高中数学第一章导数及其应用1.3导数在研究函数中的作用1.3.1单调性教案苏教版选修2_2
江苏省徐州市高中数学第一章导数及其应用1.3.1导数在研究函数中的应用—单调性(1)教案苏教版选修2_2
导数在研究函数中的应用——单调性1.教学目标：（1）通过实例，借助几何直观探索并了解函数单调性与导数的关系；（2）会利用导数判断简单函数的单调区间。
2.教学重点、难点：探索并了解函数单调性与导数的关系3.教学方法与教学手段：启发与探究教学相结合4.教学过程：一、问题情境：同学们，为了研究函数的变化趋势，我们引进了导数。
那么，导数对于我们研究函数的变化趋势到底有没有作用？作用有多大呢？带着这个问题，让我们开启今天的知识之旅吧！二、知识建构：学生活动（一）——初步判断问题1：什么叫导数？问题2：1）函数的变化趋势怎么体现？2）单调性定义是怎样的？问题3：请对比一下导数和单调性定义，你有何猜想？学生讨论得：学生活动（二）——数学实验1.请你以一个熟悉的函数为例，画出函数草图，探究该函数在单调区间上的导数符号与其单调性的关系。
数符号（投影呈现学生的实验数据）参考实验数据，对猜想的真假进行判断，并获得如下结论：2.从图形上直观理解上述结论。
（动画演示）三、数学应用例1、确定函数34)(2+-=x x x f 在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函数.x a b 0 x a b x O O x例2、确定函数762)(23+-=x x x f 在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函数.例3、确定函数)2,0(,sin )(π∈=x x x f 的单调减区间.四、课堂小结1.学生分享课堂感悟2.老师小结：今天，我们研究并获得了一个重要结论。
首先，我们从导数定义出发，发现x y ∆∆与导数的关系；另一方面，我们又从函数单调性定义中发现：研究单调性就是研究xy ∆∆的符号！结合两方面，我们得到了一个猜想，接着通过大量的实验，从数形两方面对猜想进行了验证和感受，最终获得了一个判断函数单调性的有效工具——导数！这种，由观察、猜想到验证并得到结论的过程，也是我们研究数学问题的一般方法！介于此，与大家分享一句名言：最有价值的知识是关于方法的知识。
高中数学 第一章 导数及其应用 1.3 导数在研究函数中
1．3.1 函数的单调性与导数(一)学习目标 1.理解导数与函数的单调性的关系.2.掌握利用导数判断函数单调性的方法.3.能利用导数求不超过三次多项式函数的单调区间．知识点一函数的单调性与导函数的关系思考观察图中函数f(x)，填写下表．梳理一般地，设函数y＝f(x)在区间(a，b)内可导，则在区间(a，b)内，(1)如果f′(x)>0，则f(x)在这个区间内单调递增；(2)如果f′(x)<0，则f(x)在这个区间内单调递减．知识点二利用导数判断函数的单调性的一般步骤(1)确定函数y＝f(x)的定义域；(2)求导数y′＝f′(x)；(3)解不等式f′(x)>0，解集在定义域内的部分为增区间；(4)解不等式f′(x)<0，解集在定义域内的部分为减区间．1．函数f(x)在定义域上都有f′(x)<0，则函数f(x)在定义域上单调递减．( ×) 2．函数f(x)在某区间内单调递增，则一定有f′(x)>0.( ×)类型一函数图象与导数图象的应用例1 已知函数y＝f(x)的定义域为[－1,5]，部分对应值如下表．f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示.给出下列关于函数f(x)的说法：①函数y＝f(x)是周期函数；②函数f(x)在[0,2]上是减函数；③如果当x∈[－1，t]时，f(x)的最大值是2，那么t的最大值为4；④当1<a<2时，函数y＝f(x)－a有4个零点．其中正确说法的个数是( )A．4 B．3C．2 D．1考点函数的单调性与导数的关系题点根据导函数的图象确定原函数图象答案 D解析依题意得，函数f(x)不可能是周期函数，因此①不正确；当x∈(0,2)时，f′(x)<0，因此函数f(x)在[0,2]上是减函数，②正确；当x∈[－1，t]时，若f(x)的最大值是2，则结合函数f(x)的可能图象分析可知，此时t的最大值是5，因此③不正确；注意到f(2)的值不明确，结合函数f(x)的可能图象分析可知，将函数f(x)的图象向下平移a(1<a<2)个单位长度后相应曲线与x轴的交点个数不确定，因此④不正确．故选D.反思与感悟(1)函数的单调性与其导函数的正负的关系：在某个区间(a，b)内，若f′(x)>0，则y＝f(x)在(a，b)上单调递增；如果f′(x)<0，则y＝f(x)在这个区间上单调递减；若恒有f′(x)＝0，则y＝f(x)是常数函数，不具有单调性．(2)函数图象变化得越快，f′(x)的绝对值越大，不是f′(x)的值越大．跟踪训练1 已知y＝xf′(x)的图象如图所示(其中f′(x)是函数f(x)的导函数)，则所给四个图象中，y＝f(x)的图象大致是( )考点 函数的单调性与导数的关系 题点 根据导函数图象确定原函数图象 答案 C解析 当0<x <1时，xf ′(x )<0，∴f ′(x )<0，故f (x )在(0,1)上为减函数； 当x >1时，xf ′(x )>0，∴f ′(x )>0， 故y ＝f (x )在(1，＋∞)上为增函数． 故选C.类型二 利用导数求函数的单调区间 命题角度1 不含参数的函数求单调区间 例2 求下列函数的单调区间． (1)y ＝12x 2－ln x ；(2)y ＝x ＋bx(b >0)．考点 利用导数求函数的单调区间 题点 利用导数求不含参数函数的单调区间 解 (1)函数y ＝12x 2－ln x 的定义域为(0，＋∞)，又y ′＝(x ＋1)(x －1)x.若y ′>0，即⎩⎪⎨⎪⎧(x ＋1)(x －1)>0，x >0，解得x >1；若y ′<0，即⎩⎪⎨⎪⎧(x ＋1)(x －1)<0，x >0，解得0<x <1.故函数y ＝12x 2－ln x 的单调递增区间为(1，＋∞)；单调递减区间为(0,1)．(2)函数f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，f ′(x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋b x ′＝1－b x 2， 令f ′(x )>0，则1x2(x ＋b )(x －b )>0，所以x >b 或x <－b .所以函数的单调递增区间为(－∞，－b )，(b ，＋∞)． 令f ′(x )<0，则1x2(x ＋b )(x －b )<0，所以－b <x <b 且x ≠0.所以函数的单调递减区间为(－b ，0)，(0，b )． 反思与感悟 求函数y ＝f (x )的单调区间的步骤 (1)确定函数y ＝f (x )的定义域． (2)求导数y ′＝f ′(x )．(3)解不等式f ′(x )>0，函数在解集所表示的定义域内为增函数． (4)解不等式f ′(x )<0，函数在解集所表示的定义域内为减函数．跟踪训练2 函数f (x )＝(x 2＋2x )e x(x ∈R )的单调递减区间为____________． 考点 利用导数求函数的单调区间 题点 利用导数求不含参数函数的单调区间 答案 (－2－2，－2＋2) 解析 由f ′(x )＝(x 2＋4x ＋2)e x<0， 即x 2＋4x ＋2<0，解得－2－2<x <－2＋ 2.所以f (x )＝(x 2＋2x )e x的单调递减区间为(－2－2，－2＋2)． 命题角度2 含参数的函数求单调区间例3 讨论函数f (x )＝12ax 2＋x －(a ＋1)ln x (a ≥0)的单调性．考点 利用导数求函数的单调区间题点 利用导数求含参数函数的单调区间 解 函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝ax ＋1－a ＋1x ＝ax 2＋x －(a ＋1)x.(1)当a ＝0时，f ′(x )＝x －1x， 由f ′(x )>0，得x >1，由f ′(x )<0，得0<x <1. ∴f (x )在(0,1)内为减函数，在(1，＋∞)内为增函数．(2)当a >0时，f ′(x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a ＋1a (x －1)x，∵a >0，∴a ＋1a>0. 由f ′(x )>0，得x >1，由f ′(x )<0，得0<x <1. ∴f (x )在(0,1)内为减函数，在(1，＋∞)内为增函数．综上所述，当a ≥0时，f (x )在(0,1)内为减函数，在(1，＋∞)内为增函数． 反思与感悟 (1)讨论参数要全面，做到不重不漏．(2)解不等式时若涉及分式不等式要注意结合定义域化简，也可转化为二次不等式求解． 跟踪训练3 设函数f (x )＝e x－ax －2，求f (x )的单调区间． 考点 利用导数求函数的单调区间 题点 利用导数求含参数函数的单调区间解 f (x )的定义域为(－∞，＋∞)，f ′(x )＝e x－a . 若a ≤0，则f ′(x )>0，所以f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增． 若a >0，则当x ∈(－∞，ln a )时，f ′(x )<0； 当x ∈(ln a ，＋∞)时，f ′(x )>0.所以f (x )在(－∞，ln a )上单调递减，在(ln a ，＋∞)上单调递增． 综上所述，当a ≤0时，函数f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增；当a >0时，f (x )在(－∞，ln a )上单调递减，在(ln a ，＋∞)上单调递增.1．函数f (x )＝x ＋ln x ( ) A ．在(0,6)上是增函数 B ．在(0,6)上是减函数C ．在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 上是减函数，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，6上是增函数D ．在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 上是增函数，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，6上是减函数 考点 函数的单调性与导数的关系题点 利用导数值的正负号判定函数的单调性 答案 A2．若函数f (x )的图象如图所示，则导函数f ′(x )的图象可能为( )考点 函数的单调性与导数的关系 题点 根据原函数图象确定导函数图象 答案 C解析 由f (x )的图象可知，函数f (x )的单调递增区间为(1,4)，单调递减区间为(－∞，1)和(4，＋∞)，因此，当x ∈(1,4)时，f ′(x )>0，当x ∈(－∞，1)或x ∈(4，＋∞)时，f ′(x )<0，结合选项知选C.3．函数f (x )＝3＋x ·ln x 的单调递增区间是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e B ．(e ，＋∞)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞ D.⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，e考点 利用导数求函数的单调区间题点 利用导数求不含参数函数的单调区间 答案 C解析 f ′(x )＝ln x ＋1，令f ′(x )>0， 即ln x ＋1>0，得x >1e.故函数f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞. 4．若函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 的单调递减区间为[－1,2]，则b ＝________，c ＝________. 考点 利用导数求函数的单调区间 题点 已知单调区间求参数值 答案 －32－6解析 f ′(x )＝3x 2＋2bx ＋c ，由题意知，f ′(x )＝0即3x 2＋2bx ＋c ＝0的两根为－1和2. 由⎩⎪⎨⎪⎧－1＋2＝－2b3，－1×2＝c3，得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－32，c ＝－6.5．试求函数f (x )＝kx －ln x 的单调区间． 考点 利用导数求函数的单调区间 题点 利用导数求含参数函数的单调区间 解 函数f (x )＝kx －ln x 的定义域为(0，＋∞)， f ′(x )＝k －1x ＝kx －1x.当k ≤0时，kx －1<0，∴f ′(x )<0， 则f (x )在(0，＋∞)上单调递减． 