3-5-3正弦型函数y=Asin(ωx+Φ)及其应用(3)

合集下载

高一数学(必修一)《第五章函数y=Asin(ωxφ)》练习题及答案解析-人教版

高一数学(必修一)《第五章函数y=Asin （ωx φ）》练习题及答案解析-人教版班级:___________姓名：___________考号：___________一、解答题1．已知函数()2sin(2)16f x x a π=+++，且当[0,]2x π∈时()f x 的最小值为2.（1）求a 的值；（2）先将函数()y f x =的图像上点的纵坐标不变，横坐标缩小为原来的12，再将所得的图像向右平移12π个单位，得到函数()y g x =的图像，求方程()4g x =在区间[0,]2π上所有根之和.2．写出将sin y x =的图像变换后得到2sin 24y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像的过程，并在同一个直角坐标平面内画出每一步变换对应的函数一个周期的图像（保留痕迹）． 3．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜2π)的部分图象如图所示．（1）求函数f (x )的解析式；（2）如何由函数y ＝sin x 的图象通过相应的平移与伸缩变换得到函数f (x )的图象，写出变换过程． 4．用“五点法”画出函数2sin y x =在区间[]0,2π上的图象． 5．已知函数()()sin f x A x ωϕ=+(0A >，0>ω与2πϕ<)，在同一个周期内，当4x π=时，则y 取最大值1，当712x π=时，则y 取最小值-1． (1)求函数()f x 的解析式．(2)函数sin y x =的图象经过怎样的变换可得到()y f x =的图象 (3)求方程()()01f x a a =<<在[]0,2π内的所有实数根之和． 6．已知函数()2cos 44f x x ππ⎛⎫=-⎪⎝⎭. (1)求函数()f x 图象的对称轴；(2)将函数()f x 图象上所有的点向左平移1个单位长度，得到函数()g x 的图象，若函数()y g x k =+在()2,4-上有两个零点，求实数k 的取值范围.7．2021年12月9日15时40分，神舟十三号“天宫课堂”第一课开讲！受“天宫课堂”的激励与鼓舞，某同学对航天知识产生了浓厚的兴趣．通过查阅资料，他发现在不考虑气动阻力和地球引力等造成的影响时，则火箭是目前唯一能使物体达到宇宙速度，克服或摆脱地球引力，进入宇宙空间的运载工具．早在1903年齐奥尔科夫斯基就推导出单级火箭的最大理想速度公式： 0lnkm v m ω=，被称为齐奥尔科夫斯基公式，其中ω为发动机的喷射速度，0m 和k m 分别是火箭的初始质量和发动机熄火（推进剂用完）时的质量．0km m 被称为火箭的质量比．(1)某单级火箭的初始质量为160吨，发动机的喷射速度为2千米/秒，发动机熄火时的质量为40吨，求该单级火箭的最大理想速度（保留2位有效数字）；(2)根据现在的科学水平，通常单级火箭的质量比不超过10．如果某单级火箭的发动机的喷射速度为2千米/秒，请判断该单级火箭的最大理想速度能否超过第一宇宙速度7.9千米/秒，并说明理由．（参考数据：ln20.69≈，无理数e 2.71828=）二、单选题8．为了得到函数3sin 2y x =的图象，只要将函数3sin(21)y x =-的图象（） A ．向左平移1个单位长度 B ．向左平移12个单位长度C ．向右平移1个单位长度D ．向右平移12个单位长度9．函数sin3y x =的图象可以由函数cos3y x =的图象（） A ．向右平移6π个单位得到 B ．向左平移6π个单位得到 C ．向右平移3π个单位得到 D ．向左平移3π个单位得到 10．要得到函数()2cos 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像，只需将cos2y x =的图像（）A ．向左平移3π个单位长度B ．向右平移3π个单位长度C ．向左平移23π个单位长度 D ．向右平移23π个单位长度 11．为了得到函数3sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像，只需把函数3sin y x =图像上所有点（）A ．向左平行移动3π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12B ．向左平行移动3π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍 C ．向左平行移动6π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12D ．向右平行移动3π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12 12．要得到函数π3sin 25y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像，需（）A ．将函数3sin π5y x =⎛⎫+ ⎪⎝⎭图像上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）B ．将函数π3sin 10y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图像上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）C ．将函数3sin 2y x =图像上所有点向左平移π5个单位长度D ．将函数3sin 2y x =图像上所有点向左平移π10个单位长度13．为了得到函数2cos2y x =的图象，只需把函数2cos 2y x x =+的图象（） A ．向左平移3π个单位长度 B ．向右平移3π个单位长度 C ．向左平移6π个单位长度 D ．向右平移6π个单位长度三、填空题14．将函数()f x 的图象向左平移π6个单位长度后得到()()sin y g x A x ωϕ==+（0A >，0>ω与π2ϕ≤）的图象如图，则()f x 的解析式为_____．15．彝族图案作为人类社会发展的一种物质文化，有着灿烂历史．按照图案的载体大致分为彝族服饰图案、彝族漆器图案、彝族银器图案等，其中蕴含着丰富的数学文化，如图1，漆器图案中出现的“阿基米德螺线”，该曲线是由一动点匀速离开一个固定点的同时又以固定的角速度绕该固定点转动所形成的轨迹．这些螺线均匀分布，将其简化抽象为图2，若2OA =，则AOB ∠所对应的弧长为______．参考答案与解析1．（1）2a =；（2）3π. 【分析】（1）由于当[0,]2x π∈时()f x 的最小值为2，所以min ()112f x a =-++=，从而可求出a 的值；（2）由图像变化可得()2sin(4)36g x x π=-+，由()4g x =得1sin(4)62x π-=，从而可求出x 的值【详解】（1）()2sin(2)16f x x a π=+++，∵[0,]2x π∈，∴72[,]666x πππ+∈∴min ()112f x a =-++=，∴2a =；（2）依题意得()2sin(4)36g x x π=-+，由()4g x =得1sin(4)62x π-=∴4266x k πππ-=+(k Z ∈)或54266x k πππ-=+(k Z ∈) ∴212k x ππ=+或24k x =+ππ，解得12x π=或4x π= ∴所有根的和为1243πππ+=.【点睛】此题考查三角函数的图像和性质，考查三角函数的图像的变换，考查转化能力和计算能力，属于基础题2．答案见解析．图像见解析【分析】由三角函数图像中的相位变换、周期变换、振幅变换叙述变换过程，然后作出图像变换的过程即可.【详解】先将sin y x =的图像上各点向右平移4π个单位得到函数sin 4y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像再将函数sin 4y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭图像上的每一个点保持纵坐标不变，横坐标缩短到原来的一半，得到函数sin 24y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像.再将函数sin 24y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭图像上的每一个点保持横坐标不变，纵坐标扩大到原来的2倍，得到函数2sin 24y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像.3．（1）f (x )＝sin (2)6x π+ ；（2）答案见解析.【分析】（1）由图像可得A ＝1，51264Tππ-=结合2T πω=可求出ω的值，然后将点(,1)6π代入解析式可求出ϕ的值，从而可求出函数f (x )的解析式；（2）利用三角函数图像变换规律求解【详解】(1)由图像知A ＝1.f (x )的最小正周期T ＝4×5()126ππ-＝π，故ω＝2Tπ＝2 将点(,1)6π代入f (x )的解析式得sin ()3πϕ+＝1又|φ|＜2π，∴φ＝6π.故函数f (x )的解析式为f (x )＝sin (2)6x π+.(2)变换过程如下：y ＝sin x 图像上的所有点的横坐标缩小为原来的一半，纵坐标不变，得到y ＝sin 2x 的图像，再把y ＝sin 2x 的图像,向左平移12π个单位y ＝sin (2)6x π+的图像． 4．答案见解析【分析】利用五点作图法，列表、描点、连线可作出函数sin y x =在区间[]0,2π上的图象. 【详解】解：按五个关键点列表如下：描点并将它们用光滑的曲线连接起来，如图所示．5．(1)()sin 34f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭(2)答案见解析 (3)112π【分析】(1)结合已知条件可求出A ，最小正周期T ，然后利用最小正周期公式求ω，通过代值求出ϕ即可；(2)利用平移变换和伸缩变换求解即可；(3)利用正弦型函数的对称性求解即可. (1)设()()sin f x A x ωϕ=+的最小正周期为T 由题意可知，1A =，1721243T πππ=-=即223T ππω== ∴3ω=，即()()sin 3f x x φ=+∵3sin 14πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭∴3242k ππϕπ+=+ k Z ∈ 又2πϕ<，∴4πϕ=-∴()sin 34f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭．(2)利用平移变换和伸缩变换可知，sin y x =的图象向右平移4π个单位长度，得到sin 4y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象再将sin 4y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象上所有点的横坐标缩短为原来的13，纵坐标不变，得到sin 34y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象．(3)∵()sin 34f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的最小正周期为23π∴()sin 34f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭在[]0,2π内恰有3个周期故所有实数根之和为1119112662ππππ++=． 6．(1)14x k =+ k ∈Z (2)()2,0-.【分析】（1）求出()2sin 44f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，解方程442x k ππππ+=+，k ∈Z 即得解；（2）求出()2cos 4g x x π=，即函数()y g x =的图象与直线y k =-在()2,4-上有两个交点，再利用数形结合分析求解. （1）解：因为()2cos 44f x x ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以()2sin 44f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.令442x k ππππ+=+，k ∈Z ，解得14x k =+ k ∈Z 所以函数()f x 图象的对称轴为直线14x k =+ k ∈Z . （2）解：依题意，将函数()f x 的图象向左平移1个单位长度后，得到的图象对应函数的解析式为()()2sin 12cos 444g x x x πππ⎡⎤=++=⎢⎥⎣⎦.函数()y g x k=+在()2,4-上有两个零点即函数()y g x =的图象与直线y k =-在()2,4-上有两个交点，如图所示所以02k <-<，即20k -<< 所以实数k 的取值范围为()2,0-. 7．(1)2.8千米/秒(2)该单级火箭最大理想速度不可以超过第一宇宙速度7.9千米/秒，理由见解析【分析】（1）明确0k m m ω、、各个量的值，代入即可;（2）求出最大理想速度max v ，利用放缩法比较max 2ln10v =与7.9的大小即可. （1）2ω=，0160m =和40k m =0lnk m v m ω∴=21602ln 2ln 42ln 24ln 2 2.7640=⨯===≈ ∴该单级火箭的最大理想速度为2.76千米/秒.（2）10km M ≤ 2ω= 0max ln km v m ω∴=2ln10= 7.97.97128e22>>=7.97.9ln ln128ln1002ln10e ∴=>>=max v ∴2ln107.9=<.∴该单级火箭最大理想速度不可以超过第一宇宙速度7.9千米/秒.8．B【分析】根据已知条件，结合平移“左加右减”准则，即可求解．【详解】解：()13sin 213sin 22y x x ⎛⎫=-- ⎪⎝=⎭∴把函数13sin 22x y ⎛⎫- ⎝=⎪⎭的图形向左平移12个单位可得到函数3sin 2y x =．故选：B ． 9．A【分析】化简函数sin 3cos[3()]6y x x π==-，结合三角函数的图象变换，即可求解.【详解】由于函数3sin 3cos(3)cos(3)cos[3()]226y x x x x πππ==+=-=- 故把函数cos3y x =的图象向右平移6π个单位，即可得到cos3sin 36y x x π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭的图象.故选：A. 10．B【分析】直接由三角函数图象的平移变换求解即可. 【详解】将cos2y x =的图像向右平移3π个单位长度可得2cos2cos 233y x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故选：B. 11．A【分析】利用三角函数图象变换规律求解即可【详解】将3sin y x =向左平移3π长度单位，得到3sin 3y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再把所得的各点的横坐标缩短到原来的12，可得3sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象故选：A 12．D【分析】根据三角函数的图像变换逐项判断即可.【详解】解：对于A ，将3sin π5y x =⎛⎫+ ⎪⎝⎭图像上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到1π3sin 25y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像，错误；对于B ，将π3sin 10y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图像上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到1π3sin 210y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像，错误；对于C ，将3sin 2y x =图像上所有点向左平移π5个单位长度后，得到2π3sin 25y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像，错误；对于D ，将3sin 2y x =图像上所有点向左平移π10个单位长度后，得到π3sin 25y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像，正确.故选:D. 13．C【分析】化简2cos 2y x x =+，再根据三角函数图象平移的方法求解即可【详解】12cos 22cos 222cos 223y x x x x x π⎛⎫⎛⎫+==- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为2cos 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭向左平移6π个单位长度得到2cos 22cos263ππ⎡⎤⎛⎫=+-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦y x x故选：C14．()2π2sin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭【分析】由图像可知，函数的最值、最小正周期，可得,A ω的值，代入点5,212π⎛⎫⎪⎝⎭，进而解得ϕ的值，根据函数的图像变换规律，可得答案.【详解】由题图可知()max 2A g x ==，函数()g x 的最小正周期为45πππ3123T ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，所以2π2T ω==，所以()()2sin 2g x x ϕ=+．又5π5π2sin 2126g ϕ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以5πsin 16ϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以5ππ2π62k ϕ+=+（k ∈Z ），解得π2π3k ϕ=-（k ∈Z ）．因为π2ϕ≤，所以π3ϕ=-，所以()π2sin 23g x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．将函数()g x 的图象向右平移π6个单位长度后可得到函数()f x 的图象故()ππ2π2sin 22sin 2633f x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦．故答案为：()2π2sin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭15．4π9【分析】根据题意得到圆心角2π9AOB α=∠=，结合弧长公式，即可求解.第 11 页共 11 页【详解】由题意，可知圆心角2π9AOB α=∠=，半径2r OA == 所以AOB ∠所对应的弧长为2π4π299l r α==⨯=．故答案为：4π9.。

正弦型函数y=Asin(ψx φ)的图象与应用

π 例 1 将函数 y＝sin x 的图象上所有的点向右平行移动个单 10 位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式是 ( C ) π π 2x－ 2x－ A ．y＝sin 10 B ．y＝sin 5 1 π 1 π x－ x－ C ．y＝sin 2 10 D ．y＝sin 2 20
6 5 D.向右平移个长度单位 6
本节课你收获了什么？
一：函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及变换
小结
二：由图象求函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式
三：y＝函数Asin(ωx＋φ)的性质应用
C
)．
π A．T＝6π，φ＝6 π C．T＝6，φ＝6
π B．T＝6π，φ＝3 π D．T＝6，φ＝3
当堂检测
1.为得到函数 y cos( x ) 的图象，只需将 y 3 的图象（ A ） A.向左平移 6 个长度单位 B.向右平移 6 个长度单位

sin x
C.向左平移 5 个长度单位
例2 函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ为常数，A＞0，ω＞
6． 0)的部分图象如图所示，则f(0)的值是________ 2
【对点演练2】
1．已知简谐运动
π f(x)＝Asin(ωx＋φ)|φ|＜2的部分图象如图所
示，则该简谐运动的最小正周期 T 和初相 φ 分别为(
【对点演练1】
1．要得到函数 y＝cos (
D
π 2x＋的图象，只需将函数 6
y＝cos 2x 的图象
)
π A．向右平移个单位 6 π C．向左平移个单位 6
π B．向右平移个单位 12 π D．向左平移个单位 12

6. 正弦型函数y=Asin(ωx+φ)的图象及应用

正弦型函数y ＝Asin (ωx ＋φ)的图象及应用考点一、作函数y ＝Asin (ωx ＋φ)的图象1．用五点法画y ＝A sin(ωx ＋φ)一个周期内的简图时，要找五个特征点如下表所示x0－φω π2－φω π－φω 3π2－φω 2π－φω ωx ＋φ 0 π2 π 3π2 2π y ＝A sin(ωx ＋φ)A－A3．当函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，x ∈[0，＋∞))表示一个振动时，A 叫做振幅，T ＝2πω叫做周期，f ＝1T叫做频率，ωx ＋φ叫做相位，φ叫做初相．一个区别由y ＝sin x 的图象变换到y ＝A sin (ωx ＋φ)的图象，两种变换的区别：先相位变换再周期变换(伸缩变换)，平移的量是|φ|个单位；而先周期变换(伸缩变换)再相位变换，平移的量是|φ|ω(ω＞0)个单位．原因在于相位变换和周期变换都是针对x 而言，即x 本身加减多少值，而不是依赖于ωx 加减多少值．两个注意作正弦型函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象时应注意： (1)首先要确定函数的定义域；(2)对于具有周期性的函数，应先求出周期，作图象时只要作出一个周期的图象，就可根据周期性作出整个函数的图象．- 2 -【例题】1. 已知函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫12x －π4，x ∈R .(1)画出函数f (x )在长度为一个周期的闭区间上的简图； (2)将函数y ＝sin x 的图象作怎样的变换可得到f (x )的图象？考点二、求函数y ＝Asin (ωx ＋φ)的解析式A 由最值确定；ω由周期确定；ϕ由图象上的特殊点确定，【例题】1．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ为常数，A ＞0，ω＞0)的部分图象如图所示，则f (0)的值是________．2．已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，|φ|＜π2，ω＞0)的图象的一部分如图所示．(1)求f (x )的表达式；(2)试写出f (x )的对称轴方程．考点三、函数y ＝A sin (ωx ＋φ)的图象与性质的综合应用研究函数sin()y A x ωϕ=+性质的方法：类比于研究sin y x =的性质，只需将sin()y A x ωϕ=+中的x ωϕ+看成sin y x =中的x ，但在求sin()y A x ωϕ=+的单调区间时，要特别注意A 和ω的符号，通过诱导公式先将ω化正. 【例题】1.设函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，－π2<φ<π2，给出以下四个论断： ①它的图象关于直线x ＝π12对称；②它的图象关于点⎝⎛⎭⎫π3，0对称；③它的周期为π；④在区间⎣⎡⎦⎤－π6，0上是增函数．以其中两个论断作为条件，余下论断作为结论，写出你认为正确的两个命题： (1)________________；(2)________________．2.(1)已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0)的图象关于直线x ＝π3对称，且f ⎝⎛⎭⎫π12＝0，则ω的最小值为________．(2)设ω>0，函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3＋2的图象向右平移4π3个单位后与原图象重合，则ω的最小值是________．(3)已知f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3(ω>0)，f ⎝⎛⎭⎫π6＝f ⎝⎛⎭⎫π3，且f (x )在区间⎝⎛⎭⎫π6，π3有最小值，无最大值，则ω＝________.(4)已知ω>0，函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4在⎝⎛⎭⎫π2，π上单调递减．则ω的取值范围是________． 3.(1)要得到函数cos()24x y π=-的图象，只需把函数sin 2xy =的图象向__平移____个单位. (2)将函数72sin(2)13y x π=-+图像，按向量a 平移后得到的函数图像关于原点对称，求出模最小的向量a .4.已知函数f (x )＝sin 2⎝⎛⎭⎫x －π6＋cos 2⎝⎛⎭⎫x －π3＋sin x cos x ，x ∈R . (1)求f (x )的最大值及取得最大值时的x 的值；(2)求f (x )在[0，π]上的单调增区间．5．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6－cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋2cos 2x . (1)求f ⎝⎛⎭⎫π12的值；(2)求f (x )的最大值及相应x 的值．考点四、三角函数模型的应用三角函数应用题与解三角形中的问题不一样，主要是构造三角函数，并利用三角函数的性质解决相关问题，多与能建立形如y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B (或y ＝A cos(ωx ＋φ)＋B )等形式的函数问题有关．【例题】1．如图为一个缆车示意图，该缆车半径为4.8 m，圆上最低点与地面距离为0.8 m，60秒转动一圈，图中OA与地面垂直，以OA为始边，逆时针转动θ角到OB，设B点与地面距离是h.(1)求h与θ间的函数关系式；(2)设从OA开始转动，经过t秒后到达OB，求h与t之间的函数关系式，并求缆车到达最高点时用的时间．2．如图，某市拟在长为8 km的道路OP的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段OSM，该曲线段为函数y＝A sinωx(A>0，ω>0)，x∈[0,4]的图象，且图象的最高点为S(3,2)；赛道的后一部分为折线段MNP.为保证参赛运动员的安全，限定∠MNP＝120°.(1)求A，ω的值和M，P两点间的距离；(2)应如何设计，才能使折线段赛道MNP最长？- 4 -。

正弦型函数y=Asin(ωxφ)

