北京市 海淀区2020届 高三上学期期末 考试数学试题 Word版含解析
北京市海淀区高二期末练习数学试题(解析版)
一、单选题1．在复平面内，复数对应的点位于（ ） (2i)(13i)-+A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】A【分析】计算得到复数的代数形式，即可得答案. 【详解】 (2i)(13i)26i i 355i -+=+-+=+其对应的点位于第一象限 ()5,5故选：A.2．经过点且倾斜角为的直线的方程是（ ） (1,0)P -60︒A B 10y --=0y -+=C D ．0y -=10x +=【答案】B【分析】首先求出直线的斜率，再利用点斜式求出直线方程；【详解】由倾斜角为知，直线的斜率 60︒k =因此，其直线方程为 01)y x -=+0y -=故选：B3．已知直线l 经过点，平面的一个法向量为，则（ ）(1,1,2),(0,1,0)A B α(2,0,4)n =--A ．B ．l α∥l α⊥C ． D ．l 与相交，但不垂直l ⊂αα【答案】B【分析】根据平面的法向量与直线的方向向量的关系即可求解. αl 【详解】因为直线l 经过点，(1,1,2),(0,1,0)A B 所以，又因为平面的一个法向量为，(1,0,2)AB =--α(2,0,4)n =-- 且，所以平面的一个法向量与直线l 的方向向量平行， 2n AB =α则， l α⊥故选：.B 4．已知抛物线上的点到其焦点的距离是，那么实数的值为（ ）2y ax =01,2M y ⎛⎫⎪⎝⎭1a A ． B ． C ． D ．141212【答案】D【分析】利用抛物线焦半径公式可直接构造方程求得结果.【详解】由抛物线方程知：抛物线焦点为，准线为，,0(0)4a F a ⎛⎫> ⎪⎝⎭4a x =-由抛物线定义知：，解得：.1124aMF =+=2a =故选：D.5．在平行六面体中，点M 满足．若，则下列1111ABCD A B C D -2AM AC =11111,,A B a A D b A A c ===向量中与相等的是（ ） 1B MA ．B ．1122a b c -+ 1122a b c ++C ．D ．1122-++ a b c 1122a b c --+ 【答案】C【分析】结合图形，由空间向量的线性运算可得.【详解】由点M 满足，所以M 为中点，2AM AC =AC 因为四边形ABCD 为平行四边形，所以M 为中点,BD 所以， 111()()222BM BD BA BC a b ==+=-+ 所以.11111()222B M B B BM c a b a b c =+=+-+=-++ 故选：C6．已知直线，，则“”是“直线与相交”的（ ） :l y kx b =+22:1O x y +=e ||1b <l O A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据点到直线的距离公式，结合直线与圆的位置关系分别验证充分性，必要性即可得到结果.【详解】由题意可得直线与相交，:l y kx b =+22:1O x y +=e2211b k <⇒<+当时，满足，即“”是“直线与相交”的充分条件；||1b <221b k <+||1b <l O 当直线与相交时，不一定有，比如也满足，所以“:l y kx b =+22:1O x y +=e ||1b <2,3b k ==||1b <”是“直线与相交”的充分不必要条件. l O 故选:A.7．在正方体中，直线是底面所在平面内不过的一条动直线，记直线1111ABCD A B C D -l ABCD C 与直线所成的角为，则的最小值是（ ） 1AC l αsin αAB ．CD12【答案】A【分析】过作的平行线，过作该平行线的垂线，垂足为，则，， C l 1A P 1ACP α∠=11||sin ||A P A C α=根据可求出结果.11||||A P A A ≥【详解】如图：过作的平行线，过作该平行线的垂线，垂足为，C l 1A P则，所以， 1ACPα∠=11||sin ||A P A C α=设正方体的棱长为，则，， 11||AC =11||||1A P A A ≥=所以与重合时，取得等号， 11||sin ||A P A C α=≥P A 所以sin α故选：A8．已知A ，B （异于坐标原点）是圆与坐标轴的两个交点，则下列点M 中，使22(2)(1)5x y -+-=得为钝角三角形的是（ ） MAB △A ．B ．(0,0)M M ⎛ ⎝C ．D ．(2,1M M 【答案】D【分析】先求出直线AB 的方程，确定弦AB 为该圆的直径，再判断A ，B ，C ，D 各选项中的点M 与圆的位置关系，即可确定的形状，从而得解．MAB △【详解】由A ，B （异于坐标原点）是圆与坐标轴的两个交点， 22(2)(1)5x y -+-=不妨得，，则直线AB 的方程为， (0,2)A (4,0)B 122y x =-+显然圆心在直线AB 上，即弦AB 为该圆的直径，(2,1)对于A ，，即在圆上，则为直角三角形，故A 错误；22(02)(01)5-+-=(0,0)M MAB △对于B ，，即在圆外，则为锐角三角形，故B 错误；22(42)1)5-+>M ⎛ ⎝MAB △对于C ，，即在圆上，则为直角三角形，故C 错误； 22(22)(11)5-+=(2,1M -MAB △对于D ，，即在圆内，则为钝角三角形，故D 正确． 22(12)1)5-+<M MAB △故选：D ．9．“天问一号”是执行中国首次火星探测任务的探测器，该名称源于屈原长诗《天问》，寓意探求科学真理征途漫漫，追求科技创新永无止境．图（1）是“天问一号”探测器环绕火星的椭圆轨道示意图，火星的球心是椭圆的一个焦点．过椭圆上的点P 向火星被椭圆轨道平面截得的大圆作两条切线，则就是“天问一号”在点P 时对火星的观测角．图（2）所示的Q ，R ，S ，T 四个,PM PN MPN ∠点处，对火星的观测角最大的是（ ）A ．QB ．RC ．SD ．T【答案】A【分析】连接点P 和椭圆的左焦点，由对称性和椭圆上点到焦点距离的特征得点P 位于条件中点Q 处，对火星的观测角最大.【详解】设火星半径为R ，椭圆左焦点为，连接，则， 1F 1PF 12MPN MPF ∠=∠因为，所以越小，越大，越大， 11sin RMPF PF ∠=1PF 1MPF ∠MPN ∠所以当点P 位于条件中点Q 处，对火星的观测角最大. 故选：A.10．如图，在棱长为1的正方体中，M ，N 分别为的中点，P 为正方体1111ABCD A B C D -111,BD B C 表面上的动点．下列叙述正确的是（ ）1111ABCD A B C D -A ．当点P 在侧面上运动时，直线与平面所成角的最大值为11AA D D CN BMP 2πB ．当点P 为棱的中点时，CN ∥平面11A B BMPC ．当点P 在棱上时，点P 到平面1BB CNMD ．当点时，满足平面的点P 共有2个 P NC ∉MP ⊥NCP 【答案】C【分析】与不可能垂直，故选项A 错误；平移与平面相交于一点，故选项B 错误；NC MB NC H利用体积相等即可求出点P 到平面C ，当点时，满足CNM P NC ∉平面的点P 共有1个.当点为平面的中心时，故判断选项DMP ⊥NCP P 11BCC B 【详解】由于线面角的最大值为，2π与不可能垂直，故直线与平面所成角的最大值达不到.选项A 错误；NC MB CN BMP 2π取的中点为，的中点为,连接,相交于点，连接,DC H 11A B Q 11A C 11B D O ,OH ON 且 //ON HC ON HC =故//OH NC 平面,面，故不能与平面平行，故选项B 错误；H ∈ 1HBQD OH ⊄1HBQD CN BMPP CNM M PNC V V --= 到平面的距离始终为，故当点运动到点时，取得最小值为，故M PNC 12P 1B PNC △1111224⨯⨯=111132243P CNM M PNC PNC CNM V V S S h --==⨯==⋅MC MN ==NC =12MNC S ==故，故选项C 正确. h =当点时，满足平面的点P 共有1个.当点为平面的中心时，故选项D P NC ∉MP ⊥NCP P 11BCC B 错误 故选：C.二、填空题11．若复数满足，则___________．z ()31i i z +⋅=z =【分析】利用复数的四则运算化简复数，利用复数的模长公式可求得.z z【详解】由题意可得()()()3i 1i i 11i 1i 1i 1i 22z --===--++-=. 12．已知直线，直线．若，则实数___________． 1:20l ax y -+=2:(1)10l x a y -+-=12l l ⊥=a 【答案】##12-0.5-【分析】直接根据两直线垂直的公式计算即可. 【详解】由得，解得12l l ⊥()10a a ++=12a =-故答案为：12-13．已知双曲线的渐近线为，则该双曲线的离心率为___________．22221x y a b-=y =【分析】根据渐近线方程可得：b a =e ==【详解】因为双曲线的渐近线为，22221x y a b-=y =所以，b a=c e a=====14．已知椭圆的左、右焦点分别是，且2222:1(0)x y M a b a b +=>>12(0,.)，F F A b 12AF F△正三角形．过垂直于的直线交椭圆M 于B ，C 两点，则的周长为___________． 1F 2AF ABC 【答案】8【分析】由.后由中垂线性质结合椭圆定义可得答案. 12AF F △a 【详解】如图，设，则，因，且其为正三角形，又，2OF c =222a b c =+12AF F △OA b =则. 122b c b ⎧=⎪⇒⎨⋅⋅=⎪⎩1b c ⎧=⎪⎨=⎪⎩2a =又直线BC 过，与垂直，为正三角形，则直线BC 为中垂线， 1F 2AF 12AF F △2AF 则，又， 22，AB BF AC CF ==11BC BF FC =+故的周长，又C ，B 在椭圆上，则由椭圆定义有. ABC 2112C BF BF FC F C =+++48C a ==故答案为：815．古希腊数学家阿波罗尼斯在其著作《圆锥曲线论》中，系统地阐述了圆锥曲面的定义和利用圆锥曲面生成圆锥曲线的方法，并探究了许多圆锥曲线的性质．其研究的问题之一是“三线轨迹”问题：给定三条直线，若动点到其中两条直线的距离的乘积与到第三条直线距离的平方之比等于常数，求该点的轨迹．小明打算使用解析几何的方法重新研究此问题，他先将问题特殊化如下： 给定条直线，，，动点到直线、和的距离分别为、111:22l y x =+211:22l y x =--3:1l x =P 1l 2l 3l 1d 和，且满足，记动点的轨迹为曲线．给出下列四个结论：2d 3d 122315d d d =P C ①曲线关于轴对称；C x ②曲线； C ③平面内存在两个定点，曲线上有无数个点； C P ④． 12d d +其中所有正确结论的序号是___________． 【答案】①③④【分析】设点，求出点的轨迹方程，根据曲线对称性的定义可判断①；化简曲线的方(),P x y P C 程，利用两点间的距离公式结合二次函数的基本性质可判断②；化简曲线的方程，根据双曲线C 的定义可判断③；对点的位置进行分类讨论，利用二次函数的基本性质可求得的最小值. P 12d d +【详解】直线的方程为，直线的方程为， 1l 210x y -+=2l 210x y ++=设点，则，(),,1P x y x ≠1d 2d 31d x =-所以，，化简可得. ()1222321211551x y x y d d d x -+⋅++==-()()222141x y x +-=-对于①，在曲线上任取一点，则点关于轴的对称点为，C (),P x y P x ()1,P x y -所以，，故点在曲线上，①对；()()()()2222214141x y x y x +-⨯-=+-=-1P C 对于②，设点.(),P x y 当时，则曲线的方程可化为，可得， ()2214x y +≥C ()()222141x y x +-=-2y x =设坐标原点为，O 0=≥且原点坐标满足方程，此时有意义，②错； ()()222141x y x +-=-122315d d d =对于③，当，则曲线的方程可化为， ()2214x y +<C ()()222411y x x -+=-整理可得，取双曲线的焦点、，22112y x -=22112y x -=10,F ⎛ ⎝2F ⎛⎝根据双曲线的定义可知，曲线上有无数个点，使得，③对； C P 12PF PF -==对于④，当点在抛物线上，且时，P 2y x =1x ≠，12d d +当且仅当时，等号成立，0y=当点在双曲线的上支时，则，P 22112y x -=y ≥y =1x ≠此时，12d d +因为，()()222110x x -+=->， 1x >+()1x >-+故12d d+=≥=当且仅当时，等号成立；0x =当点在双曲线的下支时，同理可求得. P 22112y x -=12d d +综上所述，，④对. 12d d +故答案为：①③④.【点睛】关键点点睛：本题考查曲线有关几何性质的应用，解题的关键在于根据题中的几何关系求出曲线的方程，并对曲线的方程进行化简，进而通过曲线的方程对曲线的几何性质进行分析求解.三、解答题16．已知直线与直线交于点，点关于坐标原点的对称点为，点在直线1:1l y =2:2l y kx =-A A C B 上，点在直线上． 1l D 2l (1)当时，求点的坐标；1k =C (2)当四边形为菱形时，求的值． ABCD k 【答案】(1) ()3,1C --(2)k =【分析】（1）当时，联立直线、的方程，求出点的坐标，再利用对称性可得出点的坐1k =1l 2l A C 标；（2）求出点的坐标，设点，求出点的坐标，根据点在直线上可得出，由菱A (),1B t D D 2l 1t k=-形的几何性质可得出，根据斜率关系可得出关于的等式，即可得解.OA OB ⊥k 【详解】（1）解：当时，直线的方程为，联立可得，即点，1k =2l 2y x =-12y y x =⎧⎨=-⎩31x y =⎧⎨=⎩()3,1A 因为点关于坐标原点的对称点为，故点的坐标为. A C C ()3,1--（2）解：若，则，不合乎题意，所以，，0k =12//l l 0k ≠联立可得，即点， 12y y kx =⎧⎨=-⎩31x k y ⎧=⎪⎨⎪=⎩3,1A k ⎛⎫⎪⎝⎭设点为坐标原点，则， O 133OA k k k==设点，因为四边形为菱形，且的中点为，则的中点为，(),1B t ABCD AC O BD O 所以点，因为点在直线上，所以，，则，即点，(),1D t --D 2l 21kt --=-1t k =-1,1B k ⎛⎫- ⎪⎝⎭所以，， 11OB k k k==--由菱形的几何性质可知，所以，，解得. OA OB ⊥213OA OB k k k =-=-k =17．已知曲线M 上的任意一点到点的距离比它到直线的距离小1．(1,0)2x =-(1)求曲线M 的方程；(2)设点．若过点的直线与曲线M 交于B ，C 两点，求的面积的最小值．(0,1)E (2,1)A EBC 【答案】(1)24y x =(2)【分析】（1）利用抛物线的定义即可求解；（2）设直线的方程，联立直线与抛物线的方程，可知的面积，结合韦达定理BC EBC 12S y y =-及二次函数求最值，即可得解.【详解】（1）由已知得，曲线M 上的任意一点到点的距离与它到直线的距离相等， (1,0)=1x -所以曲线M 的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线，(1,0)=1x -所以曲线M 的方程为24y x =（2）设，()11,B x y ()22,C x y 显然，过点的直线斜率不为0，设其方程为(2,1)A BC 2x my m =+-联立，整理得 224x my m y x=+-⎧⎨=⎩()24042y my m -+-=其中， ()()222121621628021616m m m m m ⎛⎫∆=-=-+=-+> ⎪⎝⎭-由韦达定理得：，，124y y m +=()1242y y m =-所以的面积 EBC 12112S EA y y y =⨯⨯-=-===当时，12m =min 4S ===所以的面积的最小值为EBC 18．如图，在四棱锥中，四边形是平行四边形，点F 为的中点．P ABCD -ABCD PD(1)已知点G 为线段的中点，求证：CF ∥平面；BC PAG (2)若，直线与平面所成的角为，再从条件①、条件②、条件③这三个2PA AB ==PC ABCD 30︒条件中选择几个作为已知，使四棱锥唯一确定，求：P ABCD -（ⅰ）直线到平面的距离；CD ABF （ⅱ）二面角的余弦值．B AFC --条件①：平面；PA ⊥ABCD条件②：AD =条件③：平面平面．PAB ⊥PAD 【答案】(1)证明过程见详解(2)（ⅰ；（ⅱ【分析】(1) 取的中点，连接，，，，利用中位线证明平面，再利AD E EF EC AG PG //EF PAG 用平行四边形对边平行证明平面，然后利用面面平行的判定得到平面平面//CE PAG //PAG EFC ，最后由面面平行得到证明即可；(2)选择条件①和③（ⅰ）设点到平面的距离为，利用等体积法即可求解；D ABF h （ⅱ）建立空间直角坐标系，写出点的坐标，分别求出两个平面的法向量，进而求解即可.【详解】（1）取的中点，连接，，，；AD E EF EC AG PG 因为分别为的中点，所以，平面， ,E F ,PD AD //EF PA PA ⊂PAG 平面，所以平面，EF ⊄PAG //EF PAG 又因为分别为的中点，四边形为平行四边形，,G E ,BC AD ABCD 所以且，则四边形为平行四边形，//AE GC AE GC =AGCE 所以，平面，平面，所以平面，//CE GA GA ⊂PAG CE ⊄PAG //CE PAG 因为，平面，所以平面平面，CE EF E = ,CE EF ⊂EFC //PAG EFC 因为平面，所以平面.FC ⊂EFC //FC PAG（2）选择条件①和③（ⅰ）因为平面，所以即为直线与平面所成的角，PA ⊥ABCD PCA ∠PC ABCD由题意可知：，又，所以30∠=︒PCA 2PA AB ==AC =因为平面平面，且平面平面，因为平面， PAD ⊥PAB PAD ⋂PAB PA =PA ⊥ABCD 所以，所以平面，平面，所以,AB PA ⊥AB ⊥PAD AD ⊂PAD AB AD ⊥则四边形为矩形，因为，所以ABCD 2,AB AC ==AD ==设点到平面的距离为，由平面可知：，D ABF h AB ⊥PAD AB AF ⊥在中，Rt PAD △PD ==因为为的中点，所以 F PD 12AF PD ==所以 11222ABF S AB AF =⋅=⨯= 11222ABD S AB AD =⋅=⨯⨯= 因为，平面，平面，所以平面，//DC AB AB ⊂ABF DC ⊄ABF //DC ABF 所以点到平面的距离也就是直线到平面的距离.D ABF CD ABF 因为，即， D ABF F ABD V V --=111332ABF ABD S h S AP ⋅=⋅也即，所以11133h =⨯h故直线到平面CD ABF（ⅱ）由（ⅰ）可知：，，两两垂直，分别以，，所在直线为轴，轴，轴AB AP AD AB AP AD x z y建立如图所示空间直角坐标系，则，，，，则，(0,0,0)A (2,0,0)BF C (2,0,0)AB = ，，AF =(2,AC = 设平面的法向量为，平面的法向量为，ABF 111(,,)m x y z = AFC 222(,,)n x y z = 则有，也即，令，则； ·0·0m AF m AB ⎧=⎪⎨=⎪⎩111020z x +==⎪⎩12z=(0,2)m = 则有，也即，令，则， ·0·0n AF n AC ⎧=⎪⎨=⎪⎩2222020z x +=+=⎪⎩12z=(2,2)n = 则cos ,m n m n m n<>==由图可知：二面角为锐二面角，B AFC --所以二面角B AF C --19．已知椭圆的焦距为2，长轴长为4． 2222:1(0)x y E a b a b+=>>(1)求椭圆E 的方程；(2)过点且与x 轴不重合的直线l 与椭圆E 交于不同的两点B ，C ，点B 关于x 轴的对称点(3,0)M -为．问：平面内是否存在定点P ，使得恒在直线上？若存在，求出点P 的坐标；若不存B 'B 'PC 在，说明理由．【答案】(1) 22143x y +=(2)存在， 4,03P ⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】（1）根据条件求出，即可得椭圆E 的方程；,,a b c （2）直线l 为，，消去得，利用点写出3x ty =-()()1122,,,B x y C x y x ()223418150t y ty +-+=,B C '直线的方程，利用韦达定理整理变形可得直线过定点.B C '【详解】（1）由已知得，则，22,24c a ==1,2c a ==2223b a c ∴=-=椭圆E 的方程为； 22143x y +=（2）设直线l 为，，则3x ty =-()()1122,,,B x y C x y ()11,B x y '-联立，消去得， 223143x ty x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩x ()223418150t y ty +-+=，解得 ()()221860340t t ∴∆=-+>253t >则， 1212221815,3434t y y y y t t +==++又直线的方程为 B C '()212221y y y x x y x x +=-+- 2122122112212112212212121212121y y y x y x y y x y x y y y x y x y y x y x x x x x x x x x x x x y y ⎛⎫++++++∴=-+=-=- ⎪-----+⎝⎭又， ()()()212211212122121212121533234342318334ty y ty y ty y y y x y x y t t t y y y y y y t -+--+++===⨯-=-++++，恒过定点 212143y y y x x x +⎛⎫∴=+ ⎪-⎝⎭4,03⎛⎫- ⎪⎝⎭故存在定点，使得恒在直线上. 4,03P ⎛⎫- ⎪⎝⎭B 'PC。
北京市海淀区2023-2024学年高三下学期期末练习(二模)数学试题(解析版)
