高中数学第二章《事件的独立性》教案2新人教A版选修2-3

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【志鸿优化设计】2014年高中数学 2.2.2事件的相互独立性课件新人教A版选修2-3

课前预习导学
KEQIAN YUXI DAOXUE
课堂合作探究
KETANG HEZUO TANJIU
问题导学
当堂检测
迁移与应用 1.设有两名射手射击同一目标,命中的概率分别为 0.8 和 0.7,若各射击一次,则目标被击中的概率是( A.0.56 答案:C 由题意知 A,B 互相独立. 故目标被击中的概率为
x
). C.0.94
x
B.0.92
D.0.96
解析:设事件 A 表示“甲击中”,事件 B 表示“乙击中”.
P(A∪B)=1-P(A
B)=1-P(A)P(B)=1-0.2× 0.3=0.94.
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x
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例 2 根据资料统计,某地车主购买甲种保险的概率为 0.5,购买乙种保险的概率为 0.6,购买甲、乙保险相互独立,各车主间相互独立. (1)求一位车主同时购买甲、乙两种保险的概率; (2)求一位车主购买乙种保险但不购买甲种保险的概率; (3)求一位车主至少购买甲、乙两种保险中 1 种的概率. 思路分析:分析清楚事件间的独立、互斥的关系,再由相互独立事件
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答案:A 解析:把一枚硬币掷两次,对于每次而言是相互独立的,其结果不受先后影响,故选项 A 中的两个事件是相互独立事件;选项 B 中是不放回

人教新课标A版高二数学《选修2-3》2.2.2 事件的相互独立性

第二章随机变量及其分布
2.2.2 事件的相互独立性
知识回顾 1.什么叫互斥事件？在一次试验中,不可能同时发生的事件. 2.什么叫对立事件？若A∩Β为不可能事件,A∪Β为必然事件,那么称事件A与事件Β互为对立事件.
3.条件概率一般地,设ΑΒ为两个事件,在已知事件A发生的条件下事件B发生的概率叫条件概率. 4.条件概率的计算公式:
（2）甲、乙两地都不下雨的概率；解：P=(1-0.2)×(1-0.3)=0.56 （3）其中至少有一方下雨的概率. 解：P=1-0.56=0.44
2.射击时, 甲射10次可射中8次;乙射10次可射中7次.则甲,乙同时射中同一目标
14 的概率为_______ 15
3.甲袋中有5球 (3红,2白), 乙袋中有3球 (2红,1白).从每袋中任取1球,则至少取到
(2) 其中恰有1人击中目标的概率？解：根据互斥事件的概率加法公式和相互独立事件的概率乘法公式，所求的概
率是
P( A B) P( A B) P ( A) P ( B ) P ( A) P ( B ) 0.6 (1 0.6) (1 0.6) 0.6 0.24 0.24 0.48
想一想求相互独立事件概率的一般步骤是什么？（1）确定各事件是不是相互独立
（2）确定各事件是否会同时发生
（3）先求每个事件发生的概率，再求其积
巩固练习
1.在一段时间内，甲地下雨的概率是0.2，乙地下雨的概率是0.3，假定在这段时间内两地是否下雨相互之间没有影响，计算在这段时间内：
（1）甲、乙两地都下雨的概率；解：P=0.2×0.3＝0.06
（3）至少有一人击中目标的概率. 解法1:两人各射击一次至少有一人击中目标的概率是:

