组合数学(引论)
组合数学引论第2版答案pdf
组合数学引论第2版答案pdf题型：选择题1. 从8个不同的数字中任选3个数字组成的不同三位数的个数为：A. 56B. 336C. 504D. 672答案：B2. 俱有10件物品，从中任取4件，则下列说法正确的是：A. 取法种数为10B. 取法种数为210C. 取法种数为840D. 取法种数为5040答案：C3. 2n个相同的球放入两个已标相同的盒子中，问每个盒子至少放几个球，使得两个盒子中的球数均不少于n？（n≧2）A. nB. n-1C. n/2D. （n+1）/2答案：D4. 某学校有30名运动员，其中有17名会游泳，16名会跑步，8名既会游泳又会跑步。
那么学校中至少有几名不会游泳也不会跑步的运动员？A. 0B. 1C. 2D. 3答案：C5. 设S是4个不同的字母所组成的集合，则S的一个子集中至少包含1个元素的子集数为：A. 15B. 16C. 23D. 24答案：D题型：填空题6. 用给定的集合中的数填空，使得等式成立。
{1,2,3,6,7,8} _______+_______=16答案：3、137. 一个5位的二进制数中恰好有3个1的数共有_______个。
答案：108. 从整数1,2,3,……15中选出5个数，使其和为36的选法有_______种。
答案：209. 由10个相同的小球，放入两个相同的盒子中，使得每个盒子中至少有一个球的方法数为_______。
答案：6310. 从8个人中选出3人组成一委员会，主席、副主席共有________种选法。
答案：56题型：解答题11. 在正方形ABCD中，M、N、P、Q是边AB、BC、CD和DA上的点，试用组合数学的方法证明四边形MNPQ是平行四边形。
答案：证明过程略。
12. 用组合数学的方法计算：\sum_{k=0}^n (-1)^k \cdot\displaystyle{n\choose k} \cdot (m-k)^n 的值。
答案：013. 一个凸n边形的顶点用各种不同颜色染色，试求出共有多少种染色方案。
组合数学引论教学设计
组合数学引论教学设计引言组合数学是数学中非常重要的分支，其研究对象是离散的结构和离散的问题。
组合数学的研究范围非常广阔，涉及到很多计算机、统计学、优化问题等领域，因此其教学也非常重要。
本文主要介绍组合数学引论的教学设计，旨在提高学生的兴趣，增强其掌握组合数学的能力。
教学目标•了解组合数学的基本概念和方法•掌握组合数学的常见应用•能够熟练运用组合数学的知识解决实际问题教学内容第一章：组合数学基础知识•排列与组合的定义•排列与组合的计算公式•排列与组合的应用第二章：图论与组合•图的基本概念•图的遍历算法•图的连通性问题•图的匹配问题第三章：树形计数•卡特兰数的定义•卡特兰数的递推公式•卡特兰数的应用第四章：生成函数•生成函数的定义•普通生成函数与指数型生成函数•生成函数的应用第五章：容斥原理•容斥原理的定义•容斥原理的应用•容斥原理的拓展应用教学方法•讲授法•课堂演示法•问题解决法•案例分析法教学评价课堂表现•准确性：理论知识掌握情况是否正确•严谨性：掌握概念和运算的准确性•灵活性：是否能够根据问题选择正确的解决方法•应用性：是否能够将理论知识用于实际问题的解决考试成绩•课堂测试：每章的小测验•期末考试：覆盖整个课程的考试教学资源•教材：《组合数学引论》（第2版）•幻灯片：基础概念、定理和例子的演示•作业：课后习题教学时间安排章节时间（周）第一章 2第二章 2第三章 2第四章 2第五章 2章节时间（周）期末复习 1期末考试 1总共时间10总结组合数学引论的教学设计任务繁重，但是非常重要。
本文提出了教学目标、教学内容、教学方法、教学评价、教学资源和教学时间安排等方面的指导，旨在帮助教师制定更有针对性的教学计划，提高学生的学习效果。
同时，在教学实践中，还应根据学生的实际情况不断调整教学内容和方法，使教学更加灵活、科学、高效。
组合数学引论课后答案(部分)汇编
组合数学引论课后答案习题一1.1任何一组人中都有两个人，它们在该组内认识的人数相等。
1.2任取11个整数，求证其中至少有两个数，它们的差是10的倍数1.3任取n+1个整数，求证其中至少有两个数，它们的差是n的倍数1.4在1.1节例4中证明存在连续的一些天，棋手恰好下了k盘棋(k=1,2,…，21).问是否可能存在连续的一些天，棋手恰好下了22盘棋1.5将1.1节例5推广成从1,2，…，2n中任选n+1个数的问题1.6从1,2,…,200中任取100个整数，其中之一小于16，那么必有两个数，一个能被另一个整除1.7从1,2,…,200中取100个整数，使得其中任意两个数之间互相不能整除1.8任意给定52个数，它们之中有两个数，其和或差是100的倍数1.9在坐标平面上任意给定13个整点（即两个坐标均为整数的点），则必有一个以它们中的三个点为顶点的三角形，其重心也是整点。
1.10上题中若改成9个整点，问是否有相同的结论？试证明你的结论1.11证明：一个有理数的十进制数展开式自某一位后必是循环的。
1.12 证明：对任意的整数N ，存在着N 的一个倍数，使得它仅有数字0和7组成。
（例如，N=3,我们有3259=777⨯;N=4,有41952=7700⨯;N=5,有514=70⨯;……）1.13(1) 在一边长为1的等边三角形中任取5个点，则其中必有两个点，该两点的距离至多为12；(2) 在一边长为1的等边三角形中任取10个点，则其中必有两个点，该两点的距离至多为13；(3) 确定n m ，使得在一边长为1的等边三角形中任取n m 个点，则其中必有两个点，该两点的距离至多为1n ；1.14 一位学生有37天时间准备考试，根据以往的经验，她知道至多只需要60个小时的复习时间，她决定每天至少复习1小时，证明：无论她的复习计划怎样，在此期间都存在一些天，她正好复习了13个小时。
