高考数学第二轮复习第一部分专题五立体几何必考点

专题五 立体几何必考点一 空间几何体的三视图、表面积与体积[高考预测]——运筹帷幄:1．以三视图为背景的几何体的识别问题．2．空间几何体与三视图相结合，计算几何体的表面积和体积． 3．球及有关组合体的表面积与体积． [速解必备]——决胜千里1．一个物体的三视图的排列规则:俯视图放在正视图的下面，长度与正视图的长度一样，侧(左)视图放在正(主)视图的右面，高度与正(主)视图的高度一样，宽度与俯视图的宽度一样，即“长对正、高平齐、宽相等”． 2．(1)设长方体的相邻的三条棱长为a 、b 、c 则体对角线长为 a 2＋b 2＋c 2 (2)棱长为a 的正方体的体对角线长等于外接球的直径，即3a ＝2R .(3)若球面上四点P 、A 、B 、C 构成的线段PA 、PB 、PC 两两垂直，且PA ＝a ，PB ＝b ，PC ＝c ，则4R 2＝a 2＋b 2＋c 2，把有关元素“补形”成为一个球内接长方体(或其他图) [速解方略]——不拘一格类型一 有关几何体的三视图的计算[例1] (1)一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如下图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为( )A.18B.17C.16D.15解析：基本法：由已知三视图知该几何体是由一个正方体截去了一个“大角”后剩余的部分，如图所示，截去部分是一个三棱锥．设正方体的棱长为1，则三棱锥的体积为V1＝13×12×1×1×1＝16，剩余部分的体积V2＝13－16＝56.所以V1V2＝1656＝15，故选D.速解法：如图所示，VA­A1B1D1＝13VABD­A1B1D1＝16V正方体VA­A1B1D1＝15VABCD­B1C1D1答案：D方略点评：基本法是具体计算几何体的体积，速解法是根据几何体间的体积关系求得答案. (2)圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示．若该几何体的表面积为16＋20π，则r＝( )A．1 B．2C．4 D．8解析：基本法：由已知可知，该几何体的直观图如图所示，其表面积为2πr2＋πr2＋4r2＋2πr2＝5πr2＋4r2.由5πr2＋4r2＝16＋20π，得r＝2.故选B.速解法：由几何体特征可知，球的表面积，圆的面积，圆柱侧面积都含有“π”，只有圆柱的轴截面面积不含“π”，∴即2r ·2r ＝16，∴r ＝2，故选B. 答案：B 方略点评：1基本法是具体计算出几何体的表面积的表达式.速解法是根据几何体特征想出表面积表达式特征由部分几何体求r .2此类题关键是将三视图恢复为直观图，并找清几何体的标量，代入公式计算.1．如图，网格纸上正方形小格的边长为1(表示1 cm)，图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3 cm ，高为6 cm 的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为( )A.1727B.59C.1027D.13解析：基本法：该零件是两个圆柱体构成的组合体，其体积为π×22×4＋π×32×2＝34π cm 3， 圆柱体毛坯的体积为π×32×6＝54π cm 3， 所以切削掉部分的体积为54π－34π＝20π cm 3，所以切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为20π54π＝1027，故选C.答案：C2．(2016·高考全国丙卷)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为( )A ．18＋36 5B ．54＋18 5C ．90D ．81解析：先根据三视图确定几何体的形状，再求其表面积．由三视图可知该几何体是底面为正方形的斜四棱柱，其中有两个侧面为矩形，另两个侧面为平行四边形，则表面积为(3×3＋3×6＋3×35)×2＝54＋18 5.故选B. 答案：B类型二 球及其组合体[例2] (1)已知A ，B 是球O 的球面上两点，∠AOB ＝90°，C 为该球面上的动点．若三棱锥O ­ABC 体积的最大值为36，则球O 的表面积为( ) A ．36π B．64π C ．144π D．256π解析：基本法：画出球的直观图，利用锥体的体积公式求解． 如图，设球的半径为R ，∵∠AOB ＝90°，∴S △AOB ＝12R 2.