16-7波的叠加原理_波的干涉_驻波

2
,k
k1 k 2 2
y ( x , t ) 2 A cos( m t k m x ) cos( t k x )
A m ( x , t ) cos( t k x )
波的干涉
把 A m ( x , t ) cos( t k x )看成是一个角频率为 、波数为 的波，这个波的速度为： k u p k 相速度
x l A cos t u 2u
x y 2 A cos cos 2 u
l t 2u 2
当 =0，x=0 处为波腹;当 = 时，x =0 处为波节。
弦线上的驻波
对于P点 20 10 2 ( r2 r1 ) 为恒量， 因此 A 也是恒量，并与 P点空间位置密切相关。
波的干涉
当 20 10 2 ( r2 r1 ) 2 k 时，得
A A1 A 2 （合振幅最大）
当 20 10 2 ( r2 r1 ) ( 2 k 1) 时，得
叠加原理表明，可将任何复杂的波分解为一系列 简谐波的组合。
2.波的干涉
相干波 相干条件： 振动方向相同
频率相同
相位相同或相位差恒定
相干波：满足相干条件的几列波称为相干波。
相干波源：能发出相干波的波源称为相干波源。
波的干涉
强弱分布规律
两个相干波源波源S1 和 S2的振动方程分别为：
S1
S1 P r1
x t y 1 A cos 2 T x t y 2 A cos 2 T
t x t x y y 1 y 2 A cos 2 ( ) cos 2 ( ) T T 2 2 ( 2 A cos x ) cos t T 2 合成波的振幅 2 A cos x 与位置x有关。
2
若I1=I2，叠加后波的强度：
I 2 I 1 [1 cos( )] 4 I 1 cos
2
2 k , I 4 I ; ( 2 k 1 ) , I 0
波的干涉
I
6 4 2
o
2
4
6

干涉现象的强度分布 同频率、同方向、相位差恒定的两列波,在相遇 区域内,某些点处振动始终加强,另一些点处的振动 始终减弱,这一现象称为波的干涉。
当 =0，x=0 处为波腹;当 = 时，x =0 处为波节。
3λ 4 λ 2 λ 4 λ 4 λ 2 3λ 4
O
x
相位分布图
驻 波
对于波沿分界面垂直入射的情形,把密度 与波速u 的乘积u 较大的介质称为波密介质，u较小的介质称 为波疏介质。 当波从波疏介质传播到波密介质，分界面反射点 是波节，表明入射波在反射点反射时有相位 的突变 相当于在波程上突变 2 。这一现象称为半波损失。
波疏
波密
波密
波疏
4. 弦线上的驻波
弦线长度等于半波长的整数倍时形成驻波。
Ln