课程教案课程名称：数学任课教师：邓芳所属院部：中南教学班级：中大连读1~13班（除12班）教学时间：2017 —2018 学年第1学期中南科技财经管理学校课程基本信息第一章三角计算及其应用1.2正弦型函数y=Asin(ψx+）一、本次课主要内容本节主要能借助计算机课件，通过探索、观察参数A、ω、对函数图象的影响，并能概括出三角函数图象各种变换的实质和内在规律,画出函数y=Asin(ωx+)的图象。

二、教学目的与要求（1）理解：理解振幅变换、相位变换和周期变换，通过作图、观察、分析、归纳等方法，形成规律，得出从函数的图象到正弦型函数y=Asin(ωx+φ)图象的变换规律。

（2）掌握：正弦型函数性质,掌握“五点法”作图。

（3）应用：为后面高中物理研究《单摆运动》、《简谐运动》、《机械波》等知识提供了数学模型三、教学重点难点（1）重点：考察参数ω、、A对函数图象的影响，理解由y=sinx的图象到y=Asin(ωx+)的图象变化过程，并熟记正弦型函数性质。

（2）难点：对y=Asin(ωx+)的图象的影响规律的发现与概括四、教学方法和手段（1）采用问题解决教学模式，培养学生不断地发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的能力；（2）注重类比、联想、构造、转化等数学方法在问题解决中的应用，（3）注重整体意识、换元思想、方程思想在解题中的灵活应用，特别注重对知识与方法的总结和提炼；五、作业与习题布置课本19页习题 1.2 1（2）、2（2）1.2.1.正弦型函数的概念与性质复习引入通过作图、观察、分析、归纳等方法，形成规律，得出从函数的图象到正弦型函数y=Asin(ωx+)图象的变换规律。

提出问题正弦型函数和我们熟知的正弦函数，有什么联系呢？导入新课学生思考，交流，正弦函数就是函数在A=1，ω=1，φ=0的特殊情况。

形如y=Asin(ωx+) (A>0，ω>0) 的函数称为正弦型函数.正弦型函数主要有以下性质：（1）定义域为 R （全体实数）；（2）周期为 ωπ2=T ；（3）值域为[-A ,A] ，即最大值为A ，最小值为-A . 例题讲解例求正弦型函数)6π2sin(+=x y 和)52π2sin(+=x y 的周期. 解根据正弦函数型函数的周期公式ωπ2=T ，可知)6π2sin(+=x y 的周期为 π2π2π2===ωT ； )52π2sin(+=x y 的周期为π421π2π2===ωT . 例2、例3（略）1.2.2.正弦型函数的图像例利用“五点法”作出正弦型函数)3π2sin(+=x y 在一个周期内的简图.解在函数)3π2sin(+=x y 中2=ω，因此周期为π2π2π2===ωT . 为求出图像上的五个关键点的横坐标，令3π2+=x z ，分别取π2,2π3,π,2π,0=z ，找出一个周期π内五个特殊的点，求出对应的x 的值与函数y 的值，见下表.以表中每组),(y x 为坐标描点，在直角坐标系中比较精确地描出对应的五个关键点：)0,6π5(),1,12π7(),0,3π(),1,12π(),0,6π(--.1.2.3.正弦型函数的应用复习引入当sin()y A x ωϕ=+，[0,)x ∈+∞（其中0A >，0ω>）表示一个振动量时，A 表示这个量振动时离开平衡位置的最大距离，通常称为这个振动的振幅，往复振动一次需要的时间2T πω=称为这个振动的周期，单位时间内往复振动的次数12f T ωπ==，称为振动的频率。

函数y=Asin(ωx+φ)的性质

关的
②确定函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)单调单调
2
与正
区间的方法：采用“换元”法整体代换，将区弦
ωx＋φ看作一个整体，可令“z＝ωx＋φ”，即通过求y＝Asin z的单调区间而求出函数的单调区间.若ω<0，则可利用诱导公式先将x 的系数转变为正数，再求单调区间.
间的求解技
例2.摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色，如图某摩天轮最高点距离地面高度为120m , 转盘直径为110m ，设置有48 个座舱，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的距离进舱。转一周大约需要30 min . (1)游客甲坐上摩天轮的座舱开始转动t min 后距离地面的高度为Hm, 求在转动一周的过程中，H 关于t 的函数解析式；
函数
图
区间－π6，23π上存在零点，求实数 k 的取值范围.
象的特
解（1）f(x)＝ 3sin ωx·cos ωx＋cos2ωx－12 ＝ 23sin 2ωx＋cos 2ω2 x＋1－12
点
＝
3 2 sin
2ωx＋21cos
2ωx＝sin2ωx＋π6，
，因为函数图象上两条相邻对称轴之间的距离为π2. 所以函数y＝f(x)的最小正周期T＝π
令 2x＋π6＝kπ(k∈Z)，则 x＝k2π－1π2(k∈Z)，所以对称中心为k2π－1π2，45(k∈Z).
（3）当 sin2x＋π6＝－1，即 2x＋6π＝－π2＋2kπ(k∈Z)，x＝－π3＋kπ(k∈Z)时，f(x)取得最小值为34，
此时 x 的取值集合是xx＝－π3＋kπ，k∈Z

第15讲函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质(学生版)

第15讲函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象与性质一，基础知识回顾的最小正周期为．的最小正周期为．3．用五点法画y ＝A sin(ωx ＋φ)一个周期内的简图4得到：（1）相位变换：y ＝sin x →y ＝sin(x ＋φ)，把y ＝sin x 图象上所有的点向____(φ>0)或向____(φ<0)平行移动__________个单位．（2）周期变换：y ＝sin (x ＋φ)→y ＝sin(ωx ＋φ)，把y ＝sin(x ＋φ)图象上各点的横坐标____(0<ω<1)或____(ω>1)到原来的________倍(纵坐标不变)．（3）振幅变换：y ＝sin (ωx ＋φ)→y ＝A sin(ωx ＋φ)，把y ＝sin(ωx ＋φ)图象上各点的纵坐标______(A >1)或______(0<A <1)到原来的____倍(横坐标不变)．5.确定y ＝Asin(ωx ＋φ)＋b 的解析式的步骤：(1)求A ，b.确定函数的最大值M 和最小值m ，则A ＝，b ＝ .(2)求ω.确定函数的周期T ，则ω＝ .(3)求φ，常用的方法有：①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A ，ω，b 已知)或代入图象与直线y ＝b 的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)．②特殊点法：确定φ值时，往往以寻找“最值点”为突破口．具体如下：“最大值点”(即图象的“峰点”)时ωx＋φ ＝π2；“最小值点”(即图象的“谷点”)时ωx ＋φ＝3π2.6．函数y ＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，ω>0)性质（1）单调性：（2）最值：（3）周期：（4）对称性：（5）奇偶性：二，典例精析题型一：五点法作图及图象变换例1：已知函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3.(1)求它的振幅、周期、初相；(2)说明y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象可由y ＝sin x 的图象经过怎样的变换而得到.变式迁移1：(1)要得到函数y ＝sin 3x ＋cos 3x 的图象可以将函数y ＝2cos 3x 的图象( )A ．向右平移π4个单位B ．向左平移π4个单位C ．向右平移π12个单位D 向左平移π12个单位(2)将函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，－π2≤φ<π2图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移π6个单位长度得到y ＝sin x 的图象，则f ⎝⎛⎭⎫π6＝________．题型二：由图象确定y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式例2：(1)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π2)的图象如图所示，则f (x )的解析式为(2)已知函数f (x )＝A tan(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，|φ|<π2，y ＝f (x )的部分图象如图，则f ⎝⎛⎭⎫π24＝变式训练2：(1)如图是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋2(A >0，ω>0)的图象的一部分，它的振幅、周期、初相分别是(2)若函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π2)在一个周期内的图象如图所示，M ，N 分别是这段图象的最高点与最低点，且OM →·ON →＝0，则A ·ω＝题型三：三角函数图象与性质的综合应用例3：设函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋33sin 2x －33cos 2x .(1)求f (x )的最小正周期及其图象的对称轴；(2)将函数f (x )的图象向右平移π3个单位长度，得到函数g (x )的图象，求g (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π6，π3上的值域．变式训练3：已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫x ∈R ，ω>0，0<φ<π2的部分图象如图所示．（1）求函数f (x )的解析式；（2）求函数g (x )＝f ⎝⎛⎭⎫x －π12－f ⎝⎛⎭⎫x ＋π12的单调递增区间．题型四：三角函数模型的简单应用例4：如图所示，某地夏天从8～14时用电量变化曲线近似满足函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b ，φ∈(0，π)．(1)求这一天的最大用电量及最小用电量； (2)写出这段曲线的函数解析式．变式训练4.：某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t (单位：h)的变化近似满足函数关系：f (t )＝10－3cos π12t －sin π12t ，t ∈[0，24)．(1)求实验室这一天的最大温差；(2)若要求实验室温度不高于11 ℃，则在哪段时间实验室需要降温？题型五：三角函数背景下的创新问题例5：设函数f (x )＝3sin πx m.若存在f (x )的极值点x 0满足x 20＋[f (x 0)]2<m 2，则m 的取值范围是变式训练5：已知函数f (x )＝2sin x ＋1(x ∈[0，2π])，设h (x )＝|f (x )|－a ，则当1<a <3时，函数h (x )的零点个数为三．方法规律总结1．五点法作函数图象及函数图象变换问题：(1)当明确了函数图象基本特征后，“描点法”是作函数图象的快捷方式．运用“五点法”作正、余弦型函数图象时，应取好五个特殊点，并注意曲线的凹凸方向．(2)在进行三角函数图象变换时，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也经常出现在题目中，所以也必须熟练掌握，无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母x 而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角”变化多少．2．由图象确定函数解析式：由函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象确定A 、ω、φ的题型，常常以“五点法”中的第一零点⎝⎛⎭⎪⎫－φω，0作为突破口，要从图象的升降情况找准第一零点的位置．要善于抓住特殊量和特殊点．3．对称问题：函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象与x 轴的每一个交点均为其对称中心，经过该图象上坐标为(x ，±A )的点与x 轴垂直的每一条直线均为其图象的对称轴，这样的最近两点间横坐标的差的绝对值是半个周期(或两个相邻平衡点间的距离)．4．由函数y ＝sin x (x ∈R )的图象经过变换得到函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象，在具体问题中，可先平移变换后伸缩变换，也可以先伸缩变换后平移变换，但要注意：先伸缩，后平移时要把x 前面的系数提取出来．5．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象和性质是本节考查的重点，也是高考热点，复习时尽可能使用数形结合的思想方法，如求解对称轴、对称中心和单调区间等．6．注意复合形式的三角函数的单调区间的求法．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的单调区间的确定，基本思想是把ωx ＋φ看做一个整体．在单调性应用方面，比较大小是一类常见的题目，依据是同一区间内函数的单调性．四、课后练习作业一、选择题1．函数y ＝sin(2x －π3)在区间[－π2，π]上的简图是( )2．函数y ＝sin ωx (ω>0)的部分图象如图所示，点A 、B 是最高点，点C 是最低点，若△ABC 是直角三角形，则ω的值为( )A. πB.π4C.π3 D ．π23．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3(ω>0)的最小正周期为π，则该函数的图象( ) A ．关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0对称 B 关于直线x ＝π4对称C 关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0对称 D 关于直线x ＝π3对称 4.要得到函数cos(21)y x =+的图象，只要将函数cos 2y x =的图象（）1212个单位 5．将函数y ＝f (x )·sin x 的图象向右平移π4个单位后，再作关于x 轴对称变换，得到函数y ＝1－2sin 2x 的图象，则f (x )可以是( D )．A ．sin xB ．cos xC ．2sin xD ．2cos x6．已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)，x ∈R ，其中ω＞0，－π＜φ≤π.若f (x )的最小正周期为6π，且当x ＝π2时，f (x )取得最大值，则( A )．A ．f (x )在区间[－2π，0]上是增函数B ．f (x )在区间[－3π，－π]上是增函数C ．f (x )在区间[3π，5π]上是减函数D ．f (x )在区间[4π，6π]上是减函数7．设函数f (x )＝cos ωx (ω＞0)，将y ＝f (x )的图象向右平移π3个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则ω的最小值等于( C )． A.13B ．3C ．6D ．9 8．将函数y ＝sin(x ＋φ)的图象F 向左平移π6个单位长度后得到图象F ′，若F ′的一个对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0，则φ的一个可能取值是( D ) A.π12 B.π6 C.5π6 D.7π129．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π2)在一个周期内的图象如图所示．若方程f (x )＝m 在区间[0，π]上有两个不同的实数解x 1，x 2，则x 1＋x 2的值为( D )A.π3B.23πC.43πD.π3或43π 10．已知函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π3，其中x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，m ，若f (x )的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－32，则m 的取值范围是( B )A ．)185,92[ππ B ．]185,92(ππ C ．)185,92(ππ D ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡185,92ππ 二、填空题11．若函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π3(ω>0)的最小正周期为π2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝________．12．函数f (x )＝tan ωx (ω>0)的图象的相邻两支截直线y ＝π4所得线段长为π4，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝________．13．某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数y ＝a ＋A cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6（x －6）(x ＝1，2，3，…，12)来表示，已知6月份的月平均气温最高，为28 ℃，12月份的月平均气温最低，为18 ℃，则10月份的平均气温值为________℃.14．若将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋5π6(ω>0)的图象向右平移π3个单位长度后，与函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4的图象重合，则ω的最小值为________．三、解答题15．设函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)(ω＞0，－π2＜φ＜0)的最小正周期为π，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝32.(1)求ω和φ的值；(2)在给定坐标系中作出函数f (x )在[0，π]上的图象．(3) 若f(x)>22，求x 的取值范围．16．已知函数f (x )＝3sin2x ＋2cos 2x .(1)将f (x )的图象向右平移π12个单位长度，再将周期扩大一倍，得到函数g (x )的图象，求g (x )的解析式；(2)求函数f (x )的最小正周期和单调递增区间．17．已知函数f (x )＝23·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π4－sin(x ＋π)． (1)求f (x )的最小正周期；(2)若将f (x )的图象向右平移π6个单位，得到函数g (x )的图象，求函数g (x )在区间[0，π]上的最大值和最小值．18．为迎接夏季旅游旺季的到来，少林寺单独设置了一个专门安排游客住宿的客栈，寺庙的工作人员发现为游客准备的一些食物有些月份剩余不少，浪费很严重，为了控制经营成本，减少浪费，就想适时调整投入，为此他们统计每个月入住的游客人数，发现每年各个月份来客栈入住的游客人数会发生周期性的变化，并且有以下规律：①每年相同的月份，入住客栈的游客人数基本相同；②入住客栈的游客人数在2月份最少，在8月份最多，相差约400人；③2月份入住客栈的游客约为100人，随后逐月递增直到8月份达到最多． (1)试用一个正弦型三角函数描述一年中入住客栈的游客人数与月份之间的关系； (2)请问哪几个月份要准备400份以上的食物？。

正弦型函数y=Asin（ωx+φ）的图像和性质

正弦型函数y=Asin(ωx+φ)的图像和性质导入新课思路1(情境引入)在物理和工程技术的许多问题中,都要遇到形如y=Asin(ωx+φ)的函数(其中A 、ω、φ是常数)。

例如，物体做简谐振动时位移y 与时间x 的关系，交流电中电流强度y 与时间x 的关系等，都可用这类函数来表示。

这些问题的实际意义往往可从其函数图象上直观地看出，因此，我们有必要画好这些函数的图象。

揭示课题：函数y=Asin(ωx+φ)的图象。

思路2（直接导入）从解析式来看，函数y=sinx 与函数y=Asin(ωx+φ)存在着怎样的关系？从图象上看，函数y=sinx 与函数y=Asin(ωx+φ)存在着怎样的关系？接下来，我们就分别探索φ、ω、A 对y=Asin(ωx+φ)的图象的影响。

一、新知探究提出问题（1）你能用学过的三角函数知识描述大观览车周而复始的运动吗？（2）你能算出某一时刻你的“座位”离开地面的高度吗？活动：教师可先制作一个大观览车模型，让学生动手画出大观览车的示意图，或先演示课件然后和学生一起探究上述问题。

如图1是大观览车的示意图。

设观览车转轮半径长为R ，转动的角度为ωrad/s.点P 0表示座椅的初始位置.此时∠xoP 0=φ,当转轮转动t 秒后,点P 0P 位置,射线OP 的转角为ωt+φ,由正弦函数的定义,得点P 的纵坐标y 与时间t 的函数关系为y=Rsin(ωt+φ).这样，如果已知车轮半径R ，转动的角速度ω和初始的角度φ你就可计算出某一时刻你的“座位”离开地面的高度了。

在函数y= Rsin(ωt+φ)中，点P 旋转一周所需要的时间 T=ϖπ2，叫做点P 的转动周期。

在一秒内，点P 旋转的周数f=,2π=T 叫做转动的频率。

OP 0与x 轴正向的夹角φ叫做初相。

例如一动点以角速度4πrad/s 做匀速圆周运动，则T=.21,2142Hz Tf s ===ππ形如y=Asin(ωx+φ)（其中A ，ω，φ都是常数)的函数，在物理、工程等科学的研究中经常遇到，这种类型的函数通常叫做正弦函数。