高中数学第二章随机变量及其分布事件的独立性学案含解析新人教A版选修2_3

2.2.2 事件的独立性自主预习·探新知情景引入在一次有关“三国演义”的知识竞赛中,三个“臭皮匠”能答对某题目的概率分别为50%,45%,40%,“诸葛亮”能答对该题目的概率为85%,如果将“三个臭皮匠”组成一组与“诸葛亮”进行比赛,各选手独立答题,不得商量,团队中只要有一人答出即为该组获胜．试问：哪方获胜的可能性大？新知导学相互独立事件1．概念(1)设A,B为两个事件,若事件A是否发生对事件B发生的概率没有影响,即__P(B|A)＝P(B)__,则称两个事件A,B相互独立,并把这两个事件叫做__相互独立事件__．(2)对于n个事件A1,A2,…,A n,如果其中任一个事件发生的概率不受__其他事件是否发生__的影响,则称n个事件A1,A2,…,A n相互独立．2．性质(1)如果事件A与B相互独立,那么事件A与__B__,A与__B__,__A__与__B__也都相互独立．(2)若事件A与B相互独立,则P(A|B)＝__P(A)__,P(A∩B)＝__P(A)×P(B)__．(3)若事件A1,A2,…,A n相互独立,那么这n个事件都发生的概率,等于__每个事件发生的概率积__,即P(A1∩A2∩…∩A n)＝P(A1)×P(A2)×…×P(A n)．并且上式中任意多个事件A i换成其对立事件后等式仍成立．预习自测1．(2020·刑台高二检测)甲、乙两人各用篮球投篮一次,若两人投中的概率都是0.7,则恰有一人投中的概率是( A )A ．0.42B ．0.49C ．0.7D ．0.91[解析] 设甲投篮一次投中为事件A ,则P (A )＝0.7, 则甲投篮一次投不中为事件A ,则P (A )＝1－0.7＝0.3, 设乙投篮一次投中为事件B ,则P (B )＝0.7,则乙投篮一次投不中为事件B ,则P (B )＝1－0.7＝0.3, 则甲、乙两人各投篮一次恰有一人投中的概率为：P ＝P (A ∩B )＋P (A ∩B )＝P (A )·P (B )＋P (A )·P (B )＝0.7×0.3＋0.7×0.3＝0.42.故选A ． 2．国庆节放假,甲、乙、丙去北京旅游的概率分别是13、14、15.假定三人的行动相互之间没有影响,那么这段时间内至少有1人去北京旅游的概率为( B )A ．5960B ．35C ．12D ．160[解析] 设甲、乙、丙去北京旅游分别为事件A 、B 、C ,则P (A )＝13,P (B )＝14,P (C )＝15,P (A )＝23,P (B )＝34,P (C )＝45,由于A ,B ,C 相互独立,故A ,B ,C 也相互独立,故P (A B C )＝23×34×45＝25,因此甲、乙、丙三人至少有1人去北京旅游的概率P ＝1－P (A B C )＝1－25＝35． 3．已知A 、B 是相互独立事件,且P (A )＝12,P (B )＝23,则P (A B )＝__16__；P (A B )＝__16__．[解析] ∵A 、B 是相互独立事件, ∴A 与B ,A 与B 也是相互独立事件．又∵P (A )＝12,P (B )＝23,故P (A )＝12,P (B )＝1－23＝13,∴P (A B )＝P (A )×P (B )＝12×13＝16；P (A B )＝P (A )×P (B )＝12×13＝16．4．某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中,选手若能连续正确回答出两个问题,即停止答题,晋级下一轮．假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8,且每个问题的回答结果相互独立,则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率等于__0.128__．[解析] 此选手恰好回答4个问题就晋级下一轮,说明此选手第2个问题回答错误,第3、第4个问题均回答正确,第1个问题答对答错都可以．因为每个问题的回答结果相互独立,故所求的概率为1×0.2×0.82＝0.128．互动探究·攻重难互动探究解疑命题方向❶事件独立性的判断典例1 判断下列各对事件是不是相互独立事件：(1)甲组3名男生,2名女生；乙组2名男生,3名女生,现从甲、乙两组中各选1名同学参加演讲比赛,“从甲组中选出1名男生”与“从乙组中选出1名女生”；(2)容器内盛有5个白乒乓球和3个黄乒乓球,“从8个球中任意取出1个,取出的是白球”与“从剩下的7个球中任意取出1个,取出的还是白球”；(3)掷一颗骰子一次,“出现偶数点”与“出现3点或6点”．[解析] (1)“从甲组中选出1名男生”这一事件是否发生,对“从乙组中选出1名女生”这一事件发生的概率没有影响,所以它们是相互独立事件．(2)“从8个球中任意取出1个,取出的是白球”的概率为58,若这一事件发生了,则“从剩下的7个球中任意取出1个,取出的仍是白球”的概率为47,若前一事件没有发生,则后一事件发生的概率为57.可见,前一事件是否发生,对后一事件发生的概率有影响,所以两者不是相互独立事件．(3)记A ：出现偶数点,B ：出现3点或6点,则A ＝{2,4,6},B ＝{3,6},AB ＝{6}, ∴P (A )＝36＝12,P (B )＝26＝13,P (AB )＝16,∴P (AB )＝P (A )·P (B ), ∴事件A 与B 相互独立．『规律总结』 (1)利用相互独立事件的定义(即P (AB )＝P (A )·P (B ))可以准确地判定两个事件是否相互独立,这是用定量计算方法,较准确,因此我们必须熟练掌握．(2)判别两个事件是否为相互独立事件也可以从定性的角度进行分析,即看一个事件的发生对另一个事件的发生是否有影响．没有影响就是相互独立事件,有影响就不是相互独立事件．┃┃跟踪练习1__■一个家庭中有若干个小孩,假设生男孩和生女孩是等可能的,设A ＝{一个家庭中既有男孩,又有女孩},B ＝{一个家庭中最多有一个女孩}. 对下列两种情况讨论事件A 与B 的独立性．(1)家庭中有两个小孩； (2)家庭中有三个小孩．[解析] (1)有两个小孩的家庭,对应的样本空间Ω＝{(男,男),(男,女),(女,男),(女,女)},有4个基本事件,每个基本事件的概率均为14,这时A ＝{(男,女),(女,男)},B ＝{(男,男),(男,女),(女,男)},AB＝{(男,女),(女,男)},于是P (A )＝12,P (B )＝34,P (AB )＝12.由此可知P (AB )≠P (A )P (B ),所以事件A ,B 不相互独立．(2)有三个小孩的家庭,样本空间为Ω＝{(男,男,男),(男,男,女),(男,女,男),(女,男,男),(男,女,女),(女,男,女),(女,女,男),(女,女,女)},每个基本事件的概率均为18,这时A 中有6个基本事件,B 中有4个基本事件,AB 中含有3个基本事件,于是P (A )＝68＝34,P (B )＝48＝12.P (A )·P (B )＝38,即P (AB )＝38＝P (A )P (B )成立,从而事件A 与B 是相互独立的．命题方向❷求相互独立事件的概率典例2 (2020·鹤岗高二检测)小王某天乘火车从重庆到上海去办事,若当天从重庆到上海的三列火车正点到达的概率分别为0.8,0.7,0.9,假设这三列火车之间是否正点到达互不影响．求：(1)这三列火车恰好有两列正点到达的概率； (2)这三列火车至少有一列正点到达的概率．[解析] 用A ,B ,C 分别表示这三列火车正点到达的事件,则P (A )＝0.8,P (B )＝0.7,P (C )＝0.9,所以P (A )＝0.2,P (B )＝0.3,P (C )＝0.1．(1)由题意得A ,B ,C 之间互相独立,所以恰好有两列正点到达的概率为P 1＝P (A BC )＋P (A B C )＋P (AB C )＝P (A )P (B )P (C )＋P (A )P (B )P (C )＋P (A )P (B )P (C )＝0.2×0.7×0.9＋0.8×0.3×0.9＋0.8×0.7×0.1＝0.398．(2)三列火车至少有一列正点到达的概率为P 2＝1－P (ABC )＝1－P (A )P (B )P (C )＝1－0.2×0.3×0.1＝0.994．『规律总结』与相互独立事件有关的概率问题求解策略明确事件中的“至少有一个发生”“至多有一个发生”“恰好有一个发生”“都发生”“都不发生”“不都发生”等词语的意义．一般地,已知两个事件A ,B ,它们的概率分别为P (A ),P (B ),那么： (1)A ,B 中至少有一个发生为事件A ＋B ； (2)A ,B 都发生为事件AB ； (3)A ,B 都不发生为事件A B ； (4)A ,B 恰有一个发生为事件A B ＋A B ．(5)A ,B 中至多有一个发生为事件A B ＋A B ＋A B ．它们之间的概率关系如表所示：┃┃跟踪练习2__■(2020·浙江杭州高级中学检测)甲、乙两人各射击一次,击中目标的概率分别为23和34.假设两人射击是否击中目标相互之间没有影响,每人每次射击是否击中目标相互之间也没有影响．(1)求甲、乙各射击一次均击中目标概率； (2)求甲射击4次,恰有3次连续击中目标的概率；(3)若乙在射击中出现连续2次未击中目标则会被终止射击,求乙恰好射击4次后被终止射击的概率．[解析] (1)记事件A 表示“甲击中目标”,事件B 表示“乙击中目标”．依题意知,事件A 和事件B 相互独立,因此甲、乙各射击一次均击中目标的概率为P (AB )＝P (A )·P (B )＝23×34＝12．(2)记事件A i 表示“甲第i 次射击击中目标”(其中i ＝1,2,3,4),并记“甲4次射击恰有3次连续击中目标”为事件C ,则C ＝A 1A 2A 3A 4∪A 1A 2A 3A 4,且A 1A 2A 3A 4与A 1A 2A 3A 4是互斥事件．由于A 1,A 2,A 3,A 4之间相互独立,所以A i 与A j (i ,j ＝1,2,3,4,且i ≠j )之间也相互独立．由于P (A 1)＝P (A 2)＝P (A 3)＝P (A 4)＝23,故P (C )＝P (A 1A 2A 3A 4∪A 1A 2A 3A 4)＝P (A 1)P (A 2)P (A 3)P (A 4)＋P (A 1)P (A 2)P (A 3)P (A 4) ＝(23)3×13＋13×(23)3＝1681． (3)记事件B i 表示“乙第i 次射击击中目标”(其中i ＝1,2,3,4),并记事件D 表示“乙在第4次射击后终止射击”,则D ＝B 1B 2B 3B 4∪B 1B 2B3B 4,且B 1B 2B3B 4与B 1B 2B 3B 4是互斥事件．由于B 1,B 2,B 3,B 4之间相互独立,所以B i 与B j (i ,j ＝1,2,3,4,且i ≠j )之间也相互独立．由于P (B i )＝34(i ＝1,2,3,4),故P (D )＝P (B 1B 2B3B 4∪B 1B 2B3B 4)＝P (B 1)P (B 2)P (B 3)P (B 4)＋P (B 1)P (B 2)P (B 3)P (B 4) ＝(34)2×(14)2＋34×(14)3＝364．命题方向❸相互独立事件的综合应用典例3 (2020·西安高二检测)在一场娱乐晚会上,有5位民间歌手(1至5号)登台演唱,由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手．各位观众须彼此独立地在选票上选3名歌手,其中观众甲是1号歌手的歌迷,他必选1号,不选2号,另在3至5号中随机选2名．观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱,因此在1至5号中随机选3名歌手．(1)求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率； (2)X 表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和,求X 的分布列． [解析] (1)设事件A 表示：观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手．观众甲选中3号歌手的概率为23,观众乙未选中3号歌手的概率为1－35．所以P (A )＝23×(1－35)＝415．因此,观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率为415．(2)X 表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和,则X 可取0,1,2,3．观众甲选中3号歌手的概率为23,观众乙、丙选中3号歌手的概率为35．当观众甲、乙、丙均未选中3号歌手时,这时X ＝0, P (X ＝0)＝(1－23)×(1－35)2＝475．当观众甲、乙、丙中只有1人选中3号歌手时,这时X ＝1,P (X ＝1)＝23×(1－35)2＋(1－23)×35×(1－35)＋(1－23)×(1－35)×35＝8＋6＋675＝2075．当观众甲、乙、丙中只有2人选中3号歌手时,这时X ＝2,P (X ＝2)＝23×35×(1－35)＋(1－23)×35×35＋23×(1－35)×35＝12＋9＋1275＝3375．当观众甲、乙、丙均选中3号歌手时,这时X ＝3, P (X ＝3)＝23×(35)2＝1875．X 的分布列如下表：『规律总结』概率问题中的数学思想(1)正难则反．灵活应用对立事件的概率关系(P (A )＋P (A )＝1)简化问题,是求解概率问题最常用的方法．(2)化繁为简．将复杂事件的概率转化为简单事件的概率,即寻找所求事件与已知事件之间的关系．“所求事件”分几类(考虑加法公式,转化为互斥事件)还是分几步组成(考虑乘法公式,转化为互独事件)．(3)方程思想．利用有关的概率公式和问题中的数量关系,建立方程(组),通过解方程(组)使问题获解．┃┃跟踪练习3__■某公司为了解用户对其产品的满意度,从A ,B 两地区分别随机调查了20个用户,得到用户对产品的满意度评分如下：A 地区：62 73 81 92 95 85 74 64 53 76 78 86 95 66 97 78 88 82 76 89B 地区：73 83 62 51 91 46 53 73 64 82 93 48 65 81 74 56 54 76 65 79(1)根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图,并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度(不要求计算出具体值,得出结论即可)；(2)根据用户满意度评分,将用户的满意度从低到高分为三个等级：满意度评分低于70分 70分到89分不低于90分满意度等级不满意满意非常满意记事件C ：“A 地区用户的满意度等级高于B 地区用户的满意度等级”,假设两地区用户的评价结果相互独立,根据所给数据,以事件发生的频率作为相应事件发生的概率,求C 的概率．[解析] (1)两地区用户满意度评分的茎叶图如图．通过茎叶图可以看出,A 地区用户满意度评分的平均值高于B 地区用户满意度评分的平均值；A 地区用户满意度评分比较集中,B 地区用户满意度评分比较分散．(2)记C A 1表示事件：“A 地区用户的满意度等级为满意或非常满意”； C A 2表示事件：“A 地区用户的满意度等级为非常满意”； C B 1表示事件：“B 地区用户的满意度等级为不满意”； C B 2表示事件：“B 地区用户的满意度等级为满意”；则C A 1与C B 1相互独立,C A 2与C B 2相互独立,C B 1与C B 2互斥,C ＝C B 1C A 1∪C B 2C A 2． P (C )＝P (C B 1C A 1∪C B 2C A 2) ＝P (C B 1C A 1)＋P (C B 2C A 2) ＝P (C B 1)P (C A 1)＋P (C B 2)P (C A 2),由所给数据得C A 1,C A 2,C B 1,C B 2的频率分别为1620,420,1020,820,故P (C A 1)＝1620,P (C A 2)＝420,P (C B 1)＝1020, P (C B 2)＝820,所以P (C )＝1020×1620＋820×420＝0.48．学科核心素养正难则反的思想的应用正难则反的思想在求解概率问题中应用广泛,尤其是解概率问题的综合题中,出现“至少”或“至多”等事件的概率求解问题,如果从正面考虑,它们是诸多事件的和或积,求解过程繁杂,而且容易出错,但如果考虑“至少”或“至多”事件的对立事件往往会简单,其概率很容易求出,此时可逆向分析问题,先求出其对立事件的概率,再利用概率的和或积的互补公式求出原来事件的概率．典例4三支球队中,甲队胜乙队的概率为0.4,乙队胜丙队的概率为0.5,丙队胜甲队的概率为0.6,比赛顺序是：第一局是甲队对乙队,第二局是第一局的胜者对丙队,第三局是第二局的胜者对第一局的败者,第四局是第三局的胜者对第二局的败者,求乙队连胜四局的概率．[思路分析]乙队每局胜利的事件是相互独立的,可由其公式计算概率．[解析]设乙队连胜四局为事件A,有下列情况：第一局中乙胜甲(A1),其概率为1－0.4＝0.6,第二局中乙胜丙(A2),其概率为0.5,第三局中乙胜甲(A3),其概率为1－0.4＝0.6,第四局中乙胜丙(A4),其概率为0.5,因各局比赛中的事件相互独立,故乙队连胜四局的概率为P(A)＝P(A1A2A3A4)＝0.62·0.52＝0.09．『规律总结』(1)求复杂事件的概率一般可分三步进行：①列出题中涉及的各个事件,并用适当的符号表示它们；②理清各事件之间的关系,列出关系式；③根据事件之间的关系准确地运用概率公式进行计算．(2)直接计算符合条件的事件个数较复杂,可间接地先计算对立事件的个数,求得对立事件的概率,再求出符合条件的事件的概率．┃┃跟踪练习4__■在一段线路中并联着3个自动控制的常开开关,只要其中1个开关能够闭合,线路就能正常工作．假定在某段时间内每个开关能够闭合的概率都是0.7,计算在这段时间内线路正常工作的概率．[解析]如图所示,分别记这段时间内开关J A,J B,J C能够闭合为事件A,B,C．由题意,这段时间内3个开关是否能够闭合相互之间没有影响,根据相互独立事件的概率乘法公式,这段时间内3个开关都不能闭合的概率是P(A B C)＝P(A)P(B)P(C)＝[1－P(A)][1－P(B)][1－P(C)]＝(1－0.7)(1－0.7)(1－0.7)＝0.027,于是这段时间内至少有1个开关能够闭合,从而使线路能正常工作的概率是1－P (A B C )＝1－0.027＝0.973．易混易错警示因混淆独立事件和互斥事件而致错典例5 设事件A 与B 相互独立,两个事件中只有A 发生的概率和只有B 发生的概率都是14,求事件A 和事件B 同时发生的概率．[错解] ∵A 与B 相互独立,且只有A 发生的概率和只有B 发生的概率都是14,∴P (A )＝P (B )＝14,∴P (AB )＝P (A )·P (B )＝14×14＝116．[正解] 在相互独立事件A 和B 中,只有A 发生即事件A B 发生,只有B 发生即事件A B 发生．∵A 和B 相互独立,∴A 与B ,A 和B 也相互独立．∴P (A B )＝P (A )·P (B )＝P (A )·[1－P (B )]＝14,① P (A B )＝P (A )·P (B )＝[1－P (A )]·P (B )＝14.② ①－②得P (A )＝P (B )．③联立①③可解得P (A )＝P (B )＝12.∴P (AB )＝P (A )·P (B )＝12×12＝14．[误区警示] 在A 与B 中只有A 发生是指A 发生和B 不发生这两个事件同时发生,即事件A B 发生．课堂达标·固基础1．下列事件A ,B 是相互独立事件的是( A )A ．一枚硬币掷两次,A ＝“第一次为正面”,B ＝“第二次为反面”B ．袋中有2个白球,2个黑球,不放回地摸球两次,每次摸一球,A ＝“第一次摸到白球”,B ＝“第二次摸到白球”C ．掷一枚骰子,A ＝“出现点数为奇数”,B ＝“出现点数为偶数”D ．A ＝“一个灯泡能用1 000小时”,B ＝“一个灯泡能用2 000小时”[解析] 把一枚硬币掷两次,对于每次而言是相互独立的,其结果不受先后影响,故A 是相互独立事件；B 中是不放回地摸球,显然A 事件与B 事件不相互独立；对于C,其结果具有唯一性,A ,B 应为互斥事件；D 中事件B 受事件A 的影响．故选A ．2．已知A ,B 是两个相互独立事件,P (A ),P (B )分别表示它们发生的概率,则1－P (A )P (B )是下列哪个事件的概率( C )A ．事件A ,B 同时发生B ．事件A ,B 至少有一个发生C ．事件A ,B 至多有一个发生D ．事件A ,B 都不发生[解析] P (A )P (B )是指A ,B 同时发生的概率,1－P (A )P (B )是A ,B 不同时发生的概率,即至多有一个发生的概率．3．投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次,记“硬币正面向上”为事件A ,“骰子向上的点数是3”为事件B ,则事件A 、B 中至少有一件发生的概率是( C )A ．512B ．12C ．712D ．34[解析] 由题意P (A )＝12,P (B )＝16,事件A 、B 中至少有一个发生的概率P ＝1－12×56＝712． 4．甲袋中有8个白球,4个红球,乙袋中有6个白球,6个红球．从每袋中任取一个球,则取得同色球的概率为__12__． [解析] 若都取到白球,P 1＝812×612＝13,若都取到红球,P 2＝412×612＝16, 则所求概率P ＝P 1＋P 2＝13＋16＝12． 5．甲、乙两人独立地破译密码的概率分别为13、14.求： (1)两个人都译出密码的概率；(2)两个人都译不出密码的概率；(3)恰有一人译出密码的概率；(4)至多一人译出密码的概率；(5)至少一人译出密码的概率．[解析] 记事件A 为“甲独立地译出密码”,事件B 为“乙独立地译出密码”．(1)两个人都译出密码的概率为P (AB )＝P (A )P (B )＝13×14＝112．(2)两个人都译不出密码的概率为P(A B)＝P(A)P(B)＝[1－P(A)][1－P(B)]＝(1－13)(1－14)＝12．(3)恰有一人译出密码分为两类：甲译出乙译不出,乙译出甲译不出, 即A B＋A B,∴P(A B＋A B)＝P(A B)＋P(A B)＝P(A)·P(B)＋P(A)P(B)＝13×(1－14)＋(1－13)×14＝512．(4)至多一人译出密码的对立事件是两人都译出密码,∴其概率为1－P(AB)＝1－112＝1112．(5)至少一人译出密码的对立事件为两个都没有译出密码, ∴其概率为1－P(A B)＝1－12＝12．。

