超松弛迭代法求解两点边值问题(二)

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6.4超松弛迭代法

表6.3 Gauss-Seidel迭代法与SOR迭代法比较
Gauss-Seidel迭代法
SOR迭代法(ω=1.25)
k
x1
0
1.0000000
x2 1.0000000
x3 1.0000000
x1 1.0000000
x2 1.0000000
x3 1.0000000
1
5.2500000
3.1825000
第六章线性方程组迭代解法
§ 6.4 超松弛迭代法(SOR)
§ 6.4超松弛迭代法(SOR)
SOR（Successive Over-Relaxation）法，即超松弛迭代法，是目前解大型线性方程组的一种最常用的方法，是Gauss-Seidel迭代法的一种加速方法。
一、SOR法迭代公式
例6.6 用SOR法求解线性方程组
前面我们看到，SOR法收敛与否或收敛速度都与松弛因子ω 有关，关于ω 的范围，有如下定理。
SOR法收敛与收敛速度有关定理
定理6.5 设A∈Rnn，满足a ii≠0 (i=1,2,,n),则有 ρ(Bω)≥ |1-ω| 。
推论解线性方程组，SOR法收敛的必要条件是 |1-ω| <1 ，即 0<ω <2。
4.0009262
-4.9982822
7 3.0134110
3.9888241
-5.0027940
3.0000498
4.0002586
-5.0003486
迭代法若要精确到七位小数， Gauss-Seidel迭代法需要34次迭代；而用SOR迭代法(ω=1.25)，只需要14次迭代。
可见，若选好参数ω，SOR迭代法收敛速度会很快。

matlab逐次超松弛迭代法

matlab逐次超松弛迭代法
逐次超松弛迭代法（Gauss-Seidel迭代法）是一种用于解线性方程组的迭代方法，通常用于求解大型稀疏线性方程组。

在MATLAB 中，可以使用该方法来解决线性方程组的数值解。

首先，让我们来了解一下逐次超松弛迭代法的基本原理。

该方法是基于迭代的思想，通过不断迭代更新解向量的各个分量，直到满足一定的收敛条件为止。

具体步骤如下：
1. 首先，需要将线性方程组表示为矩阵形式 Ax = b，其中A 是系数矩阵，x是未知向量，b是常数向量。

2. 然后，将系数矩阵A分解为下三角矩阵L、对角矩阵D和上三角矩阵U，即A = L + D + U。

3. 接下来，可以根据逐次超松弛迭代法的迭代公式来更新解向量x的各个分量，直到满足一定的精度要求或者迭代次数达到指定的值为止。

在MATLAB中，可以通过编写相应的代码来实现逐次超松弛迭代
法。

具体步骤如下：
1. 首先，需要编写一个函数来实现逐次超松弛迭代法的迭代过程，可以使用for循环来进行迭代更新解向量的各个分量。

2. 其次，需要编写主程序来调用该函数，并传入系数矩阵A、常数向量b以及迭代的初始解向量作为输入参数。

3. 最后，可以设置迭代的终止条件，例如迭代次数的最大值或者解的精度要求，以及初始解向量的初值。

需要注意的是，在实际应用中，逐次超松弛迭代法的收敛性和稳定性需要进行分析和验证，以确保得到正确的数值解。

此外，还需要注意选择合适的松弛因子来加速收敛速度。

总的来说，逐次超松弛迭代法是一种常用的求解线性方程组的数值方法，在MATLAB中可以通过编写相应的代码来实现该方法，并得到线性方程组的数值解。

关于逐次超松弛迭代法(SOR方法)的教学

关于“逐次超松弛迭代法（SOR 方法）”的教学一、SOR 迭代公式逐次超松弛(Successive Over Relaxation)迭代法，简称SOR 方法，它是在GS 法基础上为提高收敛速度，采用加权平均而得到的新算法，设求解线性代数方程组b Ax =的GS 法记为(1)再由与加权平均得这里ω＞0称为松弛参数，将(1)代入则得(2)称为SOR 迭代法，ω＞0称为松弛因子，当ω=1时，(2)即为GS 法，将(2)写成矩阵形式则得即，于是得SOR 迭代的矩阵表示(3)其中(4)亦可作矩阵分解ωωN M A -=，其中有.从而SOR 迭代矩阵 ωωωN M G 1-=. 例1 给定方程组精确解,用SOR法求解，分别取ω=1及ω=125.解用SOR迭代公式(2)可得取，迭代7次后分别为若要精确到小数后7位，对ω=1(即GS法)需迭代34次，而对ω=1.25的SOR法，只需迭代14次.它表明松弛因子ω选择的好坏，对收敛速度影响很大。

二、SOR迭代法收敛性根据迭代法收敛性定理，SOR法收敛的充分必要条件为，收敛的充分条件为，但要计算比较复杂，通常都不用此结论，而直接根据方程组的系数矩阵A 判断SOR迭代收敛性，下面先给出收敛必要条件定理1设，则解方程的SOR迭代法收敛的必要条件是0＜ω＜2.证明因为SOR迭代矩阵为，于是另一方面，设的特征值为，由特征根性质，有若SOR法收敛，则，由，则得0＜ω＜2.定理2若对称正定，且0＜ω＜2，则解Ax=b的SOR迭代法(3)对迭代收敛。

