《圆基本性质与相似形》训练(3)

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圆的问题专题

专题-圆的问题专题知识回顾一、与圆有关的概念与规律1．圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。

定点称为圆心，定长称为半径。

圆的半径或直径决定圆的大小，圆心决定圆的位置。

2.圆的性质：（1）圆具有旋转不变性；（2）圆具有轴对称性；（3）圆具有中心对称性。

3.垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。

4．推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．5．圆心角：顶点在圆心上的角叫做圆心角。

圆心角的度数等于它所对弧的度数。

6．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦心距也相等。

在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么他们所对的圆心角相等，所对的弦相等，所对的弦心距也相等。

在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么他们所对的圆心角相等，所对的弧相等，所对的弦心距也相等。

7.圆周角：顶点在圆周上，并且两边分别与圆相交的角叫做圆周角。

8.在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．9．半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．10. 点和圆的位置关系：① 点在圆内点到圆心的距离小于半径② 点在圆上点到圆心的距离等于半径③ 点在圆外点到圆心的距离大于半径11. 过三点的圆：不在同一直线上的三个点确定一个圆。

12. 外接圆和外心：经过三角形的三个顶点可以做一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆。

外接圆的圆心，叫做三角形的外心。

外心是三角形三条边垂直平分线的交点。

外心到三角形三个顶点的距离相等。

13．若四边形的四个顶点都在同一个圆上，这个四边形叫做圆内接四边形，这个圆叫做这个四边形的外接圆。

14．圆内接四边形的特征：⇔⇔⇔①圆内接四边形的对角互补；②圆内接四边形任意一个外角等于它的内对角。

15.直线与圆有3种位置关系：如果⊙O 的半径为r ，圆心O 到直线的距离为d ，那么① 直线和⊙O 相交；② 直线和⊙O 相切；③ 直线和⊙O 相离。

2020中考数学复习图形的性质基础练习题3(附答案) (1)

2020中考数学复习图形的性质基础练习题3（附答案）1．如图，在六边形ABCDEF 中，A B E F α∠+∠+∠+∠=，CP DP 、分别平分BCD CDE ∠∠、，则P ∠的度数为（）A ．11802α-oB ．11802α-oC ．12α D ．13602α-o 2．如图，已知AOB ∠，以点O 为圆心，以任意长为半径画弧①，分别交OA ，OB 于点E ，F ，再以点E 为圆心，以EF 长为半径画弧，交弧①于点D ，画射线.OD 若26AOB ∠=o ，则BOD ∠的补角的度数为( )A ．38oB ．52oC ．128oD ．154o3．如图，已知在△ABC 中，CD 是AB 边上的高线，BE 平分∠ABC ，交CD 于点E ，BC =6，DE =3，则△BCE 的面积等于（）A ．6B ．8C ．9D ．184．以长为8cm 、6cm 、10cm 、4cm 的四条线段中的三条线段为边，可以画出三角形的个数为（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个5．如图，是某住宅小区平面图，点B 是某小区“菜鸟驿站”的位置，其余各点为居民楼，图中各条线为小区内的小路.从居民楼点A 到“菜鸟驿站”点B 的最短路径是（）A ．A C G EB ----B ．AC E B --- C ．AD GE B ---- D ．AF E B ---6．如图，将△ABC 绕点C 按逆时针方向旋转45°后得到△A ′B ′C ′，若∠A ＝45°，∠B ′＝100°，则∠BCA ′的度数是（）A ．10°B ．15°C ．20°D ．25°7．下列图形中不可能是正多边形的是（）A ．三角形B ．正方形C ．四边形D ．梯形8．将正方形ABCD 与等腰直角三角形EFG 如图摆放，若点M 、N 刚好是AD 的三等分点，下列结论正确的是（）①△AMH ≌△NME ；②12AM BF =；③GH ⊥EF ；④S △EMN ：S △EFG ＝1：16A ．①②③④B ．①②③C ．①③④D ．①②④9．如图，矩形ABCD 的外接圆O 与水平地面有唯一交点A ，圆O 的半径为4，且»BC＝2»AB ．若在没有滑动的情况下，将圆O 向右滚动，使得O 点向右移动了98π，则此时该圆与地面交点在（）上．A ．»AB B ．»BC C ．»CD D ．»DA10．如图，已知ΔABC 和ΔDCE 均是等边三角形，点B ，C ，E 在同一条直线上，AE 与CD 交于点G ，AC 与BD 交于点F ，连接FG ，则下列结论： ①AE=BD ；②AG =BF ；③FG ∥BE ；④CF=CG.其中正确的结论为____________.11．指出命题“对顶角相等”的题设和结论，题设_____，结论_____．12．在半径为7cm 的圆中，若弦AB ＝7cm ，则弦AB 所对的圆周角的度数是_____ 13．如图，将矩形纸片ABCD 折叠，使点C 与点A 重合，其中4,8AB BC ==，则AE 的长度为__________．14．已知在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝5，AC ＝12，E 为线段AB 的中点，D 点是射线AC 上的一个动点，将△ADE 沿线段DE 翻折，得到△A′DE ，当A′D ⊥AB 时，则线段AD 的长为_____．15．如图，已知AD ∥BC ,∠B ＝30°，DB 平分∠ADE ，则∠ADE ＝________；16．如图，已知：等腰Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，BC ＝2，E 为边AB 上任意一点，以CE 为斜边作等腰Rt △CDE ，连接AD ，下列说法：①∠BCE ＝∠AED ；3中正确的结论有_____．（填写所有正确结论的序号）17．如图，在四边形ABCD 中，2AB =，2BC =，3CD =，1DA =，且90ABC ∠=︒，则BAD ∠=______度.18．如图，点E 在正方形ABCD 内，△ABE 是等边三角形，点P 是对角线AC 上的一个动点，若AC ＝4，则PD +PE 的最小值为_____．19．如图，△ABC 中，∠ACB ＝90°，AB ＝5，AC ＝3，BC 为半圆O 的直径，将△ABC 沿射线CB 方向平移得到△A 1B 1C 1．当A 1B 1与半圆O 相切于点D 时，平移的距离的长为_____．20．如图，C 是线段AB 上一点，M 是AC 的中点，N 是CB 的中点，如果AB=10cm ．求：MN 的长．21．计算：(1)50°24′×3＋98°12′25″÷5；(2)100°23′42″＋26°40′28″＋25°30′16″×4.22．正方形网格中的每个小正方形边长都是1，（1）请在图中画出等腰△ABC ，使AB ＝AC 5BC 2；（2）在△ABC 中，AB 边上的高为．23．如图，点C在射线OA上，射线CE平分∠ACD，射线OF平分∠COB，并与射线CD交于点F．（1）依题意补全图形；（2）若∠COB+∠OCD＝180°，求证：∠ACE＝∠COF．24．已知：如图，△DAC、△EBC均是等边三角形，点A、C、B在同一条直线上，且AE、BD分别与CD、CE交于点M、N.求证：（1）AE=DB；（2）△CMN为等边三角形.25．如图，在6×10的网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形顶点叫作格点，△ABC的三个顶点和点D，E，F，G，H，K均在格点上，现以D，E，F，G，H，K中的三个点为顶点画三角形．(1)在图①中画出一个三角形与△ABC全等，如△DEG；(2)在图②中画出一个三角形与△ABC面积相等但不全等，如△HFG.26．如图，已知∠DAC＝90°，△ABC是等边三角形，点P为射线AD上任意一点（点P与点A不重合），连结CP，将线段CP绕点C顺时针旋转60°得到线段CQ，连结QB 并延长交直线AD于点E．（1）如图，求∠QEP的度数；（2）如图，若∠DAC＝135°，∠ACP＝15°，且AC＝4，求BQ的长．27．四边形ABCD中，AB=BC，∠B=∠C=90°，P是BC边上一点，AP⊥PD，E是AB 边上一点，∠BPE=∠BAP．（1）如图1，若AE=PE，直接写出CPPB=______；（2）如图2，求证：AP=PD＋PE；（3）如图3，当AE=BP时，连BD，则PEBD=______，并说明理由．参考答案1．A【解析】【分析】由多边形内角和定理求出∠A+∠B+∠E+∠F+∠CDE+∠BCD ＝720°①，由角平分线定义得出∠BCP ＝∠DCP ，∠CDP ＝∠PDE ，根据三角形内角和定理得出∠P+∠PCD+∠PDE ＝180°，得出2∠P+∠BCD+∠CDE ＝360°②，由①和②即可求出结果. 【详解】在六边形 A BCDEF 中，∠A+∠B+∠E+∠F+∠CDE+∠BCD ＝(6-2)×180°＝720°①， Q CP 、DP 分別平分∠BCD 、∠CDE ，∴∠BCP ＝∠DCP ，∠CDP ＝∠PDE ，Q ∠P+∠PCD+∠PDE ＝180°，∴2(∠P+∠PCD+∠PDE)＝360°，即2∠P+∠BCD+∠CDE ＝360°②， ①-②得:∠A+∠B+∠E+∠F-2∠P ＝360°，即α-2∠P ＝360°，∴∠P=12α-180°，故选:A.【点睛】本题考查了多边形内角和定理、角平分线定义以及三角形内角和定理;熟记多边形内角和定理和三角形内角和定理是解题关键.2．C【解析】【分析】根据作一个角等于一直角的作法即可得出结论．【详解】由题意可得：26AOB AOD ∠=∠=o ，262652BOD o o o ∴∠=+=，BOD ∴∠的补角的度数18052128=-=o o o ，故选C ．【点睛】本题考查的是余角与补角，熟知作一个角等于已知角的步骤是解答此题的关键．3．C【解析】【分析】作EH ⊥BC 于H ，根据角平分线的性质得到EH=DE=3，根据三角形的面积公式计算即可．【详解】解：作EH ⊥BC 于H ，∵BE 平分∠ABC ，CD 是AB 边上的高线，EH ⊥BC ，∴EH=DE=3，∴△BCE 的面积=12×BC×EH=9，故选C ．【点睛】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键.4．C【解析】【分析】根据三角形三条边的关系计算即可，三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边.【详解】分成四种情况：①4cm ，6cm ，8cm ；②4cm ，6cm ，10cm ；③6cm ，8cm ，10cm ；④4cm ，8cm，10cm，∵4+6=10，∴②不能够成三角形，故只能画出3个三角形．故选C．【点睛】本题考查了三角形三条边的关系，熟练掌握三角形三条边的关系是解答本题的关键.5．D【解析】【分析】根据两点之间线段最短即可判断.【详解】从居民楼点A到“菜鸟驿站”点B的最短路径是A-E-B，故选D.【点睛】此题主要考查点之间的距离，解题的关键是熟知两点之间线段最短.6．A【解析】【分析】利用三角形内角和定理以及旋转不变性解决问题即可．【详解】由题意∠B＝∠B′＝100°，∠A＝45°，∴∠ACB＝180°﹣∠B﹣∠A＝180°﹣100°﹣45°＝35°，∵∠ACA′＝45°，∴∠BCA′＝∠ACA′﹣∠ACB＝45°﹣35°＝10°，故选：A．【点睛】本题考查三角形内角和定理，旋转变换等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．7．D【解析】【分析】根据正多边形的性质依次判定各项后即可解答.【详解】选项A，三角形中的等边三角形是正三角形；选项B，正方形是正四边形；选项C，四边形中的正方形是正四边形；选项D，梯形的上底与下底不相等所以梯形不可能是正多边形.故选D.【点睛】本题考查了正多边形的性质，熟知每条边都相等、每个角都相等的多边形是正多边形是解决问题的关键.8．A【解析】【分析】利用三角形全等和根据题目设未知数，列等式解答即可.【详解】解：设AM＝x，∵点M、N刚好是AD的三等分点，∴AM＝MN＝ND＝x，则AD＝AB＝BC＝3x，∵△EFG是等腰直角三角形，∴∠E＝∠F＝45°，∠EGF＝90°，∵四边形ABCD是正方形，∴∠A＝∠ABC＝∠BGN＝∠ABF＝90°，∴四边形ABGN是矩形，∴∠AHM＝∠BHF＝∠AMH＝∠NME＝45°，∴△AMH≌△NMH（ASA），故①正确；∵∠AHM＝∠AMH＝45°，∴AH＝AM＝x，则BH＝AB﹣AH＝2x，又Rt△BHF中∠F＝45°，∴BF＝BH＝2x，AMBF＝12，故②正确；∵四边形ABGN是矩形，∴BG＝AN＝AM＋MN＝2x，∴BF＝BG＝2x，∵AB⊥FG，∴△HFG是等腰三角形，∴∠FHB＝∠GHB＝45°，∴∠FHG＝90°，即GH⊥EF，故③正确；∵∠EGF＝90°、∠F＝45°，∴EG＝FG＝BF＋BG＝4x，则S△EFG＝12•EG•FG＝12•4x•4x＝8x2，又S△EMN＝12•EN•MN＝12•x•x＝12x2，∴S△EMN：S△EFG＝1：16，故④正确；故选A．【点睛】本题主要考察三角形全等证明的综合运用，掌握相关性质是解题关键. 9．B【解析】【分析】根据题意得出圆的周长以及圆转动的周数，进而得出与地面相切的弧．【详解】∵圆O半径为4，∴圆的周长为：2π×r=8π，∵将圆O向右滚动，使得O点向右移动了98π，∴98π÷8π=12…2π，即圆滚动12周后，又向右滚动了2π，∵矩形ABCD的外接圆O与水平地面相切于A点，»BC=2»AB，∴»AB=16×8π=43π＜2π，»AB+»BC=12×8π=4π＞2π，∴此时»BC与地面相切，∴此时该圆与地面交点在»BC上，故选B．【点睛】此题主要考查了旋转的性质以及圆的周长公式等知识，得出O点转动的周数是解题关键．10．①②③④【解析】【分析】首先由SAS判定△BCD≌△ACE，即可证得①正确；又由全等三角形的对应角相等，得到∠CBD=∠CAE，根据ASA，证得△BCF≌△ACG，即可得到②正确，同理证得CF=CG，则④正确，可得∠FCE=60°，可得△CFG是等边三角形，则可得∠CFG=∠FCB，则FG∥BE，可得③正确．【详解】解：∵△ABC和△DCE均是等边三角形，∴BC=AC，CD=CE，∠ACB=∠ECD=60°，∴∠ACB+∠ACD=∠ACD+∠ECD，∠ACD=60°，∴△BCD≌△ACE（SAS），∴AE=BD，（①正确）∠CBD=∠CAE，∵∠BCA=∠ACG=60°，AC=BC，∴△BCF≌△ACG（ASA），∴AG=BF，（②正确）∴CF=CG（④正确），且∠ACD=60°∴△CFG是等边三角形，∴∠CFG=∠FCB=60°，∴FG∥BE，（③正确）正确的有①②③④．【点睛】本题的关键是熟练掌握等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，应用数形结合思想．11．两个角是对顶角，这两个角相等．【解析】【分析】根据命题的定义即可解答.【详解】对顶角相等．题设：两个角是对顶角；结论：这两个角相等；故答案为：两个角是对顶角，这两个角相等．【点睛】本题考查命题，熟悉命题的设定过程是解题关键.12．30°或150°【解析】【分析】弦所对的弧有优弧和劣弧，故弦所对的圆周角也有两个，它们的关系是互补关系；弦长等于半径时，弦所对的圆心角为60°，由此解答即可．【详解】如图，弦AB所对的圆周角为∠C，∠D，连接OA、OB，因为AB=OA=OB=7cm，所以，∠AOB=60°，根据圆周角定理知，∠C12∠AOB=30°，根据圆内接四边形的性质可知，∠D=180°﹣∠C=150°，所以，弦AB所对的圆周角的度数30°或150°．故答案为：30°或150°．【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质、圆周角定理及等边三角形的判定与性质，解答此题时要注意一条弦所对的圆周角有两个，这两个角互为补角．13．5【解析】【分析】由折叠的AE=EC,设AE=x,则EB=8-x,利用勾股定理求解即可.【详解】由折叠的AE=EC,设AE=x,则EB=8-x∵矩形ABCD∴∠B=90°∴42+（8-x）2=x2∴x=5故AE=5.【点睛】本题考查的是折叠，熟练掌握勾股定理是解题的关键.14．133或394．【解析】【分析】①延长A'D交AB于H，则A'H⊥AB，然后根据勾股定理算出AB，推断出△ADH∽△ABC，即可解答此题②同①的解题思路一样【详解】解：分两种情况：①如图1所示：设AD＝x，延长A'D交AB于H，则A'H⊥AB，∴∠AHD＝∠C＝90°，由勾股定理得：AB13，∵∠A＝∠A，∴△ADH∽△ABC，∴DH AH ADBC AC AB==，即51213DH AH x==，解得：DH＝513x，AH＝1213x，∵E是AB的中点，∴AE＝12AB＝132，∴HE＝AE﹣AH＝132﹣1213x，由折叠的性质得：A'D＝AD＝x，A'E＝AE＝132，∴sin∠A＝sin∠A'＝1312521313`132xHEA E-==,解得：x＝133；②如图2所示：设AD＝A'D＝x，∵A'D⊥AB，∴∠A'HE＝90°，同①得：A'E＝AE＝132，DH＝513x，∴A'H＝A'D﹣DH＝x﹣513＝813x，∴cos∠A＝cos∠A'＝8`121313`132xA HA E==，解得：x＝394；综上所述，AD的长为133或394．故答案为133或394．【点睛】此题考查了勾股定理，三角形相似，关键在于做辅助线15．60°【解析】【分析】直接利用平行线的性质以及角平分线的性质得出∠ADB=∠BDE，进而得出答案．【详解】∵AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC，∵DB平分∠ADE，∴∠ADB=∠BDE=12∠ADE，∵∠B=30°，∴∠ADB=∠BDE=30°，则∠ADE的度数为：60°．故答案为：60°．【点睛】此题主要考查了平行线的性质，正确得出∠ADB的度数是解题关键．16．①③④【解析】【分析】首先根据已知条件看能得到哪些等量条件，然后根据得出的条件来判断各结论是否正确．【详解】∵△ABC、△DCE都是等腰Rt△，∴AB=AC=22，BC=2，CD=DE=22CE；∠B=∠ACB=∠DEC=∠DCE=45°；①∵∠B=∠DEC=45°，∴180°-∠BEC-45°=180°-∠BEC-45°；即∠AEC=∠BCE；故①正确；③∵CD AC EC BC=，∴CD CE AC BC=，由①知∠ECB=∠DCA，∴△BEC∽△ADC；∴∠DAC=∠B=45°；∴∠DAC=∠BCA=45°，即AD∥BC，故③正确；②由③知：∠DAC=45°，则∠EAD=135°；∠BEC=∠EAC+∠ECA=90°+∠ECA；∵∠ECA＜45°，∴∠BEC＜135°，即∠BEC＜∠EAD；因此△EAD与△BEC不相似，故②错误；④△ABC的面积为定值，若梯形ABCD的面积最大，则△ACD的面积最大；△ACD中，AD边上的高为定值（即为1），若△ACD的面积最大，则AD的长最大；由④的△BEC∽△ADC知：当AD最长时，BE也最长；故梯形ABCD面积最大时，E、A重合，此时，AD=1；故S梯形ABCD=12（1+2）×1=32，故④正确；故答案为①③④．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，平行线的判定，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．17．135【解析】【分析】根据勾股定理可得AC的长度，再利用勾股定理逆定理可证明∠DAC=90°，进而可得∠BAD 的度数．【详解】∵AB=2，BC=2，∠ABC=90°，∴=，∠BAC=45°，∵12+（）2=32，∴∠DAC=90°，∴∠BAD=90°+45°=135°，故答案是：135．【点睛】考查了勾股定理和勾股定理逆定理，关键是掌握如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形．18．【解析】首先求得正方形的边长，从而可得到BE的长，然后连接BP则PD＝BP，则PD＋PE＝PE ＋BP，故当点E、P、B在一条直线上时，PD＋PE有最小值．【详解】解：如图所示：连接BP．∵在正方形ABCD中，AC＝4，∴AB＝22AC＝22．∵△ABE为等边三角形，∴BE＝AB＝22．∵ABCD为正方形，∴PB＝PD，∴PE＋PD＝PB＋PE．∵PB＋PE≥BE，∴当点E、P、B在一条直线上时，PD＋PE有最小值，最小值＝BE＝22.故答案为22．【点睛】本题主要考查的是正方形的性质、等边三角形的性质、轴对称图形的性质，找出PD＋PE取得最小值的条件是解题的关键．19．4 3【解析】【分析】连结OG，如图，根据勾股定理得到BC＝4，根据平移的性质得到CC1＝BB1，A1C1＝AC＝3，A1B1＝AB＝5，∠A1C1B1＝∠ACB＝90°，根据切线的性质得到OD⊥A1B1，根据相似三角形的性质即可得到结论．连结OG ，如图， ∵∠BAC ＝90°，AB ＝5，AC ＝3，∴BC ＝22AB AC -＝4，∵Rt △ABC 沿射线CB 方向平移，当A 1B 1与半圆O 相切于点D ，得△A 1B 1C 1，∴CC 1＝BB 1，A 1C 1＝AC ＝3，A 1B 1＝AB ＝5，∠A 1C 1B 1＝∠ACB ＝90°，∵A 1B 1与半圆O 相切于点D ，∴OD ⊥A 1B 1，∵BC ＝4，线段BC 为半圆O 的直径，∴OB ＝OC ＝2，∵∠GEO ＝∠DEF ，∴Rt △B 1OD ∽Rt △B 1A 1C 1，∴11111OB OD A B A C =，即1253OB =，解得OB 1＝103， ∴BB 1＝OB 1﹣OB ＝103﹣2＝43，故答案为43．【点睛】本题考查了切线的性质，平移的性质、勾股定理和相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关性质是解题的关键.20．5.【解析】【分析】根据中点的性质可得出MC=12AC ，CN=12CB ，根据图即可得出MN 的长度．【详解】解：因为，M是AC的中点，N是CB的中点所以，MC=12AC，CN=12CB所以，MN=MC+CN=12AC+12CB=12(AC+CB) =12×10=5【点睛】本题主要考查了利用中点性质转化线段之间的倍分关系，长度带单位的一定注意不要漏掉长度的单位，比较简单．21．(1)170°50′29″.(2)229°5′14″.【解析】【分析】（1）先做乘除法，度与度，分与分，秒与秒对应相乘除，最后做加法；（2）先做乘法，然后做加法，度与度，分与分，秒与秒对应相加，秒的结果满60，则化为分，分的结果若满60，则转化为度.【详解】解：(1)50°24′×3＋98°12′25″÷5；50°24′×3=150°72′98°12′25″÷5=19.6°2.4′5″=19°38′29″50°24′×3+98°12′25″÷5=150°72′+19°38″29″=170°50′29″；(2)100°23′42″＋26°40′28″＋25°30′16″×4.25°30′16″×4=100°120′64″=102°1′4″100°23′42″＋26°40′28″＋102°1′4″=228°64′74″= 229°5′14″【点睛】此类题是进行度、分、秒的加法、减法．乘除法计算，相对比较简单，注意以60为进制即可．22．（1）详见解析；（2.【解析】【分析】（1）利用数形结合的思想解决问题即可；（2）利用三角形的面积，构建方程求解即可. 【详解】（1）△ABC如图所示．（2）设CD⊥AB，∵S△ABC=12•AB•CD=4-12×2×1-12×2×1-12×1×1，∴35，35．【点睛】本题考查作图，勾股定理，三角形的面积等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，学会利用面积法构建方程解决问题．23．（1）详见解析；（2）详见解析.【解析】【分析】（1）根据题意补全图形即可；（2）根据角平分线的定义得到∠ACE=12∠ACD，∠COF=12∠COB．根据同角的补角相等得到∠ACE=∠COF．【详解】解：（1）补全图形，如图所示：（2）证明：∵CE平分∠ACD，OF平分∠COB，∴∠ACE＝12∠ACD，∠COF＝12∠COB．∵点C在射线OA上，∴∠ACD+∠OCD＝180°．∵∠COB+∠OCD＝180°，∴∠ACD＝∠COB．∴∠ACE＝∠COF．【点睛】本题考查了角的计算，角平分线的定义的运用，熟练掌握角平分线的定义是解题的关键．24．证明略【解析】【分析】证明：(1)∵△DAC、△EBC均是等边三角形，∴AC＝DC，EC＝BC，∠ACD＝∠BCE＝60°，∴∠ACD+∠DCE＝∠BCE+∠DCE，即∠ACE＝∠DCB．在△ACE和△DCB中，∴△ACE≌△DCB(SAS)．∴AE＝DB．(2)由(1)可知：△ACE≌△DCB，∴∠CAE＝∠CDB，即∠CAM＝∠CDN．∵△DAC、△EBC均是等边三角形，∴AC＝DC，∠ACM＝∠BCE＝60°．又点A、C、B在同一条直线上，∴∠DCE＝180°－∠ACD－∠BCE＝180°－60°－60°＝60°，即∠DCN＝60°．∴∠ACM＝∠DCN．在△ACM和△DCN中，∴△ACM≌△DCN(ASA)．∴CM＝CN．又∠DCN＝60°，∴△CMN为等边三角形．【详解】请在此输入详解！25．(1)见解析；(2)见解析.【解析】【分析】（1）观察图形，根据△ABC的特征，利用全等三角形的判定方法即可得出符合题意的答案；（2）结合图形，根据三角形面积求法即可得出答案．【详解】(1)如图①所示，△DEF(或△KHE，△KHD)即为所求．(2)如图②所示，△KFH(或△KHG，△KFG)即为所求．【点睛】本题考查了格点的特征、全等三角形的判定方法及三角形的面积求法，熟练运用格点的特征是解决问题的关键.26．（1）60°，理由见解析；（2）BQ＝26﹣22．【解析】【分析】（1）先证明出△CQB≌△CPA，即可得出∠QEP=60°；（2）作CH⊥AD于H，如图2，证明△ACP≌△BCQ，则AP=BQ，由∠DAC=135°，∠ACP=15°，得出AH=3，CH=33，即可得出PH=CH=33，即可得出结论．【详解】（1）如图1，∵PC＝CQ，且∠PCQ＝60°，则△CQB和△CPA中，PC QCPCQ ACB AC BC⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△CQB≌△CPA（SAS），∴∠CQB＝∠CPA，又因为△PEM和△CQM中，∠EMP＝∠CMQ，∴∠QEP＝∠QCP ＝60°．（2）作CH⊥AD于H，如图2，∵△ABC是等边三角形，∴AC=BC，∠ACB=60°，∵线段CP绕点C顺时针旋转60°得到线段CQ，∴CP=CQ，∠PCQ=6O°，∴∠ACB+∠BCP=∠BCP+∠PCQ，即∠ACP=∠BCQ，在△ACP和△BCQ中，CA CB ACP BCQ CP CQ ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝∴△ACP ≌△BCQ （SAS ）， ∴AP ＝BQ ，∵∠DAC ＝135°，∠ACP ＝15°，∴∠APC ＝30°，∠PCB ＝45°，∴△ACH 为等腰直角三角形，∴AH ＝CH ＝2AC ＝2×4＝22 ，在Rt △PHC 中，PH ＝3CH ＝26，∴PA ＝PH ﹣AH ＝26﹣22，∴BQ ＝26﹣22．【点睛】本题考查旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质和等腰直角三角形的性质．27．（131；（2）证明见解析；（3）22．【解析】【分析】（1）首先证明∠P AB =30°，设PB =a ，可得AB =BC 3=，求出PC 即可解决问题；（2）如图2中，延长DP 交AB 的延长线于M ，作MN ⊥DC 交DC 的延长线于N ．首先证明PE =PM ，再证明△ABP ≌△MND （ASA ）即可解决问题；（3）如图3，延长DP 交AB 的延长线于M ，作MN ⊥DC 交DC 的延长线于N ．首先证明DN =PB =AE ，EB =BM =CN ，设AE =PB =DN =x ，EB =BM =CN =y ，求出PE ，BD 即可解决问题．【详解】（1）如图1．∵AE =PE ，∴∠EAP =∠EP A ．∵∠EPB =∠P AE ，∴∠EPB =∠P AE =∠EP A ．∵∠B =90°，∴∠P AB +∠APB =90°，∴3∠P AE =90°，∴∠P AE =30°．设PB =a ，则AB =BC 3=a ，∴PC =BC ﹣PB 3=a ﹣a ，∴33PC a a PB a-==-1．故答案为：31-．（2）如图2，延长DP 交AB 的延长线于M ，作MN ⊥DC 交DC 的延长线于N ．∵AP ⊥DM ，∴∠APM =∠PBM =90°．∵∠P AE +∠APB =90°，∠APB +∠BPM =90°，∴∠P AE =∠BPM ．∵∠EPB =∠P AE ，∴∠EPB =∠BPM ．∵∠EPB +∠PEB =90°，∠BPM +∠PMB =90°，∴∠PEB =∠PMB ，∴PE =PM ．∵∠CBM =∠BCN =∠N =90°，∴四边形BCNM 是矩形，∴BC =MN =AB ，BC ∥MN ，∴∠DMN =∠BPM =∠P AB ．∵∠ABP =∠N =90°，∴△ABP ≌△MND （ASA ），∴P A =DM ．∵DM =DP +PM =DP +PE ，∴P A =DP +PE ．（3）如图3，延长DP 交AB 的延长线于M ，作MN ⊥DC 交DC 的延长线于N ．由（2）可知：PE =PM ，△ABP ≌△MND ，四边形BCNM 是矩形，∴PB =DN ，设PB =DN =x ，∴AE =PB =DN =x ．∵PE =PM ，PB ⊥EM ，∴EB =BM ．∵BM =CN ，∴BE =BM =CN ，设BE =BM =CN =y ，则CD =x ﹣y ，BC =AB =x +y ．在Rt △PBE 中，PE 22x y =+在Rt △DCB 中，BD 2222()()22x y x y x y =-++=+∴2222222x y PE BD x y +==+ 故答案为：22．【点睛】本题考查了四边形综合题、直角梯形的性质、矩形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用参数解决问题，属于中考压轴题．。

