江苏省南京九年级(上)期初数学试卷

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2022-2023学年江苏省南京市鼓楼区九年级(上)期中数学试题及答案解析

2022-2023学年江苏省南京市鼓楼区九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共6小题，共12.0分。

在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1. 已知⊙O的半径为2cm，点P到圆心O的距离为2cm，则点P在⊙O( )A. 外B. 内C. 上D. 无法确定2. 下列方程中，没有实数根的是( )A. x2=xB. x2+1=0C. x2+2x+1=0D. x2+2x−1=03. 20名同学参加某比赛的成绩统计如表，则成绩的众数和中位数(单位：分)分别为( )成绩/分80859095人数/人2864A. 85，85B. 85，87.5C. 85，90D. 90，904. 已知关于x的一元二次方程(m−1)x2−2x+m2−m=0有一根为0，则m的值是( )A. 0B. 1C. 0或1D. 0或−15. 如图，正方形ABCD、等边三角形AEF内接于同一个圆，则BE⏜的度数为( )A. 15°B. 20°C. 25°D. 30°6. 如图，在一张Rt△ABC纸片中，∠ACB=90°，BC=3，AC=4，⊙O是它的内切圆．小明用剪刀沿着⊙O的切线DE剪下一块三角形ADE，则△ADE的周长为( )A. 4B. 5C. 6D. 8二、填空题（本大题共10小题，共20.0分）7. 方程x2=1的解是______．8. 已知⊙O的半径为10cm，圆心O到直线l的距离为12cm，则直线l与⊙O的位置关系是______．9. 书香相伴，香满校园，某校9月份借阅图书500本，11月借阅图书845本，设该校这两个月借阅图书的月均增长率为x，根据题意可列方程为______，x=______．10. 设x1，x2是一元二次方程x2−3x−2=0的两个根，则x1x2−x1−x2=______．11. 正六边形ABCDEF内接于⊙O，⊙O的半径为1，则由半径OA，OC和AC⏜围成的扇形的面积为______．12. 若一组数据x1，x2，x3，x4，x5的平均数是a，另一组数据x1+2，x2+3，x3−5，x4−2，x5+1的平均数是b，则a______b(填写“>”、“<”或“=”)．13. 将半径为3cm面积为3πcm2的扇形纸片围成一个无底盖的圆锥(接缝处忽略不计)，该圆锥的底面半径为______cm．14. 如图，圆的内接五边形ABCDE满足CD=ED，CD//AE，∠ABC=140°，则∠D=______．15. 已知m是方程x2−3x−1=0的一个根，则m3−10m=______．16. 如图，在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径是1.过⊙O上一点P作等边三角形PDE，使点D，E分别落在x轴、y轴上，则PD的取值范围是______．三、解答题（本大题共11小题，共88.0分。

2023-2024学年江苏省南京市鼓楼区九年级(上)期中数学试卷(含答案)

2023-2024学年江苏省南京市鼓楼区九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分.在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的序号填涂在答题卡相应位置上）1．（2分）下列方程中，是一元二次方程的是（）A．x﹣1＝0B．x2＝3C．4x﹣3y＝3D．x2﹣y2＝3 2．（2分）已知⊙O的半径为3，平面内点P到圆心O的距离为，则点P与⊙O的位置关系（）A．点P在⊙O外B．点P在⊙O上C．点P在⊙O内D．无法确定3．（2分）二次函数y＝2（x﹣3）2+2的图象的顶点坐标是（）A．（3，2）B．（﹣3，2）C．（3，﹣2）D．（﹣3，﹣2）4．（2分）如图，在长40m、宽22m的矩形地面内，修筑两条同样宽且互相垂直的道路，余下的部分铺上草坪，要使草坪的面积达到760m2，设道路的宽为x m，则根据题意，可列出方程（）A．（40﹣x）（22﹣x）＝760B．（40+x）（22+x）＝760C．40×22﹣40x﹣22x＝760D．40×22﹣40x﹣22x﹣x2＝7605．（2分）二次函数y＝ax2+bx+c的图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表所示．x⋯﹣1012⋯y⋯0343⋯下列说法中，正确的是（）A．图象的开口向上B．图象经过点（4，0）C．图象与x轴只有一个公共点D．点（2，3）右边的图象呈下降趋势6．（2分）如图，在⊙O中，动弦AB与直径CD相交于点E且总有∠BED＝45°，则AE2+BE2的值（）A．随着OE的增大而增大B．随着OE的增大而减小C．随着OE的增大先增大后减小D．保持不变二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分.不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题7．（2分）写出一个一元二次方程，使它的两个根分别是3、﹣2．8．（2分）已知圆锥的底面半径为6，母线长为10，则此圆锥的侧面积为．9．（2分）若点（1，y1）与（2，y2）都在函数y＝﹣x2+3的图象上，则y1，y2的大小关系是．10．（2分）若扇形的半径为3，圆心角120°，为则此扇形的弧长是．11．（2分）若一元二次方程x2+mx﹣3＝0（m为常数）的一个根是x＝1，则另一个根是．12．（2分）如图是函数y＝ax2+bx+c的部分图象，则该函数图象与x轴负半轴的交点坐标是．13．（2分）已知⊙O的半径等于4cm，AB为⊙O的弦，其长为4cm，则弦AB所对的圆周角的度数为．14．（2分）五边形ABCDE为圆的内接五边形，其中AB＝AE，∠A＝100°，则∠B+∠D ＝°．15．（2分）如图，AB是⊙O的直径，若∠E＝25°，∠CAD＝45°，则∠CDA的度数为°．16．（2分）等边△ABC的边长是，直线l经过等边△ABC的外心O，过B作BD⊥l，垂足为D，连接CD，则CD的最小值是．三、解答题（本大题共11小题，共88分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（8分）解下列方程．（1）（x﹣1）2﹣16＝0；（2）x2﹣3x+1＝0．18．（7分）已知二次函数y＝x2﹣mx+1的图象经过点（2，3）．（1）求m的值；（2）该二次函数的图象是否经过点（﹣2，6）？判断并说明理由．19．（7分）如图，在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB与小圆相切于点P．（1）求证AP＝BP；（2）已知图中阴影部分面积为10π，求弦AB的长．20．（8分）一个直角三角形的两条直角边长度之和是10cm，面积是12cm2，求斜边的长．21．（7分）二次函数图象的顶点为（﹣1，2），图象经过（0，1）．（1）求该二次函数的表达式；（2）结合图象，直接写出当﹣2≤x≤3时y的取值范围．22．（8分）尺规作图：作已知圆的一条直径．要求：①保留作图痕迹；②用两种不同方法作图．23．（8分）已知关于x的方程x2﹣4x+4﹣k2＝0（k为常数）．（1）求证：不论k取何值时，该方程总有实数根．（2）方程的两个实数根可能都是负根吗？判断并说明理由．24．（8分）如图是二次函数y＝x2﹣2x﹣3的大致图象．（1）求该图象顶点的坐标；（2）该图象经过怎样的平移可以得到函数y＝x2的图象？（3）将该图象绕原点旋转180°直接写出所得图象对应的表达式．25．（8分）某商店八月份的销售额为30万元，九月份因经营不善销售额有明显下降，商店积极改进，十月份的销售额恢复到30万元，已知十月份销售额的增长率是九月份销售额的下降率的1.5倍．求九月份的销售额．26．（10分）如图，AB是⊙O的直径，∠BAC＝90°，BC与⊙O相交于点E，D是AC的中点，直线DE与直线AB相交于点F．（1）求证：DF是⊙O的切线．（2）已知AB＝4，当AC长度变化时，AF的长也随之变化．①当AC＝时，AF＝6；②在整个变化过程中，AF的长是否存在最大值？判断并说明理由．27．（9分）小敏在查阅资料时得知：已知一个四边形各边长均为定值，当它的四个顶点在同一个圆上时，四边形的面积最大．从特殊验证已知四边形ABCD的各边长依次为7，15，20，24，求它的面积S何时最大？小敏的演算纸解：分别考虑LB为直角、钝角或锐角的情形．Ⅰ．∠B为直角易得S＝⋯Ⅱ．∠B为钝角易证当∠ABC为钝角时，∠ADC也为钝角．设两条垂线段AE＝x，AF＝y．…Ⅲ．∠B为锐角同理可得Ⅱ中结论综上所述，S的最大值为…．（1）探索情形Ⅰ：①求证：点A，B，C，D在同一个圆上．②S的值为．（2）探索情形Ⅱ：说明此时S的值小于情形Ⅰ中S的值．向一般进发（3）已知四边形ABCD的各边长依次为6，8，8，12，借助已有结论对它展开探索，求它的面积S的最大值．2023-2024学年江苏省南京市鼓楼区九年级（上）期中数学试卷参考答案一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分.在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的序号填涂在答题卡相应位置上）1．B；2．C；3．A；4．A；5．D；6．D；二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分.不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题7．答案不唯一，正确即可，如：x2﹣x﹣6＝0；8．60π；9．y1＞y2；10．2π；11．﹣3；12．（﹣1，0）；13．45°或135°；14．220；15．35；16．2；三、解答题（本大题共11小题，共88分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（1）x1＝5，x2＝﹣3；（2）x1＝，x2＝．；18．（1）m的值是1．（2）点P（﹣2，6）不在这个二次函数图象上．； 19．（1）证明见解析；（2）2．；20．斜边长为cm．；21．（1）y＝﹣（x+1）2+2；（2）﹣14≤y≤2．；22．见解答．；23．（1）见解析；（2）不可能，理由见解析．；24．（1）该图象顶点的坐标为（1，﹣4）；（2）将该图象向左平移1个单位，再向上平移4个单位可得函数y＝x2的图象；（3）将该图象绕原点旋转180°直接写出所得图象对应的表达式为y＝﹣x2﹣2x+3．；25．九月份的销售额为20万元．；26．4；27．234；。

江苏省南京市金陵中学河西分校2024-2025学年九年级上学期期初考试数学试题

江苏省南京市金陵中学河西分校2024-2025学年九年级上学期期初考试数学试题一、单选题1．若关于x 的方程2310ax x ++=是一元二次方程，则a 满足的条件是（） A ．94a ≤ B ．0a > C ．0a ≠ D ．49>a 2．一元二次方程2650x x -+=配方可变形为（）A ．()234-=xB ．()2314x +=C ．()2314x -=D ．()234x += 3．下列说法：①同一圆上的点到圆心的距离相等；②如果某几个点到一个定点的距离相等，则这几个点共圆；③半径确定了，圆就确定了，其中正确的是（）A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③ 4．下列方程中两个实数根的和等于2的方程是（）A ．2x 2-4x+3=0B ．2x 2-2x-3=0C ．2y 2+4y-3=0D ．2t 2-4t-3=0 5．如图，四边形ABCD 的对角线AC BD 、相交于O ，且将这个四边形分成①②③④四个三角形，若::OA OC OB OD =，则下列结论正确的是（）A ．①和②相似B ．①和③相似C ．①和④相似D ．②和④相似 6．如图，已知在等腰Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AD 为BC 边的中线，过点C 作CE ⊥AD 于点E ，交AB 于点F ．若AC ＝2，则线段EF 的长为（）A ．35BCD ．23二、填空题7．若关于x 的一元二次方程220x x c -+=有两个相等的实数根，则c 的值为．8．两个相似多边形的相似比为12∶，则它们的周长的比为．9．如图，在O e 中，若120AOB ∠=︒，则弦AB 所对的弧的度数为．10．如图，D E 、分别在ABC V 边AB AC 、上，若DE BC ∥，2AD DB =，4DE =，则BC 的长为．11．物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图像投影的方法．如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）AB 经小孔O 在屏幕（竖直放置）上成像A B ''．设36c m AB =，24cm A B ''=．小孔O 到AB 的距离为30cm ，则小孔O 到A B ''的距离为cm ．12．如图是一张三角形纸片，4,2,5AC BC AB ===，小明将它沿虚线PQ 剪开，得到APQ △和四边形BCPQ 两张纸片，且满足CPQ B ∠=∠，则CP 长的取值范围是．13．若关于x 的方程()20x m a -+=（a 、m 为常数）的解是14x =，22x =-，则方程()20x m a ++=的解是．14．如图，ABC V 为等边三角形，点D ，E 分别在边,BC AB 上，60ADE ∠=︒．若4, 2.4BD DC DE ==，则AD 的长为．15．如图，矩形ABCD 的边2AB =，点E 、F 分别在边BC AD 、上，且四边形ABEF 为正方形．若矩形CDFE 与矩形ABCD 相似，则AD 的长为．16．如图，将一张矩形纸片ABCD 上下对折，使之完全重合，打开后，得到折痕EF ，连接BF ．再将矩形纸片折叠，使点B 落在BF 上的点H 处，折痕为AG ．若点G 恰好为线段BC 最靠近点B 的一个五等分点，2AB =，则BC 的长为．三、解答题17．解方程：(1)22x x =；(2)2410x x --=．18．如图，A 、B 、C 、D 是O e 上的四点，AB DC =．求证：AC BD =．19．如图，AB AC 、是O e 的两条弦，且AB AC =，求证：AO BC ⊥．20．已知关于x 的方程：220x kx --=．(1)求证：方程有两个不相等的实数根；(2)设方程的两根为1x 和2x ，若2126x x =，求实数k 的值．21．如图，AB 是O e 的直径，点C ，D 在O e 上，若»»AD CD=，求证：∥OD BC ．22．如图，网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点，以格点为顶点，分别按下列要求画三角形．(1)在图②中，请在网格中画一个与图①△ABC 相似的△DEF ；(2)在图③中，以O 为位似中心，画一个△A 1B 1C 1，使它与△ABC 的位似比为2：1． 23．如图，在矩形ABCD 中，E 是AD 边的中点，BE AC ⊥，垂足为点F ．(1)求证：2FC FA =；(2)若1EF =，则AC 的长为______；(3)连接DF ，求证：DC DF =．24．一块直角三角形木板，它的一条直角边AC 长为2m ，面积为21.5m ，现在要把它加工成一个面积最大的正方形桌面．甲、乙两位同学的加工方法分别如图①、图②所示．请用学过的知识说明哪位同学的加工方法符合要求．25．[模型建立]如图①、②，点P 分别在O e 外、在O e 内，直线PO 分别交O e 于点A 、B ，则PA 是点P 到O e 上的点的最短距离，PB 是点P 到O e 上的点的最长距离．[问题解决]请就图①中PB 为何最长进行证明．[初步应用]（1）已知点P 到O e 上的点的最短距离为3，最长距离为7．则O e 的半径为______．（2）如图③，在ABC V 中，90C ∠=︒，8AC =，6BC =．点E 在边BC 上，且2CE =，动点P 在半径为2的E e 上，则AP 的最小值是______．[拓展延伸]如图④，点()2,0A ，动点B 在以()4,4P OB 的中点为C ，则线段AC 的最大值为______．26．如图1，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝30°，BC ＝1，点D ，E 分别为AC ，BC 的中点．△CDE 绕点C 顺时针旋转，设旋转角为α（0°≤α≤360°），记直线AD 与直线BE 的交点为点P ．(1)如图1，当α＝0°时，AD 与BE 的数量关系为______，AD 与BE 的位置关系为______；(2)当0°＜α≤360°时，上述结论是否成立？若成立，请仅就图2的情形进行证明；若不成立，请说明理由；(3)△CDE 绕点C 顺时针旋转一周，请直接写出运动过程中P 点运动轨迹的长度和P 点到直线BC 距离的最大值．。

江苏省南京市九年级(上)期初数学试卷

九年级（上）期初数学试卷一、选择题（本大题共6小题，共12.0分）1.计算2-1×8-|-5|的结果是（）A. −21B. −1C. 9D. 112.关于代数式x+1的结果，下列说法一定正确的是（）A. 比1大B. 比1小C. 比x大D. 比x小3.如图，菱形ABCD中，AB=5，BD=6，则菱形的高为（）A. 125B. 245C. 12D. 244.如图，五边形ABCDE中，AB∥CD，∠1，∠2，∠3分别是∠BAE，∠AED，∠EDC的外角，则∠1+∠2+∠3=（）A. 90∘B. 180∘C. 120∘D. 270∘5.计算999-93的结果更接近（）A. 999B. 998C. 996D. 9336.如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点P从A点出发，按A→B→C的方向在AB和BC上移动．记PA=x，点D到直线PA的距离为y，则y关于x的函数大致图象是（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共10小题，共20.0分）7.2016年3月，鼓楼区的二手房均价约为25000元/平方米，若以均价购买一套100平方米的二手房，该套房屋的总价用科学记数法表示为______元．8.因式分解：3a3-12a=______．9.代数式x+1x−2在实数范围内有意义，则x的取值范围是______10.计算18a2−2a2（a≥0）的结果是______．11.如图，将一张矩形纸片沿EF折叠后，点D、C分别落在点D′，C′的位置，若∠1=40°，则∠D′EF=______．12.如图，点A在函数y=kx（x＞0）的图象上，点B在x轴正半轴上，△OAB是边长为2的等边三角形，则k的值为______．13.如图，在▱ABCD中，E，F分别是AB，CD中点．当▱ABCD满足______时，四边形EHFG是菱形．14.一元二次方程x2+mx+2m=0（m≠0）的两个实根分别为x1，x2，则x1+x2x1x2=______．15.如果一个正比例函数的图象与反比例函数y=5x交于A（x1，y1），B（x2，y2），那么（x1-x2）（y1-y2）=______．16.如图，在矩形ABCD中，AB=5，BC=6，点E是AD上一点，把△BAE沿BE向矩形内部折叠，当点A的对应点A1恰落在∠ADC的平分线上时，DA1=______．三、计算题（本大题共3小题，共18.0分）17.求不等式x3≤1+x−12的负整数解18.计算：82-（12-313）×6．19.（1）化简：4x2−4−1x−2（2）方程的4x2−4−1x−2=12解是______．四、解答题（本大题共7小题，共50.0分）20.解方程；（1）3（x-1）=x（1-x）（2）2x2-4x-1=021.在读书月活动中，学校准备购买一批课外读物．为使课外读物满足同学们的需求，学校就“我最喜爱的课外读物”从文学、艺术、科普和其他四个类别进行了抽样调查（每位同学只选一类），如图是根据调查结果绘制的两幅不完整的统计图．请你根据统计图提供的信息，解答下列问题：（1）本次调查中，一共调查了______名同学；（2）在条形统计图中，n=______；扇形统计图中，艺术类读物所在扇形的圆心角是______度；（3）学校计划购买课外读物6000册，请根据样本数据，估计学校购买其他类读物多少册比较合理．22.如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，OE=OF．（1）求证：△BOE≌△DOF；（2）若BD=EF，连接DE、BF，判断四边形EBFD的形状，并说明理由．23.甲、乙两公司为“见义勇为基金会”各捐款60000元，已知乙公司比甲公司人均多捐40元，甲公司的人数比乙公司的人数多20%．请你根据以上信息，提出一个用分式方程解决的问题，并写出解答过程．24.已知关于x的一元二次方程x2-x+m=0有两个不相等的实数根．（1）求实数m的取值范围；（2）若方程的两个实数根为x1、x2，且2x1•x2=m2-3，求实数m的值．25.如图，一次函数y=kx+2与反比例函数y=mx的图象交于A（4，6），B两点，其中B点纵坐标是-4．（1）求反比例函数的关系式；（2）根据所给条件，请直接写出不等式：kx+2＞mx的解集；（3）过点B作BC⊥x轴，垂足为C，则S△ABC=______26.（1）方法回顾在学习三角形中位线时，为了探索三角形中位线的性质，思路如下：第一步添加辅助线：如图1，在△ABC中，延长DE（D、E分别是AB、AC的中点）到点F，使得EF=DE，连接CF；第二步证明△ADE≌△CFE，再证四边形DBCF是平行四边形，从而得到DE∥BC，DE=12BC．（2）问题解决如图2，在正方形ABCD中，E为AD的中点，G、F分别为AB、CD边上的点，若AG=2，DF=3，∠GEF=90°，求GF的长．（3）拓展研究如图3，在四边形ABCD中，∠A=105°，∠D=120°，E为AD的中点，G、F分别为AB、CD边上的点，若AG=3，DF=22，∠GEF=90°，求GF的长．答案和解析1.【答案】B【解析】解：原式=×8-5=4-5=-1．故选：B．根据负整数指数幂与正整数指数幂互为倒数，负数的绝对值是它的相反数，可化简式子，根据有理数的运算，可得答案．本题考查了负整数指数幂，利用负整数指数幂与正整数指数幂互为倒数，负数的绝对值是它的相反数化简式子是解题关键．2.【答案】C【解析】解：由于1＞0，∴x+1＞x，故选：C．根据不等式的性质即可求出答案．本题考查代数式，解题的关键是熟练运用不等式的性质，本题属于基础题型．3.【答案】B【解析】解：∵菱形ABCD中，BD=6，∴BO=3，∠AOB=90°，∴AO=CO===4，∴AC=8，∴设菱形的高为x，则5x=×6×8，解得：x=．故选：B．直接利用菱形的性质得出AC的长，进而利用菱形的面积求出答案．此题主要考查了菱形的性质以及勾股定理，正确得出AC的长是解题关键．4.【答案】B【解析】解：如图，∵AB∥CD，∴∠4+∠5=180°，∵∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=360°，∴∠1+∠2+∠3=180°．故选：B．先利用平行线的性质得到∠4+∠5=180°，然后根据多边形的外角和为360°得到∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=360°，从而得到∠1+∠2+∠3=180°．本题考查了多边形内角与外角：多边形内角和为（n-2）•180 （n≥3）且n为整数），外角和永远为360°．也考查了平行线的性质．5.【答案】A【解析】解：999-93=93（996-1）≈999，故选：A．根据因式分解解答即可．此题考查因式分解，关键是根据提公因式法解答．6.【答案】D【解析】解：（1）当点P在AB上移动时，点D到直线PA的距离为：y=DA=BC=4（0≤x≤3）．（2）如图1，当点P在BC上移动时，，∵AB=3，BC=4，∴AC=，∵∠PAB+∠DAE=90°，∠ADE+∠DAE=90°，∴∠PAB=∠ADE，在△PAB和△ADE中，∴△PAB∽△ADE，∴，∴，∴y=（3＜x≤5）．综上，可得y关于x的函数大致图象是：．故选：D．根据题意，分两种情况：（1）当点P在AB上移动时，点D到直线PA的距离不变，恒为4；（2）当点P在BC上移动时，根据相似三角形判定的方法，判断出△PAB∽△ADE，即可判断出y=（3＜x≤5），据此判断出y关于x的函数大致图象是哪个即可．（1）此题主要考查了动点问题的函数图象，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力．用图象解决问题时，要理清图象的含义即会识图．（2）此题还考查了相似三角形的判定和性质的应用，要熟练掌握．7.【答案】2.5×106【解析】解：该套房屋的总价用科学记数法表示为2.5×106元，故答案为：2.5×106．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．8.【答案】3a（a+2）（a-2）【解析】解：3a3-12a=3a（a2-4）（提取公因式）=3a（a+2）（a-2）．故答案为：3a（a+2）（a-2）．先提取公因式3a，再根据平方差公式进行二次分解．本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用平方差公式进行二次分解，注意分解要彻底．9.【答案】x≥-1且x≠2【解析】解：∵代数式在实数范围内有意义，∴x+1≥0且x-2≠0，解得：x≥-1且x≠2．故答案为：x≥-1且x≠2．直接利用二次根式的性质分析得出答案．此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握定义是解题关键．10.【答案】2a2【解析】解：原式=3a-a=2a．故答案为：2a．先把各二次根式化为最简二次根式，再合并同类项即可．本题考查的是二次根式的加减法，熟知二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变是解答此题的关键．11.【答案】70°【解析】解：∵∠1=40°，∠EFC′=∠EFC，而∠EFC+∠EFC′-∠1=180°，∴∠EFC=∠EFC′=110°．∵D′E∥C′F，∴∠D′EF=180°-∠EFC′=70°．故答案为70°．先根据折叠前后对应角大小不变的性质以及平角的定义求出∠EFC=∠EFC′=110°，再根据平行线的性质即可求出∠D′EF的度数．本题考查了平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．也考查了折叠的性质，矩形的性质．12.【答案】3【解析】解：∵点A在函数y=（x＞0）的图象上，点B在x轴正半轴上，△OAB是边长为2的等边三角形，∴OA=2，∠AOB=60°，∴点A的横坐标是：2×cos60°=1，总坐标是：2×sin60°=，∴点A的坐标为（1，），∴，得k=，故答案为：．根据等边三角形的性质和特殊角的三角函数值可以求得点A的坐标，再根据点A在函数y=（x＞0）的图象上，从而可以求得k的值．本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、等边三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．13.【答案】AB⊥BC【解析】解：当▱ABCD满足AB⊥BC时，四边形EHFG是菱形．∵四边形ABCD是平行四边形，且AB⊥BC∴四边形ABCD是矩形∴∠ABC=∠DCB=90°，AB=CD，AB∥CD∵E是AB中点，F是CD中点，∴BE=CF=AE=DF∵BE=DF，AB∥CD∴四边形BEDF是平行四边形∴ED∥BF同理可得：EC∥AF∴四边形EHFG是平行四边形．在△EBC与△FCB中，∵，∴△EBC≌△FCB（SAS）∴CE=BF，∴∠ECB=∠FBC，∴BH=CH，∴EH=FH，∴平行四边形EHFG是菱形，故答案为：AB⊥BC．由题意可证四边形EHFG是平行四边形，△EBC≌△FCB，可得EC=BF，BH=CH，即可得EH=FH，则可证四边形EHFG是菱形．本题考查了菱形的判定，平行四边形的判定与性质，利用这些性质和判定进行正确推理是本题的关键．14.【答案】-12【解析】解：∵一元二次方程x2+mx+2m=0（m≠0）的两个实根分别为x1，x2，∴x1+x2=-m，x1•x2=2m，∴==-．故答案为：-．由根与系数的关系可得x1+x2=-m，x1•x2=2m，继而求得答案．此题考查了根与系数的关系．注意二次项系数为1，常用以下关系：x1，x2是方程x2+px+q=0的两根时，x1+x2=-p，x1x2=q．15.【答案】20【解析】解：∵正比例函数的图象与反比例函数y=交于A（x1，y1），B（x2，y2），关于原点对称，依此可得x1=-x2，y1=-y2，∴（x1-x2）（y1-y2）=（-x2-x2）（-y2-y2）=4x2y2=4×5=20．故答案为：20．正比例函数的图象与反比例函数y=的两交点坐标关于原点对称，依此可得x1=-x2，y1=-y2，替换后计算即可求解．本题考查了反比例函数与正比例函数的交点问题，正比例函数与反比例函数的两交点坐标关于原点对称．16.【答案】22【解析】解：过A1作MH⊥AD交AD于M，交BC于H，作A1N⊥CD于N，如图所示：由折叠的性质得：A1B=AB=5，∵点A1恰落在∠ADC的平分线上，∴∠ADA1=∠CDA1=45°，∴四边形DMA1N是正方形，∴A1M=A1N，设A1M=A1N=x，则A1H=5-x，BH=6-x，在Rt△A1BH中，由勾股定理得：（5-x）2+（6-x）2=52，解得：x=2，或x=9（舍去），∴DA 1=x=2；故答案为：2．过A1作MH⊥AD交AD于M，交BC于H，作A1N⊥CD于N，由折叠的性质得出A1B=AB=5，由正方形的性质和已知条件得出四边形DMA1N是正方形，得出A1M=A1N，设A1M=A1N=x，则A1H=5-x，BH=6-x，在Rt△A1BH中，由勾股定理得出方程，解方程即可得出结果．本题考查了正方形的性质与判定、折叠的性质、勾股定理；熟练掌握正方形的性质，由勾股定理得出方程是解决问题的关键．17.【答案】解：2x≤6+3（x-1），2x≤6+3x-3，2x-3x≤6-3，-x≤3，x≥-3，∴不等式的负整数解为-3、-2、-1．【解析】此题考查了一元一次不等式的整数解，求出不等式的解集是解本题的关键．等式两边乘以6去分母后，移项合并，将x系数化为1求出解集，找出解集中的非负整数解即可．18.【答案】解：原式=42-（23-3）×6=42-3×6=42-32=2．【解析】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化简为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．先把各二次根式化简为最简二次根式，再把括号内合并后进行二次根式的乘法运算，然后合并即可．19.【答案】x=-4【解析】解：（1）原式=-==-；（2）两边都乘以2（x+2）（x-2），得：8-2（x+2）=（x+2）（x-2），整理，得：x2+2x-8=0，解得：x=2或x=-4，检验：x=2时，2（x+2）（x-2）=0，舍去；x=-4时，2（x+2）（x-2）=24≠0，所以原分式方程的解为x=-4，故答案为：x=-4．（1）先通分化为同分母分式相减，再根据法则计算可得；（2）根据解分式方程的步骤计算可得．本题主要考查解分式方程，解题的关键是熟练掌握分式的加减运算及解分式方程的基本步骤．20.【答案】解：（1）3（x-1）-x（x-1）=0，（x-1）（3-x）=0，x-1=0或3-x=0，所以x1=1，x2=3；（2）x2-2x=12，x2-2x+1=12+1，（x-1）2=32，x-1=±62，所以x1=1+62，x2=1-62．【解析】（1）先变形得到3（x-1）-x（x-1）=0，然后利用因式分解法解方程；（2）利用配方法得到（x-1）2=，然后利用直接开平方法解方程．本题考查了解一元二次方程-因式分解法：就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．也考查了配方法解一元二次方程．21.【答案】200 60 72【解析】解：（1）调查的总人数是：70÷35%=200（名）．故答案是：200；（2）n=200×30%=60，则m=200-70-60-30=40，则艺术类所占的圆心角是：360×=72°．故答案是：60、72；（3）其他类图书所占的百分比是：×100%=15%，则学校购买其他类读物的册数是：6000×15%=900（册）．（1）根据文学类的人数是70，所占的百分比是35%即可求得总人数；（2）利用总人数乘以对应的百分比即可求得n的值，利用360°乘以对应的百分比即可求得圆心角的度数；（3）利用总数6000，乘以对应的百分比即可．本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．22.【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OB=OD，在△BOE和△DOF中，OB=OD∠BOE=∠DOFOE=OF，∴△BOE≌△DOF（SAS）；（2）解：四边形EBFD是矩形；理由如下：如图所示：∵OB=OD，OE=OF，∴四边形EBFD是平行四边形，又∵BD=EF，∴四边形EBFD是矩形．【解析】（1）由平行四边形的性质得出OB=OD，由SAS证明△BOE≌△DOF即可；（2）先证明四边形EBFD是平行四边形，再由对角线相等即可得出四边形EBFD是矩形．本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定、矩形的判定；熟练掌握平行四边形的判定与性质是解决问题的关键．23.【答案】问题：求甲、乙两公司的人数分别是多少？解：设乙公司人数为x，则甲公司的人数为（1+20%）x，根据题意得：60000x-60000(1+20%)x=40解得：x=250经检验x=250是原方程的根，故（1+20%）×250=300（人），答：甲公司为300人，乙公司250人．【解析】首先提出问题，例如，求甲、乙两公司的人数分别是多少？则本题的等量关系是：乙公司的人均捐款-甲公司的人均捐款=40，根据这个等量关系可得出方程求解．本题考查了分式方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．24.【答案】解：（1）∵方程有两个不相等的实数根，∴b2-4ac=1-4m＞0，即m＜14；（2）由根与系数的关系可知：x1•x2=m，∴2m=m2-3，整理得：m2-2m-3=0，解得：m=-1或m=3，∵m＜14，∴所求m的值为-1．【解析】（1）由关于x的一元二次方程x2-x+m=0有两个不相等的实数根，可得△＞0，继而求得实数m的取值范围；（2）由方程的两个实数根为x1、x2，且2x1•x2=m2-3，可得方程2m=m2-3，继而求得答案．此题考查了根的判别式以及根与系数的关系．注意△＞0⇔方程有两个不相等的实数根．25.【答案】20【解析】解：（1）∵反比例函数y=的图象经过A（4，6），∴m=4×6=24，∴反比例函数的关系式为：y=；（2）∵点B在反比例函数y=的图象上，且B点纵坐标是-4，∴-4=，解得x=-6，∴B（-6，-4），∵一次函数y=kx+2与反比例函数y=的图象交于A（4，6），B（-6，-4）两点，∴当-6＜x＜0或x＞4时，一次函数y=kx+2大于反比例函数y=，∴不等式：kx+2＞的解集是：-6＜x＜0或x＞4；（3）∵A点的横坐标为4，B点的横坐标为-6，B点纵坐标是-4．∴△ABC的边BC上的高为10，BC=4，∴S△ABC=×4×10=20．故答案为20．（1）根据待定系数法即可求得；（2）求得B点的坐标，根据A、B点的坐标，结合图象即可求得；（3）由A、B点的横坐标求得三角形底边BC上的高，根据三角形面积公式即可求得．此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，以及三角形面积，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．26.【答案】解：（1）如图2，延长GE、FD交于点H，∵E为AD中点，∴EA=ED，且∠A=∠EDH=90°，在△AEG和△DEH中∠A=∠HDEEA=ED∠AEG=∠HED∴△AEG≌△DEH（ASA），∴AG=HD=2，EG=EH，∵∠GEF=90°，∴EF垂直平分GH，∴GF=HF=DH+DF=2+3=5；（2）如图3，过点D作AB的平行线交GE的延长线于点H，过H作CD的垂线，垂足为P，连接HF，同（1）可知△AEG≌△DEH，GF=HF，∴∠A=∠HDE=105°，AG=HD=3，∵∠ADC=120°，∴∠HDF=360°-105°-120°=135°，∴∠HDP=45°，∴△PDH为等腰直角三角形，∴PD=PH=322，∴PF=PD+DF=322+22=722，在Rt△HFP中，∠HPF=90°，HP=322，PF=722，∴HF=HP2+FP2=(322)2+(722)2=29，∴GF=29．【解析】（1）延长GE、FD交于点H，可证得△AEG≌△DEH，结合条件可证明EF垂直平分GH，可得GF=FH，可求得GF的长；（2）过点D作AB的平行线交GE的延长线于点H，过H作CD的垂线，垂足为P，连接HF，可证明△AEG≌△DEH，结合条件可得到△HPD为等腰直角三角形，可求得PF的长，在Rt△HFP中，可求得HF，则可求得GF的长．本题为四边形的综合应用，涉及知识点有正方形的性质、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、勾股定理等．在（1）中构造三角形全等是解题的关键，在（2）中构造三角形全等，巧妙利用好105°和120°角是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度较大．。