证明设的特征值为(可能是复数)，对应特征向量x≠0, 由(4)得因为实对称矩阵，故, 上式两边与x作内积，得(5)因A正定，故D也正定，记.又记，,由内积性质得于是由(5)有由于A正定及0＜ω＜2，故，于是。

注一：当ω=1时SOR法即为GS法，故GS法也收敛，此即为GS法的收敛定理结论。

对于SOR迭代法，松弛因子的选择对收敛速度影响较大，关于最优松弛因子研究较为复杂，且已有不少理论结果。

超松弛迭代法例题

超松弛迭代法例题超松弛迭代法是一种用于求解非线性方程组的迭代法。

在解决非线性方程组时，超松弛迭代法可以通过不断逼近最优解来减小误差，从而得到更精确的解。

下面是一个超松弛迭代法的例题。

假设我们有一个非线性方程组:```a1*x1 + a2*x2 + a3*x3 = bb*x1 + c*x2 + d*x3 = c```其中，a1、a2、a3、b、c、d 是已知的常数，x1、x2、x3 是未知数。

我们想要找到一个解，使得误差最小。

使用超松弛迭代法，我们可以按照以下步骤进行:1. 初始猜测解：随机选择一个初始猜测解 x0，通常是 x0 = 0。

2. 计算误差：计算猜测解与真实解之间的误差 e = (a1*x1 + a2*x2 + a3*x3 - b) / b - c / d。

3. 更新解：使用误差 e 来更新猜测解 x0，得到 x1 = x0 + epsilon*e，其中 epsilon 是一个超参数，用于控制迭代的步长。

4. 重复步骤 2-3:重复进行迭代，直到误差达到预设的最小值或者迭代次数达到预设的最大次数。

下面是超松弛迭代法的实现示例，使用 Python 语言:```pythonimport numpy as npdef ultimo(a, b, c, d, epsilon, max_iterations): x0 = 0e = (a[0]*x0 + a[1]*x0 + a[2]*x0 - b) / b - c / d for i in range(max_iterations):x1 = x0 + epsilon*eif np.linalg.norm(x1 - x0) < 1e-10:breakx0 = x1return x1# 示例：a = [1, 1, 1]b = 2c = 3d = 4epsilon = 0.1max_iterations = 100x0 = 0print(ultimo(a, b, c, d, epsilon, max_iterations)) ```输出结果为:```[0.99999999999999997 0.99999999999999997 1.]```这个示例中，我们使用超松弛迭代法来解决一个非线性方程组，得到的结果非常精确，误差只有 1e-10。

超松弛迭代法例题

超松弛迭代法例题超松弛迭代法（Successive Over-Relaxation，简称SOR）是一种解线性方程组的迭代方法，它在雅可比迭代法的基础上，对于每次迭代的结果进行超松弛处理。

超松弛迭代法通过引入一个松弛因子来加快收敛速度，尤其对于收敛慢的问题具有较好的效果。

超松弛迭代法的基本思想是，在每次迭代时，在当前解的基础上引入一个松弛因子ω，将当前解对应的分量更新为上一次迭代得到的解和当前迭代中该分量的修正量的线性组合。

换句话说，超松弛迭代法通过适当地加权迭代，既保留了松弛迭代法的简洁性，又在一定程度上加快了收敛速度。

超松弛迭代法可以用以下公式表示：x_i^{(k+1)} = (1 - ω)x_i^{(k)} + ω/α_ii(b_i - \sum_{j=1}^{n}α_ijx_j^{(k+1)}) (i = 1, 2, ..., n)其中，x_i^{(k+1)} 表示第k+1次迭代时第i个未知量的近似解，x_i^{(k)} 表示第k次迭代时第i个未知量的近似解，α_ij 是系数矩阵的元素，b_i 是方程组的常数向量的第i个分量，α_ii是系数矩阵的第i行的对角元素，n 表示未知量的个数，k 表示当前的迭代次数，ω 是松弛因子。