圆的基本性质

圆的基本性质圆是平面几何的重要内容之一，圆的基本性质具有非常广泛的应用，因此，它也是数学竞赛命题的热点．一、基础知识圆的基本性质有：1.圆是轴对称图形，也是中心对称图形．对称轴是任何一条直径所在的直线，对称中心是它的圆心，并且具有绕其圆心旋转的不变性．2.直径所对的圆周角是直角．3.垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．4.在同圆或等圆中，两个圆心角和它所对的两条弧、两条弦以及两个弦心距这四组量中，如果其中一组量相等，则其它三组量也都分别相等．5.如果弦长为２ａ，圆的半径为Ｒ，那么弦心距ｄ为．例1 已知⊙O的半径OA＝１，弦AB、AC的长分别是、．求∠ＢＡＣ的度数．图1导析：如图1，作ＯＤ⊥ＡＢ，ＯＥ⊥ＡＣ，则ＡＤ＝/２，ＡＥ＝/２．在Ｒｔ△ＯＤＡ中，ｃｏｓ∠ＯＡＤ＝/２，则∠ＯＡＤ＝４５°；在Ｒｔ△ＯＥＡ中，ｃｏｓ∠ＯＡＥ＝/２，则∠ＯＡＥ＝３０°．当AC、AB位于OA两侧时，有∠ＢＡＣ＝∠ＯＡＢ＋∠ＯＡＥ＝７５°；当AC、AB位于OA同侧时，有∠ＢＡＣ＝∠ＯＡＢ－∠ＯＡＥ＝１５°．说明：本题入手不难，能否完整作答，关键在于对弦AB、AC与直线OA的位置关系进行讨论．例2 如图2，⊙Ｏ是锐角△ＡＢＣ的外接圆，H是两条高线的交点，ＯＧ是外心Ｏ到BC边的垂线段．求证：ＯＧ＝（１/２）ＡＨ．图2导析：作直径ＣＥ，连结ＥＢ、ＡＥ，则ＡＥ⊥ＡＣ．又ＢＨ⊥ＡＣ，∴ＥＡ∥ＢＨ．同理可证ＥＢ∥ＡＨ．∴四边形ＡＥＢＨ是平行四边形．∴ＡＨ＝ＥＢ．在Ｒｔ△ＣＥＢ中，ＯＧ∥ＥＢ，ＯＣ＝ＯＥ，∴ＯＧ是△ＣＥＢ的中位线，ＯＧ＝（１/２）ＥＢ．故ＯＧ＝（１/２）ＡＨ．二、综合应用由于圆的问题知识容量大，综合性强，方法涉及面广，因而在处理有关圆的问题时，常常要构造直角三角形和寻找相似三角形，利用勾股定理和相似三角形的性质来解决．例3 已知半径为2的⊙Ｏ有两条互相垂直的弦AB和CD，其交点E到圆心O的距离为1，求ＡＢ２＋ＣＤ２的值．导析：按照AB和CD都不是直径，AB和CD中有一条是直径分别计算．图3如果AB和CD都不是直径，如图3，作AB和CD的弦心距OF和OG，连结OB、OD，则∠ＦＥＧ＝∠ＥＧＯ＝９０°．∴四边形ＯＦＥＧ是矩形，则ＯＦ＝ＥＧ，又ＯＦ２＋ＯＧ２＝ＯＥ２，∴ＡＢ２＋ＣＤ２＝４（ＡＦ２＋ＤＧ２）＝４（Ｒ２－ＯＦ２＋Ｒ２－ＯＧ２）＝４（２Ｒ２－ＯＥ２）＝２８，其中R为⊙Ｏ的半径，下同．如果AB和CD中有一条是直径，不妨设AB是直径，则E为CD的中点．由垂径定理，得（１/２ＣＤ）２＝ＡＥ·ＥＢ＝（Ｒ＋ＯＥ）（Ｒ－ＯＥ）＝Ｒ２－１．∴ＣＤ２＝４（Ｒ２－１）＝１２．又ＡＢ２＝４Ｒ２＝１６．于是，ＡＢ２＋ＣＤ２＝２８．综上可得ＡＢ２＋ＣＤ２＝２８．例4 已知点A、B、C、D顺次在圆O上，，BM⊥AC，垂足为M．求证：ＡＭ＝ＤＣ＋ＣＭ．图4导析：由于DC和CM不在一条直线上，要证明其和等于AM，可延长ＤＣ，使延长部分等于CM．延长DC到N，使ＣＮ＝ＣＭ（如图4），则∠ＢＣＮ＝∠ＢＡＤ．又∠ＡＣＢ＝∠ＡＤＢ，而，则∠ＡＣＢ＝∠ＢＡＤ，ＡＢ＝ＡＤ，于是∠ＢＣＮ＝∠ＢＣＭ．从而推知△ＢＣＮ≌△ＢＣＭ，得ＢＭ＝ＢＮ．因∠ＢＡＭ＝∠ＢＤＭ，所以△ＢＡＭ≌△ＢＤＮ．得ＡＭ＝ＤＮ＝ＤＣ＋ＣＭ．说明：此题即为著名的阿基米德折弦定理．例5 △ＡＢＣ为锐角三角形，过顶点A、B、C分别作此三角形外接圆的三条直径ＡＡ１、ＢＢ１、ＣＣ１，求证△ＡＢＣ的面积等于△Ａ１ＢＣ、△ＡＢ１Ｃ、△ＡＢＣ１的面积之和．图5导析：注意到ＡＡ１、ＢＢ１、ＣＣ１为三角形外接圆的直径，而直径所对的圆周角为直角，联想到三角形垂心的性质，即垂心与各顶点的连线垂直于对边，从而可通过三角形的垂心将△ABC分割为与所求的三个三角形面积分别相等的三个三角形．如图5，设H是△ＡＢＣ的垂心，连结ＡＨ、ＢＨ、ＣＨ，则ＡＨ⊥ＢＣ，ＢＣ１⊥ＢＣ，∴ＡＨ∥ＢＣ１．同理可证ＢＨ∥ＡＣ１．∴ＡＨＢＣ１为平行四边形．∴Ｓ△ＡＨＢ＝Ｓ△ＡＢＣ１．同理可证Ｓ△ＡＨＣ＝Ｓ△ＡＢ１Ｃ，Ｓ△ＢＨＣ＝Ｓ△Ａ１ＢＣ．因此Ｓ△ＡＢＣ＝Ｓ△ＡＨＣ＋Ｓ△ＡＨＢ＋Ｓ△ＢＨＣ＝Ｓ△ＡＢ１Ｃ＋Ｓ△ＡＢＣ１＋Ｓ△Ａ１ＢＣ．三、强化训练1.如图6，AB为半圆的直径，C为半圆上一点，ＣＤ⊥ＡＢ，垂足为D，若ＣＤ＝６，ＡＤ∶ＤＢ＝３∶２，则ＡＣ·ＢＣ等于（）．图6Ａ．１５Ｂ．３０Ｃ．６０Ｄ．９０2.自圆外一点P，引圆的割线ＰＡＢ、PCD，并连结AC、BD、AD、BC，则图中相似三角形的对数有（）．Ａ．2对Ｂ．3对Ｃ．4对Ｄ．5对3.以AB为直径作一个半圆，圆心为O，C是半圆上一点，且ＯＣ２＝ＡＣ·ＢＣ，则∠ＣＡＢ＝______．4.在△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝３∠Ａ，ａ＝２７，ｃ＝４８，则ｂ的值是______．5.已知⊙Ｏ中，半径ｒ＝５ｃｍ，ＡＢ、ＣＤ是两条平行弦，且ＡＢ＝８ｃｍ，ＣＤ＝６ｃｍ，求AC的长．6.一个内接于圆的六边形的五条边的长都为81，只有第六边AB 的长为31，求从B出发的三条对角线长的和．参考答案与提示１．Ｂ．先分别求出ＡＤ、ＤＢ，再用三角形面积公式得ＡＣ·ＢＣ＝ＡＢ·ＣＤ．２．Ｃ．３．１５°或７５°，由三角形的面积公式及题设条件可得ＣＤ＝（１/２）ＯＣ，从而∠ＡＯＣ＝３０°，由圆的对称性可得有两种情况．４．３５．先三等分弧，两次使用折弦定理即可算得．５．或５或７．分ＡＢ、ＣＤ在圆心同侧和异侧两种情况完成．先求出ＡＢ、ＣＤ间的距离．６．３８４．重复使用折弦定理即可．摘自《中学数学参考》。

浙教版-9年级-上册-数学-第3章《圆的基本性质》分节知识点

浙教版-9年级-上册-数学-第3章《圆的基本性质》分节知识点一、圆的有关概念及圆的确定要点一、圆的定义1、圆的描述概念（1）如图，在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径.以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”．要点诠释：（1）圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；确定一个圆应先确定圆心，再确定半径，二者缺一不可；（2）圆是一条封闭曲线.2、圆的集合概念（1）圆心为O，半径为r的圆是平面内到定点O的距离等于定长r的点的集合.（2）平面上的一个圆，把平面上的点分成三类：圆上的点，圆内的点和圆外的点.（3）圆的内部可以看作是到圆心的距离小于半径的的点的集合；圆的外部可以看成是到圆心的距离大于半径的点的集合.要点诠释：（1）定点为圆心，定长为半径；（2）圆指的是圆周，而不是圆面；（3）强调“在一个平面内”是非常必要的，事实上，在空间中，到定点的距离等于定长的点的集合是球面，一个闭合的曲面.要点二、点与圆的位置关系（1）点和圆的位置关系有三种：点在圆内，点在圆上，点在圆外.（2）若⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离为d，那么：点P在圆内d＜r；点P在圆上d=r；点P在圆外d＞r.“”读作“等价于”，它表示从左端可以推出右端，从右端也可以推出左端.要点诠释：（1）点在圆上是指点在圆周上，而不是点在圆面上；要点三、与圆有关的概念1、弦：（1）弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦.（2）直径：经过圆心的弦叫做直径.（3）弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距.要点诠释：（1）直径是圆中通过圆心的特殊弦，也是圆中最长的弦，即直径是弦，但弦不一定是直径.（2）为什么直径是圆中最长的弦？如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O中任意一条弦，求证：AB≥CD.证明：连结OC、OD∵AB=AO+OB=CO+OD≥CD(当且仅当CD过圆心O时，取“=”号)∴直径AB是⊙O中最长的弦.2、弧（1）弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.以A、B为端点的弧记作，读作“圆弧AB”或“弧AB”.（2）半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆；（3）优弧：大于半圆的弧叫做优弧；（4）劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧.要点诠释：（1）半圆是弧，而弧不一定是半圆；（2）无特殊说明时，弧指的是劣弧.3、等弧：在同圆或等圆中，能够完全重合的弧叫做等弧.要点诠释：（1）等弧成立的前提条件是在同圆或等圆中，不能忽视；（2）圆中两平行弦所夹的弧相等.4、同心圆与等圆（1）圆心相同，半径不等的两个圆叫做同心圆.（2）圆心不同，半径相等的两个圆叫做等圆.要点诠释：同圆或等圆的半径相等.5、圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角.要点诠释：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，反之也成立.要点四、确定圆的条件（1）经过一个已知点能作无数个圆；（2）经过两个已知点A、B能作无数个圆，这些圆的圆心在线段AB的垂直平分线上；(3）不在同一直线上的三个点确定一个圆.（4）经过三角形各个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫做圆的内接三角形.如图：⊙O是△ABC的外接圆，△ABC是⊙O的内接三角形，点O是△ABC的外心.外心的性质：外心是△ABC三条边的垂直平分线的交点，它到三角形的三个顶点的距离相等.要点诠释：（1）不在同一直线上的三个点确定一个圆.“确定”的含义是“存在性和唯一性”.（2）只有确定了圆心和圆的半径，这个圆的位置和大小才唯一确定.二、图形的旋转要点一、旋转的概念（1）一般地，一个图形变为另一个图形，在运动的过程中，原图形上的所有点都绕一个固定的点，按同一个方向，转动同一个角度，这样的图形运动叫做图形的旋转.这个固定的定点叫做旋转中心，转过的角叫做旋转角.如下图，点O为旋转中心，∠AOA′（或∠BOB′或∠COC′）是旋转角.要点诠释：（1）旋转的三个要素：旋转中心、旋转方向和旋转角度.（2）如上图，如果图形上的点A经过旋转变为点A′，那么这两个点叫做这个图形旋转的对应点.点B与点B′，点C与点C′均是对应点，线段AB与A′B′、线段AC与A′C′、线段BC与B′C′均是对应线段.要点二、旋转的性质一般地，图形的旋转有下面的性质：（1）图形经过旋转所得的图形和原图形全等；（2）对应点到旋转中心的距离相等；（3）任意一对对应点与旋转中心连线所成的角度等于旋转的角度.要点诠释：图形绕某一点旋转，既可以按顺时针旋转也可以按逆时针旋转.要点三、旋转的作图（1）在画旋转图形时，首先确定旋转中心，其次确定图形的关键点，再将这些关键点沿指定的方向旋转指定的角度，然后连接对应的部分，形成相应的图形．要点诠释：作图的步骤：（1）连接图形中的每一个关键点与旋转中心；（2）把连线按要求（顺时针或逆时针）绕旋转中心旋转一定的角度（旋转角）；（3）在角的一边上截取关键点到旋转中心的距离，得到各点的对应点；（4）连接所得到的各对应点.三、垂径定理知识点一、垂径定理1、垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧.如图，几何语言为：CD 是直径要点诠释：2、推论（1）定理1：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧.（2）定理2：平分弧的直径垂直平分弧所对的弦.要点诠释：（1）分一条弧成相等的两条弧的点，叫做这条弧的中点.（2）这里的直径也可以是半径，也可以是过圆心的直线或线段.知识点二、垂径定理的拓展根据圆的对称性及垂径定理还有如下结论：（1）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（2）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧.要点诠释：（1）在垂径定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，在这五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论.（注意：“过圆心、平分弦”作为题设时，平分的弦不能是直径）四、圆心角要点一、圆心角与弧的定义1、圆心角定义：顶点在圆心的角叫做圆心角．如图所示，∠AOB 就是一个圆心角.要点诠释：（1）一个角要是圆心角，必须具备顶点在圆心这一特征；（2）圆心角∠AOB 所对的弦为线段AB，所对的弧为弧AB.2、1°的弧的定义：1°的圆心角所对的弧叫做1°的弧.如下图，要点诠释：（1）圆心角的度数和它所对的弧的度数相等.注意不是角与弧相等.即不能写成圆心角∠AOB=.CD ⊥ABAE=BE（2）在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫等弧.等弧的长度相等，所含度数相等（即弯曲程度相等）.要点二、圆心角定理及推论1、圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．要点诠释：（1）圆心到圆的一条弦的距离叫做弦心距.（2）在同圆或等圆中，相等的圆心角所对两条弦的弦心距相等.（3）注意定理中不能忽视“同圆或等圆”这一前提.2、圆心角定理的推论：（1）在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两个弦心距中有一对量相等，那么它们所对应的其余各对应量都相等.要点诠释：（1）在同圆或等圆中，弦，弧，圆心角，弦心距等几何量之间是相互关联的，即它们中间只要有一组量相等，(例如圆心角相等)，那么其它各组量也分别相等(即相对应的弦、弦心距以及弦所对的弧也分别相等).*如果它们中间有一组量不相等，那么其它各组量也分别不等.五、圆周角要点一、圆周角1、圆周角定义：（1）像图中∠AEB、∠ADB、∠ACB这样的角，它们的顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．2、圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半．要点诠释：（1）圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交.（2）圆周角定理成立的前提条件是在同圆或等圆中.（3）圆心与圆周角存在三种位置关系：圆心在圆周角的一边上；圆心在圆周角的内部；圆心在圆周角的外部．（如下图）3、圆周角定理的推论1：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．4、圆周角定理的推论2：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等,相等的圆周角所对的弧也相等.六、圆内接四边形要点一、圆内接四边形（1）如果一个四边形的各个顶点在同一个圆上，那么这个四边形叫做圆的内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆.要点二、圆内接四边形性质定理（1）圆内接四边形的对角互补.（2）圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）.要点诠释：圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据，在应用此性质时，要注意与圆周角定理结合起来．在应用时要注意是对角，而不是邻角互补．七、正多边形和圆知识点一、正多边形的概念（1）各边相等，各角也相等的多边形是正多边形．要点诠释：判断一个多边形是否是正多边形，必须满足两个条件：（1）各边相等；（2）各角相等；缺一不可.如菱形的各边都相等，矩形的各角都相等，但它们都不是正多边形(正方形是正多边形).知识点二、正多边形的重要元素1、正多边形的外接圆和圆的内接正多边形（1）正多边形和圆的关系十分密切，只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆．2、正多边形的有关概念（1）一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心．（2）正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径．（3）正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角．（4）正多边形的中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．3、正多边形的有关计算（1）正ｎ边形每一个内角的度数是；（2）正ｎ边形每个中心角的度数是；（3）正ｎ边形每个外角的度数是.要点诠释：要熟悉正多边形的基本概念和基本图形，将待解决的问题转化为直角三角形.知识点三、正多边形的性质（1）正多边形都只有一个外接圆，圆有无数个内接正多边形.（2）正ｎ边形的半径和边心距把正ｎ边形分成2ｎ个全等的直角三角形.（3）正多边形都是轴对称图形，对称轴的条数与它的边数相同，每条对称轴都通过正n边形的中心；当边数是偶数时，它也是中心对称图形，它的中心就是对称中心.（4）边数相同的正多边形相似。

《相似》全章复习与巩固(知识讲解)九年级数学下册基础知识专项讲练(人教版)

专题27.43《相似》全章复习与巩固（知识讲解）【学习目标】1、了解比例的基本性质，线段的比、成比例线段；2、通过具体实例认识图形的相似，探索相似图形的性质，理解相似多边形对应角相等、对应边成比例、周长的比等于相似比、面积的比等于相似比的平方，探索并掌握相似三角形的判定方法，并能利用这些性质和判定方法解决生活中的一些实际问题；3、了解图形的位似，能够利用位似将一个图形放大或缩小，在同一直角坐标系中，感受位似变换后点的坐标的变化；4、结合相似图形性质和判定方法的探索和证明，进一步培养推理能力，发展逻辑思维能力和推理论证的表达能力，以及综合运用知识的能力，运用学过的知识解决问题的能力.【要点梳理】【知识点一】成比例线段1、定义：四条线段,,,a b c d 中，如果a 与b 的比等于c 与d 的比，即a cb d=，那么这四条线段,,,a b c d 叫做成比例线段，简称比例线段。

2、性质：（1）基本性质：如果a cb d=，那么ad bc =；反之，若ad bc =(),,,0a b c d 都不等于，那么a c b d =（2）等比性质：如果()==0a c m b d n b d n =+++≠ ，那么a c m a b d n b +++=+++ （3）合比性质：如果a c b d =，那么a b c d b d ++=，a b c d b d --=【知识点二】平行线分线段成比例1、定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例2、推论：平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例【知识点三】相似多边形1、定义：各角分别相等，各边成比例的两个多边形叫做相似多边形。

相似多边形对应边的比叫做相似比2、性质：相似多边形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方【知识点四】相似三角形1、定义：三角分别相等，三边成比例的两个三角形叫做相似三角形2、判定：（1）两角分别相等的两个三角形相似（2）两边成比例且夹角相等的两个三角形相似（3）三边成比例的两个三角形相似3、性质：（1）相似三角形的对应角相等，对应边成比例（2）相似三角形对应高的比，对应中线的比，对应角平分线的比都等于相似比（3）相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方【知识点五】黄金分割点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC ()AC BC >，如果AC BC AB AC=，那么称线段AB 被点C 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，AC 与AB 的比叫做黄金比，即:0.618:1AC AB ≈【知识点六】位似图形1、定义：一般的，如果两个相似多边形任意一组对应顶点P ,'P 所在的直线都经过同一点O ，且有'OP =()0k OP k ⋅≠，那么这样的两个多边形叫做位似多边形，点O 叫做位似中心2、性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比3、画图步骤：（1）尺规作图法：①确定位似中心；②确定原图形中的关键点关于中心的对应点；③描出新图形（2）坐标法：在平面直角坐标系中，将一个多边形每个顶点的横坐标、纵坐标都乘于同一个数()0k k ≠，所对应的图形与原图形位似，位似中心是坐标原点，它们的相似比为k【典型例题】类型一、成比例线段和平行线分线段成比例1．已知三条线段a b c ，，满足1324a b c +==，且17a b c ++=．（1）求a b c ，，的值；（2）若线段d 是线段a 和b 的比例中项，求d 的值．【点拨】本题考查了比例的性质，比例线段，利用“设k 法”用k 表示出a 、b 、c 可以使计算更加简便．【变式1】已知:2:3,:3:4a b b c ==，且26a b c +-=，求,,a b c 的值【答案】4a =，6b =，8c =．【分析】根据比的性质，可得a ，b ，c 用k 表示，根据解方程，可得k 的值，即可得答案．解：∵:2:3a b =，:3:4b c =，∴设2a k =，3b k =，4c k =，∴()22346k k k ⋅+-=，整理得：36k =　，解得：2k =，∴24a k ==，36b k ==，48c k ==．【点拨】本题考查了比例的性质，利用比例的性质得出2a k =，3b k =，4c k =是解题关键．【变式2】如图所示，以长为2的定线段AB为边作正方形ABCD，取AB的中点P，连接PD，在BA的延长线上取点F，使PF PD=，以AF为边作正方形AMEF，点M在AD上．，的长；（1）求AM DM（2）点M是AD的黄金分割点吗？为什么？【点拨】此题综合考查了正方形的性质、勾股定理和黄金分割的概念．先求得线段AM，DM的长，然后求得线段AM和AD，DM和AM之间的比，根据黄金分割的概念进行判断．2．如图，已知AD∥BE∥CF，它们以此交直线l1、l2于点A、B、C和D、E、F．若25DE EF =，AC=14，（1）求AB 的长．（2）如果AD=7，CF=14，求BE 的长．【点拨】本题考查平行线分线段成比例的知识，解题的关键是掌握三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．【变式1】如图，已知AD//BE//CF，它们依次交直线1l、2l于点A、B、C和点D、E、F，且AB=6，BC=8．（1）求DEDF的值；（2）当AD=5，CF=19时，求BE的长．【点拨】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例；熟练掌握平行线分线段成比例，通过作辅助线运用平行线分线段成比例求出BH 是解决问题的关键．【变式2】如图，在ABC ∆中，点D 是边AB 上的一点.（1）请用尺规作图法，在ABC ∆内，求作ADE ∠，使ADE B ∠=∠，DE 交AC 于E ；（不要求写作法，保留作图痕迹）（2）在（1）的条件下，若2AD DB =，求AE EC的值.【点拨】本题考查了作一个角等于已知角，平行线分线段成比例定理，熟练掌握利用尺规作一个角等于已知角的作图方法是解题的关键.类型二、相似三角形判定和性质3．如图，在ABC 中，90ACB ∠=︒，CD 是边AB 上的中线，EF 垂直平分CD ，分别交AC ，BC 于E ，F ，连接DE ，DF ．(1)求证：OCE OFD ∽△△．(2)当7AE =，24BF =时，求线段EF 的长．【答案】(1)见分析(2)25EF =【分析】（1）如图（见分析），先根据线段垂直平分线的性质可得90EOC DOF ∠=∠=︒，ED EC =，FD FC =，再根据三角形全等的判定定理证出EDF ECF ≅ ，根据全等三角形的性质可得12∠=∠，从而可得421∠=∠=∠，然后根据相似三角形的判定即可得证；（2）如图（见分析），延长FD 至G ，使DG DF =，连接AG ，EG ，先根据线段垂直平分线的判定与性质可得EG EF =，再根据三角形全等的判定定理证出ADG BDF ≅△△，根据全等三角形的性质可得24AG BF ==，7B ∠=∠，然后根据平行线的判定与性质可得90EAG ∠=︒，最后在Rt AEG △中，利用勾股定理即可得．（1）证明：∵EF 垂直平分CD ，∴90EOC DOF ∠=∠=︒，ED EC =，FD FC =，在EDF 和ECF △中，ED EC FD FC EF EF =⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴()EDF ECF SSS ≅ ，∴12∠=∠，∵90ACB ∠=︒，90EOC ∠=︒，∴233490∠+∠=∠+∠=︒，∴421∠=∠=∠，在OCE △和OFD △中，9014EOC DOF ∠=∠=︒⎧⎨∠=∠⎩，∴OCE OFD ．（2）解：如图，延长FD 至G ，使DG DF =，连接AG ，EG ．则ED 垂直平分FG ，【点拨】本题考查了相似三角形的判定、三角形全等的判定定理与性质、线段垂直平分线的判定与性质等知识点，较难的是题（2），构造全等三角形和直角三角形是解题关键．【变式1】如图，四边形ABCD 中，AC 平分∠DAB ，∠ADC=∠ACB=90°，E 为AB 的中点，（1）求证：AC 2=AB•AD ；（2）求证：CE ∥AD ；（3）若AD=4，AB=6，求的值．=．∴AF4【变式2】如图，在△ABC中，（1）求作：∠BAD=∠C，AD交BC于D．（用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作法）．（2）在（1）条件下，求证：AB2=BD•BC．【点拨】本题考查了基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了相似三角形的判定与性质．中，过点C作CD//AB，E是AC的中点，连接DE并延长，4．如图，在ABC交AB于点F，交CB的延长线于点G，连接AD，CF()1求证：四边形AFCD是平行四边形．()2若GB3=，BC6=，3BF=，求AB的长．2【变式1】已知：如图6，菱形ABCD，对角线AC、BD交于点O，BE⊥DC，垂足为E，交AC于点F.求证：(1)△ABF∽△BED；(2)求证：AC BD BE DE=.【变式2】如图，已知▱ABCD．（1）用直尺和圆规在BC边上取一点E，使AB=AE，连结AE；（保留作图痕迹，不写作法）（2）在（1）的前提下，求证：AE=CD；∠EAD=∠D；（3）若点E为BC的中点，连接BD，交AE于F，直接写出EF：FA的值．【答案】（1）见分析（2）证明见分析（3）1:2分析：(1)以点A为圆心，AB为半径作圆，该圆与BC的交点即为所求的点E;(2)根据平行四边形的对边互相平行可得AD∥BC，再根据两直线平行，内错角相等可得∠AEB=∠EAD,根据等边对等角可得∠ABE=∠AEB,即可得证；(3)由四边形ABCD是平行四边形，可证得△BEF∽△AFD即可求得EF∶FA的值．解：（1）如图所示：；（2）证明：在平行四边形ABCD中，AD∥BC，∴∠AEB=∠EAD，∵AE=AB，∴∠ABE=∠AEB，∴∠B=∠EAD，∵∠B=∠D，∴∠DAE=∠D；（3）解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC，∴△BEF ∽△AFD ，∴=，∵E 为BC 的中点，∴BE=BC=AD ，∴EF ：FA=1：2．【点拨】此题考查了相似三角形的判定与性质与平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是关键．5．如图，在ABC 中，点D 、点E 分别在AC 、AB 上，点P 是BD 上的一点，联结EP 并延长交AC 于点F ，且A EPB ECB ∠=∠=∠．(1)求证：BE BA BP BD ⋅=⋅；(2)若90ACB ∠=︒，求证：CP BD ⊥．【变式1】已知ADE C ∠=∠，AG 平分BAC ∠交DE 于F ，交BC 于G ．(1)求证：ADF ∽ACG ；(2)连接DG ，若DG AC ∥，25AF AG =，6AD =，求CE 的长度．【点拨】本题考查了相似三角形的判定和性质、角平分线的性质、平行线的性质、等腰三角形的判定和性质，解决本题的关键是掌握以上的定理并熟练的运用．【变式2】如图，∠A＝∠C＝∠EDF，CF＝4，CD＝AD＝6；(1)求AE的长．(2)求证：△ADE∽△DFE．【点拨】此题考查了相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定方法以及根据相似三角形性质列出比例式进行求解是解题的关键．类型三、相似三角形拓展与提升6．已知△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4cm，点P从点A出发，沿AB方向cm的速度向终点B运动，同时动点Q从点B出发沿BC方向以每秒1cm的速度向终点C运动，设运动的时间为t秒．(1)如图①，若PQ⊥BC，求t的值；(2)如图②，将△PQC沿BC翻折至△P′QC，当t为何值时，四边形QPCP′为菱形？【点拨】此题是相似形综合题，主要考查的是菱形的性质、等腰直角三角形的性质，线段垂直平分线的性质，用方程的思想解决问题是解本题的关键．【变式1】已知，点E 、F 、G 、H 分别在正方形ABCD 的边AB 、BC 、CD 、AD 上．(1)如图1，当四边形EFGH 是正方形时，求证：AE AH AB +=；(2)如图2，已知AE AH =，CF CG =，当AE 、CF 的大小有_________关系时，四边形EFGH 是矩形；(3)如图3，AE DG =，EG 、FH 相交于点O ，:4:5OE OF =，已知正方形ABCD 的边长为16，FH 长为20，当OEH △的面积取最大值时，判断四边形EFGH 是怎样的四边形？证明你的结论．【答案】(1)见分析(2)AE CF =(3)平行四边形，证明见分析【分析】（1）利用平行四边形的性质证得BEF AHE ∠=∠，根据角角边证明AEH BFE △≌△．（2）当AE CF =，证得AEH FCG △≌△，EBF △是等腰直角三角形，∠HEF =∠EFG =90°，即可证得四边形EFGH 是矩形．（3）利用正方形的性质证得AEGD 为平行四边形，过点H 作HM BC ⊥，垂足为点M ，交EG 于点N ，由平行线分线段成比例，设4OE x =，5OF x =，HN h =，则可表示出HN ，从而把△OEH 的面积用x 的代数式表示出来，根据二次函数求出最大值，则可得OE =OG ，OF =OH ，即可证得平行四边形．解：（1）∵四边形ABCD 为正方形，∴90A B ∠=∠=︒，∴90AEH AHE ∠+∠=°．∵四边形EFGH 为正方形，∴EH EF =，90HEF ∠=︒，∴90AEH BEF ∠+∠=︒，∴BEF AHE ∠=∠．在AEH △和BFE △中，∵90A B ∠=∠=︒，AHE BEF ∠=∠，EH FE =，∴AEH BFE △≌△．∴AH BE =．∴AE AH AE BE AB +=+=；（2）AE CF =；证明如下：∵四边形ABCD 为正方形，∴90A B ∠=∠=︒，AB =BC =AD =CD ，∵AE =AH ，CF =CG ，AE =CF ，∴AH =CG ，∴AEH FCG △≌△，∴EH =FG ．∵AE =CF ，∴AB －AE =BC －CF ，即BE =BF ，∴EBF △是等腰直角三角形，∴∠BEF =∠BFE =45°，∵AE =AH ，CF =CG ，∴∠AEH =∠CFG =45°，∴∠HEF =∠EFG =90°，∴EH ∥FG ，∴四边形EFGH 是矩形．（3）∵四边形ABCD 为正方形，∴AB CD ∥．【点拨】此题考查了正方形的性质，矩形的判定和平行四边形的性质与判定，平行线分线段成比例定理，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，二次函数的最值，有一定的综合性，解题的关键是熟悉这些知识并灵活运用．【变式2】已知点E在正方形ABCD的对角线AC上，正方形AFEG与正方形ABCD有公共点A．(1)如图1，当点G 在AD 上，F 在AB(2)将正方形AFEG 绕A 点逆时针方向旋转9(0)0αα︒<<︒，如图2，求：CE DG 的值为多少；(3)AB =AG AD =，将正方形AFEG 绕A 逆时针方向旋转(0360)αα︒<<︒，当C ，G ，E 三点共线时，请直接写出DG 的长度．正方形AFEG 绕A 点逆时针方向旋转DAG CAE∴∠=∠12AG AD AE AC == GAD EAC ∴ ∽ 82AB =，22AG =82AD AB ∴==,AG =,,G E C 三点共线，Rt AGC △中，GC AC =由（2）知△ADG∽△【点拨】本题考查了平行线分线段成比例，相似三角形的性质与判定，正方形的性质，勾股定理，旋转的性质，综合运用以上知识是解题的关键．类型三、位似7．如图，在6×8的网格图中，每个小正方形边长均为1，点O和△ABC的顶点均为小正方形的顶点.⑴以O为位似中心，在网格图中作△A′B′C′，使△A′B′C′和△ABC位似，且位似比为1：2⑵连接⑴中的AA′，求四边形AA′C′C的周长.（结果保留根号）【点拨】此题主要考查了位似图形的画法以及勾股定理等知识，利用位似比得出对应点位置是解题关键．【变式一】如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC三个顶点的坐标分别为A（2，4），B（1，1），C（5，2）．(1)以点B为位似中心，在网格内画出△ABC的位似△A1BC1，使得△A1BC1与△ABC的位似比为2；(2)直接写出点A1的坐标和△A1BC1的面积．(2)如图所示1A ：()3,7；11Δ116846222A BC S =⨯-⨯⨯-⨯【点拨】此题考查了位似变换和三角形面积求法，【变式二】如图，ABC 在平面直角坐标系内，三个顶点的坐标分别为()1,3A ，()2,1B ，()5,2C （正方形网格中，每个小正方形的边长为1），以点O 为位似中心，把ABC 按相似比2：1放大，得到对应A B C '''V ．(1)请在第一象限内画出A B C '''V ；(2)若以点A 、B 、C 、D 为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出满足条件的点D 的坐标．【答案】(1)见分析(2)()14,4D ；()26,0D ；()32,2D -【分析】（1）根据点O 为位似中心，()1,3A ，()2,1B ，()5,2C ，把ABC 按相似比2：1放大，得到对应A B C '''V ，求出点'A ，'B ，'C 的坐标，在网格中描点顺次连线即得；C(2)设D(x,y)，∵平行四边形的对角线互相平分，且综上，()14,4D ；()26,0D ；()32,2D -．【点拨】本题主要考查了位似三角形，平行四边形，解决问题的关键是熟练掌握位似三角形的定义及画法，平行四边形对角线的性质和线段中点坐标公式．。

知识点33 圆的基本性质 2017(解答题)