1.15 从1,2,…,2n 中任选n+1个整数，则其中必有两个数，它们的最大公约数为1出的数属于同一个鸽巢，即它们的最大公约数为11.16 针对1.1节的例6，当m,n 不是互素的两个整数时，举例说明例中的结论不一定成立习题二2.1证明：在一个至少有2人的小组中，总存在两个人，他们在组内所认识的人数相同。
组合数学引论课后答案(部分)
组合数学引论课后答案习题一1.1任何一组人中都有两个人，它们在该组内认识的人数相等。
1.2任取11个整数，求证其中至少有两个数，它们的差是10的倍数1.3任取n+1个整数，求证其中至少有两个数，它们的差是n的倍数1.4在1.1节例4中证明存在连续的一些天，棋手恰好下了k盘棋(k=1,2,…，21).问是否可能存在连续的一些天，棋手恰好下了22盘棋1.5将1.1节例5推广成从1,2，…，2n中任选n+1个数的问题1.6从1,2,…,200中任取100个整数，其中之一小于16，那么必有两个数，一个能被另一个整除1.7从1,2,…,200中取100个整数，使得其中任意两个数之间互相不能整除1.8任意给定52个数，它们之中有两个数，其和或差是100的倍数1.9在坐标平面上任意给定13个整点（即两个坐标均为整数的点），则必有一个以它们中的三个点为顶点的三角形，其重心也是整点。
1.11证明：一个有理数的十进制数展开式自某一位后必是循环的。
N=3,我们有3259=777⨯;N=4,有41952=7700⨯;N=5,有514=70⨯;……）1.13(1) 在一边长为1的等边三角形中任取5个点，则其中必有两个点，该两点的距离至多为12；(2) 在一边长为1的等边三角形中任取10个点，则其中必有两个点，该两点的距离至多为13；(3) 确定n m ，使得在一边长为1的等边三角形中任取n m 个点，则其中必有两个点，该两点的距离至多为1n ；1.14 一位学生有37天时间准备考试，根据以往的经验，她知道至多只需要60个小时的复习时间，她决定每天至少复习1小时，证明：无论她的复习计划怎样，在此期间都存在一些天，她正好复习了13个小时。
1.15从1,2,…,2n中任选n+1个整数，则其中必有两个数，它们的最大公约数为1出的数属于同一个鸽巢，即它们的最大公约数为11.16针对1.1节的例6，当m,n不是互素的两个整数时，举例说明例中的结论不一定成立习题二2.1证明：在一个至少有2人的小组中，总存在两个人，他们在组内所认识的人数相同。
组合数学引论课后习题答案
组合数学引论课后习题答案组合数学引论课后习题答案组合数学是一门研究离散结构和计数问题的数学学科，它在计算机科学、密码学、统计学等领域中有着广泛的应用。
在学习组合数学的过程中，课后习题是巩固知识、提高技能的重要环节。
本文将为大家提供一些组合数学引论课后习题的答案，希望能对大家的学习有所帮助。
1. 问题：有6个不同的球，要将其放入3个不同的盒子中，每个盒子至少放一个球，一共有多少种放法？解答：这是一个将球放入盒子的问题，可以使用组合数学中的排列组合方法求解。
首先，我们可以确定每个盒子中至少放一个球，所以可以将问题转化为将剩下的3个球放入3个盒子中的问题。
对于每个球来说，都有3个选择，即放入第一个盒子、放入第二个盒子或放入第三个盒子。
因此，总的放法数为3^3=27种。
2. 问题：有8个人，其中4个人是男性，4个人是女性，要从中选出一个小组，要求男性人数和女性人数相等，一共有多少种选法？解答：这是一个选择问题，可以使用组合数学中的组合方法求解。
首先，我们需要确定男性和女性的人数必须相等，所以可以将问题转化为从4个男性和4个女性中各选取相同数量的人的问题。
对于男性来说，可以从4个人中选择0个、1个、2个、3个或4个。
对于每种选择，女性也需要选择相同数量的人。
因此，总的选法数为C(4,0) * C(4,0) +C(4,1) * C(4,1) + C(4,2) * C(4,2) + C(4,3) * C(4,3) + C(4,4) * C(4,4) = 1 + 16 + 36 + 16 + 1 = 70种。
3. 问题：有10个人，要从中选出一个小组，要求这个小组中至少有3个人，一共有多少种选法？解答：这是一个选择问题，可以使用组合数学中的组合方法求解。
首先，我们需要确定小组中至少有3个人，所以可以将问题转化为从10个人中选取3个、4个、5个...直到10个人的问题。
对于选取3个人的情况，可以从10个人中选择3个，即C(10,3)。
组合数学引论课程设计
组合数学引论课程设计一、课程背景组合数学是数学的一个分支，它研究的是离散的对象和结构，这些对象和结构可看做是数量和属性等的集合。
在计算机科学、信息技术和通信工程等领域有着广泛应用。
组合数学的基本问题包括计数问题、排列问题、子集和图等问题，这些问题都是许多计算机程序设计中的重要内容。
因此，本次课程设计拟定组合数学引论作为课程内容，介绍组合数学中的基本概念和方法，以帮助学生掌握相关的知识和技能。
二、课程目标1.理解组合数学的基本概念，学习计数原理，掌握排列、组合和分步法等计算方法；2.学会使用数学语言和符号，逐步提高证明能力；3.加强解决实际问题的能力，掌握在计算机程序设计中的组合数学相关技术。
三、课程内容本课程介绍组合数学的基本概念和计数原理，并针对相关的计算方法进行详细的讲解。
以下是课程的大纲：1.组合数基本概念 . 组合数的定义和性质 . 笛卡尔积和二项式定理2.计数原理 . 加法原理和乘法原理 . 排列与组合3.容斥原理 . 基本原理 . 排列组合应用4.递推法 . 递推关系式 . 斐波那契数列5.分治方法 . 约瑟夫问题 . 归并排序6.生成函数 . 普通生成函数 . 指数生成函数四、课程设计本次课程设计主要包括课程作业和课程实验两个环节：1.课程作业：由老师布置一些作业题目，让学生将课程所学的知识应用到实践中，提高其计算和分析能力。
2.课程实验：设计两个实验，让学生深入理解组合数学的基本概念和计算方法。
–实验1：研究斐波那契数列的递归和递推两种计算方法的时间复杂度；–实验2：使用python编写生成函数，并对应用范围进行分析。