江苏省南京市建邺区2022-2023学年九年级上学期期中考试数学试卷(含答案)

2022-2023学年江苏省南京市建邺区九年级第一学期期中数学试卷一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分。

在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的。

）1．将方程（x﹣1）2＝6化成一元二次方程的一般形式，正确的是（）A．x2﹣2x+5＝0B．x2﹣2x﹣5＝0C．x2+2x﹣5＝0D．x2+2x+5＝0 2．某校把学生数学的期中、期末两次成绩分别是按40%，60%的比例计入学期总成绩，小明数学期中成绩是85分，期末成绩是90分，那么他的数学学期总成绩为（）A．88分B．87.5分C．87分D．86分3．如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为E，CE＝1，AB＝6，则⊙O半径的长为（）A．3B．4C．5D．无法确定4．如图，⊙O是△ABC的外接圆，若∠OCA＝50°，则∠ABC的度数等于（）A．30°B．40°C．50°D．60°5．三边长分别为6、8、10的三角形的内切圆的半径长为（）A．2B．3C．4D．56．关于x的一元二次方程ax2+bx＝c（ac≠0）一个实数根为2022，则方程cx2+bx＝a一定有实数根（）A．2022B．C．﹣2022D．﹣二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分。

）7．方程x2＝3x的解为：．8．如表中24位营销人员某月销量的中位数是件．6005o0400350300200每人销售量/件人数44672 9．2022年国庆长假期间七天的气温如图所示，这七天最高气温的方差为，最低气温的方差为S，则S S（填“＞”、“＜”或“＝”）．10．一元二次方程2x2﹣bx+c＝0的两根为x1，x2，若x1+x2＝5，x1•x2＝﹣2，则b＝，c＝．11．若一个圆锥的底面圆的半径为2，其侧面展开图是半圆，则此圆锥的侧面积是．12．如图，半圆O的直径AD＝8cm，B、C是半圆上的两点，且∠ABC＝110°，则的长度为cm．13．如图，正九边形的对角线AF、CH相交于点P，则∠CPF＝．14．已知a，b，c是△ABC的三边长，若一元二次方程（a﹣c）x2+2bx+a+c＝0没有实数根，则△ABC是三角形（填“锐角”、“直角”或“钝角”）．15．某农场的粮食产量在两年内从3000t增加到3630t，且第一年的增长率是第二年的两倍．如。

江苏省南京九年级(上)期初数学试卷

九年级（上）期初数学试卷一、选择题（本大题共6小题，共12.0分）1.下列方程是关于x的一元二次方程的是（）A. ax2+bx+c=0B. 1x2+1x=2C. x2+2x=x2−1D. 3(x+1)2=2(x+1)2.方程（x-1）2=1-x的根是（）A. 0B. −1或0C. 1或0D. 13.下列关于x的一元二次方程中，有两个相等实数根的方程是（）A. x2+1=0B. x2−1=0C. x2−2x+1=0D. x2−2x−1=04.某厂今年一月份的总产量为500吨，一、二、三月份的总产量达到为1720吨．若产量平均每月增长率是x，则可以列方程（）A. 500+500×2x%=1720B. 500(1+x)3=1720C. 500+500×2x=1720D. 500+500(1+x)+500(1+x)2=17205.以3和-1为两根的一元二次方程是（）A. x2+2x−3=0B. −2x2−4x+6=0C. 3x2−6x−9=0D. x2−2x+3=06.已知实数a，b分别满足a2-6a+4=0，b2-6b+4=0，且a≠b，则ba+ab的值是（）A. 7B. −7C. 11D. −11二、填空题（本大题共10小题，共20.0分）7.已知关于x的方程x2-3x+m=0的一个根是1，则m=______．8.方程x2=3x的根是______．9.一元二次方程x2+4x-3=0的两根为x1，x2，则x1•x2的值是______．10.一元二次方程x2-8x+a=0配方后的结果（x-4）2=3，则a的值为______．11.如果方程（x-5）2=m-7可以用直接开平方求解，则m的取值范围是______．12.关于x的方程（m2-4）x2-（m-2）x+1=0，当m______时，原方程为一元二次方程．13.若实数a、b满足（4a+4b）（4a+4b-2）-8=0，则a+b=______．14.若m，n是方程x2+x-1=0的两个实数根，则m2+2m+n的值为______．15.关于x的一元二次方程a（x-m）2+n=0的解是x1=-1，x2=2，（a、m、n均为常数，a≠0），则方程a（x-m-1）2+n=0的解是______．16.若|b-1|+a−4=0，且一元二次方程kx2+ax+b=0有两个实数根，则k的取值范围是______．三、计算题（本大题共2小题，共10.0分）17.试用配方法说明2x2-4x+5的值不小于3．18.已知方程（m-2）x m2+（m-3）x+1=0．（1）当m为何值时，它是一元二次方程？（2）当m为何值时，它是一元一次方程？四、解答题（本大题共7小题，共58.0分）19.解方程①（x+1）2=4x②x2+3x-4=0（用配方法）③x2-2x-8=0④2（x+4）2=5（x+4）⑤2x2-7x=4⑥（x+1）（x+2）=2x+420.已知等腰三角形底边长为8，腰长是方程x2-9x+20=0的一个根，求这个等腰三角形的腰长．21.已知关于x的方程14x2−(m−2)x+m2=0是否存在正数m，使方程的两个实数根的平方和等于224？若存在，求出满足条件的m的值．22.用配方法解方程x2+2x-24=0，配方的过程可以用以下拼图过程直观地表示，请你模仿此过程在下面方框中用拼图方式表示用配方法解方程x2+6x-4=0的配方过程，并在方框下写出对应的等式．23.某特产专卖店销售核桃，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100kg，后来经过市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天的销售量可增加20kg．若该专卖店销售这种核桃，要想尽快销售完并平均每天获利2240元，则每千克应降价多少元？24.关于x的一元二次方程（m-1）x2-2mx+m+1=0．（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）m为何整数时，此方程的两个根都为正整数．25.如果，关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”（1）判断方程x2-x-2=0是否是“倍根方程”；（2）若点（p，q）在反比例函数y=2x的图象上，那么关于x的一元二次方程px2+3x+q=0是否是“倍根方程”？请说明你的理由；（3）若（x-2）（mx+n）=0是“倍根方程”，求证“4m2+5mn+n2=0．答案和解析1.【答案】D【解析】解：A、ax2+bx+c=0当a=0时，不是一元二次方程，故A错误；B、+=2不是整式方程，故B错误；C、x2+2x=x2-1是一元一次方程，故C错误；D、3（x+1）2=2（x+1）是一元二次方程，故D正确；故选：D．根据一元二次方程的定义解答，一元二次方程必须满足四个条件：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0；是整式方程；含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．2.【答案】C【解析】解：由已知方程（x-1）2=1-x移项得，（x-1）2+（x-1）=0提取公因式得，（x-1）（x-1+1）=0∴x-1=0，x-1+1=0∴x1=1，x2=0故选：C．此题用因式分解法比较简单，先移项，再提取公因式，可得方程因式分解的形式，即可求解．解此一元二次方程的关键是灵活应用因式分解方法，也可用配方法或公式法，选择正确解题方法可以减少运算量．3.【答案】C【解析】解：A、△=-4×1×1=-4＜0，该方程没有实数根，故本选项不符合题意；B、△=-4×4×（-1）=4＞0，该方程有两个不相等的实数根，故本选项不符合题意；C、△=（-2）2-4×1×1=0，该方程有两个相等的实数根，故本选项符合题意；D、△=（-2）2-4×1×（-1）=8＞0，该方程有两个不相等的实数根，故本选项不符合题意；故选：C．判断上述方程的根的情况，只要看根的判别式△=b2-4ac的值的符号就可以了，有两个相等实数根的一元二次方程就是判别式的值是0的一元二次方程．此题主要考查了根的判别式．总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．4.【答案】D【解析】解：设产量平均每月增长率是x，根据题意列方程得，500+500（1+x）+500（1+x）2=1720．故选：D．设产量平均每月增长率是x，利用一月份的总产量×（1+平均每月增长率是x）2=一、二、三月份的总产量列方程解答即可．此题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，基本数量关系：一月份的总产量×（1+平均每月增长率是x）2=一、二、三月份的总产量．5.【答案】C【解析】解：A、∵3+（-1）=2≠-，∴方程x2+2x-3=0的两根不是3和-1，故本选项不符合题意；B、∵3+（-1）=2≠-，∴方程-2x2-4x+6=0的两根不是3和-1，故本选项不符合题意；C、∵3+（-1）=2=-，3×（-1）=-3=，∴方程3x2-6x-9=0的两根是3和-1，故本选项符合题意；D、∵3+（-1）=2≠-，3×（-1）=-3，∴方程x2-2x+3=0的两根不是3和-1，故本选项不符合题意；故选：C．根据根与系数的关系逐个判断即可．本题考查了根与系数的关系定理，能熟记根与系数的关系定理的内容是解此题的关键．6.【答案】A【解析】解：根据题意得：a与b为方程x2-6x+4=0的两根，∴a+b=6，ab=4，则原式===7．故选：A．根据已知两等式得到a与b为方程x2-6x+4=0的两根，利用根与系数的关系求出a+b与ab的值，所求式子通分并利用同分母分式的加法法则计算，再利用完全平方公式变形，将a+b与ab的值代入计算即可求出值．此题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解本题的关键．7.【答案】2【解析】解：∵关于x的方程x2-3x+m=0的一个根是1，∴12-3×1+m=0，解得，m=2，故答案为：2．根据关于x的方程x2-3x+m=0的一个根是1，从而可以求得m的值，本题得以解决本题考查一元二次方程的解，解题的关键是明确方程的解一定适合方程，代入即可解答问题．8.【答案】0或3【解析】解：x2=3xx2-3x=0即x（x-3）=0∴x=0或3故本题的答案是0或3．本题应对方程进行变形，提取公因式x，将原式化为两式相乘的形式，再根据“两式相乘值为0，这两式中至少有一式值为0”来解题．本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．本题运用的是因式分解法．9.【答案】-3【解析】解：∵一元二次方程x2+4x-3=0的两根为x1，x2，∴x1•x2=-3．故答案为：-3．根据根与系数的关系即可得出x1•x2=-3，此题得解．本题考查了根与系数的关系，熟练掌握两根之积为是解题的关键．10.【答案】13【解析】解：x2-8x+a=0，x2-8x+16=-a+16，（x-4）2=-a+16，即-a+16=3，解得：a=13，故答案为：13．移项后配方，即可得出方程，求出a即可．本题考查了解一元二次方程，能正确配方是解此题的关键，解一元二次方程有直接开平方法、因式分解法、配方法、公式法等．11.【答案】m≥7【解析】解：∵方程（x-5）2=m-7可以用直接开平方求解，∴m-7≥0，解得：m≥7，故答案为：m≥7．根据偶次方的非负性得出不等式，求出不等式的解集即可．本题考查了解一元二次方程和解一元一次不等式，能得出关于m的不程是解此题的关键．12.【答案】≠±2【解析】解：根据题意得：m2-4≠0，解得：m≠±2，故答案为：≠±2．根据一元二次方程的定义可知：未知数的二次项不等于零，得到关于m的不等式，解之即可．本题考查了一元二次方程的定义，正确掌握一元二次方程的定义是解决本题的关键．13.【答案】-12或1【解析】【分析】设a+b=x，则原方程转化为关于x的一元二次方程，通过解该一元二次方程来求x即（a+b）的值．本题主要考查了换元法，即把某个式子看作一个整体，用一个字母去代替它，实行等量替换．【解答】设a+b=x，则由原方程，得4x（4x-2）-8=0，整理，得16x2-8x-8=0，即2x2-x-1=0，分解得：（2x+1）（x-1）=0，解得：x1=-，x2=1．则a+b的值是-或1．故答案是：-或1．14.【答案】0【解析】解：∵m，n是方程x2+x-1=0的两个实数根，∴m+n=-1，m2+m=1，则原式=（m2+m）+（m+n）=1-1=0，故答案为：0由题意m为已知方程的解，把x=m代入方程求出m2+m的值，利用根与系数的关系求出m+n的值，原式变形后代入计算即可求出值．此题考查了根与系数的关系，以及一元二次方程的解，熟练掌握根与系数的关系是解本题的关键．15.【答案】x1=0，x2=3【解析】解：a（x-m）2+n=0，（x-m）2=-，x-m=±，x=±+m；a（x-m-1）2+n=0，（x-m-1）2=-，x-m-1=±，x=±+m+1，∵关于x的一元二次方程a（x-m）2+n=0时（其中a，m，b均为常数，a≠0）用直接开平方法解得x1=-1，x2=2，∴方程a（x+m-1）2=b的解是：x1=-1+1=0，x2=2+1=3，故答案为：x1=0，x2=3．首先利用直接开平方法解a（x+m）2=b得x=±-m；再解a（x+m-3）2=b可得x=+3，观察发现解只差3，进而可得方程a（x+m-3）2=b的解．此题主要考查了直接开平方法解一元二次方程，关键是正确找出两个方程解的关系．16.【答案】k≤4且k≠0【解析】解：∵|b-1|+=0，∴b-1=0，=0，解得，b=1，a=4；又∵一元二次方程kx2+ax+b=0有两个实数根，∴△=a2-4kb≥0且k≠0，即16-4k≥0，且k≠0，解得，k≤4且k≠0；故答案为：k≤4且k≠0．首先根据非负数的性质求得a、b的值，再由二次函数的根的判别式来求k的取值范围．本题主要考查了非负数的性质、根的判别式．在解答此题时，注意关于x的一元二次方程的二次项系数不为零．17.【答案】证明：2x2-4x+5=2（x2-2x+52）=2（x-1）2+3，∵无论x取何值，（x-1）2≥0，∴2（x-2）2+3≥3，即2x2-4x+5的值不小于3．【解析】先对代数式x2-4x+5进行配方，然后根据配方后的形式，再根据a2≥0这一性质即可证得．此题考查配方法的运用，配方不仅应用于解一元二次方程，还可以应用于判断代数式的值或判断代数式的符号．18.【答案】解：（1）∵方程（m-2）x m2+（m-3）x+1=0为一元二次方程，∴m2=2m−2≠0，解得：m=±2，所以当m为2或-2时，方程方程（m-2）x m2+（m-3）x+1=0为一元二次方程；（2）∵方程（m-2）x m2+（m-3）x+1=0为一元一次方程，∴m−2=0m−3≠0或m2=1解得，m=2或m=±1，故当m为2或±1时，方程方程（m-2）x m2+（m-3）x+1=0为一元一次方程．【解析】（1）根据一元二次方程的定义解答本题；（2）根据一次方程的定义可解答本题．本题考查了一元一次方程的定义、一元二次方程的定义，能理解一元一次方程的定义和一元二次方程的定义是解此题的关键，尤其是要注意一元一次方程的各种情况要考虑全面．19.【答案】①（x+1）2=4x，解：（x-1）2=0，∴x1=x2=1；②x2+3x-4=0，解：x2+3x=4，x2+3x+94=4+94，（x+32）2=254，∴x+32=±52，∴x1=1，x2=-4；③x2-2x-8=0，解：（x-4）（x+2）=0，∴x-4=0或x+2=0，∴x1=4，x2=-2；④2（x+4）2=5（x+4），解：（x+4）[2（x+4）-5]=0，∴x+4=0或2x+3=0，∴x1=-4，x2-32；⑤2x2-7x=4解：2x2-7x-4=0，（2x+1）（x-4）=0，∴2x+1=0或x-4=0，∴x1=-12，x2=4；⑥（x+1）（x+2）=2x+4，解：（x+1）（x+2）=2x+4，（x-1）（x+2）=0，∴x-1=0或x+2=0，∴x1=1，x2=-2．【解析】根据解一元二次方程的方法解各方程即可．本题主要考查了解一元二次方程的知识，根据方程的特点选择合适的方法解一元二次方程是解决此类问题的关键．一般解一元二次方程的方法有直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法．20.【答案】解：x2-9x+20=0，解得x1=4，x2=5，∵等腰三角形底边长为8，∴x=4时，4，4，8的三条线段不能组成三角形，∴等腰三角形腰长为5．【解析】首先求出方程的根，再根据三角形三边关系得到x=4时，4，4，8的三条线段不能组成三角形，确定等腰三角形腰长为5．本题从边的方面考查三角形，涉及分类讨论的思想方法．求三角形的边长，不能盲目地作出判断，而应养成检验三边长能否组成三角形的好习惯，把不符合题意的舍去．21.【答案】解：假设存在，则有x12+x22=224．∵x1+x2=4m-8，x1x2=4m2，∴（x1+x2）2-2x1x2=224．即（4m-8）2-2×4m2=224，∴m2-8m-20=0，（m-10）（m+2）=0，∴m1=10，m2=-2．∵△=（m-2）2-m2=4-4m≥0，∴0＜m≤1，∴m1=10，m2=-2都不符合题意，故不存在正数m，使方程的两个实数根的平方和等于224．【解析】利用根与系数的关系，化简x12+x22=224，即（x1+x2）2-2x1x2=224．根据根与系数的关系即可得到关于m的方程，解得m的值，再判断m是否符合满足方程根的判别式．本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）根的判别式．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．考查了根与系数的关系，也考查了存在性问题的解题方法和格式．22.【答案】解：如图，x2+6x-4=0，x2+6x=4，x2+6x+32=4+32，（x+3）2=13，∴x+3=±13，∴x1=-3+13，x2=-3-13．【解析】根据图表即可得到答案．本题考查了利用配方法解一元二次方程：先把二次项系数变为1，常数项移到方程右边，然后方程两边加一次项系数一半的平方，方程左边为完全平方公式，再利用直接开平方法解．23.【答案】解：设每千克降价x元，则每天可售出（100+10x）千克，根据题意得：（60-40-x）（100+10x）=2240，整理得：x2-10x+24=0，解得：x1=4，x2=6．∵要尽快销售完，∴x=6．答：每千克应降价6元．【解析】设每千克降价x元，则每天可售出（100+10x）千克，根据总利润=每千克利润×销售数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较大值即可得出结论．本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．24.【答案】解：（1）∵△=b2-4ac=（-2m）2-4（m-1）（m+1）=4＞0，∴方程有两个不相等的实数根；（2）由求根公式，得x=2m±22(m−1)，∴x1=2m+22(m−1)=m+1m−1，x2=2m−22(m−1)=1；∵m为整数，且方程的两个根均为正整数，∴x1=m+1m−1=1+2m−1，必为正整数，∴m-1=1或2，∴m=2或m=3．【解析】（1）表示出根的判别式，得到根的判别式大于0，进而确定出方程总有两个不相等的实数根；（2）由（1）得到方程有两个不相等的实数根，利用求根公式表示出方程的两根：x1=，x2=1，要使原方程的根是整数，必须使得x1==1+为正整数，则m-1=1或2，进而得出符合条件的m的值．此题考查了根的判别式，以及求根公式，根的判别式的值大于0，方程有两个不相等的实数根；根的判别式的值等于0，方程有两个相等的实数根；根的判别式的值小于0，方程没有实数根．25.【答案】解：（1）解方程x2-x-2=0得：x1=2，x2=-1，∴方程x2-x-2=0不是倍根方程；（2）关于x的一元二次方程px2+3x+q=0是“倍根方程”，理由：∵点（p，q）在反比例函数y=2x的图象上，∴pq=2，解方程px2+3x+q=0得：x1=-1p，x2=-2p，∴x2=2x1；（3）∵（x-2）（mx+n）=0是倍根方程，且x1=2，x2=-nm，∴nm=-1或nm=-4，∴m+n=0，4m+n=0，∵4m2+5mn+n2=（4m+n）（m+n）=0．【解析】（1）解得方程的解后即可利用倍根方程的定义进行判断；（2）根据点（p，q）在反比例函数y=的图象上得到pq=2，然后解方程px2+3x+q=0即可得到正确的结论；（3）根据（x-2）（mx+n）=0是倍根方程，且x1=2，x2=-得到=-1，或=-4，从而得到m+n=0，4m+n=0，进而得到4m2+5mn+n2=（4m+n）（m+n）=0正确．本题考查了一元二次方程的解，根与系数的关系，根的判别式，反比例函数图形上点的坐标特征，正确的理解“倍根方程”的定义是解题的关键．。

