八年级数学辅导： 一次函数图象的几何变换
函数专题——-一次函数的图像和性质
教学过程一、课程导入画出y=-x与y=-x+2的图象，找出它们的相同点和不同点小结：直线y＝kx＋b可以看作由直线y＝kx平移___|b|__个单位而得到，当b＞0时，向___上__平移，当b＜0时，向___下__平移。
即k值相同时，直线一定平行。
二、 复习预习①如图〔l 〕所示，当k ＞0，b ＞0时，直线经过第一、二、三象限〔直线不经过第四象限〕；②如图〔2〕所示，当k ＞0，b ﹥O 时，直线经过第一、三、四象限〔直线不经过第二象限〕；③如图〔3〕所示，当k ﹤O ，b ＞0时，直线经过第一、二、四象限〔直线不经过第三象限〕；④如图〔4〕所示，当k ﹤O ，b ﹤O 时，直线经过第二、三、四象限〔直线不经过第一象限〕．k ＞0时，y 的值随x 值的增大而增大；当k<0时， y 的值随x 值的增大而减小；一次函数y ＝kx ＋b 的图象为 一条直线，与坐标轴的交点分别为)0.(k b ，(0，b)．它的倾斜程度由k 决定，b 决定该直线与y 轴交点的位置.三、知识讲解考点1 一次函数图象上点的坐标特征1、一次函数y ＝kx ＋b 的图象为一条直线，与坐标轴的交点分别为)0.(kb ，(0，b)．它的倾斜程度由k 决定，b 决定该直线与y 轴交点的位置．2、正比例函数图象上的点的坐标特征，经过函数的某点一定在函数的图象上，一定满足函数的解析式．根据正比例函数的定义，知xy 是定值． 3、经过函数的某点一定在函数的图象上．在这条直线上的各点的坐标一定适合这条直线的解析式．考点2 一次函数图像的平移上加下减〔b〕，左加右减〔x〕直线y＝kx＋b可以看作由直线y＝kx平移___|b|__个单位而得到，当b＞0时，向___上__平移，当b＜0时，向___下__平移。
即k值相同时，直线一定平行。
考点3 待定系数法求一次函数关系式先设待求函数关系式〔其中含有未知的常数系数〕，再根据条件列出方程或方程组，求出未知系数，从而得到所求结果的方法，叫做待定系数法。
一次函数图象的变换
一次函数图象的变换（一）——平移求一次函数图像平移后的解析式是一类重要题型，同学们在做时经常做错，下面我介绍一种简便的方法：抓住点的坐标变化解决问题。
知识点：“已知一个点的坐标和直线的斜率 k，我们就可以写出这条直线的解析式”。
我们知道：y =kx+b经过点（0，b)，而（0，b)向上平移m个单位得到点（0，b+m)，向下平移m个单位得到点（0，b－m)，向左平移m个单位得到点（0－m，b)，向右平移m个单位得到点（0+m，b )，直线y =kx+b平移后斜率不变仍然是k，设出平移后的解析式为y =kx+ h,把平移后得到的点的坐标带入这个解析式求出h，就可以求出平移后直线的解析式。
下面我们通过例题的讲解来反馈知识的应用：例1：把直线y=2x-1向右平移1个单位，求平移后直线的解析式。
分析:y=2x-1经过点（0，-1），向右平移1个单位得到（1，-1）。
平移后斜率不变，即k=2，所以可以设出平移后的解析式为y =2x+ h，再将点（1，-1）代入求出解析式中的h，就可以求出平移后直线的解析式。
解：设平移后的直线解析式为y=2x+h点（0，-1）在y=2x-1上，向右平移1个单位得到（1，-1），将点（1，-1）代入y=2x+h中得：-1=2×1+hh=-3所以平移后直线的解析式为y=2x-3例2：把直线y=2x-1向上平移3个单位，再向右平移1个单位，求平移后直线的解析式。
分析：点（0，-1）在直线y=2x-1上，当直线向上平移3个单位，点变为（0，-1+3），即为（0,2）；再向右平移1个单位后，点（0，2）变为点（0+1，2），即点变为（1,2）。
设出平移后的解析式为y =kx+h，根据斜率k =2不变，以及点（1,2）就可以求出h,从而就可以求出平移后直线的解析式。
解：设平移后的直线解析式为y=2x+h.易知点（0，-1）在直线y=2x-1上，则此点按要求平移后的点为：平移后得到的点（1,2）在直线y=2x+h 上则：2=2×1+hh=0所以平移后的直线解析式为y=2x总结：求直线平移后的解析式时，只要找出一个点坐标，求出按要求平移后此点的坐标变为多少，再根据斜率不变和变化后的点来求解析式。
初二数学必备一次函数的性质与应用
初二数学必备一次函数的性质与应用在初二数学的学习中，一次函数是一个非常重要的知识点。
它不仅在数学学科中有着广泛的应用，还与我们的实际生活息息相关。
接下来，让我们一起深入了解一次函数的性质与应用，为我们的数学学习打下坚实的基础。
一、一次函数的定义形如 y ＝ kx ＋ b（k、b 为常数，k ≠ 0）的函数，叫做一次函数。
其中，k 被称为斜率，b 被称为截距。
当 b ＝ 0 时，一次函数就变成了正比例函数 y ＝ kx。
二、一次函数的图像一次函数的图像是一条直线。
当 k ＞ 0 时，直线从左到右上升；当k ＜ 0 时，直线从左到右下降。
b 的值决定了直线与 y 轴的交点，当 x＝ 0 时，y ＝ b，所以直线与 y 轴交于点(0, b)。
例如，函数 y ＝ 2x ＋ 1，k ＝ 2 ＞ 0，所以图像是一条上升的直线，b ＝ 1，直线与 y 轴交于点(0, 1)。
三、一次函数的性质1、增减性当 k ＞ 0 时，函数值 y 随自变量 x 的增大而增大；当 k ＜ 0 时，函数值 y 随自变量 x 的增大而减小。
比如说，在函数 y ＝ 3x 5 中，因为 k ＝ 3 ＞ 0，所以当 x 逐渐增大时，y 的值也会随之增大。
2、与坐标轴的交点令 y ＝ 0，可求得一次函数与 x 轴的交点坐标为(b/k, 0)；令 x ＝ 0，可求得与 y 轴的交点坐标为(0, b)。
以函数 y ＝－2x ＋ 4 为例，令 y ＝ 0，可得－2x ＋ 4 ＝ 0，解得 x ＝ 2，所以与 x 轴的交点为(2, 0)；令 x ＝ 0，可得 y ＝ 4，所以与 y 轴的交点为(0, 4)。
四、一次函数的应用1、行程问题在行程问题中，一次函数可以用来描述速度、时间和路程之间的关系。
比如，一辆汽车以 60 千米/小时的速度匀速行驶，行驶的路程 y（千米）与行驶时间 x（小时）之间的关系就可以用一次函数 y ＝ 60x 来表示。
2、销售问题假设某种商品的单价为 p 元，销售量为 x 件，总销售额为 y 元。
一次函数图像的平移变换
一次函数图像的平移变换一次函数又称为线性函数，表示为y = kx + b。
其中，k为斜率，b为截距。
在数学中，我们经常会遇到需要对一次函数的图像进行平移变换的情况。
本文将介绍一次函数图像的平移变换及其相关概念和公式。
1. 平移变换的概念和基本原理平移变换是指将函数图像沿着横轴或纵轴方向平移一定的单位长度。
当对一次函数进行平移变换时，只需考虑平移的距离和方向。
2. 沿横轴的平移变换当对一次函数图像沿横轴正方向平移h个单位长度时，函数表达式中的x值需要减去h。
即新的函数表达式为y = k(x - h) + b。
同样地，当对一次函数图像沿横轴负方向平移h个单位长度时，函数表达式中的x值需要增加h。
3. 沿纵轴的平移变换当对一次函数图像沿纵轴正方向平移v个单位长度时，函数表达式中的y值需要增加v。
即新的函数表达式为y = kx + (b + v)。
同样地，当对一次函数图像沿纵轴负方向平移v个单位长度时，函数表达式中的y值需要减去v。
4. 示例和应用为了更好地理解一次函数图像的平移变换，我们来看一个具体的示例。
假设有一条一次函数的图像，其函数表达式为y = 2x + 3。
我们对该函数图像进行以下平移变换：- 沿横轴正方向平移2个单位长度；- 沿纵轴负方向平移3个单位长度。
对于沿横轴的平移，我们将函数表达式中的x值减去2，得到新的函数表达式y = 2(x - 2) + 3。
这个新的函数表示了原函数向右平移2个单位长度后的图像。
对于沿纵轴的平移，我们将函数表达式中的y值减去3，得到新的函数表达式y = 2x + (3 - 3)。
这个新的函数表示了原函数向下平移3个单位长度后的图像。
通过对一次函数图像的平移变换，我们可以改变函数图像在平面坐标系中的位置，从而更灵活地应用于实际问题中。
5. 总结一次函数图像的平移变换是一种常见的数学操作，通过改变函数表达式中的自变量或因变量来实现。
沿横轴的平移变换可以通过调整函数表达式中的x值实现，而沿纵轴的平移变换可以通过调整函数表达式中的y值实现。
一次函数的图象(知识梳理与考点分类讲解)-八年级数学上册基础知识专项突破讲与练(北师大版)