五、总结本次组合数学引论课程重点介绍了组合数的基本概念和计数原理，并深入讲解了递推法、容斥原理、分治方法和生成函数等重要技术。
学生不仅能够掌握组合数学的基本知识，还能应用到计算机程序设计等实际问题中。
通过课程作业的布置和课程实验的设计，学生的计算和分析能力得到了提高。
组合数学引论第二版教学设计
组合数学引论第二版教学设计课程概述组合数学是数学中的一个分支，它研究的是离散的结构和它们之间的组合关系。
组合数学具有广泛的应用背景，如密码学、计算机科学、统计学等领域。
本课程旨在向学生介绍组合数学的基本概念、方法和应用，使学生具备掌握组合数学理论和解决实际问题的能力。
教学目标本课程的主要教学目标如下：1.熟练掌握基本组合数学的概念、方法、技巧和应用；2.理解组合数学的基本原理、定理和算法；3.能够应用所学知识解决实际问题；4.发展学生的逻辑思维、分析和解决问题的能力；5.提高学生的数学素养、表达和交流能力。
教学内容第一章基本概念1.1 组合与排列1.2 组合恒等式1.3 二项式系数第二章桥梁与树2.1 递归式2.2 集合的划分2.3 求和式2.4 树的计数第三章图论3.1 图与相关概念3.2 树的计数3.3 导出子图3.4 全图计数第四章生成函数4.1 普通生成函数4.2 指数型生成函数4.3 次数相同的生成函数第五章容斥原理5.1 二项式反演5.2 最小公倍数与欧拉函数5.3 计算图中不交回路数第六章成对计数6.1 染色问题6.2 完美二分图计数6.3 多重集组合第七章涉水问题7.1 整数拆分7.2 斯特林数7.3 贝尔数第八章组合选修内容8.1 康托展开8.2 有限域上的计数8.3 矩阵树定理8.4 骨架排序教学方法1.讲授理论知识，注重解题技巧和方法；2.课堂练习，引导学生自我思考，锻炼逻辑思维和解决问题的能力；3.课外作业，巩固所学知识和方法，提高解题能力；4.论文阅读与讲解，开拓视野，增进对组合数学的理解和认识；5.课堂互动，鼓励学生提问和交流。
教学评估1.出席情况和课堂表现：包括积极性、课堂提问和对所学知识的掌握情况等；2.作业评估：根据作业完成情况和作业内容的专业性和难度程度等进行评估；3.考试成绩：包括期中、期末考试以及其他测试等；4.论文评估：对论文的论题、数据、分析、论证、原创性等进行评估；5.课堂讨论：根据课堂讨论展现出来的思考深度、见解和分析能力等进行评估。
数学专业的论与组合数学
数学专业的论与组合数学组合数学是数学的一个重要分支，其研究对象是离散的、具有结构性质的对象，涉及到计数、排列、组合等问题。
作为数学专业的一门重要课程，组合数学在数学研究和应用中起着非常重要的作用。
本文将从组合数学的基本概念、应用领域以及数学专业学生应掌握的相关知识等方面进行论述。
一、组合数学的基本概念1. 排列和组合组合数学研究的核心是排列和组合。
排列是指从一组元素中按照一定的顺序选择若干个元素的方式，而组合则是从一组元素中按照一定的方式选择若干个元素的集合。
排列和组合的概念与数学中的阶乘、二项式系数密切相关。
2. 图论与树组合数学中的图论与树是基本的研究对象。
图论即研究顶点和边构成的图的性质和问题，而树可看作没有回路的连通图。
在计算机科学等领域中，图论与树的研究有重要的应用。
3. 置换与组合恒等式置换是指元素的排列，组合恒等式则是戴德金恒等式的推广。
组合恒等式在组合数学的研究中具有重要的作用，可以帮助解决很多计数问题。
二、组合数学的应用领域1. 计算机科学组合数学在计算机科学中有广泛的应用。
在数据结构、算法、密码学等方面，组合数学的方法和理论为解决实际问题提供了重要的工具和思路。
2. 组合优化与运筹学组合数学在组合优化和运筹学中有重要应用。
比如，旅行商问题、图着色问题、网络流等都是组合优化方面的经典问题，而这些问题的求解离不开组合数学的方法和技巧。
3. 通信与密码学在信息通信和密码学领域，组合数学的应用非常广泛。
哈夫曼编码、纠错码、密码系统等都涉及到组合数学的概念和算法。
4. 组合拆分与集合分割组合拆分与集合分割是组合数学中涉及到的重要问题。
在概率论、统计学等领域，组合拆分与集合分割的方法被广泛地应用于求解实际问题。
三、数学专业学生应掌握的组合数学知识1. 基本概念和方法数学专业的学生应该掌握组合数学的基本概念，如排列、组合、置换等，并能够应用这些概念解决简单的计数问题。
2. 图论与树图论与树是数学专业学生应该掌握的重要知识点。
组合数学 第一章
例 1 在1000到9999之间有多少个各位数字不 到 之间有多少个各位数字不 同的奇数? 同的奇数 首先, 个位数可取1, 共五种选择; 解 首先 个位数可取 3, 5, 7, 9共五种选择 共五种选择 其次, 千位数不能是0, 其次 千位数不能是 也不能取个位已选定的 所以有八种选择; 数, 所以有八种选择 然后, 百位数有八种选择; 最后, 然后 百位数有八种选择 最后 十位数有七种 选择. 选择 由乘法法则,所求的数共有 所求的数共有5× × × 由乘法法则 所求的数共有 ×8×8×7=2240个. 个
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1.3.2 相异元素不允许重复的圆排列 如果把集合的元素排成一个圆,这种排列叫圆 如果把集合的元素排成一个圆,这种排列叫圆 排列,也叫环排列 环排列. 排列,也叫环排列.若两个圆排列由相同的元素所组 且其中任何两元素的相对位置保持不变, 成，且其中任何两元素的相对位置保持不变,这样 的圆排列认为是同一种排列. 元集S 定理 从 n元集 中不重复地取 个围成圆排列 元集 中不重复地取r 叫做圆形r 排列) (叫做圆形 -排列)，则不同的排列总数为