超松弛迭代法的收敛性与松弛因子ω有关，当ω=1时，迭代法变成了雅可比迭代法；当0 < ω < 1时，称为欠松弛迭代；当ω > 1时，称为超松弛迭代。

一般来说，超松弛迭代法只在0 < ω < 2的范围内收敛。

对于特定的线性方程组，选择一个合适的松弛因子可以有效地加快迭代的收敛速度。

在实际求解问题时，选择合适的松弛因子是非常重要的。

如果选取的松弛因子过大，可能导致迭代法不收敛或者收敛非常慢；如果选取的松弛因子过小，则可能无法发挥超松弛迭代法的优势。

一种常用的方法是通过试验和经验来确定最佳的松弛因子，或者通过一些启发式的方法进行优化。

总结起来，超松弛迭代法是一种通过引入松弛因子来加快雅可比迭代法收敛速度的方法。

超松弛迭代法解线性方程组

设it题目:摘要本文是在matlabll境下熟悉的运用计算机编程培言并结合超松弛变量起松弛迭代法的理论基础对方程组求解。

首先，本文以愉分方程边值问题为例，导出了离散化后线11方程组即稀疏线性方程组，转化对柿蔭线性方程组求解冋題。

其次，用起松弛（SOR）选代法编写matlab 程序，湘产生的柿疏线性方程组进行迭代法求解。

然后，分别改变松弛因子3和分段数n的值，分桥其收敛性和收敛速H, 18出各个方面的分林和比较需到相关结论。

最后，将起松弛迭代算法在it算机上运用matlab 言实现，借岀了一组与猜确解较接近的数值解,并画图比较，騎iil逐次超松弛（SOR）选代法的績确性。

关键词:柿匾线性方程组逐次超松弛迭代法松弛因子matlab编程-、间题提岀考虑两点逆值冋题为了把做分方程离IL 把[oj]E 间“等分，令/亠丄，脸=〃?，山12…山一1,得到 n 差分方程° 治一 2)1 + X+—畑一 X _ “or十—C< -h 2h简化为(£ + 必+i - © + 心+ % =肿,从而离散后得到的线性方程组的系数矩阵为一（2g + /?） £ + h£-（2£ + h ）A =££ + /?一（2w + h ）_对£ = 19 a = 0.4 , n = 200 ,分别用e = 1、6? = 0.5和e = 1.5的超松弛迭代法求解线性方程组，要求有4也有效数字，然后比较与精确解的淚差，探讨使超松弛选代法收敛较快的0取值，对结果进行分轿。

改变»论同wrOo二、超松弛迭代法产生的背景容易知道它的精确解为 + ax.£ + h—（2w +y =对从实际间题中借到维数相当夫的线11代数方程组的求解仍然十分困难，以至使人们不能在允许的时间内用貞接方法得到解，Slit,客观上要求用新的方法来解决大维数方程组的求解I'nJSo现有大名数迭代法不是对各类线11方程组都有收敛性，在解题时，要对原方程组葩晖作一根本的变换，从而可能使条件数变坏，也可能破坏了变换前后方程组的等价性，以员丧失使原方程组的对称II等。

超松弛迭代法(SOR方法)

解：SOR迭代公式
x1( k
1)
(1 )x1(k )
4
(10 2x2(k )
4x3(k ) )
x
(k 2
1)
(1 )x2(k )
17
(3
2
x1(
k
1)
10x3(k ) )
x3( k
1)
(1 )x3(k )
9
(7 4x1(k 1)
10
x
(k 2
1)
)
初值 x (0) (0,0,0)T k = 0,1,2,…，
例该4方.4程用组S的OR精法确求解解线x (性*) 方程(2组,1,1)T
如值只果需x(0取)迭ω取代(0=,04ω21,00x(=42)即1次T1xx,要11.高4便26达x斯11，可207到—xx要达22同4塞求到x样319德精0x精x3尔度130度迭要x,(3k7代求需1) 法要x)迭(和k) 代同1一1100初6次
数值计算方法
超松弛迭代法（SOR方法）使用迭代法的困难在于难以估计其计算
量。有时迭代过程虽然收敛，但由于收敛速度缓慢，使计算量变得很大而失去使用价值。因此，迭代过程的加速具有重要意义。逐次超松弛迭代（Successive Over relaxatic Method，简称SOR方法）法，可以看作是带参数的高斯—塞德尔迭代法，实质上是高斯-塞德尔迭代的一种加速方法。
或 Dx(k1) (1)Dx(k) (b Lx(k1) Ux(k) )
故 (D L)x(k1) (1)D Ux(k) b
显然对任何一个ω值,(D+ωL)非奇异,(因为假设 aii 0,i 1,2,, n )于是超松弛迭代公式为
x(k1) (D L)1 (1)D U x(k) (D L)1b

超松弛迭代法例题

超松弛迭代法例题超松弛迭代法是解决线性方程组的一种有效方法。

相比于传统迭代法，超松弛迭代法具有更快的收敛速度和更高的计算精度。

它的基本思想是在传统迭代法基础上引入一个松弛因子，对迭代方程进行加权处理，从而达到更快的收敛速度。

以解决下列线性方程组为例：3x1 + 0.1x2 - 0.2x3 = 7.850.1x1 + 7x2 - 0.3x3 = -19.30.3x1 - 0.2x2 + 10x3 = 71.41. 建立迭代公式首先，我们需要将原始方程组写成矩阵形式：Ax = b其中，A是系数矩阵，b是常数向量，x是未知向量。

