排列组合经典：涂色问题
排列组合涂色问题
用三种颜色给6个格子涂色，若每种颜色只能涂两个格子，相邻的格子不重色，则涂色方法有几种？（格子是横排，一字排开6个）
第一种情况：首尾格颜色相同
此时易知只要第一格（尾格与之相同）和第二格的颜色确定下来，其他格
就定下来
方法数=3*2
第二种情况：首尾格颜色不同
先定首尾格，有3*2=6种；
剩下四格，
若2、4格相同，则2、4格只能选未选的第三种颜色，所以此时这四格有
2种方法
若2、4格不同，则第二格只能选与尾格相同的颜色或者未选的第三种颜色，
然后其他格便确定下来，此时这四格也有2种
所以第二种情况总共有6*（2+2）种
两种情况加起来有30种方法
妙解排列组合里的涂色问题
㊀㊀㊀
妙解排列组合里的涂色问题
◉江苏省江安高级中学㊀肖雄伟
摘要:排列组合的问题在考查学生能力方面有显著的作用,因此在高考题中能经常见到,尤其涂色类型的问题．因为涂色类型的题目对学生的思维有一定的要求,很多同学不能顺利地解答这种类型的问题．基于此,对排列组合里面的涂色问题进行一个深入的分析,总结阐述一些答题方法,希望对学习排列组合知识有困难的同学提供一些思考的方向和解题的思路．
关键词:排列组合;涂色;解题技巧
１一分步,
二分类对于某些不复杂的涂色问题,使用分步计数原理处理会更加简便．如果题目所给的条件比较多的时候,此时就应该以题目的已知条件为依据,把分步计数原理和分类计数原理结合起来进行求解．在实际情况中,
要牢记优先处理有特殊要求的色块．解题步骤为首先处理特殊的色块,再依据实际情况,如果附加要求多,那就先使用分步计数原理,再使用分类计数原理解答;如果是不难的涂色问题,就可以直接运用分步计数原理解题
．
图１例题１㊀假设中国的某一个省由５个市区组成,这个省的市区分布如图１所示,现给地图上色,要求相邻区域使用的颜色不能相同,现有４种颜色可供选择,那么不同的上色方法一共有㊀㊀㊀㊀种．
分析:这个题目与很多题目都有相似的地方,但是图形是有变化的,因此就需要学生有较强的观察能力和分析能力．分析发现,市区１与其他市区不一样,它跟另外的四个市区都是相邻的,被其他四个市区包围着．因此在解答题目的时候,需要优先考虑分步计数的方法,即首先将市区１涂上颜色,那么市区１就有４种选择方法,再利用分类计数的方法,当市区２和市区４的颜色一样的时候,就有３种上色方法,那么总的上色方法就有４ˑ３ˑ２ˑ２＝４８种;
高中数学排列组合涂色与整除问题
排列与组合中的涂色问题例析
北京师大燕化附中（102500） 钱月华 史树德
在排列与组合的练习、检测和高考试题中，近年来多次出现了某些涂色问题。拨云破雾、还其本来面目，实质是用分类或分步计数原理导航，通过深入缜密分析题意，将原题化归成熟悉的排列、组合或其综合题型、逐类分步推理求解。
一、 带状区域的涂色题
带状区域的涂色问题的解法，与推导排列数公式m n A 的思想方法类似，可构
造排好顺序的m 个空位（格），从n 个不同元素中任取m （n m ≤）个填充.此类涂色题一般可转化成有限制条件的排列或组合问题.
例1 用红黄绿三种颜色给图1的5个带状格子涂色.要求每格涂一种颜色、且相邻格子不能图同一种颜色，共有多少种不同的涂法？
解析：从满足一格一颜色、邻格不同色的限制条件入手，分成三类：
一类是左边三个邻格从红黄绿中任取3色涂法有33A 种，且右面两相邻格涂
法有12A 种.共有121233=⋅A A 种.
二类是左起4格涂成红绿红绿的类似模式有33A 种，末一格涂法有12A 种，共有121233=⋅A A 种.
三类是左起4格涂成红绿红黄的类似模式有44A 种，其中产生与一类重复的
有6种（如红绿红黄绿与一类的红绿红黄绿）.
综上得：42)6(4412331233=-++A A A A A （种）.
