山东省烟台市2020届高三上学期期末考试数学试题

25. (12 分)
已知函数 (1) 求函数 f(x)的单调区冋； (2) 讨论函数 f(x)零点的个数；
,其中 O<a<e.
(3) ~
(4) 若 f(x)存在两个不同的零点 x1,x2,求证：x1x2<e2.
2019-2020 学年度第一学期期末学业水平诊断
高三数学参考答案
一、单项选择题 6. D
2
2
即 tan A 3 ，因为 0 A ，所以 A .
3
6
又因为 a2 b2 c2 2bc cos ， 6
…………………………6 分
所以 bc (b c)2 a2 = 62 (2 6)2 ，即 bc 24 12 3 ， ……………8 分
2 3
2 3
所以
SABC
1 bc sin 2
C. 设 M（O,1）,则|PM|+|PP1|≥
D. \ E. 过点 M（0,1）与抛物线 C 有且只有一个公共点的直线至多有 2 条
三、 填空題：本題共 4 小題，每小题 5 分，共 20 分。
13. 己知向量 a,b 满足|a|=l,|b|= ,a⊥（a+b）,则 a 与 b 夹角为 .
14. 已知随机变量 X N（1, 2）,P（-1<X<1）=,则 P（X≥3）=
.
15. 设点 P 是曲线 y=ex+x2 上任一点，则点 P 到直线 x-y-1=O 的最小距离为
.
16.已知三棱锥 P-ABC 的四个顶点都在球 O 的表面上，PA 丄平面 ABC，PA=6,AB=2 ,AC=2,BC=4，
则：（1）球 O 的表面积为 ；（2）若 D 是 BC 的中点，过点 D 作球 O 的截面，则截面面
-
A. B.
C. D.
8.函数
,若方程 f(x)=-2x+m 有且只有两个不相等的实数根，则实数 m 的取值
范围是 A. (-∞,4)
B. (-∞,4]
C. (-2,4)
D. (-2,4]
二、多项选择题：本題共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合 題目要求，全部选对得 5 分，部分选对得 3 分，有选错的得 0 分.
A
1 (24 12 2
3) 1 6 3 2
3.
………………10 分
若选 ③：
由正弦定理得 sin B sin B C sin Asin B ， ……………………………2 分 2
因为 0 B ，所以 sin B 0 ，
~
所以 sin B C sin A ，又因为 B C A， 2
3
3.
……………………………10 分
若选 ②：
…
由正弦定理得 sin Asin B sin B cos(A ) . …………………………2 分 6
因为 0 B ，所以 sin B 0 ， sin A cos( A ) ， 6
化简得 sin A 3 cos A 1 sin A ， ………………………………………4 分
2bc
2bc 2
因为 A(0, ) ，所以 A . …………………………………………6 分 3
又 a2 b2 c2 bc (b c)2 3bc ，
a 2 6 ， b c 6 ，所以 bc 4 ， …………………………………………8 分
所以
SABC
1 2
bc sin
A
1 4sin 2
C. 有 95%的把握认为男、女生对该食堂服务的评价有差异
D. 有 99%的把握认为男、女生对该食堂服务的评价有差异
10. 已知函数 f(x)=sin(3x+ )(- ＜ ＜ )的图象关于直线 x= 对称，则 A. 函数 f(x+ )为奇函数
B. 函数 f(x)在[ ， ]上单调递増
C. 若|f(x1)-f(x2)|=2,则|x1-x2\的最小值为
某企业拥有 3 条相同的生产线，每条生产线每月至多出现一次故障.各条生产线是否出现故
障相互独立，且出现故障的概率为 .
(1) 求该企业每月有且只有 1 条生产线出现故障的概率； (2) 为提高生产效益，该企业决定招聘 n 名维修工人及时对出现故障的生产线进行 修.已 知每名维修工人每月只有及时维修 1 条生产线的能力，且每月固定工资为 1 万元.此外，统 计表明，每月在不岀现故障的情况下，每条生产线创造 12 万元的利润；如果出现故障能及 时维修，每条生产线创造 8 万元的利润；如果出现故障不能及时维修，该生产线将不创造利 润.以该企业每月实际获利的期望值为决策依据，在 n=1 与 n=2 之中选其一，应选用哪个(实 际获利=生产线创造利润一维修工人工资)
D. 】 E. 函数 f(x)的图象向右平移 个单位长度得到函数 y=-cos3x 的图象
11. 如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，点 P 在线段 B1C 上运动，则
A. 直线 BD1 丄平面 A1C1D B. 三棱锥 P-A1C1D 的体积为定值 C. 异面直线 AP 与 A1D 所成角的取值范用是[45°,90°]
因为 AD // BC ，所以 AFD 与 BCF 相似.
所以 BF BC 2 . FD AD
………………………………………………1 分
又 BE BF =2 ，所以 EF // SD . ……………………………………2 分 ES FD
因为 EF 平面 ACE ， SD 平面 ACE ，所以直线 SD // 平面 ACE .
两式相减得 2an1 (n 2)an1 (n 1)an ，
】
整理得 nan 1 (n 1)an ，. ………………………………………………2 分
即 an 1 an ， n N* ，所以{ an } 为常数列.
n1 n
n
所以 an a1 2 ， n1
………………………………………4 分
所以 an 2n .
所以 cos A 2sin A cos A ， ………………………………………………4 分
2
22
因为 0 A ， 0 A ，所以 cos A 0 ，
22
2
∴ sin A 1 ， A ，所以 A .
