2012年中考总复习专题训练(四)

2012年中考总复习专题训练（四）（参考答案）1．已知：等边△ABC ，D 、E 分别是射线AC 、射线BC 上的点，且∠BAE= ∠CBD<60°，DH ⊥AB 点H.(1)如图1，当点D 、E 分别在边AC 、边BC 上时，求证：AC=2AH+BE ；(2)如图2，当点D 、E 分别在AC 延长线和CB 延长线上时，线段AC 、AH 、BE 的数量关系为： ；(3)在(2)的条件下，如图3，作EK ∥BD 交射线AC 于点K ，连接HK ，交BC 于点G ，交BD 于点P ，当AC=6，BE=2时，求线段BP 的长.解：(1)如图1 ∵△ABC 为等边三角形 ∴∠ABC=∠C=∠CAB=60°，AB=BC∵∠BAE=∠CBD ∴△ABE ≌△CBD （1分） ∴BE=CD ∵DH ⊥AB ∴∠DHA=90°∵∠CAB=60° ∴∠ADH=30° ∴AD=2AH （1分） ∴AC=AD+CD=2AH+BE （1分） (2)AC+BE=2AH （2分）(3)如图2 ∵AC=6，BE=2 ∴由(2)得AH=4，BH=2(1分) 与(1)同理可得BE=CD=2，CE=8 作DS ⊥BC 延长线于点S ∵∠SCD=∠ACB=60° ∴∠CDS=30° ∴CS=1，SD=3，BS=7 ∵BD 2=BS 2+SD 2 ∴BD=213（1分） ∵EK ∥BD ∴△CBD ∽△CEK∴EK BD CK CD CE CB == ∴CK=38，EK=3138（1分） 作HM ∥AC 交BC 于点M ，则∠HMB=∠ACB=60°∴△HMB 为等边三角形，BM=BH=HM=2，CM=4∵HM ∥AC ∴∠MHG=∠CKG ，∠HMG=∠KCG ∴△HMG ∽△KCG ∴CG MG KC HM =，即MG MG -=4382，MG=712，BG=726，EG=740（1分） ∵EK ∥BD ∴△GBP ∽△GEK ∴GEGBEK BP =∴BP=151326（1分） 2．在等腰△ABC 中，AC=BC ，∠C=90°，点D 为AB 的中点，以AC 为斜边作直角△APC ，连接PD.（1）当点P 在△ABC 的内部时（如图1），求证：2PD+PC=AP ；（2）当点P 在△ABC 的外部时（如图2），线段PD 、PC 、AP 之间的数量关系是 ； （3）在（2）的条件下，PD 与AC 的交点为E ，连接CD （如图3），PC ：EC=7：5，PD=227 （AP<PC ），求线段PB 的长.解：（1）连接CD ，作DE ⊥PD ，证出△ADE ≌△CDP （1分）得出PE=2PD （1分） ∴2PD+PC=AP （1分） （2）2PD-PC=AP （2分）（3）作DE ⊥PD 交PA 的延长线于G ，∠APD=45°，△CDE ∽△PDC （1分）∴CD ∶PD=5∶7，AC=5（1分） 得出PC=4（1分），过点P 作BM 垂直于PC 交PC 的延长线于点M ，则三角形BCM 全等于三角形CAP ，则CM=3，BM=4，在直角三角形BPM 中，由勾股定理得，PB=65（2分）3．已知：在梯形ABCD 中，A D ∥BC ，∠C=90°，AD=tanB ·CD ，E 为边BC 上一点， ∠MEN 的两边交射线BA 于点M ，交射线AD 于点N ，∠MEN=∠B. (1)如图1，当M 在线段BA 上，∠B=45°，点E 与点C 重合时，求证：22AM+AN=AD ； (2)如图2，当M 在线段BA 的延长线上，∠B=30°，BE=3EC时，线段AN 、A M 、A D 之间的数量关系为 ； (3)如图3，在(2)的条件下，AN 与M E 相交于点Q ，作∠QAK=30°，AK 交ME 于点K ，当.BC=83， MN=21时，求线段DK 的长.解：（1）连接AC.∵∠ACN+∠ACM=45︒，∠ACN+∠DCN=45︒， ∴∠ACM=∠DCN∵∠BAC=∠ADC=90︒∴∆ACM ∆DCN----------1分∴2DN CD AM AC ==----------1分∴2DN AM = ∴AD=AN+DN=AN+2AM ----------1分(2)3AN AM AD -= ---------2分 (3)在∆AMN 中，过点M 作MP ⊥AN 于点P, ∴12MP AM =,2AP AM = 由（2）得：1,4AN AD AM AD EC BC =+===分∴NP AM AM AM =-=∵222MP NP MN +=∴221())212AM AM +=∴AM=3 ------1分∵AQ BE ∴315AQ AM BE BM ==∴AQ=5,----1分,延长AK 交BC 延长线于点T, ∵AD BC, ∴∠T=30°,∴∆AQK ∆TEK, ∴AQ AK ET KT =,12AK AK=-,∴AK=2，----1分, 在∆ADK 中，过点K 作KH ⊥AD 于点H, ∴∠DAK=∠ADK,∴DK=2----1分4．已知四边形ABCD 中，AD=AB ，AD ∥BC ，∠A=90°，M 为边AD 的中点，F 为边BC 上一点，连接MF ，过M 点作ME ⊥MF ，交边AB 于点E. （1）如图1，当∠ADC=90°时，求证：4AE+2CF=CD ；（2）如图2，当∠ADC=135°时，线段AE 、CF 、CD 的数量关系为 ；（3）如图3，在（1）的条件下，连接EF 、EC,EC 与FM 相交于点K ，线段FM 关于FE 对称的线段与AB 相交于点N,若NE=310，FC=AE,求MK 的长.解：（1）证明：如图1，在过点F 作AD FN ⊥，垂足为N .在AME ∆与MFN ∆中,∵EMF MNF A ∠=∠=︒=∠90 AME MFN AME MFN NMF NMF AME ∆∴∠=∠∴∠+∠=︒=∠+∠∴,,90∽NFM ∆,MNAENF AM =∴. ∵四边形CDNF 是矩形 AE MN AM CD NF 2,2=∴==∴.CD FC AE FC AE DN MN CD AD MD =+∴+=+===2422121 …..3´ （2）CD FC AE 2348=+ ………….. 2´ (3)如图3，设,a FC AE ==则a CD NF a DM AM a FC AE CD 6,3,624====∴=+=.在AME R t ∆中,a EM AE AM EM 10,222=∴+=，同理得a FM 102= ….. 1´在MEF R t ∆中,EFN a a FM EM MFE ∠====∠tan 2110210tan . 过点N 作,EF NP ⊥垂足是P ,设,x NP =则x PF 2=.BEF B BF FC BC AE AB BE ∆∴︒=∠=-=-=,90, 是等腰直角三角形︒=∠∴45BEF在ENP ∆中,BE x PF EP EF EP x NP NE 2253,23522310,310===+====⨯=∴= 1,52=∴⨯a a 102,222=∴=+FM EF FM EM ……….….2´延长DA CE ,相交于点R ,在AER R t ∆中,BEC AER ECB R BC AR ∠=∠∠=∠∴ ,,//， ∴AER∆∽a RM AM AR RM a AR a AR a a BE AE BC AR BEC 521,.56,65,=∴+==∴===∴ .,//FC RMRMK CKF RKM KCF R ∆∴∠=∠∠=∠,, ∽521521,===∴∆a aCF RM KC MK CKF ， 1013212621==∴FM MK ….. 2´5．如图，直角三角板的30°角顶点与等边△ABC 的顶点A 重合，其中∠AFE=90°，点D 为BC 的中点，连结BE 、DF.（1）如图1，求证：∠FDC=∠EBD+ 30°；（2）如图2，当直角三角板的45°角顶点与等腰直角△ABC 的顶点A 重合时，其中 ∠BAC=90°，试猜想∠FDC 、∠EBD 的数量关系，请写出你的结论___________；（3）如图3，当点E 、F 、C 在一条直线上时，四边形ABEC 的面积是9，并且tan ∠FAC=1/2，延长FD 交AB 于G ，求出DG 的长.解：（1）连结AD ，∵BD=CD ，∴∠BAD=∠CAD=30°=∠EAF 。