点评：本例由03年全国高考试题改稿而成，形异质同，也可先排在左起2格，再排第3格、4格、5格、采用逐类相加的解法。
例2 用4种不同颜色给图1的5个格子涂色，要求每个格涂一种颜色，若涂完后同颜色的格子恰有3个，则有多少种不同涂色方法？
排列组合中的涂色问题
A
4 4
（3）②与⑤同色、③与⑥同色，则有
A
4 4
（4）③与⑤同色、②与④同色，则有 A
4 4
（5）②与④同色、③与⑥同色，则有 A
4 4
所以根据加法原理得涂色方法总数为
例3、（2003年全国高考题）如图所示，一个地区分为5个 行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色， 现有4种颜色可供选择，则不同的着方法共有多少种
问题。
四、面涂色问题 例9、从给定的六种不同颜色中选用若干种颜色，将一个正方体的6
个面涂色，每两个具有公共棱的面涂成不同的颜色，则不同的 涂色方案共有多少种
分析：显然，至少需要3三种颜色，由于有多种不同情况， 仍应考虑利用加法原 理分类、乘法原理分步进行讨论
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Baidu Nhomakorabea.根据相间区使用颜色的种类分类
例5如图， 6个扇形区域A、B、C、D、E、F，现给这6个区域着色， 要求同一区域涂同一种颜色，相邻的两个区域不得使用同一种颜色， 现有4种不同的颜色可有多少种方法
• 二、点的涂色问题 方法：（1）可根据共用了多少种颜色分类讨论，
（2）根据相对顶点是否同色分类讨论， （3）将空间问题平面化，转化成区域涂色
排列组合中染色问题精华版
?
240
；
涂
5
色：
A55
?
源自文库
120 ，∴共有
60
?
240
? 120
?
420
图7
种
2、根据共用了多少种颜色讨论，分别计算出各种出各种 情形的种数，再用加法原理求出不同的涂色方法种数。
例7、（江苏卷）四种不同的颜色涂在如图所示的6个区域， 且相邻两个区域不能同色
分析：依题意只能选用4种颜色，要分四类： （1）②与⑤同色、④与⑥同色，则有 A44 （2）③与⑤同色、④与⑥同色，则有 A44
分析：依题意至少要用3种颜色
3.根据某两个不相邻区域是否同色分类讨论，从某两个不相邻 区域同色与不同色入手，分别计算出两种情形的种数，再用加 法原理求出不同涂色方法总数。
例4.用红、黄、蓝、白、黑五种颜色涂在如图所示的四个区域内， 每个区域涂一种颜色，相邻两个区域涂不同的颜色，如果颜色可 以反复使用，共有多少种不同的涂色方法？
B. 160
C. 96
D. 60 新疆
王新敞 奎屯
②
④
③ ①
①
③
④
②
① ②③ ④
图一
若变为图二 ,图三呢 ?
图二
图三
(240种, 320种)
例5.(03年)如图，一个地区分为 5个行政区域， 现给地图着色， 要求相邻区域不得使用同一颜 色，现有4种颜色可供选择，则 不同的着色方法共有
排列组合中涂色问题
解决排列组合中涂色问题的常见方法及策略
与涂色问题有关的试题新颖有趣,其中包含着丰富的数学思想。解决涂色问题方法技巧性强且灵活多变，故这类问题的利于培养学生的创新思维能力、分析问题与观察问题的能力，有利于开发学生的智力。本文拟总结涂色问题的常见类型及求解方法。
一、区域涂色问题
1、 根据分步计数原理，对各个区域分步涂色，这是处理染色问题的基本方法。
例1、 用5种不同的颜色给图中标①、②、③、④的各部分涂色，每部分只涂一种
颜色，相邻部分涂不同颜色，则不同的涂色方法有多少种？
分析：先给①号区域涂色有5种方法，再给②号涂色有4种方法，接着给③号涂色方法有3种，由于④号与①、②不相邻，因此④号有4种涂法，根据分步计数原理，不同的涂色方法有5434240⨯⨯⨯=
2、 根据共用了多少种颜色讨论，分别计算出各种出各种情形的种数，再用加法原理
求出不同的涂色方法种数。
例2、（2003江苏卷）四种不同的颜色涂在如图所示的6个区域，且相邻两个区域不能同色。
分析：依题意只能选用4种颜色，要分四类：
（1）②与⑤同色、④与⑥同色，则有44A ；
（2）③与⑤同色、④与⑥同色，则有44A ；
（3）②与⑤同色、③与⑥同色，则有44A ；
（4）③与⑤同色、② 与④同色，则有44A ；（5）②与④同色、③与⑥同色，则有44A ；
所以根据加法原理得涂色方法总数为544A =120
例3、（2003年全国高考题）如图所示，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着方法共有多少种？ 分析：依题意至少要用3种颜色