高中数学第二章《事件的独立性》教案2 新人教A版选修2-3

2.2.2事件的独立性（第二课时）教学目标：了解两个事件相互独立的概念及简单应用教学重点：了解两个事件相互独立的概念及简单应用教学过程一、复习引入：1. 已知事件B 发生条件下事件A 发生的概率称为事件A 关于事件B 的条件概率，记作(|)P A B .2. 对任意事件A 和B ，若()0P B ≠，则“在事件B 发生的条件下A 的条件概率”，记作P(A | B)，定义为(|)P AB P A B P B （）＝（）3. 事件B 发生与否对事件A 发生的概率没有影响，即 (|)()P A B P A =. 称A 与B 独立二、讲解新课：1、多个事件的独立性对n 个事件，除考虑两两的独立性以外，还得考虑其整体的相互独立性. 以三个事件A , B , C 为例.定义若()()()()()()()()()P AB P A P B P AC P A P C P BC P B P C =⋅⎫⎪=⋅⎬⎪=⋅⎭(1)且 ()()()()P ABC P A P B P C = (2)则称A , B , C 相互独立. (1)式表示A , B , C 两两独立，所以独立包含了两两独立. 但A , B , C 的两两独立并不能代替三个事件相互独立，因为还有(2)式. 那么(1)式是否包含(2)式呢？回答是否定的，有例如下：例一个均匀的正四面体，其第一面染成红色，第二面为白色，第三面为黑色，第四面红白黑三色都有. 分别用A , B , C 记投一次四面体时底面出现红、白、黑的事件. 由于在四面体中有两面出现红色，故1()2P A =；同理,1()()2P B P C ==；同时出现两色或同时出现三色只有第四面，故 1()()()()4P AB P AC P BC P ABC ====,因此 ()()()P AB P A P B =⋅, ()()()P AC P A P C =⋅， ()()()P BC P B P C =⋅，(1)式成立，A , B , C 两两独立. 但 11()()()()48P ABC P A P B P C =≠⋅⋅=, 即(2)式不成立.2、例子一个系统能正常工作的概率称为该系统的可靠性. 现有两系统都由同类电子元件A , B , C 、D 所组成.每个元件的可靠性都是p ，试分别求两个系统的可靠性.解以R 1与R 2分别记两个系统的可靠性，以A , B , C 、D 分别记相应元件工作正常的事件，则可认为A , B , C 、D 相互独立，有1(())()R P A B C D P ABD ACD ==()()()P ABD P ACD P ABCD =+-()()()()()()()()()()P A P B P D P A P C P D P A P B P C P D =+-3 (2)p p =-,2()()()()()()R P AB CD P AB P CD P AB P AC P ABCD ==+=+-22 (2)p p =-.显然21R R >. 可靠性理论在系统科学中有广泛的应用，系统的可靠性的研究具有重要意义.课堂小节：本节课学习了事件相互独立的简单应用课堂练习：课后作业：。

人教版高中数学选修(2-3)-2.2《事件的相互独立性》参考教案1

2.2.2事件的相互独立性学习目标1．掌握乘法公式及其应用。

2.掌握一般两个或n个事件独立的条件及其在概率计算中的应用学习重点与难点：1.乘法公式的内涵及其应用。

（乘法公式是用来计算两个或两个以上事件同时发生的概率）2.n个事件独立与两两独立之间的关系。

在独立的条件下，尽可能将一些事件和的概率转化成一些相关事件积的概率进行计算。

教学过程设计一、回顾与引入条件概率公式及乘法公式二、两个事件的相互独立性1.相互独立性定义设A、B是两事件，如果具有等式P(AB)=P(A)P(B)则称A、B为相互独立事件。

2 、逆事件的相互独立性定理若四对事件A与B，与B，A与和中有一对是独立的事件，则另外各对事件也是相互独立的事件。

3 相互独立与互不相容的区别和关系相互独立与互不相容是两个不同的概念。

两事件互不相容是指两事件A,B 不能同时发生，即AB=φ,它描述的是两事件之间互不包含的关系。

在古典概型（即样本点有限）下有AB=φ，即A与B互不相容。

若P(A)>0（或P(B)>0)且P(B|A)>0(或P(A|B)>0)则A、B两事件必能同时发生，而A、B必不是互不相容的。

三、三个事件间的两两独立性设A、B、C为三事件，如果具有等式P(AB)=P(A)P(B)P(BC)=P(B)P(C) （5.2)P(CA)=P(C)P(A)则称三事件A、B、C为两两独立的事件。

三个事件间的相互独立性设A,B,C为三事件，若同时满足(5.2)与(5.3)式，则称A,B,C为相互独立事件。

易见，A,B,C相互独立，则A,B,C必两两独立，反之不然。

人教版高中数学选修2-3：2.2.2 事件的相互独立性教案

(一) 复习引入问题1：三个臭皮匠能顶一个诸葛亮吗？诸葛亮一人组成的团队PK臭皮匠三人组成的团队，他们解决同一个问题的概率分别为：诸葛亮解决问题的概率为0.85；臭皮匠老大解决问题的概率为0.5,老二为0.4,老三为0.3,要求臭皮匠团队成员必须独立解决，三人中至少有一人解决问题就算团队胜出，问臭皮匠团队与诸葛亮团队谁的胜算比较大？臭皮匠团队的亲友团做了如下的解释，设事件A：臭皮匠老大能解决问题；事件B：臭皮匠老二能解决问题；事件C：臭皮匠老三能解决问题；则臭皮匠团队能胜出的概率为P=P（A）+P（B）+P（C）=0.5+0.45+0.4=1.35，所以臭皮匠团队必胜。

你认为这种计算方法合理吗？教师提问，让学生利用已有知识对臭皮匠亲友团的回答做出是否正确的判断。

将我们的俗语改编成题，激发学生学习兴趣，同时引出本节主要内容：事件的独立性。

课题2.2.2 事件的相互独立性课时 1 授课时间主备人：教学目标知识与技能了解相互独立事件的概念，初步掌握用定义判断某些事件是否相互独立，能区分互斥事件与相互独立事件。

了解相互独立事件同时发生的概率的乘法公式，会运用此公式计算一些简单的概率问题。

过程与方法：经历概念的形成及公式的探究、应用过程，培养学生观察、分析、类比、归纳的能力，培养学生自主学习的能力与探究问题的能力。

情感态度与价值观：通过设置恰当而有趣的课前引例，激发学生学习本小节知识的兴趣，通过小组合作学习让学生体会合作学习的乐趣教学准备ppt重点难点教学重点：了解相互独立事件的概念，如何求相互独立事件都发生的概率。

教学难点：公式的推导与应用。

教师活动学生活动设计意图。

数学选修2-3教案：2.2.2事件的独立性

高中数学课程12.2.2 事件的独立性【教学目标】①了解两个事相互独立的概念，掌握相互独立事件的概率公式，并能应用公式解决简单的问题；②通过相互独立事件及其概率的计算，进一步熟悉概率的计算方法，提高运用数学解决实际问题的能力.【教学重点】独立事件同时发生的概率【教学难点】有关独立事件发生的概率计算一、课前预习1.复习回顾：①不可能事件：______________________________②必然事件：________________________________③随机事件：________________________________④互斥事件（或互不相容事件）:______________________________________ ⑤对立事件：___________________________________⑥事件A 与B 的交（或积）：______________________2.相互独立事件：事件A 是否发生对事件B 发生的概率_________,即______________,则称两个事件A ，B 相互独立，并把这两个事件叫做相互独立事件.3.当事件A ，B 相互独立时，A 与B ，A 与B ，A 与B 也相互独立.4.两个相互独立事件同时发生的概率公式为：._________)( B A P推广：____________________________________________________________二、课上学习高中数学课程2 例1、甲、乙两名射击运动员分别对一目标射击1次，甲射中的概率为0.8，乙射中的概率为0.9，求：（1）2人都射中目标的概率;（2）2人中恰有1人射中目标的概率；（3）2人至少有1人射中目标的概率；（4）2人至多有1人射中目标的概率？三、课后练习1.甲、乙两人独立地解同一问题，甲解决这个问题的概率是1p ，乙解决这个问题的概率是2p ，那么恰好有1人解决这个问题的概率为___________2.加工某一零件需在流水线上经过两道工序，两道工序分别出次品的概率为0.02与0.03，则这条流水线上出来的产品是次品的概率是____________.3.甲射击命中目标的概率为21，乙命中目标的概率为31，丙命中目标的概率为41，现在三人同时射击目标，则恰有一人击中目标的概率为_________,目标被击中的概率为_____________.4.如图，在两个圆盘中，指针落在本圆盘每个数所在区域的机会均等，那么两个指针同时落在奇数所在区域的概率是___________。

高中数学_2.2.2 事件的独立性教学设计学情分析教材分析课后反思

《事件的独立性》教学设计附：板书设计《事件的独立性》学情分析本节内容的学习，既是对前面所学”条件概率”的深化和拓展，又是提高学生解决实际问题的一种途径，更是加强学生应用意识的良好素材。

在给出的实例问题中，学生能够充分利用前一节“条件概率”的知识去探究，从而得到PABP ，为得到事件的独立性概念做了充分别的铺垫。

判断两事件是否相互独立，|(B())常常通过对事物本质的分析，而且学生能注意到独立事件与互斥事件、对立事件的区别。

相互独立事件的概率公式的推导是利用条件概率公式推出的，而条件概率对于学生是个难点，学生在公式的推导会有困难，还有理论应用于实际也是一个难点，在教学中要注意突破这些。

《事件的独立性》效果分析学生的经验、情感、能力、知识得到丰富和发展，教学活动实在、课堂气氛和谐、学生思维活跃、主动合作和学习，体现“容雅”课堂文化，教学目标达成度高。

