教参书第十五章整式的乘除与因式分解

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人教版八年级数学上册教案第十五章整式的乘除与因式分解

人教版八年级数学上册教案第十五章整式的乘除与因式分解一、教学目标1.了解整式的概念，掌握整式的加减乘除等基本运算法则。

2.能够将一个多项式因式分解为一次项的积和二次项的积等形式，并掌握利用整除关系和公式进行因式分解的方法。

3.能够运用简单数的知识，解决实际问题，提高逻辑思维能力。

二、教学重点和难点重点1.整式的概念和基本运算法则。

2.多项式的因式分解，利用整除关系和公式进行因式分解。

难点1.将多项式因式分解为一次项的积和二次项的积等形式。

2.利用简单数的知识解决实际问题。

三、教学内容和方法教学内容1.整式的概念和基本运算法则，包括多项式的加减乘除。

2.多项式的因式分解。

教学方法1.讲解法：通过讲解，让学生掌握整式的概念和基本运算法则，并将多项式分解为一次项的积和二次项的积等形式。

2.练习法：通过练习，巩固知识点，提高解题能力。

3.探究法：通过探究实际问题，激发学生解决实际问题的兴趣和能力。

四、教学过程1. 整式的概念和基本运算法则1.引入例：小明拿到了如下一张表格，请你们看看这张表格，表格中的运算都有什么特点呢？a b c d23574610148122028在本章中，我们要学习的就是多项式的运算，它与这个表格有一定的联系。

你们能看出来吗？2.知识点讲解•定义1：若ax2+b（a e0，b为常数）是一个代数式，则称其为一个二次多项式（简称二次式），其中x是未知数。

•定义2：若多项式中每一项的次数都相同，则称其为整式。

•加减法：整式相加或相减时，将同类项的系数相加或相减，不同类项的系数保持不变。

•乘法：整式相乘时，将每一项的系数分别相乘，幂次相加，再将各项和起来即可，注意化简。

•除法：整数的除法不能简单地用分数表示，同样地，整式的除法也不能简单地用分母式来表示。

此处需要老师进行解释，建议采用韦达定理进行讲解。

3.练习请同学们将以下整式相加或相减：•(3x2+5x−2)+(2x2−3x+1)参考答案：5x2+2x−12. 多项式的因式分解1.引入在上面的练习中，我们要完成的就是两个整式的加减运算。