第4讲三角函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质及三角函数模型的简单应用

第20讲三角函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象与性质及三角函数模型的简单应用知识梳理1．用五点法画y ＝A sin(ωx ＋φ)一个周期内的简图用五点法画y ＝A sin(ωx ＋φ)一个周期内的简图时，要把ωx ＋φ看成一个整体，要找五个特征点，如表格所示.x ____ ____ ____ ____ ____ ωx ＋φ 0π2π3π22πy ＝A sin(ωx ＋φ) 0 A 0 －A 02．图象变换(1)y ＝sin x ――→向左(φ>0)或向右(φ<0)平移|φ|个单位y ＝sin(x ＋φ) ――→横坐标变为原来的1ω倍纵坐标不变 y ＝sin(ωx ＋φ)――→纵坐标变为原来的A 倍横坐标不变y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)．(2)y ＝sin x ――→横坐标变为原来的1ω倍纵坐标不变y ＝sin ωx ――→向左(φ>0)或向右(φ<0)平移|φω|个单位y ＝sin(ωx ＋φ)――→纵坐标变为原来的A 倍横坐标不变y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)．例已知2()3sin cos sin f x x x x =-，把()f x 的图象向右平移12π个单位，再向上平移2个单位，得到()y g x =的图象，若对任意实数x ，都有()()g x g x αα-=+成立，则()()44g g ππα++= _____________3．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)中各个量的物理意义当函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)，x ∈[0，＋∞)表示简谐振动时，几个相关的概念如下表：简谐振动振幅周期频率相位初相 y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)____________________4．三角函数模型的简单应用对具有周期变化规律的实际问题用三角函数模型进行表示，根据三角函数的图象和性质得到实际问题的结论．■ 链接教材1．[教材改编] 把函数y ＝sin x 的图像上每个点的横坐标不变，纵坐标伸长为原来的2倍得到函数________的图像．2．[教材改编] 将某函数的图像向右平移π2个单位长度得到函数y ＝sin(x ＋π4)的图像，则原函数的解析式是________．3．[教材改编] 已知简谐运动y ＝2sin(π3x ＋φ)|φ|<π2的图像经过点(0，1)，则该简谐运动的初相φ为________．■ 易错问题4．正弦型函数的最小正周期若函数y ＝sin(ωx ＋φ)的最小正周期为π，则ω＝________． 5．自变量的系数为负值的函数单调性函数y ＝sin(π4－2x )的单调递增区间是________．6．函数图像变换的先后次序把y ＝sin x 的图像向左平移π4个单位长度，再将各点的横坐标扩大到原来的2倍，得到函数____________的图像；把y ＝sin x 的图像上各点的横坐标扩大到原来的2倍，再向左平移π4个单位长度，得到函数____________的图像． ■ 通性通法图3-19-17．由图像求函数解析式已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)A >0，ω>0，|φ|<π2的部分图像如图3-19-1所示，则函数的解析式是________________________________________________________________________．8．利用换元法研究函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的性质函数f (x )＝sin(4x ＋π4)的对称轴方程为________．► 探究点一函数y ＝Asin(ωx ＋φ)的图像及变换例1 (1)使用五点法作出函数y ＝4sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π3在区间⎣⎡⎦⎤－2π3，10π3内的图像，并说明如何由函数y ＝sin x 的图像经过变换得到函数y ＝4sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π3的图像．(2)[2017·郑州二模] 将函数f (x )＝cos x －3sin x (x ∈R )的图像向左平移a (a >0)个单位长度后，所得到的图像关于原点对称，则a 的最小值是( )A.π12B.π6C.π3D.5π6 (3)将函数x y 2cos =的图象向左平移4π个单位，得到函数x x f y cos )(⋅=的图象，则)(x f 的表达式可以是( )A ．x x f sin 2)(-=B ．x x f sin 2)(=C ．x x f 2sin 22)(=D ．)2cos 2(sin 22)(x x x f += (4)[2015·湖南卷] 将函数f (x )＝sin 2x 的图像向右平移φ0<φ<π2个单位后得到函数g (x )的图像，若对满足|f (x 1)－g (x 2)|＝2的x 1，x 2，有|x 1－x 2|min ＝π3，则φ＝( ) A.5π12 B.π3 C.π4 D.π6变式题 (1)使用五点法作出函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫π4x ＋π4在区间[－1，7]内的图像，并说明由y ＝sin x 的图像得到y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫π4x ＋π4的图像的变换过程．(2)[2017·太原模拟] 将函数y ＝sin2x 的图象向左平移φ(φ＞0)个单位，所得图象对应的函数为偶函数，则φ的最小值为________．(3)设函数f (x )＝2＋2 6sin x cos x －2 2sin 2x (x ∈R )，对f (x )的图象作如下变换：先将f (x )的图象向右平移π12个单位，再将横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数g (x )的图象，则g (x )＝________．(4)函数)cos 3(sin sin 21)(x x x x f +-=的图象向左平移3π个单位得函数)(x g 的图象，则函数)(x g 的解析式是( ) A ．)22sin(2)(π-=x x g B ．x x g 2cos 2)(= C ．)322cos(2)(π+=x x g D ．)2sin(2)(π+=x x g► 探究点二函数y ＝Asin(ωx ＋φ)的解析式的求法例2 (1)[2017·哈尔滨模拟] 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω>0，0＜φ＜π)的图象的两个相邻零点为⎝⎛⎭⎫－π6，0和⎝⎛⎭⎫π2，0，且该函数的最大值为2，最小值为－2，则该函数的解析式为______________________．(2)函数),2,0)(sin(R x x A y ∈π<ϕ>ωϕ+ω=的部分图象如图所示，则函数表达式为( )A ．)48sin(4π-π-=x y B ．)48sin(4π-π=x y C ．)48sin(4π+π=x y D ．)48sin(4π+π-=x y(3)[2017·宜昌高三质检] 已知函数f (x )＝A sin ⎝⎛⎭⎫π6x ＋φ⎝⎛⎭⎫A >0，0<φ<π2的部分图象如图3－19－1所示，P ，Q 分别为该图象的最高点和最低点，点P 的坐标为(2，A )，点R 的坐标为(2，0)．若∠PRQ ＝2π3，则y ＝f (x )的最大值及φ的值分别是( )A ．23，π6 B.3，π3 C.3，π6 D ．23，π3图3－19－1 题4图 (4)已知函数()sin()f x x ωϕ=+（0ω>，||2πϕ<）的部分图象如图，则20161()6n n f π==∑___ (5)已知点3,,,,,444M A N A P A πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭是函数 ()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭ 的图象上相邻的三个最值点，MNP ∆是正三角形，且x π=-是函数()f x 的一个零点，若函数()f x 的导函数为()'f x ，则函数()()()23'h x f x f x =+在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭的取值范围是( )A ．,32ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ B ．3,22ππ⎛⎤- ⎥⎝⎦ C.3,32ππ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭ D ．3,32ππ⎛⎤- ⎥⎝⎦6π 512π1-1变式题 (1)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，0<φ<π)的部分图像如图3-19-2所示，则此函数的解析式为( )图3-19-2 图3-19-3A ．y ＝3sin(π4x ＋π4)B ．y ＝3sin(π4x ＋3π4)C ．y ＝3sin(π2x ＋π4)D ．y ＝3sin(π2x ＋3π4)(2)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，－π<φ<π)的部分图像如图3-19-3所示，为了得到g (x )＝3sin 2x 的图像，只需将f (x )的图像( )A ．向左平移2π3个单位长度B ．向左平移π3个单位长度C ．向右平移2π3个单位长度D ．向右平移π3个单位长度题3图题4图(3)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋k ⎝⎛⎭⎫A >0，|φ|<π2的图像如图3所示，则f (x )的表达式是f (x )＝( )A.52sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3B.52sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3 C.32sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋1 D.32sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＋1 (4)已知函数f (x )＝A tan(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，|φ|<π2，y ＝f (x )的部分图象如图，则f ⎝⎛⎭⎫π24＝________．(5)已知f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3(ω>0)的图象与y ＝1的图象的两相邻交点间的距离为π，要得到y ＝f (x )的图象，只需把y ＝sin ωx 的图象( )A ．向右平移11π12个单位长度B ．向右平移5π12个单位长度C ．向左平移11π12个单位长度D ．向左平移5π12个单位长度(6)设偶函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0,0<φ<π)的部分图像如图所示，△KLM 为等腰直角三角形，∠KML ＝90°，KL ＝1，则f ⎝⎛⎭⎫16的值为( )A ．－34 B ．－14 C ．－12 D.34(7)如图，函数)sin()(ϕω+=x A x f （其中2||,0,0πϕω≤>>A ）与坐标轴的三个交点P ，Q ，R 满足)2,2(),0,1(-M P 为线段QR 的中点，则=A ()题7图题6图A. 32B.337 C.338D. 34► 探究点三函数y ＝Asin(ωx ＋φ)的性质应用例3 (1)函数)0,2)(2sin()(>≤+=A x A x f πφφ部分图象如图所示，且0)()(==b f a f ，对不同的[]b a x x ,,21∈，若)()(21x f x f =，有3)(21=+x x f ，则( ) A ．)(x f 在)12,125(ππ-上是减函数 B ．)(x f 在)12,125(ππ-上是增函数 C ．)(x f 在)65,3(ππ上是减函数 D ．)(x f 在)65,3(ππ上是增函数 (2)已知函数2()cos ()1f x A x ωϕ=++（0A >，0ω>，02πϕ<<）的最大值为3，2ab xy O()f x 的图象与y 轴的交点坐标为(0,2)，其相邻两条对称轴间的距离为2，则 (1)(2)(3)(2016)f f f f ++++…的值为( )A ．2468B ．3501C ．4032D ．5739(3)设函数()Asin(),f x x x R ωϕ=+∈(其中0,0A ω>>)在(,)62ππ上既无最大值，也无最小值，且()(0)()26f f f ππ-==，则下列结论成立的是( )A ．若12()()()f x f x f x ≤≤对x R ∀∈恒成立，则21min x x π-=；B ．)(x f y =的图象关于点2(,0)3π-中心对称； C ．函数()f x 的单增区间为：7,()1212k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦； D ．函数()()y f x x R =∈的图象相邻两条对称轴之间的距离是2π. (4)已知函数()sin()(0),24f x x+x ππωϕωϕ=>≤=-，为()f x 的零点，4x π=为()y f x =图像的对称轴，且()f x 在51836ππ⎛⎫⎪⎝⎭，单调，则ω的最大值为_______(5)已知函数x x x x y 22sin cos cos sin 32+-=的图象在],0[m 上恰有两个点的纵坐标为1，则实数m 的取值范围是．(6)(G196) 若函数)0(sin >=ωωx y 在区间]1,0[上至少出现50次最大值，则ω的最小值是_________________．(7)(G198)若函数x x f ωtan )(=的图像在线段)100(0π≤≤=x y 上恰有10个对称中心，则正实数ω的取值范围是______________．(8)已知函数()()()πϕωϕω≤≤>+=0,0sin x x f 是R 上的偶函数，其图象关于点⎪⎭⎫ ⎝⎛0,43πM 对称，且在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π上是单调函数，求ω和ϕ的值．(9)已知向量a ＝(cos ωx －sin ωx ，sin ωx )，b ＝(－cos ωx －sin ωx ，23cos ωx )．设函数f (x )＝a·b＋λ(x ∈R )的图象关于直线x ＝π对称，其中ω，λ为常数，且ω∈⎝⎛⎭⎫12，1.①求函数f (x )的最小正周期；②若y ＝f (x )的图象经过点⎝⎛⎭⎫π4，0，求函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，3π5上的取值范围．变式题 (1)已知函数()sin(2)f x x ϕ=+，其中ϕ为实数，若()()6f x f π≤对x R ∈恒成立，且()()2f fππ<，则下列结论正确的是( )A ．11()112f π=-B ．7()()105f f ππ>C ．()f x 是奇函数D ．()f x 的单调递增区间是[,]()36k k k Z ππππ-+∈(2)函数f (x )＝sin (ωx ＋φ)的导函数y ＝f ′(x )的部分图象如图所示，其中A 、C 为图象与x 轴的两个交点，B 为图象的最低点．若在曲线段ABC ︵与x 轴所围成的区域内随机取一点，则该点在△ABC 内的概率为___________．(3)已知函数()2sin()1(0,||)f x x ωϕωϕπ=--><的一个零点是,3x π=直线6x π=-函数图象的一条对称轴，则ω取最小值时，()f x 的单调增区间是( ) A. [3,3],36k k k Z ππππ-+-+∈ B. 5[3,3],36k k k Z ππππ-+-+∈ C. 2[2,2],36k k k Z ππππ-+-+∈ D. [2,2],36k k k Z ππππ-+-+∈ (4)已知函数()()sin 0,463f x x f f πππωω⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+>= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，且()f x 在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，则ω=___________．(5)已知函数()()cos2sin R f x x a x a =+∈在()0n π，内恰有2017个零点，则正整数n 的值为．(6)存在实数ϕ，使得圆面224x y +≤恰好覆盖函数sin()y x kπϕ=+图象的最高点或最低点共三个，则正数k 的取值范围是．(7)已知函数()x a x a x f cos 123sin 321⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛-=，将()x f 图像向右平移3π个单位长度得到函数()x g 的图像，若对任意R x ∈，都有()⎪⎭⎫⎝⎛≤4πg x g 成立，则a 的值为．(8)(G198) 若函数24tan 3)(-⎪⎭⎫⎝⎛-=πωx x f 的图像在线段)100(2π≤≤-=x y 上恰有10个对称中心，则正实数ω的取值范围是______________．(9)(G199) 若函数x y ωsin =在区间]2,0[上恰好出现100次最大值和99次最小值，求正数ω的取值范围．(10)已知函数y ＝sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π6与函数y ＝sin 2x ＋a cos 2x 的图像的对称轴相同，求实数a 的值．(11)设函数f (x )＝3cos 2ωx ＋sin ωx cos ωx ＋a (0<ω<1，a ∈R)，f (x )的图像向左平移π4个单位后得到函数g (x )，若g (x )的图像关于y 轴对称，解答以下问题：①求ω的值．②如果f (x )在区间⎣⎡⎦⎤34π，54π上的最小值为3，求a 的值．(12)已知函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋sin 2x －cos 2x . ①求函数f (x )的最小正周期及图像的对称轴方程；②设函数g (x )＝[f (x )]2＋f (x )，求g (x )的值域．(13)已知函数()4sin cos 2424f x x x ππππ⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()3124x g x -=+，若()f x 与()g x 的图象的交点分别为()11,x y ，()22,x y ，…，(),n n x y ，则()1ni i i y x =-=∑ ．► 探究点四三角函数模型的简单应用例4 湄洲湾港被誉为“世界不多，中国少有”的天然良港．港口各泊位每天的水深(水面与洋底的距离)f (x )(单位：m)与时间x (单位：h)的函数关系近似地满足f (x )＝A sin ⎝⎛⎭⎫π6x ＋φ＋B (A ，B >0，0≤φ<2π)．在通常情况下，港口各泊位能正常进行额定吨位的货船的装卸货任务，而当货船的吨位超过泊位的额定吨位时，货船需在涨潮时驶入航道，靠近码头卸货，在落潮时返回海洋．该港口某五万吨级泊位接到一艘七万吨货船卸货的紧急任务，货船将于凌晨0点在该泊位开始卸货．已知该泊位当天水深的最小值为12 m ，水深的最大值为20 m ，并在凌晨3点达到最大水深．(1)求该泊位当天的水深f (x )的解析式．(2)已知该货船的吃水深度(船底与水面的距离)为12.5 m ，安全条例规定，当船底与洋底距离不足1.5 m 时，货船必须停止卸货，并将船驶向较深的水域．据测算，一个装卸小队可使货船吃水深度以每小时0.1 m 的速度减少．①如果只安排一个装卸小队进行卸货，那么该船在什么时间必须停止卸货，并将船驶向较深的水域(精确到小时)?②如果安排三个这样的装卸小队同时执行该货船的卸货任务，问能否连续不间断地完成卸货任务？说明你的理由．变试题1．如图3－20－4，为一个缆车示意图，该缆车半径为4.8 m，圆上最低点与地面距离为0.8 m，60秒转动一圈，图中OA与地面垂直，以OA为始边，逆时针转动θ角到OB，设B点与地面距离是h.(1)求h与θ间的函数关系式；图3－20－4(2)设从OA开始转动，经过t秒后到达OB，求h与t之间的函数关系式，并求缆车到达最高点时用的最少时间是多少？2．某港口水的深度y(m)是时间t(0≤t≤24，单位：h)的函数，记作y＝f(t)，下面是某日水深的数据：t时03691215182124y米10.013.09.97.010.013.010.17.010.0经长期观察，y＝f(t)的曲线可以近似地看成函数y＝A sin ωx＋b的图像．(1)试根据以上数据，求出函数y＝f(t)的近似表达式；(2)一般情况下船舶航行时，船底离海底的距离为5 m或5 m以上时认为是安全的(船舶停靠时，船底只需不碰海底即可)．某船吃水深度(船底离水面的距离)为6.5 m，如果该船希望在同一天内安全进出港，请问，它至多能在港内停留多长时间(忽略进出港所需时间)?(3)[2017·广州模拟] 某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数y ＝a ＋A cos ⎣⎡⎦⎤π6（x －6）(x ＝1，2，3，…，12)来表示，已知6月份的月平均气温最高，为28℃，12月份的月平均气温最低，为18℃，则10月份的平均气温值为________℃.课时作业(二十A) 第20讲函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像及三角函数模型的简单应用(时间：45分钟分值：100分)1．函数f (x )＝sin x cos x 的最小值是( )A ．－1B ．12C ．－12D ．12．若函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω>0)的部分图像如图K191所示，则ω＝( )图K191A ．5B ．4C ．3D ．2 3．[2017·青岛质检] 函数y ＝2sin 2x 的图像的一条对称轴方程为( )A ．x ＝π4B ．x ＝π3C ．x ＝34π D ．x ＝π4．[2017·内蒙古通辽模拟] 将函数y ＝sin(x ＋π6) (x ∈R )图像上所有点的横坐标向左平行移动π6个单位长度，再把所得图像上各点的横坐标扩大到原来的2倍(纵坐标不变)，则得到的图像的解析式为( )A ．y ＝sin(2x ＋π3)B ．y ＝sin(x 2＋π3)C ．y ＝sin x 2D ．y ＝cos x25．当函数y ＝sin x －3cos x (0≤x <2π)取得最大值时，x ＝________．6．有一种波，其波形为函数y ＝sin π2x 的图像，若在区间[0，t ]上至少有2个波峰(图像的最高点)，则正整数t 的最小值是________．7．已知函数f (x )＝sin(2x ＋α)在x ＝π12时取得极大值，且f (x －β)为奇函数，则α，β的一组可能值为( )A ．α＝π6，β＝－π12B ．α＝π6，β＝π12C ．α＝π3，β＝－π6D ．α＝π3，β＝π68．将函数y ＝f (x )sin x 的图像向右平移π4个单位，再作关于x 轴的对称曲线，得到函数y ＝1－2sin 2x 的图像，则f (x )＝( )A ．2sin xB ．sin xC ．2cos xD ．cos x9．[2017·赣州四校联考] 设函数f (x )＝sin(ωx ＋2π3)＋sin(ωx －2π3) (ω＞0)的最小正周期为π，则( )A ．f (x )在区间(0，π4)上单调递增B ．f (x )在区间(0，π4)上单调递减C ．f (x )在区间(0，π2)上单调递增D ．f (x )在区间(0，π2)上单调递减10．图K192是函数y ＝sin(ωx ＋φ)，0<φ<π2的图像的一部分，A ，B 分别是图像上的一个最高点和一个最低点，O 为坐标原点，则OA →·OB →的值为( )图K192 图K193A ．12πB ．19π2＋1C ．19π2－1D ．13π2－111．[2017·郑州二检] 已知直线x ＝5π12和点(π6，0)恰好是函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)的图像的相邻的对称轴和对称中心，则f (x )的表达式可以是( )A ．f (x )＝2sin(2x －π6)B ．f (x )＝2sin(2x －π3)C ．f (x )＝2sin(4x ＋π3)D ．f (x )＝2sin(4x ＋π6)12．已知函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，－π≤φ<π)的图像如图K193所示，则φ＝________．13．已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋m (A >0)的最大值为4，最小值为0，最小正周期为π2，直线x ＝π3是其图像的一条对称轴，则下面各式中符合条件的解析式是________(填序号)．①y ＝4sin4(x ＋π6)；②y ＝2sin(2x ＋π3)＋2；③y ＝2sin(4x ＋π3)＋2；④y ＝2sin(4x ＋π6)＋2.14．(10分)[2017·温州二模] 如图K194所示，点P (0，A2)是函数y ＝A sin(2π3x ＋φ) (其中A >0，φ∈[0，π))的图像与y 轴的交点，点Q ，点R 是它与x 轴的两个交点．(1)求φ的值；(2)若PQ ⊥PR ，求A 的值．图K19415．(13分)[2017·湛江二模] 设函数f (x )＝2sin(ωx －π4) (ω>0)，f (α)＝－2，f (β)＝0，且|α－β|的最小值为π4.(1)求f (x )的最小正周期； (2)求f (x )的单调递减区间．16．(12分)已知向量a ＝(m ，cos 2x )，b ＝(sin 2x ，n )，函数f (x )＝a ·b ，且y ＝f (x )的图像过点⎝⎛⎭⎫π12，3和点⎝⎛⎭⎫2π3，－2.(1)求m ，n 的值；(2)将y ＝f (x )的图像向左平移φ(0＜φ＜π)个单位后得到函数y ＝g (x )的图像，若y ＝g (x )图像上各最高点到点(0，3)的距离的最小值为1，求y ＝g (x )的单调递增区间．课时作业(二十B) 第20讲函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像及三角函数模型的简单应用(时间：45分钟分值：100分)1．为了使函数y ＝sin ωx (ω>0)在区间[0，1]上至少出现50次最大值，则ω的最小值是( )A ．98π B.1972π C.1992π D ．100π2．[2016·太原五中月考] 函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0，0≤φ≤π)的部分图像如图K191所示，其中A ，B 两点之间的距离为5，图K191则f (x )的单调递增区间是( )A ．[6k －1，6k ＋2](k ∈Z )B ．[6k －4，6k －1](k ∈Z )C ．[3k －1，3k ＋2](k ∈Z )D ．[3k －4，3k －1](k ∈Z )3．要得到函数y ＝3sin 2x ＋cos 2x 的图像，只需将函数y ＝2sin 2x 的图像( )A ．向左平移π6个单位长度B ．向右平移π6个单位长度C ．向左平移π12个单位长度D ．向右平移π12个单位长度4．函数y ＝12sin(π4－2x3)的单调递减区间是________．5．将函数f (x )＝sin(3x ＋π4)的图像向右平移π3个单位长度，得到函数y ＝g (x )的图像，则函数y ＝g (x )在区间[π3，2π3]上的最小值为________．6．一观览车的主架示意图如图K192所示，其中O 为巨轮的中心，距地面32 m(即OM 长)，巨轮的半径为30 m ，AM ＝BP ＝2 m ，巨轮逆时针旋转且每12 min 转动一圈．若点M 为吊舱P 的初始位置，经过t min ，该吊舱距离地面的高度为h (t )(单位：m)，则h (t )＝( )图K192A ．30sin(π12t －π2)＋30B ．30sin(π6t －π2)＋30C ．30sin(π6t －π2)＋32D ．30sin(π6t －π2)7．[2017·福州三中月考] 将函数f (x )＝sin 2x 的图像向左平移π6个单位长度后，得到函数y ＝g (x )的图像，下列关于y ＝g (x )的说法正确的是( )A ．图像关于点(－π3，0)中心对称B ．图像关于直线x ＝－π6对称C ．在区间(－5π12，－π6)上单调递增D ．