江苏省南京市九年级(上)期中数学试卷

九年级（上）期中数学试卷题号一二三总分得分一、选择题（本大题共 6 小题，共18.0 分）1.以下图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A. 平行四边形B. 圆C. 等边三角形D. 正五边形2.已知⊙ O 的半径为 6cm，圆心 O 到直线 l 的距离为 5cm，则直线 l 与⊙O 的交点个数为（）A. 0B. lC. 2D. 没法确立3. 如表记录了甲、乙、丙、丁四名跳远运动员几次选拔赛成绩的均匀数x- 与方差 S2：甲乙丙丁均匀数 x- （cm）563 560 563 560方差 S2（ cm2）依据表中数据，要从中选择一名成绩好又发挥稳固的运动员参加竞赛，应当选择（）A.甲B.乙C.丙D.丁4. 当 m 取以下哪个值时，对于x 的一元二次方程x2-2x+m=0 没有实数根（）A.-2B.0C.1D.25.如图，点 E 在 y 轴上，⊙E 与 x 轴交于点 A、B，与 y 轴交于点 C、 D，若 C（ 0，9）， D （0， -1），则线段AB 的长度为（）A.3B.4C.6D.86.如图，? ABCD 中，AD ∥BC，AD =8，CD =4，∠B=60 °．若点 P 在线段 BC 上，且△ADP 为直角三角形，则切合要求的点P 的个数有（）A. 4个B. 3个C.2个D. 1 个二、填空题（本大题共10 小题，共分）7. 一个不透明的口袋中，装有除颜色之外其他都同样的红、黄两种球共15 个，摇匀后从中随意摸出一球，记下颜色放回，摇匀再摸出一个，记下颜色放回．经过大量的重复试验，发现摸到红球的频次为，则预计袋中有红球______ 个．8. 2017 年金砖国家峰会中， 6 名礼仪小姐的身高以下（单位： cm）：168，166，168，167， 169， 168，她们的身高的众数是______cm，中位数 ______cm．9.小明上学期数学的平常成绩80 分，期中成绩 90 分，期末成绩 85 分，若学期总评成绩按平常：期中：期末=3 ： 3：4 计算，则小明上学期数学的总评成绩是______分．12.如图，已知 CD 是⊙ O 的直径，A、B 在⊙ O上，∠AOB=35 °，CA∥OB，则∠BOD =______．13.如图，在⊙O的内接五边形ABCDE 中，∠B+∠E=210 °，则∠CAD =______ °．14.如图，用一个半径为 30cm，面积为 300 πcm2的扇形铁皮，制作一个无底的圆锥（不计消耗），则圆锥的底面半径r 为 ______．15.今年梦想公司一月份产值 200 万，二、三月份产值均以同样的增添率连续增添，结果三月份产值比二月份产值增添了22 万．若设该公司二、三月份产值均匀增添率为 x，依据题意可列方程______．16.如图， Rt△ABC 的内切圆⊙ I 分别与斜边 AB、直角边BC、CA 切于点 D、E、F，AD=3，BD =2，则 Rt△ABC的面积为 ______．三、解答题（本大题共11 小题，共88.0 分）17.解方程：（1） 4x2-2x-1=0 ；（2）（ y+1）2=（ 3y-1）2．18.如图，转盘 A 中的 4 个扇形的面积相等，转盘 B 中的 3 个扇形面积相等．小明设计了以下游戏规则：甲、乙两人分别随意转动转盘A、 B 一次，当转盘停止转动时，将指针所落扇形中的 2 个数相乘，假如所得的积是偶数，那么是甲获胜；假如所得的积是奇数，那么是乙获胜．这样的规则公正吗？为何？19.一个不透明的口袋里装有白、红两种颜色的球，这些球除了颜色外都同样，此中白球 1 个，红球若干个．已知随机地从袋中摸出 1 个球，摸到白球的概率为13 ．（1）袋中有红色球 ______个；（2）从袋中随意摸出一球记下颜色放回、搅匀，再从中随意摸出一球，像这样有放回地先后摸球 3 次，请列出所有摸到球的可能结果，并求出三次都摸到红球的概率．20. 某区对马上参加2019 年中考的 3000 名初中毕业生进行了一次视力抽样检查，绘制出频数散布表和频数散布直方图的一部分．请依据图表信息回答以下问题：视力频数（人）频次≤x20＜≤x40＜≤x＜70≤x＜ a≤x＜10 b（1）在频数散布表中， a=______， b=______，并将频数散布直方图增补完好；（2）甲同学说“我的视力状况是此次抽样检查所得数据的中位数”，问甲同学的视力状况在什么范围内？（3）若视力在 4.9 以上（含）均属正常，依据上述信息预计全区初中毕业生中视力正常的学生有多少人？21.如图，⊙ I是△ABC的内切圆，切点分别是D、 E、F ．（1）若∠B=50°，∠C=70°，则∠DFE 的度数为 ______ ；（2）若∠DFE =50°，求∠A 的度数．222.已知对于 x 的一元二次方程 x -mx+m-2=0 ．（1）若该方程有一个根为 -1，求 m 的值；（2）求证：无论 m 为任何实数，该方程都有两个不相等的实数根．23.如图，△ABC 中， AB=AC，以 AB 为直径的⊙ O 交 BC于D，交AC于E．（1）求证： BD=CD ；（2）若∠BAC =50°，求∠EBC 和∠EDC 的度数．24.如图，在以 O 为圆心的两个齐心圆中，大圆的弦 AB、AC分别切小圆于点 M、 N．（1）求证： AB=AC；（2）若大圆的半径为 5，且 AB=8 ，求小圆的半径．25.某商铺经销的某种商品，每件成本价为40 元．经市场调研，售价为50 元 /件，可销售 150 件；销售单价每提升 1 元，销售量将减少 5 件．假如商铺将一批这类商品所有售完，盈余了 1500 元，问：该商铺销售了这类商品多少件？每件售价多少元？26.如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90 °，∠ABC 的角均分线 BD 交 AC 边于 D．⊙ O 过 B、D两点，且圆心 O 在 AB 边上．（1）用直尺和圆规作出⊙ O（不写作法，保存作图印迹）；（2）判断直线 AC 与⊙ O 的地点关系，并说明原因；（3）若 AB=9 ， AD=3 ，求⊙O 的半径．27.【问题提出】我们知道：同弧或等弧所对的圆周角都相等，且等于这条弧所对的圆心角的一半．那么，在一个圆内同一条弦所对的圆周角与圆心角之间又有什么关系呢？【初步思虑】（ 1）如图 1，AB 是⊙ O 的弦，∠AOB=100°，点 P1、 P2分别是优弧 AB 和劣弧 AB 上的点，则∠AP1B=______ °，∠AP2B=______ °．（ 2）如图 2，AB 是⊙ O 的弦，圆心角∠AOB=m°（m＜ 180°），点 P 是⊙ O 上不与A、B 重合的一点，求弦AB 所对的圆周角∠APB 的度数（用m 的代数式表示）．【问题解决】（3）如图 3，已知线段 AB，点 C 在 AB 所在直线的上方，且∠ACB=135°．用尺规作图的方法作出知足条件的点 C 所构成的图形（不写作法，保存作图印迹）．答案和分析1.【答案】B【分析】解：A 、平行四边形，不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误；B、圆，既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项正确；C、等边三角形，是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；D、正五边形，是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误．应选：B．依据中心对称图形和轴对称图形的观点对各选项剖析判断即可得解．本题考察了中心对称图形与轴对称图形的观点，轴对称图形的重点是找寻对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要找寻对称中心，旋转 180度后两部分重合．2.【答案】C【分析】解：∵⊙O 的半径为 6cm，圆心 O 到直线 l 的距离为 5cm，6cm＞ 5cm，∴直线 l 与⊙O 订交，∴直线 l 与⊙O 有两个交点．应选：C．先依据题意判断出直线与圆的地点关系即可得出结论．本题考察的是直线与圆的地点关系，熟知设⊙O 的半径为 r，圆心 O 到直线 l 的距离为 d，当d＜r时，直线与圆订交是解答此题的重点．3.【答案】A【分析】S 2，S 2，S2，S2解：∵甲乙丙丁，∴S甲2=S 乙2＜S 丁2＜S丙2，∴＞，∴从中选择一名成绩好又发挥稳固的运动员参加竞赛，应当选择甲；应选：A．依据方差的意义先比较出甲、乙、丙、丁的大小，再依据均匀数的意义即可求出答案．本题考察了均匀数和方差，它反应了一组数据的波动大小，方差越大，颠簸性越大，反之也成立．4.【答案】D【分析】解：由题意知，△=4-4m＜0，∴m＞1应选：D．方程没有实数根，则△＜0，成立对于 m 的不等式，求出 m 的取值范围．本题考察了根的判别式，总结：一元二次方程根的状况与判别式△的关系：（1）△＞ 0? 方程有两个不相等的实数根；（2）△=0? 方程有两个相等的实数根；（3）△＜ 0? 方程没有实数根．5.【答案】C【分析】解：连结 EB，以下图：∵C（0，9），D（0，-1），∴OD=1，OC=9，∴CD=10，∴EB=ED=CD=5，OE=5-1=4，∵AB ⊥CD，∴AO=BO= AB ，OB===3，∴AB=2OB=6 ；应选：C．连结 EB，由题意得出 OD=1，OC=9，∴CD=10，得出 EB=ED=CD=5，OE=4，本题考察了垂径定理、坐标与图形性质、勾股定理；娴熟掌握垂径定理，由勾股定理求出 OB 是解决问题的重点．6.【答案】B【分析】解：如图，连结 AC ，取BC 的中点 K ，连结 AK ．∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴AB=CD=4 ，AD=BC=4 ，∵BK=KC=4 ，∴BA=BK ，∵∠B=60 °，∴△ABC 是等边三角形，AK=BK=KC ，∴∠BAC=90°，∵AB ∥CD，∴∠ACD= ∠BAC=90°，∴以 AD 为直径作⊙O 交 BC 于 P2，P3，此时△ADP2，△ADP3是直角三角形，当∠DAP1=90°时，△DAP 是直角三角形，∴切合条件的点 P 有三个，应选：B．如图，连结 AC ，取BC 的中点 K ，连结 AK ．第一证明∠BAC=90°，推出∠ACD=90°，以AD 为直径作⊙O 交 BC 于 P2，P3，此时△ADP 2，△ADP 3是直角三角形，当∠DAP1=90°时，△DAP 是直角三角形，因此切合条件的点 P有三个．本题考察圆周角定理，平行四边形的性质，直角三角形的判断和性质等知识，7.【答案】6【分析】解：设袋中有红球 x 个，依据题意得：，解得：x=6，答：袋中有红球 6 个；故答案为：6．设袋中有红球 x 个，依据摸到红球的频次列出方程，而后求解即可．本题主要考察了利用频次预计概率，本题利用了用大批试验获得的频次能够预计事件的概率．重点是依据红球的频次获得相应的等量关系．8.【答案】168168【分析】解：∵168cm 出现了 3 次，出现的次数最多，∴她们的身高的众数是 168cm；把这些数从小到大摆列为 166，167，168，168，168，169，则中位数是=168cm；故答案为：168，168找中位数要把数据按从小到大的次序摆列，位于最中间的一个数（或两个数的均匀数）为中位数，众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数能够不只一个．本题考察了中位数和众数，注意找中位数的时候必定要先排好次序，而后再依据奇数和偶数个来确立中位数，假如数占有奇数个，则正中间的数字即为所求，假如是偶数个则找中间两位数的均匀数；众数是一组数据中出现次数最多的数．9.【答案】85【分析】解：依据题意，小明上学期数学的总评成绩是=85（分），故答案为：85．依据加权均匀数的计算公式计算可得．本题考察了加权均匀数的求法，要注意乘以各自的权，直接相加除以 3 是错误的求法．10.【答案】 -2【分析】解：依据题意得 1+（-2）=-b ，1×（-2）=c ，因此 b=1，c=-2，因此 bc=-2．故答案为 -2．依据根与系数的关系获得 1+（-2）=-b ，1×（-2）=c ，而后分别求出 b 、c 的值，再计算 bc 的值．本题考察了一元二次方程根与系数的关系：若 x 1，x 2 是一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的两根，x 1+x 2=- ，x 1x 2= ．也考察了根的判别式．11.【答案】 x 1=-1 ， x 2=2【分析】解：∵2（x+1）=x （x+1）， ∴2（x+1）-x （x+1）=0， ∴（x+1）（2-x ）=0，则 x+1=0 或 2-x=0，解得：x 1=-1，x 2=2，故答案为：x 1=-1，x 2=2．先移项获得 2（x+1）-x （x+1）=0，而后利用因式分解法解方程．本题考察认识一元二次方程 -因式分解法：先把方程的右边化为 0，再把左侧经过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为 0，这就能获得两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转变为解一元一次方程的问题了（数学转变思想）．12.【答案】 35°【分析】解：∵OA=OC ， ∴∠C=∠A ，∵OB ∥AC ，∴∠AOB= ∠A ，∠BOD= ∠C，∴∠AOB= ∠BOD=35°，故答案为 35°只需证明∠AOB= ∠BOD 即可．本题考察平行线的性质，等腰三角形的性质等知识，解题的重点是娴熟掌握基本知识，属于中考常考题型．13.【答案】30【分析】解：连结 CE，如图，∵四边形 ABCE 为⊙O 的内接四边形，∴∠B+∠AEC=180°，∵∠B+∠AED=210°，∴∠CED=210°-180 =30° °，∴∠CAD= ∠CED=30°．故答案为 30．连结 CE，如图，先利用圆的内接四边形的性质获得∠B+∠AEC=180°，则可计算出∠CED=30°，而后依据圆周角定理获得∠CAD 的度数．本题考察了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半；圆的内接四边形的对角互补．14.【答案】10cm【分析】解：设铁皮扇形的半径和弧长分别为 R、l，圆锥形容器底面半径为 r，则由题意得 R=30，由Rl=300π得 l=20 π；由 2πr=l得 r=10cm．故答案是：10cm．由圆锥的几何特点，我们可得用半径为积为 2 铁皮制30cm，面300πcm 的扇形作一个无盖的圆锥则圆锥的底面周长等于扇形的弧长，据此求得圆形容器，锥的底面圆的半径．本题考察的知识点是圆锥的表面积，此中依据已知制作一个无盖的圆锥形容器的扇形铁皮的有关几何量，计算出圆锥的底面半径和高，是解答本题的关键．215.【答案】200（1+ x）-200（1+x）=22解：设该公司二、三月份产值均匀增添率为 x，则该公司二月份产值为 2002（1+x）万，三月份产值为 200（1+x）万，依据题200 1+x 2意得：（）-200 1+x =22（）．2故答案为：200（1+x）-200（1+x）=22．设该公司二、三月份产值均匀增添率为 x，则该公司二月份产值为 200（1+x）2万，三月份产值为 200（1+x）万，由三月份产值比二月份产值增添了 22 万，即可得出对于x 的一元二次方程，本题得解．本题考察了由实质问题抽出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的重点．16.【答案】6【分析】解：∵Rt△ABC 的内切圆⊙ I 分别与斜边 AB 、直角边 BC、CA 切于点 D、E、F， AD=3 ，BD=2 ，∴AD=AF=3 ，BD=BE=2 ，FC=EC，设 FC=EC=x，2 2 2则（3+x）+（2+x）=5 ，解得：x1=1，x 2=-6（不合题意舍去），则 AC=4，BC=3，故 Rt△ABC 的面积为：×4×3=6．故答案为：6．直接利用切线长定理得出 AD=AF=3 ，BD=BE=2 ，FC=EC，再联合勾股定理得出 FC 的长，从而得出答案．本题主要考察了切线长定理以及勾股定理，正确得出FC 的长是解题重点．217.【答案】解：（1）4x -2x-1=0；2∴x=2± 258，∴x1=1+54 ，x2=1-54 ；（2）（ y+1）2=（ 3y-1）2．解：（ y+1） =±（ 3y-1）y+1=3y-1 或 y+1=-3 y+1y1=1， y2=0 ．【分析】（1）找出a，b 及 c 的值，计算出根的判别式的值大于 0，代入求根公式即可求出解；（2）移项，而后利用因式分解法即可求解．本题考察认识一元二次方程 -公式法及因式分解法，利用公式法解方程时，首先将方程整理为一般形式，找出 a，b 及 c 的值，当根的鉴别式的值大于等于 0 时，代入求根公式即可求出解．18.【答案】解：列表以下：1 123 42 2 4 6 93 3 6 9 12以上共有12 个等可能的结果，此中积为偶数的有8 个结果，积为奇数的有 4 个结果，∴P（甲胜） =23， P（乙胜） =13 ，∵P（甲胜）＞ P（乙胜），∴规则不公正．【分析】第一依据题意画出表格，而后由表格求得所有等可能的结果，由两个数字的积为奇数和偶数的状况，再利用概率公式即可求得答案．本题考察游戏公正性、列表法和树状图法，解答此类问题的重点是明确题意，写出所有的可能性．19.【答案】2【分析】解：（1）袋中有红色球为：2 个，故答案为：2；（2）画树状图得：以上共 27 个等可能的结果，此中三次都为红色的有 8 个结果，∴P（三次都为红色）=．（1）依据概率公式即可获得结论；（2）先利用画树状图展现所有 27 种等可能的结果数，再找出 8 次都摸到红球的结果数，而后依据概率公式求解．本题考察了树状图法与列表法求概率．此题难度不大，解题的重点是依据题意画出树状图或列出表格，注意树状图法与列表法能够不重不漏的表示出所有等可能的结果，注意用到的知识点为：概率=所讨状况数与总状况数之比．20.【答案】60【分析】解：（1）20÷0.1=200（人），因此本次检查的样本为 200 名初中毕业生的视力状况，则 a=200×0.3=60，b=10÷；如图，（2）∵共有 200 个数据，此中位数是第 100 和第 101 个数据的均匀数，而第100 和第 101 个数据均落在 4.6 ≤x＜，∴甲同学的视力状况在 4.6 ≤x＜；（3）（）×3000=1050答：预计全区初中毕业生中视力正常的学生有1050 人．（1）先依据4.0 ≤x＜4.3 的频数和频次求得总人数，再依据频数 =频次×总数分别求得 a和 b，据此可补全图形；（2）依据中位数的定义求解可得；（3）用样本值后边两组的频次和乘以 3000 可预计全区初中毕业生中视力正常的学生数．本题考察了频数（率）散布直方图：频次散布直方图是用小长方形面积的大小来表示在各个区间内取值的频次．直角坐标系中的纵轴表示频次与组距的比值，即小长方形面积 =组距×频数组距=频次．从频次散布直方图能够清楚地看出数据散布的整体态势，可是从直方图自己得不出原始的数据内容．也考查了用样本预计整体．21.【答案】60°【分析】解：（1）连结 ID 、IE，∵∠B=50 °，∠C=70°，∴∠A=60 °，∵⊙I 是△ABC 的内切圆，切点分别是 D、E、F，∴∠IDA= ∠IEA=90 °，∴∠DIE=180 °-60 °=120 °，∴∠DFE 的度数为：60 °；故答案为：60°；（2）∵∠DFE=50°，∴∠DIE=100 °，∵AB 、AC 分别与⊙I 相切于点 D、E，∴∠ADI= ∠AEI=90 °，∴∠A=80 °．（1）直接利用切线的性质联合三角形内角和定理以及圆周角定理得出答案；（2）利用圆周角定理得出∠DIE 的度数，从而得出∠A 的度数．本题主要考察了三角形内切圆与心里：三角形的心里到三角形三边的距离相等；三角形的心里与三角形极点的连线均分这个内角．22.【答案】解：（1）x=-1代入得：1+m+m-2=0，解得 m=12 ；（2）∵a=1， b=-m，c=m-2，2 2∴b -4ac=m -4m+8，2 2∴b -4ac=（ m-2） +4，2∵（ m-2）≥0，∴（ m-2）2 +4＞ 0，∴无论 m 为任何实数，该方程都有两个不相等的实数．【分析】（1）依据方程的解的观点将x=-1 代入，解对于 m 的方程即可得；（2）依据△=m 2 （ 2 ＞即可得．）-4m+8= m-2 +4本题考察了根的判别式以及一元二次方程的解，解题的重点是：（1）代入x=1 求出 m 值；（2）切记“当△＞0 时，方程有两个不相等的实数根”．23.【答案】（1）证明：连结AD∵AB⊙ O 的直径，∴∠ADB=90 °，又∵AB=AC，∴BD =CD ．（2）∵AB=AC，∠BAC=50°，∴∠ABC=∠C=12 （180 °-50 °）=65 °，∵AB⊙ O 的直径，∴∠AEB=90 °，∵∠BAC=50 °，∴∠ABE=40 °，∴∠EBC=25 °，∵四边形 ABDE 内接于⊙ O，∴∠BAC+∠BDE =180 °，∵∠EDC+∠BDE =180 °，∴∠EDC=∠BAC =50 °．【分析】（1）连结 AD ，利用等腰三角形的三线合一的性质即可解决问题．（2）依据∠EBC=∠ABC- ∠ABE ，求出∠ABC ，∠ABE 即可，证明∠DEC=∠ABC 即可求出∠DEC．本题考察圆周角定理，等腰三角形的性质等知识，解题的重点是学会增添常用协助线，娴熟掌握基本知识，属于中考常考题型．24.【答案】（1）证明：连结OM 、 ON，∵大圆的弦AB、AC 分别切小圆于点M、 N．∴AM =AN， OM ⊥AB， ON⊥AB，∴AM =12 AB， AN=12 AC，∴AB=AC；（2）解：连结 AO，则 AO=5∵AB=8，∴AM =4，在 Rt△AOM 中， OM 2=OA2-AM2 OM 2=52-42，∴OM =3，即小圆的半径为3．【分析】（1）连结 OM 、ON，依据切线长定理得出 AM=AN ，OM ⊥AB ，ON⊥AB ，依据垂径定理得出 AM= AB ，AN=AC ，即可证得结论；（2）连结 AO ，则 AO=5，而后依据勾股定理即可求得．本题考察了切线的性质，勾股定理以及垂径定理，熟练掌握性质定理是解本题的重点．25.【答案】解：设每件售价为x 元，则可售出这类商品[150-5（ x-50） ]件，依据题意得：（x-40） [150-5 （ x-50） ]=1500 ，2解得： x1=50 ，x2=70，当 x=50 时， 150-5（ x-50）=150；当 x=70 时， 150-5（ x-50）=50．答：每件售价为50 元时，销售这类商品150 件；每件售价为70 元时，销售这类商品 50 件．【分析】设每件售价为 x 元，则可售出这类商品 [150-5 （x-50）]件，依据总收益 =每件的收益×销售数目，即可得出对于 x 的一元二次方程，解之即可得出结论．本题考察了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的重点．26.【答案】解：（1）以下图：（ 2）连结 OD，∵BD 均分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD ，∵OB、 OD 是半径， OB=OD ，∴∠ODB=∠ABD ，∴∠CBD=∠ODB ，∴OD ∥BC，∵∠C=90 °，∴∠ODA=90 °，∵D 是半径的外端点，∴AC 与⊙ O 相切．（ 3）设⊙ O 的半径为 x，在 Rt△AOD 中，由勾股定理得： 32+x2=（ 9-x）2，解得： x=4，∴⊙O 的半径为4．【分析】（1）作线段 AB 的中垂线与 AB 交于点 O，以O 为圆心、OB 长度为半径作图可得；（2）连结 OD，由BD 均分∠ABC 知∠ABD= ∠CBD，依据 OB=OD 知∠ODB= ∠ABD ，从而得∠CBD=∠ODB ，再由OD∥BC 知∠C=90°，据此即可得证；（3）设⊙O 的半径为 x，在Rt△AOD 中，由勾股定理得：3222，解之即+x =（9-x）可得出 x 的值．此题考查了作图-复杂作图线的判断与性质等知识题综合性很强，解、切．此题的重点是注意数形联合思想的应用．27.【答案】50130【分析】解：（1）∠AP1B=∠AOB=×100°=50°，∠AP2B=180°-∠APB=180°-50 °=130°；故答案为 50，130；（2）当P 在优弧 AB 上时，∠A PB=∠AOB=（）°；当 P 在劣弧 AB 上时，∠A PB=180°-（）°；（3）如图劣弧 AB （实线部分且不包括 A 、B 两个端点）就是所知足条件的点 C 所构成的图形．（1）依据圆周角定理计算∠AP1B 的度数，而后依据圆内接四边形的性质求∠AP2B 的度数；（2）与（1）的求法同样（注意分类议论）；（3）先作AB 的垂直均分线获得 AB 的中点 P，再以 AB 为直径作圆交 AB 的垂直均分线于 O，而后以 O 点为圆心，OA 为半径作⊙O，则⊙O 在⊙P内的弧为知足条件的点 C 所构成的图形．本题考察了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础长进行作图，一般是联合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的重点是熟习基本几何图形的性质，联合几何图形的基天性质把复杂作图拆解成基本作图，逐渐操作．也考察了圆周角定理．。