人教版八年级上册第十五章整式的乘除和因式分解全章教案

第十五章整式的乘除与因式分解15.1.1同底数幂的乘法教学目标1．知识与技能在推理判断中得出同底数幂乘法的运算法则，并掌握“法则”的应用．2．过程与方法经历探索同底数幂的乘法运算性质的过程，感受幂的意义，发展推理能力和表达能力，提高计算能力．3．情感、态度与价值观在小组合作交流中，培养协作精神、探究精神，增强学习信心．重、难点与关键1．重点：同底数幂乘法运算性质的推导和应用．2．难点：同底数幂的乘法的法则的应用．3．关键：幂的运算中的同底数幂的乘法教学，要突破这个难点，•必须引导学生，循序渐进，合作交流，获得各种运算的感性认识，进而上各项到理性上来，提醒学生注意－a2与（－a）2的区别．教学方法采用“情境导入──探究提升”的方法，让学生从生活实际出发，认识同底数幂的运算法则．教学过程一、创设情境，故事引入【情境导入】“盘古开天壁地”的故事：公元前一百万年，没有天没有地，整个宇宙是混浊的一团，突然间窜出来一个巨人，他的名字叫盘古，他手握一把巨斧，用力一劈，把混沌的宇宙劈成两半，上面是天，下面是地，从此宇宙有了天地之分，盘古完成了这样一个壮举，累死了，他的左眼变成了太阳，右眼变成了月亮，毛发变成了森林和草原，骨头变成了高山和高原，肌肉变成了平原与谷地，血液变成了河流．【教师提问】盘古的左眼变成了太阳，那么，太阳离我们多远呢？你可以计算一下，太阳到地球的距离是多少？光的速度为3×105千米/秒，太阳光照射到地球大约需要5×102秒，•你能计算出地球距离太阳大约有多远呢？【学生活动】开始动笔计算，大部分学生可以列出算式：3×105×5×102=15•×105×102=15×？（引入课题）【教师提问】到底105×102=？同学们根据幂的意义自己推导一下，现在分四人小组讨论．【学生活动】分四人小组讨论、交流，举手发言，上台演示．计算过程：105×102=（10×10×10×10×10）×（10×10）=10×10×10×10×10×10×10=107【教师活动】下面引例．1．请同学们计算并探索规律．（1）23×24=（2×2×2）×（2×2×2×2）=2( )；（2）53×54=_____________=5( )；（3）（－3）7×（－3）6=___________________=（－3）( )；（4）（110）3×（110）=___________=（110）( )；（5）a 3·a 4=________________a ( )．提出问题：①这几道题目有什么共同特点？②请同学们看一看自己的计算结果，想一想，这些结果有什么规律？【学生活动】独立完成，并在黑板上演算．【教师拓展】计算a ·a=？请同学们想一想．【学生总结】a ·a=()()()()m a a m n a a aa a a a a a a a +=个n个个=a m+n这样就探究出了同底数幂的乘法法则．二、范例学习，应用所学【例】计算：（1）103×104；（2）a ·a 3；（3）a ·a 3·a 5；（4）x ·x 2+x 2·x【思路点拨】（1）计算结果可以用幂的形式表示．如（1）103×104=103+4=107，但是如果计算较简单时也可以计算出得数．（2）注意a是a 的一次方，•提醒学生不要漏掉这个指数1，x 3+x 3得2x 3，提醒学生应该用合并同类项．（3）上述例题的探究，•目的是使学生理解法则，运用法则，解题时不要简化计算过程，要让学生反复叙述法则．【教师活动】投影显示例题，指导学生学习．【学生活动】参与教师讲例，应用所学知识解决问题．三、随堂练习，巩固深化课本练习题．【探研时空】据不完全统计，每个人每年最少要用去106立方米的水，1立方米的水中约含有3.34×1019个水分子，那么，每个人每年要用去多少个水分子？四、课堂总结，发展潜能1．同底数幂的乘法，使用范围是两个幂的底数相同，且是相乘关系，•使用方法：乘积中，幂的底数不变，指数相加．2．应用时可以拓展，例如含有三个或三个以上的同底数幂相乘，仍成立，•底数和指数，它既可以取一个或几个具体数，由可取单项式或多项式．3．运用幂的乘法运算性质注意不能与整式的加减混淆．五、布置作业，专题突破1．课本P148习题15．1第1（1），（2），2（1）题．2．选用课时作业设计．板书设计15.1.1同底数幂的乘法1、同底数幂的乘法法则例：练习：15.1.2 幂的乘方教学目标1．知识与技能理解幂的乘方的运算性质，进一步体会和巩固幂的意义；通过推理得出幂的乘方的运算性质，并且掌握这个性质．2．过程与方法经历一系列探索过程，发展学生的合情推理能力和有条理的表达能力，通过情境教学，培养学生应用能力．3．情感、态度与价值观培养学生合作交流意义和探索精神，让学生体会数学的应用价值．重、难点与关键1．重点：幂的乘方法则．2．难点：幂的乘方法则的推导过程及灵活应用．3．关键：要突破这个难点，在引导这个推导过程时，步步深入，层层引导，•要求对性质深入地理解．教学方法采用“探讨、交流、合作”的教学方法，让学生在互动交流中，认识幂的乘方法则．教学过程一、创设情境，导入新知【情境导入】大家知道太阳，木星和月亮的体积的大致比例吗？我可以告诉你，•木星的半径是地球半径的102倍，太阳的半径是地球半径的103倍，假如地球的半径为r ，那么，•请同学们计算一下太阳和木星的体积是多少？（球的体积公式为V=43πr 3）【学生活动】进行计算，并在黑板上演算．解：设地球的半径为1，则木星的半径就是102，因此，木星的体积为V 木星=43π·（102）3=？（引入课题）．【教师引导】（102）3=？利用幂的意义来推导．【学生活动】有些同学这时无从下手．【教师启发】请同学们思考一下a 3代表什么？（102）3呢？【学生回答】a 3=a ×a ×a ，指3个a 相乘．（102）3=102×102×102，就变成了同底数幂乘法运算，根据同底数幂乘法运算法则，底数不变，指数相加，102×102×102=102+2+2=106，•因此（102）3=106．【教师活动】下面有问题：利用刚才的推导方法推导下面几个题目：（1）（a 2）3；（2）（24）3；（3）（b n ）3；（4）－（x 2）2．【学生活动】推导上面的问题，个别同学上讲台演示．【教师推进】请同学们根据所推导的几个题目，推导一下（a ）的结果是多少？【学生活动】归纳总结并进行小组讨论，最后得出结论：（a m ）n =()n mm m mm m m m a a a a a +++=个n 个= a mn．评析：通过问题的提出，再依据“问题推进”所导出的规律，利用乘方的意义和幂的乘法法则，让学生自己主动建构，获取新知：幂的乘方，底数不变，指数相乘．二、范例学习，应用所学【例】计算：（1）（103）5；（2）（b 3）4；（3）（x n ）3；（4）－（x 7）7．【思路点拨】要充分理解幂的乘方法则，准确地运用幂的乘方法则进行计算．【教师活动】启发学生共同完成例题．【学生活动】在教师启发下，完成例题的问题：并进一步理解幂的乘方法则：解：（1）（103）5=103×5=1015；（3）（x n）3=x n×3=x3n；（2）（b3）4=b3×4=b12；（4）－（x7）7=－x7×7=－x49．三、随堂练习，巩固练习课本P143练习．【探研时空】计算：－x2·x2·（x2）3+x10．【教师活动】巡视、关注中等、中下的学生，媒体显示练习题．【学生活动】书面练习、板演．四、课堂总结，发展潜能1．幂的乘方（a m）n=a mn（m，n都是正整数）使用范围：幂的乘方．方法：底数不变，指数相乘．2．知识拓展：这里的底数、指数可以是数，可以是字母，•也可以是单项式或多项式．3．幂的乘方法则与同底数幂的乘法法则区别在于，一个是“指数相乘”，•一个是“指数相加”．五、布置作业，专题突破课本P148习题15．1第1、2题．板书设计15.1.2 幂的乘方1、幂的乘方的乘法法则例：练习：15.1.3 积的乘方教学目标1．知识与技能通过探索积的乘方的运算性质，进一步体会和巩固幂的意义，在推理得出积的乘方的运算性质的过程中，领会这个性质．2．过程与方法经历探索积的乘方的过程，发展学生的推理能力和有条理的表达能力，培养学生的综合能力．3．情感、态度与价值观通过小组合作与交流，培养学生团结协作的精神和探索精神，有助于塑造他们挑战困难，挑战生活的勇气和信心．重、难点与关键1．重点：积的乘方的运算．2．难点：积的乘方的推导过程的理解和灵活运用．3．关键：要突破这个难点，教师应该在引导这个推导过程时，步步深入，•层层引导，而不该强硬地死记公式，只有在理解的情况下，才可以对积的乘方的运算性质灵活地应用．教学方法采用“探究──交流──合作”的方法，让学生在互动中掌握知识．教学过程一、回顾交流，导入新知【教师活动】提问学生在前面学过的同底数幂的运算法则；幂的乘方运算法则的内容以及区别．【学生活动】踊跃举手发言，解说老师的提问．【课堂演练】计算：（1）（x4）3（2）a·a5（3）x7·x9（x2）3【学生活动】完成上面的演练题，并从中领会这两个幂的运算法则．【教师活动】巡视，关注学生的练习，并请3位学生上台演示，•然后再提出下面的问题．同学们思考怎样计算（2a3）4，每一步的根据是什么？