∵V O ­ABC ＝V C ­AOB ，而△AOB 面积为定值，∴当点C 到平面AOB 的距离最大时，V O ­ABC 最大，∴当C 为与球的大圆面AOB 垂直的直径的端点时，体积V O ­ABC 最大为13×12R 2×R ＝36，∴R ＝6，∴球O 的表面积为4πR 2＝4π×62＝144π.故选C.速解法：设球的半径为r, 则V O ­ABC ＝13×12×r 2h ≤16r 3＝36，故r ＝6.故S 球＝4πr 2＝144π.答案：C方略点评：基本法是根据直观图，找到C 点位置.,速解法是利用V O ­ABC 的表达式的代数关系≤16r 3直接求得r .(2)正四棱锥的顶点都在同一球面上．若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为( )A.81π4 B ．16πC ．9π D.27π4解析：基本法：如图所示，R 2＝(4－R )2＋2，∴R 2＝16－8R ＋R 2＋2，∴R ＝94，∴S 表＝4πR 2＝4π×8116＝81π4，选A.速解法：由几何体的直观图可看出R ＞h2＝2(∵h ＜2R )∴S 表＝4πR 2＞16π，只能选A. 答案：A方略点评：1基本法是根据球的内接四棱锥的性质建立R 的方程求R .速解法是估算球的半径的取值范围从而想到S 表的范围而选答案，巧而快. 2有关球的组合体转化为球的轴截面中圆的性质.1．如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm ，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm ，如果不计容器的厚度，则球的体积为( )A.500π3cm 3B.866π3cm 3C.1 372π3cm 3D.2 048π3cm 3解析：基本法：设球半径为R ，如图所示，B 为弦的中点，OA ＝OC ＝R ，由垂径定理，知△OBA 为直角三角形．BC＝2，BA＝4，OB＝R－2，OA＝R，由R2＝(R－2)2＋42，得R＝5，所以球的体积为43π×53＝5003π(cm3)，故选A.答案：A2．(2016·高考全国甲卷)体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为( ) A．12π B.323πC．8π D．4π解析：由正方体的体积为8可知，正方体的棱长a＝2.又正方体的体对角线是其外接球的一条直径，即2R＝3a(R为正方体外接球的半径)，所以R＝3，故所求球的表面积S＝4πR2＝12π.答案：A[终极提升]——登高博见选择题、填空题的解法——范围分析法方法诠释对于某些计算问题，若从已知条件入手，计算量大而复杂，可以根据题设条件，分析出变量的取值范围，从而得出所求问题的大致范围，结合选项看其是否在这个范围内．注意事项从条件分析变量范围时要尽量“精准”限时速解训练十三空间几何体的三视图、表面积与体积(建议用时40分钟)一、选择题(在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的)1．一个四面体的顶点在空间直角坐标系O­xyz中的坐标分别是(1,0,1)，(1,1,0)，(0,1,1)，(0,0,0)，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx平面为投影面，则得到的正视图可以为( )解析：选A.设O(0,0,0)，A(1,0,1)，B(1,1,0)，C(0,1,1)，将以O、A、B、C为顶点的四面体补成一正方体后，由于OA⊥BC，所以该几何体以zOx平面为投影面的正视图为A.2．如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体是( )A．三棱锥B．三棱柱C．四棱锥 D．四棱柱解析：选B.原几何体为如图所示的三棱柱，故选B.3．一个几何体的三视图中，正(主)视图和侧(左)视图如图所示，则俯视图不可能为( )解析：选C.若几何体的俯视图为C选项，则其正视图中矩形的中间应为实线，与题意不符，即俯视图不可能为C选项，故选C.4．某四棱锥的三视图如图所示，记A为此棱锥所有棱的长度的集合，则( )A．2∈A，且4∈A B.2∈A，且4∈AC．2∈A，且25∈A D.2∈A，且17∈A解析：选D.由俯视图可知，该四棱锥的底面边长为2，由主视图可知四棱锥的高为4，所以其侧棱长为16＋1＝17，故选D.5．如图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的表面三角形中为直角三角形的个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：选C.