三、解答题1.,（2017四川成都,20，10分）如图，在ABC ∆中，AB AC =，以AB 为直径作圆O ，分别交BC 于点D ，交CA 的延长线于点E ，过点D 作DH AC ⊥于点H ，连接DE 交线段OA 于点F .（1）求证：DH 是圆O 的切线；（2）若A 为EH 的中点，求EF FD的值；（3）若1EA EF ==，求e O 的半径.思路分析：（1）连接OD ，因为DH AC ⊥于点H ，只需证明//OD AC ，即可得到DH OD ⊥，得证，或者再连接AD ，利用直径所对的圆周角为直角，证明∠ODA ＋∠ADH ＝90°也可；（2）通过证明AEF ODF ∆∆∽，可得到,EF AE FD OD =再利用OD 是△ABC 的中位线，等腰△DEC 的性质，求出AE AC 的比值，进而求得EF FD的值；（3）由EA ＝EF ，OD ∥EC ，可得△ODF 和△BDF 都是等腰三角形，设O e 半径为r ，则DF ＝OD ＝r ，所以BF ＝BD ＝DC ＝DE ＝DF ＋EF ＝r ＋1，AF ＝AB －BF ＝2r －(r ＋1)＝r －1.通过BFD EFA ∆∆∽，即可求出r .解：（1）连接OD ，∵OB OD =，∴OBD ∆是等腰三角形，OBD ODB ∠=∠ ①，又 ∵AB AC =，∴ABC ACB ∠=∠ ②，∴ODB OBD ACB ∠=∠=∠，∴//OD AC ，∵DH AC ⊥，∴DH OD ⊥，∴DH 是O e 的切线；（2）∵E B ∠=∠，E B C ∠=∠=∠，∴EDC ∆是等腰三角形，又∵DH AC ⊥，点A 是EH 中点，设,4AE x EC x ==，则3AC x =，连接AD ，由090ADB ∠=，即AD BD ⊥，又∵ABC ∆是等腰三角形，∴D 是BC 中点，∴OD 是ABC ∆中位线， ∴13//,22OD AC OD x =， ∵//OD AC ， ∴E ODF ∠=∠，在AEF ∆和ODF ∆中，E ODF OFD AFE ∠=∠⎧⎨∠=∠⎩， ∴AEF ODF ∆∆∽，∴2,332EF AE AE x FD OD OD x ===，∴23EF FD =．（3）设O e 半径为r ，即OD OB r ==，∵EF EA =， ∴EFA EAF ∠=∠，又∵//OD EC ， ∴FOD EAF ∠=∠，则FOD EAF EFA OFD ∠=∠=∠=∠， ∴DF OD r ==，∴1DE DF EF r =+=+，∴1BD CD DE r ===+，∵BDE EAB ∠=∠，∴BFD EFA EAB BDE ∠=∠=∠=∠，∵BF BD =，BDF ∆是等腰三角形，∴1BF BD r ==+， ∴()2211AF AB BF OB BF r r r =-=-=-+=-，在BFD ∆与EFA ∆中BFD EFA B E ∠=∠⎧⎨∠=∠⎩，∵BFD EFA ∆∆∽， ∴11,1EF BF r FA DF r r+==-，解得12r r ==（舍） ∴综上，O e的半径为12．2. （2017安徽中考20．·10分）如图，在四边形ABCD 中，AD ＝BC ，∠B ＝∠D ，AD 不平行于BC ，过点C 作CE∥AD 交△ABC 的外接圆O 于点E ，连接AE ．（1）求证：四边形AECD 为平行四边形；（2）连接CO ，求证：CO 平分∠BCE ．思路分析：（1）由于CE ∥AD ，通过证AE ∥DC 得到四边形AECD 为平行四边形；（2）连接OB ，OE ，通过证△OCE ≌△OCB 得到∠ECO ＝∠BCO ，得证．解：（1）根据圆周角定理知∠E ＝∠B ，又∵∠B ＝∠D ，∴∠E ＝∠D ，又∵AD ∥CE ，∴∠D ＋∠DCE ＝180°， ∴∠E ＋∠DCE ＝180°，∴AE ∥DC ，∴四边形AECD 为平行四边形．（2）连接OE ，OB ，由（1）得四边形AECD 为平行四边形，∴AD ＝EC ，∵AD ＝BC ，∴EC ＝BC ，∵OC ＝OC ，OB ＝OE ，∴△OCE ≌△OCB （SSS ），∴∠ECO ＝∠BCO ，即OC 平分∠ECB ．3. （2017四川内江，27，12分）如图，在⊙O 中，直径CD 垂直于不过圆心O 的弦AB ，垂足为点N ，连接AC ，点E 在AB 上，且AE ＝CE ．(1)求证：AC 2＝AE ·AB ；(2)过点B 作⊙O 的切线交EC 的延长线于点P ，试判断PB 与PE 是否相等，并说明理由；（3）设⊙O 半径为4，点N 为OC 中点，点Q 在⊙O 上，求线段PQ 的最小值．思路分析： (1)要证AC 2＝AE·AB ，可连接CB ，通过证明△CAE ～△BAC 即可；(2)先根据已知判断出PB 与PE 可能相等，欲证明PB ＝PE ，可通过证明∠PBE ＝∠PEB 即可；(3)根据“两点之间，线段最短”可得当Q 运动到PO 与⊙O 的交点时，线段PQ 能取得最小值，再根据勾股定理等知识点可求得其最小值．解：（1）如图，连接BC ，∵CD ⊥AB ，∴CB ＝CA ，∴∠CAB ＝∠CBA ．又∵AE ＝CE ，∴∠CAE ＝∠ACE ．∴∠ACE =∠ABC ．∵∠CAE =∠BAC ，∴△CAE ∽△BAC ． ∴ACAE AB AC =，即AC 2＝A E ·AB ．（2）PB ＝PE ．理由如下：如图，连接BC ，BD ，OB ．∵CD 是直径，∴∠CBD =90°．∵BP 是⊙O 的切线，∴∠OBP ＝90°．∴∠BCD +∠D ＝∠PBC +∠OBC ＝90°．∵OB ＝OC ，∠OBC ＝∠OCB ．∴∠PBC ＝∠D ．∵∠A ＝∠D ，∴∠PBC ＝∠A ．∵∠ACE ＝∠ABC ，∵∠PEB ＝∠A +∠ACE ，∠PBN ＝∠PBC +∠ABC ，∴∠PEB ＝∠PBN ．∴PE ＝PB ．（3）如图，连接PO 交⊙O 于点Q ，则此时线段PQ 有最小值．∵N 是OC 的中点，∴ON ＝2．∵OB ＝4，∴∠OBN ＝30°，∴∠PBE ＝60°．∵PE ＝PB ，∴△PEN 是等边三角形．∴∠PEB ＝60°，PB ＝BE ．在Rt △BON 中，BN ＝22ON OB -=2224-＝23．在Rt △CEN 中，EN ＝︒60tan CN ＝32＝323．∴BE ＝BN +EN ＝338． ∴PB ＝BE ＝338． ∴PQ ＝PO －OQ ＝.421344)338(42222-=-+=-+OQ PB OB4. （2017山东临沂，23，9分）如图，BAC ∠的平分线交ABC V 的外接圆于点D ，ABC ∠的平分线交AD 于点E .（1）求证：DE DB =；（2）若∠BAC ＝90°，BD ＝4，求△ABC 的外接圆半径.思路分析：（1）利用角平分线的定义和圆周角的性质通过判定∠EBD ＝∠BED ，得出结论；（2）根据等弧得出CD 的长，根据∠BAC ＝90°得出BC 为直径，进而利用勾股定理求得BC 的长度，进而得出△ABC 外接圆半径的长度.证明：⑴连接BD ，CD ．∵AD 平分∠BAC∴∠BAD ＝∠CAD又∵∠CBD ＝∠CAD∴∠BAD ＝∠CBD∵BE 平分∠ABC∴∠CBE ＝∠ABE∴∠DBE ＝∠CBE ＋∠CBD ＝∠ABE ＋∠BAD又∵∠BED ＝∠ABE ＋∠BAD∴∠DBE ＝∠BED∴BD ＝DEEB⑵∵∠BAC ＝90°∴BC 是直径∴∠BDC ＝90°∵AD 平分∠BAC ，BD ＝4∴BD ＝CD ＝4∴BC ＝22CD BD ＋＝42 ∴半径为225.23．（2017四川德阳，23，11 分）如图，已知AB 、CD 为⊙O 的两条直径，DF 为切线，过AO 上一点N 作NM ⊥DF 于M ，连接DN 并延长交⊙O 于点E ，连接CE .（1）求证：△DMN ∽△CED（2）设G 为点E 关于AB 的对称点，连接GD 、GN ，如果∠DNO ＝ 45°，⊙O 的半径为3，求22GN DN 的值.思路分析：圆中直径和圆周角，垂径定理，勾股定理，三角形相似综合题.（1）证明两组角相等即可（2）构建等腰直角△HNO .由勾股定理求解.解：（1）∵DF 为⊙O 的切线，∴DO ⊥DF ．又NM ⊥DF ，∴NM ∥DO ，∴∠MND ＝∠NDC ，∵CD 为⊙O 的直径，∴∠CED ＝90°，而∠NMD ＝90°，∴△DMN ∽△CED（2）∵G ，E 关于AB 对称，∴GN ＝EN ,∴2222NE DN GN DN +=+,过O 作OH 垂直DE 于点H ，则由垂径定理可得：HD ＝HE ，由∠DNO ＝45°，可得△NHO 为等腰直角三角形，设NH ＝OH ＝M ，NE ＝N ，则HD ＝HE ＝M +N ，在RT △HDO 中，9)(22=++m n m ，∴2222)2(m n m GN DN ++=+189222=⨯=+GN DN6. （2017江苏苏州，27，10分）如图，已知△ABC 内接于e O ，AB 是直径，点D 在e O 上，OD ∥BC ，过点D 作DE ⊥AB ，垂足为E ，连接CD 交OE 边于点F ．（1）求证：△DOE ∽△ABC ；（2）求证：∠ODF =∠BDE ；（3）连接OC ，设△DOE 的面积为S 1，四边形BCOD 的面积为S 2，若1227S S =，求sinA 的值．思路分析：（1）利用两角对应相等，证明两三角形相似；（2）相似三角形对应角相等，同弧所对的圆周角相等；（3）转化角度，放在直角三角形ODE 中，即可求∠A 的正弦值.解：（1）AB Q 是⊙O 的直径，90.,90.ACB DE AB DEO DEO ACB ∴∠=⊥∴∠=∴∠=∠o oQ .//,OD BC DOE ABC ∴∠=∠Q ，DOE ∴∆∽ABC ∆.（2）DOE ∆Q ∽ABC ∆.ODE A A ∴∠=∠∠Q 和BDC ∠是»BC所对的圆周角，,.A BDC ODE BDC ODF BDE ∴∠=∠∴∠=∠∴∠=∠.（3）21,4DOE ABC S OD DOE ABC S AB ∆∆⎛⎫∆∆∴== ⎪⎝⎭Q ∽ ，即144ABC DOE S S S ∆∆== ， OA OB =Q ，12BOC ABC S S ∆∆∴=，即12BOC S S ∆= .121122,27BOC DOE DBE DBE S S S S S S S S S ∆∆∆∆==++=++Q ， 112DBE S S ∆∴= ，12BE OE ∴= ，即222,sin sin 333OE OE OB OD A ODE OD ==∴=∠==．7. 21．（2017湖北宜昌）（本小题满分8分）已知，四边形ABCD 中，E 是对角线AC 上一点，ED=EC ,以AE 为直径的⊙O 与边CD 相切于D, B 点在⊙O 上，连接OB .A（1）求证：DE=OE ；（2）若A B ∥CD ，求证：四边形ABCD 是菱形.思路分析：（1）利用切线的性质构建直角三角形，进而运用等角的余角相等求证相等的边；（2）先证一组对边相等，借助平行得到平行四边形，再根据邻边相等的平行四边形是菱形求证.解：（1）证明：连接OD ，∵CD 是⊙O 的切线，∴OD ⊥CD∴∠2+∠3=∠1+∠COD =90°又∵DE=EC ，∴∠2=∠1，∴∠3=∠COD ，∴DE=EO（2）∵OD=OE ,∴OD=ED=OE ,∴∠3=∠COD =∠DEO =60°∴∠2=∠1=30°,∵OA=OB=OE ，而OE=DE=EC ,∴OA=OB=DE=EC ,又∵AB ∥CD ,∴∠4=∠1∴∠2=∠1=∠4=∠OBA =30°∴△ABO ≌△CDE∴AB=CD四边形ABCD 是平行四边形.CA ∴∠DAE = 12∠DOE =30° ∴∠1=∠DAE∴CD=AD∴四边形ABCD 是菱形.8. （2017·湖南株洲，25，12分）如图，AB 为⊙O 的一条弦，点C 是劣弧AB 的中点，E 是优弧AB 上一点，点F 在AE 的延长线上，且BE ＝EF ，线段CE 交弦AB 于点D ．（1）求证：CE ∥BF ；（2）若线段BD 的长为2，且EA ∶EB ∶EC ＝3∶1∶5，求△BCD 的面积．(注：根据圆的对称性可知OC ⊥AB )第25题图解：（1）∵C 为⌒AB的中点，∴∠1＝∠3， ∵BE ＝EF ，∴∠F ＝∠4，∵∠F ＋∠4＋∠BEF ＝∠1＋∠3＋BEF ＝180°，∠1＝∠3，∠F ＝∠4，∴∠1＝∠F ， ∴CE ∥BF ；（2）∵∠1＝∠CBA ，∠1＝∠3，∴∠3＝∠CBA ，∴△CBD ∽△CEB ，∴CE CB ＝BE BD ，即BD CB ＝BECE ，∴BD ＝2，CE ∶BE ＝5∶1， ∴2CB ＝5，即CB ＝25． ∵∠1＝∠3，∠2＝∠C ，∴△ADE ∽△CBE ，∴CB AD ＝CE AE ， ∵CB ＝25，AE ∶CE ＝3∶5，∴52AD ＝53，即AD ＝6， ∴AB ＝AD ＋BD ＝8．∵C 为⌒AB的中点， ∴OC ⊥AM ，∴BM ＝21AB ＝4， ∵Rt △CMB ，∠CMB ＝90°，C ＝25，BM ＝4，∴CM ＝2，∴S △BCD ＝21BD ·CM ＝21×2×2＝2．9. 13．（2017安徽中考·5分）如图，已知等边△ABC 的边长为6，以AB 为直径的⊙O 与边AC ，BC 分别交于D ，E两点，则劣弧»DE 错误!未定义书签。

人教版数学九年级下册27.1《图形的相似》教案

举例：运用相似性质解决实际问题，如求三角形的未知边长、计算相似图形的面积比等。
（3）相似变换的性质：相似变换是本节课的另一个难点，教师需要详细讲解相似变换的性质，如对应点、对应线段的比等，并通过实例使学生理解这些性质。
举例：讲解旋转变换、平移变换等相似变换的性质，让学生在实际操作中体会相似变换的特点。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《图形的相似》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过两个形状看起来很相似的物体？”（如两个相似的三角形装饰品）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索图形相似的奥秘。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与相似图形相关的实际问题，如相似三角形的周长比、面积比等。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，如制作两个相似三角形并比较它们的性质。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
教学内容与课本紧密相关，旨在帮助学生掌握图形相似的相关知识，提高解决问题的能力。
二、核心素养目标
《图形的相似》章节的核心素养目标如下：
1.培养学生的空间观念，提高对图形相似性的认识，增强观察、分析图形的能力。
2.培养学生运用数学语言进行表达、交流、合作的能力，提高解决实际问题的能力。
3.培养学生逻辑思维和推理能力，能运用相似性质进行严密的论证。
举例：分析相似四边形的性质，解决面积、周长等与相似多边形相关的问题。
2.教学难点
（1）相似图形的识别：学生往往在识别相似图形时存在困难，需要教师通过丰富的实例和引导，帮助学生掌握识别相似图形的方法。

中考数学《圆的综合》专题训练(含有答案)

中考数学《圆的综合》专题训练(含有答案)1．如图，：AB 是O 的直径：BC 是O 弦，OD CB ⊥于点E ，交BC 于点D ．(1)请写出三个不同类型的正确结论(2)连结CD ，设BCD α∠= ABC β∠= 试找出α与β之间的一种关系式并给予证明．2．如图，，在ABC 中 AB AC = 以AB 为直径的O 交BC 于点D 交CA 的延长线于点E ．(1)求证点D 为线段BC 的中点．(2)若63BC = 3AE = 求O 的半径及阴影部分的面积．3．如图，AB 为O 的直径点C 在O 上延长BC 至点D 使DC CB =．延长DA 与O 的另一个交点为E 连结AC CE ，．(1)求证D E ∠=∠(2)若42AB BC AC =-=，求CE 的长．4．请仅用无刻度的直尺完成下列作图不写作法保留作图痕迹(1)如图1， ABC 与ADE 是圆内接三角形 AB AD = AE AC = 画出圆的一条直径．(2)如图2 ， AB CD 是圆的两条弦 AB CD =且不相互平行画出圆的一条直径． 5．如图，AB 是O 的直径点D 在AB 的延长线上点C 在O 上 ,30CA CD CDA =∠=︒．(1)求证CD 是O 的切线(2)若O 的半径为6 求点A 到CD 所在直线的距离．6．如图，点C 在以AB 为直径的O 上过C 作O 的切线交AB 的延长线于E AD CE ⊥于D 连接AC ．(1)求证ACD ABC ∠=∠(2)若3tan 4CAD ∠= 8AD = 求O 直径AB 的长．7．如图，已知以Rt ABC 的直角边AC 为直径作O 交斜边AB 于点E 连接EO 并延长交BC 的延长线于点D 连接AD 点F 为BC 的中点连接EF ．(1)求证EF 是O 的切线(2)若O 的半径为6 8CD = 求AB 的长．8．如图， AB 是半圆O 的直径 D 为半圆O 上的点(不与A B 重合) 连接AD 点C 为BD 的中点过点C 作CF AD ⊥ 交AD 的延长线于点F 连接BF AC 交于点E ．(1)求证FC 是半圆O 的切线(2)若3AF = 23AC = 求半圆O 的半径及AE 的长．9．如图， AB 为O 的直径 C 为BA 延长线上一点 CD 是O 的切线 D 为切点 OF AD ⊥于点E 交CD 于点F ．(1)求证ADC AOF ∠=∠ (2)若53OC OB = 24BD = 求EF 的长． 10．如图，所示 AB 是O 的直径点D 在AB 上点C 在O 上 AD AC =CD 的延长线交O 于点E ．(1)在CD 的延长线上取一点F 使BF BC = 求证BF 是O 的切线 (2)若2AB = 2CE 求图中阴影部分的面积．11．如图， ABC 内接于O AB 为O 的直径 D 为BA 延长线上一点连接CD 过O 作OF BC ∥交AC 于点E 交CD 于点F ACD AOF ∠=∠．(1)求证CD 为圆O 的切线 (2)若1sin 4D =10BC = 求EF 的长． 12．如图，四边形ABCD 是O 的内接四边形 AD CD = 70BAC ∠=︒ 50∠=°ACB ．(1)求ABD ∠的度数 (2)求BAD ∠的度数．13．如图，四边形ABCD 是O 的内接四边形且对角线BD 为O 的直径过点A 作AE CD ⊥ 与CD 的延长线交于点E 且DA 平分BDE ∠．(1)求证AE 是O 的切线(2)若O 的半径为5 6CD = 求DA 的长．14．如图，在正方形ABCD 中有一点P 连接AP BP 旋转APB △到CEB 的位置．(1)若正方形的边长是8 4BP =．求阴影部分面积 (2)若4BP = 7AP = 135APB ∠=︒ 求PC 的长．15．如图， AB 是O 的直径 OD 垂直于弦AC 于点E 且交O 于点D F 是BA 延长线上一点若CDB BFD ∠=∠．(1)求证 FD 是O 的一条切线(2)若15AB = 9BC = 求DF 的长． 16．如图，O 是ABC ∆的外接圆 AE 切O 于点A AE 与直径BD 的延长线相交于点E ．(1)如图，① 若70C ∠=︒ 求E ∠的大小 (2)如图，① 若AE AB = 求E ∠的大小．17．已知如图，直线MN 交O 于A B 两点 AC 是直径 AD 平分CAM ∠交O 于D 过D 作DE MN ⊥于E ．(1)求证DE 是O 的切线(2)若8cm DE = 4cm AE = 求O 的半径．18．已知四边形ABCD 内接于O C 是DBA 的中点 FC AC ⊥于C 与O 及AD 的延长线分别交于点,E F 且DE BC =．(1)求证~CBA FDC(2)如果9,4AC AB == 求tan ACB ∠的值．参考答案与解析1．(1)见解析(2)关系式为2=90αβ+︒ 证明见解析【分析】（1）AB 是O 的直径 BC 是弦 OD BC ⊥于E 本题满足垂径定理．（2）连接,CD DB 根据四边形ACDB 为圆内接四边形可以得到290αβ+=︒．【解析】（1）解不同类型的正确结论有 ①BE CE = ①BD CD = ①90BED ∠=︒ ①BOD A ∠=∠ ①AC OD ∥ ①AC BC ⊥ ①222OE BE OB += ①ABC S BC OE =⋅△ ①BOD 是等腰三角形 ①BOE BAC △∽△等等．（2）如图，连接,CD DBα与β之间的关系式为290αβ+=︒证明AB 为圆O 的直径90A ABC ∴∠+∠=︒①又四边形ACDB 为圆内接四边形180A CDB ∠∠∴+=︒①∴①-①得90CDB ABC ∠∠-=︒①18021802CDB BCD α∠=︒-∠=︒- 即180290αβ︒--=︒ ①2=90αβ+︒．【点评】本题考查了圆的一些基本性质且有一定的开放性垂径定理圆内接四边形的性质掌握圆的相关知识． 2．(1)见解析 (2)半径为3 39π324S =阴【分析】（1）连结AD 可得90ADB ∠=︒ 已知AB AC = 根据等腰三角形三线合一的性质即可得证点D 为线段BC 的中点（2）根据已知条件可证ABC DEC ∽△△ 得到ED ECAB BC= 22BD AB EC =⋅ 且EDC △是等腰三角形进而得到ED DC BD == 设AB x = 则(()22333x x =+ 解方程即可求得O 的半径连接OE 可证AOE △是等边三角形再根据AOEAOE S S S =-阴扇形即可求出阴影部分的面积【解析】（1）连结AD①AB 为O 的直径 ①90ADB ∠=︒ ①AB AC = ①BD CD =即点D 为线段BC 的中点．（2）①B E ∠=∠ C C ∠=∠ ①ABC DEC ∽△△ ①ED ECAB BC= ①AB AC = ①B C ∠=∠ ①C E ∠=∠ ①ED DC BD == ①22BD AB EC =⋅ 设AB x = 则 (()22333x x =+解得19x =-（舍去） 26x = ①O 的半径为3 连接OE ①60AOE =︒∠ ①AOE △是等边三角形 ①AE 33①AOEAOE S S S=-阴扇形260313333602π⨯⨯=-⨯ 39π324=【点评】本题主要考查等腰三角形的性质相似三角形的判定和性质不规则图形面积的计算熟练掌握相关知识点是解题的关键． 3．(1)见解析 (2)CE 的长为17【分析】（1）由AB 为O 的直径得90ACB ∠=︒ 通过证明()ACD ACB ≌SAS 得到D B ∠=∠ 又由B E ∠=∠ 从而得到D E ∠=∠（2）设BC x = 则2AC x =- 在Rt ABC 中由勾股定理可得222AC BC AB += 即()22224x x -+= 解一元二次方程得到BC 的长由（1）知D E ∠=∠ 从而得到CD CE = 又由DC CB = 得到17CE CB ==【解析】（1）证明AB 为O 的直径90ACB ∴∠=︒180ACD ACB ∠+∠=︒90ACD ∴∠=︒在ACD 和ACB △中AC AC ACD ACB DC BC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()ACD ACB ∴≌SASD B ∴∠=∠ BE ∠=∠D E ∴∠=∠（2）解设BC x =2BC AC -=∴2AC x =-在Rt ABC 中由勾股定理可得222AC BC AB += 即()22224x x -+=解得117x = 217x = 17BC ∴=由（1）得D E ∠=∠ CD CE ∴= DC CB =17CE CB ∴==∴ CE 的长为17【点评】本题主要考查了圆周角定理三角形全等的判定与性质等腰三角形的性质勾股定理解直角三角形熟练掌握圆周角定理三角形全等的判定与性质等腰三角形的性质是解题的关键． 4．(1)见解析 (2)见解析【分析】（1）设BC DE 交于点G 连接AG 交圆于点F 即可作答（2）连接BC AD 交于点F 延长BA DC 两线交于点E 作直线EF 交圆于点M N 即可作答．【解析】（1）如图，设BC DE 交于点G 连接AG 并延长交圆于点F线段AF 即为所求证明如图， BC AE 交于点Q DE AC 交于点P 连接DB 交AF 于点H①AB AD = AE AC = ①C E ∠=∠ ADE ABC =∠∠ ①DAE BAC ∠=∠①DAE BAC ≌ ①BC DE = ①DAE BAC ∠=∠ ①BAE DAC ∠=∠①AB AD = ADE ABC =∠∠ ①DAP BAQ ≌ ①AQ AP = ①AE AC = ①QE PC =①QGE PGC ∠=∠ C E ∠=∠ ①QGE PGC ≌ ①QG PG =①AG AG = AQ AP = ①QAG PAG ≌ ①QAG PAG ∠=∠ ①BAE DAC ∠=∠ ①BAG DAG ∠=∠ ①AH AH = AB AD = ①BAH DAH ≌①BH DH = 90AHB AHD ∠=∠=° ①AF 垂直平分弦DB ①AF 是圆的直径（2）如图，连接BC AD 交于点F 延长BA DC 两线交于点E 作直线EF 交圆于点M N线段MN 即为所求．证明方法同（1）．【点评】本题主要考查了垂径定理圆周角定理以及全等三角形的判定与性质等知识掌握圆周角定理以及垂径定理是解答本题的关键． 5．(1)见解析 (2)9【分析】（1）已知点C 在O 上先连接OC 由已知CA CD = 30CDA ∠=︒ 得30CAO ∠=︒ 30ACO ∠=︒ 所以得到60COD ∠=︒ 根据三角形内角和定理得90DCO ∠=︒ 即能判断直线CD 与O 的位置关系．（2）要求点A 到CD 所在直线的距离先作AE CD ⊥ 垂足为E 由30CDA ∠=︒ 得12AE AD = 在Rt OCD △中半径6OD = 所以212OD OC == 18AD OA OD =+= 从而求出AE ．【解析】（1）①ACD 是等腰三角形 30D ∠=︒①30CAD CDA ∠=∠=︒．连接OC①AO CO =①AOC 是等腰三角形①30CAO ACO ∠=∠=︒①60COD ∠=︒在COD △中又①30CDO ∠=︒①90DCO ∠=︒①CD 是O 的切线即直线CD 与O 相切．（2）过点A 作AE CD ⊥ 垂足为E ．在Rt OCD △中 ①30CDO ∠=︒①212OD OC ==61218AD AO OD =+=+=在Rt ADE △中①30EDA ∠=︒①点A 到CD 边的距离为92AD AE ==．【点评】此题考查的知识点是切线的判定与性质解题的关键是运用直角三角形的性质及30°角所对直角边的性质．6．(1)见解析 (2)252AB =．【分析】（1）连接OC 由DE 为O 的切线得到OC DE ⊥ 再由AD CE ⊥ 得到AD OC ∥ 得到OCA CAD ∠=∠ 根据OA OC = 利用等边对等角得到OCA CAB ∠=∠ 等量代换得到CAD CAB ∠=∠ 由AB 为O 的直径可知90ACB ∠=︒ 最后根据等角的余角相等可得结论（2）在Rt CAD △中利用锐角三角函数定义求出CD 的长根据勾股定理求出AD 的长由（1）易证ADC ACB 得到AD AC AC AB= 即可求出AB 的长．【解析】（1）解连接OC由题意可知DE 与O 的相切于COC DE ∴⊥AD CE ⊥AD OC ∴∥OCA CAD ∴∠=∠OA OC =OCA CAB ∴∠=∠CAD CAB ∴∠=∠ AB 为O 的直径90ACB ∴∠=︒90CAD ACD CAB ABC ∴∠+∠=∠+∠=︒ACD ABC ∴∠=∠（2）在Rt CAD △中3tan 4CDCAD AD ∠== 8AD =364CD AD ∴==22226810AC CD AD ∴+=+=由（1）可知CAD CAB ∠=∠90D ACB ∠=∠=︒ADC ACB ∴ADACAC AB ∴=81010AB∴= 252AB ∴=【点评】此题考查了切线的性质以及解直角三角形熟练掌握切线的判定与性质是解本题的关键． 7．(1)证明见解析 (2)125AB =【分析】（1）连接FO 可根据三角形中位线的性质可判断OF AB ∥ 然后根据直径所对的圆周角是直角可得CE AE ⊥ 进而知OF CE ⊥ 然后根据垂径定理可得FEC FCE ∠=∠OEC OCE ∠=∠ 再通过Rt ABC 可知90OEC FEC ∠+∠=︒ 因此可证EF 为O 的切线（2）根据题意可先在Rt OCD △中求出OD 然后在Rt EFD 中求出FC 最终在Rt ABC 中求解AB 即可．【解析】（1）证连接FO 则由题意OF 为Rt ABC 的中位线①OF AB ∥①AC 是O 的直径①CE AE ⊥①OF AB ∥①OF CE ⊥①由垂径定理知 OF 所在直线垂直平分CE①FC FE = OE OC =①FEC FCE ∠=∠ OEC OCE ∠=∠①90ACB ∠=︒即90OCE FCE ∠+∠=︒①90OEC FEC ∠+∠=︒即90FEO ∠=︒①EF 是O 的切线（2）解①O 的半径为6 8CD = 90ACB ∠=︒①OCD 为直角三角形 6OC OE == 8CD = ①2210OD OC CD += 10616ED OD OE =+=+=由（1）知 EFD △为直角三角形且FC FE =①设FC FE x == 则8FD FC CD x =+=+①由勾股定理 222EF ED FD +=即()222168x x +=+ 解得12x =即12FC FE ==①点F 为BC 的中点①224BC FC ==①212AC OC ==①在Rt ABC 中 22125AB BC AC +①125AB =【点评】本题考查切线的证明圆的基本性质以及勾股定理解三角形等掌握切线的证明方法熟练运用圆中的基本性质是解题关键．8．(1)见解析(2)半径为2 123AE =【分析】（1）根据点C 为弧BD 的中点得出FAC CAB ∠∠= 然后得出FAC ACO ∠∠= 根据平行线的性质得出CF OC ⊥ 进而即可求解（2）连接BC 设OC 与BF 相交于点P 证明AFC ACB ∽ 得出4AB = 证明BOP BAF ∽得出1322OP AF == 进而证明ECP EAF ∽ 根据相似三角形的性质列出比例式进而即可求解．【解析】（1）证明连接OC 如图，点C 为弧BD 的中点∴CD CB =FAC CAB ∠∠∴=又OA OC =CAB ACO ∠∠∴=FAC ACO ∠∠∴=∴OC AF ∥又CF AD ⊥CF OC ∴⊥FC ∴是半圆O 的切线．（2）解连接BC 如图，AB 是半圆O 的直径90ACB ∠∴=︒90AFC ACB ∠∠∴==︒又FAC CAB ∠∠=AFC ACB ∴∽ ∴AFACAC AB = 23234AB ∴=∴半圆O 的半径为2．设OC 与BF 相交于点POC AF ∥BOP BAF ∴∽ ∴12OPOB AF AB == ∴1322OP AF == ∴12PC OC OP =-=OC AF ∥ECP EAF ∴∽ ∴EC PCAE AF = 即123AC AEAE -= 2316AE-=∴123AE = 【点评】本题考查了切线的性质与判定相似三角形的性质与判定掌握切线的判定以及相似三角形的性质与判定是解题的关键．9．(1)见解析(2)3【分析】（1）连接DO 根据CD 是O 的切线 OF AD ⊥ 证明ADC DOF ∠∠= 利用等腰三角形三线合一性质证明ADC AOF ∠∠=．（2）利用平行线分线段成比例定理计算OE 证明CFO CDB △∽△ 计算OF两线段作差即可求解．【解析】（1）如图，连接DO CD 是O 的切线OD DF ∴⊥90ADC ADO ∠∠∴+=︒OF AD ⊥ OA OD =90DOF ADO ∠∠∴+=︒ DOF AOF ∠∠=ADC DOF ∠∠∴=ADC AOF ∠∠∴=．（2）如图，连接DO CD 是O 的切线OD DF ∴⊥90CDO ∠∴=︒53OC OB =设5(0)CO k k => 则3DO OB AO k ===4CD k ∴=538CB CO OB k k k ∴=+=+= AB 是O 的直径 24BD =AD DB ∴⊥OF AD ⊥∴OF BD ∥ ∴AO AE OB ED = CFO CDB △∽△ ∴OF CO BD CB= AE ED ∴=5524538OF k k k ==+ ∴1122OE BD == 15OF = 3EF OF OE ∴=-=．【点评】本题考查了切线的性质等腰三角形的三线合一性质平行线分线段成比例定理相似三角形的性质与判定熟练掌握切线的性质相似三角形的性质与判定是解题的关键．10．(1)证明过程见解析 (2)142π-【分析】（1）AB 是O 的直径 AC AD = BF BC = 可求出90FBD ∠=︒ AB BF ⊥ 由此即可求证（2）如图，所示（见解析）连接,CO EO 可得1OC OE == 可证222CO O CE += 90COE ∠=︒ 根据扇形面积的计算方法即可求解．【解析】（1）证明①AB 是O 的直径①90ACB ∠=︒①90ACD BCD ∠+∠=︒①AC AD =①ACD ADC ∠=∠①ADC BDF ∠=∠①ACD BDF ∠=∠①BC BF =①BCD F ∠=∠①90BDF F ∠+∠=︒①180()90FBD FDB F ∠=︒-∠+∠=︒①AB BF ⊥ 且OB 是O 的半径①BF 是O 的切线．（2）解如图，所示连接,CO EO①2AB =①1OC OE == ①2CE ①222CO EO += 2222CE == ①222CO O CE +=①90COE ∠=︒ ①29011111360242ππS ⨯=-⨯⨯=-阴影 ①图中阴影部分的面积为142π-．【点评】本题主要考查圆的基础知识掌握圆的切线的证明方法扇形面积的计算方法是解题的关键．11．(1)见解析(2)3【分析】（1）连接CO 根据OF BC ∥可得B AOF ∠=∠ 根据直径所对的圆周角为直角可得90B CAB ∠+∠=︒ 再根据AO CO =得出CAB ACO ∠=∠ 最后证明90ACD ACO ∠+∠=︒即可（2）根据中位线定理得出152OE BC == 证明DBC DOF ∽ 根据相似三角形对应边成比例即可求解．【解析】（1）证明连接CO①OF BC ∥①B AOF ∠=∠①AB 为O 的直径①90ACB ∠=︒ 则90B CAB ∠+∠=︒①90AOF CAB ∠+∠=︒①AO CO =①CAB ACO ∠=∠①ACD AOF ∠=∠①90ACD ACO ∠+∠=︒ 即OC CD ⊥①CD 为圆O 的切线（2）①AB 为O 的直径①点O 为AB 中点①OF BC ∥①OE 为ABC 中位线 ①152OE BC == ①1sin 4D = OC CD ⊥ ①4OD OC = 则5BD OD OB OC =+=①OF BC ∥①DBC DOF ∽ ①OF OF BC BD = 即4510OC OF OC = 解得8OF =①853EF OF OE =-=-=．【点评】本题主要考查了切线的判定和性质圆周角定理相似三角形的判定和性质以及解直角三角形解题的关键是掌握切线的判定和性质以及相似三角形的判定和性质．12．(1)30︒(2)100︒【分析】（1）根据三角形内角和定理可得60ABC ∠=︒ 再由AD CD = 可得ABD CBD ∠=∠ 即可求解（2）根据圆周角定理可得30ABD ACD ∠∠==︒ 从而得到80BCD ∠=︒ 再由圆内接四边形的性质即可求解．【解析】（1）解①70,50BAC ACB ∠=︒∠=︒①18060ABC BAC ACB ∠=︒-∠-∠=︒①AD CD = ①1302ABD CBD ABC ∠=∠=∠=︒ （2）解由圆周角定理得30ABD ACD ∠∠==︒①80BCD ACB ACD ∠=∠+∠=︒①四边形ABCD 是O 的内接四边形①180100BAD BCD ∠=︒-∠=︒．【点评】本题主要考查了圆内接四边形的性质圆周角定理等知识熟练掌握圆内接四边形的性质圆周角定理是解题的关键．13．(1)见解析(2)AD 的长是25【分析】（1）连接OA 根据已知条件证明OA AE ⊥即可解决问题（2）作OF CD ⊥ 则四边形OAEF 是矩形且132DF CD ==由此可求得DE 的长在Rt OFD △中勾股定理求出OF 即AE 的长在Rt AED △中利用勾股定理求DA ．【解析】（1）证明如图，连接OA①AE CD ⊥①90DAE ADE ∠+∠=︒．①DA 平分BDE ∠①ADE ADO ∠=∠又①OA OD =①OAD ADO ∠=∠①90DAE OAD ∠+∠=︒①OA AE ⊥①AE 是O 的切线（2）解过点O 作OF CD ⊥于F ．①90OAE AEF OFE ∠︒=∠=∠=①四边形OAEF 是矩形①5EF OA AE OF ===，．①OF CD ⊥ ①132DF FC CD ===①532DE EF DF =-=-=在Rt OFD △中 2222534OF OD DF --=①4AE OF ==在Rt AED △中 22224225AD AE DE ++=①AD 的长是25【点评】本题考查了切线的判定与性质垂径定理圆周角定理勾股定理解决本题的关键是掌握切线的判定与性质．14．(1)12π(2)9【分析】(1) 根据题意 CEB APB ABC PBE S S S S S =+--阴影扇形扇形根据公式计算即可．(2) 连接PE 根据题意 45,135,90PEB CEP PEC ∠=︒∠=︒∠=︒ 根据勾股定理计算即可．【解析】（1）如图， ①正方形ABCD 旋转APB △到CEB 的位置①APB CEB ≌ 90ABC PBE ∠=∠=︒ =CEB APB S S ①CEB APB ABC PBE S S S S S =+--阴影扇形扇形①ABC PBE S S S =-阴影扇形扇形①48BP AB ==， ①9064901612360360S πππ︒⨯⨯︒⨯⨯=-=︒︒阴影．（2）连接PE根据题意 45,135PEB APB CEP ∠=︒∠=∠=︒ AP CE =①90PEC ∠=︒①4BP = 7AP =①2227,4432CE PE ==+=①222273281PC CE PE =+=+=解得9PC =．【点评】本题考查了正方形的性质旋转的性质阴影面积的计算扇形面积公式勾股定理熟练掌握旋转的性质阴影面积的计算扇形面积公式勾股定理是解题的关键．15．(1)证明见解析(2)10DF =【分析】（1）因为CDB CAB ∠=∠ CDB BFD ∠=∠ 所以CAB BFD ∠=∠ 即可得出FD ①AC 可得得出OD FD ⊥ 进而得出结论（2）利用勾股定理先求解AC 再利用垂径定理得出AE 的长可得OE 的长证明AEO FDO ∽ 再利用相似三角形的判定与性质得出DF 的长．【解析】（1）①CDB CAB ∠=∠ CDB BFD ∠=∠①CAB BFD ∠=∠①FD AC ∥①OD 垂直于弦AC 于点E①OD FD ⊥①FD 是O 的一条切线（2）①AB 为O 的直径①90ACB ∠=︒①15AB = 9BC = ①2215912AC -= 7.5AO OB OD ===①DO AC ⊥①6AE CE == ①227.56 4.5OE -①AC FD ∥①AEO FDO ∽ ①AE EO FD DO = ①4.567.5FD= 解得10DF =．经检验符合题意.【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质垂径定理圆周角定理切线的判定以及平行线的判定掌握相似三角形的判定与性质垂径定理圆周角定理以及平行线的判定是解题的关键．16．(1)50︒(2)30︒【分析】（1）连接OA 先由切线的性质得OAE ∠的度数求出2142AOB C ∠=∠=︒ 进而得AOE ∠ 则可求出答案（2）连接OA 根据等腰三角形的性质及切线的性质列方程求解即可．【解析】（1）连接OA ．如图，①AE 切O 于点AOA AE ∴⊥90OAE ∴∠=︒70C ∠=︒2270140AOB C ∴∠=∠=⨯︒=︒又180AOB AOE ∠+∠=︒40AOE ∴∠=︒90AOE E ∠+∠=︒904050E ∴∠=︒-︒=︒．（2）连接OA 如图，①设E x ∠=．AB AE =ABE E x ∴∠=∠=OA OB =OAB ABO x ∴∠=∠=2AOE ABO BAO x ∴∠=∠+∠=． AE 是O 的切线OA AE ∴⊥ 即90OAE ∠=︒在OAE ∆中 90AOE E ∠+∠=︒即290x x +=︒解得30x =︒30E ∴∠=︒．【点评】本题主要考查了切线的性质等腰三角形的性质圆周角的性质三角形内角和的性质用方程思想解决几何问题关键是熟悉掌握这些性质．17．(1)见解析(2)10cm【分析】(1)连接OD 根据平行线的判定与性质可得90ODE DEM ∠=∠=︒ 又点D 在O 上即可证得DE 是O 的切线(2)首先根据勾股定理可得AD 的长再由ACD ADE ∽ 根据相似三角形的性质列出比例式代入数据即可求得圆的半径．【解析】（1）证明如图，连接ODOA OD =OAD ODA ∠=∠∴ AD 平分CAM ∠OAD DAE ∴∠=∠ODA DAE ∴∠=∠DO MN ∴∥DE MN ⊥90ODE DEM ∴∠=∠=︒ 即OD DE ⊥ 又点D 在O 上 OD 为O 的半径DE ∴是O 的切线（2）解90AED ∠=︒ 8cm DE = 4cm AE =22228445AD DE AE ∴++如图，连接CDAC 是直径90ADC AED ∴∠=∠=︒CAD DAE ∠=∠ACD ADE ∴△∽△AD AC AE AD ∴= 4545=解得20AC =O ∴的半径为10cm ．【点评】本题考查圆了切线的判定；等边对等角平行线的判定与性质圆周角定理勾股定理相似三角形的判定和性质等知识在圆中学会正确添加辅助线是解决问题的关键．18．(1)见解析 (2)49【分析】（1）欲证~CBA FDC ，只要证明两个角对应相等就可以．可以转化为证明DE BC =就可以（2）由~CBA FDC 可得814CF = ACB F ∠=∠ 进而即可得到答案．【解析】（1）证明①四边形ABCD 内接于O①CBA CDF ∠=∠．①DE BC =①BCA DCE ∠=∠．①~CBA FDC（2）解①C 是DBA 的中点①9CD AC ==①~CBA FDC 4AB = ①AB AC CD CF = 即499CF= ①814CF = ①~CBA FDC ①94tan tan 8194AC ACB F CF ∠=∠===．【点评】本题考查的是圆的综合题；涉及弧、弦的关系；等腰三角形的性质；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数；掌握相似三角形的判定和性质是解答此题的关键．。