【学生活动】先独立完成上面的问题，再小组讨论．（2a3）4=（2a3）·（2a3）·（2a3）·（2a3）（乘方的含义）=（2·2·2·2）·（a3·a3·a3·a3）（乘法交换律、结合律）=24·a12（乘方的意义与同底数幂的乘法运算）=16a12【教师活动】提出应用以上分析问题的过程，再计算（ab）4，说出每一步的根据是什么？【学生活动】独立思考之后，再与同学交流．（ab）4=（ab）·（ab）·（ab）·（ab）（乘方的含义）=（aaaa）·（bbbb）（交换律、结合律）=a4·b4（乘方的含义）【教师提问】（1）请同学们通过计算，观察乘方结果之后，•你能得出什么规律？（2）如果设n为正整数，将上式的指数改成n，即：（ab）n，其结果是什么？【学生活动】回答出（ab ）n =a n b n ．【师生共识】我们得到了积的乘方法则：（ab ）n =a n b n （n 为正整数），这就是说，积的乘方等于积的每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．（ab ）n =()()()()()n n n ab ab ab aaa a b b b b 个个个=a n b n【教师活动】拓展训练：三个或三个以上的积的乘方，如（abc ）n ，【学生活动】回答出结果是（abc ）n =a n b n c n．二、范例学习，应用所学【例】计算：（1）（2b ）3；（2）（2×a 3）2；（3）（－a ）3；（4）（－3x ）4．【教师活动】组织、讲例、提问．【学生活动】踊跃抢答．三、随堂练习，巩固深化课本P144练习．【探研时空】计算下列各式：（1）（－35）2·（－35）3；（2）（a －b ）3·（a －b ）4；（3）（－a 5）5；（4）（－2xy ）4；（5）（3a 2）n ；（6）（xy 3n ）2－[（2x ）2] 3；（7）（x 4）6－（x 3）8；（8）－p ·（－p ）4；（9）（t m ）2·t ；（10）（a 2）3·（a 3）2．四、课堂总结，发展潜能本节课注重课堂引入，激发学生兴趣，“良好开端等于成功一半”．1．积的乘方（ab ）n =a n b n （n 是正整数），使用范围：底数是积的乘方．方法：把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．2．在运用幂的运算法则时，注意知识拓展，底数和指数可以是数，•也可以是整式，对三个以上因式的积也适用．3．要注意运算过程，注意每一步依据，还应防止符号上的错误．4．在建构新的法则时应注意前面学过的法则与新法则的区别和联系．五、布置作业，专题突破1．课本P148习题15．1第1、2题．板书设计15.1.3 积的乘方1、积的乘方的乘法法则例：练习：15.1.4 单项式乘以单项式教学目标1．知识与技能理解整式运算的算理，会进行简单的整式乘法运算．2．过程与方法经历探索单项式乘以单项式的过程，体会乘法结合律的作用和转化的思想，发展有条理的思考及语言表达能力．3．情感、态度与价值观培养学生推理能力、计算能力，通过小组合作与交流，增强协作精神．重、难点与关键1．重点：单项式乘法运算法则的推导与应用．2．难点：单项式乘法运算法则的推导与应用．3．关键：通过创设一定的问题情境，•推导出单项式与单项式相乘的运算法则，可以采用循序渐进的方法突破难点．教学方法采用“情境──探究”的教学方法，让学生在创设的情境之中自然地领悟知识．教学过程一、创设情境，操作导入【手工比赛】让学生在课前准备一张自己最满意的照片，自己制作一个美丽的像框．上课之后，首先来做游戏，“才艺大献”，把自己的照片加一个美丽的像框，看谁在10分钟之内，可以装饰出美丽的照片，谁的最好，老师就送他个好礼物．【教师活动】组织学生参加“才艺比赛”．【学生活动】完成上述手工制作，与同伴交流．【教师引导】在学生完成之后，教师拿出一张美丽的风景照片，提出问题：你们看这幅美丽的风景图片，如何装饰它会更漂亮？【学生回答】加一个美丽的像框．【引入课题】假如要加一个美丽的像框，需要知道这幅图片的大小，现在告诉你，图片的长为mx，宽为x，你能计算出图片的面积吗？【学生活动】动手列式，图片的面积为mx·x=？【教师提问】对于mx·x=？的问题，前面我们已学习了乘法的运算律以及幂的运算法则，现在请你运用已学知识推导出它的结果．【学生活动】先独立思考，再与同伴交流．实际上mx·x=m（x·x）=m·x2=mx2．【拓展延伸】请同学们继续计算mx·54x=？【学生活动】先独立完成，再与同伴交流，踊跃上台演示．mx·54x=m·54x·x=m·54x2=54mx2．【教师活动】请部分学生上台演示，然后大家共同讨论．【继续探究】计算：（1）x·mx；（2）2a2b·3ab3；（3）（abc）·b2c．【学生活动】独立完成，再与同学交流．【教师活动】总结新知：我们根据自己做的题目的原则，得到单项式与单项式相乘的运算法则：单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，放在积的因式中．二、范例学习，应用所学【例1】计算．（1）3x2y·（－2xy3）（2）（－5a2b3）·（－4b2c）【思路点拨】例1的两个小题，可先利用乘法交换律、•结合律变形成数与数相乘，同底数幂与同底数幂相乘的形式，单独一个字母照抄．【例2】卫星绕地球运动的速度（即第一宇宙速度）约为7.9×103米/秒，•则卫星运行3×102秒所走的路程约是多少？【教师活动】：引导学生参与到例1，例2的解决之中．【学生活动】参与到教师的讲例之中，巩固新知．三、问题讨论，加深理解【问题牵引】1．a·a可以看作是边长为a的正方形的面积，a·ab又怎样理解呢？2．想一想，你会说明a·b，3a·2a以及3a·5ab的几何意义吗？【教师活动】问题牵引，引导学生思考，提问个别学生．【学生活动】分四人小组，合作学习．四、随堂练习，巩固深化课本P145练习第1、2题．五、课堂总结，发展潜能本节内容是单项式乘以单项式，重点是放在对运算法则的理解和应用上．提问：（1）请同学们归纳出单项式乘以单项式的运算法则．（2）在应用单项式乘以单项式运算法则时应注意些什么？六、布置作业，专题突破1．课本P149习题15．1第3题．2．选用课时作业设计．板书设计15.1.4 单项式乘以单项式1、单项式乘以单项式的乘法法则例：练习：15.1.5 单项式与多项式相乘教学目标1．知识与技能让学生通过适当尝试，获得一些直接的经验，体验单项式与多项式的乘法运算法则，会进行简单的整式乘法运算．2．过程与方法经历探索单项式与多项式相乘的运算过程，体会乘法分配律的作用和转化思想，发展有条理地思考及语言表达能力．3．情感、态度与价值观培养良好的探究意识与合作交流的能力，体会整式运算的应用价值．重、难点与关键1．重点：单项式与多项式相乘的法则．2．难点：整式乘法法则的推导与应用．3．•关键：应用乘法分配律把单项式与多项式相乘转化到单项式与单项式相乘上来，注意知识迁移．教学方法采用“情境──探究”教学方法，让学生直观地理解单项式与多项式相乘的法则．教学过程一、回顾交流，课堂演练1．口述单项式乘以单项式法则．2．口述乘法分配律．3．课堂演练，计算：（1）（－5x）·（3x）2（2）（－3x）·（－x）（3）13xy·23xy2（4）－5m2·（－13mn）（5）－15x4y6－2x2y·（－12x2y5）【教师活动】组织练习，关注中下水平的学生．【学生活动】先独立完成上述“演练题”，再相互交流，部分学生上台演示．二、创设情境，引入新课小明作了一幅水彩画，所用纸的大小如图1，她在纸的左右两边各留了16a米的空白，请同学们列出这幅画的画面面积是多少？【学生活动】小组合作，讨论．【教师活动】在学生讨论的基础上，提问个别学生．【情境问题2】夏天将要来临，有3家超市以相同价格n•（单位：元／台）销售A牌空调，他们在一年内的销售量（单位：台）分别是x，y，z，•请你采用不同的方法计算他们在这一年内销售这种空调的总收入．【学生活动】分四人小组，与同伴交流，寻求不同的表示方法．方法一：首先计算出这三家超市销售A牌空调的总量（单位：台），•再计算出总的收入（单位：元）．即：n（x+y+z）．方法二：采用分别计算出三家超市销售A牌空调的收入，•然后再计算出他们的总收入（单位：元）．即：nx+ny+nz．由此可得：n（x+y+z）=nx+ny+nz．【教师活动】引导学生在不同的代数式呈现中，找到规律：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式中的每一项，再把所得的积相加．三、范例学习，应用所学【例1】计算：（－2a2）·（3ab2－5ab3）．解：原式＝（－2a2）（3ab2）－（－2a2）·（5ab3）=－6a3b2+10a3b3【例2】化简：－3x2·（13xy－y2）－10x·（x2y－xy2）解：原式=－x3y+3x2y2－10x3y+10x2y2=－11x3y+13x2y2【例3】解方程：8x（5－x）=19－2x（4x－3）40x－8x2=19－8x2+6x40x－6x=1934x=19x=1934四、随堂练习，巩固深化课本P146练习．