反比例函数知识点及经典例题

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.9.某商场出售一批名牌衬衣，衬衣进价为 60 元，在营销中发现，该衬衣的日销售量 y（件） 是日销售价 x 元的反比例函数，且当售价定为 100 元/件时，每日可售出 30 件. （1）请写出 y 关于 x 的函数关系式； （2）该商场计划经营此种衬衣的日销售利润为 1800 元，则其售价应为多少元？
3.如果矩形的面积为 6cm2，那么它的长 y cm 与宽 x cm 之间的函数图象大致为（ y o A x B y o x y o C x y o D x
4.某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时， 气球内气体的气压 P ( kPa ) 是气体体积 V ( m ) 的反比例函数，其图象如图所示．当气球内气压大于 120 kPa 时， 气球将爆炸．为了安全起见，气球的体积应（ ）
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A、不小于
5 3 m 4
B、小于
5 3 m 4
C、不小于
4 3 m 5
D、小于
4 3 m 5
5．如图 ，A、C 是函数 y
1 的图象上的任意两点，过 A 作 x 轴的垂 x
）
C
y
A
线，垂足为 B，过 C 作 y 轴的垂线，垂足为 D，记 RtΔ AOB 的面积为 S1，RtΔ COD 的面积为 S2 则 （ A． S1 ＞S2 C． S1=S2
10．如图，在直角坐标系 xOy 中，一次函数 y＝kx＋b 的图象与反比例函数 y 于 A(-2，1)、B(1，n)两点。 (1)求上述反比例函数和一次函数的表达式； (2)求△AOB 的面积。
m 的图象交 x
四、课后作业 1．对与反比例函数 y
2 ，下列说法不正确的是（ x
）
A．点（ 2,1 ）在它的图像上 B．它的图像在第一、三象限 C．当 x 0 时， y随x的增大而增大 D．当 x 0 时， y随x的增大而减小 2.已知反比例函数 y A、 （2，1）
m 过点 A ,设 A 点的坐标为 x A , y A . x
m .所以 m x A y A . xA
又点 A 在第一象限,所以 OB x A x A , AB y A y A . 所以 S AOB 所以 m 4 . 三、练习题 1.反比例函数 y A．第一、二象限
1， 另一个点为 1
【例 4】 如图， 在 Rt AOB 中， 点 A 是直线 y x m 与双曲线 y 且 S AOB 2 ，则 m 的值是_____.
m 在第一象限的交点， x
图 解:因为直线 y x m 与双曲线 y 则有 y A x A m, y A
A O C B
k x
8． 某蓄水池的排水管每小时排水 8m ，6 小时可将满池水全部排空． （1）蓄水池的容积是多少？
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（2）如果增加排水管，使每小时的排水量达到 Q（m ） ，那么将满池水排空所需的时间 t（h）将如何变化？ （3）写出 t 与 Q 的关系式． （4）如果准备在 5 小时内将满池水排空，那么每小时的排水量至少为多少？ 3 （5）已知排水管的最大排水量为每小时 12m ，那么最少需多长时间可将满池水全部排 空？
k 中的两个变量必成反比例关系。 x
7. 反比例函数的应用 二、例题 【例 1】如果函数 y kx2k
2
k 2
的图像是双曲线，且在第二，四象限内，那么的值是多少？
【解析】 有函数图像为双曲线则此函数为反比例函数 y 又在第二，四象限内，则 k 0 可以求出的值 【答案】由反比例函数的定义，得：
k 的取值
k o ko
图像所在象限 一、三象限 二、四象限
函数的增减性 在每个象限内， y 值随 x 的增大而减小 在每个象限内， y 值随 x 的增大而增大
5. 反比例函数解析式的确定：利用待定系数法（只需一对对应值或图像上一个点的坐标即 可求出 k ） 6． “反比例关系”与“反比例函数” ：成反比例的关系式不一定是反比例函数,但是反比例函 数y
k 1 ， （k 0） 即 y kx （ k 0 ） x
1 2 k 2 k 2 1 k 1或k 解得 2 k 0 k 0 k 1 2 1 k 1 时函数 y kx2k k 2 为 y x 1 【例 2】在反比例函数 y 的图像上有三点 x1 ， y1 ， x 2 ， y 2 ， x3 ， y 3 。若 x
⑶自变量 x 的取值为一切非零实数。 ⑷函数 y 的取值是一切非零实数。 3. 反比例函数的图像 ⑴图像的画法：描点法 ① 列表（应以 O 为中心，沿 O 的两边分别取三对或以上互为相反的数） ② 描点（有小到大的顺序） ③ 连线（从左到右光滑的曲线）