专题4.11一次函数的图象（知识梳理与考点分类讲解）【知识点1】一次函数的图象一次函数的图象：一次函数(0)y kx b k =+≠的图象是一条恒经过点(0,)b 和(,0)b k-的直线.【知识点2】一次函数图象和性质y =kx +b 图像经过象限升降趋势增减性k ＞0，b ＞0一、二、三从左向右上升y 随着x 的增大而增大k ＞0，b ＜0一、三、四k ＜0，b ＞0一、二、四从左向右下降y 随着x 的增大而减小k ＜0，b ＜0二、三、四【知识点3】一次函数的图象与k、b 之间的联系①b 决定直线与y 轴的交点位置0b >时，直线交y 轴于正半轴；0b <时，直线交y 轴于负半轴；0b =时，直线经过原点.②0k >⇔直线上坡，y 随x 的增大而增大；0k <⇔直线下坡，y 随x 的增大而减小.③k 越大，直线越陡.【知识点4】确定一次函数表达式（1）待定系数法步骤：设：设函数表达式为(0)y kx b k =+≠；代：将已知点的坐标代入函数表达式，解方程或方程组；解：求出k 与b 的值，得到函数表达式．（2）常见类型①已知两点确定表达式；②已知两对函数对应值确定表达式；③平移转化型：如已知函数是由y=2x 平移所得到的，且经过点（0,1），则可设要求函数的解析式为y =2x +b ，再把点（0,1）的坐标代入即可.【知识点5】图象的平移一次函数y kx b =+向左平移m 个单位后的解析式为()y k x m b =++；一次函数y kx b =+向右平移m 个单位后的解析式为()y k x m b =-+；一次函数y kx b =+向上平移m 个单位后的解析式为y kx b m =++；一次函数y kx b =+向上平移m 个单位后的解析式为y kx b m =+-.平移规律：左加右减，上加下减.【知识点6】两条直线间的位置关系设直线111:l y k x b =+，222:l y k x b =+.(1)12k k ≠⇔相交；（2）1212k k b b =⎧⇔⎨≠⎩平行；（3）121k k =-⇔ 垂直.补充：若直线y kx b =+经过11(,)A x y ，22(,)B x y 12()x x ≠两点，则1212y y k x x -=-.【考点一】一次函数的图象及其位置【例1】（2022秋·陕西西安·八年级校考期中）已知一次函数(21)2y a x a =-+-（a 为常数）．（1）若这个函数的图象经过原点，求a 的值；（2）若1a =，直接写出这个函数图象经过的象限．【答案】（1）2a =；（2）当1a =时，函数图象经过一、三、四象限【分析】（1）y kx b =+经过原点则0b =，据此求解；（2）把1a =代入(21)2y a x a =-+-，得1y x =-，根据10k =>，10b =-<即可得出结论．（1）解：因为(21)2y a x a =-+-经过原点，所以20a -=，解得2a =．（2）解：当1a =时，则(21)21y a x a x =-+-=-∵10k =>，10b =-<，∴函数图象经过一、三、四象限．【点拨】本题考查了一次函数的图象性质，掌握一次函数的图象性质是解答本题的关键，难度不大．【举一反三】【变式1】（2023春·四川德阳·八年级统考阶段练习）在同一平面直角坐标系中，函数y kx b =-与y bx k =+的图像不可能是（）A ．B ．C ．D ．【答案】C【分析】分四种情况，根据k 、b 的符号，确定一次函数经过的象限，结合函数图象与选项进行判断即可．解：当0k >，0b >时，对于y kx b =-，图像经过第一，三，四象限，则y bx k =+经过一，二，三象限，则选项D 符合题意；当0k >，0b <时，对于y kx b =-，图像经过第一，二，三象限，则y bx k =+经过一，二，四象限，题目中没有符合的；当0k <，0b >时，对于y kx b =-，图像经过第二，三，四象限，则y bx k =+经过一，三，四象限，则选项B 符合题意；；当0k <，0b <时，对于y kx b =-，图像经过第一，二，四象限，则y bx k =+经过二，三，四象限，则选项A 符合题意；．故选：C ．【点拨】此题主要考查了一次函数的性质与图像，正确记忆一次函数图像经过象限与系数关系是解题关键．【变式2】（2023春·山东菏泽·八年级统考期末）已知一次函数2y x b =+的图象经过第一、三、四象限，则函数y bx b =-的图象经过的象限是．【答案】一、二、四【分析】先根据一次函数2y x b =+的图象经过第一、三、四象限判断b 的取值范围，再判断函数y bx b =-的图象经过的象限．解：∵一次函数2y x b =+的图象经过第一、三、四象限，∴0b <，0b ->，∴函数y bx b =-的图象经过一、二、四象限．故答案为：一、二、四．【点拨】本题考查了一次函数的图象与性质，对于一次函数y kx b =+（k 为常数，0k ≠），当0k >时，y 随x 的增大而增大；当0k <时，y 随x 的增大而减小．当0b >，图象与y 轴的正半轴相交，当0b <，图象与y 轴的负半轴相交，当0b =，图象经过原点．【考点二】一次函数与坐标轴交点【例2】（2023春·陕西商洛·八年级校考期末）如图，直线22y x =-+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ．（1）求点A ，B 的坐标．（2）若点C 在x 轴上，且2ABC AOB S S = ，求点C 的坐标．【答案】（1）(0,2)B ，(1,0)A ；（2）(3,0)或(1,0)-【分析】（1）当0x =时求解y 的值及当0y =时求解x 的值即可求解．（2）由（1）得2OB =，1OA =，根据2ABC AOB S S = 可得22AC OA ==，进而可求解．（1）解：当0x =时，2y =，∴点B 的坐标为：(0,2)，当0y =时，1x =，∴点A 的坐标为：(1,0)．（2）由（1）得：2OB =，1OA =，则：11222OA OB AC OB ⨯⋅=⋅，即：22AC OA ==，∴点C 的坐标为：(3,0)或(1,0)-．【点拨】本题考查了一次函数的图象，熟练掌握一次函数的图象是解题的关键．【举一反三】【变式1】（2022秋·陕西西安·八年级校考期中）如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数()11110y k x b k =+≠与()22220y k x b k =+≠的图象分别为直线1l 和直线2l ，下列结论正确的是（）A ．120k k > B ．120k k ->C ．120b b +<D ．12·0b b >【答案】B 【分析】根据图示，可得110,0k b >>，220,0k b <<，根据不等式的性质即可求解．解：根据图示，可知一次函数()11110y k x b k =+≠中，110,0k b >>；一次函数()22220y k x b k =+≠中，220,0k b <<，∴A 、12·0k k <，故原选项错误，不符合题意；B 、∵120,0k k ><，∴120k k ->，故原选项正确，符合题意；C 、∵120,0b b ><，且12b b >，∴120b b +>，故原选项错误，不符合题意；D 、∵120,0b b ><，∴120b b < ，故原选项错误，不符合题意；故选：B ．【点拨】本题主要考查一次函数图象的性质，掌握一次函数图象的性质，不等式的性质是解题的关键．【变式2】（2023秋·四川成都·八年级校考阶段练习）如图，直线24y x =+与x 轴、y 轴交于点A 、B ，M 、N 分别是AB 、OA 的中点，点P 是y 轴上一个动点，当PM PN +的值最小时，点P 的坐标为．【答案】()0,1【分析】先求出,A B 的坐标，根据中点，得到,M N 的坐标，求出点N 关于y 轴的对称点N '的坐标，连接MN '，根据两点之间线段最短，得到MN '与y 轴的交点即为点P ，求出MN '的解析式，即可．解：∵24y x =+，当0x =时，4y =，当0y =时，2x =-，∴()()2,0,0,4A B -，∵M 、N 分别是AB 、OA 的中点，∴()()1,2,1,0M N --，∴点N 关于y 轴的对称点N '为()1,0，连接,MN PN ''，∵点P 是y 轴上一个动点，∴PM PN PM PN MN ''+=+≥，∴当,,P M N '三点共线时，PM PN +的值最小，设直线MN '的解析式为y kx b =+，则：20k b k b -+=⎧⎨+=⎩，∴11k b =-⎧⎨=⎩，∴1y x =-+，当0x =时，1y =，∴()0,1P ；故答案为：()0,1．【点拨】本题考查一次函数，坐标与轴对称．解题的关键是掌握将军饮马模型，确定点P 的位置．【考点三】一次函数图象的平移【例3】（2023春·福建福州·八年级校考期末）已知一次函数2y x =-．（1）在平面直角坐标系中，画出该函数图象；（2）把该函数图象向上平移3个单位，判断点()3,2--是否在平移后的函数图象上．【答案】（1）见分析；（2）在【分析】（1）根据函数图象与x ，y 轴的坐标交点坐标，画出图象即可；（2）根据平移的特点得出解析式，进而解答．