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解决组合问题常需要特殊的方法, 解决组合问题常需要特殊的方法,即使是在使用 组合数学中的基本原理和方法去解决问题时, 组合数学中的基本原理和方法去解决问题时,仍需要 巧妙地应用它们.因此,在解决组合问题时, 巧妙地应用它们.因此,在解决组合问题时,学习组合 数学中典型问题的解题经验和方法是非常重要的. 典型问题的解题经验和方法是非常重要的 数学中典型问题的解题经验和方法是非常重要的.常 用的方法有： 用的方法有： （1）数学归纳法 （2）迭代法 （3）一一对应法 （4）组合意义法 （5）数论方法
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1.3.1 相异元素不允许重复的排列数和组合数 一、排列 个元素的集合S中有序选取的 定义 从n个元素的集合 中有序选取的 个元素 个元素的集合 中有序选取的r个元素 叫做S的一个 排列,不同排列的总数记作 的一个r-排列 不同排列的总数记作P(n, r)或 叫做 的一个 排列 不同排列的总数记作 或 如果r 则称这个排列为S的全排列,简称为 简称为S P . 如果 = n, 则称这个排列为 的全排列 简称为
组合数学引论
组合数学引论
组合数学是数学的一个分支，它特别擅长解决由有限集合中元素进行组合、排列形成不同结果数量的问题。
简而言之，组合数学就是计算问题或者要求的总数量。
组合数学最早可以追溯到18世纪，以欧洲数学家洛克和拉格朗日的名字命名，两位数学家应用该理论计算多项式的结果数量。
组合数学有广泛的应用，包括概率博弈、政治学、人口统计、棋牌游戏和编码理论等。
组合数学是极其复杂的一门学科，包括n取r（r<n）的问题、排列组合、多重定义、二项式定理、循环移位、组合数、布尔表达式、数字可计算性、扑克牌游戏组合和无向图等。
组合数学是一个广阔的研究领域，必须要搭配其他学科一起才能实现真正的分析和解答。
组合数学是数学的重要组成部分，可以帮助我们更好地理解问题，更好地求解答案。
组合数学经典书籍
组合数学经典书籍
组合数学是数学的一个重要分支，主要研究有限集合的元素间各种组合的可能性。
以下是一些经典的组合数学书籍：
1. 《组合数学》（Combinatorics）：作者是R.P. Stanley，这本书是组合数学领域的经典教材，内容涵盖了组合计数、排列组合、二项式系数、生成函数、图论等多个方面，深入浅出，理论与实例结合。
2. 《组合数学引论》（An Introduction to Combinatorics）：作者是J.H. van Lint和R.M. Wilson，该书系统介绍了组合数学的基本概念、方法和理论，适合初学者入门。
3. 《组合数学基础》（A Course in Combinatorics）：作者是J. vanLint和D. J. A. Welsh，此书对组合数学进行了全面且详细的阐述，包括组合设计、编码理论等内容，有一定深度。
4. 《应用组合数学》（Applied Combinatorics）：作者是Alan Tucker，这本书在介绍组合数学基本理论的同时，强调了其在实际问题中的应用，对于希望了解并运用组合数学解决实际问题的读者非常有帮助。
5. 《组合数学导引》（Enumerative Combinatorics, Volumes 1 and 2）：作者同样是Richard P. Stanley，这两卷本著作被誉为组合数学领域的权威巨著，内容丰富且深入，适合具有一定基础的研究者阅读。
以上这些书籍都是组合数学领域中深受好评的经典之作，不同书籍侧重点和难易程度有所不同，您可以根据自己的需求选择合适的书籍进行学习。
组合数学的基本概念与应用
组合数学的基本概念与应用组合数学是一门研究离散对象的组合结构和数量关系的数学分支。
它在日常生活、计算机科学、物理学、生物学等众多领域都有着广泛而重要的应用。
首先，我们来了解一下组合数学中的几个基本概念。
排列是指从给定的元素集合中按照一定的顺序选取若干个元素进行排列。
比如，从数字 1、2、3 中选取两个数字进行排列，就有 12、21、13、31、23、32 这六种可能。
组合则是从给定的元素集合中选取若干个元素，不考虑其顺序。
还是以数字1、2、3 为例，从中选取两个数字的组合有12、13、23 这三种。
容斥原理是组合数学中的一个重要原理。
它用于计算多个集合的并集中元素的个数。
例如，假设有集合 A、B，A 中有 10 个元素，B 中有 15 个元素，A 和 B 的交集有 5 个元素，那么 A 和 B 的并集中元素的个数就是 10 ＋ 15 5 ＝ 20 个。
在组合数学中，还有一个常见的概念是鸽巢原理。
简单来说，如果有 n ＋ 1 只鸽子要放进 n 个鸽巢，那么至少有一个鸽巢里会有两只或两只以上的鸽子。
这个原理看似简单，却在很多问题的解决中发挥着关键作用。
接下来，让我们看看组合数学在现实生活中的一些应用。
在密码学中，组合数学起着至关重要的作用。
为了保证信息的安全传输，需要设计复杂的加密算法。
这些算法往往基于组合数学中的排列、组合等概念。
例如，通过对明文进行特定的排列和组合操作，生成难以被破解的密文。
组合数学在计算机科学领域也有广泛的应用。
在算法设计中，经常需要考虑如何在众多可能的解决方案中找到最优解。
例如，在旅行商问题中，需要找到一条经过多个城市且路径最短的路线。
这就需要运用组合数学的知识来分析各种可能的路线组合，并找到最优解。
在物流和供应链管理中，组合数学也大有用武之地。
比如，在货物的配送规划中，需要考虑如何选择最优的配送路线和运输方式，以降低成本和提高效率。
这就涉及到对各种组合方案的评估和选择。
在生物信息学中，组合数学也发挥着重要作用。
组合数学的基本概念与应用
组合数学的基本概念与应用组合数学是一门研究离散对象的排列、组合和计数等问题的数学分支。
它在许多领域都有着广泛的应用，从计算机科学到物理学，从生物学到经济学，几乎无处不在。
组合数学的基本概念包括排列、组合、二项式定理、容斥原理等。
排列是指从给定的元素集合中，按照一定的顺序选取若干个元素进行排列。
例如，从 5 个不同的数字中选取 3 个进行排列，计算方法为5×4×3 ＝ 60 种。
