高等数学考研知识点总结6

第六讲 一元函数微积分的应用一、考试要求1、理解（了解）函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法，掌握函数最大值和最小值的求法及其应用。

2、会用导数判断函数图形的凹凸性，会求函数图形的拐点，会求水平、铅直和斜渐近线，会描绘函数的图形。

3、了解曲率和曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径（*）4、掌握用定积分表达和计算一些几何量与物理量（平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积、变力作功、引力、压力、质心等）及函数的平均值。

（数三、四只要求面积、旋转体的体积及简单的经济应用）二、 导数的应用主要涉及如下几个方面 1、求曲线的切线及法线方程 2、判断函数的单调性、凹凸性 3、研究函数的极值和最值 4、证明恒等式（不等式） 5、求渐进线方程 6、函数作图 7、方程根的确定 1、求曲线的切线与法线方程1、切线方程 ))((000x x x f y y -'=-2、法线方程 )()(1000x x x f y y -'-=- 注：若0)(0='x f ，切线方程为)(0x f y =，法线方程为0x x =若∞=')(0x f ，切线方程为0x x =，法线方程为)(0x f y =例1、设)(x f 是可导的偶函数，它在0=x 的某邻域内满足)(2)sin 1(3)(2222x o x x f e f x +=+-，求曲线)(x f y =在点))1(,1(--f 处的切线方程及法线方程。

例2、（021）已知曲线)(x f y =与⎰-=x t dt ey arctan 02在)0,0(处的切线相同，写出此切线方程，并求极限2lim ()n nf n→∞2、 函数的单调性、凹凸性、极值、曲线的拐点 函数的单调性与极值定理：设f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，① 如果在(a,b)内0)(>'x f ，则函数y=f(x)在[a,b]上单调增加； ② 如果在(a,b)内0)(<'x f ，则函数y=f(x)在[a,b]上单调减少.定理：1)(取极值的必要条件)设)(x f 在0x 达到极大或极小值，并且在0x 的某个邻域内可微，则.0)('0=x f2）两个充分条件：（1）如果存在0>δ使得(i) )(x f 在),(00δδ+-x x 中有定义；（ii ）∈∀≤x x f ,0)('),(00x x δ-;（iii ）∈∀≥x x f ,0)('),(00x x +δ; 则函数)(x f 在0x 的达到极小值。

类似：)(x f 在0x 的达到极大值。

（2）如果存在0>δ使得(i) )(x f 在),(00δδ+-x x 中有定义；（ii ）0)('0=x f ; （iii ）;0)(''0<x f 则函数)(x f 在0x 的达到极大值。

类似：)(x f 在0x 的达到极小值。

3 函数的最大值、最小值4 函数图形的凹凸性和拐点1）凹凸性的定义，性质和判别方法（见第六章）； 2）拐点的定义：连续曲线上凹凸的分界点。

3）求法：若0)(''0=x f (或)(''0x f 不存在但)(x f 在0x 连续)，则当)(''x f 在0x 的左右两侧的某个邻域内符号恒保持相反时，))(,(00x f x 是曲线的)(x f y =的拐点；当)(''x f 在0x 的左右两侧的某个邻域内符号恒保持相同时，))(,(00x f x 不是曲线的)(x f y =的拐点。