海淀区2023—2024学年第二学期期末练习高三数学2024.05本试卷共6页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第一部分（选择题共40分）一､选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知集合{}1,0,1,2,{3}A B x a x =-=≤<∣.若A B ⊆，则a 的最大值为（）A.2 B.0C.1- D.-2【答案】C 【解析】【分析】根据集合的包含关系可得1a ≤-求解.【详解】由于A B ⊆，所以1a ≤-，故a 的最大值为1-，故选：C2.在52()x x-的展开式中，x 的系数为（）A.40B.10C.40-D.10-【答案】A 【解析】【分析】利用二项式定理的性质.【详解】设52(x x-的通项1k T +，则()5115C 2k k k k T x x --+=-，化简得()5215C 2k kk k T x -+=⋅-⋅，令2k =，则x 的系数为()225C 240-=，即A 正确.故选：A3.函数()3,0,1,03x x x f x x ⎧≤⎪=⎨⎛⎫>⎪ ⎪⎝⎭⎩是（）A.偶函数，且没有极值点B.偶函数，且有一个极值点C.奇函数，且没有极值点D.奇函数，且有一个极值点【答案】B 【解析】【分析】根据函数奇偶性定义计算以及极值点定义判断即可.【详解】当0x ≤时，0x ->，则1()(3()3xx f x f x --===，当0x >时，0x -<，则1()3()()3xx f x f x --===，所以函数()f x 是偶函数，由图可知函数()f x 有一个极大值点.故选：B.4.已知抛物线24x y =的焦点为F ，点A 在抛物线上，6AF =，则线段AF 的中点的纵坐标为（）A.52B.72C.3D.4【答案】C 【解析】【分析】根据抛物线定义求得点A 的纵坐标，再求AF 中点纵坐标即可.【详解】抛物线24x y =的焦点()0,1F ，又16A AF y =+=，解得5A y =，故线段AF 的中点的纵坐标为1532+=.故选：C.5.在ABC 中，34,5,cos 4AB AC C ===，则BC 的长为（）A.6或32B.6C.3+D.3【答案】A 【解析】【分析】根据余弦定理即可求解.【详解】由余弦定理可得222222543cos 2104AC CB ABCB C AC BCBC+-+-===⋅,故22151806CB BC BC -+=⇒=或32，故选：A6.设,R,0a b ab ∈≠，且a b >，则（）A.b a a b< B.2b a a b+>C.()sin a b a b -<- D.32a b>【答案】C 【解析】【分析】举反例即可求解ABD,根据导数求证()sin ,0,x x x <∈+∞即可判断C.【详解】对于A ，取2,1a b ==-，则122b aa b=->=-，故A 错误，对于B ，1,1a b ==-，则2b aa b+=，故B 错误，对于C ，由于()sin 0,cos 10y x x x y x '=->-≤=，故sin y x x =-在()0,∞+单调递减，故sin 0x x -<，因此()sin ,0,x x x <∈+∞，由于a b >，所以0a b ->，故()sin a b a b -<-，C 正确，对于D,3,4a b =-=-,则11322716a b =<=，故D 错误，故选：C7.在ABC 中，π,2C CA CB ∠===，点P 满足()1CP CA CB λλ=+- ，且4CP AB ⋅= ，则λ=（）A.14-B.14C.34-D.34【答案】B 【解析】【分析】用CB ，CA 表示AB ，根据0CA CB ⋅=，结合已知条件，以及数量积的运算律，求解即可.【详解】由题可知，0CA CB ⋅=，故CP AB ⋅()()()()2211881168CA CB CB CA CA CB λλλλλλλ⎡⎤=+-⋅-=-+-=-+-=-+⎣⎦，故1684λ-+=，解得14λ=.故选：B.8.设{}n a 是公比为()1q q ≠-的无穷等比数列，n S 为其前n 项和，10a >.则“0q >”是“n S 存在最小值”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】根据充分条件、必要条件的判定以及等比数列前n 项和公式判断即可【详解】若10a >且公比0q >，则110n n a a q -=>，所以n S 单调递增，n S 存在最小值1S ，故充分条件成立.若10a >且12q =-时，11112211013212n nn a S a ⎡⎤⎛⎫--⎢⎥ ⎪⎡⎤⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦==-->⎢⎥ ⎪⎛⎫⎝⎭⎢⎥⎣⎦-- ⎪⎝⎭，当n 为奇数时，121132nn S a ⎡⎤⎛⎫=+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，n S 单调递减，故最大值为1n =时，11S a =，而123n S a <,当n 为偶数时，121132n n S a ⎡⎤⎛⎫=-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，n S 单调递增，故最小值为2n =，122aS =，所以n S 的最小值为112a ，即由10a >，n S 存在最小值得不到公比0q >,故必要性不成立.故10a >公比“0q >”是“n S 存在最小值”的充分不必要条件.故选：A9.设函数()f x 的定义域为D ，对于函数()f x 图象上一点()00,x y ，若集合()(){}0,k k x x y f x x D ≤∈-+∀∈R∣只有1个元素，则称函数()f x 具有性质0x P .下列函数中具有性质1P 的是（）A.()1f x x =- B.()lg f x x=C.()3f x x = D.()πsin2f x x =-【答案】D 【解析】【分析】根据性质1P 的定义，结合各个函数的图象，数形结合，即可逐一判断各选择.【详解】根据题意，要满足性质1P ，则()f x 的图象不能在过点()()1,1f 的直线的上方，且这样的直线只有一条；对A ：()1f x x =-的图象，以及过点()1,0的直线，如下所示：数形结合可知，过点()1,0的直线有无数条都满足题意，故A 错误；对B ：()lg f x x =的图象，以及过点()1,0的直线，如下所示：数形结合可知，不存在过点()1,0的直线，使得()f x 的图象都在该直线的上方，故B 错误；对C ：()3f x x =的图象，以及过点()1,1的直线，如下所示：数形结合可知，不存在过点()1,1的直线，使得()f x 的图象都在该直线的上方，故C 错误；对D ：()πsin2f x x =-的图象，以及过点()1,1-的直线，如下所示：数形结合可知，存在唯一的一条过点()1,1-的直线1y =-，即0k =，满足题意，故D 正确.故选：D.10.设数列{}n a 的各项均为非零的整数，其前n 项和为n S .若()*,j i i j -∈N为正偶数，均有2ji aa ≥，且20S =，则10S 的最小值为（）A.0B.22C.26D.31【答案】B 【解析】【分析】因为2120S a a =+=，不妨设120,0a a ><，由题意求出3579,,,a a a a 的最小值，46810,,,a a a a 的最小值，10122S a =，令11a =时，10S 有最小值.【详解】因为2120S a a =+=，所以12,a a 互为相反数，不妨设120,0a a ><，为了10S 取最小值，取奇数项为正值，取偶数项为负值，且各项尽可能小，.由题意知：3a 满足312a a ≥，取3a 的最小值12a ；5a 满足51531224a a a a a ≥⎧⎨≥≥⎩，因为1110,42a a a >>，故取5a 的最小值14a ；7a 满足717317531224248a a a a a a a a a≥⎧⎪≥≥⎨⎪≥≥≥⎩，取7a 的最小值18a ；同理，取9a 的最小值116a ；所以135791111112481631a a a a a a a a a a a ++++=++++=，4a 满足422a a ≥，取4a 的最小值22a ；6a 满足62642224a a a a a ≥⎧⎨≥≥⎩，因为20a <，所以2224a a >，取6a 的最小值12a ；8a 满足828418641224248a a a a a a a a a≥⎧⎪≥≥⎨⎪≥≥≥⎩，因为20a <，所以222482a a a >>，取8a 的最小值12a ；同理，取10a 的最小值12a ；所以24681022222222229a a a a a a a a a a a ++++=++++=，所以101211131931922S a a a a a =+=-=，因为数列{}n a 的各项均为非零的整数，所以当11a =时，10S 有最小值22.故选：B【点睛】关键点点睛：10S 有最小值的条件是确保各项最小，根据递推关系2j i a a ≥分析可得奇数项的最小值与偶数项的最小值，从而可得10S 的最小值.第二部分（非选择题共110分）二､填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.若()2(i)2i R x x +=∈，则x =__________.【答案】1【解析】【分析】利用复数的四则运算，结合复数相等的性质得到关于x 的方程组，解之即可得解.【详解】因为2(i)2i x +=，所以222i i 2i x x ++=，即212i 2i x x -+=，所以21022x x ⎧-=⎨=⎩，解得1x =.故答案为：1.12.已知双曲线22:14x C y -=，则C 的离心率为__________；以C 的一个焦点为圆心，且与双曲线C 的渐近线相切的圆的方程为__________.（写出一个即可）【答案】①.②.22(1x y ++=或（22(1x y +=）【解析】【分析】根据离心率的定义求解离心率，再计算焦点到渐近线的距离，结合圆的标准方程求解即可.【详解】22:14x C y -==，又渐近线为12y x =，即20x y -=，故焦点)与()到20x y -=1=，则以C 的一个焦点为圆心，且与双曲线C 的渐近线相切的圆的方程为22(1xy ++=或22(1x y -+=，故答案为：2；22(1xy ++=或（22(1x y +=）13.已知函数()2cos sin f x x a x =+.（i ）若0a =，则函数()f x 的最小正周期为__________.（ii ）若函数()f x 在区间()0,π上的最小值为2-，则实数=a __________.【答案】①.π②.2-【解析】【分析】根据二倍角公式即可结合周期公式求解，利用二次函数的性质即可求解最值.【详解】当0a =时，()2cos 21cos 2x f x x +==,所以最小正周期为2ππ2T ==，()2222cos sin sin sin 1sin 124a a f x x a x x a x x ⎛⎫=+=-++=--++⎪⎝⎭，当()0,πx ∈时，(]sin 0,1x ∈，且二次函数开口向下，要使得()f x 在区间()0,π上的最小值为2-，则需要1022a a-≥-，且当sin 1x =时取最小值，故112a -++=-，解得2a =-，故答案为：π，2-14.二维码是一种利用黑､白方块记录数据符号信息的平面图形.某公司计划使用一款由()2*nn ∈N 个黑白方块构成的n n ⨯二维码门禁，现用一款破译器对其进行安全性测试，已知该破译器每秒能随机生成162个不重复的二维码，为确保一个n n ⨯二维码在1分钟内被破译的概率不高于1512，则n 的最小值为__________.【答案】7【解析】【分析】根据题意可得21615260122n⨯≤，即可由不等式求解.【详解】由题意可知n n ⨯的二维码共有22n 个，由21615260122n⨯≤可得2216153126022602n n -⨯⨯≤⇒≤，故2231637n n -≥⇒≥，由于*n ∈N ，所以7n ≥，故答案为：715.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，P 为棱AB 上的动点，DQ ⊥平面1,D PC Q 为垂足.给出下列四个结论：①1D Q CQ =；②线段DQ 的长随线段AP 的长增大而增大；③存在点P ，使得AQ BQ ⊥；④存在点P ，使得PQ //平面1D DA .其中所有正确结论的序号是__________.【答案】①②④【解析】【分析】根据给定条件，以点D 为原点，建立空间直角坐标系，求出平面1D PC 的法向量坐标，进而求出点Q 的坐标，再逐一计算判断各个命题即得答案.【详解】在正方体1111ABCD A B C D -中，令1AB =，以点D 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设(01)AP t t =≤≤，则1(0,0,0),(0,1,0),(0,0,1),(1,,0)D C D P t ，1(0,1,1),(1,1,0)CD CP t =-=-，令平面1D PC 的法向量(,,)n x y z = ，则10(1)0n CD y z n CP x t y ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=+-=⎪⎩，取1y =，得(1,1,1)n t =- ，由DQ ⊥平面1D PC 于Q ，得((1),,)DQ n t λλλλ==-，即((1),,)Q t λλλ-，((1),1,)CQ t λλλ=-- ，显然2(1)10CQ n t λλλ⋅=-+-+=，解得21(1)2t λ=-+，于是222111(,,)(1)2(1)2(1)2t Q t t t --+-+-+，对于①，222222221||(1)(1)(1)(1)||D Q t t CQ λλλλλλ=-++--+-+，①正确；对于②，2221||(1)11(1)2(1)2DQ t t t =-++-+-+在[0,1]上单调递增，②正确；对于③，而(1,0,0),(1,1,0)A B ，((1)1,,),((1)1,1,)AQ t BQ t λλλλλλ=--=---，若2222[(1)1](1)(23)(32)10AQ BQ t t t t λλλλλλ⋅=--+-+=-+--+=，显然22(32)4(23)430t t t t ∆=---+=--<，即不存在[0,1]t ∈，使得0AQ BQ ⋅=，③错误；对于④，平面1D DA 的一个法向量(0,1,0)DC =，而((1)1,,)PQ t t λλλ=--- ，由0PQ DC t λ⋅=-=，得t λ=，即21(1)2t t =-+，整理得322310t t t -+-=，令32()231,[0,1]f t t t t t =-+-∈，显然函数()f t 在[0,1]上的图象连续不断，而(0)10,(1)10f f =-<=>，因此存在(0,1)t ∈，使得()0f t =，此时PQ ⊄平面1D DA ，因此存在点P ，使得//PQ 平面1D DA ，④正确.所以所有正确结论的序号是①②④.故答案为：①②④【点睛】思路点睛：涉及探求几何体中点的位置问题，可以建立空间直角坐标系，利用空间向量证明空间位置关系的方法解决.三､解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.已知函数2()2cos(0)2xf x x ωωω=+>，从条件①､条件②､条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数()f x 存在且唯一确定.（1）求ω的值；（2）若不等式()2f x <在区间()0,m 内有解，求m 的取值范围.条件①：(2π)3f =；条件②：()y f x =的图象可由2cos2y x =的图象平移得到；条件③：()f x 在区间ππ(,36-内无极值点，且ππ()2(263f f -=-+.注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】（1）条件选择见解析，2ω=；（2）π(,)3+∞.【解析】【分析】（1）选条件①，由ππ1cos()332ω-=的解不唯一，此条件不符合题意；选条件②，由周期求出ω；选条件③，由给定等式确定最大最小值条件，求出周期范围，由给定区间内无极值点求出周期即可.（2）由（1）求出函数()f x 的解析式，再借助不等式有解列式求解即得.【小问1详解】依题意，π()cos 12cos()13f x x x x ωωω=++=-+，选条件①，由(2π)3f =，得ππ2cos()1233ω-+=，即ππ1cos()332ω-=，于是πππ2π,N 333k k ω-=+∈或πππ2π,N 333k k ω*-=-+∈，显然ω的值不唯一，因此函数()f x 不唯一，不符合题意.选条件②，()y f x =的图象可由2cos2y x =的图象平移得到，因此()y f x =的最小正周期为函数2cos2y x =的最小正周期π，而0ω>，则2ππω=，所以2ω=.选条件③，()f x 在区间ππ(,36-内无极值点，且ππ()2(263f f -=-+，则ππ(()463f f --=，即函数()f x 分别在ππ,63x x ==-时取得最大值､最小值，于是()f x 的最小正周期ππ2[(π63T ≤⨯--=，由()f x 在区间ππ(,36-内无极值点，得()f x 的最小正周期ππ2[()]π63T ≥⨯--=，因此πT =，而0ω>，所以2π2Tω==.【小问2详解】由（1）知π()2cos(213f x x =-+，由(0,)x m ∈，得πππ2(,2)333x m -∈--，由不等式()2f x <在区间(0,)m 内有解，即π1cos(2)32x -<在区间(0,)m 内有解，则有ππ233m ->，解得π3m >，所以m 的取值范围是π(,)3+∞.17.在三棱锥-P ABC 中，2,AB PB M ==为AP 的中点.（1）如图1，若N 为棱PC 上一点，且MN AP ⊥，求证：平面BMN ⊥平面PAC ；（2）如图2，若O 为CA 延长线上一点，且PO ⊥平面,2ABC AC ==，直线PB 与平面ABC 所成角为π6，求直线CM 与平面PBC 所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）13【解析】【分析】（1）根据BM AP ⊥和,MN AP ⊥可证线面垂直，即可求证面面垂直，（2）根据线面角的几何法可得π6PBO ∠=，建立空间直角坐标系，利用法向量与方向向量的夹角即可求解.【小问1详解】连接,,BM MN BN.因为,AB PB M =为AP 的中点，所以BM AP ⊥.又,MN AP ⊥,,MN BM M MN BM ⋂=⊂平面BMN ,所以AP ⊥平面BMN .因为AP ⊂平面,PAC 所以平面BMN ⊥平面PAC .【小问2详解】因为PO ⊥平面,ABC OB ⊂平面,ABC OC ⊂平面ABC ，所以,,PO OB PO OC PBO ∠⊥⊥为直线PB 与平面ABC 所成的角.因为直线PB 与平面ABC 所成角为π6，所以π6PBO ∠=.因为2PB =，所以1,PO OB ==.2=，所以1OA =.又2AB =，故222AB OB OA =+.所以OB OA ⊥.如图建立空间直角坐标系O xyz -.则())0,1,0,A B，()()0,3,0,0,0,1C P ，110,,22M ⎛⎫⎪⎝⎭.所以()0,3,1PC =-，()BC = ，510,,22MC ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.设平面PBC 的法向量为(),,n x y z =，则0,0,n PC n BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即30,330.y z x y -=⎧⎪⎨+=⎪⎩令1y =，则)3,1,3n = .设CM 与平面PBC 所成角为θ，则2sin cos ,132511344MC n MC n MC nθ⋅====⋅+⋅.所以直线CM 与平面PBC 所成角的正弦值为213.18.图象识别是人工智能领域的一个重要研究方向.某中学人.工智能兴趣小组研发了一套根据人脸照片识别性别的程序.在对该程序的一轮测试中，小组同学输入了200张不同的人脸照片作为测试样本，获得数据如下表（单位：张）：识别结果真实性别男女无法识别男902010女106010假设用频率估计概率，且该程序对每张照片的识别都是独立的.（1）从这200张照片中随机抽取一张，已知这张照片的识别结果为女性，求识别正确的概率；（2）在新一轮测试中，小组同学对3张不同的男性人脸照片依次测试，每张照片至多测一次，当首次出现识别正确或3张照片全部测试完毕，则停止测试.设X 表示测试的次数，估计X 的分布列和数学期望EX ；（3）为处理无法识别的照片，该小组同学提出上述程序修改的三个方案：方案一：将无法识别的照片全部判定为女性；方案二：将无法识别的照片全部判定为男性；方案三：将无法识别的照片随机判定为男性或女性（即判定为男性的概率为50%，判定为女性的概率为50%).现从若干张不同的人脸照片（其中男性､女性照片的数量之比为1:1）中随机抽取一张，分别用方案一､方案二､方案三进行识别，其识别正确的概率估计值分别记为123,,p p p .试比较123,,p p p 的大小.（结论不要求证明）【答案】（1）34（2）分布列见解析；()2116E X =（3）231p p p >>【解析】【分析】（1）利用用频率估计概率计算即可（2）由题意知X 的所有可能取值为1,2,3，分别求出相应的概率，然后根据期望公式求出即可（3）分别求出方案一､方案二､方案三进行识别正确的概率，然后比较大小可得【小问1详解】根据题中数据，共有206080+=张照片被识别为女性，其中确为女性的照片有60张，所以该照片确为女性的概率为603804=.【小问2详解】设事件:A 输入男性照片且识别正确.根据题中数据，()P A 可估计为9031204=.由题意知X 的所有可能取值为1,2,3.()()()31331111,2,3444164416P X P X P X ====⨯===⨯=.所以X 的分布列为X123P34316116所以()331211234161616E X =⨯+⨯+⨯=.【小问3详解】231p p p >>.19.已知椭圆E 的焦点在x 轴上，中心在坐标原点.以E 的一个顶点和两个焦点为顶点的三角形是等边三角形，且其周长为（1）求栯圆E 的方程；（2）设过点()2,0M 的直线l （不与坐标轴垂直）与椭圆E 交于不同的两点,A C ，与直线16x =交于点P .点B 在y 轴上，D 为坐标平面内的一点，四边形ABCD 是菱形.求证：直线PD 过定点.【答案】（1）22186x y +=（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据焦点三角形的周长以及等边三角形的性质可得22a c +=且12c a =，即可求解,,a b c 得解，（2）联立直线与椭圆方程得韦达定理，进而根据中点坐标公式可得2286,3434t N t t ⎛⎫-⎪++⎝⎭，进而根据菱形的性质可得BD 的方程为22683434t y t x t t ⎛⎫+=-- ⎪++⎝⎭，即可求解220,34t B t ⎛⎫ ⎪+⎝⎭，221614,3434t D t t ⎛⎫- ⎪++⎝⎭.进而根据点斜式求解直线PD 方程，即可求解.【小问1详解】由题意可设椭圆E 的方程为22222221(0),x y a b c a b a b+=>>=-.因为以E 的一个顶点和两个焦点为顶点的三角形是等边三角形，且其周长为所以22a c +=且12c a =，所以a c ==.所以26b =.所以椭圆E 的方程为22186x y +=.【小问2详解】设直线l 的方程为()20x ty t =+≠，令16x =，得14y t =，即1416,P t ⎛⎫ ⎪⎝⎭.由223424,2x y x ty ⎧+=⎨=+⎩得()223412120t y ty ++-=.设()()1122,,,A x y C x y ，则1212221212,3434t y y y y t t +=-=-++.