组合则是从给定的元素集合中，不考虑顺序地选取若干个元素。
比如，从 5 个不同的数字中选取 3 个的组合数，计算方法为 5×4×3÷（3×2×1) ＝ 10 种。
二项式定理在组合数学中也占据重要地位。
对于任意的正整数 n，有\（（a ＋ b)＾n ＝＼sum_{k=0}＾n C(n, k) a^｛n k} b^k\），其中\（C(n, k)＼）表示从 n 个元素中选取 k 个元素的组合数。
容斥原理用于计算多个集合的并集的元素个数。
例如，有三个集合A、B、C，要计算它们并集的元素个数，需要先分别计算 A、B、C 的元素个数，然后减去两两交集的元素个数，再加上三个集合交集的元素个数。
组合数学在现实生活中的应用十分广泛。
在计算机科学中，组合数学的作用不可小觑。
在算法设计中，经常需要考虑各种可能性的数量和排列组合方式。
比如，在搜索算法中，需要计算搜索空间的大小，以评估算法的效率和复杂度。
在密码学中，组合数学的原理被用于生成和破解密码。
通过对密钥空间的组合分析，可以评估密码系统的安全性。
组合数学在生物学中也有应用。
在基因测序中，需要分析基因片段的排列组合，以确定基因的结构和功能。
在生物进化的研究中，组合数学可以帮助分析物种的遗传变异和多样性。
在经济学领域，组合数学被用于投资组合的优化。
投资者需要从众多的投资项目中选择一组，以在风险和收益之间达到最佳平衡。
这就涉及到对不同投资项目组合的可能性和收益风险的计算。
组合数学--组合数学第一章
1.2排列与组合
定义：从n个不同元素中取r个不重复的元 素组成一个子集，而不考虑其元素的顺序， 称为从n个中取r个的无重组合。 组合的个数用C(n,r)表示。
1.2排列与组合
从n个中取r个的排列的典型例子是从n 个不同的球中,取出r个,放入r个不同的 盒子里,每盒1个。第1个盒子有n种选择， 第2个有n-1种选择，······，第r个有nr+1种选择。
例：长度为n的0，1符号串的数目为多少?
一一对应原理
• “一一对应”概念是一个在计数中极为 基本的概念。一一对应既是单射又是满 射。
• 如我们说A集合有n个元素 |A|=n，无非 是建立了将A中元与[1,n]元一一对应的 关系。
• 在组合计数时往往借助于一一对应实现 模型转换。
• 比如要对A集合计数，但直接计数有困难， 于是可设法构造一易于计数的B，使得A 与B一一对应。
1.2排列与组合
例 有5本不同的日文书，7本不同 的英文书，10本不同的中文书。 1)取2本不同文字的书； 2)取2本相同文字的书； 3)任取两本书
1.2排列与组合
解 1) 5×7+5×10+7×10=155; 2) C(5,2)+C(7,2)+C(10,2) =10+21+45=76; 3) 155+76=231=( 5+27+10)
1.7 若干等式及其组合意义
1.7 若干等式及其组合意义
1.7 若干等式及其组合意义
• 证2 从n个元素中取偶数个数的组合数
（包含0）,等于取奇数个数的组合数。
• r为偶数的组合和r为级数的组合之间建 立一一对应即可。
• 举例说明
1.7 若干等式及其组合意义
组合数学基础知识
组合数学基础知识组合数学是一门研究离散对象的计数、排列、组合和优化等问题的数学分支。
它在计算机科学、密码学、统计学、物理学等众多领域都有着广泛的应用。
接下来，让我们一起走进组合数学的世界，了解一些它的基础知识。
首先，我们来谈谈排列与组合。
排列是指从给定的元素集合中按照一定的顺序选取若干个元素进行排列。
比如说，从 5 个不同的数字中选取 3 个进行排列，那么排列的方式就有 5×4×3 ＝ 60 种。
而组合则是指从给定的元素集合中选取若干个元素，不考虑它们的顺序。
还是刚才的例子，从 5 个不同的数字中选取 3 个的组合方式，就有 5×4×3÷（3×2×1) ＝ 10 种。
我们再来看一下加法原理和乘法原理。
加法原理说的是，如果完成一件事情有 n 类办法，在第一类办法中有 m1 种不同的方法，在第二类办法中有 m2 种不同的方法，……，在第 n 类办法中有 mn 种不同的方法，那么完成这件事情共有 m1 ＋ m2 ＋… ＋ mn 种不同的方法。
比如，要从 A 地到 C 地，可以先从 A 地到 B 地有 3 条路，再从 B 地到 C 地有 4 条路，那么从 A 地到 C 地就一共有 3 ＋ 4 ＝ 7 条路。
乘法原理则是，如果完成一件事情需要 n 个步骤，做第一步有 m1 种不同的方法，做第二步有 m2 种不同的方法，……，做第 n 步有 mn 种不同的方法，那么完成这件事情共有m1×m2×…×mn 种不同的方法。
比如，一个密码由三位数字组成，第一位可以是 0 到 9 中的任意一个数字，第二位和第三位也是如此，那么总共的密码组合就有 10×10×10 ＝ 1000 种。
在组合数学中，还有一个重要的概念是容斥原理。
容斥原理用于计算多个集合的并集中元素的个数。
假设我们有三个集合 A、B、C，那么它们的并集中元素的个数可以通过以下公式计算：｜A∪B∪C| ＝｜A| ＋｜B| ＋｜C| ｜A∩B| ｜A∩C| ｜B∩C| ＋｜A∩B∩C|。
组合数学(引论)
组合数学中有二个常用的技巧： 1. 一一对应 2. 奇偶性
1.、一一对应
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1. 一一对应
二个事件之间如计果算存：在一一对应关系，则
可用解易解的来替代第难一解轮的：。50场比赛 (一人轮空)
应用举例 第二轮： 25场比赛 (一人轮空)
决出例冠1军. 共有要10进1行个注反一多选第第第意之场少手三四五：，比场参轮轮轮每要赛比加：：：场淘。赛象1比汰63？棋3场场场赛一淘比比比必 人汰赛赛赛淘也赛汰必，((一 一一须问人 人人进要轮 轮，行空 空))
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3. 幻方
3. 幻方
2）麦哲里克方法 （与德拉鲁布方法类似）
