《两个变量的线性相关》教案新部编本
两个变量的线性相关 优秀教案
变量间的相关关系【教学内容】本节课的主要内容为用最小二乘法思想求线性回归方程。
本节课内容作为上节课线性回归方程探究的知识发展，在知识上有很强的联系，所以，核心概念还是回归直线。
在“经历用不同估算方法描述两个变量线性相关关系”的过程后，解决好用数学方法刻画“从整体上看，各点与此直线的距离最小”，让学生在此基础上了解更为科学的数据处理方式——最小二乘法，有助于更好的理解核心概念“回归直线”，并最终体现回归方法的应用价值。
就统计学科而言，对不同的数据处理方法进行“优劣评价”是“假设检验”的萌芽，而后者是统计学学科研究的另一重要领域。
了解“最小二乘法思想”，比较各种“估算方法”，体会它的相对科学性，既是统计学教学发展的需要，又是“在体会此思想的过程中促进了学生对核心概念的进一步理解”的需要。
“最小二乘法思想”作为本节课的核心思想，由此得以体现，而回归思想和贯穿统计学科中的随机思想，也在本节课中需有所渗透。
所以，在内容重点的侧重上，本节课与上节课有较大的区别：上节课侧重于估算方法设计，在不同的数据处理过程中，体会回归直线作为变量相关关系代表这一概念特征；本节课侧重于估算方法评价与实际应用，在评价中使学生体会核心思想，理解核心概念。
考虑到本节课的教学侧重点与新课程标准的要求，对线性回归方程系数的计算公式，可直接给出。
由于公式的复杂性，一方面，既要通过教学设计合理体现知识发生过程，不搞“割裂”；另一方面，要充分利用计算机或计算器，简化繁琐的求解系数过程，简化过于形式化的证明说理过程。
【教学重点】知道最小二乘法思想，并能根据给出的线性回归方程的系数公式建立线性回归方程。
【教学难点】如何通过数学方法刻画“从整体上看，各点与此直线的距离最小”并在此过程中了解最小二乘法思想。
回归方程中的斜率b和截距a的计算公式，用计算器求出线性回归方程。
通过大量的回归直线比较分析，体会回归思想和随机思想。
【教学目标】本节课要求学生了解最小二乘法思想，掌握根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程，理解线性回归方程概念和回归思想，在以上过程中体会随机思想：1．能用数学符号刻画出“从整体上看，各点与此直线的点的偏差”的表达方式；2．通过减少样本点个数，经历对表达式的展开，把“偏差最小”简化为“二次多项式”最小值问题，通过逻辑推理，使学生接受最小二乘法思想，体会到它的科学性，在此过程中了解最小二乘法思想；3．能结合具体案例，经历数据处理步骤，根据回归方程系数公式建立回归方程；4．通过改变同一问题下样本点的选择进而对照回归方程的差异，体会随机思想；5．利用回归方程预测，体现用“确定关系研究相关关系”的回归思想。
两个变量的线性相关教学案
高一数学教学案 材料编号：30变量间的相关性班级 姓名 学号 设计人：贾仁春 审查人：孙慧欣 使用时间：08.04. 一、学习目标：1.掌握线性相关的定义及回归直线方程的意义；2.利用最小二乘法求回归直线。
二、学习重难点：1.学习重点：求回归直线方程；2.学习难点：了解最小二乘法的原理。
三、课前自学： （一）课前检测： 1.有下列关系：（1）人的年龄与其拥有的财富之间的关系；（2）曲线上的点一该点坐标之间的关系；（3）苹果的产量与气候之间的关系；（4）森林中的同一树木，其横截面直径与高度之间的关系；（5）学生与其学号之间的关系。
其中有相关关系的是 。
（二）知识点梳理：1.对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法叫做回归分析。
通俗地讲，回归分析是寻找相关关系中非确定性关系的某种确定性。
2.观察散点图的特征，如果点大致分布在一条直线的附近，就称两个变量之间具有 ，这条直线叫做 。
根据不同的标准可画出不同的直线来近似地表示这种线性关系。
我们希望找到一条直线，“从整体上看各点与此直线的距离最小”，即最贴近一直的数据点，最能代表变量x 与y 之间的关系，记此直线方程为：.y a bx ∧=+ （1）这里在y 的上方加记号“∧”是为了区别Y 的实际值y ，表示当x 取值(1,2,...,)i x i n =时，y 相应的观察值为i y ，而直线上对应于i x 的纵坐标是i i y a bx ∧=+（1）式叫做y 对x 的回归直线方程。
,a b ∧∧叫做回归系数，要确定回归直线方程（1），只要确定回归系数,a b ∧∧。
设x ，y 的一组观察值为)(1,2,...,)i i x y i n =（，且回归直线方程为.y a b x ∧∧∧=+当x 取值(1,2,...,)i x i n =时，y 的观察值为i y ，对应回归直线上的y ∧，即y a b x ∧∧∧=+，离差(1,2,...,)i y y n ∧-刻画了实际观察值i y 与回归直线上相应点纵坐标之间的偏离程度。
最新高中数学3必修A版《两个变量的线性相关》教案精编版
2020年高中数学3必修A版《两个变量的线性相关》教案精编版两个变量的线性相关（第2课时）教材：普通高中课程标准实验教科书数学3（必修）人民教育出版社A版一、教学目标根据课标的要求，结合高一学生的认知特点确定本节课的教学目标如下：知识与技能：1．了解最小二乘法思想，理解线性回归方程概念和回归思想；2．能根据线性回归方程系数公式建立线性回归方程。
3．利用回归方程预测，体会用“确定关系研究相关关系”的回归思想。
过程与方法：结合具体案例，经历数据处理步骤和建立线性回归方程的过程，增强应用数学知识和运用信息技术解决实际问题的意识。
情感态度与价值观努力创设和谐融洽的课堂情境，使学生处于积极思考、大胆猜想勇于创新氛围；通过互动探究学习，养成倾听别人意见的良好品质。
二、教学重点、难点教学重点：1．了解最小二乘法和回归分析的思想；2．能利用给出的线性回归方程系数公式求回归直线教学难点：建立回归思想三、教学方法与手段多媒体辅助、启发式和探究式相结合教学四、教学过程教学环节教学过程设计意图课前准备一般说来，一个人的身高越高，他的手就越大，相应地，他的右手一拃长就越大，因此人的身高与右手一拃长之间存在着一定的关系。
为了对这个问题进行调查，请收集我班所有学生的身高和右手一拃长的数据，并以此作为依据进行研究。
通过此问题背景，让学生完整经历求回归直线过程。
复习引入观察下列三个散点图，哪些表示变量间具有相关性？两个变量的线性相关----若两个变量x和y的散点图中所有点看上去都在一条直线附近波动，则称变量间是线性相关的。
复习旧知，向学生初步渗透回归分析的思想：用确定的函数关系对不确定的相关关系进行预测、估计，从而引出课题。
分析，帮助学生学会使用。
知识深化互动探究三：1.相邻班有一个男生180cm，你能预测他的右手一拃长是多少吗？2．若取学号为24至47的同学的身高和右手一拃长的数据作为样本，计算得到的回归直线会一样吗？问题：大家仔细观察收集我们班部分同学的身高和右手一拃长的散点图，看看是否有不合理的数据。
2.3.2(2)两个变量的线性相关(教学设计)
2.3变量间的相关关系(2)(教学设计)2.3.2-2两个变量的线性相关——回归直线教学目标：1、知识与技能（1）知道最小二乘法和回归分析的思想；.（2）能根据线性回归方程系数公式建立线性回归方程或根据给出的数据应用图形计算器建立线性回归方程；（3）通过改变同一问题下样本点的选择进而对照回归方程的差异，体会随机思想；（4）利用回归方程预测，体现用“确定关系研究相关关系”的回归思想．2、过程与方法发现随机变量存在规律，经历用不同估算方法描述两个变量线性相关关系和线性回归分析过程，借助图形计算器得出回归直线，在以上过程中体会随机思想，增强应用数学知识和信息技术解决实际问题的意识.3、情感与价值观通过合作学习，养成倾听别人意见和建议的良好习惯.教学重点、难点：重点：（1）知道最小二乘法和回归分析的思想；（2）能根据给出的线性回归方程的系数公式建立线性回归方程．难点：（1）用数学符号刻画出“从整体上看，各点与此直线上的点的偏差”的表达方式；（2）建立回归思想.教学过程：（一）创设情景、导入课题1、相关关系的概念；2、相关关系与函数关系的异同点：；3、在平面直角坐标系中，表示具有相关关系的两个变量的一组数据图形，称为散点图；4、成正相关和负相关的两个相关变量的散点图分别有什么特点？5、探究：观察人体的脂肪含量百分比和年龄的样本数据的散点图，这两个相关变量成正相关.我们需要进一步考虑的问题是，当人的年龄增加时，体内脂肪含量到底是以什么方式增加呢？（板书课题）（二）师生互动、新课讲解讨论：有些散点图中的点是杂乱分布的，有些散点图中的点的分布有一定的规律性，年龄和人体脂肪含量的样本数据的散点图中的点的分布有什么特点？（见课本P86）这些点大致分布在一条直线附近.如果散点图中的点的分布，从整体上看大致在一条直线附近，则称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线.并根据回归方程对总体进行估计.如果能够求出这条回归直线的方程（简称回归方程），那么我们就可以比较清楚地了解年龄与体内脂肪含量的相关性.讨论：1、每个同学画的直线相同吗？2、你认为回归直线有很多条吗？3、你可以求出直线方程吗？大家的建议都有一定的道理，但总让人感到可靠性不强.问题1 回归直线与散点图中各点的位置用数学的方法来刻画应具有怎样的关系？ 从整体上看，各点与此直线最接近，距离最小. 问题2你能解释这句话的含义吗？