设AC 的中点为()33,N x y ，则12326234y y ty t +==-+.所以3328234x ty t =+=+.因为四边形ABCD 为菱形，所以N 为BD 的中点，AC BD ⊥.所以直线BD 的斜率为t -.所以直线BD 的方程为22683434t y t x t t ⎛⎫+=-- ⎪++⎝⎭.令0x =得222862343434t t t y t t t =-=+++.所以220,34t B t ⎛⎫ ⎪+⎝⎭.设点D 的坐标为()44,x y ，则4343222162142,2343434t t x x y y t t t ===-=-+++，即221614,3434t D t t ⎛⎫-⎪++⎝⎭.所以直线PD 的方程为()221414143416161634tt t y x t t ++-=--+，即()746y x t =-.所以直线PD 过定点()4,0.【点睛】方法点睛：圆锥曲线中定点问题的两种解法：（1）引进参数法：先引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点.（2）特殊到一般法：先根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.20.已知函数()()ln 0)f x x a a =-+>.（1）若1a =，①求曲线()y f x =在点()()22f ,处的切线方程；②求证：函数()f x 恰有一个零点；（2）若()ln 2f x a a ≤+对(),3x a a ∈恒成立，求a 的取值范围.【答案】（1）①2y =；②证明见解析（2）[)1,+∞【解析】【分析】（1）①求导，即可求解斜率，进而可求直线方程，②根据函数的单调性，结合零点存在性定理即可，（2）求导后构造函数()()(),,3g x x a x a a =-∈，利用导数判断单调性，可得()f x 的最大值为()()()000ln 2f x x a x a =-+-，对a 分类讨论即可求解.【小问1详解】当1a =时，()()ln 1f x x =-+.①()11f x x =--'.所以()()22,20f f =='.所以曲线()y f x =在点()()22f ,处的切线方程为2y =.②由①知()()(]()1ln 11,3,1f x x x f x x =-=-'+∈，且()20f '=.当()1,2x ∈时，因为111x >>-()0f x ¢>；当()2,3x ∈时，因为111x <<-，所以()0f x '<.所以()f x 在区间()1,2上单调递增，在区间()2,3上单调递减.因为()()()322,3ln20,1e 330f f f -==>+=-+<-+<.所以函数()f x 恰有一个零点.【小问2详解】由()()ln f x x a =-+得()f x -='.设()()(),,3g x x a x a a =-∈，则()10g x '=-<.所以()g x 是(),3a a 上的减函数.因为()()0,320g a g a a =>=-<，所以存在唯一()()()000,3,0x a a g x x a ∈=-=.所以()f x '与()f x 的情况如下：x()0,a x 0x ()0,3x a ()f x '+-()f x极大所以()f x 在区间(),3a a 上的最大值是()()()()0000ln ln 2f x x a x a x a =-+=-+-.当1a ≥时，因为()20g a a =-≤，所以02x a ≤.所以()()()0ln 222ln 2f x a a a a a a ≤-+-=+.所以()()0ln 2f x f x a a ≤≤+，符合题意.当01a <<时，因为()20g a a =>，所以02x a >.所以()()()0ln 222ln 2f x a a a a a a >-+-=+，不合题意.综上所述，a 的取值范围是[)1,+∞.【点睛】方法点睛：对于利用导数研究函数的综合问题的求解策略：1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．21.设正整数2n ≥，*,i i a d ∈N ，(){}1,1,2,i i i A x x a k d k ==+-= ，这里1,2,,i n = .若*12n A A A ⋃⋃⋃=N ，且()1i j A A i j n ⋂=∅≤<≤，则称12,,,n A A A 具有性质P .（1）当3n =时，若123,,A A A 具有性质P ，且11a =，22a =，33a =，令123m d d d =，写出m 的所有可能值；（2）若12,,,n A A A 具有性质P ：①求证：()1,2,,i i a d i n ≤= ；②求1nii ia d =∑的值.【答案】（1）27或32（2）①证明见解析②12n +【解析】【分析】（1）对题目中所给的12,,,n A A A ，我们先通过分析集合中的元素，证明()1,2,,i i a d i n ≤= ，111ni i d ==∑，以及112ni i i a n d =+=∑，然后通过分类讨论的方法得到小问1的结果；（2）直接使用（1）中的这些结论解决小问2即可.【小问1详解】对集合S ，记其元素个数为S .先证明2个引理.引理1：若12,,,n A A A 具有性质P ，则()1,2,,i i a d i n ≤= .引理1的证明：假设结论()1,2,,i i a d i n ≤= 不成立.不妨设11a d >，则正整数111a d A -∉，但*12n A A A ⋃⋃⋃=N ，故11a d -一定属于某个()2i A i n ≤≤，不妨设为2A .则由112a d A -∈知存在正整数k ，使得()11221a d a k d -=+-.这意味着对正整数1112c a d d d =-+，有()111212111c a d d d a d d A =-+=+-∈，()()11122212212211c a d d d a k d d d a k d d A =-+=+-+=++-∈，但12A A =∅ ，矛盾.所以假设不成立，从而一定有()1,2,,i i a d i n ≤= ，从而引理1获证.引理2：若12,,,n A A A 具有性质P ，则111ni i d ==∑，且112ni i ia n d =+=∑.证明：取集合{}121,2,...,...n T d d d =.注意到关于正整数k 的不等式()1201...i i n a k d d d d <+-≤等价于12...11i i n i i ia a d d dk d d d -<≤-+，而由引理1有i i a d ≤，即011iia d ≤-<.结合12...n i d d d d 是正整数，知对于正整数k ，12...11i i n i i i a a d d d k d d d -<≤-+当且仅当12...n i iT d d dk d d ≤=，这意味着数列()()11,2,...k i i x a k d k =+-=恰有iT d 项落入集合T ，即i iT T A d ⋂=.而12,,,n A A A 两两之间没有公共元素，且并集为全体正整数，故T 中的元素属于且仅属于某一个()1i A i n ≤≤，故12...n T A T A T A T ⋂+⋂++⋂=.所以1212......n nT T T T A T A T A T d d d +++=⋂+⋂++⋂=，从而12111...1nd d d +++=，这就证明了引理2的第一个结论；再考虑集合T 中全体元素的和.一方面，直接由{}121,2,...,...n T d d d =知T 中全体元素的和为()1212 (12)n n d d d d d d +，即()12T T +.另一方面，i T A ⋂的全部iT d 个元素可以排成一个首项为i a ，公差为i d 的等差数列.所以i T A ⋂的所有元素之和为11122i i i i i i i iTT TT T a a d T d d d d d ⎛⎫⎛⎫⋅+-=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.最后，再将这n 个集合()1,2,...,i T A i n ⋂=的全部元素之和相加，得到T 中全体元素的和为112ni i i i T Ta T d d =⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑.这就得到()11122ni i i i T T T Ta T d d =⎛⎫+⎛⎫=+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑，所以有()221111111222222nnn ni i i i i i i i i iiiT T T TTn TTn T a a a T TT d d d d d ====⎛⎫+⎛⎫=+-=+-=+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑∑.即1122ni i iT T na d =+-=+∑，从而112ni i i a n d =+=∑，这就证明了引理2的第二个结论.综上，引理2获证.回到原题.将123,,d d d 从小到大排列为123r r r ≤≤，则123123m d d d r r r ==，由引理2的第一个结论，有1231231111111r r r d d d ++=++=.若13r ≥，则1231111111111311r r r r r r r =++≤++=≤，所以每个不等号都取等，从而1233r r r ===，故12327m r r r ==；情况1：若11r =，则23111110r r r +=-=，矛盾；情况2：若12r =，则231111112r r r +=-=，所以232221111122r r r r r =+≤+=，得24r ≤.此时如果22r =，则3211102r r =-=，矛盾；如果24r =，则32111124r r =-=，从而34r =，故12332m r r r ==；如果23r =，由于12r =，设()()123123,,,,i i i r r r d d d =，{}{}123,,1,2,3i i i =，则12i d =，23i d =.故对于正整数对()()2121212112331212211i i i i i i i i k a a a a k a a a a ⎧=+--+--⎪⎨=+--+--⎪⎩，有2112231i i k k a a -=--，从而12121223i i i i a k a k A A +=+∈⋂，这与12i i A A ⋂=∅矛盾.综上，m 的取值只可能是27或32.当()()123,,3,3,3d d d =时，27m =；当()()123,,4,2,4d d d =时，32m =.所以123m d d d =的所有可能取值是27和32.【小问2详解】①由引理1的结论，即知()1,2,,i i a d i n ≤= ；②由引理2的第二个结论，即知112nii ia n d=+=∑.【点睛】关键点点睛：本题的关键点在于，我们通过两个方面计算了一个集合的各个元素之和，从而得到了一个等式，这种方法俗称“算二次”法或富比尼定理.。
2020~2021北京市海淀区高三上学期期末数学试卷及答案
2021北京海淀高三（上）期末数 学2020.01本试卷共8页，150分。
考试时常120分钟。
考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。
考试结束后，本试卷和答题纸一并交回。
第一部分（选择题 共40分）一、选择题共10 小题，每小题4分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）抛物线x =2y 的准线方程是（A ）21-=x （B ）41-=x （C ）21y -= （D ） 41y -= （2）在复平面内，复数ii+1对应的点位于 （A ）第一象限（B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限（3）在()52-x 的展开式中，4x 的系数为（A ）5（B ）5-（C ）10（D ）10（4）已知直线02:=++ay x l ，点），（11A --和点）（2,2B ，若AB l //，则实数a 的值为 （A ）1（B ）1-（C ）2（D ）2-（5）某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积为（A ）2（B ）4（C ）6（D ）12（6）已知向量a ，b 满足1=a ，），（12-=b ，且2=-b a ，则=⋅b a （A ）1-（B ）0（C ）1（D ）2（7）已知α，β是两个不同的平面，“αβ∥”的一个充分条件是（A ）α内有无数直线平行于β （B ）存在平面γ，αγ⊥，βγ⊥ （C ）存在平面γ，m αγ=，n βγ=且m n ∥（D ）存在直线l ，l α⊥，l β⊥ （8）已知函数2()12sin ()4f x x π=-+ 则（A ）()f x 是偶函数（B ）函数()f x 的最小正周期为2π （C ）曲线()y f x =关于π4x =-对称 （D ）(1)(2)f f >（9）数列{}n a 的通项公式为23n a n n =-，n ∈N ，前n 项和为n S ，给出下列三个结论：①存在正整数,()m n m n ≠，使得m n S S =；②存在正整数,()m n m n ≠，使得m n a a += ③记，12(1,2,3,)n n T a a a =则数列{}n T 有最小项，其中所有正确结论的序号是（A ）① （B ）③ （C ）①③ （D ）①②③（10）如图所示，在圆锥内放入连个球1O ，2O ，它们都与圆锥相切（即与圆锥的每条母线相切），切点圆（图中粗线所示）分别为⊙C 1,⊙C 2. 这两个球都与平面a 相切，切点分别为1F ，2F ，丹德林（G·Dandelin ）利用这个模型证明了平面a 与圆锥侧面的交线为椭圆，1F ，2F 为此椭圆的两个焦点，这两个球也称为Dandelin 双球。
北京市海淀区2023-2024学年高一下学期期末练习(二)数学试题含答案
2023-2024学年度第二学期高一数学学科期末练习（二）（答案在最后）命题人班级姓名本试卷共三道大题，满分50分，考试时间30分钟一、选择题（共9小题，每小题4分，共36分）1.一个平面图形用斜二测画法画出的直观图如图所示，此直观图恰好是一个边长为2的正方形，则原平面图形的周长为（）A.8B.C.16D.【答案】C【解析】【分析】根据斜二测画法的过程将直观图还原回原图形，找到直观图中正方形的四个顶点在原图形中对应的点，用直线段连结后得到原四边形，再计算平行四边形的周长即可．【详解】还原直观图为原图形如图所示，O A''=，所以O B''=，还原回原图形后，因为2=''=，2OA O A2=''=OB O B，AB==，所以6⨯+=．所以原图形的周长为2(26)16故选：C.2.下列说法不正确的是（）A.平行六面体的侧面和底面均为平行四边形B.直棱柱的侧棱长与高相等C.斜棱柱的侧棱长大于斜棱柱的高D.直四棱柱是长方体【分析】根据几何体的定义和性质依次判断每个选项判断得到直四棱柱不一定是长方体得到答案.【详解】根据平行多面体的定义知：平行六面体的侧面和底面均为平行四边形，A 正确；直棱柱的侧棱长与底面垂直，故与高相等，B 正确；斜棱柱的侧棱与高可构成以侧棱为斜边，高为直角边的直角三角形，斜边大于直角边，C 正确；当直四棱柱的底面不是长方形时不是长方体，D 错误.故选：D.3.下列命题正确的是（）A.三点确定一个平面B.梯形确定一个平面C.两条直线确定一个平面D.四边形确定一个平面【答案】B【解析】【分析】依次判断每个选项：当三点共线时不能确定一个平面，梯形上底和下底平行，能确定一个平面，两条直线异面时不能确定一个平面，空间四边形不能确定一个平面，得到答案.【详解】当三点共线时不能确定一个平面，A 错误；梯形上底和下底平行，能确定一个平面，B 正确；两条直线异面时不能确定一个平面，C 错误；空间四边形不能确定一个平面，D 错误.故选：B.4.已知点A ∈直线l ，又A ∈平面α，则（）A.//l αB.l A α=IC.l ⊂αD. l A α⋂=或 l α⊂【答案】D【解析】【分析】根据直线与平面的位置关系判断．【详解】点A ∈直线l ，又A ∈平面α，则l 与平面α至少有一个公共点，所以l A α=I 或l ⊂α．故选：D ．5.若空间三条直线a ，b ，c 满足a ⊥b ，b c ，则直线a 与c （）A.一定平行B.一定垂直C.一定是异面直线D.一定相交【分析】根据空间中直线的位置关系分析判断.【详解】∵a ⊥b ，b c ，∴a ⊥c .故选：B.6.给定空间中的直线l 与平面α，则“直线l 与平面α垂直”是“直线l 垂直于α平面内无数条直线”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】由线面垂直的性质结合两个条件之间的推出关系可得正确的选项.【详解】若直线l 与平面α垂直，由垂直的定义知，直线l 垂直于α平面内无数条直线；但是当直线l 垂直于α平面内无数条直线时，直线l 与平面α不一定垂直.所以“直线l 与平面α垂直”是“直线l 垂直于α平面内无数条直线”的充分不必要条件，故选：A7.已知,αβ是平面，m 、n 是直线，则下列命题正确的是（）A .若//,m m n α^，则//n α B.若,m m αβ⊥⊥，则//αβC.若,ααβ⊥⊥m ，则//m βD.若//,//m n αα，则//m n 【答案】B【解析】【分析】根据线面平行、线面垂直的性质依次判断每个选项得到答案.【详解】若//,m m n α^，则//n α或n ⊂α或n 与α相交，A 错误；若,m m αβ⊥⊥，则//αβ，B 正确；若,ααβ⊥⊥m ，则//m β或m β⊂，C 错误；若//,//m n αα，则//m n 或,m n 相交或,m n 异面，D 错误.故选：B.8.如图，三棱台111ABC A B C -中，底面ABC 是边长为6的正三角形，且11113AA A C C C ===，平面11AA C C ⊥平面ABC ，则棱1BB =（）A.2B.C.3D.【答案】A【解析】【分析】取11,A C AC 中点分别为,M N ，连接1,,MB MN NB ,过点1B 作BN 的垂线，垂足为P ，从而在直角梯形1MNBB 求解即可.【详解】如图，取11,A C AC 中点分别为,M N ，连接1,,MB MN NB ,过点1B 作BN 的垂线，垂足为P ，因为113AA C C ==，所以MN AC ⊥，且6AC =,所以2MN ==,因为平面11AA C C ⊥平面ABC ，平面11AA C C 平面ABC AC =，,MN AC MN ⊥⊂面11AA C C ,所以MN ⊥平面ABC ，又因为BN ⊂平面ABC ，所以MN BN ⊥，又因为在三棱台111ABC A B C -中，1//MB NB ，所以四边形1MNBB 为直角梯形，因为12NP MB ===,NB ==,所以2PB =，所以在直角三角形1BPB 中，12BB ===,故选:A.9.如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，P 为线段11AC 的中点，Q 为线段1BC 上的动点，则下列结论正确的是（）A.存在点Q ，使得//PQ BDB.存在点Q ，使得PQ ⊥平面11AB C DC.三棱锥Q APD -的体积是定值D.存在点Q ，使得PQ 与AD 所成的角为π6【答案】B【解析】【分析】A 由11//BD B D 、11B D PQ P = 即可判断；B 若Q 为1BC 中点，根据正方体、线面的性质及判定即可判断；C 只需求证1BC 与面APD 是否平行；D 利用空间向量求直线夹角的范围即可判断.【详解】A ：正方体中11//BD B D ，而P 为线段11A C 的中点，即为11B D 的中点，所以11B D PQ P = ，故,BD PQ 不可能平行，错；B ：若Q 为1BC 中点，则1//PQ A B ，而11A B AB ⊥，故1PQ AB ⊥，又AD ⊥面11ABB A ，1A B ⊂面11ABB A ，则1A B AD ⊥，故PQ AD ⊥，1AB AD A ⋂=，1,AB AD ⊂面11AB C D ，则PQ ⊥面11AB C D ，所以存在Q 使得PQ ⊥平面11AB C D，对；C ：由正方体性质知：11//BC AD ，而1AD 面APD A =，故1BC 与面APD不平行，所以Q 在线段1BC 上运动时，到面APD 的距离不一定相等，故三棱锥Q APD -的体积不是定值，错；D ：构建如下图示空间直角坐标系D xyz -，则(2,0,0)A ，(1,1,2)P ，(2,2,)Q a a -且02a ≤≤，所以(2,0,0)DA = ，(1,1,2)PQ a a =-- ，若它们夹角为θ，则cos ||θ==令1[1,1]t a =-∈-，则cos θ==，当(0,1]t ∈，则[)11,t ∈+∞，cos (0,]6θ∈；当0=t 则cos 0θ=；当[1,0)t ∈-，则(]1,1t ∞∈--，cos (0,2θ∈；所以πcos 62=不在上述范围内，错.故选：B二、填空题（共2小题，每小题4分，共8分）10.如图，在正方体ABCD﹣A 1B 1C 1D 1中，点P 在面对角线AC 上运动，给出下列四个命题：①D 1P∥平面A 1BC 1；②D 1P⊥BD；③平面PDB 1⊥平面A 1BC 1；④三棱锥A 1﹣BPC 1的体积不变．则其中所有正确的命题的序号是_____．【答案】①③④【解析】【分析】利用线面平行的判定定理与性质定理，面面垂直的判定定理与三棱锥的体积公式对四个选项逐一分析判断即可．【详解】①∵在正方体中，D 1A ∥BC 1，D 1C ∥BA 1，且D 1A∩DC 1=D 1，∴平面D 1AC∥平面A 1BC 1；∵P 在面对角线AC 上运动，∴D 1P∥平面A 1BC 1；∴①正确．②当P 位于AC 的中点时，D 1P⊥BD 不成立，∴②错误；③∵A 1C 1⊥平面BDD 1B 1；∴A 1C 1⊥B 1D，同理A 1B ⊥B 1D ，∴B 1D⊥平面A 1BC 1，∴平面BDD 1B⊥面ACD 1，∴平面PDB 1⊥平面A 1BC 1；∴③正确．④三棱锥A 1-BPC 1的体积等于B-A 1PC 1的体积，△A 1PC 1的面积为定值12A 1C 1•AA 1，B 到平面A 1PC 1的高为BP 为定值，∴三棱锥A 1-BPC 1的体积不变，∴④正确．故答案为①③④．【点睛】本题考查空间直线与平面、平面与平面的位置关系及体积，突出考查面面平行的判定定理与性质定理，考查面面垂直的判定定理，考查几何体的体积运算.11.陀螺是中国民间最早的娱乐工具之一，也作陀罗，闽南语称作“干乐”，北方叫作“冰尜（gá）”或“打老牛”．传统古陀螺大致是木制或铁制的倒圆锥形．现有一圆锥形陀螺（如图所示），其底面半径为3，将其放倒在一平面上，使圆锥在此平面内绕圆锥顶点S 滚动，当圆锥在平面内转回原位置时，圆锥本身恰好滚动了3周．①圆锥的母线长为9；②圆锥的表面积为36π；③圆锥的侧面展开图（扇形）的圆心角为60︒；④圆锥的体积为，其中所有正确命题的序号为______________．【答案】①②【解析】【分析】利用圆锥在平面内转回原位置求解以S 为圆心，SA 为半径的圆的面积，再求解圆锥的侧面积，根据圆锥本身恰好滚动了3周列出方程求解结果；利用圆锥的表面积公式进行计算；圆锥的底面圆周长即为圆锥侧面展开图（扇形）的弧长，根据弧长公式求解圆心角；求解圆锥的高，利用圆锥体积公式求解．【详解】解：设圆锥的母线长为l ，以S 为圆心，SA 为半径的圆的面积为2πl ，圆锥的侧面积为π3πrl l =，当圆锥在平面内转回原位置时，圆锥本身恰好滚动了3周，则2π9πl l =，所以圆锥的母线长为9l =，故①正确；圆锥的表面积23π9π336π⨯+⨯=，故②正确；圆锥的底面圆周长为2π36π⨯=，设圆锥侧面展开图（扇形）的圆心角为rad α，则6π9α=，解得2π3α=，即120α=︒，故③错误；圆锥的高h ===，所以圆锥的体积为2211ππ333V r h ==⨯⨯=，故④错误．故答案为：①②．三、解答题12.如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，P ，Q 分别为1A B ，1CC 的中点.（1）证明：//PQ 平面AB C ；（2）证明：平面1A BQ ⊥平面11AA B B .请在下列证明过程中的横线上填上推理的依据.【解答】（1）证明：取AB 的中点D ，连接PD 、CD ，因为P ，Q 分别为1A B ，1CC 的中点，所以1PD AA ∥且112PD AA =，又三棱柱111ABC A B C -是正三棱柱，所以1CQ AA ∥，112CQ AA =，所以PD CQ ∥且PD CQ =，所以PDCQ 为平行四边形，所以PQ CD ∥，又因为PQ ⊂/平面ABC ，CD ⊂平面ABC ，所以//PQ 平面ABC （①定理）.（2）证明：在正三棱柱111ABC A B C -中，D 为AB 的中点，所以CD AB ⊥，又1AA ⊥平面ABC ，CD ⊂平面ABC ，所以1CD AA ⊥，1AA AB A = ，1AA ，AB ⊂平面11ABB A ，所以CD ⊥平面11ABB A （②定理）.又CD PQ ∥，所以PQ ⊥平面11ABB A ，又PQ ⊂平面1A BQ ，AA B B（③定理）.所以平面1A BQ 平面11【答案】（1）答案见解析（2）答案见解析【解析】【分析】根据题意，由线面平行的判定定理以及线面与面面垂直的判定定理，即可得到结果.【小问1详解】①线面平行的判定定理【小问2详解】②线面垂直的判定定理③面面垂直的判定定理。