将1置正中央上方，然后按向右上方的方向依次放后 继数； 到顶行后翻到底行，到达最右列后转最左列； 其余情况放正上方2格。
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3. 幻方
3. 幻方
2）麦哲里克方法 （与德拉鲁布方法类似）
将1置正中央上方，然后按向右上方的方向依次放后 继数； 到顶行后翻到底行，到达最右列后转最左列； 其余情况放正上方2格。
第4章 Burnside引理与Polya定理
4.1 群的概念 4.2 置换群 4.3 循环、奇循环与偶循环 4.4 Burnside引理 4.5 Polya定理 4.6 鸽巢原理 4.7 鸽巢原理举例 4.8 鸽巢原理的推广 4.9 Ramsey数
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一、一组、合组数合学数简学介简介
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
总统 副总统 财务大臣 秘书
0
1
2
2
43
2
1
一种选法 一一对应 一个四位数
组合数学知识点
组合数学知识点组合数学是数学中的一个分支，研究的是离散的结构和计算方法。
它在数学中具有广泛的应用，包括计算、统计、密码学、信息科学等领域。
本文将介绍一些组合数学的基本概念和知识点。
一、排列与组合排列与组合是组合数学中最基本的概念。
排列指的是从一组元素中选取若干个元素进行排列的方式，它考虑元素的顺序。
而组合则是从一组元素中选取若干个元素组成一个集合，它不考虑元素的顺序。
1.1 排列在排列中，如果从 n 个元素中选取 r 个元素进行排列，且要求选取的元素都不相同，则称为从 n 个元素中选取 r 个不同元素的排列，表示为 P(n, r)。
排列的计算公式为：P(n, r) = n! / (n-r)!其中，n! 表示 n 的阶乘，即 n! = n * (n-1) * (n-2) * ... * 2 * 1。
1.2 组合在组合中，如果从 n 个元素中选取 r 个元素组成一个集合，且不考虑选取元素的顺序，则称为从 n 个元素中选取 r 个元素的组合，表示为 C(n, r)。
组合的计算公式为：C(n, r) = n! / (r! * (n-r)!)二、二项式系数二项式系数也是组合数学中的重要概念。
对于任意非负整数 n 和非负整数 r，二项式系数 C(n, r) 表示从 n 个元素中选取 r 个元素的组合数。
二项式系数具有以下性质：1. 对称性：C(n, r) = C(n, n-r)2. 递推关系：C(n, r) = C(n-1, r-1) + C(n-1, r)二项式系数是组合数学中的基本构建块，它在代数、概率、统计等领域中有重要的应用。
三、图论中的组合数学组合数学在图论中有广泛的应用。
以下是几个常见的图论中的组合数学知识点：3.1 树和森林在图论中，树是一个没有回路的连通图。
一个有 n 个顶点的树含有 n-1 条边。
而森林是由若干个不相交的树组成的图。
3.2 图的匹配图的匹配是指一个图中的边的集合，其中任意两条边都没有公共顶点。
第一章 什么是组合数学
第一章什么是组合数学组合学问题在生活中随处可见。
例如，计算下列赛制下总的比赛次数：n个球队参赛，每队只和其他队比赛一次。
创建幻方。
在纸上画一个网络。
用铅笔沿着网络的线路走，在笔不离开纸面且不重复线路的条件下，笔画出网络因。
在玩扑克牌游戏中，计算满堂红牌的手数，以确定出现一手满堂红牌的几率。
所有这些都是组合学问题。
正如人们想到的．组合数学的历史渊源扎根于数学娱乐和游戏之中。
过去研究过的许多问题，不论出于消遣还是出于对其美学的考虑，如今在纯科学和应用科学中都具有高度的重要性。
今天，组合数学是数学的一门重要分支，而且它的影响还在继续扩大。
组合数学自60年代以来急速发展的部分原因就在于计算机在我们的社会中所发挥的重要影响，而且这种影响还在继续发挥。
由于运算速度的持续增加，计算机已经能够解决大型问题，这在以前是不可能做到的。
然而计算机不能独立运行，它需要编程来控制。
这些程序的基础往往是求解问题的组合学算法，对于这些算法，运行时间效率和存储需求分析需要更多的组合学思想。
组合数学近期发展的另一个原因是它对于那些过去很少与数学正式接触的学科的适用性。
由此我们发现，组合数学的思想和技巧不仅正在用于数学应用的传统自然科学领城，而且也用于社会科学、生物科学、信息论等领域。
此外，组合数学和组合学思想在许多数学分支中已经变得越来越重要。
组合数学涉及到将一个集合的物体排列成满足一些指定规则的格式。
如下两类一般性问题反复出现：排列的存在性如果有人想要排列—个集合的成员使得某些条件得以满足，那么这样一种排列是否可行根本就不是显而易见的。
这是最根本的问题。
如果这种排列不总是可能的，那么我们要问，这种排列在什么样的(必要和充分)条件下能够实现？排列的计数和分类如果一个指定的排列是可能的，那么就会存在多种方法去实现它。
此时，人们就可以计数并将它们分类。
虽然对任何组合问题都可以考虑其存在性和计数问题，但在实践中常常发生的却是：如果存在性问题需要广泛地研究，那么计数问题则是非常困难的。
组合数学引论第二版课程设计
组合数学引论第二版课程设计
一、课程介绍
本课程是针对高等数学、离散数学、计算机科学及其他相关领域的
本科生开设的选修课程。
本课程将介绍组合数学的基本内容和方法，
具体包括排列组合、二项式定理、容斥原理、离散概率等相关知识点。
二、课程目标
本课程旨在培养学生对组合数学基本概念和方法的掌握能力，能够
运用组合数学方法解决实际问题，并对学生未来的学习和研究提供必
要的基础。
三、教学内容
1. 排列组合
•排列组合的概念和基本性质
•重复排列、重复组合
•二项式定理
2. 容斥原理
•容斥原理的概念、基本形式和应用
•带权容斥原理
3. 离散概率
•随机事件和概率的概念
1。