当k >0时，由f ′(x )<0，即kx －1x<0， 解得0<x <1k；由f ′(x )>0，即kx －1x >0，解得x >1k. ∴当k >0时，f (x )的单调递减区间为⎝⎛⎭⎪⎫0，1k ，单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫1k，＋∞.综上所述，当k ≤0时，f (x )的单调递减区间为(0，＋∞)；当k >0时，f (x )的单调递减区间为⎝⎛⎭⎪⎫0，1k ，单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫1k ，＋∞.1．导数的符号反映了函数在某个区间上的单调性，导数绝对值的大小反映了函数在某个区间或某点附近变化的快慢程度．2．利用导数求函数f(x)的单调区间的一般步骤：(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求导数f′(x)；(3)在函数f(x)的定义域内解不等式f′(x)>0和f′(x)<0；(4)根据(3)的结果确定函数f(x)的单调区间.一、选择题1．如图是函数y＝f(x)的导函数f′(x)的图象，则下列判断正确的是( )A．在区间(－2,1)上，f(x)是增函数B．在(1,3)上，f(x)是减函数C．在(4,5)上，f(x)是增函数D．在(－3，－2)上，f(x)是增函数考点函数的单调性与导数的关系题点利用导数值的正负号判定函数的单调性答案 C解析由图知当x∈(4,5)时，f′(x)>0，所以在(4,5)上，f(x)是增函数．2．函数y＝f(x)的图象如图所示，则导函数y＝f′(x)的图象可能是( )考点函数的单调性与导数的关系题点根据原函数图象确定导函数图象答案 D解析∵函数f(x)在(0，＋∞)，(－∞，0)上都是减函数，∴当x>0时，f′(x)<0，当x<0时，f′(x)<0，故选D.3．已知函数f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示，则函数f(x)的图象只可能是所给选项中的( )考点函数的单调性与导数的关系题点根据导函数的图象确定原函数的图象答案 C解析∵导数的正负确定了函数的单调性，∴从函数f′(x)的图象可知，令f′(x)＝0，得x＝0或x＝a(a>0)，∴函数在(－∞，0)上单调递减，在(0，a)上单调递增，在(a，＋∞)上单调递减，故选C. 4．函数f(x)＝x e－x的一个单调递增区间是( )A．[－1,0] B．[2,8]C．[1,2] D．[0,2]考点利用导数求函数的单调区间题点 利用导数求不含参数的函数的单调区间 答案 A解析 因为f ′(x )＝e x －x e x(e x )2＝(1－x )·e －x>0，又因为e －x>0，所以x <1.5．下列函数中，在(0，＋∞)内为增函数的是( ) A ．y ＝sin x B ．y ＝x e xC ．y ＝x 3－xD ．y ＝ln x －x考点 函数的单调性与导数的关系题点 利用导数值的正负号判定函数的单调性 答案 B解析 B 项中，y ＝x e x，y ′＝e x＋x e x＝e x(1＋x )， 当x ∈(0，＋∞)时，y ′>0， ∴y ＝x e x在(0，＋∞)内为增函数．6.函数f (x )的导函数f ′(x )的图象如图所示，若△ABC 为锐角三角形，则下列不等式一定成立的是( )A ．f (cos A )<f (cosB ) B ．f (sin A )<f (cos B )C ．f (sin A )>f (sin B )D ．f (sin A )>f (cos B )考点 利用导数研究函数的单调性 题点 比较函数值的大小 答案 D解析 根据图象知，当0<x <1时，f ′(x )>0， ∴f (x )在区间(0,1)上是增函数．∵△ABC 为锐角三角形，∴A ，B 都是锐角且A ＋B >π2，则0<π2－B <A <π2，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2－B <sin A ，∴0<cos B <sin A <1，∴f (sin A )>f (cos B )．7．定义在R 上的函数f (x )，若(x －1)·f ′(x )<0，则下列各项正确的是( )A ．f (0)＋f (2)>2f (1)B ．f (0)＋f (2)＝2f (1)C ．f (0)＋f (2)<2f (1)D ．f (0)＋f (2)与2f (1)大小不定 考点 利用导数研究函数的单调性 题点 比较函数值的大小 答案 C解析 ∵(x －1)f ′(x )<0，∴当x >1时，f ′(x )<0，x <1时，f ′(x )>0，则f (x )在(1，＋∞)上单调递减，在(－∞，1)上单调递增， ∴f (0)<f (1)，f (2)<f (1)， 则f (0)＋f (2)<2f (1)． 二、填空题8．若函数f (x )的导函数为f ′(x )＝x 2－4x ＋3，则函数f (x ＋1)的单调递减区间是________． 考点 利用导数求函数的单调区间题点 利用导数求不含参数的函数的单调区间 答案 (0,2)解析 由f ′(x )＝x 2－4x ＋3，f ′(x ＋1)＝(x ＋1)2－4(x ＋1)＋3＝x 2－2x ，令f ′(x ＋1)<0，解得0<x <2， 所以f (x ＋1)的单调递减区间是(0,2)．9.在R 上可导的函数f (x )的图象如图所示，则关于x 的不等式xf ′(x )<0的解集为________．考点 函数的单调性与导数的关系 题点 利用单调性确定导数值的正负号 答案 (－∞，－1)∪(0,1) 解析 由xf ′(x )<0可得，⎩⎪⎨⎪⎧x >0，f ′(x )<0或⎩⎪⎨⎪⎧x <0，f ′(x )>0，由题图可知当－1<x <1时，f ′(x )<0， 当x <－1或x >1时，f ′(x )>0， 则⎩⎪⎨⎪⎧x >0，－1<x <1或⎩⎪⎨⎪⎧x <0，x <－1或x >1，解得0<x <1或x <－1，∴xf ′(x )<0的解集为(0,1)∪(－∞，－1)． 10．已知函数f (x )＝k ex －1－x ＋12x 2(k 为常数)，曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线与x 轴平行，则f (x )的单调递增区间为____________． 考点 利用导数求函数的单调区间 题点 利用导数求含参数的函数的单调区间 答案 (0，＋∞) 解析 f ′(x )＝k ex －1－1＋x ，∵曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线与x 轴平行， ∴f ′(0)＝k ·e －1－1＝0，解得k ＝e ， 故f ′(x )＝e x＋x －1. 令f ′(x )>0，解得x >0，故f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)．11．已知函数f (x )＝2x 3＋ax 2＋1(a 为常数)在区间(－∞，0)，(2，＋∞)上单调递增，且在区间(0,2)上单调递减，则a 的值为________． 考点 利用导数求函数的单调区间 题点 已知单调区间求参数值 答案 －6解析 由题意得f ′(x )＝6x 2＋2ax ＝0的两根为0和2，可得a ＝－6.12．定义在R 上的函数f (x )满足f (1)＝1，f ′(x )<2，则满足f (x )>2x －1的x 的取值范围是________．考点 利用导数研究函数的单调性 题点 构造法的应用 答案 (－∞，1)解析 令g (x )＝f (x )－2x ＋1， 则g ′(x )＝f ′(x )－2<0， 又g (1)＝f (1)－2×1＋1＝0，当g (x )>g (1)＝0时，x <1，∴f (x )－2x ＋1>0， 即f (x )>2x －1的解集为(－∞，1)． 三、解答题13．已知函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 的图象经过点P (0,2)，且在点M (－1，f (－1))处的切线方程为6x －y ＋7＝0. (1)求函数y ＝f (x )的解析式；(2)求函数y ＝f (x )的单调区间． 考点 利用导数求函数的单调区间题点 利用导数求不含参数的函数的单调区间 解 (1)由y ＝f (x )的图象经过点P (0,2)，知d ＝2， ∴f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋2，f ′(x )＝3x 2＋2bx ＋c . 由在点M (－1，f (－1))处的切线方程为6x －y ＋7＝0， 知－6－f (－1)＋7＝0，即f (－1)＝1.又f ′(－1)＝6，∴⎩⎪⎨⎪⎧3－2b ＋c ＝6，－1＋b －c ＋2＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧2b －c ＝－3，b －c ＝0，解得b ＝c ＝－3，故所求函数解析式是f (x )＝x 3－3x 2－3x ＋2. (2)f ′(x )＝3x 2－6x －3.令f ′(x )>0，得x <1－2或x >1＋2； 令f ′(x )<0，得1－2<x <1＋ 2.故f (x )＝x 3－3x 2－3x ＋2的单调递增区间为(－∞，1－2)，(1＋2，＋∞)，单调递减区间为(1－2，1＋2)． 四、探究与拓展14．已知函数f (x )＝x 2＋2cos x ，若f ′(x )是f (x )的导函数，则函数f ′(x )的大致图象是( )考点 函数的单调性与导数的关系 题点 根据导数确定函数的图象 答案 A解析 设g (x )＝f ′(x )＝2x －2sin x ， 则g ′(x )＝2－2cos x ≥0，所以函数g (x )＝f ′(x )在R 上单调递增，故选A.15．已知函数f (x )＝x －2x＋a (2－ln x )，a >0，试讨论f (x )的单调性．考点 利用导函数求函数的单调区间 题点 利用导数求含参数的函数的单调区间 解 f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1＋2x 2－a x ＝x 2－ax ＋2x 2.令g (x )＝x 2－ax ＋2，其判别式Δ＝a 2－8.(1)当Δ<0，即0<a <22时，对一切x >0，都有f ′(x )>0，此时f (x )是(0，＋∞)上的单调递增函数；(2)当Δ＝0，即a ＝22时，当且仅当x ＝2时，有f ′(x )＝0，对定义域内其余的x 都有f ′(x )>0，此时f (x )也是(0，＋∞)上的单调递增函数；(3)当Δ>0，即a >22时，方程g (x )＝0有两个不同的实根：x 1＝a －a 2－82，x 2＝a ＋a 2－82，0<x 1<x 2.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：↗↘↗即f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a －a 2－82和⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋a 2－82，＋∞上单调递增；在⎝ ⎛⎭⎪⎫a －a 2－82，a ＋a 2－82上单调递减.。
高中数学 第一章 导数及其应用 1.3.1 导数在研究函数中的应用 第1课时 函数的单调性教案 新