作出三棱锥的直观图如图所示，由三视图可知AB ＝BD ＝2，BC ＝CD ＝2，AD ＝22，AC ＝6，故△ABC ，△ACD ，△ABD ，△BCD 均为直角三角形，故选C.6．半径为R 的球O 中有一内接圆柱，当圆柱的侧面积最大时，球的表面积与该圆柱的侧面积之差是( ) A ．πR 2 B ．2πR 2 C ．3πR 2 D ．4πR 2解析：选B.设球的内接圆柱的底面圆半径为r ，母线长为l ，则⎝ ⎛⎭⎪⎫l 22＋r 2＝R 2，该圆柱的侧面积为2πrl＝π4r 2l 2＝π4R 2－l2l 2≤π×4R 2－l 2＋l 22＝2πR 2，当且仅当l ＝2R 时取等号，所以该圆柱的侧面积的最大值是2πR 2，又球的表面积为4πR 2，所以球的表面积与该圆柱的侧面积之差是4πR 2－2πR 2＝2πR 2，故选B.7．某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的表面积为( )A ．17B ．22C ．14＋213D ．22＋213解析：选D.作出四棱锥P ­ABCD 的直观图如图所示，AB ＝4，BC ＝2，PC ＝3，S 矩形ABCD ＝2×4＝8，S △BCP＝12×2×3＝3，S △ABP ＝12×22＋32×4＝213，S △CDP ＝12×3×4＝6，S △ADP ＝12×2×32＋42＝5，故四棱锥的表面积S ＝8＋3＋213＋6＋5＝22＋213，故选D.8．一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A ．48B ．32＋87C ．48＋817D ．32解析：选C.由三视图可得该几何体是平放的直四棱柱，底面是上底边长为2、下底边长为4、高为4的等腰梯形，四棱柱的侧棱长(即高)为4，所以一个底面面积是12×(2＋4)×4＝12，侧面积为417×2＋2×4＋4×4＝24＋817，故表面积是12×2＋24＋817＝48＋817，故选C.9．在梯形ABCD 中，∠ABC ＝π2，AD ∥BC ，BC ＝2AD ＝2AB ＝2.将梯形ABCD 绕AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( ) A.2π3 B.4π3 C.5π3D ．2π解析：选C.过点C 作CE 垂直AD 所在直线于点E ，梯形ABCD 绕AD 所在直线旋转一周所形成的旋转体是由以线段AB 的长为底面圆半径，线段BC 为母线的圆柱挖去以线段CE 的长为底面圆半径，ED 为高的圆锥，如图所示，该几何体的体积为V ＝V圆柱－V圆锥＝π·AB 2·BC －13·π·CE 2·DE ＝π×12×2－13π×12×1＝5π3，故选C.10．(2016·山东淄博一模)某几何体的三视图如图所示，图中的四边形都是边长为1的正方体，其中正(主)视图、侧(左)视图中的两条虚线互相垂直，则该几何体的体积是( )A.56B.34C.12D.16解析：选A.由三视图可知该几何体为一正方体挖去一个倒置且高为12的正四棱锥，所以该几何体的体积为1－13×12×1×1＝56.故选A.11．(2016·吉林长春一模)下图为一个半球挖去一个圆锥后的几何体的三视图，则该几何体的表面积为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫83＋22πB.⎝ ⎛⎭⎪⎫83＋42π C ．(4＋22)π D．(8＋42)π解析：选D.该几何体的表面积为半球面积与圆锥侧面积之和，即S ＝12·4πr 2＋πrl ＝8π＋42π＝(8＋42)π.故选D.12．某几何体的三视图如图所示，当xy 最大时，该几何体的体积为( )A ．27B ．47C ．87D ．167解析：选D.该几何体的直观图如图所示，由直观图可知PA 2＝102－y 2＝x 2－(27)2，∴x 2＋y 2＝128.又∵128＝x 2＋y 2≥2xy ，当且仅当x ＝y 时xy 取得最大值，∴此时⎩⎨⎧x 2＋y 2＝128，x ＝y ，∴⎩⎨⎧x ＝8，y ＝8.∴h ＝PA ＝6，∴V ＝13·S △ABC ·|PA |＝13×12×27×8×6＝167.二、填空题(把答案填在题中横线上)13．(2016·山东临沂模拟)四面体ABCD 中，共顶点A 的三条棱两两相互垂直，且其长分别为2,3,4.若四面体ABCD 的四个顶点在同一个球面上，则这个球的表面积为________．解析：依题意，原几何体是一个三棱锥，可以看作一条棱与底面垂直且其长度为3，底面是一个直角三角形，两直角边长分别为2,4，这个几何体可以看作是长、宽、高分别为4,2,3的长方体的一部分，则其外接球的半径为R ＝1242＋22＋32＝292，故这个球的表面积为S ＝4πR 2＝4π⎝ ⎛⎭⎪⎫2922＝29π. 