1.教学目标要清晰可见，符合课程标准，充分考虑教材、学情等方面。

这意味着对待教学目标，是不可以简单化地应付和复制，而是需要通过研讨、探究和实践检验来逐步摸索。

一是目标应该是清晰的，明确的，有标准的。

越是具体的事情，越是需要具体的目标。

二是有阶段性，目标还有长短之分，有些目标是短期目标，有些目标是长期目标，一节课之内实现不了，需要做单元化的教学设计和阶段化的教学设计。

三是可量化实现程度。

2.课堂教学力争做到“三段六化一达标”。

“三段”，是教学过程分为三段。

第一段为“生问生答师点评”，即学生就预习中的问题交流展示，老师择机点评。

第二段为“师问生答师点拨”，老师针对第一段学生交流中的重、难、热点问题，进行阐述，使学生对知识的学习实现“六化”目标。

第三段为“探究合作共提高”，即展开生生之间、师生之间的合作，共同探究，以重点题目为载体，运用所学知识分析解决问题，提高能力。

“六化”，是目标。

具体为：复杂问题简单化，复杂的问题通过老师分析使学生感到简单明了；深奥问题浅显化，深奥的问题经老师点拨，学生感到深入浅出；模糊问题清晰化，模糊的问题经老师讲解学生感到透彻清晰；抽象问题形象化，抽象的问题通过老师的例证使学生感到生动形象；零散问题系统化，零散的问题经老师总结使学生构建起知识体系；具体问题理论化，具体的问题通过老师概括使学生实现知识的升华。

新人教版高中数学必修第二册《事件的相互独立性》教学设计

【新教材】10.2 事件的相互独立性教学设计（人教A版）事件的相互独立性是在已学互斥事件和对立事件基础上进一步了解事件之间的关系，及对应的概率的计算.课程目标1．理解两个事件相互独立的概念．2．能进行一些与事件独立有关的概念的计算．3. 通过对实例的分析，会进行简单的应用.数学学科素养1.数学抽象：两个事件相互独立的概念．2.数学运算：与事件独立有关的概念的计算.重点：独立事件同时发生的概率．难点：有关独立事件发生的概率计算教学方法：以学生为主体，小组为单位，采用诱思探究式教学，精讲多练。

教学工具：多媒体。

一、情景导入三张奖券中只有一张能中奖，现分别由三名同学有放回地抽取，事件A为“第一名同学没有抽到中奖奖券”，事件B为“最后一名同学抽到中将奖券”.事件A的发生会影响事件B发生的概率吗？要求：让学生自由发言，教师不做判断。

而是引导学生进一步观察.研探.二、预习课本，引入新课阅读课本246-249页，思考并完成以下问题1. 满足什么条件两个事件是相互独立的？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。

三、新知探究事件A与B相互独立对任意两个事件A与B，如果P(AB)＝P(A)P(B)成立，则称事件A与事件B相互独立(mutually independent)，简称为独立．注意（1）事件A与B是相互独立的，那么A与B̅，A与B，A与B̅也是否相互独立.（2）相互独立事件同时发生的概率：P(AB)＝P(A)P(B).四、典例分析、举一反三题型一相互独立事件的判断例1一个袋子中有标号分别为1，2，3，4的4个球，除标号外没有其他差异.采用不放回方式从中任意摸球两次.设事件A =“第一次摸出球的标号小于3”，事件B =“第二次摸出球的标号小于3”，那么事件A 与事件B 是否相互独立？【答案】不独立【解析】因为样本空间(){}{},,1,2,3,4,m n m n m n Ω=∈≠且()()()()()(){}1,2,1,3,1,4,2,1,2,3,2,4A =()()()()()(){}1,2,2,1,3,1,3,2,4,1,4,2B =所以()()61122P A P B ===,()21126P AB == 此时()()()P AB P A P B ≠⋅因此,事件A 与事件B 不独立.解题技巧（独立事件的判断）对于事件A ，B ，在一次试验中，A ，B 如果不能同时发生，则称A ，B 互斥，一次试验中，如果A ，B 两个事件互斥且A ，B 中必然有一个发生，则称A ，B 对立，显然A ∪A 为一个必然事件．A ，B 互斥则不能同时发生，但有可能同时不发生，两事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响．跟踪训练一1. 从一副扑克牌(去掉大、小王)中任抽一张，设A ＝“抽到K”，B ＝“抽到红牌”，C ＝“抽到J”，那么下列每对事件是否相互独立？是否互斥？是否对立？为什么？(1)A 与B ；(2)C 与A .【答案】见解析.【解析】 (1)由于事件A 为“抽到K”，事件B 为“抽到红牌”，故抽到红牌中有可能抽到红桃K 或方块K ，即有可能抽到K ，故事件A ，B 有可能同时发生，显然它们不是互斥事件，更加不是对立事件．以下考虑它们是否为相互独立事件：抽到K 的概率为P (A )＝452＝113抽到红牌的概率为P (B )＝2652＝12，故P (A )P (B )＝113×12＝126，事件AB 为“既抽到K 又抽到红牌”，即“抽到红桃K 或方块K”，故P (AB )＝252＝126，从而有P (A )P (B )＝P (AB )，因此A 与B 是相互独立事件．(2)从一副扑克牌(去掉大、小王)中任取一张．抽到K 就不可能抽到J ，抽到J 就不可能抽到K ，故事件C 与事件A 不可能同时发生，A 与C 互斥．由于P (A )＝113≠0.P (C )＝113≠0，而P (AC )＝0，所以A 与C 不是相互独立事件，又抽不到K 不一定抽到J ，故A 与C 并非对立事件.题型二相互独立事件同时发生的概率例2 甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为0.8，乙的中靶概率为0.9，求下列事件的概率：（1）两人都中靶；（2）恰好有一人中靶；（3）两人都脱靶；（4）至少有一人中靶.【答案】（1）0.72 （2）0.26 （3）0.02 （4）0.98【解析】设A =“甲中靶”, B =“乙中靶”,则A =“甲脱靶”,B =“乙脱靶”,由于两个人射击的结果互不影响,所以A 与B 相互独立,A 与B ,A 与B ,A 与B 都相互独立由已知可得,()()()()0.8,0.9,0.2,0.1P A P B P A P B ====.（1）AB = “两人都中靶”,由事件独立性的定义得()()()0.80.90.72P AB P A P B =⋅=⨯=（2）“恰好有一人中靶” AB AB =,且AB 与AB 互斥根据概率的加法公式和事件独立性定义,得 ()()()P AB AB P AB P AB =+()()()()P A P B P A P B =⋅+⋅ 0.80.10.20.90.26=⨯+⨯= （3）事件“两人都脱靶”AB =, 所以()()()P AB P A P B =⋅ ()()10.810.90.02=-⨯-=（4）方法1：事件“至少有一人中靶”ABAB AB =,且AB ,AB 与AB 两两互斥, 所以()P AB AB AB ()()()P AB P AB P AB =++()()P AB P AB AB =+ 0.720.260.98=+=方法2：由于事件“至少有一人中靶”的对立事件是“两人都脱靶”根据对立事件的性质,得事件“至少有一人中靶”的概率为()110.020.98P AB -=-=解题技巧 (相互独立事件同时发生的概率)解决此类问题要明确互斥事件和相互独立事件的意义，若A ，B 相互独立，则A 与B ，A 与B ，A 与B 也是相互独立的，代入相互独立事件的概率公式求解．跟踪训练二1. 本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多．某自行车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费2元(不足一小时的部分按一小时计算)．有甲、乙两人来该租车点租车骑游(各租一车一次)，设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为14，12，两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为12，14，两人租车时间都不会超过四小时． (1)求甲、乙两人所付租车费用相同的概率；(2)求甲、乙两人所付的租车费用之和为4元的概率．【答案】(1) 516．(2) 516．【解析】甲、乙两人租车时间超过三小时且不超过四小时的概率分别为1－14－12＝14.1－12－14＝14. (1)租车费用相同可分为租车费都为0元、2元、4元三种情况．租车费都为0元的概率为p 1＝14×12＝18，租车费都为2元的概率为p 2＝12×14＝18，租车费都为4元的概率为p 3＝14×14＝116. 所以甲、乙所付租车费用相同的概率为p ＝p 1＋p 2＋p 3＝516. (2)设甲、乙两人所付的租车费用之和为ξ，则“ξ＝4”表示“两人的租车费用之和为4元”，其可能的情况是甲、乙的租车费分别为①0元、4元，②2元、2元，③4元、0元．所以可得P (ξ＝4)＝14×14＋12×14＋14×12＝516，即甲、乙两人所付的租车费用之和为4元的概率为516. 五、课堂小结让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧六、板书设计七、作业课本249页练习，250页习题10.2.两个事件相互独立，是指它们其中一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响一般地，两个事件不可能即互斥又相互独立，因为互斥事件是不可能同时发生的，而相互独立事件是以它们能够同时发生为前提的相互独立事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积，这一点与互斥事件的概率和也是不同的.。

数学：2.2.2《二项分布及其应用-事件的相互独立性》PPT课件(新人教A版-选修2-3)

注:(1)若事件 A1，A2 ，… ，An 中任意两个事件相互独立，则称事件 A1，A2 ，… ，An 两两相互独立. (2)设 A1，A2 ，… ，An为n 个事件，若对于任意k(1≤k≤n), 及 1≤i 1< i 2< · < i k≤n 有P( Ai Ai Ai ) P( Ai )P( Ai ) P( Ai ) · · 则称事件 A1，A2 ，… ，An 相互独立.
1 P( A B C ) 1 0.5 0.55 0.6 0.835
0.8 P ( D)
所以，合三个臭皮匠之力把握就大过诸葛亮.
学习小结:
(1)列表比较互斥事件不可能同时发定义生的两个事件
相互独立事件事件A是否发生对事件B 发生的概率没有影响
概率公式 P(A+B)=P(A)+P(B) P( A B) P( A) P( B) (2)解决概率问题的一个关键：分解复杂问题为基本的互斥事件与相互独立事件. 选做作业: 研究性题:在力量不是十分悬殊的情况下我们解释了“三个臭皮匠顶个诸葛亮”的说法.那么你能否用概率的知识解释我们常说的“真理往往掌握在少数人手里的”？
练习5
(1 0.7) (1 0.7) (1 0.7) 0.027
2
(4)
P2=1－(1－r)2
1 1 2 2
P3=1－(1－r2)2
P4=[1－(1－r)2]2
答案
附1：用数学符号语言表示下列关系：
若A、B、C为相互独立事件，则 B· ① A、B、C同时发生； ①A· C B· ② A、B、C都不发生； ② A· C ③ A、B、C中恰有一个发生； B·＋A· C＋A· C ③A· C B· B· ④ A、B、C中至少有一个发生的概率；－P( A· C ) ④1 B· ⑤ A、B、C中至多有一个发生. B· ⑤A· C ＋ A· C ＋ A· C＋ A· C B· B· B·

人教a版数学【选修2-3】2.2.2《事件的独立性》ppt课件

2.2.2 事件的独立性
第二章
随机变量及其分布
成才之路 · 高中新课程 · 学习指导 · 人教A版 · 数学 · 选修2-3
1
自主预习学案
2
典例探究学案
3
巩固提高学案
4
备选练习
第二章
2.2
2.2.2
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自主预习学案
第二章
第二章 2.2 2.2.2
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3．如果A与B相互独立，那么P(B|A)＝__________ ，P(A|B) P(B) P(A) ．＝__________ 同时发生的两个事件，而相互独 4 ．互斥事件是不可能 __________ 立事件是指一个事件是否发生对另一个事件发生的概率没有影响，二者不能混淆． __________ P(A)＋P(B) ；若A、B互斥，则P(AB)＝0；P(A＋B)＝__________ P(A)· P(B) ， P(A ＋ B) ＝若 A 、 B 相互独立，则 P(AB) ＝ __________ 1－P(－ A )· P(－ B) ． ________________
第二章
2.2
2.2.2
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[解析] 设甲、乙、丙去北京旅游分别为事件 A、B、C， 1 1 1 2 3 则 P(A)＝3，P(B)＝4，P(C)＝5，P( A )＝3，P( B )＝4，P( C )＝ 4 5，由于 A，B，C 相互独立，故 A ， B ， C 也相互独立，故 P( A 2 3 4 2 B C )＝3×4×5＝5，因此甲、乙、丙三人至少有 1 人去北京 2 3 －－－旅游的概率 P＝1－P( A B C )＝1－5＝5.