22 26
3
……………………………6 分
又 a2 b2 c2 bc (b c)2 3bc ，
合題目要求的。
1. 己知集合 A={X|X2-X-2≤0}, B={x|y= ,则 A∪B= A. {x|-l≤x≤2} B. {x|0≤x≤2} C. {x|x≥-l} D. {x|x≥0}
2. “ x∈R,x2-x+l>0”的否定是 A. 《 B. x∈R, X2-X+1≤0 C. x∈R, x2-x+l<0
积的最小值是 。（本题第一空 2 分，第二空 3 分）
四、 解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步驟。
17. （10 分）
在条件①(a+b)(sinA-sinB）=（c-b）sinC,②asinB=bcos(A+ ),③bsin =asinB 中任选一个，补 充到下面问题中，并给出问题解答. 在ΔABC 中，角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c, b+c=6,a= ,________________________ ,
D. b<c<a
5.为弘扬我国古代的“六艺文化”，某夏令营主办单位计划利用暑期开设“礼”“乐”“射”“御”“书”“数” 六门体验课程，每周一门，连续开设六周.若课程“乐”不排在第一周，课程“御”不排在最后一周， 则所有可能的排法种数为
A. 216
B. 480
C. 504
D. 624
6. 函数 y=|x|+sinx 的部分图象可能是 7.若 x=α时，函数 f(x)=3sinx+4cosx 取得最小值，则 sinα=
D. 直线 C1P 与平面 A1C1D 所成角的正弦值的最大值为 12. 已知抛物线 C:y2=4x 的焦点为 F、准线为 l，过点 F 的直线与抛物线交于两点 P(x1,y1),G(x2,y2)，
点 P 在 l 上的射影为 P1，则 A. 若 X1+X2=6.则|PQ|=8 B. 以 PQ 为直径的圆与准线 l 相切
……………………………………4 分
（2）平面 SCD 平面 ABCD，平面 SCD 平面 ABCD CD ， BC 平面
ABCD ，
BC CD ，所以 BC 平面 SCD . …………………………………5 分
以 C 为坐标原点，CD,CB 所在的方向分别为 y 轴、z 轴的正方向，与 CD,CB
%
求ΔABC 的面积.
注：如选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
18. （12 分） 已知数列{an}的前 n 项和 Sn 満足 2Sn=(n+1)an（n∈N）且 a1=2.
（1） 求数列｛an｝的通项公式;
（2） 设 bn=（an-1）2an.求数列{bn}的前 n 项和 Tn.
19. (12 分) 20. . 21. 如图，在四棱锥 S-ABCD 中，ABCD 为直角梯形，AD∥BC,BC⊥CD，平面 SCD 丄平面 ABCD. ΔSCD 是以 CD 为斜边的等腰直角三角形，BC=2AD=2CD=4,E 为 BS 上 一点，且 BE=2ES. (1) 证明：直线 SD∥平面 ACE；
烟台 2019-2020 学年度第一学期期末学业水平诊断
高三数学
注意事项： 1. 本试题满分 150 分,考试时间为 120 分钟。 2. 答卷前务必将姓名和准考证号填涂在答题纸上。 3. 使用答题纸时，必须使用毫米的黑色签字笔书写，要字迹工整，笔迹淸晰。超出答题区书写
的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 一、单项选择题：本题共 8 小題，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符
B. x∈R, x2-x+1<0 D. x∈R, x2-x+l≤0
3. 若双曲线
(a>0,b>0)的离心率为 ，则其渐近线方程为
A. 2x±3y=0 B. 3x±2y=0 C. x±2y=0 D. 2x±y=0
4.设 a=,b=,c=
,则 a,b,c 的大小关系为
<b<c B. a<c<b
C. b<a<c
二、多项选择题
三、填空题
13. 3 14. 0.1 4
$
四、解答题
Leabharlann Baidu
15. 2 16. 52 ， 4
17.解：若选①： 由正弦定理得 (a b)(a b) (c b)c ， ………………………………2 分
即 b2 c2 a2 bc ，
所以 cos A b2 c2 a2 bc 1 ， ……………………………………4 分
9.某大学为了解学生对学校食堂服务的满意度，随机调査了 50 名男生和
满意 不满意
50 名女生，每位学生对食堂的服务给出满意或不满意的评价，得到如图
男 30
20
所示的列联表.经计算 K2 的观测值 k≈，则可以推断出 A. 该学校男生对食堂服务满意的概率的估计值为
女
:
10
P(k2≥k)
40
k
^
B. 调研结果显示，该学校男生比女生对食堂服务更满意
…………………………………………………5 分
（2） bn (an 1)2an =(2n 1)4n . ……………………………………………6 分
所以 Tn 1 41+3 42 +5 43 + +(2n 1)4n
4Tn
1 42 +3 43 + +(2n 3) 4n (2n 1) 4n1 . ……7 分
a 2 6 ， b c 6 ，所以 bc 4 ， ………………………………………8 分
所以
SABC
1 2
bc sin
A
1 4sin 2
3
3.
…………………………10 分
18.解：（1）因为 2Sn (n 1)an ， n N* ，
所以 2Sn 1 (n 2)an 1 ， n N* .
(2) 求二面角 S-AC-E 的余弦值。
22. (12 分)
已知椭圆的
的离心率为 ，F 是其右焦点，直线 y=kx 与椭圆交于 A,B 两点，
|AF|+|BF|=8. (1) 求椭圆的标准方程； (2) 设 Q(3,0),若∠AQB 为锐角,求实数 k 的取值范围.
23. ` 24. (12 分)
两式相减得：
3Tn 4+2 (42 +43 + +4n ) (2n 1) 4n1 ， …………………9 分
3Tn
4+2 42 4n+1 1 4
(2n 1) 4n1 ，
…………………11 分
|
化简得
Tn
20 9
+
(6n
5)4n1 9
.
……………………………………12 分
19.解：（1）连接 BD交 AC 于点 F ,连接 EF .