例3、已知0)(lim,0)(0=>''→xx f x f x ，则当x>0时，f(x)（A ） 单调递减大于零 （B ） 单调递增大于零（C ） 单调递减小于零 （D ） 单调递增小于零例4、设函数f(t)满足tf(t)>0(t ≠0)，则函数的单调减少区间为例5、设f(x)在x=0的某邻域内连续，且1)(lim20=→x x f x ，则x=0处f(x)(A) 取得极大值 (B) 取得极小值 (C) 不可导 (D) 可导且0)0(≠'f例6、（031）设f(x)在),(+∞-∞内连续，，其导函数的图形如图所示，则f(x)有 (A) 一个极小值点和两个极大值点 (B) 两个极小值点和一个极大值点 (C) 两个极小值点和两个极大值点 (D) 三个极小值点和一个极大值点x例7、已知f(x)满足x x f x f ='+''2)]([)(，且0)0(='f ，则(A) f(0)是f(x)的极大值 (B) f(0)是f(x)的极小值(C) (0,f(0))是曲线y=f(x)的拐点 (D) f(0)不是极值，(0,f(0))不是拐点例8、（0512，11分） 如图，曲线C 的方程为y=f(x),点（3，2）是它的一个拐点，直线1l 与2l 分别是曲线C 在点（0，0），（3，2）处的切线，其交点为（2，4）。

设函数f(x)具有三阶连续导数，计算定积分⎰'''+302)()(dx x f x x 。

例9、设f(x)满足(1) 若f(x)在x=c （c ≠0）处有极值，证明它是极小值； (2) 若f(x)在x=0处有极值，它是极小值还是极大值？例10、试求 的极值例11、求函数例12、（102）求函数()()2221x t f x x t e dt -=-⎰的单调区间与极值..3、利用导数证明不等式例13、求证：当0>x 时， xxx +>+1arctan )1ln(例14、 (99 1) 试证：当x>0例15、 (99 4)例16、（0412）设2e b a e <<<，证明)(4ln ln 222a b ea b ->-本题也可设辅助函数为2222),(4ln ln )(e x a e a x ea x x <<<---=ϕ或2222),(4ln ln )(e b x e x b ex b x <<<---=ϕ，再用单调性进行证明即可。

4、函数作图(渐近线) 作图步骤：y=f(x) (1) 确定定义域；(2) (3) 求单调区间、凹凸区间；极值、拐点； (4) 求渐近线； (5) 描点作图。

曲线的渐近线1）如果C x f x =∞→)(lim （常数），则C y =是曲线)(x f y =的一条水平渐近线；2）如果∞=→)(lim 0x f x x ，则0x x =是曲线)(x f y =的一条垂直渐近线；3）如果a xx f x =∞→)(lim（常数），且b ax x f x =-∞→])([lim （常数），则b ax y +=是曲线)(x f y =的一条斜渐近线；注 上述极限都可以换为单边极限。

例17的图形。

例18、（0034）求函数xe x y arctan 2)1(+-=π的单调区间和极值及该函数图形的渐近线。

例19 （07数1-2）曲线)1ln(1x e xy ++=的渐近线的条数---------- （A ）0. （B ）1. （C ）2. （D ）3.5 求曲线的曲率，曲率半径设y=f(x): k y y =''+'()123, 或曲线x t y t ==⎧⎨⎩ϕψ()()，k t t t t t t ='''-''''+'ϕψϕψϕψ()()()()(()())223曲率半径 KR 1=例20（092）若()f x ''不变号，且曲线()y f x =在点(1,1)上的曲率圆为222x y +=，则()f x 在区间(1,2)内（ ）（A ）有极值点，无零点. （B ）无极值点，有零点. （C ）有极值点，有零点. （D ）无极值点，无零点. 【答案】 应选B【详解】 由题意可知，()f x 是一个凸函数，即()0f x ''<，且在点(1,1)处的曲率322||(1())y y ρ''=='+，而(1)1f '=-，由此可得，(1)2f ''=-，在[1,2]上，()(1)10f x f ''≤=-<，即()f x 单调减少，没有极值点。

