2019版理科数学一轮复习第2章第3讲二次函数与幂函数(习思用.数学理) Word版含解析

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(福建专用)2019高考数学一轮复习-第二章函数 2.4 幂函数与二次函数课件理新人教A版

5 2,+∞
内是增函数,则a的取值范围为( )
A.a≤-5 B.a≤5 C.a≥-5D.a≥5
∵y=x2+ax+6 在
-
�� 2
,
+
∞
内是增函数,
由题意得-��2�� ≤ 52.
∴a≥-5,故选 C.
C
关闭
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解析答案
知识梳理考点自测
12345
3.如图是①y=xa;②y=xb;③y=xc在第一象限的图象,则a,b,c的大小
又且幂在函(0,数+∞f()x内)在是(减0,+函∞数)内,则是n的减值函为数,( )
所以A.-n32-3Bn<.10. C.2 D.1或2
关闭
所(1)以C舍(去2)Bn=-3,得 n=1.当 n=1 时,n2-3n=-2,满足题意.故选 B.
解析答案
考点1 考点2 考点3
思考幂函数与指数函数有怎样的区别?幂函数有哪些重要的性质? 解题心得1.幂函数中底数是自变量,指数是常数,而指数函数中底数是常数,指数是自变量. 2.幂函数的主要性质: (1)幂函数在(0,+∞)内都有定义,幂函数的图象都过定点(1,1). (2)当α>0时,幂函数的图象经过点(1,1)和(0,0),且在(0,+∞)内单调递增. (3)当α<0时,幂函数的图象经过点(1,1),且在(0,+∞)内单调递减. (4)幂函数图象在第一象限的特点:当α>1时,曲线下凸;当0<α<1 时,曲线上凸;当α<0时,曲线下凸.
关系为( )
A.a>b>c
B.a<b<c
C.b<c<a