【探研时空】计算：（1）5x2（2x2－3x3+8）（2）－16x（x2－3y）（3）－2a2（12ab2+b4）（4）（23x2y3－16xy）·12xy2【教师活动】巡视，关注中差生．五、课堂总结，发展潜能1．单项式与多项式相乘法则：单项式与多项式相乘，•就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加．2．单项式与多项式相乘，应注意（1）“不漏乘”；（2）注意“符号”．六、布置作业，专题突破课本P149习题15．1第4、6题．板书设计15.1.5 单项式乘以多项式1、单项式乘以多项式的乘法法则例：练习：15.1.6 多项式与多项式相乘教学目标1．知识与技能让学生理解多项式乘以多项式的运算法则，能够按多项式乘法步骤进行简单的乘法运算．2．过程与方法经历探索多项式与多项式相乘的运算法则的推理过程，体会其运算的算理．3．情感、态度与价值观通过推理，培养学生计算能力，发展有条理的思考，逐步形成主动探索的习惯．重、难点与关键1．重点：多项式与多项式的乘法法则的理解及应用．2．难点：多项式与多项式的乘法法则的应用．3．•关键：多项式的乘法应先转化为单项式与多项式相乘而后再应用已学过的运算法则解决．教学方法采用“情境──探索”教学方法，让学生在设置的情境中，通过操作感知多项式与多项式乘法的内涵．教学过程一、创设情境，操作感知【动手操作】首先，在你的硬纸板上用直尺画出一个矩形，并且分成如下图1•所示的四部分，标上字母．【学生活动】拿出准备好的硬纸板，画出上图1，并标上字母．【教师活动】要求学生根据图中的数据，求一下这个矩形的面积．【学生活动】与同伴交流，计算出它的面积为：（m+b）×（n+a）．【教师引导】请同学们将纸板上的矩形沿你所画竖着的线段将它剪开，分成如下图两部分，如图2．剪开之后，分别求一下这两部分的面积，再求一下它们的和．【学生活动】分四人小组，合作探究，求出第一块的面积为m（n+a），第二块的面积为b（n+a），它们的和为m（n+a）+b（n+a）．【教师活动】组织学生继续沿着横的线段剪开，将图形分成四部分，如图3，•然后再求这四块长方形的面积．【学生活动】分四人小组合作学习，求出S1=mn；S2=nb；S3=am；S4=ab，•它们的和为S=mn+nb+am+ab．【教师提问】依据上面的操作，求得的图形面积，探索（m+b）（n+a）应该等于什么？【学生活动】分四人小组讨论，并交流自己的看法．（m+b）×（n+a）=m（n+a）+b（n+a）=mn+nb+am+ab，因为我们三次计算是按照不同的方法对同一个矩形的面积进行了计算，那么，两次的计算结果应该是相同的，所以（m+b）×（n+a）=m（n+a）+b（n+a）=mn+nb+am+ab．【师生共识】多项式与多项式相乘，用第一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的结果相加．字母呈现：=ma+mb+na+nb．二、范例学习，应用所学【例1】计算：（1）（x+2）（x－3）（2）（3x－1）（2x+1）【例2】计算：（1）（x－3y）（x+7y）（2）（2x+5y）（3x－2y）【例3】先化简，再求值：（a－3b）2+（3a+b）2－（a+5b）2+（a－5b）2，其中a=－8，b=－6．【教师活动】例1～例3，启发学生参与到例题所设置的计算问题中去．【学生活动】参与其中，领会多项式乘法的运用方法以及注意的问题．三、随堂练习，巩固新知课本P148练习第1、2题．【探究时空】一块长m米，宽n米的玻璃，长宽各裁掉a•米后恰好能铺盖一张办公桌台面（玻璃与台面一样大小），问台面面积是多少？四、课堂总结，发展潜能1．多项式与多项式相乘，•应充分结合导图中的问题来理解多项式与多项式相乘的结果，利用乘法分配律来理解（m+n）与（a+b）相乘的结果，导出多项式乘法的法则．2．多项式与多项式相乘，第一步要先进行整理，•在用一个多项式的每一项去乘另一个多项式的每一项时，要“依次”进行，不重复，不遗漏，且各个多项式中的项不能自乘，多项式是几个单项式的和，每一项都包括前面的符号，在计算时要正确确定积中各项的符号．五、布置作业，专题突破课本P149习题15．1第5、6、7（2）、9、10题．板书设计15.1.6 多项式乘以多项式1、多项式乘以多项式的乘法法则例：练习：15.2.1平方差公式（一）教学目标1．知识与技能会推导平方差公式，并且懂得运用平方差公式进行简单计算．2．过程与方法经历探索特殊形式的多项式乘法的过程，发展学生的符号感和推理能力，使学生逐渐掌握平方差公式．3．情感、态度与价值观通过合作学习，体会在解决具体问题过程中与他人合作的重合性，体验数学活动充满着探索性和创造性．重、难点与关键1．重点：平方差公式的推导和运用，以及对平方差公式的几何背景的了解．2．难点：平方差公式的应用．3．关键：对于平方差公式的推导，我们可以通过教师引导，学生观察、•总结、猜想，然后得出结论来突破；抓住平方差公式的本质特征，是正确应用公式来计算的关键．教学方法采用“情境──探究”的教学方法，让学生在观察、猜想中总结出平方差公式．教学过程一、创设情境，故事引入【情境设置】教师请一位学生讲一讲《狗熊掰棒子》的故事【学生活动】1位学生有声有色地讲述着《狗熊掰棒子》的故事，•其他学生认真听着，不时补充．【教师归纳】听了这则故事之后，同学们应该懂得这么一个道理，学习千万不能像狗熊掰棒子一样，前面学，后面忘，那么，上节课我们学习了什么呢？还记得吗？【学生回答】多项式乘以多项式．【教师激发】大家是不是已经掌握呢？还是早扔掉了呢？和小狗熊犯了同样的错误呢？下面我们就来做这几道题，看看你是否掌握了以前的知识．【问题牵引】计算：（1）（x+2）（x－2）；（2）（1+3a）（1－3a）；（3）（x+5y）（x－5y）；（4）（y+3z）（y－3z）．做完之后，观察以上算式及运算结果，你能发现什么规律？再举两个例子验证你的发现．【学生活动】分四人小组，合作学习，获得以下结果：（1）（x+2）（x－2）=x2－4；（2）（1+3a）（1－3a）=1－9a2；（3）（x+5y）（x－5y）=x2－25y2；（4）（y+3z）（y－3z）=y2－9z2．【教师活动】请一位学生上台演示，然后引导学生仔细观察以上算式及其运算结果，寻找规律．【学生活动】讨论【教师引导】刚才同学们从上述算式中找到了这一组整式乘法的结果的规律，这些是一类特殊的多项式相乘，那么如何用字母来表现刚才同学们所归纳出来的特殊多项式相乘的规律呢？【学生回答】可以用（a+b）（a－b）表示左边，那么右边就可以表示成a2－b2了，即（a+b）（a－b）=a2－b2．用语言描述就是：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差．【教师活动】表扬学生的探索精神，引出课题──平方差，并说明这是一个平方差公式和公式中的字母含义．二、范例学习，应用所学【教师讲述】平方差公式的运用，关键是正确寻找公式中的a和b，只有正确找到a和b，•一切就变得容易了．现在大家来看看下面几个例子，从中得到启发．【例1】运用平方差公式计算：（1）（2x+3）（2x－3）；（2）（b+3a）（3a－b）；（3）（－m+n）（－m－n）．填表：(a+b)(a－b) a b a2－b2结果(2x+3)(2x －3) 2x(2x)2－32(b+3a)(3a－b)(－m+n)(－m－n)【例2】计算：（1）103×97（2）（3x－y）（3y－x）－（x－y）（x+y）通过做题，应该总结出：在两个因式中，符号相同的一项作a，符号不同的一项作b．三、随堂练习，巩固新知课本P153练习第1、2题．四、课堂总结，发展潜能本节课的内容是两数和与这两数差的积，公式指出了具有特殊关系的两个二项式积的性质．运用平方差公式应满足两点：一是找出公式中的第一个数a，•第二个数b；二是两数和乘以这两数差，这也是判断能否运用平方差公式的方法．五、布置作业，专题突破课本P156第1、2题．板书设计15.2.1平方差公式（一）1、平方差公式例：（a+b）（a－b）=a2－b2练习：15.2.1平方差公式（二）教学目标1．知识与技能探究平方差公式的应用，熟练地应用于多项式乘法之中．2．过程与方法经历平方差公式的运用过程，体会平方差公式的内涵．3．情感、态度与价值观培养良好的运算能力，以及观察事物的特征的能力，感受到学习数学知识的实际价值．重、难点与关键1．重点：运用平方差公式进行整式计算．2．难点：准确把握运用平方差公式的特征．3．关键：弄清平方差公式的结构特点，左边：（1）两个二项式的积；（2）•两个二项式中一项相同，另一项互为相反数．右边：（1）二项式；（2）两个因式中相同项平方减去互为相反数的项的平方．教学方法采用“精讲．精练”分层递推的教学方法，让学生在训练中，熟练掌握平方差的特征．教学过程一、回顾交流，课堂演练1．用平方差公式计算：（1）（－9x－2y）（－9x+2y）（2）（－0.5y+0.3x）（0.5y+0.3x）（3）（8a2b－1）（1+8a2b）（4）20082－2009×20072．计算：（a+12b）（a－12b）－（3a－2b）（3a+2b）。