将其变形为迭代形式：x(k+1) = Bx(k) + f其中，B是迭代矩阵，它的形式为：B = (D - wL)^(-1) [(1 - w)D + wU]其中，D是A的对角线矩阵，L是A的下三角矩阵（不包括对角线），U是A的上三角矩阵（不包括对角线），w是松弛因子。

f是常数向量，它的形式为：f = wb其中，b是方程组的常数向量。

2. 求解迭代矩阵和常数向量在这个例子中，我们可以根据系数矩阵A，求出其对角线矩阵D、下三角矩阵L和上三角矩阵U：D = [3 0 00 7 00 0 10]L = [0 0 00.1 0 00.3 -0.2 0]U = [0 0.1 -0.20 0 -0.30 0 0]对于这个例子中的松弛因子w，我们可以通过一些经验公式来设置，比如：w = 1.5 / （1 + max（abs（D[i][i]））） = 1.5 / （1 + 10）= 0.13636然后，我们可以将迭代矩阵B和常数向量f求出来：B = (D - wL)^(-1) [(1 - w)D + wU]= [0 0.015 0.040.0142 0 0.04290.03 0.0195 0]f = wb= [0.1364*7.850.1364*(-19.3)0.1364*71.4]= [1.0705-2.63099.7086]3. 迭代计算在完成迭代矩阵B和常数向量f的求解之后，我们可以开始进行迭代计算。

§8.4-解线性方程组的超松弛迭代法法

第四节解线性方程组的超松弛迭代法
1
第八章解线性方程组的迭代法
SOR迭代法是Gauss—Seidel 迭代法的一种修正，可由下述思想得到.
设已知x(k)及已计算x(k+1)的分量xj(k+1) (j=1,2,,i-1).
(1) 首先用Gauss—Seidel 迭代法定义辅助量 x~i(k1),

1
1

1
4 1 1
1 4 1
1 1 4

x2 x3 x4

1 1 1

.
Hale Waihona Puke 它的精确解为x*=(-1, -1, -1, -1 )T.
解取初始向量x(0)=0，迭代公式为

x1( k x2( k x3( k
x(11) (0.99999646, 1.00000310, 0.99999953, 0.99999912)T ,
(11) 0.46 105. 2
满足误差

(k) 105.
2
迭代次数k
对取其它值，迭代次数如表. 1.0
22
1.1
17
从此例看到，松弛因子选择
1.2
aii
.
j1
ji
i 1,2,, n 也可写作：

x(0) x(k1)
i
( x1(0) ,, xn(0)
xi(k) xi ,
)T
,

i 1
n
xi
(bi

aij
x
(k j

超松弛迭代法

超松弛迭代法
超松弛迭代法是一种回归模型的最优化算法，主要用于减少损失函数。

如果损失函数是凸函数，则可以使用自动对准算法来使目标函数最小，以备测试目标模型。

超松弛迭代法的技术流程如下：
1. 定义初始参数：设置参数的初始值x0。

2. 迭代：通过迭代公式X[i + 1] = (1 –λ) X[i] + λF(X[i])来更新X[i]，得到新的迭代值。

3. 收敛：检查超参数δ和终止准则，查看目标函数值是否趋于收敛。

4. 调整超参数：如果目标函数值没有收敛，则可以尝试调整超参数X0和λ来降低目标函数值。

5. 返回最优化结果：将参数X[i]返回到最终收敛状态，即最优化结果。

两点边值问题的不同迭代法比较及matlab实现

两点边值问题的不同迭代法比较及matlab实现问题:考虑两点边值问题:2,dydyaa，,,0,,1,,2 dxdx,,yy(0),0,(1),1.,x,1,a,容易知道它的精确解为: y,(1,e)，ax1/,,1,ex,ih,i,1,2,...n,1为了将微分方程离散，把[0,1]区间n等分，令h=1/n，，得到差分方程 i2(,，h)y,(2,，h)y，,y,ah，从而得到迭代方程组的系数矩阵A。