中考数学相似形和圆考点分析及复习教案

相似形和圆考点分析及复习研究【考点链接】（一）比例基本性质及运用1．线段比的含义：如果选用同一长度单位得两条线段a 、b 的长度分别为m 、n ，那么就说这两条线段的比是a ：b=m ：n ，或写成a m=bn，和数的一样，两条线段的比a 、b 中，a 叫做比的前项 b 叫做比的后项．注意：（1）针对两条线段，（2）两条线段的长度单位相同，但与所采用的单位无关；（3）其比值为一个不带单位的正数．2．线段成比例及有关概念的意义：在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段，已知四条线段a 、b 、c 、d ，如果a c =b d或a ：b=c ：d ，那么a 、b 、c 、d 叫做成比例的项，线段a 、d 叫做比例外项，线段b 、d 叫做比例内项，线段d 叫做a 、b 、c 的第四比例项，当比例内项相同时，即争a b bc或a ：b=b ：c ，那么线段b 叫做线段a 和c 的比例中项． 3．比例的性质要注意灵活地运用比例线段的多种不同的变化形式，即由a c =bd推出b d =ac等，但无论怎样变化，它们都保持ad=bc 的基本性质不变．4．黄金分割：在线段AB 上有一点C ，若AC ：AB=BC ：AC ，则C 点就是AB 的黄金分割点．（二）相似三角形的性质和判定1．相似三角形定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形，相似三角形的对应边的比叫做相似比．2．相似三角形的性质：①相似三角形的对应角相等，对应边成比例．②相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比．③相似三角形周长的比等于相似比．④相似三角形面积的比等于相似比的平方．3．相似三角形的判定：①两角对应相等的两个三角形相似．②两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似．③三边对应成比例的两个三角形相似．④如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．注：①直角三角形被斜边上的高分成的两个三角形和原三角形相似．②在运用三角形相似的性质和判定时，要找对对应角、对应边，相等的角所对的边是对应边．（三）相似多边及位似图形1．定义：对应角相等，对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形． 2．相似多边形的性质：（1）相似多边形的周长的比等于相似比；（2）相似多边形的对应对角线的比等于相似比；（3）相似多边形的面积的比等于相似比的平方；（4）相似多边形的对应对角线相似，相似比等于相似多边形的相似比． 3．位似图形的定义：如果两个图形不仅是相似图形．而且每组对应点所在的直线都经过同一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这时的相似比又叫做位似比．【例题评析】例1．如图l ，D 、E 两点分别在△CAB 上，且 DE 与BC 不平行，请填上一个你认为适合的条件_________，使得△ADE ∽△ABC ．解：∠1=∠B 或∠2=∠C 或AE ：AC=AD ：AB 例2．如图2，D 是△ABC 的边AB 上的点，请你添加一个条件，使△ACD 与△ABC 相似．你添加的条件是___________解：∠CDC=∠ACB 或∠ACD=∠ABC 或AD ：AC =AC ：AB ．图1 图2例3．在比例尺为1：8000的南京市城区地图上，太平南路的长度约为25 cm ，它的实际长度约为（）A ．320cmB ．320mC ．2000cmD ．2000m 解：设它的实际长度约为xcm ，则1：8000=25：x ．解得x=200000，200000cm=2000m ．故它的实际长度为2000m ．故选D ．例4．雨后初晴，一学生在运动场上玩耍，从他前面2m 远一块小积水处，他看到旗杆顶端的倒影，如果旗杆底端到积水处的距离为40m ，该生的眼部高度是1.5m ，那么旗杆的高度是___________m.解：设旗杆的高度为xm ，由于在同一时刻旗杆的高度与其影长的比等于人的眼部高度与其影长的比，可列出x 1.5 = 402 解得x=30（m ）【当堂反馈】1、已知 x y =3，那么x-yy的值是____________-2、在Rt △ABC 中，∠BAC ＝900，AD ⊥BC 于D ，AB ＝2，DB ＝1，则DC ＝，AD ＝。

初三数学图形的相似试题答案及解析

初三数学图形的相似试题答案及解析1. 如图，小明用长为3m 的竹竿CD 做测量工具，测量学校旗杆AB 的高度，移动竹竿，使竹竿与旗杆的距离DB=12m ，则旗杆AB 的高为 m ．【答案】9．【解析】解：由题意得，CD ∥AB ， ∴△OCD ∽△OAB ， ∴=，即=，解得AB=9．故答案为：9.【考点】相似三角形的应用．2. 如图，已知直线l 1∥l 2，线段AB 在直线l 1上，BC 垂直于l 1交l 2于点C ，且AB=BC ，P 是线段BC 上异于两端点的一点，过点P 的直线分别交l 2、l 1于点D 、E （点A 、E 位于点B 的两侧），满足BP=BE ，连接AP 、CE ．（1）求证：△ABP ≌△CBE ；（2）连结AD 、BD ，BD 与AP 相交于点F ．如图2． ①当=2时，求证：AP ⊥BD ；②当=n （n ＞1）时，设△PAD 的面积为S 1，△PCE 的面积为S 2，求的值．【答案】（1）证明见解析 •证明见解析 ‚n+1【解析】（1）由BC 垂直于l 1可得∠ABP=∠CBE ，由SAS 即可证明；（2）①延长AP 交CE 于点H ，由（1）及已知条件可得AP ⊥CE ，△CPD ∽△BPE ，从而有DP=PE ，得出四边形BDCE 是平行四边形，从而可得到CE//BD ，问题得证； ②由已知条件分别用S 表示出△PAD 和△PCE 的面积，代入即可．试题解析：（1）∵BC ⊥直线l 1， ∴∠ABP=∠CBE ，在△ABP 和△CBE 中∴△ABP ≌△CBE （SAS ）；（2）①延长AP 交CE 于点H ，∵△ABP ≌△CBE ， ∴∠PAB=∠ECB ，∴∠PAB+∠AEE=∠ECB+∠AEH=90°， ∴AP ⊥CE ，∵=2，即P 为BC 的中点，直线l 1//直线l 2， ∴△CPD ∽△BPE ，∴==，∴DP=PE ，∴四边形BDCE 是平行四边形， ∴CE//BD ， ∵AP ⊥CE ， ∴AP ⊥BD ；②∵=N∴BC=n•BP ，∴CP=（n ﹣1）•BP ， ∵CD//BE ，∴△CPD ∽△BPE ， ∴==n ﹣1，即S 2=（n ﹣1）S ，∵S △PAB =S △BCE =n•S ， ∴S △PAE =（n+1）•S ， ∵==n ﹣1，∴S 1=（n+1）（n ﹣1）•S ， ∴==n+1．【考点】1、全等三角形的性质与判定；2、相似三角形的性质与判定；3、平行四边形的性质与判定3. 如图，在□ABCD 中，过点A 作AE ⊥BC ，垂足为E ，连接DE ，F 为线段DE 上一点，且∠AFE=∠B ．（1）求证：△ADF ∽△DEC ；（2）若AB=8，AD=6，AF=4，求AE 的长．【答案】(1)证明见解析；（2）6.【解析】（1）利用对应两角相等，证明两个三角形相似△ADF ∽△DEC ；（2）利用△ADF ∽△DEC ，可以求出线段DE 的长度；然后在在Rt △ADE 中，利用勾股定理求出线段AE 的长度．（1）证明：∵▱ABCD ，∴AB ∥CD ，AD ∥BC ，∴∠C+∠B=180°，∠ADF=∠DEC．∵∠AFD+∠AFE=180°，∠AFE=∠B，∴∠AFD=∠C．在△ADF与△DEC中，∴△ADF∽△DEC．（2）∵△ADF∽△DEC，∴又∵ CD=AB=8，AD=6，AF= 4.代入求得DE="12" ，四边形ABCD是平行四边形，又∵AE⊥BC，∴ AE⊥AD，在Rt△AED中，由勾股定理可得AE=6.【考点】1.相似三角形的判定与性质；2.勾股定理；3.平行四边形的性质．4.如图1，在△ABC中，D、E、F分别为三边的中点，G点在边AB上，且DG平分△ABC的周长，设BC=a、AC=b、AB=c．（1）求线段BG的长；（2）求证：DG平分∠EDF；（3）连接CG，如图2，若△GBD ∽△GDF，求证：BG⊥CG．【答案】（1）（b+c）；（2）证明见解析；（3）证明见解析.【解析】（1）由△BDG与四边形ACDG的周长相等与BD=CD，易得BG=AC+AG，即可得BG=（AB+AC）；（2）由点D、F分别是BC、AB的中点，利用三角形中位线的性质，易得DF=AC=b，由FG=BG-BF，求得DF=FG，又由DE∥AB，即可求得∠FDG=∠EDG；（3）由△BDG与△DFG相似，∠DFG＞∠B，∠BGD=∠DGF（公共角），可得∠B=∠FDG，又由（2）得：∠FGD=∠FDG，易证得DG=BD=CD，可得B、G、C三点在以BC为直径的圆周上，由圆周角定理，即可得BG⊥CG．试题解析：（1）解：∵△BDG与四边形ACDG的周长相等，∴BD+BG+DG=AC+CD+DG+AG，∵D是BC的中点，∴BD=CD，∴BG=AC+AG，∵BG+（AC+AG）=AB+AC，∴BG=（AB+AC）=（b+c）；（2）证明：∵点D、F分别是BC、AB的中点，∴DF=AC=b，BF=AB=c，又∵FG=BG-BF=（b+c）-c=b，∴DF=FG，∴∠FDG=∠FGD，∵点D、E分别是BC、AC的中点，∴DE∥AB，∴∠EDG=∠FGD，∴∠FDG=∠EDG，即DG平分∠EDF；（3）证明：∵△BDG与△DFG相似，∠DFG＞∠B，∠BGD=∠DGF（公共角），∴∠B=∠FDG，由（2）得：∠FGD=∠FDG，∴∠FGD=∠B，∴DG=BD，∵BD=CD，∴DG=BD=CD，∴B、G、C三点在以BC为直径的圆周上，∴∠BGC=90°，即BG⊥CG．【考点】1.相似三角形的判定与性质；2.三角形中位线定理.5.平面直角坐标中，已知点O（0，0），A（0，2），B（1，0），点P是反比例函数y=﹣图象上的一个动点，过点P作PQ⊥x轴，垂足为Q．若以点O、P、Q为顶点的三角形与△OAB相似，则相应的点P共有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】D【解析】可以分别从△PQO∽△AOB与△PQO∽△BOA去分析，首先设点P（x，y），根据相似三角形的对应边成比例与反比例函数的解析式，联立可得方程组，解方程组即可求得点P的坐标，即可求得答案．解：∵点P在反比例函数y=﹣图象上，∴设点P（x，y），当△PQO∽△AOB时，则，又PQ=y，OQ=﹣x，OA=2，OB=1，即，即y=﹣2x，∵xy=﹣1，即﹣2x2=﹣1，∴x=±，∴点P为（，﹣）或（﹣，）；同理，当△PQO∽△BOA时，求得P（﹣，）或（，﹣）；故相应的点P共有4个．故选D．6.如图，在▱ABCD中，AB=6，AD=9，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，BG ⊥AE ，垂足为G ，若BG=，则△CEF 的面积是（）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】首先，由于AE 平分∠BAD ，那么∠BAE=∠DAE ，由AD ∥BC ，可得内错角∠DAE=∠BEA ，等量代换后可证得AB=BE ，即△ABE 为等腰三角形，根据等腰三角形“三线合一”的性质得出AE=2AG ，而在Rt △ABG 中，由勾股定理可求得AG 的值，即可求得AE 的长；然后，证明△ABE ∽△FCE ，再分别求出△ABE 的面积，然后根据面积比等于相似比的平方即可得到答案．解：∵AE 平分∠BAD ， ∴∠DAE=∠BAE ；又∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ∥BC ，∴∠BEA=∠DAE=∠BAE ， ∴AB=BE=6，∵BG ⊥AE ，垂足为G ， ∴AE=2AG ．在Rt △ABG 中，∵∠AGB=90°，AB=6，BG=， ∴AG==2， ∴AE=2AG=4； ∴S △ABE =AE•BG=×4×=．∵BE=6，BC=AD=9， ∴CE=BC ﹣BE=9﹣6=3， ∴BE ：CE=6：3=2：1． ∵AB ∥FC ，∴△ABE ∽△FCE ，∴S △ABE ：S △CEF =（BE ：CE ）2=4：1，则S △CEF =S △ABE =故选A ．7. 如图，矩形ABCD 中，以对角线BD 为一边构造一个矩形BDEF ，使得另一边EF 过原矩形的顶点C ．（1）设Rt △CBD 的面积为S 1，Rt △BFC 的面积为S 2，Rt △DCE 的面积为S 3，则S 1 S 2+S 3（用“＞”、“=”、“＜”填空）；（2）写出如图中的三对相似三角形，并选择其中一对进行证明．【答案】（1）= （2）△BCD ∽△CFB ∽△DEC ，证明见解析【解析】思路分析：（1）根据S 1=S 矩形BDEF ，S 2+S 3=S 矩形BDEF ，即可得出答案．（2）根据矩形的性质，结合图形可得：△BCD ∽△CFB ∽△DEC ，选择一对进行证明即可．解答：（1）解：∵S1=BD×ED，S矩形BDEF=BD×ED，∴S1=S矩形BDEF，∴S2+S3=S矩形BDEF，∴S1=S2+S3．（2）答：△BCD∽△CFB∽△DEC．证明△BCD∽△DEC；证明：∵∠EDC+∠BDC=90°，∠CBD+∠BDC=90°，∴∠EDC=∠CBD，又∵∠BCD=∠DEC=90°，∴△BCD∽△DEC．点评：本题考查了相似三角形的判定，注意掌握相似三角形的判定定理，最经常用的就是两角法，此题难度一般．8.如图，在平行四边形中，是的中点，和交于点，设△的面积为，△的面积为，则下列结论中正确的是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】∵∥，∴△∽△.又∵是的中点，∴，∴：=，即．9.如图，在平行四边形中，为边延长线上的一点，且为的黄金分割点，即，交于点，已知，求的长．【答案】2【解析】∵四边形为平行四边形，∴∠∠，∠∠，∴△∽△，∴，即，∴，∴．10.已知：如图，是上一点，∥，，分别交于点，∠1=∠2，探索线段之间的关系，并说明理由.【答案】理由见解析【解析】解：. 理由：∵∥∴∠∠.又∴.又∵∴△∽△，∴即.11.如图，△ABC的三个顶点都在⊙O上，∠BAC的平分线交BC于点D，交⊙O于点E，则与△ABD相似的三角形有（）A．3个B．2个C．1个D．0个【答案】B【解析】由∠BAE=∠EAC，∠ABC=∠AEC，得△ABD∽△AEC; 由∠BAE=∠BCE，∠ABC=∠AEC，得△ABD∽△CED.共两个.12.如图，△ABC中，DE∥BC，EF∥AB.证明：△ADE∽△EFC．【答案】证明见解析.【解析】利用一组平行线被第三条直线所截它们的同位角相等，找到符合相似三角形的条件即可．试题解析：∵DE∥BC，EF∥AB，∴∠AED=∠ECF，∠CEF=∠EAD．∴△ADE∽△EFC．考点: 相似三角形的判定．13.如图，在△ABC中，若DE∥BC，AD=5，BD=10，DE=4，则BC的值为( )A．8B．9C．10D．12【答案】D.【解析】由DE∥BC可推出△ADE∽△ABC，所以.因为AD=5，BD=10，DE=4，所以，解得BC=12．故选D.【考点】相似三角形的判定与性质．14.已知：如图，DE∥BC，AE=5，AD=6，DB=8，则EC=______.【答案】.【解析】△ABC中，DE∥BC，应用平行线分线段成比例的性质，可解答．试题解析：∵△ABC中，DE∥BC，∴∵AD=6，DB=8，AE=5，∴，解得EC=考点: 平行线分线段成比例．15.如图，□ABCD中，E为BC延长线上一点，AE交CD于点F，若，AD=2，∠B=45°，，求CF的长．【答案】.【解析】过点A作AM⊥BE于点M．首先利用已知条件求出BE=BM+ME=3，再利用平行四边形的性质求出CE=BE-BC=1，最后通过证明△ADF∽△ECF，有相似三角形的性质即可求出CF的长．试题解析：过点A作AM⊥BE于点M．在Rt△ABM中，∵∠B=45°，，∴．∵，∴．∴EM=2．∴BE=BM+ME=3．∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC=AD=2，DC=AB=，AD∥BC．∴CE=BE-BC=1．∵AD∥BC，∴∠1=∠E，∠D=∠2．∴．∴．∵DC=，∴．考点: 1.相似三角形的判定与性质；2.平行四边形的性质；3.解直角三角形．16.阅读下面的材料：小明遇到一个问题：如图（1），在□ABCD中，点E是边BC的中点，点F是线段AE上一点，BF的延长线交射线CD于点G. 如果，求的值.他的做法是：过点E作EH∥AB交BG于点H，则可以得到△BAF∽△HEF.请你回答：（1）AB和EH的数量关系为，CG和EH的数量关系为，的值为 .（2）如图（2），在原题的其他条件不变的情况下，如果，那么的值为（用含a的代数式表示）.（3）请你参考小明的方法继续探究：如图（3），在四边形ABCD中，DC∥AB，点E是BC延长线上一点，AE和BD相交于点F. 如果，那么的值为（用含m，n的代数式表示）.【答案】（1）,, ；（2）；（3）.【解析】本题的设计独具匠心：由平行四边形中的一个特殊的例子出发（第1问），推广到平行四边形中的一般情形（第2问），最后再通过类比、转化到梯形中去（第3问）．各种图形虽然形式不一，但运用的解题思想与解题方法却是一以贯之：即通过构造相似三角形，得到线段之间的比例关系，这个比例关系均统一用同一条线段来表达，这样就可以方便地求出线段的比值．本题体现了初中数学的类比、转化、从特殊到一般等思想方法，有利于学生触类旁通、举一反三．（1）根据△BAF∽△HEF,可知两三角形的相似比是3:1，所以AB=3EH；由EH∥AB、CD∥AB可得EH∥CD，故△BCG∽△BEH，而E为BC的中点，所以两三角形的相似比为2:1，所以CG=2EH；由平行四边形对边相等得，AB=CD,所以.根据（1）的分析，易得.（3）本问体现“类比”与“转化”的情形，将（1）（2）问中的解题方法推广转化到梯形中，如下图所示．试题解析：解：（1）依题意，过点E作EH∥AB交BG于点H，如右图1所示．则有△ABF∽△HEF，∴,即AB=3EH∵EH∥AB、CD∥AB可得EH∥CD，∴△BCG∽△BEH，又∵E为BC的中点，∴CG=2EH；∴故填空依次为：,, .同理根据（1）可以发现：，；∴故填空为 .如上图所示，过点E作EH//AB交BD的延长线于点H，则有EH//AB//CD∵EH//CD∴△BCD∽△BEF,∴,即又∵∴∵EH//AB∴△ABF∽△EHF∴故填空为：.【考点】1、相似形综合题；2、平行四边形的性质；3、梯形；4、相似三角形的判定与性质．17.已知△ABC和△DEF相似，且△ABC的三边长为3、4、5，如果△DEF的周长为6，那么下列不可能是△DEF一边长的是（）A．1.5；B．2；C．2.5；D．3．【答案】D．【解析】∵△ABC的三边长为3、4、5，∴△ABC的周长为：3+4+5=12，∵△ABC∽△DEF，△DEF的周长为6，∴相似比为：2：1，∵△ABC的三边长为3、4、5，∴△DEF三边长分别是：1.5，2，2.5，∴△DEF边长不可能是3．故选D．【考点】相似三角形的性质．18.如图，梯形ABCD是一个拦河坝的截面图，坝高为6米．背水坡AD的坡角为，为了提高河坝的抗洪能力，防汛指挥部决定加固河坝，若坝顶CD加宽0.8米，新的背水坡EF的坡度为1：1.4．河坝总长度为500米．（1）求完成该工程需要多少立方米方土？（2）某工程队在加固600立方米土后，采用新的加固模式，这样每天加固方数是原来的2倍，结果只用11天完成了大坝加固的任务．请你求出该工程队原来每天加固多少立方米土？【答案】(1)4032，（2）300.【解析】（1）首先过点D作DG⊥AB于G，过点E作EH⊥AB于H，由CD∥AB，即可得EH=DG=6米，然后由背水坡AD的坡度i为1：1.2，新的背水坡EF的坡度为1：1.4，即可求得AG与FH的长，则可求得FA的长，则可求得梯形ADEF的面积，继而为求得该工程需要多少方土；（2）首先设原来每天加固x米，根据题意即可得方程：，解此方程即可求得答案．试题解析：（1）过点D作DG⊥AB于G，过点E作EH⊥AB于H．∵CD∥AB，∴EH=DG=6米，∵，∴AG=7.2米，∵，∴FH=8.4米，∴FA=FH+GH-AG=8.4+0.8-7.2=2（米），∴S梯形ADEF=（ED+AF）•EH=×（0.8+2）×6=8.4（平方米）．∴V=8.4×4800=4032（立方米）．（2）设原来每天加固x米，根据题意，得：去分母，得1200+4200=18x（或18x=5400），解得：x=300．检验：当x=300时，2x≠0（或分母不等于0）．∴x=300是原方程的解．答：该工程队原来每天加固300米．考点:（1）坡度；（2）一元一次方程的应用.19.如图，已知直线∥∥，，，，则．【答案】3【解析】因为直线∥∥，所以 , , .【考点】平行线分线段成比例定理。

(好题)初中数学九年级数学下册第三单元《圆》测试题(答案解析)(3)