初中数学八年级上册第十五章《整式的乘除与因式分解》简介

新课标人教版初中数学八年级上册第十五章《整式的乘除与因式分解》简介人教版《义务教育课程标准实验教科书?数学》第十五章是“整式的乘除与因式分解”。

本章的主要内容是整式的乘除运算、乘法公式以及因式分解。

本章内容建立在已经学习了的有理数运算、列简单的代数式、一次方程及不等式、整式的加减运算等知识的基础上。

整式的乘除运算和因式分解是基本而重要的代数初步知识，这些知识是以后学习分式和根式运算、函数等知识的基础，在后续的数学学习中具有重要意义，同时，这些知识也是学习物理、化学等学科及其他科学技术不可缺少的数学基础知识.本章共安排了4个小节，教学时间约需13课时（供参考）：15.1 整式的乘法4课时15.2 乘法公式2课时15.3 整式的除法2课时15.4 因式分解3课时数学活动小结2课时一、教科书内容和课程学习目标（一）本章知识结构框图（二）教科书内容本章共包括4节15.1 整式的乘法整式的乘法是整式四则运算的重要组成部分。

本节分为四个小节，主要内容是整式的乘法，这些内容是在学生掌握了有理数运算、整式加减运算等知识的基础上学习的。

其中，幂的运算性质，即同底数幂的乘法、幂的乘方和积的乘方是整式乘法的基础，教科书把它们依次安排在前三个小节中，教学中应适当复习幂、指数、底数等概念，特别要弄清正整数指数幂的意义。

在学生掌握了幂的运算性质后，作为它们的一个直接应用，教科书在第四小节安排一般整式乘法的教学内容。

首先是单项式与单项式相乘，由于进行单项式与多项式、多项式与多项式相乘的前提是熟练地进行单项式与单项式相乘，因此，对于单项式与单项式相乘的教学应该予以充分重视。

在学生掌握了单项式与单项式相乘的基础上，教科书利用分配律等进一步引入单项式与多项式相乘、多项式与多项式相乘，这样使整式乘法运算的教学从简到繁，由易到难，层层递进。

15.2乘法公式本节分为两个小节，分别介绍平方差公式与完全平方公式。

乘法公式是整式乘法的特殊情形，是在学习了一般的整式乘法知识的基础上学习的，运用乘法公式能简化一些特定类型的整式相乘的运算问题，教科书在本节开始首先指出了这一点。

第十五章整式的乘除与因式分解教材分析

第十五章整式的乘除与因式分解教材分析1、教学内容及地位本章属于《课程标准》中的“数与代数”领域，其核心知识是：整式的乘除运算和因式分解。

这些知识是在学习了有理数的运算、列代数式、整式加减和解一元一次方程及不等式的基础引入的。

也是进一步学习分式和根式运算、一元二次方程以及函数等知识的基础，同时又是学习物理、化学等学科及其他科学技术不可缺少的数学工具，因此，本章在初中学段占有重要地位。

2、本章教学内容在学习上各部分知识之间的联系如下：从上面可以看出，本章内容的突出的特点是：内容联系紧密、以运算为主。

全章紧紧围绕整式的乘除运算，分层递进，层层深入。

在整式的乘除中，单项式的乘除是关键，这是因为其他乘除都要转化为单项式除法。

实际上，单项式的乘除进行的是幂的运算与有理数的运算，因此幂的运算是学好整式乘除的基础。

3、教学目标《课程标准》目标人教材具体目标目标1：了解整数指数幂的意义和基本性质，会进行简单的整式乘法运算（其中的多项式相乘仅指一次式相乘）目标1：掌握正整数幂的乘、除运算性质，能用代数式和文字语言正确地表述这些性质，并能运用它们熟练地进行计算.掌握单项式乘（或除以）单项式、多项式乘（或除以）单项式以及多项式乘多项式的法则，并运用它们进行计算.目标2：会推导乘法公式：(a+b)(a-b)=a2-b2；(a+b)2=a2+2ab+b2，了解公式的几何背景，并能进行简单计算.目标2：会推导乘法公式（平方差公式和完全平方公式），了解公式的几何意义，能利用公式进行乘法运算.⑴解析每个目标①目标1中《课标》对整式乘法运算的要求——其中的多项式相乘仅指一次式相乘，是对多项式与多项式相乘的难度作一个要求。

②目标2中对乘法公式的要求不仅是能利用公式进行（简单）的乘法运算，更要引起老师们注意的是，目标要求会“推导”乘法公式，因此在教学中要从代数、几何多个角度出发推导公式。

③目标3中，《课标》要求：会用提公因式法、公式法（直接用公式不超过二次）分解因式（指数是正整数）。

人教版八年级数学上册第十五章整式的乘除与因式分解(教案)

（1）多项式乘以多项式的法则：熟练掌握多项式乘法法则，特别是字母表示的项相乘时的符号处理和合并同类项。
举例：计算（a+b）（c+d），重点强调如何正确处理符号和合并同类项。
（2）多项式乘以单项式的法则：理解和运用单项式乘以多项式的法则，注意乘法分配律的应用。
举例：计算3x（2x^2+4x-1），重点在于如何将单项式3x分别与多项式中的每一项相乘。
（3）平方差公式和完全平方公式的应用：掌握平方差公式（a^2-b^2）和完全平方公式（a^2±2ab+b^2），并能灵活运用到实际计算中。
举例：化简表达式a^2-4，重点在于应用平方差公式得到（a+2）（a-2）。
（4）因式分解的方法：掌握提公因式法、平方差公式法和完全平方公式法，能够将多项式分解为整式的乘积。
3.平方差公式：掌握平方差公式的结构特点，能够灵活运用平方差公式进行乘法运算。
4.完全平方公式：理解并掌握完全平方公式的结构，学会运用完全平方公式进行乘法运算。
5.因式分解：掌握提公因式法、平方差公式法和完全平方公式法等因式分解方法，解决实际问题。
本节课将结合实际例题，帮助学生巩固所学知识，提高解题能力。
在学生小组讨论环节，我注意到有些学生在分享成果时表达不够清晰，可能是因为他们在讨论过程中没有充分整理自己的思路。针对这个问题，我需要在今后的教学中加强学生的语言表达训练，让他们学会如何条理清楚地表达自己的观点。
最后，总结回顾环节，我发现在这个阶段，部分学生仍然存在疑问。这说明我在课堂上的讲解和引导可能还不够到位，需要进一步关注学生的学习反馈，及时调整教学方法，提高教学效果。
五、教学反思
今天我们在课堂上学习了整式的乘除与因式分解，回顾整个教学过程，我觉得有几个地方值得反思。首先，我在导入新课环节提出了与日常生活相关的问题，希望通过这种方式激发学生的兴趣，但从学生的反应来看，可能问题设置得还不够贴近他们的实际经验，导致部分学生的参与度不高。在今后的教学中，我需要更加注意问题的设计，使其更具有针对性和吸引力。