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3.1 导数在研究函数中的应用 第1课时 函数的单调性一、教学目标：1．会从几何直观了解可微函数的单调性与其导数之间的关系，并会灵活应用;2．会用导数判断或证明函数的单调性；3．通过对可微函数单调性的研究,加深学生对函数导数的理解，提高学生用导数解决实际问题的能力,增强学生数形结合的思维意识． 二、教学重点：正确理解“用导数法判别函数的单调性”的思想方法，并能灵活应用． 教学难点:灵活应用导数法去解决函数单调性的有关问题的能力，以及解题善于运用数形结合的思想方法．三、教学用具：多媒体四、教学过程1．复习引入问题1 对于函数34)(2+-==x x x f y ，利用函数单调性的定义讨论它在R 上的单调性．（此题是教科书中引例的变式．多媒体展示）教师引导学生独立完成，并请学生上台板演，以帮助学生复习函数单调性的有关知识．点评学生的解答后，展示教师的推演过程与函数图象，理清学生的思路．略解：对任意R 21∈<x x ，有)4)(()()(21212121-+-=-=-x x x x x f x f y y ．当221<<x x 时，有021>-y y ，知)(x f 在其中是减函数；当212x x <<时，有021<-y y ，知)(x f 在其中是增函数．2．新授（多媒体画面中，问题1的解答消失,问题1与图形适当调整位置，并增加展示出图象上点))(,(00x f x 处的切线随0x 变化的动画．给出问题2)问题2 对于函数34)(2+-=x x x f ，它的增减性与函数图象在相应区间上的切线的斜率有何联系？从动画中学生不难看出:在区间),2(+∞内，函数为增函数,切线的斜率为正;在区间)2,(-∞内，函数为减函数，切线的斜率为负；在2=x 时，函数的切线的斜率为0．（画面中问题1、2与图形适当调整位置，给出问题3）问题 3 对于函数34)(2+-==x x x f y ，它的增减性与函数在相应区间上导数的正负符号有何联系？因函数在某点处的导数就是函数在该点的切线的斜率，或从动画中学生易知：函数在区间),2(+∞内导数为正；在区间)2,(-∞内导数为负；在2=x 时，函数的切线的斜率为0．分段展示结论：一般地，设函数)(x f y =在某个区间可导，如果0)(>'x f ,则)(x f 为增函数；如果0)(<'x f ，则)(x f 为减函数；如果在某区间内恒有0)(='x f ，则)(x f 为常数．特别说明第三点：)(x f 在某区间内为常数,当且仅当0)(=x f 在该区间内“恒有”之时．否则可能只是“驻点”（曲线在该点处的切线与x 轴平行）．3．例题与练习例1 (展示教科书上的例1)题解可引导学生自己完成,教师加以完善．然后向学生展示教师的书写格式与此函数的图象，使学生能清楚解题时应如何表达书写为好．最后可提示学生,)(,0)1(x f f ='在1=x 处改变了增减性，)(x f 改变了正负符号,为下一节的学习作铺垫．练习：教科书第134页练习1．学生独立完成并请上台板演．点评时注意学生的思路、符号、术语、书写格式是否合理．然后向学生展示教师的推演过程与函数的图象，以帮助学生理清思路．（解题过程略） 例2 （展示教科书上的例2）师生共同完成，展示教师的解答与此函数的图象，加深学生的理解．说明在1=x 和2=x 处函数改变增减性，导数为0．一是使学生能更清楚在何种情况下)(x f 为常数，而不是驻点；二是为下一节课学习函数的极值埋下伏笔．（解题过程略）特别说明：利用导数法去探讨可微函数的单调性，一般要比定义法简捷，提醒学生在以后解题时可多尝试使用此法．练习2教科书习题补充练习1函数53)(23--=x x x f 的单调递增区间是_____________．略解：由0)2(363)(2>-=-='x x x x x f ，得增区间为)0,(-∞与),2(+∞．补充练习2 已知函数31232)(23+-+=x x x x f ，则函数)(x f 在（－2，1）内是（ )A ．单调递减B ．单调递增C ．可能递增也可能递减D ．以上都不成立略解：当)1,2(-∈x 时，有0)1)(2(6)(<-+='x x x f ，递减．故选A ．补充练习3 已知函数x x x f ln )(=，则( ）A ．在),0(+∞上递增B ．在),0(+∞上递减C ．在⎪⎭⎫ ⎝⎛e 1,0上递增D ．在⎪⎭⎫ ⎝⎛e 1,0上递减 略解：当⎪⎭⎫ ⎝⎛∈e x 1,0时，01ln )(<+='x x f ，递减．故选D ． 补充练习4 函数1+-=x e y x 的递减区间是_______________．略解:要使01<-='x e y ，只需0<x ,故递减区间为)0,(-∞．补充练习 5 证明函数22x x y -=在区间（0，1)上单调递减，而在区间（1，2）上单调递增．略证:由)2(1x x x y --=',在(0,1）上0>'y ，增；在（1,2）上0<'y ，减． 补充练习6 讨论函数x x y sin 2-=在)2,0(π内的单调性．略解：因x y cos 21-=',由0>'y ，得353ππ<<x ，增．由0<'y ,得30π<<x ，ππ235<<x ，减．4．归纳小结(1）函数导数与单调性的关系：0)(>'x f 时,增函数；0)(<'x f 时，减函数．用导数去研究函数的单调性比用定义法更为简便．（2）本节课中，用导数方法去研究函数单调性问题是中心,灵活应用导数法去解题是目的，适当的见识与练习是达到目的最佳手段，数形结合是应使学生养成的良好思维习惯．五、布置作业教科书习题3。
高中数学 第一章 导数及其应用 1.3.1 导数在研究函数中的应用—单调性说课稿2 苏教版选修2-2
导数在研究函数中的应用—单调性一、教材分析本节课，是苏教版选修2-2第一章第3节课。
它承接导数的定义和运算，开启了导数在函数中应用的研究，是导数应用的基础知识，地位重要．二、学情分析学生前面已经学习了导数的定义和简单函数四则运算的导数公式，尤其是已经有了“割线逼近切线”这种数学思想，这为本节课提供了充分的思想方法准备．并且，在本节课开头设置的三个问题中，有的问题可以用单调性定义解决，有些通过观察可以直接判断，而有些则并不能一眼看出单调性，这就触动学生要寻找新的解题方法，探索新的思路。
通过数学问题的导引，带领学生走进课堂．在实际教学中，考虑到学生比较容易局限于观察图象，得出结论，缺乏严谨的推理。
事实上，图象只能提供直观感受，并不能作为说理依据。
教师就要引导学生共同思考：怎样从已有的单调性的定义中，找出合理、可行、有效的方法。
师生共同观察、思考、猜想、证明，最终得出结论，比较圆满地完成一个数学知识的学习过程，体验数学发现的乐趣，拓宽师生的数学视野．三、教学目标1 .探索并了解函数的单调性和函数导数的关系；2.比较初等方法与导数方法在研究函数性质过程中的异同，体现导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性．四、教学重点、难点我认为本节课的重点是从单调性的定义出发，逐步建立单调性与导数之间的关系。
其间，既有代数变形，又有图形直观；既有大胆的猜想，又有严密推理。
教师和学生在这些思想方法之间灵活穿梭、切换，既有激烈地思想交锋，又有严密地逻辑推理，让看似平静的课堂充满了智慧的碰撞。
五、教学方法与教学手段教师从课本章头图引入课题，自然地把导数和单调性结合起来。
教师通过设置问题串，从“会”到“不会”，激发学生学习兴趣，展开探究。
教师利用多媒体PPT和几何画板，动态演示，确定研究方向，最终得出结论。
六、教学过程教师为了能够真正体现“要提高学生独立获取数学知识，并用数学语言表达问题的能力”这个新课程理念，设计了10个环节。
高中数学 第一章 导数及其应用 1.3 导数在研究函数中的作用 1.3.1 单调性学案 苏教版选修2-2
单调性教学过程一、问题情境导数和单调性都是对函数上升和下降的变化趋势的刻画,导数与函数的单调性有什么关系呢?二、数学建构问题 1 由函数f(x)在区间(a,b)上是增函数,对于任意x1,x2∈(a,b),当x 1<x2时,函数f(x)在区间[x1,x2]上的平均变化率的正负如何?[2]解导数大于0与函数递增密切相关.问题2 函数f(x)在区间(a,b)上是减函数,你又能推出什么结论呢?解导数小于0与函数递减密切相关.问题3 怎样用数学语言刻画导数的正负与函数的单调性的关系?[3]解一般地,我们有以下结论:对于函数y=f(x),如果在某区间上f'(x)>0,那么f(x)为该区间上的增函数;如果在某区间上f'(x)<0,那么f(x)为该区间上的减函数.问题4 你能结合具体函数图象得到上述结论吗?解以y=x2-4x+9为例.从函数的图象可以看出:在区间(2,+∞)上,切线的斜率为正,函数y=f(x)在区间(2,+∞)上为增函数;在区间(-∞,2)上,切线的斜率为负,函数y=f(x)在区间(-∞,2)上为减函数.问题 5 函数f(x)在某区间上单调递增(或递减),那么在该区间上必有f'(x)>0或f'(x)<0吗? 上述的条件和结论对调后,结论正确吗?如果不正确,你能举出反例吗?[4]概念理解1. 若某个区间内恒有y'=0,则f(x)为常数.2. y'>0(或y'<0)是函数在区间上单调递增(或递减)的充分不必要条件.三、数学运用【例1】(教材第29页例3)确定函数f(x)=sinx,x∈[0,2π]的单调递减区间.(见学生用书P18)[规范板书] 解f'(x)=cosx.令f'(x)<0,即cosx<0,又x∈[0,2π],所以x∈,故所求的的单调递减区间为.[题后反思] 本题也可直接利用函数的图象得出,求导的方法不是唯一的方法,也不一定是最好的方法,但它是一种一般性的方法.学习数学,是为了分析问题、解决问题的,从以上3个例题中,可让学生体会到导数在研究函数单调性中的有效性和一般性.【例2】求函数f(x)=3x2-2lnx的单调区间.[处理建议] 先考虑定义域,再根据导数知识来求解.[规范板书] 解定义域为(0,+∞),f'(x)=6x-=.由f'(x)>0 ⇒ x>;由f'(x)<0 ⇒ 0<x<.故f(x)的单调增区间为,单调减区间为.[题后反思] 任何函数问题,定义域都是关键前提.【例3】若函数f(x)=x2+(x≠0,a∈R)在[2,+∞)上的导数的值不是负数,求实数a的取值范围.[处理建议] 让学生分析“不是负数”包含正数和0两种情况,之后根据题意来反推.[规范板书] 解∵f'(x)=2x-≥0在[2,+∞)上恒成立,∴≤2x,即a≤2x3.∵x≥2,∴2x3≥16,∴a≤16.[题后反思] 恒成立问题优先考虑用参变分离来处理解决.*【例4】已知函数f(x)=kx3-3(k+1)x2-k2+1(k>0),若f(x)的单调递减区间是(0,4).(1) 求k的值;(2) 当x>k时,求证:2>3-.[规范板书] 解(1) f'(x)=3kx2-6(k+1)x=3kx,k>0.由题意f'(x)=0的两根为0和4,故=4,解得k=1.(2) 令g(x)=2+-3,g'(x)=-,当x>1时,g'(x)>0,g(x)=2+-3在(1,+∞)上递增,又因为g(1)=0,x>k=1,所以g(x)>0,故2>3-.四、课堂练习1. 设f(x)=x2(2-x),则f(x)的单调递增区间是.2. 若函数f(x)=x3-ax2+1在(0,2)内单调递减,则实数a的取值范围为[3,+∞).3. 求函数f(x)=2x2-lnx的单调区间.解增区间为,减区间为.4. 已知a>0,函数f(x)=x3-ax在[1,+∞)上是单调递增函数,求实数a的取值范围.解f'(x)=3x2-a,函数f(x)=x3-ax在[1,+∞)上是单调递增函数,则当x∈[1,+∞)时,f'(x)≥0恒成立,即x∈[1,+∞)时a≤3x2恒成立,得a≤3.又 a>0,所以0<a≤3.五、课堂小结1. 导数的正负与函数单调性之间的关系.2. 利用导数判断函数单调性的步骤:(1) 确定函数f(x)的定义域;(2) 求出函数的导数;(3) 解不等式f'(x)>0,得函数的单调递增区间;解不等式f'(x)<0,得函数的单调递减区间.3. 求函数的单调区间,求导的方法不是唯一的方法,也不一定是最好的方法,但它是一种一般性的方法.对于不熟悉的函数,常常利用导数法来研究函数的单调性.。
高中数学 第一章 导数及其应用 1.3.1 导数在研究函数中的应用—单调性说课稿1 苏教版选修2-
江苏省徐州市高中数学第一章导数及其应用1.3.1 导数在研究函数中的应用—单调性说课稿1 苏教版选修2-2编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（江苏省徐州市高中数学第一章导数及其应用1.3.1 导数在研究函数中的应用—单调性说课稿1 苏教版选修2-2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
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1．3．1导数在研究函数中的应用--——单调性一、教材分析1。
地位与作用“导数在研究函数中的应用--—单调性”是苏教版《普通高中课程标准实验教科书》数学选修2—2第一章《导数及其应用》的内容．本节的教学内容属于导数的应用,是在学生学习了导数的概念、计算、几何意义的基础上学习的内容，学好它既可加深对导数这一概念的理解，又可为深入理解导数的工具性打下基础．由于学生在高一已经掌握了单调性的定义，并能用定义和图象法判定在给定区间上函数的单调性．所以，本节课通过初等方法与导数方法在研究函数单调性中的比较，使学生体会到导数法的有效性与一般性，体会高中教材引入导数工具研究函数的必要性．2。