江苏省南京市九年级上学期数学期中考试试卷

江苏省南京市九年级上学期数学期中考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共8题；共16分)1. （2分）－5的倒数的相反数是（）A . －5B . 5C . －D .2. （2分） (2018七上·南昌期中) 太阳的直径约为1390000千米，这个数用科学记数法表示为（）A . 0.139×107千米B . 1.39×106千米C . 13.9×105千米D . 139×104千米3. （2分）(2017·宁津模拟) 下面几何体中，其主视图与俯视图相同的是（）A .B .C .D .4. （2分） (2016八上·遵义期末) 下列运算错误的是（）A . x2•x4=x6B . （-b）2•（-b）4=-b6C . x•x3•x5=x9D . （a+1）2（a+1）3=（a+1）55. （2分）如图所示，CE平分∠ACD，∠B=45°，∠ACE=50°，则∠A等于（）A . 45°B . 50°C . 55°D . 95°6. （2分） (2019九上·临沧期末) 如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，弦BD平分∠ABC，则下列结论错误的是A . AD=DCB .C . ∠ADB=∠ACBD . ∠DAB=∠CBA7. （2分）(2017·滨州) 如图，点P为定角∠AOB的平分线上的一个定点，且∠MPN与∠AOB互补，若∠MPN 在绕点P旋转的过程中，其两边分别与OA、OB相交于M、N两点，则以下结论：（1）PM=PN恒成立；（2）OM+ON的值不变；（3）四边形PMON的面积不变；（4）MN的长不变，其中正确的个数为（）A . 4B . 3C . 2D . 18. （2分）在我市今年慈善公益万人行活动中，某校九年级有50人参与了公益捐款，捐款金额的条形统计图如图．捐款金额的众数和中位数分别是（）A . 10，20B . 20，50C . 20，35D . 10，35二、填空题 (共6题；共6分)9. （1分）(2019·五华模拟) 函数y＝1﹣的自变量x的取值范围是________10. （1分） (2017七下·苏州期中) 将正三角形、正四边形、正五边形按如图所示的位置摆放．如果∠3=30°，那么∠1+∠2=________°．11. （1分） (2017八下·常州期末) 如图，将△ABC绕顶点C逆时针旋转40°，顶点A恰好转到AB边上点E 的位置，则∠DBC=________．12. （1分）(2016·云南) 如果关于x的一元二次方程x2+2ax+a+2=0有两个相等的实数根，那么实数a的值为________．13. （1分）(2017·江北模拟) 如图，已知反比例函数y=﹣的图象与直线y=kx（k＜0）相交于点A、B，以AB为底作等腰三角形，使∠ACB=120°，且点C的位置随着k的不同取值而发生变化，但点C始终在某一函数图象上，则这个图象所对应的函数解析式为________．14. （1分） (2017八下·兴化期中) 已知y＝＋－3，则 xy的值为________．三、解答题 (共9题；共90分)15. （10分）(2018·无锡) 计算：（1）（﹣2）2×|﹣3|﹣（）0；（2）（x+1）2﹣（x2﹣x）16. （10分）如图，的半径为5，弦于E，．（1）求证：；（2）若于F，于G，试说明四边形OFEG是正方形．17. （5分） (2020九上·鞍山期末) 如图，已知△ABC的顶点A、B、C的坐标分别是A（﹣1，﹣1）、B（﹣4，﹣3）、C（﹣4，﹣1）．①画出△ABC关于原点O中心对称的图形△A1B1C1；②将△ABC绕点A按顺时针方向旋转90°后得到△AB2C2 ，画出△AB2C2并求线段AB扫过的面积．18. （10分） (2018七上·宿州期末) 君畅中学计划购买一些文具送给学生，为此学校决定围绕“在笔袋、圆规、直尺、钢笔四种文具中，你最需要的文具是什么？（必选且只选一种）”的问题，在全校范围内随机抽取部分学生进行问卷调查，将调查结果整理后绘制成如图所示的不完整的统计图，请你根据以上信息回答下列问题：（1）在这次调查中，最需要圆规的学生有多少名？并补全条形统计图；（2）如果全校有970名学生，请你估计全校学生中最需要钢笔的学生有多少名？19. （10分）(2017·罗平模拟) 现有A，B两组卡片共5张，A中三张分别写有数字2，4，6，B中两张分别写有3，5，它们除数字外完全一样．（1）随机地从A中抽取一张，求抽到数字为2的概率；（2）随机地分别从A、B中各抽取一张，请你用画树状图或列表的方法表示所有等可能的结果．现制定这样一个游戏规则：若所选出的两数之积为3的倍数，则甲获胜；否则乙获胜．请问这样的游戏规则对甲乙双方公平吗？为什么？若不公平，你认为怎样制定游戏规则，对甲乙双方才公平？20. （10分） (2018九上·安定期末) 如图，O为坐标原点，点A(1，5)和点B(m，1)均在反比例函数y＝图象上．（1）求m，k的值；（2）设直线AB与x轴交于点C，求△AOC的面积．21. （10分）(2013·贺州) 某校为了丰富学生的校园生活，准备购进一批篮球和足球．其中篮球的单价比足球的单价多40元，用1500元购进的篮球个数与900元购进的足球个数相等．（1）篮球和足球的单价各是多少元？（2）该校打算用1000元购买篮球和足球，问恰好用完1000元，并且篮球、足球都买有的购买方案有哪几种？22. （10分） (2015九上·房山期末) 如图，在△ABC中，D为AC边上一点，∠DBC=∠A．（1）求证：△BCD∽△ACB；（2）如果BC= ，AC=3，求CD的长．23. （15分） (2016八上·鞍山期末) 如图，排球运动员站在点O处练习发球，将球从O点正上方2 的A 处发出，把球看成点，其运行的高度与运行的水平距离满足关系式．已知球网与O 点的水平距离为9 ，高度为2.43 ，球场的边界距O点的水平距离为18 ．（1）当 =2.6时，求与的关系式（不要求写出自变量的取值范围）；（2）当 =2.6时，球能否越过球网？球会不会出界？请说明理由；（3）若球一定能越过球网，又不出边界，求二次函数中的取值范围．参考答案一、单选题 (共8题；共16分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、二、填空题 (共6题；共6分)9-1、10-1、11-1、12-1、13-1、14-1、三、解答题 (共9题；共90分)15-1、15-2、16-1、16-2、17-1、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、22-2、23-1、23-2、23-3、第11 页共11 页。

南京数学九年级上册试卷【含答案】

南京数学九年级上册试卷【含答案】专业课原理概述部分一、选择题（每题1分，共5分）1. 若一个正方形的边长为a，则它的对角线长是（）A. a/2B. a√2C. 2aD. a²2. 下列函数中，哪个是增函数？（）A. y = -x²B. y = x³C. y = 2-xD. y = 1/x3. 若一组数据的标准差是4，则这组数据的方差是（）A. 16B. 4C. 1/16D. 1/44. 在直角坐标系中，点P(2, -3)关于原点的对称点是（）A. (2, 3)B. (-2, 3)C. (-2, -3)D. (2, -3)5. 下列哪个数是无理数？（）A. √9B. √16C. √3D. √1二、判断题（每题1分，共5分）6. 任何两个奇数之和都是偶数。

（）7. 一元二次方程的解一定是实数。

（）8. 对角线互相垂直的四边形一定是菱形。

（）9. 两个负数相乘的结果是正数。

（）10. 三角函数是周期函数。

（）三、填空题（每题1分，共5分）11. 若一个三角形的两边长分别是5和12，那么第三边的长度范围是______。

12. 函数y = 3x + 2的图像是一条______。

13. 若sinθ = 1/2，则θ的一个可能值是______度。

14. 一组数据的中位数是这组数据的______。

15. 若一个圆的半径为r，则这个圆的面积是______。

四、简答题（每题2分，共10分）16. 解释无理数的概念。

17. 什么是函数的单调性？18. 简述勾股定理的内容。

19. 什么是等差数列？20. 解释圆的标准方程。

五、应用题（每题2分，共10分）21. 一个长方形的长是宽的两倍，如果长方形的周长是24厘米，求长方形的长和宽。

22. 已知函数f(x) = 2x + 3，求f(-1)和f(3)的值。

23. 若一组数据为{3, 7, 5, 13, 20}，求这组数据的平均数。

24. 一个等腰三角形的底边长为10厘米，腰长为13厘米，求这个三角形的面积。

江苏省南京市第三初级中学九年级数学上学期期初测试试题苏科版

1一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分） 1．若1<a ，则下列各式错误的是（）A ．01<-aB ．1->-aC ．05>+aD ．53<a 2．若点)4,3(是反比例函数xm=y 图像上的一点，则此图像一定经过点（） A ． (2，-6) B ．(2，6) C ．(4，-3) D ．(3，-4) 3．若分式方程424-+=-x ax x 有增根，则a 的值为（） A ．4 B ． 2 C ． 1 D ． 04．如图，在长为8 cm 、宽为4 cm 的矩形中，截去一个矩形，使得留下的矩形（图中阴影部分）与原矩形相似，则留下矩形的面积（）A ．2 cm 2B ．4 cm 2C ． 8 cm 2D ． 16 cm 25．要使二次根式x 43-有意义，字母x 必须满足的条件是（） A ． 43≥x B ． 43>x C ．34≤x D ． 43≤x 6．下列命题①等边三角形是中心对称图形；②五边形的外角和等于360；③一个锐角的余角还是一个锐角；④一个数的算术平方根一定比这个数小。

其中真命题的个数是（）A ．4个B ． 3个C ． 2个D ．1个7．已知抛一枚均匀硬币正面朝上的概率是0.5，下列说法错误的是（） A ．通过抛一枚均匀硬币确定谁先发球的比赛规则是公平的 B ．连续抛一枚均匀硬币2次，一次是正面一次是反面的概率是21C ．大量反复抛一枚均匀硬币，平均每100次出现正面朝上50次D ．连续抛一枚均匀硬币2次，必有1次正面朝上8．有一张矩形纸片ABCD ，AB=2.5，AD=1.5，将纸片折叠，使AD 边落在AB 边上，折痕DE ，再将∆AED 以DE 为折痕向右折叠，AE 与BC 交于点F （如下图），则CF 的长为（）A 、0.5B 、0.75C 、1D 、1.25 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）9．在比例尺为1：3000的地图上，量得甲、乙两地的距离为15cm ，则甲、乙两地的实际距离是 km ．10．两个相似多边形的面积之比为1：4，若他们的周长之差为10cm ，则较大的多边形的周长为 cm ．211．计算aa a a a a 24)22(-⋅+--的结果是__________． 12．若关于x 的不等式组⎩⎨⎧-≤+≥-1120x a x 的整数解只有4个，则a 的取值范围是_____．13．写出命题“直角三角形的两个锐角互余”的逆命题 __________． 14．化简：21= ；当2a <时，2(2)a -=__________．15．方程x x 22=的解是__________．16．如图，一次函数)0(1≠+=a b ax y 与反比例函数)0(2≠=k xky 的图象交于A （1，4）、B （4，1）两点，若使21y y >，则x 的取值范围是______．17．如图，△ABC 中，∠ACB =90°，AB=8cm ，D 是AB 的中点，现将△BCD 沿BA 方向平移1cm ，得到△EFG，FG 交AC 于H ，则GH 的长等于______cm ． 18．如图（1）的矩形纸片折叠，B 、C 两点恰好重合落在 AD 边上的点P 处，如图（2），已知∠MPN=90º，PM=3，PN=4，那么矩形ABCD的周长为．三、解答题（本大题共10小题，共64分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（5分）求不等式组⎪⎩⎪⎨⎧>+≥+231325x x x 的解集，并求出它的整数解．20．（5分）解方程23749392---=-+x x x x ．图（2）图（1） _ G _ N_ M_ H _ P _ D _ A _ A _ B _ D _ C321．（5分）计算21)12(418+-⎪⎭⎫⎝⎛+-．22．（8分）有三张正面分别写有数字-2 、-1 、1 的卡片，它们的背面完全相同，将这三张卡片背面朝上洗匀后随机抽取一张，以其正面的数字作为x 的值，放回卡片洗匀，再从三张卡片中随机抽取一张，以其正面的数字作为y 的值，两次结果记为（x ，y ）．（1）用树状图或列表法表示（x ，y ）所有可能出现的结果；（2）求使分式221y x -有意义的（x ，y ）出现的概率；（3）化简分式yx yy x xy x -+--2223，并求使分式的值为整数的（x ，y ）出现的概率． 23．（6分）某人仅带27元去文具店，想买7本练习本和3支铅笔，但钱不够，结果买了4本练习本和6支铅笔，还剩3元，请你算一算：2本练习本和3支铅笔哪个价格高？24．（5分）如图，在正方形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，E 、F 分别在OD 、OC 上，且DE=CF ，连接DF 、AE ，AE 的延长线交DF 于点M ．求证：AM ⊥DF ．25．（8分）已知：如图，菱形ABCD 中，E 、F 分别是CB 、CD 上的点，BE=DF ．（1）求证：AE=AF ；（2）若AE 垂直平分BC ，AF 垂直平分CD ，求证：△AEF 为等边三角形．426．（10分）如图，已知双曲线xky，经过点D （6，1），点C 是双曲线第三象限上的动点，过C 作CA ⊥x 轴，过D 作DB ⊥y 轴，垂足分别为A ，B ，连接AB ，B C ．（1）直接写出k 的值；（2）若△BCD的面积为12，求直线CD 的函数关系式；（3）判断AB 与CD 的位置关系，并说明理由．27．（12分）情境观察：将矩形ABCD 纸片沿对角线AC 剪开，得到△ABC 和△A′C′D，如图1所示．将△A′C′D 的顶点A′与点A 重合，并绕点A 按逆时针方向旋转，使点D 、A （A′）、B 在同一条直线上，如图2所示．观察图2可知：与BC 相等的线段是，∠CAC′=．问题探究：如图3，△ABC 中，AG ⊥BC 于点G ，以A 为直角顶点，分别以AB 、AC 为直角边，向△ABC 外作等腰Rt △ABE 、等腰Rt △ACF ，过点E 、F 作射线GA 的垂线，垂足为P 、Q ．试探究EP 与FQ 之间的数量关系，并证明你的结论．拓展延伸：如图4，△ABC 中，AG ⊥BC 于点G ，分别以AB 、AC 为一边向△ABC 外作矩形ABME和矩形ACNF，射线GA交EF于点H．若AB=k AE，AC=k AF，试探究HE与HF之间的数量关系，并说明理由．562013～2014学年度第一学期九年级数学期初测试卷参考答案及评分标准一．选择题：（本大题共8小题，每小题2分，共16分）二．填空题：（本大题共8题，每小题2分，共20分）三、解答题（本大题共10小题，共64分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19．解：由①得1-≥x ………1分由②得x x 322>+ 2<x ………3分∴原不等式组的解集是21<≤-x ………4分 ∴整数解是-1,0,1………5分1=………5分22．解：(1)用列表法表示（x ，y ）所有可能出现的结果如下：-2 -1 17共有9个等可能的结果………3分(列表与树状图2分) (2)∵使分式221y x -有意义的（x ，y ）有（-1，-2）、（1，-2）、（-2，-1）、（-2，1）4种情况………4分 ∴使分式221y x -有意义的（x ，y ）出现的概率是94………5分(3)∵ )(3222y x y x yx y x y yx xy x ±≠+-=-+--………6分使分式的值为整数的（x ，y ）有（1，-2）、（-2，1）2种情况，………7分 ∴使分式的值为整数的（x ，y ）出现的概率是92………8分23．解：设练习本的单价是x 元/本,铅笔的单价是y 元/支………1分⎩⎨⎧=+>+②2464①2737y x y x ………3分由②得x y 2123-=③将③代入①得3>x ④………4分将④代入③得2<y ………5分 ∴62,63><x y∴2本练习本比3支铅笔的价格高………6分24．证明：∵ABCD 是正方形， ∴OD=OC ，………1分又∵DE=CF ，∴OD ﹣DE=OC ﹣CF ，即OF=OE ，………2分在△AOE 和△DOF 中，。

2023-2024学年江苏省南京市建邺区九年级(上)期中数学试卷(含解析)