人教新课标八年级数学上册第15章整式的乘除与因式分解全章教案

§15．1．1 同底数幂的乘法教学目标：（一）教学知识点：1．理解同底数幂的乘法法则．2．运用同底数幂的乘法法则解决一些实际问题．（二）过程与方法：1．在进一步体会幂的意义时，发展推理能力和有条理的表达能力．2．通过“同底数幂的乘法法则”的推导和应用，•使学生初步理解特殊──一般──特殊的认知规律．（三）情感与价值观：体味科学的思想方法，接受数学文化的熏陶，激发学生探索创新的精神．教学重点:正确理解同底数幂的乘法法则．教学难点:正确理解和应用同底数幂的乘法法则．教学方法：透思探究教学法：利用学生已有的知识、经验对所学内容进行自主探究、发现，在对新知识的再创造和再发现的活动中培养学生的探索创新精神与创新能力．教学过程：一．提出问题，创设情境复习an 的意义： an 表示n 个a 相乘，我们把这种运算叫做乘方．乘方的结果叫幂；a 叫做底数，•n 是指数．问题：1、一种电子计算机每秒可进行1012次运算，它工作103秒可进行多少次运算？2、1012×103如何计算呢？根据乘方的意义可知 1012×103=121010)⨯⨯个(10×（10×10×10）=15101010)⨯⨯⨯个(10=1015．很好，通过观察大家可以发现1012、103这两个因数是同底数幂的形式，所以我们把像1012×103的运算叫做同底数幂的乘法．根据实际需要，我们有必要研究和学习这样的运算──同底数幂的乘法．二．导入新课 1．做一做出示投影片：处理方法：让学生自主探索，在启发性设问的引导下发现规律，并用自己的语言叙述）．发现下列规律：（一）这三个式子都是底数相同的幂相乘．（二）相乘结果的底数与原来底数相同，指数是原来两个幂的指数的和． 2．议一议出示投影片： am·an 表示同底数幂的乘法．根据幂的意义可得： am·an=()a aa m 个a·()a aa n 个a=a aa(m+n)个a=am+n于是有am·an=am+n（m 、n 都是正整数），用语言来描述此法则即为： “同底数幂相乘，底数不变，指数相加”． 3．例题讲解出示投影片学生活动:板演三．随堂练习课本P142练习：计算四．课时小结这节课我们学习了同底数幂的乘法的运算性质，•请同学们谈一下有何新的收获和体会呢？五．课后作业课本P148习题15．1─1．（1）、（2），2．（1）、3．（1）、（2）。

!初二数学第15章《整式的乘除与因式分解》教案

第十五章整式的乘除与因式分解课题： 15.1.1 同底数幂的乘法教学目标：1、探究同底数幂的乘法法则。

2、会用式子和文字正确描述同底数幂的乘法法则。

3、熟练运用同底数幂的乘法法则进行计算。

重点：同底数幂的乘法法则及应用。

难点：熟练运用同底数幂的乘法法则进行计算。

学习方法：自学、归纳、交流、练习课前准备：布置前置性作业。

一．知识要点１．２３×２４＝(２×２×２)(２×２×２×２) ＝2( )a 2×a 6=______________________________=a ( )2.根据1中的规律,以幂的形式写出结果:102×104=____ 32×33=____ (-10)2×(-10)4=____ a 2×a 3=____ 3.a m· a n=_________ (m 、n 都是正整数）4.同底数幂相乘，___________________,______________________。

5.am•a n •ap=___________________。

二．知识应用1、计算：(1)(-5) (-5)2 (-5)3 (2)(a+b)3 (a+b)52、10×10×10×10×10可以写成形式？3、26表示？4. 什么叫作乘方？。

5、 a n 表示的意义是什么？其中a 、n 、a n分别叫做什么？6、判断正误： ⑴222743=+（） ⑵ 222743=•（）⑶xx x 1262=•（） ⑷x2x x 666=•（）7、选择： ⑴x2m 2+可写成（）A 、x1m 2+ B 、xx2m2+C 、xx 1m 2+•D 、xx2m2•⑵在等式()aaa 1142=••中，括号里面的代数式应当是（）A 、a7B 、a6C 、a5D 、a4⑶若3x a =，5x b =，则xba +的值为（）A 、8 B 、15 C 、35D 、53教学过程：一、检查前置性作业的完成情况。

八年级数学上册第15章整式的乘除与因式分解复习教案人教新课标版

第十五章整式的乘除与因式分解（复习）教学目标：1.知识与技能：掌握运用提公因式法、公式法分解因式，培养学生应用因式分解解决问题的能力.2.过程与方法：经历探索因式分解方法的过程，培养学生研讨问题的方法，通过猜测、推理、验证、归纳等步骤，得出因式分解的方法.3.情感态度与价值观：通过因式分解的学习，使学生体会数学美，体会成功的自信和团结合作精神，并体会整体数学思想和转化的数学思想.教学重、难点：用提公因式法和公式法分解因式.教具准备：多媒体课件（小黑板）教学方法：活动探究法教学过程：引入:在整式的变形中，有时需要将一个多项式写成几个整式的乘积的形式，这种变形就是因式分解.什么叫因式分解？知识详解知识点1 因式分解的定义把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.【说明】 (1)因式分解与整式乘法是相反方向的变形.例如：(2)因式分解是恒等变形，因此可以用整式乘法来检验.怎样把一个多项式分解因式？知识点2 提公因式法多项式m a+mb+mc中的各项都有一个公共的因式m，我们把因式m叫做这个多项式的公因式.m a+mb+mc=m(a+b+c)就是把m a+mb+mc分解成两个因式乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式m，另一个因式(a+b+c)是m a+mb+mc除以m所得的商，像这种分解因式的方法叫做提公因式法.例如：x2-x=x(x-1)，8a2b-4a b+2a=2a(4a b-2b+1).探究交流下列变形是否是因式分解？为什么？(1)3x2y-xy+y=y(3x2-x)； (2)x2-2x+3=(x-1)2+2；(3)x2y2+2xy-1=(xy+1)(xy-1)； (4)x n(x2-x+1)=x n+2-x n+1+x n.典例剖析师生互动例1 用提公因式法将下列各式因式分解.(1) -x3z+x4y； (2) 3x(a-b)+2y(b-a)；分析：(1)题直接提取公因式分解即可，(2)题首先要适当的变形，再把b-a化成-(a-b)，然后再提取公因式.小结运用提公因式法分解因式时，要注意下列问题：(1)因式分解的结果每个括号内如有同类项要合并，而且每个括号内不能再分解.(2)如果出现像(2)小题需统一时，首先统一，尽可能使统一的个数少。