北京市海淀区2024届高三下学期期中练习(一模)数学试题(解析版)
海淀区2023—2024学年第二学期期中练习高三数学本试卷共6页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知全集{|22}U x x =-≤≤，集合{}12A x x =-≤<，则U A =ð（）A.(2,1)--B.[2,1]--C.(2,1){2}-- D.[2,1){2}-- 【答案】D 【解析】【分析】根据给定条件，利用补集的定义求解即得.【详解】全集{|22}U x x =-≤≤，集合{}12A x x =-≤<，所以[2,1){2}U A =-- ð.故选：D2.若复数z 满足i 1i z =+，则z 的共轭复数是()A.1i --B.1i +C.1i -+D.1i-【答案】B 【解析】【分析】根据复数代数形式的除法运算求出复数z 即可求解结果．【详解】解：复数z 满足i 1i z =+，所以()21i 1i 1i1i i i i 1z ++-+====--．所以z 的共轭复数是1i +．故选：B ．3.已知{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和.若122a a =，公差0,0m d S ≠=，则m 的值为（）A.4B.5C.6D.7【答案】B 【解析】【分析】利用等差数列的通项公式求出1a 和d 的关系，代入0m S =计算可得m 的值.【详解】由已知()12122a a a d ==+，得12a d =-，又()()1112022m m m m m S ma d md d --=+=-+=，又0d ≠，所以()1202m m m --+=，解得5m =或0m =（舍去）故选：B.4.已知向量,a b 满足||2,(2,0)a b ==，且||2a b += ，则,a b 〈〉= （）A.π6B.π3C.2π3 D.5π6【答案】C 【解析】【分析】将||2a b +=两边同时平方，将条件带入计算即可.【详解】由已知||2,2a b ==，所以()22224222cos ,44a b a b a b a b +=+⋅+=+⨯⨯⨯〈〉+=r r r r r r r r，得1cos ,2a b 〈〉=- ，又[],0,πa b 〈〉∈ ，所以2π,3a b 〈〉= .故选：C.5.若双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>上的一点到焦点(的距离比到焦点的距离大b ，则该双曲线的方程为（）A.2214x y -= B.2212x y -= C.2212y x -= D.2214y x -=【答案】D 【解析】【分析】根据题意及双曲线的定义可知2a b =，c =，再结合222+=a b c ，求出,a b ，即可求出结果.【详解】由题知c =，根据题意，由双曲线的定义知2a b =，又222+=a b c ，所以255a =，得到221,4a b ==，所以双曲线的方程为2214y x -=，故选：D.6.设,αβ是两个不同的平面，,l m 是两条直线，且,m l αα⊂⊥.则“l β⊥”是“//m β”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】通过面面平行的性质判断充分性，通过列举例子判断必要性.【详解】l β⊥，且l α⊥，所以//αβ，又m α⊂，所以//m β，充分性满足，如图：满足//m β，,m l αα⊂⊥，但l β⊥不成立，故必要性不满足，所以“l β⊥”是“//m β”的充分而不必要条件.故选：A .7.已知()()3,0lg 1,0x x f x x x ⎧≤⎪=⎨+>⎪⎩，函数()f x 的零点个数为m ，过点(0,2)与曲线()y f x =相切的直线的条数为n ，则,m n 的值分别为（）A.1,1B.1,2C.2,1D.2,2【答案】B 【解析】【分析】借助分段函数性质计算可得m ，借助导数的几何意义及零点的存在性定理可得n .【详解】令()0f x =，即0x ≤时，30x =，解得0x =，0x >时，()lg 10x +=，无解，故1m =，设过点(0,2)与曲线()y f x =相切的直线的切点为()00,x y ，当0x <时，()23f x x '=，则有()320003y x x x x -=-，有()3200023x x x -=-，整理可得301x =-，即01x =-，即当00x <时，有一条切线，当0x >时，()lg e1f x x '=+，则有()()000lg 1e lg 1y x x x x -=-++，有()()000l 2g elg 11x x x -+=-+，整理可得()()()000221lg 10lg e x x x ++-++=，令()()()()()2l 0g 2l 1e 1g g x x x x x =++-++>，则()()2lg 1g x x '=-+，令()0g x '=，可得99x =，故当()0,99x ∈时，()0g x '>，即()g x 在()0,99上单调递增，当()99,x ∈+∞时，()0g x '<，即()g x 在()99,∞+上单调递减，由()()992lg e 99220099lg e 0g =+⨯+-=>，()02020g =-=>，故()g x 在()0,99x ∈上没有零点，又()()9992lg e 999210003999lg e 10000g =+⨯+-⨯=-<，故()g x 在()99,999上必有唯一零点，即当00x >时，亦可有一条切线符合要求，故2n =.故选：B.8.在平面直角坐标系xOy 中，角α以Ox 为始边，终边在第三象限.则（）A.sin cos tan ααα-≤B.sin cos tan ααα-≥C.sin cos tan ααα⋅<D.sin cos tan ααα⋅>【答案】C 【解析】【分析】对A 、B ：举出反例即可得；对C 、D ：借助三角函数的商数关系及其值域计算即可得.【详解】由题意可得sin 0α<、cos 0α<，tan 0α>，对A ：当sin 0α-→时，cos 1α→-，则sin cos 1αα-→，tan 0α→，此时sin cos tan ααα->，故A 错误；对B ：当5π4α=时，1sin cos sinc 5π5π5π0tan 44os 4αα-=-=<=，故B 错误；对C 、D ：22sin sin cos cos cos tan cos ααααααα⋅=⋅=⋅，由1cos 0α-<<，故()2cos 0,1α∈，则2cos tan tan ααα⋅<，即sin cos tan ααα⋅<，故C 正确，D 错误.故选：C.9.函数()f x 是定义在(4,4)-上的偶函数，其图象如图所示，(3)0f =.设()f x '是()f x 的导函数，则关于x 的不等式(1)()0f x f x '+⋅≥的解集是（）A.[0,2]B.[3,0][3,4)-C.(5,0][2,4)-D.(4,0][2,3)- 【答案】D 【解析】【分析】借助函数图象与导数的关系计算即可得.【详解】由(3)0f =，且()f x 为偶函数，故(3)0f -=，由导数性质结合图象可得当()4,0x ∈-时，()0f x '<，当()0,4x ∈时，()0f x '>，当0x =时，即()00f '=，则由(1)()0f x f x '+⋅≥，有41444x x -<+<⎧⎨-<<⎩，解得43x -<<，亦可得()()100f x f x ⎧+>>'⎪⎨⎪⎩，或()()100f x f x ⎧+<<'⎪⎨⎪⎩，或()10f x +=，或()0f x '=，由()()100f x f x ⎧+>>'⎪⎨⎪⎩可得41304x x -<+<-⎧⎨<<⎩或31404x x <+<⎧⎨<<⎩，即23x <<，由()()100f x f x ⎧+<<'⎪⎨⎪⎩可得31340x x -<+<⎧⎨-<<⎩，即40x -<<，由()10f x +=，可得13x +=±，即2x =或4x =-（舍去，不在定义域内），由()0f x '=，可得0x =，综上所述，关于x 的不等式(1)()0f x f x '+⋅≥的解集为(4,0][2,3)- .故选：D.10.某生物兴趣小组在显微镜下拍摄到一种黏菌的繁殖轨迹，如图1.通过观察发现，该黏菌繁殖符合如下规律：①黏菌沿直线繁殖一段距离后，就会以该直线为对称轴分叉（分叉的角度约为60︒），再沿直线繁殖，…；②每次分叉后沿直线繁殖的距离约为前一段沿直线繁殖的距离的一半.于是，该组同学将整个繁殖过程抽象为如图2所示的一个数学模型：黏菌从圆形培养皿的中心O 开始，沿直线繁殖到11A ，然后分叉向21A 与22A 方向继续繁殖，其中21112260A A A ∠=︒，且1121A A 与1122A A 关于11OA 所在直线对称，112111221112A A A A OA ==….若114cm OA =，为保证黏菌在繁殖过程中不会碰到培养皿壁，则培养皿的半径r （*N r ∈，单位：cm ）至少为（）A.6B.7C.8D.9【答案】C 【解析】【分析】根据黏菌的繁殖规律可得每次繁殖在11OA 方向上前进的距离，结合无穷等比递缩数列的和的计算公式，即可判断答案.【详解】由题意可知，114cm OA =，只要计算出黏菌沿直线一直繁殖下去，在11OA 方向上的距离的范围，即可确定培养皿的半径的范围，依题意可知黏菌的繁殖规律，由此可得每次繁殖在11OA 方向上前进的距离依次为：1114,2,222482⨯⨯⨯ ，则31353842155722244+⨯++⨯=+>+=，黏菌无限繁殖下去，每次繁殖在11OA 方向上前进的距离和即为两个无穷等比递缩数列的和，即1311432164316841+281142282331144++⎛⎫⎛⎫++++++≈+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭--，综合可得培养皿的半径r （*N r ∈，单位：cm ）至少为8cm ，故选：C【点睛】关键点点睛：本题考查了数列的应用问题，背景比较新颖，解答的关键是理解题意，能明确黏菌的繁殖规律，从而求出每次繁殖在11OA 方向上前进的距离的和，结合等比数列求和即可.第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.已知ln 2ab=，则22ln ln a b -=_______.【答案】4【解析】【分析】直接利于对数的运算性质求解.【详解】因为ln2ab=，所以22222ln ln ln ln 2ln 4a a a a b b b b ⎛⎫-==== ⎪⎝⎭.故答案为：4.12.已知22:(1)3C x y -+= ，线段AB 是过点(2,1)的弦，则AB 的最小值为_______.【答案】2【解析】【分析】借助直径与弦AB 垂直时，AB 有最小，计算即可得.【详解】由22(21)123-+=<，故点(2,1)在圆的内部，且该圆圆心为()1,0设圆心到直线AB 的距离为d ，由垂径定理可得2222AB r d ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，即AB =，故当d 取最大值时，AB 有最小值，又max d ==故2AB =≥=.故答案为：2.13.若443243210(2)x a x a x a x a x a -=++++，则0a =_______；13024a a a a a +=++_______.【答案】①.16②.4041-【解析】【分析】借助赋值法，分别令0x =、1x =、=1x -计算即可得.【详解】令0x =，可得40(02)a -=，即40216a ==，令1x =，可得443210(12)a a a a a -=++++，即()44321011a a a a a ++++=-=，令=1x -，可得443210(12)a a a a a --=-+-+，即()443210381a a a a a -+-+=-=，则()()()4321043210420218182a a a a a a a a a a a a a +++++-+-+=++=+=，即42082412a a a ++==，则()42103114140a a a a a =-++==-+-，故130244041a a a a a +=-++.故答案为：16；4041-.14.已知函数π()sin sin 24f x x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则5π4f ⎛⎫= ⎪⎝⎭_________；函数()f x 的图象的一个对称中心的坐标为_______.【答案】①.1-②.π(,0)4-（答案不唯一）【解析】【分析】根据函数表达式，代入即可求出5π4f ⎛⎫ ⎪⎝⎭的函数值，根据条件，先求出使()0f x =的一个取值π4x =-，再证明π(,0)4-是()f x 的一个对称中心即可.【详解】因为π()sin sin 24f x x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，所以55ππππsin()sin(214444f ⎛⎫=+⨯=- ⎪⎝⎭，因为()f x 定义域为R ，当π4x =-时，ππππ()sin sin()04442f ⎛⎫-=-+-= ⎪⎝⎭，下证π(,0)4-是()f x 的一个对称中心，在π()sin sin 24f x x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭上任取点()00,P x y ，其关于π(,0)4-对称的点为00π(,)2P x y '---，又00000000ππππππ()sin sin 2()sin()sin(π2)sin()sin(2)224244f x x x x x x x y ⎛⎫--=--+--=----=-+=- ⎪⎝⎭，所以函数()f x 的图象的一个对称中心的坐标为π(,0)4-，故答案为：1-；π(,0)4-（答案不唯一）15.已知函数()f x =①函数()f x 是奇函数；②R k ∀∈，且0k ≠，关于x 的方程0()f x kx -=恰有两个不相等的实数根；③已知P 是曲线()y f x =上任意一点，1,02A ⎛⎫-⎪⎝⎭，则12AP ≥；④设()11,M x y 为曲线()y f x =上一点，()22,N x y 为曲线()y f x =-上一点.若121x x +=，则1MN ≥.其中所有正确结论的序号是_________.【答案】②③④【解析】【分析】对①：计算定义域即可得；对②：对0k >与0k <分类讨论，结合二次函数求根公式计算即可得；对③：借助两点间的距离公式与导数求取最值计算即可得；对④：结合函数性质与③中所得结论即可得.【详解】对①：令30x x -≥，即有()()110x x x +-≥，即[][]1,01,x ∞∈-⋃+，故函数()f x 不是奇函数，故①错误；对②：0()f x kx kx -=-=kx =，当0x =00-=，故0是该方程的一个根；当0x ≠，0k >kx =，故0x >，结合定义域可得[]1,x ∞∈+，有322x x k x -=，即()2210x x k x --=，令2210x k x --=，440k ∆=+>，有242k x +=或242k x -=（负值舍去），则20122k x ++=>=，故2210x k x --=必有一个大于1的正根，即0()f x kx -=必有一个大于1的正根；当0x ≠，0k <kx =，故0x <，结合定义域有[)1,0∈-x ，有322x x k x -=，即()2210x x k x --=，令2210x k x --=，440k ∆=+>，有242k x =或242k x +=（正值舍去），令244k t +=>，即24k t =-，则22211711744242412222k t x ⎫⎛⎫---⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭===>=-，即212k x =>-，故2210x k x --=在定义域内亦必有一根，综上所述，R k ∀∈，且0k ≠，关于x 的方程0()f x kx -=恰有两个不相等的实数根，故②正确；对③：令(),P x y，则有y =222321124AP x x x ⎛⎫=++=++⎪⎝⎭，令()3214g x x x =++，[][]1,01,x ∞∈-⋃+，()()23232g x x x x x =='++，当()21,1,3x ∞⎛⎫∈--⋃+ ⎪⎝⎭时，()0g x '>，当2,03x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()0g x '<，故()g x 在21,3⎛⎫--⎪⎝⎭、()1,∞+上单调递增，在2,03⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，又()1111144g -=-++=，()110044g =+=，故()14g x ≥恒成立，即214AP ≥，故12AP ≥，故③正确；对④：当12x x =时，由[][]1,01,x ∞∈-⋃+，121x x +=，故1212x x ==-，此时，124y y =-==，则12MN =≥，当12x x ≠时，由()y f x =与()y f x =-关于x 轴对称，不妨设12x x <，则有1210x x -≤<≤或121012x x -≤≤<≤≤，当121012x x -≤≤<≤≤时，由2121x x x -≥≥，有121MN x x =≥-≥，故成立；当1210x x -≤<≤时，即有211x x =-，由③知，点M 与点N 在圆2211:24A x y ⎛⎫++= ⎪⎝⎭上或圆外，设点()1,M x m '与点()2,N x n '在圆上且位于x 轴两侧，则1M N ''=,故1MN M N ''≥=；综上所述，1MN ≥恒成立，故④正确.故答案为：②③④.【点睛】关键点点睛：结论④中的关键点在于借助结论③，结合函数的对称性，从而得到当1x 、2x 都小于零时，MN 的情况.三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.在ABC 中，sin cos 2b C B c =.（1）求B ∠；（2）若4a b c =+=，求ABC 的面积.【答案】（1）π6（2【解析】【分析】（1）根据条件，利用正弦定理边转角得到sin 2B B +=，再利用辅助角公式及特殊角的三角函数值，即可求出结果；（2）根据（1）中π6B =及条件，由余弦定理得到22126c b c +-=，再结合4b c +=，即可求出2c =，再利用三角形面积公式，即可求出结果.【小问1详解】因为sin cos 2b C B c =，由正弦定理可得sin sin cos 2sin B C C B C =，又(0,π)C ∈，所以sin 0C ≠，得到sin 2B B +=，即π2sin(23B +=，所以πsin()13B +=，又因为(0,π)B ∈，所以2ππ3B +=，得到π6B =.【小问2详解】由（1）知π6B =，所以2223cos 22a cb B ac +-==，又a =，得到22126c b c +-=①，又4b c +=，得到4b c =-代入①式，得到2c =，所以ABC 的面积为11πsin 2sin 226ABC S ac B ==⨯⨯= .17.如图，在四棱锥P ABCD -中，,AD BC M //为BP 的中点，//AM 平面CDP .（1）求证：2BC AD =；（2）若,1PA AB AB AP AD CD ⊥====，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使四棱锥P ABCD -存在且唯一确定.（i ）求证：PA ⊥平面ABCD ；（ⅱ）设平面CDP ⋂平面BAP l =，求二面角C l B --的余弦值.条件①：BP DP =；条件②：AB PC ⊥；条件③：CBM CPM ∠=∠.注：如果选择的条件不符合要求，第（1）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】（1）证明见解析（2）（i ）证明见解析；（ⅱ）77【解析】【分析】（1）借助线面平行的性质定理与中位线的性质即可得；（2）（i ）借助线面垂直的判定定理即可得；（ⅱ）结合所给条件建立适当的空间直角坐标系后借助空间向量计算即可得.