高考数学一轮复习讲义第2章第3节二次函数与幂函数

第三节二次函数与幂函数1.了解幂函数的概念;结合函数y ＝x ,y ＝x 2,y ＝x 3,y ＝1x ,y ＝x 12的图象,了解它们的变化情况． 2.理解二次函数的图象和性质,能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题. 突破点一幂函数[基本知识]1．幂函数的定义形如y ＝x α(α∈R)的函数称为幂函数,其中x 是自变量,α为常数．对于幂函数,只讨论α＝1,2,3,12,－1时的情形．2．五种幂函数的图象3．五种幂函数的性质函数性质 y ＝x y ＝x 2 y ＝x 3 y ＝x 12y ＝x －1 定义域 R R R [0,＋∞) (－∞,0)∪(0,＋∞) 值域 R [0,＋∞) R [0,＋∞) (－∞,0)∪(0,＋∞)奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性增x ∈[0,＋∞)时,增;x ∈(－∞,0]时,减增增x ∈(0,＋∞)时,减;x ∈(－∞,0)时,减一、判断题(对的打“√”,错的打“×”)(1)函数f (x )＝x 2与函数f (x )＝2x 2都是幂函数．( ) (2)幂函数的图象一定经过点(1,1)和点(0,0)．( ) (3)当n >0时,幂函数y ＝x n 在(0,＋∞)上是增函数．( ) 答案:(1)× (2)× (3)√二、填空题1．(2019·贵阳监测)已知幂函数y ＝f (x )的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫133,则f ⎝⎛⎭⎫12＝________. 解析:设幂函数的解析式为f (x )＝x α,将⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫133代入解析式得3－α＝3,解得α＝－12,∴f (x )＝x-12,f ⎝⎛⎭⎫12＝ 2. 答案: 22．设α∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－11213,则使f (x )＝x α为奇函数且在(0,＋∞)上单调递减的α的值是________．解析:因为f (x )＝x α为奇函数,所以α＝－1,1,3. 又因为f (x )在(0,＋∞)上为减函数,所以α＝－1. 答案:－1 3．若y ＝ax12-2a 是幂函数,则该函数的值域是________．解析:由y ＝ax 12-2a 是幂函数,得a ＝1,所以y ＝x 12,所以y ≥0,故该函数的值域为[0,＋∞)答案:[0,＋∞)[典例感悟]1．与函数y ＝x 12－1的图象关于x 轴对称的图象大致是( )解析:选B y ＝x 12的图象位于第一象限且为增函数,所以函数图象是上升的,函数y ＝x12－1的图象可看作由y ＝x 12的图象向下平移一个单位得到的(如选项A 中的图象所示),将y ＝x 12－1的图象关于x 轴对称后即为选项B.2．已知a ＝345,b ＝425,c ＝1215,则a ,b ,c 的大小关系为( ) A ．b <a <cB ．a b >c ,故选C.3．(2019·河北保定调考)幂函数f (x )＝(m 2－4m ＋4)·x 2-6+8m m 在(0,＋∞)上为增函数,则m的值为( )A ．1或3B ．1C ．3D ．2解析:选B 由题知⎩⎪⎨⎪⎧m 2－4m ＋4＝1m 2－6m ＋8>0解得m ＝1,故选B.[方法技巧]幂函数图象与性质的应用(1)可以借助幂函数的图象理解函数的对称性、单调性;(2)在比较幂值的大小时,必须结合幂值的特点,选择适当的函数,借助其单调性进行比较,准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键．[针对训练]1．若a ＝⎝⎛⎭⎫1223,b ＝⎝⎛⎭⎫1523,c ＝⎝⎛⎭⎫1223,则a ,b ,c 的大小关系是( ) A ．a 0)是增函数,∴a ＝⎝⎛⎭⎫1223>b ＝⎝⎛⎭⎫1523.∵y ＝⎝⎛⎭⎫12x 是减函数 ,∴a ＝⎝⎛⎭⎫1223<c ＝⎝⎛⎭⎫1223,∴b <a <c . 2．若(2m ＋1)12>(m 2＋m －1)12,则实数m 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎥⎤－∞－5－12 B.⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫5－12＋∞ C ．(－1,2)D.⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫5－122 解析:选D 因为函数y ＝x 12的定义域为[0,＋∞), 且在定义域内为增函数,所以不等式等价于⎩⎨⎧2m ＋1≥0m 2＋m －1≥02m ＋1>m 2＋m －1.解得⎩⎪⎨⎪⎧m ≥－12m ≤－5－12或m ≥5－12－1<m <2即5－12≤m <2.故选D. 突破点二二次函数[基本知识]1．二次函数解析式的三种形式一般式f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0),图象的对称轴是x ＝－b2a ,顶点坐标是⎝⎛⎭⎪⎫－b 2a4ac －b 24a顶点式f (x )＝a (x －m )2＋n (a ≠0),图象的对称轴是x ＝m ,顶点坐标是(m ,n )零点式f (x )＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0),其中x 1,x 2是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根,图象的对称轴是x ＝x 1＋x 22a >0a <0图象定义域 R值域 ⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫4ac －b 24a ＋∞ ⎝ ⎛⎦⎥⎥⎤－∞4ac －b 24a 奇偶性b ＝0时为偶函数,b ≠0时既不是奇函数也不是偶函数单调性在⎝ ⎛⎦⎥⎥⎤－∞－b 2a 上单调递减,在[ －b2a ,＋∞ )上单调递增在⎝ ⎛⎦⎥⎥⎤－∞－b 2a 上单调递增,在[ －b2a,＋∞ )上单调递减最值当x ＝－b2a 时,y min ＝4ac －b 24a当x ＝－b2a 时,y max ＝4ac －b 24a一、判断题(对的打“√”,错的打“×”)(1)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ,x ∈R,不可能是偶函数．( ) (2)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ,x ∈[a ,b ]的最值一定是4ac －b 24a.( )(3)在y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)中,a 决定了图象的开口方向和在同一坐标系中的开口大小．( )答案:(1)× (2)× (3)√ 二、填空题1．已知抛物线y ＝8x 2－(m ＋1)x ＋m －7的顶点在x 轴上,则m ＝________. 解析:∵抛物线y ＝8x 2－(m ＋1)x ＋m －7的顶点在x 轴上, ∴其顶点的纵坐标4×8×(m －7)－(m ＋1)24×8＝0,即m 2－30m ＋225＝0,∴(m －15)2＝0,∴m ＝15. 答案:152．若f (x )＝x 2＋(a ＋2)x ＋3,x ∈[a ,b ]的图象关于x ＝1对称,则b ＝________.解析:若f (x )＝x 2＋(a ＋2)x ＋3,x ∈[a ,b ]的图象关于x ＝1对称,则a ＋b ＝2,－a ＋22＝1.∴a＝－4,b ＝2－a ＝6.答案:63．函数f (x )＝2x 2－6x ＋1在区间[－1,1]上的最小值是________,最大值是________．解析:∵f (x )＝2⎝⎛⎭⎫x －322－72在[－1,1]上为减函数,∴当x ＝1时,f (x )min ＝－3;当x ＝－1时,f (x )max ＝9.答案:－3 9[全析考法]考法一求二次函数的解析式[例1] 已知二次函数f (x )满足f (2)＝－1,f (－1)＝－1,且f (x )的最大值是8,试确定此二次函数的解析式．[解] 法一(利用一般式): 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)．由题意得⎩⎨⎧4a ＋2b ＋c ＝－1a －b ＋c ＝－14ac －b 24a ＝8解得⎩⎨⎧a ＝－4b ＝4c ＝7.∴所求二次函数为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7.法二(利用顶点式): 设f (x )＝a (x －m )2＋n . ∵f (2)＝f (－1),∴抛物线的对称轴为x ＝2＋(－1)2＝12,∴m ＝12.又根据题意,函数有最大值8,∴n ＝8, ∴f (x )＝a ⎝⎛⎭⎫x －122＋8. ∵f (2)＝－1,∴a ⎝⎛⎭⎫2－122＋8＝－1,解得a ＝－4, ∴f (x )＝－4⎝⎛⎭⎫x －122＋8＝－4x 2＋4x ＋7. 法三(利用零点式):由已知f (x )＋1＝0的两根为x 1＝2,x 2＝－1, 故可设f (x )＋1＝a (x －2)(x ＋1), 即f (x )＝ax 2－ax －2a －1. 又函数有最大值y max ＝8, 即4a (－2a －1)－a 24a ＝8.解得a ＝－4或a ＝0(舍)．∴所求函数的解析式为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7. [方法技巧] 求二次函数解析式的方法根据已知条件确定二次函数解析式,一般用待定系数法,选择规律如下:考法二二次函数的图象与性质二次函数图象与性质在高考中单独考查的频率较低,与一元二次方程、一元二次不等式等知识交汇命题是高考的热点,多以选择题、填空题的形式出现,考查二次函数的图象与性质的应用．考向一二次函数的图象识别 [例2] (2019·甘肃武威模拟)如图是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象的一部分,图象过点A (－3,0),对称轴为直线x＝－1.给出下面四个结论:①b2>4ac;②2a－b＝1;③a－b＋c＝0;④5a<b.其中正确的结论是()A．②④B．①④C．②③D．①③[解析]∵二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交于两点,∴b2－4ac>0,即b2>4ac,①正确;二次函数的图象的对称轴为直线x＝－1,即－b2a＝－1,2a－b＝0,②错误;结合图象知,当x ＝－1时,y>0,即a－b＋c>0,③错误;由对称轴为直线x＝－1知,b＝2a,又∵函数的图象开口向下,∴a<0,∴5a<2a,即5a<b,④正确．故选B.[答案] B[方法技巧]识别二次函数图象应学会“三看”考向二二次函数的性质应用[例3](1)(2018·河南南阳二模)若函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)对任意实数x都有f(2＋x)＝f(2－x),则()A．f(2)<f(1)<f(4) B．f(1)<f(2)<f(4)C．f(2)<f(4)<f(1) D．f(4)<f(2)<f(1)(2)(2019·齐齐哈尔八中月考)“a＝1”是“函数f(x)＝x2－4ax＋3在区间[2,＋∞)上为增函数”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[解析](1)∵函数f(x)＝ax2＋bx＋c对任意实数x都有f(2＋x)＝f(2－x),∴函数图象关于x＝2对称,由a>0知f(x)min＝f(2),由2－1<4－2,得f(1)<f(4),故选A.(2)由a＝1可得f(x)＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1,图象开口向上,图象的对称轴为直线x＝2,所以f(x)在区间[2,＋∞)上为增函数．由函数f(x)＝x2－4ax＋3在区间[2,＋∞)上为增函数,可得2a≤2,解得a≤1.所以“a＝1”是“函数f(x)＝x2－4ax＋3在区间[2,＋∞)上为增函数”的充分不必要条件,故选A.[答案] (1)A (2)A [方法技巧]解决二次函数图象与性质问题的2个注意点(1)抛物线的开口、对称轴位置、定义区间三者相互制约,常见的题型中这三者有两定一不定,要注意分类讨论;(2)要注意数形结合思想的应用,尤其是结合二次函数在该区间上的单调性或图象求解．考向三二次函数的最值问题 [例4] 已知函数f (x )＝x 2＋(2a －1)x －3. (1)当a ＝2,x ∈[－2,3]时,求函数f (x )的值域;(2)若函数f (x )在[1,3]上的最大值为1,求实数a 的值． [解] (1)当a ＝2时,f (x )＝x 2＋3x －3＝⎝⎛⎭⎫x ＋322－214, 又x ∈[－2,3],所以f (x )min ＝f ⎝⎛⎭⎫－32＝－214, f (x )max ＝f (3)＝15,所以所求函数的值域为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－21415.(2)对称轴为x ＝－2a －12. ①当－2a －12≤1,即a ≥－12时,f (x )max ＝f (3)＝6a ＋3, 所以6a ＋3＝1,即a ＝－13,满足题意;②当－2a －12≥3,即a ≤－52时,f (x )max ＝f (1)＝2a －3, 所以2a －3＝1,即a ＝2,不满足题意; ③当1<－2a －12<3,即－52<a <－12时, 此时f (x )max 在端点处取得,令f (1)＝1＋2a －1－3＝1,得a ＝2(舍去), 令f (3)＝9＋3(2a －1)－3＝1,得a ＝－13(舍去)．综上,可知a ＝－13.[方法技巧]求二次函数在给定区间上最值的方法二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (不妨设a >0)在区间[m ,n ]上的最大或最小值如下: (1)当－b2a∈[m ,n ],即对称轴在所给区间内时: f (x )的最小值在对称轴处取得,其最小值是f ⎝⎛⎭⎫－b 2a ＝4ac －b 24a ;若－b 2a ≤m ＋n2,f (x )的最大值为f (n );若－b 2a ≥m ＋n2,f (x )的最大值为f (m )．(2)当－b2a∉[m ,n ],即给定的区间在对称轴的一侧时: f (x )在[m ,n ]上是单调函数．若－b2a<m ,f (x )在[m ,n ]上是增函数,f (x )的最小值是f (m ),最大值是f (n );若n <－b2a,f (x )在[m ,n ]上是减函数,f (x )的最小值是f (n ),最大值是f (m )．(3)当不能确定对称轴－b2a是否属于区间[m ,n ]时:则需分类讨论,以对称轴与区间的关系确定讨论的标准,然后转化为上述(1)(2)两种情形求最值．[集训冲关]1.[考法一]二次函数f (x )的图象经过两点(0,3),(2,3),且函数的最大值是5,则该函数的解析式是( )A ．f (x )＝2x 2－8x ＋11B ．f (x )＝－2x 2＋8x －1C ．f (x )＝2x 2－4x ＋3D ．f (x )＝－2x 2＋4x ＋3解析:选D 二次函数f (x )的图象经过两点(0,3),(2,3),则图象的对称轴为x ＝1, 又由函数的最大值是5,可设f (x )＝a (x －1)2＋5(a ≠0),于是3＝a ＋5,解得a ＝－2, 故f (x )＝－2(x －1)2＋5＝－2x 2＋4x ＋3.故选D.2.[考法二·考向一]设abc >0,二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象可能是( )解析:选D 当a <0时,b ,c 异号,排除A 、B 两项;当a >0时,b ,c 同号,排除C 项;D 项中,由图象知a >0,c <0,－b2a>0,故b <0,符合题意． 3.[考法二·考向二]已知函数f (x )＝2ax 2－ax ＋1(a <0),若x 1<x 2,x 1＋x 2＝0,则f (x 1)与f (x 2)的大小关系是( )A ．f (x 1)＝f (x 2)B ．f (x 1)>f (x 2)C ．f (x 1)<f (x 2)D ．与x 的值无关解析:选C 由题知二次函数f (x )的图象开口向下,图象的对称轴方程为x ＝14,因为x 1＋x 2＝0,所以直线x ＝x 1,x ＝x 2关于直线x ＝0对称, 由x 1<x 2,结合二次函数的图象可知f (x 1)<f (x 2)．4.[考法二·考向三]函数y ＝－x 2－2ax (0≤x ≤1)的最大值是a 2,则实数a 的取值范围是( )A ．[0,1]B ．[0,2]C ．[－2,0]D ．[－1,0]解析:选D y ＝－x 2－2ax ＝－(x ＋a )2＋a 2. ∵函数在[0,1]上的最大值是a 2, ∴0≤－a ≤1,即－1≤a ≤0.[课时跟踪检测][A 级基础题——基稳才能楼高]1．(2019·绵阳模拟)幂函数y ＝(m 2－3m ＋3)x m 的图象过点(2,4),则m ＝( ) A ．－2 B ．－1 C ．1D ．2解析:选D ∵幂函数y ＝(m 2－3m ＋3)x m 的图象过点(2,4),∴⎩⎪⎨⎪⎧m 2－3m ＋3＝12m ＝4解得m ＝2.故选D.2．若函数f (x )＝x 2－2x ＋m 在[3,＋∞)上的最小值为1,则实数m 的值为( ) A ．－3 B ．2 C ．－2D ．1解析:选C 函数f (x )＝x 2－2x ＋m 图象的对称轴为x ＝1<3,二次函数图象的开口向上,所以f (x )在[3,＋∞)上是增函数,因为函数f (x )＝x 2－2x ＋m 在[3,＋∞)上的最小值为1,所以f (3)＝1,即9－6＋m ＝1,解得m ＝－2,故选C.3．(2019·江西赣州厚德外国语学校阶段测试)幂函数y ＝f (x )的图象经过点(3,33),则f (x )是( )A ．偶函数,且在(0,＋∞)上是增函数B ．偶函数,且在(0,＋∞)上是减函数C ．奇函数,且在(0,＋∞)上是增函数D ．非奇非偶函数,且在(0,＋∞)上是减函数解析:选C 设f (x )＝x a,将点(3,33)代入f (x )＝x a,解得a ＝13,所以f (x )＝x 13,可知函数f (x )是奇函数,且在(0,＋∞)上是增函数,故选C.4．(2019·许昌四校联考)设a ,b 满足0<a a b ,D 错误;A 中,指数函数y ＝a x (0<a <1)为减函数,因为a a b ,所以A 错误;B 中,指数函数y ＝b x (0b b ,所以B 错误．故选C. 5．(2019·重庆三校联考)已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋1的图象的对称轴方程是x ＝1,并且过点P (－1,7),则a ,b 的值分别是( )A ．2,4B ．－2,4C ．2,－4D ．－2,－4 解析:选C ∵y ＝ax 2＋bx ＋1的图象的对称轴方程是x ＝1, ∴－b2a＝1. ① 又图象过点P (－1,7),∴a －b ＋1＝7,即a －b ＝6, ② 联立①②解得a ＝2,b ＝－4,故选C.6．(2019·甘肃天水六校联考)若函数f (x )＝x 2－3x －4的定义域为[0,m ],值域为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－254－4,则m 的取值范围是( )A ．(0,4]B.⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤324C.⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤323 D.⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫32＋∞ 解析:选C f (x )＝x 2－3x －4＝⎝⎛⎭⎫x －322－254,所以f ⎝⎛⎭⎫32＝－254.又f (0)＝－4,所以由二次函数的图象可知,m 的最小值为32,最大值为3,所以m 的取值范围是⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤323,故选C.[B 级保分题——准做快做达标]1．(2019·衡水武邑中学开学考试)若存在非零的实数a ,使得f (x )＝f (a －x )对定义域上任意的x 恒成立,则函数f (x )可能是( )A ．f (x )＝x 2－2x ＋1B ．f (x )＝x 2－1C ．f (x )＝2xD ．f (x )＝2x ＋1解析:选A 由存在非零的实数a ,使得f (x )＝f (a －x )对定义域上任意的x 恒成立,可得函数图象的对称轴为x ＝a2≠0,只有f (x )＝x 2－2x ＋1满足题意,而f (x )＝x 2－1,f (x )＝2x ,f (x )＝2x＋1都不满足题意,故选A.2．(2019·安徽名校联考)幂函数y ＝x |m －1|与y ＝x 3m －m 2(m ∈Z)在(0,＋∞)上都是增函数,则满足条件的整数m 的值为( )A ．0B ．1和2C ．2D ．0和3解析:选C 由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧|m －1|>03m －m 2>0m ∈Z解得m ＝2,故选C.3．(2019·浙江名校协作体考试)y ＝2ax 2＋4x ＋a －1的值域为[0,＋∞),则a 的取值范围是( )A ．(2,＋∞)B ．(－∞,－1)∪(2,＋∞)C ．[－1,2]D ．[0,2]解析:选D 当a ＝0时,y ＝4x －1,值域为[0,＋∞),满足条件;当a ≠0时,要使y ＝2ax 2＋4x ＋a －1的值域为[0,＋∞),只需⎩⎨⎧a >0Δ＝16－8a (a －1)≥0解得0<a ≤2.综上可知a 的取值范围为[0,2]．4．(2019·河南天一大联考)已知点(m,8)在幂函数f (x )＝(m －1)x n 的图象上,设a ＝f ⎝⎛⎭⎪⎫⎝⎛⎭⎫1312,b ＝f (ln π),c ＝f (2-12),则a ,b ,c 的大小关系为( ) A ．a <c 1,c ＝f ⎝⎛⎭⎫2-12＝2-32＝122>a .故a ,b ,c 的大小关系是a <c 0时,f (x )＝(x －1)2,若当x ∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－2－12时,n ≤f (x )≤m 恒成立,则m －n 的最小值为( )A.13B.12C.34D ．1解析:选D 当x <0时,－x >0,f (x )＝f (－x )＝(x ＋1)2,因为x ∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－2－12,所以f (x )min ＝f (－1)＝0,f (x )max ＝f (－2)＝1,所以m ≥1,n ≤0,m －n ≥1.所以m －n 的最小值是1.6．(2019·湖北鄂东南联考)若幂函数y ＝x －1,y ＝x m 与y ＝x n 在第一象限内的图象如图所示,则m 与n 的取值情况为( )A ．－1<m <0<n <1B ．－1<n <0<mC ．－1<m <0<nD ．－1<n <0<m <1解析:选D 幂函数y ＝x α,当α>0时,y ＝x α在(0,＋∞)上为增函数,且0<α<1时,图象上凸,∴0<m <1;当α<0时,y ＝x α在(0,＋∞)上为减函数,不妨令x ＝2,根据图象可得2－1<2n ,∴－1<n <0,综上所述,选D.7．若(a ＋1) 12<(3－2a )12,则实数a 的取值范围是________．解析:易知函数y ＝x 12的定义域为[0,＋∞),在定义域内为增函数, 所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1≥03－2a ≥0a ＋1<3－2a解得－1≤a <23.答案:⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫－1238．(2019·马鞍山月考)已知二次函数f (x )是偶函数,且f (4)＝4f (2)＝16,则函数f (x )的解析式为________．解析:由题意可设函数f (x )＝ax 2＋c (a ≠0),则f (4)＝16a ＋c ＝16,4f (2)＝4(4a ＋c )＝16a ＋4c ＝16,所以a ＝1,c ＝0,故f (x )＝x 2.答案:f (x )＝x 29．(2019·泉州质检)若二次函数f (x )＝ax 2－x ＋b (a ≠0)的最小值为0,则a ＋4b 的取值范围为________．解析:由已知可得,a >0,且判别式Δ＝1－4ab ＝0,即ab ＝14,∴b >0,∴a ＋4b ≥24ab ＝2( 当且仅当a ＝1,b ＝14时等号成立 ),即a ＋4b 的取值范围为[2,＋∞)．答案:[2,＋∞)10．(2019·山西一模)已知函数f (x )＝x 2－m是定义在区间[－3－m ,m 2－m ]上的奇函数,则f (m )＝________.解析:由已知有－3－m ＋m 2－m ＝0, 即m 2－2m －3＝0, ∴m ＝3或m ＝－1;当m ＝3时,函数f (x )＝x －1,x ∈[－6,6], 而f (x )在x ＝0处无意义,故舍去．当m ＝－1时,函数f (x )＝x 3,此时x ∈[－2,2], ∴f (m )＝f (－1)＝(－1)3＝－1. 综上可得,f (m )＝－1. 答案:－111．(2019·成都诊断)已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋3－a ,若x ∈[－2,2],f (x )≥0恒成立,求a 的取值范围．解:f (x )＝⎝⎛⎭⎫x ＋a 22－a24－a ＋3,令f (x )在[－2,2]上的最小值为g (a )． (1)当－a2<－2,即a >4时,g (a )＝f (－2)＝7－3a ≥0,∴a ≤73.又a >4,∴a 不存在．(2)当－2≤－a2≤2,即－4≤a ≤4时,g (a )＝f ⎝⎛⎭⎫－a 2＝－a24－a ＋3≥0, ∴－6≤a ≤2.又－4≤a ≤4,∴－4≤a ≤2.(3)当－a2>2,即a <－4时,g (a )＝f (2)＝7＋a ≥0,∴a ≥－7.又a <－4,∴－7≤a <－4.综上可知,a 的取值范围为[－7,2]．12．已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0,b ∈R,c ∈R)． (1)若函数f (x )的最小值是f (－1)＝0,且c ＝1,F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x )x >0－f (x )x <0求F (2)＋F (－2)的值;(2)若a ＝1,c ＝0,且|f (x )|≤1在区间(0,1]上恒成立,试求b 的取值范围．解:(1)由已知c ＝1,a －b ＋c ＝0,且－b2a＝－1, 解得a ＝1,b ＝2,∴f (x )＝(x ＋1)2,∴F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(x ＋1)2x >0－(x ＋1)2x <0.∴F (2)＋F (－2)＝(2＋1)2－(－2＋1)2＝8.(2)由题可知,f (x )＝x 2＋bx ,原命题等价于－1≤x 2＋bx ≤1在(0,1]上恒成立, 即b ≤1x －x 且b ≥－1x －x 在(0,1]上恒成立．又1x －x 的最小值为0,－1x －x 的最大值为－2, ∴－2≤b ≤0,故b 的取值范围是[－2,0]．[C 级难度题——适情自主选做]1．(2019·衡水模拟)已知函数f (x )＝－10sin 2x －10sin x －12,x ∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－π2m 的值域为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－122,则实数m 的取值范围是( )A.⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－π30 B.⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－π60 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3π6D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6π3解析:选B 由题意得f (x )＝－10⎝⎛⎭⎫sin 2x ＋sin x ＋14＋2,x ∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－π2m ,令t ＝sin x ,则f (x )＝g (t )＝－10( t ＋12 )2＋2,令g (t )＝－12,得t ＝－1或t ＝0,由g (t )的图象,可知当－12≤t ≤0时,f (x )的值域为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－122,所以－π6≤m ≤0.故选B.2．若a >b >1,0<c <1,则( ) A ．a c b >1,0<c <1时,a c >b c ,选项A 不正确． ∵y ＝x α,α∈(－1,0)在(0,＋∞)上是减函数, ∴当a >b >1,0<c <1,即－1<c －1<0时, a c －1ba c ,选项B 不正确． ∵a >b >1,∴lg a >lg b >0,∴a lg a >b lg b >0, ∴a lg b >b lg a.又∵0<c <1,∴lg c <0. ∴a lg c lgb log b c ,选项D 不正确．3．已知函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋1－a 在区间[0,1]上的最大值为2,则a 的值为( ) A ．2 B ．－1或－3 C ．2或－3D ．－1或2解析:选D 函数f (x )＝－(x －a )2＋a 2－a ＋1图象的对称轴为x ＝a ,且开口向下,分三种情况讨论如下:①当a ≤0时,函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋1－a 在区间[0,1]上是减函数, ∴f (x )max ＝f (0)＝1－a , 由1－a ＝2,得a ＝－1.②当0<a ≤1时,函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋1－a 在区间[0,a ]上是增函数,在(a,1]上是减函数, ∴f (x )max ＝f (a )＝－a 2＋2a 2＋1－a ＝a 2－a ＋1, 由a 2－a ＋1＝2,解得a ＝1＋52或a ＝1－52, ∵0<a ≤1,∴两个值都不满足,舍去．③当a >1时,函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋1－a 在区间[0,1]上是增函数, ∴f (x )max ＝f (1)＝－1＋2a ＋1－a ＝2,∴a ＝2. 综上可知,a ＝－1或a ＝2.4．(2019·上海长宁区一模)已知函数f (x )＝x 2＋2x ＋1,如果使f (x )≤kx 对任意实数x ∈(1,m ]都成立的m 的最大值是5,则实数k ＝________.解析:设g (x )＝x 2＋(2－k )x ＋1,不等式g (x )≤0的解集为a ≤x ≤b .则Δ＝(2－k )2－4≥0,解得k ≥4或k ≤0.又因为函数f (x )＝x 2＋2x ＋1,且f (x )≤kx 对任意实数x ∈(1,m ]恒成立; 所以(1,m ]⊆[a ,b ],所以a ≤1,b ≥m , 所以g (1)＝4－k <0,解得k >4, m 的最大值为b ,所以有b ＝5.即x ＝5是方程g (x )＝0的一个根,代入x ＝5,解得k ＝365. 答案:365。