在区间(－π6，π3)上单调递减8．[2017·九江三模] 将函数y ＝sin(2x ＋π6)的图像向右平移m (m >0)个单位长度，得到函数y ＝f (x )的图像，若函数y ＝f (x )在区间[－π6，π3]上单调递增，则m 的最小值为( )A.π3B.π4C.π6D.π129．[2017·泰安二模] 将函数f (x )＝sin x cos x 的图像向左平移π4个单位长度，得到函数g (x )的图像，则g (x )的单调递增区间是( )A ．[k π－π2，k π](k ∈Z )B ．[k π，k π＋π2](k ∈Z )C ．[k π－π4，k π＋π4](k ∈Z )D ．[k π＋π4，k π＋3π4](k ∈Z )10．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)ω>0，|φ|<π2的部分图像如图K193所示，则得到y ＝f (x )的图像需将y ＝cos 2x 的图像( )图K193 图K194A ．向右平移π3个单位长度B ．向左平移π3个单位长度C ．向右平移π6个单位长度D ．向左平移π6个单位长度11．[2017·北京朝阳区二模] 已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)A >0，ω>0，|φ|<π2的部分图像如图K194所示，则φ＝________．12．[2017·大庆二模] 将函数y ＝14sin x ＋34cos x (x ∈R )的图像向左平移m (m >0)个单位长度后，所得到的图像关于y 轴对称，则m 的最小值是________．13．将函数f (x )＝2sin(ωx －π3)(ω>0)的图像向左平移π3ω个单位长度，得到函数y ＝g (x )的图像．若y ＝g (x )在区间[0，π4]上为增函数，则ω的最大值为________．14．(10分)[2017·茂名二模] 已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋π6)(A >0，ω>0)的部分图像如图K195所示．(1)求函数f (x )的解析式；(2)设α，β∈[－π2，0]，f (3α＋π)＝1013，f (3β＋5π2)＝65，求sin(α－β)的值．图K19515．(13分)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(x ∈R ，A >0，ω>0，0<φ<π2)的部分图像如图K196所示，P 是图像的最高点，Q 为图像与x 轴的交点，O 为坐标原点．若OQ ＝4，OP ＝5，PQ ＝13.(1)求函数y ＝f (x )的解析式；(2)将函数y ＝f (x )的图像向右平移2个单位长度后得到函数y ＝g (x )的图像，当x ∈(－1，2)时，求函数h (x )＝f (x )·g (x )的值域．图K19616．(12分)如图K197所示，某市政府决定在以政府大楼O 为中心，正北方向和正东方向的马路为边界的扇形区域内建造一个图书馆．为了充分利用这块土地，并考虑与周边环境协调，设计要求该图书馆底面矩形的四个顶点都要在边界上，图书馆的正面要面向市政府大楼．设扇形的半径OM ＝R ，∠MOP ＝45°，OB 与OM 之间的夹角为θ.(1)将图书馆底面矩形ABCD 的面积S 表示成θ的函数． (2)若R ＝45 m ，求当θ为何值时，矩形ABCD 的面积S 有最大值？其最大值是多少？(精确到0.01 m 2)．图K19717．若函数()sin()(0,0)22f x A x A ππωφωφ=+>>-<<，的部分图象如图所示，,B C分别是图象的最低点和最高点，其中164||2+=πBC .(1)求函数)(x f 的解析式；(2)在锐角ABC ∆中,c b a ,,分别是角C B A 、、的对边，若3)(=A f ,2=a ,求ABC∆周长的取值范围．18．函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>≤⎪⎝⎭的部分图象如图所示，其中70,2312f f ππ⎛⎫⎛⎫==-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，给出下列结论：①最小正周期为π；②()01f =；③函数6y f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭是偶函数； ④12141113f f ππ⎛⎫⎛⎫<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；⑤()403f x f x π⎛⎫+-= ⎪⎝⎭. 其中正确结论的个数是( ) A ．5 B ．4 C ．3 D ．2yxCBA O3π-125π 第17题19．已知函数()()2.5cos f x x ωϕ=+（0ω>，2πϕ<）的部分图象如图所示，M ，N 两点之间的距离为13，且()30f =，若将函数()f x 的图象向右平移()0t t >个单位长度后所得函数的图象关于坐标原点对称，则t 的最小值为（）A.7B.8C.9D.1020. 已知函数()sin()(0,(0,π))f x x ωϕωϕ=+>∈满足π5π()()066f f ==，给出以下四个结论:○1 3ω=； ○26k ω≠，k *∈N ； ○3 ϕ可能等于3π4； ○4符合条件的ω有无数个，且均为整数. 其中所有正确的结论序号是______.21．已知函数()2sin 2f x x =，将函数()y f x =的图像向左平移6π个单位，再向上平移1个单位，得到函数()y g x =的图像. （Ⅰ）求函数()y g x =的解析式（Ⅱ）若对任何实数x ，不等式()2()mg x m g x +≥恒成立，求实数m 的取值范围. （Ⅲ）若区间[,]a b （,a b R ∈且a b <）满足：()y g x =在[,]a b 上至少含有30个零点，在所有满足上述条件的[,]a b 中，求b a -的最小值．22.若函数1)62sin(2)(-++=m x x f π)(R m ∈在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π上有两个零点21,x x )(21x x ≠，则m x x -+21的取值范围是（）.A )13,13(+-ππ .B )13,3[+ππ .C )132,132(+-ππ .D )132,32[+ππ第20讲例题 4知识聚焦1．－φω π2－φω π－φω 3π2－φω 2π－φω3．A T ＝2πωf ＝1T ＝ω2π ωx ＋φ φ正本清源1．y ＝2sin x [解析] 根据函数图像变换法则可得．2．y ＝sin x ＋3π4 [解析] 将函数y ＝sin x ＋π4的图像向左平移π2个单位长度得到函数y＝sin x ＋π2＋π4，即y ＝sin x ＋3π4的图像．3.π6[解析] ∵函数图像经过点(0，1)，∴将点(0，1)代入函数表达式可得2sin φ＝1，∴sin φ＝12.∵|φ|<π2，∴φ＝π6.4．±2 [解析]2π|ω|＝π，解得ω＝±2. 5．k π＋3π8，k π＋7π8，k ∈Z [解析] sin π4－2x ＝－sin2x －π4，由2k π＋π2≤2x －π4≤2k π＋3π2，k ∈Z ，解得k π＋3π8≤x ≤k π＋7π8，k ∈Z ，故所求的单调递增区间为k π＋3π8，k π＋7π8，k ∈Z .6．y ＝sin 12x ＋π4 y ＝sin 12x ＋π8 [解析] y ＝sin x →y ＝sin x ＋π4→y ＝sin 12x ＋π4；y ＝sin x →y ＝sin 12x →y ＝sin 12x ＋π4＝sin 12x ＋π8.7．f (x )＝2sin2x ＋π3 [解析] 易知A ＝2，2πω＝2×π3＋π6，∴ω＝2.又函数f (x )的图像过点π3，0，∴2×π3＋φ＝2k π＋π(k ∈Z )，∴φ＝2k π＋π3.∵|φ|<π2，∴φ＝π3.故所求函数的解析式为f (x )＝2sin2x ＋π3.8．x ＝k π4＋π16，k ∈Z [解析] 令4x ＋π4＝k π＋π2，k ∈Z ，解得x ＝k π4＋π16，k ∈Z .例1 (1)略 (2) B 函数f (x )＝cos x －3sin x ＝2×12cos x －32sin x ＝2cos x ＋π3，将函数f (x )的图像向左平移a 个单位长度得到函数y ＝2cos x ＋a ＋π3的图像，又该图像关于原点对称，所以a ＋π3＝k π＋π2(k ∈Z )，得a ＝k π＋π6(k ∈Z )．又a >0，所以a min ＝π6.(3)A (4) D 由已知得g (x )＝sin(2x －2φ)，又|f (x 1)－g (x 2)|＝2，0<φ<π2，所以当|x 1－x 2|取最小值时，刚好是取两个函数相邻的最大值与最小值点．令2x 1＝π2，2x 2－2φ＝－π2，则|x 1－x 2|＝⎪⎪⎪⎪π2－φ＝π3，得φ＝π6.变试题 (1)略 (2)π4(3)2 2sin x (4)A例2 (1) y ＝2sin （32x ＋π4） (2)D (3)A (4) B 解析：()sin()f x A x ωϕ=+的图象与性质．易得2ω=，由五点法作图可知262ππϕ⨯+=，得6πϕ=．即()s i n (2)6f x x π=+．故()16f π=，21()62f π=，31()62f π=-，4()16f π=-，51()62f π=-，61()62f π=，201611111()336(11)062222n n f π==⨯+---+=∑(5)D 变试题 (1)A (2)B (3)C (4)3 (5)D (6)D (7)C例3 (1)B (2)C (3)B (4)9 解析：12π+π 4ππ+π+42k k ωϕωϕ⎧-=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩则21k ω=+，其中k ∈Z()f x 在π5π,1836⎛⎫⎪⎝⎭单调，5π,123618122T ππω∴-=≤≤接下来用排除法若π11,4ωϕ==-，此时π()sin 114f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()f x 在π3π,1844⎛⎫ ⎪⎝⎭递增，在3π5π,4436⎛⎫ ⎪⎝⎭递减，不满足()f x 在π5π,1836⎛⎫⎪⎝⎭单调若π9,4ωϕ==，此时π()sin 94f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，满足()f x 在π5π,1836⎛⎫⎪⎝⎭单调递减(5)⎪⎭⎫⎢⎣⎡67,2ππ (6)2197π (7) ⎪⎭⎫⎢⎣⎡21,209 (8)解：()x f 是偶函数，∴y 轴是其对称轴，即y 轴经过函数图象的波峰或波谷， ∴(),1sin ±==ϕx f 又πϕ≤≤0 ，∴2πϕ=．由()x f 的图象关于点⎪⎭⎫⎝⎛0,43πM 对称，∴,043=⎪⎭⎫ ⎝⎛πf ，即043c o s 243s i n ==⎪⎭⎫⎝⎛+⋅ωπππω，又0>ω，∴,2,1,0,243=+=k k ππωπ．∴() ,2,1,0,1232=+=k k ω 当0=k 时，32=ω， ()x x x f 32cos 232sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛+=π在⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π是减函数；当1=k 时，2=ω，()x x x f 2cos 22sin =⎪⎭⎫⎝⎛+=π在⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π上是减函数；当2≥k 时， 103ω≥，()x x x f ωπωcos 2sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛+=在 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π上不是单调函数．综上所述，32=ω或2=ω，2πϕ=． (9)①ω＝56. 最小正周期是6π5 ②[－1－2，2－2]．变试题 (1)D(2)【解析】由f ′(x )＝ωcos(ωx ＋φ)知|AC |＝πω，|y B |＝ω，所以S △ABC ＝12·|AC |·|y B |＝π2，设A (x 0，0) ，则ωx 0＋φ＝π2，C ⎝⎛⎭⎫x 0＋πω，0，设曲线段ABC ︵与x 轴所围成的区域的面积为S ，则S ＝|∫x 0＋πωx 0f ′(x )d x |＝－∫x 0＋πωx 0f ′(x )d x ＝－f (x )|x 0＋πωx 0＝f (x 0)－f ⎝⎛⎭⎫x 0＋πω ＝sin (ωx 0＋φ)－sin ⎝⎛⎭⎫ω⎝⎛⎭⎫x 0＋πω＋φ＝sin π2－sin 3π2＝2. 所以该点在△ABC 内的概率P ＝S△ABCS ＝π22＝π4. (3)B (4)1 (5)1345 (6)⎥⎦⎤ ⎝⎛3,23 (7)2 (8) ⎪⎭⎫⎢⎣⎡4021,4019 (9) ⎪⎭⎫⎢⎣⎡4399,4397ππ (10)a ＝－33. (11)①ω＝13. ②a ＝1＋32. (12)解：（Ⅰ） πϕπω=+⋅3①23127πϕπω=+⋅② 解得2=ω，3πϕ=. （Ⅱ）)32sin()(π+=x x f ，)32sin(2sin π++-=x x kx x x x x 2cos 232sin 213sin2cos 3cos2sin 2sin +-=++-=ππ)32sin(π--=x ，因为]2,12[ππ∈x 时，]32,6[32πππ-∈-x ，由方程恰有唯一实根，结合图象可知 2123≤<-k 或1-=k ． (13) 5例4 解：(1)因为泊位的最小水深为12 m ，最大水深为20 m ，所以⎩⎪⎨⎪⎧－A ＋B ＝12，A ＋B ＝20，解得⎩⎪⎨⎪⎧A ＝4，B ＝16，所以f (x )＝4sin(πx6＋φ)＋16.又当x ＝3时，f (x )取到最大值20，所以f (3)＝4sin （π2＋φ)＋16＝20，又0≤φ<2π，所以φ＝0，f (x )＝4sin πx6＋16，x ∈[0，24]．(2)设货船的吃水深度以每小时a m 的速度下降，令g (x )＝f (x )－(12.5－ax )－1.5，则g (x )＝4sin πx6＋ax ＋2.要使货船能在泊位正常卸货，只需g (x )≥0.①只安排一个装卸小队进行卸货时，a ＝0.1，g (x )＝4sin πx6＋0.1x ＋2.当x ∈(0，7]时，因为4sin πx 6≥4sin 7π6＝－2，所以g (x )≥－2＋0.1x ＋2>0. 又g (8)＝4sin8π6＋0.8＋2＝－2 3＋2.8<0，所以该船必须在上午7点停止卸货，并将船驶向较深的水域． ②若安排三个装卸小队进行卸货，则能按要求完成卸货的任务．此时a ＝0.3，g (x )＝4sin πx6＋0.3x ＋2.因为泊位的水深f (x )＝4sin πx6＋16在当天上午9：00时第一次达到水深的最小值，所以要使卸货任务能连续不间断地完成，只需当x ∈[0，9]时能正常卸货．当x ∈(0，7]时，因为4sin πx 6≥4sin 7π6＝－2，所以g (x )≥－2＋0.3x ＋2>0.当x ∈[7，9]时，因为4sin πx6≥－4，0.3x ＋2≥0.3×7＋2＝4.1，两式相加得g (x )≥0.1，所以当∈[7，9]时，g (x )>0成立．综上，对任意的x >0，g (x )>0恒成立，即安排三个这样的装卸小队同时执行该货船的卸货任务，能按要求完成卸货任务．变试题 1.解：(1)以圆心O 为原点，水平方向为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则以Ox 为始边，OB 为终边的角为θ－π2，故点B 的坐标为⎝⎛⎭⎫4.8cos ⎝⎛⎭⎫θ－π2，4.8sin ⎝⎛⎭⎫θ－π2， ∴h ＝5.6＋4.8sin ⎝⎛⎭⎫θ－π2. (2)点A 在圆上转动的角速度是π30，故t 秒转过的弧度数为π30t ，∴h ＝5.6＋4.8sin ⎝⎛⎭⎫π30t －π2，t ∈[0，＋∞)．到达最高点时，h ＝10.4 m.由sin ⎝⎛⎭⎫π30t －π2＝1得π30t －π2＝π2，∴t ＝30， ∴缆车到达最高点时，用的时间最少为30 s.2．解：(1)由已知数据，易知函数y ＝f (t )的周期T ＝12，振幅A ＝3，b ＝10，所以y ＝3sinπ6t ＋10.(2)由题意，该船进出港时，水深应不小于5＋6.5＝11.5 m ，所以3sin π6t ＋10≥11.5，所以sin π6t ≥12，解得2k π＋π6≤π6t ≤2k π＋5π6(k ∈Z )，12k ＋1≤t ≤12k ＋5(k ∈Z )．在同一天内，取k ＝0或k ＝1，所以1≤t ≤5或13≤t ≤17.所以该船可在当日凌晨1时进港，下午17时出港，在港口内最多停留16个小时． 3.[答案] 20.5课时作业(二十A)1．C [解析] f (x )＝sin x cos x ＝12sin 2x ，所以函数f (x )的最小值为－12.2．B [解析] 根据对称性可得π4为已知函数的半个周期，所以2πω＝2×π4，解得ω＝4.3．D [解析] y ＝2sin 2x ＝－cos 2x ＋1，由2x ＝k π(k ∈Z )得对称轴方程为x ＝k π2(k ∈Z )，所以x ＝π是其一条对称轴．4．B [解析] 向左平移π6个单位长度，得到y ＝sin x ＋π3的图像；将所得图像的横坐标扩大为原来的2倍，得y ＝sin 12x ＋π3的图像．5.5π6 [解析] 函数可化为y ＝2sin x －π3，由x ∈[0，2π)得x －π3∈⎣⎡⎭⎫－π3，5π3，∴当x －π3＝π2，即x ＝5π6时，函数取得最大值2. 6．5 [解析] 函数y ＝sin π2x 的最小正周期T ＝4，若在区间[0，t ]上至少出现2个波峰，则t ≥54T ＝5.7．D [解析] 由函数f (x )＝sin(2x ＋α)在x ＝π12时取得极大值，得2×π12＋α＝π2＋2k π(k ∈Z )，∴α＝π3＋2k π(k ∈Z )．由f (x －β)＝sin(2x －2β＋α)为奇函数，得－2β＋α＝k π(k ∈Z )．令k ＝0，得α＝π3，β＝π6.8．C [解析] 与函数y ＝1－2sin 2x ＝cos 2x 的图像关于x 轴对称的为函数y ＝－cos 2x的图像，将其向左平移π4个单位长度，得到函数y ＝－cos 2x ＋π4＝sin 2x ＝2sin x cos x 的图像，所以有y ＝f (x )sin x ＝2sin x cos x ，所以f (x )＝2cos x .9．B [解析] f (x )＝sin ωx ＋23π＋sin ωx －23π＝－sin ωx ，又其最小正周期为π，所以ω＝2，故f (x )＝－sin 2x ，易知其在区间0，π4上单调递减．10．C [解析] 由图知T 4＝5π12－π6＝π4，∴T ＝π，∴B 2π3，－1.∵A π6，1，B 2π3，－1，∴OA →·OB →＝π29－1.11．B [解析] 据题意可知14T ＝512π－π6＝π4，所以T ＝π，所以ω＝2πT＝2.又f (x )的图像过点π6，0，所以有2sin2×π6＋φ＝0，得φ＝－π3＋k π(k ∈Z )，可知B 满足． 12.9π10 [解析] 由图像知函数y ＝sin(ωx ＋φ)的周期为22π－3π4＝5π2，∴2πω＝5π2，∴ω＝45. ∵当x ＝34π时，y 有最小值－1，∴45×3π4＋φ＝2k π－π2(k ∈Z )． ∵－π≤φ<π，∴φ＝9π10.13．④ [解析] 因为函数的最大值为4，最小值为0，所以⎩⎪⎨⎪⎧A ＋m ＝4，m －A ＝0，解得A ＝m ＝2.又最小正周期T ＝2πω＝π2，所以ω＝4.又直线x ＝π3是其图像的一条对称轴，将x ＝π3代入得sin4×π3＋φ＝±1，所以φ＋4π3＝k π＋π2(k ∈Z )，即φ＝k π－5π6(k ∈Z )，当k ＝1时，φ＝π6.14．解：(1)∵函数图像经过点P 0，A 2，∴sin φ＝12.又∵φ∈[0，π)，且点P 在增区间上，∴φ＝π6.(2)由(1)可知y ＝A sin 2π3x ＋π6，令y ＝0，得sin 2π3x ＋π6＝0，∴2π3x ＋π6＝k π(k ∈Z )，∴x ＝－14＋32k (k ∈Z )， ∴Q －14，0，R 54，0.又∵P 0，A2，∴PQ →＝－14，－A 2，PR →＝54，－A 2.∵PQ ⊥PR ，∴PQ →·PR →＝－516＋14A 2＝0，∴A ＝52.15．解：(1)由f (α)＝－2，f (β)＝0，且|α－β|的最小值为π4，可知π4为函数f (x )的最小正周期的14，所以函数f (x )的最小正周期为π.(2)由(1)知ω＝2ππ＝2，又函数y ＝sin x 的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤2k π＋π2，2k π＋3π2(k ∈Z )，由2k π＋π2≤2x －π4≤2k π＋3π2(k ∈Z )，得k π＋3π8≤x ≤k π＋7π8(k ∈Z )，所以函数f (x )的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤k π＋3π8，k π＋7π8(k ∈Z )． 16．解：(1)由题意知，f (x )＝a·b ＝m sin 2x ＋n cos 2x .因为y ＝f (x )的图像过点π12，3和点2π3，－2，所以⎩⎨⎧3＝m sin π6＋n cos π6，－2＝m sin 4π3＋n cos 4π3，即⎩⎨⎧3＝12m ＋32n ，－2＝－32m －12n ，解得m ＝3，n ＝1.(2)由(1)知f (x )＝3sin 2x ＋cos 2x ＝2sin2x ＋π6.由题意知，g (x )＝f (x ＋φ)＝2sin2x ＋2φ＋π6.设y ＝g (x )的图像上符合题意的最高点为(x 0，2)．由题意知，x 20＋1＝1，所以x 0＝0，即到点(0，3)的距离为1的最高点为(0，2)．将其代入y ＝g (x )得，sin2φ＋π6＝1.因为0<φ<π，所以φ＝π6.因此，g (x )＝2sin2x ＋π2＝2cos 2x .由2k π－π≤2x ≤2k π，k ∈Z 得k π－π2≤x ≤k π，k ∈Z ，所以函数y ＝g (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－π2，k π，k ∈Z . 课时作业(二十B)1．B [解析] 设函数的最小正周期为T ，由题意知49＋14T ≤1，即1974×2πω≤1，∴ω≥197π2.2．B [解析] 设函数的最小正周期为T ，根据已知可得x B －x A ＝3＝T2，所以T ＝6，x A＝－1，所以f (x )的单调递增区间是[6k －4，6k －1](k ∈Z )．3．C [解析] 函数y ＝3sin 2x ＋cos 2x ＝2sin2x ＋π6的图像可由函数y ＝2sin 2x 的图像向左平移π12个单位长度得到的．故选C.4．3k π－3π8，3k π＋9π8(k ∈Z ) [解析] 由2k π－π2≤2x 3－π4≤2k π＋π2(k ∈Z )，得3k π－3π8≤x ≤3k π＋9π8(k ∈Z )，所以函数y ＝12sin π4－2x3的单调递减区间为3k π－3π8，3k π＋9π8(k ∈Z )．5．－22 [解析] g (x )＝sin3x －π3＋π4＝sin3x －3π4，由π3≤x ≤2π3，得π4≤3x －3π4≤5π4，所以当3x －3π4＝5π4时，g (x )取得最小值，且g (x )min ＝sin 5π4＝－22. 6．B [解析] 由题意可设h (t )＝A sin(ωt ＋φ)＋l (A >0，ω>0)，则2πω＝12，所以ω＝π6.易知初相φ＝－π2，振幅A ＝30，又OM ＝32，AM ＝BP ＝2，故h (t )＝30sin π6t －π2＋30.7．C [解析] y ＝g (x )＝sin ⎣⎡⎦⎤2x ＋π6＝sin2x ＋π3，令2x ＋π3＝k π，k ∈Z ，得g (x )的图像的对称中心为⎝⎛⎭⎫－π6＋k π2，0(k ∈Z )，故A 不正确；当x ＝－π6时，g －π6＝sin 0＝0，所以g (x )的图像不关于直线x ＝－π6对称，故B 不正确；当－5π12≤x ≤－π6时，－π2≤2x ＋π3≤0，所以函数g (x )在区间－5π12，－π6上单调递增，故C 正确；当－π6≤x ≤π3时，0≤2x ＋π3≤π，函数g (x )在此区间上先增后减，故D 不正确．故选C.8．C [解析] 根据已知，得f (x )＝sin2(x －m )＋π6＝sin2x －2m ＋π6，由2k π－π2≤2x －2m ＋π6≤2k π＋π2(k ∈Z )，得k π＋m －π3≤x ≤k π＋m ＋π6(k ∈Z )，即函数y ＝f (x )的单调递增区间是k π＋m －π3，k π＋m ＋π6(k ∈Z )，根据题意，得－π6，π3⊆kπ＋m －π3，k π＋m ＋π6(k ∈Z )，所以k π＋m －π3≤－π6且k π＋m ＋π6≥π3(k ∈Z )，解得m ≤－k π＋π6且m ≥－k π＋π6(k ∈Z )，故m ＝－k π＋π6(k ∈Z )．由于m >0，取k ＝0，得m的最小值为π6.9．A [解析] f (x )＝12sin 2x ，将其图像向左平移π4个单位长度后得到函数g (x )＝12sin 2x＋π4＝12cos 2x 的图像，由2k π－π≤2x ≤2k π(k ∈Z )，解得k π－π2≤x ≤k π(k ∈Z )，故函数g (x )的单调递增区间是k π－π2，k π(k ∈Z )．10．A [解析] 7π12－π3＝π4＝14×2πω，解得ω＝2.由sin2×π3＋φ＝1，－π2<φ<π2，得φ＝－π6，即f (x )＝sin2x －π6，又y ＝cos 2x ＝sin2x ＋π2，且sin2x －π6＝sin2x －π3＋π2，故只要把y ＝cos 2x 的图像向右平移π3个单位长度即可得到f (x )的图像．11.π3 [解析] 由图像得14×2πω＝π3－π12＝π4，得ω＝2.再由2×π12＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z )，|φ|<π2，得φ＝π3.12.π6 [解析] 把y ＝12sin x ＋π3的图像向左平移m 个单位长度后得到函数y ＝12sin(x ＋m )＋π3＝12sin x ＋m ＋π3的图像，由题意得m ＋π3＝k π＋π2，k ∈Z ，即m ＝k π＋π6，k ∈Z ，又m >0，取k ＝0，得m 的最小值为π6.13．2 [解析] 函数g (x )的解析式为g (x )＝2sin ωx ＋π3ω－π3＝2sin ωx ，易知函数g (x )的一个单调递增区间是－π2ω，π2ω.又函数y ＝g (x )在区间0，π4上为增函数，则0，π4⊆－π2ω，π2ω，所以π2ω≥π4，得ω≤2.所以ω的最大值为2. 14．解：(1)由图像可知A ＝2，∵34T ＝11π2－π＝92π，∴T ＝6π＝2πω，∴ω＝13， ∴f (x )＝2sin 13x ＋π6.(2)∵f (3α＋π)＝2sin α＋π2＝2cos α＝1013，∴cos α＝513.又∵f 3β＋5π2＝2sin(β＋π)＝－2sin β＝65，∴sin β＝－35.∵α，β∈－π2，0，∴sin α＝－1－cos 2α＝1－5132＝－1213，cos β＝1－sin 2β＝1－－352＝45，∴sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝－1213×45－513×－35＝－3365.15．解：(1)由条件知cos ∠POQ ＝42＋（5）2－（13）22×4×5＝55，所以P (1，2)，由此可得A ＝2，最小正周期T ＝4×(4－1)＝12，则2πω＝12，得ω＝π6.将(1，2)代入y ＝2sin π6x ＋φ，得sin π6＋φ＝1，因为0<φ<π2，所以φ＝π3，于是f (x )＝2sin π6x ＋π3.(2)由题意可得g (x )＝2sin ⎣⎡⎦⎤π6（x －2）＋π3＝2sin π6x ，所以h (x )＝f (x )·g (x )＝4sin π6x ＋π3·sin π6x ＝2sin 2π6x ＋2 3sin π6x ·cos π6x ＝1－cos π3x＋3sin π3x ＝1＋2sin π3x －π6.当x ∈(－1，2)时，π3x －π6∈－π2，π2，所以sin π3x －π6∈(－1，1)，即1＋2sin π3x －π6∈(－1，3)．故函数h (x )的值域为(－1，3)．16．解：(1)由题意可知，点M 为PQ 的中点，所以OM ⊥AD .设OM 与AD ，BC 的交点分别为E ，F ，则BC ＝2R sin θ，OF ＝R cos θ，易知△OAE 为等腰直角三角形，OE ＝AE ＝12BC ＝R sin θ，则AB ＝EF ＝OF －OE ＝R cos θ－R sin θ，所以S ＝AB ·BC ＝2R sin θ(R cos θ－R sin θ)＝R 2(2sin θcos θ－2sin 2θ)＝R 2(sin 2θ－1＋cos 2θ)＝2R 2sin2θ＋π4－R 2，θ∈0，π4.(2)因为θ∈0，π4，所以2θ＋π4∈π4，3π4.所以当2θ＋π4＝π2，即θ＝π8时，S 取得最大值，S max ＝(2－1)R 2＝(2－1)×452＝(2－1)×2025≈838.78(m 2)．故当θ＝π8时，矩形ABCD 的面积S 有最大值，其最大值约为838.78 m 2.。