一、选择题1．如图，PA PB 、分别与О相切于A B 、两点，点C 为О上一点，连接AC 、,BC 若50P ∠=，则ACB ∠的度数为（）A ．115B ．130C ．65D ．752．下列命题：①任意三点确定一个圆；②平分弦（不是直径）的直径垂直于弦；③相等的圆心角所对的弦相等；④长度相等的弧是等弧．其中真命题的有（）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个3．如图，已知E 是ABC 的外心，P ，Q 分别是AB ，AC 的中点，连接EP ，EQ ，分别交BC 于点F ，D ．若10BF =，6DF =，8CD =，则ABC 的面积为（）A ．72B ．96C ．120D ．1444．如图，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点，BD 平分∠ABC 交⊙O 于点D ，交AC 于点E ，已知DE =2，DB =6，则阴影部分的面积为（）A ．2π3B ．4π3C ．4π3D ．π3 5．如图，O 的半径为5，3OP =，则经过点P 的弦长可能是（）A ．3B ．5C ．9D ．126．如图一个扇形纸片的圆心角为90°，半径为6，将这张扇形纸片折叠，使点A 和点O 恰好重合，折痕为CD ，则阴影部分的面积为（）A ．933π-B ．693π-C ．393π-D ．936π- 7．下列关于正多边形的叙述，正确的是（）A ．正七边形既是轴对称图形又是中心对称图形B ．存在一个正多边形，它的外角和为720︒C ．任何正多边形都有一个外接圆D ．不存在每个外角都是对应每个内角两倍的正多边形8．已知：O 的半径为2，3OA =，则正确的图形可能为（）A ．B ．C ．D ．9．如图，四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点E ．若BAC BDC ∠=∠，则下列结论中正确的是（）①AE BE DE CE = ②ABE △与DCE 的周长比为BE CE③ADE ABC =∠∠ ④ABE DCE ADE BCE S S S S ⋅=⋅ A ．③④B ．①②③C ．①②④D ．①②③④ 10．下列事件是随机事件的是（）A ．一个图形平移后所得的图形与原来的图形全等B ．直径是圆中最长的弦C ．方程2210ax x ++=是一元二次方程D ．任意画一个三角形，其内角和是360︒11．如图，半径为10的扇形AOB 中，90AOB ∠=︒，C 为弧AB 上一点，CD OA ⊥，CE OB ⊥，垂足分别为D ，E ．若图中阴影部分的面积为10π，则CDE ∠=（）A ．30B ．36︒C ．54︒D ．45︒12．如图，正方形ABCD 的四个顶点都在⊙O 上，在AD 上取一点E （点E 不与D 重合），连接EC ，ED ，则∠CED 的度数为（）A ．30°B ．45°C ．60°D ．75°二、填空题13．如图，一次函数3233y x =-+的图象与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，若向ABO 的外接圆C 内随机抛掷一枚小针，则针尖落在阴影部分的概率是_____________．14．已知O 的半径为1，AB 是O 的弦，2AB =，P 为O 外一点，且PA 切O 于点A ，1PA =，则线段PB 的长为________．15．圆锥的表面展开图由一个扇形和一个圆组成，已知扇形的半径为9，圆心角为120°，则圆锥的底面圆的半径为__________．16．如图，O 是ABC 的内切圆，切点分别为D 、E 、F ，80A ∠=︒，点P 为O 上任意一点（不与E 、F 重合），则EPF ∠=______．17．如图，BAC 是O 的内接三角形，BC 为直径，AD 平分BAC ∠，连接BD 、CD ，若65ACB ∠=︒，则ABD ∠的度数为_________．18．如图，从一块直径为2m 的圆形铁皮上画出一个圆心角为90的扇形．若随机在圆及其内部投针，则针孔扎在扇形（阴影部分）的概率为____．19．如图，已知O 的半径为2，ABC 内接于O ，135ACB ∠=︒，则弓形ACB （阴影部分）的面积为_____________．20．如图，ABC 内接于O ，70B ∠=︒，50OCB ∠=︒，点P 是O 上一个动点（不与图中已知点重合），若ACP △时等腰三角形，则ACP ∠的度数为___．三、解答题21．如图，已知ABC ∆．（1）用无刻度的直尺、圆规作ABC ∆的外接圆（只需作出图形，并保留作图痕迹)．（2）若110BAC ︒∠=，在ABC ∆的外接圆中，仅用无刻度的直尺能画出的不同度数的圆周角有 (写度数)．22．如图，台风中心位于点P ，并沿东北方向PQ 移动，已知台风移动的速度为40千米时，受影响区域的半径为260千米，B 市位于点P 的北偏东75︒方向上，距离P 点480千米．问：本次台风是否会影响B 市．若这次台风会影响B 市，求B 市受台风影响的时间．23．如图，直线AB 经过⊙O 上一点C ，且OA ＝OB ，CA ＝CB ．（1）求证：AB 是⊙O 的切线；（2）若AB ＝6，△AOB 的面积为9，求图中阴影部分的面积．24．如图，在10×10的网格图内，建立如图所示的平面直角坐标系，△ABC 的顶点坐标分别为A （﹣1，2）、B （2，3）、C （3，1）．（1）以原点O 为位似中心，将△ABC 按相似比2：1放大，得△A 1B 1C 1，请画出△A 1B 1C 1；（2）以原点O 为旋转中心，将△ABC 按顺时针方向旋转90°，画出旋转后的△A 2B 2C 2．直接写出点B 到B 2所经过的路径长．25．学校花园边墙上有一宽（BC ）为23m 的矩形门ABCD ，量的门框对角线AC 长为4cm ，为美化校园，现准备打掉地面BC 上方的部分墙体，使其变为以AC 为直径的圆弧形门，问要打掉墙体（阴影部分）的面积是多少？（结果中保留π，3）26．如图，ABC 中，D 为AB 边上一点，连接CD ，BD CD =．以AC 为直径作O ，过点O 作OE AC ⊥ 交BC 于点E ，连接DE ，BDE CDE ∠=∠．（1）求证：AB 为O 的切线；（2）若16AB =，8AC =，求BD 的长．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．A解析：A【分析】由切线的性质得出∠OAP=∠OBP=90°，利用四边形内角和可求∠AOB=130°，再利用圆周角定理可求∠ADB=65°，再根据圆的内接四边形对角互补可求∠ACB ．【详解】解：如图所示，连接OA 、OB ，在优弧AB 上取点D ，连接AD 、BD ，∵ AP 、BP 是切线，∠P=50°，∴ ∠OAP=∠OBP=90°，∴∠AOB=360°-90°-90°-50°=130°，∴∠ADB=65°，又∵圆的内接四边形对角互补，∴∠ACB=180°-∠ADB=180°-65°=115°．故选：A ．【点睛】本题考查了切线的性质、圆周角定理、圆内接四边形的性质、解题的关键是连接OA 、OB ，求出∠AOB ．2．B解析：B【分析】依次判断真假命题即可，可以通过找到相应的反例，去论证命题的正确性．【详解】解：①假命题，当三点在同一条直线上时，就不能确定一个圆了，故此项错误； ②真命题，平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故此项正确；③假命题，在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，故此项错误；④假命题，在同圆或等圆中，长度相等的弧是等弧，故此项错误；综上所述，②正确．故选：B ．【点睛】本题主要考查了确定圆的条件，垂径定理及圆周角定理等圆的一些基本的知识，解答此题的关键掌握理解圆的定义及性质．3．B解析：B【分析】连接AF ，AD ，AE ，BE ，CE ，根据三角形外心的定义，可得PE 垂直平分AB ，QE 垂直平分AC ，进而求得AF ，DF ，AD 的长度，可知△ADF 是直角三角形，即可求出△ABC 的面积．【详解】如图，连接AF ，AD ，AE ，BE ，CE ，∵点E 是△ABC 的外心，∴AE=BE=CE ，∴△ABE ，△ACE 是等腰三角形，∵点P 、Q 分别是AB 、AC 的中点，∴PE ⊥AB ，QE ⊥AC ，∴PE 垂直平分AB ，QE 垂直平分AC ，∴AF=BF=10， AD=CD=8，在△ADF 中，∵2222286=100=AD DF AF +=+，∴△ADF 是直角三角形，∠ADF=90°，∴S △ABC = ()()1122=1068896BF DF CD AD ⨯++⨯++=，故选：B ．【点睛】本题考查三角形外心的定义，勾股定理逆定理等知识点，解题的关键是得到△ADF 是直角三角形． 4．A解析：A【分析】证明△DAE ~△DBA ，求得DA 23=，由AB 是⊙O 的直径，利用勾股定理求得⊙O 的直径，求得∠ABD=30︒，∠COD=60︒，再利用OCD OCD S S S=-阴影扇形即可求解．【详解】连接OC 、OD 、AD ，∵BD 平分∠ABC ，∴AD CD =，∴∠DAC=∠DBA ，∴△DAE ~△DBA ，∴DA DE DB DA =，即26DA DA=， ∴212DA =，∴DA 23=，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB=90︒，∴222AD BD AB +=，∴AB=43∴⊙O 的半径为3∵DA=OA=OD 23=，∴△DOA 是等边三角形，∴∠COD=∠AOD=60︒，∴OCD OCD S S S =-阴影扇形(2601603602π⨯=-⨯︒2π=-故选：A ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理、扇形与等边三角形的面积等知识点，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．5．C解析：C【分析】当经过点O 、P 的弦是直径时，弦最长为10；当弦与OP 是垂直时，弦最短为8；判断即可.【详解】当经过点O 、P 的弦是直径时，弦最长为10；当弦与OP 垂直时，根据垂径定理，得半弦长，所以最短弦为8；所以符合题意的弦长为8到10，故选C.【点睛】本题考查了直径是最长的弦，垂径定理，熟练运用分类思想，垂径定理，勾股定理是解题的关键.6．A解析：A【分析】连接OD ，AD ，由题意得1122AC CO AO OD ===，30CDO ∠=︒，60COD ∠=︒，进而可得=AOD OAD AOD S S S S+-空白扇形扇形，然后可得=AOB S S S -阴影空白扇形，进而问题可求解．【详解】解：连接OD ，AD ， ∴1122AC CO AO OD ===， ∵DC ⊥AO ，∴30CDO ∠=︒，60COD ∠=︒，∴=AOD OAD AOD S S S S +-空白扇形扇形，22260603=666360360ππ⨯+⨯-⨯， 1293π=-，∴=AOB S S S -阴影空白扇形，()290=61293360ππ⨯--， 933π=-；故选A ．【点睛】本题主要考查扇形面积，熟练掌握求不规则面积的方法及扇形面积计算公式是解题的关键．7．C解析：C【分析】根据中心对称图形、轴对称图形的定义、多边形外角和定理、正多边形的性质对各选项逐一判断即可得答案．【详解】A.正七边形是轴对称图形，不是中心对称图形，故该选项错误，B.任意多边形的外角和都等于360°，故该选项错误，C.任何正多边形都有一个外接圆，故该选项正确，D.∵正三角形的每个外角为120°，对应的每个内角为60°，∴存在每个外角都是对应每个内角两倍的正多边形，故该选项错误，故选：C ．【点睛】本题考查正多边形的性质、中心对称图形、轴对称图形的定义及多边形外角和定理，熟练掌握相关性质及定理是解题关键．8．C解析：C【分析】根据圆的半径和OA 的大小确定点A 与圆的位置关系，从而作出判断即可．【详解】∵根据图的意义，得OA=2，与OA=3矛盾，∴A 选项错误；∵根据图的意义，得OA ＜2，与OA=3矛盾，∴B 选项错误；∵根据图的意义，得OA ＞2，且离圆较近，与OA=3相符，∴C 选项正确；∵根据图的意义，得OA ＞2，且离圆较远，与OA=3不符合，∴D 选项错误；故选C ．【点睛】本题考查了点与圆的位置关系，熟练掌握圆心到点的距离与圆的半径的大小比较是解题的关键．9．C解析：C【分析】根据相似三角形可得①②正确，由四点共圆可知③不符合题意，面积比转化成边长比可得④正确．【详解】解：∵BAC BDC ∠=∠，AEB DEC ∠=∠∴ABE DCE ∴AE BE DE CE = ∴①正确；相似三角形周长比等于相似比，②正确∵BAC BDC ∠=∠，且△BDC 和△BAC 共有底BC∴得到A ，B ，C ，D 四点共圆；若ADE ABC =∠∠，则=ADE ABC ACB =∠∠∠，则AB=AC ，但题目中并没有告诉这个条件，所以③不一定正确；∵△ABE 和△ADE 共有高，∴ABE ADE S BE S DE =， ∵△CBE 和△CDE 共有高，∴BCE DCE BE S DE S = ∴ABEBCEADE DCE S BE S S DE S ==即，ABE DCE ADE BCE S S S S ⋅=⋅，故 ④正确；∴①②④正确，选C.【点睛】此题主要考查了相似三角形的判断及其性质，解决本题的关键是合理作辅助圆，熟练掌握相似三角的性质定理．10．C解析：C【分析】根据随机事件是可能发生也可能不发生的事件判断即可．【详解】解：A 、是必然事件，选项不符合题意；B 、是必然事件，选项不符合题意；C 、是随机事件，选项符合题意；D 、是不可能事件，选项不符合题意．故选：C ．【点睛】本题考查了必然事件的定义，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 11．B解析：B【分析】连接OC ，易得四边形CDOE 是矩形，△DOE ≌△CEO ，根据扇形的面积公式得∠COE=36°，进而即可求解．【详解】解：连接OC ，∵∠AOB ＝90°，CD ⊥OA ，CE ⊥OB ，∴四边形CDOE 是矩形，∴CD ∥OE ，∴∠DEO ＝∠CDE ，由矩形CDOE 易得到△DOE ≌△CEO ，∴图中阴影部分的面积＝扇形OBC 的面积，∵S 扇形OBC ＝210360n π⨯＝10π，解得：n=36， ∴CDE ∠=∠DEO=∠COE=36°．故选B ．【点睛】本题考查了扇形面积的计算，矩形的判定与性质，全等三角形的判定和性质，利用扇形OBC 的面积等于阴影的面积是解题的关键．12．B解析：B【分析】连接DO 、CO ，利用正方形的性质可求得圆心角的度数为90°，再根据圆周角定理求解即可得出结论．【详解】解：如图，连接DO 、CO ，∵四边形ABCD 为正方形，∴∠COD ＝90°，∴∠CED ＝12∠COD ＝45°．故选：B ．【点睛】考查了正方形和圆的性质，掌握正方形的性质及圆周角定理并能正确的作出辅助线是解答此题的关键．二、填空题13．【分析】利用一次函数解析式求出点AB 的坐标即可得由勾股定理求出求出则可得是等边三角形可得根据圆周角定理求出扇形圆心角的度数并由三角形中线将三角形可分为面积相等的两个三角形得可求出阴影部分的面积及圆的解析：13【分析】利用一次函数解析式求出点A 、B 的坐标，即可得6OA =，OB =AB =，求出BC OC AC ===OBC 是等边三角形，可得60OBA ∠=︒，根据圆周角定理求出扇形圆心角的度数，并由三角形中线将三角形可分为面积相等的两个三角形得OBC OAC SS =，可求出阴影部分的面积及圆的面积，利用面积比即可求出结论．【详解】解：∵一次函数y x =-+的图象与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，令0y =，则6x =，∴()6,0A -，令0x =，则y =∴(0,B ，∴6OA =，OB =在Rt AOB 中，由勾股定理得：AB ==， ∴BC OC AC ===，∴BC OC OB ==， ∴OBC 是等边三角形，∴60OBA ∠=︒， ∴120ACO ∠=︒，∵OC 是AB 边上的中线，∴OBC OAC S S =，∴(2120=4360ACO S S ππ==阴影扇形，(212C S ππ==,∴针尖落在阴影部分的概率41123P ππ==．故答案为：13．【点睛】此题考查了几何概率，掌握几何概率的计算方法及求出阴影部分的面积是解题的关键． 14．1或【分析】先利用勾股定理逆定理求出∠AOB 是直角再利用一组对边平行且相等得到四边形APBO 是平行四边形从而PB 的长等于半径OA 另当B 在右侧时还需讨论【详解】解：①如图所示：连接OAOB ∵OA=OB解析：1或5【分析】先利用勾股定理逆定理求出∠AOB 是直角，再利用一组对边平行且相等得到四边形APBO 是平行四边形，从而PB 的长等于半径OA ．另当B 在右侧时，还需讨论．【详解】解：①如图所示：连接OA 、OB ．∵OA=OB=1，AB=2，∴根据勾股定理的逆定理，得∠AOB=90°，根据切线的性质定理，得∠OAP=90°，则AP ∥OB ，又AP=OB=1，所以四边形PAOB 是平行四边形，所以PB=OA=1；②当B 在右侧时，如图所示：与①同理可证四边形APOB 是平行四边形，且∠AOB=90°，∴11,222OC AC BP BC ===，在Rt △OBC 中，根据勾股定理 222215()122BC OC OB =+=+=， ∴PB=25BC =故答案为：15【点睛】考查了圆的性质、平行四边形判定和性质以及勾股定理，解题关键是能够根据勾股定理的逆定理发现直角三角形，进一步发现特殊四边形平行四边形．15．3【分析】根据弧长公式求出扇形的弧长圆锥侧面展开扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长再利用圆周长的公式求解即可【详解】扇形的半径为9圆心角为120°扇形的弧长圆锥侧面展开扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长设圆解析：3【分析】根据弧长公式求出扇形的弧长，圆锥侧面展开扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，再利用圆周长的公式求解即可【详解】扇形的半径为9，圆心角为120°∴扇形的弧长12096 180180n rlπππ⨯===圆锥侧面展开扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长设圆锥底面圆的半径为r26rππ∴=3r∴=故答案为：3．【点睛】本题考查了圆锥侧面展开图与底面圆之间的关系，弧长的计算，解题关键是熟知圆锥侧面展开扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长．16．50°或130°【分析】有两种情况：①当P在优弧EF上时连接OEOF求出∠EOF根据圆周角定理求出即可；②当P在劣弧EF上时根据圆内接四边形的性质得到∠EP1F+∠EP2F=180°代入求出即可【详解析：50°或130°【分析】有两种情况：①当P在优弧EF上时，连接OE、OF，求出∠EOF，根据圆周角定理求出即可；②当P在劣弧EF上时，根据圆内接四边形的性质得到∠EP1F+∠EP2F=180°，代入求出即可．【详解】解：有两种情况：①当P在优弧EF上时，连接OE、OF，∵圆O是△ABC的内切圆，∴OE⊥AB，OF⊥AC，∴∠AEO=∠AFO=90°，∵∠A=80°，∴∠EOF=360°-∠AEO-∠AFO-∠A=100°，∴∠EP 1F =12∠EOF=50°， ②当P 在劣弧EF 上时，∠FP 2E =180°-50°=130°，故答案为：50°或130°．．【点睛】本题考查了垂线的定义，多边形的内角和定理，三角形的内切圆与内心，圆周角定理等知识点的理解和掌握，能综合运用性质进行推理是解题的关键．17．【分析】由为直径可得∠BAC=∠BDC=90°由平分可证BD=DC 可得∠DBC=∠DCB=45°可求∠ABC=90°-∠ACB=25°可求∠ABD=∠ABC+∠DBC=70°即可【详解】解：∵是的内解析：70︒【分析】由BC 为直径，可得∠BAC=∠BDC=90°由AD 平分BAC ∠，可证BD=DC ，可得∠DBC=∠DCB=45°，65ACB ∠=︒，可求∠ABC=90°-∠ACB=25°，可求∠ABD=∠ABC+∠DBC=70°即可．【详解】解：∵BAC 是O 的内接三角形，BC 为直径，∴∠BAC=∠BDC=90°∵AD 平分BAC ∠，∴∠BAD=∠CAD ， ∴BD DC =，∴BD=DC ，∴∠DBC=∠DCB=45°，∵65ACB ∠=︒，∴∠ABC=90°-∠ACB=90°-65°=25°，∴∠ABD=∠ABC+∠DBC=25°+45°=70°．故答案为：70°．【点睛】本题考查圆的性质，直径所对圆周角性质，角平分线性质，直角三角形性质，掌握圆的性质，直径所对圆周角性质，角平分线性质，直角三角形性质是解题关键．18．【分析】连接AC根据圆周角定理得出AC为圆的直径解直角三角形求出AB求出扇形面积和面积两者的面积比即是针孔扎在扇形（阴影部分）的概率【详解】解：连接AC∵从一块直径为2m的圆形铁皮上剪出一个圆心角为解析：12【分析】连接AC，根据圆周角定理得出AC为圆的直径，解直角三角形求出AB，求出扇形面积和O面积，两者的面积比，即是针孔扎在扇形（阴影部分）的概率．【详解】解：连接AC，∵从一块直径为2m的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90︒的扇形，即∠ABC=90︒，∴AC为直径，即AC=2m，AB=BC（扇形的半径相等），∵AB2+BC2=22，∴2m，∴S阴影部分=29023602ππ︒⨯=︒（m2），则：P针孔扎在扇形（阴影部分）=212==2OSS OA=阴影部分ππ故答案为：12．【点睛】本题考查了几何概率：求概率时，已知和未知与几何有关的就是几何概率．计算方法是长度比，面积比，体积比等．19．【分析】根据圆内接四边形对角互补和同弧所对的圆心角是圆周角的二倍可以求得∠AOB的度数然后根据弓形ACB的面积=S扇形OAB-S△OAB得出结果即可【详解】解：设点D为优弧AB上一点连接ADBDOA解析：2π-【分析】根据圆内接四边形对角互补和同弧所对的圆心角是圆周角的二倍，可以求得∠AOB的度数，然后根据弓形ACB的面积=S扇形OAB-S△OAB得出结果即可．【详解】解：设点D 为优弧AB 上一点，连接AD 、BD 、OA 、OB ，如图所示，∵⊙O 的半径为2，△ABC 内接于⊙O ，∠ACB=135°，∴∠ADB=45°，∴∠AOB=90°，∵OA=OB=2，∴弓形ACB 的面积=S 扇形OAB -S △OAB =29021223602π⨯⨯-⨯⨯=2π-，故答案为：2π-．【点睛】本题主要考查求弓形的面积，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．20．或或【分析】根据题意分三种情况讨论即可得∠ACP 的度数【详解】解：如图连接OAOB ∵∠OCB=50°∴∠OBC=50°∴∠BOC=180°-50°-50°=80°∵∠B=70°∴∠OBA=∠OAB=解析：35︒或40︒或55︒【分析】根据题意分三种情况讨论即可得∠ACP 的度数．【详解】解：如图，连接OA ，OB ，∵∠OCB=50°，∴∠OBC=50°，∴∠BOC=180°-50°-50°=80°．∵∠B=70°，∴∠OBA=∠OAB=20°，∴∠AOB=140°，∴∠AOC=360°-80°-140°=140°，∴∠OAC=∠OCA=20°，∴∠ACB=50°+20°=70°，∴AB=AC．当AP′=AC时，此时点P′与点B重合，不符合题意；当AP=PC时，∵∠B=70°，∴∠APC=180°-70°=110°，∴∠ACP=∠CAP=1(180°-110°)=35°；2当AP′=P′C时，∠P′AC=∠P′CA=1(180°-70)=55°；2当AC=P′C时，∠ACP′=180°-70°-70°=40°．故答案为：35°或40°或55°．【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心、圆周角定理、等腰三角形的性质，解决本题的关键是综合运用以上知识进行分类讨论．三、解答题21．（1）见解析；（2）70︒、110︒【分析】（1）利用三角形外接圆的做法作出任意两边的垂直平分线进而得出圆心的位置即可得出答案．（2）根据同弧所对的圆周角相等求解即可．【详解】解：(1) 如图的圆为所求作(2) 若110BAC ∠=︒，则优弧BC 所对的圆周角大小为110°，劣弧BC 对应的圆周角的大小为180°-110°=70°，故有两个不同度数的圆周角，其度数分别为：70°和110°．故答案为：70°和110°．【点睛】此题主要考查了三角形外接圆的作法以及圆周角与弧的关系，熟练掌握三角形外接圆作法是解答此题的关键．22．本次台风会影响B 市，影响时间为5小时【分析】作BH ⊥PQ 于点H ，在Rt BHP 中，利用含30°角的直角三角形的性质求出BH 的长与260千米相比较即可．以B 为圆心，以260为半径作圆交PQ 于P 1、P 2两点，根据垂径定理即可求出P 1P 2的长，进而求出台风影响B 市的时间．【详解】如图，作BH ⊥PQ 于点H在Rt BHP 中，由条件知，PB ＝480，∠BPQ ＝75°﹣45°＝30°，∴BH=14802⨯=240＜260， ∴本次台风会影响B 市．如图，以B 为圆心，以260为半径作圆交PQ 于P 1、P 2两点，若台风中心移动到P 1时，台风开始影响B 市，台风中心移动到P 2时，台风影响结束．根据BH=240，由条件得BP 1=BP 2=260，∴P1P2=222260240-=200，∴台风影响的时间t=20040=5（小时）．故B市受台风影响的时间为5小时．【点睛】本题考查了含30°角的直角三角形的性质，勾股定理及垂径定理在实际生活中的运用，解答此题的关键是构造出直角三角形及圆．23．（1）见解析；（2）994π-．【分析】（1）连接OC，结合已知条件利用SSS易证△AOC≌△BOC，再利用全等三角形的性质可得∠OCA＝∠OCB＝90°，然后利用切线的判定可得直线AB与⊙O相切；（2）根据AB＝6和（1）中三角形的全等，可得AC＝BC＝3，根据△AOB的面积为9，可得OC，并推出∠AOB＝90°，则可利用扇形面积公式与△AOB的面积计算阴影部分的面积．【详解】（1）证明：如图，连接OC，∵OA＝OB，CA＝CB，OC＝OC，∴△AOC≌△BOC（SSS），∴∠OCA＝∠OCB＝90°，∴直线AB与⊙O相切；（2）解：∵△AOC≌△BOC，∴AC＝BC＝12AB＝3，∵△AOB的面积为9，∴12×AB•OC＝9，∴12×6•OC＝9，∴OC＝3，∴OC ＝AC ，∴△OAC 是等腰直角三角形，∴∠AOC ＝∠BOC ＝45°，∴∠AOB ＝90°，∴S 阴影＝S △AOB −S 扇形＝29039993604ππ⋅-=-．【点睛】本题考查了切线的判定和性质、全等三角形的判定和性质、扇形面积的计算等知识，解题的关键是掌握切线的判定与性质．24．（1）答案见详解；（2）13π．【分析】（1）把A 、B 、C 的横纵坐标都乘以2得到A 1、B 1、C 1的坐标，然后描点连线即可；（2）利用网格特点和旋转性质画出A 、B 、C 的对应点A 2、B 2、C 2即可，然后利用弧长公式计算点B 到B 2所经过的路径长．【详解】解：（1）如图，△A 1B 1C 1为所作；（2）如图，△A 2B 2C 2为所作；OB 222313=+=所以点B 到B 2所经过的路径长901313π⨯⨯==． 13．【点睛】本题考查了作图﹣位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k ，那么位似图形对应点的坐标的比等于k 或﹣k ．也考查了旋转变换． 25．8-333π【分析】利用整个圆的面积减矩形的面积减扇形OBC 的面积加上三角形OBC 的面积，即可解答．【详解】由题可得：在Rt ABC 中4,2sin 26030120AB BC AB BC BAC AC BAC BCO BOC ==∴===∴∠==∴∠=︒∴∠=︒∴∠=︒要打掉的墙体面积OBC O ABCD OBC S S S S =--+△圆矩形扇形 ∴要打掉的墙体面积223238=-2234343O ABCD S S ππ=⋅⋅-⨯=-圆矩形【点睛】本题考查了矩形的性质，直角三角形的性质，矩形、圆的面积公式及勾股定理，解题关键是结合图形通过面积转换得到规则的几何图形面积进而求解．26．（1）见解析；（2）10【分析】（1）根据等腰三角形的性质可证点E 为BC 的中点，在结合三角形中位线定理，证明//OE AB ，即可得到结论（2）设BD=CD=x ，在Rt ACD △中利用勾股定理，列出关于x 的方程即可求解【详解】（1）BD CD =BDC ∴是等腰三角形又BDE CDE ∠=∠．BE EC ∴=，AO OC =OE ∴为ABC 的中位线//OE AB ∴，BAC EOC ∴∠=∠OE AC ⊥，90BAC EOC ∴∠=∠=︒AB AC ∴⊥， AC 为O 的直径，AB ∴是O 的切线（2）设BD x =，CD BD x ∴==，16AB=，∴=-16AD xAC=在Rt ADC中，222+=，8AD AC DC()222∴-+=，168x xx=，解得：10∴=BD10【点睛】本题考查了圆切线的判定，等腰三角形的性质，以及勾股定理，解题关键是熟练掌握圆切线的判定定理，和等腰三角形性质的应用．。

