大学数学线性代数第一节课件

1 0 0 0 1 0 0 0 1
若线性变换为
称之为恒等变换.

y1 x1 , y2 x2 , yn xn
对应
单位阵.
例
设
1 A 3 2 1 3 , 2 1 B y x 1 3 , z
(2) 特殊矩阵
方阵
m n ;
1 1 00 0 0
行矩阵与列矩阵; 单位矩阵;
对角矩阵;
零矩阵.
a1 ,a2 a , A a1 , a2 , , n B 0 0 0 0 a 1 0 0n 2 . 0 n 1 0
x1 , x 2 , L , x n
通过关系式
a1 2 x 2 L a1 n x n a 22 x 2 L a 2 n x n L L L L L L L am 2 x2 L amn xn
(1)
y1 , y 2 , L , y m 这样的变换称为 得到另一自变量 从变量 x1 , x 2 , L , x n 到变量 y1 , y 2 , L , y m 的线性变换.其中 a ij ( i 1, 2, L , m ; j 1, 2, L , n )
注意 例如
不同阶数的零矩阵是不相等的.
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0
0
0 .
(5)方阵
0 1 1 0 E En O 0 0
0 O 0 1
称为m行n列矩阵.简称 m n 矩阵.
记作
简记为
A m n 或 a ij
mn
.
其 中 a ij 称 为 A的 第 i 行 第 j 列 元 素 .
元素全是实数的矩阵称为实矩阵, 元素全是复数的矩阵称为复矩阵.
例如
1 9
0 6
3 4
5 3
行
列
是一个 2 4 实矩阵,
为了便于计算,把表中的 0,就得到一个数表:
A A
B
C
D
B
C
D
0
1
0 0
1 1
0 0
0 0
1 1
0
1
0
1
这个数表反映了四城市间交通联接情况.
一般地，若一组变量
y 1 a 1 1 x1 y 2 a 2 1 x1 L L L L L y a x m1 1 m
思考题
矩阵与行列式的有何区别?
思考题解答
矩阵与行列式有本质的区别，行列式是一个 算式，一个数字行列式经过计算可求得其值，而 矩阵仅仅是一个数表，它的行数和列数可以不同.
的解取决于
系数
a ij i , j 1 , 2 , , n ,
常数项 b i i 1 ,2 , , n
线性方程组的系数与常数项按原位置可排为
a11 a 21 a n1 a12 a 22 an 2 a1 n a2n a nn b1 b2 bn
对线性方程组的 研究可转化为对 这张表的研究.
B
3. 某航空公司在A,B,C,D四 城市之间开辟了若干航线 , 如图所示表示了四城市间的 航班图,如果从A到B有航班, 则用带箭头的线连接 A 与B.
A
C
D
四城市间的航班图情况常用表格来表示: 到站
A A
B
C
D
发站
B
C
D
其中
表示有航班. 改成1,空白地方填上
农机产 品开发
种子生 产经营
a1 1
a1 2
a1 3
a 23
a1 4
a 24
a 21
a 31
a 22
a 32
a 33
a 34
则2003年的产品收入可用数表简洁的表示为
a1 1 a 21 a 31 a1 2 a 22 a 32 a1 3 a 23 a 33 a1 4 a 24 a 34
已知
A B ,求 x , y, z.
A B, x 2, y 3, z 2.
解
三、小结
(1)矩阵的概念
a 11 a 21 A am1 a 12 a 22 am1
m行n列的一个数表
a1n a 2n a mn
a1 1 a 21 B M a n1
0 a 22 M an2 L a nn

称为上（下）三角矩阵.
同型矩阵与矩阵相等的概念
1.两个矩阵的行数相等,列数相等时,称为同 型矩阵. 例如
2 14 3 为同型矩阵. 6 与 8 4 7 3 9 2.两个矩阵 A a ij 与 B b ij 为同型矩阵,并且
利用这种数表，可以很方便的求解线性方程组。
二、矩阵的定义
由 m n 个数 a ij i 1 , 2 , , m ; j 1 , 2 , , n 按照一定的次序排成的 m 行 n 列的数表
a1 1 a 21 M a m1 a1 2 a 22 M am 2 L L L a2n M amn a1 n

a 11 a 21 A am1
a 12 a 22 am1

a1n a 2n 系数矩阵 关系.
y1 x1 , y2 x2 , yn xn
a ij b ij i 1 , 2 , , m ; j 1 , 2 , , n ,
1 5 3
对应元素相等,即
则称矩阵 A与B相等,记作 A B .
例1 n 个变量 x 1 , x 2 , , x n 与 m 个变量 y 1 , y 2 , , y m 之 间的关系式
（2）
方程组未知数的系数组成了一个m行n列数表
a11 a 21 L am1 a12 a22 L an 2 L L L L a1n a2 n L amn
而方程组的未知数的系数与常数项合在一起， 又可以组成m行n+1列的数表
a11 a 21 M am1 a12 a22 M an 2 L L M L a1n a2 n M amn b1 b2 M bm
a 11 x 1 a 12 x 2 a 1 n x n b 1 a 21 x 1 a 22 x 2 a 2 n x n b 2 2. 线性方程组 a n 1 x 1 a n 2 x 2 a nn x n b n
y 1 a 11 x 1 a 12 x 2 a 1 n x n , y 2 a 21 x 1 a 22 x 2 a 2 n x n , y m a m 1 x 1 a m 2 x 2 a mn x n .
为常数.
线性变换（1）的系数排成了一个m行n列的数表
a11 a 21 L am1 a12 a22 L an 2 L L L L a1n a2 n L amn
显然，线性变换（1）由系数数表完全确定. 由n个未知数m个方程组所组成的n元线 性方程组
a 1 1 x1 a 1 2 x 2 L a 2 1 x1 a 2 2 x 2 L L L L L L L L a x a x L n2 2 m1 1 a1 n x n b1 a 2 n x n b2 L L L L L a m n x n bm
1 2 4
13 2 2
6 2 2
2i 是一个 3 3 复矩阵, 2 2
5 9
是一个 3 1 矩阵,
2
3
4
是一个 1 4 矩阵,
是一个 1 1 矩阵.
几种特殊矩阵 (1) 矩阵行数与列数相等，即m=n时，称为n阶 矩阵或n阶方阵.特别的,一阶方阵（a）=a
称为列矩阵(或列向量). 不全为0
0 O 0 n
（3）形如
0 1 2 0 O 0 0
的方阵,称为n阶对角 矩阵(或对角阵）.
记作
diag 1 , 2 ,L , n .
m （4）元素全为零的矩阵称为零矩阵， n 零 矩阵记作 o m n 或 o .
第二章 矩 阵
第一节 矩阵的概念 一、矩阵概念的引入 二、矩阵的定义 三、小结 思考题
一、矩阵概念的引入
产品收入
• 1.某地区三个现代化农业 企业 企业2003年在农作物种植、 农副产品加工、农业机械 甲 产品开发销售及种子生产 乙 经营等四个方面的收入情 丙 况如右图：
农作物 种植
农副产 品加工
表示一个从变量 x 1 , x 2 , , x n 到变量 y1 , y 2 , , y m的
线性变换.
其中 a ij 为常数 .
y 1 a 11 x 1 a 12 x 2 a 1 n x n , y 2 a 21 x 1 a 22 x 2 a 2 n x n , y m a m 1 x 1 a m 2 x 2 a mn x n .
例如
13 2 2
6 2 2
2i 2 2
是一个3 阶方阵.
主对角线
(2)只有一行的矩阵 A a 1 , a 2 , , a n ,
称为行矩阵(或行向量).
只有一列的矩阵