（1）解：列表：x 20y02-过点()2,0和点()0,2-画出直线2y x =-，；（2）解：把函数2y x =-图象向上平移3个单位，得函数的解析式为1y x =+，当3x =-时，312y =-+=-，∴点()3,2--在平移后的直线上．【点拨】本题考查一次函数与几何变换，关键是根据函数图象与x ，y 轴的坐标交点画出图象．【举一反三】【变式1】（2022·陕西西安·校考模拟预测）将正比例函数y x =向上平移1个单位长度，则平移后的函数图象与一次函数3y x m =-+的图象的交点不可能在（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D【分析】首先求得平移后的一次函数的解析式为1y x =+，根据函数1y x =+不经过第四象限，即可得出结论．解：将正比例函数y x =向上平移1个单位长度得到1y x =+，一次函数1y x =+经过第一、二、三象限，不经过第四象限，∴平移后的函数图象与一次函数3y x m =-+的图象的交点不可能在第四象限，故选：D ．【点拨】本题考查的是一次函数的性质及一次函数的图象与几何变换，熟知一次函数的性质及函数图象平移的法则是解答此题的关键．【变式2】（2023春·八年级课时练习）如图，在平面直角坐标系中，直线12125y x =-+，与y x 、轴分别相交于A B 、两点，将AOB 沿过点B 的直线折叠，使点A 落在x 轴负半轴上的点A '处，，折痕所在直线交y 轴正半轴于点C ．把直线AB 向左平移，使之经过点C ，则平移后直线的函数关系式是．【答案】121053y x =-+【分析】先求得A B 、的坐标，然后由勾股定理求出AB ，再由折叠的性质得出13A B AB '==，求得()8,0A '-，在Rt A OC '△中，根据勾股定理222A C OC A O ''=+，列出方程，解方程即可求得点C 的坐标，即可求得平移后的解析式．解：∵直线12125y x =-+，与y x 、轴分别相交于A B 、两点，令0x =，解得12y =，令0y =，解得5x =，∴()0,12A ，()5,0B ，∴125OA OB ==，，∵90AOB A OC '∠=∠=︒，∴13AB =，∴13A B AB '==，∴()8,0A '-，设OC x =，∴12A C AC x '==-，在Rt A OC '△中，222A C OC A O ''=+，即()222128x x -=+，解得103x =，∴100,3C ⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴平移后的直线的解析式为121053y x =-+．故答案为：121053y x =-+【点拨】本题考查了勾股定理与折叠的性质，一次函数的平移，一次函数与坐标轴的交点，求得点C 的坐标是解题的关键．【考点四】一次函数图象的增减性➼➻求参数★★判断位置【例4】（2019春·广西贵港·八年级统考期末）已知一次函数(21)2y a x a =-+-.（1）若这个函数的图象经过原点，求a 的值.（2）若这个函数的图象经过一、三、四象限，求a 的取值范围.【答案】（1）2a =；（2）122a <<【分析】（1）y=kx+b 经过原点则b=0，据此求解；（2）y=kx+b 的图象经过一、三、四象限，k ＞0，b ＜0，据此列出不等式组求解即可．解：（1）由题意得，20a -=，∴2a =．（2）由题意得21020a a ->⎧⎨-<⎩，，解得122a <<，∴a 的取值范围是122a <<．【点拨】考查了一次函数的性质，了解一次函数的性质是解答本题的关键．【举一反三】【变式1】（2022·四川眉山·中考真题）一次函数(21)2y m x =-+的值随x 的增大而增大，则点(,)P m m -所在象限为（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B【分析】根据一次函数的性质求出m 的范围，再根据每个象限点的坐标特征判断P 点所处的象限即可．解：∵一次函数(21)2y m x =-+的值随x 的增大而增大，∴210m ->解得：12m >∴(,)P m m -在第二象限故选：B【点拨】本题考查了一次函数的性质和各个象限坐标特点，能熟记一次函数的性质是解此题的关键．【变式2】（2023春·安徽池州·八年级统考开学考试）如图，平面直角坐标系中，△ABC 的顶点坐标分别是A （1，1），B （3，1），C （2，2），当直线y ＝12x ＋b 与△ABC 有交点时，b 的取值范围是．【答案】112b -≤≤【分析】将A （1，1），B （3，1），C （2，2）的坐标分别代入直线y ＝12x ＋b 中求得b 的值，再根据一次函数的增减性即可得到b 的取值范围．解：直线y ＝12x ＋b 经过点B ，将B （3，1）代入直线y ＝12x ＋b 中，可得3+=12b ，解得12b =-；直线y ＝12x ＋b 经过点A ，将A （1，1）代入直线y ＝12x ＋b 中，可得1+=12b ，解得12b =；直线y ＝12x ＋b 经过点C ，C （2，2）代入直线y ＝12x ＋b 中，可得1+=2b ，解得1b =；故b 的取值范围是112b -≤≤．故答案为：112b -≤≤【点拨】本题考查一次函数图象上的点的特征，待定系数法等知识，解题的关键是应用数形结合思想，属于中考常考题型．【考点五】一次函数图象的增减性➼➻求最值【例5】（2023春·江苏淮安·八年级统考期末）学习“一次函数”时，我们从“数”和“形”两方面研究一次函数的性质，并积累了一些经验和方法．小聪同学尝试运用积累的经验和方法对函数|1|2y x =--的图像与性质进行探究，下面是小聪同学的探究过程，请你补充完整．（1）列表：x (2)-1-01234…y…10a2-1-b1…则=a _________，b =_________．（2）描点并画出该函数的图像；（3）①请写出一条关于函数|1|2y x =--的性质：__________________；②观察函数图像，当24y <<时，x 的取值范围是_________；③观察图像，直接写出函数|1|2y x =--的最小值_________．【答案】（1）1-，0；（2）见分析；（3）①当1x >时，y 随x 的增大而增大（答案不唯一）；②53x -<<-或57x <<；③2-【分析】（1）直接将0x =、3x =分别代入函数|1|2y x =--中求解即可；（2）根据描点法画函数出图像即可；（3）①可根据图像的对称性、增减性等方面得出函数的性质即可；②根据图像的增减性可求解；③根据图像的最低点可求得该函数的最小值．（1）解：由表格知，当0x =时，0121a =--=-，当3x =时，3120b =--=，故答案为：1-，0；（2）解：根据所给表格数据，在平面直角坐标系中描点、连线，则函数|1|2y x =--图像如图所示：（3）解：①根据图像，当1x >时，y 随x 的增大而增大，或函数|1|2y x =--关于直线1x =对称，等，故答案为：当1x >时，y 随x 的增大而增大（答案不唯一）；②根据图像，当1x >时，y 随x 的增大而增大，当1x <时，y 随x 的增大而减小，当2y =时，由|1|22x --=得3x =-或5x =，当4y =时，由|1|24x --=得5x =-或7x =，∴当24y <<时，x 的取值范围是53x -<<-或57x <<，故答案为：53x -<<-或57x <<；③由图像知，当1x =时，函数|1|2y x =--取得最小值，最小值为2-，故答案为：2-．【点拨】本题考查一次函数的图像与性质，理解题意，能从函数图像得出所需信息是解答的关键．【举一反三】【变式1】（2021春·全国·八年级专题练习）设0＜k ＜2，关于x 的一次函数y=（k-2）x+2，当1≤x≤2时，y 的最小值是（）A ．2k-2B ．k-1C ．kD ．k+1【答案】A【分析】先根据0＜k ＜2判断出k-2的符号，进而判断出函数的增减性，根据1≤x≤2即可得出结论．解：∵0＜k ＜2，∴k-2＜0，∴此函数是减函数，∵1≤x≤2，∴当x=2时，y 最小=2（k-2）+2=2k-2．故选A ．【点拨】本题考查的是一次函数的性质，熟知一次函数y=kx+b （k≠0）中，当k ＜0，b ＞0时函数图象经过一、二、四象限是解答此题的关键．【变式2】（2023春·天津滨海新·八年级校考期末）已知一次函数23y x =-+，当05x ≤≤时，函数y 的最大值是．【答案】3【分析】根据20-<知道一次函数23y x =-+是单调递减函数，即y 随x 的增大而减小，代入计算即可得到答案．解：∵20-<，∴一次函数23y x =-+是单调递减函数，即y 随x 的增大而减小，∴当05x ≤≤时，在0x =时y 取得最大值，即：当05x ≤≤时，y 的最大值为：max 0(2)33y =⨯-+=，故答案为：3．