中考数学《图形的相似》真题汇编含解析

图形的相似(29题)一、单选题1(2023·重庆·统考中考真题)如图，已知△ABC ∽△EDC ，AC :EC =2:3，若AB 的长度为6，则DE 的长度为()A.4B.9C.12D.13.5【答案】B【分析】根据相似三角形的性质即可求出．【详解】解：∵△ABC ∽△EDC ，∴AC :EC =AB :DE ，∵AC :EC =2:3，AB =6，∴2:3=6:DE ，∴DE =9，故选：B .【点睛】此题考查的是相似三角形的性质,掌握相似三角形的边长比等于相似比是解决此题的关键.2(2023·四川遂宁·统考中考真题)在方格图中，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形．在如图所示的平面直角坐标系中，格点△ABC 、△DEF 成位似关系，则位似中心的坐标为()A.-1,0B.0,0C.0,1D.1,0【答案】A【分析】根据题意确定直线AD 的解析式为：y =x +1，由位似图形的性质得出AD 所在直线与BE 所在直线x 轴的交点坐标即为位似中心，即可求解．【详解】解：由图得：A 1,2 ,D 3,4 ，设直线AD 的解析式为：y =kx +b ，将点代入得：2=k +b 4=3k +b ，解得：k =1b =1 ，∴直线AD 的解析式为：y =x +1，AD 所在直线与BE 所在直线x 轴的交点坐标即为位似中心，∴当y =0时，x =-1，∴位似中心的坐标为-1,0 ，故选：A ．【点睛】题目主要考查位似图形的性质，求一次函数的解析式，理解题意，掌握位似图形的特点是解题关键．3(2023·浙江嘉兴·统考中考真题)如图，在直角坐标系中，△ABC 的三个顶点分别为A 1,2 ,B 2,1 ,C 3,2 ，现以原点O 为位似中心，在第一象限内作与△ABC 的位似比为2的位似图形△A B C ，则顶点C 的坐标是()A.2,4B.4,2C.6,4D.5,4【答案】C【分析】直接根据位似图形的性质即可得．【详解】解：∵△ABC 的位似比为2的位似图形是△A B C ，且C 3,2 ，∴C 2×3,2×2 ，即C 6,4 ，故选：C ．【点睛】本题考查了坐标与位似图形，熟练掌握位似图形的性质是解题关键．4(2023·四川南充·统考中考真题)如图，数学活动课上，为测量学校旗杆高度，小菲同学在脚下水平放置一平面镜，然后向后退(保持脚、镜和旗杆底端在同一直线上)，直到她刚好在镜子中看到旗杆的顶端．已知小菲的眼睛离地面高度为1.6m ，同时量得小菲与镜子的水平距离为2m ，镜子与旗杆的水平距离为10m ，则旗杆高度为()A.6.4mB.8mC.9.6mD.12.5m【答案】B【分析】根据镜面反射性质，可求出∠ACB =∠ECD ，再利用垂直求△ABC ∽△EDC ，最后根据三角形相似的性质，即可求出答案.【详解】解：如图所示，由图可知，AB ⊥BD ，CD ⊥DE ，CF ⊥BD∴∠ABC =∠CDE =90°.∵根据镜面的反射性质，∴∠ACF =∠ECF ，∴90°-∠ACF =90°-∠ECF ，∴∠ACB =∠ECD ，∴△ABC ∽△EDC ，∴AB DE =BC CD.∵小菲的眼睛离地面高度为1.6m ，同时量得小菲与镜子的水平距离为2m ，镜子与旗杆的水平距离为10m ，∴AB =1.6m ，BC =2m ，CD =10m .∴1.6DE =210.∴DE =8m .故选：B .【点睛】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键在于熟练掌握镜面反射的基本性质和相似三角形的性质.5(2023·安徽·统考中考真题)如图，点E 在正方形ABCD 的对角线AC 上，EF ⊥AB 于点F ，连接DE 并延长，交边BC 于点M ，交边AB 的延长线于点G ．若AF =2，FB =1，则MG =()A.23B.352C.5+1D.10【答案】B 【分析】根据平行线分线段成比例得出DE EM =AF FB =2，根据△ADE ∽△CME ，得出AD CM =DE EM =2，则CM =12AD =32，进而可得MB =32，根据BC ∥AD ，得出△GMB ∽△GDA ，根据相似三角形的性质得出BG =3，进而在Rt △BGM 中，勾股定理即可求解．【详解】解：∵四边形ABCD 是正方形，AF =2，FB =1，∴AD =BC =AB =AF +FG =2+1=3，AD ∥CB ，AD ⊥AB ,CB ⊥AB ，∵EF ⊥AB ，∴AD ∥EF ∥BC∴DE EM =AFFB=2，△ADE∽△CME，∴AD CM =DEEM=2，则CM=12AD=32，∴MB=3-CM=32，∵BC∥AD，∴△GMB∽△GDA，∴BG AG =MBDA=323=12∴BG=AB=3，在Rt△BGM中，MG=MB2+BG2=322+32=352，故选：B．【点睛】本题考查了正方形的性质，平行线分线段成比例，相似三角形的性质与判定，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键．6(2023·湖北黄冈·统考中考真题)如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交BC，BD于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于12EF长为半径画弧交于点P，作射线BP，过点C作BP的垂线分别交BD,AD于点M，N，则CN的长为()A.10B.11C.23D.4【答案】A【分析】由作图可知BP平分∠CBD，设BP与CN交于点O，与CD交于点R，作RQ⊥BD于点Q，根据角平分线的性质可知RQ=RC，进而证明Rt△BCR≌Rt△BQR，推出BC=BQ=4，设RQ=RC=x，则DR=CD-CR=3-x，解Rt△DQR求出QR=CR=43．利用三角形面积法求出OC，再证△OCR∽△DCN，根据相似三角形对应边成比例即可求出CN．【详解】解：如图，设BP与CN交于点O，与CD交于点R，作RQ⊥BD于点Q，∵矩形ABCD中，AB=3，BC=4，∴CD =AB =3，∴BD =BC 2+CD 2=5．由作图过程可知，BP 平分∠CBD ，∵四边形ABCD 是矩形，∴CD ⊥BC ，又∵RQ ⊥BD ，∴RQ =RC ，在Rt △BCR 和Rt △BQR 中，RQ =RC BR =BR ，∴Rt △BCR ≌Rt △BQR HL ，∴BC =BQ =4，∴QD =BD -BQ =5-4=1，设RQ =RC =x ，则DR =CD -CR =3-x ，在Rt △DQR 中，由勾股定理得DR 2=DQ 2+RQ 2，即3-x 2=12+x 2，解得x =43，∴CR =43．∴BR =BC 2+CR 2=4310．∵S △BCR =12CR ⋅BC =12BR ⋅OC ，∴OC =CR ⋅BC BR =43×44310=2510．∵∠COR =∠CDN =90°，∠OCR =∠DCN ，∴△OCR ∽△DCN ，∴OC DC =CR CN ，即25103=43CN，解得CN =10．故选：A ．【点睛】本题考查角平分线的作图方法，矩形的性质，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质等，涉及知识点较多，有一定难度，解题的关键是根据作图过程判断出BP 平分∠CBD ，通过勾股定理解直角三角形求出CR ．7(2023·四川内江·统考中考真题)如图，在△ABC 中，点D 、E 为边AB 的三等分点，点F 、G 在边BC 上，AC ∥DG ∥EF ，点H 为AF 与DG 的交点．若AC =12，则DH 的长为()A.1B.32C.2D.3【答案】C 【分析】由三等分点的定义与平行线的性质得出BE =DE =AD ，BF =GF =CG ，AH =HF ，DH 是△AEF 的中位线，易证△BEF ∽△BAC ，得EF AC =BE AB，解得EF =4，则DH =12EF =2．【详解】解：∵D 、E 为边AB 的三等分点，EF ∥DG ∥AC ，∴BE =DE =AD ，BF =GF =CG ，AH =HF ，∴AB =3BE ，DH 是△AEF 的中位线，∴DH =12EF ，∵EF ∥AC ，∴∠BEF =∠BAC ,∠BFE =∠BCA ,∴△BEF ∽△BAC ，∴EF AC =BE AB，即EF 12=BE 3BE ，解得：EF =4，∴DH =12EF =12×4=2，故选：C ．【点睛】本题考查了三等分点的定义、平行线的性质、相似三角形的判定与性质、三角形中位线定理等知识；熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．8(2023·湖北鄂州·统考中考真题)如图，在平面直角坐标系中，O 为原点，OA =OB =35，点C 为平面内一动点，BC =32，连接AC ，点M 是线段AC 上的一点，且满足CM :MA =1:2．当线段OM 取最大值时，点M 的坐标是()A.35,65B.355,655C.65,125D.655,1255 【答案】D【分析】由题意可得点C 在以点B 为圆心，32为半径的OB 上，在x 轴的负半轴上取点D -352，0 ，连接BD ，分别过C 、M 作CF ⊥OA ，ME ⊥OA ，垂足为F 、E ，先证△OAM ∽△DAC ，得OM CD =OA AD =23，从而当CD 取得最大值时，OM 取得最大值，结合图形可知当D ，B ，C 三点共线，且点B 在线段DC 上时，CD 取得最大值，然后分别证△BDO ∽△CDF ，△AEM ∽△AFC ，利用相似三角形的性质即可求解．【详解】解：∵点C 为平面内一动点，BC =32，∴点C 在以点B 为圆心，32为半径的OB 上，在x 轴的负半轴上取点D -352，0 ，连接BD ，分别过C 、M 作CF ⊥OA ，ME ⊥OA ，垂足为F 、E ，∵OA =OB =35，∴AD =OD +OA =952，∴OA AD=23，∵CM :MA =1:2，∴OA AD =23=CM AC，∵∠OAM =∠DAC ，∴△OAM ∽△DAC ，∴OM CD =OA AD=23，∴当CD 取得最大值时，OM 取得最大值，结合图形可知当D ，B ，C 三点共线，且点B 在线段DC 上时，CD 取得最大值，∵OA =OB =35，OD =352，∴BD =OB 2+OD 2=35 2+352 2=152，∴CD =BC +BD =9，∵OM CD=23，∴OM =6，∵y 轴⊥x 轴，CF ⊥OA ，∴∠DOB =∠DFC =90°，∵∠BDO =∠CDF ，∴△BDO ∽△CDF ，∴OB CF =BD CD 即35CF=1529，解得CF =1855，同理可得，△AEM ∽△AFC ，∴ME CF =AM AC =23即ME 1855=23，解得ME =1255，∴OE =OM 2-ME 2=62-1255 2=655，∴当线段OM 取最大值时，点M 的坐标是655，1255，故选：D ．【点睛】本题主要考查了勾股定理、相似三角形的判定及性质、圆的一般概念以及坐标与图形，熟练掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键．9(2023·山东东营·统考中考真题)如图，正方形ABCD 的边长为4，点E ，F 分别在边DC ，BC 上，且BF =CE ，AE 平分∠CAD ，连接DF ，分别交AE ，AC 于点G ，M ，P 是线段AG 上的一个动点，过点P 作PN ⊥AC 垂足为N ，连接PM ，有下列四个结论：①AE 垂直平分DM ；②PM +PN 的最小值为32；③CF 2=GE ⋅AE ；④S ΔADM =62．其中正确的是()A.①②B.②③④C.①③④D.①③【答案】D【分析】根据正方形的性质和三角形全等即可证明∠DAE =∠FDC ，通过等量转化即可求证AG ⊥DM ，利用角平分线的性质和公共边即可证明△ADG ≌△AMG ASA ，从而推出①的结论；利用①中的部分结果可证明△ADE ∽△DGE 推出DE 2=GE ⋅AE ，通过等量代换可推出③的结论；利用①中的部分结果和勾股定理推出AM 和CM 长度，最后通过面积法即可求证④的结论不对；结合①中的结论和③的结论可求出PM +PN 的最小值，从而证明②不对.【详解】解：∵ABCD 为正方形，∴BC =CD =AD ，∠ADE =∠DCF =90°，∵BF =CE ，∴DE =FC ，∴△ADE ≌△DCF SAS .∴∠DAE =∠FDC ,∵∠ADE =90°,∴∠ADG +∠FDC =90°，∴∠ADG +∠DAE =90°，∴∠AGD =∠AGM =90°.∵AE 平分∠CAD ，∴∠DAG =∠MAG .∵AG =AG ，∴△ADG ≌△AMG ASA .∴DG =GM ，∵∠AGD =∠AGM =90°，∴AE 垂直平分DM ，故①正确.由①可知，∠ADE =∠DGE =90°，∠DAE =∠GDE ，∴△ADE ∽△DGE ，∴DE GE=AE DE ，∴DE 2=GE ⋅AE ，由①可知DE =CF ，∴CF 2=GE ⋅AE .故③正确.∵ABCD 为正方形，且边长为4，∴AB =BC =AD =4，∴在Rt △ABC 中，AC =2AB =4 2.由①可知，△ADG ≌△AMG ASA ，∴AM =AD =4，∴CM =AC -AM =42-4.由图可知，△DMC 和△ADM 等高，设高为h ，∴S △ADM =S △ADC -S △DMC ，∴4×h 2=4×42-42-4 ⋅h 2，∴h =22，∴S △ADM =12⋅AM ⋅h =12×4×22=4 2.故④不正确.由①可知，△ADG ≌△AMG ASA ，∴DG =GM ，∴M 关于线段AG 的对称点为D ，过点D 作DN ⊥AC ，交AC 于N ，交AE 于P ，∴PM +PN 最小即为DN ，如图所示，由④可知△ADM 的高h =22即为图中的DN ，∴DN =2 2.故②不正确.综上所述，正确的是①③.故选：D .【点睛】本题考查的是正方形的综合题，涉及到三角形相似，最短路径，三角形全等，三角形面积法，解题的关键在于是否能正确找出最短路径以及运用相关知识点.10(2023·内蒙古赤峰·统考中考真题)如图，把一个边长为5的菱形ABCD 沿着直线DE 折叠，使点C 与AB 延长线上的点Q 重合．DE 交BC 于点F ，交AB 延长线于点E ．DQ 交BC 于点P ，DM ⊥AB于点M ，AM =4，则下列结论，①DQ =EQ ，②BQ =3，③BP =158，④BD ∥FQ ．正确的是()A.①②③B.②④C.①③④D.①②③④【答案】A【分析】由折叠性质和平行线的性质可得∠QDF =∠CDF =∠QEF ，根据等角对等边即可判断①正确；根据等腰三角形三线合一的性质求出MQ =AM =4，再求出BQ 即可判断②正确；由△CDP ∽△BQP 得CP BP =CD BQ=53，求出BP 即可判断③正确；根据EF DE ≠QE BE 即可判断④错误．【详解】由折叠性质可知：∠CDF =∠QDF ,CD =DQ =5，∵CD ∥AB ，∴∠CDF =∠QEF ．∴∠QDF =∠QEF ．∴DQ =EQ =5．故①正确；∵DQ =CD =AD =5，DM ⊥AB ，∴MQ =AM =4．∵MB =AB -AM =5-4=1，∴BQ =MQ -MB =4-1=3．故②正确；∵CD ∥AB ，∴△CDP ∽△BQP ．∴CP BP =CD BQ=53．∵CP +BP =BC =5，∴BP =38BC =158．故③正确；∵CD ∥AB ，∴△CDF ∽△BEF ．∴DF EF =CD BE =CD BQ +QE=53+5=58．∴EF DE =813．∵QE BE =58，∴EF DE ≠QE BE．∴△EFQ 与△EDB 不相似．∴∠EQF ≠∠EBD ．∴BD 与FQ 不平行．故④错误；故选：A ．【点睛】本题主要考查了折叠的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，菱形的性质等知识，属于选择压轴题，有一定难度，熟练掌握相关性质是解题的关键．11(2023·黑龙江·统考中考真题)如图，在正方形ABCD中，点E,F分别是AB,BC上的动点，且AF ⊥DE，垂足为G，将△ABF沿AF翻折，得到△AMF,AM交DE于点P，对角线BD交AF于点H，连接HM,CM,DM,BM，下列结论正确的是：①AF=DE；②BM∥DE；③若CM⊥FM，则四边形BHMF是菱形；④当点E运动到AB的中点，tan∠BHF=22；⑤EP⋅DH=2AG⋅BH．()A.①②③④⑤B.①②③⑤C.①②③D.①②⑤【答案】B【分析】利用正方形的性质和翻折的性质，逐一判断，即可解答．【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠DAE=∠ABF=90°，DA=AB，∵AF⊥DE，∴∠BAF+∠AED=90°，∵∠BAF+∠AFB=90°，∴∠AED=∠BFA，∴△ABF≌△AED AAS，∴AF=DE，故①正确，∵将△ABF沿AF翻折，得到△AMF，∴BM⊥AF，∵AF⊥DE，∴BM∥DE，故②正确，当CM⊥FM时，∠CMF=90°，∵∠AMF=∠ABF=90°，∴∠AMF+∠CMF=180°，即A,M,C在同一直线上，∴∠MCF=45°，∴∠MFC=90°-∠MCF=45°，通过翻折的性质可得∠HBF=∠HMF=45°，BF=MF，∴∠HMF=∠MFC，∠HBC=∠MFC，∴BC∥MH,HB∥MF，∴四边形BHMF是平行四边形，∵BF=MF，∴平行四边形BHMF是菱形，故③正确，当点E运动到AB的中点，如图，设正方形ABCD的边长为2a，则AE=BF=a，在Rt △AED 中，DE =AD 2+AE 2=5a =AF ，∵∠AHD =∠FHB ,∠ADH =∠FBH =45°，∴△AHD ∽△FHB ，∴FH AH =BF AD=a 2a =12，∴AH =23AF =253a ，∵∠AGE =∠ABF =90°，∴△AGF ∽△ABF ，∴AE AF =EG BF =AG AB =a 5a=55，∴EG =55BF =55a ，AG =55AB =255a ，∴DG =ED -EG =455a ，GH =AH -AG =4515a ，∵∠BHF =∠DHA ，在Rt △DGH 中，tan ∠BHF =tan ∠DHA =DG GH=3，故④错误，∵△AHD ∽△FHB ，∴BH DH=12，∴BH =13BD =13×22a =223a ，DH =23BD =23×22a =423a ，∵AF ⊥EP ，根据翻折的性质可得EP =2EG =255a ，∴EP ⋅DH =255a ⋅423a =81015a 2，2AG ⋅BH =2⋅255a ⋅223a =81015a 2，∴EP ⋅DH =2AG ⋅BH =81015a 2，故⑤正确；综上分析可知，正确的是①②③⑤．故选：B ．【点睛】本题考查了正方形的性质，翻折的性质，相似三角形的判定和性质，正切的概念，熟练按照要求做出图形，利用寻找相似三角形是解题的关键．二、填空题12(2023·湖北鄂州·统考中考真题)如图，在平面直角坐标系中，△ABC 与△A 1B 1C 1位似，原点O 是位似中心，且AB A 1B 1=3．若A 9,3 ，则A 1点的坐标是．【答案】3,1【分析】直接利用位似图形的性质得出相似比进而得出对应线段的长．【详解】解∶设A1m,n∵△ABC与△A1B1C1位似，原点O是位似中心，且ABA1B1=3．若A9,3，∴位似比为31，∴9 m =31，3n=31，解得m=3，n=1，∴A13,1故答案为：3,1.【点睛】此题主要考查了位似变换，正确得出相似比是解题关键．13(2023·吉林长春·统考中考真题)如图，△ABC和△A B C 是以点O为位似中心的位似图形，点A 在线段OA 上．若OA:AA =1:2，则△ABC和△A B C 的周长之比为．【答案】1:3【分析】根据位似图形的性质即可求出答案．【详解】解：∵OA:AA =1:2，∴OA:OA =1:3，设△ABC周长为l1，设△A B C 周长为l2，∵△ABC和△A B C 是以点O为位似中心的位似图形，∴l1l2=OAOA=13．∴l1:l2=1:3．∴△ABC和△A B C 的周长之比为1:3．故答案为：1:3．【点睛】本题考查了位似图形的性质，解题的关键在于熟练掌握位似图形性质．14(2023·四川乐山·统考中考真题)如图，在平行四边形ABCD中，E是线段AB上一点，连结AC、DE 交于点F ．若AE EB =23，则S △ADF S △AEF =．【答案】52【分析】四边形ABCD 是平行四边形，则AB =CD ,AB ∥CD ，可证明△EAF ∽△DCF ，得到DF EF =CD AE =AB AE，由AE EB =23进一步即可得到答案．【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB =CD ,AB ∥CD ，∴∠AEF =∠CDF ,∠EAF =∠DCF ，∴△EAF ∽△DCF ，∴DF EF =CD AE =AB AE ,∵AE EB =23，∴AB AE =52，∴S △ADF S △AEF =DF EF =AB AE=52．故答案为：52【点睛】此题考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，证明△EAF ∽△DCF 是解题的关键．15(2023·江西·统考中考真题)《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺(即图中的ABC )．“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度如图，点A ，B ，Q 在同一水平线上，∠ABC 和∠AQP 均为直角，AP 与BC 相交于点D ．测得AB =40cm ，BD =20cm ，AQ =12m ，则树高PQ =m ．【答案】6【分析】根据题意可得△ABD ∽△AQP ，然后相似三角形的性质，即可求解．【详解】解：∵∠ABC 和∠AQP 均为直角∴BD ∥PQ ，∴△ABD ∽△AQP ，∴BD PQ =AB AQ∵AB =40cm ，BD =20cm ，AQ =12m ，∴PQ =AQ ×BD AB=12×2040=6m ,故答案为：6．【点睛】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．16(2023·四川成都·统考中考真题)如图，在△ABC 中，D 是边AB 上一点，按以下步骤作图：①以点A 为圆心，以适当长为半径作弧，分别交AB ，AC 于点M ，N ；②以点D 为圆心，以AM 长为半径作弧，交DB 于点M ；③以点M 为圆心，以MN 长为半径作弧，在∠BAC 内部交前面的弧于点N ：④过点N 作射线DN 交BC 于点E ．若△BDE 与四边形ACED 的面积比为4:21，则BE CE的值为．【答案】23【分析】根据作图可得∠BDE =∠A ，然后得出DE ∥AC ，可证明△BDE ∽△BAC ，进而根据相似三角形的性质即可求解．【详解】解：根据作图可得∠BDE =∠A ，∴DE ∥AC ，∴△BDE ∽△BAC ，∵△BDE 与四边形ACED 的面积比为4:21，∴S △BDC S △BAC =421+4=BE BC2∴BE BC =25∴BE CE =23，故答案为：23．【点睛】本题考查了作一个角等于已知角，相似三角形的性质与判定，熟练掌握基本作图与相似三角形的性质与判定是解题的关键．17(2023·内蒙古·统考中考真题)如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°,AC =3,BC =1，将△ABC 绕点A 逆时针方向旋转90°，得到△AB C ．连接BB ，交AC 于点D ，则AD DC的值为．【答案】5【分析】过点D 作DF ⊥AB 于点F ，利用勾股定理求得AB =10，根据旋转的性质可证△ABB 、△DFB是等腰直角三角形，可得DF =BF ，再由S △ADB =12×BC ×AD =12×DF ×AB ，得AD =10DF ，证明△AFD ∼△ACB ，可得DF BC =AF AC ，即AF =3DF ，再由AF =10-DF ，求得DF =104，从而求得AD =52，CD =12，即可求解．【详解】解：过点D 作DF ⊥AB 于点F ，∵∠ACB =90°，AC =3，BC =1，∴AB =32+12=10，∵将△ABC 绕点A 逆时针方向旋转90°得到△AB C ，∴AB =AB =10，∠BAB =90°，∴△ABB 是等腰直角三角形，∴∠ABB =45°，又∵DF ⊥AB ，∴∠FDB =45°，∴△DFB 是等腰直角三角形，∴DF =BF ，∵S △ADB =12×BC ×AD =12×DF ×AB ，即AD =10DF ，∵∠C =∠AFD =90°，∠CAB =∠FAD ，∴△AFD ∼△ACB ，∴DF BC =AF AC，即AF =3DF ，又∵AF =10-DF ，∴DF =104，∴AD =10×104=52，CD =3-52=12，∴AD CD =5212=5，故答案为：5．【点睛】本题考查旋转的性质、等腰三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、三角形的面积，熟练掌握相关知识是解题的关键．18(2023·河南·统考中考真题)矩形ABCD 中，M 为对角线BD 的中点，点N 在边AD 上，且AN =AB =1．当以点D ，M ，N 为顶点的三角形是直角三角形时，AD 的长为．【答案】2或2+1【分析】分两种情况：当∠MND =90°时和当∠NMD =90°时，分别进行讨论求解即可．【详解】解：当∠MND =90°时，∵四边形ABCD 矩形，∴∠A =90°，则MN ∥AB ，由平行线分线段成比例可得：AN ND =BM MD，又∵M 为对角线BD 的中点，∴BM =MD ，∴AN ND =BM MD=1，即：ND =AN =1，∴AD =AN +ND =2，当∠NMD =90°时，∵M 为对角线BD 的中点，∠NMD =90°∴MN 为BD 的垂直平分线，∴BN =ND ，∵四边形ABCD 矩形，AN =AB =1∴∠A =90°，则BN =AB 2+AN 2=2，∴BN =ND =2∴AD =AN +ND =2+1，综上，AD 的长为2或2+1，故答案为：2或2+1．【点睛】本题考查矩形的性质，平行线分线段成比例，垂直平分线的判定及性质等，画出草图进行分类讨论是解决问题的关键．19(2023·辽宁大连·统考中考真题)如图，在正方形ABCD 中，AB =3，延长BC 至E ，使CE =2，连接AE ，CF 平分∠DCE 交AE 于F ，连接DF ，则DF 的长为．【答案】3104【分析】如图，过F 作FM ⊥BE 于M ，FN ⊥CD 于N ，由CF 平分∠DCE ，可知∠FCM =∠FCN =45°，可得四边形CMFN 是正方形，FM ∥AB ，设FM =CM =NF =CN =a ，则ME =2-a ，证明△EFM ∽△EAB ，则FM AB=ME BE ，即a 3=2-a 3+2，解得a =34，DN =CD -CN =94，由勾股定理得DF =DN 2+NF 2，计算求解即可．【详解】解：如图，过F 作FM ⊥BE 于M ，FN ⊥CD 于N ，则四边形CMFN 是矩形，FM ∥AB ，∵CF 平分∠DCE ，∴∠FCM =∠FCN =45°，∴CM =FM ，∴四边形CMFN 是正方形，设FM =CM =NF =CN =a ，则ME =2-a ，∵FM ∥AB ，∴△EFM ∽△EAB ，∴FM AB =ME BE ，即a 3=2-a 3+2，解得a =34，∴DN =CD -CN =94，由勾股定理得DF =DN 2+NF 2=3104，故答案为：3104．【点睛】本题考查了正方形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．20(2023·广东·统考中考真题)边长分别为10，6，4的三个正方形拼接在一起，它们的底边在同一直线上(如图)，则图中阴影部分的面积为．【答案】15【分析】根据正方形的性质及相似三角形的性质可进行求解．【详解】解：如图，由题意可知AD =DC =10,CG =CE =GF =6,∠CEF =∠EFG =90°，GH =4，∴CH =10=AD ，∵∠D =∠DCH =90°,∠AJD =∠HJC ，∴△ADJ ≌△HCJ AAS ，∴CJ =DJ =5，∴EJ =1，∵GI ∥CJ ，∴△HGI ∽△HCJ ，∴GI CJ =GH CH=25，∴GI =2，∴FI =4，∴S 梯形EJIF =12EJ +FI ⋅EF =15；故答案为：15．【点睛】本题主要考查正方形的性质及相似三角形的性质与判定，熟练掌握正方形的性质及相似三角形的性质与判定是解题的关键．21(2023·天津·统考中考真题)如图，在边长为3的正方形ABCD 的外侧，作等腰三角形ADE ，EA =ED =52．(1)△ADE 的面积为；(2)若F 为BE 的中点，连接AF 并延长，与CD 相交于点G ，则AG 的长为．【答案】3；13【分析】(1)过点E 作EH ⊥AD ，根据正方形和等腰三角形的性质，得到AH 的长，再利用勾股定理，求出EH 的长，即可得到△ADE 的面积；(2)延长EH 交AG 于点K ，利用正方形和平行线的性质，证明△ABF ≌△KEF ASA ，得到EK 的长，进而得到KH 的长，再证明△AHK ∽△ADG ，得到KH GD =AH AD ，进而求出GD 的长，最后利用勾股定理，即可求出AG的长．【详解】解：(1)过点E作EH⊥AD，∵正方形ABCD的边长为3，∴AD=3，∵△ADE是等腰三角形，EA=ED=52，EH⊥AD，∴AH=DH=12AD=32，在Rt△AHE中，EH=AE2-AH2=522-32 2=2，∴S△ADE=12AD⋅EH=12×3×2=3,故答案为：3；(2)延长EH交AG于点K，∵正方形ABCD的边长为3，∴∠BAD=∠ADC=90°，AB=3，∴AB⊥AD，CD⊥AD，∵EK⊥AD，∴AB∥EK∥CD，∴∠ABF=∠KEF，∵F为BE的中点，∴BF=EF，在△ABF和△KEF中，∠ABF=∠KEF BF=EF∠AFB=∠KFE，∴△ABF≌△KEF ASA，∴EK=AB=3，由(1)可知，AH=12AD，EH=2，∴KH=1，∵KH∥CD，∴△AHK∽△ADG，∴KH GD =AH AD，∴GD=2，在Rt△ADG中，AG=AD2+GD2=32+22=13，故答案为：13．【点睛】本题考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，作辅助线构造全等三角形和相似三角形是解题关键．22(2023·四川泸州·统考中考真题)如图，E，F是正方形ABCD的边AB的三等分点，P是对角线AC上的动点，当PE+PF取得最小值时，APPC的值是．【答案】27【分析】作点F 关于AC 的对称点F ，连接EF 交AC 于点P ，此时PE +PF 取得最小值，过点F 作AD 的垂线段，交AC 于点K ，根据题意可知点F 落在AD 上，设正方形的边长为a ，求得AK 的边长，证明△AEP ∽△KF P ，可得KP AP=2，即可解答．【详解】解：作点F 关于AC 的对称点F ，连接EF 交AC 于点P ，过点F 作AD 的垂线段，交AC 于点K ，由题意得：此时F 落在AD 上，且根据对称的性质，当P 点与P 重合时PE +PF 取得最小值，设正方形ABCD 的边长为a ，则AF =AF =23a ，∵四边形ABCD 是正方形，∴∠F AK =45°，∠P AE =45°，AC =2a∵F K ⊥AF ，∴∠F AK =∠F KA =45°，∴AK =223a ，∵∠F P K =∠EP A ，∴△E KP ∽△EAP ，∴F K AE =KP AP=2，∴AP =13AK =292a ，∴CP =AC -AP =792a ， ∴AP CP=27，∴当PE +PF 取得最小值时，AP PC 的值是为27，故答案为：27．【点睛】本题考查了四边形的最值问题，轴对称的性质，相似三角形的证明与性质，正方形的性质，正确画出辅助线是解题的关键．23(2023·山西·统考中考真题)如图，在四边形ABCD 中，∠BCD =90°，对角线AC ,BD 相交于点O ．若AB =AC =5,BC =6,∠ADB =2∠CBD ，则AD 的长为．【答案】973【分析】过点A 作AH ⊥BC 于点H ，延长AD ，BC 交于点E ，根据等腰三角形性质得出BH =HC =12BC =3，根据勾股定理求出AH =AC 2-CH 2=4，证明∠CBD =∠CED ，得出DB =DE ，根据等腰三角形性质得出CE =BC =6，证明CD ∥AH ，得出CD AH=CE HE ，求出CD =83，根据勾股定理求出DE =CE 2+CD 2=62+83 2=2973，根据CD ∥AH ，得出DE AD =CE CH ，即2973AD=63，求出结果即可．【详解】解：过点A 作AH ⊥BC 于点H ，延长AD ，BC 交于点E ，如图所示：则∠AHC =∠AHB =90°，∵AB =AC =5,BC =6，∴BH =HC =12BC =3，∴AH =AC 2-CH 2=4，∵∠ADB =∠CBD +∠CED ，∠ADB =2∠CBD ，∴∠CBD =∠CED ，∴DB =DE ，∵∠BCD =90°，∴DC ⊥BE ，∴CE =BC =6，∴EH =CE +CH =9，∵DC ⊥BE ，AH ⊥BC ，∴CD ∥AH ，∴△ECD ~△EHA ，∴CD AH =CE HE ，即CD 4=69，解得：CD =83，∴DE =CE 2+CD 2=62+83 2=2973，∵CD ∥AH ，∴DE AD=CE CH ，即2973AD =63，解得：AD =973．故答案为：973．【点睛】本题主要考查了三角形外角的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，平行线分线段成比例，相似三角形的判定与性质，平行线的判定，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握平行线分线段成比例定理及相似三角形的判定与性质．三、解答题24(2023·湖南·统考中考真题)在Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AD 是斜边BC 上的高．(1)证明：△ABD ∽△CBA ；(2)若AB =6，BC =10，求BD 的长．【答案】(1)见解析(2)BD =185【分析】(1)根据三角形高的定义得出∠ADB =90°，根据等角的余角相等，得出∠BAD =∠C ，结合公共角∠B =∠B ，即可得证；(2)根据(1)的结论，利用相似三角形的性质即可求解．【详解】(1)证明：∵∠BAC =90°，AD 是斜边BC 上的高．∴∠ADB =90°，∠B +∠C =90°∴∠B +∠BAD =90°，∴∠BAD =∠C又∵∠B =∠B∴△ABD ∽△CBA ，(2)∵△ABD ∽△CBA∴AB CB =BD AB，又AB =6，BC =10∴BD =AB 2CB=3610=185．【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．25(2023·湖南·统考中考真题)如图，CA ⊥AD ,ED ⊥AD ，点B 是线段AD 上的一点，且CB ⊥BE ．已知AB =8,AC =6,DE =4．(1)证明：△ABC∽△DEB．(2)求线段BD的长．【答案】(1)见解析(2)BD=3【分析】(1)根据题意得出∠A=∠D=90°,∠C+∠ABC=90°，∠ABC+∠EBD=90°，则∠C=∠EBD，即可得证；(2)根据(1)的结论，利用相似三角形的性质列出比例式，代入数据即可求解．【详解】(1)证明：∵AC⊥AD,ED⊥AD，∴∠A=∠D=90°,∠C+∠ABC=90°，∵CE⊥BE，∴∠ABC+∠EBD=90°，∴∠C=∠EBD，∴△ABC∽△DEB；(2)∵△ABC∽△DEB，∴AB DE =AC BD，∵AB=8,AC=6,DE=4，∴8 4=6 BD，解得：BD=3．【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．26(2023·四川眉山·统考中考真题)如图，▱ABCD中，点E是AD的中点，连接CE并延长交BA的延长线于点F．(1)求证：AF=AB；(2)点G是线段AF上一点，满足∠FCG=∠FCD，CG交AD于点H，若AG=2,FG=6，求GH的长．【答案】(1)见解析(2)65【分析】(1)根据平行四边形的性质可得AB∥CD，AB=CD，证明△AEF≅△DEC ASA，推出AF= CD，即可解答；(2)通过平行四边形的性质证明GC=GF=6，再通过(1)中的结论得到DC=AB=AF=8，最后证明△AGH∽△DCH，利用对应线段比相等，列方程即可解答．【详解】(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB=CD，∴∠EAF=∠D，∵E是AD的中点，∴AE=DE，∵∠AEF =∠CED ，∴△AEF ≅△DEC ASA ，∴AF =CD ，∴AF =AB ；(2)解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴DC =AB =AF =FG +GA =8，DC ∥FA ，∴∠DCF =∠F ，∠DCG =∠CGB ，∵∠FCG =∠FCD ，∴∠F =∠FCG ，∴GC =GF =6，∵∠DHC =∠AHG ，∴△AGH ∽△DCH ，∴GH CH =AG DC，设HG =x ,则CH =CG -GH =6-x ，可得方程x 6-x =28，解得x =65，即GH 的长为65．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，熟练运用上述性质证明三角形相似是解题的关键．27(2023·四川凉山·统考中考真题)如图，在▱ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，∠CAB =∠ACB ，过点B 作BE ⊥AB 交AC 于点E ．(1)求证：AC ⊥BD ；(2)若AB =10，AC =16，求OE 的长．【答案】(1)见详解(2)92【分析】(1)可证AB =CB ，从而可证四边形ABCD 是菱形，即可得证；(2)可求OB =6，再证△EBO ∽△BAO ，可得EO BO =BO AO，即可求解．【详解】(1)证明：∵∠CAB =∠ACB ，∴AB =CB ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ．(2)解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴OA =12AC =8，∵AC ⊥BD ，BE ⊥AB ，∴∠AOB =∠BOE =∠ABE =90°，∴OB =AB 2-OB 2=102-82=6，∵∠EBO +∠BEO =90°，∠ABO +∠EBO =90°，∴∠BEO =∠ABO ，∴△EBO ∽△BAO ，∴EO BO =BO AO ，∴EO 6=68解得：OE =92．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，菱形的判定及性质，勾股定理，三角形相似的判定及性质，掌握相关的判定方法及性质是解题的关键．28(2023·江苏扬州·统考中考真题)如图，点E 、F 、G 、H 分别是▱ABCD 各边的中点，连接AF 、CE 相交于点M ，连接AG 、CH 相交于点N ．(1)求证：四边形AMCN 是平行四边形；(2)若▱AMCN 的面积为4，求▱ABCD 的面积．【答案】(1)见解析(2)12【分析】(1)根据平行四边形的性质，线段的中点平分线段，推出四边形AECG ，四边形AFCH 均为平行四边形，进而得到：AM ∥CN ,AN ∥CM ，即可得证；(2)连接HG ,AC ,EF ，推出S △ANH S △ANC =HN CN=12，S △FMC S △AMC =12，进而得到S △ANH +S △FMC =12S △ANC +S △AMC =12S ▱AMCN =2，求出S ▱AFCH =S △ANH +S △FMC +S ▱AMCN =2+4=6，再根据S ▱ABCD =2S ▱AFCH ，即可得解．【详解】(1)证明：∵▱ABCD ，∴AB ∥CD ,AD ∥BC ,AB =CD ,AD =BC ，∵点E 、F 、G 、H 分别是▱ABCD 各边的中点，∴AE =12AB =12CD =CG ,AE ∥CG ，∴四边形AECG 为平行四边形，同理可得：四边形AFCH 为平行四边形，∴AM ∥CN ,AN ∥CM ，∴四边形AMCN 是平行四边形；(2)解：连接HG ,AC ,EF ，∵H ,G 为AD ,CD 的中点，∴HG ∥AC ,HG =12AC ，∴△HNG ∽△CNA ，∴HN CN =HG AC =12，∴S △ANH S △ANC =HN CN=12，同理可得：S △FMC S △AMC =12∴S △ANH +S △FMC =12S △ANC +S △AMC =12S ▱AMCN =2，∴S ▱AFCH =S △ANH +S △FMC +S ▱AMCN =2+4=6，∵AH =12AD ，∴S ▱ABCD =2S ▱AFCH =12．【点睛】本题考查平行四边形的判定和性质，三角形的中位线定理，相似三角形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的性质，以及三角形的中位线定理，证明三角形相似，是解题的关键．29(2023·上海·统考中考真题)如图，在梯形ABCD 中AD ∥BC ，点F ，E 分别在线段BC ，AC 上，且∠FAC =∠ADE ，AC =AD(1)求证：DE =AF(2)若∠ABC =∠CDE ，求证：AF 2=BF ⋅CE【答案】见解析【分析】(1)先根据平行线的性质可得∠DAE =∠ACF ，再根据三角形的全等的判定可得△DAE ≅△ACF ，然后根据全等的三角形的性质即可得证；(2)先根据全等三角形的性质可得∠AFC =∠DEA ，从而可得∠AFB =∠CED ，再根据相似三角形的判定可得△ABF ∼△CDE ，然后根据相似三角形的性质即可得证．【详解】(1)证明：∵AD ∥BC ，∴∠DAE =∠ACF ，在△DAE和△ACF中，∠DAE=∠ACF AD=CA∠ADE=∠CAF，∴△DAE≅△ACF ASA，∴DE=AF．(2)证明：∵△DAE≅△ACF，∴∠AFC=∠DEA，∴180°-∠AFC=180°-∠DEA，即∠AFB=∠CED，在△ABF和△CDE中，∠AFB=∠CED ∠ABF=∠CDE，∴△ABF∼△CDE，∴AF CE =BF DE，由(1)已证：DE=AF，∴AF CE =BF AF，∴AF2=BF⋅CE．【点睛】本题考查了三角形全等的判定与性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．。

浙教版九上数学第3章圆的基本性质单元试卷(含解析)