讨论：对一组具有线性相关关系的样本数据：(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，设其回归方程为a bx y +=,可以用哪些数量关系来刻画各样本点与回归直线的接近程度？我们可以用点（x i ，y i ）与这条直线上横坐标为x i 的点之间的距离来刻画点（x i ，y i ）到直线的远近.()),,3,2,1(n i a bx y i i =+-为了从整体上反映n 个样本数据与回归直线的接近程度，你认为选用哪个数量关系来刻画比较合适？ 用这n 个距离之和来刻画各点到直线的“整体距离”是比较合适的，即可以用()∑=+-ni iia bx y 1表示各点到直线a bx y +=的“整体距离”.由于绝对值使得计算不方便，在实际应用中人们更喜欢用()()()2222211a bx y a bx y a bx y Q n n --++--+--=这样，问题就归结为：当a ，b 取什么值时Q 最小？即点到直线a bx y +=的“整体距离”最小.这样通过求此式的最小值而得到回归直线的方法，即使得一半数据的点到回归直线的距离的平方和最小的方法叫做最小二乘法.根据有关数学原理推导，a ，b 的值由下列公式给出()()()∑∑∑∑--=---====221121xn xy x n yx xxyy x xb ini iini ini i i=x ba-y根据最小二乘法的思想和此公式，利用计算器或计算机可以方便的求得年龄和人体脂肪含量的样本数据的回归方程.以Excel软件为例，用散点图来建立表示人体的脂肪含量与年龄的相关关系的线性回归方程，具体步骤如下：⑴在Excel中选定表示人体的脂肪含量与年龄的相关关系的散点图，在菜单中选定“图表”中的“添加趋势线”选项，弹出“添加趋势线”对话框“.⑵单击“类型”标签，选定“趋势预测/回归分析类型”中的“线性”选项，单击“确定”按钮，得到回归直线.⑶双击回归直线，弹出“趋势线格式”对话框.单击“选项”标签，选定“显示公式”，最后单击“确定”按钮，得到回归直线的回归方程.（三）讲练结合，巩固提高1试一试：将表中的年龄作为x代入上述方程，看看得出的数值与真实数值之间的关系，从中你体会到什么？利用回归直线，我们可以进行预测.类型一线性相关的概念例1以下是某地搜集到的新房屋的销售价格和房屋面积的数据：解散点图如下：由上图可看出，销售价格与房屋面积这两个变量是正相关.反思与感悟如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，我们就称这两个变量之间具有线性相关关系，呈递增趋势，是正相关；反之为负相关.跟踪训练1一个车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了10次试验，收集数据如下：(1)(2)关于加工零件的个数与加工时间，你能得出什么结论？解 (1)散点图如下：(2)加工零件的个数与所花费的时间具有正的线性相关关系.类型二 回归方程的求法例2 下表为某地近几年机动车辆数与交通事故数的统计资料.(1) (2)如果具有线性相关关系，求出回归方程.解 (1)在平面直角坐标系中画出数据的散点图，如下图.直观判断散点在一条直线附近，故具有线性相关关系. (2)计算相应的数据之和：∑i ＝18x i ＝1 031，∑i ＝18y i ＝71.6，∑i ＝18x 2i ＝137 835，∑i ＝18x i y i ＝9 611.7， x ＝128.875，y ＝8.95将它们代入公式计算得b ^≈0.077 4，a ^≈－1.024 9，所以，所求回归方程为y ^＝0.077 4x －1.024 9.跟踪训练2 以下是某地搜集到的新房屋的销售价格y 和房屋的面积x 的数据：(1)(2)求回归方程，并在散点图中加上回归直线. 解 (1)数据对应的散点图如图所示：(2)x ＝15∑i ＝15x i ＝109，y ＝23.2，∑i ＝15x 2i ＝60 975，∑i ＝15x i y i ＝12 952. 设所求回归方程为y ^＝b ^x ＋a ^，则b ^＝∑i ＝15x i y i －5x y∑i ＝15x 2i －5x2≈0.196 2，a ^＝y －b ^x ＝23.2－109×0.196 2＝1.814 2，故所求回归方程为y ^＝0.196 2x ＋1.814 2. 回归直线如(1)中图所示.类型三 回归方程的应用例3 有一个同学家开了一个小卖部，他为了研究气温对热饮销售的影响，经过统计，得到一个卖出的热饮杯数与当天气温的对比表：(1)(2)从散点图中发现气温与热饮销售杯数之间有什么关系； (3)求回归方程；(4)如果某天的气温是2℃，预测这天卖出的热饮杯数；(5) 气温为2℃时，小卖部一定能够卖出143杯左右热饮吗？为什么？ 解 (1)散点图如图所示：(2)从上图看到，各点散布在从左上角到右下角的区域里，因此，气温与热饮销售杯数之间呈负相关，即气温越高，卖出去的热饮杯数越少.(3)从散点图可以看出，这些点大致分布在一条直线的附近，因此，可用公式求出回归方程的系数.利用计算器容易求得回归方程y ^＝－2.352x ＋147.767.(4)当x ＝2时，y ^＝143.063.因此，某天的气温为2℃时，这天大约可以卖出143杯热饮.(5)小卖部不一定能够卖出143杯左右热饮，原因如下：①回归方程中的截距和斜率都是通过样本估计出来的，存在误差，这种误差可以导致预测结果的偏差.②即使截距和斜率的估计没有误差，也不可能百分之百地保证对应于x 的预报值，能够与实际值y 很接近.我们不能保证点(x ，y )落在回归直线上，甚至不能百分之百地保证它落在回归直线的附近. 跟踪训练3 有人统计了同一个省的6个城市某一年的人均国民生产总值(即人均GDP)和这一年各城市患白血病的儿童数，如下表：(1)(2)通过计算可知这两个变量的回归方程为y ^＝23.25x ＋102.15，假如一个城市的人均GDP 为12万元，那么可以断言，这个城市患白血病的儿童一定超过380人，请问这个断言是否正确？ 解 (1)散点图如下：根据散点图可以看出，在6个点中，虽然第一个点离这条直线较远，但其余5个点大致分布在这条直线的附近，所以这两个变量具有线性相关关系.(2)上述断言是错误的，将x ＝12代入y ^＝23.25x ＋102.15得y ^＝23.25×12＋102.15＝381.15＞380，但381.15是对该城市人均GDP 为12万元的情况下所作的一个估计，该城市患白血病的儿童可能超过380人，也可能低于380人.参考公式：()()()1122211n ni i i i i i n ni ii i x x y y x y nx y b x x x nx a y bx====⎧---⎪⎪==⎨--⎪⎪=-⎩∑∑∑∑） （四）小结1、求样本数据的线性回归方程的步骤；2、回归方程被样本数据惟一确定，各样本点大致分布在回归直线附近.对同一个总体，不同的样本数据对应不同的回归直线，所以回归直线也具有随机性.3、对一组样本数据，应先作散点图，在具有线性相关关系的前提下再求回归方程.如果一组数据不具有线性相关关系，即不存在回归直线，那么所得的“回归方程”是没有实际意义的. （五）分层作业1.工人月工资(元)依劳动生产率(千元)变化的回归方程为y ^＝60＋90x ，下列判断正确的是( ) A.劳动生产率为1千元时，工资为50元 B.劳动生产率提高1千元时，工资提高150元 C.劳动生产率提高1千元时，工资约提高90元 D.劳动生产率为1千元时，工资为90元 答案 C解析 因工人月工资依劳动生产率变化的回归方程为y ^＝60＋90x ，当x 由a 提高到a ＋1时，y ^2－y ^1＝60＋90(a ＋1)－60－90a ＝90.2.已知x 与y 之间的几组数据如下表：假设根据上表数据所得回归直线方程y ^＝b x ＋a ，若某同学根据上表中的前两组数据(1,0)和(2,2)求得的直线方程为y ＝b ′x ＋a ′，则以下结论正确的是( )A.b ^>b ′，a ^>a ′B.b ^>b ′，a ^<a ′C.b ^<b ′，a ^>a ′ D.b ^<b ′，a ^<a ′答案 C解析 b ′＝2，a ′＝－2，由公式b ^＝∑i ＝16(x i －x )(y i －y )∑i ＝16(x i －x )2求得，b ^＝57，a ^ ＝y －b ^ x ＝136－57×72＝－13， ∴b ^<b ′，a ^>a ′.选C.3.回归直线方程y ^＝b ^x ＋a ^必过( ) A.点(0,0) B.点(x ，0) C.点(0，y ) D.点(x ，y )答案 D解析 回归直线必过样本点的中心.4.设一个回归方程为y ^＝3＋1.2x ，则变量x 增加一个单位时( ) A.y 平均增加1.2个单位 B.y 平均增加3个单位 C.y 平均减少1.2个单位 D.y 平均减少3个单位 答案 A解析 回归直线的斜率代表y 随x 的变化率.5.若对某个地区人均工资x 与该地区人均消费y 进行调查统计得y 与x 具有相关关系，且回归方程为y ^＝0.7x ＋2.1(单位：千元)，若该地区人均消费水平为10.5，则估计该地区人均消费额占人均工资收入的百分比约为( ) A.70% B.84% C.87.5% D.89.5% 答案 C解析 设该地区人均工资收入为y ， 则y ＝0.7x ＋2.1，当y ＝10.5时，x ＝10.5－2.10.7＝12. 10.512×100%＝87.5%.6.期中考试后，某校高三(9)班对全班65名学生的成绩进行分析，得到数学成绩y 对总成绩x 的回归方程为y ^＝6＋0.4x .