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3. 幻方
3. 幻方
2）麦哲里克方法 ）
（与德拉鲁布方法类似） 与德拉鲁布方法类似）
ϕ 将1置正中央上方，然后按向右上方的方向依次放后 置正中央上方， 继数； 继数； 到顶行后翻到底行，到达最右列后转最左列； κ 到顶行后翻到底行，到达最右列后转最左列； 其余情况放正上方 正上方2格 λ 其余情况放正上方 格。
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Morgan定理 3.1 De Morgan定理 3.2 容斥定理 3.3 容斥原理举例 3.4 棋盘多项式与有限制条件的排列 3.5 有禁区的排列 3.6 广义的容斥原理 3.7 广义容斥原理的应用 第二类Stir1ing Stir1ing数的展开式 3.8 第二类Stir1ing数的展开式 3.9 欧拉函数 3.10 n对夫妻问题 Mobius反演定理 3.11 Mobius反演定理 3.12 鸽巢原理 3.13 鸽巢原理举例 3.14 鸽巢原理的推广 Ramsey数 3.15 Ramsey数
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1. 棋盘的覆盖
1. 棋盘的覆盖
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1. 棋盘的覆盖
1. 棋盘的覆盖 1.
2.切割立方体
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2. 切割立方体
2. 切割立方体
一个边长为3的立方体，要切割成 个边长为 个边长为1 一个边长为 的立方体，要切割成27个边长为 的立方体 的小立方体，问至少要切割几次？ 的小立方体，问至少要切割几次？
构造5阶幻方 阶幻方。 例. 构造 阶幻方。
11 23 5 17 24
19 6 18 25 12
7 14 1 13 20
15 2 9 21 8
3 10 22 4 16
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3. 幻方
3. 幻方
3）折角法 ）
……
4.四色问题
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4. 四色问题
4. 四色问题
5.欧拉回路问题
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组合数学历史与发展
神龟背上的幻方 4 9 5 1 2 7 6
<=> 3
8
行、列、对角线的和均为15 对角线的和均为15
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组合数学历史与发展
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组合数学与计算机科学
吴文俊院士： 吴文俊院士： 每个时代都有它特殊的要求， 每个时代都有它特殊的要求，使得数学出现一个 新的面貌，产生一些新的数学分支， 新的面貌，产生一些新的数学分支，组合数学这个新 的分支也是在时代的要求下产生的。 的分支也是在时代的要求下产生的。 信息技术很可能会给数学本身带来一场根本性的 变革，而组合数学则将显示出它的重要作用。 变革，而组合数学则将显示出它的重要作用。 GianRota教授曾提出要向中国领导人呼吁 教授曾提出要向中国领导人呼吁： Gian-Carlo Rota教授曾提出要向中国领导人呼吁： 组合数学是计算机软件产业的基础， 组合数学是计算机软件产业的基础，中国最终一 定能成为一个软件大国， 定能成为一个软件大国，但是要实现这个目标的一个 突破点就是发展组合数学。 突破点就是发展组合数学。
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5. 欧拉回路问题
5.欧拉回路问题 欧拉回路问题
6.最短路径问题
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6. 最短路径问题
6. 最短路径问题
7.纠错编码问题
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7. 纠错编码问题
7. 纠错编码问题
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第1章 排列与组合 章
1.1 加法法则与乘法法则 1.2 一一对应 1.3 排列与组合 1.4 圆周排列 1.6 允许重复的组合与不相邻的组合 1.7 组合意义的解释 1.8 应用举例 习题： 习题：1.2~1.5, 1.13, 1.14, 1.16, 1.18~1.20, 1.22, 1.25, 1.27, 1.28, 1.32, 1.34, 1.35, 1.44~1.48, 1.51, 1.53, 1.56
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1. 一一对应
二个事件之间如果存在一一对应关系， 二个事件之间如果存在一一对应关系， 计算： 则可用解易解的来替代难解的。 则可用解易解的来替代难解的50场比赛 (一人轮空) 第一轮： 。 应用举例 第二轮： 25场比赛 (一人轮空) 第三轮： 13场比赛 注意：每场比赛必淘汰一人， 例1. 有101个选手参加象棋淘汰赛，问要 第四轮： 6 场比赛 (一人轮空) 反之，要淘汰一人也必须进行 决出冠军共要进行多少场比赛？ 第五轮： 一场比赛。 3 场比赛 (一人轮空) 第六轮： 2 场比赛 直观计算 淘汰人数 一一对应 比 最后一轮：1 场比赛 另一方法 赛场数 因为要淘汰100个人， 总计： 100 场 所以要进行100场比赛！