【小问1详解】取PC 的中点N ，连接,MN ND ，因为M 为BP 的中点，所以1,//2MN BC MN BC =，因为//AD BC ，所以//AD MN ，所以,,,M N D A 四点共面，因为//AM 平面CDP ，平面MNDA 平面CDP DN =，AM ⊂平面MNDA ，所以//AM DN ，所以四边形AMND 为平行四边形，所以MN AD =，所以2BC AD =；【小问2详解】（i ）取BC 的中点E ，连接,AE AC ，由（1）知2BC AD =，所以EC AD =，因为//EC AD ，所以四边形AECD 是平行四边形，所以1,EC AD AE CD ===，因为1AB CD ==，所以112AE BC ==，所以90BAC ∠= ，即AB AC ⊥，选条件①：BP DP =，因为1,AB AD PA PA ===，所以PAB 与PAD 全等，所以PAB PAD ∠=∠，因为AB PA ⊥，所以90PAB ∠=o ，所以90PAD ∠= ，即AP AD ⊥，又因为AB AC A ⋂=，AB 、AC ⊂平面ABCD ，所以AP ⊥平面ABCD ；（ⅱ）由（i ）知AP ⊥平面ABCD ，而AC ⊂平面ABCD ，所以AP AC ⊥，因为,1PA AB AP ⊥=，建立如图所示空间直角坐标系A xyz -，则()()10,0,1,0,,,22P C D ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，所以()1313,,0,,,12222CD PD AC ⎛⎫⎛⎫=--=--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，设平面PDC 的法向量为(),,n x y z = ,则0n CD n PD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即102213022x y x y z ⎧--=⎪⎪⎨⎪-+-=⎪⎩，令x =，则1,y z =-=，于是1,n =-，因为AC 为平面PAB 的法向量,且7cos ,7AC n AC n AC n ⋅===-⋅,所以二面角C l B --的余弦值为77.选条件③：CBM CPM ∠=∠，(i)因为CBM CPM ∠=∠，所以CB CP =，因为1,AB AP CA CA ===，所以ABC 与APC △全等，所以90∠=∠= PAC BAC ，即PA AC ⊥，因为PA AB ⊥，又因为AB AC A ⋂=，AB 、AC ⊂平面ABCD ，所以PA ⊥平面ABCD ；(ii)同选条件①.不可选条件②，理由如下：由（i ）可得AB AC ⊥，又PA AB ⊥，PA AC A = ，PA 、AC ⊂平面PAC ，所以AB ⊥平面PAC ，又因为PC ⊂平面PAC ，所以AB PC ⊥，即AB PC ⊥是由已知条件可推出的条件，故不可选条件②.18.某学校为提升学生的科学素养，要求所有学生在学年中完成规定的学习任务，并获得相应过程性积分.现从该校随机抽取100名学生，获得其科普测试成绩（百分制，且均为整数）及相应过程性积分数据，整理如下表：科普测试成绩x科普过程性积分人数90100x ≤≤4108090x ≤<3a 7080x ≤<2b 6070x ≤<123060x ≤<02（1）当35a =时，（i ）从该校随机抽取一名学生，估计这名学生的科普过程性积分不少于3分的概率；（ⅱ）从该校科普测试成绩不低于80分的学生中随机抽取2名，记X 为这2名学生的科普过程性积分之和，估计X 的数学期望()E X ；（2）从该校科普过程性积分不高于1分的学生中随机抽取一名，其科普测试成绩记为1Y ，上述100名学生科普测试成绩的平均值记为2Y .若根据表中信息能推断12Y Y ≤恒成立，直接写出a 的最小值.【答案】（1）（i ）0.45；（ⅱ）589；（2）7.【解析】【分析】（1）（i ）求出科普过程性积分不少于3分的学生数，再求出频率，并用频率估计概率即得；（ⅱ）求出X 的所有可能值，由（i ）的结论结合独立重复试验的概率问题求出各个取值的概率，再求出期望即得.（2）求出1Y 的最大值，再求出100名学生科普测试成绩的平均值2Y 的最小值，由题设信息列出不等式求解即得.【小问1详解】当35a =时，（i ）由表知，科普过程性积分不少于3分的学生人数为103545+=，则从该校随机抽取一名学生，这名学生的科普过程性积分不少于3分的频率为450.45100=，所以从该校随机抽取一名学生，这名学生的科普过程性积分不少于3分的概率估计为0.45.（ⅱ）依题意，从样本中成绩不低于80分的学生中随机抽取一名，这名学生的科普过程性积分为3分的频率为35735109=+，所以从该校学生科普测试成绩不低于80分的学生中随机抽取一名，这名学生的科普过程性积分为3分的概率估计为79，同理，从该校学生科普测试成绩不低于80分的学生中随机抽取一名，这名学生的科普过程性积分为4分的概率估计为29，X 的所有可能值为6，7，8，7749(6)9981P X ==⨯=，7228(7)29981P X ==⨯⨯=，224(8)9981P X ==⨯=，所以X 的数学期望4928458()6788181819E X =⨯+⨯+⨯=.【小问2详解】由表知，10232100a b ++++=，则65b a =-，从该校科普过程性积分不高于1分的学生中随机抽取一名，其科普测试成绩记为1Y ，则1Y 的最大值为69，100名学生科普测试成绩的平均值记为2Y ，要12Y Y ≤恒成立，当且仅当2min ()69Y ≥，显然2Y 的最小值为各分数段取最小值求得的平均分，因此2min 1683()108070(65)602302]10010a Y a a +=⨯++-+⨯+⨯=，则6836910a+≥，解得7a ≥，所以根据表中信息能推断12Y Y ≤恒成立的a 的最小值是7.19.已知椭圆22:G x my m +=的离心率为12,,2A A 分别是G 的左、右顶点，F 是G 的右焦点.（1）求m 的值及点F 的坐标；（2）设P 是椭圆G 上异于顶点的动点，点Q 在直线2x =上，且PF FQ ⊥，直线PQ 与x 轴交于点M .比较2MP 与12MA MA ⋅的大小.【答案】（1）2m =，()1,0F （2）122MA A MP M <⋅【解析】【分析】（1）借助离心率计算即可得；（2）设()00,P x y ，表示出M 与Q 点坐标后，可得2MP 、12MA MA ⋅，借助作差法计算即可得.【小问1详解】由22:G x my m +=，即22:1x G y m+=，由题意可得1m >，故2=，解得2m =，故22:12x G y +=1=，故()1,0F ；【小问2详解】设()00,P x y ，00,0x y ≠，0x <<，有220012x y +=，由PF FQ ⊥，则有()()001210Q x y y -⋅-+⋅=，即01Q x y y -=，由0PQ k ≠，故有0002Q My y y x x x -=--，即有()()()2000000000200000022211M Q y x y x y x x x x x x y y x y y y ---=-=-=------()200320000022000012222422x x x x x x x x x x x ⎛⎫-- ⎪--+⎝⎭=-=---()()32320000002200000002222242222x x x x x x x x x x x x x ----+=-==---，由22:12x G y +=可得()1A、)2A ，则22222222000000022200002444441322x x MP x y x y x x x x x ⎛⎫=-+=-++=-++-=-+ ⎪⎝⎭，1220002242MA MA x x x ⎛⋅==- ⎝，则222001222004432122x x MP MA MA x x -⋅=-+-+=-，由0x <<，故20102x -<，即212MP MA MA <⋅.20.已知函数12()ea x f x x -=.（1）求()f x 的单调区间；（2）若函数2()()e ,(0,)g x f x a x -=+∈+∞存在最大值，求a 的取值范围.【答案】（1）()f x 的增区间为(),2∞-，减区间为(2,)+∞（2）1a ≥-【解析】【分析】（1）对函数求导，得到121(1))e 2(a x f x x -=-'，再求出()0f x '>和()0f x '<对应的x 取值，即可求出结果；（2）令2()()e h x f x a -=+，对()h x 求导，利用导数与函数单调性间的关系，求出()h x 的单调区间，进而得出()h x 在(0,)+∞上取值范围，从而将问题转化成1222ee e a a a ---+≥成立，构造函数12()e e x m x x --=+，再利用()m x 的单调性，即可求出结果.【小问1详解】易知定义域为R ，因为12()ea x f x x -=，所以11122211(1)()e2e e 2a x a x a x x x x f ----=-'=，由()0f x '=，得到2x =，当2x <时，()0f x '>，当2x >时，()0f x '<，所以，函数()f x 的单调递增区间为(),2∞-，单调递减区间为()2,∞+.【小问2详解】令2()()e h x f x a -=+，则()()h x f x ''=，由（1）知，函数()f x 的单调递增区间为(),2∞-，单调递减区间为()2,∞+，所以()h x 在2x =时取得最大值12(2)2e e a h a --=+，所以当2x >时，1222()e e e (0)a x h x x a a h ---=+>=，当02x <<时，()(0)h x h >，即当,()0x ∈+∞时，(]()(0),(2)h x h h ∈，所以函数122()ee a x g x x a --=+在(0,)+∞存在最大值的充要条件是1222e e e a a a ---+≥，即122122e e e e +e 02a a a a a -----++=≥，令12()e e x m x x --=+，则12()e e 0x m x --'=+>恒成立，所以12()e e x m x x --=+是增函数，又因为22(1)e e 0m ---=-=，所以12()e e 0a m a a --=+≥的充要条件是1a ≥-，所以a 的取值范围为[)1,-+∞.【点睛】关键点点晴：本题的关键在于第（2）问，构造函数122()e e a x h x x a --=+，利用函数单调性得到,()0x ∈+∞时，(]()(0),(2)h x h h ∈，从而将问题转化成1222e e e a a a ---+≥，构造函数12()e e x m x x --=+，再利用()m x 的单调性来解决问题.21.已知：()2*12:,,,2,m Q a a a m m ≥∈N为有穷正整数数列，其最大项的值为m ，且当0,1,,1k m =- 时，均有(1)km i km j a a i j m ++≠≤<≤.设00b =，对于{0,1,,1}t m ∈- ，定义{}1min ,t t n b n n b a t +=>>，其中，min M 表示数集M 中最小的数.（1）若:3,1,2,2,1,3,1,2,3Q ，写出13,b b 的值；（2）若存在Q 满足：12311b b b ++=，求m 的最小值；（3）当2024m =时，证明：对所有2023,20240Q b ≤.【答案】（1）11b =，36b =（2）4（3）证明见解析【解析】【分析】（1）结合定义逐个计算出1b 、2b 、3b 即可得；（2）当3m =时，可得12310b b b ++≤，故4m ≥，找到4m =时符合要求的数列Q 即可得；（3）结合题意，分两段证明，先证10122024b ≤，定义1120251012,2k k C C C ++⎡⎤==⎢⎥⎣⎦，再证得2024k C b k ≤，即可得证,【小问1详解】由:3,1,2,2,1,3,1,2,3Q ，00b =，则{}1min 0,0n b n n a =>>，故11b =，则{}2min 1,1n b n n a =>>，故23b =，则{}3min 3,2n b n n a =>>，故36b =；【小问2详解】由题意可知，3m ≥，当3m =时，由1n a ≥，{}1min 0,0n b n n a =>>，故11b =，则{}2min 1,1n b n n a =>>，由题意可得123a a a ≠≠，故2a 、3a 总有一个大于1，即22b =或23b =，{}32min ,2n b n n b a =>>，由456a a a ≠≠，故4a 、5a 、6a 总有一个大于2，故36b ≤，故当3m =时，12310b b b ++≤，不符，故4m ≥，当4m =时，取数列:4,1,3,2,1,2,3,4,1,2,3,4,1,2,3,4Q ，有11b =，23b =，37b =，即12311b b b ++=，符合要求，故m 的最小值为4；【小问3详解】因为{}11min ,,0,1,,2023t n b nn b a t t +=>>= ∣，所以11,0,1,,2023i b b t +>= ，(i)若12024t b +≤，则当1t n b +<时，至少以下情况之一成立：①n a t ≤，这样的n 至少有t 个，②存在,i i t b n ≤=，这样的n 至多有t 个，所以小于1t b +的n 至多有2t 个，所以1121t b t t t +≤++=+，令212024t +≤，解得11012t +≤，所以10122024b ≤，(ii)对*k ∈N ，若12024t t b k b +≤<，且()1202420241t l k b k ++<≤+，因为{}1min ,t l t l n b nn b a t l +++=>>+∣，所以当()12024,t l n k b ++∈时，至少以下情况之一成立：①n a t l ≤+，这样的n 至多有t l +个；②存在,i t i i l <≤+且i b n =，这样的n 至多有l 个，所以120241202421t l b k t l l k t l ++≤++++=+++，令212024t l ++≤，解得20232t l -⎡⎤≤⎢⎥⎣⎦，即202512t t l +⎡⎤++≤⎢⎥⎣⎦，其中[]x 表示不大于x 的最大整数，所以当12024t t b k b +≤<时，()2025220241t b k +⎡⎤⎢⎥⎣⎦≤+；综上所述，定义1120251012,2k k C C C ++⎡⎤==⎢⎥⎣⎦，则2024k C b k ≤，依次可得：2345671518,1771,1898,1961,1993,2009C C C C C C ======，89102017,2021,2023C C C ===，所以202320241020240b ≤⨯=.【点睛】关键点点睛：涉及数列新定义问题，关键是正确理解所给出的定义，由给定数列结合新定义探求出数列的相关性质，进行合理的计算、分析、推理等方法综合解决.。
2023-2024学年北京市海淀区高三上学期期末练习数学试题+答案解析
2023-2024学年北京市海淀区高三上学期期末练习数学试题一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，，则()A. B. C. D.2.如图，在复平面内，复数，对应的点分别为，，则复数的虚部为()A. B. C. D.3.已知直线，直线，且，则()A.1B.C.4D.4.已知抛物线的焦点为F，点M在C上，，O为坐标原点，则()A. B.4 C.5 D.5.在正四棱锥中，，二面角的大小为，则该四棱锥的体积为()A.4B.2C.D.6.已知圆，直线与圆C交于A，B两点.若为直角三角形，则()A. B. C. D.7.若关于x的方程且有实数解，则a的值可以为()A.10B.eC.2D.8.已知直线，的斜率分别为，，倾斜角分别为，，则“”是“”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件9.已知是公比为的等比数列，为其前n项和.若对任意的，恒成立，则()A.是递增数列B.是递减数列C.是递增数列D.是递减数列10.蜜蜂被誉为“天才的建筑师”.蜂巢结构是一种在一定条件下建筑用材面积最小的结构.如图是一个蜂房的立体模型，底面ABCDEF是正六边形，棱AG，BH，CI，DJ，EK，FL均垂直于底面ABCDEF，上顶由三个全等的菱形PGHI，PIJK，PKLG构成.设，，则上顶的面积为()参考数据：，A. B. C. D.二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11.在的展开式中，x的系数为__________.12.已知双曲线的一条渐近线为，则该双曲线的离心率为__________.13.已知点A，B，C在正方形网格中的位置如图所示.若网格纸上小正方形的边长为1，则__________；点C到直线AB的距离为__________.14.已知无穷等差数列的各项均为正数，公差为d，则能使得为某一个等差数列的前n项和的一组，d的值为__________，__________.15.已知函数给出下列四个结论：①任意，函数的最大值与最小值的差为2；②存在，使得对任意，；③当时，对任意非零实数x，；④当时，存在，，使得对任意，都有其中所有正确结论的序号是__________.三、解答题：本题共6小题，共72分。
2023-2024学年北京市海淀区高一下学期7月期末考试数学试题+答案解析
2023-2024学年北京市海淀区高一下学期7月期末考试数学试题一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若复数z满足，则z的虚部为()A. B.2 C. D.i2.已知向量，则()A.0B.C.D.3.函数的部分图象如图所示，则其解析式为()A. B.C. D.4.若，且，则()A. B. C. D.75.在中，点D满足，若，则()A. B. C.3 D.6.已知，则下列直线中，是函数对称轴的为()A. B. C. D.7.在平面直角坐标系xOy中，点，点，其中若，则()A. B. C. D.8.在中，已知则下列说法正确的是()A.当时，是锐角三角形B.当时，是直角三角形C.当时，是钝角三角形D.当时，是等腰三角形9.已知是非零向量，则“”是“对于任意的，都有成立”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件10.定义域为、的函数的图象的两个端点分别为点是的图象上的任意一点，其中，点N满足向量，点O为坐标原点．若不等式恒成立，则称函数在上为k函数．已知函数在上为k函数，则实数k的取值范围是()A. B. C. D.二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11.知复数z满足，则__________，__________.12.在中，，P满足，则__________.13.在中，若，则k的一个取值为__________；当时，__________.14.一名学生想测算某风景区山顶上古塔的塔尖距离地面的高度，由于山崖下河流的阻碍，他只能在河岸边制定如下测算方案：他在河岸边设置了共线的三个观测点A，B，如图，相邻两观测点之间的距离为200m，并用测角仪器测得各观测点与塔尖的仰角分别为，，，根据以上数据，该学生得到塔尖距离地面的高度为___________________15.已知函数，给出下列四个结论：①对任意的，函数是周期函数；②存在，使得函数在上单调递减；③存在，使得函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形；④对任意的，记函数的最大值为，则其中所有正确结论的序号是__________.三、解答题：本题共4小题，共48分。
2024-2025学年北京市海淀区清华大学附属中学高三上学期第一次月考数学试题(含答案)
2024-2025学年清华大学附属中学高三上学期第一次月考数学试题一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A={x∣1<3x≤9},B={x∈Z∣x≥1}，则A∩B=( )A. (1,2]B. {1,2}C. [1,2]D. {1}2.已知复数z=1+2i2−i，则z的共轭复数z=( )A. −12B. 2+iC. −iD. i3.已知a<b，则( )A. a2<b2B. e−a<e−bC. ln(|a|+1)<ln(|b|+1)D. a|a|<b|b|4.已知f(x)=sinωx(ω>0)，f(x1)=−1，f(x2)=1，|x1−x2|min=π4，则ω=( )A. 1B. 2C. 3D. 45.如图，在▵ABC中，点D，E满足BC=2BD，CA=3CE.若DE=x AB+y AC(x,y∈R)，则x+y=( )A. −12B. −13C. 12D. 136.若α是第二象限角，且tan(π−α)=12，则cos(π2+α)=( )A. 32B. −32C. 55D. −557.已知数列{a n}为无穷项等比数列，S n为其前n项和，a1>0，则“{S n}存在最小项”是“S2≥0”的( )A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件8.若过点(a,b)可以作曲线y=e x的两条切线，则( )A. e b<aB. e a<bC. 0<a<e bD. 0<b<e a9.血药浓度是指药物吸收后在血浆内的总浓度，药物在人体内发挥治疗作用时，该药物的血药浓度应介于最低有效浓度和最低中毒浓度之间．已知成人单次服用1单位某药物后，体内血药浓度及相关信息如图所示：根据图中提供的信息，下列关于成人使用该药物的说法中，不正确的是A. 首次服用该药物1单位约10分钟后，药物发挥治疗作用B. 每次服用该药物1单位，两次服药间隔小于2小时，一定会产生药物中毒C. 每间隔5.5小时服用该药物1单位，可使药物持续发挥治疗作用D. 首次服用该药物1单位3小时后，再次服用该药物1单位，不会发生药物中毒10.数列{a n}满足a4n−3=−1，a4n−1=1，a2n=a n，该数列的前n项和为S n，则下列论断中错误的是( )A. a31=1B. a2024=−1C. ∃非零常数T，∀n∈N∗，使得a n+T=a nD. ∀n∈N∗，都有S2n=−2二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
北京市海淀区2022-2023学年高一上学期期末数学试题(含答案解析)
C．{x∣1 x 2}
D．{x∣1 x 2}
2．下列函数中，是奇函数且在区间 0, 上单调递增的是（ ）
1
A． f x x2
B． f x x2
C． f x 1
x
D． f x x3
3．某学校想了解高一学生社会实践项目的选择意向，采用分层抽样的方式抽取 100 人
进行问卷调查.已知高一年级有 270 名男生，从男生中抽取了 60 名，则该校高一年级共
5
5
(1)从中选择的两个条件的序号为_____，依所选择的条件求得 b ____， a ____；
(2)利用单调性定义证明函数
g
t
2 t
t
在
0,
上单调递减；
(3)在（1）的情况下，若方程 f x m 4x 在0,1 上有且只有一个实根，求实数 m 的取
值范围.
19．设函数 y f x 的定义域为 M ，且区间 I M ，对任意 x1, x2 I 且 x1 x2 ，记
【详解】因为函数 f x 在区间 1,2 上的图像是连续不断的， 由零点存在性定理，可知由 f 1 f 2 0 可得函数 f x 在区间 (1, 2) 上有零点， 即由函数 f x 在区间 (1, 2) 上没有零点，可得 f 1 f 2 0 ，
答案第 3页，共 12页
根据幂函数的性质，可得函数 f x x3 在区间 0, 上为单调递增函数，符合题意.
故选：D.
3．B
【分析】由题可得
100 n
60 270
，进而即得.
【详解】设该校高一年级共有学生 n 人，
由题可知 100 60 ， n 270
解得 n 450 (人).
故选：B.