【点拨】本题主要考查了一次函数的性质，一次函数y kx b =+，当0k <时y 随x 的增大而减小，0k >时，y 随x 的增大而增大；掌握一次函数的性质是解题的关键．【考点六】一次函数图象的增减性➼➻比较大小【例6】（2023春·全国·八年级专题练习）已知一次函数24y x =-+．（1）在平面直角坐标系中画出该函数的图象；（2）若3n >，点()13C n y +，，()221D n y +，都在一次函数24y x =-+的图象上，试比较1y 与2y 的大小，并说明理由．【答案】（1）见分析；（2）12y y >，理由见分析【分析】（1）求出一次函数24y x =-+图象与坐标轴的交点坐标，过这两点的直线即为该函数的图象；（2）由函数解析式可判断该函数y 随x 的增大而减小，又可判断213n n +>+，即可确定12y y >．解：（1）对于24y x =-+，当0y =时，即240x -+=，∴2x =；当0x =时，即4y =．∴函数24y x =-+的图象经过点（2，0）、（0，4）；∴函数24y x =-+的图象如图所示．（2）∵3n >，∴()()21320n n n +-+=->，∴213n n +>+．∵24y x =-+，20k =->，∴y 随x 的增大而减小．∵点()13C n y +，，()221D n y +，都在一次函数24y x =-+的图象上，∴12y y >．【点拨】本题考查画一次函数的图象，一次函数的增减性．熟练掌握一次函数的性质是解题关键．【举一反三】【变式1】（2022春·河北邯郸·八年级校考阶段练习）已知点（－2，1y ），（－1，2y ），（1，3y ）都在直线y ＝－x ＋7上，则1y ，2y ，3y 的大小关系是（）A ．1y ＞2y ＞3yB ．1y ＜2y ＜3y C ．3y ＞1y ＞2y D ．3y ＜1y ＜2y 【答案】A【分析】判断-2＜-1＜1，根据一次函数的性质，得到结论．解：∵直线y ＝－x ＋7中k =-1＜0，∴y 随x 的增大而减小，∵点（－2，1y ），（－1，2y ），（1，3y ）都在直线y ＝－x ＋7上，且-2＜-1＜1，∴1y ＞2y ＞3y ，故选A ．【点拨】本题考查了一次函数的增减性，熟练掌握性质是解题的关键．【变式2】（2023春·广东湛江·八年级校考期中）若()11,A x y ，()22,B x y 分别是一次函数45y x =-+图象上两个不相同的点，记()()1212W x x y y =--，则W0．（请用“＞”，“＝”或“＜”填写）【答案】＜【分析】根据一次函数的性质进行判断即可得到答案．解：∵一次函数45y x =-+，y 随x 增大而减小，∴当12x x <时，12y y >，∴12120,0x x y y --<>，∴()()12120W x x y y =--<，当12x x >时，12y y <，∴12120,0x x y y --><，∴()()12120W x x y y =--<，故答案为：＜．【点拨】本题考查一次函数的性质，解题的关键是熟知一次函数的图形性质．【考点七】一次函数的图象➼➻一次函数与一元一次方程【例7】（2019春·广东江门·八年级阶段练习）如图，已知直线l 1：y=2x+3，直线l 2：y=﹣x+5，直线l 1、l 2分别交x 轴于B 、C 两点，l 1、l 2相交于点A ．（1）求A 、B 、C 三点坐标；（2）求△ABC 的面积．【答案】（1）A （23，133），B （3,02-）,C （5,0）（2）16912解：（1）由题意得，令直线l 1、直线l 2中的y 为0，得：x 1=-，x 2=5，由函数图象可知，点B的坐标为（-，0），点C的坐标为（5，0），∵l1、l2相交于点A，∴解y=2x+3及y=-x+5得：x=，y=∴点A的坐标为（，）；（2）由（1）题知：|BC|=，又由函数图象可知S△ABC=×|BC|×|y A|=××=【举一反三】【变式1】（2022秋·辽宁丹东·八年级校考期中）如图所示，已知点A（﹣1，2）是一次函数y＝kx+b （k≠0）的图象上的一点，则下列判断中正确的是（）A．y随x的增大而减小B．k＞0，b＜0C．当x＜0时，y＜0D．方程kx+b＝2的解是x＝﹣1【答案】D【分析】根据一次函数的性质判断即可．解：由图象可得：A、y随x的增大而增大；B、k＞0，b＞0；C、当x＜0时，y＞0或y＜0；D、方程kx+b＝2的解是x＝﹣1，故选：D．【点拨】考查了一次函数与一元一次方程的关系，一次函数图象与系数的关系，正确的识别图象是解题的关键．【变式2】（2023秋·全国·八年级专题练习）如图，直线2y x =与=+y kx b 相交于点(,2)p m ，则关于x的方程2kx b +=的解是.【答案】=1x 【分析】首先利用函数解析式2y x =求出m 的值，然后再根据两函数图象的交点横坐标就是关于x 的方程2kx b +=的解可得答案．解： 直线2y x =与=+y kx b 相交于点(),2P m ，22m ∴=，1m ∴=，()1,2P ∴，∴当=1x 时，2y kx b =+=，∴关于x 的方程2kx b +=的解是=1x ，故答案为：=1x ．【点拨】此题主要考查了一次函数与一元一次方程，关键是求得两函数图象的交点坐标．。
人教版八年级下册数学 第19章《一次函数》讲义 第20讲 一次函数的图象及性质(2)
第20讲一次函数的图象及性质（2）（1）、判定点是否在函数图象上（或函数图象是否经过点）的方法：将这个点的横坐标代入函数解析式，得到的函数值如果等于点的纵坐标，这个点就在函数的图象上，如果不满相等，这个点就不在其函数的图象上．（2）、是经过（，0）与（0，b）两点的直线。
因此一次函数y=kx＋b的图象也称为直线y=kx＋b（3）、（，0）是直线与x轴的交点坐标，（0，b）是直线与y轴的交点坐标。
这两．．点也是求直线与坐标轴围成的三角形面积时要用．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．到的两点描点法画函数图形的一般步骤（通常选五点法）第一步：列表（根据自变量的取值范围从小到大或从中间向两边取值）；第二步：描点（在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点）；第三步：连线（按照横坐标由小到大的顺序把所描出的各点用平滑曲线连接起来）。
（1）直线y=k1x+b1与y=k2x+b2的位置关系：（a）两直线平行：k1=k2且b1≠b2 （b）两直线相交：k1≠k2（c）两直线重合：k1=k2且b1=b2 （d）两直线垂直：即k1﹒k2=－1（e）两直线交于y轴上同一点: b1=b2（2）图象平移问题b>0,向上平移，b<0,向下平移。
反之，b>0,向下平移，b<0,向上平移。
关于点的距离的问题方法：点到x轴的距离用纵坐标的绝对值表示，点到y轴的距离用横坐标的绝对值表示；A x yB x y；任意两点(,),(,)A AB B若AB ∥x 轴，则(,0),(,0)A B A x B x 的距离为A B x x -；若AB ∥y 轴，则(0,),(0,)A B A y B y 的距离为A B y y -；点(,)A A A x y一般步骤(一设二代三解四还原)：（1）根据已知条件写出含有待定系数的函数关系式；（2）将x 、y 的几对值或图象上的几个点的坐标代入上述函数关系式中得到以待定系数为未知数的方程；（3）解方程得出未知系数的值；（4）将求出的待定系数代回所求的函数关系式中得出所求函数的解析式.考点1、函数图象上点的坐标例1、若正比例函数为y=3x ，则此正比例函数过（m ，6），则m 的值为（ ） A 、－2 B 、2 C 、−23 D 、23例2、如图放置的△OAB 1，△B 1A 1B 2，△B 2A 2B 3，…都是边长为2的等边三角形，边AO在y 轴上，点B 1，B 2，B 3，…都在直线例3（填“＞”或“＜”或“=”）．例4、如图，在平面直角坐标系中，点C （0，4），射线CE ∥x 轴，直线y=21-x+b 交线段OC 于点B ，交x 轴于点A ，D 是射线CE 上一点．若存在点D ，使得△ABD 恰为等腰直角三角形，则b 的值为 ．例5、如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为（0，6），将△OAB 沿x 轴向左平移得到△O′A′B′，点A 的对应点A′落在直线y=-少？例6、如图，在平面直角坐标系中，点A （2，n ），B （m ，n ）（m ＞2），D （p ，q ）（q ＜n ），点B ，D 在直线121+=x y 上．四边形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点E ，且AB ∥CD ，CD ＝4，BE ＝DE ，△AEB 的面积是2．