2023-2024学年江苏省南京市建邺区九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分.在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1．（2分）已知⊙O的半径为5，点P在⊙O内，则OP的长可能是（）A．7B．6C．5D．42．（2分）关于x的一元二次方程x2﹣2x+a＝0有两个相等的实数根，则a的值是（）A．4B．﹣4C．1D．﹣13．（2分）学校食堂有15元，18元，20元三种盒饭供学生选择（每人购一份）．某天盒饭销售情况如图所示，则当天学生购买盒饭费用的平均数是（）A．15元B．16元C．17元D．18元4．（2分）下列说法中，正确的是（）A．两个半圆是等弧B．三个点确定一个圆C．相等的弦所对的弧相等D．圆的内接平行四边形是矩形̂为64°，则∠AED的度数5．（2分）如图，⊙O的弦AB，DC的延长线相交于点E，∠AOD＝142°，BC为（）A．38°B．39°C．40°D．41°6．（2分）若关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根之和是m，两根之积是n，则关于t的方程a（t+1）2+b（t+1）+c＝0的两根之积是（）A ．n +m ﹣1B ．n +m +1C ．n ﹣m +1D ．n ﹣m ﹣1二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分.请把答案填写在答题卡相应位置） 7．（2分）方程x 2﹣2x ＝0的解为．8．（2分）据调查，某班40位同学所穿鞋子的尺码如表所示，则鞋子尺码的中位数是码．9．（2分）在⊙O 中，弦AB 的长恰好等于半径，弦AB 所对的圆心角为． 10．（2分）甲、乙两人分别进行5次射击练习，成绩如下（单位：环）：甲：7，8，7，7，10；乙：8，7，8，10，8．甲、乙的射击成绩的方差分别为s 甲2，s 乙2，则s 甲2 s 乙2（填“＞”“＜”或“＝”）．11．（2分）建邺区2020年GDP 为1122亿元，2022年GDP 为1251亿元，设这两年GDP 的年平均增长率为x ，根据题意可列方程为．12．（2分）圆锥的底面半径为6cm ，母线长为10cm ，则圆锥的侧面积为 cm 2． 13．（2分）如图，AB ＝AC ＝AD ．若∠ADB ＝α，则∠BCD ＝．14．（2分）如图，在正六边形ABCDEF 中，点P 是AF 上任意一点，连接PC ，PD ，则△PCD 与正六边形ABCDEF 的面积之比为．15．（2分）设x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx ﹣（a +b ）＝0（a ，b 是常数）的两个根．若x 1x 2＜0，则x 1+x 2的取值范围是．16．（2分）如图，在▱ABCD中，AB＝12cm，AD＝6cm，∠DAB＝60°，点P为AB上一点，过点C，D，P作⊙O，当点P从点A运动到点B时，点O运动路线的长为cm．三、解答题（本大题共11小题，共88分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（8分）解下列方程：（1）x2+2x+1＝25；（2）（x﹣2）（x+3）＝（x﹣2）（2x﹣1）．18．（8分）“强国”自习室规定，每人每天学习需一次性支付10元场地费．随机抽取自习室一周的学习人数如下表（单位：人）：（1）求该自习室本周的日平均营业额．（2）如果用该自习室本周星期一到星期五的日平均营业额估计当月的营业总额，你认为是否合理？如果合理，请说明理由；如果不合理，请设计一个方案，并估计该自习室当月（按30天计算）的营业总额．19．（8分）根据江心洲地质水文条件量身打造的“新时代号”泥水平衡盾构机，是目前世界上最先进的盾构设备之一，被誉为“国之重器”．如图1，盾构机核心部件——刀盘的形状是一个圆形．如图2，当机器暂停时，刀盘露在地上部分的跨度AB＝12m，拱高（弧的中点到弦的距离CD）3m，求盾构机刀盘的半径．20．（8分）如图，已知四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，延长DC ，AB 相交于点E ，且∠ABC ＝2∠E ．求证：△ADE 是等腰三角形．21．（7分）已知关于x 的方程x 2+kx +k ﹣2＝0．（1）证明：不论k 为何值，方程总有两个不相等的实数根；（2）若k 为整数，则当k ＝时，方程的根是整数．22．（8分）如图，AB 是⊙O 的直径，点C ，D 在圆上，BC ̂=CD ̂，过点C 作CE ⊥AD 交AD 的延长线于点E ．（1）求证：CE 是⊙O 的切线；（2）若AD ＝10，AO ＝13，求CE 的长．23．（8分）2023年全国旅游市场持续回暖．经调研，“十一”假期期间，如果某景区门票定价为每张80元，那么当天入园人数预计将达到20000人；如果票价每增加1元，那么当天入园人数就减少200人．要使每日门票收入达到1620000元，票价应定为多少元？24．（8分）如图，AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，且AC ̂=CE ̂，AE ，CB 的延长线交于点G ，CF ⊥AB 交于AG 于点F ，垂足为D ．（1）求证：∠CAB ＝∠BCD ；（2）求证：AF ＝FG ．25．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆，过点O作AC的垂线，垂足为D，分̂于点E，F，AF，BC的延长线交于点G．别交CB的延长线，AC（1）求证AC＝CG；（2）若EB＝CG，求∠BAC的度数．26．（9分）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AC＝16cm，BD＝12cm，动点M从点A出发沿AC方向以2cm/s的速度运动到点C，动点N从点B出发沿BD方向以1cm/s的速度运动到点D．若点M，N同时出发，其中一个点停止运动时，另一个点也停止运动．（1）出发1秒钟时，△MON的面积＝cm2；（2）出发几秒钟时，△MON的面积为1cm2？27．（8分）如图，已知△ABC和长度为m的线段．用圆规与无刻度直尺分别作出满足下列条件的圆．（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）（1）求作⊙A，使其与线段BC相交所形成的弦的长度为m．（2）求作⊙O，使其与△ABC各边相交所形成的弦的长度均为m．2023-2024学年江苏省南京市建邺区九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分.在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1．（2分）已知⊙O的半径为5，点P在⊙O内，则OP的长可能是（）A．7B．6C．5D．4【分析】根据点在圆内，点到圆心的距离小于圆的半径进行判断．【解答】解：∵⊙O的半径为5，点P在⊙O内，∴OP＜5．故选：D．2．（2分）关于x的一元二次方程x2﹣2x+a＝0有两个相等的实数根，则a的值是（）A．4B．﹣4C．1D．﹣1【分析】由一元二次方程根的判别式，解出即可．【解答】解：∵一元二次方程有两个相等的实数根，∴Δ＝0，∴（﹣2）2﹣4×1×a＝0，解得，a＝1；故选：C．3．（2分）学校食堂有15元，18元，20元三种盒饭供学生选择（每人购一份）．某天盒饭销售情况如图所示，则当天学生购买盒饭费用的平均数是（）A．15元B．16元C．17元D．18元【分析】根据加权平均数的计算方法，分别用单价乘以相应的百分比，计算即可得解．【解答】解：15×40%+18×50%+20×10%＝17（元），即当天学生购买盒饭费用的平均数是17元．故选：C．4．（2分）下列说法中，正确的是（）A．两个半圆是等弧B．三个点确定一个圆C．相等的弦所对的弧相等D．圆的内接平行四边形是矩形【分析】根据等弧的概念、确定圆的条件、弧与弦的关系、圆内接四边形的性质判断即可．【解答】解：A、两个半径相等的半圆是等弧，故本选项说法错误，不符合题意；B、不在同一直线上的三个点确定一个圆，故本选项说法错误，不符合题意；C、相等的弦所对的弧不一定相等，故本选项说法错误，不符合题意；D、圆的内接平行四边形是矩形，说法正确，符合题意；故选：D．5．（2分）如图，⊙O的弦AB，DC的延长线相交于点E，∠AOD＝142°，BĈ为64°，则∠AED的度数为（）A．38°B．39°C．40°D．41°【分析】连接OB，OC，BD，利用圆周角定理求出∠ABD，∠BDC，再利用三角形的外角的性质求出∠AED即可．【解答】解：如图，连接OB，OC，BD，∵∠ABD=12∠AOD，∠AOD＝142°，∴∠ABD＝71°，∵BĈ为64°，∴∠BOC＝64°，∴∠BDC=12∠BOC＝32°，∵∠ABD＝∠BDC+∠AED，∴∠AED＝71°﹣32°＝39°．故选：B．6．（2分）若关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根之和是m，两根之积是n，则关于t的方程a（t+1）2+b（t+1）+c＝0的两根之积是（）A．n+m﹣1B．n+m+1C．n﹣m+1D．n﹣m﹣1【分析】把方程a（t+1）2+b（t+1）+c＝0看作关于t+1的一元二次方程，则利用关于x的方程ax2+bx+c ＝0（a≠0）的两根为x1，x2得到t1＝x1﹣1，t2＝x2﹣1，然后利用根与系数的关系得到结论．【解答】解：把方程a（t+1）2+b（t+1）+c＝0看作关于t+1的一元二次方程，设关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根为x1，x2，则方程a（t+1）2+b（t+1）+c＝0的两根为t1＝x1﹣1，t2＝x2﹣1，∵关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根之和是m，两根之积是n，∴x1+x2＝m，x1x2＝n，∴t1t2＝（x1﹣1）（x2﹣1）＝x1x2﹣（x1+x2）+1＝n﹣m+1．故选：C．二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分.请把答案填写在答题卡相应位置）7．（2分）方程x2﹣2x＝0的解为x1＝0，x2＝2．【分析】把方程的左边分解因式得x（x﹣2）＝0，得到x＝0或x﹣2＝0，求出方程的解即可．【解答】解：x2﹣2x＝0，x（x﹣2）＝0，x＝0或x﹣2＝0，x1＝0 或x2＝2．故答案为：x1＝0，x2＝2．8．（2分）据调查，某班40位同学所穿鞋子的尺码如表所示，则鞋子尺码的中位数是38码．【分析】找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数．【解答】解：一共有40个数据，位置处于中间的数是：38，38，所以中位数是（38+38）÷2＝38．故鞋子尺码的中位数是38码．故答案为：38．9．（2分）在⊙O 中，弦AB 的长恰好等于半径，弦AB 所对的圆心角为 60° ．【分析】先画图，由等边三角形的判定和性质求得弦AB 所对的圆心角．【解答】解：如图，∵AB ＝OA ＝OB ，∴△AOB 为等边三角形， ∴∠AOB ＝60°，故答案为60°．10．（2分）甲、乙两人分别进行5次射击练习，成绩如下（单位：环）：甲：7，8，7，7，10；乙：8，7，8，10，8．甲、乙的射击成绩的方差分别为s 甲2，s 乙2，则s 甲2 ＞ s 乙2（填“＞”“＜”或“＝”）．【分析】分别计算两人的平均数和方差即可得出答案．【解答】解：甲的平均成绩为（7+8+7+7+10）÷5＝7.8，乙的平均成绩为（8+7+8+10+8）÷5＝8.2；甲的方差S 2=15×[3×（7﹣7.8）2+（8﹣7.8）2+（10﹣7.8）2]＝1.36，乙的方差S 2=15×[3×（8﹣8.2）2+（7﹣8.2）2+（10﹣8.2）2]＝0.96．故甲，乙两人方差的大小关系是：s 甲2＞s 乙2．故答案为：＞．11．（2分）建邺区2020年GDP 为1122亿元，2022年GDP 为1251亿元，设这两年GDP 的年平均增长率为x ，根据题意可列方程为 1122（1+x ）2＝1251 ．【分析】根据建邺区2020年GDP 为1122亿元，2022年GDP 为1251亿元，列出一元二次方程即可．【解答】解：根据题意得：1122（1+x ）2＝1251，故答案为：1122（1+x）2＝1251．12．（2分）圆锥的底面半径为6cm，母线长为10cm，则圆锥的侧面积为60πcm2．【分析】圆锥的侧面积＝π×底面半径×母线长，把相应数值代入即可求解．【解答】解：圆锥的侧面积＝π×6×10＝60πcm2．13．（2分）如图，AB＝AC＝AD．若∠ADB＝α，则∠BCD＝90°+α．【分析】根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求出角BAD的度数，再根据四边形内角和为360°得出∠ABC+∠BCD+∠ADC＝360°﹣（180°﹣2α）＝180°+2α，再根据等腰三角形的性质即可推出结果．【解答】解：∵AB＝AD，∠ADB＝α，∴∠ABD＝∠ADB＝α，∴∠BAD＝180°﹣2α，∴∠ABC+∠BCD+∠ADC＝360°﹣（180°﹣2α）＝180°+2α，∵AB＝AC＝AD，∴∠ABC＝∠ACB，∠ACD＝∠ADC，∴∠ACB+∠BCD+∠ACD＝180°+2α，即2∠BCD＝180°+2α，∴∠BCD＝90°+α，故答案为：90°+α．14．（2分）如图，在正六边形ABCDEF中，点P是AF上任意一点，连接PC，PD，则△PCD与正六边形ABCDEF的面积之比为1：3．【分析】设正多边形的中心为O，如图，连接CF，DF，OD，根据AF∥CD，得到S△PCD＝S△FCD，根据OC＝OF得到S△OCD＝S△OFD=12S△PCD，而S△OCD=16S正六边形，求出比值即可．【解答】解：设正多边形的中心为O，如图，连接CF，DF，OD，∵AF∥CD，∴S△PCD＝S△FCD，∵OC＝OF，∴S△OCD＝S△OFD=12S△PCD，∵S△OCD=16S正六边形，∴△PCD与正六边形ABCDEF的面积之比为1：3．故答案为：1：3．15．（2分）设x1，x2是一元二次方程ax2+bx﹣（a+b）＝0（a，b是常数）的两个根．若x1x2＜0，则x1+x2的取值范围是x1+x2＜1．【分析】根据根与系数的关系得x1+x2=−ba，x1x2=−a+ba，由x1x2＜0，得−a+ba＜0，即−ba＜1，所以x1+x2=−ba＜1，【解答】解：∵x1，x2是一元二次方程ax2+bx﹣（a+b）＝0（a，b是常数）的两个根，∴x1+x2=−ba，x1x2=−a+ba，∵x1x2＜0，∴−a+ba＜0，即﹣1−ba＜0，∴−ba＜1，∴x1+x2=−ba＜1，则x1+x2的取值范围是x1+x2＜1．故答案为：x1+x2＜1．16．（2分）如图，在▱ABCD中，AB＝12cm，AD＝6cm，∠DAB＝60°，点P为AB上一点，过点C，D，P作⊙O，当点P从点A运动到点B时，点O运动路线的长为5√3cm．【分析】根据垂径定理确定圆心O所在直线，然后根据勾股定理得出圆心与CD中点之间距离的变化规律，从而得出O点的轨迹路程．【解答】解：当点O在CD上时，CD为圆的直径，∴OD=12CD＝6cm，∴OD＝OP＝AD＝BC，∴P为AB中点或与B重合，当点O在CD下方时，过O作OE⊥CD于，交AB于F，过D作DG⊥AB于G，如图1，设AP＝x cm，则0≤x≤6，OE＝y cm，∵∠A＝60°，∴AG=12AD＝3cm，DG=√3AG＝3√3cm，又∵AB∥CD，∴EF＝DG＝3√3cm，DE＝FG＝6cm，∴AF＝AG+FG＝9cm，∴PF＝（9﹣x）cm，∵OP＝OD，由勾股定理得：OE2+DE2＝OF2+PF2，即y2+36＝（3√3−y）2+（9﹣x）2，整理得：y=√318x2−√3x+4√3，∴在0≤x≤6时，0≤y≤4√3，∴O移动了4√3cm，当O在CD上方时，过O作AB垂线，交CD于E，AB于F，如图2：设AP ＝x cm ，则6≤x ≤12，OE ＝y cm ， ∴OF ＝（y +3√3）cm ，根据勾股定理得： OE 2+DE 2＝OF 2+PF 2，即y 2+36＝（y +3√3）2+（9﹣x ）2，整理得：y =√32−(x−9)26√3∴x ＝9时，y 有最大值√32，x ＝6时，y ＝0，x ＝12时，y ＝0，即O 点向上移动√32cm 后，再向下移动√32cm ，∴O 的运动路线总长为：4√3+√32×2＝5√3cm ．故答案为：5√3．三、解答题（本大题共11小题，共88分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（8分）解下列方程：（1）x 2+2x +1＝25；（2）（x ﹣2）（x +3）＝（x ﹣2）（2x ﹣1）．【分析】（1）把方程左边化为完全平方式的形式，再求出x 的值即可；（2）先移项，再提取公因式即可．【解答】解：（1）x 2+2x +1＝25，（x +1）2＝25， x +1＝±√25=±5， x 1＝4，x 2＝﹣6；（2）（x ﹣2）（x +3）＝（x ﹣2）（2x ﹣1），（x ﹣2）（x +3）﹣（x ﹣2）（2x ﹣1）＝0，（x﹣2）[（x+3）﹣（2x﹣1）]＝0，（x﹣2）（x+3﹣2x+1）＝0，（x﹣2）（4﹣x）＝0，x﹣2＝0，或4﹣x＝0，x1＝2，x2＝4．18．（8分）“强国”自习室规定，每人每天学习需一次性支付10元场地费．随机抽取自习室一周的学习人数如下表（单位：人）：（1）求该自习室本周的日平均营业额．（2）如果用该自习室本周星期一到星期五的日平均营业额估计当月的营业总额，你认为是否合理？如果合理，请说明理由；如果不合理，请设计一个方案，并估计该自习室当月（按30天计算）的营业总额．【分析】（1）根据平均数的定义计算可得；（2）从极端值对平均数的影响作出判断，可用该自习室本周一到周日的日均营业额估计当月营业额．【解答】解：（1）该店本周的日平均营业额为756×10÷7＝1080（元），所以该自习室本周的日平均营业额为1080元；（2）因为在周一至周日的营业额中周六、日的营业额明显高于其他五天的营业额，所以去掉周六、日的营业额对平均数的影响较大，故用该自习室本周星期一到星期五的日平均营业额估计当月的营业总额不合理，方案：用该自习室本周一到周日的日均营业额估计当月营业额，当月的营业额为30×1080＝32400（元）．19．（8分）根据江心洲地质水文条件量身打造的“新时代号”泥水平衡盾构机，是目前世界上最先进的盾构设备之一，被誉为“国之重器”．如图1，盾构机核心部件——刀盘的形状是一个圆形．如图2，当机器暂停时，刀盘露在地上部分的跨度AB＝12m，拱高（弧的中点到弦的距离CD）3m，求盾构机刀盘的半径．【分析】设OA ＝OC ＝r m ．构建方程求解．【解答】解：设OA ＝OC ＝r m ．∵OC ⊥AB ，∴AD ＝DB =12AB ＝6（m ）， ∵OA 2＝AD 2+OD 2， ∴r 2＝62+（r ﹣3）2， ∴r ＝7.5．∴盾构机刀盘的半径为7.5m ．20．（8分）如图，已知四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，延长DC ，AB 相交于点E ，且∠ABC ＝2∠E ．求证：△ADE 是等腰三角形．【分析】根据圆内接四边形的性质和等腰三角形的判定定理证明．【解答】证明：∵四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形， ∴∠A ＝∠BCE ，∵∠ABC ＝2∠E ，∠ABC ＝∠E +∠BCE ， ∴∠BCE ＝∠BEC ， ∴∠A ＝∠BEC ， ∴DA ＝DE ，即△ADE 是等腰三角形．21．（7分）已知关于x 的方程x 2+kx +k ﹣2＝0．（1）证明：不论k 为何值，方程总有两个不相等的实数根；（2）若k 为整数，则当k ＝ 2 时，方程的根是整数．【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出Δ＝（k ﹣2）2+4＞0，由此可证出不论k 取何值，方程必有两个不相等的实数根；（2）将x ＝﹣2代入原方程可求出k 值，再根据两根之和等于−b a可求出方程另一个根．【解答】（1）证明：Δ＝k 2﹣4（k ﹣2）＝k 2﹣4k +8＝（k ﹣2）2+4． ∵（k ﹣2）2≥0，∴（k ﹣2）2+4＞0，即Δ＞0，∴不论k 取何值，方程必有两个不相等的实数根；（2）将x 2+kx +k ﹣2＝0．整理得：k =2−x 2x+1=（1﹣x ）+1x+1，x ＝0，k ＝2； x ＝1．k =12； x ＝2，k =−23， x ＝﹣2，k ＝2， ……，答：k 的值为2，方程的根是整数．故答案为：2．22．（8分）如图，AB 是⊙O 的直径，点C ，D 在圆上，BC ̂=CD ̂，过点C 作CE ⊥AD 交AD 的延长线于点E ．（1）求证：CE 是⊙O 的切线；（2）若AD ＝10，AO ＝13，求CE 的长．【分析】（1）连接OC ，AC ，OA ＝OC ，则∠OCA ＝∠OAC ，再由已知条件，可得∠OCE ＝90°；（2）作OF ⊥AD ，得到四边形OCEF 是矩形和AF ＝5，根据矩形性质可得CE 长．【解答】（1）证明：连接OC ，AC ， ∵OA ＝OC ， ∴∠OCA ＝∠OAC ， ∵BĈ=CD ̂， ∴∠BAC ＝∠CAD ， ∴∠OCA ＝∠CAD ， ∴OC ∥AE ， ∵∠E ＝90°， ∴∠OCE ＝∠E ＝90°， ∴OC ⊥CE ， ∵OC 是⊙O 的半径， ∴CE 是⊙O 的切线；（2）解：如图，作OF ⊥AD ， ∵OF ⊥AD ， ∴AF =12AD ＝5，∵∠OFE ＝∠FEC ＝∠ECO ＝90°， ∴四边形OCEF 是矩形， ∴CE ＝OF ，在Rt △AOF 中，由勾股定理得： OF =√132−52=12， ∴CE ＝12．23．（8分）2023年全国旅游市场持续回暖．经调研，“十一”假期期间，如果某景区门票定价为每张80元，那么当天入园人数预计将达到20000人；如果票价每增加1元，那么当天入园人数就减少200人．要使每日门票收入达到1620000元，票价应定为多少元？【分析】设票价应定为x元，根据票价×每日销售的票数＝每日门票收入，列出一元二次方程，解方程即可．【解答】解：设票价应定为x元，由题意得：x[20000﹣200（x﹣80）]＝1620000，整理得：x2﹣180x+8100＝0，解得：x1＝x2＝90，答：票价应定为90元．̂=CÊ，AE，CB的延长线交于点G，CF⊥AB 24．（8分）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，且AC交于AG于点F，垂足为D．（1）求证：∠CAB＝∠BCD；（2）求证：AF＝FG．【分析】（1）根据圆周角定理得出∠ACB＝∠ACD+∠BCD＝90°，根据直角三角形的性质得出∠CAB+∠ACD＝90°，等量代换即可得解；（2）连接CE，根据圆周角定理及直角三角形的性质推出∠ACD＝∠AEC，∠AEC＝∠CAE，则∠CAE ＝∠ACD，根据等腰三角形的判定推出AF＝CF，再根据直角三角形的性质推出∠G＝∠BCF，进而推出CF＝FG，等量代换即可得解．【解答】证明：（1）∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝∠ACD+∠BCD＝90°，∴CF⊥AB于D，∴∠CAB+∠ACD＝90°，∴∠CAB＝∠BCD；（2）如图，连接CE，∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，∴∠CAB+∠ABC＝90°，∠CAB+∠ACD＝90°，∴∠ACD＝∠ABC，∵∠ABC＝∠AEC，∴∠ACD＝∠AEC，̂=CÊ，∵AC∴∠AEC＝∠CAE，∴∠CAE＝∠ACD，∴AF＝CF，∵∠ACB＝90°，∴∠CAG+∠G＝90°，∠ACF+∠BCF＝90°，∵∠CAG＝∠ACF，∴∠G＝∠BCF，∴CF＝FG，∴AF＝FG．25．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆，过点O作AC的垂线，垂足为D，分̂于点E，F，AF，BC的延长线交于点G．别交CB的延长线，AC（1）求证AC＝CG；（2）若EB ＝CG ，求∠BAC 的度数．【分析】（1）连接CF ，根据垂径定理得到AF̂=CF ̂，求得∠F AC ＝∠ACF ，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理即可得到结论；（2）连接AE ，过A 作AH ⊥BC 于H ，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可得到结论．【解答】（1）证明：连接CF ，∵过点O 作AC 的垂线，垂足为D ，∴AF̂=CF ̂， ∴∠F AC ＝∠ACF ，∵AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠ACB ，∵∠GFC ＝∠ABC ，∴∠GFC ＝∠ACB ，∵∠G ＝180°﹣∠GFC ﹣∠GCF ，∠ACF ＝180°﹣∠ACB ﹣∠FCG ，∴∠ACF ＝∠G ，∴∠CAF ＝∠G ，∴AC ＝CG ；（2）解：连接AE ，过A 作AH ⊥BC 于H ，∵AB ＝AC ，∴BH ＝CH ，∴AB̂=AC ̂， ∴AH 过点O ，∵BE ＝CG ，∴EH ＝GH ，∴AE ＝AG ，AB ＝BE ＝AC ＝CG ，∴∠AEB ＝∠BAE ＝∠G ＝∠CAG ，∵EF ⊥AC ，AD ＝CD ，∴AE＝EC，∴∠AED＝∠CED，设∠AED＝∠CED＝α，∴∠ACB＝∠ABC＝∠AEB+∠BAE＝4α，∵∠CDE＝90°，∴α+4α＝90°，∴α＝18°，∴∠ABC＝∠ACB＝72°，∴∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝36°．26．（9分）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AC＝16cm，BD＝12cm，动点M从点A出发沿AC方向以2cm/s的速度运动到点C，动点N从点B出发沿BD方向以1cm/s的速度运动到点D．若点M，N同时出发，其中一个点停止运动时，另一个点也停止运动．（1）出发1秒钟时，△MON的面积＝15cm2；（2）出发几秒钟时，△MON的面积为1cm2？【分析】（1）求出1秒时，OM，ON的长度即可解答；（2）设时间为t，则AM＝2t，BN＝t，分情况讨论即可．【解答】解：（1）由题意知，AO＝8cm，BO＝6cm，1秒时，AM＝2，BN＝1，∴OM＝6cm，ON＝5cm，∴△MON的面积=12×6×5=15（cm2）；故答案为：15cm 2；（2）设时间为t ，则AM ＝2t ，BN ＝t ，当M 在AO 上时，N 在BO 上时，即0≤t ＜4，MO ＝8﹣2t ，NO ＝6﹣t ，∴12×（8﹣2t ）×（6﹣t ）＝1，解得t ＝5+√2（舍去）或5−√2，当M 在CO 上，N 在BO 上时，即4＜t ＜6，MO ＝2t ﹣8，NO ＝6﹣t ，∴12×（2t ﹣8）×（6﹣t ）＝1，解得t ＝5，当M 在CO 上，N 在DO 上时，即6＜t ≤8，MO ＝2t ﹣8，NO ＝t ﹣6，∴12×（2t ﹣8）×（t ﹣6）＝1，解得t ＝5+√2或5−√2（舍去），综上所述，出发5+√2或5−√2或5秒时，△MON 的面积为1cm 2．27．（8分）如图，已知△ABC 和长度为m 的线段．用圆规与无刻度直尺分别作出满足下列条件的圆．（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）（1）求作⊙A ，使其与线段BC 相交所形成的弦的长度为m ．（2）求作⊙O ，使其与△ABC 各边相交所形成的弦的长度均为m ．【分析】（1）作AT ⊥BC 于点T ，在TC 上截取RT ，使得TR =12m ，连接AR ，以A 为圆心，AR 为半径作⊙A 即可；（2）作△ABC 的内心O ，过点O 作OR ⊥AC 于点R ，在RA 上截取RQ ，使得RQ =12m ，连接OQ ，以O 为圆心，OQ 为半径作⊙O 即可．【解答】解：（1）如图，⊙A 即为所求；（2）如图，⊙O即为所求．。

2023-2024学年江苏省南京九年级(上)期中数学试卷(含解析)