4．B
2023—2024学年北京市海淀区高三上学期期中练习数学试题(含答案)
a
2
2 cos
2
2 sin 2 可看作是点 Q
2 cos, 2 sin 到点 R a, 2 的距离，即可
求解. 【详解】以 M 为圆心，以 MA, MC 为 x, y 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
由于 AB AC 2, 所以 BC 2 2, BM CM 2 ，
(1)求 A, B 两点之间的距离；
(2)判断直线 CD 与直线 AB 是否垂直，并说明理由．
20．已知函数
f x
x a ，且 f 1 1 , f 4 2 ．
x2 b
4
19
(1)求 a,b 的值；
(2)求 f x 的单调区间；
(3)设实数 m 满足：存在 k R ，使直线 y kx m 是曲线 y f x 的切线，且 kx m f x 对
A． 9 4
B．3
6．设
a
log4 6,b
log23, c
3 2
，则（
）
A． a b c
B． c b a
C．9 C． b a c
D．36 D． b c a
7．“ sin tan 0”是“ 为第一或第三象限角”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
x 0, 恒成立，求 m 的最大值．
21．设无穷数列an 的前 n 项和为 Sn ,in 为单调递增的无穷正整数数列，记 An Sin1 Sin ，
n 1, 2, ，定义 Ω j N* Sk S j 0, k j 1, j 2, ．
(1)若 an n, in n2 n 1, 2, ，写出 A1, A2 的值；
因为 y log2 x 是增函数， 6 8 9 ，
北京市2020-2021学年高三上学期期末数学试题汇编：平面解析几何
2021北京高三数学上学期期末汇编：平面解析几何一．选择题（共18小题）1．（2020秋•倍，且一个顶点的坐标为(0,2)，则双曲线的标准方程为( )A ．22144x y -=B ．22144y x -=C ．2214y x -=D ．2214x y -=2．（2020秋•朝阳区期末）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左焦点为F ，右顶点为A ，过F 作C 的一条渐近线的垂线FD ，D 为垂足．若||||DF DA =，则C 的离心率为( )A ．B ．2C D3．（2020秋•丰台区期末）若关于x ，y 的方程组4210()210x y a R x ay ++=⎧∈⎨++=⎩无解，则(a = )A ．2BC ．1D ．24．（2020秋•昌平区期末）已知抛物线24y x =上一点P 到焦点F 的距离为5，那么点P 到y 轴的距离是( ) A ．2B ．3C ．4D ．55．（2020秋•东城区期末）与圆22(1)5x y +-=相切于点(2,2)的直线的斜率为( ) A ．2-B ．12-C ．12D ．26．（2020秋•石景山区期末）若抛物线24y x =上的点A 到焦点的距离为10，则点A 到y 轴的距离是( ) A ．6B ．7C ．8D ．97．（2020秋•海淀区期末）抛物线2y x =的准线方程是( ) A ．12x =-B ．14x =-C ．12y =-D ．14y =-8．（2020秋•通州区期末）抛物线24y x =的准线方程是( ) A ．2x =-B ．1x =-C ．1x =D ．2x =9．（2020秋•通州区期末）如图是等轴双曲线形拱桥，现拱顶离水面5m ，水面宽30AB m =．若水面下降5m ，则水面宽是( )（结果精确到0.1)m 1.41≈ 2.24 2.65)A ．43.8mB ．44.8mC ．52.3mD ．53.0m10．（2020秋•西城区期末）已知半径为2的圆经过点(1,0)，其圆心到直线34120x y -+=的距离的最小值为( )A ．0B ．1C ．2D ．311．（2020秋•西城区期末）已知双曲线22221x y a b -=的焦距等于实轴长的2倍，则其渐近线的方程为( )A ．y =B ．2y x =±C ．y =D ．12y x =±12．（2020秋•朝阳区期末）设抛物线2:4C y x =的焦点为F ，准线l 与x 轴的交点为M ，P 是C 上一点．若||4PF =，则||(PM = )A B ．5C ．D ．13．（2020秋•石景山区期末）直线:1l y kx =+与圆22:(1)4C x y +-=的位置关系是( ) A ．相切B ．相交C ．相离D ．不确定14．（2020秋•东城区期末）已知抛物线22(0)y px p =>的焦点F 到准线的距离为2，过焦点F 的直线与抛物线交于A ，B 两点，且||3||AF FB =，则点A 到y 轴的距离为( )A ．5B ．4C ．3D ．215．（2020秋•海淀区期末）已知直线:20l x ay ++=，点(1,1)A --和点(2,2)B ，若//l AB ，则实数a 的值为( ) A ．1B ．1-C ．2D ．2-16．（2020秋•昌平区期末）已知直线1y kx =+与圆2240x x y -+=相交于M ，N 两点，且||23MN ，那么实数k 的取值范围是( ) A ．143k --B ．403kC ．0k 或43k -D ．403k -17．（2020秋•朝阳区期末）在平面直角坐标系xOy 中，已知直线(0)y mx m =>与曲线3y x =从左至右依次交于A ，B ，C 三点．若直线:30()l kx y k R -+=∈上存在点P 满足||2PA PC +=，则实数k 的取值范围是( )A ．(2,2)-B ．[-C ．(-∞，2)(2-⋃，)+∞D ．(,[22,)-∞-+∞18．（2020秋•海淀区期末）如图所示，在圆锥内放入两个球1O ，2O ，它们都与圆锥相切（即与圆锥的每条母线相切），切点圆（图中粗线所示）分别为1C ，2.C 这两个球都与平面α相切，切点分别为1F ，2F ，丹德林()G Dandelin ⋅利用这个模型证明了平面α与圆锥侧面的交线为椭圆，1F ，2F 为此椭圆的两个焦点，这两个球也称为Dandelin 双球．若圆锥的母线与它的轴的夹角为30︒，1C ，2C 的半径分别为1，4，点M 为2C 上的一个定点，点P 为椭圆上的一个动点，则从点P 沿圆锥表面到达点M 的路线长与线段1PF 的长之和的最小值是( )A ．6B ．8C ．D ．二．填空题（共10小题）19．（2020秋•东城区期末）已知双曲线2222:1(0,0)x y M a b a b-=>>，ABC ∆为等边三角形．若点A 在y 轴上，点B ，C 在双曲线M 上，且双曲线M 的实轴为ABC ∆的中位线，则双曲线M 的离心率为 ．20．（2020秋•海淀区校级期末）已知F 是双曲线22:18y C x -=的右焦点，P 是双曲线C 上的点，A ．①若点P 在双曲线右支上，则||||AP PF +的最小值为 ； ②若点P 在双曲线左支上，则||||AP PF +的最小值为 ．21．（2020秋•通州区期末）在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，点A 的坐标为(4,0)，若以线段OA 为直径的圆与直线2y x =在第一象限交于点B ，则直线AB 的方程是 ．22．（2020秋•顺义区期末）设抛物线2y mx =的焦点为(1,0)F ，则m = ；若点A 在抛物线上，且||3AF =，则点A 的坐标为 ．23．（2020秋•房山区期末）在平面直角坐标系xOy 中，直线l 过抛物线24y x =的焦点F ，且与该抛物线相交于A ，B 两点．若直线l 的倾斜角为45︒，则OAB ∆的面积为 ．24．（2020秋•石景山区期末）已知双曲线的两个焦点为(3,0)-，(3,0)，一个顶点是，则C 的标准方程为 ；C 的焦点到其渐近线的距离是 ．25．（2020秋•海淀区期末）已知双曲线2212y x -=的左、右焦点分别为1F ，2F ，点(3,4)M -，则双曲线的渐近线方程为 ；12||||MF MF -= ．26．（2020秋•昌平区期末）已知双曲线2221(0)9x y a a -=>的离心率是54，则双曲线的右焦点坐标为 ．27．（2020秋•顺义区期末）已知椭圆22:1168x y C +=的左、右焦点分别为1F ，2F ，直线(44)x m m =-<<与椭圆C 相交于点A ，B ．给出下列三个命题：①存在唯一一个m ，使得△12AF F 为等腰直角三角形； ②存在唯一一个m ，使得1ABF ∆为等腰直角三角形； ③存在m ，使1ABF ∆的周长最大． 其中，所有真命题的序号为 ．28．（2020秋•丰台区期末）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的一条渐近线方程为12y x =，那么该双曲线的离心率为 ．三．解答题（共9小题）29．（2020秋•海淀区校级期末）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>，且经过点．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅰ）已知O 为坐标原点，A ，B 为椭圆C 上两点，若0OA AB ⋅=，且||3||2AB OA =，求OAB ∆的面积． 30．（2020秋•通州区期末）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右顶点分别为点A ，B ，且||4AB =，椭圆C 离心率为12．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅰ）过椭圆C 的右焦点，且斜率不为0的直线l 交椭圆C 于M ，N 两点，直线AM ，BN 的交于点Q ，求证：点Q 在直线4x =上．31．（2020秋•顺义区期末）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>经过点(0,1)M 和1)2N ．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅰ）若直线:l y kx m =+与椭圆C 交于A ，B 两点，且坐标原点O 到直线l ．求证：以AB 为直径的圆经过点O ．32．（2020秋•丰台区期末）已知椭圆2222:1(0)x y W a b a b +=>>过(0,2)A ，(3,1)B --两点．（Ⅰ）求椭圆W 的方程；（Ⅰ）直线AB 与x 轴交于点(,0)M m ，过点M 作不垂直于坐标轴且与AB 不重合的直线l ，l 与椭圆W 交于C ，D 两点，直线AC ，BD 分别交直线x m =于P ，Q 两点，求证：||||PM MQ 为定值．33．（2020秋•石景山区期末）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率e ，且经过点(0,1)D ．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅰ）已知点(1,0)A -和点(4,0)B -，过点B 的动直线l 交椭圆C 于M ，N 两点(M 在N 左侧），试讨论BAM ∠与OAN ∠的大小关系，并说明理由．34．（2020秋•东城区期末）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>过点(2,0)A -，(2,0)B ，且离心率为12．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅰ）设直线l 与椭圆C 有且仅有一个公共点E ，且与x 轴交于点(G E ，G 不重合），ET x ⊥轴，垂足为T ．求证：||||||||TA GA TB GB =．35．（2020秋•海淀区期末）已知椭圆2222:1(0)x y W a b a b +=>>，且经过点C ．（Ⅰ）求椭圆W 的方程及其长轴长；（Ⅰ）A ，B 分别为椭圆W 的左、右顶点，点D 在椭圆W 上，且位于x 轴下方，直线CD 交x 轴于点Q ．若ACQ ∆的面积比BDQ ∆的面积大D 的坐标．36．（2020秋•房山区期末）已知椭圆2222:1(0)x y G a b a b +=>>，且过(0,1)点．（Ⅰ）求椭圆G 的方程；（Ⅰ）设不过原点O 且斜率为13的直线l 与椭圆G 交于不同的两点C ，D ，线段CD 的中点为M ，直线OM 与椭圆G 交于E ，F ，证明：||||||||MC MD ME MF ⋅=⋅．37．（2020秋•昌平区期末）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的长轴长为4，且离心率为12．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅰ）设过点(1,0)F 且斜率为k 的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线交x 轴于点D ，判断||||AB DF 是否为定值？如果是定值，请求出此定值；如果不是定值，请说明理由．2021北京高三数学上学期期末汇编：平面解析几何参考答案一．选择题（共18小题）1．【分析】由顶点坐标可知双曲线的焦点在y 轴上，再根据双曲线的几何性质，列得关于a 、b 、c 的方程组，解之即可．【解答】解：由题意知，双曲线的焦点在y轴上，且222222a b a a b c ⎧+=⎪=⎨⎪+=⎩，解得2a =，2b =，c =所以双曲线的标准方程为22144y x -=．故选：B ．【点评】本题考查双曲线标准方程的求法，熟练掌握a 、b 、c 的含义与关系是解题的关键，考查学生的运算求解能力，属于基础题．2．【分析】过点D 作DC AF ⊥于点C ，易知C 为AF 的中点，从而有||2a cCF +=，由点到直线的距离公式可知||DF b =，再由||||cos ||||DF CF AFD OF DF ∠==，代入相关数据，进行运算即可． 【解答】解：过点D 作DC AF ⊥于点C ，||||DF DA =，∴点C 为AF 的中点，1||||22a cCF AF +∴==， 而点(,0)F c -到渐近线b y x a =-的距离为||||bc DF b ==， ||||cos ||||DF CF AFD OF DF ∴∠==，即2a cbc b +=，222()22()c a c b c a ∴+==-，即2220c ac a --=，2c a ∴=或c a =-（舍)，∴离心率2ce a==． 故选：B ．【点评】本题考查双曲线的几何性质，主要包含渐近线、离心率，考查学生的数形结合思想、逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．3．【分析】由方程组无解得到直线4210x y ++=与直线210x ay ++=平行，再由直线与直线平行的性质能求出a ． 【解答】解：关于x ，y 的方程组4210()210x y a R x ay ++=⎧∈⎨++=⎩无解， ∴直线4210x y ++=与直线210x ay ++=平行， ∴21421a =≠， 解得1a =． 故选：C ．【点评】本题考查实数值的求法，考查直线与直线平行的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 4．【分析】由抛物线的方程即可求出p 的值，再由抛物线的定义即可求解． 【解答】解：由抛物线的方程可得：2p =，又由抛物线的定义可知点P 到F 的距离等于点P 到抛物线的准线的距离， 则点P 到y 轴的距离为||5142pPF -=-=， 故选：C ．【点评】本题考查了抛物线的方程以及定义，属于基础题．5．【分析】根据题意，求出圆的圆心坐标，设圆心为C ，切点(2,2)为P ，求出PC 的斜率，由切线的性质分析可得答案．【解答】解：根据题意，圆22(1)5x y +-=，其圆心为(0,1)，设圆心为C ，切点(2,2)为P ， 则211202PC K -==-， 则切线的斜率2k =-， 故选：A ．【点评】本题考查直线与圆的位置关系，涉及切线的性质，属于基础题． 6．【分析】求出抛物线的准线方程，利用抛物线的定义转化求解即可．【解答】解：抛物线24y x =的准线方程为：1x =-，抛物线24y x =上的点A 到焦点的距离为10，可得9A x =，则A 到y 轴的距离是：9． 故选：D ．【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，考查计算能力．7．【分析】抛物线2y x =的焦点在x 轴上，且开口向右，21p =，由此可得抛物线2y x =的准线方程． 【解答】解：抛物线2y x =的焦点在x 轴上，且开口向右，21p =，∴124p =， ∴抛物线2y x =的准线方程为14x =-． 故选：B ．【点评】本题考查抛物线的标准方程，考查抛物线的几何性质，定型与定位是关键． 8．【分析】直接利用抛物线方程，求解准线方程即可． 【解答】解：抛物线24y x =的准线方程是1x =-， 故选：B ．【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，准线方程的求法，是基础题．9．【分析】建立平面直角坐标系，设等轴双曲线的方程为22(0)y x t t -=>，写出点A 的坐标，并将其代入方程，求得t 的值，再令30y =-，解出x 的值即可． 【解答】解：建立如图所示的平面直角坐标系，设等轴双曲线的方程为22(0)y x t t -=>， 拱顶离水面5m ，水面宽30AB m =，∴点A 为(15,5)-，将其代入22y x t -=得，22(5)(15)t --=， 解得400t =， 22400y x ∴-=，设水面下降5m 后，水面宽为CD ，此时点C 和D 的纵坐标均为30-，把30y =-代入22400y x -=，有2900400x -=，解得x =±44.8CD m ∴=≈．故选：B ．【点评】本题考查等轴双曲线的概念，双曲线方程的应用，考查学生将所学知识运用于实际的能力，属于基础题．10．【分析】求出(1,0)到直线的距离，结合圆的半径，判断求解即可． 【解答】解：点(1,0)到直线34120x y -+=3=，因为半径为2的圆经过点(1,0)，所以圆心到直线34120x y -+=的距离的最小值为：321-=． 故选：B ．【点评】本题考查直线与圆的位置关系的应用，点到直线的距离的应用，是基础题． 11．【分析】利用双曲线方程列出方程，推出a ，b 的关系，即可得到渐近线方程．【解答】解：双曲线22221x y a b -=的焦距等于实轴长的2倍，b =，其渐近线的方程为：y =． 故选：A ．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，渐近线方程的求法，是基础题． 12．【分析】根据条件求出P 的纵坐标，进而求解结论．【解答】解：P 是C 上一点．且||4PF =，413P PD x x ∴==+⇒=代入24y x =得212Py =，PM ∴===故选：C ．【点评】本题考查抛物线的性质以及计算能力，属于基础题．13．【分析】由直线l 过定点圆C 的圆心，可知直线与圆相交． 【解答】解：直线:1l y kx =+过点(0,1)P ， 而(0,1)P 是圆22:(1)4C x y +-=的圆心，∴直线:1l y kx =+与圆22:(1)4C x y +-=的位置关系是相交．故选：B ．【点评】本题考查直线与圆位置关系的应用，是基础题．14．【分析】根据题意得到p 的值，过点A 作AD 垂直于准线l 于点D ，过点B 作BE 垂直于l 于点E ，延长AB 交l 于点C ，再利用三角形相似得到BC 和AC 的关系，从而得到BF ，AF ，CF 的关系，求出4AD =，即可得到答案．【解答】解：焦点F 到准线的距离为2p =，过点A 作AD 垂直于准线l 于点D ，过点B 作BE 垂直于l 于点E ，延长AB 交l 于点C ， 则BCE ACD ∆∆∽， 所以13BC BE BF AC AD AF ===， 记BC x =，则3AC x =， 因为||3||AF FB =， 所以1142BF AB x ==，332AF BF x ==， 因为32CF BC BF x =+=，F 为AC 的中点， 所以24AD FG ==， 即点A 到y 轴的距离为432p-=． 故选：C ．【点评】本题考查了抛物线性质的应用，涉及了抛物线定义的理解和应用，在涉及抛物线上的点到焦点距离的问题时，一般会转化为到准线的距离开解决．15．【分析】由题意利用斜率公式，两直线平行的性质，求得a 的值． 【解答】解：直线:20l x ay ++=，点(1,1)A --和点(2,2)B ，∴直线AB 的斜率为21121+=+， 若//l AB ，则11a-=，求得1a =-， 故选：B ．【点评】本题主要考查斜率公式，两直线平行的性质，属于基础题．16．【分析】当弦长||MN =利用弦长公式求得弦心距1d =，故当||23MN ，则1d ，由此求得k 的范围．【解答】解：当弦长||MN =1d = 若||23MN ，则1d ，即圆心(2,0)到直线20kx y -+=的距离1d =，求得4[3k ∈-，0]，故选：D ．【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式、弦长公式的应用，属于基础题．17．【分析】根据奇函数对称性得出A ，C 关于原点对称，于是||1PB =，从而直线l 与单位圆有交点，根据点到直线的距离公式列出不等式求出k 的范围． 【解答】解：3()f x x =和y mx =都是奇函数，B ∴为原点，且A ，C 两点关于原点对称．∴原点O 为线段AC 的中点， ∴2PA PC PB +=，直线:30()l kx y k R -+=∈上存在点P 满足||2PA PC +=， |||2|2||2PA PC PB PB ∴+===，||1PB ∴=．即P 为单位圆221x y +=上的点．∴直线:3l y kx =+与单位圆有交点， ∴1，解得22k 或22k -．故选：D ．【点评】本题考查了函数图象与方程的关系，考查直线与圆的位置关系，属于中档题．18．【分析】在椭圆上任取一点P ，连接VP 交1C 于Q ，交2C 于点R ，连接1O Q ，11O F ，1PO ，1PF ，2O R ，利用△1O PF ≅△1O PQ 全等，得到1PF PQ =，当点P 沿圆锥表面到达点M 的路线长与线段1PF 的长之和最小时，即当P 为直线VM 与椭圆的交点时，求解即可得到答案．【解答】解：如图所示，在椭圆上任取一点P ，连接VP 交1C 于Q ，交2C 于点R ， 连接1O Q ，11O F ，1PO ，1PF ，2O R ，在△1O PF 与△1O PQ 中，111O Q O F r ==，其中1r 为球1O 半径， 1190O QP O FP ∠=∠=︒，1O P 为公共边，所以△11O PF ≅△1O PQ ，所以1PF PQ =， 设P 沿圆锥表面到达M 的路径长为d ， 则1PF d PQ d PQ PR QR +=++=，当且仅当P 为直线VM 与椭圆的交点时取等号，21416tan 30tan 30O R O Q QR VR VQ -=-=-===︒︒，故从点P 沿圆锥表面到达点M 的路线长与线段1PF 的长之和的最小值是6． 故选：A ．【点评】本题以Dandelin 双球作为几何背景考查了椭圆知识的综合应用，涉及了两条线段距离之和最小的求解，解题的关键是确定当P 为直线VM 与椭圆的交点时取得最值． 二．填空题（共10小题）19．【分析】易知，等边ABC ∆的边长为4a ，不妨取点B 为(2)a ，将其代入双曲线的方程可得a b =，再由e =【解答】解：双曲线M 的实轴为ABC ∆的中位线，∴等边ABC ∆的边长为4a ，假设点B 在第一象限，则点B 的坐标为(2)a ，将其代入双曲线M 的方程有，2222431a a a b-=，∴1ab =，离心率e ==．【点评】本题考查双曲线的几何性质，包含a 、b 、c 的含义与关系，离心率，考查学生的逻辑推理能力和运算求解能力，属于基础题．20．【分析】由题意知，(3,0)F ，①当A ，P ，F 按此顺序三点共线时，||||AP PF +取得最小值；②设双曲线的左焦点为F '，由双曲线的定义可知，||||2PF PF '=+，当A ，P ，F '按此顺序三点共线时，||||AP PF +取得最小值．【解答】解：由题意知，(3,0)F ，①||||||9AP PF AF +=，当且仅当A ，P ，F 按此顺序三点共线时，等号成立，所以||||AP PF +的最小值为9；②设双曲线的左焦点为(3,0)F '-，由双曲线的定义知，||||22PF PF a'-==，所以||||||||2||2211AP PF AP PF AF ''+=+++==，当且仅当A ，P ，F '按此顺序三点共线时，等号成立，所以||||AP PF +的最小值为11． 故答案为：9；11．【点评】本题考查双曲线的定义与几何性质，考查数形结合思想、逻辑推理能力和运算能力，属于基础题． 21．【分析】求出OA 的中点即为圆心，求出||OA 即为圆的半径，得到圆的方程与直线2y x =联立，求出点B 的坐标，即可得到直线AB 的方程．【解答】解：因为O 为坐标原点，点A 的坐标为(4,0)， 所以OA 的中点坐标为(2,0)，且||4OA =，所以以线段OA 为直径的圆的圆心为(2,0)，半径2r =， 所以圆的方程为22(2)4x y -+=，联立方程22(2)42x y y x ⎧-+=⎨=⎩，解得00x y =⎧⎨=⎩或4585x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，因为点B 在第一象限，所以48(,)55B ，又(4,0)A ，所以直线AB 的方程为8050(4)445y x --=--，即240x y +-=． 故答案为：240x y +-=．【点评】本题考查了直线方程的求解，涉及了圆的标准方程的求解、直线与圆交点的求解，属于中档题． 22．【分析】利用抛物线的焦点坐标，求解m 即可；利用抛物线的定义，转化求解A 的坐标． 【解答】解：抛物线2y mx =的焦点为(1,0)F ， 可得14m=，解得4m =； 点A 在抛物线24y x =上，且||3AF =，设点A 的横坐标为x ，则13x +=，2x =， 把2x =代入抛物线方程，可得A的纵坐标为：±所以(2,A ±． 故答案为：4；(2,±．【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，抛物线的定义的应用，是基础题．23．【分析】由抛物线的方程可得焦点的坐标及准线方程，由题意设直线l 的方程与抛物线联立求出两根之和，由抛物线的性质可得到焦点的距离等于到准线的距离可得弦长||AB 的值，求出原点到直线的距离，代入面积公式可得面积的值．【解答】解：抛物线24y x =的焦点(1,0)F ，准线方程为1x =- 由题意设直线l 的斜率1y x =-，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ， 联立214y x y x=-⎧⎨=⎩，整理可得：2610x x -+=，可得126x x +=，所以弦长12||628AB x x p =++=+=， 原点O 到直线l的距离d =，所以11||822AOB S AB d ∆=⋅==故答案为：【点评】本题考查求抛物线的性质及点到直线的距离公式和三角形的面积公式，属于中档题．24．【分析】设双曲线方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>，则2a =，3c =，由此能求出C 的方程，再求焦点到其渐近线的距离即可．【解答】解：双曲线C 的两个焦点为(3,0)-，(3,0)，一个顶点是0)，∴设双曲线方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>，且a ，3c =，2963b ∴=-=，C ∴的方程为：22163x y -=．故其渐近线为y =，即0x ±=，C ∴的焦点到其渐近线的距离为：d ==故答案为：22163x y -=【点评】本题考查双曲线的方程的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意双曲线性质的合理运用．25．【分析】利用双曲线方程直接求解渐近线方程；求出焦点坐标，然后利用双曲线的定义求解即可得到12||||MF MF -．【解答】解：双曲线2212y x -=的渐近线方程为：y =，双曲线的焦点坐标(，0)，M 在双曲线上，所以12||||22MF MF a -=-=-，故答案为：y =；2-．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，双曲线的渐近线方程的求法，定义的应用，是基础题． 26．【分析】利用离心率求出a ，然后求解双曲线的焦点坐标．【解答】解：双曲线2221(0)9x y a a -=>的离心率是54，54=，解得4a =，则5c =， 所以双曲线的右焦点坐标为(5,0)． 故答案为：(5,0)．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，焦点坐标的求法，是基础题．27．