正弦型函数的图象及应用经典教案【强烈推荐】

第4讲正弦型函数y ＝A sin(ωx ＋ϕ)+B 的图象及应用【考试会这样考】1．考查正弦型函数y ＝A sin(ωx ＋ϕ)的图象变换．2．结合三角恒等变换考查y ＝A sin(ωx ＋ϕ)的性质及简单应用． 3．考查y ＝sin x 到y ＝A sin(ωx ＋ϕ)的图象的两种变换途径．【复习指导】本讲复习时，重点掌握正弦型函数y ＝A sin(ωx ＋ϕ)的图象的“五点”作图法，图象的三种变换方法，以及利用三角函数的性质解决有关问题．基础梳理1．用五点法画y ＝A sin(ωx ＋ϕ)一个周期内的简图时，要找五个特征点如下表所示x ωϕ-0ωϕπ-2ωϕπ- ωϕπ-23ωϕπ-2ωx ＋ϕ 0 π2π 3π2 2π y ＝A sin(ωx ＋ϕ)A－A2．函数y ＝sin x 的图象变换得到y ＝A sin(ωx ＋ϕ)的图象的步骤3．当函数y ＝A sin(ωx ＋ϕ)(A ＞0，ω＞0，x ∈[0，＋∞))表示一个振动时，A 叫做振幅，T ＝2πω叫做周期，f ＝1T叫做频率，ωx ＋ϕ叫做相位，ϕ叫做初相．4．图象的对称性函数y ＝A sin(ωx ＋ϕ)(A ＞0，ω＞0)的图象是轴对称也是中心对称图形，具体如下：(1)函数y ＝A sin(ωx ＋ϕ)的图象关于直线x ＝x k (其中 ωx k ＋ϕ＝k π＋π2，k ∈Z )成轴对称图形．(2)函数y ＝A sin(ωx ＋ϕ)的图象关于点(x k,0)(其中ωx k ＋ϕ＝k π，k ∈Z )成中心对称图形．一种方法在由图象求三角函数解析式y ＝A sin(ωx ＋ϕ) + B 时，若最大值为M ，最小值为m ，则A ＝M －m 2，B ＝M ＋m 2，ω由周期T 确定，即由2πω＝T 求出，ϕ由特殊点确定．一个区别由y ＝sin x 的图象变换到y ＝A sin (ωx ＋ϕ)的图象，两种变换的区别：先相位变换再周期变换(伸缩变换)，平移的量是|φ|个单位；而先周期变换(伸缩变换)再相位变换，平移的量是|φ|ω(ω＞0)个单位．原因在于相位变换和周期变换都是针对x 而言，即x 本身加减多少值，而不是依赖于ωx 加减多少值．双基自测1．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4 的振幅、频率和初相分别为( )． A ．2，1π，－π4 B ．2，12π，－π4 C ．2，1π，－π8 D ．2，12π，－π8答案 A2.已知简谐运动f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫|φ|＜π2的部分图象如图所示，则该简谐运动的最小正周期T 和初相φ分别为( )．A ．T ＝6π，φ＝π6B ．T ＝6π，φ＝π3C ．T ＝6，φ＝π6D ．T ＝6，φ＝π3答案 C 解析由题图象知T ＝2(4－1)＝6⇒ω＝π3，由图象过点(1,2)且A ＝2，可得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3×1＋φ＝1，又|φ|＜π2，得φ＝π6.3．函数y ＝cos x (x ∈R )的图象向左平移π2个单位后，得到函数y ＝g (x )的图象，则g (x )的解析式应为( )．A ．－sin xB ．sin xC ．－cos xD ．cos x答案 A 解析由图象的平移得g (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝－sin x .4．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0)的图象如图所示，则ω＝________.解析由题意设函数周期为T ，则T 4＝23π－π3＝π3，故T ＝43π.∴ω＝2πT ＝32.5．把函数y ＝cos 2x ＋1的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图像是 ( )答案 A解析 y ＝cos 2x ＋1――→横坐标伸长2倍纵坐标不变y ＝cos x ＋1――→向左平移1个单位长度y ＝cos(x ＋1)＋1――→向下平移1个单位长度y ＝cos(x ＋1)．结合选项可知应选A.考向一作函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象【例1】►设函数f (x )＝cos(ωx ＋ϕ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，－π2＜φ＜0的最小正周期为π，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝32. (1)求ω和ϕ的值；(2)在给定坐标系中作出函数f (x )在[0，π]上的图象．解 (1)周期T ＝2πω＝π，∴ω＝2，∵f ⎝⎛⎭⎫π4＝cos ⎝⎛⎭⎫2×π4＋φ＝cos ⎝⎛⎭⎫π2＋φ＝－sin φ＝32， ∵－π2＜φ＜0，∴φ＝－π3.(2)由(1)知f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3，列表如下：2x －π3 －π3 0 π2 π 32π 53πx 0 π6 512π 23π 1112π πf (x ) 12 1 0 －1 0 12图象如图：【训练1】已知函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π4，x ∈R .(1)画出函数f (x )在长度为一个周期的闭区间上的简图；(2)将函数y ＝sin x 的图象作怎样的变换可得到f (x )的图象？解 (1)列表取值：xπ232π 52π 72π 92π 12x －π4 0 π2π 32π 2π f (x ) 0 3 0－3(2)先把y ＝sin x 的图象向右平移π4个单位，然后把所有的点的横坐标扩大为原来的2倍，再把所有点的纵坐标扩大为原来的3倍，得到f (x )的图象．考向二求函数y ＝A sin(ωx ＋ϕ)+B 的解析式【例2】►已知函数f (x )=A sin(ωx ＋ϕ)+B （A ＞0，ω＞0）的图象如图所示，则f (x )的解析式为_______．答案：.()2sin 363f x x ππ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭【训练2】（1）若函数f (x )＝A sin(ωx ＋ϕ)(A ＞0，|ϕ|＜π2，ω＞0)的图象的一部分如图所示．则f (x )的解析式为_______．（2）已知f （x ）=2sin （ωx+φ）的部分图象如图所示，则f （x ）的表达式为 A ． B ．C ．D ．解 (1) f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. （2）答案：.B考向三函数y ＝A sin(ωx ＋ϕ)的图象与性质的综合应用【例3】►已知函数的部分图象如图所示：（1）求f （x ）的解析式；（2）求f （x ）的单调区间和对称中心坐标；（3）将f （x ）的图象向左平移个单位，在将横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，最后将图象向上平移1个单位，得到函数g （x ）的图象，求函数y=g （x ）在上的最大值和最小值．【解答】解：（1）由图象可知，又由于，所以，由图象及五点法作图可知：，所以，所以．（2）由（1）知，，令，得，所以f （x ）的单调递增区间为，令，得，所以f （x ）的对称中心的坐标为．（3）由已知的图象变换过程可得：，因为，所以，所以当，得时，g （x ）取得最小值，当时，即x=0g （x ）取得最小值．【训练3】已知函数y ＝A sin(ωx ＋ϕ)(A ＞0，ω＞0)的图象过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，0，图象上与点P 最近的一个最高点是Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，5.(1)求函数的解析式；(2)求函数f (x )的递增区间．解 (1)依题意得：A ＝5，周期T ＝4⎝⎛⎭⎫π3－π12＝π，∴ω＝2ππ＝2.故y ＝5sin(2x ＋φ)，又图象过点P ⎝⎛⎭⎫π12，0， ∴5sin ⎝⎛⎭⎫π6＋φ＝0，由已知可得π6＋φ＝0，∴φ＝－π6 ∴y ＝5sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6.(2)由－π2＋2k π≤2x －π6≤π2＋2k π，k ∈Z ，得：－π6＋k π≤x ≤π3＋k π，k ∈Z ，故函数f (x )的递增区间为：⎣⎡⎦⎤k π－π6，k π＋π3(k ∈Z )．A 组专项基础训练一、选择题1．将函数()πsin 23f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向左平移π6个单位,所得的图象对应的函数解析式是 A. sin2y x = B. cos2y x = C. 2πsin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ D. πsin 26y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 【答案】C2、将函数cos 3y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象向左平移6π个单位，再各点横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得函数解析式是（）A. )621cos(π-=x y B. )1221cos(π-=x y C. )62cos(π-=x y D. )32cos(π-=x y 【答案】A3、若函数()sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭图象的横坐标伸长到原来的2倍, 纵坐标不变,再向左平移6π得到函数()g x 的图象，则有（）A. ()cos g x x =B. ()sin g x x =C. ()cos 3g x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭D. ()sin 3g x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭【答案】A 【解析】26sin 2sin sin cos 332y x y x y x x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+→=+→=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭左移横坐标变为倍.4、为了得到函数1y 3sin 25x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象，只要把13sin 2y x =上所有点（）A. 向右平移5π个单位长度 B. 向左平移5π个单位长度 C. 向右平移25π个单位长度 D. 向左平移25π个单位长度【答案】C5、若函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)，x ∈R (其中ω>0，|φ|<π2)的最小正周期是π，且f (0)＝3，则( )A ．ω＝12，φ＝π6B ．ω＝12，φ＝π3C ．ω＝2，φ＝π6D ．ω＝2，φ＝π3答案 D 解析 ∵T ＝π，∴ω＝2.又2sin φ＝3，|φ|<π2，∴φ＝π3.6、函数()sin()02f x A wx A ϕϕ=+π其中＞，＜）的图像如图所示，为得到x x g 3sin )(=的图像，则只要将)(x f 的图象（）A ．向右平移4π个单位B ．向右平移12π个单位C ．向左平移4π个单位D ．向左平移12π个单位答案 B7、将函数y ＝sin(x ＋φ)的图像F 向左平移π6个单位长度后得到图像F ′，若F ′的一个对称中心为⎝⎛⎭⎫π4，0，则φ的一个可能取值是 ( ) A.π12 B.π6 C.5π6 D.7π12答案 D 解析图像F ′对应的函数y ′＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＋φ，则π4＋π6＋φ＝k π，k ∈Z ，即φ＝k π－5π12，k ∈Z ，令k ＝1时，φ＝7π12，故选D. 8、将函数y ＝sin x 的图像向左平移φ (0≤φ<2π)个单位后，得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π6的图像，则φ等于( ) A.π6B.5π6C.7π6D.11π6答案 D 解析将函数y ＝sin x 向左平移φ(0≤φ<2π)个单位得到函数y ＝sin(x ＋φ)．只有φ＝116π时有y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋116π＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π6. 二、填空题(每小题5分) 1、将函数()3sin 46f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移6π个单位长度，得到函数g(x)的图象，则g(x)的解析式为。