由此可以估计：若两个同学的总成绩相差50分，则他们的数学成绩相差的分数大约为( ) A.0.4 B.6 C.20 D.50 答案 C解析 令两人的总成绩分别为x 1，x 2. 则对应的数学成绩估计为y ^1＝6＋0.4x 1，y ^2＝6＋0.4x 2，所以|y ^1－y ^2|＝|0.4(x 1－x 2)|＝0.4×50＝20.7.对具有线性相关关系的变量x ，y 有一组观测数据(x i ，y i )(i ＝1,2，…，8)，其回归方程是y ^＝13x ＋a ，且x 1＋x 2＋x 3＋…＋x 8＝2(y 1＋y 2＋y 3＋…＋y 8)＝6，则实数a 的值是( ) A.116 B.18 C.14 D.12答案 B解析 依题意可知，样本点的中心为(34，38)，则38＝13×34＋a ，解得a ＝18.8.对于下列表格所示的五个散点，已知求得的线性回归方程为y ^＝0.8x －155.则实数m 的值为( ) A.8 B.8.2 C.8.4 D.8.5 答案 A解析 依题意得x ＝15×(196＋197＋200＋203＋204)＝200，y ＝15×(1＋3＋6＋7＋m )＝17＋m 5，因为回归直线必经过样本点中心，所以17＋m5＝0.8×200－155，解得m ＝8，选A.9.某工厂生产某种产品的产量x (吨)与相应的生产能耗y (吨标准煤)有如下几组样本数据：0.7，则这组样本数据的回归直线的方程是____________.答案 y ^＝0.7x ＋0.35解析 ∵x ＝3＋4＋5＋64＝4.5，y ＝2.5＋3＋4＋4.54＝3.5， ∴a ^＝y －b ^x ＝3.5－0.7×4.5＝0.35.∴回归直线的方程为y ^＝0.7x ＋0.35.10.现有5组数据A (1,3)、B (2,4)、C (4,5)、D (3,10)、E (10,12)，去掉________组数据后，剩下的4组数据的线性相关性最大. 答案 D解析 在散点图中，点的分布越接近回归直线，两个变量的相关性越大.11.某数学老师身高176 cm ，他爷爷、父亲和儿子的身高分别是173 cm 、170 cm 和182 cm.因儿子的身高与父亲的身高有关，该老师用线性回归分析的方法预测他孙子的身高为__________cm. 答案 185解析 根据题中所提供的信息，可知父亲与儿子的对应数据可列表如下：x ＝173，y ＝176，∴b ^＝∑i ＝13(x i －x )(y i －y )∑i ＝13(x i －x )2＝3×6(－3)2＋32＝1，a ^＝y －b ^x ＝176－173＝3， ∴回归方程为y ^＝x ＋3，从而可预测他孙子的身高为182＋3＝185(cm).12.某公司的广告费支出x (单位：万元)与销售额y (单位：万元)之间有下列对应数据：资料显示y 与x 成线性相关关系.根据上表提供的数据得到回归方程y ^＝b ^x ＋a ^中的b ^＝6.5，预测销售额为115万元时约需________万元广告费. 答案 15解析 x ＝2＋4＋5＋6＋85＝5， y ＝30＋40＋60＋50＋705＝50. 因为回归方程必过样本点的中心(5,50)，代入y ^＝6.5x ＋a ^，得a ^＝17.5，所以y ^＝6.5x ＋17.5，当y ^＝115时，x ＝15.13.一台机器由于使用时间较长，生产的零件有一些会缺损，按不同转速生产出来的零件有缺损的统计数据如下表：(1)作出散点图；(2)如果y 与x 成线性相关关系，求出回归方程；(3)若实际生产中，允许每小时的产品中有缺损的零件最多为10个，那么，机器的运转速度应控制在什么范围？ 解 (1)根据表中的数据画出散点图如图：(2)设回归方程为y ^＝b ^x ＋a ^，并列表如下：x ＝12.5，y ＝8.25，∑i ＝14x 2i ＝660，∑i ＝14x i y i ＝438，∴b ^＝438－4×12.5×8.25660－4×12.52≈0.73，a ^＝8.25－0.73×12.5＝－0.875，∴y ^＝0.73x －0.875.(3)令0.73x －0.875≤10，解得x ≤14.9≈15. 故机器的运转速度应控制在15转/秒内.备用题：1.下表提供了某厂节能降耗技术改造后在生产A 产品过程中记录的产量x （吨）与相应的生产能耗y （吨）的几组对根据上表提供的数据，求出y 关于的线性回归方程为0.70.35y x =+，则表中t 的值( A )A ． 3B ． 3．15C ．3．5D ． 4．52.【2012高考湖南文5】设某大学的女生体重y （单位：kg ）与身高x （单位：cm ）具有线性相关关系，根据一组样本数据（x i ，y i ）（i=1，2，…，n ），用最小二乘法建立的回归方程为 y =0.85x-85.71，则下列结论中不正确．．．的是 A.y 与x 具有正的线性相关关系 B.回归直线过样本点的中心（x ，y ） C.若该大学某女生身高增加1cm ，则其体重约增加0.85kgD.若该大学某女生身高为170cm ，则可断定其体重必为58.79kg 【答案】D【解析】由回归方程为 y =0.85x-85.71知y 随x 的增大而增大，所以y 与x 具有正的线性相关关系，由最小二乘法建立的回归方程得过程知ˆ()y bx a bx y bx a y bx =+=+-=-，所以回归直线过样本点的中心（x ，y ），利用回归方程可以预测估计总体，所以D 不正确.【点评】本题组要考查两个变量间的相关性、最小二乘法及正相关、负相关的概念，并且是找不正确的答案，易错. 3.根据上表可得回归方程ˆˆybx a =+中的ˆb 为9．4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为 A ．63．6万元 B ．65．5万元 C ．67．7万元 D ．72．0万元 【答案】B4．已知x 、y 的取值如下表所示：若y 与x 2.6 ；5. 某种产品的广告费支出x y（Ⅰ）求回归直线方程；（Ⅱ）试预测广告费支出为10万元时，销售额多大？（参考数据：521145iix==∑52113500iiy==∑511380i iix y==∑）（Ⅰ）解：2+4+5+6+825=555x==，30+40+60+50+70250=5055y==又已知521145iix==∑，511380i iix y==∑于是可得：5152215138055506.51455555i iiiix y x ybx x==--⨯⨯===-⨯⨯-∑∑， 50 6.5517.5a y bx=-=-⨯=因此，所求回归直线方程为： 6.517.5 y x=+（Ⅱ）解: 根据上面求得的回归直线方程，当广告费支出为10万元时，6.51017.5=82.5y=⨯+(万元) 即这种产品的销售收入大约为82. 5万元.。
最新人教版高中数学必修3第二章《两个变量的线性相关》教案(1)
《两个变量的线性相关》教案（１）
教学目标：
1．认识现实生活中变量间除了存在确定的关系外，仍存在大量的非确定性的相关关系；利用散点图直观体会这种相关关系．
2．通过实例，体会用数学知识解决实际问题的过程．
3．通过数学学习活动使学生对数学学习产生好奇心和求知欲，感受到数学学习活动中探索与创造的乐趣及成功的喜悦．
教学重点难点：
1．重点：利用散点图直观认识两个变量之间的线性关系．
2．难点：作散点图和理解两个变量的正相关和负相关．
教法与学法：
1．教法选择：本节课遵循引导发现，循序渐进的思路，采用问题探究式教学．
2．学法指导：在已有知识的基础上，借助教材，在教师引导下逐步获知．
教学过程：
二、探究新知，理解概念
三、例题讲解，掌握知识
四、归纳小结，课堂延展
教学设计说明
1．教材地位分析：在前面的章节中我们已经对统计的相关知识作了大致的了解．本节课我们要继续探讨的是变量之间的相关关系，它为接下来要学习的两个变量的线性相关打下基础．这是一个与现实实际生活联系很紧密的知识，在教师的引导下，可使学生认识到在现实世界中存在不能用函数模型描述的变量关系，从而体会研究变量之间的相关关系的重要性．
2．学生现实分析：前面已经学习了统计的相关知识，学生了解了用统计思维来进行样本数据的方法，也为本节课从样本数据的信息中找到相关关系打好了基础．
3．本节课要实现的目标是：根据现实问题中两个具有相关关系的变量的数据，作出相应的散点图，并利用散点图直观认识两变量之间的线性相关关系；寻找描述两个变量线性相关的方法，为下节课在此基础上利用最小二乘法的思想，建立描述两个变量相关关系的线性回归方程而做好相应的准备．。
两个变量的线性相关 优秀教案
《两个变量的线性相关》教学设计目录一.教学内容解析二、教学目标设置三、学生学情分析四、教学策略分析五、教学媒体支持六、教学过程设计1提出问题、大胆设计2数学建模、转化化归、深入研究、转化求解4感受成功、拓展推广5学以致用6课堂小结七、教学反思《两个变量的线性相关》教学设计1.教学内容解析《两个变量的线性相关》是高中教材人民教育出版社版必修三第二章的内容。
本节课主要探讨对具有线性相关关系的两个变量进行统计分析，是回归分析的基础知识，体现了统计是以确定性数学为工具来研究不确定现象的数学。
其最小二乘法的思想是提高学生数学思维能力很好的素材。
同时为以后更好的研修选修2-第3三章《回归分析的基本思想及其初步应用》奠定基础。
2．教学目标设置知识与技能目标：（1）了解最小二乘法的思想及回归直线方程的推导过程；（2）通过实例加强对回归直线方程含义的理解。