求证：四边形ABCD 是矩形．1、在直角坐标系中，点M ，N 在同一个正比例函数图象上的是（ ）A 、M （2，－3），N （－4，6）B 、M （－2，3），N （4，6）C 、M （－2，－3），N （4，－6）D 、M （2，3），N （－4，6）的中点，点P 为OA 上一动点，PC+PD 值最小时点P 的坐标为（ ）A 、（﹣3，0）B 、（﹣6，0）C 、（3、已知点M （1，a ）和点N （2，b ）是一次函数y=﹣2x+1图象上的两点，则a 与b 的大小关系是（ ）A 、a ＞bB 、a=bC 、a ＜bD 、以上都不对4、在一次函数y=﹣2x+5的图象上有两个点A （X 1，y 1）、B （X 2，y 2），已知X 1＞X 2，5、已知一次函数y=kx+b 的图象经过点A （2，－3）及点B （1，6）． （1）求此一次函数解析式；（2）画出此一次函数图象草图； （3）求此函数图象与坐标围成的三角形的面积．6、在平面直角坐标系中，过一点分别作坐标轴的垂线，若与坐标轴围成矩形的周长与面积相等，则这个点叫做和谐点.例如，图中过点P 分别作x 轴，y 轴的垂线，与坐标轴围成矩形OAPB 的周长与面积相等，则点P 是和谐点. （1）判断点是否为和谐点，并说明理由； （2）若和谐点在直线上，求点的值.考点2、函数图象与几何变换例1、将函数y=－2x 的图象向下平移3个单位，所得图象对应的函数关系式为（ ）A 、y=－2（x+3）B 、y=－2（x －3）C 、y=－2x+3D 、y=－2x －3例2、在平面直角坐标系中，将直线x=0绕原点顺时针旋转45°，再向上平移1个单位后得到直线a ，则直线a 对应的函数表达式为（ ）A 、y=xB 、y=x －1C 、y=x+1D 、y=－x+1例3、将直线y= 21x+1向右平移4个单位长度后得到直线y=kx+b ，则k ，b 对应的值是 例4、如图，直线834+-=x y 与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，点M 是OB 上一点，若直线AB 沿AM 折叠，点B 恰好落在x 轴上的点C 处，则点M 的坐标是例5、如图，已知一条直线经过点A （0，2）、点B （1，0），将这条直线向左平移与x 轴、y 轴分别交与点C 、点D ．（1）求直线AB 的表达式；（2）若DB=DC ，求点C 坐标及直线CD 的表达式．例6、如图，在平面直角坐标系中，直线l ：434+-=x y 分别交x 轴，y 轴于点A 、B ，将△AOB 绕点O 顺时针旋转90°后得到△A′OB′。
八下数学一次函数的图像和性质
八下数学一次函数的图像和性质初二从平行四边形部分过渡到一次函数部分。
很多同学明显感觉一次函数部分比前面平行四边形几何部分简单了一些。
前边平行四边形几何部分没有学好的同学，这一部分只要好好学，期末还是能考一个不错的分数。
虽然，感觉难度降低了，但是在小测中有的同学成绩也并不是很好。
下面王老师就跟大家讲一下一次函数的图像和性质，初二的同学可不要错过。
一次函数的图像和性质截距一条直线与y轴的交点的纵坐标叫做这条直线在y轴上的截距，简称直线的截距.要点解析截距不是距离，是直线与y轴交点的纵坐标，因此可为正数、零、负数.一次函数的图像★★★一次函数y=kx+b（k、b为常数，且k≠0）的图像是一条直线.要点解析1.一次函数y=kx+b（b≠0），是过点A(0,b)和点B(-b/k,0)的一条直线.如图当k<0，b>0和k>0，b<0时的图像如下：2.当b1=b2=b时，一次函数y=k1x+b1与一次函数y=k2x+b2的图像均经过y轴上的点（0,b）.3.一次函数y=kx+b（b≠0）的图像可通过正比例函数y=kx图像平移得到当b＞0时，向上平移b个单位；当b＜0时，向下平移｜b｜个单位.因此可以得到：如果b1≠b2，那么直线y=kx+b1与直线y=kx+b2平行.反过来，如果直线y=k1x+b1与直线y=k2x+b2平行，那么k1=k2，b1≠b2.4.一次函数y=kx+b（k、b为常数，k≠0）与一元一次方程kx+b=0的关系一元一次方程kx+b=0的解x=-b/k，就是一次函数y=kx+b（k、b为常数，k≠0）图像与x轴交点的横坐标.5.一次函数y=kx+b（k、b为常数，k≠0）与一元一次不等式kx+b>0、kx+b<0的关系当k>0时，要使kx+b>0，其一次函数图像应在x轴上方，故其解为x>-b/k；要使kx+b<0，其一次函数图像应在x轴下方，故其解为x<-b/k.当k<0时，要使kx+b>0，其一次函数图像应在x轴上方，故其解为x<-b/k；要使kx+b<0，其一次函数图像应在x轴下方，故其解为x>-b/k.一次函数的性质★★★1.一次函数y=kx+b（k、b为常数，k≠0）具有以下性质：当k＞0时，函数值y随自变量x的值增大而增大；当k＜0时，函数值y随自变量x的值增大而减小.2.k、b的符号与直线y=kx+b（k≠0）位置的关系当k＞0，且b＞0时，直线y=kx+b经过第一、二、三象限；当k＞0，且b＜0时，直线y=kx+b经过第一、三、四象限；当k＜0，且b＞0时，直线y=kx+b经过第一、二、四象限；当k＜0，且b＜0时，直线y=kx+b经过第二、三、四象限.把上述结论反过来叙述，也是正确的.。
一次函数的几何变换
）左右平移过程中，纵坐标不变，改变的是横坐标也就是自变量，向左平移自变量变小，因此要加上平移的变大，因此要减去平移的量，简述为“左加右减”．
“左加右减，上加下减；左右平移在括号，上下平移在末稍”．
（）关于轴对称（翻折）后，纵坐标不变，横坐标变为相反数．
即关于轴对称后的解析式为18/06/12
x x 2y y =kx +b y
（）关于原点对称（绕原点旋转即关于原点对称后的解析式为【方法】口诀：“关于谁，谁不变；另一个，变相反；关于原点都要变”．
（）关于直线对称（翻折）
【方法】
①根据两点确定一条直线，结合图形求出对称后直线上两个点的坐标，再用待定系数法求出解析式即可．3y =kx +b 已知直线与直线1y =kx +b 2y =n
【方法】根据两点确定一条直线，结合图形求出对称后直线上两个点的坐标，再用待定系数法求出解析式即可．
直线绕原点逆时针旋转后的解析式为（ ）．
A. B. C. D. y =3x O 90∘y =− x 13
y =3x
y = x 13
y =−3x。
初二数学笔记精华-一次函数几何变换及与点的特征
fa9 bi
超1 点陮于第二象限 在571 4上 131- 4.0 SoBF 4
则1的坐标为
4 P
解析
方法一 So吲 二 改013ㄨh
4
ㄨ4 h
Blt 1 0
X
方法二
没17点坐标1 x x 4
ih 2
P
i
x
2
x
在
2
yix
4上
SoOBP二 十ㄨ4 x 小4
4 21 4
i X -2
P1 -2 2
i pl 2 2
八
yB
③ g求aaxtz与坐标轴围成的面积为2
A O
x
分类讨论 a 或 aco
gkxtb与坐标轴围成的面积为5
个
10 b
5
fo
l co
X
0
Ǐ1- o X
10 b
人
g lo b
IT 0
人
g
1-卡 0
0
x
0
x
10 b
S ixl i lbl b2
is 二 21121
ixrlbl z i
公式需熟练使用 避免漏解
再将所得直线关刊轴对称变换 经过两次变换之后所得直线
表达式为
y 解析
3 -2 九轴
y 3亿 wig 2
y -3 2 y轴 y 3 2
例若将直线y 3 -1关于直线gx对称后 所得直线解析式
为
解析 10在直线上取两点
10 -1 1.2
②找出两个字关于 yx 的对称
1-1.0 121
③ 缬系数法可得
y 成坊
学会用 x来表12点的坐标 变形 若SoBop ES S与ㄨ之间的关系式
一次函数与几何图形的联系
一次函数与几何图形的联系一次函数，也称为一次方程，是数学中的基础概念之一。
它表示了一个变量与另一个变量之间的线性关系。
与一次函数密切相关的是几何图形，特别是直线。
本文将探讨一次函数与几何图形之间的联系，包括一次函数的图像、斜率与截距的几何意义，以及在几何图形中应用一次函数进行问题求解的实际例子。
一、一次函数的图像一次函数的图像是一条直线，具有如下一般形式：y = mx + b其中，m代表斜率，b代表截距。
斜率决定了直线的倾斜方向和陡峭程度，截距则决定了直线与y轴的交点。
对于斜率m，当m > 0时，直线向右上方倾斜；当m < 0时，直线向右下方倾斜；当m = 0时，直线平行于x轴。
斜率的绝对值越大，直线的倾斜程度越大。
对于截距b，当b > 0时，直线与y轴的交点在y轴的上方；当b < 0时，直线与y轴的交点在y轴的下方；当b = 0时，直线通过y轴的原点。
通过改变斜率m和截距b的值，可以绘制出直线在坐标系中的各种位置和倾斜情况的图像。
