矩阵的秩

k 2 个元素按照原来的顺序所组成的k阶行列式，称为矩阵A 的一个k阶子式。
定理3.4.3 矩阵A的秩为r的充要条件是：矩阵A中有一个 r阶子式不为零，而所有的r+1阶子式全为零。
注意：要说明矩阵A的秩为r，必须找到一个r阶子式不为 零；而所有的r+1阶子式全为零。
第三章 线性方程组
定理3.4.3 矩阵A的秩为r的充要条件是：矩阵A中有一个 r阶子式不为零，而所有的r+1阶子式全为零。 证明：充分性。设在矩阵A中有一个r阶子式不为零，而所 有的r+1阶子式全为零。不妨设这r阶子式在A的左上角，即 a11 a12 a1r a21 a22 a2 r ≠ 0 。由定理3.4.2知这r个行组成的向量组线
a11 a21 A= a n1 0 a12 a22 − a21 a11 a an 2 − 12 an1 a11 0 a1n a2 n − a21 a11 a ann − 1n an1 a11
=
a11 a21 a n1
0 ′ a22 ′ an 2
0 ′ a2 n ′ ann
其中
′ (0, a2 i ,
rank ( A), r ( A), R( A) 注1、 若 A = 0, 则 R( A) = 0 。 , 则 R( A) ≤ min( m , n) 。 2、 设 A = ( aij ) m× n
3、若 R( A) = m , 则称A为行満秩的矩阵； 4、若
R( A) = n , 则称A为列満秩的矩阵。
第三章 线性方程组
必要性。设矩阵A的秩为r，即矩阵A中行向量组的秩为r。 而任意r+1个行向量必线性相关，线性相关向量组的“缩短”向 下证A中 量组也线性相关，故矩阵A的任意r+1阶子式全为零。 至少有一个r阶子式不为零。 设这r个线性无关的向量正是A的前 a1n ⎞ ⎛ a11 a12 ⎜ ⎟ a2 n ⎟ ⎜ a21 a22 r个行向量，把这r个向量取出得矩阵：A1 = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ arn ⎠ ⎝ ar 1 ar 2 矩阵 A1 的行秩为r，其列秩也为r， 不妨设前r列线性无关，于
第三章 线性方程组
二、矩阵秩与行列式的关系
⎛ a11 ⎜ ⎜ a21 定理3.4.2 n × n 矩阵 A = ⎜ ⎜ ⎝ a n1
为零的充要条件是：A的秩小于n。 证明：充分性。设A的秩 = r < n, 用 α1 , α 2 , , α n 表示A 的列向量组。不妨设 α1 , a2 , , α r 是列向量组的极大无关组。 设 α n = k1α1 + k2α 2 + + krα r , 考虑A的行列式 a11 a12 0 a11 a12 a1n
, am 2 ),
,
(a1r , a2 r ,
, arr , ar +1,r ,
, amr )
也线性无关。而它们恰好是矩阵A的r个列向量。由于它们线性 无关，故知A的列秩 s ≥ r 同理可证： s ≤ r , 因此 r = s 由于矩阵的行秩等于列秩，因而统称为矩阵的秩。
第三章 线性方程组
定义3.4.2 矩阵A的行秩等于列秩，统称为矩阵的秩。 记为：秩A ，或
第三章 线性方程组
, ain ),
, amj )′, j = 1, 2,
, n 的秩称为矩
⎛ 1 2 1 2⎞ ⎜ ⎟ 0 2 3 2⎟ 的行秩和列秩。 例如3.4.1 求矩阵 A = ⎜ ⎜ 0 0 2 4⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 0 0 1 2⎠ 解：设A的列向量组是：α1 , α 2 , α 3 , α 4 , 则
第三章 线性方程组
矩阵的行秩等于列秩。 a1n ⎞ ⎛ a11 a12 ⎜ ⎟ a21 a22 a2 n ⎟ , 而A的行秩为r， 证明：设矩阵 A = ⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ amn ⎠ ⎝ am 1 am 2 列秩为 s。 设 α1 , α 2 , , α m 是A的行向量组，由于A的行秩为r， 不妨设 α1 , α 2 , , α r 是它的极大线性无关组。 又 α1 , α 2 , , α r 线性无关， 故方程组 x1α1 + x2α 2 + + xrα r = 0 只有零解。 ⎧ a11 x1 + a21 x2 + + ar 1 xr = 0 ⎪a x + a x + + a x = 0 ⎪ 12 1 22 2 r2 r 只有零解。 即齐次线性方程组 ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ a1n x1 + a2 n x2 + + arn xr = 0 由引理知，这个方程组的系数矩阵
§3.4
矩阵的秩
§3.4 矩阵的秩
研究问题 一、矩阵秩的概念 二、矩阵秩与行列式的关系 三、矩阵秩的计算
第三章 线性方程组
一、矩阵秩的概念
