静电学填空题

静电学计算题

127、一个半径为R 的均匀带电圆弧，弧心角为α=60°,电荷线密度为λ,求环心O 处的电场强度和电势．

建立以O 点为原点的平面坐标系，取电荷元θλRd dq =，则2

04R Rd dE πεθλ=

其中：0=y E ，θπεθλcos 40R d dE x =，R R d E x 066

04cos 4πελθπεθλπ

π⎰-==

066

124ελπεθλπ

π

=

=⎰-

R Rd U 128、将一无限长带电细线弯成图示形状，设电荷均匀分布，电荷线密度为λ，四分之一圆弧AB 的半径为R ，试求圆心O 点的场强．

取电量元θλRd dq =，其电场强度元为

2

04R Rd dE πεθλ=

建立如图所示的坐标系，因为0=y E θπεθ

λcos 40R d dE x -= ，故 R R d E x 0454

042cos 4πελθπεθλπ

π⎰=-=

129、带电细线弯成半径为R 的半圆形，电荷线密度为λ = λ0sin φ，式中λ0为一常数，φ为半径R 与x 轴所成的夹角，如图所示．试求环心O 处的电场强度和电势．

解：R d R dl

dE 002

04sin 4πεϕϕλπελ=

=

ϕcos dE dE x = 考虑到电荷分布的对称性 0=x E

ϕsin dE dE y = R

R d dE E y 00002

084sin sin ελπεϕϕλϕπ

===⎰⎰ 方向沿

y 轴负向

130、真空中两条无限长直的相互平行的均匀带电线, 相距为r 、电荷线密度均为λ。建立适当的坐标系,求（1）两线构成的平面上任一点的电场强度；（2）单位长度带电线所受的电场力。

设场点距带电线x 远，则在两线内电场强度为：E =

02πελx)

-x(r 2x

-r i ；

在两线外电场强度为：E =

02πελx)

x(r 2x

r ++ i ）

单位长度带电线所受的电场力F ＝ r

02

2πελ（说明力的方向）

131、一无限长直均匀带电线，单位长度的带电量为λ,求在带电线同侧与该带电线距离分别为R 1，R 2的两点A 、B 之间的电势差。（A 、B 与带电线共面）。

解：因为场强分布r πελE 02=

，所以1200

ln 2221R R r dr Edr U R R πελπελ⎰⎰=== 132、面积为S 的平行板电容器，两板间距为d ，求：（1）插入厚度为d /3，相对介电常数为 r 的电介质，其电容量变为原来的多少倍？（2）插入厚度为d /3的导电板，其电容量又变为原来的多少倍？

解：（1）真空电容器d S C 00ε=，内部场强S Q E 01ε=，电介质内部场强S

Q E r εε02

=

插入电介质两极电势差3

3

200d S Q d S Q U r ⋅+⋅=εεε 则0

021323C d

d S U

Q C r

r r r εεεεε+=+==

（2）插入厚度为

3

d

的导电板，可看成是两个电容的串联，则d S C C 0213ε=

=，得0

021212

323C d S C C C C C ==+=ε

133、三平行金属板A 、B 、和C ，面积都是200cm 2，AB 相距4.0mm ，AC 相距2.0mm ，B 、C 两板都接地，如图所示。若A 板带正电3.0×10-7C ，略去边缘效应，求B 板和C 板上感应电荷。若以地的电势为零，求A 板电势。

解: 如题图示，令A 板左侧面电荷面密度为1σ，右侧面电荷面密度为2σ

(1)∵AB AC U U =，即∴AB AB AC AC E E d d =；∴2d d 2

1===AC

AB AB

AC E E σσ，且1σ+2σS

q A =

得,32S q A =

σ S q A 321=σ。而 711023

2-⨯-=-=-=A C q S q σC 。C 1017

2-⨯-=-=S q B σ (2)30

1103.2d d ⨯===AC AC AC A E U εσV

134、计算如图所示长和宽均远大于间距的平行板电容器的电容.

134与132题重复，建议更改为下题

134、图示一球形电容器，在外球壳的半径b 及内外导体间的电势差U 维持恒定的条件下，内球半径a 为多大时才能使内球表面附近的电场强度最小？求这个最小电场强度的大小．

解：2

04r

πεQ

E =

ab a b πεQ dr r πεQ d U b

a b

a

-⋅==∙=

⎰

⎰

020

44r E a b Uab πεQ -=04 所以 2)(r a b Uab

E -= 要使内球表面附近的电场强度最小 （a r =），必须满足 0=da

dE

2b a =

此时 b

U E 4= 135、图示为一个均匀带电的球壳，其电荷体密度为ρ，球壳内表面半径为R 1，外表面半径为R 2．设无穷远处为电势零点，求空腔内任一点的电势．解：空腔内任一点的场强01

=E 1R r

带电球壳上的一点 2

03132

03132

3)(4)

(3

4r R r r

R r E ερπεπρ-=

-= 21R r R

带电球壳外部空间 2

031322

0313

233)(4)

(3

4r R R r

R R E ερπεπρ-=

-=

2R r

则空腔内任一点的电势⎰⎰

∞

∙+∙=

2

R

32r E r E d d U R R 2

1

⎰⎰∞-+-=2

R dr r R R dr r R r R R 203

132203133)(3)(2

1

ερερ)(2212

20

R R -=ερ 136、一电量为q 的点电荷位于导体球壳中心，壳的内外半径分别为R 1、R 2．求球壳内外和球壳上场强和电势的分布，并画出E (r )和V (r )曲线.

当r

014r q E πε=

，

2

010

2

02

011

4)11(

4242

1

R q R r q r q dr r

q V R R r

πεπεπεπε+

-=

+=

⎰

⎰

∞