2019年高中理科数学北师大版一轮复习：函数与二次函数

必备知识知识梳理考点自测
-5-
(2)二次函数的图像和性质
函数 y=ax2 +bx+c(a≠0) a>0 a<0
图
像
定义域 x∈R 值域 4��-�� 2 , +∞ 4�� 4��-�� 2 -∞, 4��
必备知识知识梳理考点自测
-6-
单调性
在 -∞,- 2 �� 上是减少的, 在 �� 2 ��
��
在 -∞,- 2 �� 上是增加的, 在 �� 2 ��
��
, + ∞ 上是增加的
, + ∞ 上是减少的
奇偶性图像特点
当 b=0 时, y 为偶函数; 当 b≠0 时, y 既不是奇函数也不是偶函数
答案
必备知识知识梳理考点自测
-10-
1
2
3
4
5
2.已知函数y=x2+ax+6在 , + ∞ 内是增加的,则a的取值范围为 2 ( ) A.a≤-5 B.a≤5 C.a≥-5 D.a≥5
关闭
5
∵y=x2+ax+6 在 - 2 , + ∞ 内是增加的,
�� 由题意得-2
��
≤
5 . 2
①对称轴: x=-2��
��
;②顶点:
�� 4 �� -�� 2 - 2 �� , 4 ��
必备知识知识梳理考点自测
-7-

(通用版)2019版高考数学一轮复习第二章函数的概念与基本初等函数Ⅰ 第四节二次函数与幂函数实用理

[方法技巧]
幂函数图象的规律 (1)幂函数的图象一定会出现在第一象限，一定不会出现在第四象限，至于是否出现在第二、三象限，要看函数的奇偶性； (2)幂函数的图象最多能同时出现在两个象限内； (3)如果幂函数图象与坐标轴相交，则交点一定是原点； (4)当 α 为奇数时，幂函数的图象关于原点对称；当 α 为偶数时，幂函数的图象关于 y 轴对称．
()
[解析] ∵二次函数的图象与 x 轴交于两点， ∴b2－4ac>0，即 b2>4ac，①正确；对称轴为 x＝－1，即－2ba＝－1,2a－b＝0，②错误；结合图象知，当 x＝－1 时，y>0，即 a－b＋c>0，③错误；由对称轴为 x＝－1 知，b＝2a，又函数图象开口向下，∴a<0，∴5a<2a，即 5a<b，④正确．故选 B. [答案] B
顶点式顶点坐标是(m，n) f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0) ，其中 x1，x2 是方程 ax2
零点式＋bx＋c＝0 的两根，图象的对称轴是 x＝x1＋2 x2
2.二次函数 f(x)＝ax2＋bx＋c 的图象和性质
a>0
a<0
图象
定义域
R
值域
4ac4－a b2，＋∞
节二次函数与幂函数
本节主要包括 2 个知识点： 1.幂函数； 2.二次函数.
突破点(一) 幂函数
突破点(二) 二次函数
01234
全国卷5年真题集中演练——明规律
课时达标检测
01 突破点(一) 幂函数
自学区抓牢双基· 完成情况
[基本知识]
1．幂函数的定义形如 y＝xα (α∈R )的函数称为幂函数，其中 x 是自变量，α

2019年高三一轮总复习理科数学课件：2-4二次函数与幂函数

1.理解并掌握二次函数的定义、图象和性质； 5 年 10 考会求二次函数在闭区间上的最值；能用二次函数、一元二次方程及一元二次不等式之间的联系去解决有关问题．
2.幂函数
2.会用一次函数、二次函数模型解决实际问题． 5年4考 3.了解幂函数的概念． 1 4.结合函数 y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝ x 的图象，了解它们的变化情况
解析：易知函数 y＝的定义域为[0，＋∞)，在定义域内为增函数， a＋1≥0， 2 所以3－2a≥0，解得－1≤a＜ . 3 a＋1＜3－2a，
2 所以实数 a 的取值范围是－1，3 .
2 答案：－1，3
(1)求解与幂函数图象有关的问题，应根据幂函数在第一象限内的函数图象特征，结合其奇偶性、单调性等性质研究． (2)利用幂函数的单调性比较幂值大小的技巧：结合幂值的特点利用指数幂的运算性质化成同指数幂，选择适当的幂函数，借助其单调性进行比较.
2019高三一轮总复习
数学（理）
提高效率 ·创造未来 ·铸就辉煌
必修部分
第二章函数、导数及其应用
第四节二次函数与幂函数
栏目导航
考情分 1 析基础自主梳 2 理 3 考点疑难突破 4 课时跟踪检测
1
考情分析
考点分布 1.二次函数
考纲要求
考点频率
命题趋势对二次函数主要考查二次函数的单调区间、最值问题以及有关参数的范围问题，对幂函数的考查是以幂函数的图象为载体，研究幂函数的性质．
)
解析：∵幂函数 f(x)＝(m2－3m＋3)xm＋1 为偶函数，∴m2－3m＋3＝1，即 m2－3m ＋2＝0，解得 m＝1 或 m＝2.当 m＝1 时，幂函数 f(x)＝x2 为偶函数，满足条件．当 m ＝2 时，幂函数 f(x)＝x3 为奇函数，不满足条件．故选 A.

2019版数学(理)高分计划一轮高分讲义：第2章函数、导数及其应用 2.4 二次函数与幂函数

2．4二次函数与幂函数[知识梳理］1．二次函数（1）二次函数解析式的三种形式①一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c（a≠0）．②顶点式:f(x）＝a(x－m）2＋n(a≠0）．③两根式:f(x)＝a（x－x1）(x－x2)(a≠0)．(2）二次函数的图象和性质2．幂函数(1）幂函数的定义一般地，形如y＝xα的函数称为幂函数,其中x是自变量，α为常数．（2）常见的5种幂函数的图象（3）常见的5种幂函数的性质[诊断自测］1．概念思辨（1）当α<0时，幂函数y＝xα是定义域上的减函数．（)(2）关于x的不等式ax2＋bx＋c>0恒成立的充要条件是错误!（)（3）二次函数y＝ax2＋bx＋c,x∈［a,b］的最值一定是4ac－b24a.(）（4)在y＝ax2＋bx＋c(a≠0）中，a决定了图象的开口方向和在同一直角坐标系中的开口大小．（）答案(1)×(2)×(3）×（4）√2．教材衍化(1）(必修A1P44T9）函数y＝(x2－3x＋10)－1的递增区间是(）A．(－∞，－2) B．(5,＋∞）C.错误!D。

错误!答案C解析由于x2－3x＋10〉0恒成立，即函数的定义域为（－∞,＋∞)．设t＝x2－3x－10，则y＝t－1是(0，＋∞）上的减函数,根据复合函数单调性的性质，要求函数y＝(x2－3x＋10）－1的递增区间，即求t＝x2－3x＋10的单调递减区间，∵t＝x2－3x＋10的单调递减区间是错误!，∴所求函数的递增区间为错误!.故选C。

(2)（必修A1P78探究）若四个幂函数y＝x a，y＝x b，y＝x c，y＝x d在同一坐标系中的图象如图，则a，b,c，d的大小关系是（)A．d〉c>b〉a B．a〉b>c>dC．d>c>a〉b D．a〉b〉d>c答案B解析幂函数a＝2,b＝错误!，c＝－错误!，d＝－1的图象，正好和题目所给的形式相符合,在第一象限内,x＝1的右侧部分的图象，图象由下至上，幂指数增大，所以a>b>c>d。

2019届高考数学(理科)一轮复习课件(人教A版)第二章 2.6 幂函数与二次函数

-10解析
关闭
答案
知识梳理
双基自测
1 2 3 4 5
√2
5.(教材习题改编P82T10)已知幂函数y=f(x)的图象过点 2, 2 , 则此函数的解析式为 ;在区间上单调递减.
关闭
∵f(x)的图象过点 2,
1 1 ∴α=-2,∴f(x)=�� 2 .
√2
2
,∴2 = 2 = 2
α
√2
-
1 2,
-4-
知识梳理
双基自测
1 2
(2)二次函数的图象和性质
函数
y=ax2+bx+c(a≠0) a>0
a<0
图象
定义域
x∈R
-5-
知识梳理
双基自测
1 2
值域单调性奇偶性图象特点
4��- �� 2 ,+∞ 4�� 在区间 -∞,在区间 �� 2�� 2��
关闭
(1)× (2)× (3)× (4)√ (5)√
-7-
答案
知识梳理双基自测12 3 4 52.(2017河北沧州质检)如果函数f(x)=x2+bx+c对任意的x都有 f(x+1)=f(-x),那么( ) A.f(-2)<f(0)<f(2) B.f(0)<f(-2)<f(2) C.f(2)<f(0)<f(-2) D.f(0)<f(2)<f(-2)
-12解析
答案
考点1
考点2
考点3
解题心得1.幂函数中底数是自变量,指数是常数,而指数函数中底数是常数,指数是自变量. 2.幂函数的主要性质: (1)幂函数在(0,+∞)上都有定义,幂函数的图象都过定点(1,1). (2)当α>0时,幂函数的图象都过点(1,1)和(0,0),且在(0,+∞)上单调递增. (3)当α<0时,幂函数的图象都过点(1,1),且在(0,+∞)上单调递减. (4)幂函数图象在第一象限的特点:当α>1时,曲线下凸;当0<α<1 时,曲线上凸;当α<0时,曲线下凸.

