电路分析第05章.动态元件与动态电路导论

• 并联条件:
u1 (t) u2 (t) un (t) u(t)
• 等效初始电流: 由KCL可得
• 等效电容:
i(t) i1(t) i2 (t) in (t) Ceq C1 C2 Cn
• 并联分流
i(t) i1(t) i2 (t) in (t)
)

1 C
t 0
i(
)d
• 串联分压
u(t) u1(t) u2 (t) un (t)
u(t) 1
t
i( )d ,
C
uk
(t)

C Ck
u(t)
u1(t
)

1 C1
t
i(

)d
电容元件的并联
i
+
i1
i2
u
C1
C2
_
in
Cn
i
Ceq
+u _
ik
(t)

Ck C
i(t)
例3: 如图所示电路，各个电容器的初始电压均为零，
给定 C1 1F,C2 2F,C3， 试3F求,Ca4b间4的F 等值电容C
解：C12

C1C2 C1 C2
1 2 1 2

2F 3
C3

C12

C3

2 3

3

11 3
F
a C4
C3 b
C1 C2
N
－
＋
N
－
i(t)＋ C
－＋ －
某一初始时刻t0 的电容电压为U的电路可等效为 没充电电容和电压源串联的电路。
注意
①当电容的 u，i 为非关联方向时，上述微分 和积分表达式前要冠以负号 ;
②上式中u(t0)称为电容电压的初始值，它反 映电容初始时刻的储能状况，也称为初始 状态。
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u(2)

1 0.5
t
2
0d

0
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5.电容元件的串联与并联
电容元件的串联
C1
C2
Cn
+
+
_ u1
+
_ u2
u
+
_ un
_
• 串联条件： i1(t) i2 (t) in (t) i(t)
• 等效初始电压: 由KVL可得
u(t) u1(t) u2 (t) un (t)
电容的储能
从t0到 t 电容储能的变化量：
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表明
① 电容的储能只与当时的电压值有关，电容电 压不能跃变，反映了储能不能跃变；
② 电容储存的能量一定大于或等于零。
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例1 求电容电流i、功率P (t)和储能W (t)
＋
i
2 uS/V 电源波形
C 0.5F
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iL
+
u (t)
表明
-
u(t) L di(t) dt
①电感电压u 的大小取决于i 的变化率, 与 i 的大 小无关，电感是动态元件；
②当i为常数(直流)时，u =0。电感相当于短路；
③实际电路中电感的电压 u为有限值，则电感 电流 i 不能跃变，必定是时间的连续函数， 具有连续性.
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重点：
1. 电容元件的特性(VCR及功率、能 量表达式) 2. 电感元件的特性(VCR及功率、 能量表达式) 3. 动态电路方程的初始条件的确定
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5.1 电容元件（capacitance）
电容器在外电源作用下，正负电极上分别带上等量
异号电荷，撤去电源，电极上的电荷仍可长久地
解得电流
0 -1
1
0 t 0
i(t)

C
duS dt

1 1
0 t 1s 1 t 2s
0 t 2s
2 t /s
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0
p(t)

u
(t
)i(t)

2t 2t

4
0
p/W 2
t0 0 t 1s 1 t 2s t 2s
第五章 动态元件与动态电路导论
1) 元件的伏安关系涉及对电流、电压的微分 或积分，则称这种元件为动态元件（dynamic element）如电容、电感。
2)包含动态元件的电路称为动态电路。
5.1 电容元件★ 5.2 电感元件★ 5.3 动态电路导论
动态电路的初始状态与初始条件★ 5.4 一阶线性常系数微分方程的求解
)0

1 L
t
t0
udξ

I

i1(t
)0
i(t) ＋
i(t) ＋
N
L
－
N
L
－
某一初始时刻t0 的电感电流为I的电路可等效为 没充电电感和电流源并联的电路。
注意
①当电感的 u，i 为非关联方向时，上述微分 和积分表达式前要冠以负号 ;
②上式中 i(t0)称为电感电流的初始值，它反映电 感初始时刻的储能状况，也称为初始状态。
吸收功 率
0
1
2 t /s
-2
发出功率
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0
t0
WC (t)
1 Cu2 (t) 2
t 2 (t
2)2
0 t 1s 1 t 2s
0
t 2s
WC/J 1
0
1
2 t /s
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例2
若已知电流求电容电压，有 i/A 1
q
u o
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2.线性非时变电容元件
任何时刻，电容元件极板上的电荷q与电压 u
成正比。qu 特性曲线是过原点的直线。
q 电容
器的 电容

o
u
如不加声明，电容都是指线性非时变电容
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电路符号
C i
＋
－
u
单位
F (法拉), 常用F，pF等表示。
1 F=10-6 F 1 pF =10-12F
0
i(t
)

1
1
0
t0 0 t 1s 1 t 2s t 2s
0 -1
1
2 t /s
0t 1s
1 t 2s
uc
(t
)

1 C
00dξ

1 C
0t1dξ

0

2t

2t
uC (t)

u (1)

1 0.5
t
1
(1)d

4

2t
2t
uC (t)
i (t)
+ u (t) -
(t)＝N (t)
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贴片型功率电感
贴片电感
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贴片型空心线圈
可调式电感
环形线圈
立式功率型电感
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电抗器
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1. 定义
电感元件
储存磁能的两端元件。任何 时刻，其特性可用～i 平面 上的一条曲线来描述。
说明电压具有连续性。
u
du i
dt
0
t
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2)电容元件VCR的积分形式
电容元件 VCR的积
分形式
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3)电容元件的电压具有连续性质和记忆特性
①实际电路中通过电容的电流 i 在某一闭区 间为有限值，则电容电压 u该区间内为时间 变量的的连续函数。即在有限电容电流的前 提下，电容电压不可能发生突然跳变，则电 容电压具有连续性。
2)电容元件VCR的积分形式
i(t)