教学目标1．理解导数与单调性的关系，初步掌握用导数法研究函数的单调性．2．体会导数方法在研究函数单调性中的一般性与有效性．3．感受数学自身发展的一般规律．3.重点难点重点：探索导数与单调性的关系及利用导数求函数的单调区间．难点：导数与函数单调性关系的探索过程．二、教法分析1．教学方法的选择：本节课运用“问题解决”课堂教学模式，采用发现式、启发式的教学方法．通过问题激发学生求知欲，使学生主动参与教学实践活动，在教师的指导下发现、分析和解决问题，总结规律,培养积极探索的科学精神．2．教学手段的利用：本节课采用多媒体课件等辅助手段以加大课堂容量，通过数形结合，使抽象的知识直观化，形象化，以促进学生的理解．三、学法分析为使学生积极参与课堂学习，我主要指导了以下的学习方法：1．自主探究法：让学生自己发现问题,自己归纳总结，自己评析解题对错，从而提高学生的参与意识和数学表达能力．2．比较法：对于同一个问题要求用不同方法，使学生从中体验导数法的有效性与一般性．四、教学过程分析本节课的教学过程分为三个阶段：一是情境导入；二是数学探究；三是数学应用．第一阶段：情境引入播放名曲“渔舟唱晚，研究气温关于时间的函数图象的变化趋势，引出函数图象的变化趋势的刻画? （引导学生回答导数、单调性）【设计意图】气温变化案例是必修1函数单调性的引入情境，也是选修2-2导数及其应用章头引言案例，通过该情境，试图沟通必修1与选修2-2在研究函数单调性中的联系．第二阶段:数学探究本段分为两个部分，第一部分是通过回顾定义，结合＂割线逼近切线＂的数学思想来寻找导数与单调性的关系；第二部分是探究如何用导数来研究函数的单调性．1.回到单调性与导数的定义,从几何意义角度研究两者的含义．（探究割线斜率与单调性的关系，再从割线逼近切线的角度沟通导数与单调性的联系．）通过提示,在割线逼近切线的过程中直观感受切线是P点附近最逼近曲线的直线．【设计意图】以割线的斜率为桥梁，通过几何意义的角度沟通了导数与函数单调性之间的关系．这为用研究导数研究函数单调性做好铺垫．2.局部以直代曲，说明瞬时变化率的具体含义？（曲线的问题转化为直线的问题：用切线经过P点的上升趋势来代替曲线经过P点时的上升趋势）设置问题:()0'xf时，曲线在P点处有上升趋势？()'xf时，曲线在P点处有下降趋势？3。
高中数学 第一章 导数及其应用 1.3.1 导数在研究函数中的应用—单调性教案7 苏教版选修2-2
江苏省徐州市高中数学第一章导数及其应用1.3.1 导数在研究函数中的应用—单调性教案7 苏教版选修2-2编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（江苏省徐州市高中数学第一章导数及其应用1.3.1 导数在研究函数中的应用—单调性教案7 苏教版选修2-2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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导数在研究函数中的应用——单调性【教学目标】1．通过实例，利用几何画板借助函数图象直观地引导学生探索并了解函数的单调性与导数的关系，初步掌握利用导数方法研究函数单调性.2．在整体把握高中数学课程的理念下，通过初等方法与导数方法在研究函数单调性过程中的比较，让学生不断体会导数方法在研究函数单调性中的一般性和有效性。
并在原有基础上进一步加深对函数单调性的理解，同时感受和体会数学自身发展的一般规律.3．通过对导数与函数单调性关系的探究,渗透数形结合的思想方法,培养学生观察、归纳、抽象的能力和认真分析、严谨论证的良好思维习惯,让学生感知从具体到抽象，从特殊到一般，从感性到理性的认知过程。
同时，着重培养学生的合作、探究、积极努力等核心素养。
【教学重点】 导数在研究函数单调性中的应用【教学难点】 导数与函数单调性关系的探究和发现，以及理论分析。
【教学方法】 教师启发讲授，学生探究学习【教学手段】 计算机、实物投影仪【教学过程】一、复习回顾，引入课题引言：函数单调性是函数的一个非常重要的性质，刻画了函数值随自变量的变化而的变化情况，进而可以讨论函数的最值或值域,甚至画出函数的图象。
江苏省徐州市高中数学 第一章 导数及其应用 1.3.1 导数在研究函数中的应用—单调性教案1 苏教版选修2-2
导数在研究函数中的应用——单调性【教学目标】（1）知识与技能：通过实例，借助几何直观探索并了解函数的单调性与导数的关系，能利用导数研究函数的单调性，会求一些简单的非初等函数的单调区间．（2）过程与方法：经历运用导数研究函数单调性的探求过程．通过对问题的探究，体会知识的类比迁移，以已知探求未知、从特殊到一般的数学思想方法．（3）情感态度与价值观：通过初等方法与导数方法在研究函数性质过程中的比较，体会导数在研究函数性质中的一般性和有效性，同时感受和体会数学自身发展的一般规律．【教学重点、难点】重点：利用导数研究函数的单调性，会求一些简单的非初等函数的单调区间；难点：发现和揭示导数的正、负与函数单调性的关系．【教学方法与教学手段】教学方法：启发式与试验探究式相结合．教学手段：几何画板、PPT 、实物投影．【教学过程】一、问题情境问题1：确定函数2()43f x x x =-+的单调区间．问题2：你能确定函数3()3f x x x =-的单调区间吗？问题3：判断函数的单调性的常用方法有哪些？（定义法、图象法）问题4：单调性是对函数变化趋势（上升或下降的陡峭程度）的刻画，除此以外还有什么知识也刻画了函数变化的趋势？（设计意图：以问题形式复习相关的旧知识，引出新问题，通过创设问题情境，使学生产生强烈的问题意识，积极主动地参与到学习中。
）二、建构数学思考1：导数与切线斜率有什么关系？曲线切线斜率变化与图象的升降有什么关系？（几何画板演示）思考2：函数2()43f x x x =-+的导数的解析式是什么？回答导数在相应单调区间上的正负. （设计意图：在几何画板的动态演示中，让学生反复观察图形来感受导数在研究函数单调性中的作用，一方面加强学生对导数本质的认识，把他们从抽象的定义中解放出来；另一方面体现数形结合这一重要的思想方法在数学学习中的意义和作用.）思考3：这种情况是否具有一般性呢？学生活动：将观察结果填入下表:（设计意图：在学生得到初步结论之后，为了检验这一结论的普遍性，引领学生从具体的函数出发，体会从特殊到一般，从具体到抽象的过程，降低思维难度.）思考4：依据上述分析，可得出什么结论？导数与函数的单调性的关系：一般地，对于函数()y f x =，如果在某区间上()0f x '>，那么()f x 为该区间上的增函数；如果在某区间上()0f x '<，那么()f x 为该区间上的减函数．（设计意图：通过观察、猜想到归纳总结，让学生体验知识的发现、发生过程，变被动灌输为学生主动认知，从而使之成为课堂活动的主体。
江苏省徐州市高中数学第一章导数及其应用1.3.1导数在研究函数中的应用—单调性教案2苏教版选修2-2
导数在研究函数中的应用（单调性)教学目标：1.知识与技能(1）探索函数的导数与单调性之间的关系。
（2)利用导数与函数单调性之间的关系求函数的单调区间、证明函数的单调性。
2。
过程与方法通过本节的学习，掌握用导数研究函数单调性的方法.3。
情感、态度、价值观教学过程中让学生多动手、勤思考、善总结，引导学生养成自主学习的习惯。
教学重点、难点:探索并应用导数与函数单调性之间的关系求函数的单调区间，证明函数的单调性.教学方法与教学手段:启发式，多媒体教学。
教学过程：一、提出问题师：我们知道，导数作为函数的变化率，它刻画了函数的变化的趋势(上升或下降的陡峭程度），请大家回忆一下，在我们过去学习的知识中,还有什么也是刻画函数的变化趋势的?生：单调性。
师：既然导数与单调性都能够刻画函数的变化趋势，那么它们之间有着怎样的联系呢？二、数学建构（1）提出猜想:学生研究，汇报成果,教师引导学生得到两个结论.1。
)(x f 单调递增 0)(>'x f2。
0)(>'x f )(x f 单调递增 （2）验证猜想：根据下面的图说明猜想2：引导学生通过举反例来否定猜想1。
（3）确认结论：师：事实上，数学的很多结论都是实际生活和自然规律的反映.比如，当汽车行驶时，其速度的导数即为瞬时加速度，刚启动时，加速度为正，所以速度越来越快；而在刹车的过程中,加速度为负，所以速度越来越慢.三、数学应用：例1函数34)(2+-=x x x f 的单调区间为 。
例2 确定函数762)(23+-=x x x f 的单调增区间。
O xyab P (x 1,f (x 1)Q (x 2,f (x例3 用导数证明：函数)23,2(,sin )(ππ∈=x x x f 为减函数.四、回顾反思问题1：我们怎么想到研究导数与单调性之间的关系的？问题2:我们是怎样研究这个问题的？问题3：我们得到了哪些结论？问题4：运用上述结论,解决了哪些问题?五、课堂巩固1.函数x x x f ln )(=的减区间为 。
高中数学第一章导数及其应用1.3.1导数在研究函数中的应用_单调性教案3苏教版选修2
1.3.1导数在研究函数中的应用—单调性一. 教学目标1.通过实例，借助几何直观探索并了解函数的单调性与导数的关系，会利用导数判断函数的单调性、求函数的单调区间．2.通过初等方法与导数方法在研究函数性质过程中的比较，体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性，同时感受和体会数学自身发展的一般规律．3.在探索函数单调性与导数关系的过程中培养学生的观察、分析、概括的能力，渗透数形结合、化归、特殊到一般等数学思想方法．二. 教学重点与难点1. 教学重点：利用导数研究函数的单调性．2. 教学难点：发现和揭示导数的正、负与函数单调性的关系．三. 教学方法与教学手段1. 教学方法：“自主、合作、探究”教学法．2. 教学手段： 多媒体课件辅助．四．教学过程1．创设情境，引入新知.某市气象站对冬季某一天气温变化的数据统计显示，从2时至5时的气温f (x )与时间x 可近似地用函数()4ln 1f x x x =--拟合. 问：这段气温f (x )随时间x 的变化趋势如何？【问题1】如何研究函数()4ln 1([2,5])f x x x x =--∈的单调性？2．观察探究，形成新知.【问题2】函数的单调性是如何定义的？第一阶段：寻找函数的单调性与平均变化率间的联系．函数单调性定义的再认识：设函数()y f x =的定义域为A ，如果对于定义域A 内的某个区间I 上的任意两个自变量的值12,x x ，当12x x <时，都有12()()f x f x <，即12x x -与12()()f x f x -同号，从而有2121()()0f x f x x x ->-，即0y x ∆>∆，则函数()y f x =在区间I 上是单调增函数；当2121()()0f x f x x x -<-，即0y x ∆<∆，则函数()y f x =在区间I 上是单调减函数.【小结1】设函数()y f x =的定义域为A ，区间I A ⊆，任意1212,,x x I x x ∈≠，都有2121()()0f x f x y x x x -∆=>∆-（2121()()0f x f x y x x x -∆=<∆-），则函数()y f x =在区间I 上是单调增（减）函数.【问题3】能不能利用瞬时变化率（导数）研究函数的单调性呢？ 第二阶段：探究瞬时变化率（导数）与函数的单调性间的联系．[师生活动]以函数2()f x x =为例，引导其从导数几何意义的角度，借助几何画板演示寻找单调性与导数的关系.再让学生自主举出一些常见的初等函数，寻找单调性与导数的关系.【小结2】一般地，对于函数()y f x =，如果在某区间上()0f x '>，那么()f x 为该区间上的增函数；如果在某区间上()0f x '<，那么()f x 为该区间上的减函数．【问题4】上面是由特殊函数归纳出的结论，对于一般函数是否有这样的结论成立呢？ 第三阶段：借助几何画板，引导学生从“形”的角度来验证，并说明此结论的严格证明要到大学才学习，有兴趣同学可上网查阅相关资料.3．自主训练，理解新知.活动一 确定函数2()43f x x x =-+的单调性.活动二 确定下列函数的单调区间.（1）32()267f x x x =-+；（2）()4ln 1f x x x =--. 【小结3】利用导数求函数单调性的步骤：①求函数的定义域；②求导函数()f x '；③解不等式()0f x '>，得()f x 单调递增区间；解不等式()0f x '<，得()f x 单调递减区间.4. 回顾反思，提升能力.【问题5】通过这节课的学习，你有哪些收获？5. 分层作业，因材施教.（1）必做题：课本P29 练习1—4．（2）选做题：利用导数研究函数单调性这一知识还可以探究函数的哪些性质？精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。
高中数学第一章导数及其应用1.3.1导数在研究函数中的应用_单调性说课课件1苏教版选修2_2
数学建构 常见函数的单调区间和导数值 4
y x2
减区间 , 0
增区间 0, +
y ex
增区间 ,
y ln x
增区间 0, +
ysinxx0,
增区间
0, 2
减区间 2 Nhomakorabea,
5
x1,x2 0 , ,x1x2
有 f (x1) f (x2) 0 x1 x2
函数图象在 0, 上的割线
的斜率始终为正
数学探究
函数的单调性和函数图象的切线联系
函数图象在 0, 上的切线
的斜率始终为正
函数在 0, 上单调递增
函数在 0, 上
1
y
y
O
x
O
x
数学问题
2
已知单调性
1.函数 y e x 的单调性是
.
看单调性
2.函数 y ex x 的单调性是
.
看不出单调性
3.函数 y ex x 的单调性是
.
几何画板作图，直观感受单调性
数学探究
3
研究函数单调性的常用方法有哪些？
“形”：观察y=ex-x的图像，指出图像法的优缺点
几何解释
y f (x) 0
O
a x bx
y
f (x) 0
O ax
bx
数学运用
6
例1 确定函数 f(x)2x36x2+7
在哪些区间上是增函数.
数学运用
7
例2 已知函数 f ( x ) 的图象如图所示，试
作出y f (x)的草图.