前面讨论向量组的秩。若把矩阵的每一行看成一个向量， 则矩阵就是由这些行向量组成；同样，若把矩阵的每一列看成 一个向量，则矩阵也可以看作是由这些列向量组成的。 定义3.4.1 矩阵的行秩是指矩阵的行向量所组成的向量组 的秩，矩阵的列秩是由矩阵列向量所称向量组的秩。 a1n ⎞ ⎛ a11 a12 ⎜ ⎟ a21 a22 a2 n ⎟ , 行向量组 α i = (ai 1 , ai 2 , 设 A=⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ amn ⎠ ⎝ am 1 am 2 i = 1, 2, , m 的秩称为矩阵A的行 列向量组 β j = (a1 j , a2 j , 阵A的列
a11
是
a12 a22 ar 2
a1r a2 r arr ≠ 0 。可见矩阵A有一个r阶子式不为零。
a21 ar 1
第三章 线性方程组
三、矩阵秩的计算
⎛ 1 3 0 5 4⎞ ⎜ ⎟ 0 −1 0 7 3 ⎟ 的秩。 例3.4.2 求 A = ⎜ ⎜ 7 9 5 3 5⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 2 6 0 10 8 ⎠ 解：因为A中第一行与第四行对应元素成比例，因而任何 四阶子式均为0，故秩 ( A) ≤ 3, 现找到一个三阶子式 1 3 0 0 −1 0 ≠ 0, 故A的秩为3。
第三章 线性方程组
a1i ′ , ani )′ = α i − α1 , i = 2, 3, a11
,n
′ a22
′ a2 n ′ ann
因此 A = a11
′ an 2
= 0。由于a11 ≠ 0, 故
′ a22 ′ an 2
′ a2 n =0 ′ ann
由归纳假设知，这个矩阵的列向量线性相关，从而向量组 a1n a12 α 2 − α1 , , αn − α1 也线性相关， a11 a11 即存在不全为零的数 k2 , , kn , 使 a1n a12 k2 (α 2 − α1 ) + + kn (α n − α1 ) = 0 a11 a11 a1n a12 kn )α1 + k2α 2 + + knα n = 0 −( k2 + + 整理得 a11 a11 因此 α1 , α 2 , , α n 线性相关，它的秩小于n。
第三章 线性方程组
定理3.4.1
⎛ a11 ⎜ ⎜ a12 ⎜ ⎜ ⎝ a1n
a21 a22 a2 n
ar 1 ⎞ ⎟ ar 2 ⎟ ⎟ 的行秩 ≥ r ⎟ arn ⎠
不妨设向量 因此在它的行向量中可找到r个线性无关的向量， (a11 , a21 , , ar 1 ), (a12 , a22 , , ar 2 ), , (a1r , a2 r , , arr ) 线性无关。 由中的性质5知，其延长向量组： (a11 , a21 , , ar 1 , ar +1,1 , , am 1 ), (a12 , a22 , , ar 2 , ar +1,2 ,
0 0 ⎞ ⎛1 0 0 4 ⎞ ⎟ ⎜ ⎟ 0 −4 ⎟ ⎜ 0 1 0 −2 ⎟ → 1 2 ⎟ ⎜0 0 1 2 ⎟ ⎟ ⎟ ⎜ 0 0 ⎠ ⎝0 0 0 0 ⎠ α 故列向量组的极大线性无关组为： 1 , α 2 , α 3 , 故A的列秩是3。 2 2 0 0 1 3 2 1 2 2 0 0
a12 a22 an 2
a1n ⎞ ⎟ a2 n ⎟ 的行列式为0。 ⎟ ⎟ ann ⎠
结论的必要性由Gramer法则立得，结论的充分性是定理 3.4.2的推论。 下面考虑一般 m × n 矩阵的秩与行列式的关系。
第三章 线性方程组
定义3.4.2 在一个 m × n 矩阵A中任意选定k行，k列， 1 ≤ k ≤ min( m , n) 。位于这些选定的行和列的交叉位置上的
第三章 线性方程组
⎧ a11 x1 + a12 x2 + ⎪a x + a x + ⎪ 21 1 22 2 推论 齐次线性方程组 ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ an1 x1 + an 2 x2 +
+ a1n xn = 0 + a2 n xn = 0 + ann xn = 0
有非零解
⎛ a11 ⎜ ⎜ a21 的充要条件是其系数矩阵 A = ⎜ ⎜ ⎝ a n1
a12 a22 an 2
a1n ⎞ ⎟ a2 n ⎟ 的行列式 ⎟ ⎟ ann ⎠
A=
a21 a n1
பைடு நூலகம்
a22 an 2
a2 n ann
=
a21 an1
a22 an 2
0 0
=0
第三章 线性方程组
必要性。 若 A = 0, 对n用归纳法证明。 当n=1时，由于 A = 0, A只有一个元素0，故秩A为0<1。 假设结论对n-1阶矩阵成立。对n阶矩阵。用 α1 , α 2 , , α n 表示A的列向量。若A的第1列元素全为零，则秩A当然小于 若这n个元素有1个不为0，不妨设 a11 ≠ 0, 从第2列直到第n列 分别加上第1列的倍数：− a12 / a11 , , − a1n / a11 , 则