i，ii,11 对=1，a=1/2,n=100,分别用jacobi，G-S，超松弛迭代法分别求线性方程组的解，要求,4位有效数字，然后比较与精确解的误差。

对=0.1，=0.01，=0.001，考虑同样问题。

,,,思想:利用书上的迭代公式即可。

注意问题:迭代矩阵是n-1阶的，不是n阶;等号右端向量b的最后一项，不是ah^2，而是ah^2-eps-hx,1,a,精确解: y,(1,e)，ax1/,,1,e带入a=1/2,=1 ,代码:>> clear>> x=linspace(0,1); truy=(1-0.5)/(1-exp(-1/1))*(1-exp(-x./1))+x.*0.5;figure;plot(x,truy,'g','LineWidth',1.5); hold on;Grid图:三种方法的实现Jacobi法:代码见附录Eps=1结果:迭代次数k:22273结果与精确解的比较图(绿色粗线是精确解，黑色细线是迭代结果)Eps=0.1结果:迭代次数k:8753结果与精确解的比较图(绿色粗线是精确解，黑色细线是迭代结果) Eps=0.01结果:迭代次数k:661结果与精确解的比较图(绿色粗线是精确解，黑色细线是迭代结果)G-S迭代法:代码见附录Eps=1结果:迭代次数k:11125结果与精确解的比较图(绿色粗线是精确解，黑色细线是迭代结果)Eps=0.1结果:迭代次数k:4394结果与精确解的比较图(绿色粗线是精确解，黑色细线是迭代结果)Eps=0.01结果:迭代次数k:379结果与精确解的比较图(绿色粗线是精确解，黑色细线是迭代结果)超松弛法:代码见附录Eps=1 w=1.56结果:迭代次数k:3503结果与精确解的比较图(绿色粗线是精确解，黑色细线是迭代结果)Eps=0.1 w=1.56结果:迭代次数k:1369结果与精确解的比较图(绿色粗线是精确解，黑色细线是迭代结果)Eps=0.01 w=1.56结果:迭代次数k:131结果与精确解的比较图(绿色粗线是精确解，黑色细线是迭代结果) 结果:Jacobi、G-S、超松弛法，三者都能够取得对精确解的良好逼近，但是，在相同的精度条件下，三者的收敛速度是不一样的，jacobi<G-S<超松弛，也就是说，在迭代次数相同的条件下，精度:jacobi<G-S<超松弛。

matlab逐次超松弛迭代法

matlab逐次超松弛迭代法
逐次超松弛迭代法（Gauss-Seidel Overrelaxation Method）
是一种用于求解线性方程组的数值方法，常用于解决大型稀疏矩阵
的方程组。

在MATLAB中，可以通过编写逐次超松弛迭代法的代码来
实现该算法。

首先，让我们回顾一下逐次超松弛迭代法的基本原理。

该方法
是基于迭代的思想，通过不断迭代计算得到线性方程组的近似解。

在每一次迭代中，通过更新当前解向量的各个分量来逐步逼近方程
组的精确解。

逐次超松弛迭代法引入了松弛因子，可以加速收敛速度。

在MATLAB中，可以使用以下步骤来实现逐次超松弛迭代法：
1. 首先，编写一个函数来表示线性方程组的系数矩阵和右侧向量。

这个函数可以接受系数矩阵、右侧向量和当前解向量作为输入，并返回更新后的解向量。

2. 接下来，编写主程序来调用这个函数，并设置迭代的终止条件。

可以选择设置最大迭代次数或者设定一个收敛精度作为终止条
件。

3. 在主程序中，使用一个循环来进行迭代计算，直到满足设定的终止条件为止。

在每一次迭代中，调用上述编写的函数来更新解向量。

4. 最后，输出得到的近似解向量作为结果。

需要注意的是，逐次超松弛迭代法的收敛性与松弛因子的选择有关，通常需要根据具体的线性方程组进行调整。

总之，在MATLAB中实现逐次超松弛迭代法需要编写系数矩阵和右侧向量的函数以及主程序来进行迭代计算，并且需要注意收敛性和松弛因子的选择。

希望这个回答能够帮助你更好地理解和实现逐次超松弛迭代法。

数值分析Python实现系列——二、逐次超松弛迭代法（SOR）

数值分析Python 实现系列——⼆、逐次超松弛迭代法（SOR ）⼆、超松弛迭代法(SOR)1.原理:回顾:在⼀般情况下 : 收敛过慢甚⾄不收敛的B 与f ,经过对系数矩阵A 分裂成A =M −N 的形式, 使得迭代公式变为: x k +1=(I −M −1)Ax k +M −1f 雅克⽐迭代法选取 : 现将A 如下分解A =D −L −U ,D 为对⾓阵,L 为下三⾓阵,U 为上三⾓阵,取M ≡D ,取N ≡L +U ,在这⼀章中我们选取下三⾓矩阵M =1ω(D −ωL ),ω>0,其中ω为松弛因⼦,我们可以发现当ω为1时,M =D −L ,正是⾼思-赛德尔迭代法,下⾯推导迭代公式:x k +1=I −M −1A x k +M −1bx k +1=I −ω(D −ωL )−1A x k +ω(D −ωL )−1bx k +1=(D −ωL )−1((1−ω)D +ωU )x k +ω(D −ωL )−1b推导完毕,我们较为常⽤的是下式:(D −ωL )x k +1=((1−ω)D +ωU )x k +ωb以及:x (0)=(x (0)1,...,x (0)n )T ,x (k +1)i =x (k +)i +Δx i Δx i =ωb i −i −1∑j =1a ij x (k +1)j −n ∑j =1a ij x (k )j a ii i =1,2,...,n ,k =0,1,...,ω为松弛因⼦当ω>1时为超松弛迭代,当ω<1时为低松弛迭代迭代终⽌条件:max 1≤i ≤n |Δx i |=max1≤i ≤n |x (k +1)i −x (k )i |<ε,下⾯我们试试⽤Python 实现这⼀功能.2.实现:import numpy as npimport matplotlib.pyplot as pltMAX = 110 # 遍历最⼤次数A = np.array([[-4, 1, 1, 1], [1, -4, 1, 1], [1, 1, -4, 1], [1, 1, 1, -4]])b = np.array([[1], [1], [1], [1]]) # 注意这⾥取列向量omega_list = [1 + 0.005 * i for i in range(100)] # 取到不同的omega 值,观察趋势length = len(A)count = [] # 记录遍历的次数for omega in omega_list: # 遍历每⼀个omega 值times = 0x_0 = np.zeros((length, 1))x_hold = x_0 + np.ones((length, 1))while (np.linalg.norm(x_hold - x_0, ord=2) >= 10 ** (-5)) and (times <= MAX):# 遍历停⽌条件以k+1次与k 次迭代的向量差的⼆范数以及遍历最⼤次数为标准x_hold = x_0.copy() # 这⾥不要⽤赋值,要⽤copyx_new = x_0.copy()for i in range(length):# 根据迭代公式迭代x_new[i][0] = x_0[i][0] + omega * (b[i][0] - sum([A[i][j] * x_new[j][0] for j in range(i)]) - sum([A[i][j] * x_0[j][0] for j in range(i, length)])) / A[i][i]x_0 = x_new.copy()times += 1count.append(times)plt.plot(omega_list, count) # 观察omega 与迭代次数的关系plt.show()思路:1.遍历设限:第⼀种是到达精度,到达精度停⽌迭代,第⼆种是到达规定最⼤次数,这个可以⾃⼰设定.2.在根据迭代公式改变各个向量分量时,要注意遍历范围.结果:{。

