安徽省滁州二中高中数学《32立体几何中的向量方法》课件(2)新人教A版选修2-1

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高中数学 3.2立体几何中的向量方法(2)课件新人教版选修2-1

ppt精选
23
练一练·当堂检测、目标达成落实处
又 E，F 分别是 AD，PC 的中点，
∴E(0， 2，0)，F(1， 2，1)．
∴P→C＝(2,2 2，－2)，B→F＝(－1， 2，1)，E→F＝(1,0,1)．
本专题栏目
∴P→C·B→F＝－2＋4－2＝0，P→C·E→F＝2＋0－2＝0. ∴P→C⊥B→F，P→C⊥E→F.
开 E(2,2,1)，F(1,1,2)．
关
∴E→F＝(1,1,2)－(2,2,1)＝(－1，－1，1)．
A→B1＝(2,2,2)－(2,0,0)＝(0,2,2)， A→C＝(0,2,0)－(2,0,0)＝(－2,2,0)．
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12Leabharlann 研一研·问题探究、课堂更高效
而E→F·A→B1＝(－1，－1,1)·(0,2,2)
∴平面 BEF⊥平面 ABC.
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16
研一研·问题探究、课堂更高效
本小结向量法证明线、面位置关系的优越性体现在不必考
专题
虑图形的位置关系，恰当建系或用基向量表示后，只需经
栏目
过向量运算就可得到要证明的结果，思路方法很“公式
开关
化”．
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17
研一研·问题探究、课堂更高效
跟踪训练 3 如图所示，在六面体 ABCD—
跟踪训练 1 在棱长为 a 的正方体 OABC—O1A1B1C1 中，E、 F 分别是 AB、BC 上的动点，且 AE＝BF，求证：A1F⊥C1E. 证明以 O 为坐标原点建立如图所示的
空间直角坐标系，
本专
则 A1(a,0，a)，C1(0，a，a)．
题栏
设 AE＝BF＝x，

新人教A版(选修2-1)3.2《立体几何中的向量方法》(第1课时)ppt课件

→1， 1.如图，在长方体 ABCD－A1B1C1D1 中，试判断向量AA →1，CC →1，DD → 1，A → → → → BB 1A，B1B，C1C，D1D与平面 ABCD 的位置关系是什么？与平面 ABCD 满足此种关系的向量还有吗？它们的共同特点是什么？
2.在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中． (1)棱 AB，DC，D1C1，A1B1 之间的位置关系是什么？它们的方向向量之间又有什么关系？ (2)棱 A1B1，B1C1，C1D1，D1A1 与平面 ABCD 有什么样的位置关系？它们的方向向量与平面 ABCD 的法向量之间又有什么关系？ (3)平面 ABCD 和平面 A1B1C1D1 的位置关系是什么？它们的法向量之间又有什么关系？
•
已知正方体 ABCD － A1B1C1D1 的棱长为2，E、F分别是BB1、DD1的中点，求证： • (1)FC1∥平面ADE； • (2)平面ADE∥平面B1C1F.
• • • •
由题目可获取以下主要信息： ①ABCD－A1B1C1D1为正方体且棱长为2； ②E、F分别是BB1、DD1的中点．解答本题可先建系，求出直线的方向向量和平面的法向量，再利用方向向量和法向量间的关系判定线面、面面平行．
1 2 －2 解析： ∵α∥β，∴ ＝＝ k .∴k＝4. －2 －4
• 答案： C
• 3．已知直线l1的一个方向向量为(－7,3,4)，直线l2的一个方向向量为 (x ，y,8)，且l1∥l2，则x ＝________，y＝________.
－7 3 4 解析： ∵l1∥l2，∴ ＝＝， x y 8 ∴x＝－14，y＝6.
• 3．2 立体几何中的向量方法
• 第1课时空间向量与平行关系