高考数学复习第二章第三节二次函数与幂函数课件文

(1)当 a≤0 时，f(x)min＝f(0)＝－1，当 0<a<2 时，f(x)min＝f(a)＝－a2－1，当 a≥2 时，f(x)min＝f(2)＝－4a＋3，
－1 （a≤0）， ∴g(a)＝－a2－1 （0<a<2），
－4a＋3 （a≥2）. (2)当 a≤1 时，f(x)max＝f(2)＝－4a＋3，当 a>1 时，f(x)max＝f(0)＝－1，
∴m(a)＝－－14a＋（3a>（1）a≤. 1），
[点评] 二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解决的关键是考查对称轴与区间的关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论．
幂函数的图象和性质
1．比较幂值大小的常见类型及解决方法 (1)同底不同指，可以利用指数函数单调性进行比较； (2)同指不同底，可以利用幂函数单调性进行比较； (3)既不同底又不同指，常常找到一个中间值，通过比较两个幂值与中间值的大小来判断两个幂值的大小． 2．在解决幂函数与其他函数的图象的交点个数、对应方程根的个数及近似解等问题时，常用数形结合的思想方法，即在同一坐标系下画出两函数的图象，数形结合求解．
【例1】求函数y＝x2－2ax－1在[0，2]上的最小值g(a)和最大值m(a)．
[解题指导](1)看已知：二次函数开口向上，区间x∈[0，2]，对称轴x＝a (2)看类型：属于“轴动区间定类型” (3)抓关键：画出草图，确定对称轴与区间的位置关系 (4)解答：利用分类讨论思想求解
解 f(x)＝(x－a)2－a2－1，对称轴x＝a，开口向上，区间[0， 2]，结合图象分情况讨论．
是_减__函数；在
－2ba，＋∞上是

高考数学一轮复习规划2.3幂函数与二次函数课件

2
解：f(8)＝83＝4，因为 f(x)为奇函数，所以 f(－8)＝－f(8)＝－4. 故填－4.
考试要求
必备知识
自主评价
核心考点
第二章函数
考点一幂函数的图象和性质
(1)已知幂函数 y＝f(x)的图象过点12， 22，则 log2f(2)的值为
1 A. 2
B. －12
C. －1
() D. 1
考试要求
考试要求
必备知识
自主评价
核心考点
第二章函数
【教材梳理】
1. 幂函数 (1)定义：一般地，函数 y＝xα 叫做幂函数，其中 x 是自变量，α 是常数. (2)常见的五种幂函数的图象和性质比较
函数
图象
定义域
值域
y＝x
R
R
y＝x2
{y| R
y≥0}
y＝x3
1 y＝x2
y＝x－1
R
R
{x|
{y|
x≥0}
C. (0，1)
D. (－∞，0)∪(1，＋∞)
第二章函数
()
2
解：y＝x3是偶函数，且在[0，＋∞)上单调递增，故|x－1|>|3x＋1|，所
以(x－1)2>(3x＋1)2，解得－1<x<0. 故选 B.
考试要求
必备知识
自主评价
核心考点
第二章函数
【点拨】 ①α 的正负与幂函数图象的关系：当 α>0 时，图象过原点和(1，1)，在第一象限的图象上升；当 α<0 时，图象不过原点，过(1，1)，在第一象限的图象下降. ②在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较.
1