由拉格朗日中值定理 (2)(1)()1f f f '-=<-ξ，(1,2)∈ξ，所以(2)0f <，而(1)10f =>，由零点定理知，在(1,2)内()f x 有零点，故应选（B ）.二、定积分的应用(1) 平面图形的面积：1) y=f(x)与x轴所围图形的面积(2) 空间立体的体积：1)已知平行截面面积的立体体积2) 旋转体的体积(3)(数一\二)1)2)(5) 函数在区间的平均值（数三，四）：.)(1⎰-=badx x f a b y(6)（数一） 定积分的物理应用（变力作功、引力、压力）：用微元法分析，其基本步骤为：第一步，建立坐标系，选定积分变量，并确定其变化区间；第二步，在[a,b]内任取小区间[x,x+dx],设想产生该整体量Q 的某物理量是不变的， 求出Q ∆的近似值dx x f dQ )(=； 第三步，计算⎰=ba dx x f Q .)(1 利用定积分求面积与体积例21、设在区间[a,b](B) (D) .例22、设f(x),g(x)在区间[a,b]上连续，且g(x)<f(x)<m(m 为常数)，则曲线y=g(x),y=f(x), x=a 及x=b 所围平面图形绕直线y=m 旋转而成的旋转体体积为(B)(C)例23、已知曲线)0(3≥=x x y 上点A 作切线，使该切线与曲线及x 轴所围成的平面图形的面积为3/4 （1）求A 的坐标。

（2）求阴影部分分别绕x 轴与直线x=2旋转一周所的旋转体的体积。

例24、已知点A 与B 的直角坐标为(1,0,0)与(0,1,1), 线段AB 绕z 轴旋转一周所成的旋转曲面为S ，求由S 及两平面z=0,z=1所围成的立体体积。

例25 设平面图形xy x y x A ≥≤+与由222所确定，求图形A 绕直线x=2旋转一周所得旋转体的体积。

2 旋转体表面积计算（数一，二）例26 设有曲线1-=x y ，过原点作其切线，求由此曲线、切线及x 轴围成的平面图形绕x 轴旋转一周所得到的旋转体的表面积.3 函数平均值计算（数三）例27 函数221x x y -=在区间]23,21[上的平均值为.1213sin 13212/12/311362232122πππ+=-=--=-=⎰⎰⎰tdt dx xx ydx ab y b a4 物理及经济应用例28、（031）某建筑工程打地基时，需用汽锤将桩打进土层. 汽锤每次击打，都将克服土层对桩的阻力而作功. 设土层对桩的阻力的大小与桩被打进地下的深度成正比（比例系数为k,k>0）.汽锤第一次击打将桩打进地下a m. 根据设计方案，要求汽锤每次击打桩时所作的功与前一次击打时所作的功之比为常数r(0<r<1). 问(1) 汽锤击打桩3次后，可将桩打进地下多深？(2) 若击打次数不限，汽锤至多能将桩打进地下多深？ （注：m 表示长度单位米.）【分析】 本题属变力做功问题，可用定积分进行计算，而击打次数不限，相当于求数列的极限.【详解】 (1) 设第n 次击打后，桩被打进地下n x ，第n 次击打时，汽锤所作的功为),3,2,1( =n W n . 由题设，当桩被打进地下的深度为x 时，土层对桩的阻力的大小为kx ，所以22101221a kx k k x d x W x ===⎰，).(2)(22222122221a x k x x k kxdx W x x -=-==⎰由12rW W =可得2222ra a x =- 即 .)1(222a r x += ].)1([2)(22232223332a r x k x x k kxdx W x x +-=-==⎰由1223W r rW W ==可得22223)1(a r a r x =+-， 从而 a r r x 231++=，即汽锤击打3次后，可将桩打进地下am r r 21++.（2） 由归纳法，设a r r r x n n 121-++++= ，则)(222111n n x x n x x k kxdx W n n-==++⎰+=].)1([22121a rr x k n n -++++- 由于1121W r W r rW W n n n n ====-+ ，故得22121)1(a r a rr x n n n =+++--+ , 从而 .11111a rr a r r x n nn --=+++=++于是 a rx n n -=+∞→11l i m 1， 即若击打次数不限，汽锤至多能将桩打进地下a r-11m. 例29、 L(x)的变化率为问1) 售出40台空调器的总利润；2) 售出30台的平均利润各为多少？解 1） 2)。