这些图像不仅在数学中有重要意义，也在几何图形中有广泛应用。
二、斜率与截距的几何意义斜率和截距在几何图形中具有重要的几何意义，对于理解和描述直线的性质起着关键作用。
1. 斜率的几何意义斜率代表了直线上两个点之间的纵向变化与横向变化之间的比例关系。
具体来说，斜率等于直线上任意两个点的纵坐标之差与横坐标之差之比。
在几何上，当两点的纵向变化与横向变化之间的比例关系相等时，得到的直线是一条直角线，即斜率为正负无穷大。
当两点的纵向变化与横向变化之间的比例关系不相等时，得到的直线是一条斜线，斜率为有限值。
斜率还可以表示直线的坡度和倾斜程度。
当斜率越大（绝对值越大），直线越陡峭；当斜率越小（绝对值越小），直线越平缓。
2. 截距的几何意义截距代表了直线与y轴的交点在坐标系中的位置。
截距为正时，直线与y轴的交点在y轴的上方；截距为负时，直线与y轴的交点在y轴的下方；截距为零时，直线通过y轴的原点。
武汉市乐其教育培训学校八年级数学 一次函数讲义 第六讲 图形变换与一次函数(Word版
第六讲图象变换与一次函数【知识要点】1．已知点在图象变换中的坐标规律：（1）平移：左右平移只改变横坐标（右加左减）；上下平移只改变纵坐标（上加下减）；（2）翻折（轴对称）：关于x轴对称（上下翻折）只改变纵坐标（相反）；关于y轴对称（左右翻折）只改变横坐标（相反）；（3）绕定点P旋转180°：中点公式的逆用（已知中点和一个端点，求另一个端点）；绕定点P旋转90°：直接是以定点P为直角顶点的等腰直角三角形（已知两点求第三点）；绕定点P旋转45°：以已知点为直角顶点构造等腰直角三角形（已知两点求第三点）；2．直线与图象变换（用函数的手法研究直线的图象变换）：平移、翻折（轴对称）、旋转.【新知讲授】例一、【直线与平移】填空与解答：（1）将点（2，3）向左平移3个单位再向上平移4个单位得到的点的坐标是；（2）求．直线y = 2x + 4 经过向左平移 3 个单位再向上平移 4 个单位得到的直线解析式.例二、【直线与轴对称】填空与解答：（1）点（2，3）关于x轴对称点的坐标是，关于y 轴对称点的坐标是；（2）求．直线y= 2x + 4 关于x轴对称得到的直线解析式（请写出你的过程）；（3）请直接写出：直线y= 2x + 4 关于y轴对称得到的直线解析式为；（4）请直接写出：直线y=kx +b 关于x轴对称得到的直线解析式为；（5）请直接写出：直线y=kx +b 关于y轴对称得到的直线解析式为.例三、【直线与绕原点旋转180°（中心对称）】填空与解答：（1）将点（2，3）绕原点O旋转180°后得到的点的坐标是；（2）求．将直线y = 2x + 4 绕原点O 旋转 180°后得到的直线解析式；（3）请直接写出：直线y=kx +b 绕原点O旋转180°后得到的直线解析式为. 例四、【直线与绕任意点旋转180°（中心对称）】填空与解答：（1）将点（2，3）绕点P（-2，1）旋转180°后得到的点的坐标是；（2）求．将直线y = 2x + 4 绕点P（-2，1）旋转 180°后得到的直线解析式. 例五、【直线与旋转90°或45°，需要作图分析，作图时一定要注意旋转的时针方向】如图，已知直线l ：y =1 x + 2 ．2（1）将直线l 绕原点O 顺．时．针．旋转 90°得到直线l1 ，求直线l1 的解析式；（2）直线l 交y 轴于点A，将直线l 绕A 点旋转 90°得到直线l2 ，求直线l2 的解析式；（3）若A（2，3）为直线l 上一点，将直线l 绕A 点旋转 90°得到直线l3 ，求直线l3 的解析式；（4）直线l 交x 轴于点A，将直线l 绕A 点逆．时．针．旋转 45°得到直线l4 ，求直线l4 的解析式.例六、定义：若两个函数的图象关于直线 y =x 对称，则称这两个函数互为反函数．求出函数 y =2x +1 的反函数的解析式．例七、在平面直角坐标系中，A 、B 两点的坐标分别为 A （3，2），B （1，5）. （1）若 P 为 y 轴上一点，试求当△PAB 的周长最短时 P 点的坐标； （2）若点 C 在 y 轴上一点，点 D 为 x 轴上一点，若四边形ABCD 的周长最短，求 C 、D 两点的坐标. x x 例八、如图，直线l ： y = -x + 2 与l ： y = 1 x + 1 ，直线l 交 x 轴于P ，将P 向上平移到直线l 上的 1 2 2 2 1 1 1 2 点Q 1 ，再将点Q 1 向左平移到直线l 1 上的点 P 2 ，再将点 P 2 向下平移到直线l 2 上的点Q 2 ，再将点Q 2 向右平移到直线l 1 上的点 P 3 ，…，这样一直下去 ，可在直线l 1 上继续得到点 P 4 ，P 5 ，…，P n ，…．（1）请直接写出P 1 、Q 1 、 P 2 、Q 2 、 P 3 、Q 3 的坐标；（2）设点 P n 的横坐标为a ，点 P n +1 的横坐标为b ，试问： b 与a 的数量关系，写出结论并证明．y B A O y B A O例九、如图，一次函数的图象与x 轴、y 轴分别相交于点A、B，将△AOB 沿直线AB 翻折，得到△ACB. 若C 点的坐标为(8，4)，求该一次幽数的解析式. 例十、【建立模型】如图1，已知在等腰Rt△ABC 中，AC=BC，∠C=90°，顶点C 在直线l 上．若A点的坐标为（-5，2），B 点的坐标为（3，4），请直接写出C点的坐标；【模型拓展】如图2，在直角坐标系中，直线l1 : y =4x + 8 与y 轴交于点A，与x 轴交于点B，将3直线l1 绕着点A 顺时针旋转45°得到l2，求l2 的函数表达式．【模型应用】如图3，在平面直角坐标系中，点B（10，8），作B A⊥y 轴于点A，作B C⊥x 轴于点C，P 是线段BC 上的一个动点，点Q 在OC 上，且∠APQ=45°，求Q 点的坐标．。
八年级数学 一次函数讲 图形变换与一次函数专题讲义
图象变换与一次函数【知识要点】1．已知点在图象变换中的坐标规律：（1）平移：左右平移只改变横坐标（右加左减）；上下平移只改变纵坐标（上加下减）；（2）翻折（轴对称）：关于x轴对称（上下翻折）只改变纵坐标（相反）；关于y轴对称（左右翻折）只改变横坐标（相反）；（3）绕定点P 旋转180°：中点公式的逆用（已知中点和一个端点，求另一个端点）；绕定点P 旋转90°：直接是以定点P 为直角顶点的等腰直角三角形（已知两点求第三点）；绕定点P 旋转45°：以已知点为直角顶点构造等腰直角三角形（已知两点求第三点）；2．直线与图象变换（用函数的手法研究直线的图象变换）：平移、翻折（轴对称）、旋转.【新知讲授】例一、【直线与平移】填空与解答：（1）将点（2，3）向左平移3个单位再向上平移4个单位得到的点的坐标是；（2）求．直线y 2x 4 经过向左平移 3 个单位再向上平移 4 个单位得到的直线解析式.例二、【直线与轴对称】填空与解答：（1）点（2，3）关于x 轴对称点的坐标是，关于y轴对称点的坐标是；（2）求．直线y 2x 4 关于x轴对称得到的直线解析式（请写出你的过程）；（3）请直接写出：直线y 2x 4 关于y轴对称得到的直线解析式为；（4）请直接写出：直线y kx b 关于x 轴对称得到的直线解析式为；（5）请直接写出：直线y kx b 关于y轴对称得到的直线解析式为.例三、【直线与绕原点旋转180°（中心对称）】填空与解答：（1）将点（2，3）绕原点 O 旋转 180°后得到的点的坐标是 ；（2）求．将直线 y 2x 4 绕原点 O 旋转 180°后得到的直线解析式；（3）请直接写出：直线 y kx b 绕原点O 旋转 180°后得到的直线解析式为.例四、【直线与绕任意点旋转180°（中心对称）】填空与解答：（1）将点（2，3）绕点 P （-2，1）旋转 180°后得到的点的坐标是 ；（2）求．将直线 y 2x 4 绕点 P （-2，1）旋转 180°后得到的直线解析式.例五、【直线与旋转 90°或 45°，需要作图分析，作图时一定要注意旋转的时针方向】如图，已知直线l ： y 1x 2 ．2（1）将直线l 绕原点 O 顺．时．针．旋转 90°得到直线l 1 ，求直线l 1 的解析式；（2）直线l 交y 轴于点A，将直线l 绕A 点旋转 90°得到直线l2 ，求直线l2的解析式；（3）若A（2，3）为直线l 上一点，将直线l 绕A 点旋转 90°得到直线l3 ，求直线l3的解析式；（4）直线l 交x 轴于点A，将直线l 绕A 点逆．时．针．旋转 45°得到直线l4 ，求直线l4的解析式.例六、定义：若两个函数的图象关于直线 y =x 对称，则称这两个函数互为反函数．求出函数 y =2x +1 的反函数的解析式．例七、在平面直角坐标系中，A 、B 两点的坐标分别为A （3，2），B （1，5）.（1）若 P 为 y 轴上一点，试求当△PAB 的周长最短时 P 点的坐标；（2）若点 C 在 y 轴上一点，点 D 为 x 轴上一点，若四边形 ABCD 的周长最短，求 C 、D 两点的坐标.