n>2时幻方存在！ 时幻方存在！ 时幻方存在 为奇数时， 当n为奇数时，幻方很容易构造！ 为奇数时 幻方很容易构造！
下面介绍几种n为奇数时的构造方法。 下面介绍几种 为奇数时的构造方法。 为奇数时的构造方法
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3. 幻方
3. 幻方
1）德拉鲁布方法 ）
置于顶行中间， ϕ 将1置于顶行中间，然后按向右上方的方向依次放后 置于顶行中间 继数； 继数； 到顶行后翻到底行，到达最右列后转最左列； κ 到顶行后翻到底行，到达最右列后转最左列； 其余情况放正下方。 λ 其余情况放正下方。
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一、组合数学简介 一、组合数学简介
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更直观的问题： 更直观的问题： 四个人围绕圆桌就坐，有多少种坐法？ 1. 四个人围绕圆桌就坐，有多少种坐法？ 五个人分十七元钱，有多少种分法？ 2. 五个人分十七元钱，有多少种分法？ 种颜色涂立方体的六个面， 3. 用3种颜色涂立方体的六个面，每个面涂一种 颜色，有多少种涂法？ 颜色，有多少种涂法？ 10个人中选出一个总统 一个副总统、 个人中选出一个总统、 4. 从10个人中选出一个总统、一个副总统、一 个财务大臣、一个秘书，可兼任，有几种选法？ 个财务大臣、一个秘书，可兼任，有几种选法？
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组合数学分类
计数是组合分析中的中心问题。 计数是组合分析中的中心问题。 计数—— ——有多少个对象符合给定的 计数——有多少个对象符合给定的 描述， 描述，或者说有多少种方式使确定的事 件发生。 件发生。
例如： 例如：四个人围绕圆桌就坐的方法有多少 种？
排列与组合，母函数与递推关系， 排列与组合，母函数与递推关系， 容斥原理和鸽巢原理， lya定理， lya定理 容斥原理和鸽巢原理，Pólya定理，…
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10个人中选出一个总统 一个副总统、 个人中选出一个总统、 例2. 从10个人中选出一个总统、一个副总统、一 个财务大臣、一个秘书，可兼任，有几种选法？ 个财务大臣、一个秘书，可兼任，有几种选法？ 解答： 用数字0~9代表10个人。 0~9代表10个人 解答： 用数字0~9代表10个人。然后将选中的号码 放在下表中的职位下面。 放在下表中的职位下面。 总统 书 副总统 财务大臣 秘
三、典型问题举例
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三、典型问题举例
(7个) (7个
下面列举一些组合数学中很经典的 问题和它们的解法。可以看到， 问题和它们的解法。可以看到，一些解题 方法非常巧妙, 而其常用的一个技术就是 方法非常巧妙, 运用“一一对应” 很能启发人。 运用“一一对应”，很能启发人。
1.棋盘的覆盖
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目 录
第1章 排列与组合 章
1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 加法法则与乘法法则 一一对应 排列与组合 圆周排列 排列的生成算法 允许重复的组合与不相邻的组合 组合意义的解释 应用举例 Stir1ing公式 Stir1ing公式
.
第3章 容斥原理与鸽巢原理 章
二、学习方法
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二、学习方法
组合数学经常使用的方法并不高深复杂。 最主要的方法是计数时的合理分类和组合模型的 转换。但是，要学好组合数学并非易事，既需要 一定的数学修养，也要进行相当的训练。 也就是：机智+精巧。 组合数学中有二个常用的技巧： 1. 一一对应 2. 奇偶性
1.、一一对应
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引理与Polya定理 第4章 Burnside引理与 章 引理与 定理
4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 群的概念 置换群 循环、 循环、奇循环与偶循环 Burnside引理 Burnside引理 Polya定理 Polya定理 鸽巢原理 鸽巢原理举例 鸽巢原理的推广 Ramsey数 Ramsey数
第2章 递推关系与母函数 章
2.1 递推关系 2.2 母函数 Fibonacci序列 2.3 Fibonacci序列 优选法与Fibonacci Fibonacci序列的应用 2.4 优选法与Fibonacci序列的应用 2.5 母函数的性质 2.6 线性常系数齐次递推关系 2.7 关于线性常系数非齐次递推关系 2.8 整数的拆分 Ferrers图像 2.9 Ferrers图像 2.10 拆分数估计 2.11 指数型母函数 2.12 广义二项式定理 2.13 应用举例 2.14 非线性递推关系举例 2.15 递推关系解法的补充
组合数学
（ 引论 ）第 1 页结束教材： 教材：第 2 页
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目 录
第1章 排列与组合 章 第2章 递推关系与母函数 章 第3章 容斥原理与鸽巢原理 章 引理与Polya定理 第4章 Burnside引理与 章 引理与 定理 第5章 区组设计 章 第6章 线性规划 章 第7章 编码简介 章 第8章 组合算法简介 章
？
？
3.幻方