2023-2024学年江苏省南京市联合体九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1．（2分）下列选项中，是一元二次方程的是（）A．x2﹣y﹣2＝0B．x−1x=0C．x2﹣2x﹣5D．x2＝4x2．（2分）用配方法解方程x2﹣4x﹣5＝0，下列配方结果正确的是（）A．（x﹣4）2＝21B．（x+4）2＝21C．（x+2）2＝9D．（x﹣2）2＝93．（2分）若关于x的方程x2﹣2x+a＝0有实数根，则常数a的值不可能为（）A．﹣1B．0C．1D．24．（2分）歌唱比赛有二十位评委给选手打分，统计每位选手得分时，会去掉一个最高分和一个最低分，这样做，肯定不会对所有评委打分的哪一个统计量产生影响（）A．平均分B．众数C．中位数D．极差5．（2分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，若AB的长等于半径，∠BAC＝110°，则∠ABC的度数为（）A．30°B．40°C．45°D．50°6．（2分）如图，在扇形OAB中，点D在OA上，点C在AB上，∠AOB＝∠BCD＝90°．若CD＝3，BC ＝4，则⊙O的半径为（）A．4B．4.8C．2√5D．3√2二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）7．（2分）一组数据﹣2，3，﹣4，5的极差是．8．（2分）方程x2﹣2x＝0的根是．9．（2分）设x 1、x 2是方程x 2﹣4x +m ＝0的两个根，且x 1+x 2﹣x 1x 2＝1．则m ＝．10．（2分）某测试中心分别从操作系统、硬件规格、屏幕尺寸、电池寿命四个项目对新投入市场的一款智能手机进行测评，各项得分如下表：最后将四项成绩按3：3：2：2的比例计算综合成绩，则该手机的综合成绩为分． 11．（2分）“圆材埋壁”是我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯长一尺，问径如何？”．问题翻译为：如图，现有圆形木材埋在墙壁里，不知木材大小，将它锯下来测得深度CD 为1寸，锯长AB 为10寸，则圆材的半径为寸．12．（2分）某商场出售甲，乙，丙三种型号的商品，若购买甲2件，乙3件，丙2件，共需116元；购买甲1件，乙5件，丙1件，共需100元．若购买甲，乙，丙各1件，则需元．13．（2分）如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥的底面圆的半径r ＝2cm ，扇形的圆心角θ＝120°，则该圆锥的母线长l 为 cm ．14．（2分）如图，在⊙O 中，弦AB 、CD 相交于点E ，AC ̂=2BD ̂．若∠DEB ＝69°，则BD ̂的度数为 °．15．（2分）如图摆放的两个正六边形的顶点A ，B ，C ，D 在圆上．若AB ＝2，则该圆的半径为．16．（2分）如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝60°，∠DCB＝30°，AD＝2，BC＝4，E为AD的中点，连接BE，CE，则△BEC面积的最小值为．三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（8分）解方程：（1）x2﹣6x+5＝0；（2）（x+2）2＝6+3x．18．（7分）如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，CE⊥AB于点E，DF⊥AB于点F，OE＝OF．求证：AC＝BD．19．（8分）关于x的方程x2﹣（m+4）x+3m+3＝0．（1）求证：不论m取何值，方程总有两个实数根；（2）若方程有一个根小于2，则m的取值范围是．20．（7分）如图，在平面直角坐标系中，A（2，5），B（4，5），C（6，3）．⊙M经过A，B，C三点．（1）点M的坐标是；（2）判断⊙M与y轴的位置关系，并说明理由．21．（8分）甲、乙两名学生进行射击练习，在相同条件下各射击10次，结果如下：（1）甲同学10次射击命中环数的中位数是环，乙同学10次射击命中环数的众数是环；（2）求甲同学10次射击命中环数的平均数和方差；（3）经过计算可知，乙同学10次射击的平均数是7环，方差是2.2环2．根据所学的统计知识，评价甲、乙两名学生的射击水平．22．（7分）如图，在长为40m、宽为22m的矩形地面内，修筑两条同样宽且互相垂直的道路，余下的铺上草坪，要使草坪的面积达到760m2，道路的宽应为多少？23．（8分）某文化用品商店用1200元购进一批文具盒，面市后发现供不应求，商店又购进第二批同样的文具盒，所购数量是第一批购进数量的1.5倍，但单价贵了2元，结果购进第二批文具盒用了3000元．求第一批购进文具盒的单价是多少元？24．（8分）如图，点M在∠BAC的AB边上，用直尺与圆规分别按下列要求作图：（1）在图中作⊙O，使⊙O经过点A，M，且圆心O在AC上；（2）在图中作⊙O，使⊙O与AC相切，且与AB相切于点M（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）．25．（8分）若x＝m时，代数式ax2+bx+c的值也为m，则称m是这个代数式的“x优值”．例如，当x＝0时，代数式x 2﹣x 的值为0；当x ＝2时，代数式x 2﹣x 的值为2，所以0和2都是x 2﹣x 的“x 优值”．（1）代数式x 2的“x 优值”是；（2）判断代数式x 2﹣x +n 2+2是否存在“x 优值”，并说明理由；（3）代数式x 2﹣n 2+n 存在两个“x 优值”且差为5，求n 的值．26．（9分）如图，△ABC 内接于⊙O ，C 为ACB ̂的中点，D 在BC ̂上，连接AD ．（1）如图，若AD ⊥BC ，垂足为E ，直线OC 分别交AD ，AB 于点F ，G ．（Ⅰ）求证：CG ⊥AB ；（Ⅱ）求证：EF ＝DE ．（2）如图，若AD 与BC 不垂直，过点C 作CE ⊥AD ，垂足为E ，连接DB ，写出AE ，DE ，DB 之间的数量关系，并说明理由．27．（10分）如图①，在四边形ABCD 中，∠BAD ＝∠D ＝90°，AD ＝8，CD ＝6，AB ＝m ．过A ，B ，C 三点的⊙O 的圆心位置和半径，随着m 的变化而变化．解决下列问题：【特殊情形】（1）如图②，当m ＝0时，圆心O 在AD 上，求⊙O 的半径．【一般情形】（2）（Ⅰ）当m ＝2时，求⊙O 的半径；（Ⅱ）当m ＞0时，随着m 的增大，点O 的运动路径是．（填写序号）①射线②弧③双曲线的一部分④不规则的曲线【深入研究】（3）如图③，连接AC，以O为圆心，作出与CD边相切的圆，记为小⊙O．当小⊙O与AC相交且与BC相离时，直接写出m的取值范围．2023-2024学年江苏省南京市联合体九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1．（2分）下列选项中，是一元二次方程的是（）A．x2﹣y﹣2＝0B．x−1x=0C．x2﹣2x﹣5D．x2＝4x【分析】根据一元二次方程的定义逐个判断即可．【解答】解：A．方程x2﹣y﹣2＝0是二元二次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；B．方程x−1x=0是分式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；C．x2﹣2x﹣5不是方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；D．方程x2＝4x是一元二次方程，故本选项符合题意．故选：D．2．（2分）用配方法解方程x2﹣4x﹣5＝0，下列配方结果正确的是（）A．（x﹣4）2＝21B．（x+4）2＝21C．（x+2）2＝9D．（x﹣2）2＝9【分析】方程常数项移到右边，两边加上4变形即可得到结果．【解答】解：方程变形得：x2﹣4x＝5，配方得：x2﹣4x+4＝9，即（x﹣2）2＝9．故选：D．3．（2分）若关于x的方程x2﹣2x+a＝0有实数根，则常数a的值不可能为（）A．﹣1B．0C．1D．2【分析】由根的判别式可求得a的取值范围，再判断即可．【解答】解：∵方程x2﹣2x+a＝0有实数根，∴Δ＝（﹣2）2﹣4×1×a≥0，解得：a≤1，故选：D．4．（2分）歌唱比赛有二十位评委给选手打分，统计每位选手得分时，会去掉一个最高分和一个最低分，这样做，肯定不会对所有评委打分的哪一个统计量产生影响（）A．平均分B．众数C．中位数D．极差【分析】去掉一个最高分和最低分后不会对数据的中间的数产生影响，即中位数．【解答】解：统计每位选手得分时，会去掉一个最高分和一个最低分，这样做不会对数据的中间的数产生影响，即中位数．故选：C．5．（2分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，若AB的长等于半径，∠BAC＝110°，则∠ABC的度数为（）A．30°B．40°C．45°D．50°【分析】连接OA、OB、OC，如图，先证明△OAB为等边三角形得到∠OAB＝60°，则可计算出∠OAC ＝50°，再利用等腰三角形的性质和三角形内角和计算出∠AOC＝80°，然后根据圆周角定理求解．【解答】解：连接OA、OB、OC，如图，∵AB＝OA＝OB，∴△OAB为等边三角形，∴∠OAB＝60°，∵∠BAC＝110°，∴∠OAC＝110°﹣60°＝50°，∵OA＝OB，∴∠OBA＝∠OAB＝50°，∴∠AOC＝180°﹣50°﹣50°＝80°，∴∠ABC=12∠AOC＝40°．故选：B．6．（2分）如图，在扇形OAB中，点D在OA上，点C在AB上，∠AOB＝∠BCD＝90°．若CD＝3，BC ＝4，则⊙O的半径为（）A．4B．4.8C．2√5D．3√2【分析】以点O为圆心，以OB为半径画圆，延长CD交⊙O于点E，连接BE，BD，则BD＝5，BE 为⊙O的直径，然后在Rt△BCE中，CE＝8，BC＝4，由勾股定理得BE=4√5，据此可得半径OB的长．【解答】解：以点O为圆心，以OB为半径画圆，延长CD交⊙O于点E，连接BE，BD，如图所示：在△BCD中，∠BCD＝90°，CD＝3，BC＝4，由勾股定理得：BD=√BC2+CD2=5，∵∠BCD＝90°，∴BE为⊙O的直径，∴点B，O，E在同一条直线上，∴OB＝OE，∵∠AOB＝90°，∴DE＝BD＝5，在Rt△BCE中，CE＝CD+DE＝8，BC＝4，由勾股定理得：BE=√CE2+BC2=√82+42=4√5．∴OB＝OE=12BE=2√5．故选：C．二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）7．（2分）一组数据﹣2，3，﹣4，5的极差是9．【分析】根据极差的概念求解．【解答】解：极差为：5﹣（﹣4）＝9．故答案为：9．8．（2分）方程x 2﹣2x ＝0的根是 x 1＝0，x 2＝2 ．【分析】利用因式分解法把方程转化为x ＝0或x ﹣2＝0，然后解两个一次方程即可．【解答】解：x 2﹣2x ＝0， x （x ﹣2）＝0， x ＝0或x ﹣2＝0，所以x 1＝0，x 2＝2．故答案为：x 1＝0，x 2＝2．9．（2分）设x 1、x 2是方程x 2﹣4x +m ＝0的两个根，且x 1+x 2﹣x 1x 2＝1．则m ＝ 3 ．【分析】根据根与系数的关系，确定x 1+x 2、x 1x 2的值，然后代入方程中，解方程确定m 的值．【解答】解：∵x 1、x 2是方程x 2﹣4x +m ＝0的两个根， ∴x 1+x 2＝4，x 1x 2＝m ， ∵x 1+x 2﹣x 1x 2＝1 ∴4﹣m ＝1， ∴m ＝3 故答案为：310．（2分）某测试中心分别从操作系统、硬件规格、屏幕尺寸、电池寿命四个项目对新投入市场的一款智能手机进行测评，各项得分如下表：最后将四项成绩按3：3：2：2的比例计算综合成绩，则该手机的综合成绩为 6.3 分．【分析】根据加权平均数的计算方法进行计算即可．【解答】解：该手机的综合成绩为：7×3+8×3+6×2+3×23+3+2+2=6.3（分）．故答案为：6.3．11．（2分）“圆材埋壁”是我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯长一尺，问径如何？”．问题翻译为：如图，现有圆形木材埋在墙壁里，不知木材大小，将它锯下来测得深度CD 为1寸，锯长AB 为10寸，则圆材的半径为 13 寸．【分析】设圆材的圆心为O ，延长CD ，交⊙O 于点E ，连接OA ，由题意知CE 过点O ，且OC ⊥AB ，AD ＝BD ＝5，设圆形木材半径为r ，可知OD ＝（r ﹣1）寸，OA ＝r 寸，根据OA 2＝OD 2+AD 2列方程求解可得．【解答】解：设圆材的圆心为O ，延长CD ，交⊙O 于点E ，连接OA ，如图所示：由题意知：CE 过点O ，且OC ⊥AB ，则AD ＝BD ＝AB ＝5，设圆形木材半径为r 寸，则OD ＝（r ﹣1）寸，OA ＝r 寸，∵OA 2＝OD 2+AD 2，∴r 2＝（r ﹣1）2+52，解得：r ＝13，∴⊙O 的半径为13寸，故答案为：13．12．（2分）某商场出售甲，乙，丙三种型号的商品，若购买甲2件，乙3件，丙2件，共需116元；购买甲1件，乙5件，丙1件，共需100元．若购买甲，乙，丙各1件，则需 52 元．【分析】首先设甲种型号的商品每件x 元，乙种型号的商品每件y 元，丙种型号的商品每件z 元，再依题意列出方程组{2x +3y +2z =116①x +5y +z =100②，然后将②×2﹣①得y ＝12，再将y ＝12代入②可得x +z ＝40，据此再求出x +y +z 的值即可．【解答】解：设甲种型号的商品每件x 元，乙种型号的商品每件y 元，丙种型号的商品每件z 元．依题意得：{2x +3y +2z =116①x +5y +z =100②， ②×2得：2x +10y +2z ＝200③，③﹣①得：7y ＝84，解得：y ＝12，将y ＝12代入②得x +z ＝100﹣5×12＝40，∴x +y +z ＝10+12＝52．答：购买甲，乙，丙各1件，则需52元．故答案为：52．13．（2分）如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥的底面圆的半径r ＝2cm ，扇形的圆心角θ＝120°，则该圆锥的母线长l 为 6 cm ．【分析】易得圆锥的底面周长，也就是侧面展开图的弧长，进而利用弧长公式即可求得圆锥的母线长．【解答】解：圆锥的底面周长＝2π×2＝4πcm ，则：120π×l 180=4π，解得l ＝6．故答案为：6．14．（2分）如图，在⊙O 中，弦AB 、CD 相交于点E ，AC ̂=2BD ̂．若∠DEB ＝69°，则BD̂的度数为 46 °．【分析】连接OB 、OD 、BC ，根据邻补角定义求出∠CEB ＝111°，根据圆周角定理推出∠ABC ＝2∠BCD ，根据三角形内角和定理求出∠BCD ＝23°，根据圆周角定理及圆心角、弧的关系求解即可．【解答】解：连接OB 、OD 、BC ，∵∠DEB ＝69°，∠CEB +∠DEB ＝180°，∴∠CEB ＝111°，∵AĈ=2BD ̂， ∴∠ABC ＝2∠BCD ，∵∠ABC +∠BCD +∠CEB ＝180°，∴3∠BCD ＝69°，∴∠BCD ＝23°，∴∠BOD ＝2∠BCD ＝46°，∴BD̂的度数为46°，故答案为：46．15．（2分）如图摆放的两个正六边形的顶点A ，B ，C ，D 在圆上．若AB ＝2，则该圆的半径为 √13 ．【分析】由正六边形的性质可得∠GEF ＝60°，∠FGE ＝30°，再根据勾股定理可得答案．【解答】解：如图，设圆的圆心为点O ，即点O 为正六边形边的中点，∴GO ＝1，∵正六边形的每个内角都为120°，∴∠GEF ＝60°，∠FGE ＝30°，在Rt △EFG 中，EG ＝2，∴EF ＝1，∴FG =√EG 2−EF 2=√3，∴BG ＝2√3，∴OB=√BG2+GO2=√(2√3)2+12=√13，∴该圆的半径为√13．故答案为：√13．16．（2分）如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝60°，∠DCB＝30°，AD＝2，BC＝4，E为AD的中点，连接BE，CE，则△BEC面积的最小值为2√3−2．【分析】延长BA，CD交于点F，连接FE，分别过点F，E作FG⊥BC，EG⊥BC于点H，G，得∠BFC ＝90°，当EG最小时，△BEC面积的最小，此时EG=√3−1，进而可得△BEC面积的最小值．【解答】解：如图，延长BA，CD交于点F，连接FE，分别过点F，E作FG⊥BC，EG⊥BC于点H，G，∵∠ABC＝60°，∠DCB＝30°，∴∠BFC＝90°，∵E为AD的中点，AD＝2，∴EF＝AE＝DE=12AD＝1，∵∠DCB＝30°，∴BF=12BC＝2，∵∠ABC＝60°，∴∠BFH＝30°，∴BH=12BF＝1，∴FH=√3BH=√3，∵△BEC面积=12BC•EG＝2EG，∵EG最小，△BEC面积的最小，此时EG=√3−1，∴△BEC面积的最小值为2√3−2．故答案为：2√3−2．三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（8分）解方程：（1）x2﹣6x+5＝0；（2）（x+2）2＝6+3x．【分析】（1）先把方程的左边分解因式，即可得出两个一元一次方程，再求出方程的解即可；（2）移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，再求出方程的解即可．【解答】（1）x2﹣6x+5＝0，（x﹣5）（x﹣1）＝0，x﹣5＝0或x﹣1＝0，解得：x1＝5，x2＝1；（2）（x+2）2＝6+3x，移项，得（x+2）2﹣（3x+6）＝0，（x+2）2﹣3（x+2）＝0，（x+2）（x+2﹣3）＝0，x+2＝0或x+2﹣3＝0，解得：x1＝﹣2，x2＝1．18．（7分）如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，CE⊥AB于点E，DF⊥AB于点F，OE＝OF．求证：AC＝BD．【分析】连接OC ，OD ，根据HL 定理得出Rt △OEC ≌Rt △OFD ，由全等三角形的性质得出∠AOC ＝∠BOD ，进而可得出结论．【解答】证明：连接OC ，OD ，∵CE ⊥AB 、DF ⊥AB ，∴∠OEC ＝∠OFD ＝90°．在Rt △OEC 和Rt △OFD 中，{OE =OF ，OC =OD ．∴Rt △OEC ≌Rt △OFD （HL ），∴∠AOC ＝∠BOD ，∴AC ＝BD ．19．（8分）关于x 的方程x 2﹣（m +4）x +3m +3＝0．（1）求证：不论m 取何值，方程总有两个实数根；（2）若方程有一个根小于2，则m 的取值范围是 m ＜1 ．【分析】（1）直接根据根的判别式计算即可；（2）利用因式分解法解一元二次方程可得出x 的值，结合方程有一个根小于2，即可得出关于m 的一元一次不等式，解之即可得出m 的取值范围．【解答】（1）证明：b 2﹣4ac ＝（m +4）2﹣4（3m +3）＝（m ﹣2）2，∵无论m 取何值时，（m ﹣2）2≥0，∴原方程总有两个实数根．（2）解：x2﹣（m+4）x+3m+3＝0，（x﹣3）（x﹣m﹣1）＝0，x＝3或x＝m+1，若方程有一个根小于2，则m+1＜2，解得m＜1．综上可知，若方程有一个根小于2，m的取值范围为m＜1．故答案为：m＜1．20．（7分）如图，在平面直角坐标系中，A（2，5），B（4，5），C（6，3）．⊙M经过A，B，C三点．（1）点M的坐标是（3，2）；（2）判断⊙M与y轴的位置关系，并说明理由．【分析】（1）连接AB，BC，分别作AB，BC的垂直平分线交于点M，以点M为圆心，以AB为半径的圆为所求，然后根据网格的特征可求出点M的坐标；（2）先利用勾股定理求出MA=√10，即得⊙M的半径为r=√10，再根据点M的坐标求出点M到y 轴的距离d＝3，然后比较d与r的大小即可得出⊙M于y轴的位置关系．【解答】解：（1）连接AB，BC，分别作AB，BC的垂直平分线交于点M，则以点M为圆心，以AM为半径的圆为所求，如图所示：根据网格的特征可得：点M的坐标为（3，2），故答案为：（3，2）．（2）⊙M于y轴相交，理由如下：由勾股定理得：MA =√12+32=√10，即⊙M 的半径为r =√10，∵⊙M 的圆心M 的坐标为（3，2），∴点M 到y 轴的距离d ＝3，∵d ＜r ，∴⊙M 于y 轴相交．21．（8分）甲、乙两名学生进行射击练习，在相同条件下各射击10次，结果如下：（1）甲同学10次射击命中环数的中位数是 7 环，乙同学10次射击命中环数的众数是 6 环；（2）求甲同学10次射击命中环数的平均数和方差；（3）经过计算可知，乙同学10次射击的平均数是7环，方差是2.2环2．根据所学的统计知识，评价甲、乙两名学生的射击水平．【分析】（1）根据中位数、众数的定义即可得出答案；（2）根据平均数、方差公式计算即可得出答案；（3）从集中趋势和稳定性两个方面来考查两人的成绩．【解答】解：（1）甲学生命中的环数从小到大排列后，第5个和第6个数据都是7，所以甲同学10次射击命中环数的中位数是7+72=7，乙同学10次射击命中环数最多的是6环，故众数是6；故答案为：7，6；（2）甲同学10次射击命中环数的平均数为：110×（5+6×2+7×4+8×2+9）＝7， S 2甲=110×[（5﹣7）2+2×（6﹣7）2+4×（7﹣7）2+2×（8﹣7）2+（9﹣7）2]＝1.2；（3）从平均水平看，甲、乙两名学生射击的环数平均数均为7环，成绩一样；从离散程度看，S 2甲＜S 2乙，甲的成绩比乙更加稳定；从集中趋势看，甲的众数比乙大，甲的中位数也比乙大；所以甲的射击水平更好一些．22．（7分）如图，在长为40m 、宽为22m 的矩形地面内，修筑两条同样宽且互相垂直的道路，余下的铺上草坪，要使草坪的面积达到760m 2，道路的宽应为多少？【分析】把四块耕地拼到一起正好构成一个矩形，矩形的长和宽分别是（40﹣x ）和（22﹣x ），根据矩形的面积公式，列出关于道路宽的方程求解．【解答】解：设道路的宽应为x 米．依题意得：（40﹣x ）（22﹣x ）＝760，解得x 1＝2，x 2＝60（不合题意舍去）答：道路的宽应为2m ．23．（8分）某文化用品商店用1200元购进一批文具盒，面市后发现供不应求，商店又购进第二批同样的文具盒，所购数量是第一批购进数量的1.5倍，但单价贵了2元，结果购进第二批文具盒用了3000元．求第一批购进文具盒的单价是多少元？【分析】设第一批购进文具盒的单价是x 元，则第二批购进文具盒的单价是（x +2）元，利用数量＝总价÷单价，结合第二批所购数量是第一批购进数量的1.5倍，可列出关于x 的分式方程，解之经检验后，即可得出结论．【解答】解：设第一批购进文具盒的单价是x 元，则第二批购进文具盒的单价是（x +2）元，根据题意得：3000x+2=1.5×1200x，解得：x ＝3，经检验，x ＝3是所列方程的解，且符合题意．答：第一批购进文具盒的单价是3元．24．（8分）如图，点M 在∠BAC 的AB 边上，用直尺与圆规分别按下列要求作图：（1）在图中作⊙O ，使⊙O 经过点A ，M ，且圆心O 在AC 上；（2）在图中作⊙O ，使⊙O 与AC 相切，且与AB 相切于点M （保留作图痕迹，写出必要的文字说明）．【分析】（1）作AM 的垂直平分线交AC 于点O ；（2）过M 作AB 的垂线与∠BAC 的平分线的交点即为所求．【解答】解：（1）如图所示，⊙O 即为所求．（2）如图所示，⊙O即为所求．25．（8分）若x＝m时，代数式ax2+bx+c的值也为m，则称m是这个代数式的“x优值”．例如，当x＝0时，代数式x2﹣x的值为0；当x＝2时，代数式x2﹣x的值为2，所以0和2都是x2﹣x的“x优值”．（1）代数式x2的“x优值”是0和1；（2）判断代数式x2﹣x+n2+2是否存在“x优值”，并说明理由；（3）代数式x2﹣n2+n存在两个“x优值”且差为5，求n的值．【分析】（1）利用新定义的规定，通过计算判定即可得出结论；（2）假定存在“x优值”，得到一元二次方程，利用根的判别式解答即可得出结论；（3）设“x优值”为x，则有x2﹣n2+n＝x，利用一元二次方程飞解法求得“x优值”，再利用已知条件列出关于n的方程，解方程即可得出结论．【解答】解：（1）∵当x＝0时，代数式x2的值为0，当x＝1时，代数式x2的值为1，∴0和1都是x2的“x优值”．故答案为：0和1；（2）不存在“x优值”．理由如下：假设存在优值为x，则有x2﹣x+n2+2＝x，整理得：x2﹣2x+n2+2＝0，则b2﹣4ac＝22﹣4（n2+2）＝﹣4n2﹣4，∵无论n取何值时，﹣4n2﹣4＜0，∴方程没有实数根，即代数式x2﹣x+n2+2不存在“x优值”．（3）设“x优值”为x，则有x2﹣n2+n＝x，整理得：x2﹣x﹣n（n﹣1）＝0，∴（x﹣n）（x+n﹣1）＝0，∴x 1＝n ，x 2＝1﹣n ．∵两个“x 优值”差为5，∴n ﹣（1﹣n ）＝5或（1﹣n ）﹣n ＝5，∴n ＝3或n ＝﹣2．26．（9分）如图，△ABC 内接于⊙O ，C 为ACB̂的中点，D 在BC ̂上，连接AD ．（1）如图，若AD ⊥BC ，垂足为E ，直线OC 分别交AD ，AB 于点F ，G ．（Ⅰ）求证：CG ⊥AB ；（Ⅱ）求证：EF ＝DE ．（2）如图，若AD 与BC 不垂直，过点C 作CE ⊥AD ，垂足为E ，连接DB ，写出AE ，DE ，DB 之间的数量关系，并说明理由．【分析】（1）（Ⅰ）连接OA 、OB ，利用圆的有关性质，线段垂直平分线的判定与性质解答即可；（Ⅱ）连接CD ，利用圆周角定理，直角三角形的性质，等腰三角形的三线合一的性质解答即可；（2）在AE 上截取EF ＝DE ，连接CF 、CD ，利用等腰三角形的性质和全等三角形的判定与性质解答即可．【解答】（1）（Ⅰ）证明：连接OA 、OB ，如图，∵C 为优弧AB 的中点，∴AĈ=BC ̂， ∴AC ＝BC ，又OA＝OB，∴O、C都在AB的垂直平分线上，即CG是AB垂直平分线，∴CG⊥AB；（Ⅱ）证明：连接CD，如图，∵AD⊥BC，CG⊥AB，∴∠CFE+∠BCG＝90°，∠B+∠BCG＝90°，∴∠B＝∠CFE，∵∠B＝∠D，∴∠CFE＝∠D，∴CF＝CD．又AD⊥BC，∴EF＝DE；（2）解：DE+BD＝AE．理由：在AE上截取EF＝DE，连接CF、CD，如图，∵CE⊥DF，EF＝DE，∴CE为线段DF的垂直平分线，∴CF＝CD．∴∠CFD＝∠CDF，∵AC＝BC．∴∠CAB ＝∠CBA ，∵∠CDA ＝∠CBA ，∴∠CAB ＝∠CDA ．∵∠CFD +∠CDF +∠FCD ＝∠CAB +∠CBA +∠ACB ＝180°，∴∠FCD ＝∠ACB ．∴∠FCD ﹣∠FCB ＝∠ACB ﹣∠FCB ，即∠ACF ＝∠BCD ．在△CAF 和△CBD 中，{AC =BC∠ACF =∠BCD FC =DC，∴△CAF ≌△CBD （SAS ），∴AF ＝BD ．∴DE +BD ＝EF +AF ＝AE ．∴AE ，DE ，DB 之间的数量关系为：DE +BD ＝AE ．27．（10分）如图①，在四边形ABCD 中，∠BAD ＝∠D ＝90°，AD ＝8，CD ＝6，AB ＝m ．过A ，B ，C 三点的⊙O 的圆心位置和半径，随着m 的变化而变化．解决下列问题：【特殊情形】（1）如图②，当m ＝0时，圆心O 在AD 上，求⊙O 的半径．【一般情形】（2）（Ⅰ）当m ＝2时，求⊙O 的半径；（Ⅱ）当m ＞0时，随着m 的增大，点O 的运动路径是 ① ．（填写序号）①射线②弧③双曲线的一部分④不规则的曲线【深入研究】（3）如图③，连接AC，以O为圆心，作出与CD边相切的圆，记为小⊙O．当小⊙O与AC相交且与BC相离时，直接写出m的取值范围．【分析】（1）根据垂径定理以及勾股定理直接求解即可；（2）（Ⅰ）构造矩形，根据矩形的性质以及勾股定理求解即可；（Ⅱ）参考（Ⅰ）的方法，得出O到直线OC的距离与m的关系，然后根据O到直线AD的距离随m 线性变化，得出两个距离的函数表达式，类比平面直角坐标系中坐标的几何意义，从而得出O的轨迹形状；（3）参考（2）的方法，求出小圆的半径，以及圆心到AC，BC的距离，根据圆与直线位置关系，列出不等式求解即可．【解答】（1）解：连接OC，在⊙O中，设OA＝OC＝r，则OD＝8﹣r．在Rt△OCD中，∠D＝90°∴OD2+CD2＝OC2，即（8﹣r）2+62＝r2．解得r=25 4．（2）（Ⅰ）解：过点O分别作OF⊥AB，OE⊥CD，连接OC，OB，∵OF过圆心，OF⊥AB，∴AF＝BF＝1．∵∠A＝∠D＝∠OF A＝90°，∴四边形AFED是矩形．∴AF＝DE＝1．∴CE＝CD﹣DE＝5．设OE＝x，则OF＝8﹣x，在Rt△COE中OE2+CE2＝OC2，在Rt△BOF中OF2+BF2＝OB2，∴OE2+CE2＝OF2+BF2，即x2+52＝（8﹣x）2+12．解得x=5 2∴OC2＝OE2+CE2=1254，即r＝OC=52√5．（Ⅱ）过点O分别作OF⊥AB，OE⊥CD，连接OC，OB，如图：由（Ⅰ）知：BF＝AF＝DE=12m，EF＝AD＝8，∴CE＝CD﹣DE＝6−12 m，设OE＝x，则OF＝8﹣x，∵OC＝OB，∴OE2+CE2＝OF2+BF2，即x2+（6−12m）2＝（8﹣x）2+14m2，整理得：x=14+3m8，∵m＞0，O到AD的距离＝DE=12 m，类比平面直角坐标系内x，y的几何意义，∴O的轨迹是一条射线，故答案为：①；（3）过O作EF⊥CD，交CD于E，交AB于F，过O作OM⊥AC于M，作ON⊥BC于N，连接OC，OB，过B作BG⊥CD于G，如图：由（Ⅱ）知，OE =14+3m 8， ∴OC 2＝CE 2+OE 2=2564（m 2﹣4m +20）， ∵AD ＝8，CD ＝6，∴AC ＝10，∴CM =12AC ＝5，∴OM 2＝OC 2﹣CM 2=2564（m 2﹣4m +20）﹣25=2564（m 2﹣4m ﹣44）， ∵BG ⊥CD ，AD ⊥CD ，DG ∥AB ， ∴四边形ABGD 是矩形，∴DG ＝AB ＝m ，BG ＝AD ＝8， ∴CG ＝6﹣m ，∴BC 2＝CG 2+BG 2＝m 2﹣12m +100， ∴CN 2＝（12BC ）2=14（m 2﹣12m +100）， ∴ON 2＝OC 2﹣CN 2=164（9m 2+92m ﹣900）， ∵小⊙O 与AC 相交且与BC 相离， ∴OM ＜OE ＜ON ，∴OM 2＜OE 2＜ON 2，即2564（m 2﹣4m ﹣44）＜（14+3m 8）2＜164（9m 2+92m ﹣900），解得：2＜m ＜113．。