2019年高考数学(理)一轮复习精品资料专题07二次函数与幂函数(教学案)含解析

2019年高考数学（理）一轮复习精品资料1.了解幂函数的概念；结合函数y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝x 12，y ＝1x 的图象，了解它们的变化情况；2.理解二次函数的图象和性质，能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题．1．幂函数 (1)幂函数的定义一般地，形如y ＝x α的函数称为幂函数，其中x 是自变量，α为常数． (2)常见的5种幂函数的图象(3)常见的5种幂函数的性质函数特征性质y ＝xy ＝x 2 y ＝x 3y ＝x 12y ＝x －1定义域RR R[0，＋∞){x |x ∈R ，且x ≠0}值域R[0，＋∞)R[0，＋∞){y |y ∈R ，且y ≠0} 奇偶性奇偶奇非奇非偶奇 2.二次函数(1)二次函数解析式的三种形式：一般式：f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)．顶点式：f (x )＝a (x －m )2＋n (a ≠0)，顶点坐标为(m ，n )．零点式：f (x )＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)，x 1，x 2为f (x )的零点． (2)二次函数的图象和性质解析式f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0) f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a <0)图象定义域 (－∞，＋∞)(－∞，＋∞)值域⎣⎢⎡⎭⎪⎫4ac －b 24a ，＋∞ ⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，4ac －b 24a单调性在⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－b 2a 上单调递减；在⎣⎢⎡⎭⎪⎫－b2a ，＋∞上单调递增在⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－b 2a 上单调递增；在⎣⎢⎡⎭⎪⎫－b2a ，＋∞上单调递减对称性函数的图象关于x ＝－b2a对称高频考点一幂函数的图象和性质例1、(1)已知幂函数f (x )＝k ·x α的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，22，则k ＋α等于( )A.12B ．1 C.32D ．2(2)若(2m ＋1)12>(m 2＋m －1)12，则实数m 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－5－12B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫5－12，＋∞C ．(－1，2)D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫5－12，2解析 (1)由幂函数的定义知k ＝1.又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝22，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫12α＝22，解得α＝12，从而k ＋α＝32. (2)因为函数y ＝x 12的定义域为[0，＋∞)，且在定义域内为增函数，所以不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋1≥0，m 2＋m －1≥0，2m ＋1>m 2＋m －1.解得⎩⎪⎨⎪⎧m ≥－12，m ≤－5－12或m ≥5－12，－1＜m ＜2，即5－12≤m <2. 答案 (1)C (2)D【方法规律】幂函数的图象特征(1)对于幂函数图象的掌握只要抓住在第一象限内三条线分第一象限为六个区域，即x ＝1，y ＝1，y ＝x 分区域．根据α<0,0<α<1，α＝1，α>1的取值确定位置后，其余象限部分由奇偶性决定．(2)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较．【变式探究】 (1)幂函数y ＝f (x )的图象过点(4，2)，则幂函数y＝f (x )的图象是( )(2)已知幂函数f (x )＝(n 2＋2n －2)xn2－3n (n ∈Z)的图象关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，则n 的值为( )A ．－3B ．1 C ．2 D ．1或2高频考点二二次函数的图象与性质例2、已知函数f (x )＝x 2＋2ax ＋3，x ∈[－4，6]． (1)当a ＝－2时，求f (x )的最值；(2)求实数a 的取值范围，使y ＝f (x )在区间[－4，6]上是单调函数； (3)当a ＝－1时，求f (|x |)的单调区间．解 (1)当a ＝－2时，f (x )＝x 2－4x ＋3＝(x －2)2－1，由于x ∈[－4，6]， ∴f (x )在[－4，2]上单调递减，在[2，6]上单调递增， ∴f (x )的最小值是f (2)＝－1，又f (－4)＝35，f (6)＝15，故f (x )的最大值是35.(2)由于函数f (x )的图象开口向上，对称轴是x ＝－a ，所以要使f (x )在[－4，6]上是单调函数，应有－a ≤－4或－a ≥6，即a ≤－6或a ≥4，故a 的取值范围是(－∞，－6]∪[4，＋∞)．(3)当a ＝－1时，f (|x |)＝x 2－2|x |＋3＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ＋3＝（x ＋1）2＋2，x ≤0，x 2－2x ＋3＝（x －1）2＋2，x >0，其图象如图所示，又∵x ∈[－4，6]，∴f (|x |)在区间[－4，－1)和[0，1)上为减函数，在区间[－1，0)和[1，6]上为增函数．【方法规律】解决二次函数图象与性质问题时要注意：(1)抛物线的开口、对称轴位置、定义区间三者相互制约，常见的题型中这三者有两定一不定，要注意分类讨论；(2)要注意数形结合思想的应用，尤其是给定区间上的二次函数最值问题，先“定性”(作草图)，再“定量”(看图求解)，事半功倍．【变式探究】 (1)设abc >0，二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象可能是( )(2)若函数f (x )＝(x ＋a )(bx ＋2a )(常数a ，b ∈R)是偶函数，且它的值域为(－∞，4]，则该函数的解析式f (x )＝________．解析 (1)由A ，C ，D 知，f (0)＝c <0，从而由abc >0，所以ab <0，所以对称轴x ＝－b2a >0，知A ，C 错误，D 满足要求；由B 知f (0)＝c >0，所以ab >0，所以x ＝－b2a <0，B 错误．(2)由f (x )是偶函数知f (x )图象关于y 轴对称， ∴b ＝－2，∴f (x )＝－2x 2＋2a 2，又f (x )的值域为(－∞，4]， ∴2a 2＝4，故f (x )＝－2x 2＋4. 答案 (1)D (2)－2x 2＋4 高频考点三求二次函数的解析式例3、已知二次函数f (x )满足f (2)＝－1，f (－1)＝－1，且f (x )的最大值是8，试确定此二次函数的解析式．解解法一：(利用一般式) 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)．由题意得⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋2b ＋c ＝－1，a －b ＋c ＝－1，4ac －b 24a ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝4，c ＝7.∴所求二次函数的解析式为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7. 解法二：(利用顶点式) 设f (x )＝a (x －m )2＋n (a ≠0)． ∵f (2)＝f (－1)，∴抛物线的对称轴为x ＝2＋－2＝12. ∴m ＝12.又根据题意函数有最大值8，∴n ＝8.∴y ＝f (x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋8.∵f (2)＝－1，∴a ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－122＋8＝－1，解得a ＝－4，∴f (x )＝－4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋8＝－4x 2＋4x ＋7.【方法技巧】确定二次函数解析式的方法根据已知条件确定二次函数解析式，一般用待定系数法，选择规律如下：【变式探究】已知二次函数f (x )满足f (1＋x )＝f (1－x )，且f (0)＝0，f (1)＝1，求f (x )的解析式．解解法一：(一般式)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，则⎩⎪⎨⎪⎧c ＝0，a ＋b ＋c ＝1，－b 2a ＝1⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝2，c ＝0，∴f (x )＝－x 2＋2x .解法二：(两根式)∵对称轴方程为x ＝1， ∴f (2)＝f (0)＝0，f (x )＝0的两根分别为0,2. ∴可设其解析式为f (x )＝ax (x －2)．又∵f (1)＝1，可得a ＝－1， ∴f (x )＝－x (x －2)＝－x 2＋2x .解法三：(顶点式)由已知，可得顶点为(1,1)， ∴可设其解析式为f (x )＝a (x －1)2＋1.又由f (0)＝0，可得a ＝－1， ∴f (x )＝－(x －1)2＋1＝－x 2＋2x . 高频考点四二次函数的应用例4、 (2016·全国Ⅱ卷)已知函数f (x )(x ∈R)满足f (x )＝f (2－x )，若函数y ＝|x 2－2x －3|与y ＝f (x )图象的交点为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x m ，y m )，则∑i ＝1mx i ＝( )A ．0B ．mC ．2mD ．4m【方法规律】(1)对于函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，若是二次函数，就隐含着a ≠0，当题目未说明是二次函数时，就要分a ＝0和a ≠0两种情况讨论．(2)由不等式恒成立求参数的取值范围，常用分离参数法，转化为求函数最值问题，其依据是a ≥f (x )⇔a ≥f (x )max ，a ≤f (x )⇔a ≤f (x )min .(3)涉及二次函数的零点常与判别式有关，常借助函数的图象的直观性实施数形转化．【变式探究】(1)(已知f (x )＝x 2＋2(a －2)x ＋4，如果对x ∈[－3，1]，f (x )＞0恒成立，则实数a 的取值范围为________．(2)已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－2x ，如果函数g (x )＝f (x )－m (m ∈R)恰有4个零点，则m 的取值范围是________．解析 (1)因为f (x )＝x 2＋2(a －2)x ＋4，对称轴x ＝－(a －2)，对x ∈[－3，1]，f (x )＞0恒成立，所以讨论对称轴与区间[－3，1]的位置关系得：⎩⎪⎨⎪⎧－（a －2）＜－3，f （－3）＞0，或⎩⎪⎨⎪⎧－3≤－（a －2）≤1，Δ＜0，或⎩⎪⎨⎪⎧－（a －2）＞1，f （1）＞0，解得a ∈∅或1≤a ＜4或－12＜a ＜1，所以a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，4. (2)函数g (x )＝f (x )－m (m ∈R)恰有4个零点可化为函数y ＝f (x )的图象与直线y ＝m 恰有4个交点，作函数y ＝f (x )与y ＝m 的图象如图所示，故m 的取值范围是(－1，0)．答案 (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，4 (2)(－1，0) 高频考点五、分类讨论思想在二次函数最值中的应用例5、已知函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋1－a 在0≤x ≤1时有最大值2，求实数a 的值．解当对称轴x ＝a <0时，如图1所示，当x ＝0时，y 有最大值y max ＝f (0)＝1－a ，所以1－a ＝2，即a ＝－1，且满足a <0，∴a ＝－1.当0≤a ≤1时，如图2所示，当x ＝a 时，y 有最大值y max ＝f (a )＝－a 2＋2a 2＋1－a ＝a 2－a ＋1.∴a 2－a ＋1＝2，解得a ＝1±52.∵0≤a ≤1，∴a ＝1±52(舍去)．当a >1时，如图3所示．当x ＝1时，y 有最大值．y max ＝f (1)＝2a －a ＝2.∴a ＝2，且满足a >1，∴a ＝2. 综上可知，a 的值为－1或2.【变式探究】已知f(x)＝ax2－2x(0≤x≤1)，求f(x)的最小值．解 (1)当a ＝0时，f(x)＝－2x 在[0,1]上递减， ∴f(x)min＝f(1)＝－2.[2分](2)当a>0时，f(x)＝ax2－2x 图象的开口方向向上，且对称轴为x ＝1a.①当1a ≤1，即a≥1时，f(x)＝ax2－2x 图象的对称轴在[0,1]内，∴f(x)在[0，1a ]上递减，在[1a ，1]上递增．∴f(x)min＝f(1a )＝1a －2a ＝－1a.②当1a >1，即0<a<1时，f(x)＝ax2－2x 图象的对称轴在[0,1]的右侧，∴f(x)在[0,1]上递减．∴f(x)min＝f(1)＝a －2.[9分](3)当a<0时，f(x)＝ax2－2x 的图象的开口方向向下，且对称轴x ＝1a <0，在y 轴的左侧，∴f(x)＝ax2－2x 在[0,1]上递减． ∴f(x)min＝f(1)＝a －2.[11分] 综上所述，f(x)min ＝⎩⎪⎨⎪⎧a －2， a<1，－1a，a≥1.【方法与技巧】1．二次函数的三种形式(1)已知三个点的坐标时，宜用一般式．(2)已知二次函数的顶点坐标或与对称轴有关或与最大(小)值有关的量时，常使用顶点式．(3)已知二次函数与x轴有两个交点，且横坐标已知时，选用零点式求f(x)更方便．2．研究二次函数的性质要注意：(1)结合图象分析；(2)含参数的二次函数，要进行分类讨论．3．利用幂函数的单调性比较幂值大小的技巧在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，转化为同指数幂，再选择适当的函数，借助其单调性进行比较．【失误与防范】1．对于函数y＝ax2＋bx＋c，要认为它是二次函数，就必须满足a≠0，当题目条件中未说明a≠0时，就要讨论a＝0和a≠0两种情况．2．幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性；幂函数的图象最多能同时出现在两个象限内；如果幂函数图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．【举一反三】设函数f(x)＝x2－2x＋2，x∈[t，t＋1]，t∈R，求函数f(x)的最小值．解f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，x∈[t，t＋1]，t∈R，函数图象的对称轴为x＝1.当t＋1<1，即t<0时，函数图象如图(1)所示，函数f(x)在区间[t，t＋1]上为减函数，所以最小值为f(t ＋1)＝t2＋1；当t≤1≤t＋1，即0≤t≤1时，函数图象如图(2)所示，在对称轴x＝1处取得最小值，最小值为f(1)＝1；当t>1时，函数图象如图(3)所示，函数f(x)在区间[t，t＋1]上为增函数，所以最小值为f(t)＝t2－2t＋2.综上可知，f (x )min ＝⎩⎪⎨⎪⎧ t 2＋1，t <0，1，0≤t ≤1，t 2－2t ＋2，t >1.1. （2018年天津卷）已知a ∈R ，函数若对任意x ∈［–3，+），f (x )≤恒成立，则a 的取值范围是__________．【答案】［，2］【解析】分类讨论：①当时，即：，整理可得：，由恒成立的条件可知：，结合二次函数的性质可知：当时，，则； ②当时，即：，整理可得：，由恒成立的条件可知：，结合二次函数的性质可知：当或时，，则；综合①②可得的取值范围是.1．[2017·浙江高考]若函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 在区间[0,1]上的最大值是M ，最小值是m ，则M －m () A ．与a 有关，且与b 有关 B ．与a 有关，但与b 无关C ．与a 无关，且与b 无关D ．与a 无关，但与b 有关答案 B4.[2017北京,11,5分][文]已知x ≥0,y ≥0,且x+y=1,则x 2+y 2的取值范围是 . 答案:[,1]解析:解法一由已知可得,y=1-x ,代入x 2+y 2,得x 2+y 2=x 2+(1-x )2=2x 2-2x+1=2(x-)2 +,x ∈[0,1],当x=0或x=1时,x 2+y 2取得最大值1,当x=时,x 2+y 2取得最小值,所以x 2+y 2的取值范围是[,1].解法二设直线x+y=1与两坐标轴的交点分别为A (0,1),B (1,0),点P (x ,y )为线段AB 上一点,则P 到原点O 的距离为|PO|=≥=,又|PO|≤|AO|=1,所以≤≤1,所以x 2+y 2的取值范围是[,1]. 解法三令x=t cos α,y=t sin α,α∈[0,],x+y=t (cos α+sin α)=t sin(α+)=1,解得t=,α+∈[,],≤sin(α+)≤1,1≤sin(α+)≤,所以t ∈[,1],x 2+y 2=t 2∈[,1]. 1、[2016·浙江高考]已知函数f (x )＝x 2＋bx ，则“b <0”是“f (f (x ))的最小值与f (x )的最小值相等”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A解析因为f (x )＝x 2＋bx ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋b 22－b 24，其最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2＝－b 24.因为f (f (x ))＝[f (x )]2＋b ·f (x )＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤f x ＋b 22－b 24.因为f (x )min ＝－b 24，若f [f (x )]与f (x )的最小值相等，当且仅当f (x )＝－b 2≥－b 24时成立，解得b <0或b >2，所以“b <0”是“f (f (x ))的最小值与f (x )的最小值相等”的充分不必要条件．故选A.2、[2016·全国卷Ⅲ]已知a ＝2 43 ，b ＝4 25 ，c ＝25 13 ，则( )A ．b <a <cB ．a <b <cC ．b <c <aD ．c <a <b答案 A解析因为a ＝2 43 ＝4 23 ，c ＝25 13 ＝5 23 ，函数y ＝x 23 在(0，＋∞)上单调递增，所以4 23 <5 23 ，即a <c ，又因为函数y ＝4x 在R 上单调递增，所以4 23 <4 23 ，即b <a ，所以b <a <c .故选A.1、【2015高考安徽，文11】=-+-1)21(2lg 225lg . 【答案】-1【解析】原式＝12122lg 5lg 2lg 22lg 5lg -=-=-+=-+-1．（2014·江苏卷）已知函数f (x )＝x 2＋mx －1，若对于任意x ∈ [m ，m ＋1]，都有f (x )<0成立，则实数m 的取值范围是________．【答案】⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，0。