∠BDA=∠EAF=90°，△AE F ∽△ABD ……1分 AE ：AB=AF ：AD ；∴∠BAE+∠EAD=∠DAF+∠EAD=30°，∴∠BAE=∠FAD, △AE B ∽△AFD ，∠ABE=∠AFD 。

……1分C FB ED A 图2DBECFA图3DC图1∵∠ABE+∠EBD=60°，∠ADF+∠FDC=90°，∴∠FDC=∠EBD+30°；……1分 （2）∠FDC=∠EBD-45°；2分 （3）延长FC 至点H ，使EF=FH ，可得△AEH 为等腰直角三角形，∠EAH=∠EAH=90°，∠EAB=∠CAH=90°∵AB=AC ，AE=AH ，∴△AE B ≌△ACH ，得∠AEB=∠H=45°……1分∴∠FEB =90°，四边形ABEC 的面积=△AHE 的面积=9，AF=3……1分FC=23,AC=523,BD=1043,……1分，易证△AD F ∽△ABE ，∠AEB=∠AFD=45°=∠ACB ，∴∠FAC=∠FDC=∠BDG ，……1分 ∴tan ∠GDB=21，作GN ⊥ＢＣ于Ｎ，得ＢＮ＝ＧＮ，设ＧＮ＝ＢＮ＝ｍ，ＮＤ＝２ｍ，３ｍ＝1043，ｍ＝1041，GD=245……1分 6．等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B=60°，BC=2AB ，P 是BC 的中点，∠MPN=60°，PM 与直线AB 交于点M ，与直线AD 交于点N 。

(1)如图一，当点M 、N 分别在线段AB 、AD 上时，求证：AM+AN=21BC ． (2)如图二，当点M 、N 分别在线段AB 、AD 的延长线上时，请直接写出线段AM 、AN 、BC 的关系式．(3)在(2)的条件下，MP 交AD 于点E ，PN 交CD 于点F ，连结EF ，若AE ∶DE=1∶2，EF=27，求BN 的长．解：（1）连接AP∵P 是BC 的中点 ∴BP=21BC ∵BC=2AB ∴AB=BP 又∵∠B=60° ∴△ABP 是等边三角形（1分） ∴BP=AP ，∠PAN=∠APB=∠BPA=60°∴∠MPB=∠APN ∴△MBP ≌△NAP （1分） ∴BM=AM+AN=AM+BM=AB=21BC （1分） （2）AN-AM=21BC （2分） （3）∵AE:DE=1:2 ∴设比的一份为k ，则AE=k ，DE=2k ， 则AB=CD=AD=BP=CP=3k∵AD ∥BC ∴△EAM ∽△PBM∴BP AE BM AM =∴AM=23k ，BM=29k （1分） 易证△MBP ∽△PFC ，则CFBPCP BM =∴CF=2k ，DF=k （1分） 过点F 作FG ⊥AN 于点G . 由∠GDF=60°可求DG=21k ，GF=23k ，则EG=25k∴FE=7k ∴k=2（1分） 则AB=AD=6，DN=3过点B 作BH ⊥AN 于点H ，由∠HAB=60°可求AH=3，BH=33 ∴BN=319（2分）。