【分析】当0m =时，12F AF ∠最大，求出△12AF F 为等腰直角三角形即可判断①；求出1ABF ∆为等腰直角三角形时，m 的值，即可判断②；利用椭圆定义可得1ABF 的周长最大值，结合m 的取值范围即可判断③．【解答】解：由方程知4a =，b =c ，当0m =时，12F AF ∠最大，此时122145AF F AF F ∠=∠=︒，所以12F AF ∠的最大值为90︒， 又12AF AF =，所以△12AF F 为等腰直角三角形，即存在唯一一个0m =，使得△12AF F 为等腰直角三角形，故①正确；当0m =时，1245AF F ∠=︒，由椭圆的对称性可得121245BF F AF F ∠=∠=︒，11AF BF =， 所以190AF B ∠=︒，此时1ABF ∆为等腰直角三角形，当0m ≠时，若1ABF ∆为等腰直角三角形，则4m -<<-，此时点A 的坐标为(,m m --，代椭圆方程，解得(4,m =--，故当0m =或1ABF ∆为等腰直角三角形，故②错误； 由椭圆的定义得，1ABF ∆的周长11||||||AB AF BF =++ 2222||(2||)(2|)4||||||AB a AF a BEF a AB AF BF =+-+-=+--，因为22||||||AF BF AB +，所以22||||||0AB AF BF --，当AB 过点2F 时取等号，所以1122||||||4||||||4AB AF BF a AB AF BF a ++=+--，即直线x m =过椭圆的右焦点2F 时，1ABF ∆的周长最大，此时直线AB 的方程为x m c ===44m -<<， 所以存在m ，使1ABF ∆的周长最大，故③正确． 故答案为：①③．【点评】本题主要考查椭圆的性质，考查数形结合的解题思想，考查分析问题与求解问题的能力，是中档题．28．【分析】由题意可得12b a =，即224a b =，结合222a b c +=，可得2254c a =，开方可得c e a=的值．【解答】解：由题意可得双曲线的渐近线方程为by x a =±，故可得12b a =，即224a b =，又222a bc +=，故2224a a c +=，2254c a =，解得c e a ==【点评】本题考查双曲线的简单性质，涉及离心率的求解，属中档题． 三．解答题（共9小题） 29．【分析】（Ⅰ，且经过点，列方程组，解得a ，b ，c ，进而可得答案． （Ⅰ）设直线AB 的方程为y kx m =+，1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，联立直线AB 与椭圆的方程，得224()4x kx m ++=，由△0>，得2241k m +>，结合韦达定理可得12x x +，12x x ，由0OA AB ⋅=，推出OA AB ⊥，进而设直线OA 的方程为1y x k=-，联立直线AB 的方程得1y ，1x ，代入椭圆的方程可得22224(1)4k m k +=+，再计算222222144(1)||(41)(4)k k AB k k +=++，2224(1)||4k OA k +=+，进而可得22222||369||(41)4AB k OA k ==+，解得214k =，进而可得OAB ∆的面积213||||||24S OA AB OA ==，即可得出答案． 【解答】解：（Ⅰ）由题意可得222221314c aa b a b c ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得2a =，1b =，c =，∴椭圆方程为2214x y +=．（Ⅰ）设直线AB 的方程为y kx m =+，1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ， 联立y kx m =+与2244x y +=，得224()4x kx m ++=， 222(41)8440k x kmx m ∴+++-=，∴△22222(8)4(41)(44)16(41)0km k m k m =-+-=+->，即2241k m +>，则122841kmx x k -+=+，21224441m x x k -=+，因为0OA AB ⋅=，所以OA AB ⊥，设直线OA 的方程为1y x k =-，联立直线AB 的方程得121m y k =+，1121kmx ky k -=-=+， 代入221144x y +=，所以222()4()411km m k k -+=++，化简得22224(1)4k m k +=+，所以2222222222224(1)(41)(4)4(1)94141444k k k k k k m k k k k +++-++-=+-==+++，所以||AB =， 所以2222222222216(1)(41)144(1)||(41)(41)(4)k k m k k AB k k k ++-+==+++， 所以2222222112224(1)||()(1)()114m m k OA ky y k k k k +=-+=+==+++， 所以22222||369||(41)4AB k OA k ==+， 得22216(41)k k =+，解得214k =， 此时222224(1)2541417k m k k +==<++，满足△0>， 由22214(1)4(1)204||141744k OA k ++===++， 所以OAB ∆的面积2113315||||||||||222417S OA AB OA OA OA ==⨯==． 【点评】本题考查椭圆的方程，直线与椭圆的相交问题，解题中需要一定的计算能力，属于中档题． 30．【分析】（Ⅰ）根据题意列方程组，得a ，b ，进而可得椭圆的方程．（Ⅰ）分两种情况①若直线l 的斜率不存在时，②若直线l 的斜率存在时，直线AM ，BN 的交于点Q ，是否早定直线4x =上．【解答】解：（Ⅰ）因为||4AB =，椭圆C 离心率为12， 所以22224,1,2.a c a abc =⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩解得24a =，23b =．所以椭圆C 的方程是22143x y +=．（Ⅰ）①若直线l 的斜率不存在时，如图，因为椭圆C 的右焦点为(1,0)，所以直线l 的方程是1x =．所以点M 的坐标是3(1,)2，点N 的坐标是3(1,)2-．所以直线AM 的方程是1(2)2y x =+，直线BN 的方程是3(2)2y x =-．所以直线AM ，BN 的交点Q 的坐标是(4,3)．所以点(4,3)在直线4x =上．②若直线l 的斜率存在时，如图．设斜率为k ． 所以直线l 的方程为(1)y k x =-．联立方程组22(1),1,43y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y ，整理得2222(34)84120k x k x k +-+-=， 显然△0>．不妨设1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ，所以2122834k x x k +=+，212241234k x x k-⋅=+． 所以直线AM 的方程是11(2)2y y x x =++．令4x =，得1162y y x =+．直线BN 的方程是22(2)2y y x x =--．令4x =，得2222y y x =-． 所以12121212121212626(1)2(1)6(1)(2)2(2)(1)2222(2)(2)y y k x k x k x x k x x x x x x x x -----+--=-=+-+-+- 1212122112126(1)(2)2(2)(1)2[3(22)(22)]k x x k x x k x x x x x x x x ---+-=--+--+- 12122[25()8]k x x x x =-++22222(412)582[8]3434k k k k k -⨯=-+++22228244024322()034k k k k k --++==+．所以点Q 在直线4x =上．【点评】本题考查椭圆的方程，直线与椭圆的相交问题，解题中需要一定的计算能力，属于中档题． 31．【分析】（Ⅰ）根据题意可得所以1b =，22311a b +=，解得2a =，进而可得椭圆的方程． （Ⅰ）联立直线l 与椭圆的方程可得关于x 的一元二次方程，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，由韦达定理得12x x +，12x x ，由点到直线的距离公式可得原点O 到直线l的距离d ==，解得2254(1)m k =+，计算1212OA OB x x y y ⋅=+为0，即可得出结论．【解答】解：（Ⅰ）因为椭圆经过点(0,1)，所以1b =，又因为椭圆经过点1)2，所以23114a +=，解得2a =，所以椭圆的方程为2214x y +=，（Ⅰ）证明：由2214y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，可得222(14)8440k x kmx m +++-=， 由题意，△22222(8)4(14)(44)1616640km k m k m =-+-=-++>，即22140k m +->， 设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，所以122841kmx x k +=-+，21224441m x x k -=+，因为原点O 到直线l，所以d ==即2254(1)m k =+，因为12121212()()OA OB x x y y x x kx m kx m ⋅=+=+++22222121222448(1)()(1)4141m kmk x x km x x m k km m k k -=++++=+-+++222544041m k k --==+，所以OA OB ⊥．因此以AB 为直径的圆过原点O ．【点评】本题考查椭圆的方程，直线与椭圆的相交问题，定点问题，解题中需要一定的计算能力，属于中档题． 32．【分析】（Ⅰ）把点A ，B 的坐标代入椭圆方程，求出a ，b 的值，即可得到椭圆W 的方程；（Ⅰ）先求出m 的值，设直线l 的方程为(2)(0y k x k =+≠，1)k ≠，与椭圆方程联立，设1(C x ，1)y ，2(D x ，2)y ，利用韦达定理得到22121222121212,1313k k x x x x k k -+=-=++，再求出点P ，Q 的纵坐标，得到||||PM MQ 的表达式，把上式代入化简，即可得到||||PM MQ 为定值1． 【解答】解：（Ⅰ）由椭圆2222:1(0)x y W a b a b +=>>过(0,2)A ，(3,1)B --两点，得2b =，29114a +=，所以212a =．所以椭圆W 的方程为221124x y +=．（Ⅰ）(0,2)A ，(3,1)B --，∴直线AB 的方程为：2y x =+，令0y =得：2m =-，设直线l 的方程为(2)(0y k x k =+≠，1)k ≠，由22(2),1124y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得2222(13)1212120k x k x k +++-=，且△0>，设1(C x ，1)y ，2(D x ，2)y ，则22121222121212,1313k k x x x x k k -+=-=++， 记直线AC 的方程为1122y y x x --=，令2x =-，得P 点的纵坐标11(22)(2)P k x y x -+=，记直线BD 的方程为2211(3)3y y x x ++=++， 令2x =-，得Q 点的纵坐标22(1)(2)3Q k x y x -+=+，112122122212212121212112221221(22)(2)2(3)(2)||||||||(1)(2)||(2)31212122412224()1221313||||1212221312122(13)|| 1.12122(13)PQ k x y x x x PM k x MQ y x x x k k x x x x x x k k k x x x x k k k x k k x -+++===-+++--⨯+⨯++++++++==-+++-++==-++ 所以||||PM MQ 为定值1． 【点评】本题主要考查了椭圆的标准方程，考查了直线与椭圆的定义，考查了学生的计算能力，是中档题． 33．【分析】（Ⅰ）利用已知条件求出b ，结合离心率求解a ，即可得到椭圆方程．（Ⅰ）依题意设直线l 的方程为(4)y k x =+，设1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ．联立221,4(4),x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消去y ，得2222(41)326440k x k x k +++-=，求出M ，N 的坐标，然后求解AM AN k k +．的表达式，推出结果即可．【解答】解：（Ⅰ）由已知1b =，c e a = 又222a b c =+，解得2a =，1b =．所以椭圆C 的方程为2214x y +=．（Ⅰ）依题意设直线l 的方程为(4)y k x =+，设1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ．联立221,4(4),x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消去y ，得2222(41)326440k x k x k +++-=，则△216(112)0k =->，解得k <．(*) 则21223241k x x k -+=+，212264441k x x k -=+．若11x =-，则1y =，k =(*)式矛盾，所以11x ≠-． 同理21x ≠-．所以直线AM 和AN 的斜率存在，分别设为AM k 和AN k ． 因为121211AM AN y yk k x x +=+++ 121212(4)(4)3321111k x k x k kk x x x x ++=+=++++++ 12121212123(2)3(2)22(1)(1)1k x x k x x k k x x x x x x ++++=+=++++++ 222222323(2)1426443211414k k k k k k k k -++=+--++++ 223(242)20363k k k k -+=+=-， 所以AM AN k k =-． 所以BAM OAN ∠=∠．【点评】本题考查椭圆的简单性质，以及椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．34．【分析】（Ⅰ）由题意及a ，b ，c 之间的关系求出a ，b 的值，进而求出椭圆的方程；（Ⅰ）由题意开始直线l 的方程，与椭圆联立，由判别式为0求出参数之间的关系，设G ，E 的坐标，由题意可得G ，E 用直线的参数表示的坐标，进而求出||||TA TB 与||||GA GB 的表示，可证得||||||||TA GA TB GB =．【解答】解：（Ⅰ）由题意可得222212a c e a a b c=⎧⎪⎪==⎨⎪=+⎪⎩，解得：24a =，23b =，所以椭圆的方程为：22143x y +=；（Ⅰ）由题意可得直线l 的斜率存在且不为0，设直线l 的方程为：(0)y kx m m =+≠，22143y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理可得：222(34)84120k x kmx m +++-=， 由题意可得△0=，即22226416(34)(3)0k m k m -+-=，解得：2234m k =+ 设1(G x ，0)，0(E x ，0)y 则1m x k =-，024434km kx k m-==-+， 因为ET x ⊥轴，所以4(kT m-，0)， 4|2||||42||2|4|||24||2||2()|k TA k m m k m k TB m k m k m -+-+-===++--， 又因为|2||||2||||2||2|m GA m k k m GB m k k-+-==++， 所以可证：||||||||TA GA TB GB =． 【点评】本题考查求椭圆的方程及直线与椭圆相切的性质，及证明的方法，属于中档题． 35．【分析】（Ⅰ）由已知点，椭圆的离心率以及a ，b ，c 的关系式即可求解；（Ⅰ）根据已知条件推出OD 与BC 平行，设出点D 的坐标，利用平行关系以及点D 在椭圆上联立方程即可求解． 【解答】解：（Ⅰ）由已知可得：22222431c aa b a b c ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得4a =，2b =，c =故椭圆的方程为：221164x y +=，且长轴长为28a =；（Ⅰ）因为点D 在x 轴下方，所以点Q 在线段AB （不包括端点）上， 由（Ⅰ）可知(4,0)A -，(4,0)B ，所以AOC ∆的面积为142⨯=因为ACQ ∆的面积比BDQ ∆的面积大所以点Q 在线段OB （不包括端点）上，且OCQ ∆的面积等于BDQ ∆的面积， 所以OCB ∆的面积等于BCD ∆的面积， 所以//OD BC ， 设(,)D m n ，0n <，则n m ==， 因为点D 在椭圆W 上，所以221164m n +=，解得2m =，n = 所以点D的坐标为(2,．【点评】本题考查了椭圆的方程以及直线与椭圆的位置关系的应用，涉及到三角形面积问题，考查了学生的运算能力，属于中档题． 36．【分析】()I利用离心率为3，且过(0,1)点，列出方程组求解a ，b ，得到椭圆方程． ()II 设直线l 的方程为：1(0)3y x m m =+≠，由221913x y y x m⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩消去y 得：2219()903x x m ++-=，通过△0>，推出m 的范围，设1(C x ，1)y ，2(D x ，2)y ，利用韦达定理，求直线OM 的方程，与椭圆联立，求解E 、F ，利用弦长公式，计算证明即可．【解答】()I解：根据题意：2222311c a a b a c b b c ⎧=⎪⎧=⎪⎪⎪=-⇒=⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⎨⎨⎪⎪==⎩⎪⎪⎩（4分）所以椭圆G 的方程为2219x y +=．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（5分）()II 证明：设直线l 的方程为：1(0)3y x m m =+≠⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（6分）由221913x y y x m⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩消去y 得：2219()903x x m ++-=⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（7分）即2226990x mx m ++-=，需△22368(99)0m m =-->即202m <<⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（8分） 设1(C x ，1)y ，2(D x ，2)y ，CD 中点0(M x ，0)y ，则123x x m +=-，2129(1)2x x m =-⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（9分）12000311,2232x x x m y x m m +==-=+=⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（10分） 那么直线OM 的方程为：00y y x x =即13y x =-⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（11分）由22191232x x y y x y ⎧⎧=+=⎪⎪⎪⎪⇒⎨⎨⎪⎪=-=⎪⎪⎩⎩， 不妨令(E F ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（12分） 那么221212111||||||(1)[()4]449MC MD CD x x x x ⋅==++-2259[(3)4(1)]182m m =--⋅-25(2)2m =-⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（13分）||||ME MF ⋅=25(2)2m -⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（14分）所以||||||||MC MD ME MF ⋅=⋅．【点评】本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力，是难题． 37．【分析】（Ⅰ）依题意长轴长为4，且离心率为12．求出a ，c ，然后求解b ，得到椭圆方程． ()II 直线:(1)l y k x =-，代入椭圆方程，利用韦达定理以及弦长公式求出||AB ，求出AB 中点坐标，通过（1）当0k =时，所以||4||AB DF =．（2）当0k ≠时，线段AB 的垂直平分线方程求出D ，得到||DF ，然后转化求解即可、【解答】解：（Ⅰ）依题意24a =，2a =，离心率为12，1c =，则23b =，（4分） 故椭圆C 的方程为22143x y +=．（5分） ||()||AB II DF 是定值．（6分） 理由如下：由已知得直线:(1)l y k x =-，（7分）代入椭圆方程22143x y +=，消去y 得2222(43)84120k x k x k +-+-=，（8分） 所以△22222(8)4(43)(412)1441440k k k k =--+-=+>，（9分）设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y 则2122843k x x k +=+，212241243k x x k -=+，（10分）所以2222221211212||()()(1)[()4]AB x x y y k x x x x =-+-=++-。
北京市海淀区高三上期中考试数学试题(理)含答案
海淀区高三年级第一学期期中练习数学（理科） .11本试卷共4页，150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合，则集合中元素的个数为A．1 B．2 C．3 D．42．下列函数中为偶函数的是3．在△ABC中，的值为A．1 B．－1 C．12D．－124．数列的前n项和为，则的值为A．1 B．3 C．5 D．65．已知函数，下列结论错误的是A． B．函数的图象关于直线x＝0对称C．的最小正周期为 D．的值域为6．“x＞0 ”是“”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件7．如图，点O为坐标原点，点A（1,1）．若函数且）的图象与线段OA分别交于点M，N，且M，N恰好是线段OA的两个三等分点，则a，b满足8． 已知函数函数．若函数恰好有2个不同零点，则实数a 的取值范围是二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分） 9．10．在△AB C 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若 c ＝4，则11．已知等差数列的公差，且39108a a a a +=-．若n a ＝0 ，则n ＝12．已知向量，点A （3,0） ，点B 为直线y ＝2x 上的一个动点．若AB a ，则点B 的坐标为 ． 13．已知函数，若的图象向左平移个单位所得的图象与的图象向右平移个单位所得的图象重合，则的最小值为 14．对于数列，都有为常数）成立，则称数列具有性质． ⑴ 若数列的通项公式为，且具有性质，则t 的最大值为 ；⑵ 若数列的通项公式为，且具有性质，则实数a 的取值范围是三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 15．（本小题满分13分） 已知等比数列的公比，其n 前项和为（Ⅰ）求公比q 和a 5的值； （Ⅱ）求证：16．（本小题满分13分）已知函数．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求函数的最小正周期和单调递增区间．17．（本小题满分13分）如图，在四边形ABCD中，AB＝8，BC＝3，CD＝5，（Ⅰ）求BD的长；（Ⅱ）求证：18．（本小题满分13分）已知函数，曲线在点（0,1）处的切线为l（Ⅰ）若直线l的斜率为－3，求函数的单调区间；（Ⅱ）若函数是区间［－2，a］上的单调函数，求a的取值范围．19．（本小题满分14分）已知由整数组成的数列各项均不为0，其前n项和为，且（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的通项公式；（Ⅲ）若=15时，Sn取得最小值，求a的值．20．（本小题满分14分）已知x为实数，用表示不超过x的最大整数，例如对于函数f(x)，若存在，使得，则称函数函数．（Ⅰ）判断函数是否是函数；（只需写出结论）（Ⅱ）设函数f(x)是定义R在上的周期函数，其最小正周期为T，若f(x)不是函数，求T的最小值．（Ⅲ）若函数是函数，求a的取值范围．海淀区高三年级第一学期期中练习参考答案 数 学 （理科） .11阅卷须知:1.评分参考中所注分数，表示考生正确做到此步应得的累加分数。
2023-2024学年北京市海淀区高一上学期期末考试数学试题+答案解析
2023-2024学年北京市海淀区高一上学期期末考试数学试题一、单选题：本题共14小题，每小题5分，共70分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知全集，集合，则()A. B. C. D.2.某学校有高中学生1500人，初中学生1000人．学生社团创办文创店，想了解初高中学生对学校吉祥物设计的需求，用分层抽样的方式随机抽取若干人进行问卷调查．已知在初中学生中随机抽取了100人，则在高中学生中抽取了()A.150人B.200人C.250人D.300人3.命题“”的否定是()A. B.C. D.4.方程组的解集是()A. B.C. D.5.某部门调查了200名学生每周的课外活动时间单位：，制成了如图所示的频率分布直方图，其中课外活动时间的范围是，并分成五组．根据直方图，判断这200名学生中每周的课外活动时间不少于14h的人数是()A.56B.80C.144D.1846.若实数a，b满足，则下列不等式成立的是()A. B. C. D.7.函数的零点所在的区间为()A. B. C. D.8.在同一个坐标系中，函数的部分图象可能是()A. B.C. D.9.下列函数中，既是奇函数，又在上单调递减的是()A. B. C. D.10.已知，则实数a，b，c的大小关系是()A. B. C. D.11.已知函数，则“”是“为奇函数”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件12.已知函数，则不等式的解集为()A. B. C. D.13.科赫曲线是几何中最简单的分形．科赫曲线的产生方式如下：如图，将一条线段三等分后，以中间一段为边作正三角形并去掉原线段生成1级科赫曲线“”，将1级科赫曲线上每一线段重复上述步骤得到2级科赫曲线，同理可得3级科赫曲线……在分形中，一个图形通常由N个与它的上一级图形相似，且相似比为r的部分组成．若，则称D为该图形的分形维数．那么科赫曲线的分形维数是()A. B. C.1 D.14.已知函数，若存在非零实数，使得成立，则实数a的取值范围是()A. B. C. D.二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。
北京市海淀区2020届高三上学期期末考试数学试题 Word版含答案
海淀区高三年级第一学期期末练习数学 2020. 01本试卷共4页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回。
