自动控制演示文稿2

写出组成系统的各 个环节的微分方程 求取各环节的传递函数， 画出个体方框图 从相加点入手，按信号流向依次 连接成整体方框图，既系统方框图
绘制方框图的步骤
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方框图的简化是通过方框图的等效变换和方框图的运算法则来实现的。 1）等效变换主要是通过变换相加点和分支点的位置来实现的，变换中主要掌 握好如下两点：①前向通道中各传递函数的乘积不变；②回路中传递函数 的乘积不变； 通过等效变换将方框图变换成具有串联，并联和局部反馈连接的结构图。 2）方框图的运算法则 根据下表所列运算法则，求出系统的传递函数。
自动控制原理
第二章 控制系统的数 学模型
1 基本概念 2 结构图及其等效变换 3 信号流图与梅森（Mason） 公式
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控制系统的数学模型 综述



自动控制系统的组成可以是电气的，机械的，液压的，气动的等等，然而描 述这些系统的数学模型却可以是相同的。因此，通过数学模型来研究自动控 制系统，就摆脱了各种类型系统的外部关系而抓住这些系统的共同运动规律， 控制系统的数学模型是通过物理学，化学，生物学等定律来描述的，如机械 系统的牛顿定律，电气系统的克希霍夫定律等都是用来描述系统模型的基本 定律。 如果描述系统的数学模型是线性的微分方程，则该系统为线性系统，若方程 中的系数是常数，则称其为线性定常系统。数学模型可以是标量方程和向量 的状态方程。 本章主要讨论的是线性定常系统。我们可以对描述的线性定常微分方程进行 积分变换，得出传递函数，方框图，信号流图，频率特性等数学描述。 线性系统实际上是忽略了系统中某些次要因素，对数学模型进行近似而得到 的。以后各章所讨论的系统，除第七章外，均指线性化的系统。

传递函数
线性定常系统可由下列微分方程描述： a0 c( n) a1c( n1) an1c an c b0 r ( m) b1r ( m1) bm1r bm r
( n m)
传递函数可定义为：在零初始条件下，在线性定常系统中，系统的输出量c(t) 的拉氏变换C(s)与输入量r(t)的拉氏变换R(s)之比既
G(s) G1(s) 2(s) G 1 R1R2C1C2 s 2 (R1C1 R2C2 R1C2 )s 1
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比较（1）、（2）两式可知，考虑负载效应时，传 递函数 G(s )的分母中多了一项 R1C2 s 。它表示了两 个简单 RC 电路的相互影响。因此，在求串联环节 的等效传递函数时应考虑环节间的负载效应，否则 容易得出错误的结果。所以提出两点注意： 1）多个环节相串联在求其总传递函数时要考虑负 载效应； 2）后一级的输入阻抗为无限大（或很大）时，可 以不考虑它对前级的影响。
C ( s) 1 n G( s) Pk k R( s) k 1
1 La Lb Lc Ld Le L f
a bc def
式中，Pk为第k条前向通路的传递函数；n为前向通路总数；△为流图的特征式
L 为所有不同回路的增益 L L 为每两个互不接触回路 Ld Le L f为每三个互不接触回路
R(s)
G1
G1
G2
C (s)
R(s)
G1 G2
C (s)
R(s)
C (s)
R(s)
G1 G2
C (s)
G2
R(s)
G H
C (s)
R(s)
G C (s) 1 GH
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3 信号流图与梅森（Mason）公式


信号流图是一种表示线性化代数方程组变量间关系的图示方法。信号流图由 节点和支路组成。每一个节点表示系统的一个变量，而每两个节点间的连接 支路为该两个变量之间信号的传输关系。信号流向由支路上的箭头表示，而 传输关系（增益，传递函数）则标注在支路上。箭头方向相同的支路顺序连 接，沿箭头方向而穿过各相连支路的途径，统称为通路。若通路与任一节点 相交不多于一次，称开通路；若通路的终点就是通路的起点，且与其它节点 相交不多于一次，就称为闭通路（回路）。 若要确定信号流图中输入节点与输出节点间的总增益G（或称二节点间的传 递函数），可以应用梅森公式，即
( s)
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2 结构图及其等效变换