过程与方法目标：（1）通过自主探究体会数形结合及最小二乘法的数学思想方法；（2）通过动手操作培养学生观察、分析、比较和归纳能力，培养学生的创造性思维。
情感态度与价值观目标：（1能）通过亲身试验和感受来理解知识，体会数学知识与现实世界的联系。
（2）通过体验公式的生成过程，培养学生积极探索的学习习惯。
3．学生学情分析学生已经懂得通过散点图认识变量之间的相关关系，学生已经能解决单变量的统计问题，两个变量的回归分析将为学生翻开统计学崭新的一页。
4．教学策略分析数学源自于生活，也应用于生活。
为更好实施教学和激发学生学习的热情和积极性，本节课从生活实际问题引入，寓教于乐。
在教法上，采用以教师引导为主，学生合作探索、积极思考为辅的探究式教学方法；在教学过程中，注重启发式引导、反馈式评价，充分调动学生的学习积极性，让同学们积极主动分享自己的发现和感悟；在教学手段上，灵活运用多媒体展示，活跃了气氛，加深了理解；在教学思想上，我以建构主义为主，强调数学知识的建构过程。
5．教学媒体支持由于本节课涉及到大量数据计算及分析，用传统方法很难突破，本节课主要采用多媒体教学手段，通过学生动手操作，教师动画演示，师生合作交流来突破难点。
两个变量的线性相关教案
两个变量的线性相关教案第一章：引言1.1 教学目标让学生理解什么是两个变量的线性相关性。
让学生掌握散点图的绘制和解读。
让学生了解线性相关的概念和特点。
1.2 教学内容介绍两个变量的概念和关系。
介绍散点图的概念和作用。
介绍线性相关的概念和特点。
1.3 教学方法使用案例分析和实际数据进行讲解。
使用图表和图形进行直观展示。
引导学生进行思考和讨论。
1.4 教学评估学生能够准确描述两个变量的关系。
学生能够正确绘制和解读散点图。
学生能够理解线性相关的概念和特点。
第二章：散点图的绘制和解读2.1 教学目标让学生掌握散点图的绘制方法。
让学生能够正确解读散点图。
2.2 教学内容介绍散点图的绘制方法。
介绍散点图的解读方法。
2.3 教学方法使用软件工具进行散点图的绘制和解读。
使用实际数据进行示例和练习。
2.4 教学评估学生能够熟练使用软件工具绘制散点图。
学生能够准确解读散点图并得出结论。
第三章：线性相关的概念和特点3.1 教学目标让学生理解线性相关的概念和特点。
3.2 教学内容介绍线性相关的概念。
介绍线性相关的特点。
3.3 教学方法使用案例分析和实际数据进行讲解。
使用图表和图形进行直观展示。
3.4 教学评估学生能够准确描述线性相关的概念和特点。
第四章：线性回归方程的建立4.1 教学目标让学生掌握线性回归方程的建立方法。
让学生能够利用线性回归方程进行预测。
4.2 教学内容介绍线性回归方程的概念和作用。
介绍最小二乘法的原理和应用。
介绍如何利用线性回归方程进行预测。
4.3 教学方法使用软件工具进行线性回归方程的建立和预测。
使用实际数据进行示例和练习。
4.4 教学评估学生能够熟练使用软件工具建立线性回归方程。
学生能够利用线性回归方程进行预测并得出结论。
第五章：线性相关性的检验5.1 教学目标让学生掌握线性相关性的检验方法。
让学生能够判断线性相关的强度和方向。
5.2 教学内容介绍线性相关性检验的方法。
介绍判定系数R²的概念和作用。
两个变量的线性相关说课稿 教案 教学设计
两个变量的线性相关一、教学目标重点: 了解最小二乘法和回归分析的思想，根据给出的线性回归方程的系数公式建立回归方程．难点：如何通过数学方法刻画“从整体上看，各点与此直线的距离最小”，并在此过程中了解最小二乘法思想．知识点：根据给出的线性回归方程的系数公式建立回归方程.能力点：探究体会数形结合的方法及最小二乘法的数学思想.教育点：学生通过合作学习、自主学习和探究式学习的方式完成一个完整的数学学习过程. 自主探究点：自学例2.考试点：根据给出的线性回归方程的系数公式建立回归方程.易错易混点：如何化简复杂的代数表达式，学生缺乏处理的经验，在计算能力的要求上也较高.拓展点：事件、样本数据、回归直线方程三者关系．二、复习引入【设计意图】为本节课学生能够更好的建构新的知识做好充分的准备，对旧的知识进行简要的提问复习，为能够顺利的完成本节课的内容提供必要的基础．【设计说明】学生动手操作得出散点图回答．【设计意图】通过讨论比较，调动学生的学习积极性和兴趣，活跃课堂气氛．【设计说明】设计该问题，引导学生自己发现问题，鼓励学生大胆表达自己的看法，充分暴露思维过程．发现：图1很乱，两个变量没有相关关系；图2呈上升趋势，图中点的分布呈条状，所有点都落在某一直线的附近，这样由图2自然地引出线性相关、回归直线的概念，同时引入课题．引入：为此我们引入今天的课题-回归直线及其方程．【设计意图】循序渐进，符合学生的认知规律．三、探究新知(一)探索回归直线的概念1.回归直线的定义：如果散点图中的点的分布，从整体上看大致在一条直线附近，则称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线．【设计意图】培养自学能力和数学阅读能力．【设计说明】让学生阅读教材，通过阅读教材学习线性相关，回归直线，回归方程的概念，并分析概念中应注意的问题．注意：概念的前提是点的分布在一条直线附近． (二)探索回归直线的找法结合引例—年龄与体内脂肪含量相关性的散点图观察，思考以下问题．问题1.对一组具有线性相关关系的样本数据，你认为其回归直线是一条还是几条？【设计意图】让学生通过观察、分析，自己发现回归直线的条数只有一条，从而培养学生观察、分析问题的能力．问题2.回归直线与散点图中各点的位置应具有怎样的关系？【设计意图】让学生分析两者的关系，教师引导学生发现两者整体上最接近，以进一步培养学生观察、分析问题的能力．问题3.那么在样本数据的散点图中，能否用直尺准确画出回归直线？【设计意图】让学生动手操作画回归直线，建立回归思想，以分解难点、突破难点，培养学生的动手操作能力．问题4.如果能够求出回归方程，那么我们就可以比较清楚的了解年龄与体内脂肪含量的相关性．那么我们应当如何具体求出这个回归方程呢？对于求回归直线方程，你有哪些想法？ 【设计意图】充分暴露学生的思维过程, 通过讨论比较，调动学生的学习积极性和兴趣，活跃课堂气氛,培养学生动脑思考问题的能力． 【设计说明】结合教材，学生会出现以下方案．方案一：采用测量的方法，先画出一条直线，测量出各点与它的距离，然后移动直线，到达一个使距离的和最小的位置，测出此时的斜率和截距，就是回归方程了．如图脂肪含量脂肪含量方案二：在图中选两点作直线，使直线两侧的点的个数基本相同． 如图方案三：如果多取几对点，确定多条直线，再求出这些直线的斜率和截距的平均值作为回归直线的斜率和截距，得回归方程．如图问题5.以上这些方法是不是真的可行？为什么？【设计意图】结合以上三个方案让学生画图，然后教师引导学生讨论、交流方案的可行性，体会回归直线的特征．【设计说明】教师先展示学生画图情况，学生说明理由；然后教师总结回归直线的特征：整体上看散点图中的点到此直线的距离最小．问题6.如何用数学的方法来刻画“从整体上看，各点到此直线的距离小”？ 【设计意图】这样设疑符合学生的认知规律，增强了学生的求知欲． 【设计说明】教师引导学生进行下面的分析： 脂肪含量 y引导学生以等效性和简化计算为目标，将点到直线的距离转化为自变量x 取值一定时，纵坐标的偏差．这样自然引出下面求回归方程的方法．问题7.结合以上分析，我们认为以“偏差”最小的直线作为回归直线比较恰当，那你能用代数式来刻画“从整体上看，各点与此直线的偏差最小”吗？【设计意图】几何问题代数化，为下一步探究作好准备，经历“几何直观”转化为“代数表达”过程，为引出“最小二乘法”作准备．【设计说明】假设我们已经得到两个具有线性相关关系的变量的一组数据：11(,)x y ，22(,)x y ，，(,)n n x y ．当自变量x 取i x ),,2,1(n i =时，可以得到ˆi ybx a =+),,2,1(n i =，它与实际收集到的i y 之间的偏差（如图）是ˆ()i i i i y yy bx a -=-+),,2,1(n i =．问题8.教师启发学生比较下列三个模型，哪个模型比较可行？ 模型一：1ˆ()nii i yy =-∑最小 模型二：1ˆ||n ii i yy=-∑最小 模型三：21ˆ()nii i yy=-∑最小【设计意图】先向学生说明1ni =∑的意义，体会如何选取恰当的计算方法建立回归方程的过程，提高学生分析问题的能力；培养学生的动手操作能力．【设计说明】教师指出：模型一中ˆ()i i y y-可能有正有负，互相抵消怎么办？学生一般会想到加绝对值． 模型二中ˆ||i i y y -去绝对值非常困难（可以提问，让学生思考），是否有其它的方法，同时可以类比方差的处理方法，引导学生思考．师生一起分析后，得出用模型三来制定标准评价一条直线是否为“最好”的直线较为方便． (三) 利用最小二乘法推导回归系数公式问题9.通过对上述问题的分析，我们知道可以用Q =2211ˆ()()nnii i i i i yyy bx a ==-=--∑∑最小来表示偏差最小，那么在这个式子中，当样本点的坐标(,)i i x y 确定时，a ，b 等于多少，Q 能取到最小值呢？【设计意图】体会最小二乘法思想，不经历公式化简无法真正理解其意义，而直接从n 个点的公式化简，教学要求、教学时间、学生能力都没达到这个高度．因而由具体到抽象，由特殊到一般，将是学生顺利完成这一认知过程的一般性原则．通过这个问题，让学生了解这个式子的结构，为后续的学习打下基础，同时渗透最小值的思想． 