北京市海淀区2019-2020学年第一学期高三期末数学试题及答案

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北京市海淀区高三年级第一学期期末练习

数 学 2020. 01

本试卷共4页,150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题纸上,在试卷上作答无效。考试结束后,将本试卷和答题纸一并交回。

第一部分(选择题 共40分)

一、选择题共10小题,每小题4分,共40分。在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项。 (1)已知集合{}1,2,3,4,5,6U =,{}1,3,5A =,{}2,3,4B =,则集合U

A B 是

(A ){1,3,5,6}

(B ){1,3,5} (C ){1,3} (D ){1,5}

(2)抛物线2

4y x =的焦点坐标为 (A )(0,1)

(B )(10,) (C )(0,1-) (D )(1,0)-

(3)下列直线与圆22

(1)(1)2x y -+-=相切的是

(A )y x =- (B )y x =

(C )2y x =- (D )2y x =

(4)已知,a b R ,且a b ,则

(A )

11a

b

(B )sin sin a b

(C )1

1()

()3

3

a

b (D )22a b

(5)在5

1()x x

-的展开式中,3

x 的系数为 (A )5

(B )5

(C )10

(D )10

(6)已知平面向量,,a b c 满足++=0a b c ,且||||||1===a b c ,则⋅a b 的值为

(A )

12

(B )

12

(C )

32

(D 2

(7)已知α, β, γ是三个不同的平面,且=m αγ,=n βγ,则“m n ∥”是“αβ∥”

(A )充分而不必要条件 (B )必要而不充分条件 (C )充分必要条件

(D )既不充分也不必要条件

(8)已知等边△ABC 边长为3.点D 在BC 边上,且BD CD >,AD =下列结论中错误

的是

(A )2BD

CD

= (B )

2ABD

ACD

S S ∆∆= (C )

cos 2cos BAD

CAD

∠=∠ (D )

sin 2sin BAD CAD ∠=∠ (9)声音的等级()f x (单位:dB )与声音强度x (单位:2W/m )满足12

()10lg

110

x f x -=⨯⨯.

喷气式飞机起飞时,声音的等级约为140dB ;一般说话时,声音的等级约为60dB ,那么喷气式飞机起飞时声音强度约为一般说话时声音强度的 (A )610倍

(B )810倍

(C )1010倍

(D )1210倍

(10)若点N 为点M

在平面上的正投影,则记()N

f M .

如图,在棱长为1的正方体1111ABCD

A B C D 中,记平面

11AB C D 为,平面ABCD 为,点P 是棱1CC 上一动点(与

C ,1C 不重合),1[()]Q f f P ,2

[()]Q f f P .给出下

列三个结论:

①线段2PQ

长度的取值范围是1[2;

②存在点P 使得1PQ ∥平面;

③存在点P 使得12PQ PQ .

其中,所有正确结论的序号是

(A )①②③

(B )②③

(C )①③

(D )①②

第二部分(非选择题 共110分)

二、填空题共6小题,每小题5分,共30分。

(11)在等差数列{}n a 中,25a =,52a =,则7a =_________. (12)若复数1i i

z

,则||z =_________.

(13

)已知点A ,点B ,C 分别为双曲线

222

13

x y a

-

=(0)a >的左、右顶点.若△ABC

为正三角形,则该双曲线的离心率为_________. (14)已知函数()a f x x x

=+

在区间(1,4)上存在最小值,则实数a 的取值范围是_________.

(15)用“五点法”作函数()sin()f x A x ωϕ=+的图象时,列表如下:

则(1)f -=_________,1

(0)()2

f f +-=_________.

(16)已知曲线C :44221x y mx y ++=(m 为常数).

(i )给出下列结论:

①曲线C 为中心对称图形; ②曲线C 为轴对称图形;

③当1m =-时,若点(,)P x y 在曲线C 上,则||1x ≥或||1y ≥.

其中,所有正确结论的序号是.

(ii )当2m >-时,若曲线C 所围成的区域的面积小于π,则m 的值可以是.(写出一个即可)

三、解答题共6小题,共80分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。 (17)(本小题共13分)

已知函数2

1()cos cos 2

f x x x x =-.

(Ⅰ)求函数()f x 的单调递增区间;

(Ⅱ)若()f x 在区间[0,]m 上的最大值为

1,求m 的最小值.

(18)(本小题共13分)

如图,在三棱锥V ABC -中,平面VAC ⊥平面ABC ,△ABC 和△VAC 均是等腰直角三角形,AB BC =,2AC CV ==,M ,N 分别为VA ,VB 的中点. (Ⅰ)求证:AB //平面CMN ; (Ⅱ)求证:AB VC ⊥;

(Ⅲ)求直线VB 与平面CMN 所成角的正弦值.

(19)(本小题共13分)

某市《城市总体规划(2016—2035年)》提出到2035年实现“15分钟社区生活圈”全覆盖的目标,从教育与文化、医疗与养老、交通与购物、休闲与健身4个方面构建 “15分钟社区生活圈”指标体系,并依据“15分钟社区生活圈”指数高低将小区划

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