯度法function [x,k]=Fcg(A,b,x0,tol)n=size(A,1);x=x0;r=b-A*x;d=r;alpha=(r'*r)/(d'*A*d);x=x0+alpha*d;k=1;while norm(x-x0)>=tolx0=x;x=x+alpha*d;r2=b-A*x;k=k+1;beta=norm(r2)^2/norm(r)^2;d=r2+beta*d;r=r2;end。

线性方程组的J-迭代,GS-迭代,SOR-迭代,SSOR-迭代方法

线性⽅程组的J-迭代,GS-迭代,SOR-迭代,SSOR-迭代⽅法西京学院数学软件实验任务书【实验课题】雅克⽐迭代、⾼斯—赛德尔迭代、超松弛迭代【实验⽬的】学习和掌握线性代数⽅程组的雅克⽐迭代、⾼斯—赛德尔迭代、超松弛迭代法，并且能够熟练运⽤这些迭代法对线性⽅程组进⾏求解。

【实验内容】 1、问题重述：对于线性⽅程组A b X =，即：1111221n 12112222n 21122nn n n n n n na x a x a xb a x a x a x b a x a x a x b +++=??+++=??+++= （1），其中，111212122111 0 - - 0 - 0 0 () - - - 0 n ij n nn n nn nn a a a a a a a a a a ?--A ==--??0n D L U≡--()1,n b b b T=如何运⽤雅克⽐迭代、⾼斯—赛德尔迭代、超松弛迭代法对线性⽅程组进⾏求解。

2、⽅法原理： 2.1雅克⽐迭代迭代思想：⾸先通过A b X =构造形如()x f x =的等式，然后给定⼀个初值(0)(0)(0)(0)12(,,)n x x x X = ，再通过(1)()()k k f +X =X 进⾏迭代。

step1 ：对（1）相应第i ⾏中的i x ⽤其它元素表⽰为：11111121111122,12211111()()11()()11()()n nj j j j j j n ni i ij ji j j j i j i j iin nn n nj j n n nj j j j nn nn x b a x x b a x a a x b a x x b a x a a x b a x x b a x a a ===≠=-==?=-=+-??=-=+-??=-=+-∑∑∑∑∑∑即：()D b L U X =-+XStep 2 ：进⾏迭代(0)(0)(0)(0)12(1)11()(,,)()n k k x x x D b D L U +--?X =?X=-+X ? ，0,1,2k = ，取它的判断条件为()(1)k k -X -X ⼩于⼀个确定的误差值ε，跳出循环。