正弦型函数y=Asin(wx+ψ)精选习题

正弦型函数sin()y A x ωϕ=+精选习题一、选择题1．已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(其中ω＞0，|φ|＜π2)的最小正周期是π，且f (0)＝3，则( )．A ．ω＝12，φ＝π6B ．ω＝12，φ＝π3C ．ω＝2，φ＝π6D ．ω＝2，φ＝π31.答案：D2．为了得到函数y ＝sin(2x －π3)的图象，只需把函数y ＝sin(2x ＋π6)的图象( )A ．向左平移π4个长度单位B ．向右平移π4个长度单位C ．向左平移π2个长度单位D ．向右平移π2个长度单位2.【解析】：y ＝sin(2x －π3)＝sin[2(x －π4)＋π6]，所以只要把y ＝sin(2x ＋π6)的图象向右平移π4个长度单位，就可得到y ＝sin(2x －π3)的图象．答案：B3．函数 f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(其中A >0，|φ|<π2)的图象如图所示，为了得到g (x )＝cos2x的图象，则只要将 f (x )的图象( )A ．向右平移π6个单位长度B ．向右平移π12个单位长度C ．向左平移π6个单位长度D ．向左平移π12个单位长度3.【解析】：如图，T 4＝7π12－π3＝π4，T ＝π，ω＝2，又2×π3＋φ＝π，φ＝π3，从而 f (x )＝A sin(2x ＋π3)，显然选D.答案：D4．要得到函数y ＝3cos x 的图象，只需将函数y ＝3sin(2x －π6)的图象上所有点的( )A ．横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，所得图象再向左平移π12个单位长度B ．横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，所得图象再向右平移π6个单位长度C ．横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象再向左平移2π3个单位长度D ．横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象再向右平移π6个单位长度4.【解析】：将函数y ＝3sin(2x －π6)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，可得函数y ＝3sin(x －π6)的图象，再向左平移2π3个单位长度，可得函数y ＝3sin(x －π6＋2π3)＝3sin(x ＋π2)＝3cos x 的图象．答案：C5.已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(x∈R，A>0，ω>0，|φ|<π2)的图象(部分)如图所示，则f(x)的解析式是( ) (A)f(x)＝2sin(πx＋π6)(x∈R)(B)f(x)＝2sin(2πx＋π6)(x∈R )(C)f(x)＝2sin(πx ＋π3)(x∈R)(D)f(x)＝2sin(2πx ＋π3)(x∈R)5.【解析】选A.从图象上可看出A ＝2，T 4＝56－13＝12，∴T ＝2，ω＝2πT ＝2π2＝π.∴f(x)＝2sin(πx ＋φ). 又∵图象过点(13，2)，∴2＝2sin(π3＋φ)，∴π3＋φ＝2k π＋π2，k ∈Z ，又∵|φ|<π2，∴φ＝π6，故f(x)＝2sin(πx ＋π6).(x ∈R)6.已知函数f(x)＝3sin(2x ＋π2)，x∈R，则下列结论中正确的是( ) (A)f(x)是最小正周期为π的奇函数 (B)x ＝π3是函数f(x)图象的一条对称轴(C)f(x)的一个对称中心是(－π2，0)(D)将函数y ＝3sin2x 的图象向左平移π4个单位得到函数f(x)的图象 6.【解析】先应用三角函数的诱导公式化简三角函数式.【解析】选D.f(x)＝3sin(2x ＋π2)＝3cos2x ，故A 、B 、C 均不正确.7.将函数f (x )＝sin ωx (其中ω＞0)的图象向右平移π4个单位长度，所得图象经过点⎝⎛⎭⎫3π4，0，则ω的最小值是( )．A ．13B ．1C ．53D ．27.解析：f (x )＝sin ωx 的图象向右平移π4个单位长度得：y ＝sin ⎣⎡⎦⎤ω⎝⎛⎭⎫x －π4. 又所得图象过点⎝⎛⎭⎫3π4，0，∴sin ⎣⎡⎦⎤ω⎝⎛⎭⎫3π4－π4＝0.∴sin ωπ2＝0. ∴ωπ2＝k π(k ∈Z )．∴ω＝2k (k ∈Z )． ∵ω＞0，∴ω的最小值为2. 答案：D8．已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)，x ∈R ，其中ω＞0，－π＜φ≤π.若f (x )的最小正周期为6π，且当x ＝π2时，f (x )取得最大值，则( )A ．f (x )在区间[－2π，0]上是增函数B ．f (x )在区间[－3π，－π]上是增函数C ．f (x )在区间[3π，5π]上是减函数D ．f (x )在区间[4π，6π]上是减函数8．解析：∵2πω＝6π，∴ω＝13.又∵13×π2＋φ＝2k π＋π2，k ∈Z 且－π<φ≤π，∴当k ＝0时，φ＝π3，f (x )＝2sin(13x ＋π3)，要使f (x )递增，须有2k π－π2≤13x ＋π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，解之得6k π－5π2≤x ≤6k π＋π2，k ∈Z ，当k ＝0时，－52π≤x ≤π2，∴f (x )在[－52π，π2]上递增．答案：A二、填空题9．已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋n 的最大值为4，最小值是0，最小正周期是π2，直线x＝π3是其图象的一条对称轴，若A >0，ω>0,0<φ<π2，则函数解析式为________． 9.【解析】：由题设得，A ＝2，n ＝2，ω＝4，且当x ＝π3时，sin(43π＋φ)＝±1，故φ＝π6.所求解析式为y ＝2sin(4x ＋π6)＋2.答案：y ＝2sin(4x ＋π6)＋210．已知函数 f (x )＝3sin(ωx －π6)(ω>0)和g (x )＝2cos(2x ＋φ)＋1的图象的对称轴完全相同．若x ∈[0，π2]，则 f (x )的取值范围是__________ .10【解析】： f (x )＝3sin(ωx －π6)(ω>0)的对称轴和g (x )＝2cos(2x ＋φ)＋1的图象的对称轴完全相同，则ω＝2， f (x )＝3sin(2x －π6)，x ∈[0，π2]时，2x －π6∈[－π6，5π6]， f (x )∈[－32，3]．答案：[－32，3]11.若两个函数的图象只经过若干次平移后就能够重合，则称这两个函数为“同形”函数.给出下列函数：①f 1(x)＝sinx ＋cosx ，②f 2(x)＝sinx ，③f 3(x)＝2sinx ＋2，④f 4(x)＝2(sinx ＋cosx)，其中“同形”函数有 .(填序号) 11.【解析】∵f 1(x)＝sinx ＋cosx ＝2sin(x ＋π4)，f 2(x)＝sinx ， f 3(x)＝2sinx ＋2，f 4(x)＝2(sinx ＋cosx)＝2sin(x ＋π4)，()241f x y 2sinx y 2sinx 2π∴−−−−−−→=−−−−−−→=+向右平移个单位向上平移个单位，∴①③为“同形”函数. 答案：①③12.(2012·烟台模拟)已知函数f(x)＝2sin(2x ＋π3)，且f(α)＝f(β)＝0(α≠β)，则|α－β|的最小值为 .12.【解析】由题意知α、β是函数y ＝f(x)图象与x 轴交点的横坐标. 【解析】f(x)＝2sin(2x ＋π3)的最小正周期T ＝π.α、β是函数y ＝f(x)的图象与x 轴交点的横坐标，且α≠β，∴|α－β|的最小值为π2.答案：π2三、解答题13．已知函数 f (x )＝sin(π－ωx )cos ωx ＋cos 2ωx (ω>0)的最小正周期为π.(1)求ω的值；(2)将函数 y ＝f (x )的图象上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，得到函数 y＝g (x )的图象，求函数g (x )在区间[0，π16]上的最小值．13【解析】解：(1) f (x )＝sin(π－ωx )cos ωx ＋cos 2ωx ＝sin ωx cos ωx ＋1＋cos2ωx2＝12sin2ωx ＋12cos2ωx ＋12 ＝22sin(2ωx ＋π4)＋12. 由于ω>0，依题意得2π2ω＝π，所以ω＝1.(2)由(1)知 f (x )＝22sin(2x ＋π4)＋12，所以g (x )＝ f (2x )＝22sin(4x ＋π4)＋12. 当0≤x ≤π16时，π4≤4x ＋π4≤π2，所以22≤sin(4x ＋π4)≤1.因此1≤g (x )≤1＋22. 故g (x )在区间[0，π16]上的最小值为1.14．(2010～2011年河北省正定中学高三第一次月考)已知函数 f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π2，x ∈R )的图象的一部分如图所示．(1)求函数 f (x )的解析式；(2)当x ∈[－6，－23]时，求函数y ＝ f (x )＋ f (x ＋2)的最大值与最小值及相应的x 的值．14【解析】解：(1)由图象知A ＝2. T ＝8，∵T ＝2πω＝8，∴ω＝π4，又图象经过点(－1,0)∴2sin(－π4＋φ)＝0，∵|φ|<π2∴φ＝π4，∴ f (x )＝2sin(π4x ＋π4)，(2)y ＝ f (x )＋ f (x ＋2)＝2sin((π4x ＋π4)＋2sin(π4x ＋π2＋π4)＝2sin(π4x ＋π4)＋2cos(π4x ＋π4)，＝22sin(π4x ＋π2)＝22cos π4x ，∵x ∈[－6，－23]，∴－3π2≤π4x ≤－π6，∴当π4x ＝－π6即x ＝－23时，最大值为6，当π4x ＝－π，即x ＝－4时，最小值为－2 2.15.已知函数f(x)＝2sin(2x －π4)＋1.(1)求f(x)的振幅、最小正周期、初相； (2)画出函数y ＝f(x)在[－π2，π2]上的图象. 15.【解析】直接根据已知得出振幅、周期、初相，利用五点作图法画出图象. 【解析】(1)f(x)＝2sin(2x －π4)＋1的振幅为2，最小正周期T ＝2π2＝π，初相为－π4.(2)列表并描点画出图象：x－π2－3π8－π8π8 3π8 π2 y 2 1 1－ 211＋ 22故函数y ＝f(x)在区间[－π2，π2]上的图象是16．已知函数f (x )＝2a cos 2x ＋b sin x cos x －32，且f (0)＝32，f (π4)＝12. (1)求f (x )的最小正周期； (2)求f (x )的单调递减区间；(3)函数f (x )的图象经过怎样的平移才能使所得图象对应的函数成为奇函数？16【解析】．解：(1)由f (0)＝32，得2a －32＝32， ∴2a ＝3，则a ＝32，由f (π4)＝12，得32＋b 2－32＝12，∴b ＝1. ∴f (x )＝3cos 2x ＋sin x cos x －32＝32cos 2x ＋12sin 2x ＝sin(2x ＋π3)， ∴函数f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.(2)由π2＋2k π≤2x ＋π3≤32π＋2k π，得π12＋k π≤x ≤712π＋k π， ∴f (x )的单调递减区间是[π12＋k π，712π＋k π](k ∈Z)．(3)∵f (x )＝sin2(x ＋π6)，∴奇函数y ＝sin2x 的图象左移π6，即得到f (x )的图象．故函数f (x )的图象右移π6个单位后对应的函数成为奇函数．。