简单的计数问题排列组合中的涂色问题
四、空间区域涂色问题
例4：将一个四棱锥的每个面染上一种颜色，并且使相邻 两个面异色，若只有四种颜色可供选用，则不同的染色 方案有多少种？
S
D A
C B
解：这种面的涂色问题可转化为区域涂色问题，如右图，区域 1、2、3、4 相当于四个侧面，区域 5 相当于 底面；根据共用颜色多少分类：
（1） 最少要用 3 种颜色，即 1 与 3 同色、2 与 4 同色，此时有 A43 种； （2） 当用 4 种颜色时，1 与 3 同色、2 与 4 两组中只能有一组同色，此时有C21A44 ；故满足
C. 96
D. 60 新疆 王新敞 奎屯
②
④
③ ①
图一
①
③
④
②
图二
①
③ ②
④
图三
若变为图二,图三呢? (240种, 320种)
二、按颜色分类涂色计数法
例2.(高考)如图，一个地区分为5个行政区域， 现给地 图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色，现有4种颜 色可供选择，则不同的着色方法共有
72 种.（以数字作答）
变式思考：
若将3种颜色变为4种颜色， 按上述要求涂色,结果又怎 样呢？
答:它们的涂色方案种数是 4×3×2×2 = 48种。
跟踪练习 1：如图一,要给①,②,③,④四块区域分别涂上五种颜
色中的某一种,允许同一种颜色使用多次,但相邻区域必须涂不
排列组合中涂色问题的常见方法及策略
排列组合中涂色问题的常见方法及策略
与涂色问题有关的试题新颖有趣,其中包含着丰富的数学思想。解决涂色问题方法技巧性强且灵活多变，故这类问题的利于培养学生的创新思维能力、分析问题与观察问题的能力，有利于开发学生的智力。本专题总结涂色问题的常见类型及求解方法。
一、 区域涂色问题
1、 根据分步计数原理，对各个区域分步涂色，这是处理染色问题的基本方法。 例1、 用5种不同的颜色给图中标①、②、③、④的各部分涂色，每部分只涂一种
颜色，相邻部分涂不同颜色，则不同的涂色方法有多少种？
分析：先给①号区域涂色有5种方法，再给②号涂色有4种方法，接着给③号涂色方法有3种，由于④号与①、②不相邻，因此④号有4种涂法，根据分步计数原理，不同的涂色方法有5434240⨯⨯⨯=
2、 根据共用了多少种颜色讨论，分别计算出各种出各种情形的种数，再用加法原理求出不同的涂色方法种数。
例2、（2003江苏卷）四种不同的颜色涂在如图所示的6个区域，且相邻两个区域不能同色。
分析：依题意只能选用4种颜色，要分四类：
（1）②与⑤同色、④与⑥同色，则有44A ；
（2）③与⑤同色、④与⑥同色，则有44A ；
（3）②与⑤同色、③与⑥同色，则有44A ；
（4）③与⑤同色、② 与④同色，则有44A ；（5）②与④同色、③与⑥同色，则有44A ；
所以根据加法原理得涂色方法总数为544A =120
例3、（2003年全国高考题）如图所示，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着方法共有多少种？ 分析：依题意至少要用3种颜色
高中数学 排列组合 专题06 染色问题(学生版)
专题6 染色问题
例1．如图所示的几何体由三棱锥P ABC -与三棱柱111ABC A B C -组合而成，现用3种不同颜色对这个几何体的表面涂色(底面111A B C 不涂色)，要求相邻的面均不同色，则不同的涂色方案共有（ ）
A ．6种
B ．9种
C ．12种
D ．36种
例2．如图，用四种不同的颜色给图中的A ，B ，C ，D ，E ，F ，G 七个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法有（ ）
A ．192种
B ．336种
C ．600种
D ．624种
例3．现有6种不同的颜色，给图中的6个区域涂色，要求相邻区域不同色，则不同的涂色方法共有（ ）
A ．720种
B ．1440种
C ．2880种
D ．4320种
例4．将5种不同的花卉种植在如图所示的四个区域中，每个区域种植一种花卉，且相邻区域花卉不同，则不同的种植方法种数是（）．
A．420 B．180 C．64 D．25
例5．用红、黄、蓝、绿、橙五种不同颜色给如图所示的5块区域A、B、C、D、E涂色，要求同一区域用同一种颜色，有共公边的区域使用不同颜色，则共有涂色方法（）
A．120种B．720种C．840种D．960种
例6．如图，某伞厂生产的太阳伞的伞篷是由太阳光的七种颜色组成，七种颜色分别涂在伞篷的八个区域内，且恰有一种颜色涂在相对区域内，则不同颜色图案的此类太阳伞最多有（）.