答案：29π14．(2016·山东德州模拟)一个几何体的三视图如图所示，其侧视图是一个等边三角形，则这个几何体的体积是________．解析：观察三视图可知，该几何体是圆锥的一半与一个四棱锥的组合体，圆锥底面半径为2，四棱锥底面边长分别为3,4，它们的高均为 42－⎝ ⎛⎭⎪⎫422＝23，所以该几何体的体积为12×13π×22×23＋13×4×3×23＝83＋433π.答案：433π＋8 315．设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S 1，S 2，体积分别为V 1，V 2，若它们的侧面积相等，且S 1S 2＝94，则V 1V 2的值是________．解析：设甲、乙两个圆柱的底面半径和高分别为r 1、h 1，r 2、h 2，由侧面积相等，即2πr 1h 1＝2πr 2h 2，得h 1h 2＝r 2r 1.又S 1S 2＝πr 21πr 22＝94，所以r 1r 2＝32， 则V 1V 2＝πr 21h 1πr 22h 2＝r 21r 22·h 1h 2＝r 21r 22·r 2r 1＝r 1r 2＝32. 答案：3216．一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为________m 3.解析：由三视图可知，该几何体是一个组合体，其上部是一个圆锥，底面圆半径为2，高为2，下部是一个圆柱，底面圆半径为1，高为4，故该几何体的体积V ＝13×π×22×2＋π×12×4＝8π3＋4π＝20π3.答案：20π3必考点二 空间直线与平面的位置关系[高考预测]——运筹帷幄1．空间线线平行、线面平行、面面平行的判定和性质． 2．空间线线垂直、线面垂直、面面垂直的判定和性质． 3．空间异面直线的判定，求解异面直线所成的角． [速解必备]——决胜千里1．经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行．(唯一性)2．如果一条直线与两个相交平面都平行，那么这条直线必与它们的交线平行．(线∥面⇒线∥线) 3．三个平面两两垂直，其交线也两两垂直．(面⊥面⇒线⊥线)4．两条平行线中的一条垂直于平面，则另一条也垂直于平面．(线∥线⇒线⊥面)5．一条直线垂直于两个平行平面的一个平面，则该直线垂直于另一个平面．(面∥面⇒线⊥面) 6．两个相交平面同垂直第三个平面，则交线也垂直于第三个平面．(面⊥面⇒线⊥面)7．垂直于同一条直线的两个平面平行．(线⊥面⇒面∥面)8．一个平面及该平面外的一条直线，同垂直于第二个平面，则直线与该平面平行．(面⊥面⇒线∥面)(反之也成立)[速解方略]——不拘一格类型一空间位置关系的判定[例1] (1)已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β.直线l满足l⊥m，l⊥n，l⊄α，l⊄β，则( )A．α∥β且l∥αB．α⊥β且l⊥βC．α与β相交，且交线垂直于lD．α与β相交，且交线平行于l解析：基本法：若α∥β，则m∥n，这与m、n为异面直线矛盾，所以A不正确．将已知条件转化到正方体中，易知α与β不一定垂直，但α与β的交线一定平行于l，从而排除B、C.故选D.速解法：构造图形如图所示，知D项正确．答案：D方略点评：基本法是逐个排除选项，利用线面关系定理进行推证.速解法是根据已知条件画出适合题意的图形，进行证明.(2)已知m，n表示两条不同直线，α表示平面．下列说法正确的是( )A．若m∥α，n∥α，则m∥nB．若m⊥α，n⊂α，则m⊥nC．若m⊥α，m⊥n，则n∥αD．若m∥α，m⊥n，则n⊥α解析：基本法：对A，m，n还可能异面、相交，故A不正确；对B，由线面垂直的定义可知正确；对C，n还可能在平面α内，故C不正确；对D，n还可能在α内，故D不正确．速解法：在正方体中，找出相应的m、n与面之间的关系，可知B正确．答案：B方略点评：判断线面的位置关系，一种方法是根据判定定理或性质定理进行理论推证，另一种方法，把线面放置在具体的几何体中进行判定.1．(2016·山东莱芜二模)设m，n是空间两条直线，α，β是空间两个平面，则下列命题中不正确的是( )A．当n⊥α时，“n⊥β”是“α∥β”的充要条件B．当m⊂α时，“m⊥β”是“α⊥β”的充分不必要条件C．当m⊂α时，“n∥α”是“m∥n”的必要不充分条件D．