人教A版高中数学选修2-1《3.2立体几何中的向量方法(二)》课件

知识点二向量法判断线面垂直
思考
若直线 l 的方向向量为 μ1＝2，43，1，平面 α 的法向量为 μ2＝ 3，2，32，则直线 l 与平面 α 的位置关系是怎样的？如何用向量法判断直线与平面的位置关系？答案
梳理
设直线l的方向向量a＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量μ＝(a2，b2，c2)，则 l⊥α⇔a∥μ⇔ a＝kμ(k∈R) .
思考
若直线l1的方向向量为μ1＝(1，3，2)，直线l2的方向向量为μ2＝ (1，－1，1)，那么两直线是否垂直？用向量法判断两条直线垂直的一般方法是什么？答案
梳理
设直线l的方向向量为a＝(a1，a2，a3)，直线m的方向向量为b＝(b1，b2，b3)，则l⊥m⇔ a·b＝0 ⇔ a1b1＋a2b2＋a3b3＝0 .
跟踪训练3 在四面体ABCD中，AB⊥平面BCD，BC＝CD，∠BCD＝ 90°，∠ADB＝30°，E、F分别是AC、AD的中点，求证：平面BEF⊥ 平面ABC. 证明
当堂训练
1.下列命题中，正确命题的个数为答案解析
①若n1，n2分别是平面α，β的法向量，则n1∥n2⇔α∥β； ②若n1，n2分别是平面α，β的法向量，则α⊥β ⇔ n1·n2＝0； ③若n是平面α的法向量，a与平面α平行，则n·a＝0；
C.a＝(0，1，－1)，b＝(0，－1，1)
D.a＝(1，0，0)，b＝(－1，0，0)
因为a＝(0，1，0)，b＝(1，0，1)，所以a·b＝0×1＋1×0＋0×1＝0，所以a⊥b，故选B.
12345
3.若直线l的方向向量为a＝(1，0，2)，平面α的法向量为μ＝(－2，0，－4)，则
A.l∥α
规律与方法
几何法

高中数学新人教A版选修2-1精品课件3.2《立体几何中的向量方法(二)》课件

置关系以及它们之间距离和夹角等问题；
（进行向量运算）
（3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义. （回到图形）
9
例1：如图1：一个结晶体的形状为四棱柱，其中，以
顶点A为端点的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角
都是60°，那么以这个顶点为端点的晶体的对角线的
长与棱长有什么关系？解:如图1,不妨设
引入
知识要点
练习巩固
思考1
例1的思考
1
2
方法小结
3
练习巩固
4
1详细答案
思考题
5
6
1答案
方法小结
7
8
（1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题(还常建立坐标系来辅助)；
（化为向量问题或向量的坐标问题）
（2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位
化为向量问题依据向量的加法法则，进行向量运算
D1
A1 D 图1
C1
B1
C
A
B
回到图形问题所以这个晶体的对角线的长是棱长的
课外思考(1)(2)(3)
倍。
10
思考： (1)本题中四棱柱的对角线BD1的长与棱长有什么关系？
(2)如果一个四棱柱的各条棱长都相等，并且以某一顶点为端点的各棱间的夹角都等于 , 那么有这个四棱柱的对角线的长可以确定棱长吗?
解：
A1 B1
H A D C D1 C1
B
∴ 所求的距离是
如何用向量法求点到平面的距离?
12
如何用向量法求点到平面的距离?
z
G
x
F
D
C

(教师参考)高中数学 3.2.2 立体几何中的向量方法课件1 新人教A版选修2-1

平面 , 的法向量分别为 u, v ，则
（3）u v u v0
β
u
v
α
精选ppt
13
A E = 3 F G AE // FG 2
AE与FG不共线
A
AE//FG
X
D
精选ppt
几何法呢？
EG
F
B
C Y
5
例2、四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正
方形，PD⊥底面ABCD，PD=DC, E是PC的
中点， (1)求证：PA//平面EDB.
Z
解1 立体几何法
P
E
D
, 的法向量分别为 u, v ，则
(1) lma b ab0
l
a
b
m
精选ppt
11
垂直关系：
设直线 l,m 的方向向量分别为 a, b ，
平面 , 的法向量分别为 u, v ，则
(2) l① a//u au
l
② a ⊥ A B , a ⊥ A C
u
a
C
A
B
精选ppt
12
垂直关系：
设直线 l,m 的方向向量分别为 a, b ，
F
E
2DBDE2EA
3
3
N
A
D
2(D A D C )D E 2(D A D E ) B M
3
3
C
几何法呢？
2DC1DE 所以 M N 、 D C 、 D E 共面 33
但 M N 平面 C D E 故 M N//平面 C D E
精选ppt
10
垂直关系：
设直线 l,m 的方向向量分别为 a, b ，
DE