控制系统都是由一些元部件组成的，根据不同的功能，可将系 统划分为若干环节（也叫做子系统），每个环节的性能可以用 一个单向相的函数方框来表示，方框中的内容为这个环节的传 递函数。根据系统中信息的传递方向，将各个环节的函数方框 图用信号线依次连接起来，就构成了系统的结构。系统的结构 图实际上是每个元件的功能和信号流向的图解表示。系统的结 构图又称之系统的方框图。
ε(t)对控制信号r(t)的闭环传函记为
共同规律如下： 其分子等于对应所求的闭环传递函数 的输入信号到输出信号所经过的传递 函数的乘积，并赋以符号，其分母等 于1加上开环传函。
1 ( s ) R( s ) 1 G ( s ) H ( s)
若H(s)=1, ( s) 1 ( s)
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1 基本概念


数学模型：
数学模型是描述系统动态特性的数学表达式；数学模型可以有多种形式。在经典理 论中，常用的数学模型是微（差）分方程，结构图，信号流图等；在现代控制理论 中，采用的是状态空间表达式。结构图，信号流图，状态图是数学模型的图形表达 形式。 建立合理的数学模型，对于系统的分析研究是十分重要的。合理包括两条： （1）反映元件及系统的特性要正确； （2）写出的数学式子要简明； 控制系统数学模型的要求可采用解析法和实验法。解析法是根据系统和元件所遵循 的有关定律来建立数学模型的。用解析法建立数学模型时，对其内部所体现的运动 机理和科学规律要十分清楚，要抓住主要矛盾，忽略次要矛盾，力求所建立的数学 模型要合理。实验法是根据实验数据来建立数学模型的，即人为地在系统上加上某 种测试信号，用实验所得的输入和输出数据来辨识系统的结构，阶次和参数，这种 方法也成为系统辨识。 线性系统最重要的特性是可用叠加原理。对非线性系统当非线性不严重或变量变化 范围不大时，可利用小偏差线性化的方法使数学模型线性化。
从相加点入手，按信号流向依次 连接成整体方框图，既系统方框图
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解：（1）写出组成系统的各环节的微分方程，求 取各环节的传递函数
ei eo i R
1 idt eo C
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Ei(s) Eo(s) I(s) R
I(s) Eo(s) Cs
（2）画出个体方框图
E i(s )
E o( s )
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例题2（教材P44）：运算放大器电路如下图所，求 其传递函数。
uR0 R1
e2
+Байду номын сангаас
R0
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e1
u+
e3
R1
解 设运算放大器阻抗很大，加标号U- 、U+ 如图所示，
R1 U (s) E1 ( s ) R0 R1
U ( s) E3 ( s) E 2 ( s) U ( s) 整理，得 R1 R0
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几个基本公式：
F (s)
c(t) 对控制信号r(t) 的闭环传函记 为 (s) ,即
R(s)
(s)
C ( s) G( s) (s) R( s ) 1 G ( s ) H ( s )
若H(s)=1,
-
G1 ( s )
-
G2 ( s )
C (s)
( s)
G( s) 1 G( s)
a
b c
a
k 为在Δ中除去与第k条前向通路相接触的回路后的特征式，称为第k条前向通路特征
式的余因子。
之和；
bc
增益乘积之和 ；
def
增益乘积之和；
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例题1（教材P23）：设有一RC两级滤波网络如图。 其输入信号为 ，输出信号为 ，试求两级 ab i 串联后传递函数。
e
e
+
ei
R1
a
R2
+
C2 eo
i1
C1
i2
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b
-
解： （1）不计负载效应 第一级滤波器的输入信号是 i ，输出信号是 ab ，其传递函数 1 为
e
e
Eab(s ) C1 s 1 G1(s ) R1C1 s 1 Ei( s) R 1 1 C1s
第二级滤波器的输入信号是
根据传递函数的相乘性，有
1 Eo(s ) C2 s 1 G2(s ) R2 C2 s 1 Eab(s ) R 1 1 C2 s
C ( s ) b0 s m b1 s m 1 bm 1 s bm G ( s) R( s ) a 0 s n a1 s n 1 a n 1 s a n
( n m)
说明： 1）传递函数是线性定常系统在复频域里的数学模型，其与微分方程一样，包含了系统有关动态方面 的信息。 2）传递函数是在零初始条件下定义的，当初始条件不为零时，传递函数不能反映系统的全部特点。 3）传递函数反映的是系统本身的一种属性，其各项系数完全取决于系统本身的结构与参数，与输入 量的大小和性质无关。 4）传递函数包含联系输入量与输出量所必须的单位，但是它不提供有关系统物理结构的任何信息 （许多物理上完全不同的系统，可以具有相同的传递函数）。 5）如果系统的传递函数已知，则可以针对各种不同形式的输入量研究系统的输出或响应，以便掌握 系统的性质。 自动控制系统是由若干个典型环节组合而成的，典型环节包括比例环节，惯性环节，积分环节，微 分环节，振荡环节，一阶比例微分环节，二阶比例微分环节，不稳定环节，延迟环节等。
R0 E3 ( s) R1 E1 ( s) R1 E 2 ( s)
E3 (s) R1 ( s) E1(s) E2 (s) R0
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例3（教材P29）：绘制如图2-21所示 RC 电路的方 框图。 R
+
+
ei
i
C
eo
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-
写出组成系统的各 个环节的微分方程
绘制方框图的步骤
求取各环节的传递函数， 画出个体方框图
（1）
R1 E 2 ( s) R0 E3 ( s ) U ( s) R1 R0
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（2）
由模电知，U ( s ) U ( s ) 得 R1 E 2 ( s ) R0 E3 ( s ) R1 E1 ( s ) R1 R0 R1 R0
R1 E1 ( s) R1 E 2 ( s) R0 E3 ( s)