高中数学(新人教A版)必修第二册：事件的相互独立性【精品课件】

2 5
，
34，13”变为“甲、乙两人只有一人被选中的概率为2110，两人都
被选中的概率为130，丙被选中的概率为13”，求恰好有2人被选
中的概率．
解：设甲被选中的概率为P(A)，乙被选中的概率为P(B)，
则P(A)[1－P(B)]＋P(B)[1－P(A)]＝2110，
①
P(A)P(B)＝130，
②
由①②知P(A)＝25，P(B)＝34，或PA＝34，PB＝25 故恰有2人被选中的概率P＝P(AB C )＋P(A B C)＋P( A BC)＝2630.
若前一事件没有发生，则后一事件发生的概率为57.可见，前一事件是否发生，对后一事件发生的概率有影响，所以两者不是相互独立事件．
(3)记 A＝“出现偶数点”，B＝“出现 3 点或 6 点”，则 A＝{2,4,6}，B＝{3,6}，
AB＝{6}，所以 P(A)＝3＝1，P(B)＝2＝1，P(AB)＝1，
②同数的加、减、乘、除混合运算一样，事件的混合运算也有优先级，我们规定：求积运算的优先级高于求和运算，因此 (A B )＋( A B)可简写为A B ＋ A B.
知识点一事件独立性的判断 [例 1] 判断下列各对事件是不是相互独立事件： (1)甲组 3 名男生，2 名女生；乙组 2 名男生，3 名女生，现从甲、乙两组中各选 1 名同学参加演讲比赛，“从甲组中选出 1 名男生” 与“从乙组中选出 1 名女生”； (2)容器内盛有 5 个白乒乓球和 3 个黄乒乓球，“从 8 个球中任意取出 1 个，取出的是白球”与“从剩下的 7 个球中任意取出 1 个，取出的还是白球”； (3)掷一枚骰子一次，“出现偶数点”与“出现 3 点或 6 点”．
卡片随机地分给丙、丁，每人一张，事件“甲得 1 号纸片”

#2.2.2《事件的相互独立性(一)》(新人教A版选修2-3)

P=1-0.56=0.44
3.某战士射击中靶的概率为0.99.若连续射击两次. 求: (1) 两次都中靶的概率;(2)至少有一次中靶的概率: (3)至多有一次中靶的概率;(4)目标被击中的概率.
分析: 设事件A为“第1次射击中靶”. B为“第2次射击中靶”. ⑴ “两次又都∵中A靶与”B是是互指斥“事事件件. A发生且事件B发生” 即
试一试判断事件A, B 是否为互斥, 互独事件
1.篮球比赛 “罚球二次” . 事件A表示“ 第1球罚中”, 事件B表示“第2球罚中”. A与B为互独事件
2.篮球比赛 “1+1罚球” . 事件A表示 “ 第1球罚中”, 事件B表示 “第2球罚中”.A与B不是互独事件
3.袋中有4个白球, 3个黑球, 从袋中依此取2球. 事件A:“取出的是白球”.事件B:“取出的是黑球” ( 不放回抽取) A与B为非互独也非互斥事件
P(A•B)=P(A) •P(B)=0.6×0.6＝0.36
答：两人都击中目标的概率是0.36
例2 甲、乙二人各进行1次射击比赛，如果2 人击中目标的概率都是0.6，计算：
(2) 其中恰有1人击中目标的概率？解：“二人各射击1次，恰有1人击中目标”包括两种
情况:一种是甲击中, 乙未91
②从中抽两次,每次1件则两次都抽出次品的概率是___
(不放回抽取)
③从中抽两次,每次1件则两次都抽出次品的概率是___
(放回抽取)
C41·C41 C1001·C1001
( 互斥事件)
求
分类 P(A+B)= P(A) + P (B)
较
正向
复
杂
事
分步
P(A·B)= P(A) ·P (B)
P(A)+P(Ā)=1

高中数学第二章概率 2.3.2 事件的独立性学案苏教版选修2-3(2021年最新整理)

2016-2017学年高中数学第二章概率2.3.2 事件的独立性学案苏教版选修2-3编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2016-2017学年高中数学第二章概率2.3.2 事件的独立性学案苏教版选修2-3）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。

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2。

3。

2 事件的独立性1．了解两个事件相互独立的概念，会判断两个事件是否为相互独立事件．（难点)2．掌握相互独立事件同时发生的概率的计算公式，并能利用该公式计算相关问题的概率．（重点）3．了解互斥事件与相互独立事件的联系与区别，综合利用事件的互斥性与独立性求解综合问题．（易错点)［基础·初探]教材整理事件的独立性阅读教材P59~P60，完成下列问题．1．事件的独立性的概念（1）概念：若事件A，B满足P(A|B)＝P（A)，则称事件A，B独立．(2)含义：P(A｜B)＝P（A)说明事件B的发生不影响事件A发生的概率．2．相互独立事件的概率计算如果任何事件与必然事件独立，与不可能事件也独立，那么（1）两个事件A，B相互独立的充要条件是P(AB)＝P（A）P（B)．（2）若事件A1，A2，…，A n相互独立,那么这n个事件同时发生的概率P（A1A2…A n)＝P(A1）P(A）…P（A n）．23．相互独立事件的性质如果事件A与B相互独立,那么A与错误!，错误!与B，错误!与错误!也相互独立．1．下列说法正确的有________．（填序号)①对事件A和B，若P（B|A）＝P(B),则事件A与B相互独立；②若事件A，B相互独立，则P（错误!错误!）＝P（错误!）×P(错误!）;③如果事件A与事件B相互独立,则P（B|A)＝P(B）;④若事件A与B相互独立，则B与错误!相互独立．【解析】若P（B｜A）＝P（B)，则P（AB）＝P(A）·P(B)，故A,B相互独立,所以①正确;若事件A，B相互独立，则错误!,错误!也相互独立，故②正确；若事件A，B相互独立，则A 发生与否不影响B的发生，故③正确；④B与错误!相互对立，不是相互独立，故④错误．【答案】①②③2．甲、乙两人投球命中率分别为12,错误!,则甲、乙两人各投一次,恰好命中一次的概率为________。

2.2.2事件的相互独立性(公开课)

公式
第27页，共27页。
设A为事件“第一位同学没有中奖”； B为事件“最后一名同学中奖”。
P(B A) n( AB) P( AB) 1
n( A) P( A) 2
答:事件A的发生会影响事件B发生的概率
第4页，共27页。
思考2：三张奖券有一张可以中奖。现由三名同学依次有放回地抽取，问：最后一名去抽的同学的中奖
概率会受到第一位同学是否中奖的影响吗？
甲未击中，乙击中（事件Ā•B发生）。根据题意，这两种情况在各射击1次时不可能同时发生，即事件Ā•B与
A• B互斥，根据互斥事件的概率加法公式和相互独立事件的概率乘法公式，所求的概率是
P(A • B) P(A • B)
P( A) • P(B) P( A) • P(B)
0.6 (1 0.6) (1 0.6) 0.6
③若A与A为对立事件，则P（A）与P（A）关系如何？
P(A)+P(Ā)=1
第2页，共27页。
复习回顾
(1).条件概率的概念
设事件A和事件B，且P(A)>0,在已知事件A发生的条件下事件B 发生的概率，叫做条件概率.记作P(B |A).
(2).条件概率计算公式:
P(B | A) n( AB) P( AB) n( A) P( A)
P(A• B •C)
(2) A不发生且B不发生且C不发生
P(A• B •C) 第22页，共27页。
小结:已知A、B、C相互独立，试用数学符号语言表示下列关系
① A、B、C同时发生概率；
② A、B、C都不发生的概率； ③ A、B、C中恰有一个发生的概率；
④ A、B、C中恰有两个发生的概率； ⑤A、B 、C中至少有一个发生的概率；