25.如图，中，、分别是、上的点．
① 平分，② ，，③ ．
以此三个中的两个为条件，另一个为结论，可构成三个命题，即：
①② ③，①③ ②，②③ ①．
试判断上述三个命题是否正确（直接作答）；
请证明你认为正确的命题．
26.如图，边长均为的正和正原来完全重合．如图，现保持正不动，使正绕两个正三角形的公共中心点按顺时针方向旋转，设旋转角度为．（注：除第题中的第②问，其余各问只要直接给出结果即可）
【详解】∵四边形ABCD为正方形，且面积为3
∴∠D=∠B=∠BAD=90°，AD=AB=BC=CD= ，且AE=AF，
①当F在线段BC上时，如图1，
在Rt△ADE和Rt△ABF中，
，
∴Rt△ADE≌Rt△ABF（HL），
∴∠DAE=∠BAF，BF=DE=1，
又∵在Rt△ADE中，DE=1，AD= ，
二、填空题（共10小题，每小题3分，共30分）
11.如图，正方形的面积为，点是边上一点，，将线段绕点旋转，使点落在直线上，落点记为，则 ________，的长为________．
【答案】(1).30°或90°；(2). -1或 +1．
【解析】
【分析】
当点F在线段BC上时，由旋转的性质可得△ADE≌△ABF，可得到BF=DE，∠DAE=∠BAF=30°，可求得答案；当点F在线段CB的延长线上时，可证得△ABF≌△ADE，则可求得∠EAF=90°，此时FC=BF+BC，可求得答案．
8.如图，已知为的外心，为上的高，，，则为（）
A.32°B.26°C.28°D.34°
9.一个直角三角形两条直角边为，，分别以它的两条直角边所在直线为轴，旋转一周，得到两个几何体，它们的表面面积相应地记为和，则有（）

《图形的相似》中考常考考点专题(基础篇)(专项练习)-2022-2023学年九年级数学

专题4.52 《图形的相似》中考常考考点专题（基础篇）（专项练习）一、单选题【知识点一】相似图形相关概念及性质【考点一】比例的性质✮✮线段的比（2018·甘肃陇南·中考真题）1. 已知23a b =（a ≠0，b ≠0），下列变形错误的是（）A. 23a b = B. 2a =3b C. 32b a = D. 3a =2b （2020·安徽阜阳·二模）2. 某零件长40厘米，若该零件在设计图上的长是2毫米，则这幅设计图的比例尺是（）A. 1：2000B. 1：200C. 200：1D. 2000：1【考点二】成比例线段✮✮黄金分割（2018·河北·模拟预测）3. 如图，画线段AB 的垂直平分线交AB 于点O ，在这条垂直平分线上截取OC OA =，以A 为圆心，AC 为半径画弧交AB 于点P ，则线段AP 与AB 的比是（）A. 2B.C.D. 2（2022·福建莆田·一模）4. P 是线段AB 上一点（AP BP >），则满足=AP BP AB AP，则称点P 是线段AB 的黄金分割点．大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割点”．如图，一片树叶的叶脉AB 长度为10cm ，P 为AB 的黄金分割点（AP BP >），求叶柄BP 的长度．设cm BP x =，则符合题意的方程是（）A. ()21010x x -=B. ()21010x x =-C. ()21010x x -=D.()210110x x -=-【考点三】相似图形✮✮相似多边形（2021·四川成都·一模）5. 下列形状分别为正方形、矩形、正三角形、圆的边框，其中不一定是相似图形的是（）A. B. C. D.（2020·河北衡水·一模）6. 在研究相似问题时，甲、乙两同学的观点如下：甲：将边长为4的菱形按图1的方式向外扩张，得到新菱形，它们的对应边间距为1，则新菱形与原菱形相似．乙：将边长为4的菱形按图2方式向外扩张，得到新菱形，每条对角线向其延长线两个方向各延伸1，则新菱形与原菱形相似；对于两人的观点，下列说法正确的是（）．A. 两人都对B. 两人都不对C. 甲对，乙不对D. 甲不对，乙对【考点四】相似多边形的性质（2022·山东淄博·二模）7. 如图，将一张矩形纸片沿两长边中点所在的直线对折，如果得到两个矩形都与原矩形相似，则原矩形长与宽的比是（）A. 2：1B. 3：1C. 3：2D. （2022·湖北省直辖县级单位·一模）8. 如果两个相似多边形的周长比是2：3，那么它们的面积比为（）A. 2：3B. 4：9C.D. 16：81【考点五】平行线分线段成比例（2022·四川·巴中市教育科学研究所中考真题）9. 如图，在平面直角坐标系中，C 为AOB 的OA 边上一点，:1:2AC OC ，过C 作CD OB ∥交AB 于点D ，C 、D 两点纵坐标分别为1、3，则B 点的纵坐标为（）A. 4B. 5C. 6D. 7（2020·新疆·中考真题）10. 如图，在△ABC 中，∠A ＝90°，D 是AB 的中点，过点D 作BC 的平行线交AC 于点E ，作BC 的垂线交BC 于点F ，若AB ＝CE ，且△DFE 的面积为1，则BC 的长为（）A. 10B. 5C.D. 【知识点二】相似三角形【考点一】相似三角形的判定（2022·浙江绍兴·二模）11. 如图，如果∠BAD ＝∠CAE ，那么添加下列一个条件后，仍不能确定△ADE 与△ABC 相似的是（）A. B ＝∠DB. ∠C ＝∠AEDC. AB AD ＝DE BCD. AB AD ＝AC AE （2022·山东东营·中考真题）12. 如图，点D 为ABC 边AB 上任一点，DE BC ∥交AC 于点E ，连接BE CD 、相交于点F ，则下列等式中不成立的是（）A. AD AE DB EC =B. DE DF BC FC =C. DE AE BC EC =D. EF AE BF AC=【考点二】相似三角形的性质和判定➽➸求解✮✮证明（2021·山东济宁·中考真题）13. 如图，已知ABC ．（1）以点A 为圆心，以适当长为半径画弧，交AC 于点M ，交AB 于点N ．（2）分别以M ，N 为圆心，以大于12MN 的长为半径画弧，两弧在BAC ∠的内部相交于点P ．（3）作射线AP 交BC 于点D ．（4）分别以A ，D 为圆心，以大于12AD 的长为半径画弧，两弧相交于G ，H 两点．（5）作直线GH ，交AC ，AB 分别于点E ，F ．依据以上作图，若2AF =，3CE =，32BD =，则CD 的长是（）A. 510 B. 1 C. 94 D. 4（2022·黑龙江·哈尔滨市风华中学校三模）14. 如图，点F 是矩形ABCD 的边CD 上一点，射线BF 交AD 的延长线于点E ，则下列结论错误的是（）A. ED DF EA AB =B. DE EF BC FB =C. BC BF DE BE =D. BF BC BE AE=【考点三】相似三角形的性质和判定➽➸坐标✮✮网格（2016·江苏南京·一模）15. 如图，在平面直角坐标系中，点B 、C 在y 轴上，△ABC 是等边三角形，AB=4，AC 与x 轴的交点D0），则点A 的坐标为（）A. （1，B. （2，C. （1）D. （，2）（2012·湖北荆门·中考真题）16. 下列4×4的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则与△ABC 相似的三角形所在的网格图形是（）A. B. C. D.【考点四】相似三角形的性质和判定➽➸动点问题（2020·山东菏泽·一模）17. 如图，在△ABC 中，AC ＝6，AB ＝4，点D ，A 在直线BC 同侧，且∠ACD ＝∠ABC ，CD ＝2，点E 是线段BC 延长线上的动点．若△DCE 和△ABC 相似，则线段CE 的长为（）A. 43 B. 23 C. 43或3 D. 23或4（2021·河北石家庄·九年级期中）18. 如图，在锐角三角形ABC 中，6cm AB =，12cm AC =，动点D 从点A 出发到点B停止，动点E从点C出发到点A停止，点D运动的速度为1cm/s，点E运动的速度为2cm/s，如果两点同时开始运动，那么以点A，D，E为顶点的三角形与相似时的运动时间为（）ABCA. 3s或4.8sB. 3sC. 4.5sD. 4.5s或4.8s【考点五】相似三角形的性质和判定➽➸应用举例（2022·湖北十堰·中考真题）19. 如图，某零件的外径为10cm，用一个交叉卡钳（两条尺长AC和BD相等）可测量零件的内孔直径AB．如果OA：OC=OB：OD=3，且量得CD=3cm，则零件的厚度x为（）A. 0.3cmB. 0.5cmC. 0.7cmD. 1cm（2020·山西·中考真题）20. 泰勒斯是古希腊时期的思想家，科学家，哲学家，他最早提出了命题的证明．泰勒斯曾通过测量同一时刻标杆的影长，标杆的高度。

初中奥林匹克数学竞赛知识点总结及训练题目-圆的基本性质

初中数学竞赛辅导讲义---圆的基本性质到定点(圆心)等于定长(半径)的点的集合叫圆，圆常被人们看成是最完美的事物，圆的图形在人类进程中打下深深的烙印．圆的基本性质有：一是与圆相关的基本概念与关系，如弦、弧、弦心距、圆心角、圆周角等；二是圆的对称性，圆既是一个轴对称图形，又是一中心对称图形．用圆的基本性质解题应注意：1．熟练运用垂径定理及推论进行计算和证明；2．了解弧的特性及中介作用；3．善于促成同圆或等圆中不同名称等量关系的转化．熟悉如下基本图形、基本结论：【例题求解】【例1】在半径为1的⊙O 中，弦AB 、AC 的长分别为3和2，则∠BAC 度数为．作出辅助线，解直角三角形，注意AB 与AC 有不同的位置关系．注：由圆的对称性可引出许多重要定理，垂径定理是其中比较重要的一个，它沟通了线段、角与圆弧的关系，应用的一般方法是构造直角三角形，常与勾股定理和解直角三角形知识结合起来．圆是一个对称图形，注意圆的对称性，可提高解与圆相关问题周密性．【例2】如图，用3个边长为1的正方形组成一个对称图形，则能将其完全覆盖的圆的最小半径为( )A ．2B ．25C ．45D ．16175思路点拨所作最小圆圆心应在对称轴上，且最小圆应尽可能通过圆形的某些顶点，通过设未知数求解．【例3】如图，已知点A 、B 、C 、D 顺次在⊙O 上，AB=BD ，BM ⊥AC 于M ，求证：AM=DC+CM ．思路点拨用截长(截AM)或补短(延长DC)证明，将问题转化为线段相等的证明，证题的关键是促使不同量的相互转换并突破它．【例4】如图甲，⊙O 的直径为AB ，过半径OA 的中点G 作弦C E ⊥AB ，在CB 上取一点D ，分别作直线CD 、ED ，交直线AB 于点F ，M ．(1)求∠COA 和∠FDM 的度数；(2)求证：△FDM ∽△COM ； (3)如图乙，若将垂足G 改取为半径OB 上任意一点，点D 改取在EB 上，仍作直线CD 、ED ，分别交直线AB 于点F 、M ，试判断：此时是否有△FDM ∽△COM? 证明你的结论．思路点拨 (1)在Rt △COG 中，利用OG=21OA=21OC ；(2)证明∠COM=∠FDM ，∠CMO= ∠FMD ；(3)利用图甲的启示思考．注：善于促成同圆或等圆中不同名称的相互转化是解决圆的问题的重要技巧，此处，要努力把圆与直线形相合起来，认识到圆可为解与直线形问题提供新的解题思路，而在解与圆相关问题时常用到直线形的知识与方法(主要是指全等与相似)．【例5】已知：在△ABC 中，AD 为∠BAC 的平分线，以C 为圆心，CD 为半径的半圆交BC 的延长线于点E ，交AD 于点F ，交AE 于点M ，且∠B=∠CAE ，EF ：FD ＝4：3．(1)求证：AF ＝DF ；(2)求∠AED 的余弦值；(3)如果BD ＝10，求△ABC 的面积．思路点拨 (1)证明∠ADE ＝∠DAE ；(2)作AN ⊥BE 于N ，cos ∠AED ＝AEEN ，设FE=4x ，FD ＝3x ，利用有关知识把相关线段用x 的代数式表示；(3)寻找相似三角形，运用比例线段求出x 的值．⌒ ⌒ ⌒ ⌒注：本例的解答，需运用相似三角形、等腰三角形的判定、面积方法、代数化等知识方法思想，综合运用直线形相关知识方法思想是解与圆相关问题的关键．学历训练1．D是半径为5cm的⊙O内一点，且OD＝3cm，则过点D的所有弦中，最小弦AB= ．2．阅读下面材料：对于平面图形A，如果存在一个圆，使图形A上的任意一点到圆心的距离都不大于这个圆的半径，则称图形A被这个圆所覆盖．对于平面图形A，如果存在两个或两个以上的圆，使图形A上的任意一点到其中某个圆的圆心的距离都不大于这个圆的半径，则称图形A被这些圆所覆盖．例如：图甲中的三角形被一个圆所覆盖，图乙中的四边形被两个圆所覆盖．回答下列问题：(1)边长为lcm的正方形被一个半径为r的圆所覆盖，r的最小值是cm；(2)边长为lcm的等边三角形被一个半径为r的圆所覆盖，r的最小值是cm；(3)长为2cm，宽为lcm的矩形被两个半径都为r的圆所覆盖，r的最小值是cm．(2003年南京市中考题)3．世界上因为有了圆的图案，万物才显得富有生机，以下来自现实生活的图形中都有圆：它们看上去多么美丽与和谐，这正是因为圆具有轴对称和中心对称性．(1)请问以下三个图形中是轴对称图形的有，是中心对称图形的有(分别用下面三个图的代号a，b，c填空)．(2)请你在下面的两个圆中，按要求分别画出与上面图案不重复的图案(草图) (用尺规画或徒手画均可，但要尽可能准确些，美观些)．a ．是轴对称图形但不是中心对称图形．b ．既是轴对称图形又是中心对称图形．4．如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是弦，若AB=10cm ，CD ＝8cm ，那么A 、B 两点到直线CD 的距离之和为( )A ．12cmB ．10cmC ． 8cmD ．6cm5．一种花边是由如图的弓形组成的，ACB 的半径为5，弦AB ＝8，则弓形的高CD 为( )A ．2B ．25C ．3D ．316 6．如图，在三个等圆上各自有一条劣弧AB 、CD 、EF ，如果AB+CD=EF ，那么AB+CD 与E 的大小关系是（）A ．AB+CD ＝EFB ．AB+CD=FC ． AB+CD<EFD ．不能确定7．电脑CPU 芯片由一种叫“单晶硅”的材料制成，未切割前的单晶硅材料是一种薄形圆片，叫“晶圆片”．现为了生产某种CPU 芯片，需要长、宽都是1cm 的正方形小硅片若干．如果晶圆片的直径为10．05cm ，问：一张这种晶圆片能否切割出所需尺寸的小硅片66张?请说明你的方法和理由(不计切割损耗)．8．如图，已知⊙O 的两条半径OA 与OB 互相垂直，C 为AmB 上的一点，且AB 2+OB 2=BC 2，求∠OAC 的度数．9．不过圆心的直线l 交⊙O 于C 、D 两点，AB 是⊙O 的直径，AE ⊥l ，垂足为E ，BF ⊥l ，垂足为F ．(1)在下面三个圆中分别补画出满足上述条件的具有不同位置关系的图形；(2)请你观察(1)中所画图形，写出一个各图都具有的两条线段相等的结论(不再标注其他字母，找结论的过程中所连辅助线不能出现在结论中，不写推理过程)；(3)请你选择(1)中的一个图形，证明(2)所得出的结论．⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒10．以AB 为直径作一个半圆，圆心为O ，C 是半圆上一点，且OC 2＝AC ×BC ，则∠CAB=．11．如图，把正三角形ABC 的外接圆对折，使点A 落在BC 的中点A ′上，若BC=5，则折痕在△ABC 内的部分DE 长为．12．如图，已知AB 为⊙O 的弦，直径MN 与AB 相交于⊙O 内，MC ⊥AB 于C ，ND ⊥AB 于D ，若MN=20，AB=68，则MC —ND= ．13．如图，已知⊙O 的半径为R ，C 、D 是直径AB 同侧圆周上的两点，AC 的度数为96°，BD 的度数为36°，动点P 在AB 上，则CP+PD 的最小值为．14．如图1，在平面上，给定了半径为r 的圆O ，对于任意点P ，在射线OP 上取一点P ′，使得OP ×OP ′=r 2，这种把点P 变为点P ′的变换叫作反演变换，点P 与点P ′叫做互为反演点．(1)如图2，⊙O 内外各有一点A 和B ，它们的反演点分别为A ′和B ′，求证：∠A ′=∠B ；(2)如果一个图形上各点经过反演变换得到的反演点组成另一个图形，那么这两个图形叫做互为反演图形．①选择：如果不经过点O 的直线与⊙O 相交，那么它关于⊙O 的反演图形是( )A ．一个圆B ．一条直线C ．一条线段D ．两条射线②填空：如果直线l 与⊙O 相切，那么它关于⊙O 的反演图形是，该图形与圆O 的位置关系是．15．如图，已知四边形ABCD 内接于直径为3的圆O ，对角线AC 是直径，对角线AC 和BD 的交点为P ，AB=BD ，且PC=0．6，求四边形ABCD 的周长．16．如图，已知圆内接△ABC 中，AB>AC ，D 为BAC 的中点，DE ⊥AB 于E ，求证：BD 2-AD 2=AB×AC ．⌒ ⌒ ⌒17．将三块边长均为l0cm 的正方形煎饼不重叠地平放在圆碟内，则圆碟的直径至少是多少?(不考虑其他因素，精确到0．1cm)18．如图，直径为13的⊙O ′，经过原点O ，并且与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，线段OA 、OB(OA>OB)的长分别是方程0602=++kx x 的两根．(1)求线段OA 、OB 的长； (2)已知点C 在劣弧OA 上，连结BC 交OA 于D ，当OC 2=CD ×CB 时，求C 点坐标；(3)在⊙O ，上是否存在点P ，使S △POD =S △ABD ?若存在，求出P 点坐标；若不存在，请说明理由．⌒参考答案。

(必考题)初中数学九年级数学上册第四单元《图形相似》测试(包含答案解析)(3)