例八、如图，直线l ： y x 2 与l ： y 1 x 1，直线l 交 x 轴于P ，将12221112点Q 1 ，再将点Q 1 向左平移到直线l 1 上的点 P 2 ，再将点 P 2 向下平移到直线l 2 上的点Q 2 ，再将点Q 2 向右平移到直线l 1 上的点P 3 ，…，这样一直下去 ，可在直线l 1 上继续得到点P 4 ，P 5 ，…，P n ，…．（1）请直接写出P 1 、Q 1 、 P 2 、Q 2 、 P 3 、Q 3 的坐标；（2）设点 P n 的横坐标为a ，点 P n 1 的横坐标为b ，试问： b 与a 的数量关系，写出结论并证明．例九、如图， 一次函数的图象与 x 轴、y 轴分别相交于点 A 、B ，将△AOB 沿直线 AB 翻折，得到△ACB . 若C 点的坐标为(8，4)，求该一次幽数的解析式.例十、【建立模型】如图 1，已知在等腰 Rt △ABC 中，AC=BC ，∠C=90°，顶点 C 在直线 l 上．若 A点的坐标为（-5，2），B 点的坐标为（3，4），请直接写出C 点的坐标；【模型拓展】如图 2，在直角坐标系中，直线l 1: y 4x 8 与 y 轴交于点 A ，与 x 轴交于点 B ，将3直线 l 1 绕着点 A 顺时针旋转 45°得到 l 2，求 l 2 的函数表达式．【模型应用】如图3，在平面直角坐标系中，点B （10，8），作BA ⊥y 轴于点A ，作BC ⊥x 轴于点C ，P 是线段 BC 上的一个动点，点 Q 在 OC 上，且∠APQ=45°，求 Q点的坐标．。
一次函数的图像与图像变换教学指导
一次函数的图像与图像变换教学指导一、引言一次函数是高中数学中的基础知识之一，在学习中起到了重要的作用。
理解一次函数的图像及其变换对于学生的数学素养和解题能力的提高具有重要意义。
本文将就如何教学一次函数的图像及其变换进行指导和探讨。
二、一次函数的图像一次函数的图像是由该函数的表达式和定义域确定的。
一次函数的一般形式为y=ax+b，其中a和b为常数，且a不等于0。
下面将以y=x+1为例，介绍一次函数的图像。
1. 确定坐标系首先，我们需要确定一个坐标系，一般选择笛卡尔坐标系。
x轴表示自变量x，y轴表示因变量y。
2. 确定函数值根据函数的表达式，我们可以计算出不同的x对应的y值。
例如，当x=0时，y=1；当x=1时，y=2，以此类推。
3. 绘制点在坐标系中，以x和y的对应关系为依据，绘制出相应的点。
对于y=x+1，我们可以得到一个点(0, 1)，另一个点(1, 2)，将这两个点用直线连接起来，即可得到一次函数的图像。
4. 图像特征一次函数的图像为一条直线，且直线的斜率为a，即斜率为1。
当a为正数时，直线向上倾斜；当a为负数时，直线向下倾斜。
一次函数关于y轴对称。
三、一次函数的图像变换在教学中，我们除了要让学生掌握一次函数的基本图像之外，还需要让他们了解一次函数的图像变换。
常见的一次函数的图像变换有平移、伸缩、翻折和旋转等。
接下来我们将依次介绍这些图像变换。
1. 平移平移是指将原来的图像沿x轴或y轴方向上下移动。
当我们对一次函数y=x+1进行平移时，可以将函数表达式改为y=x+1+k，其中k为常数。
当k为正数时，图像向上平移，当k为负数时，图像向下平移。
2. 伸缩伸缩是指将原来的图像在x轴或y轴方向上进行拉伸或压缩。
对于一次函数y=x+1，进行纵向伸缩可以将函数表达式改为y=a(x+1)，其中a为正数。
当a大于1时，图像被纵向拉长；当03. 翻折翻折是指对原来的图像进行反转。
对于一次函数y=x+1，进行关于x轴翻折可以将函数表达式改为y=-(x+1)；进行关于y轴翻折可以将函数表达式改为y=(-x)+1。
八年级数学一次函数的图象和性质
描点作图
将计算出的点在坐标轴上 标出，并使用平滑的曲线 连接这些点。
一次函数图象的特点
线性关系
一次函数图象是一条直线，函数 值随自变量的变化而均匀变化。
斜率
一次函数的斜率表示函数值随自 变量变化的速率，斜率k>0时， 函数值随自变量增大而增大；斜 率k<0时，函数值随自变量增大
而减小。
y轴上的截距
05 练习与巩固
基础练习题
2、已知一次函数$y = kx + b(k neq 0)$的图象经过第一、三、四 象限，则$k$的取值范围是( )
3、已知一次函数$y = kx + b(k neq 0)$的图象经过第一、三、四 象限，则$k$的取值范围是____．
1、已知函数$y = (2m + 1)x + m - 3$，若这个函数的图象不经过第 二象限，则$m$的取值范围是 ____．
一次函数的表示方法
一次函数可以用解析式表示为 $y=kx+b$，其中$k$是斜率，$b$是 截距。
也可以通过表格或图象来表示一次函 数的关系。
一次函数的基本性质
斜率
斜率$k$决定了函数的增减性，当$k>0$时，函数随$x$ 的增大而增大；当$k<0$时，函数随$x$的增大而减小。
单调性
一次函数的单调性由斜率决定，斜率$k>0$时，函数为增 函数；斜率$k<0$时，函数为减函数。
一次函数与坐标轴的关系
一次函数与x轴的交点
当y=0时，x的值即为与x轴的交点。
一次函数与坐标轴围成的三角形面积
可以通过截距和与x轴交点来计算三角形面积。
04 一次函数的应用
一次函数在实际问题中的应用
一次函数与几何变换
一次函数与几何变换一次函数和几何变换是数学中常见的概念，它们在数学和实际问题中都有重要的应用。
本文将分别介绍一次函数和几何变换，并探讨它们之间的关系。
一、一次函数一次函数又称为线性函数，是指函数的表达式中只包含一个未知数，且未知数的最高次数为1。
一次函数的一般形式为y = kx + b，其中k和b为常数。
一次函数的图像是一条直线，其斜率k表示了直线的斜率，而截距b表示了直线与y轴的交点。
斜率k的正负决定了直线的倾斜方向，而斜率的绝对值则表示了直线的倾斜程度。
截距b则决定了直线与y轴的位置。
一次函数在实际问题中有着广泛的应用。
例如，物体的运动过程可以用一次函数来描述，其中时间作为自变量，位移作为因变量。
另外，一次函数还可用于经济学中的供求关系、工程学中的电路分析等领域。
二、几何变换几何变换是指平面上的点或图形在平移、旋转、镜像、放缩等操作下的变化。
这些操作可以改变图形的位置、形状、大小等特征。
平移是指将图形沿着平行于原来位置的方向移动一定距离。
平移操作不改变图形的形状和大小，只改变了图形的位置。
旋转是指将图形绕着一个固定的点旋转一定角度。
旋转操作改变了图形的方向和位置，但不改变图形的形状和大小。
镜像是指将图形沿着一条直线对称翻转。
镜像操作改变了图形的方向和位置，同时改变了图形的形状。
放缩是指将图形按照一定比例进行扩大或缩小。
放缩操作改变了图形的大小和形状，但不改变图形的位置。
几何变换在几何学和计算机图形学中有广泛的应用。
例如，图像处理中常常使用几何变换来实现图像的平移、旋转、镜像、缩放等操作。
此外，几何变换还可以用于地图的绘制、建筑设计等领域。
三、一次函数与几何变换的关系一次函数和几何变换之间存在着密切的联系。
在一次函数中，自变量和因变量之间的线性关系可以通过几何变换来进行直观的展示。
以平移为例，对于一次函数y = kx + b来说，当x增加1单位时，y的增量为k单位。
这可以类比为平面上的一个点在x轴方向上移动了1单位，其对应的y值也随之改变了k单位。
一次函数图像变化规律
一次函数图像变化规律一次函数，也称为一次方程，是一种形式为y = ax + b的数学函数，其中a和b为常数，且a不等于零。
在本文中，将探讨一次函数图像的变化规律。
一. 一次函数图像的基本形态一次函数的图像通常呈现为一条直线。
直线的斜率（a的取值）决定了直线的倾斜程度，而截距（b的取值）决定了直线与y轴的交点位置。
二. 斜率对图像的影响1. 斜率大于零时当斜率a大于零时，函数图像会从左下方向右上方延伸，呈现上升趋势。
斜率越大，直线越陡。
2. 斜率小于零时当斜率a小于零时，函数图像会从左上方向右下方延伸，呈现下降趋势。
斜率越小，直线越平缓。
3. 斜率等于零时当斜率a等于零时，函数图像为水平线，与x轴平行。
此时，直线的倾斜程度为零，图像保持平直。
三. 截距对图像的影响1. 截距大于零时当截距b大于零时，函数图像与y轴的交点位于正数区域上方，直线向上平移。
2. 截距小于零时当截距b小于零时，函数图像与y轴的交点位于负数区域下方，直线向下平移。
3. 截距等于零时当截距b等于零时，函数图像与y轴的交点位于原点O上。
四. 斜率和截距的综合影响1. 斜率为正、截距为正当斜率a大于零且截距b大于零时，函数图像呈现上升趋势，并向上平移。
2. 斜率为正、截距为负当斜率a大于零且截距b小于零时，函数图像呈现上升趋势，并向下平移。
3. 斜率为负、截距为正当斜率a小于零且截距b大于零时，函数图像呈现下降趋势，并向上平移。
4. 斜率为负、截距为负当斜率a小于零且截距b小于零时，函数图像呈现下降趋势，并向下平移。