函数y=Asin(ωx+ψ)的图像与性质

函数y ＝Asin(ωx＋φ)的图象与性质1.用五点法画y ＝A sin(ωx ＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示.x －φω－φω＋π2ωπ－φω3π2ω－φω 2π－φωωx ＋φ 0 π2π 3π2 2π y ＝A sin(ωx ＋φ)A－A2.函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的有关概念y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)，x ∈[0，＋∞)表示一个振动量时振幅周期频率相位初相A T ＝2πω f ＝1T ＝ω2πωx ＋φ φ3.函数y ＝sin x 的图象经变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的两种途径强化训练1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)将函数y ＝3sin 2x 的图象左移π4个单位长度后所得图象的解析式是y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4.( )(2)利用图象变换作图时“先平移，后伸缩”与“先伸缩，后平移”中平移的长度一致.( )(3)函数y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为T ，那么函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为T2.( )(4)由图象求解析式时，振幅A 的大小是由一个周期内图象中最高点的值与最低点的值确定的.( )2.(必修4P56T3改编)y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π3的振幅、频率和初相分别为( )A.2，4π，π3B.2，14π，π3C.2，14π，－π3D.2，4π，－π33.(必修4P62例4改编)某地农业监测部门统计发现：该地区近几年的生猪收购价格每四个月会重复出现.下表是今年前四个月的统计情况：月份x 1 2 3 4 收购价格y (元/斤)6765选用一个正弦型函数来近似描述收购价格(元/斤)与相应月份之间的函数关系为________________________.4.(2019·北京通州区模拟)函数y ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的部分图象是( )5.(2016·全国Ⅰ卷)若将函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象向右平移14个周期后，所得图象对应的函数为( ) A.y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4 B.y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3 C.y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4 D.y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π36.(2018·济南模拟改编)y ＝cos(x ＋1)图象上相邻的最高点和最低点之间的距离是________.考点一函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及变换【例1】某同学用“五点法”画函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ) ⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：(1)请将上表数据补充完整，并直接写出函数f (x )的解析式；(2)将y ＝f (x )图象上所有点向左平行移动θ(θ>0)个单位长度，得到y ＝g (x )的图象.若y ＝g (x )图象的一个对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12，0，求θ的最小值.【训练1】 (1)(2017·全国Ⅰ卷)已知曲线C 1：y ＝cos x ，C 2：y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3，则下面结论正确的是( ) A.把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2B.把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2C.把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2D.把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2(2)(2018·青岛调研)若把函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6的图象向左平移π3个单位长度，所得到的图象与函数y ＝cos ωx 的图象重合，则ω的一个可能取值是( )A.2B.32C.23D.12考点二求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式【例2】 (1)(一题多解)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π)的部分图象如图所示，则函数f (x )的解析式为________.(2)(2019·长郡中学、衡阳八中联考)函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，已知A ⎝⎛⎭⎪⎫5π12，1，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π12，－1，则f (x )图象的对称中心为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2＋5π6，0(k ∈Z)B.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋5π6，0(k ∈Z)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2＋π6，0(k ∈Z)D.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π6，0(k ∈Z)【训练2】 (1)(2019·衡水中学一模)已知函数f (x )＝－2cos ωx (ω>0)的图象向左平移φ⎝ ⎛⎭⎪⎫0<φ<π2个单位，所得的部分函数图象如图所示，则φ的值为( )A.π6 B.5π6 C.π12 D.5π12(2)(2019·山东省重点中学质检)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫A >0，|φ|<π2，ω>0的图象的一部分如图所示，则f (x )图象的对称轴方程是________.考点三 y ＝A sin(ωx ＋φ)图象与性质的应用角度1 三角函数模型的应用【例3－1】如图，某大风车的半径为2米，每12秒旋转一周，它的最低点O 离地面1米，点O 在地面上的射影为A .风车圆周上一点M 从最低点O 开始，逆时针方向旋转40秒后到达P 点，则点P 到地面的距离是________米.角度2 三角函数性质与图象的综合应用【例3－2】已知函数f (x )＝2sin ωx cos ωx ＋23sin 2ωx －3(ω>0)的最小正周期为π. (1)求函数f (x )的单调递增区间；(2)将函数f (x )的图象向左平移π6个单位，再向上平移1个单位，得到函数y ＝g (x )的图象，若y ＝g (x )在[0，b ](b >0)上至少含有10个零点，求b 的最小值.【训练3】 (1)某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用函数y ＝a ＋A cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6（x －6）(x ＝1，2，3，…，12)来表示，已知6月份的月平均气温最高为28 ℃，12月份的月平均气温最低为18 ℃，则10月份的平均气温为________℃.(2)已知函数f (x )＝5sin x cos x －53cos 2x ＋523(其中x ∈R)，求：①函数f (x )的最小正周期； ②函数f (x )的单调区间； ③函数f (x )图象的对称轴和对称中心.类型1 三角函数的周期T 与ω的关系【例1】为了使函数y ＝sin ωx (ω>0)在区间[0，1]上至少出现50次最大值，则ω的最小值为( ) A.98π B.1972π C.1992π D.100π类型2 三角函数的单调性与ω的关系【例2】若函数f (x )＝sin ωx (ω>0)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2上单调递减，则ω的取值范围是( )A.0≤ω≤23B.0≤ω≤32C.23≤ω≤3D.32≤ω≤3类型3 三角函数对称性、最值与ω的关系【例3】 (1)(2019·枣庄模拟)已知f (x )＝sin ωx －cos ωx ⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>23，若函数f (x )图象的任何一条对称轴与x 轴交点的横坐标都不属于区间(π，2π)，则ω的取值范围是________.(结果用区间表示)(2)已知函数f (x )＝2sin ωx 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上的最小值为－2，则ω的取值范围是________.【基础巩固题组】一、选择题1.函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，则( )A.y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6B.y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3C.y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6D.y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3 2.(2019·杭州期中)将函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋φ2·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋φ2的图象沿x 轴向左平移π8个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的取值不可能是( )A.－3π4B.－π4C.π4D.5π43.(2019·咸阳模拟)已知点P (32，－332)是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(ω>0)图象上的一个最低点，M ，N 是与点P 相邻的两个最高点，若∠MPN ＝60°，则该函数的最小正周期是( ) A.3 B.4 C.5 D.64.(2018·天津卷)将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π5的图象向右平移π10个单位长度，所得图象对应的函数( )A.在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上单调递增B.在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，0上单调递减C.在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2上单调递增D.在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π上单调递减5.(2019·张家界模拟)将函数f (x )＝3sin 2x －cos 2x 的图象向左平移t (t >0)个单位后，得到函数g (x )的图象，若g (x )＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12－x ，则实数t 的最小值为( )A.5π24B.7π24C.5π12D.7π12二、填空题6.将函数y ＝sin x 的图象上所有的点向右平移π10个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式是________________.7.(2018·沈阳质检)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，0<φ<π)的部分图象如图所示，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝________.8.已知f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3(ω>0)，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，且f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π3上有最小值，无最大值，则ω＝____________________________________.三、解答题9.某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t (单位：h)的变化近似满足函数关系：f (t )＝10－3cos π12t －sin π12t ，t ∈[0，24). (1)求实验室这一天上午8时的温度； (2)求实验室这一天的最大温差.10.已知函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，－π2≤φ＜π2的图象关于直线x ＝π3对称，且图象上相邻最高点的距离为π.(1)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4的值； (2)将函数y ＝f (x )的图象向右平移π12个单位后，得到y ＝g (x )的图象，求g (x )的单调递减区间.11.(2019·天津和平区调研)已知x ＝π12是函数f (x )＝3sin(2x ＋φ)＋cos(2x ＋φ)(0<φ<π)图象的一条对称轴，将函数f (x )的图象向右平移3π4个单位长度后得到函数g (x )的图象，则函数g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π6上的最小值为( )A.－2B.－1C.－ 2D.－ 312.函数f (x )＝220sin 100πx －220sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫100πx ＋2π3，且已知对任意x ∈R，有f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)恒成立，则|x 2－x 1|的最小值为( ) A.50π B.1100π C.1100D.44013.(2019·广东省际名校联考)将函数f (x )＝1－23·cos 2x －(sin x －cos x )2的图象向左平移π3个单位，得到函数y ＝g (x )的图象，若x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2，则函数g (x )的单调递增区间是________.14.已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2)的部分图象如图所示.(1)求函数f (x )的解析式；(2)将函数y ＝f (x )的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来的12倍，再把所得的函数图象向左平移π6个单位长度，得到函数y ＝g (x )的图象，求函数g (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π8上的最小值.15.(多填题)已知函数f (x )＝23sinωx2cosωx2＋2cos2ωx2－1(ω>0)的最小正周期为π，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，方程f (x )＝m 恰有两个不同的实数解x 1，x 2，则x 1＋x 2＝________，f (x 1＋x 2)＝________.答案 1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) 【答案】 (1)× (2)× (3)√ (4)√【解析】 (1)将函数y ＝3sin 2x 的图象向左平移π4个单位长度后所得图象的解析式是y ＝3cos 2x .(2)“先平移，后伸缩”的平移单位长度为|φ|，而“先伸缩，后平移”的平移单位长度为⎪⎪⎪⎪⎪⎪φω.故当ω≠1时平移的长度不相等.2. 【答案】 C【解析】由题意知A ＝2，f ＝1T ＝ω2π＝14π，初相为－π3.3. 【答案】 y ＝6－cos π2x【解析】设y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B (A >0，ω>0)，由题意得A ＝1，B ＝6，T ＝4，因为T ＝2πω，所以ω＝π2，所以y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x ＋φ＋6.因为当x ＝2时，y ＝7，所以sin(π＋φ)＋6＝7，即sin φ＝－1，则φ＝－π2＋2k π(k ∈Z)，可取φ＝－π2. 所以y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x －π2＋6＝6－cos π2x .4. 【答案】 A【解析】由y ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6可知，函数的最大值为2，故排除D ；又因为函数图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0，故排除B ；又因为函数图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12，2，故排除C. 5. 【答案】 D【解析】函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的周期为π，将函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象向右平移14个周期即π4个单位，所得函数为y ＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＋π6＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，故选D. 6. 【答案】π2＋4【解析】相邻最高点与最低点的纵坐标之差为2，横坐标之差恰为半个周期π，故它们之间的距离为π2＋4.【例1】【答案】见解析【解析】(1)根据表中已知数据，解得A ＝5，ω＝2，φ＝－π6.数据补全如下表：且函数解析式为f (x )＝5sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6. (2)由(1)知f (x )＝5sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6，得g (x )＝5sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋2θ－π6. 因为函数y ＝sin x 图象的对称中心为(k π，0)(k ∈Z).令2x ＋2θ－π6＝k π，k ∈Z，解得x ＝k π2＋π12－θ(k ∈Z). 由于函数y ＝g (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎪⎫5π12，0成中心对称，所以令k π2＋π12－θ＝5π12(k ∈Z)，解得θ＝k π2－π3(k ∈Z). 由θ>0可知，当k ＝1时，θ取得最小值π6. 【训练1】【答案】 (1)D (2)A【解析】 (1)易知C 1：y ＝cos x ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2，把曲线C 1上的各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2的图象，再把所得函数的图象向左平移π12个单位长度，可得函数y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12＋π2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3的图象，即曲线C 2，因此D 项正确. (2)y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋ω3π－π6和函数y ＝cos ωx 的图象重合，可得ω3π－π6＝π2＋2k π，k ∈Z，则ω＝6k ＋2，k ∈Z.∴2是ω的一个可能值.【例2】【答案】 (1)f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3 (2)C 【解析】 (1)由题图可知A ＝2，法一 T 4＝7π12－π3＝π4，所以T ＝π，故ω＝2，因此f (x )＝2sin(2x ＋φ)，又⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0对应五点法作图中的第三个点，因此2×π3＋φ＝π＋2k π(k ∈Z)，所以φ＝π3＋2k π(k ∈Z).又|φ|<π2，所以φ＝π3.故f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.法二以⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0为第二个“零点”，⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12，－2为最小值点，列方程组⎩⎪⎨⎪⎧ω·π3＋φ＝π，ω·7π12＋φ＝3π2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ω＝2，φ＝π3，故f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.(2)T ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫11π12－5π12＝π＝2πω，∴ω＝2，因此f (x )＝sin(2x ＋φ).由五点作图法知A ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12，1是第二点，得2×5π12＋φ＝π2，2×5π12＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z)，所以φ＝－π3＋2k π(k ∈Z)，又|φ|<π2，所以φ＝－π3，∴f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3.由2x －π3＝k π(k ∈Z)，得x ＝k π2＋π6(k ∈Z).∴f (x )图象的对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2＋π6，0(k ∈Z).【训练2】【答案】 (1)C (2)x ＝k π2＋π6(k ∈Z)【解析】 (1)由题图知，T ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫11π12－5π12＝π，∴ω＝2πT ＝2，∴f (x )＝－2cos 2x ，∴f (x ＋φ)＝－2cos(2x ＋2φ)，则由图象知，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫512π＋φ＝－2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫56π＋2φ＝2.∴5π6＋2φ＝2k π＋π(k ∈Z)，则φ＝π12＋k π(k ∈Z).又0<φ<π2，所以φ＝π12.(2)由图象知A ＝2，又1＝2sin(ω×0＋φ)，即sin φ＝12，又|φ|<π2，∴φ＝π6. 又11π12×ω＋π6＝2π，∴ω＝2， ∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，令2x ＋π6＝π2＋k π(k ∈Z)，得x ＝k π2＋π6(k ∈Z). ∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的对称轴方程为x ＝k π2＋π6(k ∈Z). 【例3－1】【答案】 4【解析】以圆心O 1为原点，以水平方向为x 轴方向，以竖直方向为y 轴方向建立平面直角坐标系，则根据大风车的半径为2米，圆上最低点O 离地面1米，12秒转动一周，设∠OO 1P ＝θ，运动t (秒)后与地面的距离为f (t )，又周期T ＝12，所以θ＝π6t ，则f (t )＝3＋2sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π2＝3－2cos π6t (t ≥0)，当t ＝40 s 时，f (t )＝3－2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6×40＝4. 【例3－2】【答案】见解析【解析】(1)f (x )＝2sin ωx cos ωx ＋3(2sin 2ωx －1)＝sin 2ωx －3cos 2ωx ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx －π3. 由最小正周期为π，得ω＝1，所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3，由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2(k ∈Z)，整理得k π－π12≤x ≤k π＋5π12(k ∈Z)，所以函数f (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z). (2)将函数f (x )的图象向左平移π6个单位，再向上平移1个单位，得到y ＝2sin 2x ＋1的图象；所以g (x )＝2sin 2x ＋1.令g (x )＝0，得x ＝k π＋7π12或x ＝k π＋11π12(k ∈Z)，所以在[0，π]上恰好有两个零点，若y ＝g (x )在[0，b ]上有10个零点，则b 不小于第10个零点的横坐标即可.所以b 的最小值为4π＋11π12＝59π12. 【训练3】【答案】 20.5【解析】因为当x ＝6时，y ＝a ＋A ＝28；当x ＝12时，y ＝a －A ＝18，所以a ＝23，A ＝5，所以y ＝f (x )＝23＋5cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6（x －6），所以当x ＝10时，f (10)＝23＋5cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6×4 ＝23－5×12＝20.5. 【答案】见解析【解析】①因为f (x )＝52sin 2x －532(1＋cos 2x )＋532＝5(12sin 2x －32cos 2x )＝5sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3，所以函数的最小正周期T ＝2π2＝π. ②由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2(k ∈Z)，得k π－π12≤x ≤k π＋5π12(k ∈Z)，所以函数f (x )的递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z). 由2k π＋π2≤2x －π3≤2k π＋3π2(k ∈Z)，得k π＋5π12≤x ≤k π＋11π12(k ∈Z)，所以函数f (x )的递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋5π12，k π＋11π12(k ∈Z). ③由2x －π3＝k π＋π2(k ∈Z)，得x ＝k π2＋5π12(k ∈Z)，所以函数f (x )的对称轴方程为x ＝k π2＋5π12(k ∈Z).由2x －π3＝k π(k ∈Z)，得x ＝k π2＋π6(k ∈Z)，所以函数f (x )的对称中心为⎝⎛⎭⎪⎫k π2＋π6，0(k ∈Z). 【例1】【答案】 B【解析】由题意，至少出现50次最大值即至少需用4914个周期，所以1974T ＝1974·2πω≤1，所以ω≥1972π.【例2】【答案】 D【解析】令π2＋2k π≤ωx ≤32π＋2k π(k ∈Z)，得π2ω＋2k πω≤x ≤3π2ω＋2k πω，因为f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2上单调递减，所以⎩⎪⎨⎪⎧π2ω＋2k πω≤π3，π2≤3π2ω＋2k πω，得6k ＋32≤ω≤4k ＋3. 又ω>0，所以k ≥0，又6k ＋32<4k ＋3，得0≤k <34，所以k ＝0. 故32≤ω≤3. 【例3】【答案】 (1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，78 (2)⎩⎨⎧⎭⎬⎫ω|ω≤－2或ω≥32 【解析】 (1)f (x )＝sin ωx －cos ωx ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －π4，令ωx －π4＝π2＋k π(k ∈Z)，解得x ＝3π4ω＋k πω(k ∈Z). 当k ＝0时，3π4ω≤π，即34≤ω，当k ＝1时，3π4ω＋πω≥2π，即ω≤78. 综上，34≤ω≤78. (2)显然ω≠0，分两种情况：若ω>0，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4时，－π3ω≤ωx ≤π4ω. 因函数f (x )＝2sin ωx 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上的最小值为－2，所以－π3ω≤－π2，解得ω≥32. 若ω<0，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4时，π4ω≤ωx ≤－π3ω，因函数f (x )＝2sin ωx 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上的最小值为－2，所以π4ω≤－π2，解得ω≤－2. 综上所述，符合条件的实数ω≤－2或ω≥32. 【基础巩固题组】1. 【答案】 A【解析】由题图可知，A ＝2，T ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝π，所以ω＝2，由五点作图法知2×π3＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z)，所以φ＝－π6，所以函数的解析式为y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6. 2. 【答案】 B【解析】将y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋φ2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋φ2＝12sin(2x ＋φ)的图象向左平移π8个单位后得到的图象对应的函数为y ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋φ，由题意得π4＋φ＝k π＋π2(k ∈Z)，∴φ＝k π＋π4(k ∈Z)，当k ＝－1，0，1时，φ的值分别为－3π4，π4，5π4，φ的取值不可能是－π4. 3. 【答案】 D【解析】由P 是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(ω>0)图象上的一个最低点，M ，N 是与P 相邻的两个最高点，知|MP |＝|NP |，又∠MPN ＝60°，所以△MPN 为等边三角形.由P (32，－332)，得|MN |＝2×3323×2＝6. ∴该函数的最小正周期T ＝6.4. 【答案】 A【解析】 y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π5＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π10，将其图象向右平移π10个单位长度，得到函数y ＝sin 2x 的图象.由2k π－π2≤2x ≤2k π＋π2，k ∈Z，得k π－π4≤x ≤k π＋π4，k ∈Z.令k ＝0，可知函数y ＝sin 2x 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上单调递增. 5. 【答案】 B【解析】由题意得，f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6，则g (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋2t －π6，从而2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2t －π6＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫π12－x ＋2t －π6＝－2sin(2x －2t )＝2sin(2x －2t ＋π)，又t >0，所以当2t －π6＝－2t ＋π＋2k π(k ∈Z)时，即t ＝7π24＋k π2(k ∈Z)，实数t min ＝724π.6. 【答案】 y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π10―————————―→横坐标伸长到原来的2倍y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π10.7. 【答案】 3【解析】由图象可知A ＝2，34T ＝11π12－π6＝3π4，∴T ＝π，∴ω＝2.∵当x ＝π6时，函数f (x )取得最大值，∴2×π6＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z)，∴φ＝π6＋2k π(k ∈Z)，∵0<φ<π，∴φ＝π6，∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋π6＝2cos π6＝ 3.8. 【答案】 143【解析】依题意，x ＝π6＋π32＝π4时，y 有最小值，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4·ω＋π3＝－1，∴π4ω＋π3＝2k π＋3π2 (k ∈Z).∴ω＝8k ＋143 (k ∈Z)，因为f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π3上有最小值，无最大值，所以π3－π4≤πω，即ω≤12，令k ＝0，得ω＝143. 9. 【答案】见解析【解析】(1)f (8)＝10－3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12×8－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12×8 ＝10－3cos 2π3－sin 2π3＝10－3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－32＝10. 故实验室上午8时的温度为10 ℃.(2)因为f (t )＝10－2(32cos π12t ＋12sin π12t ) ＝10－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3，又0≤t <24，所以π3≤π12t ＋π3<7π3，－1≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3≤1. 当t ＝2时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3＝1；当t ＝14时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3＝－1. 于是f (t )在[0，24)上取得最大值12，取得最小值8.故实验室这一天的最高温度为12 ℃，最低温度为8 ℃，最大温差为4 ℃.10. 【答案】见解析【解析】(1)因为f (x )的图象上相邻最高点的距离为π，所以f (x )的最小正周期T ＝π，从而ω＝2πT＝2. 又f (x )的图象关于直线x ＝π3对称，所以2×π3＋φ＝k π＋π2(k ∈Z)，因为－π2≤φ＜π2，所以k ＝0，所以φ＝π2－2π3＝－π6，所以f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2×π4－π6＝3sin π3＝32. (2)将f (x )的图象向右平移π12个单位后，得到f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12的图象，所以g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12＝3sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12－π6＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3. 当2k π＋π2≤2x －π3≤2k π＋3π2(k ∈Z)，即k π＋5π12≤x ≤k π＋11π12(k ∈Z)时，g (x )单调递减. 因此g (x )的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋5π12，k π＋11π12(k ∈Z). 11. 【答案】 B【解析】 ∵x ＝π12是f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋φ图象的一条对称轴，∴π3＋φ＝k π＋π2(k ∈Z)，即φ＝k π＋π6(k ∈Z). ∵0<φ<π，∴φ＝π6，则f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3， ∴g (x )＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π6上的最小值为g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝－1. 12. 【答案】 C【解析】 f (x )＝220sin 100πx －220sin ⎝⎛⎭⎪⎫100πx ＋2π3 ＝220⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin 100πx －⎝⎛⎭⎪⎫sin 100πx ·cos 2π3＋cos 100πx sin 2π3 ＝220⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 100πx ＋12sin 100πx －32cos 100πx ＝2203⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin 100πx －12cos 100πx ＝2203×sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫100πx －π6，则由对任意x ∈R，有f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)恒成立得当x ＝x 2时，f (x )取得最大值，当x ＝x 1时，f (x )取得最小值，所以|x 2－x 1|的最小值为12T ＝12×2π100π＝1100(T 为f (x )的最小正周期)，故选C. 13. 【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π12，π12 【解析】 ∵f (x )＝1－23cos 2 x －(sin x －cos x )2＝sin 2x －3cos 2x －3＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3－3， ∴g (x )＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3－π3－3＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3－3，由－π2＋2k π≤2x ＋π3≤π2＋2k π(k ∈Z)，得－5π12＋k π≤x ≤π12＋k π(k ∈Z)， ∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2， ∴函数g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π12，π12.14. 【答案】见解析【解析】(1)设函数f (x )的最小正周期为T ，由题图可知A ＝1，T 2＝2π3－π6＝π2，即T ＝π，所以π＝2πω，解得ω＝2，所以f (x )＝sin(2x ＋φ)，又过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0，由0＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π6＋φ可得π3＋φ＝2k π(k ∈Z)，则φ＝2k π－π3(k ∈Z)，因为|φ|＜π2，所以φ＝－π3，故函数f (x )的解析式为f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3. (2)根据条件得g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋π3，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π8时，4x ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，5π6，所以当x ＝π8时，g (x )取得最小值，且g (x )min ＝12. 15. 【答案】 π31 【解析】函数f (x )＝23sin ωx 2cos ωx 2＋2cos 2ωx 2－1＝3sin ωx ＋cos ωx ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6. 由T ＝2πω＝π，可得ω＝2，∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6. ∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴π6≤2x ＋π6≤7π6，∴－1≤f (x )≤2. 画出f (x )的图象(图略)，结合图象知x 1＋x 2＝π3，则f (x 1＋x 2)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋π6＝2sin 5π6＝1.。