2019届高考数学(浙江版)一轮配套讲义：2.3二次函数与幂函数

§ 2.3 二次函数与幂函数考纲解读考点考纲内容要求浙江省五年高考统计201420152016201720131. 理解二次函数的三种表示法 : 分析法、图象法和列表法 .2. 理解二次函数的单一性 , 能判断二次 17,5 分函数在某个区间上能否存在零点.10,5 分 18,15 18,157( 文),分分分二次函数与3.理解二次函数的最大 ( 小 ) 值及其几何15,45 分5,4幂函数意义 , 并能求二次函数的最大 ( 小 ) 值 .理解9( 文), 20( 文) 20( 文)21(文)分 , 分4. 认识幂函数的观点 .5 ,,分15 分15 分7,5约 4 分5. 联合函数 y=x,y=x 2,y=x 3,y= ,y= 的图象 , 认识它们的变化状况 .剖析解读 1. 幂函数主要考察其图象和性质 , 一般以小题形式出现 , 难度应当不大 ( 例 :2014 浙江 7 题 ).2. 二次函数主要考察其图象和性质以及应用 , 特别是以二次函数为载体 , 考察数学有关知识 , 如求最值、函数零点问题 , 考察数形联合思想 ( 例 :2015 浙江 18 题 ,2015 浙江文 20 题 ).3. 估计 2019 年高考试题中 , 二次函数还是考察的要点之一 . 考察仍会合中在二次函数的图象以及主要性质上 , 求二次函数的最值、二次函数零点散布问题 , 复习时应惹起高度重视 .五年高考考点二次函数与幂函数1.(2017 浙江 ,5,4 分) 若函数 f(x)=x 2+ax+b 在区间 [0,1] 上的最大值是 M,最小值是 m,则 M-m()A. 与 a 有关 , 且与 b 有关B. 与 a 有关 , 但与 b 没关C. 与 a 没关 , 且与 b 没关D. 与 a 没关 , 但与 b 有关答案 B2.(2015 陕西 ,12,5 分 ) 对二次函数 f(x)=ax 2+bx+c(a 为非零 ), 四位同学分别给出以下结论, 此中有且只有一个结论是错误的 , 则错误的结论是 ( )A.-1 是 f(x) 的零点B.1 是 f(x) 的极值点C.3 是 f(x) 的极值D. 点 (2,8)在曲线 y=f(x) 上答案 A3.(2015 四川 ,9,5 分 ) 假如函数 f(x)= (m-2)x 2+(n-8)x+1(m ≥ 0,n ≥0) 在区间上单一递减 , 那么 mn 的最大值为 ( )A.16B.18C.25D.答案 B4.(2013 重庆 ,3,5 分)(-6 ≤ a ≤ 3) 的最大值为 ()A.9B.C.3D.答案 B分 ) 已知函数 f(x)=x 2-2(a+2)x+a2,g(x)=-x2+2(a-2)x-a 2+8. 设5.(2013 辽宁 ,11,5H (x)=max{f(x),g(x)},H(x)=min{f(x),g(x)}(max{p,q}表示 p,q 中的较大值 ,min{p,q} 表示 p,q 中的较小12值 ). 记 H 1(x) 的最小值为 A,H 2(x) 的最大值为 B, 则 A-B=( )A.16B.-16C.a 2-2a-16D.a 2+2a-16答案 B6.(2017北京文,11,5分)已知x≥ 0,y≥ 0,且x+y=1,则x2+y2的取值范围是.答案7.(2013 江苏 ,13,5 分 ) 在平面直角坐标系xOy 中 , 设定点 A(a,a),P 是函数 y= (x>0) 图象上一动点 . 若点 P,A 之间的最短距离为 2 , 则知足条件的实数 a 的全部值为.答案-1,8.(2015 浙江文 ,20,15 分 ) 设函数 f(x)=x 2+ax+b(a,b ∈ R).(1) 当 b= +1 时 , 求函数 f(x) 在 [-1,1] 上的最小值 g(a) 的表达式 ;(2) 已知函数 f(x) 在[-1,1] 上存在零点 ,0 ≤ b-2a ≤ 1, 求 b 的取值范围 .分析(1) 当 b= +1 时 ,f(x)= +1,故对称轴为直线x=- .当 a≤ -2 时,g(a)=f(1)= +a+2.当 -2<a ≤ 2 时 ,g(a)=f =1.当 a>2 时 ,g(a)=f(-1)= -a+2.综上 ,g(a)=(2) 设 s,t为方程f(x)=0的解,且-1≤ t≤1,则因为 0≤ b-2a ≤ 1,所以≤s≤(-1 ≤ t ≤ 1).当 0≤ t ≤ 1 时 ,≤st≤,因为-≤≤0和-≤≤9-4,所以 -≤ b≤ 9-4.当 -1 ≤ t<0 时 ,≤st≤,因为 -2≤<0 和-3≤<0,所以 -3 ≤ b<0.故 b 的取值范围是 [-3,9-4 ].教师用书专用 (9)9.(2014 纲领全国,16,5分)若函数f(x)=cos2x+asinx在区间是减函数, 则 a 的取值范围是.答案(-∞,2]三年模拟A 组 2016— 2018 年模拟·基础题组考点二次函数与幂函数1.(2018 浙江杭州地域要点中学第一学期期中 ,8) 若函数 f(x)=x212 1 2那么+ax+b 有两个零点x ,x, 且 3<x <x <5,f(3),f(5)( )A. 只有一个小于 1B. 都小于 1C. 都大于 1D. 起码有一个小于 1 答案 D12 月联考 ,3) 已知函数 y=x 2-4x+1 的定义域为 [1,t],2.(2018 浙江要点中学在该定义域内函数的最大值与最小值之和为 -5, 则实数 t 的取值范围是 ( )A.(1,3]B.[2,3]C.(1,2]D.(2,3)答案 B23.(2017浙江杭州二模(4 月 ),9) 设函数 f(x)=xx ,x, 若 |x |+|x|≤2, 则+ax+b(a,b ∈R) 的两个零点为1212( ) A.|a| ≥ 1 B.|b| ≤ 1C.|a+2b| ≥2D.|a+2b|≤ 2答案 B4.(2017 浙江名校 ( 衢州二中 ) 沟通卷五 ,9)f(x)=ax 2+bx+c, 当 0≤ x ≤ 时,f(x)∈[2,4], 则 a 的最大值为()A.8B.16C.32D.64答案 C5.(2017 浙江“七彩阳光”新高考研究结盟测试 ,8) 已知 f(x)=则 y=f(x)-x的零点有 ()A.1 个B.2 个C.3 个D.4 个答案 C6.(2016 浙江绍兴一模 ,8) 对于函数 f(x), 若存在 x ∈ N, 知足 |f(x)| ≤ , 则称 x 为函数 f(x)的一个“近零点” . 已知函数 f(x)=ax2+bx+c(a>0) 有四个不一样的“近零点” , 则 a 的最大值为( )A.2B.1C.D.答案D7.(2016 浙江宁波“十校”联考,18) 若存在区间 A=[m,n](m<n), 使得 {y|y=f(x),x“可等域函数” , 区间 A 为函数 f(x) 的一个“可等域区间” . 已知函数 f(x)=x∈ A}=A, 则称函数 2-2ax+b(a,b ∈ R).f(x)为(1) 若 b=0,a=1,g(x)=|f(x)|是“可等域函数” , 求函数 g(x) 的“可等域区间” ; (2) 若区间 [1,a+1] 为 f(x) 的“可等域区间” , 求 a,b 的值 .分析(1) 由题意知 ,g(x)=|x2-2x|是“可等域函数”,∵ g(x)=|x2-2x|=|(x-1)2-1|≥0,∴n>m≥0,联合函数图象, 由 g(x)=x得x=0,1,3,当 1≤ m<n≤ 2 时 ,g(x) ≤ 1, 不切合要求 .所以函数g(x) 的“可等域区间”为[0,1],[0,3].(7分)(2)f(x)=x2-2ax+b=(x-a)2+b-a2,因为 [1,a+1]为f(x)的“可等域区间”, 所以 a+1>1, 即 a>0.当 0<a≤ 1 时 ,解得(10 分 )当 1<a≤ 2 时 ,无解;(12分)当 a>2 时 ,解得(15 分 )B 组2016— 2018 年模拟·提高题组一、选择题1.(2018浙江浙东北结盟期中,7) 设函数 f(x)=ax2+bx+c(a,b,c∈ R),若函数y=f(x)e x(e为自然对数的底数) 在 x=-1 处获得极值 , 则以下图象不行能为y=f(x)的图象的是()答案 D2.(2017 浙江稽阳联谊学校联考,10) 设二次函数 f(x)=x 2+ax+b, 若对随意的实数a, 都存在实数 x∈, 使得不等式 |f(x)| ≥ x 建立 , 则实数 b 的取值范围是 ( )A. ∪ [2,+ ∞ )B. ∪C. ∪D. ∪答案 D2-2tx+1 在 (- ∞ ,1]3.(2017 浙江“超级全能生”联考(3 月 ),10) 已知函数 f(x)=x 上递减 , 且对随意的 x1,x 2 ∈ [0,t+1], 总有 |f(x )-f(x )| ≤2, 则实数 t 的取值范围为 ( )1 2A.[- , ]B.[1, ]C.[2,3]D.[1,2]答案 B二、填空题4.(2018 浙江“七彩阳光”结盟期初联考 2 2 1 2,17) 设对于 x 的方程 x -ax-2=0 和 x -x-1-a=0 的实根分别为 x ,x和 x3,x 4,若x1<x3<x2<x4,则a的取值范围是.答案-1<a<1已知对于 x 的方程 x2+2bx+c=0(b,c5.(2018 浙江高考模拟卷 ,17) ∈ R)在 [-1,1] 上有实根 , 且 0≤ 4b+c≤ 3, 则b 的取值范围为.答案[0,2].6.(2017 浙江绍兴教课质量调测(3 月 ),17) 已知 a,b ∈ R 且 0≤ a+b≤1, 函数 f(x)=x 2上起码存+ax+b 在在一个零点 , 则 a-2b 的取值范围为.答案[0,1]7.(2017 浙江名校 ( 杭州二中 ) 沟通卷三 ,16) 记 M(x,y,z) 为 x,y,z 三个数中的最小数, 若二次函数f(x)=ax 2+bx+c(a ≥ b≥c>0) 有零点 , 则 M 的最大值为.答案三、解答题8.(2017浙江温州中学高三 3 月模拟,19) 已知二次函数f(x)=ax 2+bx+c(a,b,c ∈R), 对随意实数x, 不等式2x ≤f(x) ≤ (x+1) 2恒建立 .(1)求 f(-1) 的取值范围 ;(2) 对随意 x1,x 2∈ [-3,-1], 恒有 |f(x 1)-f(x 2)|≤1,务实数a的取值范围.分析 (1) 由题意可知f(1) ≥2,f(1) ≤2, ∴ f(1)=2,(2 分)∴ a+b+c=2.≥2x, 即 ax2+(b-2)x+c∵对随意实数 x 都有 f(x) ≥0 恒建立 ,∴又 a+b+c=2, ∴ a=c,b=2-2a,(4 分 )此时 f(x)-2 2 (x+1) = (x-1) .∵对随意实数 x,f(x) ≤ (x+1) 2都建立 ,∴ 0<a≤ , ∴ f(-1)=a-b+c=4a-2 的取值范围是 (-2,0].(7 分 )(2) 对随意 x ,x ∈ [-3,-1], 恒有 |f(x )-f(x )| ≤ 1 等价于在区间 [-3,-1] 上的最大值与最小值之差M≤1. 由1 2 1 2(1) 知 f(x)=ax 2∈, +2(1-a)x+a,a即 f(x)=a +2- , 其图象的对称轴方程为 x0=1- ∈ (- ∞ ,-1]. 据此分类议论以下 : (i) 当 -2<x 0≤-1,即<a≤时,M=f(-3)-f(x 0)=16a+ -8 ≤1,解得 <a≤.(10 分 )(ii) 当 -3<x 0≤ -2, 即 <a≤时,M=f(-1)-f(x 0)=4a+ -4 ≤ 1 恒建立 .(12 分 )(iii) 当 x ≤-3, 即 0<a≤时 ,M=f(-1)-f(-3)=4-12a ≤ 1, 解得 a≥ , 故 a= .(14 分 ) 0综上可知 , ≤ a≤.(15 分)9.(2016 浙江宁波一模 ,18) 已知函数 f(x)=x 2-1.(1) 对于随意实数x∈ [1,2],4m 2|f(x)|+4f(m) ≤ |f(x-1)| 恒建立 , 务实数 m的取值范围 ;(2) 若对随意实数x1∈ [1,2], 存在实数 x2∈[1,2], 使得 f(x 1)=|2f(x 2)-ax 2| 建立 , 务实数 a 的取值范围 . 分析 (1) 由题意得 , 对随意实数 x∈ [1,2],4m 2(x 2-1)+4(m 2-1) ≤ 2x-x 2恒建立 ,整理得 (4m2+1)x 2-2x-4 ≤0.(3 分 )所以对随意的 x∈[1,2],m 2≤恒建立 .又=+ - ∈.所以 m2≤ , 故实数 m的取值范围为.(7 分 )(2) 由题意知 ,y=f(x1 )(1 ≤ x ≤ 2) 的值域为 D=[0,3].1 1令 g(x)=2f(x)-ax,即g(x)=2x2-ax-2,原问题等价于g(x)=0 在 [1,2] 上有解 , 且 g(x)=3 或 -3 在 [1,2] 上有解 .(9 分 )若 g(x)=0 在 [1,2] 上有解 , 即 a=2 在 x∈ [1,2] 上有解 , 进而 0≤ a≤3;若 g(x)=3 在 [1,2] 上有解 , 即 a=2x- 在 x∈[1,2] 上有解 , 进而 -3 ≤ a≤ ;若 g(x)=-3 在 [1,2] 上有解 , 即 a= 在 x∈ [1,2] 上有解 , 进而 3≤ a≤ .综上 , 所求 a 的取值范围为0≤a≤或 a=3.(15 分 )C 组 2016— 2018 年模拟·方法题组方法 1 三个“二次”问题的办理方法1.(2017 浙江杭州质检 ,17) 设函数 f(x)=2ax 2+2bx, 若存在实数 x0∈ (0,t), 使得对随意不为零的实数a,b 均有 f(x 0)=a+b 建立 , 则 t 的取值范围是.答案(1,+ ∞ )2.(2017 浙江测试卷 ,17) 已知函数 f(x)=x 2+ax+b(a,b ∈ R)在区间 (0,1) 上有两个零点 , 则 3a+b 的取值范围是.答案(-5,0)方法 2 对于二次函数值域和最值的解题策略3.(2017 浙江镇海中学模拟练习2若对随意实数x∈[-1,1], 均有 f(x) ( 二 ),17) 已知函数 f(x)=2ax +bx+1-a.≥ 0, 则 a-b 的最大值为 ( )A.-1B.0C.1D.2答案 D4.(2017 浙江镇海中学模拟卷( 五 ),17) 已知 f 1(x)=x+1, 且 f n(x)=f 1[f n-1(x)](n ≥ 2,n ∈ N* ), 若对于 x 的函数y=x2+nf n(x)- n+10(n ∈ N* ) 在区间 (- ∞ ,-2] 上的最小值为 -3, 则 n 的值为.答案 3 或 6方法 3 幂函数的解题策略5. 比较大小 :(1)3. ,3. ,(-1.8;(2)3 1.4 ,5 1.5 .分析(1) 利用幂函数和指数函数的单一性能够发现0<3. <1,3. >1,(-1.8 <0, 进而能够比较出它们的大小 : <3. <3. ., 并且都大于1, 我们插入一此中间数31.5 , 利用幂函数和指数函数的单一性可(2) 它们的底数和指数都不一样以发现 31.4 <31.5 <51.5 , 即 31.4 <51.5 .6. 已知幂函数f(x)= (m∈ Z) 为偶函数且在区间(0,+ ∞ ) 上是单一增函数.(1)求函数 f(x) 的分析式 ;(2) 设函数g(x)=2-8x+q-1, 若g(x)>0 对随意x∈ [-1,1] 恒建立 , 务实数q 的取值范围.分析(1) ∵ f(x) 在区间 (0,+ ∞ ) 上是单一增函数,∴-m2+2m+3>0,即 m2-2m-3<0,∴-1<m<3, 又∵ m∈ Z,∴m=0,1,2.m=0,2 时 ,f(x)=x 3 不是偶函数,f(x)=x 4.44 2(2) 由 f(x)=x知g(x)=2x-8x+q-1,g(x)>0 对随意x∈ [-1,1] 恒建立 ? g(x) min>0,x∈[-1,1].∵g(x)=2x 2-8x+q-1=2(x-2) 2+q-9,∴g(x) 在 [-1,1] 上单一递减 , 于是 g(x) min=g(1)=q-7.∴q-7>0, 即 q>7.故实数 q 的取值范围是 (7,+ ∞ ).。

