北京市海淀区2019-2020学年第一学期高三期末数学试题及答案
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北京市海淀区高三年级第一学期期末练习
数 学 2020. 01
本试卷共4页,150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题纸上,在试卷上作答无效。考试结束后,将本试卷和答题纸一并交回。
第一部分(选择题 共40分)
一、选择题共10小题,每小题4分,共40分。在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项。 (1)已知集合{}1,2,3,4,5,6U =,{}1,3,5A =,{}2,3,4B =,则集合U
A B 是
(A ){1,3,5,6}
(B ){1,3,5} (C ){1,3} (D ){1,5}
(2)抛物线2
4y x =的焦点坐标为 (A )(0,1)
(B )(10,) (C )(0,1-) (D )(1,0)-
(3)下列直线与圆22
(1)(1)2x y -+-=相切的是
(A )y x =- (B )y x =
(C )2y x =- (D )2y x =
(4)已知,a b R ,且a b ,则
(A )
11a
b
(B )sin sin a b
(C )1
1()
()3
3
a
b (D )22a b
(5)在5
1()x x
-的展开式中,3
x 的系数为 (A )5
(B )5
(C )10
(D )10
(6)已知平面向量,,a b c 满足++=0a b c ,且||||||1===a b c ,则⋅a b 的值为
(A )
12
(B )
12
(C )
32
(D 2
(7)已知α, β, γ是三个不同的平面,且=m αγ,=n βγ,则“m n ∥”是“αβ∥”
的
(A )充分而不必要条件 (B )必要而不充分条件 (C )充分必要条件
(D )既不充分也不必要条件
(8)已知等边△ABC 边长为3.点D 在BC 边上,且BD CD >,AD =下列结论中错误
的是
(A )2BD
CD
= (B )
2ABD
ACD
S S ∆∆= (C )
cos 2cos BAD
CAD
∠=∠ (D )
sin 2sin BAD CAD ∠=∠ (9)声音的等级()f x (单位:dB )与声音强度x (单位:2W/m )满足12
()10lg
110
x f x -=⨯⨯.
喷气式飞机起飞时,声音的等级约为140dB ;一般说话时,声音的等级约为60dB ,那么喷气式飞机起飞时声音强度约为一般说话时声音强度的 (A )610倍
(B )810倍
(C )1010倍
(D )1210倍
(10)若点N 为点M
在平面上的正投影,则记()N
f M .
如图,在棱长为1的正方体1111ABCD
A B C D 中,记平面
11AB C D 为,平面ABCD 为,点P 是棱1CC 上一动点(与
C ,1C 不重合),1[()]Q f f P ,2
[()]Q f f P .给出下
列三个结论:
①线段2PQ
长度的取值范围是1[2;
②存在点P 使得1PQ ∥平面;
③存在点P 使得12PQ PQ .
其中,所有正确结论的序号是
(A )①②③
(B )②③
(C )①③
(D )①②
第二部分(非选择题 共110分)
二、填空题共6小题,每小题5分,共30分。
(11)在等差数列{}n a 中,25a =,52a =,则7a =_________. (12)若复数1i i
z
,则||z =_________.
(13
)已知点A ,点B ,C 分别为双曲线
222
13
x y a
-
=(0)a >的左、右顶点.若△ABC
为正三角形,则该双曲线的离心率为_________. (14)已知函数()a f x x x
=+
在区间(1,4)上存在最小值,则实数a 的取值范围是_________.
(15)用“五点法”作函数()sin()f x A x ωϕ=+的图象时,列表如下:
则(1)f -=_________,1
(0)()2
f f +-=_________.
(16)已知曲线C :44221x y mx y ++=(m 为常数).
(i )给出下列结论:
①曲线C 为中心对称图形; ②曲线C 为轴对称图形;
③当1m =-时,若点(,)P x y 在曲线C 上,则||1x ≥或||1y ≥.
其中,所有正确结论的序号是.
(ii )当2m >-时,若曲线C 所围成的区域的面积小于π,则m 的值可以是.(写出一个即可)
三、解答题共6小题,共80分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。 (17)(本小题共13分)
已知函数2
1()cos cos 2
f x x x x =-.
(Ⅰ)求函数()f x 的单调递增区间;
(Ⅱ)若()f x 在区间[0,]m 上的最大值为
1,求m 的最小值.
(18)(本小题共13分)
如图,在三棱锥V ABC -中,平面VAC ⊥平面ABC ,△ABC 和△VAC 均是等腰直角三角形,AB BC =,2AC CV ==,M ,N 分别为VA ,VB 的中点. (Ⅰ)求证:AB //平面CMN ; (Ⅱ)求证:AB VC ⊥;
(Ⅲ)求直线VB 与平面CMN 所成角的正弦值.
(19)(本小题共13分)
某市《城市总体规划(2016—2035年)》提出到2035年实现“15分钟社区生活圈”全覆盖的目标,从教育与文化、医疗与养老、交通与购物、休闲与健身4个方面构建 “15分钟社区生活圈”指标体系,并依据“15分钟社区生活圈”指数高低将小区划