高中数学 第1章 导数及其应用 1.3 导数在研究函数中的应用 1.3.1 单调性学案 苏教版选修2
1．3.1 单调性1.结合实例，直观探索并掌握函数的单调性与导数的关系．2.能利用导数研究函数的单调性，并能够利用单调性证明一些简单的不等式．3.会用导数法求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次)．1．导数与函数的单调性一般地，在某区间上函数y＝f(x)的单调性与导数有如下关系：导数函数的单调性f′(x)>单调递增f′(x)<单调递减f′(x)常数函数＝02．一般地，可导函数y＝f(x)在区间(a，b)内是增(减)函数的充要条件是：对任意的x∈(a，b)，都有f′(x)≥0(f′(x)≤0)，且f′(x)在(a，b)的任何子区间内都不恒等于0.1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)如果函数y＝f(x)在区间(a，b)内每一点都有导数，则该函数在区间(a，b)内可导．( )(2)任何一个函数在定义域或它的一个区间(a，b)上都是可导函数．( )(3)如果函数y＝f(x)在区间(a，b)上都有f′(x)＞0，那么f(x)在区间(a，b)内单调递增．( )(4)如果函数y＝f(x)在区间(a，b)上单调递增，那么它在区间(a，b)上都有f′(x)＞0.( )答案：(1)√ (2)× (3)√ (4)×2．函数f (x )＝2x 2－x 的单调递增区间是( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫14，＋∞B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，14C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，＋∞ D ．⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－15 答案：A3．函数f (x )＝ln x －ax (a >0)的单调增区间为________；单调减区间为________． 解析：f (x )的定义域为(0，＋∞)． 因为f ′(x )＝1x－a (a ＞0)，所以由f ′(x )＞0⇒0＜x ＜1a，由f ′(x )＜0解得x ＞1a，所以f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，1a 上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞上单调递减．答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞ 4．f ′(x )是函数y ＝f (x )的导函数，若y ＝f ′(x )的图象如图所示，则函数y ＝f (x )的图象可能是________．(填图象对应的序号)解析：由导函数图象知，当x <0时，f ′(x )>0，所以f (x )在(－∞，0)上单调递增，排除①③.当0<x <2时，f ′(x )<0，所以f (x )在(0，2)上单调递减，排除②.当x >2时，f ′(x )>0，所以f (x )在(2，＋∞)上单调递增．因此只有④符合．答案：④求函数的单调区间求下列函数的单调区间： (1)f (x )＝x 3－x ； (2)f (x )＝3x 2－2ln x .【解】 (1)函数的定义域为R ，f ′(x )＝3x 2－1＝(3x ＋1)(3x －1)，令f ′(x )>0得x >33或x <－33， 令f ′(x )<0得－33<x <33. 因此函数的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－33和⎝ ⎛⎭⎪⎫33，＋∞，单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，33.(2)函数的定义域为(0，＋∞)， f ′(x )＝6x －2x ＝2·3x 2－1x .令f ′(x )>0，即2·3x 2－1x>0，解得－33<x <0或x >33. 又因为x >0，所以x >33； 令f ′(x )<0，即2·3x 2－1x<0.解得x <－33或0<x <33， 又因为x >0，所以0<x <33. 所以f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎭⎪⎫33，＋∞，单调递减区间为⎝⎛⎭⎪⎫0，33.求函数单调区间的注意事项(1)步骤：(2)含有参数的函数求单调区间时应注意分类讨论．1.求下列函数的单调区间：(1)f (x )＝x 4－2x 2＋3； (2)f (x )＝x ＋b x(b >0)． 解：(1)函数f (x )的定义域为R .f ′(x )＝4x 3－4x ＝4x (x 2－1)＝4x (x ＋1)(x －1)．令f ′(x )>0，则4x (x ＋1)(x －1)>0， 解得－1<x <0或x >1，所以函数f (x )的单调递增区间为(－1，0)和(1，＋∞)． 令f ′(x )<0，则4x (x ＋1)(x －1)<0. 解得x <－1或0<x <1.所以函数f (x )的单调递减区间为(－∞，－1)和(0，1)． (2)函数的定义域为{x |x ≠0}．f ′(x )＝1－b x 2＝1x2(x ＋b )(x －b )．令f ′(x )>0，则1x2(x ＋b )(x －b )>0.所以x >b 或x <－b .所以函数的单调递增区间为(－∞，－b )和(b ，＋∞)． 令f ′(x )<0，则1x2(x ＋b )(x －b )<0，解得－b <x <b 且x ≠0，所以函数的单调递减区间为(－b ，0)和(0，b )．判断或证明函数的单调性求证函数f (x )＝sin x ＋tan x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2内为增函数．【证明】 因为f (x )＝sin x ＋tan x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2内恒有意义， 且f ′(x )＝(sin x )′＋(tan x )′＝cos x ＋(sin x )′cos x －(cos x )′sin xcos 2x ＝cos x ＋1cos 2x ＝1＋cos 3xcos 2x. 又因为x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2， 所以0＜cos x ≤1，所以f ′(x )＞0，所以f (x )＝sin x ＋tan x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2内为增函数．用导数判断或证明函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内单调递增(减)的步骤： (1)求出y ＝f (x )的导数f ′(x )；(2)证明导数y ＝f ′(x )在区间(a ，b )内恒正(恒负)； (3)下结论y ＝f (x )在区间(a ，b )内为增函数(减函数)．2.证明：函数f (x )＝ln xx在区间(0，e)上是增函数．证明：因为f (x )＝ln xx，所以f ′(x )＝x ·1x －ln xx 2＝1－ln xx 2.又0＜x ＜e ，所以ln x ＜ln e ＝1. 所以f ′(x )＝1－ln xx2＞0， 故f (x )在区间(0，e)上是单调递增函数．由函数单调性求参数的取值范围已知函数f (x )＝x 3－ax －1.若f (x )在R 上为增函数，求实数a 的取值范围． 【解】 f ′(x )＝3x 2－a .因为f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数，所以f ′(x )＝3x 2－a ≥0在(－∞，＋∞)上恒成立， 即a ≤3x 2对x ∈R 恒成立．因为3x 2≥0，所以只需a ≤0.又因为a ＝0时，f ′(x )＝3x 2≥0，f (x )＝x 3－1在R 上是增函数，所以a ≤0，即实数a 的取值范围为(－∞，0]．1．若函数f (x )不变，若f (x )在区间(－1，1)上为减函数，试求a 的取值范围． 解：由f ′(x )＝3x 2－a ≤0在(－1，1)上恒成立，得a ≥3x 2在(－1，1)上恒成立．因为－1<x <1，所以3x 2<3，所以a ≥3.即当a 的取值范围为[3，＋∞)时，f (x )在(－1，1)上为减函数．2．函数f (x )不变，若f (x )的单调递减区间为(－1，1)，求a 的值． 解：由本例可知，f (x )的单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－3a 3，3a 3， 所以3a3＝1，即a ＝3.在某个区间上，f ′(x )>0(或f ′(x )<0)，f (x )在这个区间上单调递增(或递减)；但由f (x )在这个区间上单调递增(递减)而仅仅得到f ′(x )>0(或f ′(x )<0)是不够的，即还有可能f ′(x )≥0(f ′(x )≤0)也能使得f (x )在这个区间上单调递增(递减)，因而对于能否取到等号的问题需要单独验证．3.若函数f (x )＝13x 3－12ax 2＋(a －1)x ＋1在区间(1，4)上为减函数，在区间(6，＋∞)上为增函数，试求实数a 的取值范围．解：函数f (x )的导数f ′(x )＝x 2－ax ＋a －1. 令f ′(x )＝0，解得x ＝1或x ＝a －1.当a －1≤1，即a ≤2时，函数f (x )在(1，＋∞)上为增函数，不合题意．当a －1>1，即a >2时，函数f (x )在(－∞，1)上为增函数，在(1，a －1)上为减函数，在(a －1，＋∞)上为增函数．依题意有当x ∈(1，4)时，f ′(x )<0， 当x ∈(6，＋∞)时，f ′(x )>0， 所以4≤a －1≤6，即5≤a ≤7， 所以a 的取值范围是[5，7]．对函数的单调性与其导函数的关系的理解(1)用曲线的切线的斜率来理解．我们知道，导数f ′(x )表示函数y ＝f (x )在点(x ，f (x ))处的切线的斜率，如果f ′(x )>0，则切线的倾斜角为锐角，函数曲线呈向上增加状态，即函数单调递增；如果f ′(x )<0，则切线的倾斜角为钝角，函数曲线呈向下减少状态，即函数单调递减．(2)对于函数y ＝f (x )来说，其导函数f ′(x )反映的是y 在x 点处的瞬时变化率，而函数的单调性描述的是y 随x 的增加而增加或y 随x 的增加而减少，二者反映的都是函数的变化．(3)如果在某个区间(a ，b )内恒有f ′(x )＝0，则函数f (x )在此区间内为常数函数．已知函数f (x )＝2x 3＋32tx 2－3t 2x ＋t －12(t ≠0)，求f (x )的单调区间．【解】 f ′(x )＝6x 2＋3tx －3t 2＝3(2x －t )(x ＋t )． 令f ′(x )＝0，得x ＝－t 或x ＝t2. 因为t ≠0，以下分两种情况进行讨论： ①若t ＜0，则t2＜－t .由f ′(x )＞0，得x ＜t2或x ＞－t ；由f ′(x )＜0，得t2＜x ＜－t .②若t ＞0，则t2＞－t .由f ′(x )＞0，得x ＜－t 或x ＞t2；由f ′(x )＜0，得－t ＜x ＜t2.所以当t ＜0时，f (x )的递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，t 2，(－t ，＋∞)，递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫t2，－t ；当t ＞0时，f (x )的递增区间为(－∞，－t )，⎝ ⎛⎭⎪⎫t2，＋∞，递减区间为⎝⎛⎭⎪⎫－t ，t2.有的函数含有字母参数时，求单调区间一般要分类讨论．由于分类讨论的标准选择错误导致解题失分．不同的化归方法和运算程序往往使分类方法不同，应注意分类讨论的准确性．一般来说，分类讨论可从以下几方面考虑：①函数的定义域；②f ′(x )＝0有无实根；③f ′(x )＝0根的大小．1．下列函数中，在(0，＋∞)内为增函数的是( ) A ．y ＝sin x B ．y ＝x e xC ．y ＝x 3－x D ．y ＝ln x －x解析：选B ．B 中，y ′＝(x e x)′＝e x＋x e x＝e x(x ＋1)>0在(0，＋∞)上恒成立，所以y ＝x e x在(0，＋∞)上为增函数．对于A 、C 、D 都存在x >0，使y ′<0的情况．2．函数f (x )＝x ln x ( ) A ．在(0，5)上是增函数 B ．在(0，5)上是减函数C ．在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 上是减函数，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，5上是增函数D ．在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 上是增函数，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，5上是减函数 解析：选C ．由f (x )＝x ln x ，可得f ′(x )＝ln x ＋x ·1x＝ln x ＋1.由f ′(x )>0，可得x >1e ；由f ′(x )<0，可得0<x <1e.所以函数f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，1e 上是减函数，在⎝⎛⎭⎪⎫1e，5上是增函数．3．函数f (x )＝x －2sin x 在(0，π)上的单调递增区间为________． 解析：令f ′(x )＝1－2cos x >0，得cos x ＜12，又x ∈(0，π)，所以π3＜x ＜π.答案：⎝⎛⎭⎪⎫π3，π4．若函数f (x )＝x 2－ax在(1，＋∞)上单调递增，则实数a 的取值范围是________． 解析：f ′(x )＝2x ＋a x 2.令f ′(x )≥0，即2x ＋a x2≥0，a ≥－2x 3，由于g (x )＝－2x 3在(1，＋∞)上满足g (x )＜g (1)＝－2，所以要使a ≥－2x 3在(1，＋∞)上恒成立，应有a ≥－2.答案：a ≥－2[A 基础达标]1．函数f (x )＝(x －3)e x的单调递增区间是( ) A ．(－∞，2) B ．(0，3) C ．(1，4)D ．(2，＋∞)解析：选D ．f ′(x )＝e x＋(x －3)e x＝(x －2)e x，当f ′(x )>0，即x >2时，f (x )单调递增，故选D ．2．函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，其中a ，b ，c 为实数，当a 2－3b <0时，f (x )在R 上( ) A ．是增函数 B ．是减函数 C ．是常函数D ．既不是增函数也不是减函数解析：选A ．f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，方程3x 2＋2ax ＋b ＝0的根的判别式Δ＝(2a )2－4×3b ＝4(a 2－3b )．因为a 2－3b <0，所以Δ＝4(a 2－3b )<0，所以f ′(x )在R 上恒大于0，故f (x )在R 上是增函数．3．已知函数y ＝f (x )的图象如图所示，则函数y ＝f ′(x )的图象可能是图中的( )解析：选C．