高中数学 3.2 立体几何中的向量法课时2课件新人教A版选修2-1

2 22
2
A 1 A C A B A D 1 2 ( A A A B A D A 1 B A A A 1 D ) A
即a 23x 22 (3x 2co)s x 361cos a
∴ 这个四棱柱的对角线的长可以确定棱长。
（3）本题的晶体中相对的两个平面之间的距离是多少？（提示：
Hale Waihona Puke 求两个平行平面的距离，通常归结为求两点间的距离） D1
1 1 1 2 (c 6 o c 0 6 s o c 0 s 6 o )0 s
6
所以 | AC1 | 6 回到图形问题
这个晶体的对角线 AC 1 的长是棱长的 6 倍。
（1）本题中四棱柱的对角线BD1的长与棱长有什么关系？
分析: B1D BA BC B1B
D1
C1
其 A 中 B A 1 C 1 B ， 2 B B 1 B 0 6 C 0A1
第三章空间向量与立体几何
3.2 立体几何中的向量法 (2)
——空间向量与空间距离
本节课主要学习利用空间向量求空间距离.从复习一个向量在另一个向量上的射影入手，进行新课导入.以学生自主探究为主，探索用空间向量解决立体几何问题的三步曲. 接着探讨点点距离、点线距离、点面距离、线线距离、线面距离及面面距离的求法. 例1探索两点之间距离的求法.例2是求物体的受力大小问题，而实质还是求两点间的距离问题.
3
如图所示，在120°的二面角α ABβ中，AC⊂α， BD⊂β且AC⊥AB，BD⊥AB，垂足分别为A、B，已知AC＝ AB＝BD＝6，试求线段CD的长．
解 ∵AC⊥AB，BD⊥AB，∴C→A·A→B＝0，B→D·A→B＝0，
又∵二面角 α -AB-β 的平面角为 120°，

高中数学3.2立体几何中的向量方法第2课时空间向量与垂直关系课件新人教A版选修2_1

(2)若l∥m，m⊥α，则l⊥α 与平面的法向量是平行向
量
面面垂直
对于直线l，m和平面α，β (1)若l⊥α，l⊂β，则α⊥β. (2)若l⊥α，m⊥β，l⊥m，则 α⊥β. (3)若平面α与β相交所成的二面角为直角，则α⊥β
证明两个平面的法向量互相垂直
当堂达标固双基
1．若直线l的方向向量a＝(8，－12，0)，平面α的法向量μ＝
(1)证明两直线所成的角为90°. 两直线的方向向量互相
(2)若直线与平面垂直，则此直垂直
线与平面内所有直线垂直
线面垂直
ห้องสมุดไป่ตู้
(1)证明直线的方向向量
对于直线l，m，n和平面α 分别与平面内两条相交直
(1)若l⊥m，l⊥n，m⊂α，n⊂ 线的方向向量垂直．
α，m与n相交，则l⊥α.
(2)证明直线的方向向量
令z2＝4，得x2＝1，y2＝－1.∴n2＝(1，－1，4)． ∵n1·n2＝1×1＋1×(－1)＋0×4＝0. ∴n1⊥n2，∴平面AEC1⊥平面AA1C1C.
1．利用空间向量证明面面垂直通常可以有两个途径：一是利用两个平面垂直的判定定理将面面垂直问题转化为线面垂直进而转化为线线垂直；二是直接求解两个平面的法向量，由两个法向量垂直，得面面垂直．
[解] 由题意得AB，BC，B1B两两垂直．以B为原点，BA， BC，BB1分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．
则A(2，0，0)，A1(2，0，1)，C(0，2，0)，C1(0，2，1)， E0，0，12，
则A→A1＝(0，0，1)，A→C＝(－2，2，0)，A→C1＝(－2，2，1)，A→E ＝(－2，0，12)．
因为B→C·A→D＝－2＋2＋0＝0，B→C·A→A1＝0＋0＋0＝0，所以B→C⊥A→D，B→C⊥A→A1，所以BC⊥AD，BC⊥AA1，又AD∩AA1＝A，所以BC⊥平面ADA1，而BC⊂平面BCC1B1，所以平面A1AD⊥平面BCC1B1.