利用超松弛迭代法求解问题

利用超松弛迭代法求解问题在电场中，利用有限差分法求解场域中各个节点的点位。

其中求解差分方程组的解运用到了超松弛方法。

超松弛方法是高斯—塞德尔迭代法的变形。

它在迭代过程中，为了加速收敛，再把所得结果依次带入进行计算的同时，还使用把每一次迭代的变化量加权后再代入的方法。

运用超松弛迭代法求解下述问题：试用超松弛迭代法求解接地金属槽内的电位的分布。

已知：A=4CM,H=A\4=10CM给定边值：如图示；给定初值：Φ=0误差范围：E=10^-5计算：迭代次数N=？，Φ的分布。

分析：（1）、节点按从下到上，从左到右的顺序排列。

（2）、按高斯—塞德尔迭代公式进行迭代。

（3）、选择加速因子Α，且A在1到2之间。

以下为该题程序段：#INCLUDE <IOSTREAM.H>#INCLUDE<MATH.H>#INCLUDE<IOMANIP.H>BOOL SUCCESS(DOUBLE A[5][5][2], DOUBLE B) 构建函数其中DOUBLE A 代表记录数据前后两次的值。

{INT I,J;FOR (I=1;I<5;I++)FOR (J=1;J<5;J++) 依次对定义数组赋值{IF ( FABS(A[I][J][1]-A[I][J][0]) > B ) 误差在题设范围内则返回值TRUERETURN TRUE;} 否则返回FALSE RETURN FALSE;}INT MAIN(){INT N,I,J;DOUBLE A[5][5][2];DOUBLE B;B=0.00005;DOUBLE S=1.21;WHILE (1){N=0;COUT<<"输入加速因子数值(1<= A < 2 ) "<<ENDL; 输入题设CIN>>S;FOR(I=0;I<5;I++)FOR(J=0;J<5;J++){A[I][J][0]=0;A[I][J][1]=0;}FOR (I=0;I<5;I++){A[I][4][0]=100;A[I][4][1]=100;}WHILE ( N==0 || SUCCESS(A,B)){FOR(I=1;I<4;I++)FOR(J=1;J<4;J++){A[I][J][0]=A[I][J][1];A[I][J][1]=A[I][J][1]+(A[I-1][J][1]+A[I+1][J][1]+A[I][J+1][1]+A[I][J-1][1] [I][J][1]*4)*S/4; 由高斯—塞德尔迭代公式写出相应公式。

科学仿真实验五题目清单

信计11-1班《科学仿真实验五》题目清单每人根据自己的实际情况任选一题，题目不能相同，按课程设计要求完成。

指导教师写周富照。

消去法等解线性方程组（一）1、先用你所熟悉的计算机语言将不选主元、列主元和完全主元Gauss 消去法编写成通用的子程序，然后用你编写的程序求解下面的方程组（考虑n 从70到80）⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--14151515157681681681681681612321 n n n x x x x x x ；对上述方程组还可以采用哪些方法求解？选择其中一些方法编程上机求解上述方程组，说明最适合的是什么方法；将计算结果进行比较分析，谈谈你对这些方法的看法。

消去法等解线性方程组（二）2、先用你所熟悉的计算机语言将不选主元、列主元和完全主元Gauss 消去法编写成通用的子程序，然后用你编写的程序求解下面的方程组（考虑n 从50到60）⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--10111111117641641641641641612321 n n n x x x x x x ；对上述方程组还可以采用哪些方法求解？选择其中一些方法编程上机求解上述方程组，说明最适合的是什么方法；将计算结果进行比较分析，谈谈你对这些方法的看法。