由函数y＝f(x)的图象的增减变化趋势可判断函数y＝f′(x)取值的正负情况如下表：x (－1，b)(b，a)(a，1)f(x)f′(x)－＋－由表，可知当x x∈(b，a)时，函数y＝f′(x)的图象在x轴上方；当x∈(a，1)时，函数y＝f′(x)的图象在x轴下方．故选C．4．已知函数f(x)＝x＋ln x，则下列选项正确的是( )A．f(e)<f(π)<f(2，7)B．f(π)<f(e)<f(2.7)C．f(e)<f(2.7)<f(π)D．f(2.7)<f(e)<f(π)解析：选D．由已知，得f(x)的定义域为(0，＋∞)．因为f′(x)＝(x＋ln x)′＝(x)′＋(ln x)′＝12x＋1x>0，所以f(x)在(0，＋∞)上是增函数．因为 2.7<e<π，所以f(2.7)<f(e)<f(π)，选D．5．若函数f(x)＝kx－ln x在区间(1，＋∞)上单调递增，则k的取值范围是( ) A．(－∞，－2] B．(－∞，－1]C．[2，＋∞) D．[1，＋∞)解析：选D．因为f(x)＝kx－ln x，所以f′(x)＝k－1x.因为f(x)在区间(1，＋∞)上单调递增，且f′(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以f′(1)＝k－1≥0，所以k≥1.6．已知m 是实数，函数f (x )＝x 2(x －m )，若f ′(－1)＝－1，则函数f (x )的单调减区间是________．解析：f ′(x )＝2x (x －m )＋x 2， 因为f ′(－1)＝－1，所以－2(－1－m )＋1＝－1，解得m ＝－2， 令f ′(x )＝2x (x ＋2)＋x 2<0， 解得－43<x <0，得函数f (x )的单调减区间是(－43，0)．答案：(－43，0)7．设f (x )＝－13x 3＋12x 2＋2ax ，若f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞上存在单调递增区间，则a 的取值范围是________．解析：由f ′(x )＝－x 2＋x ＋2a ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋14＋2a ，当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞时，f ′(x )的最大值为f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝29＋2a .令29＋2a ＞0，得a ＞－19.所以，当a ＞－19时，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞上存在单调递增区间．答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－19，＋∞ 8．设函数f (x )＝12x 2－9ln x 在区间[a －1，a ＋1]上单调递减，则实数a 的取值范围是________．解析：因为f (x )＝12x 2－9ln x ，所以f ′(x )＝x －9x (x ＞0)．令x －9x≤0，解得0＜x ≤3，即函数f (x )在(0，3]上是减函数， 所以a －1＞0且a ＋1≤3， 解得1＜a ≤2.答案：(1，2]9．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx (a ，b ∈R )的图象过点P (1，2)，且在点P 处的切线斜率为8.(1)求a ，b 的值；(2)求函数f (x )的单调区间．解：(1)因为函数f (x )的图象过点P (1，2)， 所以f (1)＝2， 所以a ＋b ＝1.①又函数图象在点P 处的切线斜率为8， 所以f ′(1)＝8.又f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ， 所以2a ＋b ＝5.② 解由①②组成的方程组， 可得a ＝4，b ＝－3.(2)由第一问得f ′(x )＝3x 2＋8x －3， 令f ′(x )>0，可得x <－3或x >13；令f ′(x )<0，可得－3<x <13.所以函数f (x )的单调增区间为(－∞，－3)，(13，＋∞)，单调减区间为⎝⎛⎭⎪⎫－3，13. 10．设f (x )＝13ax 3＋x 恰有三个单调区间，试确定a 的取值范围，并求其单调区间．解：f ′(x )＝ax 2＋1.若a ≥0，f ′(x )＞0恒成立，此时f (x )在(－∞，＋∞)上为增函数，即只有一个单调区间(－∞，＋∞)，所以a ＜0.当a ＜0时，由f ′(x )＞0得－－1a ＜x ＜－1a，由f ′(x )＜0得x ＜－－1a或x ＞－1a，即a ＜0时，f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫－ －1a，－1a 上为增函数，在⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－－1a ，⎝⎛⎭⎪⎫－1a，＋∞上为减函数．综上可知，a ＜0时有3个单调区间，分别是⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－－1a ，⎝⎛⎭⎪⎫－－1a，－1a ，⎝⎛⎭⎪⎫ －1a，＋∞.[B 能力提升]1．已知函数f (x )＝x 2－ax ＋3在(0，1)上为减函数，函数g (x )＝x 2－a ln x 在(1，2)上为增函数，则a ＝( )A ．1B ．2C ．0D ． 2解析：选B ．因为函数f (x )＝x 2－ax ＋3在(0，1)上为减函数，所以a2≥1，得a ≥2.g ′(x )＝2x －a x，依题意g ′(x )≥0在(1，2)上恒成立，即2x 2≥a 在(1，2)上恒成立，有a ≤2，所以a ＝2.2．设f (x )、g (x )是R 上的可导函数，f ′(x )，g ′(x )分别为f (x )、g (x )的导函数，且满足f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )<0，则当a <x <b 时，下列各式成立的是________．(填序号)①f (x )g (b )>f (b )g (x )； ②f (x )g (a )>f (a )g (x )； ③f (x )g (x )>f (b )g (b )； ④f (x )g (x )>f (a )g (a )． 解析：令y ＝f (x )·g (x )，则y ′＝f ′(x )·g (x )＋f (x )·g ′(x )， 由于f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )<0， 所以y 在R 上单调递减， 又x <b ，故f (x )g (x )>f (b )g (b )． 答案：③3．若函数f (x )＝x 3－ax 2＋1在[0，2]内单调递减，求实数a 的取值范围． 解：法一：f ′(x )＝3x 2－2ax ＝x (3x －2a )．当a ＝0时，f ′(x )≥0(等号不恒成立)，故y ＝f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增，与y ＝f (x )在[0，2]内单调递减不符，舍去．当a ＜0时，由f ′(x )≤0得23a ≤x ≤0，即f (x )的减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤23a ，0，与y ＝f (x )在[0，2]内单调递减不符，舍去．当a ＞0时，由f ′(x )≤0得0≤x ≤23a ，即f (x )的减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，23a .由y ＝f (x )在[0，2]内单调递减得23a ≥2得a ≥3.综上可知，a 的取值范围是[3，＋∞)． 法二：f ′(x )＝3x 2－2ax .由y ＝f (x )在[0，2]内单调递减知3x 2－2ax ≤0在[0，2]内恒成立． 当x ＝0时，由3x 2－2ax ≤0在[0，2]内恒成立得a ∈R ； 当x ≠0时，由3x 2－2ax ≤0在(0，2]内恒成立， 即a ≥32x 恒成立，故只需a ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫32x max ， 又32x 在(0，2]上的最大值为3，故a ≥3. 综上可知，a 的取值范围是[3，＋∞)． 4．(选做题)设函数f (x )＝x e kx(k ≠0)． (1)求函数f (x )的单调区间；(2)若函数f (x )在区间(－1，1)内单调递增，求k 的取值范围． 解：(1)由f ′(x )＝(1＋kx )e kx＝0，得x ＝－1k(k ≠0)．若k >0，则当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－1k 时，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－1k，＋∞时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增．若k <0，则当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－1k 时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－1k，＋∞时，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减．(2)由第一问知，若k >0，则当且仅当－1k≤－1，即0<k ≤1时，函数f (x )在(－1，1)内单调递增；若k <0，则当且仅当－1k≥1，即－1≤k <0时，函数f (x )在(－1，1)内单调递增．综上可知，函数f (x )在区间(－1，1)内单调递增时，k 的取值范围是[－1，0)∪(0，1]．。
高中数学第一章导数及其应用1.3.1导数在研究函数中的应用—单调性(1)教案2数学教案
导数在研究函数中的应用——单调性1.教学目标：（1）通过实例，借助几何直观探索并了解函数单调性与导数的关系； （2）会利用导数判断简单函数的单调区间。
2.教学重点、难点：探索并了解函数单调性与导数的关系3.教学方法与教学手段：启发与探究教学相结合4.教学过程： 一、问题情境：同学们，为了研究函数的变化趋势，我们引进了导数。
那么，导数对于我们研究函数的变化趋势到底有没有作用？作用有多大呢？带着这个问题，让我们开启今天的知识之旅吧！ 二、知识建构：学生活动（一）——初步判断 问题1：什么叫导数？问题2：1）函数的变化趋势怎么体现？2）单调性定义是怎样的？问题3：请对比一下导数和单调性定义，你有何猜想？ 学生讨论得：学生活动（二）——数学实验 1.请你以一个熟悉的函数为例，画出函数草图，探究该函数在单调区间上的导数符号与其单调性的关系。
（投影呈现学生的实验数据）参考实验数据，对猜想的真假进行判断，并获得如下结论：2.从图形上直观理解上述结论。
（动画演示）三、数学应用例13.例2、确定函数762)(23+-=x x x f 在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函数. 例3、确定函数)2,0(,sin )(π∈=xx x f 的单调减区间. 四、课堂小结 1.学生分享课堂感悟2.老师小结：今天，我们研究并获得了一个重要结论。
首先，我们从导数定义出发，发现xy∆∆与导数的关系；另一方面，我们又从函数单调性定义中发现：研究单调性就是研究xy∆∆的符号！结合两方面，我们得到了一个猜想，接着通过大量的实验，从数形两方面对猜想进行了验证和感受，最终获得了一个判断函数单调性的有效工具——导数！这种，由观察、猜想到验证并得到结论的过程，也是我们研究数学问题的一般方法！ 介于此，与大家分享一句名言：最有价值的知识是关于方法的知识。
The most valuable knowledge is the knowledge of the method.——达尔文五、布置作业：习题1.3 第2题 六、课堂提升：回顾前面的动画演示过程，观察动画并思考：除了导数与单调性关系，你认为还有哪些方面值得我们研究与探讨的呢？ 教学设计说明：1.导数是进一步学习数学和其他自然科学的基础，是现代科学技术研究必不可少的工具。
江苏省徐州市高中数学 第一章 导数及其应用 1.3.1 导数在研究函数中的应用—单调性教案8 苏教版选修2-2
导数在研究函数中的应用——单调性教学目标：1．能利用导数研究函数的单调性，并会求一些简单的非初等函数的单调区间；2．通过实例，借助几何直观探索并了解函数的单调性与导数的关系；通过初等方法与导数方法在研究函数性质过程中的比较，体会导数在研究函数性质中的一般性和有效性.教学重点、难点：重点：利用导数研究函数的单调性．难点：发现和揭示导数的正、负与函数单调性的关系．教学方法与手段采用学生自主合作学习，师生共同探究的教学方法，结合多媒体辅助教学．教学过程一．问题情境（1）复习回顾：1、导数的定义？2、导数的几何意义？（2）问题：导数作为函数的变化率刻画了函数的变化趋势（上升或下降的陡峭程度），而函数的单调性也是对函数变化得趋势的一种刻画，那么导数与函数单调性有什么联系呢？二．学生活动与师生互动 导数与函数的单调性的联系：1．从导数的定义和函数的单调性的定义的联系考虑任意D x ∈，0)(>'x f⇒当0→∆x 时，0)()(>∆-∆+x x f x x f ⇒当12x x →时，0)()(1212>--x x x f x f ⇒当21x x <时，)()(21x f x f <或当21x x >时，)()(21x f x f >⇒ f (x )在D 上是单调增函数同理可得，若在区间D 上0)(<'x f ，则f (x )在D 上是单调减函数．2．从几何角度考虑曲线上一点P 处的切线是过点P 的所有直线中最接近P点附近曲线的直线，也就是说，在点P 附近，曲线可以看成直线(局部以直代曲) ，因此P 点处的变化趋势可以由该点处的切线反映．当切线的斜率大于0时，曲线在P点处呈上升趋势；当切线的斜率小于0时，曲线在P 点处呈下降趋势；三．数学建构1．导数与函数的单调性的关系：一般地， 对于函数)(x f y=， 如果在某区间上0)(>'x f ，那么)(x f 为该区间上的增函数； 如果在某区间上0)(<'x f ，那么)(x f 为该区间上的减函数．2．用导数求函数单调区间的步骤：①确定函数)(x f 的定义域;②求函数)(x f 的导数)(x f '；③令0)(>'x f ，解不等式，得x 的范围就是递增区间； 令0)(<'x f ，解不等式，得x 的范围就是递减区间．四．数学运用例1: 确定函数34)(2+-=x x x f 的单调区间．法一：利用函数图象判断函数的单调性；法二：利用导数判断函数的单调性．问：请根据函数)(x f y=和导函数)(x f y '=的图象，进一步研究和理解函数)(x f y =的单调性与导函数)(x f y '=的关系？ 例2：确定函数762)(23+-=x x x f 在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函数．解：f ′(x )＝(2x 3－6x 2＋7)′＝6x 2－12x令6x 2－12x ＞0，解得x ＞2或x ＜0∴当x ∈(－∞，0)时，f ′(x )＞0，f (x )是增函数．