A．40320种B．5040种C．20160种D．2520种
例7．如图所示，将四棱锥S-ABCD的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端异色，如果只有5
排列组合中涂色问题的常见方法和策略
排列组合中涂色问题的常见方法及策略
与涂色问题有关的试题新颖有趣,其中包含着丰富的数学思想。解决涂色问题方法技巧性强且灵活多变，故这类问题的利于培养学生的创新思维能力、分析问题与观察问题的能力，有利于开发学生的智力。本专题总结涂色问题的常见类型及求解方法。
一、 区域涂色问题
1、 根据分步计数原理，对各个区域分步涂色，这是处理染色问题的基本方法。 例1、 用5种不同的颜色给图中标①、②、③、④的各部分涂色，每部分只涂一种
颜色，相邻部分涂不同颜色，则不同的涂色方法有多少种？
分析：先给①号区域涂色有5种方法，再给②号涂色有4种方法，接着给③号涂色方法有3种，由于④号与①、②不相邻，因此④号有4种涂法，根据分步计数原理，不同的涂色方法有5434240⨯⨯⨯=
2、 根据共用了多少种颜色讨论，分别计算出各种出各种情形的种数，再用加法
原理求出不同的涂色方法种数。
例2、（2003江苏卷）四种不同的颜色涂在如图所示的6个区域，且相邻两个区域不能同色。
分析：依题意只能选用4种颜色，要分四类：
（1）②与⑤同色、④与⑥同色，则有44A ；
（2）③与⑤同色、④与⑥同色，则有44A ；
（3）②与⑤同色、③与⑥同色，则有44A ；
（4）③与⑤同色、② 与④同色，则有44A ；（5）②与④同色、③与⑥同色，则有44A ；
所以根据加法原理得涂色方法总数为544A =120
例3、（2003年全国高考题）如图所示，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着方法共有多少种？ 分析：依题意至少要用3种颜色
排列组合中的涂色问题
排列组合中的涂色问题 1．用6种不同的颜色为图中4个区域图色，相邻的 区域不能涂相同的颜色，问有 种不同的涂法？
480
2．用5种不同的颜色为图中4个区域图色，相邻的
区域不能涂相同的颜色，问有 种不同的涂法？ 120
3．在一个正六边形的六个区域栽种观赏植物，要求同 一块种同一种植物，相邻的两块种不同的植物， 现有4种不同的植物供选择，
则有 种栽植方法。 732
4．一个太阳伞的伞蓬由八个区域组成，它由七种不同的 颜色面料拼接而成，若恰有一组相对的区域用同一颜色 的面料，则可搭配成颜色排列不同的伞面种数为（ ） A ．40320 B ．5040 C ．20160 D ．2520 D
5．某城市中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分， 现要栽种4种不同的颜色的花，每部分栽种一种且 相邻部分不能栽种同样颜色的花，不同的栽种方法 有 种。 120
1 2
4 3
5
6
A B C
D
E
F
高考排列组合专题之染色问题
历年高考复习难点解析-----排列组合专题之染色问题
【引例】
引例1．在一个正六边形的6个区域栽种观赏植物，如右图，要求同一块中种
同一种植物，相邻的两块种不同的植物．现有四种不同的植物可供选择，则有
________种栽种方案．
引例2．某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分（如图），现要栽
种4种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，不
同的栽种方法有_____种．（以数字作答）
【分析】首先栽种第1部分，有1
4C 种栽种方法；
然后问题就转化为用余下3种颜色的花，去栽种周围的5个部分（如右图所
示），
此问题和引例1是同一题型，因此我们有必要对这一题型的解法做一深入探讨。
【剖析】
为了深入探讨这一题型的解法，
（1）让我们首先用m （m≥3）种不同的颜色（可供选择），去涂4个扇形的情形
（要求每一个扇形着一种颜色，相邻扇形着不同颜色），如图所示
以1和3（相间）涂色相同与否为分类标准：
①1和3涂同一种颜色，有m 种涂法；2有m-1种涂法,4也有m-1种涂法,