高考数学一轮复习第二章 §2.3 幂函数与二次函数

§2.3 幂函数与二次函数考试要求 1.了解幂函数的概念.2.结合函数y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝1x ，12y x =的图象，了解它们的变化情况.3.理解并掌握二次函数的定义、图象及性质.4.能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题．1．幂函数 (1)幂函数的定义一般地，函数y ＝x α叫做幂函数，其中x 是自变量，α是常数． (2)常见的五种幂函数的图象和性质比较函数y ＝xy ＝x 2y ＝x 312y x =y ＝x －1图象性质定义域 R R R {x |x ≥0} {x |x ≠0} 值域 R {y |y ≥0} R {y |y ≥0} {y |y ≠0} 奇偶性奇函数偶函数奇函数非奇非偶函数奇函数单调性在R 上单调递增在(－∞，0]上单调递减；在(0，＋∞)上单调递增在R 上单调递增在[0，＋∞)上单调递增在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递减公共点(1,1)2.二次函数的图象和性质解析式f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0)f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a <0)图象定义域 R R值域⎣⎢⎡⎭⎪⎫4ac －b24a ，＋∞ ⎝⎛⎦⎥⎤－∞，4ac －b24a单调性在x ∈⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－b 2a 上单调递减；在x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－b 2a ，＋∞上单调递增在x ∈⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－b 2a 上单调递增；在x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－b 2a ，＋∞上单调递减对称性函数的图象关于直线x ＝－b2a对称微思考1．幂函数的图象会不会出现在第一或第四象限？为什么？提示幂函数y ＝x α(α为常数)，当x >0时，y >0，故幂函数的图象一定经过第一象限，一定不过第四象限．2．二次函数的解析式有哪些常用形式？提示 (1)一般式：y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)； (2)顶点式：y ＝a (x －m )2＋n (a ≠0)； (3)零点式：y ＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)．题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)函数133y x -=是幂函数．( × )(2)如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．( √ )(3)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，x ∈[m ，n ]的最值一定是4ac －b24a .( × )(4)二次函数y ＝x 2＋mx ＋1在[1，＋∞)上单调递增的充要条件是m ≥－2.( √ )题组二教材改编2．已知幂函数f (x )＝k ·x α的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，22，则k ＋α等于( )A.12 B ．1 C.32 D ．2 答案 C解析由幂函数的定义，知⎩⎪⎨⎪⎧k ＝1，22＝k ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12α.∴k ＝1，α＝12.∴k ＋α＝32.3.如图是①y ＝x a ；②y ＝x b ；③y ＝x c 在第一象限的图象，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．c <b <aB ．a <b <cC ．b <c <aD ．a <c <b 答案 D4．函数g (x )＝x 2－2x (x ∈[0,3])的值域为________．答案 [－1,3]解析由g (x )＝x 2－2x ＝(x －1)2－1，x ∈[0,3]，得g (x )在[0,1]上是减函数，在[1,3]上是增函数，所以g (x )min ＝g (1)＝－1，因为g (0)＝0，g (3)＝3，所以g (x )在x ∈[0,3]上的值域为[－1,3]．题组三易错自纠5．幂函数21023()a a f x x -+=(a ∈Z )为偶函数，且f (x )在区间(0，＋∞)上是减函数，则a 等于( )A ．3B ．4C ．5D ．6 答案 C解析因为a 2－10a ＋23＝(a －5)2－2，2(5)2()a f x x--=(a ∈Z )为偶函数，且在区间(0，＋∞)上是减函数，所以(a －5)2－2<0，从而a ＝4,5,6，又(a －5)2－2为偶数，所以只能是a ＝5，故选C.6．函数y ＝x 2－ax ＋1在区间[－1,2]内单调，则实数a 的取值范围是________．答案 (－∞，－2]∪[4，＋∞)解析函数y ＝x 2－ax ＋1的对称轴为x ＝a2，则a 2≤－1或a2≥2，解得a ≤－2或a ≥4.题型一幂函数的图象与性质1．若幂函数的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，14，则它的单调递增区间是( )A ．(0，＋∞)B ．[0，＋∞)C ．(－∞，＋∞)D ．(－∞，0)答案 D解析设f (x )＝x α，则2α＝14，α＝－2，即f (x )＝x －2，它是偶函数，单调递增区间是(－∞，0)．故选D.2．已知幂函数223(2())2n nf x n n x －＝＋－(n ∈Z )的图象关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上单调递减，则n 的值为( )A ．－3B ．1C ．2D ．1或2 答案 B解析由于f (x )为幂函数，所以n 2＋2n －2＝1，解得n ＝1或n ＝－3，经检验只有n ＝1符合题意，故选B.3．若幂函数y ＝x －1，y ＝x m 与y ＝x n 在第一象限内的图象如图所示，则m 与n 的取值情况为( )A ．－1<m <0<n <1B ．－1<n <0<m <12C ．－1<m <0<n <12D ．－1<n <0<m <1答案 D解析幂函数y ＝x α，当α>0时，y ＝x α在(0，＋∞)上单调递增，且0<α<1时，图象上凸，∴0<m <1. 当α<0时，y ＝x α在(0，＋∞)上单调递减．不妨令x ＝2，由图象得2－1<2n ，则－1<n <0. 综上可知，－1<n <0<m <1.4．若11331(32)()a a --<-＋，则实数a 的取值范围是____________．答案 (－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫23，32 解析不等式11331(32)()a a --<-＋等价于a ＋1>3－2a >0或3－2a <a ＋1<0或a ＋1<0<3－2a ，解得a <－1或23<a <32.思维升华 (1)对于幂函数图象的掌握只要抓住在第一象限内三条线分第一象限为六个区域，即x ＝1，y ＝1，y ＝x 所分区域．根据α<0,0<α<1，α＝1，α>1的取值确定位置后，其余象限部分由奇偶性决定．(2)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较．题型二求二次函数的解析式例1 (1)函数f (x )满足下列性质：①定义域为R ，值域为[1，＋∞)；②图象关于x ＝2对称；③对任意x 1，x 2∈(－∞，0)，且x 1≠x 2，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0.请写出函数f (x )的一个解析式________．(只要写出一个即可)答案 f (x )＝x 2－4x ＋5(答案不唯一)解析由二次函数的对称性、值域及单调性可得f (x )的解析式可以为f (x )＝(x －2)2＋1，此时f (x )图象的对称轴为x ＝2，开口向上，满足②，因为对任意x 1，x 2∈(－∞，0)，且x 1≠x 2，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0，等价于f (x )在(－∞，0)上单调递减， ∴f (x )＝(x －2)2＋1满足③，又f (x )＝(x －2)2＋1≥1，满足①，故f (x )的解析式可以为f (x )＝x 2－4x ＋5.(2)已知二次函数f (x )的图象经过点(4,3)，且图象被x 轴截得的线段长为2，并且对任意x ∈R ，都有f (2－x )＝f (2＋x )，则f (x )的解析式为________．答案 f (x )＝x 2－4x ＋3解析 ∵f (2＋x )＝f (2－x )对任意x ∈R 恒成立， ∴f (x )图象的对称轴为直线x ＝2，又∵f (x )的图象被x 轴截得的线段长为2， ∴f (x )＝0的两根为1和3，设f (x )的解析式为f (x )＝a (x －1)(x －3)(a ≠0)， ∵f (x )的图象过点(4,3)， ∴3a ＝3，∴a ＝1，∴所求函数的解析式为f (x )＝(x －1)(x －3)，即f (x )＝x 2－4x ＋3.思维升华求二次函数解析式的方法跟踪训练1 (1)已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋1(a ，b ∈R )，x ∈R ，若函数f (x )的最小值为f (－1)＝0，则f (x )＝________. 答案 x 2＋2x ＋1解析设函数f (x )的解析式为f (x )＝a (x ＋1)2＝ax 2＋2ax ＋a ，由已知f (x )＝ax 2＋bx ＋1，所以a ＝1，b ＝2a ＝2，故f (x )＝x 2＋2x ＋1.(2)二次函数f (x )满足f (2)＝f (－1)＝－1，且f (x )的最大值是8，则f (x )＝________. 答案－4x 2＋4x ＋7 解析方法一 (利用一般式) 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)．由题意得⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋2b ＋c ＝－1，a －b ＋c ＝－1，4ac －b24a ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝4，c ＝7.所以所求二次函数的解析式为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7. 方法二 (利用顶点式) 因为f (2)＝f (－1)，所以抛物线的对称轴为直线x ＝2＋(－1)2＝12.又根据题意函数有最大值8，所以f (x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋8.因为f (2)＝－1，所以a ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－122＋8＝－1，解得a ＝－4，所以f (x )＝－4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋8＝－4x 2＋4x ＋7.题型三二次函数的图象和性质命题点1 二次函数的图象例2 二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示．则下列结论正确的是________．①b 2>4ac ；②c >0；③ac >0；④b <0；⑤a －b ＋c <0. 答案 ①②⑤解析由题图知，a <0，－b2a >0，c >0，∴b >0，ac <0，故②正确，③④错误．又函数图象与x 轴有两交点，∴Δ＝b 2－4ac >0，故①正确；又由题图知f (－1)<0，即a －b ＋c <0，故⑤正确．命题点2 二次函数的单调性例3 函数f (x )＝ax 2＋(a －3)x ＋1在区间[－1，＋∞)上单调递减，则实数a 的取值范围是( ) A ．[－3,0) B ．(－∞，－3] C ．[－2,0] D ．[－3,0]答案 D解析当a ＝0时，f (x )＝－3x ＋1在[－1，＋∞)上单调递减，满足题意．当a ≠0时，f (x )的对称轴为直线x ＝3－a2a ，由f (x )在[－1，＋∞)上单调递减，知⎩⎪⎨⎪⎧a<0，3－a2a ≤－1，解得－3≤a <0.综上，a 的取值范围为[－3,0]．若函数f (x )＝ax 2＋(a －3)x ＋1的单调递减区间是[－1，＋∞)，则a ＝________.答案－3解析由题意知f (x )必为二次函数且a <0，又3－a2a＝－1，∴a ＝－3.命题点3 二次函数的值域、最值例4 已知函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋1在区间[－1,2]上有最大值4，求实数a 的值．解 f (x )＝a (x ＋1)2＋1－a .(1)当a ＝0时，函数f (x )在区间[－1,2]上的值为常数1，不符合题意，舍去；(2)当a >0时，函数f (x )在区间[－1,2]上是增函数，最大值为f (2)＝8a ＋1＝4，解得a ＝38；(3)当a <0时，函数f (x )在区间[－1,2]上是减函数，最大值为f (－1)＝1－a ＝4，解得a ＝－3. 综上可知，a 的值为38或－3.思维升华解决二次函数图象与性质问题时要注意：(1)抛物线的开口方向，对称轴位置，定义区间三者相互制约，要注意分类讨论．(2)要注意数形结合思想的应用，尤其是给定区间上的二次函数最值问题，先“定性”(作草图)，再“定量”(看图求解)．(3)二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动．无论哪种类型，解题的关键都是图象的对称轴与区间的位置关系，当含有参数时，要依据图象的对称轴与区间的位置关系进行分类讨论．跟踪训练 2 (1)一次函数y ＝ax ＋b (a ≠0)与二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 在同一坐标系中的图象大致是( )答案 C解析若a >0，则一次函数y ＝ax ＋b 为增函数，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象开口向上，故可排除A ；若a <0，一次函数y ＝ax ＋b 为减函数，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象开口向下，故可排除D ；对于选项B ，看直线可知a >0，b >0，从而－b2a <0，而二次函数的对称轴在y 轴的右侧，故应排除B ，选C.(2)二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (x ∈R )的最小值为f (1)，则f (2)，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，f (3)的大小关系是( ) A ．f (2)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32<f (3) B ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32<f (2)<f (3) C ．f (3)<f (2)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32 D ．f (2)<f (3)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32 答案 D解析由已知可得二次函数f (x )图象的开口向上，对称轴为直线x ＝1，∵⎪⎪⎪⎪⎪⎪－32－1>|3－1|>|2－1|， ∴f (2)<f (3)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32. (3)设函数f (x )＝x 2－2x ＋2，x ∈[t ，t ＋1]，t ∈R ，求函数f (x )的最小值．解 f (x )＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1，x ∈[t ，t ＋1]，t ∈R ，函数图象的对称轴为直线x ＝1. 当t ＋1≤1，即t ≤0时，函数图象如图(1)所示，函数f (x )在区间[t ，t ＋1]上为减函数，所以最小值为f (t ＋1)＝t 2＋1；当t <1<t ＋1，即0<t <1时，函数图象如图(2)所示，在对称轴x ＝1处取得最小值，最小值为f (1)＝1；当t ≥1时，函数图象如图(3)所示，函数f (x )在区间[t ，t ＋1]上为增函数，所以最小值为f (t )＝t 2－2t ＋2.综上可知，当t ≤0时，f (x )min ＝t 2＋1，当0<t <1时，f (x )min ＝1，当t ≥1时，f (x )min ＝t 2－2t ＋2.题型四二次函数的恒成立问题例5 (1)已知a 是实数，函数f (x )＝2ax 2＋2x －3在x ∈[－1,1]上恒小于零，则实数a 的取值范围是________．答案 ⎝⎛⎭⎪⎫－∞，12 解析由题意知2ax 2＋2x －3<0在[－1,1]上恒成立．当x ＝0时，－3<0，符合题意，a ∈R ；当x ≠0时，a <32⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －132－16，因为1x∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)，所以当x ＝1时，不等号右边式子取最小值12，所以a <12.综上，实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫－∞，12. (2)函数f (x )＝a 2x ＋3a x －2(a >1)，若在区间[－1,1]上f (x )≤8恒成立，则实数a 的最大值为________．答案 2解析令a x ＝t ，因为a >1，x ∈[－1,1]，所以1a≤t ≤a ，原函数化为g (t )＝t 2＋3t －2，t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a ，a ，显然g (t )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a ，a 上单调递增，所以f (x )≤8恒成立，即g (t )max ＝g (a )≤8成立，所以有a 2＋3a －2≤8，解得－5≤a ≤2，又a >1，所以1<a ≤2，所以a 的最大值为2.思维升华不等式恒成立求参数范围，一般有两个解题思路：一是分离参数；二是不分离参数，直接求最值．这两个思路，最后都是转化为求函数的最值问题．跟踪训练3 已知定义在R 上的奇函数f (x )满足：当x ≥0时，f (x )＝x 3，若不等式f (－4t )>f (2m ＋mt 2)对任意实数t 恒成立，则实数m 的取值范围是________．答案 (－∞，－2)解析由题意知f (x )在R 上是增函数，结合f (－4t )>f (2m ＋mt 2)对任意实数t 恒成立，知－4t >2m ＋mt 2对任意实数t 恒成立， ∴mt 2＋4t ＋2m <0对任意实数t 恒成立⇒⎩⎪⎨⎪⎧m<0，Δ＝16－8m2<0⇒m ∈(－∞，－2)．课时精练1．若f (x )是幂函数，且满足f (4)f (2)＝3，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12等于( ) A ．3 B ．－3 C.13 D ．－13答案 C解析设f (x )＝x α，则4α2α＝2α＝3，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12α＝13.2．函数13y x =的图象是( )答案 B解析由函数图象上的特殊点(1,1)，可排除A ，D ；由特殊点(8,2)，⎝ ⎛⎭⎪⎫18，12，可排除C ，故选B. 3．若幂函数2268()(44)m m f x m m x -+=-+⋅在(0，＋∞)上为增函数，则m 的值为( )A ．1或3B ．1C ．3D ．2 答案 B解析由题意得m 2－4m ＋4＝1，m 2－6m ＋8>0，解得m ＝1.4．已知a ，b ，c ∈R ，函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c .若f (0)＝f (4)>f (1)，则( ) A ．a >0,4a ＋b ＝0 B ．a <0,4a ＋b ＝0 C ．a >0,2a ＋b ＝0 D ．a <0,2a ＋b ＝0答案 A解析由f (0)＝f (4)，得f (x )＝ax 2＋bx ＋c 图象的对称轴为直线x ＝－b2a ＝2，∴4a ＋b ＝0，又f (0)>f (1)，f (4)>f (1)，∴f (x )先减后增，于是a >0，故选A.5．(多选)(2020·河南省实验中学质检)已知函数f (x )＝3x 2－2(m ＋3)x ＋m ＋3的值域为[0，＋∞)，则实数m 的取值范围为( ) A ．0 B ．[－3,0] C ．3 D ．－3答案 AD解析依题意，得Δ＝4(m ＋3)2－4×3(m ＋3)＝0，则m ＝0或m ＝－3.∴实数m 的取值范围是{0，－3}．6．(多选)若二次函数y ＝kx 2－4x ＋2在区间[1,2]上是单调递增函数，则实数k 的取值可以是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 答案 CD解析二次函数y ＝kx 2－4x ＋2图象的对称轴为直线x ＝2k ，当k >0时，要使函数y ＝kx 2－4x ＋2在区间[1,2]上是增函数，只需2k ≤1，解得k ≥2；当k <0时，2k <0，此时抛物线的对称轴在区间[1,2]的左侧，则函数y ＝kx 2－4x ＋2在区间[1,2]上是减函数，不符合要求．综上可得实数k 的取值范围是[2，＋∞)．7．已知α∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－2，－1，－12，12，1，2，3，若幂函数f (x )＝x α为奇函数，且在(0，＋∞)上单调递减，则α＝________. 答案－1解析 ∵α∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－2，－1，－12，12，1，2，3，幂函数f (x )＝x α为奇函数，且在(0，＋∞)上单调递减， ∴α是奇数，且α<0，∴α＝－1.8．已知函数f (x )＝4x 2＋kx －8在[－1,2]上不单调，则实数k 的取值范围是________．答案 (－16,8)解析函数f (x )＝4x 2＋kx －8的对称轴为直线x ＝－k 8，则－1<－k8<2，解得－16<k <8.9．已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 的图象过坐标原点，且满足f (－x )＝f (－1＋x )，则函数f (x )在[－1,3]上的值域为________．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，12解析因为函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 的图象过坐标原点，所以f (0)＝0，所以b ＝0. 因为f (－x )＝f (－1＋x )，所以函数f (x )的图象的对称轴为直线x ＝－12，所以a ＝1，所以f (x )＝x 2＋x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122－14，由f (x )的图象知，x ∈[－1,3]时，f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－14，f (x )max ＝f (3)＝12. 故f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，12.10．已知函数f (x )＝x 2＋mx －1，若对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )<0成立，则实数m 的取值范围是_____________________________________________________________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，0解析因为函数图象开口向上，所以根据题意只需满足⎩⎪⎨⎪⎧f (m )＝m 2＋m 2－1<0，f (m ＋1)＝(m ＋1)2＋m (m ＋1)－1<0，解得－22<m <0. 11．已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋1(a ，b 为实数，a ≠0，x ∈R )．(1)若函数f (x )的图象过点(－2,1)，且方程f (x )＝0有且只有一个根，求f (x )的表达式； (2)在(1)的条件下，当x ∈[3,5]时，g (x )＝f (x )－kx 是单调函数，求实数k 的取值范围．解 (1)因为f (－2)＝1，即4a －2b ＋1＝1，所以b ＝2a . 因为方程f (x )＝0有且只有一个根，所以Δ＝b 2－4a ＝0.所以4a 2－4a ＝0，所以a ＝1，b ＝2. 所以f (x )＝x 2＋2x ＋1.(2)g (x )＝f (x )－kx ＝x 2＋2x ＋1－kx＝x 2－(k －2)x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －k －222＋1－⎝ ⎛⎭⎪⎫k －222.由g (x )的图象知，要满足题意，则k －22≥5或k －22≤3，即k ≥12或k ≤8，所以所求实数k 的取值范围为(－∞，8]∪[12，＋∞)． 12．已知函数f (x )＝x 2＋(2a －1)x －3.(1)当a ＝2，x ∈[－2,3]时，求函数f (x )的值域； (2)若函数f (x )在[－1,3]上的最大值为1，求实数a 的值．解 (1)当a ＝2时，f (x )＝x 2＋3x －3，x ∈[－2,3]，函数图象的对称轴为直线x ＝－32∈[－2,3]，∴f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝94－92－3＝－214，f (x )max ＝f (3)＝15，∴f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－214，15. (2)函数图象的对称轴为直线x ＝－2a －12.①当－2a －12≤1，即a ≥－12时，f (x )max ＝f (3)＝6a ＋3，∴6a ＋3＝1，即a ＝－13，满足题意；②当－2a －12>1，即a <－12时，f (x )max ＝f (－1)＝－2a －1，∴－2a －1＝1，即a ＝－1，满足题意．综上可知，a ＝－13或－1.13.幂函数y ＝x α，当α取不同的正数时，在区间[0,1]上它们的图象是一组美丽的曲线(如图)，设点A (1,0)，B (0,1)，连接AB ，线段AB 恰好被其中的两个幂函数y ＝x a ，y ＝x b 的图象三等分，即有BM ＝MN ＝NA ，那么a －1b等于( )A ．0B ．1 C.12 D ．2答案 A解析由BM ＝MN ＝NA ，点A (1,0)，B (0,1)，∴M ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，13，将两点坐标分别代入y ＝x a ，y ＝x b ，得123321log ,log ,33a b ==∴1323121log 013log 3a b -=-=.14．若函数y ＝x 2－3x －4的定义域为[0，m ]，值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－254，－4，则m 的取值范围是________．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，3解析二次函数图象的对称轴为x ＝32，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝－254，f (3)＝f (0)＝－4，结合函数图象(如图所示)，可得m ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，3.15．(2020·上海复兴高级中学期中)对于问题：当x >0时，均有[(a －1)x －1](x 2－ax －1)≥0，求实数a 的所有可能值．几位同学提供了自己的想法．甲：解含参不等式，其解集包含正实数集；乙：研究函数y ＝[(a －1)x －1](x 2－ax －1)；丙：分别研究两个函数y 1＝(a －1)x －1与y 2＝x 2－ax －1；丁：尝试能否参变量分离研究最值问题．你可以选择其中某位同学的想法，也可以用自己的想法，可以得出的正确答案为________．答案 32解析选丙．画出y 2＝x 2－ax －1的草图，y 2＝x 2－ax －1过定点C (0，－1)．∴y 2＝x 2－ax －1与x 轴有两个交点，且两交点在原点两侧，又y 1＝(a －1)x －1也过定点C (0，－1)，故直线y 1＝(a －1)x －1只有过点A ，C 才满足题意， ∴a －1>0，即a >1，令y 1＝0得x ＝1a －1，将点⎝⎛⎭⎪⎫1a －1，0代入y 2＝x 2－ax －1＝0，解得a ＝0(舍)或a ＝32.16．是否存在实数a ∈[－2,1]，使函数f (x )＝x 2－2ax ＋a 的定义域为[－1,1]时，值域为[－2,2]？若存在，求a 的值；若不存在，请说明理由．解 f (x )＝(x －a )2＋a －a 2，当－2≤a <－1时，f (x )在[－1,1]上为增函数，∴由⎩⎪⎨⎪⎧f (－1)＝－2，f (1)＝2，得a ＝－1(舍去)；当－1≤a ≤0时，由⎩⎪⎨⎪⎧f (a )＝－2，f (1)＝2，得a ＝－1；当0<a ≤1时，由⎩⎪⎨⎪⎧f (a )＝－2，f (－1)＝2，得a 不存在；综上可得，存在实数a 满足条件，且a ＝－1.。