当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )＞0，f (x )是增函数．令6x 2－12x ＜0，解得0＜x ＜2．∴当x ∈(0，2)时，f ′(x )＜0，f (x )是减函数．例3：确定函数)2,0(,21sin )(π∈-=x x x x f 的单调减区间． 解：21cos )(-='x x f 令0)(<'x f ，即21cos <x ，又)2,0(π∈x ，所有)35,3(ππ∈x ． 故所求的单调减区间是)35,3(ππ． 变式训练：确定函数x x x f 21sin )(-=的单调减区间． 练习：确定下列函数的单调区间．（1）x e x f x -=)(； （2）x x x f -=3)(； （3）x x x f ln )(=． 五．回顾小结通过本节课的学习，你学到了哪些新知识？能解决哪些问题？本节课我们用到了哪些数学思想方法？六．课外作业课本 P29练习 第1，2，3，4题．教学设计说明《导数在研究函数中的应用——单调性》是苏教版普通高中课程标准实验教材选修2-2第一章第三节的内容，课时安排约一课时． 利用导数研究函数的单调性是导数最重要的应用，如何让学生探索并掌握导数与函数单调性的关系是本节课重点．在探索新知的过程中充分的利用数形结合、归纳猜想、转化与化归等思想方法潜移默化地让学生获得科学方法的有益启示．在复习相关的旧知识后，直接引出新问题：导数作为函数的变化率刻画了函数的变化趋势（上升或下降的陡峭程度），而函数的单调性也是对函数变化得趋势的一种刻画，那么导数与函数单调性有什么联系呢？引导学生从两个方面进行思考，一是从导数的定义和函数的单调性的定义的联系考虑，二是从从几何角度考虑．让学生积极主动地参与到学习中，激发学生对学习新知识的兴趣，主动寻求解决问题的办法．结合具体实例，通过对函数图像、单调性定义、导数的定义及几何意义的的分析和探究，逐步寻到函数的单调性和导数之间的关系．通过观察、猜想到归纳、总结，让学生体验知识的发现、发生过程，变灌注知识为学生主动获取知识，从而使之成为课堂教学活动的主体．本节课例题与练习的设置主要围绕利用导数求函数的单调区间，题目设计也考虑类型，让学生会求一些简单的非初等函数的单调区间．通过初等方法与导数方法在研究函数性质过程中的比较，体会导数在研究函数性质中的一般性和有效性.反思总结用问题给出，由学生自主概括回答，培养学生多质疑，多反思，多总结的好习惯.。
江苏省徐州市高中数学 第一章 导数及其应用 1.3.1 导数在研究函数中的应用—单调性(2)教案 苏教版选修22
导数在研究函数中的应用——单调性教学目标1. 通过实例，借助函数图象直观探索并了解函数的单调性与导数的关系，体会数形结合思想，培养合情推理的能力；2. 通过实例的解决初步熟悉应用导数解决单调性问题的步骤，感受数形结合思想的重要性；3. 通过初等方法与导数方法在研究函数性质过程中的比较，体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性，同时感受和体会数学自身发展的一般规律.教学重点、难点探究函数的单调性与其导数的关系，深化对单调性的理解.教学方法与教学手段探究发现式教学法、多媒体辅助教学.教学过程导数作为函数的变化率刻画了函数变化的趋势（上升或下降的陡峭程度），而函数的单调性也是对函数变化趋势的一种刻画，那么，导数与函数的单调性有什么联系呢？一、情景引入高山有起有伏，运动员的运动轨迹有上升，有下降，在我们的数学中函数的哪种性质也刻画了这种上升、下降的变化趋势？通过高山滑雪的精彩场景，引导学生联想雪山的上升(下降)同函数单调性的关联.回顾必修1对函数单调性的定义.以函数的单调性与导数两条主线的交汇切入，通过问题串的形式，让学生充分探究，启发学生发现在给定区间导数值的正负与函数的单调性的联系，并给出结论.二、学生活动与师生互动问题1 该函数为定义域上的增函数，还是减函数？问题2 该曲线上的任意一点处的切线斜率是正，还是负？问题3 该曲线上的任意一点处的导数值是正，还是负？问题4 结合以上两组探究，在给定区间导数值的正负与函数的单调性有什么联系？（引导学生讨论并写出自己的结论）三、建构数学 对于函数()y f x =，如果在某区间上0)('>x f ，那么()f x 为该区间上的增函数；如果在某区间上'()0f x <，那么()f x 为该区间上的减函数.(上述结论是否具有一般性呢？ )四、数学运用运用1例1 确定函数34)(2+-=x x x f 在哪个区间上是增函数，在哪个区间上是减函数. 解 42)(/-=x x f ，令0)(/>x f ，解得2>x .因此，在区间），（∞+2上，0)(/>x f ，)(x f 是增函数；在区间）（2,∞-上，0)(/<x f ，)(x f 是减函数.例1起到验证结论的作用.学生运用结论求解此题，与运用以前的知识得到的结果一致. 运用2例2 确定函数32()267f x x x =-+在哪些区间上是增函数. 解 /2()612f x x x =-.令0)(/>x f ，解得0x <或2x >.因此，在区间(,0)-∞上，0)(/>x f ，()f x 是增函数；在区间(2,)+∞上，0)(/>x f ，()f x 也是增函数.通过该例题进一步让学生理解导数和函数的单调性的关系，将知识技能化，形成解题的方法和步骤.完成课堂练习第29页练习的第1题.例3 确定函数x x f sin )(= ))2,0((π∈x 的单调减区间.(三个例题逐层推进，体会导数在研究函数单调性中的一般性.)完成课堂练习第29页练习第3， 4题.五、回顾小结1.通过本节课的学习，同学们学到了什么？2.通过本节课的学习，你能解决什么问题？（试结合3yx =进行思考：如果()f x 在某区间上单调递增，那么在该区间上必有/()0f x >吗？）六、课后作业课本第34页习题1.3的第1，2题.设计说明：在必修1和必修4中，我们研究过函数、三角函数，知道函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型.变化规律可以用函数的性质来描述，函数的单调性是函数的重要性质之一.之前我们直接根据函数单调性的定义，研究函数的单调性，现在我们运用导数这个工具研究函数的单调性，体会导数在研究函数中的应用，并与必修1、必修4中的方法进行验证、比较，体会导数在研究函数中的优越性.函数单调性的定义在必修1中已经介绍，当时直接根据单调性的定义研究函数的单调性，进一步将函数单调性的定义改写成平均变化率的形式.导数是在研究变化现象中产生的，我们可由函数的某段平均变化率逐步逼近函数在某点的瞬时变化率，即导数.这两条线的交汇处，即知识生成，得出结论.结合学生学过的指数函数、对数函数，借助函数的图象（几何直观），让学生观察，然后探讨导数值的正负与函数单调性的关系.在学生观察、探讨的基础上归纳出导数值的正负与函数单调性之间的关系.继而利用学生学习过的二次函数来验证结论，归纳解题步骤，进一步将结论运用到三次函数和其它函数模型，来确定它们在哪些区间上是增函数，在哪些区间上是减函数.通过初等方法与导数方法在研究函数性质的过程中的比较，体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性，同时感受和体会数学自身发展的一般规律.。
高中数学 第一章 导数及其应用 1.3.1 导数在研究函数中的应用—单调性教学设计1 苏教版选修2
江苏省徐州市高中数学第一章导数及其应用1.3.1 导数在研究函数中的应用—单调性教学设计1 苏教版选修2-2编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（江苏省徐州市高中数学第一章导数及其应用1.3.1 导数在研究函数中的应用—单调性教学设计1 苏教版选修2-2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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1.3导数在研究函数中的应用教学目标：1、知识与技能目标：通过实例,借助图形直观探索并了解导数与函数单调性的关系，理解并掌握利用导数研究函数的单调性以及求解函数单调区间；2、过程与方法目标:会用导数研究函数单调性,并会用导数求解函数单调区间；3、情感态度与价值观目标：探究导数与函数单调性关系的过程中培养学生数形结合思想和从特殊到一般的数学思想，以及发现问题、解决问题的能力。
教学重点：利用导数研究函数的单调性，求函数的单调区间； 教学难点：发现和揭示导数值的符号与函数单调性的关系；教学方法与手段：探究式教学模式；利用多媒体现代设备教学教学过程：一、 复习回顾：我们知道平均变化率可以刻画函数的变化趋势，大家还记得 问题1：函数()y f x =在区间[]12,x x 上平均变化率的数学表达式吗？生1：()()2121f x f x x x --(教师板书）， 师:那你能给出这个二次函数()243f x x x =-+在[]12,x x 上的平均变化率吗？问题2：导数的概念和它的几何意义?生2:()()()2121121f x f x x x f x x x -'→→-时，(教师板书） 师：这个导数又有什么几何意义？生2：曲线()y f x =在点()()11,x f x 处切线的斜率师:这个二次函数()243f x x x =-+，它对应的()1f x '又是什么？生3：()1124f x x '=-师：今天我们一起来学习导数在研究函数中的应用，导数作为函数变化率比较精确地刻画了函数的变化趋势，（板书“导数在研究函数 中的应用”）二、建构数学师：观察二次函数()243f x x x =-+图象，请大家给出在对称轴左右两侧函数的变化趋势 生：对称轴2x =左边下降趋势，对称轴2x =右边上升趋势，师：也就是在(),2-∞为减函数，在()2,+∞为增函数，这也是函数的单调性师：你是怎样判断函数单调性的？生：图象法（教师板书)师：我们曾经还学习过判断函数单调性还有什么方法？生:定义法（教师板书）问题3:那函数单调性定义又是什么?生：函数()y f x =的定义域为A ，区间I A ⊆，任取12,x x I ∈，当12x x <时，()()12f x f x <，则()y f x =在区间I 上是单调增函数;()()12f x f x >，则()y f x =在区间I 上是单调减函数。
高中数学 第一章 导数及其应用 1.3.1 导数在研究函数中的应用—单调性教案9 苏教版选修2-2
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导数在研究函数中的应用—单调性1.教学目标:(1）知识与技能：了解函数单调性与导数的关系,会求不超过3次的多项式函数的单调区间。
（2)过程与方法：通过初等方法与导数方法在研究函数过程中的比较，体会导数方法在研究函数性质中的一般性与有效性,同时感受和体会数学自身发展的一般规律.(3）情感、态度与价值观：使学生对变量数学的思想方法有新的感悟，进一步发展学生的思维能力、应用意识,促进学生全面认识数学价值，体会数学的广泛应用!2。
教学重点：利用导数研究函数的单调性。
教学难点：引导学生发现函数的单调性与其导数的关系.3。
教学方法：本节课采用以问题为主线引发学生数学思维活动，探索概念并加以完善和应用。
教学手段:运用多媒体辅助教学。
4.教学过程：（一)课前导入，巩固已学方法概念，点明课题问题1：我们刚刚经过二十四节气的大雪，那下一个节气是什么？冬至：俗话说‘夏至短，冬至长’，所以，冬至这一天白昼时间最短，夜的时间最长,从冬至起，夜间变短，白天变长。
师点明课题：函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型，刻画函数变化趋势的知识就是函数的单调性，这节课我就和同学们一起来再研究函数的单调性（板书:单调性）问题2：我们已学过的函数有哪些？ 教师从中选取几个，并列表呈现出来： y x =，2y x =，1y x=，ln y x = 问题3：已学过哪些确定函数单调区间的方法？问题4:函数单调性的定义内容是什么?（学生活动：思考，并回答）设计意图：引导学生复习巩固已学过的函数以及确定函数单调区间的方法、函数单调性的定义——刻画函数变化趋势的本质和理论依据！（二）创设情境,引出问题.问题1：你能确定函数：3y x x=-，ln xyx=的单调区间吗？(学生活动:利用定义法和图像法去尝试！）教师点明:这些简单函数通过四则运算构造出的函数拓宽了我们研究的范围，但是已有的研究函数单调性方法呈现了局限性，看来我们要寻找—新的解决方法!设计意图:奥苏贝尔认为，有意义的学习需要把学生的学习建立在已有的学习经验基础上，本节课的情境设置着眼于学生最近发展区，以学生熟悉的函数通过简单的四则运算组合出新函数去研究单调性，制造强烈认知冲突，从而引发学生积极思考,体现了用导数研究函数单调性的必要性，同时也让学生感受数学自身发展的一般规律。
高中数学第1章导数及其应用1.3导数在研究函数中的应用1.3.1函数的单调性与导数2数学教案
1.3 导数在研究函数中的应用1.3.1 函数的单调性与导数定义在区间(a ，b )内的函数y ＝f (x )：思考：如果在某个区间内恒有f ′(x )＝0，那么函数f (x )有什么特性？ [提示] f (x )是常数函数．2．函数图象的变化趋势与导数值大小的关系 一般地，设函数y ＝f (x )，在区间(a ，b )上： A ．单调增函数 B ．单调减函数C ．在⎝⎛⎭⎫0，1e 上是减函数，在⎝⎛⎭⎫1e ，6上是增函数 D ．在⎝⎛⎭⎫0，1e 上是增函数，在⎝⎛⎭⎫1e ，6上是减函数 A [∵x ∈(0,6)时，f ′(x )＝1＋1x ＞0，∴函数f (x )在(0,6)上单调递增．]2．函数y ＝f (x )的图象如图所示，则导函数y ＝f ′(x )的图象可能是( )D [∵函数f (x )在(0，＋∞)，(－∞，0)上都是减函数，∴当x ＞0时，f ′(x )＜0， 当x ＜0时，f ′(x )＜0.]3．函数f (x )＝e x －x 的单调递增区间为________． (0，＋∞) [∵f (x )＝e x －x ， ∴f ′(x )＝e x －1.由f ′(x )＞0得，e x －1＞0， 即x ＞0.∴f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)．]函数与导函数图象间的关系的图象可能为( )(2)已知f ′(x )是f (x )的导函数，f ′(x )的图象如图所示，则f (x )的图象只可能是( ) (1)D (2)D [(1)由函数的图象可知：当x ＜0时，函数单调递增，导数始终为正；当x ＞0时，函数先增后减再增，即导数先正后负再正，对照选项，应选D.(2)从f ′(x )的图象可以看出，在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，a ＋b 2内，导数单调递增；在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，b 内，导数单调递减．即函数f (x )的图象在⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，a ＋b 2内越来越陡，在⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，b 内越来越平缓，由此可知，只有选项D 符合．]研究函数与导函数图象之间关系的方法研究一个函数的图象与其导函数图象之间的关系时，注意抓住各自的关键要素，对于原函数，要注意其图象在哪个区间内单调递增，在哪个区间内单调递减；而对于导函数，则应注意其函数值在哪个区间内大于零，在哪个区间内小于零，并分析这些区间与原函数的单调区间是否一致．