∴ 共有 (1)(1)m m m ⋅-⋅-种涂法。
②1和3涂不同种颜色，有2m A 种涂法;2有m-2种涂法，4也有m-2种涂法，
∴ 共有 2(2)(2)m A m m ⋅-⋅-种涂法。 综合①和②，共有(1)(1)m m m ⋅-⋅-+2(2)(2)m A m m ⋅-⋅-432463m m m m =-+-
种涂法。
（２）下面来分析引例1
以A 、C 、E （相间）栽种植物情况作为分类标准：
①A 、C 、E 栽种同一种植物，有4种栽法；B 、D 、F 各有3种栽法，
解决排列组合中涂色问题的常见方法及策略
解决排列组合中涂色问题的常见方法及策略
于涂色问题有关的试题新颖有趣,其中包含着丰富的数学思想。解决涂色问题方法技巧性强且灵活多变，故这类问题的利于培养学生的创新思维能力、分析问题与观察问题的能力，有利于开发学生的智力。本文拟总结涂色问题的常见类型及求解方法。
一 区域涂色问题
1、 根据分步计数原理，对各个区域分步涂色，这是处理染色问题的基本方法。
例1、 用5种不同的颜色给图中标①、②、③、④的各部分涂色，每部分只涂一种 颜色，相邻部分涂不同颜色，则不同的涂色方法有多少种？
分析：先给①号区域涂色有5种方法，再给②号涂色有4种方法，接着给③号涂色
方法有3种，由于④号与①、②不相邻，因此④号有4种涂法，根据分步计数原理，不同的涂色方法有5434240⨯⨯⨯=
2、 根据共用了多少种颜色讨论，分别计算出各种出各种情形的种数，再用加法原理
求出不同的涂色方法种数。
例2、（2003江苏卷）四种不同的颜色涂在如图所示的6个区域，且相邻两个区域不能同色。
分析：依题意只能选用4种颜色，要分四类：
（1）②与⑤同色、④与⑥同色，则有44A ；
（2）③与⑤同色、④与⑥同色，则有44A ；
（3）②与⑤同色、③与⑥同色，则有44A ；
（4）③与⑤同色、② 与④同色，则有44A ；（5）②与④同色、③与⑥同色，则有44A ；
所以根据加法原理得涂色方法总数为544A =120
例3、（2003年全国高考题）如图所示，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着方法共有多少种？
解决排列组合中涂色问题的常见方法及策略
解决排列组合中涂色问题的常见方法及策略 与涂色问题有关的试题新颖有趣,其中包含着丰富的数学思想。解决涂色问题方法技巧性强且灵活多变，故这类问题的利于培养学生的创新思维能力、分析问题与观察问题的能力，有利于开发学生的智力。本文拟总结涂色问题的常见类型及求解方法。 一、 区域涂色问题 1、 根据分步计数原理，对各个区域分步涂色，这是处理染色问题的基本方法。 例1、 用5种不同的颜色给图中标①、②、③、④的各部分涂色，每部分只涂一种颜色，相邻部分涂不同颜色，则不同的涂色方法有多少种？ 分析：先给①号区域涂色有5种方法，再给②号涂色有4种方法，接着给③号涂色方法有3种，由于④号与①、②不相邻，因此④号有4种涂法，根据分步计数原理，不同的涂色方法有 2、 根据共用了多少种颜色讨论，分别计算出各种出各种情形的种数，再用加法原理求出不同的涂色方法种数。 例2、（2003江苏卷）四种不同的颜色涂在如图所示的6个区域，且相邻两个区域不能同色。 分析：依题意只能选用4种颜色，要分四类： （1）②与⑤同色、④与⑥同色，则有 ； （2）③与⑤同色、④与⑥同色，则有 ； （3）②与⑤同色、③与⑥同色，则有 ； （4）③与⑤同色、② 与④同色，则有 ；（5）②与④同色、③与⑥同色，则有 ； 所以根据加法原理得涂色方法总数为5 =120 例3、（2003年全国高考题）如图所示，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着方法共有多少种？ 分析：依题意至少要用3种颜色 1) 当先用三种颜色时，区域2与4必须同色， 2) 区域3与5必须同色，故有 种；
高中数学课件6-2排列组合之专题二：涂色问题
(5)对图E，类似于图D的解法，假设6区域涂法依次为4、3、3、3、3、3种，则需 减去首尾两区域涂相同颜色的情形.故有 4×35-240=732 种涂色方案.