【设计说明】我们采用n 个偏差的平方和Q =2221122()()()n n y bx a y bx a y bx a --+--++--表示n 个点与相应直线在整体上的接近程度：记Q =21()nii i ybx a =--∑．通过化简，得到的其实是关于a 、b 的二元二次函数求最值的问题，一定存在这样的a 、b ，使Q 取到最小值． 教师指出：(1)在此基础上，视Q 为b 的二次函数时，根据有关数学原理分析，可求出使Q 为最小值时的b 的值的线性回归方程系数公式：1122211()(),().nnii i ii i nniii i xx y y x ynx y b xx xnxa y bx ====⎛--- ==-- =-⎝∑∑∑∑这样，回归方程的斜率为b ，截距为a ，即回归方程为y bx a =+．(2)),(y x 称为样本点的中心，可以证明回归直线一定过样本点的中心，所以可得a y bx =-． 最小二乘法：这种通过上式的最小值而得到回归直线的方法，即使得样本数据的点到回归直线的距离的平方和最小的方法叫做最小二乘法．四、理解新知例1.进一步探究引例—年龄与体内脂肪含量【设计意图】公式形式化程度高、表达复杂，通过分解计算，可加深对公式结构的理解．同时，通过例题，反映数据处理的繁杂性，体现计算器处理的优越性． 【设计说明】可让学生观察公式，充分讨论，通过计算：i i x y 、n 、x 、y 、1n i ii x y =∑、21nii x=∑六个数据带入回归方程公式得到线性回归方程，体会求线性回归方程的原理与方法．而后教师可偕同学生，对计算器操作方式提供示范，师生共同完成，得出回归直线方程为：0.6541 4.5659y x =-．(2)利用计算器，根据表二，请同学们独立解决求出表中两变量的回归方程．【设计意图】让学生独立体验运用计算器求回归直线方程，在重复求解回归直线的过程中，使学生掌握利用计算器求回归直线的操作方法．得出回归直线方程为：0.57650.4478y x =-．【设计说明】学生独立运用计算器求回归直线方程，对于不会操作的学生，教师给予必要的指导．继续思考下列问题：问题1.请同学们从表格中选取年龄x 的一个值代入上述回归直线的方程，看看得出的数据与真实数值之间的关系．如：x =50时，得出估计值为28.3772，而实际值为28.2，有偏差为什么？【设计意图】使学生理解线性回归方程的真正意义与作用，明确y 只是y 的一个估计值，将x 值带入后肯定有误差．问题2.试预测某人37岁时，他体内的脂肪含量，并说明结果的含义． 【设计意图】进一步理解线性回归方程的真正意义与作用．【设计说明】学生代入计算得20.883．教师进一步提问：我们能不能说他的体内脂肪含量的百分比一定是20.883%？学生思考回答：不能，只能说他体内的脂肪含量在20.90%附近的可能性比较大．问题3.同样问题背景，为什么回归直线不止一条？回归方程求出后，变量间的相关关系是否就转变成确定关系？【设计意图】明确样本的选择影响回归直线方程，体现统计的随机思想．同时，明确其揭示的是相关关系而非函数的确定关系，而且最小二乘法只是某一标准下的一种数据处理方法，使学生更全面的理解回归直线这一核心概念．【设计说明】教师说明回归直线方程由数据唯一决定，提供的数据不同，回归直线方程当然不同，同时回归直线方程又能反映数据的本质． 理解回归系数公式思考1.线性回归方程y bx a =+为何不记为y bx a =+？你能说明对于确定的x ，根据y bx a =+计算出的y 的意义吗？【设计意图】使学生理解线性回归方程的真正意义与作用，明确y 只是y 的一个估计值． 【设计说明】学生思考，教师帮助学生理解线性回归方程的意义与作用．思考2.这个公式不要求记忆，但要会运用这个公式进行运算，那么，要求,b a 的值，你会按怎样的顺序求呢？【设计意图】公式不要求推导，又不要求记忆，学生对这个公式缺少感性的认识，通过这个问题，使学生从感性的层次上对公式有所了解．【设计说明】由于这个公式比较复杂，因此在运用这个公式求,b a 时，必须要有条理，先求什么，再求什么．比如，我们可以按照i i x y 、n 、x 、y 、1ni ii x y=∑、21nii x=∑顺序来求，再代入公式．五、运用新知例2.有一个同学家开了一个小卖部，他为了研究气温对热饮销售的影响，经过统计，得到一1、画出散点图；23、求回归方程；4、如果某天的气温是2（2）2、从图3-1看到，各点散布在从左上角到由下角的区域里，因此，气温与热饮销售杯数之间成负相关，即气温越高，卖出去的热饮杯数越少。
两个变量的线性相关教案
两个变量的线性相关教案第一章：引言1.1 学习目标了解两个变量线性相关的概念掌握散点图在表示两个变量关系中的应用1.2 教学内容介绍两个变量线性相关的概念解释散点图在表示两个变量关系中的应用1.3 教学活动引入两个变量线性相关的概念，让学生初步了解通过实际例子，展示散点图在表示两个变量关系中的应用1.4 作业完成练习题，让学生巩固两个变量线性相关的概念第二章：线性相关性的判断2.1 学习目标学会判断两个变量之间的线性相关性掌握线性相关的判定方法2.2 教学内容介绍判断两个变量之间线性相关性的方法解释线性相关的判定方法2.3 教学活动通过实际例子，展示如何判断两个变量之间的线性相关性解释线性相关的判定方法，让学生能够运用到实际问题中2.4 作业完成练习题，让学生巩固判断两个变量之间线性相关性的方法第三章：线性回归方程的求解3.1 学习目标学会求解线性回归方程掌握线性回归方程的求解方法3.2 教学内容介绍线性回归方程的概念解释线性回归方程的求解方法3.3 教学活动通过实际例子，展示如何求解线性回归方程解释线性回归方程的求解方法，让学生能够运用到实际问题中3.4 作业完成练习题，让学生巩固线性回归方程的求解方法第四章：线性回归方程的应用4.1 学习目标学会应用线性回归方程解决实际问题掌握线性回归方程在实际问题中的应用方法4.2 教学内容介绍线性回归方程在实际问题中的应用解释线性回归方程的应用方法4.3 教学活动通过实际例子，展示如何应用线性回归方程解决实际问题解释线性回归方程的应用方法，让学生能够运用到实际问题中4.4 作业完成练习题，让学生巩固线性回归方程在实际问题中的应用方法5.1 学习目标掌握线性回归方程的求解与应用方法5.2 教学内容提出拓展问题，引导学生深入思考5.3 教学活动提出拓展问题，引导学生深入思考线性相关知识的应用5.4 作业完成练习题，让学生巩固本章所学内容回答拓展问题，展示学生对线性相关知识的深入理解第六章：相关系数的概念与计算6.1 学习目标理解相关系数的概念学会计算线性相关系数6.2 教学内容介绍相关系数的概念及其取值范围解释如何计算线性相关系数（皮尔逊相关系数）6.3 教学活动通过实际例子，解释相关系数的概念使用计算器或软件演示如何计算线性相关系数6.4 作业完成练习题，让学生巩固相关系数的概念及计算方法第七章：非线性关系的处理7.1 学习目标理解非线性关系与线性关系的区别学会处理非线性关系7.2 教学内容解释非线性关系的概念介绍处理非线性关系的方法，如多项式回归、逻辑回归等7.3 教学活动通过实际例子，展示非线性关系的特征介绍处理非线性关系的方法和工具7.4 作业完成练习题，让学生理解非线性关系及其处理方法第八章：线性回归模型的评估8.1 学习目标学会评估线性回归模型的有效性掌握评估线性回归模型的常用方法8.2 教学内容介绍评估线性回归模型的指标，如均方误差（MSE）、决定系数（R²）等解释如何使用这些指标来评估模型的有效性8.3 教学活动通过实际例子，展示如何评估线性回归模型的有效性介绍常用的评估方法和工具8.4 作业完成练习题，让学生掌握评估线性回归模型的方法和指标第九章：多重线性回归分析9.1 学习目标理解多重线性回归的概念学会进行多重线性回归分析9.2 教学内容介绍多重线性回归的概念和应用场景解释如何进行多重线性回归分析9.3 教学活动通过实际例子，展示多重线性回归的应用使用统计软件演示如何进行多重线性回归分析9.4 作业完成练习题，让学生理解多重线性回归的概念和应用第十章：案例分析与实践10.1 学习目标能够将线性回归模型应用于实际问题学会分析实际问题中的线性关系10.2 教学内容分析实际问题，确定变量之间的关系应用线性回归模型解决实际问题10.3 教学活动分析一个实际问题，引导学生识别变量之间的线性关系指导学生应用线性回归模型解决问题10.4 作业完成案例分析报告，让学生将线性回归模型应用于实际问题讨论案例中的发现和解决方法，展示学生对线性回归模型的深入理解重点和难点解析一、线性相关性的判断学生可能难以理解如何准确判断两个变量之间的线性相关性。
关于两个变量的线性相关的说课稿讲解
关于《两个变量的线性相关》的说课稿行知中学肖菊香尊敬的各位专家评委：大家好！今天我说课的课题是《两个变量的线性相关》。
对于本节课，我将以“教什么，怎么教，为什么这样教”为思路，从教材分析、目标分析、教法学法分析、教学过程分析和评价分析五个方面来谈谈我对教材的理解和教学的设计。
一、教材分析1.地位与作用在上一课时，学生已经懂得根据两个相关变量的数据作出散点图，并利用散点图直观认识变量间的相关关系。
这节课是在上一节课的基础上介绍利用线性回归思想对实际问题进行分析与预测。
为以后研究选修2-3第三章回归分析思想的应用奠定基础。
2. 学情分析学生已经具备了对样本数据进行初步分析的能力，且掌握了一定的计算机基础，能够根据两个相关变量的数据作出散点图；学生思维活泼，积极性高，已初步形成对数学问题的合作探究能力。