五. 函数图像的平移和缩放1. 平移到右边若对于一次函数y=ax+b，将x增加一个正数c，即x变为x+c，则函数的图像整体向左平移c个单位。
2. 平移到左边若对于一次函数y=ax+b，将x减少一个正数c，即x变为x-c，则函数的图像整体向右平移c个单位。
3. 上下平移若对于一次函数y=ax+b，将整个函数整体上移或下移一个正数d个单位，则函数的图像整体上移或下移d个单位。
八年级数学一次函数图像性质
八年级数学一次函数图像性质越是艰巨，越要残暴，今夏，宜披荆斩棘!遍历山河，人间值得。
心怀企图，中考必胜!下面是作者给大家带来的八年级数学一次函数图像性质，欢迎大家浏览参考，我们一起来看看吧!八年级数学函数知识点：一次函数的图像与性质一次函数y=kx+b(k，b为常数，且k≠0)的图像和性质与自变量的取值范畴和k,b的符号有着密切的关系.(1) 一次函数的图像所经过的象限是由k和b的符号共同决定的.一次函数的增减性取决于k,与y轴的交点取决于b;反之,由一次函数的图像特点也可判定k,b的符号.(2)|k|的大小决定直线y=kx +b(k≠0)的倾斜程度:|k|越大,直线与x轴相交所成的锐角越大，直线越陡;|k|越小,直线与x轴相交所成的锐角越小，直线越缓.八年级数学函数知识点：正比例函数与一次函数的图像关系正比例函数与一次函数的图像关系一样地，正比例函数y=kx的图像是经过原点的一条直线;一次函数y=kx+b的图像可以由正比例函数y=kx的图像向上(b 0)或向下(b 0)平移|b|个单位长度得到.八年级数学函数知识点：一次函数图像的平移规律一次函数图像的平移规律上下平移(1)直线y=kx+b向上平移n(n 0)个单位得到直线y=kx+b+n;(2)直线y=kx+b向下平移n(n 0)个单位得到直线y=kx+b-n.简记为上加下减(只改变b).左右平移(1)直线y=kx+b向左平移m(m 0)个单位得到直线y=k(x+m)+b;(2)直线y=kx+b向右平移m(m 0)个单位得到直线y=k(x-m)+b.简记为：左加右减(只改变x).八年级数学函数知识点：一次函数的图像与函数表达式一次函数的图像与函数表达式之间的关系一次函数的图像与函数表达式是一一对应的：函数图像上任意一点 P(x,y)中的x,y 的值满足其函数表达式;反之，满足其函数表达式的任意一对有序实数(x,y)所对应的点一定在函数图像上.八年级数学函数知识点：一次函数和正比例函数一次函数和正比例函数一样地，形如y=kx+b(k，b为常数，且k≠0)的函数，叫做一次函数，y是x的一次函数，当b=0，即y=kx(k为常数且k≠0)时，称y是x的正比例函数.正比例函数一定是一次函数，一次函数不一定是正比例函数.八年级数学函数知识点：描点法画一次函数图像的步骤(1)列表：给出一些自变量的值和对应的函数值;(2)描点：以表中各组对应值作为点的坐标，在直角坐标系内描出相应的点;(3)连线：依照横坐标由小到大的顺序，把这些点顺次连接起来.(1) 在挑选两点画直线时，要尽可能取横、纵坐标都是整数的点.(2)画函数图像时，要注意自变量的取值范畴.(3)由一次函数的图像是一条直线及“两点肯定一条直线”知，画一次函数的图像时，只要先肯定这个图像上两个点的位置，再过这两点画直线就可以了.八年级数学一次函数图像性质到此结束。
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平移，对称，旋转
一次函数图象的几何变换
【教学目标】
1．熟练掌握一次函数图象经过平移后的函数表达式求解方法．
2．了解一次函数的图象经过简单的旋转、对称的等几何变换后的表达式．
3．培养学生的位置感和推理能力.
【重难点】
重点：求一次函数平移变换后的表达式．
难点：由坐标系中不同的函数图象求相关的几何问题（面积，边长）．
【知识要点】
1．直线b kx y +=向左平移m 个单位得到直线
，向右平移m 个单位得到直线 ，向上平移m 个单位得到直线 ，
向下平移m 个单位得到直线 ．
2．将直线b kx y +=①关于x 轴对称，得到直线 ；
②关于y 轴对称，得到直线 ．
③关于原点对称，得到直线
． 3. 111b x k y +=和222b x k y +=，当,,2121b b k k ≠=两直线平行.当121-=•k k 时,两直线垂直.
【典型例题】
例1． （1）求函数3
6-=
x y 向上平移4个单位后得到新函数的解析式. （2）直线121+-=x y 向 平移 个单位可得直线521--=x y 。
例2 已知函数25y x =-的图象与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，把它向右平移2个单位后与x 轴、y 轴分别交于C 、D 两点，求C ，D 两点的坐标.
例3
已知在直角坐标系中，直线y =+x 轴和y 轴分别交于A 、B 两点，作AB 边关于x 轴、y 轴和坐标原点的对称直线，画出图象，并求这四条直线围成的四边形的面积。
例4 如图，已知直线AB 与y 轴、x 轴分别交于点A （0，4）和点B （2，0），将此直线向左平移与x 轴的负半轴和y 轴的负半轴分别交于点C 、点D ，使DB=DC ，求直线CD 的解析式。
例5 已知直线1l ：21y x =-与2l ：122
y x =-+，将1l 向左平移3个单位得3l ，将2l
向下平移
2个单位得4l ，求3l ，4l 的表达式.
例 6 函数12y y y =+，且12y x m =+，2131
y x m =
+-，两个函数图象的交点的纵坐标为4，（1）求y 关于x 的函数关系式；（2）若函数y 的图象交两坐标轴于A 、B 两点，将此直线绕点A （x 轴上）顺时针旋转90°后交y 轴于点C ，求直线AC 解析式。
【经典练习】
1．把直线y kx b =+的向左平移m 个单位，再向上平移n 个单位，所得图象的解析式为（ ）。
A ．()y m k x n b +=++
B ．()y n k x m b -=++
C ．()y n k x m b +=++
D ．()y m k x n b -=++
2．把直线21y x =+的向上平移2个单位，再向右平移1个单位，所得图象的解析式为 。
3．直线58y x =+ ①向右平移 个单位后经过原点；②向下平移 个单位后经过原点。
4．把直线87
2--=x y 沿y 轴向上平移5个单位，可得直线=y ． 5．某一次函数图象向下平移3个单位后得到直线15-=x y ，则这个一次函数的解析式为 ；若直线向左平移5个单位后得到直线，82+-=x y ，则这条直线的解析式为 ．
6．把直线33-=x y 沿x 轴向 平移 个单位，便能使直线过点()3,5，所得直线解析式为 ．
7．一次函数b kx y +=的图象经过点)2,0(A 、)0,3(B ，
若将该图象沿着x 轴向左平移2个单位，则新图象所对应的解析式为 ．
8．把函数3
x y =的图象向 平移 个单位得到函数36-=x y 。
9．函数3
6-=x y 向上平移4个单位后得到新函数的解析式是 。
10．直线13-=x y 向下平移5个单位可得直线 。
11．将函数35+-=x y 的图象沿着y 轴向上平移2个单位，求所得的函数图象与两坐标轴所围成的三角形面积。
12．已知直线12+=x y ．（1）求直线与y 轴交点A 的坐标；（2）若直线b kx y +=与该直线关于y 轴对称，求k 、b 的值．
13 将直线12
1+=x y 与x 轴的交于点A,将直线饶点A 按顺时针旋转90度得到直线2l ，求直线2l 的解析式，并求直线1l 、2l 与y 轴围成的三角形面积．
【作业】 姓名： 日期： 成绩：
1. 在直线1122
y x =+上，到x 轴或y 轴的距离为1的点有 个。
2．直线121+-=x y 向 平移 个单位可得直线52
1--=x y 。
3．直线2+-=x y 向 平移 个单位后直线恰好经过点()2,3--。
4．直线42+-=x y 平行移动后经过点()5,2-，则求平移后直线在y 轴上的截距为 ；平移后的直线与坐标轴所围成的三角形的面积为 。
5．将直线12
1--=x y 向上平移2个单位，所得直线的解析式是 ，平移后的直线不经过第 象限。
6．将直线13+-=x y 向下平移5个单位后得 ，此时新函数在y 轴上的截距是 。
7．直线121+=x y 可由直线12
1-=x y 沿x 轴向 平移 个单位得到，也可由直线12
1-=x y 沿y 轴向 平移 个单位得到． 8．直线23y x =+沿x 轴平移后经过点（2，－1）.（1）求平移后直线的解析式；（2）此时直线沿y 轴平移了多少个单位？
9．求直线24y x =-的和它向上平移3个单位后所得图象与两坐标轴所围成的图形的面积。
10．求直线012=++y x 关于x 轴成轴对称的图形的解析式.。