高中数学 3.2 立体几何中的向量法课时3课件新人教A版选修2-1

设直线 l的方向向量为 a ，平面 α 的法向量为 u ，且直线 l与平面 α 所成的角为 θ ( 0 ≤ θ ≤ π ) , 则
2
a u
u
l a
sin
au
l a
u
二面角
1 方向向量法 :将二面角转化为二面角的两个面
两个向量的夹角
如图,已知两个非零向量 a, b ,在空间任取一点 O , 作 OA a , OB b ,则 AOB 叫做向量 a 与 b 的夹角, 记作: a, b .
a
⑴范围: 0 ≤ a, b ≤ .
⑵ a, b＝b, a .
b
A
a
O
B
b
⑶如果 a, b ,则称 a 与 b 垂直,记为 a b .
B
n2
os |cosn1,n2|
u
v
α ,β 的夹角为 θ ，cos uv
| u || v |
u
v
,的夹角为，cos u v
| u || v |
典例展示
例1：如图，甲站在水库底面上的点A处，乙站在水坝斜面上的点B处。
从A，B到直线 l（库底与水坝的交线）的距离AC和BD分别为
(1)证明：连接AC,AC交BD于点G,连接EG.
z
依题意得A(1,0,0), P(0,0,1),
11 E(0, , ),
P
22
因为底面ABCD是正方形，
F
E
所以点G是此正方形的中心，
故点G的坐标为(1 ,1 ,0), 22
D
C y
A
G
B
x

高中数学 3.2.2立体几何中的向量方法(二)课件新人教A

设点F的坐标为(x, y, z),则PF (x, y, z 1)
因为PF k PB 所以( x, y, z 1) k(1,1, 1)
Z
P
(k,k,k)
即x k, y k, z 1 k
F
E
因为PB • DF 0
所以(1,1,1) • (k, k,1 k)
k k 1 k 3k 1 0A 所以k 1 F (1，1，2) X
平面 , 的法向量分别为 u, v ，则
rr
(3) , 的夹角为，则cosθ = cos < u,v >
u
v
例2 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是
正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC, E是PC的
中点，作EF⊥PB交PB于点F.
(1)求证：PA//平面EDB
P
(2)求证：PB 平面EFD
6 1
3
1 2
所以EFD 60o,即二面角 C PB D的大小为 60o.
例3、在底面是直角梯形的四棱锥S ABCD中，
ABC 90, SA 平面ABCD, SA AB BC 1,
AD 1 .求平面SCD与平面SBA所成的二面角的
2
z
正切值.
y
S
B
A
D
C x
A B C D 练1.在长方体ABCD
(3)求二面角C-PB-D的大小。
F
E
D A
C B
例2 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是
正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC, E是PC的
中点，作EF⊥PB交PB于点F.
(1)求证：PA//平面EDB
P
(2)求证：PB 平面EFD

高中数学人教A版选修2-1第三章3.2立体几何中的向量法课件

例1. 如图所示, 正方体的棱长为1 (1)直线OA的一个方向向量坐标为___(_1,_0_,_0_)___ (2)平面OABC 的一个法向量坐标为__(_0_,0__,1_)____ (3)平面AB1C 的一个法向量坐标为__(_-_1,_-1_,1_)____
例2.在空间直角坐标系中,已知A(3，0,0), B(0，4，0),C(0，0，2),试求平面ABC的一个法向量.
2、点到平面的距离
解：如图，以点D为原点，DA为 x轴，DC为y轴，பைடு நூலகம்D1为z轴，建立空间直坐标系O-xyz.
取x=1,得y=1,z=1 设点A到平面PQL的距离为d
课堂小结：
三角线线所成角，余弦不要绝对值；线面所成角，正弦加上绝对值；面面所成角，余弦加上绝对值，若要去掉绝对值，符号看图来决定！
立体几何中的向量方法
学习目标：
1、理解直线的方向向量和平面的法向量； 2、能用向量语言表达线线、线面、面面的平行和垂直关系； 3、能用向量法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角问题； 4、会用向量法求两异面直线和点到平面之间的距离。
一、空间两点间的距离公式
二、方向向量与法向量
注意：（1）直线的方向向量不唯一（2）直线的方向向量必须是非零向量
两距离线线之间的距离，公垂向量是关键；两线各取一个点，连线之后找投影；点面之间的距离，先来求出法向量，平面之内任取点，点点连线找投影！
注意：法向量不唯一
三、直线与平面、平面与平面的平行与垂直的判断
1、线面平行
2、线面垂直
3、面面平行
4、面面垂直
四、利用向量求空间的角
1、异面直线所成角
例：如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中， E,F分别是AB,A1D1的中点，求直线EF 与BD1所成角的余弦值。