二、目标分析（一）教学目标1. 知识与技能：（1）理解最小二乘法和回归分析的思想；（2）能根据线性回归方程系数公式求出回归方程。
2. 过程与方法：（1）通过自主探究体会数形结合及最小二乘法的数学思想方法。
（2）通过动手操作培养学生观察、分析、比较和归纳能力，引出利用计算机等现代化教学工具的必要性。
3. 情感态度与价值观让学生理解两个变量的线性相关关系，增强应用回归直线方程对实际问题进行分析和预测的意识。
利用计算机让学生动手操作，合作交流激发学生的学习兴趣。
（二）重点难点重点：（1）了解最小二乘法和回归分析的思想。
（2）根据给出的线性回归方程的系数公式建立回归方程。
难点：建立回归思想，理解回归直线与观测数据的关系。
三、教法、学法分析（一）教法基于本节课的内容特点和学生的年龄特征，首先采用探究式教学方法创设情境，然后教师作为引导者和帮助者，采用启发式教学方法与学生共同经历回归分析的过程来完成教学。
（二）学法学生通过合作学习、自主学习和探究式学习的方式完成一个完整的数学学习过程。
1。
《两个变量的线性相关》教学设计
《两个变量的线性相关》教学设计教学目标：1、了解最小二乘法的思想，掌握回归直线方程的求解方法2、理解回归直线方程的意义3、体会统计思想与确定性思维的差异教学重难点：利用最小二乘法求回归系数教学过程：・线性回归分析：・概念解读：对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法叫做回归分析.通俗地讲，回归分析是寻找相关关系中非确定性关系的某种确定性.当两个具有相关关系的变量近似满足一次函数关系时，所进行的回归分析叫线性回归分析.・回归直线方程：・:♦概念解读：对于具有线性相关关系的两个变量X与y ,我们可以拟合许多条直线来表达它们之间的相关关系，而这许多直线中，最“贴近“〃个观测点(Xj )，i=1 ,2,3, ,n的数据的直线方程为g = a + bx.这里在y的上方加记号“人”，是为了区分旷的实际值y,表示当x 取值％(i=l,2,3,,n)时,g相应的观察值为Yi ,而直线上对应于A的纵坐标是a =a + bx「y = a + bx叫做y对x的回归直线方程，b叫做回归系数.要确定回归直线方程，只要确定a 与回归系数b.思想方法：。
把相关关系(不确定关系)转化为函数关系(确定关系)；。
根据不同的标准可画出不同的直线来近似表示这种线性关系.比方可以连接最左侧点和最右侧点得到一条直线，也可以让画出的直线上方的和下方的点数目相等…….我们希望找到一条直线，”从整体上看各点与此直线的距离最小”，即最贴近的数据点，最能代表变量x和y之间的关系.记此直线方程为：y = a + bx .・回归直线方程推导：由线性相关的两变量的散点图可确定多条直线，每一组差(i = 1,2,・・,〃)都刻画了实际观察值,与回归直线上相应点纵坐标之间的偏离程度.设所求的直线方程为y = a + bx ,其中a、b是待定系数.那么力=如+〃" = 1,2,….于是得到各个偏差y -z = 一一(如+4),(i = 1,2,•••,//).显见，偏差其-戈.的符号有正有负，假设将它们相加会造成相互抵消，所以它们的和不能代表几个点与相应直线在整体上的接近程度，故采用n个偏差的平方和Q =(Ji —bx x— a)2 + (y2~bx2— a)2 + +-bx” - a)2作为总离差,并使之到达最小.记Q二次(y-如-〃尸(£是求和符号). 1=1/=1这样，回归直线就是所有直线中Q取最小值的那一条.由于平方又叫二乘方, 所以这种使离差平方和为最小”的方法，叫做最小二乘法.上述式子展开后，是一个关于a、b的二次多项式，应用配方法，可求出使^(七一x)(» —y) ZZX 一〃Q为最小值时的a、b的值.即《^x^-nx其中叫的上方加“人”，表示是由观察值按最小二乘法求得的估计值，b 也叫回归系数.A求出后，回归直线方程就建立起来了.・回归直线方程的求法：根据最小二乘法的思想和公式，通过计算就可以方便地求出回归方程.第一步先求又，下，胃,又.y ；第二步求七七V；〃Zz y 一〃 X)'第三步求Xw；第四步代入公式求A = w—/=,1=1第五步代入公式求4 = y-派.代入直线方程得：y = bx + a.♦概念解读：(1)利用回归直线方程可由一个变量的值预测或控制另一个变量的值.借助计算器，特别是含两组数据的统计，用计算器能大大简化手工的计算，迅速得出正确结果；(2) "回归"和"相关”含义是不同的.如果两个变量中的一个变量是人为可以控制、非随机的，另一变量的变化是随机的且随控制变量的变化而变化，那么这两变量间的关系就称为回归关系；假设两个变量都是随机的，那么称它们之间的关系为相关关系，在本教材中，两者不加区别.(3)应在理解其各符号含义的情况下学会使用公式.例1求：(1)水稻产量与施化肥量的相关系数，并判断相关性的强弱; ⑵)，关于x的线性回归方程.例2在某种产品外表进行腐蚀线试验，得到腐蚀深度），与腐蚀时间x之间对应的一组数据:小数点后3位数字）（3）试预测腐蚀时间为100s时腐蚀深度是多少.课堂练习:课后作业:。
新人教B版必修三2.3.2《两个变量的线性相关》word教案1
新人教B版必修三2.3.2《两个变量的线性相关》word教案1两个变量的线性相关说课稿一、教学目标根据课标的要求及前面的分析，结合高二学生的认知特点确定本节课的教学目标如下：知识与技能：1. 知道最小二乘法和回归分析的思想；2. 能根据线性回归方程系数公式建立线性回归方程或根据给出的数据，应用图形计算器建立线性回归方程过程与方法：发现随机变量存在规律，经历线性回归分析过程，借助图形计算器得出回归直线，增强应用数学知识和信息技术解决实际问题的意识。
情感态度与价值观通过合作学习，养成倾听别人意见和建议的良好品质二、重点难点分析：根据目标分析，确定教学重点和难点如下：教学重点：1. 知道最小二乘法和回归分析的思想；2．会求回归直线教学难点：建立回归思想三、教学设计情问题1. 利用图形计算器作出散点图，并指出上面的两个变量是正相关还是负相关？教师提问，学生通过动手操作得出散点图并回答以旧“探”新：对旧的知识进行简要的提问复习，为本节课学生能够更好的建构新的知识做好充分的准备；尤其为一些后进生能够顺利的完成本节课的内容提供必要的基础。
境教师引导：通过上节课的学习，我们知道散点图是研究两个变量相关关系的一种重要手段。
下面，请同学们根据得出的散点图，思考下面的问题 2. 问题 2. 甲同学判断某人年龄在65 岁时体内脂肪含量百分比可能为34, 乙同学判断可能为25, 而丙同学则判断可能为37,你对甲，乙，丙三个同学的判断有什么看法？学生能够表达自己的看法。
有的学生可能会认为乙同学的判断是错误的；有的学生可能认为甲乙丙三个同学的判断都是对的，答案不唯一在小组讨论的形式下和比较哪个小组提出的问题多，学生之间会充分的进行交流，提出问题该问题具有探究性、启发性和开放性。
鼓励学生大胆表达自己的看法。
通过设计该问题，引导学生自己发现问题，注意到散点图中点的分布具有一定规律，体会观测点与回归直线的关系；进而引起学生的对本节课内容的兴趣。
2019-2020年高中数学必修三《两个变量的线性相关》第一课时教案
2019-2020年高中数学必修三《两个变量的线性相关》第一课时教案教学分析变量之间的关系是人们感兴趣的问题.教科书通过思考栏目“物理成绩与数学成绩之间的关系”,引导学生考察变量之间的关系.在教师的引导下,可使学生认识到在现实世界中存在不能用函数模型描述的变量关系,从而体会研究变量之间的相关关系的重要性.随后,通过探究人体脂肪百分比和年龄之间的关系,引入描述两个变量之间关系的线性回归方程（模型）.教科书在探索用多种方法确定线性回归直线的过程中,向学生展示创造性思维的过程,帮助学生理解最小二乘法的思想.通过气温与饮料销售量的例子及随后的思考,使学生了解利用线性回归方程解决实际问题的全过程,体会线性回归方程作出的预测结果的随机性,并且可能犯的错误.进一步,教师可以利用计算机模拟和多媒体技术,直观形象地展示预测结果的随机性和规律性.三维目标1.通过收集现实问题中两个有关联变量的数据认识变量间的相关关系.2.明确事物间的相互联系.认识现实生活中变量间除了存在确定的关系外,仍存在大量的非确定性的相关关系,并利用散点图直观体会这种相关关系.3.经历用不同估算方法描述两个变量线性相关的过程．知道最小二乘法的思想,能根据给出的线性回归方程的系数公式建立线性回归方程．重点难点教学重点：通过收集现实问题中两个有关联变量的数据直观认识变量间的相关关系；利用散点图直观认识两个变量之间的线性关系；根据给出的线性回归方程的系数公式建立线性回归方程．教学难点：变量之间相关关系的理解；作散点图和理解两个变量的正相关和负相关；理解最小二乘法的思想.课时安排2课时教学过程第1课时导入新课思路1在学校里,老师对学生经常这样说：“如果你的数学成绩好，那么你的物理学习就不会有什么大问题.”按照这种说法，似乎学生的物理成绩与数学成绩之间存在着一种相关关系.这种说法有没有根据呢?请同学们如实填写下表（在空格中打“√” ）:好中差你的数学成绩你的物理成绩学生讨论：我们可以发现自己的数学成绩和物理成绩存在某种关系.（似乎就是数学好的,物理也好；数学差的,物理也差,但又不全对.）物理成绩和数学成绩是两个变量,从经验看,由于物理学习要用到比较多的数学知识和数学方法.数学成绩的高低对物理成绩的高低是有一定影响的.但决非唯一因素,还有其他因素,如是否喜欢物理,用在物理学习上的时间等等.