《概率论与数理统计》学习笔记九

由此有
E ( Xi ) = 0,
D( Xi )
=
1 12
,
i
= 1,L,1500.
1500
∑ 记 X = Xi ，由题意和定理 1 有 i =1
P{ X > 15} = 1− P{ X ≤ 15} = 1− P{−15 ≤ X ≤ 15}
⎧
=
1
−
P
⎪ ⎨
−15
≤
⎪ ⎩
1500
1 12
X −0 ≤
1500
概率论与数理统计—学习笔记九
（1）若取 1500 个数相加，问误差总和的绝对值超过 15 的概率是多少？ （2）可将多少个数加在一起使得误差总和的绝对值小于 10 的概率为 0.90。
解 （1）设每个数的取整误差为 Xi (i = 1, 2,L,1500) ，则
fXi
(
x
)
=
⎧1, ⎨⎩0,
−0.5 < x < 0.5 其它
由定理 1 得
∑ lim
n→∞
P
⎧⎪ ⎨ ⎩⎪
ηn − np
np (1− p)
≤
x⎪⎫⎬ ⎭⎪
=
lim
n→∞
⎧
P
⎪⎪ ⎨
⎪
n
Xk − np
k =1
np (1− p)
≤
⎫ x⎪⎬⎪
⎪
⎩⎪
⎭⎪
∫x
=
1
− t2
e 2 dt
−∞ 2π
上述定理表明，正态分布是二项分布的极限分布，因此当 n 充分大时可利用 （2）式来计算二项分布的概率。
定理 2 棣莫弗－拉普拉斯（De Moivre－Laplace）定理#设随机变量
ηn (n = 1, 2,L) 服从参数为 n, p (0 < p < 1) 的二项分布，则对任意实数 x，恒有
∫ lim
n→∞
p
⎧⎪ ⎨ ⎪⎩
ηn − up
up (1− p)
≤
x
⎪⎫ ⎬
⎪⎭
=
x −∞
1
− t2
e 2 dt
在第四章中我们学习了随机变量的数字特征——数学期望和方差等重要概
念。方差反映了随机变量离开数学期望的平均偏离程度。如果随机变量 X 的数
{ } 学期望为 E（X），方差为 D（X），那么对任意给定的正数 ε ，事件 X − E ( X ) ≥ ε
发生的概率 P{ X − EX ≥ ε} 应该与 D（X）有一定的关系，概略地说，如果 D（X）
∑ ∑ E(Yn )
=
E
⎡ ⎢⎣
1 n
n K =1
XK
⎤ ⎥⎦
=
1 n
n K =1
E
(
XK
)
=
µ
∑ ∑ D (Yn
)
=
D
⎡ ⎢⎣
1 n
n K =1
XK
⎤ ⎥⎦
=
1 n2
n
D(
K =1
XK
)
=
σ2 n
由契贝晓夫不等式得
σ2
∑ 1 ≥
P
⎧ ⎨ ⎩
1 n
n
XK
K =1
−µ
<
ε
⎫ ⎬
≥
1−
⎭
n ε2
.
上式中令 n → ∞ ，则有
条件下，n 个相互独立的随机变量的算术平均，当 n 无限增大时，几乎变成一个
常数了。这一定理从理论上说明了大量观测值的算术平均值具有稳定性。这为实
际应用提供了理论依据。例如，在进行精密测量时，人们为了提高测量的精度，
往往要进行若干次重复测量，然后取测量结果的算术平均值，定理 2 称为契贝晓
夫定理。
定理 3 贝努里定理（Bernoulli）设 m 是 n 次独立试验中事件 A 发生的次数，
差： E ( XK ) = µ, D ( XK ) = σ 2 (k = 1, 2,L) ，作前 n 个随机变量的算术平均
∑ Yn
=
1 n
n k =1
XK
，
则对 ∀ε > 0 有
{ } ∑ lim P
n→∞
Yn − µ < ε
=
⎧
lim
n→∞
P
⎨ ⎩
1 n
n k =1
Xk
−µ
<
ε
⎫ ⎬
=
1
⎭
证 由于
二、 中心极限定理
本节介绍的中心极限定理研究随机变量之和在什么条件下，其极限分布是正 态分布。直观上看，如果－随机变量所描述的随机现象是由大量相互独立的随机 因素的影响造成的，而且各因素对总影响的作用相对均匀，则这个随机变量就服 从或近似服从正态分布，下述的中心极限定理将以严格的数学形式来表达这一结 果。
概率论与数理统计—学习笔记九
主 题： 《概率论与数理统计》学习笔记 学习时间：整学期