3.2《立体几何中的向量方法》课件(人教A版选修2-1)

若将问题换为 l⊥ ，则u和v
又是怎样的关系？
l⊥u∥v u=kv
v
(a1,b1,c1)=k(a2,b2,c2)
a1=ka2, b1=kb2, c1=kc2
u
l
u l
有了向量的运算，才有几何关系的结论。
思考：空间中，以下三种平行关系如何用向量判断？
ur ur ur ur
l1 // l2 eur1 // eu2ur eu1ruur e2
r
uuuur r
n (1, 1, 1) 所以MN n 0
B
……
Cy
例 2 在空间直角坐标系中,已知 A(3,0,0), B(0,4,0) , C(0,0, 2) ,试求平面 ABC 的一个法向量.
r
r
n (4, 3, 6)
解:设平面 r uuur
ArBCu的uur一个u法uur向量为
n
(
x
意一点P。
三、平面的法向量
l⊥ 取直线 l 的方向向量 n ，则向量
n叫做平面的法向量。
l
n
P
练习：如图，长方体的各棱长分别
为2、3、6，请以A点为基点说出
A1的位置向量及这些点的坐标，直线ＢＣ的一个方向向量，平面ＡＢ
ＣＤ的一个法向量。
z
A1
D1
B1
C1 3
A
B 6
x
D
2y
C
练习
r
r
1.已知平面上的两个向量a (2,3,1),b (5,6,4),
l1 // 1 e1 n1 e1 n1 0
1 // 2
uur uur uur uur
n1 // n2 n1 n2
uur

安徽省滁州市第二中学高中数学课件选修2-1：3.2立体几何中的向量方法(2)

(x,
x
x
y, z
)A
z x y
0 0
C y
B
取x=1,得y=-1,z=-1, ∴ n (1, 1, 1)
又 MN n ( 1 , 0, 1 ) (1, 1, 1) 0,∴ MN ⊥ n 22
∴ MN ∥ 平面A1BD
第五页，编辑于星期日：八点四十四分。
例1 如图,在正方形ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是C1C
B
A D
C
A1
C1
M
B1
第十一页，编辑于星期日：八点四十四分。
AD)
2
CC1
(a 2
b)
2
c.
∴
A1O
BD
(c
1 2
a
1 2
b)
(b
a)
c(b
a)
1 2
(a
b) (b
a)
c
b
c
a
1
2
(b
2
a)
1
(|
b
|2
|
a
|2 )
0
2
2
同理 A1O OG 0.∴ A1O ⊥ BD, A1O ⊥ OG.又B D
∴ A1O ⊥ 平面GBD
OG O,
第八页，编辑于星期日：八点四十四分。
zxxkw
分析:证明线面问题,可利用三种方法:一是证明 MN与平面 A1BD的法向量垂直;二是在平面A1BD内找一向量与 MN
平行;三是证明 MN可以用平面 A1BD中的两不共线向量线性表示.组卷网
D! A!
D A
N C! B! M
C B
第四页，编辑于星期日：八点四十四分。