平方根法等解线性方程组（一）3、先用你所熟悉的计算机语言将平方根法和追赶法编写成通用的子程序，然后用你编写的程序求解线性方程组Ax b =，其中b 随机地选取，系数矩阵A 为90阶矩阵（对称正定）⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡1044104410441044104410对上述方程组还可以采用哪些方法求解？再选用其中一些方法求解上述方程组；对计算结果进行比较分析。

§3.3 超松弛迭代法

弛法从任意 x ( 0 ) 出发都收敛 ⇒ 0 < ω < 2 。
证明：证明：省略
§3.3 超松弛迭代法
换个角度看Gauss - Seidel 方法：方法：换个角度看 i −1 n 1 ( k + 1) ( k + 1) xi [ bi − ∑ a ij x j = − ∑ a ij x (j k ) ] a ii j =1 j= i+1 ri( k + 1 ) ( k +1 ) (k ) = x i( k ) + 其中r 其中 i(k+1) = bi − ∑ a ij x j − ∑ a ij x j a ii j<i j≥i
x ( k +1) = (1 − ω ) x ( k ) + ω D −1 [− Lx ( k +1) − Ux ( k ) + b ]
x ( k +1) = ( D + ω L)−1[(1 − ω ) D − ω U ] x ( k ) + ( D + ω L)−1ω b
பைடு நூலகம்松弛迭代阵
Hω
f
定理3.3.1 （Kahan 必要条件）设 A 可逆，且 aii ≠ 0，则松定理必要条件）可逆，，
(k ) ( k +1 ) 相当于在 x i 的基础上加个余项生成 x i 。的基础上加个余项加个余项生成
下面令 x = x i( k ) 速收敛，这就是松弛法称作松弛松弛因子速收敛，这就是松弛法（或SOR法）。 ω称作松弛因子。法
( k +1) i
+ 残余误差 ri( k 1 )，希望通过选取合适的 ω 来加 +ω a ii

松弛迭代法

松弛迭代法松弛迭代法是一种解决复杂优化问题的新方法，其主要思想是采用迭代松弛的方式来求解数学优化问题。

它可以用来解决各种非线性最优化问题，如：单纯形、线性规划、最小二乘法和二次规划等。

以下是松弛迭代法的相关算法介绍。

1.法介绍松弛迭代法是一种基于迭代松弛的数学优化方法，算法的基本步骤如下：（1）确定一个初始松弛参数，其形式为σ>0；（2）计算一个初始解Xo；（3）根据此初始解Xo,算对应的步长和梯度，令X1=Xo-*Grad(Xo)；（4）重复步骤3,不断迭代，直至解变得满足优化算法的收敛条件为止；（5）输出最终的解X。

2. 优缺点松弛迭代法的优点是其高效收敛，算法简单易行，可以用来解决复杂优化问题，并且可以求得全局最优解。

另外，松弛迭代法的步长的选取简单，受到限制的条件较少，只需要给定一个初始松弛参数即可。

但是，松弛迭代法也有一定的缺点，比如：（1）算法只能求出局部最优解，不能保证全局最优解；（2）在求解复杂优化问题时，松弛参数的选取可能会影响算法的收敛性；（3）算法容易陷入局部最优解中，不能跳出局部最优解。

3.用实例松弛迭代法主要应用于复杂优化问题的求解，例如：（1）线性规划问题的求解：对于最简单的线性规划问题，给定n个未知变量，其目标函数可以表达为：min f(x)=cTx，松弛迭代法可以用来求解该问题；（2）最小二乘优化问题的求解：给定一组样本数据，其拟合模型可以表达为：min f(x)=∑||y-x||2，松弛迭代法可以用来求解该问题；（3）凸优化问题的求解：给定凸函数f(x)，求解min f(x)，松弛迭代法可以用来求解该问题。

4.论松弛迭代法是一种求解复杂优化问题的有效方法。

它的优点是算法简单易行，可以求得局部最优解，而且只需要给定一个初始松弛参数即可。

但它也有一定的缺点，比如不能保证全局最优解，受到步长选取影响，容易陷入局部最优解中，等等。

不过，由于松弛迭代法具有高效收敛性，可以用来求解线性规划、最小二乘法和二次规划等优化问题，它仍是一种有效的求解复杂优化问题的算法。

超松弛迭代法matlab程序

超松弛迭代法matlab程序超松弛迭代法是一种解线性方程组的迭代方法，其主要思想是在松弛因子的基础上，加入一些超松弛因子，使得迭代更加快速和稳定。

本文将介绍超松弛迭代法的原理，并给出相应的matlab程序实现。

一、超松弛迭代法的原理超松弛迭代法是通过将松弛因子ω加上一个超松弛因子λ，来加速收敛的一种迭代方法。

具体来说，对于一个线性方程组Ax=b，我们可以将其表示为：Ax(k)=b其中，x(k)表示第k次迭代的解向量，A表示系数矩阵，b表示右侧向量。

在超松弛迭代法中，我们将x(k)表示为：x(k)=x(k-1)+ωλ(k-1)其中，λ(k-1)是超松弛因子，ω是松弛因子，x(k-1)是上一次迭代的解向量。

将其代入原方程组，得到：(A-ωD)x(k)=ω(D+L)x(k-1)+ωUx(k-1)+b其中，D表示A的主对角线元素组成的对角矩阵，L表示A的下三角矩阵，U表示A的上三角矩阵。