当m⊂α时，“n⊥α”是“m⊥n”的充分不必要条件解析：基本法：C中，当m⊂α时，若n∥α，则直线m，n可能平行，可能异面；若m∥n，则n ∥α或n⊂α，所以“n∥α”是“m∥n”的既不充分也不必要条件，故C项不正确．答案：C2．(2016·高考全国甲卷)α，β是两个平面，m，n是两条直线，有下列四个命题：①如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β.②如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n.③如果α∥β，m⊂α，那么m∥β.④如果m∥n，α∥β，那么m与α所成的角和n与β所成的角相等．其中正确的命题有________．(填写所有正确命题的编号)解析：对于命题①，可运用长方体举反例证明其错误：如图，不妨设AA′为直线m，CD为直线n，ABCD所在的平面为α，ABC′D′所在的平面为β，显然这些直线和平面满足题目条件，但α⊥β不成立．命题②正确，证明如下：设过直线n的某平面与平面α相交于直线l，则l∥n，由m⊥α知m⊥l，从而m⊥n，结论正确．由平面与平面平行的定义知命题③正确．由平行的传递性及线面角的定义知命题④正确．答案：②③④[终极提升]——登高博见选择题、填空题的解法——反证法方法诠释对于要证的结论，假设不成立，以此为突破口，进行推理，最后得出矛盾的方法是反证法方法特点对于从正面不易说明的结论，可考虑反证法，如证明异面直线等，产生矛盾可以是与已知矛盾，也可以与定理矛盾.限时速解训练十四空间直线与平面的位置关系(建议用时40分钟)一、选择题(在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的)1．设α，β是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，且l⊂α，m⊂β( )A．若l⊥β，则α⊥βB．若α⊥β，则l⊥mC．若l∥β，则α∥β D．若α∥β，则l∥m解析：选A.考生可借助笔和桌面，不难通过空间想象加以判断解决，也可借助正方体举反例，直观地排除不正确的选项，从而使问题获解．如：平面B1BCC1⊥平面ABCD，但B1C不垂直BC，可排除B；D1C1∥平面ABCD，但平面D1DCC1不平行于平面ABCD，可排除C；平面A1B1C1D1∥平面ABCD，但A1B1与AC不平行，可排除D，故选A.2．设a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则能得出a⊥b的是( )A．a⊥α，b∥β，α⊥β B．a⊥α，b⊥β，α∥βC．a⊂α，b⊥β，α∥β D．a⊂α，b∥β，α⊥β解析：选C.A中，若α⊥β，a⊥α，b∥β，则a∥β或a⊂β，不能得到a⊥b，故A错；B中，a⊥α，α∥β，则a⊥β，又b⊥β，则a∥b，故B错；C中，若b⊥β，α∥β，则b⊥α，又a⊂α，则a⊥b，故C正确；D中，a与b可能垂直、平行或异面，故D错．综上所述，故选C. 3．在长方体A1B1C1D1­ABCD中，直线A1C与平面BC1D交于点M，则M为△BC1D的( )A．垂心 B．内心C．外心 D．重心解析：选D.连接AC，与BD交于点O，则平面ACC1A1∩平面BC1D＝C1O.又M∈A1C⊂平面ACC1A1，M∈平面BC1D，∴M∈C1O，故C1，M，O三点共线．而OC∥A1C1，∴△OMC∽△C1MA1，∴OMMC1＝OCA1C1＝12，又∵C1O是△BC1D的中线，∴M为△BC1D的重心，故选D.4．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则( )A．若m⊥n，n∥α，则m⊥αB．若m∥β，β⊥α，则m⊥αC．若m⊥β，n⊥β，n⊥α，则m⊥αD．若m⊥n，n⊥β，β⊥α，则m⊥α解析：选C.A，B，D中直线m可能在平面α内也可能与平面α相交或平行；由线面垂直的判定与性质可知C正确，故选C.5．设m，n是不同的直线，α，β是不同的平面，下列命题中正确的是( )A．若m∥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥βB．若m∥α，n⊥β，m⊥n，则α∥βC．若m∥α，n⊥β，m∥n，则α⊥βD．若m∥α，n⊥β，m∥n，则α∥β解析：选C.A项中可能出现α∥β，B项中可能出现α⊥β，C项正确，由m∥α知平面α内存在直线l，使得m∥l，则l∥n.因为n⊥β，所以l⊥β，因为l⊂α，所以α⊥β，故选C. 6．对于直线m，n和平面α，β，使m⊥α成立的一个充分条件是( )A．m⊥n，n∥α B．m∥β，β⊥αC．m⊥β，n⊥β，n⊥α D．m⊥n，n⊥β，β⊥α解析：选C.