探究新知
2.猜想递推公式
an 4 3n 1 an 1 (3 1) 3n1 an1 3n 3n 1 an 1 (n 3)
3.猜想归纳通项an
人教A版2019选择性必修第三册
第六章 计数原理
6.2 排列组合之专题二 涂色问题
创设源自文库境
我们经常看到的中国地图、世界地图都是利用几种不同的颜色对各个省、 市或者不同的国家进行着色，为了区分起见，相邻的区域涂成不同的颜色，这 节课我们就来研究涂色与数学的关系.
探究新知
问题：如图,要给地图A、B、C、D四个区域分别涂上3种不同颜色中的某 一种, 允许同一种颜色使用多次, 但相邻区域必须涂不同的颜色, 不同的涂色方 案有多少种？
2.(2008年全国)如图，一环形花坛分成A、B、C、D四块，现
有 4种不同的花供选种，要在每块花坛里种一种花，且相邻的两
块 种不同的花，则不同的种法总数为( B )
A.96
B.84
C.60
D.48
A
D
B
C
典例分析
例2 (2003年高考题)如图，一个地区分为5个行政区域，现
2
给地图着色，要求相邻区域不得使用同一种颜色，现有四种颜
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排列组合经典：涂色问题
高考数学中涂色问题的常见解法及策略
与涂色问题有关的试题新颖有趣,近年已经在高考题中出现，其中包含着丰富的数学思想。解决涂色问题方法技巧性强且灵活多变，因而这类问题有利于培养学生的创新思维能力、分析问题与观察问题的能力，有利于开发学生的智力。本文拟总结涂色问题的常见类型及求解方法
一.区域涂色问题
1、 根据分步计数原理，对各个区域分步涂色，这是处理染色问题的基本方法。
例1。用5种不同的颜色给图中标①、②、③、④的各部分涂色，每部分只涂一种颜色，相邻部分涂不同颜色，则不同的涂色方法有多少种？
分析：先给①号区域涂色有5种方法，再给②号涂色有4种方法，接着给③号涂色方法有3种，由于④号
与①、②不相邻，因此④号有4种涂法，根据分步计数原理，不同的涂色方法有5434240⨯⨯⨯=
2、 根据共用了多少种颜色讨论，分别计算出各种出各种情形的种数，再用加法原理求出不同的涂色
方法种数。
例2、四种不同的颜色涂在如图所示的6个区域，且相邻两个区域不能同色。 分析：依题意只能选用4种颜色，要分四类： （1）②与⑤同色、④与⑥同色，则有44
A ； （2）③与⑤同色、④与⑥同色，则有44
A
；
（3）②与⑤同色、③与⑥同色，则有44
A ；
（4）③与⑤同色、②
与④同色，则有
44
A ；（5）②与④同色、③与⑥同色，则有4
4A ； 所以根据加法原理得涂色方法总数为544A =120
例3、如图所示，一个地区分为5个行政区域， 现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色， 现有4种颜色可供选择，则不同的着方法共有多少种？ 分析：依题意至少要用3种颜色
1) 当先用三种颜色时，区域2与4必须同色，
2) 区域3与5必须同色，故有3
4
A 种； 3) 当用四种颜色时，若区域2与4同色，
4)
则区域3与5不同色，有
44
A 种；若区域3与5同色，则区域2与4不同色，有4
4A 种，故用四种颜色时共有2
44
A 种。由加法原理可知满足题意的着色方法共有
34
A +24
4A =24+2⨯24=72 3、 根据某两个不相邻区域是否同色分类讨论，从某两个不相邻区域同色与不同色入手，分别计算出
两种情形的种数，再用加法原理求出不同涂色方法总数。
例4用红、黄、蓝、白、黑五种颜色涂在如图所示的四个区域内，每个区域涂一种颜色，相邻两个区域涂不同的颜色，如果颜色可以反复使用，共有多少种不同的涂色方法？
分析：可把问题分为三类：