1 L
t

udξ


1 L
t0

udξ

1 L
t
t 0
udξ

i(t
)0

1 L
t
t 0
udξ
电感元件VCR 的积分关系
3)电感元件的电流具有连续性质和记忆特性
①电路中电感电压 u为在某闭区间为有限值，则 电感电流 i 在其区间内为时间的连续函数，则 在有限电感电压的前提下，电感电流不可能跃 变，具有连续性.
f ( ,i) 0

i o
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2. 线性非时变电感元件
任何时刻，通过电感元件的电流 i 与其磁链 成正比。 ~ i 特性为过原点的直线。


oi
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电路符号 i
L
+
u (t)
电感 器的 自感
-
单位
H (亨利)，常用H，mH表示。
1mH=10-3 H 1H =10-6 H
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实际电感线圈的模型 iL
+ u (t) －
L G
＋
u
－
L
G
C
＋
u
－
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3.线性电感的电压、电流关系(VCR)
1)电感元件VCR的微分形式 iL
+
u (t)
-
u、i 取关联
参考方向
根据电磁感应定律与楞次定律
电感元件VCR 的微分关系
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d c i(t)
稳态后，根据电容分压：
u (t) C 12V ,u(t) C 6V
1
C
2
C
1
2
u (t) u(t) 2 8V
2
2
+
+
Us_
C1 _ u1(t)
a+
R
C2 _ u’2(t)
_ d
+
2V
e
5.2 电感元件
电感线圈把金属导线绕在一骨架上构成一实际电感 线圈，当电流通过线圈时，将产生磁通，是一种 抵抗电流变化、储存磁能的部件。
表明
C +q -q
＋
－
u
i C du dt
①某一时刻电容电流 i 的大小取决于电容电压 u 的 变化率,而与该时刻电压 u 的大小无关。电容是 动态元件；
②当 u 为常数(直流)时，i =0。电容相当于开路， 电容有隔断直流作用；
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③实际电路中通过电容的电流 i 为有限值， 则电容电压 u 必定是时间的连续函数。
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②某一时刻的电容电压值与-到该时刻的所有电 流值有关，即电容元件有记忆电流的作用，故称 电容元件为记忆元件，具有记忆特性。
③研究某一初始时刻t0 以后的电容电压，需要 知道t0时刻开始作用的电流 i 和t0时刻的电压 u （t0）。
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＋ i(t) C
②某一时刻的电感电流值与-到该时刻的所有电 流值有关，即电感元件有记忆电压的作用，电感 元件也是记忆元件，具有记忆性质。
③研究某一初始时刻t0 以后的电感电流，不需要 了解t0以前的电流，只需知道t0时刻开始作用的电 压 u 和t0时刻的电流 i（t0）。
i(t)

1 L
t

udξ


i(t
S
试求两电容上的稳态电压 u (t), u。(t)
1
2
c
i(t)
解：
+
+
换路后，根据电压连续性可知
Us_
C1 _ u1(t) a+
t 0,
R
C2 _ u2(t)
u (0 ) u (0 ) 0V ,u (0 ) u (0 ) 2V
1
1
2
2
u U 2 18V
ce
S
聚集下去，是一种储存电能的部件。
+q
_q

注意
U 电导体由绝缘材料分开就可以产生电容。
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实际电容器
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电力电容
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1. 定义
电容元件
储存电能的两端元件。任何时 刻其储存的电荷 q(t) 与其两端 的电压 u(t)能用q～u 平面上的 一条曲线来描述。
• 等效电容:
1 1 1 1
Ceq C1 C2
Cn
Ceq +u _
• 利用：
u(t) u1(t) u2 (t) un (t)

u1(0 )
1 C1
t

i1( )d u2 (0 )
0

1 C2
t

i2 ( )d
－
0
1
2 t /s
解 uS (t)的函数表示式为:
0
t0
uS
(t )

2t 2t

4
0 t 1s 1 t 2s
0
t 2s
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0
t0
uS
(t
)

2t 2t

4
0 t 1s 1 t 2s
i/A 1
0
t 2s
4.电容的功率和储能
功率
u、 i 取关
联参考方向
①当电容充电， p >0, 电容吸收功率。
②当电容放电，p <0, 电容发出功率。
表电明容能在一段时间内吸收外部供给的能
量转化为电场能量储存起来，在另一段时间内 又把能量释放回电路，因此电容元件是储能元 件，它本身不消耗能量,是无源元件。
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0

un (0 )

1 C2
t

in ( )d
0


u1(0 ) u2 (0 )
un (0 )
1
C1
t
i1( )d
0
1
C2
t
i2 ( )d
0

1
C2
t

in ( )d
0


u(0
ab间等值电容为
Cab

C4C3 C4 C3

4 11 3
4 11
1.913F
3
例4: 如图所示电路，两电容器，
C 1F,u (0 ) 0,
1
1
C 2F,u (。0 )在t=2V0时，并与一电压源模型连接。当达到
2
2
稳定时，有 。如i(t果) 电0压源
U 20V
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实际电容器的模型
C i
＋
－
u
C
qi +
_q

C
＋
G
－＋
u
G
－
u
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3. 电容的电压电流关系(VCR)
1)电容元件VCR的微分形式 C