南京数学九年级上册试卷

南京数学九年级上册试卷专业课原理概述部分一、选择题1. 如果一个三角形的两边分别是8cm和10cm，且这两边的夹角是90度，那么这个三角形的周长是多少？A. 16cmB. 26cmC. 34cmD. 无法确定2. 下列哪个数是有理数？A. √2B. √3C. πD. 1/23. 已知函数f(x) = 2x + 3，那么f(-1)的值是多少？A. -1B. 1C. -5D. 54. 下列哪个图形不是正多边形？A. 等边三角形B. 等腰梯形C. 正方形D. 正五边形5. 下列哪个数是素数？A. 21B. 29C. 35D. 39二、判断题1. 任何一个三角形的内角和都是180度。

（）2. 任何一个偶数都可以表示为2的倍数。

（）3. 两个不同的无理数相乘，其结果一定是有理数。

（）4. 任何一个正整数都可以分解为几个质数的乘积。

（）5. 任何一个正方形的对角线长度都大于其边长。

（）三、填空题1. 一个正方形的边长是6cm，那么它的面积是______cm²。

2. 下列各数中，最大的数是______。

3. 已知一个等差数列的前三项分别是2，5，8，那么这个数列的公差是______。

4. 如果一个圆的半径是5cm，那么它的直径是______cm。

5. 下列各数中，最小的数是______。

四、简答题1. 请简述勾股定理的内容。

2. 请解释无理数的概念。

3. 请说明函数的定义。

4. 请简述等差数列的性质。

5. 请解释圆的面积公式。

五、应用题1. 已知一个等差数列的前三项分别是2，5，8，求这个数列的第10项。

2. 已知一个正方形的对角线长度是10cm，求这个正方形的面积。

3. 已知一个圆的半径是7cm，求这个圆的周长。

4. 已知一个三角形的两边分别是6cm和8cm，且这两边的夹角是60度，求这个三角形的面积。

5. 已知函数f(x) = 3x 2，求f(4)的值。

六、分析题1. 请分析并证明勾股定理。

2. 请分析并解释无理数和有理数的区别。

江苏省南京市鼓楼区九年级数学上学期期中试卷(含解析) 苏科版-苏科版初中九年级全册数学试题

2016-2017学年某某省某某市鼓楼区九年级（上）期中数学试卷一、选择题（共6小题，每小题2分，满分12分）1．方程x2=x的根是（）A．x=1 B．x=﹣1 C．x1=0，x2=1 D．x1=0，x2=﹣12．一元二次方程x2﹣4x+4=0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根C．无实数根 D．无法确定3．如图，圆锥的底面半径r为6cm，高h为8cm，则圆锥的侧面积为（）A．30πcm2B．48πcm2C．60πcm2D．80πcm24．某单位要招聘1名英语翻译，X明参加招聘考试的成绩如表所示：听说读写 X明 90 80 83 82若把听、说、读、写的成绩按3：3：2：2计算平均成绩，则X明的平均成绩为（）A．82 B．83 C．84 D．855．如图，有一圆O通过△ABC的三个顶点．若∠B=75°，∠C=60°，且的长度为4π，则BC的长度为何？（）A．8 B．8 C．16 D．166．小明不慎把家里的圆形镜子打碎了，其中三块碎片如图所示，三块碎片中最有可能配到与原来一样大小的圆形镜子的碎片是（）A．①B．②C．③D．均不可能二、填空题（共10小题，每小题2分，满分20分）7．用配方法解方程x2﹣4x=5时，方程的两边同时加上，使得方程左边配成一个完全平方式．8．若⊙O的直径为2，OP=2，则点P与⊙O的位置关系是：点P在⊙O．9．若一元二次方程2x2+4x+1=0的两根是x1、x2，则x1+x2的值是．10．一只不透明的袋子中装有2个红球、3个白球，这些球除颜色外都相同，摇匀后从中任意摸出一个球，摸到红球的概率是．11．如图，四个小正方形的边长都是1，若以O为圆心，OG为半径作弧分别交AB、DC于点E、F，则图中阴影部分的面积为．12．如图所示圆中，AB为直径，弦CD⊥AB，垂足为H．若HB=2，HD=4，则AH=．13．如图，AB为⊙O的直径，弦CD与AB交于点E，连接AD．若∠C=80°，∠CEA=30°，则∠CDA=°．14．如图，某单位准备将院内一块长30m，宽20m的长方形花园中修两条纵向平行和一条横向弯折的小道，剩余的地方种植花草，如图，要使种植花草的面积为532m2，设小道进出口的宽度为x m，根据条件，可列出方程：．15．将一个三角形纸板按如图所示的方式放置一个破损的量角器上，使点C落在半圆上，若点A、B处的读数分别为65°、20°，则∠ACB的大小为°．16．如图，△ABC中，∠B=90°，AB=11，BC=10，若⊙O的半径为5且与AB、BC相切，以下说法不正确的是．①圆心O是∠B的角平分线与AC的交点；②圆心O是∠B的角平分线与AB的垂直平分线的交点；③圆心O是AB的垂直平分线与BC的垂直平分线的交点；④圆心O是∠B的角平分线与BC的垂直平分线的交点．三、解答题（共11小题，满分88分）17．解下列一元二次方程．（1）x2+6x+5=0；（2）x2+x﹣1=0．18．甲、乙两名队员参加射击训练，成绩分别被制成下列两个统计图：根据以上信息，整理分析数据如下：中位数/环众数/环方差平均成绩/环甲 a 7 7乙7 b 8 c（1）写出表格中a，b，c的值；（2）分别运用表中的四个统计量，简要分析这两名队员的射击训练成绩．若选派其中一名参赛，你认为应选哪名队员？19．已知关于x的方程mx2﹣（m+2）x+2=0（1）求证：不论m 为何值，方程总有实数根；（2）若方程的一个根是2，求m的值及方程的另一个根．20．甲、乙、丙、丁4位同学进行一次乒乓球单打比赛，要从中选2名同学打第一场比赛．（1）已确定甲同学打第一场比赛，再从其余3名同学中随机选取1名，恰好选中乙同学的概率是；（2）随机选取2名同学，求其中有乙同学的概率．21．在⊙O中，AB为直径，C为⊙O上一点．（Ⅰ）如图1．过点C作⊙O的切线，与AB的延长线相交于点P，若∠CAB=27°，求∠P的大小；（Ⅱ）如图2，D为上一点，且OD经过AC的中点E，连接DC并延长，与AB的延长线相交于点P，若∠CAB=10°，求∠P的大小．22．我们知道，各类方程的解法虽然不尽相同，但是它们的基本思想都是“转化”，即把未知转化为已知．用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新方程．认识新方程：像=x这样，根号下含有未知数的方程叫做无理方程，可以通过方程两边平方把它转化为2x+3=x2，解得x1=3，x2=﹣1．但由于两边平方，可能产生增根，所以需要检验，经检验，x2=﹣1是原方程的增根，舍去，所以原方程的解是x=3．运用以上经验，解下列方程：（1）=x；（2）x+2=6．23．圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆，用大圆的面积减去小圆的面积就是圆环的面积．（1）如图1，大圆的弦AB切小圆于点P，求证：AP=BP；（2）若AB=2a，请用含有a的代数式表示图1中的圆环面积；（3）如图2，若大圆的弦AB交小圆于C、D两点，且AB=8，CD=6，则圆环的面积为7π．24．某农场去年种植南瓜10亩，总产量为20000kg，今年该农场扩大了种植面积，并引进新品种，使产量增长到60000kg．已知今年种植面积的增长率是今年平均亩产量增长率的2倍，求今年平均亩产量的增长率．25．如图，已知△ABC，利用尺规完成下列作图（不写画法，保留作图痕迹）．（1）作△ABC的外接圆；（2）若△ABC所在平面内有一点D，满足∠CAB=∠CDB，BC=BD，求作点D．26．某青年旅社有60间客房供游客居住，在旅游旺季，当客房的定价为每天200元时，所有客房都可以住满．客房定价每提高10元，就会有1个客房空闲，对有游客入住的客房，旅社还需要对每个房间支出20元/每天的维护费用，设每间客房的定价提高了x元．（1）填表（不需化简）入住的房间数量房间价格总维护费用提价前 60 200 60×20提价后60﹣200+x （60﹣）×20 （2）若该青年旅社希望每天纯收入为14000元且能吸引更多的游客，则每间客房的定价应为多少元？（纯收入=总收入﹣维护费用）27．问题呈现：如图1，⊙O是Rt△ABC的外接圆，∠ABC=90°，弦BD=BA，BE⊥DC交DC的延长线于点E．求证：BE是⊙O的切线．问题分析：连接OB，要证明BE是⊙O的切线，只要证明OB⊥BE，由题意知∠E=90°，故只需证明OB ∥DE．解法探究：（1）小明对这个问题进行了如下探索，请补全他的证明思路：如图2，连接AD，由∠ECB是圆内接四边形ABCD的一个外角，可证∠ECB=∠BAD，因为OB=OC，所以∠CBO=∠BCO ，因为BD=BA，所以∠BAD=∠BDA ，利用同弧所对的圆周角相等和等量代换，得到∠ECB=∠CBO ，所以DE∥OB，从而证明出BE是⊙O的切线．（2）如图3，连接AD，作直径BF交AD于点H，小丽发现BF⊥AD，请说明理由．（3）利用小丽的发现，请证明BE是⊙O的切线．（要求给出两种不同的证明方法）．2016-2017学年某某省某某市鼓楼区九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共6小题，每小题2分，满分12分）1．方程x2=x的根是（）A．x=1 B．x=﹣1 C．x1=0，x2=1 D．x1=0，x2=﹣1【考点】解一元二次方程-因式分解法．【分析】移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．【解答】解：x2=x，x2﹣x=0，x（x﹣1）=0，x=0，x﹣1=0，x1=0，x2=1，故选C．【点评】本题考查了解一元二次方程的应用，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键．2．一元二次方程x2﹣4x+4=0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根C．无实数根 D．无法确定【考点】根的判别式．【分析】将方程的系数代入根的判别式中，得出△=0，由此即可得知该方程有两个相等的实数根．【解答】解：在方程x2﹣4x+4=0中，△=（﹣4）2﹣4×1×4=0，∴该方程有两个相等的实数根．故选B．【点评】本题考查了根的判别式，解题的关键是代入方程的系数求出△=0．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据根的判别式得正负确定方程解得个数是关键．3．如图，圆锥的底面半径r为6cm，高h为8cm，则圆锥的侧面积为（）A．30πcm2B．48πcm2C．60πcm2D．80πcm2【考点】圆锥的计算．【分析】首先利用勾股定理求出圆锥的母线长，再通过圆锥侧面积公式可以求得结果．【解答】解：∵h=8，r=6，可设圆锥母线长为l，由勾股定理，l==10，圆锥侧面展开图的面积为：S侧=×2×6π×10=60π，所以圆锥的侧面积为60πcm2．故选：C．【点评】本题主要考察圆锥侧面积的计算公式，解题关键是利用底面半径及高求出母线长即可．4．某单位要招聘1名英语翻译，X明参加招聘考试的成绩如表所示：听说读写 X明 90 80 83 82若把听、说、读、写的成绩按3：3：2：2计算平均成绩，则X明的平均成绩为（）A．82 B．83 C．84 D．85【考点】加权平均数．【分析】根据加权平均数的计算公式进行计算即可．【解答】解：X明的平均成绩为：（90×3+80×3+83×2+82×2）÷10=84；故选C．【点评】此题考查了加权平均数的计算公式，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：数据的权能够反映数据的相对“重要程度”，要突出某个数据，只需要给它较大的“权”，权的差异对结果会产生直接的影响．5．如图，有一圆O通过△ABC的三个顶点．若∠B=75°，∠C=60°，且的长度为4π，则BC的长度为何？（）A．8 B．8 C．16 D．16【考点】弧长的计算．【分析】由三角形的内角和公式求出∠A，即可求得圆心角∠BOC=90°，由弧长公式求得半径，再由勾股定理求得结论．【解答】解：连接OB，OC，∵∠B=75°，∠C=60°，∴∠A=45°，∴∠BOC=90°，∵的长度为4π，∴=4π，∴OB=8，∴BC===8，故选B．【点评】本题主要考查了三角形内角和定理，弧长公式，圆周角定理，勾股定理，熟记弧长公式是解决问题的关键．6．小明不慎把家里的圆形镜子打碎了，其中三块碎片如图所示，三块碎片中最有可能配到与原来一样大小的圆形镜子的碎片是（）A．①B．②C．③D．均不可能【考点】垂径定理的应用．【分析】要确定圆的大小需知道其半径．根据垂径定理知第①块可确定半径的大小．【解答】解：第①块出现两条完整的弦，作出这两条弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是圆心，进而可得到半径的长．故选A．【点评】本题考查了垂径定理的应用，确定圆的条件，解题的关键是熟练掌握：圆上任意两弦的垂直平分线的交点即为该圆的圆心．二、填空题（共10小题，每小题2分，满分20分）7．用配方法解方程x2﹣4x=5时，方程的两边同时加上 4 ，使得方程左边配成一个完全平方式．【考点】解一元二次方程-配方法．【分析】要使方程左边配成一个完全平方式，需要等式两边同时加上一次项系数一半的平方．【解答】解：∵x2﹣4x=5，∴x2﹣4x+4=5+4，∴用配方法解方程x2﹣4x=5时，方程的两边同时加上4，使得方程左边配成一个完全平方式．【点评】此题考查配方法的一般步骤：①把常数项移到等号的右边；②把二次项的系数化为1；③等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．8．若⊙O的直径为2，OP=2，则点P与⊙O的位置关系是：点P在⊙O 外．【考点】点与圆的位置关系．【分析】由条件可求得圆的半径为1，由条件可知点P到圆心的距离大于半径，可判定点P 在圆外．【解答】解：∵⊙O的直径为2，∴⊙O的半径为1，∵OP=2＞1，∴点P在⊙O外，故答案为：外．【点评】本题主要考查点与圆的位置关系，利用点到圆心的距离d与半径r的大小关系判定点与圆的位置关系是解题的关键．9．若一元二次方程2x2+4x+1=0的两根是x1、x2，则x1+x2的值是﹣2 ．【考点】根与系数的关系．【分析】根据根与系数的关系即可得出x1+x2的值，此题的解．【解答】解：∵一元二次方程2x2+4x+1=0的两根是x1、x2，∴x1+x2=﹣=﹣2．故答案为：﹣2．【点评】本题考查了根与系数的关系，熟练掌握两根之和为﹣是解题的关键．10．一只不透明的袋子中装有2个红球、3个白球，这些球除颜色外都相同，摇匀后从中任意摸出一个球，摸到红球的概率是．【考点】概率公式．【分析】先求出总球的个数，再根据概率公式进行计算即可得出答案．【解答】解：∵有2个红球、3个白球，∴共有2+3=5个球，∴摸到红球的概率是；故答案为：．【点评】此题主要考查了概率公式的应用，关键是要明确：随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．11．如图，四个小正方形的边长都是1，若以O为圆心，OG为半径作弧分别交AB、DC于点E、F，则图中阴影部分的面积为．【考点】扇形面积的计算．【分析】先根据OD=OF得出∠DOF=60°，同理可得出∠AOE=60°，进而得出∠EOF的度数，根据扇形的面积公式即可得出结论．【解答】解：∵OD=1，OF=OG=2，∴cos∠DOF==，∴∠DOF=60°．同理，∠AOE=60°，∴∠EOF=180°﹣60°﹣60°=60°，∴图中阴影部分的面积==．故答案为：．【点评】本题考查的是扇形面积的计算，熟记扇形的面积公式是解答此题的关键．12．如图所示圆中，AB为直径，弦CD⊥AB，垂足为H．若HB=2，HD=4，则AH= 8 ．【考点】垂径定理；勾股定理．【分析】取AB的中点O，连接OD，设OD=r，则OH=r﹣2，再根据勾股定理求出r的值，进而可得出结论．【解答】解：取AB的中点O，连接OD，设OD=r，则OH=r﹣2，在Rt△ODH中，∵OH2+DH2=OD2，即（r﹣2）2+42=r2，解得r=5，∴AH=AB﹣BH=10﹣2=8．故答案为：8．【点评】本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，利用勾股定理求解是解答此题的关键．13．如图，AB为⊙O的直径，弦CD与AB交于点E，连接AD．若∠C=80°，∠CEA=30°，则∠CDA= 20 °．【考点】圆周角定理．【分析】根据三角形的内角和得到∠CAB=180°﹣80°﹣30°=70°，连接BC，由AB为⊙O 的直径，得到∠ACB=90°，根据圆周角定理即可得到结论．【解答】解：∵∠C=80°，∠CEA=30°，∴∠CAB=180°﹣80°﹣30°=70°，连接BC，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠B=20°，∴∠CDA=∠B=20°，故答案为：20．【点评】本题考查了圆周角定理，三角形的内角和，正确的作出辅助线是解题的关键．14．如图，某单位准备将院内一块长30m，宽20m的长方形花园中修两条纵向平行和一条横向弯折的小道，剩余的地方种植花草，如图，要使种植花草的面积为532m2，设小道进出口的宽度为x m，根据条件，可列出方程：x2﹣35x+34=0 ．【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．【分析】设小道进出口的宽度为xm，根据矩形的面积以及平行四边形的面积结合种植花草的面积为532m2，即可列出关于x的一元二次方程，整理后即可得出结论．【解答】解：设小道进出口的宽度为xm，根据题意，得：30×20﹣20×2x﹣30x+2xx=532，整理，得：x2﹣35x+34=0．故答案为：x2﹣35x+34=0．【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据数量关系列出关于x的一元二次方程是解题的关键．15．将一个三角形纸板按如图所示的方式放置一个破损的量角器上，使点C落在半圆上，若点A、B处的读数分别为65°、20°，则∠ACB的大小为22.5 °．【考点】圆周角定理．【分析】设半圆圆心为O，连OA，OB，则∠AOB=86°﹣30°=56°，根据圆周角定理得∠ACB=∠AOB，即可得到∠ACB的大小．【解答】解：连结OA、OB，如图，∵点A、B的读数分别为65°，20°，∴∠AOB=65°﹣20°=45°，∴∠ACB=∠AOB=22.5°．故答案为：22.5．【点评】本题考查了圆周角定理，即在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半，会使用量角器是解决本题的关键．16．如图，△ABC中，∠B=90°，AB=11，BC=10，若⊙O的半径为5且与AB、BC相切，以下说法不正确的是①②③．①圆心O是∠B的角平分线与AC的交点；②圆心O是∠B的角平分线与AB的垂直平分线的交点；③圆心O是AB的垂直平分线与BC的垂直平分线的交点；④圆心O是∠B的角平分线与BC的垂直平分线的交点．【考点】切线的性质；线段垂直平分线的性质．【分析】首先连接OD，OE，易得四边形ODBE是正方形，即可得点O在∠B的平分线上，OE 是BC的垂直平分线，OD不是AB的垂直平分线，O不在AC的垂直平分线上，点O不在AC 上．【解答】解：∵⊙O的半径为5且与AB、BC相切，∴OD⊥AB，OE⊥BC，OD=OE=5，∵∠B=90°，∴四边形ODBE是正方形，∴BE=BD=OE=OD=5，∴点O在∠B的平分线上，CE=BC﹣BE=5，AD=AB﹣BD=11﹣5=6，∴OE是BC的垂直平分线，OD不是AB的垂直平分线，∵OA==，OC==5，∴OA≠OC，即O不在AC的垂直平分线上；∵AC==，∴点O不在AC上．∴①②③错误，④正确．故答案为：①②③．【点评】此题考查了切线的性质、角平分线的性质以及线段垂直平分线的性质．注意证得四边形ODBE是正方形是关键．三、解答题（共11小题，满分88分）17．解下列一元二次方程．（1）x2+6x+5=0；（2）x2+x﹣1=0．【考点】解一元二次方程-因式分解法．【分析】（1）因式分解法求解可得；（2）公式法求解可得．【解答】解：（1）（x+1）（x+5）=0，∴x+1=0或x+5=0，解得：x=﹣1或x=﹣5；（2）∵a=1，b=1，c=﹣1，∴b2﹣4ac=1+4=5，∴x=，∴x1=，x2=．【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，根据不同的方程选择合适的方法是解题的关键．18．甲、乙两名队员参加射击训练，成绩分别被制成下列两个统计图：根据以上信息，整理分析数据如下：中位数/环众数/环方差平均成绩/环甲 a 7 7乙7 b 8 c（1）写出表格中a，b，c的值；（2）分别运用表中的四个统计量，简要分析这两名队员的射击训练成绩．若选派其中一名参赛，你认为应选哪名队员？【考点】方差；条形统计图；折线统计图；中位数；众数．【分析】（1）利用平均数的计算公式直接计算平均分即可；将乙的成绩从小到大重新排列，用中位数的定义直接写出中位数即可；根据乙的平均数利用方差的公式计算即可；（2）结合平均数和中位数、众数、方差三方面的特点进行分析．【解答】解：（1）甲的平均成绩a==7（环），∵乙射击的成绩从小到大从新排列为：3、4、6、7、7、8、8、8、9、10，∴乙射击成绩的中位数b==7.5（环），其方差c=×[（3﹣7）2+（4﹣7）2+（6﹣7）2+2×（7﹣7）2+3×（8﹣7）2+（9﹣7）2+（10﹣7）2]=×（16+9+1+3+4+9）=4.2（环）；（2）从平均成绩看甲、乙二人的成绩相等均为7环，从中位数看甲射中7环以上的次数小于乙，从众数看甲射中7环的次数最多而乙射中8环的次数最多，从方差看甲的成绩比乙的成绩稳定；综合以上各因素，若选派一名学生参加比赛的话，可选择乙参赛，因为乙获得高分的可能更大．【点评】本题考查的是条形统计图和方差、平均数、中位数、众数的综合运用．熟练掌握平均数的计算，理解方差的概念，能够根据计算的数据进行综合分析．19．已知关于x的方程mx2﹣（m+2）x+2=0（1）求证：不论m为何值，方程总有实数根；（2）若方程的一个根是2，求m的值及方程的另一个根．【考点】根与系数的关系；根的判别式．【分析】（1）分类讨论：当m=0时，方程为一元一次方程，有一个实数解；当m≠0时，计算判别式得到△=（m﹣2）2≥0，则方程有两个实数解，于是可判断不论m为何值，方程总有实数根；（2）设方程的另一个根为t，利用根与系数的关系得到2+t=，2t=，然后解关于t 与m的方程组即可．【解答】（1）证明：当m=0时，方程变形为﹣2x+2=0，解得x=1；当m≠0时，△=（m+2）2﹣4m2=（m﹣2）2≥0，方程有两个实数解，所以不论m为何值，方程总有实数根；（2）设方程的另一个根为t，根据题意得2+t=，2t=，则2+t=1+2t，解得t=1，所以m=1，即m的值位1，方程的另一个根为1．【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=﹣，x1x2=．也考查了根的判别式．20．甲、乙、丙、丁4位同学进行一次乒乓球单打比赛，要从中选2名同学打第一场比赛．（1）已确定甲同学打第一场比赛，再从其余3名同学中随机选取1名，恰好选中乙同学的概率是；（2）随机选取2名同学，求其中有乙同学的概率．【考点】列表法与树状图法；概率公式．【分析】（1）直接利用概率公式求解；（2）画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出选取2名同学中有乙同学的结果数，然后根据概率公式求解．【解答】解：（1）已确定甲同学打第一场比赛，再从其余3名同学中随机选取1名，恰好选中乙同学的概率=；故答案为；（2）画树状图为：共有12种等可能的结果数，其中选取2名同学中有乙同学的结果数为6，所以有乙同学的概率==．【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．21．在⊙O中，AB为直径，C为⊙O上一点．（Ⅰ）如图1．过点C作⊙O的切线，与AB的延长线相交于点P，若∠CAB=27°，求∠P的大小；（Ⅱ）如图2，D为上一点，且OD经过AC的中点E，连接DC并延长，与AB的延长线相交于点P，若∠CAB=10°，求∠P的大小．【考点】切线的性质．【分析】（Ⅰ）连接OC，首先根据切线的性质得到∠OCP=90°，利用∠CAB=27°得到∠COB=2∠CAB=54°，然后利用直角三角形两锐角互余即可求得答案；（Ⅱ）根据E为AC的中点得到OD⊥AC，从而求得∠AOE=90°﹣∠EAO=80°，然后利用圆周角定理求得∠ACD=∠AOD=40°，最后利用三角形的外角的性质求解即可．【解答】解：（Ⅰ）如图，连接OC，∵⊙O与PC相切于点C，∴OC⊥PC，即∠OCP=90°，∵∠CAB=27°，∴∠COB=2∠CAB=54°，在Rt△AOE中，∠P+∠COP=90°，∴∠P=90°﹣∠COP=36°；（Ⅱ）∵E为AC的中点，∴OD⊥AC，即∠AEO=90°，在Rt△AOE中，由∠EAO=10°，得∠AOE=90°﹣∠EAO=80°，∴∠ACD=∠AOD=40°，∵∠ACD是△ACP的一个外角，∴∠P=∠ACD﹣∠A=40°﹣10°=30°．【点评】本题考查了切线的性质，解题的关键是能够利用圆的切线垂直于经过切点的半径得到直角三角形，难度不大．22．我们知道，各类方程的解法虽然不尽相同，但是它们的基本思想都是“转化”，即把未知转化为已知．用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新方程．认识新方程：像=x这样，根号下含有未知数的方程叫做无理方程，可以通过方程两边平方把它转化为2x+3=x2，解得x1=3，x2=﹣1．但由于两边平方，可能产生增根，所以需要检验，经检验，x2=﹣1是原方程的增根，舍去，所以原方程的解是x=3．运用以上经验，解下列方程：（1）=x；（2）x+2=6．【考点】无理方程；分式方程的增根．【分析】（1）根据平方，可得整式方程，根据解整式方程，可得答案；（2）根据平方，可得整式方程，根据解整式方程，可得答案．【解答】解：（1）两边平方，得16﹣6x=x2，整理得：x2+6x﹣16=0，解得x1=﹣8，x1=2；经检验x=﹣8是增根，所以原方程的根为x=2；（2）移项得：2=6﹣x两边平方，得4x﹣12=x2﹣12x+36，解得x1=4，x2=12（不符合题意，舍）．【点评】本题考查了无理方程，利用平方转化成整式方程是解无理方程的关键，注意要检验方程的根．23．圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆，用大圆的面积减去小圆的面积就是圆环的面积．（1）如图1，大圆的弦AB切小圆于点P，求证：AP=BP；（2）若AB=2a，请用含有a的代数式表示图1中的圆环面积；（3）如图2，若大圆的弦AB交小圆于C、D两点，且AB=8，CD=6，则圆环的面积为7π．【考点】切线的性质．【分析】（1）根据切线的性质以及垂径定理即可证明．（2）根据圆环的面积等于两圆的面积差，再根据切线的性质定理、勾股定理、垂径定理求解．（3）首先连接OA，OC，由勾股定理可得：OE2=OA2﹣AE2，OE2=OC2﹣CE2，继而可得OA2﹣OC2=7，则可求得圆环的面积【解答】（1）证明：如图1中，连接OP．∵AB是小圆的切线，P是切点，∴OP⊥AB，∴PA=PB．（2）解：如图1中，连接OB．∵大圆的弦AB是小圆的切线，∴OP⊥AB，AP=PB，∴OB2﹣OP2=（2a÷2）2=a2，∵S圆环=S大﹣S小=πOB2﹣πOP2=π（OB2﹣OP2），∴S圆环=πa2．（3）解：如图2中，连接OA，OC，作OE⊥AB于点E．在Rt△AOE与Rt△OCE中：OE2=OA2﹣AE2，OE2=OC2﹣CE2，∴OA2﹣AE2=OC2﹣CE2，∴OA2﹣OC2=AE2﹣CE2，∵AB=8，CD=6，∴AE=EB=4，CE=DE=3，∴OA2﹣OC2=7，∴圆环的面积为：πOA2﹣πOC2=π（OA2﹣OC2）=7π．故答案为7π．【点评】此题考查了垂径定理、勾股定理、圆的面积的等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，注意数形结合思想的应用，属于中考常考题型．24．某农场去年种植南瓜10亩，总产量为20000kg，今年该农场扩大了种植面积，并引进新品种，使产量增长到60000kg．已知今年种植面积的增长率是今年平均亩产量增长率的2倍，求今年平均亩产量的增长率．【考点】一元二次方程的应用．【分析】根据增长后的产量=增长前的产量（1+增长率），设南瓜亩产量的增长率为x，则种植面积的增长率为2x，列出方程求解．【解答】解：设南瓜亩产量的增长率为x，则种植面积的增长率为2x．根据题意，得10（1+2x）2000（1+x）=60000．解得：x1=0.5，x2=﹣2（不合题意，舍去）．答：南瓜亩产量的增长率为50%．【点评】本题考查的是基本的一元二次方程的应用题，解题的关键是了解有关增长率问题的一般解法，难度一般．25．如图，已知△ABC，利用尺规完成下列作图（不写画法，保留作图痕迹）．（1）作△ABC的外接圆；（2）若△ABC所在平面内有一点D，满足∠CAB=∠CDB，BC=BD，求作点D．【考点】作图—复杂作图；圆周角定理；三角形的外接圆与外心．【分析】（1）作出BD、BC的垂直平分线，两线的交点就是⊙O的圆心O的位置，然后以O 为圆心AO长为半径画圆即可；（2）以B为圆心，BC长为半径化弧，交⊙O于点D，再连接BD，CD即可．【解答】解：（1）如图所示：⊙O即为所求；（2）如图所示：点D即为所求．【点评】此题主要考查了复杂作图，以及圆周角定理，关键是掌握三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等．26．某青年旅社有60间客房供游客居住，在旅游旺季，当客房的定价为每天200元时，所有客房都可以住满．客房定价每提高10元，就会有1个客房空闲，对有游客入住的客房，旅社还需要对每个房间支出20元/每天的维护费用，设每间客房的定价提高了x元．（1）填表（不需化简）入住的房间数量房间价格总维护费用提价前 60 200 60×20提价后60﹣200+x （60﹣）×20 （2）若该青年旅社希望每天纯收入为14000元且能吸引更多的游客，则每间客房的定价应为多少元？（纯收入=总收入﹣维护费用）【考点】一元二次方程的应用．【分析】（1）住满为60间，x表示每个房间每天的定价增加量；定价每增加10元时，就会有一个房间空闲，房间空闲个数为，入住量=60﹣房间空闲个数，列出代数式；（2）用：每天的房间收费=每间房实际定价×入住量，每间房实际定价=200+x，列出方程．【解答】解：（1）∵增加10元，就有一个房间空闲，增加20元就有两个房间空闲，以此类推，空闲的房间为，∴入住的房间数量=60﹣，房间价格是（200+x）元，总维护费用是（60﹣）×20．故答案是：60﹣；200+x；（60﹣）×20；（2）依题意得：（200+x）（60﹣）﹣（60﹣）×20=14000，整理，得x2﹣420x+32000=0，解得x1=320，x2=100．当x=320时，有游客居住的客房数量是：60﹣=28（间）．当x=100时，有游客居住的客房数量是：60﹣=50（间）．所以当x=100时，能吸引更多的游客，则每个房间的定价为200+100=300（元）．答：每间客房的定价应为300元．【点评】本题考查了一元二次方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．27．问题呈现：如图1，⊙O是Rt△ABC的外接圆，∠ABC=90°，弦BD=BA，BE⊥DC交DC的延长线于点E．求证：BE是⊙O的切线．问题分析：连接OB，要证明BE是⊙O的切线，只要证明OB⊥BE，由题意知∠E=90°，故只需证明OB ∥DE．解法探究：（1）小明对这个问题进行了如下探索，请补全他的证明思路：。