对于A，直线m可能位于平面α内，此时不能得出m⊥α；对于B，直线m可能位于平面α内，且与平面α，β的交线平行，此时不能得出m⊥α；对于C，由m⊥β，n⊥β得m ∥n，又n⊥α，因此m⊥α；对于D，直线m可能是平面α，β的交线，此时不能得知m⊥α，故选C.7．已知点E，F分别是正方体ABCD­A1B1C1D1的棱AB，AA1的中点，点M，N分别是线段D1E与C1F上的点，则与平面ABCD垂直的直线MN有( )A．0条 B．1条C．2条 D．无数条解析：选B.如图，设D1E与平面AA1C1C相交于点M，在平面AA1C1C内过点M作MN∥AA1交C1F于点N，连接MN，由C1F与D1E为异面直线知MN唯一，且MN⊥平面ABCD，故选B.8．已知直线l与平面α平行，则下列结论错误的是( )A．直线l与平面α没有公共点B．存在经过直线l的平面与平面α平行C．直线l与平面α内的任意一条直线都平行D．直线l上所有的点到平面α的距离都相等解析：选C.直线l与平面α平行，则直线l不可能与平面α内的任意一条直线都平行，故选C. 9．已知a，b，c是三条不同的直线，命题“a∥b且a⊥c⇒b⊥c”是正确的，如果把a，b，c中的两个或三个换成平面，在所得的命题中，真命题有( )A．1个 B．2个C．3个 D．4个解析：选C.依题意，当a，b均为平面，c为直线时，此时相应的结论正确；当a，c均为平面，b 为直线时，此时相应的结论不正确；当b，c均为平面，a为直线时，此时相应的结论正确；当a，b，c均为平面时，此时相应的结论正确．综上所述，在所得的命题中，真命题有3个，故选C. 10．设a，b，c表示三条直线，α，β表示两个平面，则下列命题中逆命题不成立的是( ) A．c⊥α，若c⊥β，则α∥βB．b⊂α，c⊄α，若c∥a，则b∥cC．b⊂β，若b⊥α，则β⊥αD．a，b⊂α，a∩b＝P，c⊥a，c⊥b，若α⊥β，则c⊂β解析：选C.利用排除法求解．A的逆命题为：c⊥α，若α∥β，则c⊥β，成立；B的逆命题为：b⊂α，c⊄α，若b∥c，则c∥α，成立；C的逆命题为：b⊂β，若β⊥α，则b⊥α，不成立；D的逆命题为：a，b⊂α，a∩b＝P，c⊥a，c⊥b，若c⊂β，则α⊥β，成立，故选C.11．已知平面α∥β，且α与β的距离为d(d＞0)，m⊂α，则在β内与直线m的距离为2d的直线共有( )A．0条 B．1条C．2条 D．无数条解析：选C.由题意得平面β内与直线m的距离为2d的直线为以直线m为中心线，半径为2d的圆柱面与平面β的交线，易知交线有2条，故选C.12．在棱长均相等的正三棱柱ABC­A1B1C1中，D为BB1的中点，F在AC1上，且DF⊥AC1，则下述结论：①AC1⊥BC；②AF＝FC1；③平面DAC1⊥平面ACC1A1，其中正确的个数为( )A．0 B．1C．2 D．3解析：选C.不妨设棱长为2.①连接AB1，则AB1＝AC1＝22，∴∠AC1B1≠90°，即AC1与B1C1不垂直，又BC∥B1C1，∴①错；②连接AD，DC1，在△ADC1中，AD＝DC1＝5，而DF⊥AC1，∴F是AC1的中点，∴②对；由②知在△ADC1中DF＝3，连接CF，CD，易知CF＝2，而在Rt△CBD中，CD＝5，∴DF2＋CF2＝CD2，∴DF⊥CF，又DF⊥AC1，CF∩AC1＝F，∴DF⊥平面AA1C1C，∴③对，故选C.二、填空题(把答案填在题中横线上)13．(2016·山西太原二模)设α，β，γ为互不重合的三个平面，l为直线，给出下列命题：①若α∥β，α⊥γ，则β⊥γ；②若α⊥γ，β⊥γ，且α∩β＝l，则l⊥γ；③若直线l与平面α内的无数条直线垂直，则直线l与平面α垂直；④若α内存在不共线的三点到β的距离相等，则平面α平行于平面β.其中真命题的序号为________(写出所有真命题的序号)．解析：借助于正方体易知①②正确；对于③，若平面α内与直线l垂直的无数条直线都平行，则直线l可能与平面α不垂直，所以③错；④中的不共线的三点有可能是在平面β的两侧，所以两个平面可能相交或平行，所以④错，故填①②.答案：①②14．(2016·辽宁五校联考)四棱锥P­ABCD的顶点P在底面ABCD上的投影恰好是A，其三视图如图所示，其中正视图与侧视图都是腰长为a的等腰三角形，则在四棱锥P­ABCD的任意两个顶点的连线中，互相垂直的异面直线共有________对．解析：由题意可得PA⊥BC，PA⊥CD，AB⊥PD，BD⊥PA，BD⊥PC，AD⊥PB，即互相垂直的异面直线共有6对．答案：615．已知直线a和平面α，β，α∩β＝l，a⊄α，a⊄β，且a在α，β内的射影分别为直线b 和c，则b和c的位置关系可能是________．