《概率论与数理统计》学习笔记九
一、 大数定律
——大数定律与中心极限定理
在第一章中我们已指出，人们经过长期实践发现，虽然随机事件在某次试验 中可能发生，也可能不发生，但在大量重复试验中却呈现出明显的规律性，即随 着试验次数的增多，事件发生的频率逐渐稳定于某个常数。如在 n 重贝努里试验
依照上述定义，贝努里大数定理表明频率
m n
依概率收敛于
P，即
m n
⎯P⎯→
p
(
n
→
∞
)
∑ 契贝晓夫大数定理表明，随机变量的算术平均
1 n
n k =1
XK
依概率收敛于数学期
望 E( XK ) = µ ，即
∑ 1
n
n k =1
XK
⎯P⎯→ µ
(n
→
∞)
由此可见，大数定律本质上就是随机变量的算术平均依概率收敛于常数，在 大量随机现象中，这些随机现象的平均结果一般都具有这种稳定性，也就是说， 现象的具体实现不可避免地会引起随机偏差，而大量随机现象共同作用时，由于 这些偏差相互抵消，相互补偿，以至使平均结果趋于稳定。大数定律以严格的数 学形式表达了这种稳定性。
p 是事件 A 在每次试验中发生的概率（0<p<1），则对任意 ε > 0 ，有
{ } lim P m − p < ε =1
n→∞
n
证
令
XK
=
⎧1 ⎨⎩0
若在第K次试验中A发生 若在第K次试验中A不发生
K = 1, 2,L, n
n
∑ 则 m = XK ，由于 XK 只依赖于第 K 次试验，而各次试验相互独立，于是 k =1
件的概率。
贝努里定理说明了大数次重复试验下所呈现的客观规律，所以也称为贝努里
大数定律，这个定理是最早的一个大数定理，是贝努里在 1713 年的一本著作《猜
测术》中证明的。
在上述契贝晓夫定理和贝努里定理中，形如
∑ lim
n→∞P⎧ ⎨源自⎩1 nn k =1
XK
−µ
<
ε
⎫ ⎬
=
1,
⎭
{ } lim P
n→∞
1 12
⎫
15
⎪ ⎬
1500
1⎪ 12 ⎭
= 1− P ⎧⎨−1.342 ≤ X − 0 ≤ 1.342⎫⎬
⎩
125
⎭
≈ 1− ⎡⎣Φ (1.342) − Φ (−1.342)⎤⎦ = 2 ⎡⎣1− Φ (1.342)⎤⎦ = 2[1− 0.9099] = 0.1802
故所有误差总和的绝对值超过 15 的概率约等于 0.18。 （2）设加数的个数为 n，由题意，求 n，使
定理 1 （独立同分布的中心极限定理）设随机变量 X1, X2 ,L, Xn ,L相互独
立，服从同一分布，且具有数学期望和方差：
E ( XK ) = µ, D ( XK ) = σ 2 > 0( K = 1, 2,L) ，则随机变量
∑ ∑ ∑ Yn
=
n
XK
K =1
−
E
⎛ ⎜⎝
n K =1
X
K
⎛n ⎞
家属可从保险公司领取 10000 元。
（1） 求保险公司一年获利不小于 200000 的概率？
（2） 保险公司亏本的概率？
解 记一年里这 3000 人中的死亡人数为 X，则
中，若以
m
记
n
次试验中事件
A
发生的次数，则
m n
是这
n
次试验中事件
A
发生
的频率，当试验次数
n
充分大时，频率 m 接近于某个固定的常数，这就是所谓 n
频率的稳定性，这固定的常数就是事件 A 在一次试验中发生的概率，即：
n
重贝努里试验：频率
m n
⎯n⎯充分⎯大⎯→ P （事件
A
的概率）
由此可见，讨论频率
P{ X
− EX
≥ε}= ∫
f
(
x
)
dx
≤
∫
[
x
− EX ε2
]2
f
( x) dx
x − EX ≥ ε x − EX ≥ ε
概率论与数理统计—学习笔记九
∫ ≤
1 ε2
∞ [x − EX ]2 f ( x) dx
−∞
=
1 ε2
D
(
X
)
.
在上式中，若取 ε = 2 DX ，则有
{ } P{ X − EX ≥ ε} = P X − EX ≥ 2 DX
证明略。 上述定理 1 表明，当 n 充分大时，在定理条件下，Yn 近似服从标准正态分