2023-2024学年初三上学期南京秦淮区期中考试数学试卷【教师版】

2023-2024学年度第一学期第一阶段学业质量监测九年级数学一、选择题.（本大题共6小题，每小题2分，共12分.在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1．下列方程是一元二次方程的是（）. .. . 【答案】．【解析】解：、，是一元一次方程，故不符合题意；、，是一元二次方程，故符合题意；、，是二元一次方程，故不符合题意；故选：．2．一个圆锥的侧面积为，其底面圆的半径为4，则该圆锥的母线长为（）. 3. 4. 9. 12【答案】．【解析】设该圆锥的母线长为，解得，即该圆锥的母线长是9．故选：．3．如图，点在上，平分弦，连接，，若，则的度数是（）. . . . 【答案】．【解析】，，，平分弦，，A 210x -=B 2110x -=C 20x x -=D 20x y -=C A 210x -=A C 20x x -=C D 20x y -=D C 36πA B C D C 9l =C C O OC AB OA BC 40A ∠=︒C ∠A 50︒B 60︒C 65︒D 70︒C OA OB = 40A ∠=︒40B ∴∠=︒ OC AB OC AB ∴⊥，,故选：．4．“雷达图”是一种常用统计图，它可以直观展示一个研究对象的不同方面．图是某学生某次测验的五门学科成绩的“雷达图”，如果从学科一到学科五计算平均成绩，则该学生这五门学科的平均成绩是（）. 80. 82. 84. 86【答案】. 故选：.5．以下图形：①平行四边形；②菱形；③矩形；④正方形．其中一定有外接圆的是（）. ①. ②③. ③④. ②③④【答案】.【解析】根据有外接圆的条件，四边形必须对角互补，只有矩形、正方形有外接圆，故③④一定有外接圆．故选：.6．图①是一张长，宽的矩形纸片，将阴影部分裁去（阴影部分为4个完全相同的小矩形）并折叠成一个如图②的底面积为的有盖长方体盒子．设该盒子的高为，根据题意，可列方程为（）. . . .904050BOC ∴∠=︒-︒=︒OC OB = C 4:2:2:1:1A B C D B B A B C D C ∴C 28cm 16cm 280cm xcm A (282)(162)80x x --=B (2822)(162)80x x -⨯-=C 1(282)(162)802x x ⨯--=D 1(282)(162)802x x --=【答案】.纸盒的底面（图中阴影部分）面积是，故选：.二、填空题．（本大题共10小题，每小题2分，共20分.请把答案直接填写在答题卷相应位置上）7．方程的根是．【答案】．【解析】两边开平方得，．故答案为：．8．一组数据7，10，7，2，7的极差是．【答案】8．【解析】极差为：．故答案为：8．9．若将一元二次方程化为的形式，则．【答案】88．【解析】，，，所以，，所以．故答案为：88．10．如图，在中，，则点在以线段为直径的圆．（填“上”“内”或“外”）D 280cm D 24x =122,2x x ==-2x =±122,2x x ==-1028-=21616x x +=2()x m n +=m n +=21616x x +=216641664x x ++=+2(8)80x +=8m =80n =88088m n +=+=ABC ∆92A ∠=︒A BC【答案】内．【解析】若点在以线段为直径的圆上，则，因为，所以点在以线段为直径的圆内，故答案为：内．11．如图，在中，弦的长度是弦长度的两倍，连接，，，，则　2．（填“”“”或“”）【答案】．【解析】过点作交于点，连接.又，，在中，，，，即，故答案为：．12．小明参加了中国传统文化课程——射箭，在一次练习中，他的成绩如下表所示：D BC 90D ∠=︒9290A D ∠=︒>∠=︒A BC O AB CD OA OB OC OD AOB ∠COD ∠><=>O OE AB ⊥ABF BE 2AB CD =∴BF CD =Rt BEF ∆BE BF >∴BE CD >∴BOE COD ∠>∠2AOB COD ∠>∠>环数5678910次数234551那么他成绩的中位数是　环．【答案】8．【解析】总次数为，所以中位数取第10与第11的平均数，故答案为：8．13．某超市今年八月份的营业额为20万元，今年十月份的营业额为24万元，设平均每月营业额的增长率为，根据题意可列方程为．【答案】．【解析】设平均每月营业额的增长率为，则九月份的营业额为：，十月份的营业额为：，则由题意列方程为：．故答案为：．14．如图，四边形的各边都与相切，若，则四边形的周长为　．【答案】24．【解析】如图，，，，是切点四边形各边与相切，，，23455120+++++=x 220(1)24x +=20(1)x +220(1)x +220(1)24x +=220(1)24x +=ABCD O 28AB CD cm ==ABCD cm E F G H ABCD O AH AE ∴=DH DG =CG CF =BE BF=AH DH CF BF AE DG CG BE∴+++=+++四边形的周长为故答案为：24．15．如图，的半径为2，是弦，点在优弧上．将沿折叠后，连接，交于点．若，则的长是（结果保留）．【解析】补全圆，取与关于对称，连接，，，，由内接四边形定理可得，，16．在中，，，，则其外接圆的半径是．【解析】作，，，AD BC CD AB ∴+=+ 28AB CD cm==∴ABCD (84)224cm+⨯=O AB C AB O AB CB CB AB D 108ADB ∠=︒ ADB π'D D AB OA OB AC '108AD B ADB ∴∠=∠=︒180'18010872ACB AD B ∠=︒-∠=︒-︒=︒2144AOB ACB ∴∠=∠=︒ABC ∆135A ∠=︒3AB =AC =CD AB ⊥ 135A ∠=︒∴45CAD ∠=︒，，，在优弧上所对的圆周角为，，三、解答题．（本大题共11小题，共88分.请在答题卷指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（6分）解方程：．【解析】，，，18．（6分）解方程：．【解析】，，则，或，∴1CD AD ==∴134BD =+= 135A ∠=︒∴AC 18013545︒-︒=︒∴90BOC ∠=︒2410x x -+=2410x x -+= 2443x x ∴-+=2(2)3x ∴-=3(2)2x x x -=-3(2)2x x x -=- 3(2)(2)0x x x ∴---=(2)(31)0x x --=20x ∴-=310x -=19．（8分）已知关于的一元二次方程．（1）当这个方程二次项系数和常数项的符号不同时，证明：该方程一定有两个不相等的实数根；（2）若这个方程有两个不相等的实数根，那么该方程二次项系数和常数项的符号是否一定不同？若是，请证明；若不是，请举出一个反例．【答案】（1）见解析．【解析】（1）证明：二次项系数和常数项的符号不同，，，，该方程一定有两个不相等的实数根.（2）不是，反例（答案不唯一）理由如下：方程有两个不相等的实数根，满足即可，反例：，，即，这个方程有两个不相等的实数根，该方程二次项系数和常数项的符号相同.20．（7分）如图，在的内接正八边形中，，连接．（1）求证；（2）的长为．【解析】（1）证明：连接，x 20(0,0)ax bx c a c ++=≠≠ ∴0ac <∴0ac ->20b >∴224(4)0b ac b ac ∆=-=+->∴2304x x +-= ∴240b ac ∆=->24b ac >216b =3ac =2304x x +-=O ABCDEFGH 2AB =DG DG AB ∥DG AD，.（2）由题可得，四边形为等腰梯形，作，，正八边形，，，，，，在中，，，易证四边形是矩形，，21．（8分）已知关于的方程．（1）当该方程有实数根时，求的范围；（2）若该方程的两个根，满足，求的值．【解析】（1）关于的方程有实数根，，（2）∴BAD ADG ∠=∠∴DG AB ∥DGFE EP DG ⊥FQ DG ⊥ ABCDEFGH 2AB =∴EF AB ∥2GF EF AB ===135GFE DEF ∠=∠=︒∴EF DG ∥∴18013545DGF ∠=︒-︒=︒Rt QGF ∆45DGF ∠=︒2GF =PQFE 2PQ EF ∴==x 22(21)0x m x m +-+=m 1x 2x 1212x x x x +=⋅m x 22(21)0x m x m +-+=∴22(21)40m m --∆=≥ 22(21)0x m x m +-+=，，，，22．（9分）某工厂对新建的两条生产线，进行试运行，这两条生产线各生产了5个批次的产品（每个批次各100个）．其中每个批次产品的合格数量如图．（1）哪条生产线的合格产品数量比较稳定，为什么？（2）经过调试，在接下来生产的5个批次中，生产线，的合格产品数量如下表：批次678910生产线的合格产品数量/个8586868687生产线的合格产品数量/个9294949892本次调试的效果如何？说明理由．【答案】（1）比较稳定；（2）见解析.比较稳定.∴12(21)x x m +=--212x x m ⋅= 1212x x x x +=⋅∴2(21)m m --=A B A B A B B ∴B综上，经过本次调试，，生产线的合格产品数量均变得更加稳定，生产线合格产品数量有提升.23．（6分）如图，已知直线和点，．在直线上确定点，使以，，为顶点的三角形是直角三角形．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，作出所有满足条件的点．）【答案】见解析．【解析】即为所求24．（8分）某超市销售一批月饼，这批月饼每盒进价为80元，售价为120元，平均每天可售出20盒．为了增加盈利，商场采取了降价措施．假设在一定范围内，月饼的单价每降1元，商场平均每天可多售出2盒，降价后商场消售这批月饼每天盈利1200元．求降价后该月饼每盒的售价．【答案】100元或110元．【解析】设月饼每盒降了元．根据题意，得，解得：或，或110答：降价后该月饼每盒的售价为100元或110元．25．（9分）如图，在中，，是它的外接圆，点在上且，连接，，，与交于点．A B B A B C A B C C 1234,,,C C C C (202)(12080)1200x x +--=120x =210x =∴120100x -=ABC ∆AB AC =O D AC CDCB =AD BD CD BD AC E（1）判断的形状，并证明；（2）当时，求的度数．【答案】（1）为等腰三角形，证明见解析；（2）.【解析】（1）为等腰三角形，证明：设，，，，，，，，，，，，，，为等腰三角形.（2），，，又，，，，，.26．（10分）如图①，，分别是半圆的直径上的点，点，在上，且四边形AED ∆AD BE =BAC ∠AED ∆36︒AED ∆BDC α∠=ACD β∠=∴AED αβ∠=+ CDCB =∴CD CB =∴DBC BDC α∠=∠= AD AD =∴ABD ACD β∠=∠= AB AC =∴ACB ABC αβ∠=∠=+ AB AB =∴ADB ACB αβ∠=∠=+∴ADB AED ∠=∠∴AD AE =∴AED ∆ AD BE =∴AE BE =∴BAE EBA β∠=∠= BCBC =∴BAE BDC ∠=∠∴αβ=∴5180ABC ACB BAC α∠+∠+∠==︒∴36α=︒∴36BAC ∠=︒C D O AB E F AB CDEF是正方形．（1）若的面积为；（2）如图②，点，，分别在，，上，连接，，四边形是正方形，且其面积为16．①求的值；②如图③，点，，分别在，，上，连接，，四边形是正方形．直接写出正方形与正方形的面积比．【解析】（1）连接四边形是正方形，，解得：，正方形的边长为4，正方形的面积为16.（2）①连接，，四边形是正方形，，设，则，在中，，AB =CDEF G H M AB AB DE HG HM DGHM AB N P Q HM AB EM PN PQ MNPQ MNPQ DGHM OFCDEF 2FC CO ∴=2CO =4FC =∴∴CDEF OE ON DGHM ∴4NG DG ==OD x =2DE x =Rt ODE ∆2222(2)5OE x x x =+=在中，，，解得（舍）②连接，，，且，，又，，共线，27．（11分）我们把经过三角形的一个顶点且与该三角形的两条边所在直线相切的圆叫做这个三角形的准切圆．（1）如图，已知．求作：的一个准切圆；（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）（2）证明：等边三角形的准切圆与它的外接圆是等圆；（3）在中，，，，直接写出它的准切圆的半径长．【解析】（1）如图所示（其中一种情况）Rt ONG ∆2224(4)ON x =++∴2224(4)5x x ++=124,2x x ==-OP DH 4MD OD ==90MDO ∠=︒∴45MOD OMD ∠=∠=︒ 45PMN ∠=︒∴180OMD DMH PMN ∠=∠+∠=︒∴,,O M P ABC ∆ABC ∆Rt ABC ∆90C ∠=︒3AC =4BC =（2）证明：如图所示：过且与，相切，连，，到的距离相等，在角平分线上，，若是外接圆，，作，，平分，同理，在中，，C AB BC OC ∴90OCB ∠=︒ O ,AB BC ∴O ABC ∠∴22223BC OB OC OC =-=1O ABC ∆∴2120BOC BAC ∠=∠=︒1O M BC = OB OC =∴1O M 1BO C ∠1Rt BO M ∆112BO O M =.∴1O B OC =。

江苏省南京市九年级(上)第一次月考数学试卷(10月份)

江苏省南京市九年级（上）第一次月考数学试卷（10月份）一、选择题（每题2分，共12分）1．下列方程为一元二次方程的是（）A．y+x＝0B．2x+1＝0C．D．4x2＝12．以锐角△ABC的边BC为直径作⊙O，则顶点A与⊙O的位置关系是（）A．在⊙O内B．在⊙O上C．在⊙O外D．不能确定3．一元二次方程x2+2x＝﹣1的根的情况是（）A．没有实数根B．有一个实数根C．有两个不相等的实数根D．有两个相等的实数根4．若将⼀组数据中的每个数都加3，那么所得的这组新数据（）A．平均数不变B．中位数不变C．众数不变D．方差不变5．如图，从一块直径为2m的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°的扇形，则此扇形的面积为（）A．2πB．πC．D．6．如图，平面直角坐标系xOy中，点A的坐标是（﹣3，4），点B是⊙A上一点，⊙A的半径为2，将OB绕O点顺时针方向旋转90°得OC，连接AC，则线段AC的最小值为（）A．5﹣2B．C．5D．6二、填空题（每题2分，共20分）7．方程x2﹣2x＝0的解为．8．一个不透明的袋中装有5个红球和1个白球，除颜色外均相同，则任意从中摸出一个球是红球的概率是．9．九（1）班同学为灾区小朋友捐款．全班40%的同学捐了10元，60%的同学捐了6元．则这次全班平均每位同学捐款元．10．某班级在一次测试的成绩整理得到的频数分布表如下：成绩（分）A组：70＜x≤80B组：80＜x≤90C组：90＜x≤100频数10188甲同学说该次测试成绩的众数出现在B组，而乙同学则认为根据此表众数不能确定，聪明的你请判断正确的是．（选填甲、乙）11．某汽车厂商经过两次增产，将汽车年产量由4.86万辆提升至6万辆，设平均每次增产的百分率是x，可列方程为．12．如图，⊙O是△ABC的外接圆，点O在△ABC内，若∠BCO＝40°，则∠A＝°．13．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点P，若∠ADC＝115°，则∠P＝°．14．如图，点P在矩形AOBC的内部，⊙P与AO，OB都相切，且经过点C，与BC相交于点D．若⊙P的半径为5，AO＝8．则OB的长是．15．如图，AB为⊙O直径，点C为圆上一点，将沿弦AC翻折交AB于点D，连结CD．若∠BAC＝28°，则∠DCA＝．16．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，P是矩形内部的一个动点，且∠APD＝90°，连接CP并延长交AB于E，则AE的最大值为．三、解答题（共88分）17．解方程：（1）x2+3x﹣5＝0；（2）（2x﹣1）2＝2x﹣1．18．已知关于x的方程x2﹣3x﹣m+3＝0总有两个不相等的实数根．（1）求m的取值范围；（2）若它的两个实数根满足x1＝2x2，求m的值．19．如图，点A、B、C、D都在⊙O上．若，求证：AC＝BD．20．点A、B、C都在⊙O上，且CA＝CB，连接CO．（1）如图，当∠ACB为钝角时，求证：CO⊥AB；（2）若AB＝8，⊙O的半径为5，则AC的长为．21．某校七年级一班和二班各派出10名学生参加一分钟跳绳比赛，成绩如下表：跳绳成绩（个）132133134135136137一班人数（人）120232二班人数（人）014122（1）两个班级跳绳比赛成绩的众数、中位数、平均数、方差如下表：众数中位数平均数方差一班136135.5135 2.8二班134a135b表中数据a＝，b＝；（2）请用所学的统计知识，从两个不同角度比较两个班跳绳比赛的成绩．22．将A，B，C，D四人随机分成甲、乙两组参加羽毛球比赛，每组两人．（1）A在甲组的概率是多少？（2）A，B都在甲组的概率是多少？23．某单位要兴建一个长方形的活动区（图中阴影部分），根据规划活动区的长和宽分别为20m和16m，同时要在它四周外围修建宽度相等的小路．已知活动区和小路的总面积为480m2．（1）求小路的宽度；（2）某公司希望用50万元承包这项工程，该单位认为金额太高需要降价，通过两次协商，最终以32万元达成一致．若两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率．24．如图，AB是⊙O的直径，AE与⊙O交于点C，∠BAC的平分线交⊙O于点D，DE⊥AC，垂足为E．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若AC＝6，DE＝4，求⊙O的半径．25．如图，已知线段AB和直线l，在直线l上求作点P，使得∠APB分别为①90°，②30°，③120°（都用尺规作图，并保留作图痕迹）．26．如图，等腰△ABC内接于⊙O，AC的垂直平分线交边BC于点E，交⊙O于F，垂足为D，连接AF并延长交BC的延长线于点P．（1）求证：∠CAP＝∠B；（2）若EB＝CP，求∠BAC的度数．27．在△ABC和△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，固定△ABC，将△ADE绕点A旋转一周，连接BE、CD相交于H，经过C、E、H三点作⊙O．（1）如图1，求证：CE是⊙O的直径；（2）若AB＝3，AD＝2，在△ADE旋转过程中，连接BD．①点A恰好是△CEH的内心，如图2，求BD的长；②当∠ABD最大时，直接写出△ACE的面积为．。

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