八年级上数学人教版《整式的乘除与因式分解》教案

《整式的乘除与因式分解》教案教学目标：1.掌握整式的乘除和因式分解的基本方法和技能，能够进行简单的整式运算和因式分解。

2.通过观察、操作、推理等活动，发展学生的数感和符号感，培养学生的数学思维能力和创新意识。

3.了解整式的乘除和因式分解在实际问题中的应用，体验数学与生活的联系，激发学生学习数学的兴趣。

教学重点：掌握整式的乘除和因式分解的基本方法和技能。

教学难点：正确进行整式的乘除运算和因式分解。

教学方法：1.实物演示法：通过实物演示，引导学生观察、思考，加深对整式的乘除和因式分解的理解。

2.小组讨论法：将学生分成小组，让他们自己探索、讨论整式的乘除和因式分解的方法，互相学习、互相启发。

3.讲解法：通过讲解例题和练习题，引导学生理解、掌握和应用整式的乘除和因式分解的知识点。

教学准备：教师准备教学PPT、实物模型等；学生准备草稿纸、笔等。

教学过程：一、导入新课通过复习旧知识，引出新知识，激发学生对新知识的探究欲望。

二、新课学习1.整式的乘除：通过PPT演示，引导学生掌握整式的乘除运算方法和技能。

具体包括同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方、同底数幂的除法等。

通过例题解析和练习题，加深学生对整式的乘除运算的理解和应用。

2.因式分解：通过PPT演示，引导学生理解因式分解的概念和方法。

具体包括提公因式法、公式法等。

通过例题解析和练习题，加深学生对因式分解的理解和应用。

3.应用举例：通过PPT演示，引导学生了解整式的乘除和因式分解在实际问题中的应用。

例如，求解一些简单的数学问题、解决实际问题等。

通过例题解析和练习题，加深学生对整式的乘除和因式分解在实际问题中的应用理解。

三、课堂小结通过总结本节课的学习内容，让学生明确学习目标和重点难点。

同时引导学生反思自己的学习过程和方法，培养良好的学习习惯和能力。

四、作业布置1.完成教材上的练习题。

2.预习下一节课所学内容，做好预习笔记。

第15章整式的乘除与因式分解全章教案

第15章整式的乘除与因式分解全章教案思考：先填空，再看看列出的代数式有什么特点．（1）边长为x 的正方形的周长为_________；（2）一辆汽车的速度是v 千米/时，行驶t 小时所走过的路程为_______千米．（3）如图，正方体的表面积为_______，正方体的体积为________；（4）设n 表示一个数，则它的相反数是________．第十五章整式的乘除与因式分解§15．1．1 整式教学目标1．单项式、单项式的定义． 2．多项式、多项式的次数． 3、理解整式概念．教学重点单项式及多项式的有关概念．教学难点单项式及多项式的有关概念．教学过程Ⅰ．提出问题，创设情境在七年级，我们已经学习了用字母可以表示数，思考下列问题 1．要表示△ABC 的周长需要什么条件？要表示它的面积呢？2．小王用七小时行驶了Skm 的路程，请问他的平均速度是多少？结论：1、要表示△ABC 的周长，需要知道它的各边边长．要表示△ABC•的面积需要知道一条边长和这条边上的高．如果设BC=a ，AC=b ，AB=c ．AB 边上的高为h ，•那么△ABC 的周长可以表示为a+b+c ；△ABC 的面积可以表示为12·c ·h ． 2．小王的平均速度是S t ．问题：这些式子有什么特征呢？（1）有数字、有表示数字的字母．（2）数字与字母、字母与字母之间还有运算符号连接．归纳：用基本的运算符号（运算包括加、减、乘、除、乘方与开方）把数和表示数的字母连接起来的式子叫做代数式．判断上面得到的三个式子：a+b+c 、12ch 、St 是不是代数式？（是）代数式可以简明地表示数量和数量的关系．今天我们就来学习和代数式有关的整式．Ⅱ．明确和巩固整式有关概念（出示投影）结论：（1）正方形的周长：4x ．（2）汽车走过的路程：vt ．（3）正方体有六个面，每个面都是正方形，这六个正方形全等，•所以它的表面积为6a 2；正方体的体积为长×宽×高，即a 3．（4）n 的相反数是－n ．分析这四个数的特征．它们符合代数式的定义．这五个式子都是数与字母或字母与字母的积，而a+b+c 、12ch 、St 中还有和与商的运算符号．还可以发现这五个代数式中字母指数各不相同，字母的个数也不尽相同．请同学们阅读课本P160～P161单项式有关概念．根据这些定义判断4x 、vt 、6a 2、a 3、-n 、a+b+c 、12ch 、S t 这些代数式中，哪些是单项式？是单项式的，写出它的系数和次数．第15章整式的乘除与因式分解全章教案结论:4x 、vt 、6a 2、a 3、-n 、12ch 是单项式．它们的系数分别是4、1、6、1、-1、12．它们的次数分别是1、2、2、3、1、2．所以4x 、-n 都是一次单项式；vt 、6a 2、•12ch 都是二次单项式；a 3是三次单项式．问题:vt 中v 和t 的指数都是1，它不是一次单项式吗？结论:不是．根据定义，单项式vt 中含有两个字母，所以它的次数应该是这两个字母的指数的和，而不是单个字母的指数，所以vt 是二次单项式而不是一次单项式．生活中不仅仅有单项式，像a+b+c ，它不是单项式，和单项式有什么联系呢？写出下列式子（出示投影）结论:（1）t-5．（2）3x+5y+2z ．（3）三角尺的面积应是直角三角形的面积减去圆的面积，即12ab-3.12r 2．（4）建筑面积等于四个矩形的面积之和．而右边两个已知矩形面积分别为3×2、4×3，所以它们的面积和是18．于是得这所住宅的建筑面积是x 2+2x+18．我们可以观察下列代数式：a+b+c 、t-5、3x+5y+2z 、12ab-3.12r 2、x 2+2x+18．发现它们都是由单项式的和组成的式子．是多个单项式的和，能不能叫多项式？这样推理合情合理．请看投影，熟悉下列概念．根据定义，我们不难得出a+b+c 、t-5、3x+5y+2z 、2ab-3.12r 2、x 2+2x+18都是多项式．请分别指出它们的项和次数．a+b+c 的项分别是a 、b 、c ．t-5的项分别是t 、-5，其中-5是常数项． 3x+5y+2z 的项分别是3x 、5y 、2z ． 12ab-3.12r 2的项分别是12ab 、-3.12r 2．x2+2x+18的项分别是x 2、2x 、18．找多项式的次数应抓住两条，一是找准每个项的次数，•二是取每个项次数的最大值．根据这两条很容易得到这五个多项式中前三个是一次多项式，后两个是二次多项式．这节课，通过探究我们得到单项式和多项式的有关概念，它们可以反映变化的世界．同时，我们也体会到符号的魅力所在．我们把单项式与多项式统称为整式． Ⅲ．随堂练习 1．课本P162练习 Ⅳ．课时小结通过探究，我们了解了整式的概念．理解并掌握单项式、多项式的有关概念是本节的重点，特别是它们的次数．在现实情景中进一步理解了用字母表示数的意义，•发展符号感． Ⅴ．课后作业1．课本P165～P166习题15．1─1、5、8、9题． 2．预习“整式的加减”．课后作业：《课堂感悟与探究》§15．1．2 整式的加减（1）教学目的：1、解字母表示数量关系的过程，发展符号感。