第一部分（选择题 共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知集合{}1,2,3,4,5,6U =，{}1,3,5A =，{}2,3,4B =，则集合U A B I ð是 （A ）{1,3,5,6}（B ）{1,3,5} （C ）{1,3} （D ）{1,5}（2）抛物线24y x =的焦点坐标为 （A ）(0,1)（B ）(10，) （C ）(0,1-) （D ）(1,0)-（3）下列直线与圆22(1)(1)2x y -+-=相切的是（A ）y x =- （B ）y x =（C ）2y x =- （D ）2y x =（4）已知,a b R Î，且a b >，则 （A ）11ab <（B ）sin sin a b >（C ）11()()33ab<（D ）22a b >（5）在51()x x-的展开式中，3x 的系数为 （A ）5-（B ）5（C ）10-（D ）10（6）已知平面向量,,a b c 满足++=0a b c ，且||||||1===a b c ，则⋅a b 的值为（A ）12-（B ）12（C）2-（D）2（7）已知α, β, γ是三个不同的平面，且=m αγI ，=n βγI ，则“m n ∥”是“αβ∥”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（8）已知等边△ABC 边长为3. 点D 在BC 边上，且BD CD >，AD =下列结论中错误的是（A ）2BDCD= （B ）2ABDACDS S ∆∆= （C ）cos 2cos BADCAD∠=∠ （D ）sin 2sin BAD CAD ∠=∠（9）声音的等级()f x （单位：dB ）与声音强度x （单位：2W/m ）满足12()10lg110x f x -=⨯⨯.喷气式飞机起飞时，声音的等级约为140dB ；一般说话时，声音的等级约为60dB ，那么喷气式飞机起飞时声音强度约为一般说话时声音强度的 （A ）610倍（B ）810倍（C ）1010倍（D ）1210倍（10）若点N 为点M 在平面a 上的正投影，则记()N f M a =. 如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，记平面11AB C D 为b ，平面ABCD 为g ，点P 是棱1CC 上一动点（与C ，1C 不重合），1[()]Q f f P g b =，2[()]Q f f P b g =. 给出下列三个结论：①线段2PQ长度的取值范围是1[2；②存在点P 使得1PQ ∥平面b ； ③存在点P 使得12PQ PQ ^. 其中，所有正确结论的序号是 （A ）①②③（B ）②③（C ）①③（D ）①②第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
北京市海淀区2020届高三上学期期末考试数学理试题Word版含答案
北京市海淀区2020届高三上学期期末考试数学理试题本试卷共4页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．双曲线22122x y -=的左焦点坐标为A ．(2,0)-B ．(C ．(1,0)-D ． (4,0)-2.已知向量,a b 满足=((t =)，，1)a 2,0b ， 且a ⋅=a b ，则,a b 的夹角大小为 A ．6π B ．4π C ．3π D ．512π3.已知等差数列{}n a 满足1=2a ，公差0d ≠，且125,,a a a 成等比数列，则=d A ．1B ．2C ．3D ．44.直线+1y kx =被圆222x y +=截得的弦长为2，则k 的值为A ． 0B ．12±C ．1±D ．2±5.以正六边形的6个顶点中的三个作为顶点的三角形中，等腰三角形的个数为A ．6B ．7C ．8D ．126.已知函数()=ln af x x x+，则“0a <”是“函数()f x 在区间(1,)+∞上存在零点”的 A 充分而不必要条件 B 必要而不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件7.已知函数()sin cos f x x x =-，()g x 是()f x 的导函数，则下列结论中错误的是 A.函数()f x 的值域与()g x 的值域相同B.若0x 是函数()f x 的极值点，则0x 是函数()g x 的零点C.把函数()f x 的图像向右平移2π个单位，就可以得到函数()g x 的图像 D.函数()f x 和()g x 在区间(,4π-)4π上都是增函数8.已知集合{}(,)150,150,,A s t s t s N t N =≤≤≤≤∈∈.若B A ⊆，且对任意的(,)a b B ∈，(,)x y B ∈，均有()()0a x b y --≤，则集合B 中元素个数的最大值为 A ．25B ．49C ．75D ．99二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9.以抛物线24y x =的焦点F 为圆心，且与其准线相切的圆的方程为 .10.执行如下图所示的程序框图，当输入的M 值为15，n 值为4 时，输出的S 值为.11.某三棱锥的三视图如上图所示，则这个三棱锥中最长的棱与最短的棱的长度分别为 ， .12.设关于,x y 的不等式组,4,2,y x x y kx ≤⎧⎪≤⎨⎪≥-⎩表示的平面区域为Ω，若点A （1，-2），B （3,0），C （2，-3）中有且仅有两个点在Ω内，则k 的最大值为 . 13.ABC中，b ，且cos2cos A B =，则cos A = .14.正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，动点M 在线段CC 1上，动点P 在平面1111A B C D 上，且AP ⊥平面1MBD .（Ⅰ）当点M 与点C 重合时，线段AP 的长度为 ； （Ⅱ）线段AP 长度的最小值为 .三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 15．（本小题满分13分）已知函数()s()cos22f x aco x x π=-- 其中0>a（Ⅰ）比较()6f π和()2f π的大小；（Ⅱ）求函数()f x 在区间[,]22ππ-的最小值.16．（本小题满分13分）为迎接2022年冬奥会，北京市组织中学生开展冰雪运动的培训活动，并在培训结束后对学生进行了考核.记X 表示学生的考核成绩，并规定85X ≥为考核优秀.为了了解本次培训活动的效果，在参加培训的学生中随机抽取了30名学生的考核成绩，并作成如下茎叶图：（Ⅰ）从参加培训的学生中随机选取1人，请根据图中数据，估计这名学生考核优秀的概率； （Ⅱ）从图中考核成绩满足[70,79]X ∈的学生中任取3人，设Y 表示这3人重成绩满足8510X -≤的人数，求Y 的分布列和数学期望； （Ⅲ）根据以往培训数据，规定当85(1)0.510X P -≤≥时培训有效.请根据图中数据，判断此次中学生冰雪培训活动是否有效，并说明理由.17．（本小题满分14分）在四棱锥P ABCD -中，平面ABCD ⊥平面PCD ，底面ABCD 为梯形，//AB CD ，AD PC ⊥ 且01,2,120AB AD DC DP PDC ====∠= （Ⅰ）求证：AD PDC ⊥平面；（Ⅱ）求二面角B-PD-C 的余弦值；（Ⅲ）若M 是棱PA 的中点，求证：对于棱BC 上任意一点F ，MF 与PC 都不平行.18．（本小题满分14分）椭圆2212x y +=的左焦点为F ，过点(2,0)M -的直线l 与椭圆交于不同两点A,B（Ⅰ）求椭圆G 的离心率；（Ⅱ）若点B 关于x 轴的对称点为B ’，求'AB 的取值范围.19. （本小题满分14分）已知函数xe x ax xf 2)(-=．（Ⅰ）当1a =-时，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（Ⅱ）当0a >时，求证：2()f x e>-对任意(0,)x ∈+∞成立.20．（本小题满分13分）设n 为不小于3的正整数，集合{}{}12(,,...)0,1,1,2,...,n n i x x x x i n Ω=∈=，对于集合n Ω中的任意元素12(,,...,)n x x x α=，12(,,...,)n y y y β=记11112222()()...()n n n n x y x y x y x y x y x y αβ*=+-++-+++- （Ⅰ）当3n =时，若(1,1,0)α=，请写出满足3αβ*=的所有元素β （Ⅱ）设n αβ∈Ω，且+n ααββ**=，求αβ*的最大值和最小值；（Ⅲ）设S 是n Ω的子集，且满足：对于S 中的任意两个不同元素αβ，，有1n αβ*≥-成立，求集合S 中元素个数的最大值.北京市海淀区2020届高三上学期期末考试数学理试题参考答案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1. A2. B3. D4. A5. C6. C7.C8. D二、填空题:本大题共6小题，每小题5分，共30分.9. 22(1)4x y -+= 10. 24 11. 2 12. 0三、解答题: 本大题共6小题，共80分.15．解：（Ⅰ）因为π1(),622a f =-π()12f a =+所以ππ13()()(1)()262222a a f f a -=+--=+因为0a >，所以3022a +>，所以ππ()()26f f >（Ⅱ）因为()sin cos2f x a x x =-2sin (12sin )a x x =--22sin sin 1x a x =+-设sin ,t x = ππ[,]22x ∈-，所以[1,1]t ∈-所以221y t at =+- 其对称轴为4at =- 当14at =-<-，即 4a >时，在1t =-时函数取得最小值1a - 当14a t =-≥-，即04a <≤时，在4at =-时函数取得最小值218a --16.解：（Ⅰ）设该名学生考核成绩优秀为事件A 由茎叶图中的数据可以知道，30名同学中，有7名同学考核优秀所以所求概率()P A 约为730（Ⅱ）Y 的所有可能取值为0,1,2,3因为成绩[70,80]X ∈的学生共有8人，其中满足|75|10X -≤的学生有5人所以33381(0)56C P Y C ===， 21353815(1)56C C P Y C === 12353830(2)56C C P Y C ===， 353810(3)56C P Y C === 随机变量Y 的分布列为115301015()0123565656568E Y =⨯+⨯+⨯+⨯= （Ⅲ）根据表格中的数据，满足85110X -≤的成绩有16个 所以8516810.5103015X P ⎛-⎫≤==>⎪⎝⎭所以可以认为此次冰雪培训活动有效.17．解：（Ⅰ）在平面PCD 中过点D 作DH DC ⊥，交PC 于H 因为平面ABCD ⊥平面PCD DH ⊂平面PCD平面ABCD I 平面PCD CD = 所以DH ⊥平面ABCD 因为AD ⊂平面ABCD所以 DH AD ⊥ 又AD PC ⊥，且PC DH H =I 所以AD ⊥平面PCD （Ⅱ）因为AD ⊥平面PCD ，所以AD CD ⊥ 又DH CD ⊥，DH AD ⊥以D 为原点，DA DC DH ，，所在直线分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系所以(,,),(,,),(,(,,),(,,)D A P C B -00020001020210，因为AD ⊥平面PCD ，所以取平面PCD 的法向量为(,,)DA =200uu u r设平面PBD 的法向量为(,,)n x y z =r因为(,(,,)DP DB =-=01210uu u r uu u r ，所以n DP n DB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩00r uu u rr uu u r所以y x y ⎧-+=⎪⎨+=⎪⎩020令2z =，则y x =-=，所以()n =2r所以cos ,||||AD n AD n AD n ⋅<>===uuu r ruuu r r uuu u r r 由题知B PD C --为锐角，所以B PD C --的余弦值为19（Ⅲ） 法一：假设棱BC 上存在点F ，使得MF PC ，显然F 与点C 不同所以,,,P M F C 四点共面于α所以FC ⊂α，PM ⊂α 所以B FC ∈⊂α，A PM ∈⊂α所以α就是点,,A B C 确定的平面，所以P ∈α这与P ABCD -为四棱锥矛盾，所以假设错误，即问题得证 法二：假设棱BC 上存在点F ，使得MF PC连接AC ，取其中点N在PAC ∆中，因为,M N 分别为,PA CA 的中点，所以MNPC因为过直线外一点只有一条直线和已知直线平行，所以MF 与MN 重合 所以点F 在线段AC 上，所以F 是AC ，BC 的交点C ，即MF 就是MC 而MC 与PC 相交，矛盾，所以假设错误，问题得证 法三：假设棱BC 上存在点F ，使得MFPC ，设BF BC λ=，所以3(1,,(2,1,0)22MF MB BF λ=+=+-因为MFPC，所以(0,3,MF PC μμ==所以有120332λλμ⎧⎪-=⎪⎪+=⎨⎪⎪=⎪⎩，这个方程组无解所以假设错误，即问题得证 18．解：（Ⅰ）因为,a b ==2221，所以,a b c ===11所以离心率c e a ==2（Ⅱ）法一： 设1122(,),(,)A x y B x y显然直线l 存在斜率，设直线l 的方程为(2)y k x =+所以()x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩22122，所以()k x k x k +++-=222221882028160k ∆=->，所以k <212所以k x x k k x x k ⎧-+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩212221228218221 因为22'(,)B x y -所以|'|AB = 因为22212121222816()()4(21)k x x x x x x k --=+-=+12121224(2)(2)()421ky y k x k x k x x k +=+++=++=+所以|'|AB==因为k ≤<2102，所以|'|AB ∈法二：设1122(,),(,)A x y B x y当直线l 是x轴时，|'|AB =当直线l 不是x 轴时，设直线l 的方程为2x t y =-所以x y x t y ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩22122，所以()t y t y ++=-222420，28160t ∆=-> ，所以t >22 所以t y y t y y t ⎧+=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩1221224222因为22'(,)B x y -所以|'|AB =因为 2222222212121212122216()()()[()4](1)(2)t x x ty ty t y y t y y y y t t -=-=-=+-=++所以|'|AB=22)2t ==-+因为t >22，所以|'|AB ∈ 综上，|'|AB的取值范围是.19．解：（Ⅰ）因为()xax x f x -=e 2所以()'()xx a x af x -++=e22 当a =-1时，'()x x x f x --=e 21所以'()f -=e11，而()f -=e 21曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线方程为21()(1)e ey x --=-- 化简得到11e ey x =-- （Ⅱ）法一：因为()'()xx a x af x -++=e 22，令()'()x x a x a f x -++==e 220得x x ==12当a >0时，x ，'()f x ，()f x 在区间(0,)+∞ 的变化情况如下表:所以()f x 在[,)+∞0上的最小值为(),()f f x 20中较小的值，而2(0)0ef =>-，所以只需要证明()f x >-e22 因为()x a x a -++=22220，所以()x x a f x ax x x -=-=e e 22222222 设()x a x F x -=e 2，其中x >0，所以()()'()x xa x x a F x ----+==e e 2222 令'()F x =0，得a x +=322，当a >0时，x ，'()F x ，()F x 在区间(0,)+∞ 的变化情况如下表:所以()F x 在(,)+∞0上的最小值为()a a F ++-=e 12222，而()a a F ++--=>e e 122222 注意到x =>20， 所以(())fx x F =>-e222，问题得证 法二：因为“对任意的x >0，22e e x ax x ->-”等价于“对任意的x >0，220e ex ax x -+>” 即“x >0，2+12e e()0ex x ax x +->”，故只需证“x >0，22e e()0x ax x +->” 设2()2e e()x g x ax x =+- ，所以'()2e e(2)x g x a x =+- 设()'()h x g x =，'()2e 2e x h x =- 令'()F x =0，得x =31当a >0时，x ，'()h x ，()h x 在区间(0,)+∞ 的变化情况如下表:所以()h x (,)+∞0上的最小值为()h 1，而(1)2e e(2)e 0h a a =+-=> 所以x >0时，'()2e e(2)0x g x a x =+->，所以()g x 在(,)+∞0上单调递增 所以()(0)g x g >而(0)20g =>，所以()0g x >，问题得证 法三：“对任意的x >0，2()e f x >-”等价于“()f x 在(,)+∞0上的最小值大于2e-”因为()'()xx a x af x -++=e22，令'()f x =0得x x ==12当a >0时，x ，'()f x ，()f x 在在(,)∞+0上的变化情况如下表:所以()f x 在[,)+∞0上的最小值为 (),()f f x 20中较小的值，而2(0)0ef =>-，所以只需要证明()f x >-e22因为()x a x a -++=22220，所以()x x x ax x x x x a f =---=>e e e 22222222222 注意到x =2和a >0，所以x =>22 设()xxF x -=e 2，其中x >2 所以()()'()x xx x F x --=-=e e2121 当x >2时，'()F x >0，所以()F x 单调递增，所以()()F x F >=-e242而()--=-->e e e e 2242240 所以()()f x F x >->e222，问题得证法四：因为a >0，所以当x >0时，()x x ax x x f x --=>e e22设()x x F x -=e2，其中x >0所以()'()xx x F x -=e2 所以x ，'()F x ，()F x 的变化情况如下表:所以()F x 在x =2时取得最小值()F =-e 224，而()--=-->e e e e2242240 所以x >0时，2()eF x >-所以()()f x F x >>-e220. 解：(Ⅰ) 满足3αβ*=的元素为(0,0,1),(1,0,1),(0,1,1),(1,1,1) （Ⅱ）记12(,,,)n x x x α=，12(,,,)n y y y β=，注意到{0,1}i x ∈，所以(1)0i i x x -=， 所以11112222()()()n n n n x x x y x x x x x x x x αα*=+-++-+++-12n x x x =+++ 12n y y y ββ*=+++因为n ααββ*+*=，所以1212n n x x x y y y n +++++++=所以1212,,,,,,,n n x x x y y y 中有n 个量的值为1，n 个量的值为0.显然111122220()()()n n n n x y x y x y x y x y x y αβ≤*=+-++-+++-1122n n x y x y x y n ≤++++++=，当(1,1,,1)α=，(0,0,,0)β=时，αβ，满足n ααββ*+*=，n αβ*=.所以αβ*的最大值为n又11112222()()()n n n n x y x y x y x y x y x y αβ*=+-++-+++-1122()n n n x y x y x y =-+++注意到只有1i i x y ==时，1i i x y =，否则0i i x y = 而1212,,,,,,,n n x x x y y y 中n 个量的值为1，n 个量的值为0所以满足1i i x y =这样的元素i 至多有2n个， 当n 为偶数时，22n n n αβ*≥-=. 当22(1,1,,1,0,0,,0)n n αβ==个个时，满足n ααββ*+*=，且2n αβ*=. 所以αβ*的最小值为2n当n 为奇数时，且1i i x y =，这样的元素i 至多有12n -个，所以 1122n n n αβ-+*≥-=. 当1122(1,1,,1,0,0,,0)n n α+-=个个，1122(1,1,,1,0,0,,0)n n β-+=个个时，满足n ααββ*+*=，12n αβ-*=. 所以αβ*的最小值为12n - 综上：αβ*的最大值为n ，当n 为偶数时，αβ*的最小值为2n ，当n 为奇数时，12n αβ-*=.（Ⅲ）S 中的元素个数最大值为222n n ++设集合S 是满足条件的集合中元素个数最多的一个 记1S ={}1212(,,,)|1,n n x x x x x x n S αα=+++≥-∈， {}21212(,,,)|2,n n S x x x x x x n S αα==+++≤-∈显然1212S S S S S ==∅，集合1S 中元素个数不超过1n +个，下面我们证明集合2S 中元素个数不超过2n C 个212,(,,,)n S x x x αα∀∈=，则122n x x x n +++≤-则12n x x x ，，，中至少存在两个元素 0i j x x ==212,(,,,)n S y y y ββ∀∈=，βα≠因为 1n αβ*≥-，所以 ,i j y y 不能同时为0 所以对1i j n ≤<≤中的一组数,i j 而言， 在集合2S 中至多有一个元素12(,,,)n x x x α=满足i j x x ，同时为0所以集合2S 中元素个数不超过2n C 个所以集合S 中的元素个数为至多为2211nn C n n ++=++ 记1T ={}1212(,,,)|1,n n n x x x x x x n αα=+++≥-∈Ω，则1T 中共1n +个元素，对于任意的1T α∈，n β∈Ω，1n αβ*≥-. 对1i j n ≤<≤，记,12(,,,),i j n x x x β= 其中0i j x x ==，1t x =，,t i t j ≠≠记2,{|1}i j T i j n β=≤<≤，显然2,S αβ∀∈，αβ≠，均有1n αβ*≥-. 记12S T T =，S 中的元素个数为21n n ++，且满足,S αβ∀∈，αβ≠，均有1n αβ*≥-.综上所述，S 中的元素个数最大值为21n n ++.。
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1
海淀区高三年级第一学期期末练习数学
本试卷共4页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回.
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
1.已知集合{}1,2,3,4,5,6U =，{}13,5
A =,，{}2,3,4
B =，则集合U A B I ð是( ) A. {1,3,5,6}
B. {1,3,5}
C. {1,3}
D. {1,5}
【答案】D
【解析】
【分析】
利用补集和交集的定义可求出集合U A B I ð.
【详解】Q 集合{}1,2,3,4,5,6U =，{}13,5A =,，{}2,3,4B =，则{
}1,5,6U B =ð， 因此，{
}1,5U A B =I ð. 故选：D.
【点睛】本题考查交集与补集的混合运算，熟悉交集和补集的定义是解题的关键，考查计算
2
能力，属于基础题.
2.抛物线2
4y x =的焦点坐标为（ ） A. (1,0)-
B. (1,0)
C. (0,1)-
D. (0,1)
【答案】B
【解析】
解：由 抛物线方程的特点可知，抛物线的焦点位于x 轴正半轴，由24p = ，可得：12
p
= ，即焦点坐标为()1,0 .
本题选择B 选项.
3.下列直线与圆()()2
2
112x y -+-=相切的是（ ）
A. y x =-
B. y x =
C. 2y x =-
D.
2y x =
【答案】A
【解析】
【分析】
观察到选项中的直线都过原点，且圆也过原点，只需求出圆在原点处的切线方程即可.
【详解】由于选项中各直线均过原点，且原点在圆上，
3
圆心坐标为()1,1，圆心与原点连线的斜率为1，
所以，圆()()2
2
112x y -+-=在原点处的切线方程为y x =-.
故选：A.
【点睛】本题考查直线与圆的
位置关系的判断，考查计算能力，属于基础题.
4.已知a 、b R ∈，且a b >，则（ ）
A. 11a b <
B. sin sin a b >
C. 1133a
b
⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
D.
22a b >
【答案】C
【解析】
【分析】
利用特殊值法和函数单调性可判断出各选项中不等式的正误.
【详解】对于A 选项，取1a =，1b =-，则a b >成立，但
11
a b
>，A 选项错误； 对于B 选项，取a π=，0b =，则a b >成立，但sin sin0π=，即sin sin a b =，B 选项错误；
对于C 选项，由于指数函数13x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭
在R 上单调递减，若a b >，则1133a b
⎛⎫⎛⎫
< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，C 选项
正确；
4
对于D 选项，取1a =，2b =-，则a b >，但22a b <，D 选项错误.
故选：C.
【点睛】本题考查不等式正误的判断，常用特殊值法、函数单调性与不等式的性质来进行判断，考查推理能力，属于中等题.
5.在5
1x x ⎛
⎫- ⎪⎝
⎭的展开式中，3x 的系数为（ ）
A. 5-
B. 5
C. 10-
D. 10
【答案】A
【解析】
【分析】
写出二项展开式的通项，令x 的指数为3，求出参数的值，代入通项即可计算出3x 的系数.
【详解】51x x ⎛⎫- ⎪⎝
⎭的展开式通项为()5525511k
k k
k k k C x C x x --⎛⎫⋅⋅-=⋅-⋅ ⎪⎝⎭，令523k -=，得
1k =.
因此，3x 的系数为()1
515C ⋅-=-.
故选：A.
【点睛】本题考查二项展开式中指定项系数的求解，解题时要熟练利用二项展开式通项来计算，考查计算能力，属于基础题.
5
6.已知平面向量a r 、b r 、c r
满足0a b c ++=r r r r ，且1a b c ===r r r ，则a b ⋅r r 的值为（ ）
A. 1
2
-
B.
12
C. 3
D.
32
【答案】A
【解析】
【分析】
由等式0a b c ++=r r r r 得a b c +=-r r r ，等式两边平方可求出a b ⋅r r
的值.
【详解】由0a b c ++=r r r r 可得a b c +=-r r r ，等式两边平方得2222c a b a b =++⋅r r r r r
，即221a b ⋅+=r r
，
因此，12
a b ⋅=-r r .
故选：A.
【点睛】本题考查平面向量数量积的计算，解题的关键就是对等式进行变形，考查计算能力，属于中等题.
7.已知α、β、γ是三个不同的平面，且m αγ=I ，n βγ=I ，则“//m n ”是“//αβ”的（ ）
A. 充分而不必要条件
B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件
D. 既不充分也不必要条件
6
【答案】B
【解析】
【分析】
根据几何模型与面面平行的性质定理，结合充分条件和必要条件的定义可判断出“//m n ”是“//αβ”的必要而不充分条件.
【详解】如下图所示，将平面α、β、γ视为三棱柱的三个侧面，设a αβ⋂=，将a 、m 、
n 视为三棱柱三条侧棱所在直线，则“//m n ”
⇒“//αβ”；
另一方面，若//αβ，且m αγ=I ，n βγ=I ，由面面平行的性质定理可得出//m n . 所以，“//αβ”⇒“//m n ”，因此，“//m n ”是“//αβ”的必要而不充分条件.
故选：B.
【点睛】本题考查必要不充分条件的判断，同时也考查了空间中平行关系的判断，考查推理能力，属于中等题.
8.已知等边ABC ∆边长为3，点D 在BC 边上，且BD CD >，7AD =.下列结论中错误
的是（ ）
7
A.
2BD
CD
= B.
2ABD
ACD
S S ∆∆= C.
cos 2cos BAD
CAD
∠=∠
D.
sin 2sin BAD
CAD
∠=∠
【答案】C
【解析】
【分析】
利用余弦定理计算出BD ，结合正弦定理等三角形知识可对各选项的正误进行判断.
【详解】如下图所示：
Q 点D 在BC 边上，且BD CD >，1322
BD BC ∴>
=， 由余弦定理得222
2cos
3
AD AB BD AB BD π
=+-⋅⋅，整理得2320BD BD -+=，
32
BD >
Q ，解得2BD =，1CD =∴，则
2ABD ACD S BD S CD ∆∆==，。