[跟进训练]1．已知y ＝xf ′(x )的图象如图所示(其中f ′(x )是函数f (x )的导函数)下面四个图象中，y＝f (x )的图象大致是( )C [当0＜x ＜1时，xf ′(x )＜0， ∴f ′(x )＜0，故f (x )在(0,1)上为减函数； 当x ＞1时，xf ′(x )＞0，∴f ′(x )＞0， 故y ＝f (x )在(1，＋∞)上为增函数．故选C.]利用导数求函数的单调区间【例2】 求下列函数的单调区间． (1)f (x )＝3x 2－2ln x ；(2)f (x )＝x 2·e －x ； (3)f (x )＝x ＋1x.[解] (1)函数的定义域为D ＝(0，＋∞)．∵f ′(x )＝6x －2x ，令f ′(x )＝0，得x 1＝33，x 2＝－33(舍去)，用x 1分割定义域D ，得下表： x ⎝⎛⎭⎫0，3333 ⎝⎛⎭⎫33，＋∞ f ′(x ) － 0 ＋ f (x )↘↗∴函数f (x )的单调递减区间为⎝⎛⎭⎫0，3，单调递增区间为⎝⎛⎭⎫3，＋∞. (2)函数的定义域为D ＝(－∞，＋∞)．∵f ′(x )＝(x 2)′e －x ＋x 2(e －x )′＝2x e －x －x 2e －x ＝e －x (2x －x 2)，令f ′(x )＝0，由于e －x ＞0，∴x 1＝0，x 2＝2，用x 1，x 2分割定义域D ，得下表：x (－∞，0)0 (0,2) 2 (2，＋∞)f ′(x ) － 0 ＋ 0 － f (x )↘↗↘∴f (x )的单调递减区间为(－∞，0)和(2，＋∞)，单调递增区间为(0,2)．(3)函数的定义域为D ＝(－∞，0)∪(0，＋∞)．∵f ′(x )＝1－1x 2，令f ′(x )＝0，得x 1＝－1，x 2＝1，用x 1，x 2分割定义域D ，得下表：∴函数f (x )的单调递减区间为(－1,0)和(0,1)，单调递增区间为(－∞，－1)和(1，＋∞)． 角度2 含参数的函数的单调区间【例3】 讨论函数f (x )＝12ax 2＋x －(a ＋1)ln x (a ≥0)的单调性．思路探究：求函数的定义域―→求f ′(x )――――――――→分a ＞0，a ＝0解不等式f ′(x )＞0或f ′(x )＜0―→表述f (x )的单调性[解] 函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝ax ＋1－a ＋1x ＝ax 2＋x －(a ＋1)x .(1)当a ＝0时，f ′(x )＝x －1x ，由f ′(x )＞0，得x ＞1，由f ′(x )＜0，得0＜x ＜1.∴f (x )在(0,1)内为减函数，在(1，＋∞)内为增函数． (2)当a ＞0时，f ′(x )＝a ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋a ＋1a (x －1)x，∵a ＞0，∴－a ＋1a＜0.由f ′(x )＞0，得x ＞1，由f ′(x )＜0，得0＜x ＜1. ∴f (x )在(0,1)内为减函数，在(1，＋∞)内为增函数．综上所述，当a ≥0时，f (x )在(0,1)内为减函数，在(1，＋∞)内为增函数.利用导数求函数单调区间的步骤(1)确定函数f (x)的定义域．(2)求导数f ′(x)．(3)由f ′(x)>0(或f ′(x)<0)，解出相应的x的范围．当f ′(x)>0时，f (x)在相应的区间上是增函数；当f ′(x)<0时，f (x)在相应区间上是减函数．(4)结合定义域写出单调区间．[跟进训练]2．设f (x)＝e x－ax－2，求f (x)的单调区间．[解] f (x)的定义域为(－∞，＋∞)，f ′(x)＝e x－a.若a≤0，则f ′(x)＞0，所以f (x)在(－∞，＋∞)上单调递增．若a＞0，则当x∈(－∞，ln a)时，f ′(x)＜0；当x∈(ln a，＋∞)时，f ′(x)＞0.所以f (x)在(－∞，ln a)上单调递减，在(ln a，＋∞)上单调递增．综上所述，当a≤0时，函数f (x)在(－∞，＋∞)上单调递增；当a＞0时，f (x)在(－∞，ln a)上单调递减，在(ln a，＋∞)上单调递增.已知函数的单调性求参数的范围1．在区间(a，b)内，若f ′(x)＞0，则f (x)在此区间上单调递增，反之也成立吗？[提示]不一定成立．比如y＝x3在R上为增函数，但其在x＝0处的导数等于零．也就是说f ′(x)＞0是y＝f (x)在某个区间上单调递增的充分不必要条件．2．若函数f (x)为可导函数，且在区间(a，b)上是单调递增(或递减)函数，则f ′(x)满足什么条件？[提示] f ′(x)≥0(或f ′(x)≤0)．【例4】已知函数f (x)＝x3－ax－1为单调递增函数，求实数a的取值范围．思路探究：f (x)单调递增―→f ′(x)≥0恒成立―→分离参数求a的范围[解]由已知得f ′(x)＝3x2－a，因为f (x)在(－∞，＋∞)上是单调增函数，所以f ′(x)＝3x2－a≥0在(－∞，＋∞)上恒成立，即a≤3x2对x∈R恒成立，因为3x2≥0，所以只需a≤0.又因为a＝0时，f ′(x)＝3x2≥0，f (x)＝x3－1在R上是增函数，所以a≤0.f ′(x)≥0(或f ′(x)≤0)在(a，b)上恒成立，且f ′(x)在(a，b)的任何子区间内都不恒等于0.2．已知f (x)在区间(a，b)上的单调性，求参数范围的方法(1)利用集合的包含关系处理f (x)在(a，b)上单调递增(减)的问题，则区间(a，b)是相应单调区间的子集；(2)利用不等式的恒成立处理f (x)在(a，b)上单调递增(减)的问题，则f ′(x)≥0(f ′(x)≤0)在(a，b)内恒成立，注意验证等号是否成立．1．导数的符号反映了函数在某个区间上的单调性，导数绝对值的大小反映了函数在某个区间或某点附近变化的快慢程度．2．利用导数求函数f (x)的单调区间的一般步骤：(1)确定函数f (x)的定义域；(2)求导数f (x)；(3)在函数f (x)的定义域内解不等式f ′(x)>0和f ′(x)<0；(4)根据(3)的结果确定函数f (x)的单调区间．1.设函数f (x)的图象如图所示，则导函数f ′(x)的图象可能为()C[∵f (x)在(－∞，1)，(4，＋∞)上是减函数，在(1,4)上为增函数，∴当x＜1或x＞4时，f ′(x)＜0；当1＜x＜4时，f ′(x)＞0.故选C.]2．函数f (x )＝(x －3)e x 的单调递增区间是( )A ．(－∞，2)B ．(0,3)C ．(1,4)D ．(2，＋∞) D [∵f ′(x )＝e x ＋(x －3)e x ＝(x －2)e x ， 由f ′(x )＞0得(x －2)e x ＞0，∴x ＞2. ∴f (x )的单调递增区间为(2，＋∞)．] 3．函数y ＝12x 2－ln x 的单调递减区间为( )A ．(－1,1]B ．(0,1]C ．[1，＋∞)D ．(0，＋∞)B [函数y ＝12x 2－ln x 的定义域为(0，＋∞)，y ′＝x －1x ＝(x －1)(x ＋1)x ，令y ′≤0，则可得0＜x ≤1.]4．若函数f (x )＝x 3－ax 2－x ＋6在(0, 1)内单调递减，则实数a 的取值范围是( ) A ．[1，＋∞) B ．a ＝1 C ．(－∞，1]D ．(0,1)A [∵f ′(x )＝3x 2－2ax －1， 且f (x )在(0,1)内单调递减，∴不等式3x 2－2ax －1≤0在(0,1)内恒成立， ∴f ′(0)≤0， 且f ′(1)≤0，∴a ≥1.]5．求函数y ＝x 2－4x ＋a 的单调区间．[解] y ′＝2x －4，令y ′＞0，得x ＞2；令y ′＜0，得x ＜2， 所以y ＝x 2－4x ＋a 的增区间为(2，＋∞)，减区间为(－∞，2)．。
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1.3.1单调性
教学目的：
1.正确理解利用导数判断函数的单调性的原理；
2.掌握利用导数判断函数单调性的方法. 教学重点：利用导数判断函数单调性. 教学难点：利用导数判断函数单调性. 授课类型：新授课 . 课时安排：1课时 .
教 具：多媒体、实物投影仪 . 内容分析：
以前，我们用定义来判断函数的单调性. 对于任意的两个数x 1，x 2∈I ，且当x 1＜x 2时，都有f (x 1)＜f (x 2)，那么函数f (x )就是区间I 上的增函数. 对于任意的两个数x 1，x 2∈I ，且当x 1＜x 2时，都有f (x 1)＞f (x 2)，那么函数f (x )就是区间I 上的减函数.
在函数y=f(x)比较复杂的情况下，比较f(x 1)与f(x 2)的大小并不很容易. 如果利用导数来判断函数的单调性就比较简单 . 教学过程：
一、复习引入：
1. 常见函数的导数公式：
0'=C ； 1)'(-=n n nx x ； x x cos )'(sin =； x x sin )'(cos -=. x x 1)'(ln =
； e x
x a a log 1
)'(log =； x x e e =)'( ； a a a x x ln )'(= 2.法则1 '''[()()]()()f x g x f x g x ±=±．
法则2 [()()]'()()()'()f x g x f x g x f x g x '=+, [()]'()cf x cf x '=.
法则3 '
2()'()()()'()
(()0)()()f x f x g x f x g x g x g x g x ⎛⎫-=
≠ ⎪⎝⎭
在区间（2，＋∞）内，切线的斜率为正，函数y=f(x)的值随着x 的增大而增大，即/
y >0时，函数y=f(x) 在区间（2，＋∞）内为增函数；在区间（－∞，2）内，切线的斜率为负，函数y=f(x)的值随着x 的增大而减小，即/
y <0时，函数y=f(x) 在区间（－∞，2）内为
减函数.
定义：一般地，设函数y=f(x) 在某个区间内有导数，如果在这个区间内/y >0，那么函数y=f(x) 在为这个区间内的增函数；如果在这个区间内/y <0，那么函数y=f(x) 在为这个区间内的减函数 .
2.用导数求函数单调区间的步骤：
①求函数f (x )的导数f ′(x ).
②令f ′(x )＞0解不等式，得x 的范围就是递增区间. ③令f ′(x )＜0解不等式，得x 的范围，就是递减区间. 三、讲解范例：
例1确定函数f (x )=x 2
－2x +4在哪个区间内是增函数，
哪个区间内是减函数.
解：f ′(x )=(x 2
－2x +4)′=2x －2. 令2x －2＞0，解得x ＞1.
∴当x ∈(1，+∞)时， f ′(x )＞0，f (x )是增函数.
令2x －2＜0，解得x ＜1.
∴当x ∈(－∞，1)时，f ′(x )＜0，f (x )是减函数例2确定函数f (x )=2x 3－6x 2
+7在哪个区间内是增函数， 哪个区间内是减函数.
解：f ′(x )=(2x 3－6x 2
+7)′=6x 2－12x
令6x 2
－12x ＞0，解得x ＞2或x ＜0 ∴当x ∈(－∞，0)时，f ′(x )＞0，f (x )是增函数. 当x ∈(2，+∞)时，f ′(x )＞0，f (x )是增函数.
令6x 2
－12x ＜0，解得0＜x ＜2.
∴当x ∈(0，2)时，f ′(x )＜0，f (x )是减函数.
例3证明函数f (x )=
x
1
在(0，+∞)上是减函数. 证法一：(用以前学的方法证)任取两个数x 1，x 2∈(0，+∞)设x 1＜x 2.
f (x 1)－f (x 2)=
2
11
22111x x x x x x -=
- ∵x 1＞0，x 2＞0，∴x 1x 2＞0 ∵x 1＜x 2，∴x 2－x 1＞0， ∴
2
11
2x x x x -＞0 ∴f (x 1)－f (x 2)＞0，即f (x 1)＞f (x 2) ∴f (x )=
x
1
在(0，+∞)上是减函数. 证法二：(用导数方法证) ∵/
()f x =(
x 1)′=(－1)·x －2
=－21x
，x ＞0，
∴x 2
＞0，∴－
21
x
＜0. ∴/()0f x <， ∴f (x )=
21
x
在(0，+∞)上是减函数. 点评：比较一下两种方法，用求导证明是不是更简捷一些.如果是更复杂一些的函数，用导数的符号判别函数的增减性更能显示出它的优越性.
例4确定函数[]()sin (0,2)f x x x π=∈的单调减区间
例５已知函数y =x +
x
1
，试讨论出此函数的单调区间. 解：y ′=(x +x
1
)′
=1－1·x －2
=2
22)
1)(1(1x
x x x x -+=- 令
2
)
1)(1(x x x -+＞0. 解得x ＞1或x ＜－1.
∴y =x +
x
1
的单调增区间是(－∞，－1)和(1，+∞). 令
2
)
1)(1(x
x x -+＜0，解得－1＜x ＜0或0＜x ＜1. ∴y =x +
x
1
的单调减区间是(－1，0)和(0，1). 四、课堂练习：
1．确定下列函数的单调区间
(1)y =x 3－9x 2+24x (2)y =x －x 3
(1)解：y ′=(x 3－9x 2+24x )′=3x 2
－18x +24=3(x －2)(x －4) 令3(x －2)(x －4)＞0，解得x ＞4或x ＜2.
∴y =x 3－9x 2
+24x 的单调增区间是(4，+∞)和(－∞，2)
令3(x －2)(x －4)＜0，解得2＜x ＜4.∴y =x 3－9x 2
+24x 的单调减区间是(2，4)
(2)解：y ′=(x －x 3
)′=1－3x 2
=－3(x 2
－
31
)=－3(x +33)(x －3
3)
令－3(x +
33)(x －33)＞0，解得－33＜x ＜3
3. ∴y =x －x 3
的单调增区间是(－
33，3
3
). 令－3(x +
33)(x －33)＜0，解得x ＞33或x ＜－3
3
. ∴y =x －x 3
的单调减区间是(－∞，－
33)和(3
3
，+∞) 2.讨论二次函数y =ax 2
+bx +c (a ＞0)的单调区间. 解：y ′=(ax 2
+bx +c )′=2ax +b, 令2ax +b ＞0，解得x ＞－
a
b
2 ∴y =ax 2
+bx +c (a ＞0)的单调增区间是(－
a
b
2，+∞) 令2ax +b ＜0，解得x ＜－
a
b 2. ∴y =ax 2
+bx +c (a ＞0)的单调减区间是(－∞，－
a
b 2) 3.求下列函数的单调区间(1)y =
x
x 2+ (2)y =92-x x
(3)y =x +x
(1)解：y ′=(
x x 2
+)′=2
222x x x x -=-- ∵当x ≠0时，－
22
x
＜0，∴y ′＜0. ∴y =
x
x 2
+的单调减区间是(－∞，0)与(0，+∞) (2)解：y ′=(92-x x )′222)9(29-⋅--=x x x x 22
2222)
9(9
)9(9-+-=---=x x x x 当x ≠±3时，－2
22)
9(9
-+x x ＜0，∴y ′＜0.
∴y =
9
2
-x x
的单调减区间是(－∞，－3)，(－3，3)与(3，+∞). (3)解：y ′=(x +x )′121
12121+=+=-x
x .
当x ＞0时x
21+1＞0，∴y ′＞0. ∴y =
x +x 的单调增区间是(0，+∞) .
五、小结 ：
f (x )在某区间内可导，可以根据/()f x ＞0或/()f x ＜0求函数的单调区间，或判断函
数的单调性，或证明不等式.以及当/()f x =0在某个区间上，那么f(x )在这个区间上是常数函数.
六、课后作业： 视情况自己安排。