近年高考数学一轮复习第2章函数、导数及其应用2.4二次函数与幂函数学案文(2021年整理)

2019版高考数学一轮复习第2章函数、导数及其应用2.4 二次函数与幂函数学案文编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2019版高考数学一轮复习第2章函数、导数及其应用2.4 二次函数与幂函数学案文）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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2.4 二次函数与幂函数［知识梳理］1．二次函数（1）二次函数解析式的三种形式①一般式：f(x）＝ax2＋bx＋c（a≠0)．②顶点式：f（x）＝a(x－m)2＋n(a≠0）．③两根式：f（x)＝a（x－x1）（x－x2)(a≠0)．(2)二次函数的图象和性质2．幂函数（1）幂函数的定义一般地，形如y＝xα的函数称为幂函数,其中x是自变量，α为常数．(2）常见的5种幂函数的图象（3)常见的5种幂函数的性质［诊断自测]1．概念思辨(1)当α〈0时，幂函数y＝xα是定义域上的减函数．( ）（2)关于x的不等式ax2＋bx＋c〉0恒成立的充要条件是错误!( )（3）二次函数y＝ax2＋bx＋c，x∈[a,b］的最值一定是错误!.（) (4）在y＝ax2＋bx＋c（a≠0）中,a决定了图象的开口方向和在同一直角坐标系中的开口大小．( )答案（1）×(2）×(3）×(4)√2．教材衍化(1)（必修A1P44T9)函数y＝(x2－3x＋10)－1的递增区间是（）A．（－∞，－2) B．（5,＋∞）C。

错误! D.错误!答案C解析由于x2－3x＋10〉0恒成立，即函数的定义域为（－∞，＋∞)，设t＝x2－3x－10,则y＝t－1是（0，＋∞)上的减函数,根据复合函数单调性的性质,要求函数y＝(x2－3x＋10）－1的递增区间，即求t＝x2－3x＋10的单调递减区间，∵t＝x2－3x＋10的单调递减区间是错误!，则所求函数的递增区间为错误!.故选C。