2
, n 1,2 —— 驻波条件
两端 固定
n 1
n2
n4
一端 固定
n 1
n2
n4
弦线上的驻波
例题16-11 两人各执长为 l 的绳的一端, 以相同的角频率和振 幅在绳上激起振动，右端的人的振动比左端的人的振动相位超前 ，试以绳的中点为坐标原点描写合成驻波。由于绳很长，不考 虑反射。绳上的波速设为u。
§16-7波的叠加原理 波的干涉 驻波
1. 波的叠加
波传播的独立性:几个波源产生的波，同时在一介 质中传播,如果这几列波在空间某点处相遇，那么每 一列波都将独立地保持自己原有的特性(频率、波长、 振动方向等)传播。
S1
S2
波的叠加
波的叠加原理: 有几列波同时在媒质中传播时，它 们的传播特性（波长、频率、波速、波形）不会因其 它波的存在而发生影响。在相遇区域，合振动是分振 动的叠加。
波的干涉
干涉现象的强度分布
波的干涉
例题16-10 试计算并分析两个频率相近、振幅相等、同方向振 动的简谐波的叠加。 y 解 波动方式： 1 ( x , t ) A cos( 1t k 1 x )
y 2 ( x , t ) A cos( 2 t k 2 x )
叠加后得到
k1 k 2 1 2 y ( x , t ) y 1 y 2 2 A cos t x 2 2 k1 k 2 1 2 cos t x 2 2
波的干涉
P点的合方程为:
y y1 y2 A cos(t 0 )
振幅A和相位 0
A A1 A 2 2 A1 A 2 cos 20 10 2 ( r2 r1 )
2 2
2 r1 2 r2 A1 sin 10 A 2 sin 20 tg 0 2 r1 2 r2 A1 cos 10 A 2 cos 20
l A cos t 1 A cos t 2u
1
l
2u
弦线上的驻波
当x l 2 时，y2=Acos( t+ ，即
l A cos t 2 A cos( t ) 2u
3. 驻波
驻波是两列振幅相同的相干波在同一条直 线上沿相反方向传播时叠加而成的。
驻 波 的 形 成
驻 波
实验——弦线上的驻波：
驻 波
实验——弦线上的驻波：
t 0
t T 4 t T 2
波节O B D F H
波腹A C E G
t 3T 4
OA B C D EF GH
驻 波
沿x轴的正、负方向传播的波 合成波
A A1 A 2 （合振幅最小）
当 为其他值时，合振幅介于
A A1 A2和
2
若10=20，上述条件简化为：
r1 r2 k , k 0 , 1, 2 , （合振幅最大）
r1 r2 k 1 / 2 , k 0 , 1, 2 , （合振幅最小）
Am(x,t)具有沿x方向传播的简谐波的形式,它的角频 率和波数分别为 m 2 , k m k 2 , 波速
ug m km k
群速度
两个频率相近、等振幅的简谐波叠加的结果是一 个振幅缓慢变化的波,它的角频率为 ，波数为 k ,波 速为 u p k 。它的振幅的变化也像一个传播的波, 它的角频率为 2 , 波数为 k 2,波速为 u g k。 上述讨论的合成波称为波包。
能量分布
在驻波形成后，各个质点分别在各自的平
衡位置附近作简谐运动。能量(动能和势能)在
波节和波腹之间来回传递，无能量的传播。
驻 波
相位分布 振幅项2 A cos 2x 可正可负,时间项 cos(t ) 对波线上所有质点有相同的值，表明驻波上相邻 波节间质点振动相位相同，波节两边的质点的振 动有相位差 。 y
波腹位置 2 A cos
x k
2

x 1
2

x k

2
( k 0 , 1, 2 ,....)
驻 波
波节位置 2 A cos
2

x 0
2

x ( 2 k 1)2x ( Nhomakorabea k 1)

4
( k 0 , 1, 2 ,....)
相邻两个波腹(节)间的距离为 2 。
2
l
2u
右行波、左行波表达式：
x l y 1 A cos t u 2u
x l y 2 A cos t u 2u
弦线上的驻波
x l 合成波 y y 1 y 2 A cos t u 2u
A 1A A
之间
波的干涉
波程差 r1 r2 两列相干波源为同相位时，在两列波的叠加的区 域内，在波程差于零或等于波长的整数倍的各点，振 幅最大；在波程差等于半波长的奇数倍的各点，振幅 最小。
因 I A 2 A12 A 22 2 A1 A 2 cos
I I1 I 2 2 I 1 I 2 cos

yS 1 A10 cos( t 10 ) yS 2 A20 cos( t 20 )
S2
S 2 P r2
P
S1和 S2单独存在时,在P点引起的振动的方程为:

y1 A1 cos( t 10 2r1 ) y2 A2 cos( t 20 2r2 )
x l 合成波 y y 1 y 2 A cos t u 2u
x l A cos t u 2u
x y 2 A cos cos 2 u
l t 2u 2
y
1 2
x
波的干涉
1 2 1 或 2 , k k k k 或 k 1 2 1 2
cos ( t kx ) / 2
变化缓慢（对应包络曲线）
y
x 令m
2 , km k 2 ,
1 2
解 左端的振动 y 1 A cos t 右端的振动 y 2 A cos( t )
右行波表达式：y 1 A cos t x u 1