一、选择题1．下列各组长度的线段（单位：cm ）中，成比例线段的是（） A ．2，3，4，5 B ．1，3，4，10 C ．2，3，4，6D ．1，5，3，122．已知△ABC 如图，则下列4个三角形中，与△ABC 相似的是（）A ．B ．C ．D ．3．已知ABC 的三边长是2，6，2，则与ABC 相似的三角形的三边长可能是（）A ．1，2，3B ．1，3， 22C ．1，3，62 D ．1，3，334．如图，A B C '''是ABC 以点О为位似中心经过位似变换得到的，若:1:2OA A A ''=，则A B C '''的周长与ABC 的周长比是（）A ．1：2B ．1：3C ．1：4D ．4：95．如图，在ABC 中，D ，E 分别是边AB ，BC 上的点，且//DE AC ，若BE ：CE=1:3，则DOEAOCSS:的值为（）A．13B．14C．19D．1166．如图，在ABC中，中线BE，CD相交于点O，连接DE，给出下列结论∶①12DEBC=；②12SS=△DOE△COB；③AD OEAB OB=；④13COEADCSS=△△；⑤23BDOBCOSS=△△．其中不正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．47．如图，ABC中，90ABC∠=︒，点E在CB的延长线上，13BE AB=，过点E作ED AC⊥于D．若AD ED=，6AC=，则CD的长为（）A．1.5 B．2 C．2.5 D．48．如图，已知∠1＝∠2，那么添加一个条件后，仍不能判定△ABC与△ADE相似的是（）A．∠C＝∠AED B．∠B＝∠D C．AB BCAD DE=D．AB ACAD AE=9．已知30MAN∠=︒，点B在射线AM上，按以下步骤作图：①分别以A，B为圆心，大于12AB的长为半径画弧，两弧相交于P，Q两点；②作直线PQ，交射线AN于点C，连接BC；③以B为圆心，BA长为半径画弧，交射线AN于点D．根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（）A ．60BCD ∠=︒B ．2AB AD AC = C ．4ABD CBA ∠=∠D ．23AD AB =10．如图，////DE FG BC ，若3DF FB =，则EC 与GC 的关系是（）A ．4EC GC =B ．3EC GC = C ．52EC GC =D ．2EC GC =11．如图，在ABC 中，D 、E 分别是AB 、BC 边上的点，连接DE 并延长，与AC 的延长线交于点F ，且3AD BD =，2EF DE =，若2CF =，则AF 的长为（）A ．5B ．6C ．7D ．812．如图，在四边形ABCD 中，如果ADC BAC ∠=∠，那么下列条件中不能判定ADC 和BAC 相似的是（）A ．DAC ABC ∠=∠B ．CA 是BCD ∠的平分线C ．AD DCAB AC= D ．2AC BC CD =⋅二、填空题13．如图是一张矩形纸片，E 是AB 的中点，把BCE ∆沿直线CE 对折，使点B 落在BD 上的点F 处，2AB =，则CB =__________．14．如图所示是圆桌正上方的灯泡（看作一个点）发出的光线照射桌面后，在地面上形成阴影（圆形）的示意图．已知桌面的半径为0.8m ，桌面距离地面1m ，若灯泡距离地面3m ，则地面上阴影部分的面积为_________m 2（结果保留)π．15．△ABC ，△DEF 的条件如图所示，则n 的值是_____．16．如图，一组平行线L 1、L 2、L 3截两相交直线L 4、L 5，则AOED=____．17．如图，在平面直角坐标系中，点(0,6)A ，(8,0)B ，点C 是线段AB 的中点，过点C 的直线l 将AOB 截成两部分，直线l 交折线A O B --于点P ．当截成两部分中有三角形与AOB 相似时，则点P 的坐标为__________．18．如图，ABCD 中，E 是CD 的延长线上一点，BE 与AD 交于点F ，2CD DE =．若DEF 的面积为1，则ABCD 的面积为______．19．如图，在平行四边形ABCD 中，AC ，BD 相交于点O ，E 是OA 的中点，连接BE 并延长交AD 于点F ．（1）FDAF=__________；（2）若AEF 的面积为4，则平行四边形ABCD 的面积为__________．20．如图，在矩形ABCD 中，ABC ∠的平分线BE 与AD 交于点E ，BED ∠的平分线EF 与DC 交于点F ，若12AB =，2DF FC =，则BC 的长是_____．三、解答题21．如图，已知ADB A C ∠=∠+∠．（1）求证：CBDCAB ；（2）若1,2CD AD ==，求CB 的长．22．如图，在△ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，AED B ∠=∠，AG 分别交线段DE 、BC 于点F 、G ，且AD ：AC DF =：CG ，求证：（1）AG 平分BAC ∠；（2）EF·CG=DF·BG ．23．问题发现：（1）如图1，在Rt ABC 中，90ABC ∠=︒，6AB =，8BC =，点D 为AB 上一点，且2AD DB =，过点D 作//DE BC ，填空：DE BC =________，DBEC=________；类比探究：（2）如图2，在（1）的条件下将ADE 绕点A 逆时针旋转得到AMN ，连接DM ，BM ，EN ，CN ，请求出DM EN，BMCN 的值；拓展延伸：（3）如图3，ABC 和DEF 同为等边三角形，且36AB EF ==，连接AD ，BE ，将DEF 绕AC （DF ）的中点O 逆时针自由旋转，请直接写出在旋转过程中BE AD -的最大值．24．综合问题：从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线．（1）如图1，在△ABC 中，CD 为角平分线，∠A =40°，∠B =60°，求证：CD 为△ABC 的完美分割线．（2）在△ABC 中，∠A =48°，CD 是△ABC 的完美分割线，且△ACD 为等腰三角形，求∠ACB 的度数．（3）如图2，△ABC 中，AC =2，DC =6-2，BD =31-，CD 是△ABC 的完美分割线，且△ACD 是以CD 为底边的等腰三角形，求CB 长．25．（1）如图1，矩形ABCD 中，点M 在BC 上，连接AM ，作AMN AMB ∠=∠，点N 在直线AD 上，MN 交CD 于点E ．请找出图1中的一个等腰三角形，并证明结论．（2）如图2，矩形ABCD 中，3AB =，2BC =，点M 为BC 中点，连接AM ，作AME AMB ∠=∠，ME 交于点E ，求CE 的长．26．如图，在平面直角坐标系中，已知ΔABC 三个顶点的坐标分别是A(-4，2)，B(-3，1)，C(-1，2)．（1）请画出ΔABC 关于x 轴对称的ΔA 1B 1C 1；（2）以点O 为位似中心，相似比为1：2，在y 轴右侧，画出ΔA 1B 1C 1放大后的ΔA 2B 2C 2；【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【分析】判定四条线段是否成比例，计算前两条线段之比与后两条线段之比是否相等即可．【详解】解：A.2:3≠4:5，故四条线段不成比例，不合题意；B.1:3≠4:10，故四条线段不成比例，不符合题意；C.2:3=4:6，故四条线段成比例，符合题意；D.1:5≠3:12，故四条线段不成比例，不合题意；故选：C．【点睛】本题主要考查了成比例线段的定义，熟记概念并准确计算是解题的关键．2．C解析：C【分析】△ABC是等腰三角形，底角是75°，则顶角是30°，看各个选项是否符合相似的条件．【详解】解：∵由图可知，AB＝AC＝6，∠B＝75°，∴∠C＝75°，∠A＝30°，A、三角形各角的度数分别为75°，52.5°，52.5°，不符合题意；B、三角形各角的度数都是60°，不符合题意；C、三角形各角的度数分别为75°，30°，75°，符合题意；D、三角形各角的度数分别为40°，70°，70°，不符合题意；∴只有C 选项中三角形各角的度数与题干中三角形各角的度数相等，故选：C ．【点睛】此题主要考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理和相似三角形的判定的理解和掌握，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定．3．A解析：A 【分析】根据相似三角形的判定定理即可得到结论．【详解】解：∵△ABC ，2，∴△ABC：2=1 ∴△ABC相似的三角形三边长可能是1，故选：A ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．4．B解析：B 【分析】根据位似变换的概念得到，A B ''∥AB ，A B C ABC '''∽△△，根据相似三角形的性质解答即可．【详解】解：∵:1:2OA A A ''=， ∴13OA OA ':=:，∵A B C '''是ABC 以点O 为位似中心经过位似变换得到的， ∴A B ''∥AB ，A B C ABC '''∽△△， ∴13A B OA AB OA '''==， ∴A B C '''的周长与ABC 的周长比为1：3，故选：B ．【点睛】本题考查的是位似变换的概念和性质、相似三角形的性质，掌握位似的两个图形必须是相似形、对应边平行是解题的关键．5．D解析：D 【分析】由BE ：EC=1：3，得BE ：BC=1：4；证明△DOE ∽△AOC ，得到14DE BE AC BC ==，借助相似三角形的性质即可解决问题．【详解】解：∵BE ：EC=1：3； ∴BE ：BC=1：4； ∵DE ∥AC ， ∴△DOE ∽△AOC ， ∴14DE BE AC BC ==， ∴21()16DOE AOC S DE S AC ∆∆==，故选：D ．【点睛】该命题主要考查了相似三角形的判定及其性质的应用问题；解题的关键是灵活运用形似三角形的判定及其性质来分析、判断、推理或解答．6．B解析：B 【分析】根据中位线的性质，//DE BC ，通过证明DOE COB △∽△，得DOE COBS S；根据相似三角形性质，通过证明ADE ABC △△∽，证得AD OEAB OB=；结合点D 是AB 的中点，点E 是AC 的中点，通过三角形面积关系计算，即可得到COE ADC S S △△，同理计算得BDOBCOS S △△，即可得到答案．【详解】根据题意得：点D 是AB 的中点，点E 是AC 的中点 ∴DE 是ABC 的中位线∴12DE BC =，即①结论正确；又∵DE 是ABC 的中位线∴//DE BC∴DEO CBO ∠=∠，EDO BCO ∠=∠ ∴DOE COB △∽△∴12OE OD DE OB OC BC ===，214DOE COBSDE SBC ⎛⎫== ⎪⎝⎭，即②结论错误；又∵//DE BC∴ADE ABC =∠∠，AED ACB ∠=∠ ∴ADE ABC △△∽∴12AD DE AB BC == ∴AD OE AB OB =，即③结论正确； ∵12OE OB = ∴13OE OE BE OB OE ==+ ∴13COE BEC S OE S BE ==△△ ∵点D 是AB 的中点，点E 是AC 的中点 ∴12ADC ABC S AD S AB ==△△，12BEC ABC S CE S AC ==△△ ∴111326COE COE BEC ABC BEC ABC S S S S S S =⨯=⨯=△△△△△△ ∴1632COE COEABC ADC S S S S ==△△△△，即④结论正确； ∵12OD DE OC BC == ∴12BDO BCO S OD S OC ==△△，即⑤结论错误；故选：B ．【点睛】本题考查了三角形中位线、相似三角形、平行线的知识；解题的关键是熟练掌握三角形中位线、相似三角形的性质，从而完成求解．7．B解析：B【分析】证明△ADF ≌△EDC ，得到DC=DF ，设DC=x ，再证明△EBF ∽△ABC ，求出x 即可．【详解】解：∵∠ABC=90°，ED ⊥AC ，∴∠EBA=∠ADE=90°，又∠1=∠2，∴∠E=∠A ，∵AD=ED ，∴△ADF ≌△EDC ，∴DC=DF ，设DC=x ，∴DF=x ，∴AD=ED=6-x ，∴EF=6-2x ，∵∠E=∠A ，∠FBE=∠ABC ，∴△EBF ∽△ABC ， ∴BE EF AB AC =， ∵AC=6，BE=13AB ， ∴163EF =， ∴EF=6-2x=2，∴x=2，∴CD=2，故选B ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相应的判定方法，利用性质定理求出结果．8．C解析：C【分析】根据已知及相似三角形的判定方法对各个选项进行分析，从而得到最后答案．【详解】解：∵∠1＝∠2∴∠DAE ＝∠BAC∴A ，B ，D 都可判定△ABC ∽△ADE选项C 中不是夹这两个角的边，所以不相似，故选：C ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定：①如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；②如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；③如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似．9．D解析：D【分析】根据垂直平分线的性质、等腰三角形的性质及判定，相似三角形的判定一一判断即可．【详解】由作图可知，PQ 垂直平分AB ，AB=BD∵PQ 垂直平分AB ，∴AC ＝BC ，∴∠MAN ＝∠CBA ，∵∠MAN ＝30，∴∠DCB ＝∠MAN ＋∠CBA ＝60︒，故选项 A 正确；AB BD =MAN ADB ∴∠=∠∠MAN ＝∠CBA ，ADB CBA ∴∠=∠ACB ABD ∴△∽△2AC ABAB ADAB AC AD ∴=∴=⋅ 故选项B 正确；ABD 为等腰三角形，且两底角均为301803030120ABD ∴∠=︒-︒-︒=︒30MAN CBA ∠=∠=︒4ABD CBA ∴∠=∠故选项C 正确；如图：过点B 作BF AD ⊥在ABF 中，30A ∠=︒3AB AF ∴=22AD AFAB AF =∴=AB AD AD ∴=∴= 故选项D 错误；故选：D ．【点睛】本题考查作图﹣复杂作图，线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质及判定、相似三角形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．10．A解析：A【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，得到EG ＝3GC ，进而得出结论．【详解】∵DE ∥FG ∥BC ，DF ＝3FB ， ∴EG DF GC FB==3， ∴EG ＝3GC ，∴EC ＝4GC ，故选：A ．【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键． 11．B解析：B【分析】过点F 作//FG AB ，通过证明BED GEF ∽△△可得2FG BD =再证明FCG ACB ∽△△可得AC 的长度，即可求解．【详解】如图，过点F 作//FG AB ，交BC 延长线于点G ，则由平行易知BED GEF ∽△△，因此12BD DE FG EF ==，即2FG BD =由平行易知FCG ACB ∽△△，因此FG CF AB AC= ∵3AD BD =，∴4AB AD BD BD =+=， ∴2142FG BD AB BD ==， ∴12CF AC =，即212AC =， ∴4AC =，∴6AF AC CF =+=．故答案选：B ．【点睛】本题主要考查了利用三角形相似的性质求解线段的长度的问题，正确做出辅助线并证明三角形相似是解决本题的关键．12．D解析：D【分析】已知∠ADC ＝∠BAC ，则A 、B 选项可根据有两组角对应相等的两个三角形相似来判定；C 选项可以根据两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似来判定；D 选项虽然也是对应边成比例但无法得到其夹角相等，所以不能推出两三角形相似.【详解】在△ADC 和△BAC 中，∠ADC ＝∠BAC ，如果△ADC ∽△BAC ，需满足的条件有：①∠DAC ＝∠ABC 或AC 是∠BCD 的平分线；②AD DC AB AC=；故选：D ．【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定方法；熟记三角形相似的判定方法是解决问题的关键．二、填空题13．【分析】由折叠的性质得EF=BE=AE=1CE ⊥BD 设EG=x 可得CG=2x 再根据∆BEG~∆CBG∆BEG~∆CEB 即可求解【详解】解：∵E 为AB 中点∴AE=EB=1∵把沿直线CE对折使点B落在B解析：2【分析】由折叠的性质得EF=BE=AE=1，CE⊥BD，设EG=x，可得CG=2x，再根据∆BEG~∆CBG，∆BEG~∆CEB，即可求解．【详解】AB=，解：∵E为AB中点，2∴AE=EB=1，∆沿直线CE对折，使点B落在BD上的点F处，∵把BCE∴EF=BE=AE=1，CE⊥BD，设CE与BD交于点G，EG=x，∵CD∥AB，∴CG：EG=CD：EB，∴CG=2x，∵BG⊥EC，EB⊥BC，∴∆BEG~∆CBG，∴BG2=CG∙EG∴BG=2x，同理：∆BEG~∆CEB，∴BG：CB=EG：EB，∴BC=AD=2．故答案是：2．【点睛】本题主要考查矩形的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握“母子相似三角形”模型，是解题的关键．14．44π【分析】证明△OBQ∽△OAP根据相似三角形的性质求出AP根据圆的面积公式计算得到答案【详解】解：如图由题意得OB=08mOQ=OP-PQ=3-1=2（m）BQ∥AP∴△OBQ∽△OAP∴即解解析：44π【分析】证明△OBQ∽△OAP，根据相似三角形的性质求出AP，根据圆的面积公式计算，得到答案．【详解】解：如图，由题意得，OB=0.8m ，OQ=OP-PQ=3-1=2（m ），BQ ∥AP ，∴△OBQ ∽△OAP ， ∴BQ OQ AP OP =，即0.823AP =，解得，AP=1.2（m ），则地面上阴影部分的面积=π×1.22=1.44π（m 2），故答案为：1.44π．【点睛】本题考查的是相似三角形的应用，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 15．6【分析】通过证明△ABC ∽△EFD 可得即可求解【详解】解：∵∠A ＝50°∠B ＝60°∴∠C ＝70°∵∠B ＝∠F ＝60°∠C ＝∠D ∴△ABC ∽△EFD ∴∴∴n ＝6故答案为6【点睛】本题考查了相似三角解析：6【分析】通过证明△ABC ∽△EFD ，可得AB BC EF DF =，即可求解．【详解】解：∵∠A ＝50°，∠B ＝60°，∴∠C ＝70°，∵∠B ＝∠F ＝60°，∠C ＝∠D ，∴△ABC ∽△EFD ， ∴AB BC EF DF =， ∴392m m n=， ∴n ＝6，故答案为6．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理是本题的关键． 16．【分析】根据L1//L2//L3证明△AOF ∽△EOB ∽△DOC 根据相似三角形的性质即可得到结论【详解】解：∵L1//L2//L3∴∠AFO=∠OCD ∠AOF=∠COD ∴△AOF ∽△DOC 同理△BO 解析：AF CD BE- 【分析】根据L 1//L 2//L 3，证明△AOF ∽△EOB ∽△DOC ，根据相似三角形的性质即可得到结论．【详解】解：∵L 1//L 2//L 3，∴∠AFO=∠OCD ，∠AOF=∠COD∴△AOF ∽△DOC ，同理，△BOE ∽△COD ，△AOF ∽△EOB ， ∴AO AF OE BE =，即AO BE AF OE = ∴OE BE OD CD =， ∴OE BE OE ED CD=+ ∴OE CD BE OE BE ED ⋅=⋅+⋅ ∴()AO AF OE OE CD BE OE AF OE BE ED BE BE BE OE AF C CD BE B D E-=÷=⋅=-- 故答案为：AF CD BE - 【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关定理是解答此题的关键． 17．或或【分析】分三种情况讨论当时则则当时由则当时则则再利用相似三角形的性质求解的坐标即可【详解】解：点是线段的中点当时则如图当时由如图当时则综上：或或故答案为：或或【点睛】本题考查的是坐标与图形三角形解析：(0,3)或(4,0)或70,4⎛⎫ ⎪⎝⎭ 【分析】分三种情况讨论，当PC OA ⊥时，则//,PC OB 则APC AOB ∽，当PC AB ⊥时，由90,,PCB AOB PBC ABO ∠=∠=︒∠=∠ 则BCP BOA △∽△，当CP OB ⊥时，则//,PC OA 则,BCP BAO ∽ 再利用相似三角形的性质求解P 的坐标即可．【详解】解：()()06,8,0,A B ，点C 是线段AB 的中点，6,8,10,OA OB AB ∴==== 15,2AC AB == 当PC OA ⊥时，则//,PC OB ∴ APC AOB ∽，,AP AC AO AB ∴= 162AP ∴=， ()3,0,3,AP P ∴=如图，当PC AB ⊥时，由90,,PCB AOB PBC ABO ∠=∠=︒∠=∠∴ BCP BOA △∽△，,BC BP BO BA∴= 5,810BP ∴= 25,4BP ∴= 2578,44OP ∴=-=7,0,4P ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭如图，当CP OB ⊥时，则//,PC OA,BCP BAO ∴∽,BC BP BA BO∴= 1,28BP ∴= 4,BP ∴=4,OP ∴=()4,0.P ∴综上：()0,3P 或7,04P ⎛⎫ ⎪⎝⎭或()4,0.P 故答案为：()0,3P 或7,04P ⎛⎫⎪⎝⎭或()4,0.P 【点睛】本题考查的是坐标与图形，三角形相似的判定与性质，掌握以上知识是解题的关键． 18．12【分析】首先利用以及平行四边形对边相等分别得到DE 与CEDE 与AB 的比值；再根据平行四边形的性质得出进而推出再根据相似三角形面积比为相似比的平方得出和的面积进而得出四边形的面积即可推出的面积【详解析：12【分析】首先利用2CD DE =，以及平行四边形对边相等，分别得到DE 与CE 、DE 与AB 的比值；再根据平行四边形的性质得出AB CD ∥，AD BC ∥，进而推出DEF CEB ∽△△，DEF ABF ∽再根据相似三角形面积比为相似比的平方得出CEB △和ABF 的面积，进而得出四边形BCDF 的面积，即可推出ABCD 的面积.【详解】解：∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AD BC =，AB CD =，∵2CD DE =，∴3CE DE =，2AB DE =， ∴13DE CE =，12DE AB =， ∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AB CD ∥，AD BC ∥，∴DEF CEB ∽△△，DEF ABF ∽， ∴21()9DEF CEB S DE S EC ==△△，21()4DEF ABF S DE S AB ==△△， ∵DEF 的面积为1，∴=9CEB S △，S =4ABF △，∴=S 918BCDF CEB DEF S S -=-=△△，∴=+=8+4=12ABCD BCDF S S S △ABF .故答案为12.【点睛】本题主要考查平行四边形的性质相似三角形的性质和判定，关键在于利用相似三角形的面积比等于相似比的平方.19．296【分析】（1）根据平行四边形的性质得到AE=CE 根据相似三角形的性质得到比例式等量代换得到AF=AD 于是得到2；（2）先得出再利用E 为AO 的中点AO=CO 得出进而得出结果【详解】解：（1）∵在解析：2， 96【分析】（1）根据平行四边形的性质得到AE=13CE ，根据相似三角形的性质得到比例式，等量代换得到AF=13AD ，于是得到FD AF=2；（2）先得出936CEB AEF SS ==，再利用E 为AO 的中点，AO=CO ，得出48ABC S =△，进而得出结果．【详解】解：（1）∵在▱ABCD 中，AO=12AC ， ∵点E 是OA 的中点， ∴AE=13CE ， ∵AD ∥BC ， ∴△AFE ∽△CBE ， ∴13AF AE BC CE ==，∵AD=BC ，∴AF=13AD ， ∴FD AF=2；（2）由（1）得△AFE ∽△CBE ，且13AE CE =，AEF 的面积为4， ∴936CEB AEF S S == ，∵E 为AO 的中点，AO=CO ，∴1123BAE CEB S S ==，∴48ABC S =△，∴296ABC ABCD S S==四边形，故答案为：2，96．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 20．【分析】先延长EF 和BC 交于点G 再根据条件可以判断三角形ABE 为等腰直角三角形并求得其斜边BE 的长然后根据条件判断三角形BEG 为等腰三角形最后根据△EFD ∽△GFC 得出CG 与DE 的倍数关系并根据BG解析：824+【分析】先延长EF 和BC ，交于点G ，再根据条件可以判断三角形ABE 为等腰直角三角形，并求得其斜边BE 的长，然后根据条件判断三角形BEG 为等腰三角形，最后根据△EFD ∽△GFC 得出CG 与DE 的倍数关系，并根据BG ＝BC ＋CG 进行计算即可．【详解】解：如图，延长EF 和BC ，交于点G ，∵矩形ABCD 中，∠B 的角平分线BE 与AD 交于点E ，∴∠ABE ＝∠AEB ＝45°，∴ AB ＝AE ＝12，∴直角三角形ABE 中，2212122BE +==又∵∠BED 的角平分线EF 与DC 交于点F ，∴∠BEG ＝∠DEF ，∵AD//BC ，∴∠G ＝∠DEF ，∴∠BEG ＝∠G ，∴BG ＝BE ＝，∵∠G ＝∠DEF ，∠EFD ＝∠GFC ，∴△EFD ∽△GFC ， ∴12CG CF DE DF ==，设CG ＝x ，DE ＝2x ，则AD ＝12＋2x ＝BC ，∵BG ＝BC ＋CG ，∴＝12+2x+x解得：x ＝4，∴ )12244BC=+=，故答案为：4+【点睛】本题主要考查了矩形、相似三角形以及等腰三角形，解决问题的关键是掌握矩形的性质：矩形的四个角都是直角，矩形的对边相等．解题时注意：有两个角对应相等的两个三角形相似．三、解答题21．（1）证明见解析；（2）CB =【分析】（1）根据三角形外角的性质易证A DBC ∠=∠，再根据∠C 为公共角，即可证明相似；（2）根据相似三角形对应边成比例，即可求得CB 的值．【详解】解：（1）∵ADB A C ∠=∠+∠，ADB DBC C ∠=∠+∠，∴A DBC ∠=∠，∵∠C=∠C ，∴△CBD ∽△CAB ；（2）∵1,2CD AD ==，∴3AC AD DC =+=，∵△CBD ∽△CAB ， ∴CD CB CB AC=，∴13CB CB =，即CB =．【点睛】本题考查相似三角形的性质和判定，三角形外角的性质．在证明三角形相似时，不要忽略公共角相等这一条件．22．（1）见解析；（2）见解析．【分析】（1）由三角形的内和定理，角的和差求出∠ADE ＝∠C ，根据两边对应成比例及夹角相等证明△ADF ∽△ACG ，其性质和角平分线的定义得AG 平分∠BAC ；（2）由两对应角相等证明△AEF ∽△ABG ，△ADF ∽△AGC ，其性质得EF AF BG AG =，DF AF CG AG=，再根据等式的性质求出EF•CG ＝DF•B G ．【详解】（1）证明：180DAE AED ADE ∠+∠+∠=︒，180BAC B C ∠+∠+∠=︒，AED B ∠=∠，ADE C ∴∠=∠，在ADF 和ACG 中， ::AD AC DF CG ADE C=⎧⎨∠=∠⎩ ADF ∴∽ACG ，DAF CAG ∴∠=∠，AG ∴平分BAC ∠；（2）证明：在AEF 和ABG 中，AED B EAF BAG ∠=∠⎧⎨∠=∠⎩， AEF ∴∽ABG ，EF AF BG AG∴=，在ADF 和AGC 中，DAF CAG ADF C ∠=∠⎧⎨∠=∠⎩， ADF ∴∽AGC ，DF AF CG AG∴=， EF DF BG CG∴=， EF CG DF BG ∴⋅=⋅ ．【点睛】本题综合考查了三角形的内角和定理，相似三角形的判定与性质，角的和差，等量代换，等式的性质等相关知识点，重点掌握相似三角形的判定与性质，难点是利用等式的性质将比例式转换成乘积式．23．（1）23，35；（2）35DM EN =，35BM CN =；（3）4 【分析】（1）在Rt ABC 中，由勾股定理求出10AC ==，由2AD DB =，可得3AB DB =，由//DE BC ，截线段成比例2233AD DE AE DB AB BC AC DB ====，由AD AE AB AC =，分比AB AD AC AE AB AC --=，即BD EC AB AC=即可（2）由旋转性质可知：AD AM =，AE AN =，BAM CAN =∠∠，由35AB AM AC AN ==，BAM CAN =∠∠，可得ABM ACN △△，由性质35BM AB CN AC ==，ABM ACN ∠=∠，可证DBM ECN △∽△，利用性质35DM BM DB EN CN EC ===；（3）如图4，连接OB ，OE ，由点O 是AC （DF ）的中点，ABC 和DEF 同为等边三角形，可知90BOC DOE ∠=∠=︒，可推得AOD BOE ∠=∠，由::AO BO OD OE ==AOD BOE ∠=∠，可证AOD BOE ∽△△，可得:AD BE =，可求BO =OE =BE BO OE <+，当B 、O 、E 三点共线时（如图5），BE 存在最大值为BE BO OE =+=即可求出．【详解】解：（1）23，35；解答如下：在Rt ABC 中，10AC ==，∵2AD DB =，∴3AB AD DB DB =+=，∵//DE BC ， ∴2233AD DE AE DB AB BC AC DB ====， ∵AD AE AB AC=，∴AB AD AC AE AB AC --=，即BD EC AB AC =， ∴63105BD AB EC AC ===，故答案为：23，35；（2）由旋转性质可知：AD AM =，AE AN =，BAM CAN =∠∠， ∵35AB AM AC AN ==，BAM CAN =∠∠， ∴ABM ACN △△， ∴35BM AB CN AC ==，ABM ACN ∠=∠， ∵35BM DB CN EC ==，ABM ACN ∠=∠， ∴DBM ECN △∽△， ∴35DM BM DB EN CN EC ===；（3）BE AD -的最大值为4；提示如下：如图4，连接OB ，OE ，∵点O 是AC （DF ）的中点，ABC 和DEF 同为等边三角形，由三线合一性质可知90BOC DOE ∠=∠=︒，∴BOD COE ∠=∠，∴AOB BOD BOC COE ∠+∠=∠+∠，即AOD BOE ∠=∠，∵::3AO BO OD OE ==，AOD BOE ∠=∠， ∴AOD BOE ∽△△，∴:AD BE =， ∵36AB EF ==， ∴BO =OE =在BOE △中，由三边关系可得，BE BO OE <+，当B 、O 、E 三点共线时（如图5），BE 存在最大值为BE BO OE =+=，∵BE AD BE BE -==，∴当BE 存在最大值时，BE AD -的最大值343=⨯=．【点睛】本题考查三角形全等变换，勾股定理，平行线截比，比例性质，相似三角形的判定与性质，三边关系，线段和差最值，掌握三角形全等的性质，勾股定理，平行线截比，比例性质，相似三角形的判定与性质，三边关系，线段和差最值，解题关键是根据相似求出线段BO 与OE ．24．（1）见解析；（2）∠ACB 的度数为96°或114°；（3）2BC =【分析】（1）由题意可求出1402ACD BCD ACB ∠=∠=∠=°，即证明40ACD A ∠=∠=︒，即△ACD 为等腰三角形．又因为∠CBD =∠ ABC ，可证明△BCD ∽△BAC ，即推出CD 是△ABC 的完美分割线．（2）分情况讨论①当AD =CD 时②当AD =AC 时③当AC =CD 时，根据题意和完美分割线的定义即可求出∠ACB 的大小．（3）根据题意和完美分割线的定义可知，AC =AD =2，△BCD ∽△BAC ，即推出BD CD BC CA=，即可求出BC 长．【详解】（1）∵40A ∠=︒，60B ∠=︒，∴ 18080ACB A B ∠=︒-∠-∠=︒，∵A B ACB ∠≠∠≠∠，∴ △ABC 不是等腰三角形．∵CD 平分∠ ACB ， ∴1402ACD BCD ACB ∠=∠=∠=°， ∴40ACD A ∠=∠=︒，∴ △ACD 为等腰三角形．∴ 40BCD A ∠=∠=︒，∠CBD =∠ ABC ，∴ △BCD ∽△BAC ，∴ CD 是△ABC 的完美分割线．（2）①如图，当AD =CD 时，∠ACD =∠ A =48°，根据完美分割线的定义，可得△BDC ∽△BCA ，∴∠BCD =∠A =48°，∴∠ACB =∠ACD +∠BCD =96°．②如图，当AD =AC 时，∠ACD =∠ ADC =18048662︒-︒=︒，根据完美分割线的定义，可得△BDC ∽△BCA ，∴∠BCD =∠A =48°，∴∠ACB =∠ACD +∠BCD =114°．③如图，当AC =CD 时，∠ADC =∠ A =48°．∵△BDC ∽△BCA ，∴∠BCD =∠A =48°，根据完美分割线的定义，可得△BDC ∽△BCA ，∴∠BCD =∠A =48°，∴这与∠ADC >∠BCD 矛盾，所以该情况不符合题意．综上所述，∠ACB 的度数为96°或114°．（3）∵△ACD 是以CD 为底边的等腰三角形，AC =2， ∴AC =AD =2．∵△BCD ∽△BAC ， ∴BD CD BC CA = 3162--=，解得2BC = 【点睛】本题考查等腰三角形判定和性质，相似三角形的判定和性质．根据题意理解完美分割线的定义是解答本题的关键．25．（1）AMN ，证明见解析；（2）34【分析】（1）根据矩形的性质和平行线的性质证明即可；（2）作NH AM ⊥于H ，证明NAH AMB ∆∆∽，根据相似三角形的性质得到212AN BM AM =，根据相似三角形的性质即可得到结论．【详解】解：（1）AMN ∆是等腰三角形，证明：四边形ABCD 是矩形，//AD BC ∴，NAM BMA ∴∠=∠，又AMN AMB ∠=∠，AMN NAM ∴∠=∠，AN MN ∴=，即AMN ∆是等腰三角形；（2）如图，延长AD 和ME ，交于点N ，作NH AM ⊥于H ，AN MN =，NH AM ⊥，12AH AM ∴=， 90NHA ABM ∠=∠=︒，AMN AMB ∠=∠，NAH AMB ∴∆∆∽，∴AN AH AM BM=， 212AN BM AH AM AM ∴==， M 为BC 中点，112BM CM BC ∴===， 2223110AM =+=，5AN ，523DN ∴=-=，设DE x =，则3CE x =-，//AN BC ，∴DN DE CM CE =，即313x x=-，解得，94x =，即94DE =， 34CE ∴=．【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质、勾股定理的应用以及等腰三角形的性质和矩形的性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键，注意方程思想的正确运用．26．（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）利用关于x轴对称点的性质：横坐标相等，纵坐标互为相反数，可以求出1A、1B、C，进而可画出图形；1（2）利用位似图形的性质得出对应点的位置，即可画出图形．【详解】解：(1)如图所示：ΔA1B1C1即为所求；(2)如图所示，ΔA2B2C2即为所求．【点睛】本题考查关于对称轴对称的点的性质以及位似的性质，掌握相关性质是解题的关键．。

根据相似圆形性质与判定专项练习30题(有答案)

根据相似圆形性质与判定专项练习30题
(有答案)
本文档包含了30道与相似圆形性质与判定相关的专项练题，
每道题都提供了答案。

以下是题目示例：
1. 在一个圆形花坛中，有一个小圆形花坛，小花坛半径为4米。

如果大花坛半径为8米，请问两个花坛的面积比是多少？
答案：4:1
2. 一个园丁要修剪一个圆形花坛的草坪，该圆形花坛的直径为12米。

如果他使用的镰刀的剪刀的长度为4米，请问他一次能剪到多大的面积？
答案：48π
3. 一个地主要在一个圆形花坛周围建一个围栏，花坛的半径为
6米。

如果地主要使用木板作为围栏，每块木板的长度为8米，请
问他需要多少块木板？
答案：12块
......
通过这些练题，学生们可以加深对相似圆形性质与判定的理解，巩固相关知识，并提高解题能力。

每道题都提供了详细答案，学生
们可以通过对比自己的解答与答案，来检验自己的理解情况。

希望本文档能够帮助学生们对相似圆形性质与判定有更深入的
了解，并在考试中取得好成绩。

祝学习顺利！。

《相似形》全章复习与巩固--知识讲解(提高)

《相似形》全章复习与巩固--知识讲解（提高）撰稿：康红梅审稿：杜少波【学习目标】1.了解比例的基本性质，线段的比、成比例线段；2.掌握黄金分割的定义、性质及应用；3.探索并掌握相似三角形的判定方法及性质，并能利用这些性质和判定方法解决生活中的一些实际问题；4.了解图形在平面直角坐标系中的位似变换.【知识网络】【要点梳理】要点一、比例线段比例线段：对于四条线段a 、b 、c 、d ，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如a :b =c :d ，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．要点诠释：（1）若a :b =c :d ，则ad=bc ；（d 也叫第四比例项）（2）若a :b=b :c ，则2b =ac （b 称为a 、c 的比例中项）．要点二、黄金分割1.定义：如图，将一条线段AB 分割成大小两条线段AP 、PB ，若小段与大段的长度之比等于大段的长度与全长之比，即ABAPAP PB （此时线段AP 叫作线段PB 、AB 的比例中项），则P 点就是线段AB 的黄金分割点（黄金点），这种分割就叫黄金分割．2.黄金三角形：顶角为36°的等腰三角形，它的底角为72°，恰好是顶角的2倍，人们称这种三角形为黄金三角形．黄金三角形性质：底角平分线将其腰黄金分割．要点三、相似三角形 1. 相似三角形的判定:平行于三角形一边的直线和其他两边相交，截得的三角形和原三角形相似.定理1：如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似. 定理2：如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似.定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似. 特别地，如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似. 2. 相似三角形的性质：定理1：相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比. 定理2：相似三角形的周长的比等于相似比.定理3：相似三角形面积的比等于相似比的平方.要点诠释：要特别注意“对应”两个字，在应用时，要注意找准对应线段. 要点四、图形的位似变换1.位似图形定义: 如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都经过同一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．2.位似图形的性质:（1）位似图形的对应点和位似中心在同一条直线上；（2) 位似图形的对应点到位似中心的距离之比等于相似比；（3）位似图形中不经过位似中心的对应线段平行. 要点诠释：(1）位似图形与相似图形的区别：位似图形是一种特殊的相似图形，而相似图形未必能构成位似图形.（2）位似变换中对应点的坐标变化规律:在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k ，那么位似图形对应点的坐标的比等于k 或-k. 【典型例题】类型一、相似三角形1. 已知：如图，∠ABC =∠CDB =90°，AC =a ，BC =b ，当BD 与a 、b 之间满足怎样的关系时，这两个三角形相似？【答案与解析】∵AC =a ，BC =b ， ∴AB=22a b -，①当△ABC ∽△BDC 时，BD BCAB AC=, 即22b a b BD a-=.②当△ABC∽△CDB时，BD BCCB AC=，即2b BDa=.【总结升华】相似三角形中未明确对应点和对应边时，要注意分类讨论.举一反三【变式】如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8,沿直线MN对折，使A、C重合，直线MN交AC于O.（1）求证：△COM∽△CBA；（2）求线段OM的长度.【答案】（1）证明：Q A与C关于直线MN对称，∴AC⊥MN，∴∠COM=90°，在矩形ABCD中，∠B=90°，∴∠COM=∠B ，又Q∠ACB=∠ACB，∴△COM∽△CBA ，（2）Q在Rt△CBA中，AB=6，BC=8，∴AC=10 ，∴OC=5，Q△COM∽△CBA，∴OC OM=BC AB，∴OM=15 4.2.如图，在△ABC中，∠C＝90°，将△ABC沿直线MN翻折后，顶点C恰好落在AB边上的点D处，已知MN∥AB，MC＝6，NC＝23，则四边形MABN的面积是（）A ．63B ．123C ．183D ．243【答案】C ；【解析】由MC ＝6，NC ＝23，∠C＝90°得S △CMN =63，再由翻折前后△CMN ≌△DMN 得对应高相等；由MN∥AB 得△CMN ∽△CAB 且相似比为1:2，故两者的面积比为1:4，从而得S △CMN ：S 四边形MABN =1:3，故选C.【总结升华】本题综合考查了直角三角形的面积算法、翻折的性质、由平行得相似的三角形相似的判定方法、相似图形的面积比等于相似比的平方等一些类知识点.知识点丰富；考查了学生综合运用知识来解决问题的能力.难度较大.类型二、相似三角形的综合应用3. 如图，点D 是△ABC 的边AB 的延长线上一点，点F 是边BC 上的一个动点（不与点B 重合）.以BD 、BF 为邻边作平行四边形BDEF ，又AP //BE （点P 、E 在直线AB 的同侧），如果AB BD 41=，求△PBC 的面积与△ABC 面积之比. PGF EDCB A【答案与解析】连接FP, 延长AP 交BC 的延长线于H, 过点A 、P 分别作,AM BC PN BC ⊥⊥,垂足M 、N.NMD A CB∵四边形BDEF 是平行四边形，EF ∥AD,又AP //BE ，∴E 、F 、P 共线，即PF ∥AB,四边形APEB 是平行四边形，∴EP=AB ，又∵ABBD 41=，∴ EF=DB=14AB=13PF,∴PF=34AB, ∵△ABH ∽△PFH,∴34PN PF AM AB ==, ∴34PBC ABC S PN S AM ==△△. 【总结升华】此题应用了平行四边形，相似三角形和三角形面积的相关知识，能够合理作出辅助线是解决本题的关键，4.如图所示，已知AB 为⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为H.(1)求证；(2)若过A 的直线与弦CD(不含端点)相交于点E ，与⊙O 相交于点F ，求证：；(3)若过A 的直线与直线CD 相交于点P ，与⊙O 相交于点Q ，判断是否成立(不必证明).【答案与解析】(1)证明：连结CB ，因为AB 是⊙O 的直径，所以∠ACB=90°.而∠CAH=∠BAC ，所以△CAH ∽△BAC ，所以，即.(2)证明：连结FB ，易证△AHE ∽△AFB ，所以AE ·AF=AH ·AB ，所以. (3)解：结论成立.【总结升华】本题考查了圆有关的性质和相似三角形知识的综合运用，并且渗透了转化思想，即将等积式转化为比例式．举一反三：【变式】如图，M 为线段AB 的中点，AE 与BD 交于点C ，∠DME＝∠A＝∠B＝α ，且DM 交AC 于F ，ME 交BC 于G ．（1）写出图中三对相似三角形，并证明其中的一对；（2）连结FG ，如果α＝45°，AB ＝42，AF ＝3，求FG 的长．【答案】（1）△AMF∽△BGM，△DMG∽△DBM，△EMF∽△EAM以下证明△AMF∽△BGM．∵∠AFM＝∠DME＋∠E＝∠A＋∠E＝∠BMG，∠A＝∠B ∴△AMF∽△BGM．（2）当α＝45°时，可得AC⊥BC 且AC ＝BC∵M 为AB 的中点，∴AM＝BM ＝22，又∵AMF∽△BGM，∴AF BMAM BG=， ∴3832222=⨯=⋅=AF BM AM BG ，又∵α＝45°，AB ＝42，∴AC=BC=4， ∴84433CG =-=，431CF =-=， ∴2222451()33FG CF CG =+=+= .5. 如图，已知在四边形ABCD 中，AD //BC ，AD =2，BC =4，点M 是AD 的中点，△MBC 是等边三角形.动点P 、Q 分别在线段BC 和MC 上运动，且∠MPQ=60°保持不变．设PC =x ，MQ =y ，求y 与x 的函数关系式．【答案与解析】在等边MBC △中，4MB MC BC ===，60MBC MCB ==︒∠∠，又∵60MPQ =︒∠，∴120BMP BPM BPM QPC +=+=︒∠∠∠∠， ∴BMP QPC =∠∠， ∴BMP CQP △∽△， ∴PC CQBM BP=， ∵PC x MQ y ==， ∴44BP x QC y =-=-，，∴444x yx-=- ， ∴2144y x x =-+.【总结升华】利用相似三角形得到的比例式，构建线段关系求得函数关系，关键是能够灵活运用所学知识来解题.举一反三【变式】如图所示，在Rt △ABC 中，∠A=90°，AB=8，AC=6．若动点D 从点B 出发，沿线段BA 运动到点A 为止，运动速度为每秒2个单位长度．过点D 作DE ∥BC 交AC 于点E ，设动点D 运动的时间为x 秒，AE 的长为y ．(1)求出y 关于x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；(2)当x 为何值时，△BDE 的面积S 有最大值，最大值为多少?【答案】(1)因为DE ∥BC ，所以△ADE ∽△ABC ，所以.又因为AB=8，AC=6，，，所以，即，自变量x 的取值范围为. (2).所以当时，S 有最大值，且最大值为6.类型三、黄金分割6.如图，用纸折出黄金分割点：裁一张正方的纸片ABCD ，先折出BC 的中点E ，再折出线段AE ，然后通过折叠使EB 落到线段EA 上，折出点B 的新位置B ′，因而EB ′=EB ．类似地，在AB 上折出点B ″使AB ″=AB ′．这是B ″就是AB 的黄金分割点．请你证明这个结论．【答案与解析】设正方形ABCD 的边长为2， E 为BC 的中点， ∴BE=1∴AE=225AB BE +=，又B ′E=BE=1，∴AB ′=AE-B ′E=5-1，∵AB″=AB′=5-1∴AB″：AB=(5-1):2∴点B″是线段AB的黄金分割点．【总结升华】本题考查了黄金分割的应用，知道黄金比并能求出黄金比是解题的关键．举一反三【变式】如图，已知△ABC中，D是AC边上一点，∠A=36°，∠C=72°，∠ADB=108°．求证：（1）AD=BD=BC；（2）点D是线段AC的黄金分割点．【答案】（1）∵∠A=36°，∠C=72°，∴∠ABC=72°，∠ADB=108°，∴∠ABD=36°，∴△ADB、△BDC是等腰三角形，∴AD=BD=BC．（2）∵∠DBC=∠A=36°，∠C=∠C，∴△ABC∽△BDC，∴BC：AC=CD：BC，∴BC2=AC•DC，∵BC=AD，∴AD2=AC•DC，∴点D是线段AC的黄金分割点．。

苏科版初三《圆》章节知识点复习专题

一、圆的概念集合形式的概念：1. 圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合； 2.圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合； 3.圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合轨迹形式的概念：1.圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；2.垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）；3.角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；4.到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；5.到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。

二、点与圆的位置关系1.点在圆内 ⇒ d r < ⇒ 点C 在圆内；2.点在圆上 ⇒ d r = ⇒ 点B 在圆上；3.点在圆外 ⇒ d r > ⇒ 点A 在圆外；三、直线与圆的位置关系1.直线与圆相离 ⇒ d r > ⇒ 无交点；2.直线与圆相切 ⇒ d r = ⇒ 有一个交点；3.直线与圆相交 ⇒ d r < ⇒ 有两个交点；A四、圆与圆的位置关系外离（图1）⇒ 无交点 ⇒ d R r >+；外切（图2）⇒ 有一个交点 ⇒ d R r =+；相交（图3）⇒ 有两个交点 ⇒ R r d R r -<<+；内切（图4）⇒ 有一个交点 ⇒ d R r =-；内含（图5）⇒ 无交点 ⇒ d R r <-；五、垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。

推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即：①AB 是直径 ②AB CD ⊥ ③CE DE = ④ 弧BC =弧BD ⑤ 弧AC =弧AD 中任意2个条件推出其他3个结论。

专题20 圆的基本性质-备战2022年中考数学题源解密(原卷版)

专题20 圆的基本性质考向 1 圆的基本概念及计算【母题来源】（2021·浙衢州）【母题题文】已知扇形的半径为6，圆心角为150°，则它的面积是（） A ．πB ．3πC ．5πD ．15π【母题来源】（2021·浙江温州）【母题题文】若扇形的圆心角为30°，半径为17，则扇形的弧长为．【试题分析】以上考题考察了扇形的弧长公式与面积公式；【命题意图】通过题目的应用，考察考生对这两个公式的掌握程度；【命题方向】在浙江中考中，对圆的基本概念的考察多以选择或者填空题出现，一般都是公式的直接应用，难度不大，准确记忆扇形的面积公式与弧长公式即可解决。

【得分要点】1. 圆的有关概念弦连接圆上任意两点的线段叫做弦。

直径经过圆心的弦叫做直径。

弧圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。

优弧大于半圆的弧叫做优弧。

劣弧小于半圆的弧叫做劣弧。

2. 圆的有关计算公式常用公式：Lr r n S r n L 213601802===π，π扇形三角形扇形弓形S S S ±=考向2 垂径定理及其推论【母题来源】（2021·浙江湖州）【母题题文】如图，已知AB是⊙O的直径，∠ACD是所对的圆周角，∠ACD＝30°．（1）求∠DAB的度数；（2）过点D作DE⊥AB，垂足为E，DE的延长线交⊙O于点F．若AB＝4，求DF的长．【母题来源】（2021·浙江金华）【母题题文】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以该三角形的三条边为边向外作正方形，正方形的顶点E，F，G，H，M，N都在同一个圆上．记该圆面积为S1，△ABC面积为S2，则的值是（）A．B．3πC．5πD．【母题来源】（2021·浙江丽水）【母题题文】如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥OA于点E，连结OC，OD．若⊙O的半径为m，∠AOD＝∠α，则下列结论一定成立的是（）A．OE＝m•tanαB．CD＝2m•sinαC．AE＝m•cosαD．S△COD＝m2•sinα【试题分析】以上考题考察了圆的垂径定理及其推论；【命题意图】通过题目的设置。