（1） 四格涂不同的颜色，方法种数为45A ；
（2） 有且仅两个区域相同的颜色， （3） 即只
有一组对角小方格涂相 同的颜色，涂法种数为
12542C A ；
5) 两组对角小方格分别涂相同的颜色，涂法种数为
25A ，
②
①
③
④ 2 4
3 1 5
① ②③
④ ⑤
⑥
1 2 3 4
因此，所求的涂法种数为
212
255452260A C A A ++=
4、 根据相间区使用颜色的种类分类
例5如图， 6个扇形区域A 、B 、C 、D 、E 、F ，现给这6个区域着色，要求同一区域涂同一种
颜色，相邻的两个区域不得使用同一种颜色，现有4种不同的颜色可1A 解（1）当相间区域A 、
C 、E 着同一种颜色时， 有4种着色方法，此时，
B 、D 、F 各有3种着色方法，
此时，B 、D 、F 各有3种着色方法 故有4333108⨯⨯⨯= 种方法。
（2）当相间区域A 、C 、E 着色两不同的颜色时，有2
2
34
C A 种着色方法，此时B 、
D 、F 有322⨯⨯种着色方法，故共有2
2
3
4322432C A ⨯⨯⨯=种着色方法。
（3）当相间区域A 、C 、E 着三种不同的颜色时有3
4
A 种着色方法，此时
B 、D 、F 各有2种着色方法。此时共有
34222192A ⨯⨯⨯=种方法。
故总计有108+432+192=732种方法。
说明：关于扇形区域区域涂色问题还可以用数列中的递推公来解决。
如：如图，把一个圆分成(2)n n ≥个扇形，每个扇形用红、白、蓝、黑四色之一染色，要求相邻扇形不同色，有多少种染色方法？ 解：设分成n 个扇形时染色方法为n a 种
（1） 当n=2时
1A 、2A 有24A =12种，即2a =12
（2）当分成n 个扇形，如图，1A 与2A 不同色，2A 与3A 不同 色，，1n A -
与
n A 不同色，共有143n -⨯种染色方法， 但由于n A 与1A
邻，所以应排除n
A 与1
A 同色的情形；n
A 与1
A 同色时，可把n
A 、 1
A 看成一个扇形，与前2n -个扇
形加在一起为1n -个扇形，此时有1n a -种染色法，故有如下递推关系：
11
43n n n a a --=⨯-1211243(43)43n n n n n n a a a -----∴=-+⨯=--+⨯+⨯
21321
234343434343n n n n n n n a a -------=-⨯+⨯=-+⨯-⨯+⨯124[33(1)3]
(1)33
n n n n
n
--=
=⨯-+
+-⨯=-⨯+
二.点的涂色问题 方法有：（1）可根据共用了多少种颜色分类讨论，（2）根据相对顶点是否同色分类讨论，（3）将空间问题平面化，转化成区域涂色问题。
例6、将一个四棱锥S ABCD -的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的两端点异色，如果只有5种颜色可供使用，那么不同的染色方法的总数是多少？ 解法一：满足题设条件的染色至少要用三种颜色。
（1）若恰用三种颜色，可先从五种颜色中任选一种染顶点S ，再从余下的四种颜色中任选两种涂
A 、
B 、
C 、
D 四点，此时只能A 与C 、B 与D 分别同色，故有1
2
54
60C A =种方法。
（2）若恰用四种颜色染色，可以先从五种颜色中任选一种颜色染顶点S ，再从余下的四种颜色中任
选两种染A 与B ，由于A 、B 颜色可以交换，故有
2
4
A 种染法；再从余下的两种颜色中任选一种染D 或C ，而D 与C ，而D 与C 中另一个只需染与其相对顶点同色即可，故有1
2
1
1
5422
240C A C C =种方法。
A B
C D
E F
1
A 2A 4
A n
A 3A