【人教版】初二八年级数学下册《19.2.2 第2课时 一次函数的图象与性质》教案

第2课时 一次函数的图象与性质
1．会用两点法画出正比例函数和一次函数的图象，并能结合图象说出正比例函数和一次函数的性质；(重点)
2．能运用性质、图象及数形结合思想解决相关函数问题．(难点)
一、情境导入 做一做：在同一个平面直角坐标系中画出下列函数的图象．
(1)y ＝12x ； (2)y ＝1
2x ＋2；
(3)y ＝3x; (4)y ＝3x ＋2. 观察函数图象有什么形式？ 二、合作探究
探究点一：一次函数的图象
【类型一】 一次函数图象的画法
在同一平面直角坐标中，作出下
列函数的图象．
(1)y ＝2x －1; (2)y ＝x ＋3； (3)y ＝－2x; (4)y ＝5x . 解析：分别求出满足各直线的两个特殊点的坐标，经过这两点作直线即可．(1)一次函数y ＝2x －1图象过(1，1)，(0，－1)；(2)一次函数y ＝x ＋3的图象过(0，3)，(－3，0)；(3)正比例函数y ＝－2x 的图象过(1，－2)，(0，0)；(4)正比例函数y ＝5x 的图象过(0，0)，(1，5)．
解：如图所示．
方法总结：此题考查了一次函数的作
图，解题关键是找出两个满足条件的点，连
线即可．
【类型二】 判定一次函数图象的位置
已知正比例函数y ＝kx (k ≠0)的函
数值y 随x 的增大而减小，则一次函数y ＝x ＋k 的图象大致是(
)
解析：∵正比例函数y ＝kx (k ≠0)的函数值y 随x 的增大而减小，∴k ＜0.∵一次函数y ＝x ＋k 的一次项系数大于0，常数项小于0，∴一次函数y ＝x ＋k 的图象经过第一、三、四象限，且与y 轴的负半轴相交．故选B.
方法总结：一次函数y ＝kx ＋b (k 、b 为常数，k ≠0)是一条直线．当k ＞0，图象经过第一、三象限，y 随x 的增大而增大；当k ＜0，图象经过第二、四象限，y 随x 的增大而减小．图象与y 轴的交点坐标为(0，b )．
探究点二：一次函数的性质
【类型一】 判断增减性和图象经过的象限等
对于函数y ＝－5x ＋1，下列结论：
①它的图象必经过点(－1，5)；②它的图象经过第一、二、三象限；③当x ＞1时，y ＜
0；④y的值随x值的增大而增大．其中正确的个数是()
A．0个B．1个C．2个D．3个
解析：∵当x＝－1时，y＝－5×(－1)＋1＝6≠5，∴点(1，－5)不在一次函数的图象上，故①错误；∵k＝－5＜0，b＝1＞0，∴此函数的图象经过第一、二、四象限，故②错误；∵x＝1时，y＝－5×1＋1＝－4.又∵k＝－5＜0，∴y随x的增大而减小，∴当x＞1时，y＜－4，则y＜0，故③正确，④错误．综上所述，正确的只有③.故选B.
方法总结：一次函数的性质：k＞0，y 随x的增大而增大，函数从左到右上升；k ＜0，y随x的增大而减小，函数从左到右下降．
【类型二】一次函数的图象与系数的关系
已知函数y＝(2m－2)x＋m＋1，
(1)当m为何值时，图象过原点？
(2)已知y随x增大而增大，求m的取值
范围；
(3)函数图象与y轴交点在x轴上方，求
m的取值范围；
(4)图象过第一、二、四象限，求m的
取值范围．
解析：(1)根据函数图象过原点可知，m
＋1＝0，求出m的值即可；(2)根据y随x
增大而增大可知2m－2＞0，求出m的取值
范围即可；(3)由于函数图象与y轴交点在x
轴上方，故m＋1＞0，进而可得出m的取值
范围；(4)根据图象过第一、二、四象限列出
关于m的不等式组，求出m的取值范围．
解：(1)∵函数图象过原点，∴m＋1＝0，
即m＝－1；
(2)∵y随x增大而增大，∴2m－2＞0，
解得m＞1；
(3)∵函数图象与y轴交点在x轴上方，
∴m＋1＞0，解得m＞－1；
(4)∵图象过第一、二、四象限，
∴
⎩⎪
⎨
⎪⎧2m－2<0，
m＋1>0，
解得－1＜m＜1.
方法总结：一次函数y＝kx＋b(k≠0)中，
当k＜0，b＞0时，函数图象过第一、二、
四象限．
探究点三：一次函数图象的平移
在平面直角坐标系中，将直线l1：
y＝－2x－2平移后，得到直线l2：y＝－2x
＋4，则下列平移作法正确的是()
A．将l1向右平移3个单位长度
B．将l1向右平移6个单位长度
C．将l1向上平移2个单位长度
D．将l1向上平移4个单位长度
解析：∵将直线l1：y＝－2x－2平移后，
得到直线l2：y＝－2x＋4，∴－2(x＋a)－2
＝－2x＋4，解得a＝－3，故将l1向右平移
3个单位长度．故选A.
方法总结：求直线平移后的解析式时要
注意平移时k的值不变，只有b发生变化．解
析式变化的规律是：左加右减，上加下减．
探究点四：一次函数的图象与性质的综
合运用
一次函数y＝－2x＋4的图象如
图，图象与x轴交于点A，与y轴交于点B.
(1)求A、B两点坐标；
(2)求图象与坐标轴所围成的三角形的
面积．
解析：(1)x轴上所有的点的纵坐标均为
0，y轴上所有的点的横坐标均为0；(2)利用
(1)中所求的点A、B的坐标可以求得OA、
OB的长度．然后根据三角形的面积公式可
以求得△OAB的面积．
解：(1)对于y＝－2x＋4，令y＝0，得
－2x＋4＝0，∴x＝2.∴一次函数y＝－2x＋4
的图象与x轴的交点A的坐标为(2，0)；令
x＝0，得y＝4.∴一次函数y＝－2x＋4的图
象与y轴的交点B的坐标为(0，4)；
(2)由(1)中知OA＝2，OB＝4.∴S△AOB＝
1
2·OA·OB＝
1
2×2×4＝4.∴图象与坐标轴所
围成的三角形的面积是4.
方法总结：求一次函数与坐标轴围成的三角形的面积，一般地应先求出一次函数图象与x轴、y轴的交点坐标，进而求出三角形的底和高，即可求面积．
三、板书设计
1．一次函数的图象
2．一次函数的性质
3．一次函数图象的平移规律
本节课，学生活动设计了三个方面：一是通过画
函数图象理解一次函数图象的形状．二是两点法画一次函数的图象．三是探究一次函数的图象与k、b符号的关系．在学生活动中，如何调动学生的积极性、互动性，提高学生活动的实效性值得深入探讨．为了达到上述目的，应结合每个活动，给学生明确的目的和要求，而且提供操作性很强的程序和题目．学生目标明确，操作性强，受到了较好的效果．。