新人教版八年级数学上册第15章整式的乘除与因式分解教案

第15章整式的乘除与因式分解15.1.1 整式的乘法教学目标①感受生活中幂的运算的存在与价值．②经历自主探索同底数幂的乘法、幂的乘方和积的乘方等运算性质的过程，能用代数式和文字正确地表述这些性质，并会运用它们熟练地进行计算．③逐步形成独立思考、主动探索的习惯．④通过由特殊到一般的猜想与说理、验证，培养学生一定的说理能力和归纳表达能力．教学重点与难点重点：幂的三个运算性质．难点：幂的三个运算性质．教学设计创设情境导入新课问题：一种电子计算机每秒可以进行1012次运算，它工作103s可以进行多少次运算?你能用学过的知识解决吗?从实际问题的导入，让学生自己动手试一试，主动探索，在自己的实践中获得知识．从而构建新的知识体系，同时因为关于底数、指数、幂等概念是在有理数的乘法中学习的，学生可能生疏或遗忘，在新课讲解之前利用这个实际问题进行复习．学生略作思考后得出，它工作103s可以进行的运算次数是1012×103．怎样计算1012×103?根据乘方的意义可以知道：探究新知1．探一探根据乘方的意义填空：从引例到“探一探”，“猜一猜”，“说一说”是一个从特殊到一般，从具体到抽象，把幂的底数与指数分两步有层次地进行概括抽象的过程．在这一过程中，要注意留给学生探索与交流的空间，让学生在自己的实践中获得运算法则．学生独立思考后回答，教师板演．2．猜一猜问：看看计算结果，你能发现结果有什么规律吗?学生小组讨论后交流结果：不管底数是什么数，只要底数相同，结果就是指数相加．3．说一说a m×a n(m，n是正整数)?学生说出理由，教师板演共同得出结论：a m×a n=a m+n(m，n都是正整数)即同底数幂相乘，底数不变，指数相加．注意性质中的m、n的取值范围．注：要求学生用语言叙述这个性质，即“同底数的幂相乘，底数不变，指数相加”，这对于学生提高数学语言的表述能力是有益的．4．想一想a m×a n×a p=?5．做一做例1教科书第142页的例1(1)～(4)(5)-a3·a5；(6)(x+1)2·(x+1)3同底数幂的性质很容易推广到三个以上的同底数幂相乘．在例1的课堂教学中教师要求学生说明底数是什么，指数是什么，引导学生观察是不是同底数幂相乘，再利用性质进行计算．例1(5)中注意让学生说清“-a3”的底数是“a”还是“-a”．性质中的字母可以是单项式也可以是多项式，如例1(6)，把底数进一步扩充到式的范围．6．自主学习根据乘方的意义及同底数幂的乘法，让学生自主探究教科书第170页探究问题．学生在独立思考、合作交流的基础上，得出幂的乘方运算性质：(a m)n=a mn(m，n都是正整数)即幂的乘方，底数不变，指数相乘．7．做一做例2教科书第171页的例2(1)～(4)(5) -(x3)4·x28．想一想让学生自主探究教科书第171页的探究问题，并完成填空．尝试分析运算过程中用到哪些运算律?运算结果有什么规律?学生自己归纳出积的乘方的运算性质：(ab)n=a n b n(n为正整数)即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．那么，(abc)n=?注：和前两个性质的教学一样，这个性质也是先用具体指数为例说明积的乘方的意义和导出性质的每一步依据，从而归纳出一般指数情形的性质．这个性质也很容易推广到三个以上因式的乘方．9．做一做例3教科书第172页的例3(1)～(4);补充：(5) [-3(x+y)2]3例4 计算：x·(x2)3-2x4·x2比一比这节课我们学习了三个运算性质：“同底数幂的乘法”、“幂的乘方”和“积的乘方”．组织学生进行计时比赛，在规定时间内完成教科书第170页、17l页、172页的练习．深入探究例5计算：(1)(-8)2004·(-0.125)2005(2)(-2)2n+1+2·(-2)2n(n为正整数)．在这三个性质中的底数、指数中，指数注明为正整数，而底数可以是数、字母或式．把底数进一步扩充到式的范围．议一议下面的计算对不对?如果不对，应当怎样改正．(1)a3·a3=a6； (2)b4·b4=2b4；(3)x5+x5=x10; (4)y7·y=y8；(5)(a3)5=a8； (6)a3·a5=a15;(7)(a2)3·a4=a9； (8)(xy3)2=xy6；(9)(-2x)3=-2x3注：补充议一议与辨析题的目的是让学生通过对这些判断题的讨论甚至争论，加强对运算性质的掌握，同时也培养学生一定的批判性思维能力．小结组织学生讨论和辨析三个运算性质．课外巩固1．必做题：教科书第148页习题15.1第1、2题．2．备选题：(1)计算：(2)计算：a m-1·a n+2+a m+2·a n-1+a m·a n+1(3)已知：a m=7，b m=4，则(ab)2m=______(4)已知：3x+2y-3=0，则27x·9y=___________教学后记15.1整式的乘法(2)教学目标:①探索并了解单项式与单项式、单项式与多项式相乘的法则，并运用它们进行运算．②让学生主动参与到探索过程中去，逐步形成独立思考、主动探索的习惯，培养思维的批判性、严密性和初步解决问题的愿望与能力．教学重点与难点重点：单项式与单项式、单项式与多项式相乘的法则．难点：单项式与多项式相乘去括号法则的应用．教学设计复习引新1．知识回顾：回忆幂的运算性质：a m·a n=a m+n(m，n都是正整数)即同底数幂相乘，底数不变，指数相加．(a m)n=a mn(m，n都是正整数)即幂的乘方，底数不变，指数相乘．(ab)n=a n b n(n为正整数)即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．2．练一练口答：幂的三个运算性质是学习单项式与单项式、单项式与多项式乘法的基础，所以先组织学生对上述内容做复习．创设情境引入新课问题光的速度约为3×105千米/秒，太阳光照射到地球上需要的时间大约是5×102秒，你知道地球与太阳的距离约是多少千米吗?注：从实际的问题导入，让学生自己动手试一试，主动探索，在自己的实践中获得知识，从而构建新的知识体系．地球与太阳的距离约为(3×105)×(5×102)千米．问题是(3×105)×(5×102)等于多少呢?学生提出运用乘法交换律和结合律可以解决：(3×105)×(5×102)=(3×5)×(105×102)=15×107(为什么?)在此处再问学生更加规范的书写是什么?应该是地球与太阳的距离约为1.5×lO8千米．请学生回顾，我们是如何解决问题的．探究新知1．问题：如果将上式中的数字改为字母，即ac5·bc2，你会算吗?学生独立思考，小组交流．注：从特殊到一般，从具体到抽象，在这一过程中，要注意留给学生探索与交流的空间，让学生在自己的实践中获得单项式与单项式相乘的运算法则．学生分析：跟刚才的解决过程类似，可以将ac5和bc2分别看成a·c5和b·c2，再利用乘法交换律和结合律．ac5·bc2=(a·c5)·(b·c2)=(a·b)·(c5·c2)=abc5+2=abc7注：在教学过程中注意运用类比的方法来解决实际问题．2．试一试：类似地，请你试着计算：(1)2c5·5c2；(2)(-5a2b3)·(-4b2c)ac5和bc2，2c5和5c2，(-5a2b3)和(-4b2c)都是单项式，通过刚才的尝试，谁能告诉大家怎样进行单项式乘法?注：先不给出单项式与单项式相乘的运算法则，而是让学生类比，自己动手试一试，再相互交流，自己小结出如何进行单项式的乘法．要求学生用语言叙述这个性质，这对于学生提高数学语言的表述能力是有益的．学生小结：单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．3．算一算例1教科书第145页例4在例题教学中应该先让学生观察有哪些运算，如何利用运算性质和法则。