（总结：不能通过一个人的数学成绩是多少就准确地断定他的物理成绩能达到多少.但这两个变量是有一定关系的,它们之间是一种不确定性的关系.如何通过数学成绩的结果对物理成绩进行合理估计有非常重要的现实意义.）为很好地说明上述问题,我们开始学习变量之间的相关关系和两个变量的线性相关.(教师板书课题)思路2某地区的环境条件适合天鹅栖息繁衍，有人经统计发现了一个有趣的现象，如果村庄附近栖息的天鹅多，那么这个村庄的婴儿出生率也高，天鹅少的地方婴儿的出生率低，于是，他就得出一个结论：天鹅能够带来孩子.你认为这样得到的结论可靠吗？如何证明这个结论的可靠性？推进新课新知探究提出问题（1）粮食产量与施肥量有关系吗？“名师出高徒”可以解释为教师的水平越高,学生的水平也越高.教师的水平与学生的水平有什么关系？你能举出更多的描述生活中两个变量的相关关系的成语吗？（2）两个变量间的相关关系是什么？有几种？（3）两个变量间的相关关系的判断.讨论结果：（1）粮食产量与施肥量有关系,一般是在标准范围内,施肥越多,粮食产量越高；教师的水平与学生的水平是相关的,如水滴石穿,三人行必有我师等.我们还可以举出现实生活中存在的许多相关关系的问题.例如:商品销售收入与广告支出经费之间的关系.商品销售收入与广告支出经费有着密切的联系,但商品销售收入不仅与广告支出多少有关,还与商品质量、居民收入等因素有关.粮食产量与施肥量之间的关系.在一定范围内,施肥量越大,粮食产量就越高.但是,施肥量并不是决定粮食产量的唯一因素.因为粮食产量还要受到土壤质量、降雨量、田间管理水平等因素的影响.人体内的脂肪含量与年龄之间的关系.在一定年龄段内,随着年龄的增长,人体内的脂肪含量会增加,但人体内的脂肪含量还与饮食习惯、体育锻炼等有关,可能还与个人的先天体质有关.应当说,对于上述各种问题中的两个变量之间的相关关系,我们都可以根据自己的生活、学习经验作出相应的判断,因为“经验当中有规律”.但是,不管你的经验多么丰富,如果只凭经验办事,还是很容易出错的.因此,在分析两个变量之间的相关关系时,我们需要一些有说服力的方法.在寻找变量之间相关关系的过程中,统计同样发挥着非常重要的作用.因为上面提到的这种关系,并不像匀速直线运动中时间与路程的关系那样是完全确定的,而是带有不确定性.这就需要通过收集大量的数据(有时通过调查,有时通过实验),在对数据进行统计分析的基础上,发现其中的规律,才能对它们之间的关系作出判断.(2)相关关系的概念：自变量取值一定时,因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系,叫做相关关系.两个变量之间的关系分两类：①确定性的函数关系,例如我们以前学习过的一次函数、二次函数等；②带有随机性的变量间的相关关系,例如“身高者,体重也重”,我们就说身高与体重这两个变量具有相关关系.相关关系是一种非确定性关系.如商品销售收入与广告支出经费之间的关系.（还与商品质量、居民收入、生活环境等有关）(3)两个变量间的相关关系的判断：①散点图.②根据散点图中变量的对应点的离散程度,可以准确地判断两个变量是否具有相关关系.③正相关、负相关的概念.①教学散点图出示例题：在一次对人体脂肪含量和年龄关系的研究中,研究人员获得了一组样本数据：年龄23 27 38 41 45 49 50 脂肪9.5 17.8 21.2 25.9 27.5 26.3 28.2 年龄53 54 56 57 58 60 61 脂肪29.6 30.2 31.4 30.8 33.5 35.2 34.6 分析数据：大体上来看,随着年龄的增加,人体中脂肪的百分比也在增加.我们可以作散点图来进一步分析.②散点图的概念：将各数据在平面直角坐标系中的对应点画出来,得到表示两个变量的一组数据的图形,这样的图形叫做散点图，如下图.从散点图我们可以看出，年龄越大，体内脂肪含量越高.图中点的趋势表明两个变量之间确实存在一定的关系,这个图支持了我们从数据表中得出的结论.（a.如果所有的样本点都落在某一函数曲线上,就用该函数来描述变量之间的关系,即变量之间具有函数关系．b.如果所有的样本点都落在某一函数曲线附近,变量之间就有相关关系.c.如果所有的样本点都落在某一直线附近,变量之间就有线性相关关系）③正相关与负相关的概念：如果散点图中的点散布在从左下角到右上角的区域内,称为正相关.如果散点图中的点散布在从左上角到右下角的区域内,称为负相关.（注：散点图的点如果几乎没有什么规则,则这两个变量之间不具有相关关系）应用示例思路1例1 下列关系中,带有随机性相关关系的是_____________.①正方形的边长与面积之间的关系②水稻产量与施肥量之间的关系③人的身高与年龄之间的关系④降雪量与交通事故的发生率之间的关系解析：两变量之间的关系有两种：函数关系与带有随机性的相关关系.①正方形的边长与面积之间的关系是函数关系.②水稻产量与施肥量之间的关系不是严格的函数关系,但是具有相关性,因而是相关关系.③人的身高与年龄之间的关系既不是函数关系,也不是相关关系,因为人的年龄达到一定时期身高就不发生明显变化了,因而他们不具备相关关系.④降雪量与交通事故的发生率之间具有相关关系,因此填②④.答案：②④例 2 有关法律规定,香烟盒上必须印上“吸烟有害健康”的警示语.吸烟是否一定会引起健康问题?你认为“健康问题不一定是由吸烟引起的,所以可以吸烟”的说法对吗?分析：学生思考,然后讨论交流,教师及时评价.解：从已经掌握的知识来看,吸烟会损害身体的健康,但是除了吸烟之外,还有许多其他的随机因素影响身体健康,人体健康是很多因素共同作用的结果.我们可以找到长寿的吸烟者,也更容易发现由于吸烟而引发的患病者,所以吸烟不一定引起健康问题.但吸烟引起健康问题的可能性大.因此“健康问题不一定是由吸烟引起的,所以可以吸烟”的说法是不对的.点评：在探究研究的过程中,如果能够从两个变量的观察数据之间发现相关关系是极为有意义的,由此可以进一步研究二者之间是否蕴涵因果关系,从而发现引起这种相关关系的本质原因是什么.本题的意义在于引导学生重视对统计结果的解释,从中发现进一步研究的问题.思路2例1 有时候,一些东西吃起来口味越好,对我们的身体越有害.下表给出了不同类型的某种食品的数据.第二列表示此种食品所含热量的百分比,第三列数据表示由一些美食家以百分制给出的对此种食品口味的评价:品牌所含热量的百分比口味记录A 25 89B 34 89C 20 80D 19 78E 26 75F 20 71G 19 65H 24 62I 19 60J 13 52（1）作出这些数据的散点图.(2)关于两个变量之间的关系,你能得出什么结论?解：(1)散点图如下：(2)基本成正相关关系,即食品所含热量越高,口味越好.例2 案例分析：一般说来,一个人的身高越高,他的右手一拃长就越长,因此,人的身高与右手一拃长之间存在着一定的关系.为了对这个问题进行调查,我们收集了北京市某中学2003年高三年级96名学生的身高与右手一拃长的数据如下表.性别身高/cm 右手一拃长/cm 性别身高/cm 右手一拃长/cm 女152 18.5 女153 16.0女156 16.0 女157 20.0女158 17.3 女159 20.0女160 15.0 女160 16.0女160 17.5 女160 17.5女160 19.0 女160 19.0女160 19.0 女160 19.5女161 16.1 女161 18.0女162 18.2 女162 18.5女163 20.0 女163 21.5女164 17.0 女164 18.5女164 19.0 女164 20.0女165 15.0 女165 16.0女165 17.5 女165 19.5女166 19.0 女167 19.0女167 19.0 女168 16.0女168 19.0 女168 19.5女170 21.0 女170 21.0女170 21.0 女171 19.0女171 20.0 女171 21.5女172 18.5 女173 18.0女173 22.0 男162 19.0男164 19.0 男165 21.0男168 18.0 男168 19.0男169 17.0 男169 20.0男170 20.0 男170 21.0男170 21.5 男170 22.0男171 21.5 男171 21.5男171 22.3 男172 21.5男172 23.0 男173 20.0男173 20.0 男173 20.0男173 20.0 男173 21.0男174 22.0 男174 22.0男175 16.0 男175 20.0男175 21.0 男175 21.2男175 22.0 男176 16.0男176 19.0 男176 20.0男176 22.0 男176 22.0男177 21.0 男178 21.0男178 21.0 男178 22.5男178 24.0 男179 21.5男179 21.5 男179 23.0男180 22.5 男181 21.1男181 21.5 男181 23.0男182 18.5 男182 21.5男182 24.0 男183 21.2男185 25.0 男186 22.0男191 21.0 男191 23.0 （1）根据上表中的数据,制成散点图.你能从散点图中发现身高与右手一拃长之间的近似关系吗？（2）如果近似成线性关系,请画出一条直线来近似地表示这种线性关系.（3）如果一个学生的身高是188 cm,你能估计他的一拃大概有多长吗？解：根据上表中的数据,制成的散点图如下.从散点图上可以发现,身高与右手一拃长之间的总体趋势是成一直线,也就是说,它们之间是线性相关的.