人教课标版高中数学选修2-3《事件的独立性》教案-新版

第二章随机变量及其分布2.2 二项分布及其应用2.2.1 事件的独立性一、教学目标1、核心素养通过上一节课条件概率和本节课事件的相互独立性的学习，使学生会处理较为复杂的概率计算，同时也培养了学生分类讨论的思想.从而提高了学生的运算能力和数学建模能力；2、学习目标（1）理解事件独立性的概念；（2）理解互斥事件、对立事件和相互独立事件的区别；（3）会利用相互独立事件概率的乘法公式解决相应的问题；3、学习重点理解事件A与B独立的概念，并能运用相互独立事件的概率乘法公式解决实际问题；4、学习难点运用相互独立事件的概率乘法公式解决实际问题二、教学设计（一）课前设计1、预习任务任务1阅读教材，思考：（1）互斥事件、相互独立事件和对立事件的区别？（2）如何用条件概率证明两个事件相互独立？任务2熟记相互独立事件的乘法公式，并会利用公式解决预习自测的题目；2、预习自测1.设A与B是相互独立事件，则下列命题中正确的命题是（）A．A与B是对立事件B．A与B是互斥事件C.A与B不相互独立D．A与B是相互独立事件答案 D2.一个口袋中有黑球和白球各5个，从中连摸两次球，每次摸一个且每次摸出后不放回，用A表示第一次摸得白球，B 表示第二次摸得白球，则A 与B 是（）A 、互斥事件B 、不相互独立事件C 、对立事件D 、相互独立事件答案 B3.在某段时间内，甲地不下雨的概率为0.3，乙地不下雨的概率为0.4，假设在这段时间内两地是否下雨相互无影响，则这段时间内两地都下雨的概率是（）A.0.12B.0.88C.0.28D.0.42答案：D4.一学生通过英语听力测试的概率是21，他连续测试两次，那么其中恰好一次通过的概率是（） A.41 B.31 C.21 D.43 答案：C（二）课堂设计1、知识回顾（1）互斥事件和相互独立事件的概念；（2）互斥事件与相互独立事件的区别；（3）古典概型的概率公式；（4）条件概率的概念及其性质、计算公式；（5）本节课所学习的事件独立性的概念？相互独立事件概率计算公式？2、问题探究问题探究一活动一：三张奖券中只有一张能中奖,现分别由三名同学有放回地抽取,事件A 为“第一名同学没有抽到中奖奖券”,事件B 为“最后一名同学抽到中奖奖券”.事件A 的发生会影响事件B 发生的概率吗?解析：显然无放回时，A 的发生影响着B ，即是条件概率．而当有放回地抽取奖券时，最后一名同学也是从原来的三张奖券中任抽一张，因此第一名同学抽的结果对最后一名同学的抽奖结果没有影响，即事件A 的发生不会影响事件B 发生的概率．于是P (B |A )=P (B )，代入条件概率公式得P (AB )=P (B |A )P (A )=P (A )P (B )活动二：甲坛子里有3个白球，2个黑球，乙坛子里有2个白球，2个黑球，从这两个坛子里分别摸出1个球，它们都是白球的概率是多少？事件A ：从甲坛子里摸出1个球，得到白球；事件B ：从乙坛子里摸出1个球，得到白球问题：事件A 、B 是否互斥？（不互斥）可以同时发生吗？（可以）问题：事件A （或B ）是否发生对事件B （或A ）发生的概率有无影响？（无影响） “从这两个坛子里分别摸出1个球，它们都是白球”是一个事件，它的发生，就是事件A ，B 同时发生，记作A B ⋅．（简称积事件）从甲坛子里摸出1个球，有5种等可能的结果；从乙坛子里摸出1个球，有4种等可能的结果于是从这两个坛子里分别摸出1个球，共有54⨯种等可能的结果同时摸出白球的结果有32⨯种所以从这两个坛子里分别摸出1个球，它们都是白球的概率323()5410P A B ⨯⋅==⨯．另一方面，从甲坛子里摸出1个球，得到白球的概率3()5P A =，从乙坛子里摸出1个球，得到白球的概率2()4P B =．显然()()()P A B P A P B ⋅=⋅．这就是说，两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积一般地，如果事件12,,,n A A A 相互独立，那么这n 个事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，即1212()()()()n n P A A A P A P A P A ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅. 相互独立事件的定义：设A,B 为两个事件，如果 P (AB )=P (A )P (B )，则称事件A 与事件B 相互独立（mutually independent ).事件A （或B ）是否发生对事件B （或A ）发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件若A 与B 是相互独立事件，则A 与B ，A 与B ，A 与B 也相互独立相互独立事件同时发生的概率：()()()P A B P A P B ⋅=⋅问题探究二、互斥事件、对立事件、相互独立事件的区别 1.定义：设A ，B 为两个事件，如果()=()()P AB P A P B ⋅，那么称事件A 与事件B 相互独立．2.如果A 与B 相互独立，那么A 与B ，A 与B ，A 与B 也都相互独立．3.如果A 与B 相互独立，那么()=()P B A P B ，()=()P A B P A ．4.互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而相互独立事件是指一个事件是否发生对另一个事件发生的概率没有影响，二者不能混淆.对于事件A、B，在一次试验中，A、B如果不能同时发生，那么称A、B互斥．一次试验中，如果A、B两个事件互斥且A、B中必然有一个发生，那么称A、B对立，显然A+B为一个必然事件．A、B互斥则不能同时发生，但可能同时不发生．如掷一枚骰子，“点数为1”为事件A，“点数为2”为事件B，则A、B可能都不发生．两事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一事件发生的概率没有影响．A、B互斥，则0)(=ABP；A、B对立，则1)()(=+BPAP．A、B相互独立，则)()()(BPAPABP⋅=，可见这是不相同的概率．问题探究三、利用相互独立事件乘法公式能解决哪些实际问题？例1.一个口袋内装有2个白球和2个黑球．求（1）先摸出一个白球不放回，再摸出一个白球的概率是多少？（2）先摸出一个白球后放回，再摸出一个白球的概率是多少？【知识点：相互独立事件乘法公式、条件概率】详解：（1）先摸出一白球不放回这件事对再摸出一个白球的概率产生了影响，再摸时只有一个白球，两个黑球，则概率为13；（2）先摸出一白球后放回这件事对再摸出一个白球的概率没有影响，还是从两个白球两个黑球中摸，则概率为1 2例2.天气预报中，在元旦假期甲地的降雨概率是0.2，乙地的降雨概率是0.3．假定在这段时间内两地是否降雨相互之间没有影响，计算在这段时间内：（1）甲乙两地都降雨的概率；（2）甲乙两地都不降雨的概率；（3）甲乙两地至少一个地方的概率；【知识点：相互独立事件乘法公式；数学思想：正难则反思想】详解：“甲地降雨”为时间A，“乙地降雨”为事件B．（1）“甲乙两地都不下雨”表示时间A,B同时发生，且甲乙两地是否降雨相互之间没有影响，即事件A与事件B相互独立．所以()()()=0.20.3=0.06p AB P A P B=⨯（2）“甲乙两地都不降雨”即事件A与B同时发生．利用独立事件的性质2可知，事件A与B 相互独立．所以()()()10.210.30.56p AB P A p B==-⨯-=（）（）（3）“至少一个地方降雨”用字母表示应为()()()()()()()()()()0.20.70.80.30.20.30.44p AB AB AB p AB p AB p AB p A p B p A p B p A p B ++=++=++=⨯+⨯+⨯=例3：俗话说“三个臭皮匠，顶上一个诸葛亮”，从数学角度解释这句话的含义【知识点：相互独立事件乘法公式；数学思想：正难则反思想】分析：三个臭皮匠不妨命名为A,B,C ．假设三人解决某一问题的概率为0.5，且相互独立．诸葛亮解决该问题的概率为0.8．那么这三个臭皮匠至少有一人解决问题的概率为：1()10.50.50.50.8750.8p ABC -=-⨯⨯=>从数学角度解释名言，更能引起同学们的兴趣．激发他们上课的热情和积极性．例4：某商场推出二次开奖活动，凡购买一定价值的商品可以获得一张奖券．奖券上有一个兑奖号码，可以分别参加两次抽奖方式相同的兑奖活动．如果两次兑奖活动的中奖概率都是0.05，求两次抽奖中以下事件的概率：（1）都抽到某一指定号码；（2）恰有一次抽到某一指定号码；（3）至少有一次抽到某一指定号码；【知识点：相互独立事件乘法公式；数学思想：正难则反思想】详解：设“第一次抽奖抽到某一指定号码”为事件A ，“第二次抽奖抽到某一指定号码”为事件B ，“两次抽奖都抽到某一指定号码”为事件AB ．（1）由于两次抽奖结果互不影响，因此事件A 与B 相互独立．于是由独立性可得，两次抽奖抽到某一指定号码的概率为P (AB )=P (A )P (B )=0.05×0.05=0.0025．（2）“两次抽奖恰有一次抽到某一指定号码”可以用(A )()B AB 表示．由于事件B A B A 与互斥，根据概率的加法公式和相互独立事件的定义可得，所求事件的概率为095.005.0)05.01()05.01(05.0)()()()()()(=⨯-+-⨯=+=+B P A P B P A P B A P B A P （3）“两次抽奖至少有一次抽到某一指定号码”可以用()()()AB AB AB 表示．由于事件B A B A AB ,,两两互斥，根据概率的加法公式和相互独立事件的定义可得，所求事件的概率为0975.0095.00025.0)()()(=+=++B A P B A P AB P例5.已知某种高炮在它控制的区域内击中敌机的概率为0.2．（1）假定有5门这种高炮控制某个区域，求敌机进入这个区域后未被击中的概率；（2）要使敌机一旦进入这个区域后有0.9以上的概率被击中，需至少布置几门高炮？【知识点：相互独立事件乘法公式；数学思想：正难则反思想】分析：因为敌机被击中的就是至少有1门高炮击中敌机，故敌机被击中的概率即为至少有1门高炮击中敌机的概率解：（1）设敌机被第k 门高炮击中的事件为K A (k =1,2,3,4,5)，那么5门高炮都未击中敌机的事件为12345A A A A A ⋅⋅⋅⋅．∵事件1A ，2A ，3A ，4A ，5A 相互独立，∴敌机未被击中的概率为5512345123454()=()()()()()(10.2)5P A A A A A P A P A P A P A P A ⎛⎫⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=-= ⎪⎝⎭∴敌机未被击中的概率为5)54(．（2）至少需要布置n 门高炮才能有0.9以上的概率被击中，仿（1）可得：敌机被击中的概率为415n⎛⎫- ⎪⎝⎭∴令41()0.95n -≥，∴41()510n ≤ 两边取常用对数，得110.313lg 2n ≥≈- ∵+∈N n ，∴11n = ∴至少需要布置11门高炮才能有0.9以上的概率击中敌机点拨：上面例题的解法，都是解应用题的逆向思考方法采用这种方法在解决带有词语“至多”、“至少”的问题时的运用，常常能使问题的解答变得简便；3、课堂总结结合第一小节的知识梳理【知识梳理】【重点难点突破】(1)条件概率的计算方法有两种：①利用定义计算，先分别计算概率)(AB P 和)(A P ，然后代入公式)()()(A P AB P A B P =. ②利用缩小样本空间计算(局限在古典概型内)，即将原来的样本空间Ω缩小为已知的事件A ，原来的事件B 缩小为AB ，利用古典概型计算概率：)()()(A n AB n A B P =. （2）判定相互独立事件的方法①由定义，若)()()(B P A P AB P ⋅=，则B A 、独立．②有些事件不必通过概率的计算就能判定其独立性，如有放回的两次抽奖，由事件本身的性质就能直接判定出是否相互影响，从而得出它们是否相互独立．4、随堂检测1．