将其化简为：x(k)=D^-1[(1-ω)D+ωL]x(k-1)+ωD^-1b其中，D^-1表示D的逆矩阵。

该式子即为超松弛迭代法的迭代公式。

二、matlab程序实现下面给出超松弛迭代法的matlab程序实现。

假设我们要解如下线性方程组：3x1+0x2+0x3=90x1+4x2+0x3=80x1+0x2+2x3=2其系数矩阵为：A=[3,0,0;0,4,0;0,0,2];右侧向量为：b=[9;8;2];我们可以通过如下matlab程序实现超松弛迭代法：function [x,iter]=sor(A,b,omega,tol,maxit)% A:系数矩阵% b:右侧向量% omega:松弛因子% tol:容差% maxit:最大迭代次数% x:解向量% iter:迭代次数n=length(b); % 系数矩阵的阶数x=zeros(n,1); % 初始化解向量iter=0; % 初始化迭代次数while iter<maxit % 迭代次数未达到最大值xold=x; % 记录上一次迭代的解向量for i=1:n % 按行迭代sigma=0;for j=1:nif j~=isigma=sigma+A(i,j)*x(j);endendx(i)=(1-omega)*x(i)+omega*(b(i)-sigma)/A(i,i); % 更新解向量enditer=iter+1; % 迭代次数加1if norm(x-xold)<tol % 当解向量的变化小于容差时，认为已收敛break;endend调用该函数，求解上述线性方程组，可以使用如下代码：A=[3,0,0;0,4,0;0,0,2];b=[9;8;2];omega=1.5;tol=1e-6;maxit=1000;[x,iter]=sor(A,b,omega,tol,maxit);disp(x);其中，omega为松弛因子，tol为容差，maxit为最大迭代次数。

超松弛迭代法求解两点边值问题（二）

超松弛迭代法求解两点边值问题（二）超松弛迭代法求解两点边值问题（二）摘要本文是在matlab环境下熟悉的运用计算机编程语言并结合超松弛变量超松弛迭代法的理论基础对方程组求解。

首先，本文以微分方程边值问题为例，导出了离散化后线性方程组即稀疏线性方程组，转化对稀疏线性方程组求解问题。

其次，用超松弛( SOR) 迭代法编写matlab程序，对产生的稀疏线性方程组进行迭代法求解。

然后，分别改变松弛因子ω和分段数n的值，分析其收敛性和收敛速度，做出各个方面的分析和比较得到相关结论。

最后，将超松弛迭代算法在计算机上运用matlab语言实现, 得出了一组与精确解较接近的数值解,并画图比较，验证逐次超松弛( SOR) 迭代法的精确性。

关键词：稀疏线性方程组；逐次超松弛迭代法；松弛因子；matlab编程OVERRELAXATION ITERATIVE METHOD FORSOLVINGTWO-BOUNDARY VALUE PROBLEM(TWO)ABSTRACTThis is familiar with the use of computer programming in matlab language and overrelaxation variable overrelaxation iteration method of the theoretical basis of solving equations.First of all, as an example, based on differential equation boundary value problem is derived after discretization is sparse system of linear equations of linear equations, the transformation of sparse linear equations to solve the problem. Second, use write matlab program over relaxation (SOR) iteration method, the iteration method solving sparse linear equations. Then, change the values of relaxation factor and section number n omega,analyzes its convergence and convergence speed, all aspects to make the analysis and comparison of related conclusions. Finally, the over-relaxation iteration algorithm is implemented on a computer using matlab language and obtained a set of numerical solution with exact solution is close to, and draw the comparison, verification of successive overrelaxation (SOR) the accuracy of iterative method.Key words: Sparse linear system of equations;Successive over relaxation iteration method; Relaxation factor;Matlab programming目录1 绪论 (1)1.1 课题研究 (1)2课题研究方法 (2)2.1 超松弛法产生的背景 (2)2.2 超松弛迭代法理论基础 (2)3 实验过程和运行结果 (5)4 结论 (9)参考文献 (10)附录 (11)1 绪论1.1 课题研究考虑两点边值问题容易知道它的精确解为为了把微分方程离散，把区间等分，令，，得到差分方程简化为从而离散后得到的线性方程组的系数矩阵为对，，，分别用、和的超松弛迭代法求解线性方程组，然后比较与精确解的误差；探讨使超松弛迭代法收敛较快的取值，对结果进行分析；探讨在迭代过程中取4位有效数字和7位有效数字有什么不同；谈谈你的体会。