那么,怎样确定这条直线呢？同学1：选择能反映直线变化的两个点,例如（153,16）,（191,23）两点确定一条直线. 同学2：在图中放上一根细绳,使得上面和下面点的个数相同或基本相同.同学3：多取几组点对,确定几条直线方程.再分别算出各个直线方程斜率、截距的算术平均值,作为所求直线的斜率、截距.同学4：从左端点开始,取两条直线,如下图.再取这两条直线的“中间位置”作一条直线.同学5：先求出相同身高同学右手一拃长的平均值,画出散点图,如下图,再画出近似的直线,使得在直线两侧的点数尽可能一样多.同学6：先将所有的点分成两部分,一部分是身高在170 cm以下的,一部分是身高在170 cm 以上的；然后,每部分的点求一个“平均点”——身高的平均值作为平均身高、右手一拃的平均值作为平均右手一拃长,即（164,19）,（177,21）；最后,将这两点连接成一条直线. 同学7：先将所有的点按从小到大的顺序进行排列,尽可能地平均分成三等份；每部分的点按照同学3的方法求一个“平均点”,最小的点为（161.3,18.2）,中间的点为（170.5,20.1）,最大的点为（179.2,21.3）.求出这三个点的“平均点”为（170.3,19.9）.我再用直尺连接最大点与最小点,然后平行地推,画出过点（170.3,19.9）的直线.同学8：取一条直线,使得在它附近的点比较多.在这里需要强调的是,身高和右手一拃长之间没有函数关系.我们得到的直线方程,只是对其变化趋势的一个近似描述.对一个给定身高的人,人们可以用这个方程来估计这个人的右手一拃长，这是十分有意义的.知能训练一个车间为了规定工时定额,需要确定加工零件所花费的时间,为此进行了10次试验,收集数据如下：零件数x（个）10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 加工时间62 68 75 81 89 95 102 108 115 122y(min)画出散点图；关于加工零件的个数与加工时间,你能得出什么结论？答案：（1）散点图如下：（2）加工零件的个数与所花费的时间呈正线性相关关系．拓展提升以下是某地搜集到的新房屋的销售价格y和房屋的面积x的数据：房屋面积（m2）115 110 80 135 105销售价格（万元）24.8 21.6 18.4 29.2 22 （1）画出数据对应的散点图；（2）指出是正相关还是负相关;（3）关于销售价格y和房屋的面积x,你能得出什么结论？解：（1）数据对应的散点图如下图所示：（2）散点图中的点散分布在从左下角到右上角的区域内,所以是正相关.（3）关于销售价格y和房屋的面积x,房屋的面积越大,价格越高,它们呈正线性相关的关系. 课堂小结通过收集现实问题中两个有关联变量的数据作出散点图,并利用散点图直观认识变量间的相关关系.作业习题2.3A组3、4(1).设计感想本节课学习了变量之间的相关关系和两个变量的线性相关的部分内容,通过身边的具体实例说明了两个变量的相关关系,并学会了利用散点图及其分布来说明两个变量的相关关系的种类,为下一节课作了铺垫,思路1和思路2的例题对知识进行了巩固和加强,另外,本节课通过选取一些学生特别关心的身边事例,对学生进行思想情操教育、意志教育和增强学生的自信心,养成良好的学习态度和学习方法,树立时间观,培养勤奋、刻苦耐劳的精神.。
高中数学232两个变量的线性相关教案2新人教B版必修3教案
高中数学232两个变量的线性相关教案2新人教B版必修3教案教学目标:1.理解两个变量的线性相关概念，能够判断两个变量是否线性相关。
2.掌握计算两个变量之间的线性相关系数，并能够解释其意义。
3.能够利用线性相关系数分析两个变量之间的线性关系，并能够利用线性相关系数进行预测。
教学重点:1.线性相关的概念与判断。
2.线性相关系数的计算与解释。
教学难点:1.利用线性相关系数分析两个变量之间的线性关系。
2.利用线性相关系数进行预测。
教学准备:1.教师准备：(1) PowerPoint课件。
(2)板书工具。
2.学生准备：(1)纸与笔。
教学过程:Step 1 引入新课1.教师出示两幅数据图，并提问学生两个变量之间是否存在线性关系。
2.让学生讨论并给出自己的观点。
Step 2 线性相关的概念与判断1.教师简要介绍线性相关的概念。
2.教师以两幅数据图为例，引导学生观察变量之间的关系，并指导学生判断变量之间是否存在线性关系。
Step 3 线性相关系数的计算与解释1.教师引导学生思考如何定量地表示两个变量之间的线性相关程度。
2.教师介绍线性相关系数的概念，并以相关系数的计算公式为例，指导学生计算线性相关系数。
Step 4 利用线性相关系数分析两个变量之间的线性关系1.教师引导学生通过计算得到的线性相关系数来分析两个变量之间的线性关系。
2.教师以实际案例为例，与学生一起分析相关系数的意义和结果。
Step 5 利用线性相关系数进行预测1.教师引导学生思考如何利用线性相关系数进行预测。
2.教师以实际案例为例，指导学生计算线性相关系数并利用相关系数进行预测。
Step 6 总结与拓展1.教师与学生一起总结本节课学到的知识，梳理线性相关的概念与相关系数的计算方法。
2.教师布置相关练习作业，并引导学生进一步思考线性相关的应用场景。
教学辅助:1. PowerPoint课件。
2.板书。
教学评价:1.学生课堂参与度。
2.学生在相关习题中的解答能力。
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教师学科教案[ 20 – 20 学年度第__学期]
任教学科：_____________
任教年级：_____________
任教老师：_____________
xx市实验学校
《两个变量的线性相关》教案
教学目标
经历用不同估算方法描述两个变量线性相关的过程.知道最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程.
教学重点
经历用不同估算方法描述两个变量线性相关的过程.知道最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程.
教学过程
1．回顾上节课的案例分析给出如下概念: （1）回归直线方程 （2）回归系数 2．最小二乘法 3．直线回归方程的应用
（1）描述两变量之间的依存关系；利用直线回归方程即可定量描述两个变量间依存的数量关系
（2）利用回归方程进行预测；把预报因子（即自变量X ）代入回归方程对预报量（即因变量Y ）进行估计，即可得到个体Y 值的容许区间.
（3）利用回归方程进行统计控制规定Y 值的变化，通过控制X 的范围来实现统计控制的目标.如已经得到了空气中NO 2的浓度和汽车流量间的回归方程，即可通过控制汽车流量来控制空气中NO 2的浓度.
4．应用直线回归的注意事项 （1）做回归分析要有实际意义； （2）回归分析前,最好先作出散点图； （3）回归直线不要外延. 5．实例分析：
某调查者从调查中获知某公司近年来科研费用支出（i X ）与公司所获得利润（i Y ）的统计资料如下表：
科研费用支出（i X ）与利润（i Y ）统计表 单位：万元
要求估计利润（i Y ）对科研费用支出（i X ）的线性回归模型.
解：设线性回归模型直线方程为：i
i X Y 10ˆˆˆββ+= 56
30
===∑n
X
X i
306
180
==
=∑n
Y
Y i
因为：
根据资料列表计算如下表：
现利用公式（Ⅰ）、（Ⅱ）、（Ⅲ）求解参数10ββ、的估计值： 2
300600900120054006000302006180
3010006)(ˆ22
2
1==
--=
-⨯⨯-⨯=
--=∑∑∑∑∑i i i i i i X X n Y X Y X n β 20
5
230ˆˆ1
0=⨯-=-=X Y ββ
∑∑--=-=2
21
10)
(ˆˆˆX n X Y
X n Y X X Y i
i i βββ 20
5
230ˆˆ1
0=⨯-=-=X Y ββ
2
50100
5620030
5610002
==⨯-⨯⨯-=
∑∑---=
-=2
1
10)
())((ˆˆˆX X Y Y X X X Y i
i i
βββ 205230ˆˆ1
0=⨯-=-=X Y ββ
2
50100
==
所以：利润（i Y ）对科研费用支出（i X ）的线性回归模型直线方程为：i
i X Y 220ˆ+= 6、求直线回归方程，相关系数和作图,这些E X CEL 可以方便地做到.仍以上题的数据为例.于 E X CEL 表 中的空白区，选用"插入"菜单命令中的"图表"，选中 XY 散 点图类型，在弹出的图表向导中按向导的要求一步一步地 操作，如有错误可以返回去重来或在以后修改.适当修饰 图的大小、纵横比例、字体大小、和图符的大小等，使图 美观，最后得到图1，图中有直线称为趋势线，还有直线方程和相关系数.图中的每一个部份如坐标、标题、图例 等都可以分别修饰，这里主要介绍趋势线和直线方程.
图1散点图
鼠标右键点击图中的数据点，出现一个对话框，选 " 添加趋势线" ，图中自动画上一条直线，再以鼠标右击此线，出现趋势线格式对话框，选择线条的粗细和颜色，在选项中选取显示公式和显示R 平方值，确定后即在图中显示回归方程和相关系数.
7、课堂练习：第83页，练习A ,练习B
小结
经历用不同估算方法描述两个变量线性相关的过程.知道最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程.。