人教A版高中数学选修2-1课件高二《3.2立体几何中的向量方法(2)》.pptx

② 直线与平面的法向量平行. 3. 面面垂直： ① 一个平面经过另一个平面的垂线；
② 两平面的法向量平行. 4. 两异面直线的公垂线：
与两异面直线都垂直且相交的直线.
例题分析
例 1. 如图，在四棱锥E ABCD中，AB 平面BCE，CD 平面BCE，AB BC CE 2CD 2，BCE 120. 求证：平面ADE 平面ABE.
知识归纳
1. 线线垂直： ① 三垂线定理及逆定理； ② 利用a b a b 0. 2. 线面垂直： ① 直线垂直于平面内的两相交直线；
② 直线与平面的法向量平行. 3. 面面垂直： ① 一个平面经过另一个平面的垂线；
② 两平面的法向量平行.
知识归纳
1. 线线垂直： ① 三垂线定理及逆定理； ② 利用a b a b 0. 2. 线面垂直： ① 直线垂直于平面内的两相交直线；
C
E
P
FB
GABiblioteka 例题讲解思考题：已知平行六面体ABCD A1B1C1D1的底面
ABCD为菱形，且C1CB C1CD BCD.
（1）求证：CC1 BD；
（2）当 CD CC1
的值为多少时，能使 A1C
平面C1BD？请给出证明.
课后作业
《学案》P87 面双基训练.
空白演示
在此输入您的封面副标题
主讲：陈震
知识归纳
1. 线线垂直： ① 三垂线定理及逆定理； ② 利用a b a b 0.
知识归纳
1. 线线垂直： ① 三垂线定理及逆定理； ② 利用a b a b 0. 2. 线面垂直： ① 直线垂直于平面内的两相交直线；
② 直线与平面的法向量平行.
A
E
D
C
B
例题分析

(教师参考)高中数学 3.2.3 立体几何中的向量方法名师课件2 新人教A版选修2-1

B(0, a,0)
C1 (0,0, b)
B1 (0, a, b) D(
3 a, 1 a,0) 44
故 AB1 (
3 a, 1 a,b) 22
BC1 (0,a,b)
Q AB1 BC1,

uuur AB1

uuuur BC1

1 2
a2
则可设 a =1，b
b2

0 b 2 a
解：如图，AC a，BD b，CD c，AB d. 化为向量问题

B
C
根据向量的加法法则 AB AC CD DB
D
进行向量运算
A
d2

2
AB

( AC

CD

DB)2
图3
2
2
2
AB CD BD 2( AC CD AC DB CD DB)
F1C1
B1
A1
D1 C
B
A
解：以点C为坐标原点建立空间直角坐标系C x如yz图
所示，设
则CC：1 1
A(1,0,0), B(0,1,0),
1
11
F1( 2 , 0, a), D1( 2 , 2 ,1)
F1C1 z
A1
D1 C
所以：
cos
uAuuBFuuuDru1uur1ur(u(u12u12u,r, 012,1,1)), AF1, BD1 |
Dy
C
二面角的平面角
①方向向量法将二面角转化为二面角的两个面的
方向向量（在二面角的面内且垂直于二面角的棱）
的夹角。如图，设二面角 l 的大小为

人教A版高中数学选修2-1课件3.2立体几何中的向量方法2(33张PPT).pptx

面面平行 ∥ u ∥ v u kv.
注意：1.这里的线线平行包括线线重合，线面平行包括线在面内，面面平行包括面面重合。
设直线 l, m 的方向向量分别为 a, b ，
平面, 的法向量分别为 u, v ，则线线垂直 l ⊥ m a ⊥ b a b 0 ；
线面垂直 l ⊥ a ∥ u a ku ；面面垂直 ⊥ u ⊥ v u v 0.
D1
C1
A1
B1
D
C
A
B
图1
练习.(P107.2)如图，60°的二面角的棱上
有A、B两点，直线AC、BD分别在这个二面角的
两个半平面内,且都垂直AB, 已知AB＝4,AC＝6，
BD＝8，求CD的长.
解1
68
C
A
B D
补充知识点1：点到面的距离问题：
如图 A, 空间一点 P 到平面的距离为 d,已知平面的
r uuur r
一个法向量为 n ,且 AP 与 n 不共线,
P r
分析:过 P 作 PO⊥ 于 O,连结 OA.
n
则
d=|
uuur PO
|=
|
uuur PA
|
cos
APO.
A O
∵
uuur PO
⊥
,
r n
,
∴
uuur PO
∥
r n
.
∴cos∠APO=|cos
uuur PA,
r n
|.
∴d=|
uuur PA
所以PB 平面EFD X
D
C Y
B
例2：如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱 PD⊥底面ABCD，PD=DC,E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F. (2)求证：PB⊥平面EFD