在一段时间内，甲去某地的概率是14，乙去此地的概率是15，假定两人的行动相互之间没有影响，那么在这段时间内至少有1人去此地的概率是( )()A 320 ()B 15 ()C 25 ()D 920【知识点：相互独立事件乘法公式；数学思想：正难则反思想】答案 C2．从甲口袋内摸出1个白球的概率是13，从乙口袋内摸出1个白球的概率是12，从两个口袋内各摸出1个球，那么56等于（） ()A 2个球都是白球的概率 ()B 2个球都不是白球的概率()C2个球不都是白球的概率()D2个球中恰好有1个是白球的概率【知识点：相互独立事件乘法公式；数学思想：正难则反思想】答案 C3．电灯泡使用时间在1000小时以上概率为0.2，则3个灯泡在使用1000小时后坏了1个的概率是（）()A0.128 ()B0.096 ()C0.104 ()D0.384【知识点：相互独立事件乘法公式；】答案 B4．某道路的A、B、C三处设有交通灯，这三盏灯在一分钟内开放绿灯的时间分别为25秒、35秒、45秒，某辆车在这条路上行驶时，三处都不停车的概率是（）()A35192()B25192()C35576()D65192【知识点：相互独立事件乘法公式；】答案 A5．（1）将一个硬币连掷5次，5次都出现正面的概率是；（2）甲、乙两个气象台同时作天气预报，如果它们预报准确的概率分别是0.8与0.7，那么在一次预报中两个气象台都预报准确的概率是．【知识点：相互独立事件乘法公式；】答案(1) 132(2) 0.56（三）课后作业★基础型自主突破1.一个口袋中有黑球和白球各5个，从中连摸两次球，每次摸一个且每次摸出后不放回，用A 表示第一次摸得白球，B表示第二次摸得白球，则A与B是（）A、互斥事件B、不相互独立事件C、对立事件D、相互独立事件【知识点：相互独立事件、互斥事件】答案 B2.10件产品中有4件是次品，从10件产品中任取2件，恰好2件是正品或2件是次品的概率是（）A、225B、215C、13D、715【知识点：相互独立事件乘法公式；数学思想：分类谈论思想】答案 D3.加工某零件需要经过两道工序，第一道工序的废品率是0.01，第二道工序的废品率为0.02，设这两道工序是否出废品是彼此无关的，那么产品的合格率为（）A、0.9702B、0.9700C、0.9998D、0.9996【知识点：相互独立事件乘法公式；数学思想：正难则反思想】答案 A4.种植某种树苗，成活率为0.9，若种植这种树苗5棵，则恰好成活4棵的概率是（）A、0.33B、0.66C、0.5D、0.45【知识点：相互独立事件乘法公式】答案 B5.一射手对同一目标独立地射击四次，已知至少命中一次的概率为8081，则此射手每次击中的概率是（）A、13B、23C、14D、25【知识点：相互独立事件乘法公式；数学思想：正难则反思想】答案 C6.甲、乙两篮球运动员在罚球线投球的命中率分别是0.7和0.6，每人投球3次，则两人都投进2球的概率是_________．【知识点：相互独立事件乘法公式】答案0.19★★能力型师生共研7.甲、乙两人独立地解同一问题，甲解决这个问题的概率是p1，乙解决这个问题的概率是p2，那么恰好有1人解决这个问题的概率是（）A．p1p2B．p1(1－p2)＋p2(1－p1)C．1－p1p2D．1－(1－p1)(1－p2)【知识点：相互独立事件乘法公式；数学思想：分类讨论思想】答案 B8.（浙江）甲、乙两人进行乒乓球比赛，比赛规则为“3局2胜”，即以先赢2局者为胜．根据经验，每局比赛中甲获胜的概率为0．6，则本次比赛甲获胜的概率是（）(A ) 0．216 (B )0．36 (C )0．432 (D )0．648【知识点：相互独立事件乘法公式；数学思想：正难则反思想】答案 D9.一道数学竞赛试题，甲生解出它的概率为21，乙生解出它的概率为31，丙生解出它的概率为41，由甲、乙、丙三人独立解答此题只有一人解出的概率为______. 【知识点：相互独立事件乘法公式；数学思想：分类讨论思想】答案 2411 10.某学生参加一次选拔考试，有5道题，每题10分.已知他解题的正确率为53，若40分为最低分数线，则该生被选中的概率是________.【知识点：相互独立事件乘法公式；数学思想：分类讨论思想】答案 31251053 11.甲、乙、丙三人射击命中目标的概率分别为0.5,0.25,0.125,现三人同时射击一目标,则目标被命中的概率为________.【知识点：相互独立事件乘法公式；数学思想：正难则反思想】答案 6443 ★★★探究型多维突破12.荷花池中，有一只青蛙在成品字形的三片荷叶上跳来跳去(每次跳跃时，均从一片荷叶跳到另一个荷叶)，而且顺时针方向跳的概率是逆时针方向跳的概率的两倍，如图所示．假设现在青蛙在A 荷叶上，则跳三次之后停在A 荷叶上的概率是（）A.13 B.29 C.49 D.827答案 A【知识点：相互独立事件乘法公式；数学思想：分类讨论思想】13.在一个选拔项目中，每个选手都需要进行四轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答者进入下一轮考核，否则被淘汰．已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮问题的概率分别为5 6、45、34、13，且各轮问题能否正确回答互不影响．(1)求该选手进入第三轮才被淘汰的概率；(2)求该选手至多进入第三轮考核的概率；(3)该选手在考核过程中回答过的问题的个数记为X，求随机变量X的分布列．【知识点：相互独立事件乘法公式；数学思想：正难则反思想，分类讨论思想】答案：设事件A i(i＝1,2,3,4)表示“该选手能正确回答第i轮问题”，由已知P(A1)＝56，P(A2)＝45，P(A3)＝34，P(A4)＝13，(1)设事件B表示“该选手进入第三轮才被淘汰”，则P(B)＝P(A1A2A3)＝P(A1)P(A2)P(A3)＝56×45×(1－34)＝16.(2)设事件C表示“该选手至多进入第三轮考核”，则P(C)＝P(A1＋A1A2＋A1A2A3)＝P(A1)＋P(A1A2)＋P(A1A2A3)＝16＋56×15＋56×45×(1－34)＝12.(3)X的可能取值为1,2,3,4.P(X＝1)＝P(A1)＝1 6，P(X＝2)＝P(A1A2)＝56×(1－45)＝16，P(X＝3)＝P(A1A2A3)＝56×45×(1－34)＝16，P(X＝4)＝P(A1A2A3)＝56×45×34＝12，所以，X的分布列为自助餐1.已知事件A 、B 发生的概率都大于零，则（）A ．如果A 、B 是互斥事件，那么A 与B 也是互斥事件B ．如果A 、B 不是相互独立事件，那么它们一定是互斥事件C ．如果A 、B 是相互独立事件，那么它们一定不是互斥事件D ．如果A ＋B 是必然事件，那么它们一定是对立事件【知识点：相互独立事件、互斥事件】答案 C2．两个事件对立是这两个事件互斥的（）A ．充分但不是必要条件B ．必要但不是充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件【知识点：互斥事件、对立事件】答案 B3.打靶时，甲每打10次可中靶8次，乙每打10次可中靶7次，若两人同时射击一个目标，则它们都中靶的概率是（）A.35B.34C.1225D.1425【知识点：相互独立事件乘法公式】答案 D4.今有光盘驱动器50个，其中一级品45个，二级品5个，从中任取3个，出现二级品的概率为（）A ．35035C CB ．350352515C C C C ++ C ．3503451C C -D ．3501452524515C C C C C + 【知识点：相互独立事件乘法公式；数学思想：正难则反思想】答案 D5.甲、乙、丙3人投篮，投进的概率分别是13，25，12.现3人各投篮1次，则3人都没有投进的概率为（）A.115B.215C.15D.110【知识点：相互独立事件乘法公式】答案 C6．甲盒中有200个螺杆，其中有160个A 型的，乙盒中有240个上螺母，其中有180个A 型的，现从甲、乙两盒中各任取一个，则能配成A 型的螺栓概率为（）A ．201 B.1615 C ．53 D ．2019 【知识点：相互独立事件乘法公式】答案 C7.到成都旅游的外地游客中，若甲、乙、丙三人选择去武侯祠游览的概率均为35，且他们的选择互不影响，则这三人中至多有两人选择去武侯祠游览的概率为（）A.36125B.44125C.54125D.98125【知识点：相互独立事件乘法公式；数学思想：正难则反思想】答案 D8.位于坐标原点的一个质点P 按下列规则移动：质点每次移动一个单位移动的方向为向上或向右，并且向上和向右移动的概率都为21，质点P 移动5次后位于（2，3）的概率是（） A.5)21( B.525)21(C C.325)21(C D.53525)21(C C【知识点：相互独立事件乘法公式；数学思想：分类讨论思想】答案 B9.某市派出甲、乙两支球队参加全省足球冠军赛甲乙两队夺取冠军的概率分别是4173和．则该市足球队夺得全省冠军的概率是_________.【知识点：互斥事件加法公式】答案 2819 10.一个家庭中有两个小孩，求：(1)两个小孩中有一个是女孩的概率；(2)两个都是女孩的概率； (3)已知其中一个是女孩，另一个也是女孩的概率．【知识点：相互独立事件乘法公式；数学思想：正难则反思想】答案：设“家庭中有一个是女孩”为事件A ，“另一个也是女孩”为事件B ，则“两个都是女孩”为事件AB ，家庭中有两个小孩的情况有：男、男；男、女；女、男；女、女；共4种情况，因此n (Ù)＝4；其中有一个是女孩的情况有3种，因此n (A )＝3；其中两个都是女孩的情况有1种，因此n (AB )＝1.(1)由P (A )＝n (A )n (Ù)＝34，可得两个小孩中有一个是女孩的概率为34.(2)由P (AB )＝n (AB )n (Ù)＝14，可得两个都是女孩的概率为14.(3)由条件概率公式，可得P (B |A )＝P (AB )P (A )＝1434＝13或P (B |A )＝n (AB )n (A )＝13.因此，在已知其中一个是女孩，另一个也是女孩的概率为13.11.某零件从毛坯到成品，一共要经过六道自动加工工序，如果各道工序出次品的概率分别为0.01、0.02、0.03、0.03、0.05、0.05，那么这种零件的次品率是多少？【知识点：相互独立事件乘法公式；数学思想：正难则反思想】答案:设“第i 道工序出次品”为事件A i ，i ＝1,2,3,4,5,6，它们相互独立，但不互斥，所以出现次品的概率为P (A 1＋A 2＋A 3＋A 4＋A 5＋A 6)＝1－P (A －1·A －2·A －3·A －4·A －5·A －6)＝1－(1－0.01)·(1－0.02)·(1－0.03)2·(1－0.05)2＝0.176 1.12.甲、乙2个人独立地破译一个密码，他们能译出密码的概率分别为13和14，求：(1)2个人都译出密码的概率；(2)2个人都译不出密码的概率；(3)恰有1个人译出密码的概率；(4)至多1个人译出密码的概率；(5)至少1个人译出密码的概率．【知识点：相互独立事件乘法公式；数学思想：正难则反思想】答案: 记“甲独立地译出密码”为事件A ，“乙独立地译出密码”为事件B ，A ，B 为相互独立事件，且P (A )＝13，P (B )＝14.(1)“2 个人都译出密码”的概率为：P (A ·B )＝P (A )×P (B )＝13×14＝112.(2)“2个人都译不出密码”的概率为：P (A ·B )＝P (A )×P (B )＝[1－P (A )]×[1－P (B )]＝(1－13)(1－14)＝12. (3)“恰有1个人译出密码”可以分为两类：甲译出乙未译出以及甲未译出乙译出，且两个事件为互斥事件，所以恰有1个人译出密码的概率为：P (A ·B ＋A ·B )＝P (A ·B )＋P (A ·B )＝P (A )P (B )＋P (A )P (B )＝13(1－14)＋(1－13)×14＝512.(4)“至多1个人译出密码”的对立事件为“有2个人译出密码”，所以至多1个人译出密码的概率为：1－P (AB )＝1－P (A )P (B )＝1－13×14＝1112.(5)“至少1个人译出密码”的对立事件为“2个都未译出密码”，所以至少有1个人译出密码的概率为：1－P (A ·B )＝1－P (A )P (B )＝1－23×34＝12.。