k 0） ⑵反比例函数的图像是双曲线，y （ k 为常数， 中自变量 x 0 ， 函数值 y 0 ，
O
D
B
x
B． S1 <S2 D． S1 与 S2 的大小关系不能确定
6．关于 x 的一次函数 y=-2x+m 和反比例函数 y=
n 1 的图象都经过点 A（-2，1）. x
求： （1）一次函数和反比例函数的解析式； （2）两函数图象的另一个交点 B 的坐标； （3）△AOB 的面积．
7. 如图所示，一次函数 y＝ax＋b 的图象与反比例函数 y＝ 的图象交于 A、B 两点，与 x 1 轴交于点 C．已知点 A 的坐标为（－2，1） ，点 B 的坐标为（ ，m） ． 2 （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）根据图象写出使一次函数的值小于反比例函数的值的 x 的取值范围．
所以双曲线是不经过原点，断开的两个分支，延伸部分逐渐靠近坐标轴，但是永远不 与坐标轴相交。 ⑶反比例函数的图像是是轴对称图形（对称轴是 y x 或 y x ） 。 ⑷反比例函数 y
k x
k k （ k 0 ）中比例系数 k 的几何意义是：过双曲线 y （k ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 0） x x
上任意引 x 轴 y 轴的垂线，所得矩形面积为 k 。 4．反比例函数性质如下表：
1 1 1 OB AB x A y A m .而已知 S AOB 2 . 2 2 2
2 的图像位于（ x
） D．第二、四象限 ） D、不能确定 ）
B．第一、三象限 C．第二、三象限
2.若 y 与 x 成反比例， x 与 z 成正比例，则 y 是 z 的（ A、正比例函数 B、反比例函数 C、一次函数
x1 x2 0 x3 ， y3 y1 y2 所以选 A
解法二：用图像法，在直角坐标系中作出 y
1 的图像 x
描出三个点，满足 x1 x2 0 x3 观察图像直接得到 y3 y1 y2 选 A 解法三：用特殊值法
1 x1 x2 0 x3 , 令x1 2, x2 1, x3 1 y1 , y 2 1, y3 1, y3 y1 y 2 2 3n m 的图像 相 交 于 点 【 例 3 】 如 果 一 次 函 数 y mx nm 0与反比例函数 y x 1 2） （ ， ，那么该直线与双曲线的另一个交点为（ ） 2
【解析】
直线y mx n与双曲线y
1 m 2 3n m 1 mn 2 x相交于 ， 2 ， 2 解得 x 2 3n m 1 n 1
y 2x 1 1 1 直线为y 2 x 1, 双曲线为y 解方程组 y x x x 1 得 1 y1 1 1 x2 2 y 2 2
k （1， -2） ， 则这个函数的图象一定经过 （ k 0 的图象经过点 x
C、 （2，4） D、 （-1，-2）
）
B、 （2，-1）
3．在同一直角坐标平面内，如果直线 y k1 x 与双曲线 y 关系一定是（ A. k 1 + k 2 =0 ） B. k 1 · k 2 <0 C. k 1 · k 2 >0
1 2m 的图象上两点 Ax1 , y1 , Bx2 , y 2 ，当 x1 0 x2 时，有 x
y1 y2 ，则 m 的取值范围是？
8.已知 y 与 x-1 成反比例，并且 x＝-2 时 y＝7，求： (1)求 y 和 x 之间的函数关系式； (3)y＝-2 时，x 的值。 (2)当 x=8 时，求 y 的值；
x1 x2 0 x3 则下列各式正确的是（
A． y3 y1 y2 B． y3 y2 y1 ） C． y1 y2 y3 D． y1 y3 y2
【解析】可直接以数的角度比较大小，也可用图像法，还可取特殊值法。 解法一：由题意得 y1
1 1 1 ， y2 ， y3 x1 x2 x3
k2 没有交点，那么 k 1 和 k 2 的 x
D. k 1 = k 2
4. 反比例函数 y＝ 的图象过点 P（－1.5，2） ，则 k＝________． 1 5. 点 P（2m－3，1）在反比例函数 y＝ 的图象上，则 m＝__________．
k x
x
6. 已知反比例函数的图象经过点（m，2）和（－2，3）则 m 的值为__________． 7. 已知反比例函数 y
第十七章 一、基础知识 1. 定义：一般地，形如 y 以写成 y kx
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反比例函数
k k （ k 为常数， k o ）的函数称为反比例函数。 y 还可 x x
2. 反比例函数解析式的特征： ⑴等号左边是函数 y ，等号右边是一个分式。分子是不为零的常数 k （也叫做比例系数
k） ，分母中含有自变量 x ，且指数为 1. ⑵比例系数 k 0
9. 已知 b 3 ,且反比例函数 y
a,3 在双曲线上 y 1 b ，求 a 是多少？
x
1 b 的图象在每个象限内，y 随 x 的增大而增大,如果点 x