高考一轮复习：正弦型函数y=Asin(ωx φ)的图象及应用

第4讲正弦型函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及应用【2015年高考会这样考】1．考查正弦型函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象变换．2．结合三角恒等变换考查y ＝A sin(ωx ＋φ)的性质及简单应用． 3．考查y ＝sin x 到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的两种变换途径．【复习指导】本讲复习时，重点掌握正弦型函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的“五点”作图法，图象的三种变换方法，以及利用三角函数的性质解决有关问题．基础梳理1．用五点法画y ＝A sin(ωx ＋φ)一个周期内的简图时，要找五个特征点如下表所示x0－φω π2－φω π－φω 3π2－φω 2π－φω ωx ＋φ 0 π2 π 3π2 2π y ＝A sin(ωx ＋φ)A－A2．函数y ＝sin x 的图象变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的步骤3．当函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，x ∈[0，＋∞))表示一个振动时，A 叫做振幅，T ＝2πω叫做周期，f ＝1T 叫做频率，ωx ＋φ叫做相位，φ叫做初相． 4．图象的对称性函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的图象是轴对称也是中心对称图形，具体如下： (1)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象关于直线x ＝x k (其中 ωx k ＋φ＝k π＋π2，k ∈Z )成轴对称图形．(2)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象关于点(x k,0)(其中ωx k ＋φ＝k π，k ∈Z )成中心对称图形．一种方法在由图象求三角函数解析式时，若最大值为M ，最小值为m ，则A ＝M －m 2，k＝M ＋m 2，ω由周期T 确定，即由2πω＝T 求出，φ由特殊点确定．一个区别由y ＝sin x 的图象变换到y ＝A sin (ωx ＋φ)的图象，两种变换的区别：先相位变换再周期变换(伸缩变换)，平移的量是|φ|个单位；而先周期变换(伸缩变换)再相位变换，平移的量是|φ|ω(ω＞0)个单位．原因在于相位变换和周期变换都是针对x 而言，即x 本身加减多少值，而不是依赖于ωx 加减多少值．两个注意作正弦型函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象时应注意： (1)首先要确定函数的定义域；(2)对于具有周期性的函数，应先求出周期，作图象时只要作出一个周期的图象，就可根据周期性作出整个函数的图象．双基自测1．(人教A 版教材习题改编)y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4 的振幅、频率和初相分别为( )．A ．2，1π，－π4 B ．2，12π，－π4 C ．2，1π，－π8 D ．2，12π，－π8答案 A2.已知简谐运动f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫|φ|＜π2的部分图象如图所示，则该简谐运动的最小正周期T 和初相φ分别为( )．我爱学习网在线学习网分享学习方法励志人生我爱学习网文言文网/wenyanwen/A ．T ＝6π，φ＝π6 B ．T ＝6π，φ＝π3 C ．T ＝6，φ＝π6D ．T ＝6，φ＝π3解析由题图象知T ＝2(4－1)＝6⇒ω＝π3，由图象过点(1,2)且A ＝2，可得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3×1＋φ＝1，又|φ|＜π2，得φ＝π6.答案 C3．函数y ＝cos x (x ∈R )的图象向左平移π2个单位后，得到函数y ＝g (x )的图象，则g (x )的解析式应为( )．A ．－sin xB ．sin xC ．－cos xD ．cos x 解析由图象的平移得g (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝－sin x .答案 A4．设ω＞0，函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3＋2的图象向右平移4π3个单位后与原图象重合，则ω的最小值是( )． A.23 B.43 C.32 D ．3解析 y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3＋2向右平移4π3个单位后得到y 1＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ω⎝ ⎛⎭⎪⎫x －4π3＋π3＋2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3－4π3ω＋2，又y 与y 1的图象重合，则－4π3ω＝2k π(k ∈Z )． ∴ω＝－32k .又ω＞0，k ∈Z ，∴当k ＝－1时，ω取最小值为32，故选C. 答案 C5．(2011·重庆六校联考)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0)的图象如图所示，则ω＝________.解析由题意设函数周期为T ，则T 4＝23π－π3＝π3，故T ＝43π.∴ω＝2πT ＝32. 答案 32考向一作函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象【例1】►设函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，－π2＜φ＜0的最小正周期为π，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝32.(1)求ω和φ的值；(2)在给定坐标系中作出函数f (x )在[0，π]上的图象． [审题视点] (1)由已知条件可求ω，φ；(2)采用“五点法”作图，应注意定义域[0，π]．解 (1)周期T ＝2πω＝π，∴ω＝2，∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π4＋φ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋φ＝－sin φ＝32， ∵－π2＜φ＜0，∴φ＝－π3.(2)由(1)知f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，列表如下：2x －π3－π3π2π32π53π我爱学习网在线学习网分享学习方法励志人生我爱学习网文言文网/wenyanwen/x 0π6 512π 23π 1112π π f (x )121－112图象如图：(1)“五点法”作图的关键是正确确定五个点，而后列表、描点、连线即可．(2)变换法作图象的关键看x 轴上是先平移后伸缩还是先伸缩后平移，对于后者可利用ωx ＋φ＝ω⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋φω来确定平移单位．【训练1】已知函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π4，x ∈R .(1)画出函数f (x )在长度为一个周期的闭区间上的简图； (2)将函数y ＝sin x 的图象作怎样的变换可得到f (x )的图象？解 (1)列表取值：x π2 32π 52π 72π 92π 12x －π4 0 π2 π 32π 2π f (x )3－3描出五个关键点并用光滑曲线连接，得到一个周期的简图．(2)先把y ＝sin x 的图象向右平移π4个单位，然后把所有的点的横坐标扩大为原来的2倍，再把所有点的纵坐标扩大为原来的3倍，得到f (x )的图象．考向二求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式【例2】►(2011·江苏)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ为常数，A ＞0，ω＞0)的部分图象如图所示，则f (0)的值是________．[审题视点] 由最高、最低点确定A ，由周期确定ω，然后由图象过的特殊点确定φ.解析由图可知：A ＝2，T 4＝7π12－π3＝π4，所以T ＝2k π＋π，∴φ＝2k π＋π3，令k ＝0，ω＝2πT ＝2，又函数图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0，所以2×π3＋φ＝π，则φ＝π3，故函数的解析式为f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，所以f (0)＝2sin π3＝62.答案 62解决这类题目一般是先根据函数图象的最高点、最低点确定A ，h 的值，函数的周期确定ω的值，再根据函数图象上的一个特殊点确定φ值．【训练2】已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，|φ|＜π2，ω＞0)的图象的一部分如图所示．(1)求f (x )的表达式； (2)试写出f (x )的对称轴方程．解 (1)观察图象可知：A ＝2且点(0,1)在图象上，∴1＝2sin(ω·0＋φ)，即sin φ＝12.∵|φ|＜π2，∴φ＝π6.又∵1112π是函数的一个零点，且是图象递增穿过x 轴形成的零我爱学习网在线学习网分享学习方法励志人生我爱学习网文言文网/wenyanwen/点，∴11π12ω＋π6＝2π，∴ω＝2. ∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.(2)设2x ＋π6＝B ，则函数y ＝2sin B 的对称轴方程为 B ＝π2＋k π，k ∈Z ，即2x ＋π6＝π2＋k π(k ∈Z )，解上式得x ＝k π2＋π6(k ∈Z )，∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的对称轴方程为x ＝k π2＋π6(k ∈Z )．考向三函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象与性质的综合应用【例3】►(2012·西安模拟)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)，x ∈R (其中A ＞0，ω＞0,0＜φ＜π2)的图象与x 轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为π2，且图象上的一个最低点为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，－2.(1)求f (x )的解析式；(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，π2时，求f (x )的值域．[审题视点] 先由图象上的一个最低点确定A 的值，再由相邻两个交点之间的距离确定ω的值，最后由点M 在图象上求得φ的值，进而得到函数的解析式；先由x 的范围，求得2x ＋π6的范围，再求得f (x )的值域．解 (1)由最低点为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，－2，得A ＝2.由x 轴上相邻的两个交点之间的距离为π2，得T 2＝π2，即T ＝π，所以ω＝2πT ＝2ππ＝2.由点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，－2在图象上，得2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×2π3＋φ＝－2，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3＋φ＝－1.故4π3＋φ＝2k π－π2，k ∈Z ，所以φ＝2k π－11π6(k ∈Z )．又φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以φ＝π6.故f (x )的解析式为f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.(2)因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，π2，所以2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，7π6.当2x ＋π6＝π2，即x ＝π6时，f (x )取得最大值2；当2x ＋π6＝7π6，即x ＝π2时，f (x )取得最小值－1. 故函数f (x )的值域为[－1,2]．利用三角函数图象与x 轴的相邻两个交点之间的距离为三角函数的12个最小正周期，去求解参数ω的值，利用图象的最低点为三角函数最值点，去求解参数A 的值等．在求函数值域时，由定义域转化成ωx ＋φ的范围，即把ωx ＋φ看作一个整体．【训练3】 (2011·南京模拟)已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的图象过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，0，图象上与点P 最近的一个最高点是Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，5.(1)求函数的解析式； (2)求函数f (x )的递增区间．解 (1)依题意得：A ＝5，周期T ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－π12＝π，∴ω＝2ππ＝2.故y ＝5sin(2x ＋φ)，又图象过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，0，∴5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋φ＝0，由已知可得π6＋φ＝0，∴φ＝－π6 ∴y ＝5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6.(2)由－π2＋2k π≤2x －π6≤π2＋2k π，k ∈Z ，我爱学习网在线学习网分享学习方法励志人生我爱学习网文言文网/wenyanwen/得：－π6＋k π≤x ≤π3＋k π，k ∈Z ，故函数f (x )的递增区间为：⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π6，k π＋π3(k ∈Z )．规范解答8——怎样求解三角函数的最值问题【问题研究】 (1)求三角函数的最值是高考的一个热点．在求解中，一定要注意其定义域，否则容易产生错误．(2)主要题型：①求已知三角函数的值域(或最值)；②根据三角函数的值域(或最值)求相关的参数；③三角函数的值域(或最值)作为工具解决其他与范围相关的问题．【解决方案】 ①形如y ＝a sin x ＋b cos x ＋c 的三角函数，可通过引入辅助角φ⎝⎛⎭⎪⎫cos φ＝a a 2＋b 2，sin φ＝b a 2＋b 2，将原式化为y ＝a 2＋b 2·sin(x ＋φ)＋c 的形式后，再求值域(或最值)；②形如y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋c 的三角函数，可先设t ＝sin x ，将原式化为二次函数y ＝at 2＋bt ＋c 的形式，进而在t ∈[－1,1]上求值域(或最值)；③形如y ＝a sin x cos x ＋b (sin x ±cos x )＋c 的三角函数，可先设t ＝sin x ±cos x ，将原式化为二次函数y ＝±12a (t 2－1)＋bt ＋c 的形式，进而在闭区间t ∈[－2，2]上求最值．【示例】►(本题满分12分)(2011·北京)已知函数f (x )＝4cos x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6－1.(1)求f(x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π4上的最大值和最小值．首先化为形如y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式，由T ＝2πω求得：由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π4，求得ωx ＋φ的范围，从而求得最值． [解答示范] (1)因为f (x )＝4cos x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6－1＝4cos x ⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin x ＋12cos x －1＝3sin 2x ＋2cos 2x －1＝ 3 sin 2x ＋cos 2x＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，(4分)所以f (x )的最小正周期为π.(6分)(2)因为－π6≤x ≤π4，所以－π6≤2x ＋π6≤2π3.(8分) 于是，当2x ＋π6＝π2，即x ＝π6时， f (x )取得最大值2；(10分)当2x ＋π6＝－π6，即x ＝－π6时，f (x )取得最小值－1.(12分)解决这类问题常常借助三角函数的有界性或转化为我们所熟悉的函数，如二次函数等来解决．【试一试】是否存在实数a ，使得函数y ＝sin 2x ＋a cos x ＋58a －32在闭区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值是1？若存在，求出对应的a 值？若不存在，试说明理由． [尝试解答] y ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x －12a 2＋a 24＋58a －12，当0≤x ≤π2时，0≤cos x ≤1，令t ＝cos x ，则0≤t ≤1，∴y ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫t －12a 2＋a 24＋58a －12，0≤t ≤1.当0≤a 2≤1，即0≤a ≤2时，则当t ＝a 2，即cos x ＝a2时． y max ＝a 24＋58a －12＝1，解得a ＝32或a ＝－4(舍去)．当a2＜0，即a ＜0时，则当t ＝0，即cos x ＝0时， y max ＝58a －12＝1，解得a ＝125(舍去)．当a2＞1，即a ＞2时，则当t ＝1，即cos x ＝1时， y max ＝a ＋58a －32＝1，解得a ＝2013(舍去)．综上知，存在a ＝32符合题意．。

数学正弦型函数y=Asin(ωxφ)的图象及应用

数学正弦型函数y=Asin(ωxφ)的图象及应用第三章第4讲第1页不同寻常的一本书，不可不读哟！第三章第4讲第2页1.了解函数y=Ain(ω某+φ)的物理意义，能画出函数y=Ain(ω某+φ)的图象，了解参数A、ω、φ对函数图象变化的影响.2.了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单的实际问题.第三章第4讲第3页1个必记提醒在用“代点法”求φ时，若条件中既有最值点，也有零点，应代入最值点，这样可得到一个确定的φ值.2点必知变换1.平移变换：①沿某轴平移，按“左加右减”法则；②沿y轴平移，按“上加下减”法则.2.伸缩变换：①沿某轴伸缩时，横坐标某伸长(0<ω<1)或缩短1(ω>1)为原来的ω倍(纵坐标y不变);②沿y轴伸缩时，纵坐标y伸长(A>1)或缩短(0<A<1)为原来的A倍(横坐标某不变).第三章第4讲第4页3项必须注意1.要弄清楚是平移哪个函数的图象，得到哪个函数的图象.2.要注意平移前后两个函数的名称一致，若不一致，应先利用诱导公式化为同名函数.3.由y=Ainω某的图象得到y=Ain(ω某+φ)的图象时，需平φ移的单位数应为||,而不是|φ|.ω第三章第4讲第5页课前自主导学第三章第4讲第6页1.y=Ain(ω某+φ)的有关概念y=Ain(ω某+振相位ω某+φ初相φφ)(A>0,ω>0),某幅∈[0,+∞)表示一个振动量时A周期频率1f=T=____T=____第三章第4讲第7页函数y=Ain(ω某+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π)在一个周期内的图象如图，试写出函数的解析式________,它的振幅为________,周期为________,初相为________.第三章第4讲第8页2.用五点法画y=Ain(ω某+φ)一个周期内的简图用五点法画y=Ain(ω某+φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示某ω某+φy=Ain(ω某+φ)______________________________00π2Aπ03π2-A2π0第三章第4讲第9页π用五点法作函数y=in(某+)在一个周期内的图象时，6主要确定的五个点是________,________,________,________,________.第三章第4讲第10页π(2)如图是y=Ain(ω某+φ)(A>0,ω>0,|φ|<)的一段图2象，则函数f(某)的解析式为__________.第三章第4讲第11页3.由函数y=in某的图象变换得到y=Ain(ω某+φ)的图象的步骤第三章第4讲第12页(1)y=in(某-π3)是由y=in某的图象向________平移________个单位得到的.(2)y=in(2某+π3)是由y=in2某的图象向____平移________个单位得到的.(3)y=co某图象上点的横坐标伸长为原来的2倍，得到yπ=________,然后再向右平移个单位得到y=________.6第三章第4讲第13页2πω1.ω2π22填一填：y=2in(2某+3π)2π3ππ-φ2φ2.-ωωπ-φω3π-φ2ω2π-φω第三章第4讲第14页ππ54填一填：(1)(-,0)(,1)(π,0)(π,-1)6363113π(6π,0)(2)y=in(3某-4)ππ11π3.填一填：(1)右(2)左(3)co某co(某-)362212第三章第4讲第15页核心要点研究第三章第4讲第16页例1[2022·无锡模拟]f(某)=in(2某+φ)(-π<φ<0),y=πf(某)图象的一条对称轴是直线某=8.(1)求φ;(2)画出函数y=f(某)在区间上[0,π]的图象.第三章第4讲第17页[审题视点](1)根据题目给出的图象特征对称轴，确定参数φ的值；(2)采用“五点法”作图，应注意定义域为[0,π].同时注意列表时要列端点值.[解]π(1)∵某=是函数y=f(某)的图象的对称轴，8π∴in(2某8+φ)=±1,ππ∴+φ=kπ+,k∈Z.42第三章第4讲第18页3π∵-π<φ<0,∴φ=-4.3π(2)由y=in(2某-4)知某π83π805π817π80π2-22-1y-2第三章第4讲第19页。

(完整版)正弦型函数y=Asin(ωx+φ)打印版

正弦型函数y ＝A sin(ωx ＋φ)1.简谐振动y ＝A sin(ωx ＋φ)中，______叫做振幅，周期T ＝______，频率f ＝______，相位是______，初相是______．3、五点法作y=Asin （ωx+五点取法是设X =ωx +ϕ，由X 取0、2π、π、2π3、2π来求相应的x 值及对应的y 值，再描点作图。

3．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)图像变换（1）左右平移：由y ＝sinx 的图象向左或向右平行移动｜φ｜个单位，得到y ＝sin （x ＋φ）的图象.（2）胖瘦变换：由y ＝sinx 的图象上的点的纵坐标保持不变，横坐标伸长（0＜|ω|＜1）或缩短（|ω|＞1）到原来的1||ω倍，得到y ＝sin ω x 的图象.（3）高矮变换：由y ＝sinx 的图象上的点的横坐标保持不变，纵坐标伸长（当|A|＞1）或缩短（当0＜|A|＜1）到原来的|A|倍，得到y ＝Asinx 的图象.4．函数B x A y ++=)sin(ϕω），（其中00>>ωAy ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的图象求其解析式的问题，主要从以下四个方面来考虑： ①A 的确定：根据图象的最高点和最低点，即A ＝最高点－最低点2；②B 的确定：根据图象的最高点和最低点，即B ＝最高点＋最低点2；③ω的确定：结合图象，先求出周期，然后由T ＝2πω(ω>0)来确定ω；④φ的确定：把图像上的点的坐标带入解析式y ＝Asin(ωx ＋φ)＋B ，然后根据φ的范围确定φ即可。

5.三角函数的伸缩变化先平移后伸缩sin y x =的图象ϕϕϕ<−−−−−−−→向左(>0)或向右(0)平移个单位长度得sin()y x ϕ=+的图象()ωωω−−−−−−−−−→横坐标伸长(0<<1)或缩短(>1)1到原来的纵坐标不变得sin()y x ωϕ=+的图象()A A A >−−−−−−−−−→纵坐标伸长(1)或缩短(0<<1)为原来的倍横坐标不变得sin()y A x ωϕ=+的图象(0)(0)k k k ><−−−−−−−→向上或向下平移个单位长度得sin()y A x k ϕ=++的图象．先伸缩后平移sin y x =的图象(1)(01)A A A ><<−−−−−−−−−→纵坐标伸长或缩短为原来的倍(横坐标不变)得sin y A x =的图象(01)(1)1()ωωω<<>−−−−−−−−−→横坐标伸长或缩短到原来的纵坐标不变得sin()y A x ω=的图象(0)(0)ϕϕϕω><−−−−−−−→向左或向右平移个单位得sin ()y A x x ωϕ=+的图象(0)(0)k k k ><−−−−−−−→向上或向下平移个单位长度得sin()y A x k ωϕ=++的图象．注意：由y ＝sinx 的图象利用图象变换作函数y ＝Asin （ωx ＋φ）+B （A ＞0，ω＞0）（x∈R ）的图象，要特别注意：当周期变换和相位变换的先后顺序不同时，原图象延x 轴量伸缩量的区别。

2020年高考数学一轮总复习函数y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数模型的简单应用课件理

[答案] D
方法2 数形结合法求解三角不等式、三角方程【例4】设f(x)＝sin x(sin x＋cos x)＋2cos2x. (1)求函数f(x)的最大值与最小正周期； (2)求使不等式f(x)≥32成立的x的取值集合．
[解析] f(x)＝sin2x＋sin xcos x＋2cos2x ＝32＋12sin 2x＋12cos 2x ＝ 22sin2x＋π4＋32，
[答案] (1)C (2)C
名师点拨确定y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A>0，ω>0)的思维和步骤 (1)求A，b，确定函数的最大值M和最小值m，则A＝M－2 m，b＝M＋2 m. (2)求ω，确定函数的周期T，则可得ω＝2Tπ.
(3)求φ，常用的方法有：
①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A，ω，b已知)或代入图象与直线y＝b
3sinπ6x＋φ＋k.据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为(
)
A．5 C．8
B．6 D．10
(2)(2018·咸阳期末)如图，某地一天中6时至14时的温度变化曲线近似满足函数T＝ Asin(ωt＋φ)＋20(其中A＞0，ω＞0,0＜φ＜π)，那么该函数的解析式是( ) A．T＝20sinπ4t＋34π＋20 B．T＝10sinπ4t＋34π＋20 C．T＝10sinπ8t＋34π＋20 D．T＝20sinπ8t＋π4＋20
第四节函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及三角函数模型的简单应用
栏目导航
教材回顾考点突破
最新考纲
考情考向分析
1.了解函数y＝Asin(ωx＋φ)的物理意
以考查函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象
义；能画出y＝Asin(ωx＋φ)的图的五点法画图、图象之间的平移伸缩变

《正弦型函数y#061;Asin(ωx φ)的图象(三)》教案(人教B版必修四)

人教B版数学必修4：正弦型函数y=A sin(ωx+φ) 的图象
教学目的：
1理解振幅、周期、频率、初相的定义；
2理解振幅变换、相位变换和周期变换的规律;
3会用“五点法”画出y=A sin(ωx+φ)的简图，明确A、ω和φ对函数图象的影响作用；
4.培养学生数形结合的能力。

5.培养学生发现问题、研究问题的能力，以及探究、创新的能力。

教学重点：熟练地对y＝sin x进行振幅、周期和相位变换。

教学难点：理解振幅变换、周期变换和相位变换的规律。

教学方法：引导学生结合作图过程理解振幅和相位变化的规律。

本节课采用作图、观察、归纳、启发探究相结合的教学方法，运用现代化多媒体教学手段，进行教学活动，首先按照由特殊到一般的认知规律，由形及数，数形结合，通过设置问题，引导学生观察、分析、归纳，形成规律，使学生在独立思考的基础上进行合作交流，在思考、探究和交流的过程中获得对正弦函数图象变换全面的体验和理解
授课类型：新授课
课时安排：1课时
教具：多媒体、实物投影仪
＝sin x，
点的纵坐标缩短到原
1
来的
2
标不变
教师提问：一般地
y=A sin x
sin x的图象间具有怎样的关系呢？
到
教师提问：一般地y
sin
样的关系呢？
sin
2
1x ，x ∈R 的周期T ＝2
12π＝4π
教师提问：
＋
y
的关系怎样？学生回答：由
左移
高﹥考∠试じ题(库。

正弦型函数的图像与性质

3
)
2
x
y 3sin(2 x

3
)
③
探究
问题 : 怎样由y sin x的图象得到y A sin( x )
(其中A 0, 0)的图象 ?
答 : (1)先画出函数y sin x的图象;
(2)再把正弦曲线向左( >0)或向右（ 0)平移个单位
长度, 得到函数y sin( x )的图象;
向右平移 a(a 0) 个单位长度
y f ( x a)
)
你能得到 y sin( x与
y sin x
的图象之间的联系吗？
探究
结论一:
函数y=sin(x+φ)图象
函数y=sin(x+φ)
的图象可以看作是把 y=sinx 的
图象上所有的点向左(当φ>0时)或向右(当φ<0时)
1. 列表：

x
0
2x
0

2
0
1
sin 2 x
4
3
4

2

0

3
2
2
1
0
探究
2. 描点：
连线:
2
1
y
y=sinx
2
O

1
2
y=sin2x
3
x
探究
y
1
2
O
周期为4
y=sin x
3

1
x
y=sinx
y=sin2x
周期为
4
周期为2
探究
y=sin
y
1
x

人教版高考数学总复习第一部分考点指导第五章三角函数第五节函数y=Asin(ωx+φ)及三角函数的应用

度得到，则 φ＝__________，g(0)＝__________.
【解析】由题意可知将函数 g(x)图象上的点－π3，0 向右平移4π 个单位长度，
可得 f(x)的图象与 x 轴负半轴的第一个交点，坐标为－1π2，0 ，
因为
f(x)的图象与
x
轴正半轴的第一个交点为152π，0
－1π2ω＋φ＝0 ，所以152πω＋φ＝π
2．(改变情境)某地农业监测部门统计发现：该地区近几年的生猪收购价格每四个月会重复出现．下表是今年前四个月的统计情况：
月份 x
1
2
3
4
收购价格 y/(元/斤)
6
7
6
5
选用一个正弦型函数来近似描述收购价格与相应月份之间的函数关系为________．
【解析】设 y＝A sin (ωx＋φ)＋b(A＞0，ω＞0)，由题意得 A＝1，b＝6，T＝4，因为 T＝2ωπ ，
0<φ<π)的部分图象如图所示，
则
π f4
的值为________．
【解析】由图象可知 A＝2，34 T＝1112π －π6 ＝34π ，
所以 T＝π，所以 ω＝2，因为当 x＝π6 时，函数
f(x)取得最大值，所以
π 2×6
＋φ＝π2
＋2kπ(k∈Z)，
所以 φ＝π6 ＋2kπ(k∈Z)，因为 0<φ<π，
2cos 2×1132π＋φ ＝2，
所以 φ＝－6π ＋2kπ，k∈Z，
所以 f(x)＝2cos 2x－π6 ，
所以 fπ2
＝2cos
2×π2－6π
＝2cos
5π 6
＝
－ 3.
答案：－ 3
(2)(一题多解)函数 f(x)＝A sin (ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，|φ| ＜π)的部分图象如图所示，则函数 f(x) 的解析式为 ________．