解析：由题意，若a∥l，则利用线面平行的判定可知a∥α，a∥β，从而直线b和c平行；若a∩l ＝A，则a在α，β内的射影直线b和c相交于点A；若a∩α＝B，a∩β＝c，且直线a和l垂直，则a在α，β内的射影直线b和c相交，否则直线b和c异面．综上所述，b和c的位置关系可能是相交、平行或异面．答案：相交、平行或异面16．点P在正方体ABCD­A1B1C1D1的面对角线BC1上运动，则下列四个命题：①三棱锥A­D1PC的体积不变；②A1P∥平面ACD1；③DP⊥BC1；④平面PDB1⊥平面ACD1.其中正确命题的序号是________．解析：由题意可得，直线BC1∥直线AD1，并且直线AD1⊂平面AD1C，直线BC1⊄平面AD1C，所以直线BC1∥平面AD1C.所以点P到平面AD1C的距离不改变．因为VA­D1PC＝VP­AD1C，所以三棱柱A­D1PC 的体积不变，故①正确．连接A1C1，A1B，可得平面AD1C∥平面A1C1B.又因为A1P⊂平面A1C1B，所以A1P∥平面ACD1，所以②正确．当点P运动到点B时，△DBC1是等边三角形，所以DP不垂直于BC1，故③不正确．连接BD，则BD为DB1在平面ABCD内的射影．因为AC⊥BD，所以AC⊥DB1.同理可得AD1⊥DB1，所以可得DB1⊥平面AD1C.又因为BD1⊂平面PDB1，所以平面PDB1⊥平面ACD1，故④正确．综上，正确命题的序号为①②④.答案：①②④专题五综合提升训练(五)(用时40分钟，满分80分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2016·吉林省实验中学一模)已知两条不同的直线l，m和两个不同的平面α，β，有如下命题：①若l⊂α，m⊂α，l∥β，m∥β，则α∥β；②若l⊂α，l∥β，α∩β＝m，则l∥m；③若α⊥β，l⊥β，则l∥α.其中正确命题的个数是( )A．3 B．2C．1 D．0解析：选C.若一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行，所以①错误；若一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行，所以②正确；若α⊥β，l⊥β，则l∥α或l⊂α，所以③错误．综上可知，选C.2．(2016·河北唐山模拟)已知三棱锥P­ABC的四个顶点都在球O的表面上，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，PA＝3，AB＝BC＝2，则球O的表面积为( )A．13π B．17πC．52π D．68π解析：选B.如图所示，可将此三棱锥放入长方体中，则此三棱锥的外接球与长方体的外接球相同，球心为PC 的中点．因为PC ＝PA 2＋AB 2＋BC 2＝17，所以球O 的半径R ＝172，所以此球的表面积为S ＝4π×⎝⎛⎭⎪⎫1722＝17π.3．(2016·哈尔滨六中适应性考试)已知一个四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，其正视图如图所示，则该四棱锥的表面积和体积分别是( )A ．45，8B ．45，83C ．4(5＋1)，83D ．8,8解析：选C.由题知该四棱锥为正四棱锥，如图，由该四棱锥的正视图可知，四棱锥的底面边长AB ＝2，高PO ＝2，则四棱锥的斜高PE ＝22＋12＝ 5.所以该四棱锥的表面积S ＝4＋4×12×2×5＝4(5＋1)，体积V ＝13×2×2×2＝83.故选C.4．(2016·吉林省实验中学一模)设a ，b ，c 是三条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题中，其逆命题不成立的是( ) A ．当c ⊥α时，若c ⊥β，则α∥β B ．当b ⊂α时，若b ⊥β，则α⊥βC ．当b ⊂α，且c 是a 在α内的射影时，若b ⊥c ，则a ⊥bD ．当b ⊂α，且c ⊄α时，若c ∥α，则b ∥c解析：选B.A 的逆命题为：当c ⊥α时，若α∥β，则c ⊥β，由线面垂直的性质知c ⊥β；B 的逆命题为：当b ⊂α时，若α⊥β，则b ⊥β，显然错误；C 的逆命题为：当b ⊂α，且c 是a 在α内的射影时，若a ⊥b ，则b ⊥c ，由三垂线的逆定理知b ⊥c ；D 的逆命题为：当b ⊂α，且c ⊄α时，若b ∥c ，则c ∥α，由线面平行的判定定理可得c ∥α.故选B.5．有一圆锥内接于球O ，其底面圆周和顶点均在球面上，底面积S ＝3π，球的半径R ＝2，则此圆锥的体积为( ) A ．π B．3π C ．π或3π D ．2π解析：选C.由πr 2＝3π得，圆锥的底面半径r ＝ 3.