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微分方程
微分方程是描述自动控制系统时域动态特性的最基本模型，微 分方程又称之为控制系统时域内的运动方程。

用解析法建立运动方程的步骤是： 1）分析系统的工作原理和系统中各变量间的关系，确定出待研 究元件或系统的输入量和输出量； 2）从输入端入手（闭环系统一般从比较环节入手），依据各元 件所遵循的物理，化学，生物等规律，列写各自方程式，但要 注意负载效应。所谓负载效应，就是考虑后一级对前一级的影 响。 3）将所有方程联解，消去中间变量，得出系统输入输出的标准 方程。所谓标准方程包含三方面的内容：①将与输入量有关的 各项放在方程的右边，与输出量有关的各项放在方程的左边； ②各导数项按降幂排列；③将方程的系数通过元件或系统的参 数化成具有一定物理意义的系数。 退出
H ( s)
c(t) 对扰动信号 f (t) 的闭环传函记为
ε(t) 对干扰信号 f (t) 闭环传函记为
G ( s) H (s) ( s) G2 ( s) G2 ( s) f ( s ) 2 f ( s) F (s) 1 G(s) H (s) 1 G1 ( s)G2 ( s) H ( s) 1 G ( s) H ( s)
eab
输出信号为，其传递函数为
G(s ) G1(s )G2(s )
1 1 R1C1 s 1 R2 C2 s 1 1 R1 R2C1C2 s 2 ( R1C1 R2C2 )s 1
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（2）考虑负载效应 第一级的传递函数为 1 //( R 1 ) 2 Eab(s) C1s C2 s G1(s ) Ei(s) R 1 //( R 1 ) 1 2 C1 s C2 s R2C2 s 1 R1 R2C1C2 s 2 ( R1C1 R2C2 R1C2 )s 1 第二级的传递函数没有变，因此总的传递函数为
1 R
I( s )
I(s)
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1 Cs