高中数学选修2-3精品教案6：2.2.2 事件的相互独立性教学设计

2.2.2 事件的相互独立性整体设计教材分析概率论是研究和揭示随机现象规律性的数学分支．它的理论和方法渗透到现实世界的各个领域，应用极为广泛．而在概率论中，独立性是极其重要的概念，它的主要作用是简化概率计算．相互独立事件同时发生的概率与前面学习的等可能性事件、互斥事件有一个发生的概率，是三类典型的概率模型．将复杂问题分解为这三种基本形式，是处理概率问题的基本方法．因此，本节内容的学习，既是对前面所学知识的深化与拓展，又是提高学生解决现实问题能力的一种途径，更是加强学生应用意识的良好素材．在本节中引入独立性的概念主要是为了介绍二项分布的产生背景，为下一节起铺垫作用．课时分配1课时教学目标知识与技能理解两个事件相互独立的概念，能进行与事件独立性有关的概率的计算．过程与方法通过教学渗透由特殊到一般的数学思想，提高解决实际问题的能力．情感、态度与价值观通过对实例的分析，问题的探究，学会合作，提高学习数学的兴趣．重点难点教学重点：独立事件同时发生的概率．教学难点：有关独立事件发生的概率计算．教学过程引入新课我们知道求事件的概率有加法公式：若事件A与B互斥，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．那么怎么求A与B的积事件AB呢？回顾旧知：1．事件A与B至少有一个发生的事件叫做A与B的和事件，记为A∪B(或A＋B)；2．事件A 与B 都发生的事件叫做A 与B 的积事件，记为A ∩B (或AB )；如果事件A 1，A 2，…，A n 彼此互斥，那么P (A 1＋A 2＋…＋A n )＝P (A 1)＋P (A 2)＋…＋P (A n )．提出问题：甲果盘里有3个苹果，2个橙子，乙果盘里有2个苹果，2个橙子，从这两个果盘里分别摸出1个水果，它们都是苹果的概率是多少？活动结果：不妨设事件A ：“从甲果盘里摸出1个水果，得到苹果”；事件B ：“从乙果盘里摸出1个水果，得到苹果”．“从这两个果盘里分别摸出1个水果，它们都是苹果”是一个事件，它的发生，就是事件A ，B 同时发生，记作AB .(简称积事件)从甲果盘里摸出1个水果，有5种等可能的结果；从乙果盘里摸出1个水果，有4种等可能的结果．于是从这两个果盘里分别摸出1个水果，共有5×4种等可能的结果．同时摸出苹果的结果有3×2种．所以从这两个果盘里分别摸出1个水果，它们都是苹果的概率P (AB )＝3×25×4＝310. 探究新知提出问题：大家观察P (AB )与P (A )、P (B )有怎样的关系？活动结果：从甲果盘里摸出1个水果，得到苹果的概率P (A )＝35，从乙果盘里摸出1个水果，得到苹果的概率P (B )＝24.显然P (AB )＝P (A )P (B )．继续探究：事件A 、B 是否互斥？(不互斥)可以同时发生吗？(可以)事件A 是否发生对事件B 发生的概率有无影响？(无影响)探究结果：显然，事件A “从甲果盘里摸出1个水果，得到苹果”对事件B “从乙果盘里摸出1个球水果，得到苹果”没有影响，即事件A 的发生不会影响事件B 发生的概率．于是：P (B |A )＝P (B )，又P (B |A )＝P (AB )P (A )，易得：P (AB )＝P (A )P (B |A )＝P (A )P (B )．将上述问题一般化，得出如下定义：1．相互独立事件的定义：设A ，B 为两个事件，如果P (AB )＝P (A )P (B )，则称事件A 与事件B 相互独立(mutually independent)．理解新知事件A (或B )是否发生对事件B (或A )发生的概率没有影响，这样的两个事件就叫做相互独立事件．若A 与B 是相互独立事件，则A 与B ，A 与B ，A 与B 也相互独立．简证：若A 与B 是相互独立事件，则P (AB )＝P (A )P (B )．所以P (A B )＝P (A )－P (AB )＝P (A )－P (A )P (B )＝P (A )(1－P (B ))＝P (A )P (B )；P (A B )＝P (B )－P (AB )＝P (B )－P (A )P (B )＝(1－P (A ))P (B )＝P (A )P (B )；P (A B )＝P (A )－P (A B )＝P (A )－P (A )P (B )＝P (A )(1－P (B ))＝P (A )P (B )；即A 与B ，A 与B ，A 与B 也相互独立．教师指出：定义表明如果P (AB )＝P (A )P (B )，则称事件A 与事件B 相互独立，反之亦然．2．相互独立事件同时发生的概率：P (AB )＝P (A )P (B )．即两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积．类比：若事件A 与B 互斥，则P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )．提出问题：该结论能否推广到一般情形？P (A 1＋A 2＋…＋A n )＝P (A 1)＋P (A 2)＋…＋P (A n )．活动结果：一般地，如果事件A 1，A 2，…，A n 相互独立，那么这n 个事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，P (A 1A 2…A n )＝P (A 1)P (A 2)…P (A n )．运用新知例1已知诸葛亮解出问题的概率为0.8，臭皮匠老大解出问题的概率为0.5，老二为0.45，老三为0.4，且每个人必须独立解题，问三个臭皮匠中至少有一人解出的概率与诸葛亮解出的概率比较，谁大？设计意图：题目富有趣味性，激发学生兴趣，使其创造力得到进一步发挥．解：设“臭皮匠老大解出问题”为事件A，“老二解出问题”为事件B，“老三解出问题”为事件C，“诸葛亮解出问题”为事件D，则三个臭皮匠中至少有一人解出问题的概率为1－P(A B C)＝1－0.5×0.55×0.6＝0.835>0.8＝P(D)．所以，合三个臭皮匠之力解出问题的把握就大过诸葛亮．例2甲、乙二射击运动员分别对一目标射击1次，甲射中的概率为0.8，乙射中的概率为0.9，求：(1)2人都射中目标的概率；(2)2人中恰有1人射中目标的概率；(3)2人至少有1人射中目标的概率；(4)2人至多有1人射中目标的概率．解：记“甲射击1次，击中目标”为事件A，“乙射击1次，击中目标”为事件B，则A与B，A 与B，A与B，A与B为相互独立事件，(1)2人都射中的概率为：P(AB)＝P(A)P(B)＝0.8×0.9＝0.72，∴2人都射中目标的概率是0.72.(2)“2人各射击1次，恰有1人射中目标”包括两种情况：一种是甲射中、乙未射中(事件A B 发生)，另一种是甲未射中、乙射中(事件A B发生)．根据题意，事件A B与A B互斥，根据互斥事件的概率加法公式和相互独立事件的概率乘法公式，所求的概率为：P(A B)＋P(A B)＝P(A)P(B)＋P(A)P(B)＝0.8×(1－0.9)＋(1－0.8)×0.9＝0.08＋0.18＝0.26，∴2人中恰有1人射中目标的概率是0.26.(3)(法1)：“2人至少有1人射中”包括“2人都中”和“2人有1人不中”两种情况，其概率为P ＝P(AB)＋[P(A B)＋P(A B)]＝0.72＋0.26＝0.98.(法2)：“2人至少有一个射中”与“2人都未射中”为对立事件，2人都未射中目标的概率是P(A B)＝P(A)P(B)＝(1－0.8)(1－0.9)＝0.02，∴2人至少有1人射中目标的概率为P＝1－P(A B)＝1－0.02＝0.98.(4)(法1)：“至多有1人射中目标”包括“有1人射中”和“2人都未射中”，故所求概率为：P＝P(A B)＋P(A B)＋P(A B)＝P(A)P(B)＋P(A)P(B)＋P(A)P(B)＝0.02＋0.08＋0.18＝0.28.(法2)：“至多有1人射中目标”的对立事件是“2人都射中目标”，故所求概率为P＝1－P(AB)＝1－P(A)P(B)＝1－0.72＝0.28.变练演编在一段线路中并联着3个自动控制的常开开关，只要其中有1个开关能够闭合，线路就能正常工作．假定在某段时间内每个开关能够闭合的概率都是0.7，计算在这段时间内线路正常工作的概率．解：分别记这段时间内开关J A，J B，J C能够闭合为事件A，B，C.由题意，这段时间内3个开关是否能够闭合相互之间没有影响．根据相互独立事件的概率乘法公式，这段时间内3个开关都不能闭合的概率是P(A B C)＝P(A)P(B)P(C)＝[1－P(A)][1－P(B)][1－P(C)]＝(1－0.7)(1－0.7)(1－0.7)＝0.027.∴这段时间内至少有1个开关能够闭合，从而使线路能正常工作的概率是1－P(A B C)＝1－0.027＝0.973.答：在这段时间内线路正常工作的概率是0.973.变式1：如图添加第四个开关J D与其他三个开关串联，在某段时间内此开关能够闭合的概率也是0.7，计算在这段时间内线路正常工作的概率．([1－P(A B C)]·P(D)＝0.973×0.7＝0.681 1)变式2：如图两个开关串联再与第三个开关并联，在某段时间内每个开关能够闭合的概率都是0.7，计算在这段时间内线路正常工作的概率．方法一：P(A B C)＋P(A BC)＋P(A B C)＋P(ABC)＋P(AB C)＝P(A)P(B)P(C)＋P(A)P(B)P(C)＋P(A)P(B)P(C)＋P(A)P(B)P(C)＋P(A)P(B)P(C)＝0.847.方法二：分析要使这段时间内线路正常工作只要排除J C开且J A与J B至少有1个开的情况．则1－P(C)[1－P(AB)]＝1－0.3×(1－0.72)＝0.847.达标检测已知某种高炮在它控制的区域内击中敌机的概率为0.2.(1)假定有5门这种高炮控制某个区域，求敌机进入这个区域后未被击中的概率；(2)要使敌机一旦进入这个区域后有0.9以上的概率被击中，需至少布置几门高炮？分析：因为敌机被击中就是至少有1门高炮击中敌机，故敌机被击中的概率即为至少有1门高炮击中敌机的概率．解：(1)设“敌机被第k 门高炮击中”为事件为A k (k ＝1,2,3,4,5)，那么5门高炮都未击中敌机的事件为A 1A 2A 3A 4A 5 .∵事件A 1，A 2，A 3，A 4，A 5相互独立，∴敌机未被击中的概率为P (A 1A 2A 3A 4A 5 )＝P (A 1)P (A 2)P (A 3)P (A 4)P (A 5)＝(1－0.2)5＝(45)5. ∴敌机未被击中的概率为(45)5. (2)设至少需要布置n 门高炮才能有0.9以上的概率击中敌机，仿照(1)可得：敌机被击中的概率为1－(45)n ，∴令1－(45)n ≥0.9.∴(45)n ≤110. 两边取常用对数，得n ≥11－3lg2≈10.3. ∵n ∈N *，∴n ＝11.∴至少需要布置11门高炮才能有0.9以上的概率击中敌机．点评：逆向思考方法在解决带有词语“至多”、“至少”的问题时的运用，常常能使问题的解答变得简便．课堂小结1．一般地，两个事件不可能既互斥又相互独立，因为互斥事件不可能同时发生，而相互独立事件是以它们能够同时发生为前提．相互独立事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积，这一点与互斥事件的概率和也是不同的．(列表比较)互斥事件相互独立事件定义不可能同时发生的两个事件事件A 是否发生对事件B 发生的概率没有影响概率公式 P (A ＋B )＝P (A )＋P (B ) P (AB )＝P (A )P (B ) 2．解决概率问题的关键：分解复杂问题为基本的互斥事件与相互独立事件．补充练习基础练习1．袋中有2个白球，3个黑球，从中依次取出2个，则取出两个都是白球的概率是( )A.12B.25C.35D.1102．甲、乙、丙三人独立地去译一个密码，分别译出的概率为15，13，14，则此密码能译出的概率是( )A.160B.25C.35D.59603．两个篮球运动员在罚球时命中概率分别是0.7和0.6，每人投篮3次，则2人都恰好进2球的概率是________．【答案】1.D 2.C 3.0.190 512拓展练习某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而他随意地拨号，假设拨过了的号码不再重复，试求下列事件的概率：(1)第3次拨号才接通电话；(2)拨号不超过3次而接通电话．解：设A i ＝{第i 次拨号接通电话}，i ＝1,2,3.(1)第3次才接通电话可表示为A 1A 2A 3，于是所求概率为P (A 1A 2A 3)＝910×89×18＝110； (2)拨号不超过3次而接通电话可表示为：A 1＋A 1A 2＋A 1A 2A 3，于是所求概率为P (A 1＋A 1A 2＋A 1A 2A 3)＝P (A 1)＋P (A 1A 2)＋P (A 1A 2A 3)＝110＋910×19＋910×89×18＝310.。

2012高中数学人教新课标选修2-3第二章《事件的独立性》教案1

高中数学选修2-3修订教案2.2.2事件的独立性（第一课时）教学目标：了解两个事件相互独立的概念教学重点：了解两个事件相互独立的概念教学过程一、复习引入：1. 已知事件B 发生条件下事件A 发生的概率称为事件A 关于事件B 的条件概率，记作(|)P A B .2. 对任意事件A 和B ，若()0P B ≠，则“在事件B 发生的条件下A 的条件概率”，记作P(A | B)，定义为(|)P AB P A B P B （）＝（）二、讲解新课：1、引例：盒中有5个球其中有3个绿的2个红的，每次取一个有放回的取两次，设,,,,A B ==第一次抽取取到绿球第二次抽取取到绿球则3()()5P B A P B ==2、两个事件的独立性事件B 发生与否可能对事件A 发生的概率有影响，但也有相反的情况，即有时没有 (|)()P A B P A =. (1)这时，()()(|)()()P AB P B P A B P A P B ==⋅. 反过来，若()()()P AB P A P B =⋅, (2)则 ()()()(|)()()()P AB P A P B P A B P A P B P B ⋅===.这种情况称A 与B 独立. 当()0P B >时，(1)式与(2)式是等价的，一般情况下独立的定义来用(2)式，因为在形式上它关于A 与B 对称，且便于推广到n 个事件. (2)式也取消了()0P B >的条件. 事实上，若B =∅, 则()0P B =, 同时就有()0P AB =，此时不论A 是什么事件，都有(2)式，亦即任何事件都与∅独立. 同理任何事件也与必然事件Ω独立.注：1）实际应用中，如何判断两事件的独立性？实际应用中，对于事件的独立性，我们常常不是用定义来判断，而是由试验方式来判断试验的独立性，由试验的独立性来判断事件的独立性，或者说根据问题的实质，直观上看一事件的发生是否影响另一事件的概率来判断。