设O 1为圆锥底面圆的圆心，OO 1＝x ，则x ＝R 2－r 2＝22－32＝1，圆锥的高h ＝R ＋x ＝3或h ＝R －x ＝1，所以圆锥的体积V ＝13Sh ＝13×3π×3＝3π或V ＝13Sh ＝13×3π×1＝π.6．(2016·广西南宁市、百色市联考)已知某几何体的三视图如图所示，其中正视图、侧视图均是由三角形和半圆构成，俯视图由圆与其内接三角形构成，根据图中的数据可得此几何体的体积为( )A.42π3＋43B.82π3＋43C.42π3＋2D.82π3＋2解析：选A.由三视图可知，该几何体下面是半径为2的半球，上面是一个底面是腰为2的等腰直角三角形、高是2的三棱锥，其体积V ＝12×43π×(2)3＋13×12×2×2×2＝423π＋43，故选A.7．半径为1的球面上有四个点A ，B ，C ，D ，球心为点O ，AB 过点O ，CA ＝CB ，DA ＝DB ，DC ＝1，则三棱锥A ­BCD 的体积为( ) A.36 B.33C. 3D. 6解析：选A.连接OC ，OD ，由球体的对称性可知V A ­BCD ＝2V A ­OCD .因为OC ＝OD ＝CD ＝1，所以△OCD 为等边三角形，故S △OCD ＝34，故V A ­OCD ＝13×34×1＝312，故V A ­BCD ＝2×312＝36，故选A. 8．如图为一个几何体的侧视图和俯视图，若该几何体的体积为43，则它的正视图为( )解析：选B.由题知该几何体为组合体，上方为四棱锥，下方为正方体，四棱锥顶点在底面上的射影为正方体一边上的中点，结合选项图可知，选B.9．半球内有一个内接正方体，则这个半球的体积与正方体的体积之比为( ) A.5π∶6 B.6π∶2 C ．π∶2 D ．5π∶12解析：选B.正方体底面的中心即球的球心，设球的半径为R ，正方体的棱长为a ，则有R 2＝a 2＋⎝⎛⎭⎪⎫22a 2，得R 2＝32a 2，所以半球的体积与正方体的体积之比为23πR 3∶a 3＝6π∶2.10．已知m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，命题p ：若m ∥n ，m ∥β，则n ∥β；命题q ：若m ⊥β，n ⊥β，n ⊥α，则m ⊥α.则下列结论正确的是( )A ．p ∧(綈q )是真命题B ．(綈p )∨q 是真命题C ．(綈p )∧q 是假命题D ．p ∨q 是假命题解析：选B.对于命题p ，若m ∥n ，m ∥β，则n 也可能在平面β内，故命题p 为假命题；对于命题q ，若m ⊥β，n ⊥β，n ⊥α，则m ⊥α，命题q 是真命题，故綈p 为真命题，綈q 为假命题，故(綈p )∨q 是真命题，选B.11．在正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，点A ，B ，C ，D 在球O 上，球O 与BA 1的另一个交点为E ，且AE ⊥BA 1，则球O 的表面积为( ) A ．6π B．8π C ．12π D．16π解析：选B.因为AB ＝2，AE ⊥BA 1，所以AE ＝BE ＝2，O 为底面ABCD 的中心，球O 的半径为2，所以球O 的表面积为4π(2)2＝8π.12．已知正三棱锥P ­ABC ，点P ，A ，B ，C 都在半径为3的球面上，若PA ，PB ，PC 两两互相垂直，则球心到截面ABC 的距离为( ) A.22 B.23 C.33 D.62解析：选C.因为在正三棱锥P ­ABC 中，PA ，PB ，PC 两两互相垂直，所以可以把该正三棱锥看作一个正方体的一部分(如图所示)，此正方体内接于球，正方体的体对角线为球的直径，球心为正方体体对角线的中点，球心到截面ABC 的距离为球的半径减去正三棱锥P ­ABC 在底面ABC 上的高．已知球的半径为3，所以正方体的棱长为2，可求得正三棱锥P ­ABC 在底面ABC 上的高为233，所以球心到截面ABC 的距离为3－233＝33.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．在三棱锥P ­ABC 中，侧棱PA ，PB ，PC 两两垂直，PA ＝1，PB ＝2，PC ＝3，则三棱锥的外接球的表面积为________．解析：由题知，三棱锥P ­ABC 的外接球的直径为1＋4＋9＝14，则球的表面积为4π⎝ ⎛⎭⎪⎫1422＝14π. 答案：14π14．如图所示，ABCD ­A 1B 1C 1D 1是棱长为a 的正方体，M ，N 分别是棱A 1B 1，B 1C 1的中点，P 是棱AD 上的一点，AP ＝a3，过点P ，M ，N 的平面交CD 于点Q ，则PQ ＝________.。